TS EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$(2)$ $\frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A} \implies 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$
$\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3}{2} \sin(2A) = \sin(2B)$
સમીકરણો ઉકેલતા,$A = 30^{\circ}$ અને $B = 30^{\circ}$ મળે છે.
તેથી $A + 2B = 30^{\circ} + 2(30^{\circ}) = 90^{\circ}$.

(B) આપેલ છે કે $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$.
$\sin C \le 1$ હોવાથી,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A-B)$.
તેથી,$\cos(A-B) \ge 1$.
$\cos(A-B)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\cos(A-B) = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $A = B$.
આ માટે $\sin C = 1$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $C = 90^\circ$.
$A+B+C = 180^\circ$ અને $A=B$ હોવાથી,$2A + 90^\circ = 180^\circ$,એટલે કે $A = B = 45^\circ$.
હવે,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^\circ + \sin 45^\circ + \sin 90^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$.

(C) ધારો કે $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = k$.
તેથી $r_1 = k$,$r_2 = k/2$,અને $r_3 = k/3$.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે.
તેથી,$s-a = \frac{\Delta}{k}$,$s-b = \frac{2\Delta}{k}$,અને $s-c = \frac{3\Delta}{k}$.
સરવાળો કરતા,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = s$.
તેથી,$s = \frac{\Delta}{k} (1 + 2 + 3) = \frac{6\Delta}{k}$.
હવે,$a = s - (s-a) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{\Delta}{k} = \frac{5\Delta}{k}$.
અને $b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{2\Delta}{k} = \frac{4\Delta}{k}$.
તેથી,$a : b = \frac{5\Delta}{k} : \frac{4\Delta}{k} = 5 : 4$.

(C) આપેલ છે $\frac{1}{(x^2-3)^2} = \frac{A_1}{x-\sqrt{3}} + \frac{A_2}{(x-\sqrt{3})^2} + \frac{A_3}{x+\sqrt{3}} + \frac{A_4}{(x+\sqrt{3})^2}$.
$(x^2-3)^2$ વડે ગુણતા,$1 = A_1(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})^2 + A_2(x+\sqrt{3})^2 + A_3(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})^2 + A_4(x-\sqrt{3})^2$ મળે.
$x = \sqrt{3}$ લેતા,$1 = A_2(2\sqrt{3})^2 = 12A_2 \implies A_2 = \frac{1}{12}$.
$x = -\sqrt{3}$ લેતા,$1 = A_4(-2\sqrt{3})^2 = 12A_4 \implies A_4 = \frac{1}{12}$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A_1 + A_3 = 0 \implies A_3 = -A_1$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{3}(A_1 - A_3) + A_2 + A_4 = 0$.
$A_3 = -A_1$ હોવાથી,$2\sqrt{3}A_1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = 0 \implies 2\sqrt{3}A_1 = -\frac{1}{6} \implies A_1 = -\frac{1}{12\sqrt{3}}$.
તેથી,$A_3 = \frac{1}{12\sqrt{3}}$.
કિંમતો $A_1 = -\frac{1}{12\sqrt{3}}, A_2 = \frac{1}{12}, A_3 = \frac{1}{12\sqrt{3}}, A_4 = \frac{1}{12}$ છે.
$(i)$ $A_i$ ભિન્ન નથી (સાચું,$A_2=A_4$).
(ii) $A_p^2 = A_q^2$ માટે $p=2, q=4$ (સાચું).
(iii) $\sum A_i = \frac{1}{6}$ (સાચું).
(iv) $\sum A_i = 1$ (ખોટું).
આમ,માત્ર વિધાન (iv) ખોટું છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{ax^2-2x+3}{2x-3x^2+a}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y(2x - 3x^2 + a) = ax^2 - 2x + 3$ મળે છે.
$2xy - 3x^2y + ay = ax^2 - 2x + 3$.
$x^2(a + 3y) - 2x(y + 1) + (3 - ay) = 0$.
$x \in R$ હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$4(y + 1)^2 - 4(a + 3y)(3 - ay) \geq 0$.
$(y^2 + 2y + 1) - (3a - a^2y + 9y - 3ay^2) \geq 0$.
$y^2(3a + 1) + y(a^2 - 7) + (1 - 3a) \geq 0$.
પદાવલિ તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો ધારણ કરે તે માટે,$y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $y \in R$ માટે અન-ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ અને તેનો વિવેચક $\leq 0$ હોવો જોઈએ.
જો કે,આ દ્વિઘાતનો વિવેચક તપાસતા: $(a^2 - 7)^2 - 4(3a + 1)(1 - 3a) = a^4 + 22a^2 + 45$.
બધા $a \in R$ માટે $a^4 + 22a^2 + 45 > 0$ હોવાથી,$D \leq 0$ ની શરત ક્યારેય સંતોષાતી નથી.
આમ,'$a$' ના આવા કોઈ મૂલ્યો નથી.
તેથી,સમૂહ $\phi$ છે.

(A) $2x^3+5x^2+5x+2=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{5}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{5}{2}$
$\alpha\beta\gamma = -1$
નવા બીજ $y = x+h$ લો,તેથી $x = y-h$. મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(y-h)^3+5(y-h)^2+5(y-h)+2 = 0$
$2y^3 + (5-6h)y^2 + (6h^2-10h+5)y + (-2h^3+5h^2-5h+2) = 0$
$a(h)x^3+b(h)x^2+c(h)x+d(h)=0$ સાથે સરખાવતા,$c(h)=6h^2-10h+5$ મળે છે.
$c(h)$ માટે વિવેચક $D = (-10)^2 - 4(6)(5) = 100 - 120 = -20 < 0$.
તેથી,$c(h) \neq 0$ દરેક $h \in R$ માટે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-2x+4=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ મળે છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$1 + i\sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ અને $1 - i\sqrt{3} = 2e^{-i\pi/3}$ છે.
તેથી,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ અને $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ થાય.
હવે $\alpha^{12} = (2e^{i\pi/3})^{12} = 2^{12} e^{i4\pi} = 2^{12}(1) = 2^{12}$.
તે જ રીતે,$\beta^{12} = (2e^{-i\pi/3})^{12} = 2^{12} e^{-i4\pi} = 2^{12}(1) = 2^{12}$.
તેથી,$\alpha^{12} + \beta^{12} = 2^{12} + 2^{12} = 2 \times 2^{12} = 2^{13}$.

(B) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{27x^2+32x+16}{(3x+2)^2(1-x)} = \frac{A}{3x+2} + \frac{B}{(3x+2)^2} + \frac{C}{1-x}$.
બંને બાજુ $(3x+2)^2(1-x)$ વડે ગુણતા:
$27x^2+32x+16 = A(3x+2)(1-x) + B(1-x) + C(3x+2)^2$.
$x = 1$ લેતા: $27(1)^2 + 32(1) + 16 = C(3(1)+2)^2$ $\Rightarrow 75 = 25C$ $\Rightarrow C = 3$.
$x = -2/3$ લેતા: $27(-2/3)^2 + 32(-2/3) + 16 = B(1 - (-2/3))$ $\Rightarrow 12 - 64/3 + 16 = B(5/3)$ $\Rightarrow 20/3 = 5B/3$ $\Rightarrow B = 4$.
$x = 0$ લેતા: $16 = A(2)(1) + B(1) + C(2)^2$ $\Rightarrow 16 = 2A + 4 + 4(3)$ $\Rightarrow 16 = 2A + 16$ $\Rightarrow A = 0$.
અંતે,$AB + BC + CA = (0)(4) + (4)(3) + (3)(0) = 0 + 12 + 0 = 12$.

(A) આપણી પાસે અસમતાઓ છે:
$x^2-4x+3 > 0$ અને $x^2-2x-8 \leq 0$
પ્રથમ,$x^2-4x+3 > 0$ ઉકેલો:
$(x-3)(x-1) > 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
આગળ,$x^2-2x-8 \leq 0$ ઉકેલો:
$(x-4)(x+2) \leq 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in [-2, 4]$.
અંતે,બંને ગણનો છેદગણ મેળવો:
$x \in ((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) \cap [-2, 4]$
$x \in [-2, 1) \cup (3, 4]$

(B) આપેલ છે,$x^2+|x-3|=4$.
કિસ્સો $I$: $x \ge 3$.
સમીકરણ $x^2 + x - 3 = 4$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 + x - 7 = 0$ થાય છે.
ઉકેલ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$ મળે છે.
આ કિંમતો $x \ge 3$ ની શરતનું પાલન કરતી નથી.
કિસ્સો $II$: $x < 3$.
સમીકરણ $x^2 - (x - 3) = 4$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 - x - 1 = 0$ થાય છે.
ઉકેલ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
બંને ઉકેલો $x < 3$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1$ થાય છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ છે.
જ્યારે અચળ પદ ખોટી રીતે લખવામાં આવે છે,ત્યારે બીજનો સરવાળો બદલાતો નથી કારણ કે સરવાળો ફક્ત $x^2$ અને $x$ ના સહગુણકો પર આધાર રાખે છે.
આપેલ બીજ $5$ અને $9$ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $5 + 9 = 14$ થાય.
આમ,$-\frac{b}{a} = 14$,જેનો અર્થ છે કે $b = -14a$.
બીજા વિદ્યાર્થીએ અચળ પદ $c = 12$ અને $x^2$ નો સહગુણક $a = 4$ સાચી રીતે લખ્યો.
$b = -14a$ માં $a = 4$ મૂકતા,આપણને $b = -14(4) = -56$ મળે છે.
સાચું સમીકરણ $4x^2 - 56x + 12 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $s = -\frac{b}{a} = -\frac{-56}{4} = 14$.
બીજનો ગુણાકાર $p = \frac{c}{a} = \frac{12}{4} = 3$.
વિવેચક $\Delta = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4(4)(12) = 3136 - 192 = 2944$.
અંતે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરતા: $\frac{\Delta}{3p + s} = \frac{2944}{3(3) + 14} = \frac{2944}{9 + 14} = \frac{2944}{23} = 128$.

