TS EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે પ્લેટનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma$ છે.
મૂળ પ્લેટનું દળ $M = \sigma \pi (4r)^2 = 16 \sigma \pi r^2$ છે.
દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગનું દળ $m = \sigma \pi r^2$ છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દળ $M' = M - m = 16 \sigma \pi r^2 - \sigma \pi r^2 = 15 \sigma \pi r^2$ છે.
ધારો કે મૂળ પ્લેટનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
દૂર કરેલા ભાગનું કેન્દ્ર $(2r, 0)$ પર છે.
કેવિટી (કાણા) માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $M X_{CM} = M' X_{R} + m X_{C}$,જ્યાં $X_{CM}$ એ મૂળ પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે (જે $0$ છે),$X_{R}$ એ બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે,અને $X_{C}$ એ દૂર કરેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે.
$0 = (15 \sigma \pi r^2) X_{R} + (\sigma \pi r^2)(2r)$.
$15 X_{R} = -2r$.
અંતરનું મૂલ્ય $|X_{R}| = \frac{2r}{15}$ થાય.

(A) ધારો કે ઉભી પ્લેટ $1$ છે અને આડી પ્લેટ $2$ છે. બંનેનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times a$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે:
ઉભી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_1 = L/2$ પર છે.
આડી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_2 = L + a/2$ પર છે.
સપાટીથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ:
$y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{(La)(L/2) + (La)(L + a/2)}{2La} = \frac{L/2 + L + a/2}{2} = \frac{3L + a}{4}$.
જ્યારે આલ્ફાબેટને ઉર્ધ્વ રીતે ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે આડી પ્લેટ હવે નીચે છે:
નવી આડી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_1' = a/2$ પર છે.
નવી ઉભી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_2' = a + L/2$ પર છે.
સપાટીથી નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ:
$y_{cm}' = \frac{A_1 y_1' + A_2 y_2'}{A_1 + A_2} = \frac{(La)(a/2) + (La)(a + L/2)}{2La} = \frac{a/2 + a + L/2}{2} = \frac{3a + L}{4}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર:
$\Delta y_{cm} = y_{cm} - y_{cm}' = \frac{3L + a}{4} - \frac{3a + L}{4} = \frac{2L - 2a}{4} = \frac{L - a}{2}$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ ચોરસના કેન્દ્ર પર છે. ચાર કણોનું પ્રારંભિક દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM_1)$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
જ્યારે ખૂણા $C$ પર રહેલા $m$ દળના એક કણને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલી સિસ્ટમમાં ખૂણા $A, B,$ અને $D$ પર $m$ દળના ત્રણ કણો રહે છે.
નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM_2)$ બાકી રહેલા ત્રણ કણો દ્વારા બનતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર તરફ ખસશે.
ચોરસના કેન્દ્રથી કોઈપણ ખૂણાનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
બાકી રહેલી સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R_{CM} = \frac{\sum m_i r_i}{\sum m_i}$.
ચૂકવણીની પદ્ધતિ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta R = \frac{|m_C \cdot r_C|}{M_{remaining}} = \frac{m \cdot (a/\sqrt{2})}{3m} = \frac{a}{3\sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) આપેલ દળ $m_1 = m$, $m_2 = 2m$, અને $m_3 = 3m$ છે.
વેગની દિશાઓ નીચે મુજબ છે:
કણ $A$ ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરે છે: $\vec{v}_1 = 6 \hat{j} \,ms^{-1}$
કણ $B$ દક્ષિણ દિશામાં ગતિ કરે છે: $\vec{v}_2 = -12 \hat{j} \,ms^{-1}$
કણ $C$ પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે છે: $\vec{v}_3 = 8 \hat{i} \,ms^{-1}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m(6 \hat{j}) + 2m(-12 \hat{j}) + 3m(8 \hat{i})}{m + 2m + 3m}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{6m \hat{j} - 24m \hat{j} + 24m \hat{i}}{6m}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{24m \hat{i} - 18m \hat{j}}{6m} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j} \,ms^{-1}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનું મૂલ્ય:
$v_{cm} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,ms^{-1}$

(A) આપેલ છે: $m_1 = 0.5 \ kg$,$u_1 = 10 \ ms^{-1}$,$m_2 = 1 \ kg$,$u_2 = 0$,$e = 0.4$.
એક-પરિમાણીય અથડામણ પછીના અંતિમ વેગ $v_1$ અને $v_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - e m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1 = \left( \frac{0.5 - 0.4 \times 1}{0.5 + 1} \right) \times 10 = \left( \frac{0.1}{1.5} \right) \times 10 = \frac{1}{15} \times 10 = \frac{2}{3} \ ms^{-1}$.
$v_2 = \frac{(1 + e) m_1 u_1}{m_1 + m_2} = \frac{(1 + 0.4) \times 0.5 \times 10}{0.5 + 1} = \frac{1.4 \times 5}{1.5} = \frac{7}{1.5} = \frac{14}{3} \ ms^{-1}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2/3}{14/3} = \frac{2}{14} = 1:7$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: $m_1 = m_2 = m = 1.2 \ kg$,$u_1 = 12 \ ms^{-1}$,$u_2 = 0$,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u_1 + m u_2 = m v_1 + m v_2$
$12 + 0 = v_1 + v_2 \Rightarrow v_1 + v_2 = 12$ ...$(i)$
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $(e)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{v_2 - v_1}{12}$
$v_2 - v_1 = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2v_2 = 12 + 6\sqrt{2} \Rightarrow v_2 = 6 + 3\sqrt{2} \ ms^{-1}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$2v_1 = 12 - 6\sqrt{2} \Rightarrow v_1 = 6 - 3\sqrt{2} \ ms^{-1}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(KE)_i = \frac{1}{2} m u_1^2 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (12)^2 = 0.6 \times 144 = 86.4 \ J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE)_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (v_1^2 + v_2^2)$.
$v_1^2 + v_2^2 = (6 - 3\sqrt{2})^2 + (6 + 3\sqrt{2})^2 = (36 + 18 - 36\sqrt{2}) + (36 + 18 + 36\sqrt{2}) = 54 + 54 = 108$.
$(KE)_f = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 108 = 0.6 \times 108 = 64.8 \ J$.
ગુણોત્તર $\frac{(KE)_f}{(KE)_i} = \frac{64.8}{86.4} = \frac{648}{864} = \frac{3}{4} = 3:4$.

(C) ધારો કે ગોળા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી ગોળા $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u + (2m)(0) = m v_1 + 2m v_2$
$u = v_1 + 2v_2$ ....$(i)$
અહીં પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e = 0.4 = \frac{2}{5}$ આપેલ છે.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંકની વ્યાખ્યા મુજબ:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{v_2 - v_1}{u - 0} = 0.4$
$v_2 - v_1 = 0.4u$ ....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$u = v_1 + 2v_2$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$v_2 - v_1 = 0.4(v_1 + 2v_2)$
$v_2 - v_1 = 0.4v_1 + 0.8v_2$
$0.2v_2 = 1.4v_1$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{0.2}{1.4} = \frac{1}{7}$

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$r = R$,તેથી $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
$h = R$ ઊંચાઈ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + R = 2R$ છે. સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
જરૂરી ઉર્જા $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$W = U_f - U_i = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{2R}$.
$h = 2R$ ઊંચાઈ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r = R + 2R = 3R$ છે. સ્થિતિ ઉર્જા $U_f' = -\frac{GMm}{3R}$ છે.
જરૂરી ઉર્જા $W'$ છે:
$W' = U_f' - U_i = -\frac{GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{3R} = \frac{2GMm}{3R}$.
કારણ કે $W = \frac{GMm}{2R}$,તેથી $\frac{GMm}{R} = 2W$ મળે.
આ કિંમત $W'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$W' = \frac{2}{3} \times (2W) = \frac{4W}{3}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $R = 6400 \ km$.
$h_1 = 1280 \ km$ માટે:
$g_1 = g \left( \frac{6400}{6400 + 1280} \right)^2 = g \left( \frac{6400}{7680} \right)^2 = g \left( \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{25}{36} g$.
$h_2 = 3200 \ km$ માટે:
$g_2 = g \left( \frac{6400}{6400 + 3200} \right)^2 = g \left( \frac{6400}{9600} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2}$:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{25/36 g}{4/9 g} = \frac{25}{36} \times \frac{9}{4} = \frac{25}{16}$.
આમ,ગુણોત્તર $25:16$ છે.

(C) પ્રકૃતિમાં રહેલા ચાર મૂળભૂત બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ,વિદ્યુતચુંબકીય,પ્રબળ ન્યુક્લિયર અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ) માંથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય બળો વીજભારના આધારે આકર્ષી અથવા અપાકર્ષી હોઈ શકે છે.
પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળો સામાન્ય રીતે ટૂંકા અંતરે આકર્ષી હોય છે જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળો હંમેશા આકર્ષી હોય છે તે વિધાન સાચું છે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g = \frac{4}{3} \pi \rho G R$ છે, જ્યાં $\rho$ એ સરેરાશ ઘનતા છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $g \propto \rho R$.
ગ્રહ $(1)$ અને પૃથ્વી $(2)$ માટે આપેલ છે:
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$
ઘનતાનો ગુણોત્તર: $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{1}$
પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ: $g_2 = 9.8 \,ms^{-2}$.
પ્રમાણસરતા $g_1 / g_2 = (\rho_1 / \rho_2) \times (R_1 / R_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{4}{1} \times \frac{1}{2} = 2$.
તેથી, $g_1 = 2 \times g_2 = 2 \times 9.8 \,ms^{-2} = 19.6 \,ms^{-2}$.

