TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h' = h$,અને $b = 6$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપેલ છે કે $m_1 = 3m_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ થાય.
$m_1 = 3m_2$ ને ગુણાકારમાં મૂકતા,$(3m_2)m_2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 3m_2^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m_2 = \pm \frac{1}{3}$.
તેથી,$m_1 = 3(\pm \frac{1}{3}) = \pm 1$.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h'}{b} = -\frac{h}{6}$ છે.
$m_1$ અને $m_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $\pm 1 \pm \frac{1}{3} = -\frac{h}{6}$.
ધન કિસ્સા માટે: $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = -8$.
ઋણ કિસ્સા માટે: $-1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = 8$.
તેથી,$h = \pm 8$.

(A) આપેલ બહુપદી સમીકરણ $x^5+4 x^4-13 x^3-52 x^2+36 x+144=0$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $2$ એ એક બીજ છે.
બહુપદીના ભાગાકાર દ્વારા,આપણે સમીકરણના અવયવો પાડી શકીએ છીએ.
$x^5+4 x^4-13 x^3-52 x^2+36 x+144$ ને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને ભાગફળ $x^4+6x^3-x^2-54x-72$ મળે છે.
વધુ અવયવીકરણ કરતા,આપણને સમીકરણના બીજ $-4, -3, -2, 2, 3$ મળે છે.
શરત $\alpha < \beta < \gamma < 2 < \varepsilon$ મુજબ,આપણે બીજને નીચે મુજબ ગોઠવીએ:
$\alpha = -4, \beta = -3, \gamma = -2, \varepsilon = 3$.
હવે,પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$\alpha+2 \beta+3 \gamma+5 \varepsilon = (-4) + 2(-3) + 3(-2) + 5(3)$
$= -4 - 6 - 6 + 15$
$= -16 + 15 = -1$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $2x^3-5x^2+4x-3=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5}{2}$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$,અને $\alpha\beta\gamma = \frac{3}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = (\frac{5}{2})(2) - 3(\frac{3}{2})$
$= 5 - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{2x^3+1}{2x^2-x-6} = ax+b+\frac{A}{px-2}+\frac{B}{2x+q}$ છે.
$2x^3+1$ ને $2x^2-x-6$ વડે ભાગતા:
$\frac{2x^3+1}{2x^2-x-6} = (x + \frac{1}{2}) + \frac{\frac{17}{2}x+4}{2x^2-x-6}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $2x^2-x-6 = (x-2)(2x+3)$.
$\frac{\frac{17}{2}x+4}{(x-2)(2x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{2x+3}$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા.
$A = \frac{17}{7}$ અને $B = \frac{23}{14}$ મળે છે.
સરખામણી કરતા $a=1, b=\frac{1}{2}, p=1, q=3, A=\frac{17}{7}, B=\frac{23}{14}$ મળે છે.
$51apB = 51 \times 1 \times 1 \times \frac{23}{14} = \frac{1173}{14}$.
$23bqA = 23 \times \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{17}{7} = \frac{1173}{14}$.
આમ,$51apB = 23bqA$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $\alpha, \beta = \sqrt{3} \pm i$ મળે છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ અને $\beta = 2(\cos \frac{-\pi}{6} + i \sin \frac{-\pi}{6})$.
તેથી $\alpha^{2024} - \beta^{2024} = 2^{2024} [2i \sin(\frac{2024\pi}{6})] = -i \sqrt{3} \cdot 2^{2024}$.
આમ,$\frac{2}{\sqrt{3}} |\alpha^{2024} - \beta^{2024}| = 2^{2025}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -a = \frac{1}{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = -\frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{37}{8} = (\frac{1}{2})^3 - 3b(\frac{1}{2})$
$\frac{37}{8} = \frac{1}{8} - \frac{3b}{2}$
$\frac{36}{8} = -\frac{3b}{2}$
$\frac{9}{2} = -\frac{3b}{2} \Rightarrow b = -3$.
છેલ્લે,$a-\frac{1}{b}$ ની ગણતરી કરતા:
$a-\frac{1}{b} = -\frac{1}{2} - (\frac{1}{-3}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{-3+2}{6} = -\frac{1}{6}$.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ $2x^2+ax-2=0$ અને $x^2+x+2a=0$ સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી $2\alpha^2+a\alpha-2=0$ અને $\alpha^2+\alpha+2a=0$.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2\alpha^2+2\alpha+4a=0$ મળે છે.
આને પ્રથમ સમીકરણમાંથી બાદ કરતા: $(a-2)\alpha - 2 - 4a = 0$,તેથી $\alpha = \frac{4a+2}{a-2}$.
$\alpha$ ની કિંમત $x^2+x+2a=0$ માં મૂકતા: $(\frac{4a+2}{a-2})^2 + \frac{4a+2}{a-2} + 2a = 0$.
$a \neq 0$ માટે આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $a = -3$ મળે છે.
$a = -3$ ને $ax^2-4x-2a=0$ માં મૂકતા,આપણને $-3x^2-4x+6=0$ અથવા $3x^2+4x-6=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-6)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{22}}{3}$.
આમ,એક બીજ $\frac{-2+\sqrt{22}}{3}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: $3x^2 + (2k + 1)x - 5k = 0$.
અહીં $a = 3$,$b = (2k + 1)$,અને $c = -5k$.
$D = (2k + 1)^2 - 4(3)(-5k) = 0$.
$4k^2 + 4k + 1 + 60k = 0$.
$4k^2 + 64k + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \frac{-64 \pm \sqrt{4080}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{255}}{2}$.
શરત $-\frac{1}{2} < k < 0$ મુજબ,$k = \frac{-16 + \sqrt{255}}{2}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $f(x) = -3x^2 + 6x + 7$ છે.
$ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,$a = -3, b = 6, c = 7$ મળે.
અંતિમ કિંમત $x = \alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-3)} = 1$ આગળ મળે છે.
અંતિમ કિંમત $\beta = f(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 7 = 10$ છે.
હવે,સમીકરણ $x^2 + \alpha x - \beta = 0$ એ $x^2 + x - 10 = 0$ બને છે.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે.
તો $x_1 + x_2 = -1$ અને $x_1x_2 = -10$.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$x_1^2 + x_2^2 = (-1)^2 - 2(-10) = 1 + 20 = 21$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x-1}{\sqrt{2x^2-5x+2}} = \frac{41}{60}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{x^2-2x+1}{2x^2-5x+2} = \frac{1681}{3600}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3600(x^2-2x+1) = 1681(2x^2-5x+2)$.
$3600x^2 - 7200x + 3600 = 3362x^2 - 8405x + 3362$.
$238x^2 + 1205x + 238 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(34x + 7)(7x + 34) = 0$.
તેથી,$x = -\frac{7}{34}$ અથવા $x = -\frac{34}{7}$.
કારણ કે $-\frac{1}{2} < \alpha < 0$ અને $-\frac{7}{34} \approx -0.205$ જ્યારે $-\frac{34}{7} \approx -4.857$,તેથી બીજ $\alpha = -\frac{7}{34}$ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^3 + bx^2 + bx + 3 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3(x^3 + 1) + bx(x + 1) = 0$.
$3(x + 1)(x^2 - x + 1) + bx(x + 1) = 0$.
$(x + 1)(3x^2 - 3x + 3 + bx) = 0$.
$(x + 1)(3x^2 + (b - 3)x + 3) = 0$.
એક બીજ $x = -1$ છે. બાકીના બે બીજ $3x^2 + (b - 3)x + 3 = 0$ ના બીજ છે.
$f(x) = 3x^2 + (b - 3)x + 3$ ધારો.
$A$ માટે: બધા બીજ ઋણ છે. જો $b = 9$,$f(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$. બીજ $-1, -1, -1$ છે. બધા ઋણ છે. તેથી $A \rightarrow IV$.
$B$ માટે: બે બીજ સંકર છે. વિવેચક $D < 0 \Rightarrow (b - 3)^2 - 4(3)(3) < 0 \Rightarrow (b - 3)^2 < 36 \Rightarrow -6 < b - 3 < 6 \Rightarrow -3 < b < 9$. તેથી $B \rightarrow II$.
$C$ માટે: બે બીજ ધન છે. જો $b = -3$,$f(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$. બીજ $-1, 1, 1$ છે. બે ધન છે. તેથી $C \rightarrow V$.
$D$ માટે: બધા બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે. $D > 0$ અને $f(-1) \neq 0$. $D = (b - 3)^2 - 36 > 0 \Rightarrow b \in (-\infty, -3) \cup (9, \infty)$. તેમજ $f(-1) = 3 - (b - 3) + 3 = 9 - b \neq 0 \Rightarrow b \neq 9$. તેથી $D \rightarrow III$.
આમ,$A-IV, B-II, C-V, D-III$.