(B) આપેલ છે કે $\sin 2 \theta$ અને $\cos 2 \theta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx-c=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\sin 2 \theta + \cos 2 \theta = -b$ અને બીજનો ગુણાકાર $\sin 2 \theta \cos 2 \theta = -c$ થાય.
સરવાળાનો વર્ગ કરતા,$(\sin 2 \theta + \cos 2 \theta)^2 = (-b)^2$.
વિસ્તરણ કરતા,$\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta + 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta = b^2$.
નિત્યસમ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + 2(\sin 2 \theta \cos 2 \theta) = b^2$.
બીજનો ગુણાકાર મૂકતા,$1 + 2(-c) = b^2$,જેનું સાદું રૂપ $b^2 + 2c - 1 = 0$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3 x^4+5 x^2+2}{\left(x^2+1\right)^2\left(x^2+2\right)}=\frac{A x+B}{x^2+2}+\frac{C x+D}{x^2+1}+\frac{E x+F}{\left(x^2+1\right)^2}$.
બંને બાજુ છેદ વડે ગુણતા: $3 x^4+5 x^2+2 = (A x+B)(x^2+1)^2 + (C x+D)(x^2+1)(x^2+2) + (E x+F)(x^2+2)$.
અહીં માત્ર $x$ ની બેકી ઘાત હોવાથી,$x$ ની એકી ઘાતના સહગુણકો શૂન્ય થશે. તેથી,$A=0, C=0, E=0$.
સમીકરણ સરળ બનતા: $3 x^4+5 x^2+2 = B(x^2+1)^2 + D(x^2+1)(x^2+2) + F(x^2+2)$.
ધારો કે $y = x^2$. તો $3y^2+5y+2 = B(y+1)^2 + D(y+1)(y+2) + F(y+2)$.
$y = -1$ માટે: $3-5+2 = F(1) \Rightarrow F=0$.
$y = -2$ માટે: $3(4)-5(2)+2 = B(-1)^2$ $\Rightarrow 12-10+2 = B$ $\Rightarrow B=4$.
$y^2$ ના સહગુણકો સરખાવતા: $3 = B+D$ $\Rightarrow 3 = 4+D$ $\Rightarrow D=-1$.
આપણે $A+2 B+D+4 E = 0 + 2(4) + (-1) + 4(0) = 8-1 = 7$ શોધવાનું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
દરેક બીજને $1$ થી ઘટાડતા,નવા બીજ $\alpha-1, \beta-1, \gamma-1$ મળે છે.
ધારો કે $y = x - 1$,તેથી $x = y + 1$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = y + 1$ મૂકતા:
$2(y+1)^3 + a(y+1)^2 - 8(y+1) + b = 0$
$2(y^3 + 3y^2 + 3y + 1) + a(y^2 + 2y + 1) - 8(y + 1) + b = 0$
$2y^3 + (6 + a)y^2 + (6 + 2a - 8)y + (2 + a - 8 + b) = 0$.
આપેલ છે કે $y^2$ નો સહગુણક અને અચળ પદ શૂન્ય છે:
$6 + a = 0 \Rightarrow a = -6$.
$2 + a - 8 + b = 0$ $\Rightarrow 2 - 6 - 8 + b = 0$ $\Rightarrow b = 12$.
મૂળ સમીકરણ $2x^3 - 6x^2 - 8x + 12 = 0$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^3 - 3x^2 - 4x + 6 = 0$ મળે.
$x = 1$ એ બીજ છે $(1 - 3 - 4 + 6 = 0)$,તેથી $(x - 1)$ વડે ભાગતા:
$(x - 1)(x^2 - 2x - 6) = 0$.
બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^3+b x^2+c x+d=0$ ના બીજો $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ છે.
બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma=-b$.
આપેલ શરત મુજબ,એક બીજ બાકીના બે બીજોના સરવાળા જેટલું છે,તેથી ધારો કે $\alpha=\beta+\gamma$.
આ કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha+\alpha=-b$,જેનો અર્થ છે કે $2\alpha=-b$ અથવા $\alpha=-\frac{b}{2}$.
$\alpha$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે $x^3+b x^2+c x+d=0$ નું સમાધાન કરશે.
$x=-\frac{b}{2}$ મૂકતા: $\left(-\frac{b}{2}\right)^3+b\left(-\frac{b}{2}\right)^2+c\left(-\frac{b}{2}\right)+d=0$.
$-\frac{b^3}{8}+\frac{b^3}{4}-\frac{b c}{2}+d=0$.
આખા સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા: $-b^3+2b^3-4bc+8d=0$.
$b^3-4bc+8d=0$,જેનું સાદું રૂપ $b^3+8d=4bc$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2$ એ $x^2+ax+1=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha_1+\alpha_2 = -a$ અને $\alpha_1\alpha_2 = 1$.
આપેલ છે કે $\alpha_3, \alpha_4$ એ $x^2+bx+1=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha_3+\alpha_4 = -b$ અને $\alpha_3\alpha_4 = 1$.
આપણે $E = (\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદોને ગોઠવતા,$E = [(\alpha_1+\alpha_3)(\alpha_2+\alpha_3)] \times [(\alpha_1+\alpha_4)(\alpha_2+\alpha_4)]$.
વિસ્તરણ કરતા,$E = (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_3(\alpha_1+\alpha_2) + \alpha_3^2) \times (\alpha_1\alpha_2 + \alpha_4(\alpha_1+\alpha_2) + \alpha_4^2)$.
કિંમતો મુકતા,$E = (1 - a\alpha_3 + \alpha_3^2) \times (1 - a\alpha_4 + \alpha_4^2)$.
કારણ કે $\alpha_3$ એ $x^2+bx+1=0$ નું બીજ છે,$\alpha_3^2+b\alpha_3+1=0$,તેથી $\alpha_3^2+1 = -b\alpha_3$.
તે જ રીતે,$\alpha_4^2+1 = -b\alpha_4$.
તેથી,$E = (-b\alpha_3 - a\alpha_3) \times (-b\alpha_4 - a\alpha_4) = (-(a+b)\alpha_3) \times (-(a+b)\alpha_4)$.
આમ,$E = (a+b)^2 \alpha_3\alpha_4 = (a+b)^2(1) = (a+b)^2$.

(D) ધારો કે $y = \frac{2(x^2+2x-11)}{2x-5}$.
$y(2x-5) = 2x^2+4x-22$.
$2x^2 + x(4-2y) + (5y-22) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (4-2y)^2 - 4(2)(5y-22) \geq 0$.
$16 + 4y^2 - 16y - 40y + 176 \geq 0$.
$4y^2 - 56y + 192 \geq 0$.
$y^2 - 14y + 48 \geq 0$.
$(y-6)(y-8) \geq 0$.
આમ,$y \in (-\infty, 6] \cup [8, \infty)$.
તેથી,પદની કોઈ કિંમત $(6,8)$ અંતરાલમાં નથી.

(D) ધારો કે $f(x) = -ax^2 + 2x - 7$. વિધેયની મહત્તમ કિંમત મેળવવા માટે,$a > 0$ હોવું જરૂરી છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$f(x) = -a(x^2 - \frac{2}{a}x) - 7$
$f(x) = -a(x^2 - \frac{2}{a}x + \frac{1}{a^2} - \frac{1}{a^2}) - 7$
$f(x) = -a(x - \frac{1}{a})^2 + \frac{1}{a} - 7$
$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{a} - 7$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ કિંમત $20$ થી વધુ નથી,તેથી:
$\frac{1}{a} - 7 \leq 20$
$\frac{1}{a} \leq 27$
$a > 0$ હોવાથી,આપણને $a \geq \frac{1}{27}$ મળે છે.
આમ,$a$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{27}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2 - 4ax + (4a^2 - 3a + 1)$. બંને બીજ $1$ કરતા મોટા હોવા માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \geq 0$:
$D = (-4a)^2 - 4(1)(4a^2 - 3a + 1) = 12a - 4 \geq 0 \Rightarrow a \geq \frac{1}{3}$.
$2$. શિરોબિંદુનું સ્થાન: $\frac{-b}{2a} > 1$:
$\frac{4a}{2} > 1 \Rightarrow a > \frac{1}{2}$.
$3$. $f(1) > 0$:
$f(1) = 4a^2 - 7a + 2 > 0$.
$4a^2 - 7a + 2 = 0$ ના બીજ $a = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{8}$ છે.
આમ,$a \in \left(-\infty, \frac{7-\sqrt{17}}{8}\right) \cup \left(\frac{7+\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$.
બધી શરતોનો છેદ લેતા,$a \in \left(\frac{7+\sqrt{17}}{8}, \infty\right)$ મળે છે.

(B) વક્ર $f(x) = a x^2 + b x + c$ દ્વારા $X$-અક્ષ પર બનાવેલા અંતઃખંડની લંબાઈ $A = |x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$ છે,જ્યાં $D = b^2 - 4 a c$.
$f_1(x) = 5 x^2 + 2 x + 1$ માટે,$D = 4 - 20 = -16$. $D < 0$ હોવાથી,વક્ર $X$-અક્ષને છેદતું નથી,તેથી $A_1$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
$f_2(x) = 5 x^2 + 6 x + 1$ માટે,$D = 36 - 20 = 16$. તેથી,$A_2 = \frac{\sqrt{16}}{5} = 0.8$.
$f_3(x) = x^2 - 7 x + 6$ માટે,$D = 49 - 24 = 25$. તેથી,$A_3 = \frac{\sqrt{25}}{1} = 5$.
$f_4(x) = 64 x^2 + 48 x + 9$ માટે,$D = 2304 - 2304 = 0$. તેથી,$A_4 = 0$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $A_4 = 0, A_2 = 0.8, A_3 = 5$.
તેથી,$A_4 < A_2 < A_3$ સાચું છે.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+px^2+qx+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$
$\alpha\beta\gamma = -r$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) + \alpha\beta\gamma$.
કિંમતો મૂકતા:
$(-p)(q) = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) + (-r)$
$-pq = (\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) - r$
તેથી,$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) = r-pq$.

