TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2$,$2h' = h$,और $b = 6$ प्राप्त होता है।
माना कि दो रेखाओं की ढाल $m_1$ और $m_2$ है।
दिया गया है कि $m_1 = 3m_2$ है।
हम जानते हैं कि ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ होता है।
$m_1 = 3m_2$ को गुणनफल में रखने पर,$(3m_2)m_2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 3m_2^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m_2 = \pm \frac{1}{3}$।
अतः,$m_1 = 3(\pm \frac{1}{3}) = \pm 1$।
ढाल का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h'}{b} = -\frac{h}{6}$ है।
$m_1$ और $m_2$ के मान रखने पर: $\pm 1 \pm \frac{1}{3} = -\frac{h}{6}$।
धनात्मक स्थिति के लिए: $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = -8$।
ऋणात्मक स्थिति के लिए: $-1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} = -\frac{h}{6} \Rightarrow h = 8$।
अतः,$h = \pm 8$।

(A) दिया गया बहुपद समीकरण $x^5+4 x^4-13 x^3-52 x^2+36 x+144=0$ है।
हमें दिया गया है कि $2$ एक मूल है।
बहुपद विभाजन द्वारा,हम समीकरण के गुणनखंड कर सकते हैं।
$x^5+4 x^4-13 x^3-52 x^2+36 x+144$ को $(x-2)$ से विभाजित करने पर,हमें भागफल $x^4+6x^3-x^2-54x-72$ प्राप्त होता है।
आगे गुणनखंड करने पर,हमें समीकरण के मूल $-4, -3, -2, 2, 3$ प्राप्त होते हैं।
शर्त $\alpha < \beta < \gamma < 2 < \varepsilon$ के अनुसार,हम मूलों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
$\alpha = -4, \beta = -3, \gamma = -2, \varepsilon = 3$।
अब,व्यंजक की गणना करें:
$\alpha+2 \beta+3 \gamma+5 \varepsilon = (-4) + 2(-3) + 3(-2) + 5(3)$
$= -4 - 6 - 6 + 15$
$= -16 + 15 = -1$.

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $2x^3-5x^2+4x-3=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = \frac{5}{2}$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$,और $\alpha\beta\gamma = \frac{3}{2}$।
हम जानते हैं कि $\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$।
मान रखने पर:
$\sum \alpha\beta(\alpha+\beta) = (\frac{5}{2})(2) - 3(\frac{3}{2})$
$= 5 - \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{2x^3+1}{2x^2-x-6} = ax+b+\frac{A}{px-2}+\frac{B}{2x+q}$ है।
$2x^3+1$ को $2x^2-x-6$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2x^3+1}{2x^2-x-6} = (x + \frac{1}{2}) + \frac{\frac{17}{2}x+4}{2x^2-x-6}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $2x^2-x-6 = (x-2)(2x+3)$.
$\frac{\frac{17}{2}x+4}{(x-2)(2x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{2x+3}$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर.
$A = \frac{17}{7}$ और $B = \frac{23}{14}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $a=1, b=\frac{1}{2}, p=1, q=3, A=\frac{17}{7}, B=\frac{23}{14}$ प्राप्त होता है।
$51apB = 51 \times 1 \times 1 \times \frac{23}{14} = \frac{1173}{14}$.
$23bqA = 23 \times \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{17}{7} = \frac{1173}{14}$.
अतः,$51apB = 23bqA$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,मूल $\alpha, \beta = \sqrt{3} \pm i$ प्राप्त होते हैं।
ध्रुवीय रूप में,$\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ और $\beta = 2(\cos \frac{-\pi}{6} + i \sin \frac{-\pi}{6})$ है।
अतः $\alpha^{2024} - \beta^{2024} = 2^{2024} [2i \sin(\frac{2024\pi}{6})] = -i \sqrt{3} \cdot 2^{2024}$ है।
इस प्रकार,$\frac{2}{\sqrt{3}} |\alpha^{2024} - \beta^{2024}| = 2^{2025}$।

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2+ax+b=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -a = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $a = -\frac{1}{2}$।
सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{37}{8} = (\frac{1}{2})^3 - 3b(\frac{1}{2})$
$\frac{37}{8} = \frac{1}{8} - \frac{3b}{2}$
$\frac{36}{8} = -\frac{3b}{2}$
$\frac{9}{2} = -\frac{3b}{2} \Rightarrow b = -3$।
अंत में,$a-\frac{1}{b}$ की गणना करने पर:
$a-\frac{1}{b} = -\frac{1}{2} - (\frac{1}{-3}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{-3+2}{6} = -\frac{1}{6}$।

(D) माना $\alpha$ समीकरणों $2x^2+ax-2=0$ और $x^2+x+2a=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
तब $2\alpha^2+a\alpha-2=0$ और $\alpha^2+\alpha+2a=0$ होगा।
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2\alpha^2+2\alpha+4a=0$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण से घटाने पर: $(a-2)\alpha - 2 - 4a = 0$,अतः $\alpha = \frac{4a+2}{a-2}$।
$\alpha$ का मान $x^2+x+2a=0$ में रखने पर: $(\frac{4a+2}{a-2})^2 + \frac{4a+2}{a-2} + 2a = 0$।
$a \neq 0$ के लिए इस समीकरण को हल करने पर,हमें $a = -3$ प्राप्त होता है।
$a = -3$ को $ax^2-4x-2a=0$ में रखने पर,हमें $-3x^2-4x+6=0$ या $3x^2+4x-6=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-6)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{22}}{3}$।
अतः,एक मूल $\frac{-2+\sqrt{22}}{3}$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल वास्तविक और समान होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $3x^2 + (2k + 1)x - 5k = 0$.
यहाँ $a = 3$,$b = (2k + 1)$,और $c = -5k$.
$D = (2k + 1)^2 - 4(3)(-5k) = 0$.
$4k^2 + 4k + 1 + 60k = 0$.
$4k^2 + 64k + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{-64 \pm \sqrt{4080}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{255}}{2}$.
शर्त $-\frac{1}{2} < k < 0$ के अनुसार,$k = \frac{-16 + \sqrt{255}}{2}$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया व्यंजक $f(x) = -3x^2 + 6x + 7$ है।
$ax^2 + bx + c$ से तुलना करने पर,$a = -3, b = 6, c = 7$ प्राप्त होता है।
चरम मान $x = \alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-3)} = 1$ पर प्राप्त होता है।
चरम मान $\beta = f(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 7 = 10$ है।
अब,समीकरण $x^2 + \alpha x - \beta = 0$,$x^2 + x - 10 = 0$ बन जाता है।
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
तब $x_1 + x_2 = -1$ और $x_1x_2 = -10$ है।
मूलों के वर्गों का योग $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ है।
मान रखने पर,$x_1^2 + x_2^2 = (-1)^2 - 2(-10) = 1 + 20 = 21$।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{x-1}{\sqrt{2x^2-5x+2}} = \frac{41}{60}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x^2-2x+1}{2x^2-5x+2} = \frac{1681}{3600}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$3600(x^2-2x+1) = 1681(2x^2-5x+2)$.
$3600x^2 - 7200x + 3600 = 3362x^2 - 8405x + 3362$.
$238x^2 + 1205x + 238 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(34x + 7)(7x + 34) = 0$.
अतः,$x = -\frac{7}{34}$ या $x = -\frac{34}{7}$.
चूंकि $-\frac{1}{2} < \alpha < 0$ और $-\frac{7}{34} \approx -0.205$ जबकि $-\frac{34}{7} \approx -4.857$,इसलिए मूल $\alpha = -\frac{7}{34}$ शर्त को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया समीकरण $3x^3 + bx^2 + bx + 3 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3(x^3 + 1) + bx(x + 1) = 0$.
$3(x + 1)(x^2 - x + 1) + bx(x + 1) = 0$.
$(x + 1)(3x^2 - 3x + 3 + bx) = 0$.
$(x + 1)(3x^2 + (b - 3)x + 3) = 0$.
एक मूल $x = -1$ है। अन्य दो मूल $3x^2 + (b - 3)x + 3 = 0$ के मूल हैं।
$f(x) = 3x^2 + (b - 3)x + 3$ मानिए।
$A$ के लिए: सभी मूल ऋणात्मक हैं। यदि $b = 9$,$f(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$. मूल $-1, -1, -1$ हैं। सभी ऋणात्मक हैं। अतः $A \rightarrow IV$.
$B$ के लिए: दो मूल सम्मिश्र हैं। विविक्तकर $D < 0 \Rightarrow (b - 3)^2 - 4(3)(3) < 0 \Rightarrow (b - 3)^2 < 36 \Rightarrow -6 < b - 3 < 6 \Rightarrow -3 < b < 9$. अतः $B \rightarrow II$.
$C$ के लिए: दो मूल धनात्मक हैं। यदि $b = -3$,$f(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$. मूल $-1, 1, 1$ हैं। दो धनात्मक हैं। अतः $C \rightarrow V$.
$D$ के लिए: सभी मूल वास्तविक और भिन्न हैं। $D > 0$ और $f(-1) \neq 0$. $D = (b - 3)^2 - 36 > 0 \Rightarrow b \in (-\infty, -3) \cup (9, \infty)$. साथ ही $f(-1) = 3 - (b - 3) + 3 = 9 - b \neq 0 \Rightarrow b \neq 9$. अतः $D \rightarrow III$.
अतः,$A-IV, B-II, C-V, D-III$.

(B) माना मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं ताकि $\alpha+\beta=0$,जिसका अर्थ है $\beta=-\alpha$।
चूंकि $\alpha$ और $-\alpha$ मूल हैं,बहुपद $(x-\alpha)(x+\alpha) = x^2-\alpha^2$ से विभाज्य है।
माना अन्य दो मूल $\gamma$ और $\delta$ हैं। तब $(x^2-\alpha^2)(x^2-Sx+P) = x^4-Sx^3+(P-\alpha^2)x^2+S\alpha^2x-P\alpha^2 = x^4-x^3-16x^2+4x+48$।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$S=1$
$P-\alpha^2=-16$
$S\alpha^2=4$ $\Rightarrow 1 \cdot \alpha^2=4$ $\Rightarrow \alpha^2=4$।
अतः,$\alpha=2, \beta=-2$।
$P-\alpha^2=-16$ से,हमें $P-4=-16 \Rightarrow P=-12$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$-P\alpha^2=48 \Rightarrow -(-12)(4)=48$,जो सुसंगत है।
चूंकि $S=\gamma+\delta=1$ और $P=\gamma\delta=-12$,हमारे पास $\gamma^2+\delta^2 = (\gamma+\delta)^2-2\gamma\delta = 1^2-2(-12) = 1+24=25$ है।
तब $\gamma^4+\delta^4 = (\gamma^2+\delta^2)^2-2\gamma^2\delta^2 = 25^2-2(-12)^2 = 625-288=337$।
अंत में,$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4+\delta^4 = 2^4+(-2)^4+337 = 16+16+337 = 369$।

