TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $x_1, x_2, x_3$ એ $3$ વ્યક્તિઓને મળેલા સિક્કાઓની સંખ્યા છે.
આપણી પાસે શરત છે $x_1 + x_2 + x_3 = 15$ જ્યાં $x_i \geq 3$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 3$,તો $y_i \geq 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 3$ મૂકતા:
$(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) = 15$
$y_1 + y_2 + y_3 = 6$
અહીં બિન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 6$ અને $r = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{6+3-1}{3-1} = \binom{8}{2} = 28$.

(A) કોઈ સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય.
$2$ વડે વિભાજ્યતા માટે,એકમનો અંક $2, 4$ અથવા $6$ હોવો જોઈએ.
$3$ વડે વિભાજ્યતા માટે,અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $I$: એકમનો અંક $2$ હોય. બાકીના $3$ અંકોનો સરવાળો $3k - 2$ થવો જોઈએ. શક્ય સેટ $\{1, 4, 6\}, \{1, 5, 6\}, \{3, 4, 5\}$ છે. કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $II$: એકમનો અંક $4$ હોય. બાકીના $3$ અંકોનો સરવાળો $3k - 4$ થવો જોઈએ. શક્ય સેટ $\{1, 2, 6\}, \{1, 5, 6\}, \{2, 3, 6\}$ છે. કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $III$: એકમનો અંક $6$ હોય. બાકીના $3$ અંકોનો સરવાળો $3k - 6$ થવો જોઈએ. શક્ય સેટ $\{1, 2, 3\}, \{1, 3, 5\}, \{2, 3, 4\}, \{3, 4, 5\}$ છે. કુલ $= 4 \times 6 = 24$.
કુલ સંખ્યા $= 18 + 18 + 24 = 60$.

(D) સૌ પ્રથમ,$831600$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધો:
$831600 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1$.
બે અવયવો પરસ્પર અવિભાજ્ય હોય તે માટે,દરેક અવિભાજ્ય ઘાત અવયવ (જેમ કે $2^4, 3^3, 5^2, 7^1, 11^1$) સંપૂર્ણપણે બેમાંથી એક અવયવમાં હોવો જોઈએ.
અહીં $5$ ભિન્ન અવિભાજ્ય ઘાત અવયવો છે.
આ $5$ અવયવોમાંથી દરેકને પ્રથમ અથવા બીજા અવયવમાં મૂકી શકાય છે,જે $2^5 = 32$ રીતો આપે છે.
બે અવયવોનો ક્રમ મહત્વનો નથી (કારણ કે $A$ અને $B$ માં વિભાજન કરવું એ $B$ અને $A$ માં વિભાજન કરવા સમાન છે),તેથી આપણે $2!$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
રીતોની સંખ્યા $= \frac{2^5}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

(C) ધારો કે $S = \frac{1}{3 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 12} + \dots$ $9$ પદો સુધી.
$n$-મું પદ $T_n = \frac{1}{(3n)(3n+3)} = \frac{1}{9n(n+1)}$ છે.
આપણે $T_n = \frac{1}{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$ લખી શકીએ.
$n=1$ થી $9$ માટે સરવાળો કરતા:
$S = \frac{1}{9} \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = \frac{1}{9} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) \right]$.
$S = \frac{1}{9} \left( 1 - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{9}{10} \right) = \frac{1}{10}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $S_n = 1 \cdot 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + 5 \cdot 7 \cdot 9 + \dots$ $n$ પદો સુધી છે.
$n=2$ માટે,સરવાળો $S_2 = (1 \cdot 3 \cdot 5) + (3 \cdot 5 \cdot 7) = 15 + 105 = 120$ થાય.
આપેલ સૂત્ર મુજબ,$S_n = n(n+1) f(n)$.
$n=2$ મૂકતા:
$S_2 = 2(2+1) f(2) = 2(3) f(2) = 6 f(2)$.
બંને કિંમતો સરખાવતા:
$6 f(2) = 120$.
$f(2) = \frac{120}{6} = 20$.

(A) ધારો કે $f(n) = 81^n + 20n - 1$.
$n=1$ માટે,$f(1) = 81 + 20 - 1 = 100$.
$n=2$ માટે,$f(2) = 81^2 + 20(2) - 1 = 6561 + 40 - 1 = 6600$.
બધા $n \in N$ માટે $f(n)$ ને ભાગતી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા $k$ એ $f(1)$ અને $f(2)$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ છે,જે $\gcd(100, 6600) = 100$ છે.
આમ,$k = 100 = 2^2 \times 5^2$.
$k = 2^2 \times 5^2$ ના તમામ ધન ભાજકોનો સરવાળો $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = (1 + 2 + 2^2) \times (1 + 5 + 5^2) = (7) \times (31) = 217$.
તેથી,$S - k = 217 - 100 = 117$.

(C) દરેક વિધાન માટે $n = 1$ લઈને તપાસીએ:
$(A)$ $(2(1) + 7) < (1 + 3)^2 \implies 9 < 16$,જે સત્ય છે.
$(B)$ $1^2 > \frac{1^3}{3} \implies 1 > \frac{1}{3}$,જે સત્ય છે.
$(C)$ $n = 1$ માટે,$3 \cdot 5^3 + 2^4 = 375 + 16 = 391$. $391$ એ $23$ વડે વિભાજ્ય છે. પરંતુ $n = 2$ માટે,$3 \cdot 5^5 + 2^7 = 9503$ જે $23$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$(D)$ $n = 1$ માટે,$2 = \frac{1(5-1)}{2} = 2$,જે સત્ય છે.
આમ,જે વિધાન તમામ $n \in N$ માટે સાચું નથી તે $(C)$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)y^2}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)y^3}{3!} + \dots$
આપેલ પદાવલિ: $\left(5x + \frac{7}{x}\right)^{-3/2} = (5x)^{-3/2} \left(1 + \frac{7}{5x^2}\right)^{-3/2}$.
ધારો કે $y = \frac{7}{5x^2}$ અને $n = -3/2$.
ચોથું પદ $T_4$ એ $y^3$ વાળું પદ છે:
$T_4 = (5x)^{-3/2} \times \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} y^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$T_4 = (5x)^{-3/2} \times \frac{(-3/2)(-5/2)(-7/2)}{6} \left(\frac{7}{5x^2}\right)^3$.
$T_4 = -\frac{7^4}{2^4 \times 5^{7/2} x^{15/2}}$.
હવે,$\left(x^7 \sqrt{5x}\right) T_4 = x^7 \cdot 5^{1/2} x^{1/2} \cdot \left(-\frac{7^4}{2^4 \cdot 5^{7/2} x^{15/2}}\right) = -\frac{7^4}{2^4 \cdot 5^3}$.

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$7^{\text{th}}$ પદ માટે,$r = 6$.
$T_7 = {}^8C_6 \left(\frac{5}{p^3}\right)^{2} \left(-\frac{3q}{7}\right)^6 = 700$.
${}^8C_6 = 28$.
$28 \times \frac{25}{p^6} \times \frac{3^6 q^6}{7^6} = 700$.
$\frac{q^6}{p^6} = \frac{700 \times 7^6}{28 \times 25 \times 3^6} = \frac{7^6}{3^6}$.
$\frac{q}{p} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3q = 7p$ $\Rightarrow 9q^2 = 49p^2$.

(C) ધારો કે $f(n) = 3^{2n+2}-8n-9 = 9(9^n)-8n-9$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$9^n = (1+8)^n = 1 + 8n + \frac{n(n-1)}{2}(64) + \dots$.
આ કિંમત મૂકતા:
$f(n) = 9[1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] - 8n - 9$
$f(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9$
$f(n) = 64n + 288n(n-1) + \dots$
અહીં $64 = 2^6$ છે,તેથી $p$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે.

(C) આપેલ વિસ્તરણ $(3x - 16y)^{15}$ છે.
$x = \frac{2}{3}$ અને $y = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$3x = 2$ અને $16y = 24$.
તેથી,પદાવલિ $(2 - 24)^{15} = 2^{15}(1 - 12)^{15}$ બને છે.
અહીં $n = 15$ અને $\alpha = -12$ છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ શોધવા માટેની શરત $r \le \frac{(n+1)|\alpha|}{|\alpha|+1}$ છે.
$r \le \frac{16 \times 12}{13} = 14.76$.
તેથી $r = 14$ લેતા,$15$ મું પદ એ સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = (1+x+x^2+x^3)^{100} = \sum_{r=0}^{300} a_r x^r$.
$x=1$ મૂકતા,$S = \sum_{r=0}^{300} a_r = f(1) = (1+1+1^2+1^3)^{100} = 4^{100}$.
$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 100(1+x+x^2+x^3)^{99} \cdot (1+2x+3x^2) = \sum_{r=1}^{300} r \cdot a_r x^{r-1}$.
$x=1$ મૂકતા:
$\sum_{r=0}^{300} r \cdot a_r = f'(1) = 100(4^{99}) \cdot (1+2+3) = 100 \cdot 4^{99} \cdot 6 = 600 \cdot 4^{99}$.
$S = 4^{100}$ હોવાથી,$4^{99} = \frac{S}{4}$.
તેથી,$\sum_{r=0}^{300} r \cdot a_r = 600 \cdot \frac{S}{4} = 150 S$.