(C) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3-ax^2+ax-1=0$ ના બીજ છે. \\ વિએટાના સૂત્રો મુજબ: \\ $\alpha+\beta+\gamma = a$ \\ $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = a$ \\ $\alpha\beta\gamma = 1$. \\ જે સમીકરણના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ હોય તે સમીકરણ $x^3 - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)x^2 + (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)x - (\alpha\beta\gamma)^2 = 0$ છે. \\ આને $x^3-ax^2+ax-1=0$ સાથે સરખાવતા: \\ $a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = a^2 - 2a$. \\ તેથી,$a^2 - 3a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a(a-3) = 0$. \\ $a$ શૂન્યતર હોવાથી,$a = 3$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન:
$\frac{2 x+7}{\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)\left(x^2+16\right)}=\frac{A x+1}{x^2+4}+\frac{B x+m}{x^2+9}+\frac{C x+n}{x^2+16}$
બંને બાજુઓને $\left(x^2+4\right)\left(x^2+9\right)\left(x^2+16\right)$ વડે ગુણતા:
$2 x+7 = (A x+1)(x^2+9)(x^2+16) + (B x+m)(x^2+4)(x^2+16) + (C x+n)(x^2+4)(x^2+9)$
$x^2 = -4$ લેતા:
$2x + 7 = (Ax + 1)(5)(12) = 60Ax + 60$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $60A = 2 \Rightarrow A = \frac{1}{30}$
$x^2 = -9$ લેતા:
$2x + 7 = (Bx + m)(-5)(7) = -35Bx - 35m$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-35B = 2 \Rightarrow B = -\frac{2}{35}$
$x^2 = -16$ લેતા:
$2x + 7 = (Cx + n)(-12)(-7) = 84Cx + 84n$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $84C = 2 \Rightarrow C = \frac{1}{42}$
હવે,$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{1}{A} = 30$,$\frac{1}{B} = -\frac{35}{2}$,$\frac{1}{C} = 42$
$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = 30 - \frac{35}{2} + 42 = 72 - 17.5 = 54.5 = \frac{109}{2}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^3-6x^2+6x-2=0$.
વિકલ્પ $(a)$ તપાસતા: $x=-1$ મૂકતા,$(-1)^3-6(-1)^2+6(-1)-2 = -15 \neq 0$.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા: $x=2$ મૂકતા,$(2)^3-6(2)^2+6(2)-2 = -6 \neq 0$.
વિકલ્પ $(c)$ તપાસતા: ધારો કે $x = \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}-1}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ લેતા: $\frac{x+1}{x-1} = \frac{2^{1/3}+2^{1/3}-1}{2^{1/3}-2^{1/3}+1} = 2 \cdot 2^{1/3}-1$.
$\frac{x+1}{x-1} + 1 = 2 \cdot 2^{1/3}$ $\Rightarrow \frac{2x}{x-1} = 2 \cdot 2^{1/3}$ $\Rightarrow \frac{x}{x-1} = 2^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા: $\frac{x^3}{(x-1)^3} = 2
$ $\Rightarrow x^3 = 2(x^3-3x^2+3x-1)
$ $\Rightarrow x^3 = 2x^3-6x^2+6x-2
$ $\Rightarrow x^3-6x^2+6x-2 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+p_1 x^2+p_2 x+p_3=0$ ના બીજ છે.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$p_1 = -(\alpha+\beta+\gamma) = -S_1 = -10$.
$p_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2 - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)}{2} = \frac{S_1^2 - S_2}{2} = \frac{100-38}{2} = 31$.
નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_3 - 3(-p_3) = S_1(S_2 - p_2)$.
$-1840 + 3p_3 = 10(38 - 31)$.
$-1840 + 3p_3 = 10(7) = 70$.
$3p_3 = 1910$.
$p_3 = \frac{1910}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3-6x^2+px+10=0$ ના બીજ છે અને તે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
ધારો કે બીજ $\beta-d, \beta, \beta+d$ છે.
બીજનો સરવાળો લેતા,$(\beta-d) + \beta + (\beta+d) = 6$,જે $3\beta = 6$ આપે છે,તેથી $\beta = 2$.
$\beta = 2$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $2^3 - 6(2^2) + p(2) + 10 = 0$.
$8 - 24 + 2p + 10 = 0$ $\Rightarrow 2p - 6 = 0$ $\Rightarrow p = 3$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta\gamma = -10$ છે. $\beta = 2$ હોવાથી,$\alpha\gamma = -5$.
વળી,$\alpha+\gamma = 6 - 2 = 4$.
આપણે નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2 - 3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ નો ઉપયોગ કરીએ.
અહીં,$\alpha+\beta+\gamma = 6$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = p = 3$,અને $\alpha\beta\gamma = -10$.
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-10) = 6(6^2 - 3(3))$.
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 30 = 6(36 - 9) = 6(27) = 162$.
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 162 - 30 = 132$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x+1)^4+(x+3)^4=8$.
ધારો કે $x+2=y$,તેથી $x+1=y-1$ અને $x+3=y+1$.
સમીકરણ $(y-1)^4+(y+1)^4=8$ બને છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા: $(y^4-4y^3+6y^2-4y+1)+(y^4+4y^3+6y^2+4y+1)=8$.
$2y^4+12y^2+2=8$ $\Rightarrow 2y^4+12y^2-6=0$ $\Rightarrow y^4+6y^2-3=0$.
ધારો કે $t=y^2$,તો $t^2+6t-3=0$.
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36-4(1)(-3)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.
વાસ્તવિક $y$ માટે $t=y^2$ અ-ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $y^2 = 2\sqrt{3}-3$ લઈએ છીએ.
$y=x+2$ પાછું મૂકતા: $(x+2)^2 = 2\sqrt{3}-3$.
$x^2+4x+4 = 2\sqrt{3}-3 \Rightarrow x^2+4x+(7-2\sqrt{3}) = 0$.
આ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જે $ax^2+bx+c=0$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{7-2\sqrt{3}}{1} = 7-2\sqrt{3}$ થાય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $i$ ની ચાર ક્રમિક ઘાતનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,એટલે કે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$.
આપેલી શ્રેણી $S = i^2+i^3+i^4+\ldots+i^{4000}$ છે.
આ શ્રેણીમાં $3999$ પદો છે.
આ પદોને ચારના જૂથમાં વહેંચતા,$3999 = 4 \times 999 + 3$ મળે છે,તેથી $999$ જૂથોનો સરવાળો $0$ થશે અને $3$ પદો બાકી રહેશે.
સરવાળો $\sum_{k=2}^{4000} i^k = \frac{i^2(1-i^{3999})}{1-i} = \frac{-1(1-(-i))}{1-i} = \frac{-(1+i)}{1-i} = -i$ થાય છે.

(B) ધારો કે $z = i^{1/4}$,જેનો અર્થ છે $z^4 = i = e^{i\pi/2}$.
સમીકરણ $z^4 - i = 0$ છે.
આ સમીકરણના બીજો $z_k = e^{i\left(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{4}\right)}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
આ બીજો $e^{i\pi/8}, e^{i5\pi/8}, e^{i9\pi/8}, e^{i13\pi/8}$ છે.
આમાંથી કોઈ પણ બીજ એકબીજાના સંયુગ્મી નથી.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બહુપદી $z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 0z - i = 0$ માટે,બે-બે બીજોના ગુણાકારનો સરવાળો એ $z^2$ નો સહગુણક છે,જે $0$ છે.
તેથી,સરવાળો $0$ છે.

(B) આપણી પાસે છે,$x+iy = (1+i)^6 - (1-i)^6$.
પ્રથમ,$(1+i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$ ગણો.
તેથી,$(1+i)^6 = ((1+i)^2)^3 = (2i)^3 = 8i^3 = -8i$.
તે જ રીતે,$(1-i)^2 = 1 + i^2 - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
તેથી,$(1-i)^6 = ((1-i)^2)^3 = (-2i)^3 = -8i^3 = 8i$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x+iy = (-8i) - (8i) = -16i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 0$ અને $y = -16$ મળે છે.
તેથી,$x+y = 0 + (-16) = -16$.

(A) આપેલ અસમતા: $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$3^x$ વડે ગુણતા ($3^x > 0$ હોવાથી):
$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 < 0$
ધારો કે $y = 3^x$,તો $y^2 - 4y + 3 < 0$
અવયવ પાડતા: $(y-1)(y-3) < 0$
આથી $1 < y < 3$
$y = 3^x$ મૂકતા: $1 < 3^x < 3$
$3^0 < 3^x < 3^1$
આધાર $3 > 1$ હોવાથી,$0 < x < 1$
આમ,ઉકેલ ગણ $(0,1)$ છે.

(C) ધારો કે $z_1 = \sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$. તેથી $z_1^{2016} = 2^{2016}(\cos(-336\pi) + i\sin(-336\pi)) = 2^{2016}$.
ધારો કે $z_2 = -\sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$. તેથી $z_2^{2019} = 2^{2019}(\cos(-\frac{3365\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3365\pi}{2})) = -i 2^{2019}$.
સરવાળો $2^{2016} - i 2^{2019}$ થાય છે.
તેથી,કાલ્પનિક ભાગ $-2^{2019}$ છે.

(B) આપેલ છે,$i z^4 + 1 = 0$.
$i z^4 = -1$.
$z^4 = \frac{-1}{i} = i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$z^4 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
ડી મોઈવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z = \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{4}} = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$.
આમ,$z$ નો વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re}(z) = \cos \frac{\pi}{8}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $z_n = (1 + i \sqrt{2})^n$.
તેથી $z_4 = (1 + i \sqrt{2})^4$ અને $\bar{z}_5 = (1 - i \sqrt{2})^5$.
ગુણાકાર $z_4 \bar{z}_5 = (1 + i \sqrt{2})^4 (1 - i \sqrt{2})^5$ ધ્યાનમાં લો.
આને આપણે $z_4 \bar{z}_5 = [(1 + i \sqrt{2})(1 - i \sqrt{2})]^4 (1 - i \sqrt{2})$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $(1 + i \sqrt{2})(1 - i \sqrt{2}) = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$, તેથી:
$z_4 \bar{z}_5 = 3^4 (1 - i \sqrt{2}) = 81(1 - i \sqrt{2}) = 81 - 81i \sqrt{2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = 81$ છે.
તેથી, $\frac{1}{9} \operatorname{Re}(z_4 \bar{z}_5) = \frac{81}{9} = 9$.

(B) આપેલ છે $\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^4 = P$ જ્યાં $|P| = 1$.
ધારો કે $w = \frac{1+iz}{1-iz}$. તો $w^4 = P$.
કારણ કે $|P| = 1$,તેથી $|w|^4 = 1$,જે સૂચવે છે કે $|w| = 1$.
તેથી,$\left|\frac{1+iz}{1-iz}\right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|1+iz| = |1-iz|$.
ધારો કે $z = x+iy$. તો $|1+i(x+iy)| = |1-i(x+iy)|$.
$|1-y+ix| = |1+y-ix|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1-y)^2 + x^2 = (1+y)^2 + x^2$.
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$.
$-2y = 2y$ $\Rightarrow 4y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
આમ,$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ. તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક છે.