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{2}$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{5}{2}$
$\alpha \beta \gamma = \frac{7}{2}$
हमें $\sum \alpha^2 \beta^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \alpha \beta, b = \beta \gamma, c = \gamma \alpha$:
$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = (\alpha \beta)^2 + (\beta \gamma)^2 + (\gamma \alpha)^2 + 2(\alpha \beta^2 \gamma + \beta \gamma^2 \alpha + \gamma \alpha^2 \beta)$
$(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)^2 = \sum \alpha^2 \beta^2 + 2 \alpha \beta \gamma(\beta + \gamma + \alpha)$
मान रखने पर:
$(\frac{5}{2})^2 = \sum \alpha^2 \beta^2 + 2(\frac{7}{2})(\frac{3}{2})$
$\frac{25}{4} = \sum \alpha^2 \beta^2 + \frac{21}{2}$
$\sum \alpha^2 \beta^2 = \frac{25}{4} - \frac{42}{4} = -\frac{17}{4}$

(C) दिया गया समीकरण: $8x^3 - 42x^2 + 63x - 27 = 0$ . . . $(i)$
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $(i)$ के मूल हैं,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = \frac{27}{8}$ है।
$\beta, \gamma, \alpha$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,अतः $\gamma^2 = \beta \alpha$ है।
अतः,$\gamma \cdot \gamma^2 = \frac{27}{8} \implies \gamma^3 = \frac{27}{8} \implies \gamma = \frac{3}{2}$।
मूलों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$।
$\alpha + \beta = \frac{21}{4} - \frac{3}{2} = \frac{15}{4}$ और $\alpha \beta = \frac{9}{4}$ है,इसलिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $4t^2 - 15t + 9 = 0$ के मूल हैं,जिसे हल करने पर $t = \frac{3}{4}$ या $t = 3$ प्राप्त होता है।
$\beta < \gamma < \alpha$ के अनुसार,$\beta = \frac{3}{4}, \gamma = \frac{3}{2}, \alpha = 3$ है।
व्यंजक $\frac{3}{2}x^2 + 3x + 3$ का चरम मान $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$ सूत्र से:
$\frac{4(\frac{3}{2})(3) - (3)^2}{4(\frac{3}{2})} = \frac{18 - 9}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 + 3 x^2 - 10 x - 24 = 0$ है।
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$x = 3$ के लिए: $(3)^3 + 3(3)^2 - 10(3) - 24 = 27 + 27 - 30 - 24 = 0$।
अतः,$(x - 3)$ एक गुणनखंड है।
बहुपद को $(x - 3)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - 3)(x^2 + 6 x + 8) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 4)(x + 2) = 0$।
मूल $3, -2, -4$ हैं।
चूँकि $\alpha > \beta > \gamma$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = 3, \beta = -2, \gamma = -4$ है।
इन मानों को व्यंजक $\alpha^3 + 3 \beta^2 - 10 \gamma - 24$ में रखने पर:
$(3)^3 + 3(-2)^2 - 10(-4) - 24 = 27 + 12 + 40 - 24 = 55$।
चूँकि $55 = 11 k$ दिया गया है,इसलिए $k = 5$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $12 x^{1/3} - 25 x^{1/6} + 12 = 0$.
माना $t = x^{1/6}$. तब समीकरण $12 t^2 - 25 t + 12 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $12 t^2 - 16 t - 9 t + 12 = 0 \Rightarrow 4 t(3 t - 4) - 3(3 t - 4) = 0$.
$(4 t - 3)(3 t - 4) = 0$,अतः $t = \frac{3}{4}$ या $t = \frac{4}{3}$.
चूंकि $\alpha > \beta$ और $x^{1/6} = t$,हमें $\alpha^{1/6} = \frac{4}{3}$ और $\beta^{1/6} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
हमें $\sqrt[6]{\frac{\alpha}{\beta}} = \frac{\alpha^{1/6}}{\beta^{1/6}}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{4/3}{3/4} = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^3-3x^2+3x+7=0$।
इसे $(x-1)^3 + 8 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए $(x-1)^3 = -8$।
अतः,$x-1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$।
मूल $\alpha = -1, \beta = 1-2\omega, \gamma = 1-2\omega^2$ हैं।
माना $y = x-h$,इसलिए $x = y+h$। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(y+h-1)^3 + 8 = 0$।
$y^2$ और $y$ पदों के अनुपस्थित होने के लिए,$h-1 = 0$ होना चाहिए,इसलिए $h=1$।
नए मूल $\alpha-h = -2, \beta-h = -2\omega, \gamma-h = -2\omega^2$ हैं।
हमें $S = \frac{\alpha-h}{\beta-h} + \frac{\beta-h}{\gamma-h} + \frac{\gamma-h}{\alpha-h}$ की गणना करनी है।
$S = \frac{-2}{-2\omega} + \frac{-2\omega}{-2\omega^2} + \frac{-2\omega^2}{-2} = \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega} + \omega^2 = \omega^2 + \omega^2 + \omega^2 = 3\omega^2$।

(D) दिया गया समीकरण $f(x) = 16x^4 + 16x^3 - 4x - 1 = 0$ है। चूँकि इसका एक बहुविध मूल है,मान लीजिए $\alpha$ बहुविध मूल है। तब $f(\alpha) = 0$ और $f'(\alpha) = 0$ होगा।
$f'(x) = 64x^3 + 48x^2 - 4$। $f'(\alpha) = 0$ रखने पर $16\alpha^3 + 12\alpha^2 - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$f(\alpha) = 16\alpha^4 + 16\alpha^3 - 4\alpha - 1 = 0$ में $16\alpha^3 = 1 - 12\alpha^2$ प्रतिस्थापित करने पर $16\alpha^4 + (1 - 12\alpha^2) - 4\alpha - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो $16\alpha^4 - 12\alpha^2 - 4\alpha = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $4\alpha(4\alpha^3 - 3\alpha - 1) = 0$ मिलता है। चूँकि $\alpha \neq 0$,हम $4\alpha^3 - 3\alpha - 1 = 0$ को हल करते हैं,जो $(\alpha - 1)(2\alpha + 1)^2 = 0$ के रूप में गुणनखंडित होता है।
$\alpha = 1$ को $f(x)$ में रखने पर $16+16-4-1 \neq 0$ मिलता है। अतः,$\alpha = -\frac{1}{2}$ बहुविध मूल है।
$f(x)$ को $(x + \frac{1}{2})^2 = (x^2 + x + \frac{1}{4})$ से विभाजित करने पर,$16x^2 - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = \pm \frac{1}{2}$ मिलता है।
मूल $\alpha = -\frac{1}{2}, \beta = -\frac{1}{2}, \gamma = -\frac{1}{2}, \delta = \frac{1}{2}$ हैं।
अतः $\frac{1}{\alpha^4} + \frac{1}{\beta^4} + \frac{1}{\gamma^4} + \frac{1}{\delta^4} = (-2)^4 + (-2)^4 + (-2)^4 + (2)^4 = 16 + 16 + 16 + 16 = 64$।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $4x^3-3x^2+2x-1=0$ के मूल हैं।
अतः,$4\alpha^3=3\alpha^2-2\alpha+1$,$4\beta^3=3\beta^2-2\beta+1$ और $4\gamma^3=3\gamma^2-2\gamma+1$।
योग करने पर: $4(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) = 3(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) - 2(\alpha+\beta+\gamma) + 3$।
विएटा के सूत्रों के अनुसार: $\alpha+\beta+\gamma = \frac{3}{4}$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{1}{2}$।
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\frac{3}{4})^2 - 2(\frac{1}{2}) = \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}$।
मान रखने पर: $4(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3) = 3(-\frac{7}{16}) - 2(\frac{3}{4}) + 3 = \frac{3}{16}$।
अतः,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = \frac{3}{64}$।

(C) माना $z = (\sqrt{3}-i)^{2/5} = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))]^{2/5}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$5$ मान $z_k = 2^{2/5} [\cos(\frac{4k\pi}{5} - \frac{\pi}{15}) + i \sin(\frac{4k\pi}{5} - \frac{\pi}{15})]$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4$.
समीकरण $z^5 = (\sqrt{3}-i)^2 = 2 - 2\sqrt{3}i$ के मूलों का गुणनफल $(-1)^{n-1} c$ होता है।
यहाँ $n=5$ और $c = 2 - 2\sqrt{3}i$ है।
अतः,गुणनफल $= (-1)^{5-1} (2 - 2\sqrt{3}i) = 2 - 2\sqrt{3}i = 2(1 - \sqrt{3}i)$.

(A) दिया गया है: $\frac{(2-i) x+(1+i)}{2+i}+\frac{(1-2 i) y+(1-i)}{1+2 i}=1-2 i$
प्रथम पद को $\frac{2-i}{2-i}$ से और दूसरे पद को $\frac{1-2i}{1-2i}$ से गुणा करने पर:
$\frac{(2-i)^2 x+(1+i)(2-i)}{5}+\frac{(1-2 i)^2 y+(1-i)(1-2 i)}{5}=1-2 i$
$\Rightarrow \frac{(3-4i)x + (3+i)}{5} + \frac{(-3-4i)y + (-1-3i)}{5} = 1-2i$
$\Rightarrow (3x-3y-1) + i(-4x-4y-2) = 5-10i$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$3x-3y-1 = 5 \Rightarrow 3x-3y = 6 \Rightarrow x-y = 2 \quad (i)$
$-4x-4y-2 = -10 \Rightarrow -4x-4y = -8 \Rightarrow x+y = 2 \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
$x=2$ को $(ii)$ में रखने पर,$2+y = 2 \Rightarrow y = 0$.
अतः,$2x+4y = 2(2) + 4(0) = 4$.

(A) दिया गया है $x+iy = \frac{13 \sqrt{-5+12i}}{(2-3i)(3+2i)}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $(2-3i)(3+2i) = 12-5i$.
$\sqrt{-5+12i} = 2+3i$ लेने पर (चूँकि $x, y > 0$ है)।
अतः $x+iy = \frac{13(2+3i)}{12-5i} = \frac{13(2+3i)(12+5i)}{169} = \frac{9+46i}{13} = \frac{9}{13} + i\frac{46}{13}$.
अतः $x = \frac{9}{13}$ और $y = \frac{46}{13}$.
अंत में,$13y-26x = 13(\frac{46}{13}) - 26(\frac{9}{13}) = 46 - 18 = 28$.

