TS EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) मान लीजिए कि प्लेट का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma$ है।
मूल प्लेट का द्रव्यमान $M = \sigma \pi (4r)^2 = 16 \sigma \pi r^2$ है।
हटाए गए वृत्ताकार भाग का द्रव्यमान $m = \sigma \pi r^2$ है।
शेष भाग का द्रव्यमान $M' = M - m = 16 \sigma \pi r^2 - \sigma \pi r^2 = 15 \sigma \pi r^2$ है।
मान लीजिए कि मूल प्लेट का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
हटाए गए भाग का केंद्र $(2r, 0)$ पर है।
कैविटी (छेद) के लिए द्रव्यमान केंद्र के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $M X_{CM} = M' X_{R} + m X_{C}$,जहाँ $X_{CM}$ मूल प्लेट का द्रव्यमान केंद्र है (जो $0$ है),$X_{R}$ शेष भाग का द्रव्यमान केंद्र है,और $X_{C}$ हटाए गए भाग का द्रव्यमान केंद्र है।
$0 = (15 \sigma \pi r^2) X_{R} + (\sigma \pi r^2)(2r)$.
$15 X_{R} = -2r$.
दूरी का परिमाण $|X_{R}| = \frac{2r}{15}$ है।

(A) मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर प्लेट $1$ है और क्षैतिज प्लेट $2$ है। दोनों का क्षेत्रफल $A = L \times a$ है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए:
ऊर्ध्वाधर प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $y_1 = L/2$ पर है।
क्षैतिज प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $y_2 = L + a/2$ पर है।
सतह से द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई:
$y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{(La)(L/2) + (La)(L + a/2)}{2La} = \frac{L/2 + L + a/2}{2} = \frac{3L + a}{4}$.
जब अक्षर को लंबवत रूप से उल्टा किया जाता है,तो क्षैतिज प्लेट अब नीचे होती है:
नई क्षैतिज प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $y_1' = a/2$ पर है।
नई ऊर्ध्वाधर प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $y_2' = a + L/2$ पर है।
सतह से द्रव्यमान केंद्र की नई ऊँचाई:
$y_{cm}' = \frac{A_1 y_1' + A_2 y_2'}{A_1 + A_2} = \frac{(La)(a/2) + (La)(a + L/2)}{2La} = \frac{a/2 + a + L/2}{2} = \frac{3a + L}{4}$.
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन:
$\Delta y_{cm} = y_{cm} - y_{cm}' = \frac{3L + a}{4} - \frac{3a + L}{4} = \frac{2L - 2a}{4} = \frac{L - a}{2}$.

(D) माना मूल बिंदु वर्ग के केंद्र पर है। चार कणों का प्रारंभिक द्रव्यमान केंद्र $(CM_1)$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
जब कोने $C$ पर स्थित $m$ द्रव्यमान के एक कण को हटा दिया जाता है,तो शेष प्रणाली में कोनों $A, B,$ और $D$ पर $m$ द्रव्यमान के तीन कण बचते हैं।
नया द्रव्यमान केंद्र $(CM_2)$ शेष तीन कणों द्वारा निर्मित त्रिभुज के केंद्रक की ओर स्थानांतरित हो जाएगा।
वर्ग के केंद्र से किसी भी कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
शेष प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र के सूत्र का उपयोग करते हुए: $R_{CM} = \frac{\sum m_i r_i}{\sum m_i}$.
द्रव्यमान केंद्र में विस्थापन $\Delta R = \frac{|m_C \cdot r_C|}{M_{remaining}} = \frac{m \cdot (a/\sqrt{2})}{3m} = \frac{a}{3\sqrt{2}}$ होगा।

(B) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = m$, $m_2 = 2m$, और $m_3 = 3m$ हैं।
वेग की दिशाएँ इस प्रकार हैं:
कण $A$ उत्तर की ओर गति करता है: $\vec{v}_1 = 6 \hat{j} \,ms^{-1}$
कण $B$ दक्षिण की ओर गति करता है: $\vec{v}_2 = -12 \hat{j} \,ms^{-1}$
कण $C$ पूर्व की ओर गति करता है: $\vec{v}_3 = 8 \hat{i} \,ms^{-1}$
द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{v}_{cm}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
मान रखने पर:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m(6 \hat{j}) + 2m(-12 \hat{j}) + 3m(8 \hat{i})}{m + 2m + 3m}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{6m \hat{j} - 24m \hat{j} + 24m \hat{i}}{6m}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{24m \hat{i} - 18m \hat{j}}{6m} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j} \,ms^{-1}$
द्रव्यमान केंद्र के वेग का परिमाण है:
$v_{cm} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,ms^{-1}$

(A) दिया गया है: $m_1 = 0.5 \ kg$,$u_1 = 10 \ ms^{-1}$,$m_2 = 1 \ kg$,$u_2 = 0$,$e = 0.4$.
एक-विमीय टक्कर के बाद अंतिम वेग $v_1$ और $v_2$ इस प्रकार हैं:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 = \left( \frac{0.5 - 0.4 \times 1}{0.5 + 1} \right) \times 10 = \left( \frac{0.1}{1.5} \right) \times 10 = \frac{1}{15} \times 10 = \frac{2}{3} \ ms^{-1}$.
$v_2 = \frac{(1 + e) m_1 u_1}{m_1 + m_2} = \frac{(1 + 0.4) \times 0.5 \times 10}{0.5 + 1} = \frac{1.4 \times 5}{1.5} = \frac{7}{1.5} = \frac{14}{3} \ ms^{-1}$.
वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2/3}{14/3} = \frac{2}{14} = 1:7$ है।

(A) दिया गया है: $m_1 = m_2 = m = 1.2 \ kg$,$u_1 = 12 \ ms^{-1}$,$u_2 = 0$,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$
$12 + 0 = v_1 + v_2 \Rightarrow v_1 + v_2 = 12$ ...$(i)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$ की परिभाषा के अनुसार:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{v_2 - v_1}{12}$
$v_2 - v_1 = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2v_2 = 12 + 6\sqrt{2} \Rightarrow v_2 = 6 + 3\sqrt{2} \ ms^{-1}$
समीकरण $(i)$ में से (ii) को घटाने पर:
$2v_1 = 12 - 6\sqrt{2} \Rightarrow v_1 = 6 - 3\sqrt{2} \ ms^{-1}$
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE)_i = \frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (12)^2 = 0.6 \times 144 = 86.4 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $(KE)_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (v_1^2 + v_2^2)$.
$v_1^2 + v_2^2 = (6 - 3\sqrt{2})^2 + (6 + 3\sqrt{2})^2 = (36 + 18 - 36\sqrt{2}) + (36 + 18 + 36\sqrt{2}) = 54 + 54 = 108$.
$(KE)_f = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 108 = 0.6 \times 108 = 64.8 \ J$.
अनुपात $\frac{(KE)_f}{(KE)_i} = \frac{64.8}{86.4} = \frac{648}{864} = \frac{3}{4} = 3:4$.

(C) माना गोले $A$ का प्रारंभिक वेग $u$ है और टक्कर के बाद गोलों $A$ और $B$ के अंतिम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m u + (2m)(0) = m v_1 + 2m v_2$
$u = v_1 + 2v_2$ ....$(i)$
यहाँ प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.4 = \frac{2}{5}$ दिया गया है।
प्रत्यावस्थान गुणांक की परिभाषा के अनुसार:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u - 0} = 0.4$
$v_2 - v_1 = 0.4u$ ....$(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$u = v_1 + 2v_2$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$v_2 - v_1 = 0.4(v_1 + 2v_2)$
$v_2 - v_1 = 0.4v_1 + 0.8v_2$
$0.2v_2 = 1.4v_1$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{0.2}{1.4} = \frac{1}{7}$

(D) $m$ द्रव्यमान के एक पिंड की पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r = R$,इसलिए $U_i = -\frac{GMm}{R}$।
$h = R$ ऊंचाई के लिए,केंद्र से दूरी $r = R + R = 2R$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_f = -\frac{GMm}{2R}$ है।
आवश्यक ऊर्जा $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है:
$W = U_f - U_i = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{2R}$।
$h = 2R$ ऊंचाई के लिए,केंद्र से दूरी $r = R + 2R = 3R$ है। स्थितिज ऊर्जा $U_f' = -\frac{GMm}{3R}$ है।
आवश्यक ऊर्जा $W'$ है:
$W' = U_f' - U_i = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{2GMm}{3R}$।
चूंकि $W = \frac{GMm}{2R}$,इसलिए $\frac{GMm}{R} = 2W$ है।
इस मान को $W'$ के समीकरण में रखने पर:
$W' = \frac{2}{3} \times (2W) = \frac{4W}{3}$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है $R = 6400 \ km$।
$h_1 = 1280 \ km$ के लिए:
$g_1 = g \left( \frac{6400}{6400 + 1280} \right)^2 = g \left( \frac{6400}{7680} \right)^2 = g \left( \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{25}{36} g$।
$h_2 = 3200 \ km$ के लिए:
$g_2 = g \left( \frac{6400}{6400 + 3200} \right)^2 = g \left( \frac{6400}{9600} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$।
अब,अनुपात $\frac{g_1}{g_2}$ है:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{25/36 g}{4/9 g} = \frac{25}{36} \times \frac{9}{4} = \frac{25}{16}$।
अतः,अनुपात $25:16$ है।

(C) प्रकृति में मौजूद चार मूलभूत बलों (गुरुत्वाकर्षण,विद्युतचुंबकीय,प्रबल नाभिकीय और दुर्बल नाभिकीय बल) में से,गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षक प्रकृति का होता है।
विद्युतचुंबकीय बल आवेशों के आधार पर आकर्षक या प्रतिकर्षी हो सकते हैं।
प्रबल नाभिकीय बल आमतौर पर कम दूरी पर आकर्षक होते हैं जो नाभिक को एक साथ बांधे रखते हैं।
इसलिए,यह कथन कि गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा आकर्षक होते हैं,सही है।

(D) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{4}{3} \pi \rho G R$, जहाँ $\rho$ औसत घनत्व है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $g \propto \rho R$.
ग्रह $(1)$ और पृथ्वी $(2)$ के लिए दिया गया है:
त्रिज्याओं का अनुपात: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$
घनत्व का अनुपात: $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{1}$
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण: $g_2 = 9.8 \,ms^{-2}$.
समानुपातिकता $g_1 / g_2 = (\rho_1 / \rho_2) \times (R_1 / R_2)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{4}{1} \times \frac{1}{2} = 2$.
अतः, $g_1 = 2 \times g_2 = 2 \times 9.8 \,ms^{-2} = 19.6 \,ms^{-2}$.