(A) $(x-2y+3z)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય મુજબ $\frac{6!}{a!b!c!} x^a (-2y)^b (3z)^c$ છે,જ્યાં $a+b+c=6$ છે.
$xy^2z^3$ પદ માટે,$a=1, b=2, c=3$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,સહગુણક $\frac{6!}{1! \times 2! \times 3!} \times (-2)^2 \times (3)^3$ થાય.
ગણતરી કરતા: $\frac{720}{1 \times 2 \times 6} \times 4 \times 27 = 60 \times 4 \times 27 = 240 \times 27 = 6480$.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = 2r \frac{C_r}{C_{r-1}}$ છે.
ગુણધર્મ $\frac{C_r}{C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_r = 2r \left( \frac{n-r+1}{r} \right) = 2(n-r+1)$.
સરવાળો $\sum_{r=1}^n T_r = \sum_{r=1}^n 2(n-r+1) = n(n+1)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $n(n+1) = 650$,તેથી $n = 25$.
તેથી,$^nC_2 = ^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$.

(D) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $T_{r+1}, T_{r+2}, T_{r+3}$ છે. તેમના સહગુણકો $^{23}C_r, ^{23}C_{r+1}, ^{23}C_{r+2}$ છે.
આ સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2 \cdot ^{23}C_{r+1} = ^{23}C_r + ^{23}C_{r+2}$ થાય.
સાદુરૂપ આપતા,$r=8$ અથવા $r=13$ મળે છે.
તેથી,પદો $T_9, T_{10}, T_{11}$ અથવા $T_{14}, T_{15}, T_{16}$ છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $T_{14}, T_{15}, T_{16}$ છે.

(A) ઋણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ: $(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{1 \cdot 2} x^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3+\ldots$
$n = \frac{2}{3}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(1-\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 1 + (\frac{2}{3})(\frac{1}{2}) + \frac{(\frac{2}{3})(\frac{5}{3})}{1 \cdot 2} (\frac{1}{2})^2 + \frac{(\frac{2}{3})(\frac{5}{3})(\frac{8}{3})}{1 \cdot 2 \cdot 3} (\frac{1}{2})^3 + \ldots$
$(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9} \cdot \frac{1}{8} + \ldots$
કારણ કે $(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = (2^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}$,તેથી વિધાન $(A)$ સાચું છે અને કારણ $(R)$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{x}{(x-2)(x-3)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતે,$\frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{3}{x-3} - \frac{2}{x-2} = (1 - \frac{x}{2})^{-1} - (1 - \frac{x}{3})^{-1}$ થાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-1} = 1 + z + z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - \frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
$(1 - \frac{x}{3})^{-1} = 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \dots$
તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $\frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{5}{36}$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $\left(125 x^2 - \frac{27}{x}\right)^{-2/3} = \left(\frac{125 x^3 - 27}{x}\right)^{-2/3} = \frac{x^{2/3}}{(125 x^3 - 27)^{2/3}}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n$ માન્ય રહે તે માટે,$|z| < 1$ હોવું જરૂરી છે.
પદાવલિને ફરીથી લખતા: $\left(-\frac{27}{x}\right)^{-2/3} \left(1 - \frac{125 x^3}{27}\right)^{-2/3}$.
આ વિસ્તરણ ત્યારે માન્ય છે જ્યારે $|\frac{125 x^3}{27}| < 1$ હોય.
$|x^3| < \frac{27}{125} \Rightarrow |x| < \frac{3}{5}$.
આમ,$x \in \left(-\frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)$ અને $x \neq 0$.

(C) $\cos(3x + 4)$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$\tan(2x - 3)$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{\pi}{2}$ છે.
$\sin(5x)$ નું આવર્તમાન $T_3 = \frac{2\pi}{5}$ છે.
$f(x)$ નું આવર્તમાન $k$ એ $T_1, T_2, T_3$ નો લ.સા.અ. છે,જે $\text{L.C.M.}\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{5}\right) = 2\pi$ થાય.
આમ,$k = 2\pi$.
વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: $\tan \frac{k}{3} = \tan \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $K = \cos ^2 84^{\circ}+\sin ^2 126^{\circ}-\sin 84^{\circ} \cos 126^{\circ}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$K = \frac{5}{4}$ મળે છે.
હવે,$\cot A + \tan A = 2K = 2(\frac{5}{4}) = \frac{5}{2}$.
$\frac{1}{\tan A} + \tan A = \frac{5}{2} \Rightarrow 2\tan^2 A - 5\tan A + 2 = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$\tan A = \frac{1}{2}$ અથવા $\tan A = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan A = \frac{-60}{11}$. $\tan A$ ઋણ હોવાથી,$A$ એ $2^{\text{nd}}$ અથવા $4^{\text{th}}$ ચરણમાં છે. $A$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં નથી,તેથી $A$ એ $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$2^{\text{nd}}$ ચરણમાં,$\operatorname{cosec} A$ ધન છે. $60, 11, 61$ બાજુઓવાળા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\operatorname{cosec} A = \frac{61}{60}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\sec B = \frac{41}{9}$. $\sec B$ ધન હોવાથી,$B$ એ $1^{\text{st}}$ અથવા $4^{\text{th}}$ ચરણમાં છે. $B$ એ $1^{\text{st}}$ ચરણમાં નથી,તેથી $B$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$4^{\text{th}}$ ચરણમાં,$\cot B$ ઋણ છે. $40, 9, 41$ બાજુઓવાળા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cot B = -\frac{9}{40}$ મળે છે.
હવે,$K = \operatorname{cosec} A + \cot B = \frac{61}{60} - \frac{9}{40}$.
સામાન્ય છેદ $(120)$ શોધતા: $K = \frac{122 - 27}{120} = \frac{95}{120} = \frac{19}{24}$.
તેથી,$24K = 24 \times \frac{19}{24} = 19$.

(C) આપેલ છે: $\sin \theta_1+\sin \theta_2=-\frac{21}{65}$ અને $\cos \theta_1+\cos \theta_2=-\frac{27}{65}$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sin \theta_1+\sin \theta_2)^2 + (\cos \theta_1+\cos \theta_2)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\theta_1 - \theta_2) = \frac{1170}{4225}$
$2(1 + \cos(\theta_1 - \theta_2)) = \frac{18}{65}$
$4 \cos^2 \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \frac{18}{65}$
$\cos^2 \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = \frac{9}{130}$
$\cos \left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) = -\frac{3}{\sqrt{130}}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sin 20^{\circ}(4+\sec 20^{\circ})$
$= \sin 20^{\circ} \left(4 + \frac{1}{\cos 20^{\circ}}\right)$
$= \frac{4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin 40^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}) + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} = \sqrt{3}$

(C) આપેલ છે કે $8 \cos \theta + 15 \sin \theta = 15$.
ધારો કે $x = 15 \cos \theta - 8 \sin \theta$.
નિત્યસમ $(8 \cos \theta + 15 \sin \theta)^2 + (15 \cos \theta - 8 \sin \theta)^2 = (8^2 + 15^2)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $15^2 + x^2 = (64 + 225)(1) = 289$ મળે છે.
$225 + x^2 = 289$.
$x^2 = 289 - 225 = 64$.
$x = \pm 8$.
$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos \theta > \sin \theta$ થાય.
આ અંતરાલમાં $\theta$ માટે,$15 \cos \theta > 8 \sin \theta$ હોવાથી,$x$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$15 \cos \theta - 8 \sin \theta = 8$.