(A) दिया गया समीकरण $z^2+az+a^2=0$ है,जहाँ $a \in R$ है।
यह $z$ में एक द्विघात समीकरण है। इसके मूल द्विघात सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$z = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(1)(a^2)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{-3a^2}}{2} = \frac{-a \pm i a \sqrt{3}}{2}$.
अब,हम $z$ का मापांक ज्ञात करते हैं:
$|z| = \left| \frac{-a}{2} \pm i \frac{a \sqrt{3}}{2} \right|$.
$|z| = \sqrt{\left( \frac{-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a \sqrt{3}}{2} \right)^2}$.
$|z| = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
अतः,$|z|=|a|$।

(C) दिया गया है कि $|x|=1$ और $\operatorname{Arg}(x)=2\alpha$,अतः $x=e^{i 2\alpha}$ है।
दिया गया है कि $|y|=1$ और $\operatorname{Arg}(y)=3\beta$,अतः $y=e^{i 3\beta}$ है।
तब $x^6 y^4 = (e^{i 2\alpha})^6 (e^{i 3\beta})^4 = e^{i 12\alpha} e^{i 12\beta} = e^{i 12(\alpha+\beta)}$ है।
दिया गया है कि $\alpha+\beta = \frac{\pi}{36}$,इस मान को रखने पर:
$x^6 y^4 = e^{i 12(\frac{\pi}{36})} = e^{i \frac{\pi}{3}}$ है।
अब,$x^6 y^4 + \frac{1}{x^6 y^4} = e^{i \frac{\pi}{3}} + e^{-i \frac{\pi}{3}}$ है।
यूलर के सूत्र $e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$।

(A) दिया गया है कि $|Z_1| = |Z_2| = |Z_3| = 1$।
हम जानते हैं कि $|Z|^2 = Z \overline{Z}$।
दिया गया है $|Z_1-Z_2|^2+|Z_1-Z_3|^2=4$।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(Z_1-Z_2)(\overline{Z_1}-\overline{Z_2}) + (Z_1-Z_3)(\overline{Z_1}-\overline{Z_3}) = 4$।
$Z_1\overline{Z_1} - Z_1\overline{Z_2} - \overline{Z_1}Z_2 + Z_2\overline{Z_2} + Z_1\overline{Z_1} - Z_1\overline{Z_3} - \overline{Z_1}Z_3 + Z_3\overline{Z_3} = 4$।
चूंकि $|Z_1|^2 = |Z_2|^2 = |Z_3|^2 = 1$,इसलिए:
$1 - (Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2) + 1 + 1 - (Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3) + 1 = 4$।
$4 - (Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2 + Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3) = 4$।
अतः,$Z_1\overline{Z_2} + \overline{Z_1}Z_2 + Z_1\overline{Z_3} + \overline{Z_1}Z_3 = 0$।

(A) दिया गया है $z = \frac{(2-i)(1+i)^3}{(1-i)^2}$.
सबसे पहले,$(1+i)^3 = -2 + 2i$ और $(1-i)^2 = -2i$ प्राप्त करते हैं।
अतः,$z = \frac{(2-i)(-2+2i)}{-2i} = \frac{(2-i)(1-i)}{i} = \frac{1-3i}{i} = -3-i$.
चूँकि $z = -3-i$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\operatorname{Arg}(z) = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ होगा।

(B) दिया गया है $z=1-\sqrt{3} i$।
हम जानते हैं कि $(z-1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1$।
अतः,$z^3 - 3z^2 + 3z = (z-1)^3 + 1$।
व्यंजक में $z = 1 - \sqrt{3} i$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(z-1) = (1 - \sqrt{3} i - 1) = -\sqrt{3} i$।
अब,$(z-1)^3$ की गणना करें:
$(-\sqrt{3} i)^3 = -(\sqrt{3})^3 \times i^3 = -3\sqrt{3} \times (-i) = 3\sqrt{3} i$।
अंततः,$z^3 - 3z^2 + 3z = 3\sqrt{3} i + 1 = 1 + 3\sqrt{3} i$।

(A) दिया गया है $Z_1 = \sqrt{3} + i \sqrt{3} = \sqrt{6} e^{i \frac{\pi}{4}}$ और $Z_2 = \sqrt{3} + i = 2 e^{i \frac{\pi}{6}}$.
तब $\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\sqrt{6}}{2} e^{i \frac{\pi}{12}}$.
अब,$\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{50\pi}{12}} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{25\pi}{6}}$.
चूंकि $\frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)^{50} = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{50} e^{i \frac{\pi}{6}}$.
यह $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ के रूप में है जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\frac{\pi}{6}$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए बिंदु $(x, y)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

(C) समीकरण $x^2+2x+4=0$ को $(x+1)^2+3=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = -1 \pm \sqrt{3}i$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,$\alpha = -1 + \sqrt{3}i = 2\text{cis}(\frac{2\pi}{3})$.
अतः $\beta = -1 - \sqrt{3}i = 2\text{cis}(-\frac{2\pi}{3})$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\alpha^{2024} = 2^{2024}\text{cis}(\frac{4\pi}{3})$ और $\beta^{2024} = 2^{2024}\text{cis}(-\frac{4\pi}{3})$.
अब,$\alpha^{2024}-\beta^{2024} = 2^{2024}(\text{cis}(\frac{4\pi}{3}) - \text{cis}(-\frac{4\pi}{3}))$.
$= 2^{2024}(i\sin(\frac{4\pi}{3}) - i\sin(-\frac{4\pi}{3})) = 2^{2024}(-i\sqrt{3}) = -2^{2024}\sqrt{3}i$.
$ik$ के साथ तुलना करने पर,$k = -2^{2024}\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास $(-64 i)^{5 / 6} = (64)^{5 / 6} \times (-i)^{5 / 6}$ है।
चूँकि $-i = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)}$,इसलिए:
$(-64 i)^{5 / 6} = 32 \times (e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)})^{5 / 6} = 32 \times e^{i(\frac{15\pi}{12} + \frac{10k\pi}{6})}$.
$k = 3$ के लिए,घातांक $i(\frac{15\pi}{12} + 5\pi) = i(\frac{5\pi}{4} + 5\pi) = i(\frac{25\pi}{4})$ हो जाता है।
चूँकि $\frac{25\pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4}$,इसलिए $e^{i(6\pi + \pi/4)} = e^{i\pi/4} = \cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})$.
अतः,मान $32(\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}) = 16\sqrt{2}(1+i)$ है।

(D) इकाई के $n^{\text{th}}$ मूल $e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ है।
$12^{\text{th}}$ इकाई के मूल $e^{i \frac{k_1\pi}{6}}$ हैं और $30^{\text{th}}$ इकाई के मूल $e^{i \frac{k_2\pi}{15}}$ हैं।
उभयनिष्ठ मूलों की संख्या $\gcd(n, m)$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
यहाँ,$\gcd(12, 30) = 6$ है।
अतः,कुल $6$ उभयनिष्ठ मूल हैं।

(C) माना $X = a+b\omega+c\omega^2$. ध्यान दें कि $\omega X = a\omega+b\omega^2+c$ और $\omega^2 X = a\omega^2+b+c\omega$.
दिया गया व्यंजक $\left(\frac{X}{c+a\omega+b\omega^2}\right)^k + \left(\frac{X}{b+a\omega^2+c\omega}\right)^l = 2$ है।
चूंकि $c+a\omega+b\omega^2 = \omega X$ और $b+a\omega^2+c\omega = \omega^2 X$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{X}{\omega X}\right)^k + \left(\frac{X}{\omega^2 X}\right)^l = 2$
$\left(\frac{1}{\omega}\right)^k + \left(\frac{1}{\omega^2}\right)^l = 2$
$\omega^{-k} + \omega^{-2l} = 2$
चूंकि $\omega^3 = 1$,हमारे पास $\omega^{-k} = 1$ और $\omega^{-2l} = 1$ होना चाहिए।
अतः,$k$,$3$ का गुणज है और $l$,$3$ का गुणज है।
इसलिए,$2k+l$,$3$ से विभाज्य है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-x+1=0$ है। चूँकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2-\alpha+1=0$।
$\alpha$ से विभाजित करने पर,$\alpha-1+\frac{1}{\alpha}=0$,अतः $\alpha+\frac{1}{\alpha}=1$।
अब,$\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2 = \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}+2 = 1^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2} = -1$।
साथ ही,$\alpha^3+\frac{1}{\alpha^3} = (\alpha+\frac{1}{\alpha})(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}-1) = (1)(-1-1) = -2$।
$\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}$ के लिए,हम $(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2})^2 = \alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}+2 = (-1)^2 = 1$ का उपयोग करते हैं,अतः $\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4} = -1$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(1)^3 + (-1)^3 + (-2)^3 + (-1)^3 = 1 - 1 - 8 - 1 = -9$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^{14}+x^9-x^5-1=0$
व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x^9(x^5+1) - 1(x^5+1) = 0$
$(x^9-1)(x^5+1) = 0$
इसका अर्थ है $x^5 = -1$ या $x^9 = 1$।
$x^5 = -1$ के लिए,$x^5 = \cos(180^{\circ}) + i\sin(180^{\circ})$।
मूल $x = \cos(\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{5}) + i\sin(\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{5})$ द्वारा प्राप्त होते हैं,जहाँ $k=0, 1, 2, 3, 4$ है।
$k=0$ के लिए,$x = \cos(36^{\circ}) + i\sin(36^{\circ})$।
त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर,$\cos(36^{\circ}) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin(36^{\circ}) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$।
अतः,$x = \frac{\sqrt{5}+1}{4} + i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ एक मूल है।

(C) दिया गया है $z = x + iy$।
समीकरण $|z - 1| + |z + i| = 2$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$|(x - 1) + iy| + |x + i(y + 1)| = 2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x - 1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y + 1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 + 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
$-2x - 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
$-2$ से विभाजित करने पर: $x + y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$।
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$।
$x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$।
सरल करने पर: $3x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 4y = 0$।

(C) दी गई सम्मिश्र संख्या $z = \sqrt{5} - i \sqrt{15}$ है।
$r(\cos \theta + i \sin \theta)$ से तुलना करने पर,$r = |z| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{15})^2} = \sqrt{5 + 15} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r^2 = 20$.
हमें $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} = \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{-\sqrt{15}}{2 \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = 2$.
और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{4}{3}$.
इन मानों को व्यंजक $r^2(\sec \theta + 3 \operatorname{cosec}^2 \theta)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$20 \times (2 + 3 \times \frac{4}{3}) = 20 \times (2 + 4) = 20 \times 6 = 120$.