(B) ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે જેથી $\alpha+\beta=0$,જેનો અર્થ છે $\beta=-\alpha$.
$\alpha$ અને $-\alpha$ બીજ હોવાથી,બહુપદી $(x-\alpha)(x+\alpha) = x^2-\alpha^2$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે અન્ય બે બીજ $\gamma$ અને $\delta$ છે. તો $(x^2-\alpha^2)(x^2-Sx+P) = x^4-Sx^3+(P-\alpha^2)x^2+S\alpha^2x-P\alpha^2 = x^4-x^3-16x^2+4x+48$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$S=1$
$P-\alpha^2=-16$
$S\alpha^2=4$ $\Rightarrow 1 \cdot \alpha^2=4$ $\Rightarrow \alpha^2=4$.
આમ,$\alpha=2, \beta=-2$.
$P-\alpha^2=-16$ પરથી,આપણને $P-4=-16 \Rightarrow P=-12$ મળે છે.
વળી,$-P\alpha^2=48 \Rightarrow -(-12)(4)=48$,જે સુસંગત છે.
$S=\gamma+\delta=1$ અને $P=\gamma\delta=-12$ હોવાથી,$\gamma^2+\delta^2 = (\gamma+\delta)^2-2\gamma\delta = 1^2-2(-12) = 1+24=25$.
તેથી $\gamma^4+\delta^4 = (\gamma^2+\delta^2)^2-2\gamma^2\delta^2 = 25^2-2(-12)^2 = 625-288=337$.
અંતે,$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4+\delta^4 = 2^4+(-2)^4+337 = 16+16+337 = 369$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{2}$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{5}{2}$
$\alpha \beta \gamma = \frac{7}{2}$
આપણે $\sum \alpha^2 \beta^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \alpha \beta, b = \beta \gamma, c = \gamma \alpha$:
$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + 2(\alpha \beta^2 \gamma + \beta \gamma^2 \alpha + \gamma \alpha^2 \beta)$
$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = \sum \alpha^2 \beta^2 + 2 \alpha \beta \gamma(\beta + \gamma + \alpha)$
કિંમતો મૂકતા:
$(\frac{5}{2})^2 = \sum \alpha^2 \beta^2 + 2(\frac{7}{2})(\frac{3}{2})$
$\frac{25}{4} = \sum \alpha^2 \beta^2 + \frac{21}{2}$
$\sum \alpha^2 \beta^2 = \frac{25}{4} - \frac{42}{4} = -\frac{17}{4}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $8x^3 - 42x^2 + 63x - 27 = 0$ . . . $(i)$
$\alpha, \beta, \gamma$ એ $(i)$ ના બીજ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = \frac{27}{8}$ થાય.
$\beta, \gamma, \alpha$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$\gamma^2 = \beta \alpha$ થાય.
તેથી,$\gamma \cdot \gamma^2 = \frac{27}{8} \implies \gamma^3 = \frac{27}{8} \implies \gamma = \frac{3}{2}$.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$.
$\alpha + \beta = \frac{21}{4} - \frac{3}{2} = \frac{15}{4}$ અને $\alpha \beta = \frac{9}{4}$ હોવાથી,$\alpha$ અને $\beta$ એ $4t^2 - 15t + 9 = 0$ ના બીજ છે,જે ઉકેલતા $t = \frac{3}{4}$ અથવા $t = 3$ મળે.
$\beta < \gamma < \alpha$ હોવાથી,$\beta = \frac{3}{4}, \gamma = \frac{3}{2}, \alpha = 3$.
પદાવલિ $\frac{3}{2}x^2 + 3x + 3$ નું અંતિમ મૂલ્ય $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$ સૂત્રથી મેળવતા:
$\frac{4(\frac{3}{2})(3) - (3)^2}{4(\frac{3}{2})} = \frac{18 - 9}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3 + 3 x^2 - 10 x - 24 = 0$ છે.
પૂર્ણાંક બીજ ચકાસતા,$x = 3$ માટે: $(3)^3 + 3(3)^2 - 10(3) - 24 = 27 + 27 - 30 - 24 = 0$.
તેથી,$(x - 3)$ એક અવયવ છે.
બહુપદીને $(x - 3)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - 3)(x^2 + 6 x + 8) = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત ભાગના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 4)(x + 2) = 0$.
બીજ $3, -2, -4$ છે.
$\alpha > \beta > \gamma$ આપેલ હોવાથી,$\alpha = 3, \beta = -2, \gamma = -4$ મળે.
આ કિંમતોને $\alpha^3 + 3 \beta^2 - 10 \gamma - 24$ માં મૂકતા:
$(3)^3 + 3(-2)^2 - 10(-4) - 24 = 27 + 12 + 40 - 24 = 55$.
$55 = 11 k$ આપેલ હોવાથી,$k = 5$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $12 x^{1/3} - 25 x^{1/6} + 12 = 0$.
ધારો કે $t = x^{1/6}$. તો સમીકરણ $12 t^2 - 25 t + 12 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $12 t^2 - 16 t - 9 t + 12 = 0 \Rightarrow 4 t(3 t - 4) - 3(3 t - 4) = 0$.
$(4 t - 3)(3 t - 4) = 0$,તેથી $t = \frac{3}{4}$ અથવા $t = \frac{4}{3}$.
$\alpha > \beta$ હોવાથી અને $x^{1/6} = t$,આપણને $\alpha^{1/6} = \frac{4}{3}$ અને $\beta^{1/6} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
આપણે $\sqrt[6]{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\alpha^{1/6}}{\beta^{1/6}}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4/3}{3/4} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^3-3x^2+3x+7=0$.
આને $(x-1)^3 + 8 = 0$ તરીકે લખી શકાય,તેથી $(x-1)^3 = -8$.
આમ,$x-1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$.
બીજ $\alpha = -1, \beta = 1-2\omega, \gamma = 1-2\omega^2$ છે.
ધારો કે $y = x-h$,તેથી $x = y+h$. સમીકરણમાં મૂકતા: $(y+h-1)^3 + 8 = 0$.
$y^2$ અને $y$ પદો ગેરહાજર રહે તે માટે,$h-1 = 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $h=1$.
નવા બીજ $\alpha-h = -2, \beta-h = -2\omega, \gamma-h = -2\omega^2$ છે.
આપણે $S = \frac{\alpha-h}{\beta-h} + \frac{\beta-h}{\gamma-h} + \frac{\gamma-h}{\alpha-h}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$S = \frac{-2}{-2\omega} + \frac{-2\omega}{-2\omega^2} + \frac{-2\omega^2}{-2} = \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega} + \omega^2 = \omega^2 + \omega^2 + \omega^2 = 3\omega^2$.

(D) આપેલ સમીકરણ $f(x) = 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ છે. તેને બહુવિધ બીજ હોવાથી,ધારો કે $\alpha$ એ બહુવિધ બીજ છે. તેથી $f(\alpha) = 0$ અને $f'(\alpha) = 0$.
$f'(x) = 64x^3 + 48x^2 - 4$. $f'(\alpha) = 0$ લેતા $16\alpha^3 + 12\alpha^2 - 1 = 0$ મળે.
$f(\alpha) = 16\alpha^4 + 16\alpha^3 - 4\alpha - 1 = 0$ માં $16\alpha^3 = 1 - 12\alpha^2$ મૂકતા $16\alpha^4 + (1 - 12\alpha^2) - 4\alpha - 1 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $16\alpha^4 - 12\alpha^2 - 4\alpha = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા $4\alpha(4\alpha^3 - 3\alpha - 1) = 0$ મળે. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,$4\alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0$ ઉકેલતા $(\alpha - 1)(2\alpha + 1)^2 = 0$ મળે.
$\alpha = 1$ ને $f(x)$ માં મૂકતા $16+16-4-1 \neq 0$ મળે છે. તેથી,$\alpha = -\frac{1}{2}$ એ બહુવિધ બીજ છે.
$f(x)$ ને $(x + \frac{1}{2})^2 = (x^2 + x + \frac{1}{4})$ વડે ભાગતા,$16x^2 - 4 = 0$ મળે,તેથી $x = \pm \frac{1}{2}$.
બીજ $\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = -\frac{1}{2}, \delta = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી $\frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\beta^4} + \frac{1}{\gamma^4} + \frac{1}{\delta^4} = (-2)^4 + (-2)^4 + (-2)^4 + (2)^4 = 16 + 16 + 16 + 16 = 64$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $4x^3-3x^2+2x-1=0$ ના બીજ છે.
તેથી,$4\alpha^3=3\alpha^2-2\alpha+1$,$4\beta^3=3\beta^2-2\beta+1$ અને $4\gamma^3=3\gamma^2-2\gamma+1$.
સરવાળો કરતા: $4(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) = 3(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) - 2(\alpha+\beta+\gamma) + 3$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\alpha+\beta+\gamma = \frac{3}{4}$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{1}{2}$.
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\frac{3}{4})^2 - 2(\frac{1}{2}) = \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}$.
કિંમતો મૂકતા: $4(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) = 3(-\frac{7}{16}) - 2(\frac{3}{4}) + 3 = \frac{3}{16}$.
તેથી,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = \frac{3}{64}$.

(C) ધારો કે $z = (\sqrt{3}-i)^{2/5} = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))]^{2/5}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$5$ મૂલ્યો $z_k = 2^{2/5} [\cos(\frac{4k\pi}{5} - \frac{\pi}{15}) + i \sin(\frac{4k\pi}{5} - \frac{\pi}{15})]$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3, 4$.
સમીકરણ $z^5 = (\sqrt{3}-i)^2 = 2 - 2\sqrt{3}i$ ના બીજનો ગુણાકાર $(-1)^{n-1} c$ થાય છે.
અહીં $n=5$ અને $c = 2 - 2\sqrt{3}i$ છે.
તેથી,ગુણાકાર $= (-1)^{5-1} (2 - 2\sqrt{3}i) = 2 - 2\sqrt{3}i = 2(1 - \sqrt{3}i)$.

(A) આપેલ છે: $\frac{(2-i) x+(1+i)}{2+i}+\frac{(1-2 i) y+(1-i)}{1+2 i}=1-2 i$
પ્રથમ પદને $\frac{2-i}{2-i}$ વડે અને બીજા પદને $\frac{1-2i}{1-2i}$ વડે ગુણતા:
$\frac{(2-i)^2 x+(1+i)(2-i)}{5}+\frac{(1-2 i)^2 y+(1-i)(1-2 i)}{5}=1-2 i$
$\Rightarrow \frac{(3-4i)x + (3+i)}{5} + \frac{(-3-4i)y + (-1-3i)}{5} = 1-2i$
$\Rightarrow (3x-3y-1) + i(-4x-4y-2) = 5-10i$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$3x-3y-1 = 5 \Rightarrow 3x-3y = 6 \Rightarrow x-y = 2 \quad (i)$
$-4x-4y-2 = -10 \Rightarrow -4x-4y = -8 \Rightarrow x+y = 2 \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
$x=2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$2+y = 2 \Rightarrow y = 0$.
તેથી,$2x+4y = 2(2) + 4(0) = 4$.

(A) આપેલ છે $x+iy = \frac{13 \sqrt{-5+12i}}{(2-3i)(3+2i)}$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(2-3i)(3+2i) = 12-5i$.
$\sqrt{-5+12i} = 2+3i$ લેતા (કારણ કે $x, y > 0$ છે).
તેથી $x+iy = \frac{13(2+3i)}{12-5i} = \frac{13(2+3i)(12+5i)}{169} = \frac{9+46i}{13} = \frac{9}{13} + i\frac{46}{13}$.
તેથી $x = \frac{9}{13}$ અને $y = \frac{46}{13}$.
અંતે,$13y-26x = 13(\frac{46}{13}) - 26(\frac{9}{13}) = 46 - 18 = 28$.

(A) આપેલ સમીકરણ $z^2+az+a^2=0$ છે,જ્યાં $a \in R$.
આ $z$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$z = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(1)(a^2)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{-3a^2}}{2} = \frac{-a \pm i a \sqrt{3}}{2}$.
હવે,આપણે $z$ નો માનાંક શોધીએ:
$|z| = \left| \frac{-a}{2} \pm i \frac{a \sqrt{3}}{2} \right|$.
$|z| = \sqrt{\left( \frac{-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a \sqrt{3}}{2} \right)^2}$.
$|z| = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
આમ,$|z|=|a|$.