(A) આપેલ છે કે $z = \cos \alpha + i \sin \alpha$,જ્યાં $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.
ડી-મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^n = \cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha)$.
$\frac{1+z^4}{1-z^3} = \frac{1 + \cos 4\alpha + i \sin 4\alpha}{1 - \cos 3\alpha - i \sin 3\alpha}$
$= \frac{2 \cos^2 2\alpha + 2i \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \sin^2 \frac{3\alpha}{2} - 2i \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}}$
$= \frac{2 \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha)}{2 \sin \frac{3\alpha}{2} (\sin \frac{3\alpha}{2} - i \cos \frac{3\alpha}{2})}$
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = \left| \frac{\cos 2\alpha}{\sin \frac{3\alpha}{2}} \right| \times \frac{|\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha|}{|\sin \frac{3\alpha}{2} - i \cos \frac{3\alpha}{2}|}$
કારણ કે $|\cos \theta + i \sin \theta| = 1$ અને $|\sin \theta - i \cos \theta| = 1$,
$\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \frac{3\alpha}{2}}$.

(D) આપણી પાસે છે,
$\sum_{r=1}^{16}\left(\sin \frac{2 r \pi}{17}+i \cos \frac{2 r \pi}{17}\right) = i \sum_{r=1}^{16}\left(\cos \frac{2 r \pi}{17} - i \sin \frac{2 r \pi}{17}\right)$
$= i \sum_{r=1}^{16} e^{-\frac{i 2 r \pi}{17}}$
ધારો કે $K = e^{-\frac{2 i \pi}{17}}$. તો સરવાળો $i \sum_{r=1}^{16} K^r$ થાય.
આ $16$ પદો ધરાવતી ભૌમિતિક શ્રેણી છે:
$i \left[ K \frac{1-K^{16}}{1-K} \right] = i \frac{K-K^{17}}{1-K}$
કારણ કે $K^{17} = e^{-2 i \pi} = \cos(2 \pi) - i \sin(2 \pi) = 1$,
તેથી પદાવલિ $i \frac{K-1}{1-K} = i(-1) = -i$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $z = \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{3} i}$.
આપણે $1 + \sqrt{3} i = \frac{1}{2} (2 + 2 \sqrt{3} i) = \frac{1}{2} ((\sqrt{3})^2 + i^2 + 2 \sqrt{3} i) = \frac{1}{2} (\sqrt{3} + i)^2$ લખી શકીએ.
તેથી,$z = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{3} + i) = \pm (\sqrt{3} + i)$.
$z$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક બંને ભાગ ઋણ હોવા જોઈએ.
તેથી,$z = -\sqrt{3} - i$.
માનાંક $|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ છે.
ત્રીજા ચરણમાં કોણાંક $\theta = -(\pi - \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})) = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5 \pi}{6}$ છે.
આમ,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = 2 \left[ \cos \left( \frac{-5 \pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{-5 \pi}{6} \right) \right]$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘનનો સરવાળો માટેનું બીજગણિતીય નિત્યસમ નીચે મુજબ છે:
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
વળી,એકમના ઘનમૂળ ધરાવતા અવયવોનો ગુણાકાર:
$(a+b \omega+c \omega^2)(a+b \omega^2+c \omega) = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(a+b+c)(a+b \omega+c \omega^2)(a+b \omega^2+c \omega) = a^3+b^3+c^3-3abc$

(D) ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. આ સમીકરણ $z^3 = -i$ અથવા $z^3 + i = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,ત્રિઘાત સમીકરણ $az^3 + bz^2 + cz + d = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -b/a$ અને બે-બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a$ થાય.
અહીં,$a = 1, b = 0, c = 0$ અને $d = i$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 0$ અને $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (0)^2 - 2(0) = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^8$ એ સમીકરણ $x^9-1=0$ ના બીજ છે.
કારણ કે $\omega$ એ એકમનું $9$ મું મૂળ છે,તેથી $\omega^9 = 1$.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{r=1}^8 \left(\omega^r\right)^{99}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$S = \sum_{r=1}^8 \omega^{99r} = \sum_{r=1}^8 (\omega^9)^{11r}$.
$\omega^9 = 1$ હોવાથી,$(\omega^9)^{11r} = (1)^{11r} = 1$.
આમ,$S = \sum_{r=1}^8 1 = 8$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3$ એ $x^3 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $a_1 + a_2 + a_3 = 0$ થાય.
$a_k = e^{i \alpha_k}$ હોવાથી,$\sum a_k = 0$ અને $\sum \bar{a_k} = 0$ થાય.
$b = a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1$ છે.
$(a_1 + a_2 + a_3)^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + 2b = 0$.
તેથી $b = -\frac{1}{2}(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
એકમ વર્તુળ પરના સંકર સંખ્યાઓ માટે જો સરવાળો શૂન્ય હોય,તો તેમના વર્ગોનો સરવાળો પણ શૂન્ય થાય છે.
તેથી $b = 0$.

(D) આપેલ છે $\left|\frac{z+3i}{3z+i}\right| < 1$,જ્યાં $z = x + iy$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{|z+3i|^2}{|3z+i|^2} < 1$.
આથી $|x + i(y+3)|^2 < |3x + i(3y+1)|^2$.
$x^2 + (y+3)^2 < (3x)^2 + (3y+1)^2$.
$x^2 + y^2 + 6y + 9 < 9x^2 + 9y^2 + 6y + 1$.
$8x^2 + 8y^2 - 8 > 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 > 1$ થાય છે.
બિંદુ $\left(\frac{k-1}{k}, \frac{k-2}{k}\right)$ આ અસમતાનું સમાધાન કરે છે:
$\left(\frac{k-1}{k}\right)^2 + \left(\frac{k-2}{k}\right)^2 > 1$.
$\frac{k^2 - 2k + 1 + k^2 - 4k + 4}{k^2} > 1$.
$2k^2 - 6k + 5 > k^2$.
$k^2 - 6k + 5 > 0$.
$(k-1)(k-5) > 0$.
તેથી,$k \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $z - 1 - 2i = (x - 1) + i(y - 2)$.
આપેલ છે કે $\text{arg}(z - 1 - 2i) = \frac{\pi}{3}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{y - 2}{x - 1}$,જ્યાં $x > 1$ અને $y > 2$.
$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\sqrt{3} = \frac{y - 2}{x - 1}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y - 2 = \sqrt{3}(x - 1)$ મળે છે.
$y = \sqrt{3}x - \sqrt{3} + 2$.
$y = \sqrt{3}x + (2 - \sqrt{3})$.

(C) આપણને આપેલ છે કે $|z+4| \geq 3$.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $|z+4| = |(z+3) + 1| \leq |z+3| + |1|$.
આપેલ શરત મૂકતા,આપણને $3 \leq |z+3| + 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $|z+3| \geq 3 - 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $|z+3| \geq 2$.
તેથી,$|z+3|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(C) આપેલ છે,$\left|\frac{z-3}{z-2i}\right|=2$.
$z=x+iy$ મૂકતા,આપણને $|(x-3)+iy| = 2|x+i(y-2)|$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-3)^2 + y^2 = 4(x^2 + (y-2)^2)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4(x^2 + y^2 - 4y + 4)$.
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 - 16y + 16$.
પદોને ગોઠવતા,$3x^2 + 3y^2 + 6x - 16y + 7 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + 2x - \frac{16}{3}y + \frac{7}{3} = 0$.
વર્તુળના સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 2 \Rightarrow g = 1$ અને $2f = -\frac{16}{3} \Rightarrow f = -\frac{8}{3}$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, \frac{8}{3})$ છે.

(D) અસમતા $2 < |z-(1+i)| < 3$ એ $(1, 1)$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 2$ તથા $r_2 = 3$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો વચ્ચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (વલય) એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
ક્ષેત્રફળ $= \pi (3)^2 - \pi (2)^2$
ક્ષેત્રફળ $= 9\pi - 4\pi = 5\pi$.

(A) આપેલ શરત $\left|\frac{z-1+i}{z+1-i}\right|=\left|\operatorname{Re}\left(\frac{z-1+i}{z+1-i}\right)\right|$ છે, જ્યાં $z \neq -1+i$.
ધારો કે $w = \frac{z-1+i}{z+1-i}$. શરત $|w| = |\operatorname{Re}(w)|$ છે.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $w = u + iv$ માટે, $|w| = \sqrt{u^2 + v^2}$ અને $|\operatorname{Re}(w)| = |u| = \sqrt{u^2}$.
તેથી, $\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{u^2} \implies u^2 + v^2 = u^2 \implies v^2 = 0 \implies v = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\operatorname{Im}(w) = 0$, તેથી $w$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $w = \frac{(x-1) + i(y+1)}{(x+1) + i(y-1)}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$w = \frac{((x-1) + i(y+1))((x+1) - i(y-1))}{(x+1)^2 + (y-1)^2}$.
$w$ નો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થાય જ્યારે અંશનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોય:
$(x-1)(-(y-1)) + (y+1)(x+1) = 0$.
$-xy + x + y - 1 + xy + x + y + 1 = 0$.
$2x + 2y = 0 \implies x + y = 0$.
કારણ કે $z \neq -1+i$, બિંદુ $(-1, 1)$ રેખા $x+y=0$ માંથી બાકાત છે.
તેથી, બિંદુપથ એ એક સીધી રેખા છે જેમાં બિંદુ $(-1+i)$ નો સમાવેશ થતો નથી.

(C) આપેલ અંકો $1, 2, 0, 2, 4, 2, 4$ છે. કુલ $7$ અંકો છે,જેમાં $2$ ત્રણ વાર,$4$ બે વાર,$1$ એક વાર અને $0$ એક વાર આવે છે.
કુલ $7$ અંકની સંખ્યાઓ $\frac{7!}{3!2!} = 420$ રીતે બનાવી શકાય.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ $7$ અંકની નથી. બાકીના $6$ અંકો $(1, 2, 2, 2, 4, 4)$ ને ગોઠવતા $\frac{6!}{3!2!} = 60$ મળે.
$1000000$ થી મોટી કુલ સંખ્યાઓ $420 - 60 = 360$ છે.
એકી સંખ્યાઓ શોધવા માટે,છેલ્લો અંક $1$ હોવો જોઈએ. છેલ્લે $1$ રાખીને બાકીના $6$ અંકો $(0, 2, 2, 2, 4, 4)$ ને ગોઠવતા:
કુલ ગોઠવણી = $\frac{6!}{3!2!} = 60$.
પ્રથમ સ્થાને $0$ હોય તેવી સ્થિતિ બાદ કરતા: $\frac{5!}{3!2!} = 10$.
તેથી,કુલ એકી સંખ્યાઓ = $60 - 10 = 50$.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ = (કુલ સંખ્યાઓ) - (કુલ એકી સંખ્યાઓ) = $360 - 50 = 310$.