(B) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{2z-i}{z-2} = \frac{2(x+iy)-i}{(x+iy)-2} = \frac{2x + i(2y-1)}{(x-2) + iy}$ है।
इसे शुद्ध वास्तविक बनाने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x-2) - iy$ से गुणा करें:
$\frac{[2x + i(2y-1)][(x-2) - iy]}{(x-2)^2 + y^2} = \frac{2x(x-2) + y(2y-1) + i[(2y-1)(x-2) - 2xy]}{(x-2)^2 + y^2}$ है।
व्यंजक के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$(2y-1)(x-2) - 2xy = 0$ है।
$2xy - 4y - x + 2 - 2xy = 0$ है।
$-x - 4y + 2 = 0$,जो सरल होकर $x + 4y - 2 = 0$ हो जाता है।
चूंकि हर $z-2 \neq 0$ है,इसलिए $(x, y) \neq (2, 0)$ होना चाहिए।

(B) माना $z = x + iy$ है।
व्यंजक $\frac{2z-i}{z+2i} = \frac{2(x+iy)-i}{(x+iy)+2i} = \frac{2x + i(2y-1)}{x + i(y+2)}$ है।
कोणांक ज्ञात करने के लिए,हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
$\frac{2x + i(2y-1)}{x + i(y+2)} \times \frac{x - i(y+2)}{x - i(y+2)} = \frac{2x^2 + (2y-1)(y+2) + i[x(2y-1) - 2x(y+2)]}{x^2 + (y+2)^2}$।
वास्तविक भाग $R = \frac{2x^2 + 2y^2 + 3y - 2}{x^2 + (y+2)^2}$ और काल्पनिक भाग $I = \frac{-5x}{x^2 + (y+2)^2}$ है।
दिया गया है कि $\text{Arg}\left(\frac{2z-i}{z+2i}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{I}{R} = 1$।
अतः,$I = R$,जिसका अर्थ है $\frac{-5x}{x^2 + (y+2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 + 3y - 2}{x^2 + (y+2)^2}$।
इसका सरलीकरण $2x^2 + 2y^2 + 5x + 3y - 2 = 0$ है,जहाँ $(x, y) \neq (0, -2)$।

(C) अंकों ${2, 3, 5, 7}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई गई कुल $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $4! = 24$ है।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर समान संख्या में आता है,जो $\frac{24}{4} = 6$ बार है।
अंकों का योग $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$ है।
प्रत्येक स्थान पर मानों का योग $S \times 6 = 17 \times 6 = 102$ है।
कुल योग $102 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 102 \times 1111 = 113322$ है।

(A) संख्याएँ $\{3, 5, 6, 7, 8\}$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई $4$-अंकीय संख्याएँ हैं।
चूंकि संख्याएँ $6000$ और $10000$ के बीच हैं,इसलिए पहला अंक $6, 7$ या $8$ होना चाहिए।
कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $= 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$ हैं।
सम संख्या के लिए,अंतिम अंक $6$ या $8$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: पहला अंक $6$ है। अंतिम अंक $8$ होना चाहिए। शेष $2$ स्थानों को $3$ अंकों द्वारा $^3 P_2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: पहला अंक $7$ है। अंतिम अंक $6$ या $8$ ($2$ तरीके) हो सकता है। शेष $2$ स्थानों को $3$ अंकों द्वारा $^3 P_2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है। कुल $= 2 \times 6 = 12$।
स्थिति $3$: पहला अंक $8$ है। अंतिम अंक $6$ होना चाहिए। शेष $2$ स्थानों को $3$ अंकों द्वारा $^3 P_2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल सम संख्याएँ $= 6 + 12 + 6 = 24$ हैं।
कुल विषम संख्याएँ $= 72 - 24 = 48$ हैं।
अंतर $= 48 - 24 = 24$ है।
चूंकि ${ }^4 P_3 = 24$,इसलिए अंतर ${ }^4 P_3$ है।

(B) $0, 3, 6, 9$ अंकों का उपयोग करके बिना दोहराव के बनने वाली सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि ऐसी कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$ हैं।
चरण $1$: ${0, 3, 6, 9}$ द्वारा बनने वाली सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात करें (जिसमें $0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ भी शामिल हैं)।
अंकों का योग $0+3+6+9 = 18$ है। प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान पर $3! = 6$ बार आता है।
प्रत्येक स्थान पर अंकों का योग $6 \times 18 = 108$ है।
कुल योग $108 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 108 \times 1111 = 119988$ है।
चरण $2$: ${3, 6, 9}$ द्वारा बनने वाली सभी $3$-अंकीय संख्याओं का योग ज्ञात करें (ये वे संख्याएँ हैं जो $4$-अंकीय सेट में $0$ से शुरू होती हैं)।
अंकों का योग $3+6+9 = 18$ है। प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान पर $2! = 2$ बार आता है।
प्रत्येक स्थान पर अंकों का योग $2 \times 18 = 36$ है।
इन संख्याओं का योग $36 \times (100 + 10 + 1) = 36 \times 111 = 3996$ है।
चरण $3$: कुल योग में से $0$ से शुरू होने वाली संख्याओं का योग घटाएं।
योग $= 119988 - 3996 = 115992$।

(A) $ACCOMMODATION$ शब्द में $13$ अक्षर हैं: $A-2, C-2, O-3, M-2, D-1, T-1, I-1, N-1$। कुल $8$ भिन्न अक्षर हैं: ${A, C, O, M, D, T, I, N}$।
$4$ अक्षरों का चयन करने के लिए निम्नलिखित स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं:
$1$. $3$ समान और $1$ भिन्न: ${O}$ में से $1$ और शेष $7$ में से $1$ चुनने के तरीके: ${}^{1}C_{1} \times {}^{7}C_{1} = 7$।
$2$. $2$ समान और $2$ समान: $4$ जोड़ों ${A, C, O, M}$ में से $2$ चुनने के तरीके: ${}^{4}C_{2} = 6$।
$3$. $2$ समान और $2$ भिन्न: $4$ जोड़ों में से $1$ और शेष $7$ में से $2$ चुनने के तरीके: ${}^{4}C_{1} \times {}^{7}C_{2} = 4 \times 21 = 84$।
$4$. सभी $4$ भिन्न: $8$ में से $4$ चुनने के तरीके: ${}^{8}C_{4} = 70$।
कुल तरीके $= 7 + 6 + 84 + 70 = 167$।

(D) '$COLLEGE$' शब्द के अक्षर $C, E, E, G, L, L, O$ हैं। शब्दकोश के क्रम के अनुसार गणना करने पर,'$COLLEGE$' शब्द की रैंक $179$ प्राप्त होती है।

(A) "$COMBINATIONS$" शब्द में $12$ अक्षर हैं: $C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N, S$.
व्यंजन: $C, M, B, N, N, T, S$ ($7$ अक्षर,जिसमें $N$ दो बार आता है)।
स्वर: $O, I, A, I, O$ ($5$ अक्षर,जिसमें $O$ दो बार और $I$ दो बार आता है)।
सबसे पहले,$7$ व्यंजनों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। चूंकि $N$ दो बार आता है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(7-1)!}{2!} = \frac{6!}{2!}$ है।
$7$ व्यंजनों के बीच $7$ स्थान बनते हैं। हमें $5$ स्वरों को इन $7$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी दो स्वर एक साथ न आएं। $7$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके ${ }^{7}C_{5}$ हैं।
$5$ स्वरों को इन $5$ चुने गए स्थानों में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। चूंकि $O$ और $I$ प्रत्येक दो बार आते हैं,इसलिए व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{5!}{2!2!}$ है।
कुल तरीकों की संख्या $= \frac{6!}{2!} \times { }^{7}C_{5} \times \frac{5!}{2!2!} = \frac{7!6!}{(2!)^4}$.

(D) $n$ भिन्न वस्तुओं में से $r$ वस्तुएं लेकर बनने वाले वृत्तीय क्रमचयों की संख्या $\frac{n!}{r(n-r)!}$ होती है।
$n_1$ के लिए,$n=9$ और $r=5$:
$n_1 = \frac{9!}{5(9-5)!} = \frac{9!}{5 \cdot 4!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
$n_2$ के लिए,$8$ भिन्न वस्तुओं में से $4$ वस्तुएं लेकर बनने वाले रैखिक क्रमचयों की संख्या $P(8, 4) = \frac{8!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680$.
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{9}{5}$.

(A) माना भाग $A, B, C$ से दिए गए प्रश्नों की संख्या क्रमशः $a, b, c$ है,जहाँ $a+b+c=7$ और $0 \le a \le 4, 0 \le b \le 3, 0 \le c \le 2$ है।
संभावित संयोजन $(a, b, c)$ इस प्रकार हैं:
$(4, 3, 0): \binom{7}{4} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{0} = 350$
$(4, 2, 1): \binom{7}{4} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{1} = 1050$
$(4, 1, 2): \binom{7}{4} \times \binom{5}{1} \times \binom{3}{2} = 525$
$(3, 3, 1): \binom{7}{3} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{1} = 1050$
$(3, 2, 2): \binom{7}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{3}{2} = 1050$
$(2, 3, 2): \binom{7}{2} \times \binom{5}{3} \times \binom{3}{2} = 630$
कुल तरीके $= 350 + 1050 + 525 + 1050 + 1050 + 630 = 4655$.

(D) एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। दिए गए अंक $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं।
हमें $S$ से $3$ अंक इस प्रकार चुनने हैं कि उनका योग $3$ का गुणज हो।
$3$ अंकों के संभावित सेट हैं:
$1) \{1, 3, 5\} \rightarrow \text{योग} = 9$ ($3$ से विभाज्य)
$2) \{1, 5, 9\} \rightarrow \text{योग} = 15$ ($3$ से विभाज्य)
$3) \{3, 5, 7\} \rightarrow \text{योग} = 15$ ($3$ से विभाज्य)
$4) \{5, 7, 9\} \rightarrow \text{योग} = 21$ ($3$ से विभाज्य)
इस प्रकार,$3$ अंकों के $4$ सेट हैं जिनका योग $3$ से विभाज्य है।
प्रत्येक सेट को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल संख्याएँ $= 4 \times 6 = 24$.

(C) मान लीजिए $m_L, m_G$ व्यक्ति के रिश्तेदारों में से आमंत्रित महिलाओं और पुरुषों की संख्या है,और $w_L, w_G$ पत्नी के रिश्तेदारों में से आमंत्रित महिलाओं और पुरुषों की संख्या है।
हमें $m_L + w_L = 3$ और $m_G + w_G = 3$ चाहिए,जहाँ $0 \le m_L, m_G \le 3$ और $0 \le w_L, w_G \le 3$ है।
व्यक्ति के पास $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं। पत्नी के पास $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं।
$(m_L, m_G)$ और $(w_L, w_G)$ के लिए संभावित स्थितियाँ:
$1$. $(m_L, m_G) = (0, 3)$ और $(w_L, w_G) = (3, 0)$: तरीके $= {^4C_0} \times {^3C_3} \times {^3C_3} \times {^4C_0} = 1$.
$2$. $(m_L, m_G) = (1, 2)$ और $(w_L, w_G) = (2, 1)$: तरीके $= {^4C_1} \times {^3C_2} \times {^3C_2} \times {^4C_1} = 144$.
$3$. $(m_L, m_G) = (2, 1)$ और $(w_L, w_G) = (1, 2)$: तरीके $= {^4C_2} \times {^3C_1} \times {^3C_1} \times {^4C_2} = 324$.
$4$. $(m_L, m_G) = (3, 0)$ और $(w_L, w_G) = (0, 3)$: तरीके $= {^4C_3} \times {^3C_0} \times {^3C_0} \times {^4C_3} = 16$.
कुल तरीके $= 1 + 144 + 324 + 16 = 485$.