(D) दोनों तारे समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ के चारों ओर घूमते हैं।
मान लीजिए कि $M$ और $2M$ द्रव्यमानों की $COM$ से दूरियाँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
हम जानते हैं कि $r_1 + r_2 = d$ और $M r_1 = (2M) r_2$ होता है।
इनसे,$r_1 = \frac{2M}{3M} d = \frac{2}{3} d$ प्राप्त होता है।
तारों के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल $M$ द्रव्यमान वाले तारे के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$F_g = F_c$
$\frac{G(M)(2M)}{d^2} = M \omega^2 r_1$
$r_1 = \frac{2}{3} d$ रखने पर:
$\frac{2 G M^2}{d^2} = M \omega^2 \left(\frac{2}{3} d\right)$
$\frac{2 G M}{d^2} = \omega^2 \left(\frac{2}{3} d\right)$
$\omega^2 = \frac{2 G M}{d^2} \cdot \frac{3}{2 d} = \frac{3 G M}{d^3}$
$\omega = \sqrt{\frac{3 G M}{d^3}}$

(C) एक आदर्श गैस के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $\langle KE \rangle = \frac{f}{2} K_B T$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$K_B$ बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
चूँकि दोनों गैसें एक ही पात्र में तापीय साम्यावस्था में हैं,इसलिए उनका तापमान $T = 30^{\circ} C$ समान है।
दोनों द्वि-परमाणुक गैसों (हाइड्रोजन और नाइट्रोजन) के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ होती है।
अतः,हाइड्रोजन के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\langle KE \rangle_{H_2} = \frac{5}{2} K_B T$ है।
इसी प्रकार,नाइट्रोजन के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\langle KE \rangle_{N_2} = \frac{5}{2} K_B T$ है।
अतः,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{\langle KE \rangle_{H_2}}{\langle KE \rangle_{N_2}} = \frac{\frac{5}{2} K_B T}{\frac{5}{2} K_B T} = 1: 1$ होगा।
यहाँ द्रव्यमान का अनुपात अप्रासंगिक है क्योंकि प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है।

(D) गैस के अणुओं की rms चाल का सूत्र: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$।
अंतिम तापमान $T_f = 159^{\circ} C = 159 + 273 = 432 \ K$।
rms चाल में प्रतिशत वृद्धि: $\frac{V_{rms,f} - V_{rms,i}}{V_{rms,i}} \times 100$।
$V_{rms} \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करने पर: $\left( \frac{\sqrt{T_f} - \sqrt{T_i}}{\sqrt{T_i}} \right) \times 100$।
$= \left( \frac{\sqrt{432} - \sqrt{300}}{\sqrt{300}} \right) \times 100$।
$= \left( \frac{20.784 - 17.320}{17.320} \right) \times 100$।
$= \left( \frac{3.464}{17.320} \right) \times 100 \approx 20 \%$।

(A) $RMS$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
दिया गया है कि $v_{rms, O} = 0.75 \times v_{rms, N} = \frac{3}{4} v_{rms, N}$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_{rms, O}}{v_{rms, N}} = \sqrt{\frac{T_O}{T_N} \times \frac{M_N}{M_O}}$.
यहाँ $T_N = 287 + 273 = 560 \ K$,$M_N = 28 \ g/mol$,और $M_O = 32 \ g/mol$ है।
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{T_O}{560} \times \frac{28}{32}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{9}{16} = \frac{T_O}{560} \times \frac{7}{8}$.
$T_O = \frac{9}{16} \times \frac{8}{7} \times 560 = 360 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_O = 360 - 273 = 87^{\circ} C$.

(D) ट्रक को पलटने से रोकने के लिए, बाहरी पहियों के सापेक्ष अपकेंद्री बल के कारण लगने वाला टॉर्क, ट्रक के वजन के कारण लगने वाले टॉर्क से अधिक नहीं होना चाहिए।
मान लीजिए अधिकतम गति $V_{\max}$ है।
ट्रक के न पलटने की शर्त टॉर्क के संतुलन द्वारा दी जाती है: $\frac{m V_{\max}^2}{R} \times h = m g \times \frac{d}{2}$.
यहाँ, $h = 2 \text{ m}$ (गुरुत्व केंद्र की ऊंचाई), $R = 240 \text{ m}$ (पथ की त्रिज्या), और $d = 1.5 \text{ m}$ (पहियों के बीच की दूरी)।
$V_{\max}^2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $V_{\max}^2 = \frac{g \times R \times d}{2 \times h}$.
मान रखने पर: $V_{\max}^2 = \frac{10 \times 240 \times 1.5}{2 \times 2}$.
$V_{\max}^2 = \frac{3600}{4} = 900$.
$V_{\max} = \sqrt{900} = 30 \text{ ms}^{-1}$.

(D) घर्षण के साथ झुकी हुई सड़क पर अधिकतम गति $V_{\max} = \sqrt{\frac{rg(\mu + \tan \theta)}{1 - \mu \tan \theta}}$ द्वारा दी जाती है।
इष्टतम गति $V_o$ (जहाँ किसी घर्षण की आवश्यकता नहीं होती) $V_o = \sqrt{rg \tan \theta}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$ और $V_{\max} = 2V_o$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{rg(\mu + \tan \theta)}{1 - \mu \tan \theta}} = 2 \sqrt{rg \tan \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} = 4 \tan \theta$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\frac{\mu + 1}{1 - \mu} = 4(1)$.
$\mu + 1 = 4 - 4\mu$.
$5\mu = 3$.
$\mu = \frac{3}{5} = 0.6$.

(C) ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = ma$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_k = \mu_k mg$ गतिज घर्षण बल है।
अतः,त्वरण $a = \frac{F - \mu_k mg}{m}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए: $6 = \frac{20 - \mu_k mg}{m} \implies 6m = 20 - \mu_k mg$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $11 = \frac{30 - \mu_k mg}{m} \implies 11m = 30 - \mu_k mg$ --- (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(11m - 6m) = (30 - \mu_k mg) - (20 - \mu_k mg)$
$5m = 10 \implies m = 2 \ kg$.
$m = 2 \ kg$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$6(2) = 20 - \mu_k (2)(10)$
$12 = 20 - 20\mu_k$
$20\mu_k = 8$
$\mu_k = \frac{8}{20} = 0.4$.

(C) दिया गया है: आरोपित बल $F_{\text{app}} = 5 \ N$,द्रव्यमान $m = 0.5 \ kg$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.2$,समय $t = 4 \ s$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$.
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ द्वारा दिया जाता है।
$f_k = 0.2 \times 0.5 \times 10 = 1 \ N$.
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{\text{net}} = F_{\text{app}} - f_k = 5 - 1 = 4 \ N$ है।
ब्लॉक का त्वरण $a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{4}{0.5} = 8 \ m/s^2$ है।
$4 \ s$ के बाद ब्लॉक का वेग $v = u + at = 0 + (8 \times 4) = 32 \ m/s$ है।
ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (32)^2 = 0.25 \times 1024 = 256 \ J$ है।

(D) दिया गया है,विद्युत धारा $I = (10 \pm 0.5) \text{ A}$ और विभवांतर $V = (100 \pm 6) \text{ V}$ है।
ओम के नियम के अनुसार,$R = \frac{V}{I}$ होता है।
प्रतिरोध में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{6}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.5}{10} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 6\% + 5\% = 11\%$.