(C) આપેલ છે કે $|x|=1$ અને $\operatorname{Arg}(x)=2\alpha$,તેથી $x=e^{i 2\alpha}$.
આપેલ છે કે $|y|=1$ અને $\operatorname{Arg}(y)=3\beta$,તેથી $y=e^{i 3\beta}$.
તેથી $x^6 y^4 = (e^{i 2\alpha})^6 (e^{i 3\beta})^4 = e^{i 12\alpha} e^{i 12\beta} = e^{i 12(\alpha+\beta)}$.
આપેલ છે કે $\alpha+\beta = \frac{\pi}{36}$,આ કિંમત મૂકતા:
$x^6 y^4 = e^{i 12(\frac{\pi}{36})} = e^{i \frac{\pi}{3}}$.
હવે,$x^6 y^4 + \frac{1}{x^6 y^4} = e^{i \frac{\pi}{3}} + e^{-i \frac{\pi}{3}}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(A) આપેલ છે કે $|Z_1| = |Z_2| = |Z_3| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|Z|^2 = Z \overline{Z}$.
આપેલ છે કે $|Z_1-Z_2|^2+|Z_1-Z_3|^2=4$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$(Z_1-Z_2)(\overline{Z_1}-\overline{Z_2}) + (Z_1-Z_3)(\overline{Z_1}-\overline{Z_3}) = 4$.
$Z_1\overline{Z_1} - Z_1\overline{Z_2} - \overline{Z_1}Z_2 + Z_2\overline{Z_2} + Z_1\overline{Z_1} - Z_1\overline{Z_3} - \overline{Z_1}Z_3 + Z_3\overline{Z_3} = 4$.
કારણ કે $|Z_1|^2 = |Z_2|^2 = |Z_3|^2 = 1$,તેથી:
$1 - (Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2) + 1 + 1 - (Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3) + 1 = 4$.
$4 - (Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2 + Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3) = 4$.
તેથી,$Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2 + Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3 = 0$.

(A) આપેલ છે $z = \frac{(2-i)(1+i)^3}{(1-i)^2}$.
પ્રથમ,$(1+i)^3 = -2 + 2i$ અને $(1-i)^2 = -2i$ મેળવીએ.
તેથી,$z = \frac{(2-i)(-2+2i)}{-2i} = \frac{(2-i)(1-i)}{i} = \frac{1-3i}{i} = -3-i$.
$z = -3-i$ એ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\operatorname{Arg}(z) = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $z=1-\sqrt{3} i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(z-1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1$.
તેથી,$z^3 - 3z^2 + 3z = (z-1)^3 + 1$.
$z = 1 - \sqrt{3} i$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(z-1) = (1 - \sqrt{3} i - 1) = -\sqrt{3} i$.
હવે,$(z-1)^3$ ની ગણતરી કરો:
$(-\sqrt{3} i)^3 = -(\sqrt{3})^3 \times i^3 = -3\sqrt{3} \times (-i) = 3\sqrt{3} i$.
અંતે,$z^3 - 3z^2 + 3z = 3\sqrt{3} i + 1 = 1 + 3\sqrt{3} i$.

(A) આપેલ છે $Z_1 = \sqrt{3} + i \sqrt{3} = \sqrt{6} e^{i \frac{\pi}{4}}$ અને $Z_2 = \sqrt{3} + i = 2 e^{i \frac{\pi}{6}}$.
તેથી $\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i \frac{\pi}{12}}$.
હવે,$\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{50\pi}{12}} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{25\pi}{6}}$.
કારણ કે $\frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$,તેથી $\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{\pi}{6}}$.
આ $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{\pi}{6}$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,બિંદુ $(x, y)$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે.

(C) સમીકરણ $x^2+2x+4=0$ ને $(x+1)^2+3=0$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = -1 \pm \sqrt{3}i$ મળે.
$\alpha$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\alpha = -1 + \sqrt{3}i = 2\text{cis}(\frac{2\pi}{3})$.
તેથી $\beta = -1 - \sqrt{3}i = 2\text{cis}(-\frac{2\pi}{3})$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha^{2024} = 2^{2024}\text{cis}(\frac{4\pi}{3})$ અને $\beta^{2024} = 2^{2024}\text{cis}(-\frac{4\pi}{3})$.
હવે,$\alpha^{2024}-\beta^{2024} = 2^{2024}(\text{cis}(\frac{4\pi}{3}) - \text{cis}(-\frac{4\pi}{3}))$.
$= 2^{2024}(i\sin(\frac{4\pi}{3}) - i\sin(-\frac{4\pi}{3})) = 2^{2024}(-i\sqrt{3}) = -2^{2024}\sqrt{3}i$.
$ik$ સાથે સરખાવતા,$k = -2^{2024}\sqrt{3}$ મળે.

(B) આપણી પાસે $(-64 i)^{5 / 6} = (64)^{5 / 6} \times (-i)^{5 / 6}$ છે.
કારણ કે $-i = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)}$,તેથી:
$(-64 i)^{5 / 6} = 32 \times (e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)})^{5 / 6} = 32 \times e^{i(\frac{15\pi}{12} + \frac{10k\pi}{6})}$.
$k = 3$ માટે,ઘાતાંક $i(\frac{15\pi}{12} + 5\pi) = i(\frac{5\pi}{4} + 5\pi) = i(\frac{25\pi}{4})$ થાય છે.
કારણ કે $\frac{25\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4}$,તેથી $e^{i(6\pi + \pi/4)} = e^{i\pi/4} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})$.
આમ,કિંમત $32(\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}) = 16\sqrt{2}(1+i)$ મળે છે.

(D) એકમના $n^{\text{th}}$ મૂળ $e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
$12^{\text{th}}$ એકમના મૂળ $e^{i \frac{k_1\pi}{6}}$ છે અને $30^{\text{th}}$ એકમના મૂળ $e^{i \frac{k_2\pi}{15}}$ છે.
સામાન્ય મૂળની સંખ્યા $\gcd(n, m)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\gcd(12, 30) = 6$.
તેથી,કુલ $6$ સામાન્ય મૂળ છે.

(C) ધારો કે $X = a+b\omega+c\omega^2$. નોંધો કે $\omega X = a\omega+b\omega^2+c$ અને $\omega^2 X = a\omega^2+b+c\omega$.
આપેલ પદાવલિ $\left(\frac{X}{c+a\omega+b\omega^2}\right)^k + \left(\frac{X}{b+a\omega^2+c\omega}\right)^l = 2$ છે.
કારણ કે $c+a\omega+b\omega^2 = \omega X$ અને $b+a\omega^2+c\omega = \omega^2 X$,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$\left(\frac{X}{\omega X}\right)^k + \left(\frac{X}{\omega^2 X}\right)^l = 2$
$\left(\frac{1}{\omega}\right)^k + \left(\frac{1}{\omega^2}\right)^l = 2$
$\omega^{-k} + \omega^{-2l} = 2$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,આપણી પાસે $\omega^{-k} = 1$ અને $\omega^{-2l} = 1$ હોવું જોઈએ.
આમ,$k$ એ $3$ નો ગુણક છે અને $l$ એ $3$ નો ગુણક છે.
તેથી,$2k+l$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-x+1=0$ છે. $\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2-\alpha+1=0$.
$\alpha$ વડે ભાગતા,$\alpha-1+\frac{1}{\alpha}=0$,તેથી $\alpha+\frac{1}{\alpha}=1$.
હવે,$\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2 = \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}+2 = 1^2 = 1$,જે સૂચવે છે કે $\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2} = -1$.
વળી,$\alpha^3+\frac{1}{\alpha^3} = (\alpha+\frac{1}{\alpha})(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}-1) = (1)(-1-1) = -2$.
$\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}$ માટે,આપણે $(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2})^2 = \alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}+2 = (-1)^2 = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,તેથી $\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4} = -1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1)^3 + (-1)^3 + (-2)^3 + (-1)^3 = 1 - 1 - 8 - 1 = -9$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{14}+x^9-x^5-1=0$
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $x^9(x^5+1) - 1(x^5+1) = 0$
$(x^9-1)(x^5+1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x^5 = -1$ અથવા $x^9 = 1$.
$x^5 = -1$ માટે,$x^5 = \cos(180^{\circ}) + i\sin(180^{\circ})$.
બીજ $x = \cos(\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{5}) + i\sin(\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{5})$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k=0, 1, 2, 3, 4$.
$k=0$ માટે,$x = \cos(36^{\circ}) + i\sin(36^{\circ})$.
ત્રિકોણમિતીય કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(36^{\circ}) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\sin(36^{\circ}) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
આમ,$x = \frac{\sqrt{5}+1}{4} + i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ એ એક બીજ છે.

(C) આપેલ છે $z = x + iy$.
સમીકરણ $|z - 1| + |z + i| = 2$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,$|(x - 1) + iy| + |x + i(y + 1)| = 2$ મળે.
આનો અર્થ $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2$ થાય.
પુનઃગોઠવણ કરતા,$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y + 1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 + 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$-2x - 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$-2$ વડે ભાગતા: $x + y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$.
સાદું રૂપ આપતા: $3x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 4y = 0$.

(C) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = \sqrt{5} - i \sqrt{15}$ છે.
$r(\cos \theta + i \sin \theta)$ સાથે સરખાવતા,$r = |z| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{15})^2} = \sqrt{5 + 15} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ મળે.
તેથી,$r^2 = 20$.
આપણને $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{-\sqrt{15}}{2 \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
તેથી $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = 2$.
અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$,તેથી $\operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{4}{3}$.
આ કિંમતોને $r^2(\sec \theta + 3 \operatorname{cosec}^2 \theta)$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$20 \times (2 + 3 \times \frac{4}{3}) = 20 \times (2 + 4) = 20 \times 6 = 120$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\frac{2z-i}{z-2} = \frac{2(x+iy)-i}{(x+iy)-2} = \frac{2x + i(2y-1)}{(x-2) + iy}$.
આને શુદ્ધ વાસ્તવિક બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(x-2) - iy$ વડે ગુણો:
$\frac{[2x + i(2y-1)][(x-2) - iy]}{(x-2)^2 + y^2} = \frac{2x(x-2) + y(2y-1) + i[(2y-1)(x-2) - 2xy]}{(x-2)^2 + y^2}$.
પદ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(2y-1)(x-2) - 2xy = 0$.
$2xy - 4y - x + 2 - 2xy = 0$.
$-x - 4y + 2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x + 4y - 2 = 0$ થાય છે.
છેદ $z-2 \neq 0$ હોવાથી,$(x, y) \neq (2, 0)$ હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
પદાવલિ $\frac{2z-i}{z+2i} = \frac{2(x+iy)-i}{(x+iy)+2i} = \frac{2x + i(2y-1)}{x + i(y+2)}$ છે.
આર્ગ્યુમેન્ટ શોધવા માટે,છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$\frac{2x + i(2y-1)}{x + i(y+2)} \times \frac{x - i(y+2)}{x - i(y+2)} = \frac{2x^2 + (2y-1)(y+2) + i[x(2y-1) - 2x(y+2)]}{x^2 + (y+2)^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $R = \frac{2x^2 + 2y^2 + 3y - 2}{x^2 + (y+2)^2}$ અને કાલ્પનિક ભાગ $I = \frac{-5x}{x^2 + (y+2)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $\text{Arg}\left(\frac{2z-i}{z+2i}\right) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{I}{R} = 1$.
આમ,$I = R$,જે સૂચવે છે કે $\frac{-5x}{x^2 + (y+2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 + 3y - 2}{x^2 + (y+2)^2}$.
આનું સાદું રૂપ $2x^2 + 2y^2 + 5x + 3y - 2 = 0$ મળે છે,જ્યાં $(x, y) \neq (0, -2)$.