(B) આપેલ છે: $\tan A+\tan B+\cot A+\cot B=\tan A \tan B-\cot A \cot B$
સાદુરૂપ આપતા,$\sin(A+B) \cos(A-B) = -\cos(A+B) \cos(A-B)$ મળે છે.
તેથી,$\tan(A+B) = -1$.
$0^{\circ} < A+B < 270^{\circ}$ હોવાથી,$A+B = 135^{\circ}$ મળે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $2 \sin ^2 \theta = \cos ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{5 \pi}{8} + \sin ^4 \frac{7 \pi}{8}$
નિત્યસમ $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^4(\frac{7\pi}{8}) = \sin^4(\frac{\pi}{8})$
$\cos^4(\frac{5\pi}{8}) = \cos^4(\frac{3\pi}{8})$
કિંમતો મૂકતા:
$2 \sin ^2 \theta = (\cos ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{\pi}{8}) + (\sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{3 \pi}{8})$
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4}] + [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{3\pi}{4}]$
$= 2 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}] = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
તેથી,$2 \sin^2 \theta = \frac{3}{2} \implies \sin^2 \theta = \frac{3}{4} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે $\cos^2 B - \sin^2 A = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}}$.
નિત્યસમ $\cos^2 B - \sin^2 A = \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos(A+B) \cos(A-B) = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}} \dots (i)$.
આપેલ છે $2 \cos A \cos B = \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos(A+B) + \cos(A-B) = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \dots (ii)$.
ધારો કે $x = \cos(A+B)$ અને $y = \cos(A-B)$. $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$xy = \frac{\sqrt{3}+1}{4\sqrt{2}}$ અને $x+y = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2}$.
આ ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$ અને $y = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \cos 15^{\circ}$ મળે છે.
તેથી,$A+B = 60^{\circ}$ અને $A-B = 15^{\circ}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા,$2A = 75^{\circ} \implies A = 37.5^{\circ}$ અને $2B = 45^{\circ} \implies B = 22.5^{\circ}$ મળે છે.
હવે,$\cos^2 \frac{4B}{3} - \sin^2 \frac{4A}{5} = \cos^2 \frac{4(22.5^{\circ})}{3} - \sin^2 \frac{4(37.5^{\circ})}{5} = \cos^2 30^{\circ} - \sin^2 30^{\circ} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે: $m \cos (\alpha+\beta)-n \cos (\alpha-\beta)=m \cos (\alpha-\beta)+n \cos (\alpha+\beta)$
પદોને ગોઠવતા:
$m [\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta)] = n [\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)]$
નિત્યસમ $\cos (A+B) - \cos (A-B) = -2 \sin A \sin B$ અને $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m [-2 \sin \alpha \sin \beta] = n [2 \cos \alpha \cos \beta]$
$-2m \sin \alpha \sin \beta = 2n \cos \alpha \cos \beta$
બંને બાજુ $2m \cos \alpha \cos \beta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = -\frac{n}{m}$
$\tan \alpha \tan \beta = -\frac{n}{m}$

(B) આપેલ છે કે $\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} = -\frac{4}{3}$.
$6 \tan A = -4 + 4 \tan^2 A \Rightarrow 2 \tan^2 A - 3 \tan A - 2 = 0$.
$\tan A$ માટે ઉકેલતા: $(2 \tan A + 1)(\tan A - 2) = 0$,તેથી $\tan A = -\frac{1}{2}$ અથવા $\tan A = 2$.
$\tan A < 0$ હોવાથી,$\tan A = -\frac{1}{2}$ મળે.
હવે,$\cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$.
નિત્યસમ $\cos 6A = 4 \cos^3 2A - 3 \cos 2A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 6A = 4 \left(\frac{3}{5}\right)^3 - 3 \left(\frac{3}{5}\right) = 4 \left(\frac{27}{125}\right) - \frac{9}{5} = \frac{108}{125} - \frac{225}{125} = -\frac{117}{125}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2 \tan^2 \theta - 4 \sec \theta + 3 = 0$ છે.
નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(\sec^2 \theta - 1) - 4 \sec \theta + 3 = 0$
$2 \sec^2 \theta - 2 - 4 \sec \theta + 3 = 0$
$2 \sec^2 \theta - 4 \sec \theta + 1 = 0$.
ધારો કે $x = \sec \theta$. તેથી $2x^2 - 4x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
આમ,$\sec \theta = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ અથવા $\sec \theta = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$|\sec \theta| \ge 1$ હોવાથી,$\sec \theta = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ મળે.
તેથી,$2 \sec \theta = 2 + \sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે: $(\sin \theta - \operatorname{cosec} \theta)^2 + (\cos \theta + \sec \theta)^2 = 5$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $(\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta - 2) + (\cos^2 \theta + \sec^2 \theta + 2) = 5$
$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 + \operatorname{cosec}^2 \theta + \sec^2 \theta = 5$
$\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ અને $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ મૂકતા: $1 + (1 + \cot^2 \theta) + (1 + \tan^2 \theta) = 5$
$3 + \cot^2 \theta + \tan^2 \theta = 5 \Rightarrow \tan^2 \theta + \frac{1}{\tan^2 \theta} = 2$
ધારો કે $x = \tan^2 \theta$,તો $x + \frac{1}{x} = 2$ $\Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$ $\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow \tan^2 \theta = 1$
$\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\tan \theta = 1$ નો અર્થ છે $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
તેથી $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$(\sin \theta + \cos \theta)^3 = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^3 = (-\frac{2}{\sqrt{2}})^3 = (-\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin 7 \theta - \sin 3 \theta = \sin 4 \theta$
નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 5 \theta \sin 2 \theta = \sin 4 \theta$
$\sin 4 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$2 \cos 5 \theta \sin 2 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$
$2 \sin 2 \theta (\cos 5 \theta - \cos 2 \theta) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 2 \theta = 0$
$2 \theta = n \pi \Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2}$. અંતરાલ $(0, \pi)$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$.
કિસ્સો $2$: $\cos 5 \theta = \cos 2 \theta$
$5 \theta = 2 n \pi \pm 2 \theta$
જો $5 \theta = 2 n \pi + 2 \theta$ હોય,તો $3 \theta = 2 n \pi \Rightarrow \theta = \frac{2 n \pi}{3}$. અંતરાલ $(0, \pi)$ માટે,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$.
જો $5 \theta = 2 n \pi - 2 \theta$ હોય,તો $7 \theta = 2 n \pi \Rightarrow \theta = \frac{2 n \pi}{7}$. અંતરાલ $(0, \pi)$ માટે,$\theta = \frac{2 \pi}{7}, \frac{4 \pi}{7}, \frac{6 \pi}{7}$.
ઉકેલો $\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{7}, \frac{4 \pi}{7}, \frac{6 \pi}{7}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $5$ છે.

(B) આપેલ છે: $\cos x + \cos y = \frac{2}{3}$ $(i)$
$\sin x - \sin y = \frac{3}{4}$ $(ii)$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{2}{3}$ $(iii)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{4}$ $(iv)$
$(iv)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\tan \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3/4}{2/3} = \frac{9}{8}$
ધારો કે $\theta = \frac{x-y}{2}$,તેથી $\tan \theta = \frac{9}{8}$.
ત્યારબાદ $\sin(x-y) = \sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{2(9/8)}{1 + (81/64)} = \frac{144}{145}$.
$\cos(x-y) = \cos(2\theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - (81/64)}{1 + (81/64)} = -\frac{17}{145}$.
તેથી,$\sin(x-y) + \cos(x-y) = \frac{144}{145} - \frac{17}{145} = \frac{127}{145}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4-3 \cos ^2 \theta=5 \sin \theta \cos \theta$
$\cos ^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$4 \sec ^2 \theta-3=5 \tan \theta$
$4(1+\tan ^2 \theta)-3=5 \tan \theta$
$4 \tan ^2 \theta-5 \tan \theta+1=0$
$(4 \tan \theta-1)(\tan \theta-1)=0$
તેથી,$\tan \theta=1$ અથવા $\tan \theta=\frac{1}{4}$.
વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $1+\sin ^2 \theta=3 \cos ^2 \theta$
$1+\sin ^2 \theta=3(1-\sin ^2 \theta)$
$1+\sin ^2 \theta=3-3 \sin ^2 \theta$
$4 \sin ^2 \theta=2$ $\Rightarrow \sin ^2 \theta=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \tan ^2 \theta=1$.
જેમ કે $\tan \theta=1$ એ મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સંતોષાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ અને $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
આપેલ છે કે $\sinh x = \frac{12}{5}$,તેથી $\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{12}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $e^x - e^{-x} = \frac{24}{5}$.
ધારો કે $e^x = t$. તો $t - \frac{1}{t} = \frac{24}{5}$.
$5t$ વડે ગુણતા,આપણને $5t^2 - 24t - 5 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(5t + 1)(t - 5) = 0$.
કારણ કે $e^x = t$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $t = 5$,એટલે કે $e^x = 5$.
આપણે $\sinh 3x + \cosh 3x$ શોધવાનું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\sinh 3x + \cosh 3x = \frac{e^{3x} - e^{-3x}}{2} + \frac{e^{3x} + e^{-3x}}{2} = e^{3x}$.
કારણ કે $e^x = 5$,તેથી $e^{3x} = (e^x)^3 = 5^3 = 125$.

(B) ગણ $A$ માટે: $\cos^2 x = \cos^2 \frac{\pi}{6} \implies \cos 2x = \cos \frac{\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.
ગણ $B$ માટે: $P^2 - 10P + 16 = 0 \implies P = 8, 2$.
$\cos^2 x = \log_{16} 8 = \frac{3}{4} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.
$\cos^2 x = \log_{16} 2 = \frac{1}{4} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$B - A = \{n\pi \pm \frac{\pi}{3} \mid n \in Z\} = \{2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \mid n \in Z\}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos^2 2x + \sin^2 3x = 1$
$\Rightarrow \sin^2 3x = 1 - \cos^2 2x$
$\Rightarrow \sin^2 3x = \sin^2 2x$
$\Rightarrow \sin^2 3x - \sin^2 2x = 0$
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \sin(3x + 2x) \sin(3x - 2x) = 0$
$\Rightarrow \sin 5x \sin x = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 5x = 0$ $\Rightarrow 5x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{5}, n \in \mathbb{Z}$
કિસ્સો $2$: $\sin x = 0 \Rightarrow x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$
$n\pi$ એ $\frac{n\pi}{5}$ નો ઉપગણ હોવાથી,સામાન્ય ઉકેલ $x = \frac{n\pi}{5}, n \in \mathbb{Z}$ છે.