(C) $4$ अलग-अलग वस्तुओं को $6$ व्यक्तियों में वितरित करने के कुल तरीके $= 6^4 = 1296$ हैं।
प्रत्येक व्यक्ति कितनी भी वस्तुएं प्राप्त कर सकता है।
किसी एक विशिष्ट व्यक्ति को सभी $4$ वस्तुएं मिलने के तरीकों की संख्या $1$ है।
चूंकि $6$ व्यक्ति हैं,इसलिए ऐसे $6$ मामले हैं जिनमें एक व्यक्ति को सभी वस्तुएं मिल जाती हैं।
अतः,उन तरीकों की संख्या जिनमें किसी भी व्यक्ति को सभी वस्तुएं न मिलें,$= 1296 - 6 = 1290$ है।

(C) $6$ अलग वस्तुओं में से प्रत्येक को $2$ बक्सों में से किसी एक में $2$ तरीकों से रखा जा सकता है।
चूंकि $6$ वस्तुएं हैं,इसलिए उन्हें वितरित करने के कुल तरीके $2^6 = 64$ हैं।
हालांकि,इसमें $2$ स्थितियां शामिल हैं जिनमें एक बक्सा खाली रहता है (अर्थात,सभी $6$ वस्तुएं पहले बक्से में हैं,या सभी $6$ वस्तुएं दूसरे बक्से में हैं)।
चूंकि शर्त यह है कि कोई भी बक्सा खाली नहीं होना चाहिए,इसलिए हम इन $2$ स्थितियों को घटा देते हैं।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$.

(C) दिया गया है $f(x) f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right)$.
माना $f(x) = x^2 + 1$ एक द्विघात फलन है।
मान ज्ञात करने पर:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} + 1 = \frac{13}{9}$.
$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$.
अब,$\sqrt{f\left(\frac{2}{3}\right) + f\left(\frac{3}{2}\right)} = \sqrt{\frac{13}{9} + \frac{13}{4}} = \sqrt{\frac{169}{36}} = \frac{13}{6}$.

(A) $A(1, -2, 1)$ और $B(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1} = K$ है।
रेखा $AB$ पर स्थित कोई भी बिंदु $D(\alpha, \beta, \gamma) = (K+1, K-2, K+1)$ के रूप में होगा।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $\langle 1, 1, 1 \rangle$ हैं।
सदिश $\vec{CD} = (\alpha-1, \beta-2, \gamma-3) = (K, K-4, K-2)$ है।
चूंकि $CD \perp AB$,इसलिए $\vec{CD}$ और रेखा $AB$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$1(K) + 1(K-4) + 1(K-2) = 0$.
$3K - 6 = 0 \Rightarrow K = 2$.
$K=2$ रखने पर,$\alpha = 3, \beta = 0, \gamma = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3^2 + 0^2 + 3^2 = 18$.

(B) चूंकि बिंदु $A, B, C, D$ संरेख हैं,वे $D(-5, 6, 1)$ से गुजरने वाली एक ही रेखा पर स्थित हैं।
रेखा के दिक अनुपात $(p, q, r)$ मान लीजिए। रेखा का समीकरण $\frac{x+5}{p} = \frac{y-6}{q} = \frac{z-1}{r} = k$ है।
बिंदु $A(-2, 4, a)$ के लिए: $\frac{3}{p} = \frac{-2}{q} = \frac{a-1}{r}$।
बिंदु $B(1, b, 3)$ के लिए: $\frac{6}{p} = \frac{b-6}{q} = \frac{2}{r}$।
बिंदु $C(c, 0, 4)$ के लिए: $\frac{c+5}{p} = \frac{-6}{q} = \frac{3}{r}$।
गणना करने पर $c=4, b=2, a=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = 2+2+4 = 8$।

(B) माना $V = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{k=1}^{n} \left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log V = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)$.
यह $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में एक रीमान योग है जहाँ $f(x) = \log(1+x^2)$:
$\log V = \int_{0}^{1} \log(1+x^2) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log(1+x^2) dx = x \log(1+x^2) - 2x + 2 \tan^{-1}(x)$.
$0$ से $1$ तक मान ज्ञात करने पर:
$\log V = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.
अतः,$V = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi}{2}-2}$.

(C) वक्र $y = 8x^3 - 1$,$x$-अक्ष $(y=0)$ को $8x^3 - 1 = 0$ पर काटता है,जिससे $x^3 = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{1}{2}$.
$x \in [-1, \frac{1}{2}]$ के लिए,$y \le 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} -(8x^3 - 1) dx = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - 8x^3) dx$ होगा।
$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ के लिए,$y \ge 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल $\int_{\frac{1}{2}}^{1} (8x^3 - 1) dx$ होगा।
कुल क्षेत्रफल = $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} (1 - 8x^3) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} (8x^3 - 1) dx$.
$= [x - 2x^4]_{-1}^{\frac{1}{2}} + [2x^4 - x]_{\frac{1}{2}}^{1}$.
$= ((\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{16})) - (-1 - 2(1))) + ((2(1) - 1) - (2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2}))$.
$= ((\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) - (-3)) + (1 - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2}))$.
$= (\frac{3}{8} + 3) + (1 - (-\frac{3}{8}))$.
$= \frac{27}{8} + \frac{11}{8} = \frac{38}{8} = \frac{19}{4}$ वर्ग इकाई।

(D) वक्रों $y^2=4(x+7)$ और $y^2=5(2-x)$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y^2$ के व्यंजकों को बराबर करने पर:
$4(x+7) = 5(2-x)$
$4x + 28 = 10 - 5x$
$9x = -18$
$x = -2$
$x = -2$ को $y^2 = 4(x+7)$ में रखने पर,हमें $y^2 = 4(-2+7) = 4(5) = 20$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 2\sqrt{5})$ और $(-2, -2\sqrt{5})$ हैं।
दोनों वक्रों के लिए $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$y^2 = 4(x+7)$ के लिए,$x = \frac{y^2}{4} - 7$।
$y^2 = 5(2-x)$ के लिए,$x = 2 - \frac{y^2}{5}$।
क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष $-2\sqrt{5}$ से $2\sqrt{5}$ तक का समाकलन है:
क्षेत्रफल $= \int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} \left[ (2 - \frac{y^2}{5}) - (\frac{y^2}{4} - 7) \right] dy$
$= \int_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} (9 - \frac{9y^2}{20}) dy$
$= \left[ 9y - \frac{9y^3}{60} \right]_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}} = \left[ 9y - \frac{3y^3}{20} \right]_{-2\sqrt{5}}^{2\sqrt{5}}$
$= \left( 9(2\sqrt{5}) - \frac{3(2\sqrt{5})^3}{20} \right) - \left( 9(-2\sqrt{5}) - \frac{3(-2\sqrt{5})^3}{20} \right)$
$= 2 \left( 18\sqrt{5} - \frac{3(8 \times 5\sqrt{5})}{20} \right)$
$= 2 \left( 18\sqrt{5} - 6\sqrt{5} \right) = 2(12\sqrt{5}) = 24\sqrt{5}$।

(D) दिए गए वक्र $y^2 = 4(x+1)$ और $y^2 = 5(x-4)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $x$ के मानों की तुलना करें:
$x = \frac{y^2}{4} - 1$ और $x = \frac{y^2}{5} + 4$.
$\frac{y^2}{4} - 1 = \frac{y^2}{5} + 4$
$\frac{y^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 5$
$\frac{y^2}{20} = 5 \implies y^2 = 100 \implies y = \pm 10$.
जब $y = 10$, तो $x = \frac{100}{4} - 1 = 24$. अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $(24, 10)$ और $(24, -10)$ हैं।
क्षेत्रफल $\int_{-10}^{10} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \int_{-10}^{10} [(\frac{y^2}{4} - 1) - (\frac{y^2}{5} + 4)] dy = \int_{-10}^{10} (\frac{y^2}{20} - 5) dy = 2 \int_{0}^{10} (\frac{y^2}{20} - 5) dy = 2 [\frac{y^3}{60} - 5y]_0^{10} = 2 [\frac{1000}{60} - 50] = 2 [\frac{50}{3} - 50] = 2 [-\frac{100}{3}] = -200/3$. निरपेक्ष मान लेने पर, क्षेत्रफल $= 200/3$.

(B) दिए गए समीकरण $ay = x^2$ और $x + y = 2a$ हैं।
पहले समीकरण से,$y = \frac{x^2}{a}$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + \frac{x^2}{a} = 2a$।
$a$ से गुणा करने पर,हमें $ax + x^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है,जिसे $x^2 + ax - 2a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 2a)(x - a) = 0$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -2a$ और $x = a$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच का समाकलन है:
$A = \int_{-2a}^{a} (2a - x - \frac{x^2}{a}) dx$।
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$A = [2ax - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3a}]_{-2a}^{a}$।
सीमाओं पर मान रखने पर:
$A = (2a^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{3}) - (-4a^2 - 2a^2 + \frac{8a^2}{3}) = \frac{9}{2}a^2$।
चूंकि क्षेत्रफल $ka^2$ है,इसलिए $k = \frac{9}{2}$ है।

(B) दिया गया है कि $5 A^{-1}=\begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
दोनों पक्षों में $A$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5 I = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y & y \\ y & x & y \\ y & y & x \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3x+4y & 2x-y & 2x-y \\ 2x-y & -3x+4y & 2x-y \\ 2x-y & 2x-y & -3x+4y \end{bmatrix}$
अवयवों की तुलना करने पर,$-3x+4y=5$ और $2x-y=0$ प्राप्त होता है।
$2x-y=0$ से,$y=2x$ प्राप्त होता है। पहले समीकरण में मान रखने पर: $-3x+4(2x)=5 \Rightarrow 5x=5 \Rightarrow x=1$.
अतः $y=2(1)=2$.
इस प्रकार,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
दिए गए समीकरण $5 A^{-1} = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$5 A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = A - 4 I$.
दाहिनी ओर $A$ से गुणा करने पर: $5 I = A^2 - 4 A$.

(A) सबसे पहले,हम $AA^T$ की गणना करते हैं:
$AA^T = \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}9 & 1 & 7 \\ 3 & 5 & 6 \\ 0 & 8 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}90 & 24 & 81 \\ 24 & 90 & 53 \\ 81 & 53 & 89\end{array}\right]$
इसके बाद,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{lll}9 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 8 \\ 7 & 6 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}84 & 42 & 24 \\ 70 & 76 & 56 \\ 83 & 63 & 52\end{array}\right]$
अब,$AA^T - A^2$ ज्ञात करें:
$AA^T - A^2 = \left[\begin{array}{ccc}90-84 & 24-42 & 81-24 \\ 24-70 & 90-76 & 53-56 \\ 81-83 & 53-63 & 89-52\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6 & -18 & 57 \\ -46 & 14 & -3 \\ -2 & -10 & 37\end{array}\right]$
सभी अवयवों $a_{ij}$ का योग है:
$\sum a_{ij} = 6 - 18 + 57 - 46 + 14 - 3 - 2 - 10 + 37 = 35$.