(C) અંકો ${2, 3, 5, 7}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
દરેક અંક દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર સમાન સંખ્યામાં આવે છે,જે $\frac{24}{4} = 6$ વખત છે.
અંકોનો સરવાળો $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$ છે.
દરેક સ્થાન પરના મૂલ્યોનો સરવાળો $S \times 6 = 17 \times 6 = 102$ છે.
કુલ સરવાળો $102 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 102 \times 1111 = 113322$ થાય.

(A) સંખ્યાઓ $\{3, 5, 6, 7, 8\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $4$-અંકી સંખ્યાઓ છે.
સંખ્યાઓ $6000$ અને $10000$ ની વચ્ચે હોવાથી,પ્રથમ અંક $6, 7$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ.
કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $= 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.
બેકી સંખ્યા માટે,છેલ્લો અંક $6$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $6$ છે. છેલ્લો અંક $8$ હોવો જોઈએ. બાકીની $2$ જગ્યાઓ $3$ અંકો વડે $^3 P_2 = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $7$ છે. છેલ્લો અંક $6$ અથવા $8$ ($2$ રીતે) હોઈ શકે. બાકીની $2$ જગ્યાઓ $3$ અંકો વડે $^3 P_2 = 6$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 2 \times 6 = 12$.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ અંક $8$ છે. છેલ્લો અંક $6$ હોવો જોઈએ. બાકીની $2$ જગ્યાઓ $3$ અંકો વડે $^3 P_2 = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ $= 6 + 12 + 6 = 24$.
કુલ એકી સંખ્યાઓ $= 72 - 24 = 48$.
તફાવત $= 48 - 24 = 24$.
કારણ કે ${ }^4 P_3 = 24$,તેથી તફાવત ${ }^4 P_3$ છે.

(B) $0, 3, 6, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે જાણીએ છીએ કે આવી કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ છે.
પગલું $1$: ${0, 3, 6, 9}$ દ્વારા બનતી તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો (જેમાં $0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ પણ સામેલ છે).
અંકોનો સરવાળો $0+3+6+9 = 18$ છે. દરેક અંક દરેક સ્થાન પર $3! = 6$ વખત આવે છે.
દરેક સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $6 \times 18 = 108$ છે.
કુલ સરવાળો $108 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 108 \times 1111 = 119988$ છે.
પગલું $2$: ${3, 6, 9}$ દ્વારા બનતી તમામ $3$-અંકી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો (આ તે સંખ્યાઓ છે જે $4$-અંકી સેટમાં $0$ થી શરૂ થાય છે).
અંકોનો સરવાળો $3+6+9 = 18$ છે. દરેક અંક દરેક સ્થાન પર $2! = 2$ વખત આવે છે.
દરેક સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $2 \times 18 = 36$ છે.
આ સંખ્યાઓનો સરવાળો $36 \times (100 + 10 + 1) = 36 \times 111 = 3996$ છે.
પગલું $3$: કુલ સરવાળામાંથી $0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો બાદ કરો.
સરવાળો $= 119988 - 3996 = 115992$.

(A) $ACCOMMODATION$ શબ્દમાં $13$ અક્ષરો છે: $A-2, C-2, O-3, M-2, D-1, T-1, I-1, N-1$. કુલ $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: ${A, C, O, M, D, T, I, N}$.
$4$ અક્ષરો પસંદ કરવા માટે નીચેના કિસ્સાઓ ઉદ્ભવે છે:
$1$. $3$ સમાન અને $1$ ભિન્ન: ${O}$ માંથી $1$ અક્ષર અને બાકીના $7$ માંથી $1$ અક્ષર પસંદ કરતા: ${}^{1}C_{1} \times {}^{7}C_{1} = 7$.
$2$. $2$ સમાન અને $2$ સમાન: $4$ જોડીઓ ${A, C, O, M}$ માંથી $2$ પસંદ કરતા: ${}^{4}C_{2} = 6$.
$3$. $2$ સમાન અને $2$ ભિન્ન: $4$ જોડીઓમાંથી $1$ અને બાકીના $7$ માંથી $2$ પસંદ કરતા: ${}^{4}C_{1} \times {}^{7}C_{2} = 4 \times 21 = 84$.
$4$. બધા $4$ ભિન્ન: $8$ માંથી $4$ પસંદ કરતા: ${}^{8}C_{4} = 70$.
કુલ રીતો $= 7 + 6 + 84 + 70 = 167$.

(D) '$COLLEGE$' શબ્દના અક્ષરો $C, E, E, G, L, L, O$ છે. શબ્દકોશના ક્રમ મુજબ ગણતરી કરતા,'$COLLEGE$' શબ્દનો ક્રમ $179$ મળે છે.

(A) "$COMBINATIONS$" શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N, S$.
વ્યંજનો: $C, M, B, N, N, T, S$ ($7$ અક્ષરો,જેમાં $N$ બે વાર આવે છે).
સ્વરો: $O, I, A, I, O$ ($5$ અક્ષરો,જેમાં $O$ બે વાર અને $I$ બે વાર આવે છે).
પ્રથમ,$7$ વ્યંજનોને વર્તુળમાં ગોઠવો. વર્તુળમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. $N$ બે વાર આવતું હોવાથી,રીતોની સંખ્યા $\frac{(7-1)!}{2!} = \frac{6!}{2!}$ છે.
$7$ વ્યંજનો વચ્ચે $7$ જગ્યાઓ બને છે. આપણે $5$ સ્વરોને આ $7$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન આવે. $7$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${ }^{7}C_{5}$ છે.
$5$ સ્વરોને આ $5$ પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $O$ અને $I$ દરેક બે વાર આવતા હોવાથી,ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!2!}$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= \frac{6!}{2!} \times { }^{7}C_{5} \times \frac{5!}{2!2!} = \frac{7!6!}{(2!)^4}$.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ લઈને બનતા વર્તુળાકાર ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{n!}{r(n-r)!}$ છે.
$n_1$ માટે,$n=9$ અને $r=5$:
$n_1 = \frac{9!}{5(9-5)!} = \frac{9!}{5 \cdot 4!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
$n_2$ માટે,$8$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $4$ વસ્તુઓ લઈને બનતા રેખીય ક્રમચયોની સંખ્યા $P(8, 4) = \frac{8!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{9}{5}$.

(A) ધારો કે ભાગ $A, B, C$ માંથી આપેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા અનુક્રમે $a, b, c$ છે,જ્યાં $a+b+c=7$ અને $0 \le a \le 4, 0 \le b \le 3, 0 \le c \le 2$.
શક્ય સંયોજનો $(a, b, c)$ નીચે મુજબ છે:
$(4, 3, 0): \binom{7}{4} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{0} = 350$
$(4, 2, 1): \binom{7}{4} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} = 1050$
$(4, 1, 2): \binom{7}{4} \times \binom{5}{1} \times \binom{3}{2} = 525$
$(3, 3, 1): \binom{7}{3} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{1} = 1050$
$(3, 2, 2): \binom{7}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{2} = 1050$
$(2, 3, 2): \binom{7}{2} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{2} = 630$
કુલ રીતો $= 350 + 1050 + 525 + 1050 + 1050 + 630 = 4655$.

(D) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આપેલ અંકો $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
આપણે $S$ માંથી $3$ અંકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી તેમનો સરવાળો $3$ નો ગુણક હોય.
$3$ અંકોના શક્ય સેટ નીચે મુજબ છે:
$1) \{1, 3, 5\} \rightarrow \text{સરવાળો} = 9$ ($3$ વડે વિભાજ્ય)
$2) \{1, 5, 9\} \rightarrow \text{સરવાળો} = 15$ ($3$ વડે વિભાજ્ય)
$3) \{3, 5, 7\} \rightarrow \text{સરવાળો} = 15$ ($3$ વડે વિભાજ્ય)
$4) \{5, 7, 9\} \rightarrow \text{સરવાળો} = 21$ ($3$ વડે વિભાજ્ય)
આમ,$3$ અંકોના $4$ સેટ છે જેનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
દરેક સેટને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ સંખ્યા $= 4 \times 6 = 24$.

(C) ધારો કે $m_L, m_G$ એ માણસના સંબંધીઓમાંથી આમંત્રિત સ્ત્રીઓ અને પુરુષોની સંખ્યા છે,અને $w_L, w_G$ એ પત્નીના સંબંધીઓમાંથી આમંત્રિત સ્ત્રીઓ અને પુરુષોની સંખ્યા છે.
આપણે $m_L + w_L = 3$ અને $m_G + w_G = 3$ જોઈએ છે,જ્યાં $0 \le m_L, m_G \le 3$ અને $0 \le w_L, w_G \le 3$.
માણસ પાસે $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. પત્ની પાસે $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે.
$(m_L, m_G)$ અને $(w_L, w_G)$ માટે શક્ય કિસ્સાઓ:
$1$. $(m_L, m_G) = (0, 3)$ અને $(w_L, w_G) = (3, 0)$: રીતો $= {^4C_0} \times {^3C_3} \times {^3C_3} \times {^4C_0} = 1$.
$2$. $(m_L, m_G) = (1, 2)$ અને $(w_L, w_G) = (2, 1)$: રીતો $= {^4C_1} \times {^3C_2} \times {^3C_2} \times {^4C_1} = 144$.
$3$. $(m_L, m_G) = (2, 1)$ અને $(w_L, w_G) = (1, 2)$: રીતો $= {^4C_2} \times {^3C_1} \times {^3C_1} \times {^4C_2} = 324$.
$4$. $(m_L, m_G) = (3, 0)$ અને $(w_L, w_G) = (0, 3)$: રીતો $= {^4C_3} \times {^3C_0} \times {^3C_0} \times {^4C_3} = 16$.
કુલ રીતો $= 1 + 144 + 324 + 16 = 485$.