(D) આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(2, b)$ પર ખસેડવામાં આવે છે,તેથી રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X + 2$ અને $y = Y + b$ છે.
બિંદુ $(a, 4)$ એ $(6, 8)$ માં બદલાય છે,તેથી $a = 6 + 2 = 8$ અને $4 = 8 + b$,જે $b = -4$ આપે છે.
હવે,ઉગમબિંદુને $(a, b) = (8, -4)$ પર ખસેડવામાં આવે છે,તેથી રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X + 8$ અને $y = Y - 4$ છે.
આ કિંમતોને $x^2 + 4xy + y^2 = 0$ માં મૂકતા:
$(X + 8)^2 + 4(X + 8)(Y - 4) + (Y - 4)^2 = 0$
$(X^2 + 16X + 64) + 4(XY - 4X + 8Y - 32) + (Y^2 - 8Y + 16) = 0$
$X^2 + 16X + 64 + 4XY - 16X + 32Y - 128 + Y^2 - 8Y + 16 = 0$
$X^2 + 4XY + Y^2 + 24Y - 48 = 0$
આને $X^2 + 2HXY + Y^2 + 2GX + 2FY + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2H = 4 \Rightarrow H = 2$,$2G = 0 \Rightarrow G = 0$,$2F = 24 \Rightarrow F = 12$,અને $C = -48$ મળે છે.
અંતે,$2H(G + F) = 2(2)(0 + 12) = 4(12) = 48$.
કારણ કે $C = -48$,તેથી $48 = -C$.

(C) ધારો કે $C$ ના યામ $(h, k)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left( \frac{2+3+h}{3}, \frac{3+2+k}{3} \right) = \left( \frac{5+h}{3}, \frac{5+k}{3} \right)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્રનું ઉગમબિંદુથી અંતર $5$ એકમ છે,તેથી $\sqrt{\left( \frac{5+h}{3} \right)^2 + \left( \frac{5+k}{3} \right)^2} = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left( \frac{5+h}{3} \right)^2 + \left( \frac{5+k}{3} \right)^2 = 25$.
$9$ વડે ગુણતા,$(h+5)^2 + (k+5)^2 = 225$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$C$ નો બિંદુપથ $(x+5)^2 + (y+5)^2 = 15^2$ છે.
આ $15$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $2 \times 15 = 30$ એકમ છે.

(A) રેખાઓના ઢાળ $m_1 = -2$,$m_2 = -\frac{a}{b}$,અને $m_3 = -\frac{1}{2}$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,$L_1$ અને $L_3$ વચ્ચેનો ખૂણો એ $L_2$ અને $L_3$ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $|\frac{-2 - (-1/2)}{1 + (-2)(-1/2)}| = |\frac{-a/b - (-1/2)}{1 + (-a/b)(-1/2)}|$.
$|\frac{-3/2}{2}| = |\frac{-2a+b}{2b+a}| \Rightarrow \frac{3}{4} = |\frac{2a-b}{a+2b}|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{3}{4} = \frac{2a-b}{a+2b}$ $\Rightarrow 3a+6b = 8a-4b$ $\Rightarrow 5a = 10b$ $\Rightarrow a=2b$.
$(5,1)$ એ $L_2$ પર હોવાથી,$5a+b+c=0$ $\Rightarrow 10b+b+c=0$ $\Rightarrow c=-11b$.
તેથી $\frac{b^2}{|ac|} = \frac{b^2}{|(2b)(-11b)|} = \frac{b^2}{22b^2} = \frac{1}{22}$.
કિસ્સો $2$: $-\frac{3}{4} = \frac{2a-b}{a+2b}$ $\Rightarrow -3a-6b = 8a-4b$ $\Rightarrow 11a = -2b$ $\Rightarrow a=-\frac{2b}{11}$.
$(5,1)$ એ $L_2$ પર હોવાથી,$5(-\frac{2b}{11})+b+c=0 \Rightarrow c = \frac{10b}{11}-b = -\frac{b}{11}$.
તેથી $\frac{b^2}{|ac|} = \frac{b^2}{|(-\frac{2b}{11})(-\frac{b}{11})|} = \frac{b^2}{2b^2/121} = \frac{121}{2}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2, -1)$,$B(2, 5)$ અને $C(m, n)$ છે. ધારો કે $H\left(2, \frac{5}{3}\right)$ એ લંબકેન્દ્ર છે.
$AH$ નો ઢાળ $= \frac{\frac{5}{3} - (-1)}{2 - (-2)} = \frac{8/3}{4} = \frac{2}{3}$.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $= -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$BC$ નું સમીકરણ: $y - 5 = -\frac{3}{2}(x - 2)$ $\Rightarrow 2y - 10 = -3x + 6$ $\Rightarrow 3x + 2y = 16 \quad ...(i)$
$BH$ નો ઢાળ $= \frac{\frac{5}{3} - 5}{2 - 2} = \frac{-10/3}{0}$,જે અવ્યાખ્યાયિત છે. આનો અર્થ એ છે કે $BH$ એ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખા હોવી જોઈએ. $A(-2, -1)$ હોવાથી,$AC$ નું સમીકરણ $y = -1$ છે.
$C(m, n)$ એ $AC$ પર હોવાથી,$n = -1$.
સમીકરણ $(i)$ માં $n = -1$ મૂકતા: $3m + 2(-1) = 16$ $\Rightarrow 3m = 18$ $\Rightarrow m = 6$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(6, -1)$ છે.
તેથી,$m + n = 6 + (-1) = 5$.

(C) ધારો કે નવા યામ $(x', y')$ છે. રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = x' + \frac{3}{2}$ અને $y = y' - 2$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$ માં મૂકતા:
$2(x' + \frac{3}{2})^2 + 4(x' + \frac{3}{2})(y' - 2) + (y' - 2)^2 + 2(x' + \frac{3}{2}) - 2(y' - 2) + 1 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(x')^2 + 4x'y' + (y')^2 + \frac{9}{2} = 0$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$4(x')^2 + 8x'y' + 2(y')^2 + 9 = 0$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $4x^2 + 8xy + 2y^2 + 9 = 0$ છે.

(A) બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $a:b$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ $\left(\frac{-2a + b}{a + b}, \frac{a + 2b}{a + b}\right)$ મળે છે.
$C$ એ રેખા $2x + y - 3 = 0$ પર હોવાથી:
$2\left(\frac{-2a + b}{a + b}\right) + \left(\frac{a + 2b}{a + b}\right) - 3 = 0$
$-4a + 2b + a + 2b - 3(a + b) = 0$
$-3a + 4b - 3a - 3b = 0$
$b = 6a \Rightarrow \frac{b}{a} = 6$.
હવે,$\frac{b}{a} = 6$ ને $P$ અને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$P = \left(\frac{6}{3}, -3\right) = (2, -3)$
$Q = \left(-3, -\frac{6}{3}\right) = (-3, -2)$
બિંદુ $C$ એ $\left(\frac{-2a + 6a}{a + 6a}, \frac{a + 12a}{a + 6a}\right) = \left(\frac{4a}{7a}, \frac{13a}{7a}\right) = \left(\frac{4}{7}, \frac{13}{7}\right)$ છે.
ધારો કે $C$ એ $PQ$ નું $p:q$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. $x$-યામ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-3p + 2q}{p + q} = \frac{4}{7}$
$-21p + 14q = 4p + 4q$
$10q = 25p \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{2}{5} + \frac{5}{2} = \frac{4 + 25}{10} = \frac{29}{10}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $ax^2-2xy+by^2-2x+4y+1=0$.
ઉગમબિંદુને $(0, k)$ પર ખસેડતા,$x=X$ અને $y=Y+k$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $aX^2-2X(Y+k)+b(Y+k)^2-2X+4(Y+k)+1=0$.
વિસ્તરણ કરતા: $aX^2-2XY-2kX+bY^2+bk^2+2bkY-2X+4Y+4k+1=0$.
પદોને ગોઠવતા: $aX^2-2XY+bY^2-2X(k+1)+2Y(bk+2)+bk^2+4k+1=0$.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ: $k+1=0 \Rightarrow k=-1$ અને $bk+2=0$ $\Rightarrow -b+2=0$ $\Rightarrow b=2$.
હવે,અક્ષોને $\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2)$ ખૂણે ફેરવતા,$\tan(2\theta) = 2$.
$xy$ પદ દૂર કરવા માટેની શરત: $\tan(2\theta) = \frac{2h}{a-b}$,જ્યાં $h=-1$.
તેથી,$\tan(2\theta) = \frac{2(-1)}{a-b} = \frac{2}{b-a} = 2 \Rightarrow b-a = 1$.
$b=2$ હોવાથી,$2-a=1 \Rightarrow a=1$.
તેથી,$a+b = 1+2 = 3$.