(D) माना $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ है।
प्रत्येक पंक्ति का योग $6$ है:
$a_{11} + a_{12} + a_{13} = 6 \dots (i)$
$a_{21} + a_{22} + a_{23} = 6 \dots (ii)$
$a_{31} + a_{32} + a_{33} = 6 \dots (iii)$
विकर्ण अवयवों पर दी गई शर्त से:
$a_{11} = a_{12} + a_{21} \dots (iv)$
$a_{22} = a_{23} + a_{32} = 2 \dots (v)$
$a_{33} = a_{13} + a_{31} \dots (vi)$
चूंकि अवयव धनात्मक पूर्णांक हैं,$(v)$ से,$a_{23} = 1$ और $a_{32} = 1$ प्राप्त होता है। $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$a_{21} + 2 + 1 = 6 \Rightarrow a_{21} = 3$।
$(iv)$ से,$a_{11} = a_{12} + 3$। $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(a_{12} + 3) + a_{12} + a_{13} = 6 \Rightarrow 2a_{12} + a_{13} = 3$। चूंकि $a_{ij} \ge 1$,हमें $a_{12} = 1, a_{13} = 1$ और $a_{11} = 4$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ और $(vi)$ से,$a_{31} + a_{32} + a_{33} = 6 \Rightarrow a_{31} + 1 + a_{33} = 6 \Rightarrow a_{31} + a_{33} = 5$। साथ ही $a_{33} = a_{13} + a_{31} = 1 + a_{31}$।
योग में $a_{33}$ का मान रखने पर,$a_{31} + (1 + a_{31}) = 5 \Rightarrow 2a_{31} = 4 \Rightarrow a_{31} = 2$,अतः $a_{33} = 3$।
इस प्रकार,$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ है।
$|A| = 4(6 - 1) - 1(9 - 2) + 1(3 - 4) = 4(5) - 1(7) + 1(-1) = 20 - 7 - 1 = 12$।

(C) दिया गया है $A^2+I=2 A$,इसलिए $A^2=2 A-I$.
$A$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $A^3=2 A^2-A=2(2 A-I)-A=4 A-2 I-A=3 A-2 I$.
अब,$A^6 = A^3 \cdot A^3 = (3 A-2 I)(3 A-2 I) = 9 A^2-12 A+4 I$.
$A^2=2 A-I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $A^6 = 9(2 A-I)-12 A+4 I = 18 A-9 I-12 A+4 I = 6 A-5 I$.
अंत में,$A^9 = A^6 \cdot A^3 = (6 A-5 I)(3 A-2 I) = 18 A^2-12 A-15 A+10 I = 18 A^2-27 A+10 I$.
पुनः $A^2=2 A-I$ प्रतिस्थापित करने पर,$A^9 = 18(2 A-I)-27 A+10 I = 36 A-18 I-27 A+10 I = 9 A-8 I$.

(A) दिया गया है कि $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ है।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $-AB + BA = 0$,अर्थात $AB = BA$ है।
$AB$ की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2 & y+4 \\ 2x+1 & 2y+2 \end{bmatrix}$।
$BA$ की गणना करने पर: $\begin{bmatrix} x & y \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2y & 2x+y \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$।
दोनों आव्यूहों की तुलना करने पर:
$2x+1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$।
$2y+2 = 4 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$।
दिया गया है कि $C = \begin{bmatrix} x & 2 \\ 1 & y \end{bmatrix}$,इसलिए $C$ का ट्रेस उसके विकर्ण तत्वों का योग है: $\operatorname{Trace}(C) = x + y = 2 + 1 = 3$।

(B) दिया गया है कि $A+B$ सममित है,इसलिए $(A+B)^T = A+B \Rightarrow A^T+B^T = A+B$.
दिया गया है कि $A-B$ विषम-सममित है,इसलिए $(A-B)^T = -(A-B) \Rightarrow A^T-B^T = -A+B$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2A^T = 2B \Rightarrow B = A^T$.
इन दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2B^T = 2A \Rightarrow B^T = A$.
चूंकि $A = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -2 \\ 3 & -4 & 5\end{array}\right]$,इसलिए $B = A^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right]$ है।
दिया गया है $D = C^T$,और $C = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]$,इसलिए $D = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
अब,$B+D = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 5\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 6 & 3 \\ 3 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 6\end{array}\right]$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $M$ के लिए,$|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ होता है।
इसलिए,$|(\operatorname{Adj}(AB))^{-1}| = \frac{1}{|\operatorname{Adj}(AB)|}$।
गुणधर्म $\operatorname{Adj}(AB) = (\operatorname{Adj} B)(\operatorname{Adj} A)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\operatorname{Adj}(AB)| = |\operatorname{Adj} B| \cdot |\operatorname{Adj} A| = y \cdot x = xy$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$|(\operatorname{Adj}(AB))^{-1}| = \frac{1}{xy}$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ के लिए,प्रतिलोम का सहखंडज (adjoint) गुणधर्म $\operatorname{Adj}\left(A^{-1}\right)=(\operatorname{Adj} A)^{-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यह आव्यूहों का एक मानक गुणधर्म है जहाँ सहखंडज संक्रिया और प्रतिलोम संक्रिया क्रमविनिमेय होती हैं।

(A) माना कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right|$.
$R_1$ को $c$ से,$R_2$ को $a$ से,और $R_3$ को $b$ से गुणा करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2 & c^2 & c^2 \\ a^2 & b^2+c^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ और $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2-c^2 & 0 & c^2 \\ 0 & b^2+c^2-a^2 & a^2 \\ b^2-c^2-a^2 & b^2-a^2-c^2 & c^2+a^2 \end{array} \right|$.
$R_3 \rightarrow R_3 + R_1 + R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a^2+b^2-c^2 & 0 & c^2 \\ 0 & b^2+c^2-a^2 & a^2 \\ 2b^2-2c^2 & 2b^2-2a^2 & 2a^2+2c^2 \end{array} \right|$.
सारणिक का सरलीकरण करने पर,हमें $\Delta = 4abc$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(4-3) - 2(6-3) + 2(3-2) = 1(1) - 2(3) + 2(1) = 1 - 6 + 2 = -3$.
इसके बाद,हम $A$ का सहखंडज आव्यूह $adj(A)$ ज्ञात करते हैं। सहखंडों का आव्यूह इस प्रकार है:
$C_{11} = (4-3) = 1, C_{12} = -(6-3) = -3, C_{13} = (3-2) = 1$
$C_{21} = -(4-2) = -2, C_{22} = (2-2) = 0, C_{23} = -(1-2) = 1$
$C_{31} = (6-4) = 2, C_{32} = -(3-6) = 3, C_{33} = (2-6) = -4$
अतः,$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$.
अब $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ के सभी अवयवों का योग:
$-\frac{1}{3} (1 - 3 + 1 - 2 + 0 + 1 + 2 + 3 - 4) = -\frac{1}{3} (-1) = \frac{1}{3}$.

(D) सबसे पहले,हम $\Delta_1$ को सरल करते हैं:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 1 & b^2 & ca \\ 1 & c^2 & ab\end{array}\right|$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 0 & b^2-a^2 & c(a-b) \\ 0 & c^2-a^2 & b(a-c)\end{array}\right| = (b-a)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & bc \\ 0 & b+a & -c \\ 0 & c+a & -b\end{array}\right|$
प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर: $(b-a)(c-a) [-(b+a)b + c(c+a)] = (b-a)(c-a) [-b^2-ab+c^2+ac] = (b-a)(c-a) [(c-b)(c+b) + a(c-b)] = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c) = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
इसके बाद,हम $\Delta_2$ को सरल करते हैं:
$\Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.
दिया गया है कि $\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{11}$,इसलिए $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)} = \frac{a+b+c}{ab+bc+ca} = \frac{6}{11}$.
अतः,$11(a+b+c) = 6(ab+bc+ca)$.

(B) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\frac{-bc}{a^2} & \frac{c}{a} & \frac{b}{a} \\ \frac{c}{b} & \frac{-ac}{b^2} & \frac{a}{b} \\ \frac{b}{c} & \frac{a}{c} & \frac{-ab}{c^2}\end{array}\right|$.
सारणिक को $a^2b^2c^2$ से गुणा और भाग करने पर:
$\Delta = \frac{1}{a^2b^2c^2} \left|\begin{array}{ccc}-bc & ac & ab \\ bc & -ac & ab \\ bc & ac & -ab\end{array}\right|$.
अब $C_1$ से $a$,$C_2$ से $b$ और $C_3$ से $c$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{a^2b^2c^2} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right| = \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} [(-1)(0 - 4)] = \frac{4}{abc}$.
इस प्रकार के सारणिक का मानक मान $4$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}x-2 & 3(x-1) & 5(x-1) \\ x-4 & 3(x-3) & 5(x-5) \\ x-8 & 3(x-9) & 5(x-25)\end{array}\right|=0$.
$C_2$ और $C_3$ से क्रमशः $3$ और $5$ उभयनिष्ठ लेने पर: $15 \left|\begin{array}{ccc}x-2 & x-1 & x-1 \\ x-4 & x-3 & x-5 \\ x-8 & x-9 & x-25\end{array}\right|=0$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ संक्रिया लगाने पर: $\left|\begin{array}{ccc}x-2 & 0 & x-1 \\ x-4 & 2 & x-5 \\ x-8 & 16 & x-25\end{array}\right|=0$.
$C_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2((x-2)(x-25) - (x-1)(x-8)) + 16((x-2)(x-5) - (x-1)(x-4)) = 0$.
$-2(x^2-27x+50 - (x^2-9x+8)) + 16(x^2-7x+10 - (x^2-5x+4)) = 0$.
$-2(-18x+42) + 16(-2x+6) = 0$.
$36x - 84 - 32x + 96 = 0 \Rightarrow 4x + 12 = 0 \Rightarrow x = -3$.
$x = -3$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$x^2+2x-3=0$ में $x = -3$ रखने पर,$(-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.
अतः,$x = -3$ समीकरण $x^2+2x-3=0$ को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}x & 2 & 2 \\ 2 & x & 2 \\ 2 & 2 & x\end{array}\right|=0$ है।
$C_1 \rightarrow C_1-C_2$ और $C_2 \rightarrow C_2-C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\begin{array}{ccc}x-2 & 0 & 2 \\ 2-x & x-2 & 2 \\ 0 & 2-x & x\end{array}\right|=0$.
$C_1$ और $C_2$ से $(x-2)$ कॉमन लेने पर:
$(x-2)^2 \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & x\end{array}\right|=0$.
$R_2 \rightarrow R_2+R_1$ लागू करने पर:
$(x-2)^2 \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & x\end{array}\right|=0$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)^2 [1(x+4)-0+0]=0 \Rightarrow (x-2)^2(x+4)=0$.
मूल $x = 2, 2, -4$ हैं।
दिया गया है कि $\min(\alpha, \beta, \gamma) = \alpha$,इसलिए $\alpha = -4$,$\beta = 2$,और $\gamma = 2$ है।
मान ज्ञात करने पर: $2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 2(-4) + 3(2) + 4(2) = -8 + 6 + 8 = 6$.

(D) सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करते हैं:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - (-6)) - (-2)(3 - (-4)) + 3(9 - 2) = 1(7) + 2(7) + 3(7) = 7 + 14 + 21 = 42$.
चूँकि $D \neq 0$,इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है।
$z$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम क्रेमर के नियम का उपयोग करते हैं,$z = \frac{D_z}{D}$,जहाँ $D_z$ तीसरे स्तंभ को अचर पदों से बदलकर प्राप्त सारणिक है:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 1(6 - 21) - (-2)(18 - 14) + 4(9 - 2) = 1(-15) + 2(4) + 4(7) = -15 + 8 + 28 = 21$.
अतः,$z = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$.