(D) दिया गया है:
आंतरिक व्यास $d = (5.73 \pm 0.01) \text{ cm}$
बाहरी व्यास $D = (6.01 \pm 0.01) \text{ cm}$
बेलन की दीवार की मोटाई $t$ का सूत्र $t = \frac{D - d}{2}$ है।
सबसे पहले,मोटाई का औसत मान ज्ञात करें:
$t_{mean} = \frac{6.01 - 5.73}{2} = \frac{0.28}{2} = 0.14 \text{ cm}$.
अब,मोटाई में अनिश्चितता (त्रुटि) ज्ञात करें:
जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियां जुड़ जाती हैं। अतः,$(D - d)$ में त्रुटि $\Delta D + \Delta d = 0.01 + 0.01 = 0.02 \text{ cm}$ होगी।
चूंकि $t = \frac{D - d}{2}$,इसलिए $t$ में त्रुटि $\Delta t = \frac{\Delta D + \Delta d}{2} = \frac{0.02}{2} = 0.01 \text{ cm}$ होगी।
अतः,मोटाई $(0.14 \pm 0.01) \text{ cm}$ है।

(D) दिया गया है: $C = (4.0 \pm 0.2) \mu F$ और $V = (10.0 \pm 0.1) V$.
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य मान की गणना: $Q = 4.0 \mu F \times 10.0 V = 40 \mu C$.
आवेश में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{\Delta C}{C} + \frac{\Delta V}{V}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{0.2}{4.0} + \frac{0.1}{10.0} = 0.05 + 0.01 = 0.06$.
आवेश में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$ है।
अतः,संधारित्र पर आवेश $40 \mu C \pm 6 \%$ है।

(D) दिया गया है: घन की भुजा $a = 10 \ cm$,अतः प्रत्येक सतह का क्षेत्रफल $A = a^2 = 100 \ cm^2$.
पानी में घन की गहराई $x = 3 \ cm$.
तेल में घन की गहराई $h = a - x = 10 - 3 = 7 \ cm$.
तेल का घनत्व $\delta_1 = 0.9 \ g \ cm^{-3}$.
पानी का घनत्व $\delta_2 = 1 \ g \ cm^{-3}$.
प्लवन के नियम के अनुसार,घन का भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
$W = F_{B1} + F_{B2}$
$mg = (\delta_1 \cdot V_{oil} \cdot g) + (\delta_2 \cdot V_{water} \cdot g)$
$m = \delta_1 \cdot A \cdot h + \delta_2 \cdot A \cdot x$
$m = 0.9 \times 100 \times 7 + 1 \times 100 \times 3$
$m = 630 + 300 = 930 \ g$
अतः,लकड़ी के घन का द्रव्यमान $930 \ g$ है।

(B) टंकी के तल पर बने छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $(v)$ टोरिसेली के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gh}$।
दिया गया है:
पानी के स्तर की ऊँचाई,$h = 5 \,m$।
छेद का क्षेत्रफल,$A = 2.4 \,mm^2 = 2.4 \times 10^{-6} \,m^2$।
समय,$t = 5 \,s$।
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$।
बाहर निकले पानी का आयतन $(V)$,छेद के क्षेत्रफल,वेग और समय के गुणनफल के बराबर होता है:
$V = A \times v \times t = A \sqrt{2gh} \times t$।
मान रखने पर:
$V = (2.4 \times 10^{-6} \,m^2) \times \sqrt{2 \times 10 \,ms^{-2} \times 5 \,m} \times 5 \,s$।
$V = 2.4 \times 10^{-6} \times \sqrt{100} \times 5$।
$V = 2.4 \times 10^{-6} \times 10 \times 5$।
$V = 2.4 \times 50 \times 10^{-6} \,m^3$।
$V = 120 \times 10^{-6} \,m^3$।

(D) दिया गया है, पानी के प्रवाह की दर $Q = 12 \pi \text{ लीटर/मिनट}$ है।
इसे $SI$ इकाइयों $(m^3/s)$ में परिवर्तित करने पर:
$Q = \frac{12 \pi \times 10^{-3} \text{ m}^3}{60 \text{ s}} = 0.2 \pi \times 10^{-3} \text{ m}^3/s = 2 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^3/s$.
पाइप का व्यास $d = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 0.01 \text{ m} = 10^{-2} \text{ m}$ होगी।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$ है।
सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) का उपयोग करने पर, $Q = A \times v$, जहां $v$ पानी का वेग है:
$2 \pi \times 10^{-4} = (\pi \times 10^{-4}) \times v$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$v = \frac{2 \pi \times 10^{-4}}{\pi \times 10^{-4}} = 2 \text{ m/s}$.

(D) घनत्व $\rho$ और ऊँचाई $h$ वाले द्रव से भरे पात्र के तल पर दाब $P$ का सूत्र $P = \rho g h$ होता है।
चूंकि तीनों पात्रों के लिए ऊँचाई $h$ समान है और $g$ स्थिर है,इसलिए दाब $P$ द्रव के घनत्व $\rho$ के सीधे समानुपाती होता है $(P \propto \rho)$।
दिया गया है कि घनत्व $\rho_A > \rho_B > \rho_C$ है,इसलिए पात्रों के तल पर दाब $P_A > P_B > P_C$ होगा।
अतः,द्रव $A$ वाले पात्र में दाब अधिकतम होगा।

(C) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2) = 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$ है।
दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T = 3.5 \times 10^{-2} \ N/m$,प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$,अंतिम त्रिज्या $r_2 = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A = T \times 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$।
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times [(2 \times 10^{-2})^2 - (1 \times 10^{-2})^2]$।
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times (4 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4})$।
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times 3 \times 10^{-4}$।
$W = 263.76 \times 10^{-6} \ J \approx 264 \times 10^{-6} \ J$।

(C) दिया गया है:
साबुन के बुलबुले की त्रिज्या,$R = 0.5 \ cm = 0.5 \times 10^{-2} \ m$
तेल के स्तंभ की ऊँचाई,$h = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$
तेल का घनत्व,$\rho = 900 \ kg \ m^{-3}$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m \ s^{-2}$
साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4S}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है।
तेल के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P' = \rho g h$ है।
प्रश्न के अनुसार,अतिरिक्त दबाव तेल के स्तंभ के दबाव द्वारा संतुलित होता है:
$\frac{4S}{R} = \rho g h$
मान रखने पर:
$\frac{4S}{0.5 \times 10^{-2}} = 900 \times 10 \times 4 \times 10^{-3}$
$\frac{4S}{0.5 \times 10^{-2}} = 36$
$4S = 36 \times 0.5 \times 10^{-2}$
$4S = 18 \times 10^{-2}$
$S = 4.5 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1}$

(D) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \cdot \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। साबुन के बुलबुले के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है। अतः,$W \propto r^2$.
चूँकि बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,इसलिए $r \propto V^{1/3}$ प्राप्त होता है।
इसे कार्य के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $W \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$.
मान लीजिए $V_1 = V$ आयतन के लिए कार्य $W_1 = W$ है,और $V_2 = 2V$ आयतन के लिए कार्य $W_2$ है।
अतः,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{2V}{V} \right)^{2/3} = (2)^{2/3}$.
इसलिए,$W_2 = (2)^{2/3} W = (2^2)^{1/3} W = (4)^{1/3} W$.

(C) जब $R$ त्रिज्या की एक बड़ी द्रव की बूंद $r$ त्रिज्या की $n$ छोटी बूंदों में विभाजित होती है,तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3} r$.
चूंकि $n > 1$,$n$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(A_{final} = n \times 4 \pi r^2)$ मूल बड़ी बूंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल $(A_{initial} = 4 \pi R^2)$ से अधिक होता है।
पृष्ठीय ऊर्जा सीधे पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती होती है $(U = T \times A)$।
चूंकि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ता है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल को बढ़ाने के लिए आवश्यक कार्य करने हेतु निकाय को परिवेश से ऊर्जा अवशोषित करनी पड़ती है।

(A) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जो विस्तार $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A}$ देता है।
कुल विस्तार $\Delta L_{total} = \Delta L_s + \Delta L_c = 1.05 \times 10^{-3} \ m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{F \cdot L_s}{Y_s \cdot A} + \frac{F \cdot L_c}{Y_c \cdot A} = 1.05 \times 10^{-3}$.
$F \left( \frac{3}{2 \times 10^{11} \times 6 \times 10^{-6}} + \frac{2.2}{1.1 \times 10^{11} \times 6 \times 10^{-6}} \right) = 1.05 \times 10^{-3}$.
भिन्नों का उपयोग करने पर: $F \left( \frac{3}{12 \times 10^5} + \frac{2.2}{6.6 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{1}{4 \times 10^5} + \frac{1}{3 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{3+4}{12 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{7}{12 \times 10^5} \right) = 1.05 \times 10^{-3}$.
$F = \frac{1.05 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^5}{7} = 180 \ N$.

(D) माना कि $L$ डोरी की मूल लंबाई है और $k$ डोरी का बल नियतांक है।
अंतिम लंबाई = मूल लंबाई + विस्तार।
हुक के नियम के अनुसार,$\text{विस्तार} = \frac{F}{k}$।
अतः,$L' = L + \frac{F}{k}$।
पहली स्थिति के लिए: $P = L + \frac{6}{k} \quad ...(i)$
दूसरी स्थिति के लिए: $Q = L + \frac{8}{k} \quad ...(ii)$
$k$ को हटाने के लिए,समीकरण $(i)$ को $4$ से और समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करें:
$4P = 4L + \frac{24}{k} \quad ...(iii)$
$3Q = 3L + \frac{24}{k} \quad ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ में से समीकरण $(iv)$ को घटाने पर:
$4P - 3Q = (4L - 3L) + (\frac{24}{k} - \frac{24}{k})$
$4P - 3Q = L$
अतः,डोरी की मूल लंबाई $4P - 3Q$ है।

(B) दिया गया है: अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 10^{-6} \, m^2$, विकृति $\varepsilon = 0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$, तनाव बल $T = 1000 \, N$.
यंग मापांक $Y$ प्रतिबल और विकृति का अनुपात है。
प्रतिबल $\sigma = T / A = 1000 / 10^{-6} = 10^9 \, N/m^2$.
यंग मापांक $Y = \sigma / \varepsilon = 10^9 / 10^{-3} = 10^{12} \, N/m^2$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2 \ kg$,लंबाई $l = 2 \ m$,क्षेत्रफल $A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$,अधिकतम विस्तार $\Delta l = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$।
उच्चतम बिंदु पर तनाव शून्य होने के लिए,निचले बिंदु पर वेग $v = \sqrt{5gl}$ होना चाहिए।
$v = \sqrt{5 \times 10 \times 2} = \sqrt{100} = 10 \ ms^{-1}$।
अधिकतम तनाव $T_{\max}$ ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर होता है:
$T_{\max} = mg + \frac{Mv^2}{l} = (2 \times 10) + \frac{2 \times (10)^2}{2} = 20 + 100 = 120 \ N$।
यंग मापांक के सूत्र $Y = \frac{T_{\max} \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ का उपयोग करने पर:
$Y = \frac{120 \times 2}{1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{240}{2 \times 10^{-9}} = 120 \times 10^9 = 1.2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$।