(B) ઉગમબિંદુને $(h, 5)$ પર ખસેડતા,સંબંધો $x = X + h$ અને $y = Y + 5$ મળે છે.
સમીકરણ $y = x^3 - 9x^2 + cx - d$ માં કિંમતો મૂકતા:
$Y + 5 = (X + h)^3 - 9(X + h)^2 + c(X + h) - d$
$Y = X^3 + (3h - 9)X^2 + (3h^2 - 18h + c)X + (h^3 - 9h^2 + ch - d - 5)$
$Y = X^3$ સાથે સરખાવતા:
$1) 3h - 9 = 0 \Rightarrow h = 3$
$2) 3h^2 - 18h + c = 0 \Rightarrow c = 27$
$3) h^3 - 9h^2 + ch - d - 5 = 0 \Rightarrow d = 22$
તેથી,$\left(d - \frac{c}{h}\right) = 22 - \frac{27}{3} = 13$.

(A) રેખા $L$ બિંદુ $(-2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x = -2$ (શિરોલંબ રેખા) છે.
રેખા $x = -2$ અને રેખા $ax - 2y + 3 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
રેખા $ax - 2y + 3 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{a}{2}$ છે.
શિરોલંબ રેખા અને $m_1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $|\tan(90^{\circ} - \theta)| = |\frac{1}{m_1}|$ થાય.
ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$|\frac{1}{a/2}| = \tan(45^{\circ}) = 1$.
તેથી,$\frac{2}{a} = 1$,જે આપણને $a = 2$ આપે છે.
હવે,$a = 2$ ને સમીકરણ $x + ay - 4 = 0$ માં મૂકતા $x + 2y - 4 = 0$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ થાય.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,ખૂણો બીજા ચરણમાં છે,તેથી $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(A) રેખા $L$ નો ઢાળ $-\cot \alpha$ છે.
રેખા $x + y + 1 = 0$ નો ઢાળ $-1$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$(-\cot \alpha)(-1) = -1$ $\Rightarrow \cot \alpha = -1$ $\Rightarrow \tan \alpha = -1$.
$\alpha$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી,$\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ થી $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ નું લંબ અંતર:
$\left| \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha - p \right| = 5$.
$\alpha = \frac{7\pi}{4}$ મૂકતા:
$\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\left| \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) - p \right| = 5$.
$|1 - 1 - p| = 5 \Rightarrow |-p| = 5$.
$p$ ધન હોવાથી,$p = 5$.

(B) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 7x+y-24=0$ અને $L_2: x+7y-24=0$ છે. ઢાળ $m_1 = -7$ અને $m_2 = -\frac{1}{7}$ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની સમાન બાજુઓ હોવાથી,ત્રીજી બાજુ $L_1$ અને $L_2$ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે ત્રીજી બાજુનો ઢાળ $m$ છે. તો $\left| \frac{m - (-7)}{1 + m(-7)} \right| = \left| \frac{m - (-1/7)}{1 + m(-1/7)} \right|$.
$\left| \frac{m+7}{1-7m} \right| = \left| \frac{7m+1}{7-m} \right|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{m+7}{1-7m} = \frac{7m+1}{7-m} \Rightarrow 48m^2 = -48$ (વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
કિસ્સો $2$: $\frac{m+7}{1-7m} = -\frac{7m+1}{7-m}$ $\Rightarrow 50m^2 = 50$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
$m = -1$ માટે,$(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x+y=0$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(-3, 5)$ છે. બિંદુ $P(x, y)$ રેખાખંડ $AB$ નું $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $x = \frac{4(-3) - 3(1)}{4 - 3} = -15$ અને $y = \frac{4(5) - 3(2)}{4 - 3} = 14$.
બિંદુ $(-15, 14)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{-2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 14 = \frac{-2}{3}(x + 15)$.
$3y - 42 = -2x - 30$.
$2x + 3y - 12 = 0$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $3m$ છે.
રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $(y - mx)(y - 3mx) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 - 4mxy + 3m^2x^2 = 0$ અથવા $3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ મળે છે.
મૂળ સમીકરણ $2x^2 + hxy + 6y^2 = 0$ ને $6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{3}x^2 + \frac{h}{6}xy + y^2 = 0$ મળે છે.
$3m^2x^2 - 4mxy + y^2 = 0$ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$3m^2 = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow m^2 = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{3}$.
વળી,$-4m = \frac{h}{6} \Rightarrow h = -24m$.
$m = \pm \frac{1}{3}$ ની કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = -24(\pm \frac{1}{3}) = \mp 8$.
આમ,$h = \pm 8$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y f(x+y) + \cos(mxy) = 1 + y f(x)$.
પદોને ગોઠવતા: $y(f(x+y) - f(x)) = 1 - \cos(mxy)$.
$m=2$ લેતા,સમીકરણ: $y(f(x+y) - f(x)) = 1 - \cos(2xy)$.
બંને બાજુ $y^2$ વડે ભાગતા $(y \neq 0)$: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{1 - \cos(2xy)}{y^2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos(2\theta) = 2 \sin^2(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \frac{2 \sin^2(xy)}{y^2}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{f(x+y) - f(x)}{y} = 2 \left( \frac{\sin(xy)}{y} \right)^2$.
$f'(x)$ શોધવા માટે,$y \rightarrow 0$ લક્ષ લેતા:
$f'(x) = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(x+y) - f(x)}{y} = \lim_{y \rightarrow 0} 2 \left( \frac{\sin(xy)}{y} \right)^2$.
$x^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $f'(x) = 2x^2 \lim_{y \rightarrow 0} \left( \frac{\sin(xy)}{xy} \right)^2$.
કારણ કે $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી: $f'(x) = 2x^2(1)^2 = 2x^2$.

(A) આપેલ છે કે $y = 44 x^{45} + 45 x^{-44}$.
પ્રથમ વિકલન: $y^{\prime} = 44 \times 45 x^{44} + 45 \times (-44) x^{-45} = 1980(x^{44} - x^{-45})$.
દ્વિતીય વિકલન: $y^{\prime \prime} = 1980(44 x^{43} - (-45) x^{-46}) = 1980(44 x^{43} + 45 x^{-46})$.
પદમાંથી $x^{-2}$ સામાન્ય લેતા: $y^{\prime \prime} = 1980 \times x^{-2} (44 x^{45} + 45 x^{-44})$.
કારણ કે $y = 44 x^{45} + 45 x^{-44}$,તેથી $y$ ની કિંમત મૂકતા: $y^{\prime \prime} = \frac{1980 y}{x^2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 - 3xy + 4y^2 + 2x - 3y + 4 = 0$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(3xy) + \frac{d}{dx}(4y^2) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(3y) + \frac{d}{dx}(4) = 0$.
$4x - 3(y + x \frac{dy}{dx}) + 8y \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$4x - 3y - 3x \frac{dy}{dx} + 8y \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
હવે,બિંદુ $(3, 2)$ મૂકતા જ્યાં $x = 3$ અને $y = 2$:
$4(3) - 3(2) - 3(3) \frac{dy}{dx} + 8(2) \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$12 - 6 - 9 \frac{dy}{dx} + 16 \frac{dy}{dx} + 2 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$8 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$.
$4 \frac{dy}{dx} = -8$.
$\frac{dy}{dx} = -2$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y(\cos x)^{\sin x} = (\sin x)^{\sin x}$
બંને બાજુ $(\cos x)^{\sin x}$ વડે ભાગતા: $y = \frac{(\sin x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x}} = (\tan x)^{\sin x}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln y = \sin x \cdot \ln(\tan x)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$
બીજા પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = y [\cos x \cdot \ln(\tan x) + \sec x]$
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$\tan x = 1$,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sec x = \sqrt{2}$,અને $y = (1)^{1/\sqrt{2}} = 1$
આ કિંમતો મૂકતા: $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = 1 \cdot [\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \ln(1) + \sqrt{2}] = 1 \cdot [0 + \sqrt{2}] = \sqrt{2}$

(D) આપેલ છે કે $x = \frac{9t^2}{1+t^4}$ અને $y = \frac{16t^2}{1-t^4}$.
પ્રથમ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{(1-t^4)(32t) - (16t^2)(-4t^3)}{(1-t^4)^2} = \frac{32t - 32t^5 + 64t^5}{(1-t^4)^2} = \frac{32t(1+t^4)}{(1-t^4)^2}$.
ત્યારબાદ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{(1+t^4)(18t) - (9t^2)(4t^3)}{(1+t^4)^2} = \frac{18t + 18t^5 - 36t^5}{(1+t^4)^2} = \frac{18t(1-t^4)}{(1+t^4)^2}$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ શોધતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{32t(1+t^4)}{(1-t^4)^2} \times \frac{(1+t^4)^2}{18t(1-t^4)} = \frac{32(1+t^4)^3}{18(1-t^4)^3} = \frac{16}{9}\left(\frac{1+t^4}{1-t^4}\right)^3$.