(D) બંને તારાઓ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ સાથે તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે છે.
ધારો કે $M$ અને $2M$ દળના $COM$ થી અંતર અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 + r_2 = d$ અને $M r_1 = (2M) r_2$.
આના પરથી,$r_1 = \frac{2M}{3M} d = \frac{2}{3} d$ મળે છે.
તારાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $M$ દળ ધરાવતા તારા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_g = F_c$
$\frac{G(M)(2M)}{d^2} = M \omega^2 r_1$
$r_1 = \frac{2}{3} d$ મૂકતા:
$\frac{2 G M^2}{d^2} = M \omega^2 \left(\frac{2}{3} d\right)$
$\frac{2 G M}{d^2} = \omega^2 \left(\frac{2}{3} d\right)$
$\omega^2 = \frac{2 G M}{d^2} \cdot \frac{3}{2 d} = \frac{3 G M}{d^3}$
$\omega = \sqrt{\frac{3 G M}{d^3}}$

(C) આદર્શ વાયુ માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $\langle KE \rangle = \frac{f}{2} K_B T$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$K_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
બંને વાયુઓ એક જ પાત્રમાં હોવાથી,તેઓ તાપીય સંતુલનમાં છે અને તેમનું તાપમાન $T = 30^{\circ} C$ સમાન છે.
બંને દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓ (હાઇડ્રોજન અને નાઇટ્રોજન) માટે મુક્તિના અંશો $f = 5$ થાય છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle KE \rangle_{H_2} = \frac{5}{2} K_B T$ છે.
તે જ રીતે,નાઇટ્રોજન માટે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle KE \rangle_{N_2} = \frac{5}{2} K_B T$ છે.
આમ,પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{\langle KE \rangle_{H_2}}{\langle KE \rangle_{N_2}} = \frac{\frac{5}{2} K_B T}{\frac{5}{2} K_B T} = 1: 1$ થાય.
અહીં દળનો ગુણોત્તર ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી કારણ કે પ્રતિ અણુ સરેરાશ ગતિઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(D) વાયુના અણુઓની rms ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 159^{\circ} C = 159 + 273 = 432 \ K$.
rms ઝડપમાં થતો ટકાવારી વધારો: $\frac{V_{rms,f} - V_{rms,i}}{V_{rms,i}} \times 100$.
$V_{rms} \propto \sqrt{T}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $\left( \frac{\sqrt{T_f} - \sqrt{T_i}}{\sqrt{T_i}} \right) \times 100$.
$= \left( \frac{\sqrt{432} - \sqrt{300}}{\sqrt{300}} \right) \times 100$.
$= \left( \frac{20.784 - 17.320}{17.320} \right) \times 100$.
$= \left( \frac{3.464}{17.320} \right) \times 100 \approx 20 \%$.

(A) $RMS$ ઝડપનું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
અહીં $v_{rms, O} = 0.75 \times v_{rms, N} = \frac{3}{4} v_{rms, N}$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_{rms, O}}{v_{rms, N}} = \sqrt{\frac{T_O}{T_N} \times \frac{M_N}{M_O}}$.
અહીં $T_N = 287 + 273 = 560 \ K$,$M_N = 28 \ g/mol$ અને $M_O = 32 \ g/mol$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{T_O}{560} \times \frac{28}{32}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{9}{16} = \frac{T_O}{560} \times \frac{7}{8}$.
$T_O = \frac{9}{16} \times \frac{8}{7} \times 560 = 360 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_O = 360 - 273 = 87^{\circ} C$.

(D) ટ્રકને પલટી જતી અટકાવવા માટે, બહારના પૈડાંની સાપેક્ષમાં કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે લાગતું ટોર્ક, ટ્રકના વજનને કારણે લાગતા ટોર્ક કરતાં વધવું જોઈએ નહીં.
ધારો કે મહત્તમ ઝડપ $V_{\max}$ છે.
ટ્રક પલટી ન જાય તે માટેની શરત ટોર્કના સંતુલન દ્વારા મળે છે: $\frac{m V_{\max}^2}{R} \times h = m g \times \frac{d}{2}$.
અહીં, $h = 2 \text{ m}$ (ગુરુત્વકેન્દ્રની ઊંચાઈ), $R = 240 \text{ m}$ (માર્ગની ત્રિજ્યા), અને $d = 1.5 \text{ m}$ (પૈડાં વચ્ચેનું અંતર).
$V_{\max}^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $V_{\max}^2 = \frac{g \times R \times d}{2 \times h}$.
કિંમતો મૂકતા: $V_{\max}^2 = \frac{10 \times 240 \times 1.5}{2 \times 2}$.
$V_{\max}^2 = \frac{3600}{4} = 900$.
$V_{\max} = \sqrt{900} = 30 \text{ ms}^{-1}$.

(D) ઘર્ષણ સાથે બેંકિંગ કરેલા રસ્તા પર મહત્તમ ઝડપ $V_{\max} = \sqrt{\frac{rg(\mu + \tan \theta)}{1 - \mu \tan \theta}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેષ્ઠ ઝડપ $V_o$ (જ્યાં કોઈ ઘર્ષણની જરૂર નથી) $V_o = \sqrt{rg \tan \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$ અને $V_{\max} = 2V_o$.
સમીકરણો મૂકતા: $\sqrt{\frac{rg(\mu + \tan \theta)}{1 - \mu \tan \theta}} = 2 \sqrt{rg \tan \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} = 4 \tan \theta$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\frac{\mu + 1}{1 - \mu} = 4(1)$.
$\mu + 1 = 4 - 4\mu$.
$5\mu = 3$.
$\mu = \frac{3}{5} = 0.6$.

(C) બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_k = \mu_k mg$ એ ગતિક ઘર્ષણ બળ છે.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{F - \mu_k mg}{m}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $6 = \frac{20 - \mu_k mg}{m} \implies 6m = 20 - \mu_k mg$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $11 = \frac{30 - \mu_k mg}{m} \implies 11m = 30 - \mu_k mg$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(11m - 6m) = (30 - \mu_k mg) - (20 - \mu_k mg)$
$5m = 10 \implies m = 2 \ kg$.
$m = 2 \ kg$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$6(2) = 20 - \mu_k (2)(10)$
$12 = 20 - 20\mu_k$
$20\mu_k = 8$
$\mu_k = \frac{8}{20} = 0.4$.

(C) આપેલ છે: લાગુ પાડેલ બળ $F_{\text{app}} = 5 \ N$,દળ $m = 0.5 \ kg$,ગતિશીલ ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.2$,સમય $t = 4 \ s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
ગતિશીલ ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f_k = 0.2 \times 0.5 \times 10 = 1 \ N$.
બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F_{\text{app}} - f_k = 5 - 1 = 4 \ N$ છે.
બ્લોકનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{4}{0.5} = 8 \ m/s^2$ છે.
$4 \ s$ પછી બ્લોકનો વેગ $v = u + at = 0 + (8 \times 4) = 32 \ m/s$ થાય.
બ્લોકની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (32)^2 = 0.25 \times 1024 = 256 \ J$ છે.

(D) આપેલ છે કે,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = (10 \pm 0.5) \text{ A}$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = (100 \pm 6) \text{ V}$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$R = \frac{V}{I}$.
અવરોધમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{6}{100} \times 100 \right) + \left( \frac{0.5}{10} \times 100 \right)$.
$\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 6\% + 5\% = 11\%$.

(D) આપેલ છે:
આંતરિક વ્યાસ $d = (5.73 \pm 0.01) \text{ cm}$
બાહ્ય વ્યાસ $D = (6.01 \pm 0.01) \text{ cm}$
નળાકારની દીવાલની જાડાઈ $t$ એ $t = \frac{D - d}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,જાડાઈનું સરેરાશ મૂલ્ય શોધો:
$t_{mean} = \frac{6.01 - 5.73}{2} = \frac{0.28}{2} = 0.14 \text{ cm}$.
હવે,જાડાઈમાં અનિશ્ચિતતા (ત્રુટિ) શોધો:
જ્યારે બે ભૌતિક રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે,ત્યારે નિરપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો થાય છે. તેથી,$(D - d)$ માં ત્રુટિ $\Delta D + \Delta d = 0.01 + 0.01 = 0.02 \text{ cm}$ થશે.
કારણ કે $t = \frac{D - d}{2}$,તેથી $t$ માં ત્રુટિ $\Delta t = \frac{\Delta D + \Delta d}{2} = \frac{0.02}{2} = 0.01 \text{ cm}$ થશે.
તેથી,જાડાઈ $(0.14 \pm 0.01) \text{ cm}$ છે.