(B) दिया गया है: टावर की ऊँचाई $h = 125 \ m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
सबसे पहले,$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ सूत्र का उपयोग करके जमीन तक पहुँचने में लगा कुल समय $t$ ज्ञात करें:
$125 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$125 = 5t^2 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5 \ s$ है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी,कुल समय में तय की गई दूरी और $(t-1)$ सेकंड में तय की गई दूरी का अंतर है।
$(5-1) = 4 \ s$ में तय की गई दूरी $h' = \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \ m$ है।
अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी $= 125 - 80 = 45 \ m$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह दूरी कुल ऊँचाई का $x \%$ है:
$45 = \frac{x}{100} \times 125$
$x = \frac{45 \times 100}{125} = \frac{4500}{125} = 36$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 35 \ m/s$,त्वरण $a = -g = -10 \ m/s^2$ है।
गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$t_1 = 3 \ s$ पर,वेग $v_1 = 35 - 10(3) = 35 - 30 = 5 \ m/s$ है।
चाल $|v_1| = 5 \ m/s$ है।
$t_2 = 4 \ s$ पर,वेग $v_2 = 35 - 10(4) = 35 - 40 = -5 \ m/s$ है।
चाल $|v_2| = |-5| = 5 \ m/s$ है।
अतः,$3 \ s$ और $4 \ s$ पर चाल का अनुपात $\frac{|v_1|}{|v_2|} = \frac{5}{5} = 1: 1$ है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्रेकिंग बल $F$ द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K$।
चूंकि अंतिम वेग $0$ है,ब्रेकिंग बल द्वारा किया गया कार्य $F \cdot S = \frac{1}{2} m v^2$ है।
अतः,रुकने की दूरी $S = \frac{m v^2}{2 F}$ है।
चूंकि $v$ और $F$ स्थिर हैं,इसलिए $S \propto m$ है।
पहले मामले में,कुल द्रव्यमान $m_1 = 80 \ kg + 100 \ kg = 180 \ kg$ है। इसलिए,$S_1 = \frac{180 v^2}{2 F}$।
दूसरे मामले में,कुल द्रव्यमान $m_2 = 80 \ kg + 100 \ kg + 60 \ kg = 240 \ kg$ है। इसलिए,$S_2 = \frac{240 v^2}{2 F}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}$।
अतः,$4 S_1 = 3 S_2$।

(D) मान लीजिए कि खिड़की का ऊपरी सिरा मूल बिंदु $(y=0)$ है। पत्थर को $u = 8 \,m/s$ के वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है।
अधिकतम ऊँचाई $A$ पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
$v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$0 = 8 - 10t \implies t = 0.8 \,s$।
खिड़की के ऊपरी सिरे से $A$ बिंदु की ऊँचाई $h = ut + \frac{1}{2}at^2 = 8(0.8) - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 6.4 - 3.2 = 3.2 \,m$ है।
अब,पत्थर $A$ बिंदु से खिड़की के निचले सिरे तक गिरता है। $A$ से खिड़की के निचले सिरे तक की कुल दूरी $H = 3.2 \,m + 1.8 \,m = 5.0 \,m$ है।
$A$ से खिड़की के निचले सिरे तक गिरने में लगा समय $(t_{total})$:
$H = \frac{1}{2}gt_{total}^2 \implies 5.0 = \frac{1}{2}(10)t_{total}^2 \implies t_{total}^2 = 1 \implies t_{total} = 1 \,s$।
नीचे की ओर गति के दौरान खिड़की को पार करने में लगा समय,निचले सिरे तक पहुँचने के समय और $A$ से ऊपरी सिरे तक पहुँचने के समय का अंतर है:
$\Delta t = t_{total} - t = 1 \,s - 0.8 \,s = 0.2 \,s$।

(D) समान त्वरित गति के लिए,$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + (2n - 1) \frac{a}{2}$ द्वारा दी जाती है।
चौथी सेकंड के लिए $(n=4)$: $25 = u + (2 \times 4 - 1) \frac{a}{2} = u + 3.5a$ ...$(i)$
छठी सेकंड के लिए $(n=6)$: $37 = u + (2 \times 6 - 1) \frac{a}{2} = u + 5.5a$ ...(ii)
समीकरण (ii) से $(i)$ को घटाने पर: $12 = 2a \implies a = 6 \ m/s^2$.
$a$ का मान $(i)$ में रखने पर: $25 = u + 3.5(6) = u + 21 \implies u = 4 \ m/s$.
$t=6 \ s$ पर वेग $v = u + at = 4 + (6 \times 6) = 40 \ m/s$ होगा।
अगले $2 \ s$ में तय की गई दूरी $S = vt + \frac{1}{2}at^2 = (40 \times 2) + \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2 = 80 + 12 = 92 \ m$ होगी।

(B) पिंड $P$ के लिए,क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\theta_P = 30^{\circ}$ है।
पिंड $Q$ के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ प्रक्षेपण कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए क्षैतिज के साथ कोण $\theta_Q = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
दिया गया है कि $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{u_P^2 \sin(2 \times 30^{\circ}) / g}{u_Q^2 \sin(2 \times 60^{\circ}) / g} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,अनुपात $\frac{u_P^2}{u_Q^2} = \frac{1}{2}$ हो जाता है,अर्थात $u_P^2 : u_Q^2 = 1 : 2$।
अधिकतम ऊंचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अतः,$\frac{H_P}{H_Q} = \frac{u_P^2 \sin^2 30^{\circ}}{u_Q^2 \sin^2 60^{\circ}} = \left(\frac{u_P^2}{u_Q^2}\right) \times \left(\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}\right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$।
इस प्रकार,अनुपात $H_P : H_Q = 1 : 6$ है।

(A) प्रारंभिक वेग $u = 100 \ ms^{-1}$ और कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \ ms^{-1}$ है।
वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 30^{\circ} = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \ ms^{-1}$ है।
नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर,ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h = 375 \ m$ और त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$ है।
गति के समीकरण $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करने पर:
$375 = -50t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$375 = -50t + 5t^2$
$5t^2 - 50t - 375 = 0$
$5$ से विभाजित करने पर: $t^2 - 10t - 75 = 0$
$(t - 15)(t + 5) = 0$
समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 15 \ s$ है।
क्षैतिज दूरी $x = u_x \times t = 50\sqrt{3} \times 15 = 750\sqrt{3} \ m$ है।

(D) दी गई प्रारंभिक गति $u = 40 \,ms^{-1}$ और कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
अंतिम गति $v = 1.25 \times u = 1.25 \times 40 = 50 \,ms^{-1}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, प्रक्षेपण बिंदु और जमीन से टकराने वाले बिंदु पर कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
स्थितिज ऊर्जा के लिए जमीन को संदर्भ स्तर के रूप में लेते हुए $(PE = 0)$:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2} m u^2 + mgh = \frac{1}{2} m v^2$
$m$ से विभाजित करने और $2$ से गुणा करने पर:
$u^2 + 2gh = v^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(40)^2 + 2 \times 10 \times h = (50)^2$
$1600 + 20h = 2500$
$20h = 2500 - 1600$
$20h = 900$
$h = \frac{900}{20} = 45 \,m$.
अतः, $h$ का मान $45 \,m$ है।

(D) प्रक्षेप्य गति के लिए, प्रक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{7})$ है, इसलिए $\tan \theta = \sqrt{7}$।
अधिकतम ऊँचाई के आधे पर $(y = H/2)$, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y^2 = u_y^2 - 2g(H/2) = u^2 \sin^2 \theta - gH$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज वेग का घटक स्थिर रहता है: $v_x = u_x = u \cos \theta$।
इस ऊँचाई पर चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - gH} = \sqrt{u^2 - gH}$ है।
चूँकि $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$, इसलिए $gH = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2}$।
इसे $v^2$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 = u^2 - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2} = u^2 (1 - \frac{\sin^2 \theta}{2})$।
$\tan \theta = \sqrt{7}$ होने के कारण, $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{7}{1 + 7} = \frac{7}{8}$।
अतः, $v^2 = u^2 (1 - \frac{7/8}{2}) = u^2 (1 - \frac{7}{16}) = u^2 (\frac{9}{16})$।
चूँकि $v = nu$, इसलिए $n^2 = \frac{9}{16}$, जिससे $n = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $h = 20 \,m$, $v = 31.4 \,ms^{-1}$.
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करने पर, जहाँ $u = 0$:
$v^2 = 2gh$
$g = \frac{v^2}{2h} = \frac{31.4 \times 31.4}{2 \times 20} = \frac{985.96}{40} \approx 24.649 \,ms^{-2}$.
ध्यान दें कि $31.4 \approx 10\pi$, इसलिए $g = \frac{(10\pi)^2}{40} = \frac{100\pi^2}{40} = 2.5\pi^2 \,ms^{-2}$.
सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \,s$ होता है।
सरल लोलक के आवर्तकाल का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g} \Rightarrow l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$.
$T = 2 \,s$ और $g = 2.5\pi^2 \,ms^{-2}$ का मान रखने पर:
$l = \frac{2^2 \times 2.5\pi^2}{4\pi^2} = \frac{4 \times 2.5\pi^2}{4\pi^2} = 2.5 \,m$.