(C) $4$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને $6$ વ્યક્તિઓમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $= 6^4 = 1296$ છે.
દરેક વ્યક્તિ કોઈપણ સંખ્યામાં વસ્તુઓ મેળવી શકે છે.
કોઈ એક ચોક્કસ વ્યક્તિને બધી $4$ વસ્તુઓ મળે તેવી રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
કુલ $6$ વ્યક્તિઓ હોવાથી,એવી $6$ પરિસ્થિતિઓ છે જેમાં એક વ્યક્તિને બધી વસ્તુઓ મળે.
તેથી,કોઈ પણ વ્યક્તિને બધી વસ્તુઓ ન મળે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 1296 - 6 = 1290$ છે.

(C) $6$ અલગ વસ્તુઓમાંથી દરેકને $2$ બોક્સમાંથી કોઈ પણ એકમાં $2$ રીતે મૂકી શકાય છે.
કુલ $6$ વસ્તુઓ હોવાથી,તેમને વહેંચવાની કુલ રીતો $2^6 = 64$ છે.
જોકે,આમાં $2$ કિસ્સાઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં એક બોક્સ ખાલી રહે છે (એટલે કે,બધી $6$ વસ્તુઓ પહેલા બોક્સમાં હોય,અથવા બધી $6$ વસ્તુઓ બીજા બોક્સમાં હોય).
શરત મુજબ કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે આ $2$ કિસ્સાઓને બાદ કરીએ છીએ.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$.

(C) આપેલ છે $f(x) f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$.
ધારો કે $f(x) = x^2 + 1$ એ દ્વિઘાત વિધેય છે.
કિંમતો શોધતા:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} + 1 = \frac{13}{9}$.
$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$.
હવે,$\sqrt{f\left(\frac{2}{3}\right) + f\left(\frac{3}{2}\right)} = \sqrt{\frac{13}{9} + \frac{13}{4}} = \sqrt{\frac{169}{36}} = \frac{13}{6}$.

(A) $A(1, -2, 1)$ અને $B(2, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1} = K$ છે.
રેખા $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D(\alpha, \beta, \gamma) = (K+1, K-2, K+1)$ સ્વરૂપમાં મળે.
રેખા $AB$ ના દિક્ગુણોત્તરો $\langle 1, 1, 1 \rangle$ છે.
સદિશ $\vec{CD} = (\alpha-1, \beta-2, \gamma-3) = (K, K-4, K-2)$ થાય.
$CD \perp AB$ હોવાથી,$\vec{CD}$ અને રેખા $AB$ ના દિક્ગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(K) + 1(K-4) + 1(K-2) = 0$.
$3K - 6 = 0 \Rightarrow K = 2$.
$K=2$ મૂકતા,$\alpha = 3, \beta = 0, \gamma = 3$ મળે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3^2 + 0^2 + 3^2 = 18$.

(B) બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમરેખ હોવાથી,તેઓ $D(-5, 6, 1)$ માંથી પસાર થતી એક જ રેખા પર આવેલા છે.
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(p, q, r)$ ધારો. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+5}{p} = \frac{y-6}{q} = \frac{z-1}{r} = k$ છે.
બિંદુ $A(-2, 4, a)$ માટે: $\frac{3}{p} = \frac{-2}{q} = \frac{a-1}{r}$.
બિંદુ $B(1, b, 3)$ માટે: $\frac{6}{p} = \frac{b-6}{q} = \frac{2}{r}$.
બિંદુ $C(c, 0, 4)$ માટે: $\frac{c+5}{p} = \frac{-6}{q} = \frac{3}{r}$.
ગણતરી કરતા $c=4, b=2, a=2$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c = 2+2+4 = 8$.

(B) ધારો કે $V = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{k=1}^{n} \left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log V = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)$.
આ $\int_{0}^{1} f(x) dx$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે જ્યાં $f(x) = \log(1+x^2)$:
$\log V = \int_{0}^{1} \log(1+x^2) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \log(1+x^2) dx = x \log(1+x^2) - 2x + 2 \tan^{-1}(x)$.
$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્ય શોધતા:
$\log V = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$V = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi}{2}-2}$.

(C) વક્ર $y = 8x^3 - 1$ એ $x$-અક્ષ $(y=0)$ ને $8x^3 - 1 = 0$ પર છેદે છે,જે $x^3 = \frac{1}{8}$ આપે છે,તેથી $x = \frac{1}{2}$.
$x \in [-1, \frac{1}{2}]$ માટે,$y \le 0$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} -(8x^3 - 1) dx = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - 8x^3) dx$ થશે.
$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ માટે,$y \ge 0$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $\int_{\frac{1}{2}}^{1} (8x^3 - 1) dx$ થશે.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - 8x^3) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (8x^3 - 1) dx$.
$= [x - 2x^4]_{-1}^{\frac{1}{2}} + [2x^4 - x]_{\frac{1}{2}}^{1}$.
$= ((\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{16})) - (-1 - 2(1))) + ((2(1) - 1) - (2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2}))$.
$= ((\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) - (-3)) + (1 - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2}))$.
$= (\frac{3}{8} + 3) + (1 - (-\frac{3}{8}))$.
$= \frac{27}{8} + \frac{11}{8} = \frac{38}{8} = \frac{19}{4}$ ચોરસ એકમ.

(D) વક્રો $y^2=4(x+7)$ અને $y^2=5(2-x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y^2$ માટેના પદોને સરખાવતા:
$4(x+7) = 5(2-x)$
$4x + 28 = 10 - 5x$
$9x = -18$
$x = -2$
$x = -2$ ને $y^2 = 4(x+7)$ માં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4(-2+7) = 4(5) = 20$ મળે છે,તેથી $y = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.
છેદબિંદુઓ $(-2, 2\sqrt{5})$ અને $(-2, -2\sqrt{5})$ છે.
બંને વક્રો માટે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$y^2 = 4(x+7)$ માટે,$x = \frac{y^2}{4} - 7$.
$y^2 = 5(2-x)$ માટે,$x = 2 - \frac{y^2}{5}$.
ક્ષેત્રફળ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં $-2\sqrt{5}$ થી $2\sqrt{5}$ સુધીનું સંકલન છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} \left[ (2 - \frac{y^2}{5}) - (\frac{y^2}{4} - 7) \right] dy$
$= \int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} (9 - \frac{9y^2}{20}) dy$
$= \left[ 9y - \frac{9y^3}{60} \right]_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} = \left[ 9y - \frac{3y^3}{20} \right]_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}}$
$= \left( 9(2\sqrt{5}) - \frac{3(2\sqrt{5})^3}{20} \right) - \left( 9(-2\sqrt{5}) - \frac{3(-2\sqrt{5})^3}{20} \right)$
$= 2 \left( 18\sqrt{5} - \frac{3(8 \times 5\sqrt{5})}{20} \right)$
$= 2 \left( 18\sqrt{5} - 6\sqrt{5} \right) = 2(12\sqrt{5}) = 24\sqrt{5}$.

(D) આપેલ વક્રો $y^2 = 4(x+1)$ અને $y^2 = 5(x-4)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $x$ ની કિંમતો સરખાવો:
$x = \frac{y^2}{4} - 1$ અને $x = \frac{y^2}{5} + 4$.
$\frac{y^2}{4} - 1 = \frac{y^2}{5} + 4$
$\frac{y^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 5$
$\frac{y^2}{20} = 5 \implies y^2 = 100 \implies y = \pm 10$.
જ્યારે $y = 10$, ત્યારે $x = \frac{100}{4} - 1 = 24$. તેથી, છેદબિંદુઓ $(24, 10)$ અને $(24, -10)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-10}^{10} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-10}^{10} [(\frac{y^2}{4} - 1) - (\frac{y^2}{5} + 4)] dy = \int_{-10}^{10} (\frac{y^2}{20} - 5) dy = 2 \int_{0}^{10} (\frac{y^2}{20} - 5) dy = 2 [\frac{y^3}{60} - 5y]_0^{10} = 2 [\frac{1000}{60} - 50] = 2 [\frac{50}{3} - 50] = 2 [-\frac{100}{3}] = -200/3$. નિરપેક્ષ મૂલ્ય લેતા, ક્ષેત્રફળ $= 200/3$.

(B) આપેલ સમીકરણો $ay = x^2$ અને $x + y = 2a$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = \frac{x^2}{a}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + \frac{x^2}{a} = 2a$.
$a$ વડે ગુણતા,આપણને $ax + x^2 = 2a^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + ax - 2a^2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2a)(x - a) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $x = -2a$ અને $x = a$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{-2a}^{a} (2a - x - \frac{x^2}{a}) dx$.
પદવાર સંકલન કરતા:
$A = [2ax - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3a}]_{-2a}^{a}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$A = (2a^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{3}) - (-4a^2 - 2a^2 + \frac{8a^2}{3}) = \frac{9}{2}a^2$.
ક્ષેત્રફળ $ka^2$ હોવાથી,$k = \frac{9}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $5 A^{-1}=\begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
બંને બાજુ $A$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$5 I = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3x+4y & 2x-y & 2x-y \\ 2x-y & -3x+4y & 2x-y \\ 2x-y & 2x-y & -3x+4y \end{bmatrix}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$-3x+4y=5$ અને $2x-y=0$ મળે છે.
$2x-y=0$ પરથી,$y=2x$ મળે. પ્રથમ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-3x+4(2x)=5 \Rightarrow 5x=5 \Rightarrow x=1$.
તેથી $y=2(1)=2$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ સમીકરણ $5 A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$5 A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = A - 4 I$.
જમણી બાજુ $A$ વડે ગુણતા: $5 I = A^2 - 4 A$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $AA^T$ ની ગણતરી કરીએ:
$AA^T = \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}9 & 1 & 7 \\ 3 & 5 & 6 \\ 0 & 8 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}90 & 24 & 81 \\ 24 & 90 & 53 \\ 81 & 53 & 89\end{array}\right]$
ત્યારબાદ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}84 & 42 & 24 \\ 70 & 76 & 56 \\ 83 & 63 & 52\end{array}\right]$
હવે,$AA^T - A^2$ શોધો:
$AA^T - A^2 = \left[\begin{array}{ccc}90-84 & 24-42 & 81-24 \\ 24-70 & 90-76 & 53-56 \\ 81-83 & 53-63 & 89-52\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6 & -18 & 57 \\ -46 & 14 & -3 \\ -2 & -10 & 37\end{array}\right]$
બધા ઘટકો $a_{ij}$ નો સરવાળો:
$\sum a_{ij} = 6 - 18 + 57 - 46 + 14 - 3 - 2 - 10 + 37 = 35$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$.
દરેક હારનો સરવાળો $6$ છે:
$a_{11} + a_{12} + a_{13} = 6 \dots (i)$
$a_{21} + a_{22} + a_{23} = 6 \dots (ii)$
$a_{31} + a_{32} + a_{33} = 6 \dots (iii)$
વિકર્ણ ઘટકો પરની શરત મુજબ:
$a_{11} = a_{12} + a_{21} \dots (iv)$
$a_{22} = a_{23} + a_{32} = 2 \dots (v)$
$a_{33} = a_{13} + a_{31} \dots (vi)$
ઘટકો ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(v)$ પરથી,$a_{23} = 1$ અને $a_{32} = 1$. $(ii)$ માં મૂકતા,$a_{21} + 2 + 1 = 6 \Rightarrow a_{21} = 3$.
$(iv)$ પરથી,$a_{11} = a_{12} + 3$. $(i)$ માં મૂકતા,$(a_{12} + 3) + a_{12} + a_{13} = 6 \Rightarrow 2a_{12} + a_{13} = 3$. $a_{ij} \ge 1$ હોવાથી,$a_{12} = 1, a_{13} = 1$ અને $a_{11} = 4$ મળે.
$(iii)$ અને $(vi)$ પરથી,$a_{31} + a_{32} + a_{33} = 6 \Rightarrow a_{31} + 1 + a_{33} = 6 \Rightarrow a_{31} + a_{33} = 5$. વળી $a_{33} = a_{13} + a_{31} = 1 + a_{31}$.
$a_{33}$ ની કિંમત સરવાળામાં મૂકતા,$a_{31} + (1 + a_{31}) = 5 \Rightarrow 2a_{31} = 4 \Rightarrow a_{31} = 2$,તેથી $a_{33} = 3$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 4(6 - 1) - 1(9 - 2) + 1(3 - 4) = 4(5) - 1(7) + 1(-1) = 20 - 7 - 1 = 12$.