(A) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{{ }^{n+2} C_2}{{ }^{n+3} C_1} = \frac{4}{2} = 2$.
સૂત્ર ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n+2)!}{2! n!} \div (n+3) = 2$.
$\frac{(n+2)(n+1)}{2} \times \frac{1}{n+3} = 2$.
$(n+2)(n+1) = 4(n+3)$.
$n^2 + 3n + 2 = 4n + 12$.
$n^2 - n - 10 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $n$ શોધતા:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
અહીં $\sqrt{41}$ એ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $(n \notin N)$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,$n$ ની કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ઉગમબિંદુ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a) = 4ax + 4a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) x + 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 1$.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$.
તેથી,$mn - m + n = (1 \times 2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ છે.
$x \log x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx + C$.
ધારો કે $u = \log x$,તો $du = \frac{1}{x} dx$.
$y \log x = \int 2u du + C = u^2 + C = (\log x)^2 + C$.
આપેલ છે કે $y(e) = 0$,તેથી $0 \cdot \log e = (\log e)^2 + C$,એટલે કે $0 = 1 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -1$.
આમ,$y \log x = (\log x)^2 - 1$.
$x = e^2$ માટે,$y \log(e^2) = (\log e^2)^2 - 1$.
$y(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
$2y = 3$,તેથી $y = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 16x + 5 = 0$ છે.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3, b = -16, c = 5$ મળે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\left(\frac{-16}{3}\right) = \frac{16}{3}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$.
અહીં $\alpha \beta = \frac{5}{3} > 1$ હોવાથી,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$\tan^{-1} \alpha + \tan^{-1} \beta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right)$.
આ કિંમત આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left[\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right)\right] - \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right) = \pi$.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - x^2 \tan \theta + x \tan^2 \theta + \tan \theta = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો,બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો અને બીજનો ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$x_1 + x_2 + x_3 = \tan \theta$
$x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = \tan^2 \theta$
$x_1 x_2 x_3 = -\tan \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x_1 + \tan^{-1} x_2 + \tan^{-1} x_3 = \tan^{-1} \left( \frac{(x_1 + x_2 + x_3) - x_1 x_2 x_3}{1 - (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \tan^{-1} \left( \frac{\tan \theta - (-\tan \theta)}{1 - \tan^2 \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \right)$.
દ્વિગુણિત ખૂણાના સૂત્ર $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan^{-1} (\tan 2\theta) = 2\theta$.
$\theta = \frac{\pi}{12}$ માટે,મૂલ્ય $2 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ થાય.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે,$x+y=60$.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x + \frac{y}{3} + \frac{y}{3} + \frac{y}{3}}{4} \geq \sqrt[4]{x \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3} \cdot \frac{y}{3}}$
$\frac{x+y}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
$x+y=60$ મુકતા:
$\frac{60}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
$15 \geq \sqrt[4]{\frac{x y^3}{27}}$
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$(15)^4 \geq \frac{x y^3}{27}$
$x y^3 \leq 27 \times (15)^4$
$x y^3 \leq 3^7 \times 5^4$
તેથી,$x y^3$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{(45)^4}{3}$ છે.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{OA} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ અને $\vec{OB} = \vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}$.
સદિશ $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -3\vec{b}+2\vec{c}$.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે:
$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 1\vec{OB}}{4} = \frac{4\vec{a}+\vec{b}+6\vec{c}}{4}$.
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે:
$\vec{OQ} = \frac{3\vec{OA} - 1\vec{OB}}{2} = \frac{2\vec{a}+5\vec{b}}{2}$.
સદિશ $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{9\vec{b}-6\vec{c}}{4} = \frac{3}{4}(3\vec{b}-2\vec{c})$.
તેથી,$|PQ| = \frac{3}{4}|AB|$,જેનો અર્થ છે કે $4|PQ| = 3|AB|$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $O(5, 2, -6)$,મધ્યકેન્દ્ર $G(9, 6, -4)$ અને પરિકેન્દ્ર $C(x, y, z)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$G = \left( \frac{2x + 5}{3}, \frac{2y + 2}{3}, \frac{2z - 6}{3} \right) = (9, 6, -4)$.
યામોને સરખાવતા:
$9 = \frac{2x + 5}{3} \implies x = 11$.
$6 = \frac{2y + 2}{3} \implies y = 8$.
$-4 = \frac{2z - 6}{3} \implies z = -3$.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $(11, 8, -3)$ છે.

(D) આપેલ છે $y=(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$.
$(x-1)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે $y = \frac{(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{(x^8-1)(x^8+1)}{x-1} = \frac{x^{16}-1}{x-1}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-1)(16x^{15}) - (x^{16}-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{16x^{16} - 16x^{15} - x^{16} + 1}{(x-1)^2} = \frac{15x^{16} - 16x^{15} + 1}{(x-1)^2}$.
$\lim_{x \rightarrow -1} \frac{dy}{dx}$ શોધવા માટે,$x = -1$ મૂકતા:
$\frac{15(-1)^{16} - 16(-1)^{15} + 1}{(-1-1)^2} = \frac{15(1) - 16(-1) + 1}{(-2)^2} = \frac{15 + 16 + 1}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $A = \int_0^{2\pi} |\sin 2x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય $f(x) = |\sin 2x|$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવે છે,તેથી $[0, 2\pi]$ પરનું ક્ષેત્રફળ $4$ સમાન ભાગો (humps) ધરાવે છે,જે દરેક $\frac{\pi}{2}$ લંબાઈના અંતરાલમાં છે.
આમ,$A = 4 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 4 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}$.
$A = 4 \left( -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-1 - 1) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-2) \right) = 4(1) = 4$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ વક્રો $y=\sqrt{x}$ અને $x=\sqrt{y}$ છે.
$x=\sqrt{y}$ નો વર્ગ કરતા $y=x^2$ મળે છે.
આપણે $x=1$ અને $x=4$ ની વચ્ચે $y=x^2$ અને $y=\sqrt{x}$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
અંતરાલ $[1, 4]$ માં,વક્ર $y=x^2$ એ વક્ર $y=\sqrt{x}$ ની ઉપર આવેલું છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_1^4 (x^2 - \sqrt{x}) dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^4$
$A = \left( \frac{4^3}{3} - \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{2}{3} (1)^{3/2} \right)$
$A = \left( \frac{64}{3} - \frac{2}{3} \times 8 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right)$
$A = \left( \frac{64}{3} - \frac{16}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} \right)$
$A = \frac{48}{3} + \frac{1}{3} = \frac{49}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) અહીં વક્રો $y=x^3$ અને $y=x$ આપેલા છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે આ પ્રદેશ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સંમિત છે કારણ કે બંને વિધેયો અયુગ્મ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-1}^{1} |x - x^3| dx$ દ્વારા મળે છે.
સંમિતિને કારણે,$A = 2 \int_{0}^{1} |x - x^3| dx$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$x \geq x^3$ હોવાથી,$|x - x^3| = x - x^3$ થાય.
તેથી,$A = 2 \int_{0}^{1} (x - x^3) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}$.
$A = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}$ ચોરસ એકમ.

(D) વક્ર $y=x^2+4$ અને રેખા $y=5x-2$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2+4 = 5x-2$
$x^2-5x+6 = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=2$ અને $x=3$ પર છે.
અંતરાલ $[2, 3]$ માં,રેખા $y=5x-2$ એ વક્ર $y=x^2+4$ ની ઉપર આવેલી છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_2^3 ((5x-2) - (x^2+4)) \, dx$
$A = \int_2^3 (5x - x^2 - 6) \, dx$
$A = \left[ \frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - 6x \right]_2^3$
સીમાઓ પર કિંમત મૂકતા:
$A = \left( \frac{5(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} - 6(3) \right) - \left( \frac{5(2)^2}{2} - \frac{(2)^3}{3} - 6(2) \right)$
$A = \left( \frac{45}{2} - 9 - 18 \right) - \left( 10 - \frac{8}{3} - 12 \right)$
$A = \left( \frac{45}{2} - 27 \right) - \left( -2 - \frac{8}{3} \right)$
$A = \left( \frac{45-54}{2} \right) - \left( \frac{-6-8}{3} \right)$
$A = -\frac{9}{2} + \frac{14}{3} = \frac{-27+28}{6} = \frac{1}{6}$
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{6}$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^2 = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક),તેથી $A$ ની તમામ ઉચ્ચ ઘાત પણ શૂન્ય શ્રેણિક થશે,એટલે કે $n \geq 2$ માટે $A^n = O$.
આપેલ છે કે $f(x) = x + x^2 + \dots + x^{2018}$,તેથી:
$f(A) = A + A^2 + A^3 + \dots + A^{2018}$.
$A$ ની ઘાત મૂકતા:
$f(A) = A + O + O + \dots + O = A$.
હવે,$f(A) + I$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(A) + I = A + I = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) $3$ કક્ષાના બે ચોરસ શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે:
$1$. જો $M$ અને $N$ સંમિત શ્રેણિકો હોય,તો શ્રેણિક $MN - NM$ વિસંમિત છે,કારણ કે $(MN - NM)^T = (MN)^T - (NM)^T = N^T M^T - M^T N^T = NM - MN = -(MN - NM)$.
$2$. શ્રેણિક $N^T MN$ એ $M$ સંમિત કે વિસંમિત હોય તે મુજબ સંમિત અથવા વિસંમિત છે,કારણ કે $(N^T MN)^T = N^T M^T (N^T)^T = N^T M^T N$. જો $M^T = M$ હોય,તો $(N^T MN)^T = N^T MN$ (સંમિત). જો $M^T = -M$ હોય,તો $(N^T MN)^T = -N^T MN$ (વિસંમિત).
$3$. બે સંમિત શ્રેણિકોનો ગુણાકાર $MN$ ત્યારે જ સંમિત હોય જો $MN = NM$ હોય. આ બધા સંમિત શ્રેણિકો માટે સાચું નથી,તેથી વિધાન $(c)$ ખોટું છે.
$4$. કોઈપણ બે શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે,$\text{adj}(MN)$ અને $\text{adj}(NM)$ સમાન હોવા જરૂરી નથી.
આમ,જે વિધાન સત્ય નથી તે $(c)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = 1(18-5) - 2(6-10) + 3(1-6) = 13 + 8 - 15 = 6$ શોધો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n = 3$ છે,તેથી $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{3-2} A = |A| A = 6A$.
તેથી,$(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))^{-1} = (6A)^{-1} = \frac{1}{6} A^{-1}$.
કારણ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$,આપણે પહેલા $\operatorname{Adj} A$ શોધીએ:
$\operatorname{Adj} A = \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))^{-1} = \frac{1}{6} A^{-1} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{36} \begin{bmatrix} 13 & -9 & 1 \\ 4 & 0 & -2 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ અને $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા છે.
આપેલ છે કે $|\operatorname{adj} A| = |\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|$.
તેથી,$|A|^{n-1} = |A|^{(n-1)^2}$.
કારણ કે $A$ બિન-શૂન્ય છે,$|A| \neq 0$. તેથી,$n-1 = (n-1)^2$.
$(n-1) - (n-1)^2 = 0 \Rightarrow (n-1)(1 - (n-1)) = 0 \Rightarrow (n-1)(2-n) = 0$.
$n > 1$ હોવાથી,$n = 2$ મળે છે.
શ્રેણિકનો ક્રમ (rank) એ શ્રેણિકમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હાર અથવા સ્તંભની મહત્તમ સંખ્યા છે. વિકલ્પ $D$ માં આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $-12$ છે,જે શૂન્ય નથી,તેથી તેનો ક્રમ $3$ છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરતા:
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ લેતા $\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 2 & 1 & 3 & -2 \\ 8 & 11 & 1 & 6 \\ -7 & -14 & 6 & -14 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - 8R_1$,$R_4 \rightarrow R_4 + 7R_1$ પ્રક્રિયાઓ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & -21 & 33 & -42 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \leftrightarrow R_4$ અદલાબદલી કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 14 & -22 & 28 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ મળે.
$R_3 \rightarrow R_3 + 2R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 4 & -4 & 6 \\ 0 & -7 & 11 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ મળે.
અહીં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક (Rank) $2$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 \\ x-1 & 2-x & x+4 \\ x-3 & x-3 & 3x\end{array}\right| = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$.
સમીકરણમાં $x=1$ મૂકતા:
$f(1) = \left|\begin{array}{ccc}4 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \\ -2 & -2 & 3\end{array}\right| = a_0+a_1+a_2+a_3+a_4$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $4(3+10) - 2(0+10) - 2(0+2) = 4(13) - 2(10) - 2(2) = 52 - 20 - 4 = 28$.
તેથી,$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4 = 28$ (સમીકરણ $i$).
સમીકરણમાં $x=-1$ મૂકતા:
$f(-1) = \left|\begin{array}{ccc}-2 & 0 & -4 \\ -2 & 3 & 3 \\ -4 & -4 & -3\end{array}\right| = a_0-a_1+a_2-a_3+a_4$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $-2(-9+12) - 0 + (-4)(8+12) = -2(3) - 4(20) = -6 - 80 = -86$.
તેથી,$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4 = -86$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ માંથી સમીકરણ $ii$ બાદ કરતા:
$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) - (a_0-a_1+a_2-a_3+a_4) = 28 - (-86) = 114$.
$2(a_1+a_3) = 114 \Rightarrow a_1+a_3 = 57$.
સમીકરણ $i$ અને સમીકરણ $ii$ નો સરવાળો કરતા:
$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4) + (a_0-a_1+a_2-a_3+a_4) = 28 + (-86) = -58$.
$2(a_0+a_2+a_4) = -58$.
તેથી,$(a_1+a_3) + 2(a_0+a_2+a_4) = 57 + (-58) = -1$.