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण के लिए,द्रव्यमान $m = 4 \text{ mg} = 4 \times 10^{-6} \text{ kg}$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 40 \text{ rad s}^{-1}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $V(x) = a + bx^2$ द्वारा दी गई है।
प्रत्यानयन बल $F = -\frac{dV}{dx} = -\frac{d}{dx}(a + bx^2) = -2bx$ होता है।
$SHM$ के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -m\omega^2x$ भी होता है।
बल के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$2b = m\omega^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = \frac{m\omega^2}{2}$.
मान रखने पर: $b = \frac{(4 \times 10^{-6} \text{ kg}) \times (40 \text{ rad s}^{-1})^2}{2}$.
$b = \frac{4 \times 10^{-6} \times 1600}{2} = 2 \times 10^{-6} \times 1600 = 3200 \times 10^{-6} \text{ J m}^{-2}$.

(C) सरल आवर्त गति करने वाले स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय के लिए, कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $k = 100 \text{ Nm}^{-1}$ और आयाम $A = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}$ है।
विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ है, जहाँ $x = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$ है।
विस्थापन $x$ पर गतिज ऊर्जा $K = E - U = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times 100 \times ((0.08)^2 - (0.03)^2)$
$K = 50 \times (0.0064 - 0.0009)$
$K = 50 \times 0.0055$
$K = 0.275 \text{ J}$

(C) समय $t$ पर अवमंदित हार्मोनिक दोलक का आयाम $A(t) = A_0 e^{-bt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि समय $t$ पर,$A(t) = \frac{A_0}{2}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-bt}$,जिसका अर्थ है $e^{-bt} = \frac{1}{2}$।
अवमंदित दोलक की यांत्रिक ऊर्जा $E$ उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है: $E \propto A^2$।
इसलिए,समय $t$ पर ऊर्जा $E(t) = E_0 e^{-2bt}$ है,जहाँ $E_0$ प्रारंभिक ऊर्जा है।
$e^{-bt} = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E(t) = E_0 (e^{-bt})^2 = E_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{E_0}{4}$।
यांत्रिक ऊर्जा में कमी $\Delta E = E_0 - E(t) = E_0 - \frac{E_0}{4} = \frac{3E_0}{4}$ है।
प्रतिशत कमी = $\frac{\Delta E}{E_0} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$।

(C) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार वलय (रिंग) का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ होता है।
यहाँ रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho = \frac{m}{L}$ है,जहाँ $L$ लूप की परिधि है $(L = 2 \pi R)$।
अतः,$\rho = \frac{m}{2 \pi R}$,जिसका अर्थ है कि $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$।
$R$ का मान जड़त्व आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} m \left( \frac{m}{2 \pi \rho} \right)^2$
$I = \frac{1}{2} m \left( \frac{m^2}{4 \pi^2 \rho^2} \right)$
$I = \frac{m^3}{8 \pi^2 \rho^2}$.

(C) ठोस गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm, sphere} = \frac{2}{5} MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,संपर्क बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_{cm, sphere} + MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ है।
डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm, disc} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,संपर्क बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm, disc} + MR^2 = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ है।
संपर्क बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 = \left(\frac{7}{5} + \frac{3}{2}\right) MR^2 = \left(\frac{14 + 15}{10}\right) MR^2 = \frac{29 MR^2}{10}$ है।

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस गोले के लिए, निचले सिरे पर वेग $v$ का सूत्र है:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$
यहाँ $g = 10 \text{ ms}^{-2}$, $h = 28 \text{ m}$, और ठोस गोले के लिए घूर्णन त्रिज्या $k$ का मान $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है, इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 28}{1 + \frac{2}{5}}}$
$v = \sqrt{\frac{560}{\frac{7}{5}}}$
$v = \sqrt{\frac{560 \times 5}{7}}$
$v = \sqrt{80 \times 5} = \sqrt{400} = 20 \text{ ms}^{-1}$.

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में धारा और वोल्टेज के बीच कलांतर $\phi$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा स्रोत वोल्टेज से आगे तब होती है जब परिपथ की प्रकृति धारिता (capacitive) होती है।
यह तब होता है जब धारिता प्रतिघात $X_C$,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ से अधिक होता है,अर्थात $X_C > X_L$।
इस स्थिति में,कला कोण $\phi$ ऋणात्मक हो जाता है,जो यह दर्शाता है कि धारा वोल्टेज से आगे है।

(B) $LC$ परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
दिया गया है,प्रारंभिक आवृत्ति $f = 120 \ kHz$ है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ डाला जाता है,तो धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई आवृत्ति $f' = f - 20 \ kHz = 120 - 20 = 100 \ kHz$ है।
नई आवृत्ति $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} = \frac{f}{\sqrt{K}}$ है।
अतः,$\frac{f}{f'} = \sqrt{K}$ है।
मान रखने पर: $\frac{120}{100} = \sqrt{K} \Rightarrow 1.2 = \sqrt{K}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $K = (1.2)^2 = 1.44$।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ के लिए,प्रतिबाधा $Z$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
दिया गया है: $X_L = R$,$X_C = 2R$,और प्रतिरोध $= R$।
इन मानों को प्रतिबाधा सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (R - 2R)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + (-R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$
$LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित होता है।
$Z$ का मान रखने पर:
$\cos \phi = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$,प्रेरक के वोल्टेज $V_L$ और प्रतिरोधक के वोल्टेज $V_R$ का फेजर योग होता है।
संबंध इस प्रकार है: $V^2 = V_L^2 + V_R^2$.
दिया गया है: $V = 10 \ V$ और $V_L = 6 \ V$.
मान रखने पर: $(10)^2 = (6)^2 + V_R^2$.
$100 = 36 + V_R^2$.
$V_R^2 = 100 - 36 = 64$.
$V_R = \sqrt{64} = 8 \ V$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
कमरे के तापमान पर, हाइड्रोजन परमाणु मूल अवस्था $(n=1)$ में होते हैं, जहाँ ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ होती है।
जब परमाणु पर $13.6 \ eV$ ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों की बौछार की जाती है, तो परमाणु इस ऊर्जा को अवशोषित करके उत्तेजित हो सकता है।
जब एक उत्तेजित इलेक्ट्रॉन किसी उच्च ऊर्जा स्तर $(n > 1)$ से मूल अवस्था $(n=1)$ में वापस आता है, तो उत्सर्जित विकिरण लाइमन श्रेणी में आता है।
अतः, उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाएं लाइमन श्रेणी से संबंधित हैं।

(B) हाइड्रोजन परमाणु से उत्सर्जित विकिरण की तरंग दैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
प्रथम स्थिति के लिए ($n_2 = 4$ से $n_1 = 2$):
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.
द्वितीय स्थिति के लिए ($n_2 = 3$ से $n_1 = 2$):
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$.
अब,तरंग दैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
अतः,अनुपात $20:27$ है।

(C) $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $v \propto \frac{1}{n}$ और $r \propto n^2$,इसलिए $a_c \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ होता है।
दो क्रमिक कक्षाओं $n$ और $n-1$ के लिए अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात $81:16$ दिया गया है,इसलिए $\frac{a_c(n-1)}{a_c(n)} = \frac{n^4}{(n-1)^4} = \frac{81}{16} = (\frac{3}{2})^4$ प्राप्त होता है।
अतः,$n=3$ और $n-1=2$ है।
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L_n = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
इन दो अवस्थाओं के बीच संक्रमण के दौरान कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_3 - L_2 = \frac{3h}{2\pi} - \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वीं कक्षा में कुल ऊर्जा $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_1 = -13.6 \ eV$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,$n = 2$ होता है।
अतः,कुल ऊर्जा $E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \ eV$ है।
कुल ऊर्जा $(E)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के बीच संबंध $U = 2E$ होता है।
इस प्रकार,प्रथम उत्तेजित अवस्था में स्थितिज ऊर्जा $U_2 = 2 \times E_2 = 2 \times (-3.4 \ eV) = -6.8 \ eV$ होगी।

(C) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब के साथ समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
पहली स्थिति के लिए,$t = \frac{d}{2}$ और $K = 4$:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{8}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{5d}{8}} = \frac{8 \epsilon_0 A}{5d}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$t = \frac{d}{3}$ और $K = 4$:
$C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{3} + \frac{d/3}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{2d}{3} + \frac{d}{12}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{9d}{12}} = \frac{12 \epsilon_0 A}{9d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$.
अनुपात $C_1 : C_2$ लेने पर:
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{8 \epsilon_0 A}{5d} \times \frac{3d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}$.
अतः,$C_1 : C_2 = 6: 5$.