(C) આપેલ છે કે $A^2+I=2 A$,તેથી $A^2=2 A-I$.
$A$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $A^3=2 A^2-A=2(2 A-I)-A=4 A-2 I-A=3 A-2 I$.
હવે,$A^6 = A^3 \cdot A^3 = (3 A-2 I)(3 A-2 I) = 9 A^2-12 A+4 I$.
$A^2=2 A-I$ મૂકતા,આપણને મળે $A^6 = 9(2 A-I)-12 A+4 I = 18 A-9 I-12 A+4 I = 6 A-5 I$.
અંતે,$A^9 = A^6 \cdot A^3 = (6 A-5 I)(3 A-2 I) = 18 A^2-12 A-15 A+10 I = 18 A^2-27 A+10 I$.
ફરીથી $A^2=2 A-I$ મૂકતા,$A^9 = 18(2 A-I)-27 A+10 I = 36 A-18 I-27 A+10 I = 9 A-8 I$.

(A) આપેલ છે કે $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-AB + BA = 0$,એટલે કે $AB = BA$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2 & y+4 \\ 2x+1 & 2y+2 \end{bmatrix}$.
$BA$ ની ગણતરી કરતા: $\begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2y & 2x+y \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$.
બંને શ્રેણિકોને સરખાવતા:
$2x+1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
$2y+2 = 4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
આપેલ છે કે $C = \begin{bmatrix} x & 2 \\ 1 & y \end{bmatrix}$,તેથી $C$ નો ટ્રેસ તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે: $\operatorname{Trace}(C) = x + y = 2 + 1 = 3$.

(B) આપેલ છે કે $A+B$ સંમિત છે,તેથી $(A+B)^T = A+B \Rightarrow A^T+B^T = A+B$.
આપેલ છે કે $A-B$ વિસંમિત છે,તેથી $(A-B)^T = -(A-B) \Rightarrow A^T-B^T = -A+B$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2A^T = 2B \Rightarrow B = A^T$.
આ બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2B^T = 2A \Rightarrow B^T = A$.
અહીં $A = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -2 \\ 3 & -4 & 5\end{array}\right]$ હોવાથી,$B = A^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right]$ મળે.
આપેલ છે કે $D = C^T$,અને $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$,તેથી $D = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$B+D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 6 & 3 \\ 3 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 6\end{array}\right]$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $M$ માટે,$|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ થાય છે.
તેથી,$|(\operatorname{Adj}(AB))^{-1}| = \frac{1}{|\operatorname{Adj}(AB)|}$.
ગુણધર્મ $\operatorname{Adj}(AB) = (\operatorname{Adj} B)(\operatorname{Adj} A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\operatorname{Adj}(AB)| = |\operatorname{Adj} B| \cdot |\operatorname{Adj} A| = y \cdot x = xy$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$|(\operatorname{Adj}(AB))^{-1}| = \frac{1}{xy}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ (adjoint) ગુણધર્મ $\operatorname{Adj}\left(A^{-1}\right)=(\operatorname{Adj} A)^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ શ્રેણિકોનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે જ્યાં એડજોઈન્ટ પ્રક્રિયા અને વ્યસ્ત પ્રક્રિયા એકબીજા સાથે ક્રમનો નિયમ પાળે છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right|$.
$R_1$ ને $c$ વડે,$R_2$ ને $a$ વડે,અને $R_3$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2 & c^2 & c^2 \\ a^2 & b^2+c^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ અને $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2-c^2 & 0 & c^2 \\ 0 & b^2+c^2-a^2 & a^2 \\ b^2-c^2-a^2 & b^2-a^2-c^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$.
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1 + R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2-c^2 & 0 & c^2 \\ 0 & b^2+c^2-a^2 & a^2 \\ 2b^2-2c^2 & 2b^2-2a^2 & 2a^2+2c^2 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $\Delta = 4abc$ મળે છે.

(B) પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(4-3) - 2(6-3) + 2(3-2) = 1(1) - 2(3) + 2(1) = 1 - 6 + 2 = -3$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક $adj(A)$ શોધીએ. સહઅવયવોનો શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = (4-3) = 1, C_{12} = -(6-3) = -3, C_{13} = (3-2) = 1$
$C_{21} = -(4-2) = -2, C_{22} = (2-2) = 0, C_{23} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (6-4) = 2, C_{32} = -(3-6) = 3, C_{33} = (2-6) = -4$
તેથી,$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$.
હવે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો:
$-\frac{1}{3} (1 - 3 + 1 - 2 + 0 + 1 + 2 + 3 - 4) = -\frac{1}{3} (-1) = \frac{1}{3}$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે $\Delta_1$ ને સરળ બનાવીએ:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 1 & b^2 & ca \\ 1 & c^2 & ab\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 0 & b^2-a^2 & c(a-b) \\ 0 & c^2-a^2 & b(a-c)\end{array}\right| = (b-a)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 0 & b+a & -c \\ 0 & c+a & -b\end{array}\right|$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા: $(b-a)(c-a) [-(b+a)b + c(c+a)] = (b-a)(c-a) [-b^2-ab+c^2+ac] = (b-a)(c-a) [(c-b)(c+b) + a(c-b)] = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c) = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
ત્યારબાદ,આપણે $\Delta_2$ ને સરળ બનાવીએ:
$\Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{11}$,તેથી $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)} = \frac{a+b+c}{ab+bc+ca} = \frac{6}{11}$.
તેથી,$11(a+b+c) = 6(ab+bc+ca)$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\frac{-bc}{a^2} & \frac{c}{a} & \frac{b}{a} \\ \frac{c}{b} & \frac{-ac}{b^2} & \frac{a}{b} \\ \frac{b}{c} & \frac{a}{c} & \frac{-ab}{c^2}\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકને $a^2b^2c^2$ વડે ભાગતા અને ગુણતા:
$\Delta = \frac{1}{a^2b^2c^2} \left|\begin{array}{ccc}-bc & ac & ab \\ bc & -ac & ab \\ bc & ac & -ab\end{array}\right|$.
હવે $C_1$ માંથી $a$,$C_2$ માંથી $b$ અને $C_3$ માંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{a^2b^2c^2} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right| = \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \frac{1}{abc} [(-1)(0 - 4)] = \frac{4}{abc}$.
આ પ્રકારના નિશ્ચાયકનું પ્રમાણિત મૂલ્ય $4$ મળે છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}x-2 & 3(x-1) & 5(x-1) \\ x-4 & 3(x-3) & 5(x-5) \\ x-8 & 3(x-9) & 5(x-25)\end{array}\right|=0$.
$C_2$ અને $C_3$ માંથી અનુક્રમે $3$ અને $5$ સામાન્ય લેતા: $15 \left|\begin{array}{ccc}x-2 & x-1 & x-1 \\ x-4 & x-3 & x-5 \\ x-8 & x-9 & x-25\end{array}\right|=0$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા કરતા: $\left|\begin{array}{ccc}x-2 & 0 & x-1 \\ x-4 & 2 & x-5 \\ x-8 & 16 & x-25\end{array}\right|=0$.
$C_2$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા: $-2((x-2)(x-25) - (x-1)(x-8)) + 16((x-2)(x-5) - (x-1)(x-4)) = 0$.
$-2(x^2-27x+50 - (x^2-9x+8)) + 16(x^2-7x+10 - (x^2-5x+4)) = 0$.
$-2(-18x+42) + 16(-2x+6) = 0$.
$36x - 84 - 32x + 96 = 0 \Rightarrow 4x + 12 = 0 \Rightarrow x = -3$.
$x = -3$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$x^2+2x-3=0$ માં $x = -3$ મુકતા,$(-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.
આમ,$x = -3$ એ $x^2+2x-3=0$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ $\left|\begin{array}{ccc}x & 2 & 2 \\ 2 & x & 2 \\ 2 & 2 & x\end{array}\right|=0$ છે.
$C_1 \rightarrow C_1-C_2$ અને $C_2 \rightarrow C_2-C_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\left|\begin{array}{ccc}x-2 & 0 & 2 \\ 2-x & x-2 & 2 \\ 0 & 2-x & x\end{array}\right|=0$.
$C_1$ અને $C_2$ માંથી $(x-2)$ સામાન્ય લેતા:
$(x-2)^2 \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & x\end{array}\right|=0$.
$R_2 \rightarrow R_2+R_1$ લાગુ પાડતા:
$(x-2)^2 \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & x\end{array}\right|=0$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)^2 [1(x+4)-0+0]=0 \Rightarrow (x-2)^2(x+4)=0$.
બીજ $x = 2, 2, -4$ છે.
આપેલ છે કે $\min(\alpha, \beta, \gamma) = \alpha$,તેથી $\alpha = -4$,$\beta = 2$,અને $\gamma = 2$.
કિંમત શોધતા: $2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 2(-4) + 3(2) + 4(2) = -8 + 6 + 8 = 6$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - (-6)) - (-2)(3 - (-4)) + 3(9 - 2) = 1(7) + 2(7) + 3(7) = 7 + 14 + 21 = 42$.
$D \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
$z$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,$z = \frac{D_z}{D}$,જ્યાં $D_z$ એ ત્રીજા સ્તંભને અચળ પદો દ્વારા બદલીને મેળવેલ નિશ્ચાયક છે:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 1(6 - 21) - (-2)(18 - 14) + 4(9 - 2) = 1(-15) + 2(4) + 4(7) = -15 + 8 + 28 = 21$.
તેથી,$z = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$3x - 4y + z = -7$
$2x + 3y - z = 10$
$x - 2y - 3z = 3$
તેને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = B$ માં દર્શાવતા:
$A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} -7 \\ 10 \\ 3 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 3(-9 - 2) + 4(-6 + 1) + 1(-4 - 3) = 3(-11) + 4(-5) + 1(-7) = -33 - 20 - 7 = -60$
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય છે.
$x = \alpha$ માટે ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$D_x = \begin{vmatrix} -7 & -4 & 1 \\ 10 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -7(-9 - 2) + 4(-30 + 3) + 1(-20 - 9) = -7(-11) + 4(-27) + 1(-29) = 77 - 108 - 29 = -60$
આમ,$\alpha = \frac{D_x}{|A|} = \frac{-60}{-60} = 1$.