(B) આપેલ છે કે $x = \cos 2t + \log(\tan t)$ અને $y = 2t + \cot 2t$.
પ્રથમ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2t + \cot 2t) = 2 - 2\operatorname{cosec}^2 2t = -2(\operatorname{cosec}^2 2t - 1) = -2\cot^2 2t$.
ત્યારબાદ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos 2t + \log(\tan t)) = -2\sin 2t + \frac{1}{\tan t} \cdot \sec^2 t = -2\sin 2t + \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t} = -2\sin 2t + \frac{1}{\sin t \cos t}$.
કારણ કે $\sin 2t = 2\sin t \cos t$,તેથી $\frac{1}{\sin t \cos t} = \frac{2}{\sin 2t} = 2\operatorname{cosec} 2t$.
તેથી,$\frac{dx}{dt} = -2\sin 2t + 2\operatorname{cosec} 2t = 2(\operatorname{cosec} 2t - \sin 2t) = 2\left(\frac{1 - \sin^2 2t}{\sin 2t}\right) = 2\frac{\cos^2 2t}{\sin 2t} = 2\cot 2t \cos 2t$.
અંતે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-2\cot^2 2t}{2\cot 2t \cos 2t} = -\frac{\cot 2t}{\cos 2t} = -\frac{\cos 2t}{\sin 2t} \cdot \frac{1}{\cos 2t} = -\frac{1}{\sin 2t} = -\operatorname{cosec} 2t$.

(C) આપેલ છે $y=\log \left[\tan \sqrt{\frac{2^x-1}{2^x+1}}\right]$.
ધારો કે $v = \frac{2^x-1}{2^x+1}$. $x=1$ માટે,$v = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dv}{dx} = \frac{(2^x+1)(2^x \log 2) - (2^x-1)(2^x \log 2)}{(2^x+1)^2} = \frac{2^x \log 2 (2^x+1-2^x+1)}{(2^x+1)^2} = \frac{2 \cdot 2^x \log 2}{(2^x+1)^2} = \frac{2^{x+1} \log 2}{(2^x+1)^2}$.
$x=1$ માટે,$\left(\frac{dv}{dx}\right)_{x=1} = \frac{2^2 \log 2}{(2+1)^2} = \frac{4 \log 2}{9}$.
હવે,$y = \log(\tan \sqrt{v})$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \sqrt{v}} \cdot \sec^2 \sqrt{v} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
$\frac{1}{\tan \sqrt{v}} \cdot \sec^2 \sqrt{v} = \frac{\cos \sqrt{v}}{\sin \sqrt{v}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \sqrt{v}} = \frac{1}{\sin \sqrt{v} \cos \sqrt{v}} = \frac{2}{\sin(2\sqrt{v})}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin(2\sqrt{v})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sin(2\sqrt{v}) \cdot \sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
$x=1$ માટે,$v = \frac{1}{3}$,તેથી $\sqrt{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \frac{1}{\sin(2/\sqrt{3}) \cdot (1/\sqrt{3})} \cdot \frac{4 \log 2}{9} = \frac{\sqrt{3} \cdot 4 \log 2}{9 \sin(2/\sqrt{3})} = \frac{4 \sqrt{3} \log 2}{9 \sin(2/\sqrt{3})}$.

(A) આપેલ છે કે $\log y = y^{\log x}$.
બંને બાજુ $\log$ લેતા:
$\log(\log y) = \log(y^{\log x}) = \log x \cdot \log y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{\log y} \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) \cdot \log y + \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log y)$.
$\frac{1}{y \log y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\log y}{x} + \frac{\log x}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y \log y} - \frac{\log x}{y} \right) = \frac{\log y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - \log x \log y}{y \log y} \right) = \frac{\log y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log y}{x} \cdot \frac{y \log y}{1 - \log x \log y}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(\log y)^2}{x(1 - \log x \log y)}$.

(A) આપેલ છે $y=\log \left(x-\sqrt{x^2-1}\right)$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$e^y = x-\sqrt{x^2-1}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^y y^{\prime} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}} = -\frac{(x-\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}} = -\frac{e^y}{\sqrt{x^2-1}}$.
તેથી,$y^{\prime} = -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} = -(x^2-1)^{-1/2}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = -(-\frac{1}{2})(x^2-1)^{-3/2} \cdot 2x = \frac{x}{(x^2-1)^{3/2}}$.
હવે,$(x^2-1)y^{\prime \prime} + x y^{\prime}$ પદમાં કિંમત મૂકતા:
$(x^2-1) \left( \frac{x}{(x^2-1)^{3/2}} \right) + x \left( -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \right) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} - \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y=\sqrt{\sin (\log (2 x))+\sqrt{\sin (\log (2 x))+\ldots \infty}}$ છે.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $y=\sqrt{\sin (\log (2 x))+y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$y^2 = \sin (\log (2 x)) + y$,એટલે કે $y^2 - y = \sin (\log (2 x))$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(y^2 - y) = \frac{d}{dx}(\sin (\log (2 x)))$.
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \cos (\log (2 x)) \cdot \frac{d}{dx}(\log (2 x))$.
$\frac{d}{dx}(\log (2 x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$.
તેથી,$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{\cos (\log (2 x))}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos (\log (2 x))}{x(2y - 1)}$.

(A) ધારો કે $u = (\sin x)^x$ અને $v = x^{\sin x}$.
$u$ માટે બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log u = x \log (\sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \log (\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log (\sin x) + x \cot x$.
$\frac{du}{dx} = (\sin x)^x [\log (\sin x) + x \cot x] = (\sin x)^{x-1} [\sin x \log (\sin x) + x \cos x]$.
$v$ માટે બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log v = \sin x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x \cos x \log x + \sin x}{x}$.
$\frac{dv}{dx} = x^{\sin x} \cdot \frac{x \cos x \log x + \sin x}{x} = x^{\sin x-1} [\sin x + x \cos x \log x]$.
તેથી,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{(\sin x)^{x-1} [\sin x \log (\sin x) + x \cos x]}{x^{\sin x-1} [\sin x + x \cos x \log x]}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \frac{\tan x \cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$.
વિકલન માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [(\tan x) \cdot (\cos^{-1} x) \cdot (1-x^2)^{-1/2}]$.
ધારો કે $u = \tan x$,$v = \cos^{-1} x$,અને $w = (1-x^2)^{-1/2}$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = u'vw + uv'w + uvw'$.
$u' = \sec^2 x$,$v' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,$w' = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2}(-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$.
$x = 0$ આગળ:
$u = \tan(0) = 0$,$u' = \sec^2(0) = 1$.
$v = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,$v' = -\frac{1}{\sqrt{1-0}} = -1$.
$w = (1-0)^{-1/2} = 1$,$w' = \frac{0}{(1-0)^{3/2}} = 0$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = (1)(\frac{\pi}{2})(1) + (0)(-1)(1) + (0)(\frac{\pi}{2})(0) = \frac{\pi}{2} + 0 + 0 = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $y=\cos ^{-1}\left(\frac{6 x-2 x^2-4}{2 x^2-6 x+5}\right)$.
ધારો કે $v = \frac{6 x-2 x^2-4}{2 x^2-6 x+5}$.
અહીં $v = \frac{-(2x^2-6x+5)+1}{2x^2-6x+5} = -1 + \frac{1}{2x^2-6x+5}$ થાય.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1-v^2}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
ભાગાકારના નિયમ (quotient rule) દ્વારા $\frac{dv}{dx}$ શોધતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(6-4x)(2x^2-6x+5) - (6x-2x^2-4)(4x-6)}{(2x^2-6x+5)^2} = \frac{-2(2x-3)}{(2x^2-6x+5)^2}$.
હવે,$1-v^2 = 1 - \left(\frac{6x-2x^2-4}{2x^2-6x+5}\right)^2 = \frac{(2x-3)^2}{(2x^2-6x+5)^2}$.
તેથી,$\sqrt{1-v^2} = \frac{|2x-3|}{2x^2-6x+5}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\frac{|2x-3|}{2x^2-6x+5}} \cdot \frac{-2(2x-3)}{(2x^2-6x+5)^2} = \frac{2(2x-3)}{|2x-3|(2x^2-6x+5)}$.
જો $2x-3 > 0$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2x^2-6x+5}$ મળે.