(D) पहले संधारित्र की प्रारंभिक ऊर्जा,$U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.05 J$ है।
जब इसे एक अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{10 \times 100 + 30 \times 0}{10 + 30} = 25 V$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (25)^2 = 0.0125 J$ है।
खोई गई ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 0.05 - 0.0125 = 0.0375 J = 3.75 \times 10^{-2} J$ है।

(A) दिया गया है: $C_1 = 1 \ \mu F, C_2 = 2 \ \mu F, V_1 = 6 \ kV, V_2 = 4 \ kV$.
प्रत्येक संधारित्र द्वारा धारण किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश है:
$Q_1 = C_1 V_1 = 1 \ \mu F \times 6 \ kV = 6 \ \mu C$.
$Q_2 = C_2 V_2 = 2 \ \mu F \times 4 \ kV = 8 \ \mu C$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होना चाहिए। इसलिए,संयोजन द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश उस संधारित्र द्वारा सीमित होता है जिसकी आवेश क्षमता कम है,जो कि $Q_{max} = 6 \ \mu C$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \ \mu F$ है।
संयोजन द्वारा सहन किया जा सकने वाला कुल विभव $V_{max} = \frac{Q_{max}}{C_{eq}} = \frac{6 \ \mu C}{\frac{2}{3} \ \mu F} = 6 \times \frac{3}{2} \ kV = 9 \ kV$ है।

(B) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ का सूत्र: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{2 + 4 + 1}{20} = \frac{7}{20} \mu F^{-1}$।
अतः,$C_{\text{eq}} = \frac{20}{7} \mu F$।
$14 \text{ V}$ के $DC$ स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{\text{eq}} \times V = \frac{20}{7} \mu F \times 14 \text{ V} = 40 \mu C$ है।
श्रेणीक्रम परिपथ में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है और यह स्रोत द्वारा प्रदान किए गए कुल आवेश के बराबर होता है।
अतः,$5 \mu F$ के संधारित्र पर आवेश $40 \mu C$ है।

(B) किसी माध्यम से प्रसार के दौरान सिग्नल की शक्ति के कम होने की प्रक्रिया को अटेन्युएशन (attenuation) कहा जाता है। जब कोई सिग्नल संचार माध्यम से गुजरता है,तो उसकी ऊर्जा माध्यम द्वारा अवशोषित कर ली जाती है,जिससे उसके आयाम (amplitude) और शक्ति में कमी आती है,जिसे अटेन्युएशन कहते हैं।

(C) $h_T$ ऊंचाई वाले ट्रांसमिटिंग एंटेना और $h_R$ ऊंचाई वाले रिसीविंग एंटेना के बीच अधिकतम लाइन-ऑफ-साइट दूरी $d$ का सूत्र है: $d = \sqrt{2 R h_T} + \sqrt{2 R h_R}$।
दिया गया है: $h_T = 33.8 \ m = 33.8 \times 10^{-3} \ km$,$h_R = 64.8 \ m = 64.8 \times 10^{-3} \ km$,और $R = 6400 \ km$।
मान रखने पर:
$d = \sqrt{2 \times 6400 \times 33.8 \times 10^{-3}} + \sqrt{2 \times 6400 \times 64.8 \times 10^{-3}}$
$d = \sqrt{12800 \times 0.0338} + \sqrt{12800 \times 0.0648}$
$d = \sqrt{432.64} + \sqrt{829.44}$
$d = 20.8 \ km + 28.8 \ km = 49.6 \ km$।

(C) एम्प्लिट्यूड मॉड्युलेशन में,साइड बैंड्स का एम्प्लिट्यूड निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_{SB} = \frac{\mu A_c}{2}$
जहाँ $\mu$ मॉड्युलेशन इंडेक्स है और $A_c$ कैरियर एम्प्लिट्यूड है।
हालाँकि,एक मानक सिग्नल के संदर्भ में जहाँ मॉड्युलेशन इंडेक्स $\mu = 1$ (अधिकतम दक्षता) माना जाता है और संदेश सिग्नल का एम्प्लिट्यूड $A_m$,$\mu A_c$ के गुणनफल के बराबर होता है,तब प्रत्येक साइड बैंड का एम्प्लिट्यूड होगा:
$A_{SB} = \frac{A_m}{2}$
संदेश सिग्नल का पीक वोल्टेज $A_m = 12 \ V$ दिया गया है:
$A_{SB} = \frac{12 \ V}{2} = 6 \ V$
अतः,प्रत्येक साइड बैंड का एम्प्लिट्यूड $6 \ V$ है।

(D) एक आयाम मॉडुलित तरंग के लिए,अधिकतम आयाम $A_{\max} = 10 \ V$ और न्यूनतम आयाम $A_{\min} = 2 \ V$ है।
मॉडुलन सूचकांक $\mu$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है:
$\mu = \frac{A_{\max} - A_{\min}}{A_{\max} + A_{\min}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{10 - 2}{10 + 2} = \frac{8}{12}$
भिन्न को सरल करने पर:
$\mu = \frac{2}{3}$

(B) किसी माध्यम में संचरण के दौरान सिग्नल की शक्ति के ह्रास की प्रक्रिया को अटेन्युएशन (attenuation) कहा जाता है।
जब कोई सिग्नल किसी माध्यम से होकर गुजरता है,तो उसकी ऊर्जा अवशोषित या प्रकीर्णित हो जाती है,जिससे उसके आयाम या तीव्रता में कमी आती है,जिसे अटेन्युएशन कहते हैं।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक समान प्रतिरोधक का प्रतिरोध $R$ है और आदर्श सेल का विद्युत वाहक बल $V$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ होता है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I_s = \frac{V}{2R} = 2 \ A$ है,जिसका अर्थ है कि $V = 4R$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
सेल से ली गई कुल धारा $I_p = \frac{V}{R_p} = \frac{4R}{R/2} = 8 \ A$ है।
चूंकि प्रतिरोधक समान हैं और समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए धारा प्रत्येक प्रतिरोधक में समान रूप से विभाजित हो जाती है।
अतः,प्रत्येक प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $I' = \frac{I_p}{2} = \frac{8 \ A}{2} = 4 \ A$ होगी।

(D) दिया गया है:
चालक की लंबाई,$\ell = 20 \ cm = 0.2 \ m$
विभवांतर,$V = 16 \ V$
अनुगमन वेग,$V_d = 2.4 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$
विद्युत क्षेत्र,$E = \frac{V}{\ell} = \frac{16}{0.2} = 80 \ V/m$
इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता $\mu = \frac{V_d}{E}$ द्वारा परिभाषित होती है।
मान रखने पर:
$\mu = \frac{2.4 \times 10^{-4}}{80}$
$\mu = \frac{2.4}{80} \times 10^{-4} = 0.03 \times 10^{-4} = 3 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$

(D) धारा $i$ और समय $t$ के बीच का संबंध $i = 12t + 9t^2$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि आवेश $q$,समय के सापेक्ष धारा का समाकलन है: $q = \int_{t_1}^{t_2} i dt$.
यहाँ $t_1 = 2 \,s$ और $t_2 = 10 \,s$ दिया गया है,इसलिए:
$q = \int_{2}^{10} (12t + 9t^2) dt$
$q = [12 \cdot \frac{t^2}{2} + 9 \cdot \frac{t^3}{3}]_{2}^{10}$
$q = [6t^2 + 3t^3]_{2}^{10}$
अब,सीमाएं रखने पर:
$q = (6(10)^2 + 3(10)^3) - (6(2)^2 + 3(2)^3)$
$q = (600 + 3000) - (6 \cdot 4 + 3 \cdot 8)$
$q = 3600 - (24 + 24)$
$q = 3600 - 48 = 3552 \,C$.

(D) दिया गया है: लंबाई $l = 1.5 \ m$,क्षेत्रफल $A = 3 \times 10^{-5} \ m^2$,प्रतिरोध $R = 15 \ \Omega$,विद्युत क्षेत्र $E = 21 \ Vm^{-1}$।
हम जानते हैं कि धारा घनत्व $J = \sigma E$ होता है।
चूंकि चालकता $\sigma = \frac{l}{RA}$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$J = \left( \frac{l}{RA} \right) E$
$J = \frac{1.5 \times 21}{15 \times 3 \times 10^{-5}}$
$J = \frac{31.5}{45 \times 10^{-5}}$
$J = 0.7 \times 10^5 \ Am^{-2}$।

(D) यह परिपथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी कई शाखाओं से बना है।
$1$. पहली शाखा (सबसे बाईं ओर) में दो $5 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं,जिससे $R_1 = 5 \Omega + 5 \Omega = 10 \Omega$ प्राप्त होता है।
$2$. दूसरी शाखा में $10 \Omega$ का एक प्रतिरोधक सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है,इसलिए $R_2 = 10 \Omega$ है।
$3$. तीसरी शाखा में दो $5 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में हैं,जिससे $R_3 = 5 \Omega + 5 \Omega = 10 \Omega$ प्राप्त होता है।
$4$. चौथी शाखा में $10 \Omega$ का एक प्रतिरोधक सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है,इसलिए $R_4 = 10 \Omega$ है।
$5$. पांचवीं शाखा में $10 \Omega$ का एक प्रतिरोधक सीधे $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है,इसलिए $R_5 = 10 \Omega$ है।
ये सभी शाखाएं समानांतर में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$R_{eq} = 2 \Omega$

(A) प्रतिरोध के ताप गुणांक $\alpha$ का सूत्र $\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(T_2 - T_1)}$ है।
यह दिया गया है कि प्रतिरोध $10 \%$ बढ़ जाता है,इसलिए $R_2 = R_1 + 0.10 R_1 = 1.1 R_1$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 356 \ K - 303 \ K = 53 \ K$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\alpha = \frac{1.1 R_1 - R_1}{R_1(53)} = \frac{0.1 R_1}{53 R_1} = \frac{0.1}{53}$।
$\alpha \approx 0.001886 \ K^{-1} \approx 1.886 \times 10^{-3} \ K^{-1}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,$\alpha \approx 2 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रतिरोध की ताप पर निर्भरता का सूत्र $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ होता है।
यहाँ $R_1 = 2.5 \ \Omega$ तापमान $T_1 = 373 \ K$ पर है,$\alpha = 3.6 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ और $T_2 = 273 \ K$ है।
तापमान का अंतर $\Delta T = 373 - 273 = 100 \ K$ है।
सूत्र $R_2 = R_1 / (1 + \alpha \Delta T)$ का उपयोग करने पर:
$R_2 = 2.5 / (1 + 3.6 \times 10^{-3} \times 100)$
$R_2 = 2.5 / (1 + 0.36) = 2.5 / 1.36$
$R_2 \approx 1.838 \ \Omega \approx 1.84 \ \Omega$.