(D) આપેલ છે: $C = (4.0 \pm 0.2) \mu F$ અને $V = (10.0 \pm 0.1) V$.
કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V$ દ્વારા મળે છે.
સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી: $Q = 4.0 \mu F \times 10.0 V = 40 \mu C$.
વિદ્યુતભારમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{\Delta C}{C} + \frac{\Delta V}{V}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta Q}{Q} = \frac{0.2}{4.0} + \frac{0.1}{10.0} = 0.05 + 0.01 = 0.06$.
વિદ્યુતભારમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6 \%$.
તેથી,કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $40 \mu C \pm 6 \%$ છે.

(D) આપેલ છે: સમઘનની બાજુ $a = 10 \ cm$,તેથી દરેક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = 100 \ cm^2$.
પાણીમાં સમઘનની ઊંડાઈ $x = 3 \ cm$.
તેલમાં સમઘનની ઊંડાઈ $h = a - x = 10 - 3 = 7 \ cm$.
તેલની ઘનતા $\delta_1 = 0.9 \ g \ cm^{-3}$.
પાણીની ઘનતા $\delta_2 = 1 \ g \ cm^{-3}$.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,સમઘનનું વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
$W = F_{B1} + F_{B2}$
$mg = (\delta_1 \cdot V_{oil} \cdot g) + (\delta_2 \cdot V_{water} \cdot g)$
$m = \delta_1 \cdot A \cdot h + \delta_2 \cdot A \cdot x$
$m = 0.9 \times 100 \times 7 + 1 \times 100 \times 3$
$m = 630 + 300 = 930 \ g$
તેથી,લાકડાના સમઘનનું દળ $930 \ g$ છે.

(B) ટાંકીના તળિયે રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $(v)$ ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ મળે છે: $v = \sqrt{2gh}$.
આપેલ છે:
પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ,$h = 5 \,m$.
છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.4 \,mm^2 = 2.4 \times 10^{-6} \,m^2$.
સમય,$t = 5 \,s$.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$.
બહાર નીકળતા પાણીનું કદ $(V)$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ,વેગ અને સમયના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$V = A \times v \times t = A \sqrt{2gh} \times t$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = (2.4 \times 10^{-6} \,m^2) \times \sqrt{2 \times 10 \,ms^{-2} \times 5 \,m} \times 5 \,s$.
$V = 2.4 \times 10^{-6} \times \sqrt{100} \times 5$.
$V = 2.4 \times 10^{-6} \times 10 \times 5$.
$V = 2.4 \times 50 \times 10^{-6} \,m^3$.
$V = 120 \times 10^{-6} \,m^3$.

(D) આપેલ છે કે, પાણીના વહનનો દર $Q = 12 \pi \text{ લિટર/મિનિટ}$ છે.
આને $SI$ એકમો $(m^3/s)$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$Q = \frac{12 \pi \times 10^{-3} \text{ m}^3}{60 \text{ s}} = 0.2 \pi \times 10^{-3} \text{ m}^3/s = 2 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^3/s$.
પાઇપનો વ્યાસ $d = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.01 \text{ m} = 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$ મળે.
સાતત્ય સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ, $Q = A \times v$, જ્યાં $v$ એ પાણીનો વેગ છે:
$2 \pi \times 10^{-4} = (\pi \times 10^{-4}) \times v$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \frac{2 \pi \times 10^{-4}}{\pi \times 10^{-4}} = 2 \text{ m/s}$.

(D) પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા પાત્રના તળિયે દબાણ $P$ નું સૂત્ર $P = \rho g h$ છે.
અહીં ત્રણેય પાત્રો માટે ઊંચાઈ $h$ સમાન છે અને $g$ અચળ છે,તેથી દબાણ $P$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto \rho)$.
આપેલ છે કે ઘનતા $\rho_A > \rho_B > \rho_C$ છે,તેથી પાત્રોના તળિયે દબાણ $P_A > P_B > P_C$ થશે.
આમ,પ્રવાહી $A$ ધરાવતા પાત્રમાં દબાણ મહત્તમ હશે.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2) = 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$ છે.
આપેલ છે: પૃષ્ઠતાણ $T = 3.5 \times 10^{-2} \ N/m$,પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$,અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$.
કાર્ય $W = T \times \Delta A = T \times 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times [(2 \times 10^{-2})^2 - (1 \times 10^{-2})^2]$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times (4 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4})$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times 3 \times 10^{-4}$.
$W = 263.76 \times 10^{-6} \ J \approx 264 \times 10^{-6} \ J$.

(C) આપેલ છે:
સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા,$R = 0.5 \ cm = 0.5 \times 10^{-2} \ m$
તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ,$h = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$
તેલની ઘનતા,$\rho = 900 \ kg \ m^{-3}$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 10 \ m \ s^{-2}$
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
તેલના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P' = \rho g h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વધારાનું દબાણ તેલના સ્તંભના દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$\frac{4S}{R} = \rho g h$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4S}{0.5 \times 10^{-2}} = 900 \times 10 \times 4 \times 10^{-3}$
$\frac{4S}{0.5 \times 10^{-2}} = 36$
$4S = 36 \times 0.5 \times 10^{-2}$
$4S = 18 \times 10^{-2}$
$S = 4.5 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1}$

(D) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \cdot \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ છે. તેથી,$W \propto r^2$.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,આપણને $r \propto V^{1/3}$ મળે છે.
આ કિંમતને કાર્યના સંબંધમાં મૂકતા: $W \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$.
ધારો કે $V_1 = V$ કદ માટે કાર્ય $W_1 = W$ છે,અને $V_2 = 2V$ કદ માટે કાર્ય $W_2$ છે.
તેથી,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{2V}{V} \right)^{2/3} = (2)^{2/3}$.
તેથી,$W_2 = (2)^{2/3} W = (2^2)^{1/3} W = (4)^{1/3} W$.

(C) જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું પ્રવાહીનું ટીપું $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જે સૂચવે છે કે $R = n^{1/3} r$.
$n > 1$ હોવાથી,$n$ નાના ટીપાંનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(A_{final} = n \times 4 \pi r^2)$ એ મૂળ મોટા ટીપાંના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(A_{initial} = 4 \pi R^2)$ કરતા વધારે હોય છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા એ સપાટીના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે $(U = T \times A)$.
કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધતું હોવાથી,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે જરૂરી કાર્ય કરવા માટે સિસ્ટમે આસપાસમાંથી ઉર્જાનું શોષણ કરવું પડે છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જે લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A}$ આપે છે.
આપેલ છે કે કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_{total} = \Delta L_s + \Delta L_c = 1.05 \times 10^{-3} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F \cdot L_s}{Y_s \cdot A} + \frac{F \cdot L_c}{Y_c \cdot A} = 1.05 \times 10^{-3}$.
$F \left( \frac{3}{2 \times 10^{11} \times 6 \times 10^{-6}} + \frac{2.2}{1.1 \times 10^{11} \times 6 \times 10^{-6}} \right) = 1.05 \times 10^{-3}$.
અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $F \left( \frac{3}{12 \times 10^5} + \frac{2.2}{6.6 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{1}{4 \times 10^5} + \frac{1}{3 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{3+4}{12 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{7}{12 \times 10^5} \right) = 1.05 \times 10^{-3}$.
$F = \frac{1.05 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^5}{7} = 180 \ N$.

(D) ધારો કે $L$ એ દોરીની મૂળ લંબાઈ છે અને $k$ એ દોરીનો બળ અચળાંક છે.
અંતિમ લંબાઈ = મૂળ લંબાઈ + વિસ્તરણ.
હૂકના નિયમ મુજબ,$\text{વિસ્તરણ} = \frac{F}{k}$.
તેથી,$L' = L + \frac{F}{k}$.
પ્રથમ સ્થિતિ માટે: $P = L + \frac{6}{k} \quad ...(i)$
બીજી સ્થિતિ માટે: $Q = L + \frac{8}{k} \quad ...(ii)$
$k$ ને દૂર કરવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$4P = 4L + \frac{24}{k} \quad ...(iii)$
$3Q = 3L + \frac{24}{k} \quad ...(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(iv)$ બાદ કરતા:
$4P - 3Q = (4L - 3L) + (\frac{24}{k} - \frac{24}{k})$
$4P - 3Q = L$
આમ,દોરીની મૂળ લંબાઈ $4P - 3Q$ છે.

(B) આપેલ છે: આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-6} \, m^2$, વિકૃતિ $\varepsilon = 0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$, તણાવ બળ $T = 1000 \, N$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
પ્રતિબળ $\sigma = T / A = 1000 / 10^{-6} = 10^9 \, N/m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \sigma / \varepsilon = 10^9 / 10^{-3} = 10^{12} \, N/m^2$.