(D) આપેલ છે $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\sin ^3(2 x)-3 x^2 \sin (2 x)}{3 x \sin ^2(2 x)-x^3}\right]$.
અંશ અને છેદને $x^3$ વડે ભાગતા:
$y=\tan ^{-1}\left[\frac{(\frac{\sin 2x}{x})^3 - 3(\frac{\sin 2x}{x})}{3(\frac{\sin 2x}{x})^2 - 1}\right]$.
ધારો કે $\frac{\sin 2x}{x} = \tan \theta$. તેથી $y = \tan^{-1} \left[ \frac{\tan^3 \theta - 3 \tan \theta}{3 \tan^2 \theta - 1} \right]$.
નિત્યસમ $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{\tan^3 \theta - 3 \tan \theta}{3 \tan^2 \theta - 1} = -\tan 3\theta$.
તેથી,$y = \tan^{-1}(-\tan 3\theta) = -3\theta = -3 \tan^{-1}(\frac{\sin 2x}{x})$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -3 \cdot \frac{1}{1 + (\frac{\sin 2x}{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{\sin 2x}{x})$.
$\frac{d}{dx}(\frac{\sin 2x}{x}) = \frac{x(2 \cos 2x) - \sin 2x}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = -3 \cdot \frac{x^2}{x^2 + \sin^2 2x} \cdot \frac{2x \cos 2x - \sin 2x}{x^2} = \frac{3 \sin 2x - 6x \cos 2x}{x^2 + \sin^2 2x}$.

(B) આપેલ છે કે $y = a \cos 3x + b e^{-x}$.
પ્રથમ વિકલન: $y' = -3a \sin 3x - b e^{-x}$.
દ્વિતીય વિકલન: $y'' = -9a \cos 3x + b e^{-x}$.
હવે,$y''(3 \sin 3x - \cos 3x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$y''(3 \sin 3x - \cos 3x) = (-9a \cos 3x + b e^{-x})(3 \sin 3x - \cos 3x)$
$= -27a \cos 3x \sin 3x + 9a \cos^2 3x + 3b e^{-x} \sin 3x - b e^{-x} \cos 3x$.
આ પદને $10y' \cos 3x + 3y(\sin 3x + 3 \cos 3x)$ ના સ્વરૂપમાં લાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$= 10(-3a \sin 3x - b e^{-x}) \cos 3x + 3a \cos 3x(\cos 3x + 3 \sin 3x) + 3b e^{-x}(\sin 3x + 3 \cos 3x)$
$= 10y' \cos 3x + 3(a \cos 3x + b e^{-x})(\sin 3x + 3 \cos 3x)$
$= 10y' \cos 3x + 3y(\sin 3x + 3 \cos 3x)$.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 6x^2+10x-9$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \int (6x^2+10x-9) dx = 2x^3+5x^2-9x+C$.
આપેલ છે કે $f(2)=0$,તેથી આપણે સમીકરણમાં $x=2$ મૂકીએ:
$f(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 - 9(2) + C = 0$
$16 + 20 - 18 + C = 0$
$18 + C = 0 \Rightarrow C = -18$.
આમ,વિધેય $f(x) = 2x^3+5x^2-9x-18$ છે.
હવે,આપણે $f(-2)$ શોધીએ:
$f(-2) = 2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 9(-2) - 18$
$f(-2) = 2(-8) + 5(4) + 18 - 18$
$f(-2) = -16 + 20 + 0 = 4$.

(B) આપેલ વક્ર $y=x^3-2x^2+3x-4$ અને રેખા $y=-2$ છે.
છેદબિંદુ $P(h, k)$ આગળ,$x^3-2x^2+3x-4 = -2$.
$\Rightarrow x^3-2x^2+3x-2 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,$x=1$ માટે,$1-2+3-2 = 0$. તેથી,બિંદુ $P$ એ $(1, -2)$ છે.
હવે,$P(1, -2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-4x+3$.
$x=1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2-4(1)+3 = 3-4+3 = 2$.
$(1, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-2) = 2(x - 1)$ છે.
$\Rightarrow y+2 = 2x-2
\Rightarrow y = 2x-4$.
આ સ્પર્શક $X$-અક્ષને જ્યાં $y=0$ હોય ત્યાં મળે છે:
$0 = 2x_1 - 4
\Rightarrow 2x_1 = 4
\Rightarrow x_1 = 2$.

(D) આપેલ વક્ર $y^3=4 x^5$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$3 y^2 \frac{d y}{d x} = 20 x^4$ મળે.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^4}{3 y^2}$.
બિંદુ $(4, 16)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{20(4)^4}{3(16)^2} = \frac{20 \times 256}{3 \times 256} = \frac{20}{3}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{3}{20}$ થાય.
બિંદુ $(4, 16)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 16 = -\frac{3}{20}(x - 4)$ છે.
$20$ વડે ગુણતા,$20y - 320 = -3x + 12$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$3x + 20y = 332$ મળે છે.

(C) ધારો કે $m_1$ એ બિંદુ $P$ પર વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ છે. આપેલ છે કે $m_1 = \frac{dy}{dx} = Q(x)$.
ધારો કે $m_2$ એ બિંદુ $P$ પર વક્ર $x=g(y)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ છે. આપેલ છે કે $\frac{dx}{dy} = -Q(x)$,આપણે જાણીએ છીએ કે $m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{-Q(x)}$.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = Q(x) \times \left(-\frac{1}{Q(x)}\right) = -1$,છેદબિંદુ પર સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ છે.
તેથી,એક વક્ર પર $P$ આગળ દોરેલો સ્પર્શક બીજા વક્ર માટે $P$ આગળ અભિલંબ છે.

(B) આપેલ વક્ર: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3y^2 \frac{dy}{dx} - 3y - 3x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 3x) = 3y \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
સમક્ષિતિજ સ્પર્શક માટે,$\frac{dy}{dx} = 0 \implies y = 0$.
$y = 0$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $0^3 - 3x(0) + 2 = 0 \implies 2 = 0$,જે અશક્ય છે. તેથી,$n(A) = 0$.
શિરોલંબ સ્પર્શક માટે,$\frac{dy}{dx} = \infty \implies y^2 - x = 0 \implies x = y^2$.
$x = y^2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0 \implies y^3 - 3y^3 + 2 = 0 \implies -2y^3 = -2 \implies y^3 = 1 \implies y = 1$.
જો $y = 1$ હોય,તો $x = 1^2 = 1$. બિંદુ $(1, 1)$ મળે છે. તેથી,$n(B) = 1$.
આમ,$n(A) + n(B) = 0 + 1 = 1$.

(D) ધારો કે $f(x) = y = x^4+5x^3+9x^2+6x+2$.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $m(x) = \frac{dy}{dx} = 4x^3+15x^2+18x+6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m(x)$ વધતો હોય તે માટે,તેનું વિકલન શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટું હોવું જોઈએ,એટલે કે $\frac{dm}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
દ્વિતીય વિકલન ગણતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2+30x+18$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $12x^2+30x+18 = 6(2x^2+5x+3) = 6(2x+3)(x+1)$.
આપણે $6(2x+3)(x+1) \ge 0$ ની જરૂર છે.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -\frac{3}{2}$ અને $x = -1$ છે.
અંતરાલો તપાસતા:
$1$) $x \in (-\infty, -\frac{3}{2}]$ માટે,$\frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
$2$) $x \in [-\frac{3}{2}, -1]$ માટે,$\frac{d^2y}{dx^2} \le 0$.
$3$) $x \in [-1, \infty)$ માટે,$\frac{d^2y}{dx^2} \ge 0$.
આમ,ઢાળ $(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [-1, \infty)$ અંતરાલમાં વધે છે,જેને $R - (-\frac{3}{2}, -1)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = 2x^3 - 8x^2 + 10x - 4$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 16x + 10$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies 6x^2 - 16x + 10 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $3x^2 - 8x + 5 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3x^2 - 3x - 5x + 5 = 0 \implies 3x(x - 1) - 5(x - 1) = 0$.
$(3x - 5)(x - 1) = 0$.
આથી $x = 1$ અથવા $x = \frac{5}{3}$ મળે.
બિંદુ $(a, b)$ માટે $a \in (1, 2)$ હોવાથી,આપણે $x = 1$ ને અવગણીએ છીએ અને $a = \frac{5}{3}$ સ્વીકારીએ છીએ.

(B) આપેલ વક્ર $x = 2(\cos 2t + t \sin 2t)$ અને $y = 4(\sin 2t - t \cos 2t)$ છે.
પ્રથમ,વિકલિતો $\frac{dx}{dt}$ અને $\frac{dy}{dt}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = 2(-2 \sin 2t + \sin 2t + 2t \cos 2t) = 2(2t \cos 2t - \sin 2t)$.
$\frac{dy}{dt} = 4(2 \cos 2t - \cos 2t + 2t \sin 2t) = 4(\cos 2t + 2t \sin 2t)$.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\frac{dx}{dt} = 2(2(\frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = 2(0 - 1) = -2$.
$\frac{dy}{dt} = 4(\cos \frac{\pi}{2} + 2(\frac{\pi}{4}) \sin \frac{\pi}{2}) = 4(0 + \frac{\pi}{2}) = 2\pi$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\pi}{-2} = -\pi$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\pi}$ થાય.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$y = 4(\sin \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{2}) = 4(1 - 0) = 4$.
અભિલંબની લંબાઈ $|y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = |4| \sqrt{1 + (-\pi)^2} = 4 \sqrt{1 + \pi^2}$ થાય.