(D) व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलित होने के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{R_1}{R_4} = \frac{R_{\text{bulb}}}{R_3}$.
दिया गया है $R_1 = 4 \Omega$,$R_4 = 8 \Omega$,और $R_3 = 12 \Omega$:
$\frac{4}{8} = \frac{R_{\text{bulb}}}{12} \implies R_{\text{bulb}} = \frac{4 \times 12}{8} = 6 \Omega$.
बल्ब के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर,$V = i R_{\text{bulb}} = 6i$.
दिया गया है $V = i(2i + 1)$,दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$6i = i(2i + 1) \implies 6 = 2i + 1 \implies 2i = 5 \implies i = 2.5 \text{ A}$.
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,कुल वोल्टेज $V_b = i(R_1 + R_{\text{bulb}}) = 2.5(4 + 6) = 25 \text{ V}$.

(A) तापमान $T$ पर न्यूट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mKT}}$ है।
इससे यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_f = 1127^{\circ}C = 1127 + 273 = 1400 \ K$ है।
समानुपातिकता $\frac{\lambda_f}{\lambda_i} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\lambda_f}{\lambda} = \sqrt{\frac{350}{1400}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_f = \frac{\lambda}{2}$ होगी।

(A) किसी कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
इससे हमें प्राप्त होता है $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mK}}$,जिसका अर्थ है $K \propto \frac{1}{m\lambda^2}$।
दिया गया है कि $\lambda_p = 2\lambda_\alpha$ और अल्फा कण का द्रव्यमान $m_\alpha \approx 4m_p$ है:
$\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \left( \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} \right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{K_p}{K_\alpha} = \left( \frac{4m_p}{m_p} \right) \times \left( \frac{\lambda_\alpha}{2\lambda_\alpha} \right)^2$
$\frac{K_p}{K_\alpha} = 4 \times \frac{1}{4} = 1$
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $1: 1$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi_0$ कार्य फलन (work function) है।
चूंकि $K_{max} = eV_0$,जहाँ $V_0$ कट-ऑफ (स्टॉपिंग) विभव है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,इसलिए हमारे पास $eV_0 = h\nu - \phi_0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,कट-ऑफ वोल्टेज $V_0$ और आवृत्ति $\nu$ के बीच के ग्राफ का ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
मान रखने पर: $\text{ढाल} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{1.6 \times 10^{-19} \ C} = 4.14 \times 10^{-15} \ V \cdot s$.

(C) धातु का कार्य फलन $\phi_0 = 1.1 \ eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है।
चूँकि $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2(E - \phi_0)}{m}}$ होता है।
$E_1 = 1.5 \ eV$ ऊर्जा वाली पहली किरण के लिए,अधिकतम वेग $v_1 = \sqrt{\frac{2(1.5 - 1.1)}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.4)}{m}}$ है।
$E_2 = 2 \ eV$ ऊर्जा वाली दूसरी किरण के लिए,अधिकतम वेग $v_2 = \sqrt{\frac{2(2 - 1.1)}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.9)}{m}}$ है।
अधिकतम वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{0.4}{0.9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,अनुपात $2:3$ है।

(A) प्रकाश का तरंग सिद्धांत प्रकाश को एक निरंतर विद्युत चुम्बकीय तरंग के रूप में मानता है। हालाँकि यह मॉडल व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवण जैसी घटनाओं को सफलतापूर्वक समझाता है,लेकिन यह प्रकाशवैद्युत प्रभाव (photoelectric effect) को समझाने में विफल रहता है। प्रकाशवैद्युत प्रभाव में,इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन प्रकाश की तीव्रता के बजाय उसकी आवृत्ति पर निर्भर करता है,जो शास्त्रीय तरंग सिद्धांत के विपरीत है। इस घटना को प्रकाश की कण प्रकृति द्वारा समझाया जाता है,जहाँ प्रकाश ऊर्जा के छोटे पैकेटों से बना होता है जिन्हें फोटॉन कहा जाता है।

(C) दिया गया है:
धुरी की लंबाई,$l = 1.66 \ m$
ट्रेन की गति,$v = 90 \ km/h = 90 \times \frac{5}{18} \ m/s = 25 \ m/s$
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक,$B_v = 0.2 \times 10^{-4} \ T$
धुरी पर प्रेरित गतिकीय emf का सूत्र:
$e = B_v \cdot l \cdot v$
मान रखने पर:
$e = (0.2 \times 10^{-4} \ T) \times (1.66 \ m) \times (25 \ m/s)$
$e = 0.2 \times 1.66 \times 25 \times 10^{-4} \ V$
$e = 8.3 \times 10^{-4} \ V$
$e = 0.83 \times 10^{-3} \ V = 0.83 \ mV$

(B) घूमती हुई कुंडली में प्रेरित अधिकतम विद्युत वाहक बल $(emf)$ का सूत्र है:
$e_{\max} = N B A \omega$
जहाँ:
$N = 50$ (फेरों की संख्या)
$B = 2 \times 10^{-2} \,T$ (चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता)
$A = 200 \,cm^2 = 200 \times 10^{-4} \,m^2 = 2 \times 10^{-2} \,m^2$ (कुंडली का क्षेत्रफल)
$\omega = 40 \,rad/s$ (कोणीय चाल)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e_{\max} = 50 \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^{-2}) \times 40$
$e_{\max} = 50 \times 4 \times 10^{-4} \times 40$
$e_{\max} = 200 \times 40 \times 10^{-4}$
$e_{\max} = 8000 \times 10^{-4} = 0.8 \,V$
अतः,प्रेरित अधिकतम $emf$ $0.8 \,V$ है।

(C) $r_2$ त्रिज्या वाली बड़ी वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_2}$ होता है।
चूंकि $r_1 \ll r_2$,हम मान सकते हैं कि $r_1$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ एकसमान है।
छोटी कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left(\frac{\mu_0 I}{2 r_2}\right) \cdot (\pi r_1^2)$ है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ की परिभाषा के अनुसार $M = \frac{\phi}{I}$ होता है।
$\phi$ का मान रखने पर,हमें $M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: अन्योन्य प्रेरण $M = 8 \ mH = 8 \times 10^{-3} \ H$. धारा $I = 12 \sin 100t$.
दूसरी कुंडली में प्रेरित emf का सूत्र $\varepsilon = M \frac{dI}{dt}$ है।
$I$ का मान रखने पर:
$\varepsilon = M \frac{d}{dt} (12 \sin 100t)$
$\varepsilon = M \times 12 \times 100 \cos 100t$
$\varepsilon = 1200 M \cos 100t$.
प्रेरित emf का अधिकतम मान तब होता है जब $\cos 100t = 1$ हो:
$\varepsilon_{\max} = 1200 \times M$
$\varepsilon_{\max} = 1200 \times 8 \times 10^{-3} \ V$
$\varepsilon_{\max} = 9.6 \ V$.

(B) निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $(B_0)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $E_0 = c B_0$,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
$B_0 = 270 \ nT = 270 \times 10^{-9} \ T$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
मान रखने पर:
$E_0 = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (270 \times 10^{-9} \ T)$
$E_0 = 810 \times 10^{-1} \ NC^{-1} = 81 \ NC^{-1}$
अतः,विद्युत क्षेत्र का आयाम $81 \ NC^{-1}$ है।

(B) जब एक विद्युतचुंबकीय तरंग पूर्णतः अवशोषक सतह पर आपतित होती है,तो प्राप्त संवेग $p = \frac{U}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $U$ स्थानांतरित ऊर्जा है और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
हम जानते हैं कि विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र आयाम $E_0$ और चुंबकीय क्षेत्र आयाम $B_0$ के बीच संबंध $c = \frac{E_0}{B_0}$ होता है।
संवेग के समीकरण में $c$ का यह मान रखने पर:
$p = \frac{U}{E_0 / B_0} = \frac{U B_0}{E_0}$.
अतः,सतह को प्राप्त कुल संवेग का परिमाण $\frac{U B_0}{E_0}$ है।

(D) एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,शिखर विद्युत क्षेत्र $E_0$ और शिखर चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ के बीच का संबंध $E_0 = c B_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है:
$B_0 = 30 \times 10^{-9} \ T$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_0 = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (30 \times 10^{-9} \ T)$
$E_0 = 90 \times 10^{-1} \ Vm^{-1}$
$E_0 = 9 \ Vm^{-1}$
अतः,विद्युत क्षेत्र का शिखर मान $9 \ Vm^{-1}$ है।