(B) આપેલ છે: દળ $M = 2 \ kg$,લંબાઈ $l = 2 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$,મહત્તમ લંબાઈમાં વધારો $\Delta l = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$.
સૌથી ઉંચા બિંદુએ તણાવ શૂન્ય હોવા માટે,નીચેના બિંદુએ વેગ $v = \sqrt{5gl}$ હોવો જોઈએ.
$v = \sqrt{5 \times 10 \times 2} = \sqrt{100} = 10 \ ms^{-1}$.
મહત્તમ તણાવ $T_{\max}$ ઉર્ધ્વ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ જોવા મળે છે:
$T_{\max} = mg + \frac{Mv^2}{l} = (2 \times 10) + \frac{2 \times (10)^2}{2} = 20 + 100 = 120 \ N$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર $Y = \frac{T_{\max} \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Y = \frac{120 \times 2}{1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{240}{2 \times 10^{-9}} = 120 \times 10^9 = 1.2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.

(B) આપેલ છે: ટાવરની ઊંચાઈ $h = 125 \ m$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
સૌ પ્રથમ,જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t$,$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધો:
$125 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$125 = 5t^2 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5 \ s$.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ કુલ સમયમાં કાપેલા અંતર અને $(t-1)$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો તફાવત છે.
$(5-1) = 4 \ s$ માં કાપેલું અંતર $h' = \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \ m$ છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $= 125 - 80 = 45 \ m$.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતર કુલ ઊંચાઈના $x \%$ છે:
$45 = \frac{x}{100} \times 125$
$x = \frac{45 \times 100}{125} = \frac{4500}{125} = 36$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 35 \ m/s$,પ્રવેગ $a = -g = -10 \ m/s^2$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_1 = 3 \ s$ સમયે,વેગ $v_1 = 35 - 10(3) = 35 - 30 = 5 \ m/s$ છે.
ઝડપ $|v_1| = 5 \ m/s$ છે.
$t_2 = 4 \ s$ સમયે,વેગ $v_2 = 35 - 10(4) = 35 - 40 = -5 \ m/s$ છે.
ઝડપ $|v_2| = |-5| = 5 \ m/s$ છે.
તેથી,$3 \ s$ અને $4 \ s$ સમયે ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{|v_1|}{|v_2|} = \frac{5}{5} = 1: 1$ થાય.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્રેકિંગ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
અંતિમ વેગ $0$ હોવાથી,બ્રેકિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $F \cdot S = \frac{1}{2} m v^2$ થાય.
આમ,સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $S = \frac{m v^2}{2 F}$ મળે.
અહીં $v$ અને $F$ અચળ હોવાથી,$S \propto m$ થાય.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કુલ દળ $m_1 = 80 \ kg + 100 \ kg = 180 \ kg$ છે. તેથી,$S_1 = \frac{180 v^2}{2 F}$.
બીજા કિસ્સામાં,કુલ દળ $m_2 = 80 \ kg + 100 \ kg + 60 \ kg = 240 \ kg$ છે. તેથી,$S_2 = \frac{240 v^2}{2 F}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$4 S_1 = 3 S_2$.

(D) ધારો કે બારીનો ઉપરનો ભાગ ઉગમબિંદુ $(y=0)$ છે। પથ્થરને $u = 8 \,m/s$ ના વેગથી ઉપર ફેંકવામાં આવે છે।
મહત્તમ ઊંચાઈ $A$ પર,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે।
$v = u + at$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 8 - 10t \implies t = 0.8 \,s$.
બારીના ઉપરના છેડાથી $A$ બિંદુની ઊંચાઈ $h = ut + \frac{1}{2}at^2 = 8(0.8) - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 6.4 - 3.2 = 3.2 \,m$ છે।
હવે,પથ્થર $A$ બિંદુથી બારીના નીચેના છેડા સુધી પડે છે। $A$ થી બારીના નીચેના છેડા સુધીનું કુલ અંતર $H = 3.2 \,m + 1.8 \,m = 5.0 \,m$ છે।
$A$ થી બારીના નીચેના છેડા સુધી પડવા માટે લાગતો સમય $(t_{total})$:
$H = \frac{1}{2}gt_{total}^2 \implies 5.0 = \frac{1}{2}(10)t_{total}^2 \implies t_{total}^2 = 1 \implies t_{total} = 1 \,s$.
નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન બારી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય એ નીચેના છેડા સુધી પહોંચવા માટેનો સમય અને $A$ થી ઉપરના છેડા સુધી પહોંચવા માટેના સમયનો તફાવત છે:
$\Delta t = t_{total} - t = 1 \,s - 0.8 \,s = 0.2 \,s$.

(D) સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર $S_n = u + (2n - 1) \frac{a}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોથી સેકન્ડ માટે $(n=4)$: $25 = u + (2 \times 4 - 1) \frac{a}{2} = u + 3.5a$ ...$(i)$
છઠ્ઠી સેકન્ડ માટે $(n=6)$: $37 = u + (2 \times 6 - 1) \frac{a}{2} = u + 5.5a$ ...(ii)
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $12 = 2a \implies a = 6 \ m/s^2$.
$a$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $25 = u + 3.5(6) = u + 21 \implies u = 4 \ m/s$.
$t=6 \ s$ સમયે વેગ $v = u + at = 4 + (6 \times 6) = 40 \ m/s$ થાય.
ત્યારબાદની $2 \ s$ માં કપાયેલું અંતર $S = vt + \frac{1}{2}at^2 = (40 \times 2) + \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2 = 80 + 12 = 92 \ m$ થાય.

(B) પદાર્થ $P$ માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_P = 30^{\circ}$ છે.
પદાર્થ $Q$ માટે,શિરોલંબ સાથેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ $30^{\circ}$ છે,તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_Q = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{u_P^2 \sin(2 \times 30^{\circ}) / g}{u_Q^2 \sin(2 \times 60^{\circ}) / g} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,ગુણોત્તર $\frac{u_P^2}{u_Q^2} = \frac{1}{2}$ થાય,એટલે કે $u_P^2 : u_Q^2 = 1 : 2$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
તેથી,$\frac{H_P}{H_Q} = \frac{u_P^2 \sin^2 30^{\circ}}{u_Q^2 \sin^2 60^{\circ}} = \left(\frac{u_P^2}{u_Q^2}\right) \times \left(\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
આમ,ગુણોત્તર $H_P : H_Q = 1 : 6$ છે.

(A) પ્રારંભિક વેગ $u = 100 \ ms^{-1}$ અને ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 30^{\circ} = 100 \times 0.5 = 50 \ ms^{-1}$.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos 30^{\circ} = 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \ ms^{-1}$.
નીચેની દિશાને ધન લેતા,શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h = 375 \ m$ અને પ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$375 = -50t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$375 = -50t + 5t^2$
$5t^2 - 50t - 375 = 0$
$5$ વડે ભાગતા: $t^2 - 10t - 75 = 0$
$(t - 15)(t + 5) = 0$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 15 \ s$.
સમક્ષિતિજ અંતર $x = u_x \times t = 50\sqrt{3} \times 15 = 750\sqrt{3} \ m$.

(D) આપેલ પ્રારંભિક ઝડપ $u = 40 \,ms^{-1}$ અને ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
અંતિમ ઝડપ $v = 1.25 \times u = 1.25 \times 40 = 50 \,ms^{-1}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પ્રક્ષેપણ બિંદુ અને જમીન સાથે અથડાવાના બિંદુ પર કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
સ્થિતિ ઉર્જા માટે જમીનને સંદર્ભ સ્તર તરીકે લેતા $(PE = 0)$:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2} m u^2 + mgh = \frac{1}{2} m v^2$
$m$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા:
$u^2 + 2gh = v^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(40)^2 + 2 \times 10 \times h = (50)^2$
$1600 + 20h = 2500$
$20h = 2500 - 1600$
$20h = 900$
$h = \frac{900}{20} = 45 \,m$.
આમ, $h$ નું મૂલ્ય $45 \,m$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે, પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{7})$ છે, તેથી $\tan \theta = \sqrt{7}$.
મહત્તમ ઊંચાઈના અડધા ભાગે $(y = H/2)$, વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y^2 = u_y^2 - 2g(H/2) = u^2 \sin^2 \theta - gH$ દ્વારા મળે છે.
સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u_x = u \cos \theta$.
આ ઊંચાઈએ ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - gH} = \sqrt{u^2 - gH}$.
કારણ કે $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$, તેથી $gH = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2}$.
આ કિંમત $v^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v^2 = u^2 - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2} = u^2 (1 - \frac{\sin^2 \theta}{2})$.
$\tan \theta = \sqrt{7}$ હોવાથી, $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{7}{1 + 7} = \frac{7}{8}$.
તેથી, $v^2 = u^2 (1 - \frac{7/8}{2}) = u^2 (1 - \frac{7}{16}) = u^2 (\frac{9}{16})$.
$v = nu$ હોવાથી, $n^2 = \frac{9}{16}$, જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{3}{4}$.