(A) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & \beta \\ -b & \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 0(0 - \alpha\beta) - a(0 - (\beta)(-b)) + b((-a)(\alpha) - 0) = 0$.
$|A| = 0 - a(b\beta) + b(-a\alpha) = 0$.
$-ab\beta - ab\alpha = 0$.
$-ab(\alpha + \beta) = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $a, b$ માટે સાચું હોવાથી,$\alpha + \beta = 0$ થાય.

(A) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)$.
આને આપણે $|A| = -(a-b)(c-a)(b-c)$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $a-b=1$ અને $b-c=3$,તેથી $c-b = -3$.
વધુમાં,$(a-c) = (a-b) + (b-c) = 1 + 3 = 4$,તેથી $(c-a) = -4$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$|A| = -(1) \times (-4) \times (3) = 12$.
જોકે,પ્રશ્નમાં $|A| = -12$ આપેલ છે.
આપેલ શરતો $a-b=1$ અને $b-c=3$ મુજબ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય હંમેશા $12$ રહે છે,તેથી તે ક્યારેય $-12$ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આવા કોઈ શ્રેણિકો શક્ય નથી,એટલે કે સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}n^2 & (n+1)^2 & (n+2)^2 \\ (n+1)^2 & (n+2)^2 & (n+3)^2 \\ (n+2)^2 & (n+3)^2 & (n+4)^2\end{array}\right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}n^2 & (n+1)^2 & (n+2)^2 \\ 2n+1 & 2n+3 & 2n+5 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right|$.
ફરીથી $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}n^2 & 2n+1 & 2 \\ 2n+1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{array}\right| = 2(0 - 4) = -8$.
હવે,આપેલ બીજા નિશ્ચાયક સમીકરણ મુજબ:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & -4 & 7 \\ -2 & 3 & -5 \\ 3 & x & -3\end{array}\right| = 2\Delta + 1 = 2(-8) + 1 = -15$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(-9 + 5x) + 4(6 + 15) + 7(-2x - 9) = -15$.
$-9 + 5x + 84 - 14x - 63 = -15$.
$-9x + 12 = -15$.
$-9x = -27$.
$x = 3$.

(C) આપેલ છે કે,$AX=D$ એ ત્રણ સુરેખ અસમઘાત સમીકરણોની સંહતિ છે.
અહીં $|A|=0$ હોવાથી,સંહતિને અનન્ય ઉકેલ નથી.
આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([AD]) = \alpha$.
Rouché-Capelli પ્રમેય મુજબ,જો $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([AD]) = \alpha < n$ (જ્યાં $n=3$ એ ચલની સંખ્યા છે),તો સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય છે.
તેથી,જ્યારે $\alpha < 3$ હોય,ત્યારે $AX=D$ સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સિસ્ટમ: $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \\ 2 & 4 & 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & \lambda^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = 0$
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \lambda \\ 2 & 4 & 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & \lambda^2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(4\lambda^2 - 4\lambda^2) - 2(2\lambda^2 - 2\lambda^2) + \lambda(4\lambda - 4\lambda) = 0 - 0 + 0 = 0$.
કારણ કે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ છે,તેથી સિસ્ટમ $AX = 0$ પાસે કોઈપણ $\lambda \in (-\infty, \infty)$ માટે હંમેશા અનંત ઉકેલો (નોન-ટ્રિવિયલ ઉકેલો) હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=1$
$2x+3y+2z=2$
$ax+ay+2az=4$
સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $AX=B$ નો ઉકેલ અનન્ય હોય જો અને માત્ર જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2a \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(3(2a) - 2(a)) - 1(2(2a) - 2(a)) + 1(2(a) - 3(a))$
$|A| = 1(6a - 2a) - 1(4a - 2a) + 1(2a - 3a)$
$|A| = 4a - 2a - a = a$
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $a \neq 0$.
તેથી,સંહતિનો ઉકેલ બધા $a \in R-\{0\}$ માટે અનન્ય છે.

(C) સુરેખ સમીકરણ સંહતિનો શૂન્યતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સમીકરણો છે:
$4 \sin \theta x - 3y + z = 0$
$x - 6 \cos 2\theta y + z = 0$
$3x - 12y + 4z = 0$
નિશ્ચાયક:
$\Delta = \begin{vmatrix} 4 \sin \theta & -3 & 1 \\ 1 & -6 \cos 2\theta & 1 \\ 3 & -12 & 4 \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \rightarrow 4R_1 - R_3$ વાપરતા:
$\begin{vmatrix} 16 \sin \theta - 3 & 0 & 0 \\ 1 & -6 \cos 2\theta & 1 \\ 3 & -12 & 4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(16 \sin \theta - 3) [(-6 \cos 2\theta)(4) - (1)(-12)] = 0$
$(16 \sin \theta - 3) [-24 \cos 2\theta + 12] = 0$
$12(16 \sin \theta - 3)(1 - 2 \cos 2\theta) = 0$
આથી $16 \sin \theta = 3$ અથવા $2 \cos 2\theta = 1$ મળે.
$16 \sin \theta = 3 \implies \sin \theta = \frac{3}{16} \implies \theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{16}\right)$.
$2 \cos 2\theta = 1 \implies \cos 2\theta = \frac{1}{2} \implies 2\theta = \frac{\pi}{3} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$.

(C) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ t+1 & t & t+2 \\ t-1 & t+2 & t \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} t & t+1 & t-1 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$t(-1 - 3) - (t+1)(1 + 3) + (t-1)(1 - 1) = 0$
$-4t - 4(t+1) + 0 = 0$
$-4t - 4t - 4 = 0$
$-8t = 4 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}$
$t = -\frac{1}{2}$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$2t^2 + 3t + 1 = 2(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2}) + 1 = 2(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$.
આમ,$t = -\frac{1}{2}$ એ $2t^2 + 3t + 1 = 0$ નું બીજ છે.

(C) ધારો કે $\theta = \tan ^{-1} \left(\frac{y}{2}\right)$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{y}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$.
$\tan \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sec ^2 \theta = 1 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1 + \frac{y^2}{4} = \frac{4+y^2}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sec \theta = \sqrt{\frac{4+y^2}{4}} = \frac{\sqrt{4+y^2}}{2}$.
આમ,$\sec \left(\tan ^{-1} \frac{y}{2}\right) = \frac{\sqrt{4+y^2}}{2}$.