(C) ઉકેલના પ્રકારને નિર્ધારિત કરવા માટે,આપણે પહેલા સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ અથવા સહગુણક શ્રેણિક $\Delta$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ છીએ.
સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$1x + 3y + 0z = -7$
$3x + 10y - 3z = -18$
$0x + 3y - 9z = -2$
સહગુણક શ્રેણિક $\Delta$ નો નિશ્ચાયક છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 10 & -3 \\ 0 & 3 & -9 \end{vmatrix} = 1(10(-9) - (-3)(3)) - 3(3(-9) - 0) + 0 = 1(-90 + 9) - 3(-27) = -81 + 81 = 0$.
કારણ કે $\Delta = 0$,સિસ્ટમ પાસે કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અસંખ્ય ઉકેલો છે.
હવે,આપણે $\Delta_1$ ની ગણતરી કરીએ (પ્રથમ સ્તંભને અચળાંકો સાથે બદલીને):
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} -7 & 3 & 0 \\ -18 & 10 & -3 \\ -2 & 3 & -9 \end{vmatrix} = -7(-90 + 9) - 3(162 - 6) + 0 = -7(-81) - 3(156) = 567 - 468 = 99$.
કારણ કે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 \neq 0$,સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x+3by+bz=0$
$x+2ay+az=0$
$x+4cy+cz=0$
આ સિસ્ટમનો શૂન્યતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} 1 & 3b & b \\ 1 & 2a & a \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 3b & b \\ 0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 4c-3b & c-b \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(2a-3b)(c-b) - (a-b)(4c-3b) = 0$
$(2ac - 2ab - 3bc + 3b^2) - (4ac - 3ab - 4bc + 3b^2) = 0$
$2ac - 2ab - 3bc + 3b^2 - 4ac + 3ab + 4bc - 3b^2 = 0$
$-2ac + ab + bc = 0$
$ab + bc = 2ac$
$b(a+c) = 2ac$
આમ,જ્યારે $b(a+c) = 2ac$ હોય ત્યારે સિસ્ટમનો શૂન્યતર ઉકેલ મળે છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંગત સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & \lambda & \mu \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & \lambda & \mu \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$1(4\mu - (-5\lambda)) - (-2)(2\mu - (-15)) + 3(2\lambda - 12) = 0$
$1(4\mu + 5\lambda) + 2(2\mu + 15) + 3(2\lambda - 12) = 0$
$4\mu + 5\lambda + 4\mu + 30 + 6\lambda - 36 = 0$
$(4\mu + 4\mu) + (5\lambda + 6\lambda) + (30 - 36) = 0$
$8\mu + 11\lambda - 6 = 0$
$8\mu + 11\lambda = 6$

(C) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$3x - 4y + 7z = -6$
$5x + 2y - 4z = -9$
$8x - 6y - z = -5$
આને $AX = D$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 7 \\ 5 & 2 & -4 \\ 8 & -6 & -1 \end{bmatrix}$ અને $D = \begin{bmatrix} -6 \\ -9 \\ -5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 3(-2 - 24) + 4(-5 + 32) + 7(-30 - 16)$
$|A| = 3(-26) + 4(27) + 7(-46)$
$|A| = -78 + 108 - 322 = -292 \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,શ્રેણિક $A$ નો ક્રમાંક (Rank) $3$ છે.
ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|D] = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 7 & | & -6 \\ 5 & 2 & -4 & | & -9 \\ 8 & -6 & -1 & | & -5 \end{bmatrix}$ માટે,તેનો ક્રમાંક પણ $3$ છે કારણ કે $3 \times 3$ સબ-મેટ્રિક્સ $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય નથી.
આમ,$\operatorname{Rank}(A) = \operatorname{Rank}([A|D]) = 3$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)$ અને $\sin ^{-1} \left(\frac{5}{13}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{5}{12}\right)$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{5}{12}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
પ્રથમ બે પદો માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1} \left[\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \left(\frac{4}{3} \times \frac{5}{12}\right)}\right] + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
$= \tan ^{-1} \left[\frac{\frac{16+5}{12}}{\frac{36-20}{36}}\right] + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{21}{12} \times \frac{36}{16}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
કારણ કે $x > 0$ માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે,તેથી:
$= \frac{\pi}{2}$.

(C) સમીકરણ $\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} a$ નો $x$ માટે ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો જમણી બાજુ $2 \sin ^{-1} a$ એ $\sin ^{-1}$ વિધેયના વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં હોય.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} a \leq \frac{\pi}{2}$ હોવું જોઈએ.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} a \leq \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
બધા ભાગો પર સાઈન વિધેય લાગુ કરતા,કારણ કે $\sin$ એ વધતું વિધેય છે,આપણને $\sin(-\frac{\pi}{4}) \leq a \leq \sin(\frac{\pi}{4})$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે,જે $|a| \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ ને સમાન છે.

(D) આપેલ છે કે $2 \tan^{-1} x = 3 \sin^{-1} x$.
નિત્યસમ $2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ અને $3 \sin^{-1} x = \sin^{-1} (3x - 4x^3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \sin^{-1} (3x - 4x^3)$
$\Rightarrow \frac{2x}{1+x^2} = 3x - 4x^3$
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણે $x$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{2}{1+x^2} = 3 - 4x^2$
$2 = (3 - 4x^2)(1 + x^2)$
$2 = 3 + 3x^2 - 4x^2 - 4x^4$
$4x^4 + x^2 - 1 = 0$
$x^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$
$x^2 > 0$ હોવાથી,આપણે $x^2 = \frac{\sqrt{17} - 1}{8}$ લઈએ.
તેથી $8x^2 = \sqrt{17} - 1$,જેનો અર્થ છે કે $8x^2 + 1 = \sqrt{17}$.

(C) આપેલ છે: $\sin ^{-1}(4 x)-\cos ^{-1}(3 x)=\frac{\pi}{6}$....$(i)$
ધારો કે $A=\sin ^{-1}(4 x)$ અને $B=\cos ^{-1}(3 x)$.
તેથી $\sin A=4 x$ અને $\cos B=3 x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos A=\sqrt{1-16 x^2}$ અને $\sin B=\sqrt{1-9 x^2}$.
$(i)$ પરથી,$A-B=\frac{\pi}{6}$. બંને બાજુ સાઈન લેતા:
$\sin(A-B) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4x)(3x) - \sqrt{1-16 x^2} \sqrt{1-9 x^2} = \frac{1}{2}$.
$12x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{(1-16 x^2)(1-9 x^2)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(12x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-16 x^2)(1-9 x^2)$.
$144x^4 - 12x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 9x^2 - 16x^2 + 144x^4$.
$-12x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 25x^2$.
$13x^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$x^2 = \frac{3}{52}$.
$x = \sqrt{\frac{3}{52}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{13}}$.

(D) આપેલ છે: $\sinh ^{-1}(-\sqrt{3})+\cosh ^{-1}(2)=K$
ધારો કે $x=\sinh ^{-1}(-\sqrt{3})$ અને $y=\cosh ^{-1}(2)$.
તેથી $x+y=K$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\sinh x = -\sqrt{3}$ અને $\cosh y = 2$.
નિત્યસમ $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cosh^2 x = 1 + (-\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
કારણ કે $\cosh x \geq 1$,તેથી $\cosh x = 2$.
નિત્યસમ $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2^2 - \sinh^2 y = 1$,તેથી $\sinh^2 y = 3$.
કારણ કે $\cosh^{-1}(2)$ ધન છે,તેથી $\sinh y = \sqrt{3}$.
હવે,$\cosh K = \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$.
કિંમતો મૂકતા: $\cosh K = (2)(2) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} 2 x=\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$ અને $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$ હોવાથી,$\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$ મળે.
તેથી,$\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{6}+\cos ^{-1} 2 x$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા: $x=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\cos ^{-1} 2 x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\cos ^{-1} 2 x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\cos ^{-1} 2 x\right)$.
$x = \frac{1}{2}(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-(2x)^2} = x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-4x^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-4x^2} = 0$,તેથી $1-4x^2=0$,જે $x = \frac{1}{2}$ આપે છે (કારણ કે $x = -\frac{1}{2}$ મૂળ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી).
હવે,$x=\frac{1}{2}$ માટે $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x+1}\right)$ ની ગણતરી કરીએ:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1/2}{1/2+1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1/2+1/3}{1-(1/2)(1/3)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5/6}{5/6}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,બંને ભાગો વ્યાખ્યાયિત હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\cos^{-1} \left( \frac{1 + x^2}{2 x} \right)$ ધ્યાનમાં લો. આ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જો $-1 \leq \frac{1 + x^2}{2 x} \leq 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\left| \frac{1 + x^2}{2 x} \right| \leq 1$,જેનો અર્થ છે $|1 + x^2| \leq |2x|$.
કારણ કે $1 + x^2 \geq 2|x|$ માત્ર ત્યારે જ સાચું છે જ્યારે $|x| = 1$ હોય,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$ મળે.
હવે,પ્રથમ ભાગ $\sqrt{\cos(\sin x)}$ તપાસો.
$x = 1$ માટે,$\cos(\sin 1) > 0$ કારણ કે $\sin 1 \approx 0.84$ રેડિયન,જે પ્રથમ ચરણમાં છે.
$x = -1$ માટે,$\cos(\sin(-1)) = \cos(-\sin 1) = \cos(\sin 1) > 0$.
આમ,બંને શરતો માત્ર $x = 1$ અને $x = -1$ માટે સંતોષાય છે,તેથી પ્રદેશ $\{-1, 1\}$ છે.