(C) આપેલ છે: $h = 20 \,m$, $v = 31.4 \,ms^{-1}$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = 0$:
$v^2 = 2gh$
$g = \frac{v^2}{2h} = \frac{31.4 \times 31.4}{2 \times 20} = \frac{985.96}{40} \approx 24.649 \,ms^{-2}$.
નોંધો કે $31.4 \approx 10\pi$, તેથી $g = \frac{(10\pi)^2}{40} = \frac{100\pi^2}{40} = 2.5\pi^2 \,ms^{-2}$.
સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \,s$ હોય છે.
સરળ લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g} \Rightarrow l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$.
$T = 2 \,s$ અને $g = 2.5\pi^2 \,ms^{-2}$ કિંમતો મૂકતા:
$l = \frac{2^2 \times 2.5\pi^2}{4\pi^2} = \frac{4 \times 2.5\pi^2}{4\pi^2} = 2.5 \,m$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે,દળ $m = 4 \text{ mg} = 4 \times 10^{-6} \text{ kg}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 40 \text{ rad s}^{-1}$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $V(x) = a + bx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{dV}{dx} = -\frac{d}{dx}(a + bx^2) = -2bx$ થાય.
$SHM$ માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -m\omega^2x$ પણ હોય છે.
બળના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$2b = m\omega^2$ મળે.
તેથી,$b = \frac{m\omega^2}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $b = \frac{(4 \times 10^{-6} \text{ kg}) \times (40 \text{ rad s}^{-1})^2}{2}$.
$b = \frac{4 \times 10^{-6} \times 1600}{2} = 2 \times 10^{-6} \times 1600 = 3200 \times 10^{-6} \text{ J m}^{-2}$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સ્પ્રિંગ-બ્લોક તંત્ર માટે, કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $k = 100 \text{ Nm}^{-1}$ અને કંપવિસ્તાર $A = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે, જ્યાં $x = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$ છે.
સ્થાનાંતર $x$ પર ગતિઊર્જા $K = E - U = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times 100 \times ((0.08)^2 - (0.03)^2)$
$K = 50 \times (0.0064 - 0.0009)$
$K = 50 \times 0.0055$
$K = 0.275 \text{ J}$

(C) સમય $t$ પર ડેમ્પ્ડ હાર્મોનિક ઓસિલેટરનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-bt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સમય $t$ પર,$A(t) = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-bt}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-bt} = \frac{1}{2}$.
ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરની યાંત્રિક ઉર્જા $E$ તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto A^2$.
તેથી,સમય $t$ પર ઉર્જા $E(t) = E_0 e^{-2bt}$ છે,જ્યાં $E_0$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા છે.
$e^{-bt} = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $E(t) = E_0 (e^{-bt})^2 = E_0 (\frac{1}{2})^2 = \frac{E_0}{4}$.
યાંત્રિક ઉર્જામાં ઘટાડો $\Delta E = E_0 - E(t) = E_0 - \frac{E_0}{4} = \frac{3E_0}{4}$ છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો = $\frac{\Delta E}{E_0} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
અહીં રેખીય દળ ઘનતા $\rho = \frac{m}{L}$ છે,જ્યાં $L$ એ લૂપનો પરિઘ છે $(L = 2 \pi R)$.
તેથી,$\rho = \frac{m}{2 \pi R}$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{m}{2 \pi \rho}$.
$R$ ની કિંમત જડત્વની ચાકમાત્રાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} m \left( \frac{m}{2 \pi \rho} \right)^2$
$I = \frac{1}{2} m \left( \frac{m^2}{4 \pi^2 \rho^2} \right)$
$I = \frac{m^3}{8 \pi^2 \rho^2}$.

(C) ઘન ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm, sphere} = \frac{2}{5} MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_{cm, sphere} + MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ થાય.
તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm, disc} = \frac{1}{2} MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm, disc} + MR^2 = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ થાય.
સંપર્ક બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \left(\frac{7}{5} + \frac{3}{2}\right) MR^2 = \left(\frac{14 + 15}{10}\right) MR^2 = \frac{29 MR^2}{10}$ થાય.

(A) ઢાળવાળા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે, તળિયે વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$
અહીં $g = 10 \text{ ms}^{-2}$, $h = 28 \text{ m}$, અને નક્કર ગોળા માટે ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ માટે $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ થાય, તેથી $\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 28}{1 + \frac{2}{5}}}$
$v = \sqrt{\frac{560}{\frac{7}{5}}}$
$v = \sqrt{\frac{560 \times 5}{7}}$
$v = \sqrt{80 \times 5} = \sqrt{400} = 20 \text{ ms}^{-1}$.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,જ્યારે સર્કિટ કેપેસિટિવ સ્વભાવની હોય ત્યારે પ્રવાહ સ્ત્રોત વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ કરતા વધારે હોય,એટલે કે $X_C > X_L$.
આ સ્થિતિમાં,કળા કોણ $\phi$ ઋણ બને છે,જે દર્શાવે છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે.

(B) $LC$ સર્કિટની કુદરતી આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = 120 \ kHz$ છે.
જ્યારે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો પદાર્થ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = f - 20 \ kHz = 120 - 20 = 100 \ kHz$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} = \frac{f}{\sqrt{K}}$.
તેથી,$\frac{f}{f'} = \sqrt{K}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{120}{100} = \sqrt{K} \Rightarrow 1.2 = \sqrt{K}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $K = (1.2)^2 = 1.44$.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ માટે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
આપેલ છે: $X_L = R$,$X_C = 2R$,અને અવરોધ $= R$.
આ કિંમતોને ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (R - 2R)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + (-R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$
$LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Z$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos \phi = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) $LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ ઇન્ડક્ટરના વોલ્ટેજ $V_L$ અને રઝિસ્ટરના વોલ્ટેજ $V_R$ નો ફેઝર સરવાળો છે.
સંબંધ આ મુજબ છે: $V^2 = V_L^2 + V_R^2$.
આપેલ છે: $V = 10 \ V$ અને $V_L = 6 \ V$.
કિંમતો મૂકતા: $(10)^2 = (6)^2 + V_R^2$.
$100 = 36 + V_R^2$.
$V_R^2 = 100 - 36 = 64$.
$V_R = \sqrt{64} = 8 \ V$.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓરડાના તાપમાને, હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં હોય છે, જ્યાં ઊર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
જ્યારે પરમાણુ પર $13.6 \ eV$ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનો મારો ચલાવવામાં આવે છે, ત્યારે પરમાણુ આ ઊર્જાનું શોષણ કરીને ઉત્તેજિત થઈ શકે છે.
જ્યારે ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રોન કોઈપણ ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તર $(n > 1)$ માંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં પાછો ફરે છે, ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણ લાયમન શ્રેણીમાં આવે છે.
આમ, ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓ લાયમન શ્રેણીની છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંથી ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે ($n_2 = 4$ થી $n_1 = 2$):
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.
બીજા કિસ્સા માટે ($n_2 = 3$ થી $n_1 = 2$):
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$.
હવે,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{5R/36}{3R/16} = \frac{5}{36} \times \frac{16}{3} = \frac{20}{27}$.
આમ,ગુણોત્તર $20:27$ છે.

(C) $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $v \propto \frac{1}{n}$ અને $r \propto n^2$,તેથી $a_c \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ થાય.
બે ક્રમિક કક્ષાઓ $n$ અને $n-1$ માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $81:16$ આપેલ છે,તેથી $\frac{a_c(n-1)}{a_c(n)} = \frac{n^4}{(n-1)^4} = \frac{81}{16} = (\frac{3}{2})^4$ મળે.
આમ,$n=3$ અને $n-1=2$ થાય.
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L_n = \frac{nh}{2\pi}$ છે.
આ બે અવસ્થાઓ વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_3 - L_2 = \frac{3h}{2\pi} - \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}$ થાય.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ મી કક્ષામાં કુલ ઉર્જા $E_n = \frac{E_1}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$ લેવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા $E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \ eV$ થાય.
કુલ ઉર્જા $(E)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ વચ્ચેનો સંબંધ $U = 2E$ છે.
આમ,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = 2 \times E_2 = 2 \times (-3.4 \ eV) = -6.8 \ eV$ થશે.

(C) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ સાથેના સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$t = \frac{d}{2}$ અને $K = 4$:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{8}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{5d}{8}} = \frac{8 \epsilon_0 A}{5d}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$t = \frac{d}{3}$ અને $K = 4$:
$C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{3} + \frac{d/3}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{2d}{3} + \frac{d}{12}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{9d}{12}} = \frac{12 \epsilon_0 A}{9d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$.
ગુણોત્તર $C_1 : C_2$ લેતા:
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{8 \epsilon_0 A}{5d} \times \frac{3d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}$.
આમ,$C_1 : C_2 = 6: 5$.

(D) પ્રથમ કેપેસિટરની પ્રારંભિક ઉર્જા,$U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.05 J$.
જ્યારે તેને અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{10 \times 100 + 30 \times 0}{10 + 30} = 25 V$ મળે છે.
તંત્રની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (25)^2 = 0.0125 J$ છે.
ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 0.05 - 0.0125 = 0.0375 J = 3.75 \times 10^{-2} J$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: $C_1 = 1 \ \mu F, C_2 = 2 \ \mu F, V_1 = 6 \ kV, V_2 = 4 \ kV$.
દરેક કેપેસિટર મહત્તમ કેટલો વિદ્યુતભાર સંગ્રહિત કરી શકે તે નીચે મુજબ છે:
$Q_1 = C_1 V_1 = 1 \ \mu F \times 6 \ kV = 6 \ \mu C$.
$Q_2 = C_2 V_2 = 2 \ \mu F \times 4 \ kV = 8 \ \mu C$.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોવો જોઈએ. તેથી,આ જોડાણ મહત્તમ જે વિદ્યુતભાર સહન કરી શકે તે ઓછા વિદ્યુતભાર ક્ષમતા ધરાવતા કેપેસિટર દ્વારા મર્યાદિત છે,જે $Q_{max} = 6 \ \mu C$ છે.
શ્રેણી જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \ \mu F$ છે.
આ જોડાણ મહત્તમ જે કુલ પોટેન્શિયલ $V_{max}$ સહન કરી શકે તે $V_{max} = \frac{Q_{max}}{C_{eq}} = \frac{6 \ \mu C}{\frac{2}{3} \ \mu F} = 6 \times \frac{3}{2} \ kV = 9 \ kV$ છે.