(D) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
$3x - 4y + z = -7$
$2x + 3y - z = 10$
$x - 2y - 3z = 3$
इसे आव्यूह रूप $AX = B$ में निरूपित करने पर:
$A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} -7 \\ 10 \\ 3 \end{bmatrix}$
सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 3(-9 - 2) + 4(-6 + 1) + 1(-4 - 3) = 3(-11) + 4(-5) + 1(-7) = -33 - 20 - 7 = -60$
चूंकि $|A| \neq 0$,निकाय का हल अद्वितीय है।
$x = \alpha$ के लिए क्रेमर के नियम का उपयोग करने पर:
$D_x = \begin{vmatrix} -7 & -4 & 1 \\ 10 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & -3 \end{vmatrix} = -7(-9 - 2) + 4(-30 + 3) + 1(-20 - 9) = -7(-11) + 4(-27) + 1(-29) = 77 - 108 - 29 = -60$
अतः,$\alpha = \frac{D_x}{|A|} = \frac{-60}{-60} = 1$.

(C) हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम पहले निकाय को $AX = B$ के रूप में लिखते हैं या गुणांक आव्यूह $\Delta$ का सारणिक ज्ञात करते हैं।
निकाय इस प्रकार है:
$1x + 3y + 0z = -7$
$3x + 10y - 3z = -18$
$0x + 3y - 9z = -2$
गुणांक आव्यूह $\Delta$ का सारणिक है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 10 & -3 \\ 0 & 3 & -9 \end{vmatrix} = 1(10(-9) - (-3)(3)) - 3(3(-9) - 0) + 0 = 1(-90 + 9) - 3(-27) = -81 + 81 = 0$.
चूंकि $\Delta = 0$,निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,हम $\Delta_1$ की गणना करते हैं (पहले स्तंभ को स्थिरांकों से बदलकर):
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} -7 & 3 & 0 \\ -18 & 10 & -3 \\ -2 & 3 & -9 \end{vmatrix} = -7(-90 + 9) - 3(162 - 6) + 0 = -7(-81) - 3(156) = 567 - 468 = 99$.
चूंकि $\Delta = 0$ और $\Delta_1 \neq 0$,समीकरण निकाय असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

(C) दी गई समघात रैखिक समीकरणों की प्रणाली है:
$x+3by+bz=0$
$x+2ay+az=0$
$x+4cy+cz=0$
इस प्रणाली का एक गैर-शून्य हल तभी होता है जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} 1 & 3b & b \\ 1 & 2a & a \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 3b & b \\ 0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 4c-3b & c-b \end{vmatrix} = 0$
पहले स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$(2a-3b)(c-b) - (a-b)(4c-3b) = 0$
$(2ac - 2ab - 3bc + 3b^2) - (4ac - 3ab - 4bc + 3b^2) = 0$
$2ac - 2ab - 3bc + 3b^2 - 4ac + 3ab + 4bc - 3b^2 = 0$
$-2ac + ab + bc = 0$
$ab + bc = 2ac$
$b(a+c) = 2ac$
अतः,प्रणाली का एक गैर-शून्य हल तब होता है जब $b(a+c) = 2ac$ हो।

(B) रैखिक समीकरणों के समघात निकाय $AX = 0$ का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $|A| = 0$।
गुणांक आव्यूह इस प्रकार है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & \lambda & \mu \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -5 \\ 3 & \lambda & \mu \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(4\mu - (-5\lambda)) - (-2)(2\mu - (-15)) + 3(2\lambda - 12) = 0$
$1(4\mu + 5\lambda) + 2(2\mu + 15) + 3(2\lambda - 12) = 0$
$4\mu + 5\lambda + 4\mu + 30 + 6\lambda - 36 = 0$
$(4\mu + 4\mu) + (5\lambda + 6\lambda) + (30 - 36) = 0$
$8\mu + 11\lambda - 6 = 0$
$8\mu + 11\lambda = 6$

(C) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$3x - 4y + 7z = -6$
$5x + 2y - 4z = -9$
$8x - 6y - z = -5$
इसे $AX = D$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 7 \\ 5 & 2 & -4 \\ 8 & -6 & -1 \end{bmatrix}$ और $D = \begin{bmatrix} -6 \\ -9 \\ -5 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 3(-2 - 24) + 4(-5 + 32) + 7(-30 - 16)$
$|A| = 3(-26) + 4(27) + 7(-46)$
$|A| = -78 + 108 - 322 = -292 \neq 0$.
चूँकि $|A| \neq 0$,आव्यूह $A$ की कोटि (Rank) $3$ है।
संवर्धित आव्यूह $[A|D] = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 7 & | & -6 \\ 5 & 2 & -4 & | & -9 \\ 8 & -6 & -1 & | & -5 \end{bmatrix}$ के लिए,इसकी कोटि भी $3$ है क्योंकि $3 \times 3$ उप-आव्यूह $A$ का सारणिक शून्य नहीं है।
अतः,$\operatorname{Rank}(A) = \operatorname{Rank}([A|D]) = 3$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)$ और $\sin ^{-1} \left(\frac{5}{13}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{5}{12}\right)$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{5}{12}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
पहले दो पदों के लिए सूत्र $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$= \tan ^{-1} \left[\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \left(\frac{4}{3} \times \frac{5}{12}\right)}\right] + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
$= \tan ^{-1} \left[\frac{\frac{16+5}{12}}{\frac{36-20}{36}}\right] + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{21}{12} \times \frac{36}{16}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
चूंकि $x > 0$ के लिए $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए:
$= \frac{\pi}{2}$.

(C) समीकरण $\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} a$ का $x$ के लिए हल तभी संभव है जब दायां पक्ष $2 \sin ^{-1} a$,$\sin ^{-1}$ फलन के परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के भीतर हो।
अतः,$-\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} a \leq \frac{\pi}{2}$ होना चाहिए।
$2$ से भाग देने पर,हमें $-\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} a \leq \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
सभी भागों पर ज्या (sine) फलन लागू करने पर,चूंकि $\sin$ एक वर्धमान फलन है,हमें $\sin(-\frac{\pi}{4}) \leq a \leq \sin(\frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो जाता है,जो $|a| \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ के बराबर है।

(D) दिया गया है $2 \tan^{-1} x = 3 \sin^{-1} x$।
सर्वसमिका $2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ और $3 \sin^{-1} x = \sin^{-1} (3x - 4x^3)$ का उपयोग करने पर:
$\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \sin^{-1} (3x - 4x^3)$
$\Rightarrow \frac{2x}{1+x^2} = 3x - 4x^3$
चूंकि $x \neq 0$,हम $x$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{2}{1+x^2} = 3 - 4x^2$
$2 = (3 - 4x^2)(1 + x^2)$
$2 = 3 + 3x^2 - 4x^2 - 4x^4$
$4x^4 + x^2 - 1 = 0$
$x^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$x^2 = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$
चूंकि $x^2 > 0$,हम $x^2 = \frac{\sqrt{17} - 1}{8}$ लेते हैं।
अतः $8x^2 = \sqrt{17} - 1$,जिसका अर्थ है कि $8x^2 + 1 = \sqrt{17}$।

(C) दिया गया है: $\sin ^{-1}(4 x)-\cos ^{-1}(3 x)=\frac{\pi}{6}$....$(i)$
माना $A=\sin ^{-1}(4 x)$ और $B=\cos ^{-1}(3 x)$.
तब $\sin A=4 x$ और $\cos B=3 x$.
हम जानते हैं कि $\cos A=\sqrt{1-16 x^2}$ और $\sin B=\sqrt{1-9 x^2}$.
$(i)$ से,$A-B=\frac{\pi}{6}$. दोनों पक्षों में साइन लेने पर:
$\sin(A-B) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$(4x)(3x) - \sqrt{1-16 x^2} \sqrt{1-9 x^2} = \frac{1}{2}$.
$12x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{(1-16 x^2)(1-9 x^2)}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(12x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-16 x^2)(1-9 x^2)$.
$144x^4 - 12x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 9x^2 - 16x^2 + 144x^4$.
$-12x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 25x^2$.
$13x^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$x^2 = \frac{3}{52}$.
$x = \sqrt{\frac{3}{52}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{13}}$.

(D) दिया गया है: $\sinh ^{-1}(-\sqrt{3})+\cosh ^{-1}(2)=K$
माना $x=\sinh ^{-1}(-\sqrt{3})$ और $y=\cosh ^{-1}(2)$ है।
तब $x+y=K$ होगा।
परिभाषाओं से,$\sinh x = -\sqrt{3}$ और $\cosh y = 2$ है।
सर्वसमिका $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$\cosh^2 x = 1 + (-\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cosh x \geq 1$,इसलिए $\cosh x = 2$ है।
सर्वसमिका $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ का उपयोग करने पर,$2^2 - \sinh^2 y = 1$,जिससे $\sinh^2 y = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cosh^{-1}(2)$ धनात्मक है,इसलिए $\sinh y = \sqrt{3}$ है।
अब,$\cosh K = \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$।
मान रखने पर: $\cosh K = (2)(2) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} 2 x=\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
चूँकि $\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$ और $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$,हमारे पास $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$ है।
अतः,$\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{6}+\cos ^{-1} 2 x$.
दोनों पक्षों में साइन लेने पर: $x=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\cos ^{-1} 2 x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\cos ^{-1} 2 x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\cos ^{-1} 2 x\right)$.
$x = \frac{1}{2}(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-(2x)^2} = x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-4x^2}$.
इसका अर्थ है $\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-4x^2} = 0$,इसलिए $1-4x^2=0$,जिससे $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x = -\frac{1}{2}$ मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है)।
अब,$x=\frac{1}{2}$ के लिए $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x+1}\right)$ की गणना करें:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1/2}{1/2+1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1/2+1/3}{1-(1/2)(1/3)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5/6}{5/6}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,दोनों भागों का परिभाषित होना आवश्यक है।
सबसे पहले,$\cos^{-1} \left( \frac{1 + x^2}{2 x} \right)$ पर विचार करें। यह तब परिभाषित होता है जब $-1 \leq \frac{1 + x^2}{2 x} \leq 1$ हो।
इसका अर्थ है $\left| \frac{1 + x^2}{2 x} \right| \leq 1$,जिसका अर्थ है $|1 + x^2| \leq |2x|$।
चूंकि $1 + x^2 \geq 2|x|$ केवल तब सत्य है जब $|x| = 1$ हो,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
अब,पहले भाग $\sqrt{\cos(\sin x)}$ की जाँच करें।
$x = 1$ के लिए,$\cos(\sin 1) > 0$ क्योंकि $\sin 1 \approx 0.84$ रेडियन,जो प्रथम चतुर्थांश में है।
$x = -1$ के लिए,$\cos(\sin(-1)) = \cos(-\sin 1) = \cos(\sin 1) > 0$।
अतः,दोनों शर्तें केवल $x = 1$ और $x = -1$ पर संतुष्ट होती हैं,इसलिए प्रांत $\{-1, 1\}$ है।