(B) પ્રદેશ નક્કી કરો અને લઘુગણકીય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરો:
પ્રથમ,નોંધો કે વિધેય $\cosh^{-1} x$ ફક્ત $x \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,આપણી પાસે $x \geq 1$ હોવું જોઈએ.
અમે પ્રતિ હાઇપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$e^{\cosh^{-1} x} = x + \sqrt{x^2 - 1}$
$e^{\sinh^{-1} x} = x + \sqrt{x^2 + 1}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકો અને સાદું રૂપ આપો:
આ પદોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sqrt{2} + (x + \sqrt{x^2 - 1}) - (x + \sqrt{x^2 + 1}) = 0$
$x$ પદો ઉડી જશે,જેથી બાકી રહે:
$\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x^2 + 1} = 0$
$\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x^2 + 1}$
$x$ માટે ઉકેલો:
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરો:
$(\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1})^2 = (\sqrt{x^2 + 1})^2$
$2 + (x^2 - 1) + 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = x^2 + 1$
$x^2 + 1 + 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = x^2 + 1$
બંને બાજુથી $x^2 + 1$ બાદ કરતા:
$2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = 0$
$\sqrt{x^2 - 1} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$
કારણ કે પ્રદેશ $x \geq 1$ ની માંગ કરે છે,તેથી માત્ર એક જ માન્ય ઉકેલ $x = 1$ છે. આમ,$1$ ઉકેલ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=ax+b$ એ $[-1,1]$ થી $[0,2]$ પરનું વ્યાપ્ત વિધેય છે. $a>0$ હોવાથી,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે. તેથી,$f(-1)=0$ અને $f(1)=2$.
$-a+b=0 \implies a=b$.
$a+b=2 \implies 2a=2 \implies a=1, b=1$.
તેથી,$f(x)=x+1$.
હવે,પદાવલિની કિંમત શોધીએ:
$\tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{8}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{8} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{13/40}{39/40} \right) = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
પછી,$\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{7} \times \frac{1}{3}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{10/21}{20/21} \right) = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$.
અંતે,$\cot \left( \tan ^{-1} \frac{1}{2} \right) = \cot \left( \cot ^{-1} 2 \right) = 2$.
કારણ કે $f(1)=1+1=2$,તેથી જવાબ $f(1)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y+\cos ^{-1} z=3 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
ત્રણ કિંમતોનો સરવાળો,જેમાંથી દરેક મહત્તમ $\pi$ હોઈ શકે,$3 \pi$ છે,તેથી દરેક પદ $\pi$ ની બરાબર હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cos ^{-1} x = \pi$,$\cos ^{-1} y = \pi$,અને $\cos ^{-1} z = \pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \cos \pi = -1$,$y = \cos \pi = -1$,અને $z = \cos \pi = -1$.
આ કિંમતોને $x+y+z+3$ માં મૂકતા,આપણને $(-1) + (-1) + (-1) + 3 = -3 + 3 = 0$ મળે છે.
આમ,$x+y+z+3=0$.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ: $\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)} \geq 0$.
$2$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\log(x^2-x) \neq 0 \Rightarrow x^2-x \neq 1$.
$3$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $x^2-x > 0$.
$x-[x] = \{x\} \geq 0$ હોવાથી,$\log(x^2-x) > 0$ થવું જોઈએ.
આથી $x^2-x > 1$ અથવા $x^2-x-1 > 0$.
$x^2-x-1 = 0$ ના ઉકેલ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
તેથી,પ્રદેશ $R \setminus \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અનૃણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1$. છેદની શરત: $[x] + 2 \neq 0 \Rightarrow [x] \neq -2$. આનો અર્થ છે કે $x \notin [-2, -1)$.
$2$. અસમતાની શરત: $\frac{4-x^2}{[x]+2} \geq 0$.
કિસ્સો $I$: જો $[x] + 2 > 0$,તો $[x] > -2$,જેનો અર્થ છે $x \geq -1$.
ત્યારે $4 - x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq 4$ $\Rightarrow x \in [-2, 2]$.
$x \geq -1$ અને $x \in [-2, 2]$ ને જોડતા,આપણને $x \in [-1, 2]$ મળે છે.
કિસ્સો $II$: જો $[x] + 2 < 0$,તો $[x] < -2$,જેનો અર્થ છે $x < -2$.
ત્યારે $4 - x^2 \leq 0$ $\Rightarrow x^2 \geq 4$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
$x < -2$ અને $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ ને જોડતા,આપણને $x \in (-\infty, -2)$ મળે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,પ્રદેશ $(-\infty, -2) \cup [-1, 2]$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}\left[\log_4\left(\frac{x}{4}\right)\right] + \sqrt{17x - x^2 - 16}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
પ્રથમ,$\sin^{-1}(u)$ માટે,$u \in [-1, 1]$ હોવું જોઈએ:
$-1 \leq \log_4\left(\frac{x}{4}\right) \leq 1$
$4^{-1} \leq \frac{x}{4} \leq 4^1$
$\frac{1}{4} \leq \frac{x}{4} \leq 4$
$1 \leq x \leq 16$
બીજું,વર્ગમૂળ $\sqrt{17x - x^2 - 16}$ માટે,$17x - x^2 - 16 \geq 0$ હોવું જોઈએ:
$x^2 - 17x + 16 \leq 0$
$(x - 16)(x - 1) \leq 0$
$1 \leq x \leq 16$
બંને શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $[1, 16]$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - [x] - 2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ:
$[x]^2 - [x] - 2 > 0$
અવયવ પાડતા:
$([x] - 2)([x] + 1) > 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જો $[x] > 2$ અથવા $[x] < -1$ હોય.
જો $[x] > 2$ હોય,તો ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $3$ મળે,તેથી $x \geq 3$.
જો $[x] < -1$ હોય,તો મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $-2$ મળે,તેથી $x < -1$.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ છે.

(A-IV, B-III, C-II, D-I) $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \cos(112x - 37)$. $f(x)$ એ આવર્તી વિધેય હોવાથી,તે અનેક-એક છે,તેથી તે એક-એક નથી. તેનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી. આમ,$A \rightarrow IV$.
$(B)$ $f: [-2, 2] \rightarrow [-4, 4]$,$f(x) = x|x|$. આને $f(x) = \begin{cases} -x^2 & -2 \leq x < 0 \\ x^2 & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$ તરીકે લખી શકાય. આ વિધેય $[-2, 2]$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે એક-એક છે. તેનો વિસ્તાર $[-4, 4]$ છે,જે સહપ્રદેશ જેટલો જ છે,તેથી તે વ્યાપ્ત છે. આમ,$B \rightarrow III$.
$(C)$ $f: R \rightarrow R$,$f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$. $f(2) = f(3) = f(5) = 0$ હોવાથી,તે એક-એક નથી. તે ત્રિઘાત બહુપદી હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $R$ છે,તેથી તે વ્યાપ્ત છે. આમ,$C \rightarrow II$.
$(D)$ $f: N \rightarrow N$,$f(n) = n+1$. $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1+1 = n_2+1 \implies n_1 = n_2$ હોવાથી,તે એક-એક છે. તેનો વિસ્તાર ${2, 3, 4, \dots}$ છે,જે સહપ્રદેશ $N$ જેટલો નથી (કારણ કે $1$ વિસ્તારમાં નથી),તેથી તે વ્યાપ્ત નથી. આમ,$D \rightarrow I$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin x & 1 \\ 1+\cos x & 1 & 1 \end{array} \right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લેતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \sin x & 0 \\ 1+\cos x & -\cos x & -\cos x \end{array} \right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = 1 \cdot (\sin x \cdot (-\cos x) - 0) = -\sin x \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2x$.
વિધેય $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર $\left[ -\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2} \right]$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{\sqrt{3}}{4} \leq -\frac{1}{2} \sin 2x \leq \frac{1}{2}$.
$-2$ વડે ગુણતા: $-1 \leq \sin 2x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $2x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3} \right]$.
$2$ વડે ભાગતા: $x \in \left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6} \right]$.
આમ,$a = -\frac{\pi}{4}$ અને $b = \frac{\pi}{6}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ અને $g(x) = \frac{x^2}{1+x^2}$,જ્યાં $x \in R$.
$f(x)$ માટે,$f'(x) = \frac{(1+x^2)(1) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.
અહીં $f'(x)$ એ $x = \pm 1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી $f(x)$ એકવિધ નથી,એટલે કે તે એક-એક નથી.
$f(x)$ નો વિસ્તાર $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી,તેથી $f(x)$ વ્યાપ્ત નથી.
$g(x)$ માટે,$g(-x) = \frac{(-x)^2}{1+(-x)^2} = \frac{x^2}{1+x^2} = g(x)$,તેથી $g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,એટલે કે તે એક-એક નથી.
$g(x)$ નો વિસ્તાર $[0, 1)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી,તેથી $g(x)$ વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ અને $g$ બંને એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) આપેલ છે $f(x) = (x+1)^2 - 1, x \geq -1$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,$y = (x+1)^2 - 1$ લો.
તેથી $y+1 = (x+1)^2$,એટલે કે $x+1 = \sqrt{y+1}$ (કારણ કે $x \geq -1$),જે આપે છે $x = \sqrt{y+1} - 1$.
આમ,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$.
આપણે $f(x) = f^{-1}(x)$ ઉકેલીએ,જે સૂચવે છે $(x+1)^2 - 1 = \sqrt{x+1} - 1$.
આનું સાદું રૂપ $(x+1)^2 = \sqrt{x+1}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x+1)^4 = x+1$,અથવા $(x+1)((x+1)^3 - 1) = 0$.
આનાથી $x+1 = 0$ અથવા $(x+1)^3 = 1$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
કિસ્સો $2$: $x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$.
કિસ્સો $3$: $x+1 = \omega$ અથવા $x+1 = \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$x = \omega - 1 = \frac{-3+i\sqrt{3}}{2}$ અને $x = \omega^2 - 1 = \frac{-3-i\sqrt{3}}{2}$.
પ્રદેશ $x \geq -1$ હોવાથી,આપણે ફક્ત વાસ્તવિક કિંમતો $x = -1$ અને $x = 0$ ધ્યાનમાં લઈશું.
આમ,ગણ $\{0, -1\}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x - \frac{1}{x}$. ધારો કે $y = f(x)$,તેથી $y = x - \frac{1}{x}$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ના સંદર્ભમાં $x$ ની કિંમત મેળવીએ:
$y = \frac{x^2 - 1}{x} \Rightarrow x^2 - yx - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 + 4}}{2}$.
$f$ નો પ્રદેશ $[1, \infty)$ હોવાથી,$x$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન મૂળ લઈએ છીએ:
$x = \frac{y + \sqrt{y^2 + 4}}{2}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x)=\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{\sqrt{[x]+2}}$ છે.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1. \ 3+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$
$2. \ 3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$
$3. \ [x]+2 > 0 \Rightarrow [x] > -2$
કારણ કે $[x] > -2$,$[x]$ લઈ શકે તેવી સૌથી નાની પૂર્ણાંક કિંમત $-1$ છે. તેથી,$x \geq -1$.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $x \in [-1, 3]$ મળે છે.
આપેલ અંતરાલ $[\alpha, \beta]$ હોવાથી,$\alpha = -1$ અને $\beta = 3$ છે.
હવે,આપણે $f^2(\alpha+1) + 5f^2(\beta) = f^2(0) + 5f^2(3)$ ની ગણતરી કરીએ.
$f(0) = \frac{\sqrt{3+0} + \sqrt{3-0}}{\sqrt{[0]+2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$. તેથી,$f^2(0) = 6$.
$f(3) = \frac{\sqrt{3+3} + \sqrt{3-3}}{\sqrt{[3]+2}} = \frac{\sqrt{6} + 0}{\sqrt{3+2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$. તેથી,$f^2(3) = \frac{6}{5}$.
તેથી,$f^2(0) + 5f^2(3) = 6 + 5 \times \frac{6}{5} = 6 + 6 = 12$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) અહીં $X = \{0, 1, 2\}$ અને $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ છે. આપણે એવા અચળ ન હોય તેવા વિધેયો $f: X \to Y$ શોધવાના છે કે જેથી $f(0) \leq f(1) \leq f(2)$ થાય.
વિધેય અચળ ન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $f(0) = f(1) = f(2)$ વાળા કિસ્સાને બાદ કરીશું.
બિન-ઘટતા વિધેયોની કુલ સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r} = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = 120$ છે.
અહીં $8$ અચળ વિધેયો છે જ્યાં $f(0) = f(1) = f(2) = k$ થાય.
તેથી,અચળ ન હોય તેવા બિન-ઘટતા વિધેયોની સંખ્યા $120 - 8 = 112$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કિસ્સાઓનો સરવાળો:
કિસ્સો $I$: $f(0) < f(1) < f(2)$. રીતોની સંખ્યા = $\binom{8}{3} = 56$.
કિસ્સો $II$: $f(0) = f(1) < f(2)$. રીતોની સંખ્યા = $\binom{8}{2} = 28$.
કિસ્સો $III$: $f(0) < f(1) = f(2)$. રીતોની સંખ્યા = $\binom{8}{2} = 28$.
કુલ = $56 + 28 + 28 = 112$.