(B) જ્યારે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ માટેનું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{2 + 4 + 1}{20} = \frac{7}{20} \mu F^{-1}$.
તેથી,$C_{\text{eq}} = \frac{20}{7} \mu F$.
$14 \text{ V}$ ના $DC$ સપ્લાય દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{\text{eq}} \times V = \frac{20}{7} \mu F \times 14 \text{ V} = 40 \mu C$ થાય.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને તે સપ્લાય દ્વારા આપવામાં આવતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોય છે.
આમ,$5 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $40 \mu C$ છે.

(B) માધ્યમમાં પ્રસરણ દરમિયાન સિગ્નલની શક્તિ ગુમાવવાની પ્રક્રિયાને એટેન્યુએશન (attenuation) કહેવામાં આવે છે. જ્યારે સિગ્નલ કોમ્યુનિકેશન ચેનલમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની ઉર્જા માધ્યમ દ્વારા શોષાય છે,જેના પરિણામે તેના કંપનવિસ્તાર (amplitude) અને પાવરમાં ઘટાડો થાય છે,જેને એટેન્યુએશન કહેવાય છે.

(C) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T$ અને રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_R$ વચ્ચેનું મહત્તમ લાઇન-ઓફ-સાઇટ અંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \sqrt{2 R h_T} + \sqrt{2 R h_R}$.
આપેલ છે: $h_T = 33.8 \ m = 33.8 \times 10^{-3} \ km$,$h_R = 64.8 \ m = 64.8 \times 10^{-3} \ km$,અને $R = 6400 \ km$.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{2 \times 6400 \times 33.8 \times 10^{-3}} + \sqrt{2 \times 6400 \times 64.8 \times 10^{-3}}$
$d = \sqrt{12800 \times 0.0338} + \sqrt{12800 \times 0.0648}$
$d = \sqrt{432.64} + \sqrt{829.44}$
$d = 20.8 \ km + 28.8 \ km = 49.6 \ km$.

(C) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,સાઇડ બેન્ડ્સનો એમ્પ્લિટ્યુડ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A_{SB} = \frac{\mu A_c}{2}$
જ્યાં $\mu$ એ મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ છે અને $A_c$ એ કેરિયર એમ્પ્લિટ્યુડ છે.
જોકે,પ્રમાણભૂત સિગ્નલના સંદર્ભમાં જ્યાં મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu = 1$ (મહત્તમ કાર્યક્ષમતા) માનવામાં આવે છે અને મેસેજ સિગ્નલનો એમ્પ્લિટ્યુડ $A_m$ એ $\mu A_c$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે,ત્યારે દરેક સાઇડ બેન્ડનો એમ્પ્લિટ્યુડ:
$A_{SB} = \frac{A_m}{2}$
મેસેજ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $A_m = 12 \ V$ આપેલ છે:
$A_{SB} = \frac{12 \ V}{2} = 6 \ V$
આમ,દરેક સાઇડ બેન્ડનો એમ્પ્લિટ્યુડ $6 \ V$ છે.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગ માટે,મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{\max} = 10 \ V$ અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર $A_{\min} = 2 \ V$ છે.
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\mu = \frac{A_{\max} - A_{\min}}{A_{\max} + A_{\min}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{10 - 2}{10 + 2} = \frac{8}{12}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$\mu = \frac{2}{3}$

(B) માધ્યમમાં પ્રસરણ દરમિયાન સિગ્નલની શક્તિ ગુમાવવાની પ્રક્રિયાને એટેન્યુએશન (attenuation) કહેવામાં આવે છે.
જ્યારે સિગ્નલ કોઈ માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની ઉર્જાનું શોષણ અથવા પ્રકીર્ણન થાય છે,જેના પરિણામે તેના કંપવિસ્તાર અથવા તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે,જેને એટેન્યુએશન કહેવાય છે.

(A) ધારો કે દરેક સમાન અવરોધનું મૂલ્ય $R$ છે અને આદર્શ કોષનું વિદ્યુતચાલક બળ $V$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ થાય છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I_s = \frac{V}{2R} = 2 \ A$ છે,જેનો અર્થ છે કે $V = 4R$.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
કોષમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ $I_p = \frac{V}{R_p} = \frac{4R}{R/2} = 8 \ A$ છે.
અવરોધો સમાન હોવાથી અને સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,પ્રવાહ દરેક અવરોધમાંથી સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,દરેક અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I' = \frac{I_p}{2} = \frac{8 \ A}{2} = 4 \ A$ થશે.

(D) આપેલ છે:
વાહકની લંબાઈ,$\ell = 20 \ cm = 0.2 \ m$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત,$V = 16 \ V$
ડ્રિફ્ટ વેગ,$V_d = 2.4 \times 10^{-4} \ ms^{-1}$
વિદ્યુતક્ષેત્ર,$E = \frac{V}{\ell} = \frac{16}{0.2} = 80 \ V/m$
ઈલેક્ટ્રોનની મોબિલિટી $\mu = \frac{V_d}{E}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{2.4 \times 10^{-4}}{80}$
$\mu = \frac{2.4}{80} \times 10^{-4} = 0.03 \times 10^{-4} = 3 \times 10^{-6} \ m^2 \ V^{-1} \ s^{-1}$

(D) પ્રવાહ $i$ અને સમય $t$ વચ્ચેનો સંબંધ $i = 12t + 9t^2$ દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતભાર $q$ એ સમયની સાપેક્ષમાં પ્રવાહનું સંકલન છે: $q = \int_{t_1}^{t_2} i dt$.
અહીં $t_1 = 2 \,s$ અને $t_2 = 10 \,s$ આપેલ છે,તેથી:
$q = \int_{2}^{10} (12t + 9t^2) dt$
$q = [12 \cdot \frac{t^2}{2} + 9 \cdot \frac{t^3}{3}]_{2}^{10}$
$q = [6t^2 + 3t^3]_{2}^{10}$
હવે,સીમાઓ મૂકતા:
$q = (6(10)^2 + 3(10)^3) - (6(2)^2 + 3(2)^3)$
$q = (600 + 3000) - (6 \cdot 4 + 3 \cdot 8)$
$q = 3600 - (24 + 24)$
$q = 3600 - 48 = 3552 \,C$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1.5 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 3 \times 10^{-5} \ m^2$,અવરોધ $R = 15 \ \Omega$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 21 \ Vm^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ ઘનતા $J = \sigma E$ છે.
વાહકતા $\sigma = \frac{l}{RA}$ હોવાથી,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$J = \left( \frac{l}{RA} \right) E$
$J = \frac{1.5 \times 21}{15 \times 3 \times 10^{-5}}$
$J = \frac{31.5}{45 \times 10^{-5}}$
$J = 0.7 \times 10^5 \ Am^{-2}$.

(D) આ સર્કિટમાં બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં અનેક શાખાઓ છે.
$1$. પ્રથમ શાખા (સૌથી ડાબી બાજુ) માં બે $5 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 5 \Omega + 5 \Omega = 10 \Omega$.
$2$. બીજી શાખામાં $10 \Omega$ નો અવરોધ સીધો $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી $R_2 = 10 \Omega$.
$3$. ત્રીજી શાખામાં બે $5 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_3 = 5 \Omega + 5 \Omega = 10 \Omega$.
$4$. ચોથી શાખામાં $10 \Omega$ નો અવરોધ સીધો $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી $R_4 = 10 \Omega$.
$5$. પાંચમી શાખામાં $10 \Omega$ નો અવરોધ સીધો $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલ છે,તેથી $R_5 = 10 \Omega$.
આ બધી શાખાઓ સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$R_{eq} = 2 \Omega$

(A) અવરોધના તાપમાન ગુણાંક $\alpha$ માટેનું સૂત્ર $\alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(T_2 - T_1)}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે અવરોધ $10 \%$ વધે છે,તેથી $R_2 = R_1 + 0.10 R_1 = 1.1 R_1$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 356 \ K - 303 \ K = 53 \ K$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha = \frac{1.1 R_1 - R_1}{R_1(53)} = \frac{0.1 R_1}{53 R_1} = \frac{0.1}{53}$.
$\alpha \approx 0.001886 \ K^{-1} \approx 1.886 \times 10^{-3} \ K^{-1}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$\alpha \approx 2 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ મળે છે.