(C) माना कि दो आवेश $Q_1$ और $Q_2$ हैं। दिया गया है $Q_1 + Q_2 = 36 \times 10^{-6} \ C$ और $r = 4 \ m$.
कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए: $F = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर: $0.18 = \frac{9 \times 10^9 \times Q_1 \times Q_2}{4^2}$.
$0.18 = \frac{9 \times 10^9 \times Q_1 Q_2}{16}$.
$Q_1 Q_2 = \frac{0.18 \times 16}{9 \times 10^9} = 0.02 \times 16 \times 10^{-9} = 320 \times 10^{-12} \ C^2$.
हमारे पास $Q_1 + Q_2 = 36 \times 10^{-6}$ और $Q_1 Q_2 = 320 \times 10^{-12}$ है।
ये द्विघात समीकरण $x^2 - (Q_1+Q_2)x + Q_1 Q_2 = 0$ के मूल हैं।
$x^2 - (36 \times 10^{-6})x + 320 \times 10^{-12} = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{(36 \times 10^{-6})^2 - 4(320 \times 10^{-12})}}{2}$.
$x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{1296 \times 10^{-12} - 1280 \times 10^{-12}}}{2} = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{16 \times 10^{-12}}}{2}$.
$x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm 4 \times 10^{-6}}{2}$.
अतः दो आवेश $20 \times 10^{-6} \ C$ और $16 \times 10^{-6} \ C$ हैं।
इसलिए,बड़ा आवेश $20 \mu C$ है।

(A) माना कि वह बिंदु जहाँ परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य है,$-8 \mu C$ आवेश से $x$ दूरी पर है। चूँकि आवेश विपरीत चिन्ह के हैं,इसलिए शून्य बिंदु आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश $(-8 \mu C)$ की ओर स्थित होगा।
माना $-8 \mu C$ से दूरी $x$ है। तब $+32 \mu C$ से दूरी $(15 + x)$ होगी।
शून्य बिंदु पर,दोनों आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$\frac{k |q_1|}{x^2} = \frac{k |q_2|}{(15 + x)^2}$
$\frac{8 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{32 \times 10^{-6}}{(15 + x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(15 + x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{15 + x}$
$15 + x = 2x$
$x = 15 \ cm$.

(C) मान लीजिए आवेश $q_1 = -10 \mu C$,$x_1 = 0$ पर और $q_2 = +5 \mu C$,$x_2 = \sqrt{2} \ m$ पर स्थित हैं।
चूंकि आवेश विपरीत चिह्न के हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र केवल आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश $(q_2)$ की ओर ही शून्य हो सकता है।
मान लीजिए कि उदासीन बिंदु $q_2$ से धनात्मक $x$-दिशा में $d$ दूरी पर है।
इस बिंदु पर $q_1$ और $q_2$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए:
$\frac{k|q_1|}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{k|q_2|}{d^2}$
$\frac{10}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{5}{d^2}$
$2d^2 = (d + \sqrt{2})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{2}d = d + \sqrt{2}$
$d(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}$
$d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \ m$.
इस बिंदु का $x$-निर्देशांक $x_2 + d = \sqrt{2} + (2 + \sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ m$ होगा।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = N i A B \sin \alpha$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
यहाँ दिया गया है कि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,$\tau = N i A B \cos \theta$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta$ कुंडली के तल और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है,यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $N = 400$,$i = 0.5 \ A$,$A = 10^{-2} \ m^2$,$B = 1 \ T$,और $\theta = 60^{\circ}$।
$\tau = 400 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 1 \times \cos 60^{\circ}$
$\tau = 400 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 1 \times 0.5$
$\tau = 200 \times 10^{-2} = 2 \times 0.5 = 1 \ Nm$.

(A) दिया गया है:
छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण,$m = 10^{-4} Am^2$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 12 \times 10^{-3} T$
कोण,$\theta = 30^{\circ}$
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में छड़ चुंबक पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = mB \sin \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = (10^{-4} Am^2) \times (12 \times 10^{-3} T) \times \sin(30^{\circ})$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$:
$\tau = 10^{-4} \times 12 \times 10^{-3} \times 0.5$
$\tau = 12 \times 10^{-7} \times 0.5$
$\tau = 6 \times 10^{-7} Nm$

(A) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \pi N I r^2}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$
अतः,$B \propto \frac{1}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$.
यहाँ $x_A = 4 \ cm$ और $x_B = 3 \sqrt{3} \ cm$ दिया गया है।
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_A}{B_B} = \frac{216}{125}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{x_B^2 + r^2}{x_A^2 + r^2} \right)^{3/2} = \frac{216}{125}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\left( \frac{x_B^2 + r^2}{x_A^2 + r^2} \right)^{1/2} = \frac{6}{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(3 \sqrt{3})^2 + r^2}{4^2 + r^2} = \frac{36}{25}$
$\frac{27 + r^2}{16 + r^2} = \frac{36}{25}$
$25(27 + r^2) = 36(16 + r^2)$
$675 + 25r^2 = 576 + 36r^2$
$11r^2 = 99$
$r^2 = 9 \Rightarrow r = 3 \ cm$.

(B) दिया गया है: तार $A$ में धारा $I_1 = 2 \ A$। तार $B$ में धारा $I_2 = 6 \ A$। तार $A$ से बिंदु $P$ की दूरी $r_1 = 2 \ m$। तार $B$ से बिंदु $P$ की दूरी $r_2 = 5 \ m - 2 \ m = 3 \ m$।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,तार $A$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है,और तार $B$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर है।
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $A$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2}{2} = 2 \times 10^{-7} \ T$ (अंदर की ओर)।
तार $B$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{6}{3} = 4 \times 10^{-7} \ T$ (बाहर की ओर)।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = |B_2 - B_1| = |4 \times 10^{-7} - 2 \times 10^{-7}| = 2 \times 10^{-7} \ T$।

(D) दिया गया है: तार की लंबाई $L = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$,धारा $I = \frac{3}{\pi^2} \text{ A}$।
जब तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो इसकी लंबाई वृत्त की परिधि के बराबर हो जाती है: $L = 2 \pi R$।
$20 \times 10^{-2} = 2 \pi R \Rightarrow R = \frac{10^{-1}}{\pi} \text{ m}$।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (\frac{3}{\pi^2})}{2 \times (\frac{10^{-1}}{\pi})}$।
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{2 \times 10^{-1} \times \pi} = \frac{12 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 10^{-1}} = 6 \times 10^{-6} \text{ T}$।

(D) छड़ की त्रिज्या $R = \text{व्यास} / 2 = 4 \text{ mm} / 2 = 2 \text{ mm}$ है।
छड़ के अंदर $r_1 = 1 \text{ mm}$ $(r_1 < R)$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_1 = \frac{\mu_0 i r_1}{2 \pi R^2}$
छड़ के बाहर $r_2 = 4 \text{ mm}$ $(r_2 > R)$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r_2}$
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 i r_1}{2 \pi R^2}}{\frac{\mu_0 i}{2 \pi r_2}} = \frac{r_1 r_2}{R^2}$
$r_1 = 1 \text{ mm}$,$r_2 = 4 \text{ mm}$,और $R = 2 \text{ mm}$ मान रखने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1 \times 4}{(2)^2} = \frac{4}{4} = 1: 1$

(C) लॉरेंट्ज़ बल का सूत्र: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$
दिया गया है: $q = 2 \ C$,$\overrightarrow{V} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ ms^{-1}$,$\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,$\overrightarrow{E} = (-2 \hat{k}) \ NC^{-1}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 4) = 12 \hat{i} - 9 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
अब,लॉरेंट्ज़ बल के समीकरण में मान रखने पर:
$\overrightarrow{F} = 2[(-2 \hat{k}) + (12 \hat{i} - 9 \hat{j} + 2 \hat{k})]$
$\overrightarrow{F} = 2[12 \hat{i} - 9 \hat{j}] = 24 \hat{i} - 18 \hat{j}$.
बल का परिमाण:
$|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(24)^2 + (-18)^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \ N$.

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में हेलिकल पथ की पिच $p$ का सूत्र है: $p = \frac{2 \pi m v \cos \theta}{q B}$।
चूंकि वेग $v$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ और कोण $\theta$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए पिच द्रव्यमान और आवेश के अनुपात के समानुपाती होती है: $p \propto \frac{m}{q}$।
अतः,कणों $A$ और $B$ के लिए पिच का अनुपात: $\frac{p_A}{p_B} = \frac{m_A / q_A}{m_B / q_B}$ होगा।
दिया गया है कि $m_A = m$,$q_A = 2q$,$m_B = 2m$,और $q_B = 3q$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{p_A}{p_B} = \frac{m / 2q}{2m / 3q} = \frac{m}{2q} \times \frac{3q}{2m} = \frac{3}{4}$।
अतः,अनुपात $3:4$ है।

(A) गुरुत्वाकर्षण के तहत स्वतंत्र रूप से गिरते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,इसका वेग सदिश नीचे की ओर निर्देशित होता है,जिसे $\overrightarrow{v} = -v_0 \hat{k}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र दक्षिण दिशा की ओर है,जिसे $\overrightarrow{B} = -B_0 \hat{j}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
आवेशित कण पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\overrightarrow{F}$,$\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = -e$ है।
मान रखने पर:
$\overrightarrow{F} = -e [(-v_0 \hat{k}) \times (-B_0 \hat{j})]$
$\overrightarrow{F} = -e [v_0 B_0 (\hat{k} \times \hat{j})]$
चूंकि $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{F} = -e [v_0 B_0 (-\hat{i})]$
$\overrightarrow{F} = e v_0 B_0 \hat{i}$
दिशा $\hat{i}$ पूर्व दिशा के अनुरूप है।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन शुरू में पूर्व की ओर विक्षेपित होता है।

(A) अतिचालक (Superconductors) वे पदार्थ हैं जो एक क्रांतिक तापमान से नीचे पूर्ण प्रतिचुंबकत्व प्रदर्शित करते हैं,जिसे माइसनर प्रभाव (Meissner effect) के रूप में जाना जाता है। इस अवस्था में,पदार्थ के भीतर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है,जो उन्हें सबसे विशिष्ट प्रतिचुंबकीय पदार्थ बनाता है।