(D) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. $\sinh(-x) = -\sinh x$ હોવાથી,તે $\mathbb{R}$ વિસ્તાર ધરાવતું અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$A-IV$.
$(B)$ $\text{sech } x = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$. $\text{sech}(-x) = \text{sech } x$ હોવાથી,તે યુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$B-III$.
$(C)$ $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$. $\tanh(-x) = -\tanh x$ હોવાથી,તે $(-1, 1)$ વિસ્તાર ધરાવતું અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$C-V$.
$(D)$ $\text{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right)$. તેનો પ્રદેશ $x \neq 0$ છે અને તે યુગ્મ કે અયુગ્મ નથી. તેથી,$D-II$.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-V, D-II$ છે.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = \sqrt[3]{\frac{x-2}{2x^2-7x+5}} + \log(x^2-x-2)$.
પ્રદેશ માટે:
$1$. ઘનમૂળ માટે છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $2x^2-7x+5 \neq 0$ $\Rightarrow (2x-5)(x-1) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 1, x \neq \frac{5}{2}$.
$2$. લઘુગણક માટે: $x^2-x-2 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) > 0$. આ અસમતા $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ માટે સાચી છે.
આ શરતોને જોડતા,આપણને મળે છે: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ જ્યાં $x \neq 1$ અને $x \neq \frac{5}{2}$.
અહીં $1$ એ અંતરાલ $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ માં નથી,તેથી માત્ર $\frac{5}{2}$ ને બાદ કરતા,પ્રદેશ $(-\infty, -1) \cup (2, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x - |x||}}$.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ: $|x - |x|| > 0$.
જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x| = x$,તેથી $|x - x| = 0$,જે $> 0$ નથી.
જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$,તેથી $|x - (-x)| = |2x| = -2x$. કારણ કે $x < 0$,તેથી $-2x > 0$.
આમ,પ્રદેશ $A = (-\infty, 0)$.
$x \in (-\infty, 0)$ માટે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{-2x}}$. જેમ $x$ એ $(-\infty, 0)$ માં બદલાય છે,તેમ $-2x$ એ $(0, \infty)$ માં બદલાય છે,અને $\sqrt{-2x}$ એ $(0, \infty)$ માં બદલાય છે.
તેથી,વિસ્તાર $B = (0, \infty)$.
અંતે,$A \cap B = (-\infty, 0) \cap (0, \infty) = \phi$.

(D) વિધેય $f(x)=\sin ^{-1}(x^2-1)-3 \log _3(3^x-2)$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જ્યારે બંને પદો વ્યાખ્યાયિત હોય.
$\sin ^{-1}(x^2-1)$ માટે,$-1 \leq x^2-1 \leq 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $0 \leq x^2 \leq 2$,તેથી $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
$\log _3(3^x-2)$ માટે,$3^x-2 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $3^x > 2$,તેથી $x > \log _3 2$.
$f(x)$ નો પ્રદેશ છે: $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap (\log _3 2, \infty) = (\log _3 2, \sqrt{2}]$.
વિધેય $x \in (-\infty, \log _3 2] \cup (\sqrt{2}, \infty)$ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી.
આને $(-\infty, a] \cup (b, \infty)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \log _3 2$ અને $b = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,$3^a + b^2 = 3^{\log _3 2} + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.

(B) વિધેય ત્યારે વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે $-1 \leq \log_2\left(\frac{x^2}{2}\right) \leq 1$ હોય.
$\log_2\left(\frac{x^2}{2}\right) = \log_2(x^2) - \log_2(2) = \log_2(x^2) - 1$ હોવાથી:
$-1 \leq \log_2(x^2) - 1 \leq 1$.
બધા પદોમાં $1$ ઉમેરતા:
$0 \leq \log_2(x^2) \leq 2$.
લઘુગણક સ્વરૂપમાંથી ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$2^0 \leq x^2 \leq 2^2
\Rightarrow 1 \leq x^2 \leq 4$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|x| \in [1, 2]$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$.

(A) ધારો કે $g(x) = 5 + 4x - x^2$.
આને $g(x) = 9 - (x - 2)^2$ તરીકે લખી શકાય.
$(x - 2)^2 \geq 0$ હોવાથી,$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $9$ છે.
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $g(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $g(x) \in (0, 9]$.
$f(x) = \log_3(g(x))$ હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(\log_3(0^+), \log_3(9)]$ એટલે કે $(-\infty, 2]$ થશે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + bx + c$ એ યુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(x) = f(-x)$.
$ax^2 + bx + c = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $b = 0$ મળે છે.
આપેલ છે કે $g(x) = px^3 + qx^2 + rx$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $g(-x) = -g(x)$.
$p(-x)^3 + q(-x)^2 + r(-x) = -(px^3 + qx^2 + rx)$.
$-px^3 + qx^2 - rx = -px^3 - qx^2 - rx$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $q = 0$ મળે છે.
હવે,$h(x) = f(x) + g(x) = ax^2 + bx + c + px^3 + qx^2 + rx$.
$b = 0$ અને $q = 0$ હોવાથી,$h(x) = px^3 + ax^2 + rx + c$.
આપણને $h(-2) = 0$ આપેલ છે.
$p(-2)^3 + a(-2)^2 + r(-2) + c = 0$.
$-8p + 4a - 2r + c = 0$.
$4a + c = 8p + 2r$.
$b = 0$ હોવાથી,$4a + 2b + c = 4a + 2(0) + c = 4a + c$.
આમ,$8p + 2r = 4a + 2b + c$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2x - 3}{3x - 2}$.
$f(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(f(x)) = \frac{2(\frac{2x - 3}{3x - 2}) - 3}{3(\frac{2x - 3}{3x - 2}) - 2}$
$= \frac{2(2x - 3) - 3(3x - 2)}{3(2x - 3) - 2(3x - 2)}$
$= \frac{4x - 6 - 9x + 6}{6x - 9 - 6x + 4}$
$= \frac{-5x}{-5} = x$.
કારણ કે $f(f(x)) = x$,વિધેય પોતે જ તેનો વ્યસ્ત છે.
કોઈપણ બેકી સંખ્યા $n$ માટે,$f_n(x) = x$ થાય.
$32$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$f_{32}(x) = x$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = 9x^2 + \frac{1}{4x^2}$.
આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ: $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = (3x)^2 + \left(\frac{1}{2x}\right)^2 + 2(3x)\left(\frac{1}{2x}\right) - 3$.
આનું સાદું રૂપ $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = \left(3x + \frac{1}{2x}\right)^2 - 3$ થાય છે.
તેથી,વિધેયનું સામાન્ય સ્વરૂપ $f(t) = t^2 - 3$ છે.
આપેલ છે કે $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1$,તેથી $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3 = 1$.
આનાથી $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 4$ મળે,તેથી $x + \frac{1}{x} = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$.
આમ,$x = \pm 1$.

(B) $x = 1$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{8}{(1)^3} - 6(1) = 8 - 6 = 2$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.
અહીં $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ સતત છે.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસવા માટે:
$\text{LHD} = \frac{d}{dx} (\frac{8}{x^3} - 6x) = -24x^{-4} - 6$. $x = 1$ આગળ,$\text{LHD} = -24 - 6 = -30$.
$\text{RHD} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $x = 1$ આગળ,$\text{RHD} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\text{LHD} \neq \text{RHD}$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,$f$ એ $x = 1$ આગળ સતત છે પણ વિકલનીય નથી.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = 16$,તેથી આપણે લક્ષની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos ax - \cos 9x}{x^2} = 16$
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા (કારણ કે તે $0/0$ સ્વરૂપ છે):
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-a \sin ax + 9 \sin 9x}{2x} = 16$
ફરીથી એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-a^2 \cos ax + 81 \cos 9x}{2} = 16$
$\frac{-a^2(1) + 81(1)}{2} = 16$
$-a^2 + 81 = 32$
$a^2 = 81 - 32 = 49$
$a = \pm 7$

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2 \sin^2 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 8 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 = 8(1)^2 = 8$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ કરણી $\sqrt{16+\sqrt{x}}+4$ વડે ગુણતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
આમ,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 8$ હોવાથી,વિધેય સતત રહે તે માટે $a = 8$ હોવું જોઈએ.

(A) $f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 1^-} \frac{\tan a(x-1)}{x-1} = a$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3-125}{x^2-25} = \frac{1-125}{1-25} = \frac{-124}{-24} = \frac{31}{6}$.
તેથી,$a = \frac{31}{6}$.
$f(x)$ એ $x=4$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x)$ હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 4^-} \frac{x^3-125}{x^2-25} = \frac{64-125}{16-25} = \frac{-61}{-9} = \frac{61}{9}$.
$\lim_{x \to 4^+} \frac{b^x-1}{x} = \frac{b^4-1}{4}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{61}{9} = \frac{b^4-1}{4} \Rightarrow 244 = 9b^4 - 9 \Rightarrow 9b^4 = 253$.
હવે,$6a + 9b^4 = 6(\frac{31}{6}) + 253 = 31 + 253 = 284$.

(B) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = k$,તેથી આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 1)^4 \cot(x \log 4)}{\sin(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 1)^4 \cos(x \log 4)}{\sin^2(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{4^x - 1}{x} \right)^4 \cdot \frac{x^4 \cos(x \log 4)}{\sin^2(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
પ્રમાણિત લક્ષો $\lim_{x \to 0} \frac{4^x - 1}{x} = \log 4$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x \log 4)}{x \log 4} = 1$,અને $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2 \log 4)}{x^2 \log 4} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (\log 4)^4 \cdot \frac{1}{(\log 4)^2} \cdot \frac{1}{\log 4} \cdot \lim_{x \to 0} \cos(x \log 4)$
$= (\log 4)^4 \cdot \frac{1}{(\log 4)^3} \cdot 1 = \log 4$
આમ,$k = \log 4$.
તેથી,$e^k = e^{\log 4} = 4$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોવાથી,તે $x=0$ આગળ સતત પણ હશે.
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = P$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1) \sin kx}{4 \tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1)}{x} \cdot \frac{\sin kx}{x} \cdot \frac{x^2}{4 \tan x} = (k) \cdot (k) \cdot (0) = 0$.
તેથી,$P = 0$.
હવે,$f^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1) \sin kx}{4x \tan x}$.
$f^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{kx}-1}{x} \right) \left( \frac{\sin kx}{x} \right) \left( \frac{x}{\tan x} \right) \cdot \frac{1}{4} = (k) \cdot (k) \cdot (1) \cdot \frac{1}{4} = \frac{k^2}{4}$.