(A) અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્ર $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ છે.
અહીં $R_1 = 2.5 \ \Omega$ તાપમાન $T_1 = 373 \ K$ પર છે,$\alpha = 3.6 \times 10^{-3} \ K^{-1}$ અને $T_2 = 273 \ K$ છે.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 373 - 273 = 100 \ K$ છે.
સૂત્ર $R_2 = R_1 / (1 + \alpha \Delta T)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R_2 = 2.5 / (1 + 3.6 \times 10^{-3} \times 100)$
$R_2 = 2.5 / (1 + 0.36) = 2.5 / 1.36$
$R_2 \approx 1.838 \ \Omega \approx 1.84 \ \Omega$.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત હોવા માટે,ભુજાઓના અવરોધનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{R_1}{R_4} = \frac{R_{\text{bulb}}}{R_3}$.
આપેલ છે $R_1 = 4 \Omega$,$R_4 = 8 \Omega$,અને $R_3 = 12 \Omega$:
$\frac{4}{8} = \frac{R_{\text{bulb}}}{12} \implies R_{\text{bulb}} = \frac{4 \times 12}{8} = 6 \Omega$.
બલ્બ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$V = i R_{\text{bulb}} = 6i$.
આપેલ છે $V = i(2i + 1)$,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$6i = i(2i + 1) \implies 6 = 2i + 1 \implies 2i = 5 \implies i = 2.5 \text{ A}$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,કુલ વોલ્ટેજ $V_b = i(R_1 + R_{\text{bulb}}) = 2.5(4 + 6) = 25 \text{ V}$.

(A) તાપમાન $T$ પર ન્યુટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{3mKT}}$ છે.
આના પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 77^{\circ}C = 77 + 273 = 350 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_f = 1127^{\circ}C = 1127 + 273 = 1400 \ K$.
પ્રમાણસરતા $\frac{\lambda_f}{\lambda_i} = \sqrt{\frac{T_i}{T_f}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda_f}{\lambda} = \sqrt{\frac{350}{1400}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_f = \frac{\lambda}{2}$ થાય.

(A) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
આના પરથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{mK}}$,જેનો અર્થ છે કે $K \propto \frac{1}{m\lambda^2}$.
આપેલ છે કે $\lambda_p = 2\lambda_\alpha$ અને આલ્ફા કણનું દળ $m_\alpha \approx 4m_p$ છે:
$\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p} \times \left( \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_p} \right)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K_p}{K_\alpha} = \left( \frac{4m_p}{m_p} \right) \times \left( \frac{\lambda_\alpha}{2\lambda_\alpha} \right)^2$
$\frac{K_p}{K_\alpha} = 4 \times \frac{1}{4} = 1$
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_0$,જ્યાં $V_0$ એ કટ-ઓફ (સ્ટોપિંગ) પોટેન્શિયલ છે અને $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,તેથી આપણને $eV_0 = h\nu - \phi_0$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi_0}{e}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,કટ-ઓફ વોલ્ટેજ $V_0$ અને આવૃત્તિ $\nu$ વચ્ચેના આલેખનો ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{ઢાળ} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s}{1.6 \times 10^{-19} \ C} = 4.14 \times 10^{-15} \ V \cdot s$.

(C) ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\phi_0 = 1.1 \ eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે.
$K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,આપણને $v = \sqrt{\frac{2(E - \phi_0)}{m}}$ મળે છે.
$E_1 = 1.5 \ eV$ ઊર્જા ધરાવતા પ્રથમ કિરણ માટે,મહત્તમ વેગ $v_1 = \sqrt{\frac{2(1.5 - 1.1)}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.4)}{m}}$ છે.
$E_2 = 2 \ eV$ ઊર્જા ધરાવતા બીજા કિરણ માટે,મહત્તમ વેગ $v_2 = \sqrt{\frac{2(2 - 1.1)}{m}} = \sqrt{\frac{2(0.9)}{m}}$ છે.
મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{0.4}{0.9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(A) પ્રકાશનો તરંગવાદ પ્રકાશને સતત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ તરીકે ગણે છે. જોકે આ મોડેલ વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ધ્રુવીભવન જેવી ઘટનાઓને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે,પરંતુ તે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે. ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,ઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન પ્રકાશની તીવ્રતાને બદલે તેની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,જે શાસ્ત્રીય તરંગવાદથી વિપરીત છે. આ ઘટના પ્રકાશના કણ સ્વરૂપ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે,જેમાં પ્રકાશ ઊર્જાના નાના પેકેટોનો બનેલો હોય છે જેને ફોટોન કહેવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે:
ધરીની લંબાઈ,$l = 1.66 \ m$
ટ્રેનની ઝડપ,$v = 90 \ km/h = 90 \times \frac{5}{18} \ m/s = 25 \ m/s$
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક,$B_v = 0.2 \times 10^{-4} \ T$
ધરી પર પ્રેરિત ગતિકીય emf માટેનું સૂત્ર:
$e = B_v \cdot l \cdot v$
કિંમતો મૂકતા:
$e = (0.2 \times 10^{-4} \ T) \times (1.66 \ m) \times (25 \ m/s)$
$e = 0.2 \times 1.66 \times 25 \times 10^{-4} \ V$
$e = 8.3 \times 10^{-4} \ V$
$e = 0.83 \times 10^{-3} \ V = 0.83 \ mV$

(B) ભ્રમણ કરતી કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ પ્રેરિત $emf$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e_{\max} = N B A \omega$
જ્યાં:
$N = 50$ (આંટાની સંખ્યા)
$B = 2 \times 10^{-2} \,T$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$A = 200 \,cm^2 = 200 \times 10^{-4} \,m^2 = 2 \times 10^{-2} \,m^2$ (કોઈલનું ક્ષેત્રફળ)
$\omega = 40 \,rad/s$ (કોણીય ઝડપ)
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e_{\max} = 50 \times (2 \times 10^{-2}) \times (2 \times 10^{-2}) \times 40$
$e_{\max} = 50 \times 4 \times 10^{-4} \times 40$
$e_{\max} = 200 \times 40 \times 10^{-4}$
$e_{\max} = 8000 \times 10^{-4} = 0.8 \,V$
તેથી,ઉત્પન્ન થતું મહત્તમ $emf$ $0.8 \,V$ છે.

(C) $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $I$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_2}$ છે.
અહીં $r_1 \ll r_2$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે $r_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે.
નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \left(\frac{\mu_0 I}{2 r_2}\right) \cdot (\pi r_1^2)$ થાય.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $M = \frac{\phi}{I}$ છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = \frac{\mu_0 \pi r_1^2}{2 r_2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 8 \ mH = 8 \times 10^{-3} \ H$. પ્રવાહ $I = 12 \sin 100t$.
બીજી કોઈલમાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $\varepsilon = M \frac{dI}{dt}$ છે.
$I$ નું સમીકરણ મૂકતા:
$\varepsilon = M \frac{d}{dt} (12 \sin 100t)$
$\varepsilon = M \times 12 \times 100 \cos 100t$
$\varepsilon = 1200 M \cos 100t$.
પ્રેરિત emf નું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos 100t = 1$ હોય:
$\varepsilon_{\max} = 1200 \times M$
$\varepsilon_{\max} = 1200 \times 8 \times 10^{-3} \ V$
$\varepsilon_{\max} = 9.6 \ V$.

(B) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $E_0 = c B_0$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$B_0 = 270 \ nT = 270 \times 10^{-9} \ T$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (270 \times 10^{-9} \ T)$
$E_0 = 810 \times 10^{-1} \ NC^{-1} = 81 \ NC^{-1}$
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $81 \ NC^{-1}$ છે.

(B) જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ સંપૂર્ણ શોષક સપાટી પર આપાત થાય છે,ત્યારે મળતું વેગમાન $p = \frac{U}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $U$ એ સ્થાનાંતરિત ઉર્જા છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \frac{E_0}{B_0}$ છે.
વેગમાનના સમીકરણમાં $c$ ની આ કિંમત મૂકતા:
$p = \frac{U}{E_0 / B_0} = \frac{U B_0}{E_0}$.
આમ,સપાટીને મળતા કુલ વેગમાનનું મૂલ્ય $\frac{U B_0}{E_0}$ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$B_0 = 30 \times 10^{-9} \ T$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_0 = (3 \times 10^8 \ m/s) \times (30 \times 10^{-9} \ T)$
$E_0 = 90 \times 10^{-1} \ Vm^{-1}$
$E_0 = 9 \ Vm^{-1}$
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $9 \ Vm^{-1}$ છે.