(D) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. चूँकि $\sinh(-x) = -\sinh x$,यह $\mathbb{R}$ परिसर वाला एक विषम फलन है। अतः,$A-IV$.
$(B)$ $\text{sech } x = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$. चूँकि $\text{sech}(-x) = \text{sech } x$,यह एक सम फलन है। अतः,$B-III$.
$(C)$ $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$. चूँकि $\tanh(-x) = -\tanh x$,यह $(-1, 1)$ परिसर वाला एक विषम फलन है। अतः,$C-V$.
$(D)$ $\text{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right)$. इसका प्रांत $x \neq 0$ है और यह न तो सम है और न ही विषम फलन है। अतः,$D-II$.
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-V, D-II$ है।

(C) दिया गया फलन: $f(x) = \sqrt[3]{\frac{x-2}{2x^2-7x+5}} + \log(x^2-x-2)$.
प्रांत के लिए:
$1$. घनमूल के हर के लिए: $2x^2-7x+5 \neq 0$ $\Rightarrow (2x-5)(x-1) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 1, x \neq \frac{5}{2}$.
$2$. लघुगणक के लिए: $x^2-x-2 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) > 0$. यह असमिका $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ के लिए सत्य है।
इन शर्तों को मिलाने पर: हमें $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ चाहिए जहाँ $x \neq 1$ और $x \neq \frac{5}{2}$ हो।
चूंकि $1$ अंतराल $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ में नहीं है,इसलिए केवल $\frac{5}{2}$ को हटाने पर,प्रांत $(-\infty, -1) \cup (2, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x - |x||}}$.
फलन को परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक धनात्मक होना चाहिए: $|x - |x|| > 0$.
यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$,इसलिए $|x - x| = 0$,जो $> 0$ नहीं है।
यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$,इसलिए $|x - (-x)| = |2x| = -2x$। चूँकि $x < 0$,इसलिए $-2x > 0$।
अतः,प्रांत $A = (-\infty, 0)$ है।
$x \in (-\infty, 0)$ के लिए,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{-2x}}$। जैसे-जैसे $x$,$(-\infty, 0)$ में बदलता है,$-2x$,$(0, \infty)$ में बदलता है,और $\sqrt{-2x}$,$(0, \infty)$ में बदलता है।
इसलिए,परिसर $B = (0, \infty)$ है।
अंततः,$A \cap B = (-\infty, 0) \cap (0, \infty) = \phi$।

(D) फलन $f(x)=\sin ^{-1}(x^2-1)-3 \log _3(3^x-2)$ तब परिभाषित होता है जब दोनों पद परिभाषित हों।
$\sin ^{-1}(x^2-1)$ के लिए,$-1 \leq x^2-1 \leq 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \leq x^2 \leq 2$,अतः $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$।
$\log _3(3^x-2)$ के लिए,$3^x-2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $3^x > 2$,अतः $x > \log _3 2$।
$f(x)$ का प्रांत है: $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap (\log _3 2, \infty) = (\log _3 2, \sqrt{2}]$।
फलन $x \in (-\infty, \log _3 2] \cup (\sqrt{2}, \infty)$ के लिए परिभाषित नहीं है।
इसकी तुलना $(-\infty, a] \cup (b, \infty)$ से करने पर,हमें $a = \log _3 2$ और $b = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$3^a + b^2 = 3^{\log _3 2} + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$।

(B) फलन तब परिभाषित होता है जब $-1 \leq \log_2\left(\frac{x^2}{2}\right) \leq 1$ हो।
चूंकि $\log_2\left(\frac{x^2}{2}\right) = \log_2(x^2) - \log_2(2) = \log_2(x^2) - 1$,इसलिए:
$-1 \leq \log_2(x^2) - 1 \leq 1$.
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर:
$0 \leq \log_2(x^2) \leq 2$.
लघुगणकीय रूप को घातांकीय रूप में बदलने पर:
$2^0 \leq x^2 \leq 2^2
\Rightarrow 1 \leq x^2 \leq 4$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $|x| \in [1, 2]$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$।

(A) माना $g(x) = 5 + 4x - x^2$ है।
इसे $g(x) = 9 - (x - 2)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $(x - 2)^2 \geq 0$,इसलिए $g(x)$ का अधिकतम मान $9$ है।
लघुगणक के परिभाषित होने के लिए $g(x) > 0$ होना चाहिए,अतः $g(x) \in (0, 9]$।
चूँकि $f(x) = \log_3(g(x))$,इसलिए $f(x)$ का परिसर $(\log_3(0^+), \log_3(9)]$ अर्थात $(-\infty, 2]$ होगा।

(C) दिया गया है कि $f(x) = ax^2 + bx + c$ एक सम फलन है,इसलिए $f(x) = f(-x)$.
$ax^2 + bx + c = a(-x)^2 + b(-x) + c = ax^2 - bx + c$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $b = 0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $g(x) = px^3 + qx^2 + rx$ एक विषम फलन है,इसलिए $g(-x) = -g(x)$.
$p(-x)^3 + q(-x)^2 + r(-x) = -(px^3 + qx^2 + rx)$.
$-px^3 + qx^2 - rx = -px^3 - qx^2 - rx$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $q = 0$ प्राप्त होता है।
अब,$h(x) = f(x) + g(x) = ax^2 + bx + c + px^3 + qx^2 + rx$.
चूंकि $b = 0$ और $q = 0$,इसलिए $h(x) = px^3 + ax^2 + rx + c$.
हमें $h(-2) = 0$ दिया गया है।
$p(-2)^3 + a(-2)^2 + r(-2) + c = 0$.
$-8p + 4a - 2r + c = 0$.
$4a + c = 8p + 2r$.
चूंकि $b = 0$,इसलिए $4a + 2b + c = 4a + 2(0) + c = 4a + c$.
अतः,$8p + 2r = 4a + 2b + c$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2x - 3}{3x - 2}$.
$f(f(x))$ की गणना करें:
$f(f(x)) = \frac{2(\frac{2x - 3}{3x - 2}) - 3}{3(\frac{2x - 3}{3x - 2}) - 2}$
$= \frac{2(2x - 3) - 3(3x - 2)}{3(2x - 3) - 2(3x - 2)}$
$= \frac{4x - 6 - 9x + 6}{6x - 9 - 6x + 4}$
$= \frac{-5x}{-5} = x$.
चूंकि $f(f(x)) = x$,फलन स्वयं का प्रतिलोम है।
किसी भी सम संख्या $n$ के लिए,$f_n(x) = x$ होता है।
चूंकि $32$ एक सम संख्या है,इसलिए $f_{32}(x) = x$ होगा।

(B) दिया गया है कि $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = 9x^2 + \frac{1}{4x^2}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = (3x)^2 + \left(\frac{1}{2x}\right)^2 + 2(3x)\left(\frac{1}{2x}\right) - 3$.
यह सरल होकर $f\left(3x + \frac{1}{2x}\right) = \left(3x + \frac{1}{2x}\right)^2 - 3$ हो जाता है।
अतः,फलन का सामान्य रूप $f(t) = t^2 - 3$ है।
दिया गया है कि $f\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1$,इसलिए $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 3 = 1$ रखने पर।
इससे $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 4$ प्राप्त होता है,अतः $x + \frac{1}{x} = \pm 2$.
स्थिति $1$: $x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
स्थिति $2$: $x + \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$.
अतः,$x = \pm 1$.

(B) $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करने के लिए:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{8}{(1)^3} - 6(1) = 8 - 6 = 2$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$,फलन $x = 1$ पर सतत है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$\text{LHD} = \frac{d}{dx} (\frac{8}{x^3} - 6x) = -24x^{-4} - 6$. $x = 1$ पर,$\text{LHD} = -24 - 6 = -30$.
$\text{RHD} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $x = 1$ पर,$\text{RHD} = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\text{LHD} \neq \text{RHD}$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f$ $x = 1$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = 16$,इसलिए हम सीमा की गणना करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos ax - \cos 9x}{x^2} = 16$
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए (चूंकि यह $0/0$ रूप है):
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-a \sin ax + 9 \sin 9x}{2x} = 16$
पुनः एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-a^2 \cos ax + 81 \cos 9x}{2} = 16$
$\frac{-a^2(1) + 81(1)}{2} = 16$
$-a^2 + 81 = 32$
$a^2 = 81 - 32 = 49$
$a = \pm 7$

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1-\cos 4x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2 \sin^2 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-} 8 \left( \frac{\sin 2x}{2x} \right)^2 = 8(1)^2 = 8$.
अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.
अंश और हर को संयुग्मी $\sqrt{16+\sqrt{x}}+4$ से गुणा करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(16+\sqrt{x})-16} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 8$,इसलिए फलन के सतत होने के लिए $a = 8$ होना चाहिए।

(A) $f(x)$ को $x=1$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} \frac{\tan a(x-1)}{x-1} = a$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3-125}{x^2-25} = \frac{1-125}{1-25} = \frac{-124}{-24} = \frac{31}{6}$.
अतः,$a = \frac{31}{6}$.
$f(x)$ को $x=4$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 4^-} \frac{x^3-125}{x^2-25} = \frac{64-125}{16-25} = \frac{-61}{-9} = \frac{61}{9}$.
$\lim_{x \to 4^+} \frac{b^x-1}{x} = \frac{b^4-1}{4}$.
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{61}{9} = \frac{b^4-1}{4} \Rightarrow 244 = 9b^4 - 9 \Rightarrow 9b^4 = 253$.
अब,$6a + 9b^4 = 6(\frac{31}{6}) + 253 = 31 + 253 = 284$.

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = k$,इसलिए हम सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 1)^4 \cot(x \log 4)}{\sin(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(4^x - 1)^4 \cos(x \log 4)}{\sin^2(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{4^x - 1}{x} \right)^4 \cdot \frac{x^4 \cos(x \log 4)}{\sin^2(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}$
मानक सीमाओं $\lim_{x \to 0} \frac{4^x - 1}{x} = \log 4$,$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x \log 4)}{x \log 4} = 1$,और $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2 \log 4)}{x^2 \log 4} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$= (\log 4)^4 \cdot \frac{1}{(\log 4)^2} \cdot \frac{1}{\log 4} \cdot \lim_{x \to 0} \cos(x \log 4)$
$= (\log 4)^4 \cdot \frac{1}{(\log 4)^3} \cdot 1 = \log 4$
अतः,$k = \log 4$।
इसलिए,$e^k = e^{\log 4} = 4$।

(A) चूंकि $f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है,इसलिए यह $x=0$ पर सतत भी होगा।
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = P$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1) \sin kx}{4 \tan x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1)}{x} \cdot \frac{\sin kx}{x} \cdot \frac{x^2}{4 \tan x} = (k) \cdot (k) \cdot (0) = 0$.
अतः,$P = 0$.
अब,$f^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{kx}-1) \sin kx}{4x \tan x}$.
$f^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{kx}-1}{x} \right) \left( \frac{\sin kx}{x} \right) \left( \frac{x}{\tan x} \right) \cdot \frac{1}{4} = (k) \cdot (k) \cdot (1) \cdot \frac{1}{4} = \frac{k^2}{4}$.