(A) વિધેય $f(x)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \begin{cases} \cos 2 x, & -\infty < x < 0 \\ e^{3 x}, & 0 \leq x < 3 \\ x^2-4 x+3, & 3 \leq x \leq 6 \\ \frac{\log (15 x-89)}{x-6}, & x>6 \end{cases}$
અસતત બિંદુ $a$ શોધવા માટે,આપણે જ્યાં વિધેયની વ્યાખ્યા બદલાય છે તે બિંદુઓ તપાસીએ,ખાસ કરીને $x=0, 3, 6$.
$x=3$ આગળ:
$\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 3^{-}} e^{3 x} = e^9$
$\lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x) = \lim _{x \rightarrow 3^{+}} (x^2-4 x+3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)$,તેથી વિધેય $x=3$ આગળ અસતત છે. આમ,$a=3$.
હવે,આપણે લક્ષની કિંમત શોધીએ:
$\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-9}{x^3-5 x^2+9 x-9} = \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2-2 x+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x+3}{x^2-2 x+3} = \frac{3+3}{3^2-2(3)+3} = \frac{6}{9-6+3} = \frac{6}{6} = 1$

(C) આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ જમણી બાજુથી સતત છે.
જમણી બાજુની સાતત્યની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$ થાય.
અહીં,$f(2) = k$ છે.
તેથી,$k = \lim_{h \to 0^+} f(2+h)$.
વિધેયની વ્યાખ્યા મૂકતા:
$k = \lim_{h \to 0^+} ((2+h)^2 + e^{\frac{1}{2-(2+h)}})^{-1}$.
$k = \lim_{h \to 0^+} ((2+h)^2 + e^{\frac{1}{-h}})^{-1}$.
જેમ $h \to 0^+$,તેમ પદ $\frac{1}{-h} \to -\infty$,તેથી $e^{\frac{1}{-h}} \to e^{-\infty} = 0$ થાય.
આમ,$k = (2^2 + 0)^{-1} = (4)^{-1} = \frac{1}{4}$.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = b$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a(1-\cos 2x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a(2 \sin^2 x)}{x^2} = 2a \lim_{x \rightarrow 0^-} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2a(1)^2 = 2a$.
તેથી,$2a = b$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4+\sqrt{x}}-2}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{(\sqrt{4+\sqrt{x}}-2)(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{(4+\sqrt{x})-4} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{4+\sqrt{x}}+2)}{\sqrt{x}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} (\sqrt{4+\sqrt{x}}+2) = \sqrt{4}+2 = 4$.
તેથી,$b = 4$.
$b = 4$ ને $2a = b$ માં મૂકતા,આપણને $2a = 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
તેથી,$a+b = 2+4 = 6$.

(C) આપણે $x = \frac{5}{3}$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to \frac{5}{3}^-} f(x) = 5 - 3(\frac{5}{3}) = 5 - 5 = 0$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to \frac{5}{3}^+} f(x) = (\frac{5}{3})^2 - 3(\frac{5}{3}) + 20 = \frac{25}{9} - 5 + 20 = \frac{25}{9} + 15 = \frac{25 + 135}{9} = \frac{160}{9}$.
અહીં $\lim_{x \to \frac{5}{3}^-} f(x) \neq \lim_{x \to \frac{5}{3}^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{5}{3}$ આગળ અસતત છે.
હવે $x = 2$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસીએ. $2 > \frac{5}{3}$ હોવાથી,$x = 2$ ની આસપાસ વિધેય $f(x) = x^2 - 3x + 20$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આ એક બહુપદી વિધેય છે,જે તેના પ્રદેશમાં દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે. તેથી,$f(x)$ એ $x = 2$ આગળ વિકલનીય છે.

(C) વિધેય $f(x) = \log \left(\frac{x-1}{x+2}\right)$ ત્યાં વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે જ્યાં લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોય.
આપણે $\frac{x-1}{x+2} > 0$ ની જરૂર છે.
આ અસમતા ઉકેલવા માટે,અંશ અને છેદને શૂન્ય સાથે સરખાવીને નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ: $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ અને $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
સંખ્યા રેખા પર વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$x > 1$ માટે,$\frac{x-1}{x+2} > 0$.
$-2 < x < 1$ માટે,$\frac{x-1}{x+2} < 0$.
$x < -2$ માટે,$\frac{x-1}{x+2} > 0$.
આમ,વિધેય $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$ માટે સતત છે.

(D) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$,$\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\alpha$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 f(x)-g(x)}{(f(x)+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$.
લક્ષની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{2(1)-\alpha}{(1+7)^{2 / 3}}=\frac{7}{4}$.
$\Rightarrow \frac{2-\alpha}{8^{2 / 3}}=\frac{7}{4} \Rightarrow \frac{2-\alpha}{4}=\frac{7}{4} \Rightarrow 2-\alpha=7 \Rightarrow \alpha=-5$.
હવે,$h(x)= \begin{cases} \sin (-5x), & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{10} \\ \cos (-10x), & \frac{\pi}{10} < x \leq \frac{\pi}{5} \end{cases}$.
$\sin (-5x)$ અને $\cos (-10x)$ સતત વિધેયો હોવાથી,આપણે માત્ર $x=\frac{\pi}{10}$ આગળ સાતત્ય ચકાસવાની જરૂર છે.
$LHL = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{10}^-} \sin (-5x) = \sin \left(-\frac{5\pi}{10}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
$h\left(\frac{\pi}{10}\right) = \sin \left(-\frac{5\pi}{10}\right) = -1$.
$RHL = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{10}^+} \cos (-10x) = \cos \left(-\frac{10\pi}{10}\right) = \cos (-\pi) = -1$.
કારણ કે $LHL = RHL = h\left(\frac{\pi}{10}\right)$,વિધેય $h(x)$ એ $x=\frac{\pi}{10}$ આગળ સતત છે.
આમ,$h(x)$ એ $\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$ પર સતત છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય છે,તેથી તે $x=1$ અને $x=2$ આગળ સતત હોવું જોઈએ અને તેનું વિકલિત અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$x=1$ આગળ સાતત્ય: $f(1^-) = f(1^+) \Rightarrow a+b = a+c \Rightarrow b=c$.
$x=2$ આગળ સાતત્ય: $f(2^-) = f(2^+) \Rightarrow 4a+c = \frac{4d+1}{2} \Rightarrow 8a+2c = 4d+1$.
$x=1$ આગળ વિકલનીયતા: $f'(1^-) = f'(1^+) \Rightarrow a = 2a(1) \Rightarrow a=0$.
$a=0$ હોવાથી,$x=2$ આગળ સાતત્યનું સમીકરણ $2c = 4d+1$ બને છે.
$x=2$ આગળ વિકલનીયતા: $f'(2^-) = f'(2^+) \Rightarrow 2a(2) = \frac{d(2)^2-1}{2^2} \Rightarrow 4a = \frac{4d-1}{4}$.
$a=0$ મૂકતા: $0 = \frac{4d-1}{4} \Rightarrow 4d-1 = 0 \Rightarrow d = \frac{1}{4}$.
હવે,$d = \frac{1}{4}$ ને $2c = 4d+1$ માં મૂકતા: $2c = 4(\frac{1}{4}) + 1 = 2 \Rightarrow c=1$.
$b=c$ હોવાથી,$b=1$ મળે.
અંતે,$ad-bc = (0)(\frac{1}{4}) - (1)(1) = -1$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{y}{x}}+4 \sqrt{\frac{x}{y}}=4$ છે.
ધારો કે $u = \sqrt{\frac{y}{x}}$. તો સમીકરણ $u + \frac{4}{u} = 4$ બને છે.
$u$ વડે ગુણતા,આપણને $u^2 - 4u + 4 = 0$ મળે છે,જે $(u-2)^2 = 0$ છે.
આમ,$u = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{\frac{y}{x}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{y}{x} = 4$,અથવા $y = 4x$ મળે છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(4x) = 4$ મળે છે.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = 4$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y=\sqrt{x+\sqrt{y+\sqrt{x+\sqrt{y+\ldots \infty}}}}$
આપણે અંદરના ભાગને આ રીતે લખી શકીએ: $y=\sqrt{x+\sqrt{y+y}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $y^2=x+\sqrt{2y}$
ગોઠવતા: $y^2-x=\sqrt{2y}$
ફરીથી વર્ગ કરતા: $(y^2-x)^2=2y$
વિસ્તરણ કરતા: $y^4-2xy^2+x^2=2y$
અસ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $y^4-2xy^2-2y+x^2=0$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(y^4-2xy^2-2y+x^2) = 0$
$4y^3 \frac{dy}{dx} - (2y^2 + 4xy \frac{dy}{dx}) - 2 \frac{dy}{dx} + 2x = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને ભેગા કરતા: $\frac{dy}{dx}(4y^3 - 4xy - 2) = 2y^2 - 2x$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y^2-2x}{4y^3-4xy-2} = \frac{y^2-x}{2y^3-2xy-1}$