(C) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ છે. આપેલ છે કે $Q_1 + Q_2 = 36 \times 10^{-6} \ C$ અને $r = 4 \ m$.
કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા: $0.18 = \frac{9 \times 10^9 \times Q_1 \times Q_2}{4^2}$.
$0.18 = \frac{9 \times 10^9 \times Q_1 Q_2}{16}$.
$Q_1 Q_2 = \frac{0.18 \times 16}{9 \times 10^9} = 0.02 \times 16 \times 10^{-9} = 320 \times 10^{-12} \ C^2$.
આપણી પાસે $Q_1 + Q_2 = 36 \times 10^{-6}$ અને $Q_1 Q_2 = 320 \times 10^{-12}$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (Q_1+Q_2)x + Q_1 Q_2 = 0$ ના બીજ છે.
$x^2 - (36 \times 10^{-6})x + 320 \times 10^{-12} = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{(36 \times 10^{-6})^2 - 4(320 \times 10^{-12})}}{2}$.
$x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{1296 \times 10^{-12} - 1280 \times 10^{-12}}}{2} = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{16 \times 10^{-12}}}{2}$.
$x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm 4 \times 10^{-6}}{2}$.
તેથી બે વિદ્યુતભારો $20 \times 10^{-6} \ C$ અને $16 \times 10^{-6} \ C$ છે.
આમ,મોટો વિદ્યુતભાર $20 \mu C$ છે.

(A) ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે તે $-8 \mu C$ ના વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે છે. વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતું બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચે નહીં પણ નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-8 \mu C)$ ની બહારની બાજુએ હશે.
ધારો કે $-8 \mu C$ થી અંતર $x$ છે. તેથી $+32 \mu C$ થી અંતર $(15 + x)$ થશે.
શૂન્ય બિંદુએ,બંને વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{k |q_1|}{x^2} = \frac{k |q_2|}{(15 + x)^2}$
$\frac{8 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{32 \times 10^{-6}}{(15 + x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(15 + x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{15 + x}$
$15 + x = 2x$
$x = 15 \ cm$.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = -10 \mu C$ એ $x_1 = 0$ પર અને $q_2 = +5 \mu C$ એ $x_2 = \sqrt{2} \ m$ પર છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાની બહાર,નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(q_2)$ ની બાજુએ શૂન્ય થઈ શકે છે.
ધારો કે તટસ્થ બિંદુ $q_2$ થી ધન $x$-દિશામાં $d$ અંતરે છે.
આ બિંદુએ $q_1$ અને $q_2$ ને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન મૂલ્યનું હોવું જોઈએ:
$\frac{k|q_1|}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{k|q_2|}{d^2}$
$\frac{10}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{5}{d^2}$
$2d^2 = (d + \sqrt{2})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2}d = d + \sqrt{2}$
$d(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}$
$d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \ m$.
આ બિંદુનો $x$-યામ $x_2 + d = \sqrt{2} + (2 + \sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ m$ થાય.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N i A B \sin \alpha$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં આપેલ છે કે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\tau = N i A B \cos \theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના સમતલ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે,અહીં $\theta = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 400$,$i = 0.5 \ A$,$A = 10^{-2} \ m^2$,$B = 1 \ T$,અને $\theta = 60^{\circ}$.
$\tau = 400 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 1 \times \cos 60^{\circ}$
$\tau = 400 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 1 \times 0.5$
$\tau = 200 \times 10^{-2} = 2 \times 0.5 = 1 \ Nm$.

(A) આપેલ છે:
ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ,$m = 10^{-4} Am^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 12 \times 10^{-3} T$
ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tau = mB \sin \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tau = (10^{-4} Am^2) \times (12 \times 10^{-3} T) \times \sin(30^{\circ})$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$:
$\tau = 10^{-4} \times 12 \times 10^{-3} \times 0.5$
$\tau = 12 \times 10^{-7} \times 0.5$
$\tau = 6 \times 10^{-7} Nm$

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \pi N I r^2}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$
આમ,$B \propto \frac{1}{(x^2 + r^2)^{3/2}}$.
અહીં $x_A = 4 \ cm$ અને $x_B = 3 \sqrt{3} \ cm$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{B_A}{B_B} = \frac{216}{125}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{x_B^2 + r^2}{x_A^2 + r^2} \right)^{3/2} = \frac{216}{125}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$\left( \frac{x_B^2 + r^2}{x_A^2 + r^2} \right)^{1/2} = \frac{6}{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(3 \sqrt{3})^2 + r^2}{4^2 + r^2} = \frac{36}{25}$
$\frac{27 + r^2}{16 + r^2} = \frac{36}{25}$
$25(27 + r^2) = 36(16 + r^2)$
$675 + 25r^2 = 576 + 36r^2$
$11r^2 = 99$
$r^2 = 9 \Rightarrow r = 3 \ cm$.

(B) આપેલ છે: તાર $A$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1 = 2 \ A$. તાર $B$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2 = 6 \ A$. તાર $A$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $r_1 = 2 \ m$. તાર $B$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $r_2 = 5 \ m - 2 \ m = 3 \ m$.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તાર $A$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ છે,અને તાર $B$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની બહારની તરફ છે.
લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $A$ ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{2}{2} = 2 \times 10^{-7} \ T$ (અંદરની તરફ).
તાર $B$ ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{6}{3} = 4 \times 10^{-7} \ T$ (બહારની તરફ).
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = |B_2 - B_1| = |4 \times 10^{-7} - 2 \times 10^{-7}| = 2 \times 10^{-7} \ T$.

(D) આપેલ છે: તારની લંબાઈ $L = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{3}{\pi^2} \text{ A}$.
જ્યારે તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની લંબાઈ વર્તુળના પરિઘ જેટલી થાય છે: $L = 2 \pi R$.
$20 \times 10^{-2} = 2 \pi R \Rightarrow R = \frac{10^{-1}}{\pi} \text{ m}$.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (\frac{3}{\pi^2})}{2 \times (\frac{10^{-1}}{\pi})}$.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{2 \times 10^{-1} \times \pi} = \frac{12 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 10^{-1}} = 6 \times 10^{-6} \text{ T}$.

(D) સળિયાની ત્રિજ્યા $R = \text{વ્યાસ} / 2 = 4 \text{ mm} / 2 = 2 \text{ mm}$ છે.
સળિયાની અંદર $r_1 = 1 \text{ mm}$ $(r_1 < R)$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 i r_1}{2 \pi R^2}$
સળિયાની બહાર $r_2 = 4 \text{ mm}$ $(r_2 > R)$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે:
$B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r_2}$
ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 i r_1}{2 \pi R^2}}{\frac{\mu_0 i}{2 \pi r_2}} = \frac{r_1 r_2}{R^2}$
$r_1 = 1 \text{ mm}$,$r_2 = 4 \text{ mm}$,અને $R = 2 \text{ mm}$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1 \times 4}{(2)^2} = \frac{4}{4} = 1: 1$

(C) લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$
આપેલ છે: $q = 2 \ C$,$\overrightarrow{V} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ ms^{-1}$,$\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,$\overrightarrow{E} = (-2 \hat{k}) \ NC^{-1}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B}$ શોધો:
$\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 4) = 12 \hat{i} - 9 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
હવે,લોરેન્ઝ બળના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{F} = 2[(-2 \hat{k}) + (12 \hat{i} - 9 \hat{j} + 2 \hat{k})]$
$\overrightarrow{F} = 2[12 \hat{i} - 9 \hat{j}] = 24 \hat{i} - 18 \hat{j}$.
બળનું મૂલ્ય:
$|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(24)^2 + (-18)^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \ N$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હેલિકલ પથની પિચ $p$ નું સૂત્ર: $p = \frac{2 \pi m v \cos \theta}{q B}$ છે.
અહીં વેગ $v$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ખૂણો $\theta$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,પિચ એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $p \propto \frac{m}{q}$.
તેથી,કણો $A$ અને $B$ માટે પિચનો ગુણોત્તર: $\frac{p_A}{p_B} = \frac{m_A / q_A}{m_B / q_B}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_A = m$,$q_A = 2q$,$m_B = 2m$,અને $q_B = 3q$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{p_A}{p_B} = \frac{m / 2q}{2m / 3q} = \frac{m}{2q} \times \frac{3q}{2m} = \frac{3}{4}$.
આમ,ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્તપણે પડતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,તેનો વેગ સદિશ નીચેની તરફ હોય છે,જેને $\overrightarrow{v} = -v_0 \hat{k}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર દક્ષિણ દિશામાં છે,જેને $\overrightarrow{B} = -B_0 \hat{j}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
ચાર્જ થયેલા કણ પર લાગતું લોરેન્ટ્ઝ બળ $\overrightarrow{F}$ એ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભાર $q = -e$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{F} = -e [(-v_0 \hat{k}) \times (-B_0 \hat{j})]$
$\overrightarrow{F} = -e [v_0 B_0 (\hat{k} \times \hat{j})]$
કારણ કે $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$,તેથી આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{F} = -e [v_0 B_0 (-\hat{i})]$
$\overrightarrow{F} = e v_0 B_0 \hat{i}$
દિશા $\hat{i}$ એ પૂર્વ દિશાને અનુરૂપ છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન શરૂઆતમાં પૂર્વ દિશામાં વિચલિત થાય છે.

(A) સુપરકન્ડક્ટર્સ એવા પદાર્થો છે જે એક ચોક્કસ ક્રાંતિક તાપમાનથી નીચે સંપૂર્ણ ડાયામેગ્નેટિઝમ દર્શાવે છે,જેને માઈસનર અસર (Meissner effect) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ સ્થિતિમાં,પદાર્થની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જે તેમને સૌથી વિશિષ્ટ ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો બનાવે છે.