(C) અંતર $S$ એ વિધેય $S(t) = t^3 - t^2 - t + 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનો વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં અંતરના ફેરફારનો દર છે,જે $v = \frac{dS}{dt}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 - t + 3) = 3t^2 - 2t - 1$.
જ્યારે કણનો વેગ $v = 0$ થાય ત્યારે તે સ્થિર થાય છે.
$v = 0$ લેતા,આપણને $3t^2 - 2t - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3t^2 - 3t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t(t - 1) + 1(t - 1) = 0 \Rightarrow (3t + 1)(t - 1) = 0$.
સમય $t$ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $t = 1$ સેકન્ડ લઈએ છીએ.
હવે,$t = 1$ ને અંતરના સમીકરણ $S(t)$ માં મૂકતા:
$S(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 3 = 1 - 1 - 1 + 3 = 2$ મીટર.
આમ,જ્યારે કણ સ્થિર થાય ત્યારે તેણે કાપેલું અંતર $2$ મીટર છે.

(A) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 7 \text{ cm}$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ભૂલ $dA = 0.08 \text{ cm}^2$ છે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$ મળે.
તેથી,$dA = 8 \pi r \cdot dr$.
કિંમતો મૂકતા,$0.08 = 8 \pi (7) \cdot dr$.
$dr = \frac{0.08}{56 \pi} = \frac{0.01}{7 \pi} \text{ cm}$.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે.
ઘનફળમાં આશરે ભૂલ $dV = \frac{dV}{dr} \cdot dr$ છે.
$dV = (4 \pi r^2) \cdot \left( \frac{0.01}{7 \pi} \right)$.
$r = 7$ મૂકતા,$dV = 4 \pi (7^2) \cdot \frac{0.01}{7 \pi} = 4 \times 7 \times 0.01 = 0.28 \text{ cm}^3$.

(D) ધારો કે $R = 3$ એ ગોલકની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $h$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે અને $r$ એ શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે $x$ એ ગોલકના કેન્દ્રથી શંકુના પાયા સુધીનું અંતર છે. તેથી $h = R + x = 3 + x$.
ગોલકની ત્રિજ્યા,શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા અને અંતર $x$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$r^2 + x^2 = R^2 = 3^2 = 9$,તેથી $r^2 = 9 - x^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (9 - x^2)(3 + x)$ છે.
$V = \frac{\pi}{3} (27 + 9x - 3x^2 - x^3)$.
$V$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (9 - 6x - 3x^2) = 0$ મેળવીએ છીએ.
$x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 1) = 0$.
$x$ એ અંતર હોવાથી,$x = 1$ (કારણ કે $x \neq -3$).
$x = 1$ માટે,$r^2 = 9 - 1^2 = 8$,તેથી $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
ઊંચાઈ $h = 3 + 1 = 4$.
અર્ધ-શીર્ષકોણ $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

(C) ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર શંકુમાં પાણીની સપાટીની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
શિરોલંબ ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી અર્ધ-શિરોલંબ ખૂણો $30^{\circ}$ થશે.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$\frac{r}{h} = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $h = \sqrt{3}r$.
શંકુમાં પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = \sqrt{3}r$ મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{3} \pi r^2 (\sqrt{3}r) = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi r^3$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = \sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi r^2}$.
કારણ કે $h = \sqrt{3}r$,જ્યારે $h = 3 \text{ m}$ હોય,ત્યારે $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ m}$ થાય.
$\frac{dr}{dt}$ ના સૂત્રમાં $r = \sqrt{3}$ મૂકતા,આપણને $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3 \pi (3)} = \frac{1}{9 \pi} \text{ m/min}$ મળે છે.

(B) વક્રો $y^2 = x$ અને $x^2 + y^2 = 2$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમનું છેદબિંદુ શોધીએ.
$y^2 = x$ ને $x^2 + y^2 = 2$ માં મૂકતા,આપણને $x^2 + x - 2 = 0$ મળે છે.
$(x + 2)(x - 1) = 0$,જે $x = 1$ આપે છે (કારણ કે $y^2 = x$ માટે $x = -2$ શક્ય નથી).
$x = 1$ માટે,$y^2 = 1$,તેથી $y = 1$ (પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ ધ્યાનમાં લેતા).
હવે,$(1, 1)$ બિંદુએ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધવા માટે વક્રોનું વિકલન કરીએ:
$y^2 = x$ માટે,$2y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$. $(1, 1)$ બિંદુએ,$m_1 = \frac{1}{2}$.
$x^2 + y^2 = 2$ માટે,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. $(1, 1)$ બિંદુએ,$m_2 = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{1 + (\frac{1}{2})(-1)} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 3$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^{1/3}$. આપણે $f(730)$ ની આશરે કિંમત શોધવી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $729 = 9^3$,તેથી $x = 729$ અને $\Delta x = 1$ લો.
વિકલિતના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$.
$x = 729$ માટે,$f(729) = (729)^{1/3} = 9$.
$f'(729) = \frac{1}{3(729)^{2/3}} = \frac{1}{3(9^2)} = \frac{1}{3 \times 81} = \frac{1}{243}$.
તેથી,$f(730) \approx 9 + \frac{1}{243} \times 1$.
$f(730) \approx 9 + 0.004115... \approx 9.0041$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^3 y^4 = 2^7$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$3x^2 y^4 \frac{dx}{dt} + 4x^3 y^3 \frac{dy}{dt} = 0$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{dx}{dt} = -8 \text{ units/sec}$ (કારણ કે તે ઘટી રહ્યો છે).
બિંદુ $(2, 2)$ પર,$x = 2, y = 2$ અને $\frac{dx}{dt} = -8$ મૂકતા:
$3(2)^2 (2)^4 (-8) + 4(2)^3 (2)^3 \frac{dy}{dt} = 0$.
$3(4)(16)(-8) + 4(8)(8) \frac{dy}{dt} = 0$.
$-1536 + 256 \frac{dy}{dt} = 0$.
$256 \frac{dy}{dt} = 1536$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{1536}{256} = 6$.
અહીં $\frac{dy}{dt} > 0$ હોવાથી,$y$-યામ $6 \text{ units per second}$ ના દરે વધે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sec x$. તેથી $f^{\prime}(x) = \sec x \tan x$.
અહીં $a = 60^{\circ}$ અને $h = -1^{\circ} = -0.0174$ રેડિયન લો.
$a = 60^{\circ}$ માટે,$f(a) = \sec 60^{\circ} = 2$.
વળી,$f^{\prime}(a) = \sec 60^{\circ} \tan 60^{\circ} = 2 \times \sqrt{3} = 2 \times 1.732 = 3.464$.
રેખીય અંદાજ સૂત્ર $f(a+h) \approx f(a) + h \cdot f^{\prime}(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(59^{\circ}) \approx f(60^{\circ}) + (-0.0174) \times f^{\prime}(60^{\circ})$.
$f(59^{\circ}) \approx 2 + (-0.0174) \times (3.464)$.
$f(59^{\circ}) \approx 2 - 0.0602736$.
$f(59^{\circ}) \approx 1.9397264$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $1.9397$ મળે છે.

(C) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
બંને બાજુ $A$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2a \delta a = 2bc \sin A \delta A$.
તેથી,$\delta a = \frac{bc \sin A \delta A}{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ છે,તેથી $bc \sin A = 2\Delta$.
સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2R \sin A$.
આ કિંમતો $\delta a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\delta a = \frac{2\Delta \delta A}{2R \sin A} = \frac{\Delta \delta A}{R \sin A}$.
ટકાવારી ભૂલ $\frac{\delta a}{a} \times 100 = \frac{\Delta \delta A}{R \sin A \cdot 2R \sin A} \times 100 = \frac{\Delta \delta A}{2R^2 \sin^2 A} \times 100$ થાય.

(C) નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ (પાણીનું સ્તર) છે.
આપેલ છે કે $r = 3.5 \ ft = \frac{7}{2} \ ft$ અને ઘનફળમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 1 \ ft^3/min$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \pi \times (\frac{7}{2})^2 \times \frac{dh}{dt}$.
$1 = \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times \frac{dh}{dt}$.
$1 = \frac{11 \times 7}{2} \times \frac{dh}{dt} = \frac{77}{2} \times \frac{dh}{dt}$.
તેથી,$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{77} \ ft/min$.

(A) આપેલ છે કે $y = f(x) = 2x^2 - 3x + 4$,$x = 5$,અને $\delta x = 0.02$.
પ્રથમ,વાસ્તવિક ભૂલ $\delta y = f(x + \delta x) - f(x)$ ની ગણતરી કરો:
$\delta y = f(5.02) - f(5) = [2(5.02)^2 - 3(5.02) + 4] - [2(5)^2 - 3(5) + 4]$
$= [2(25.2004) - 15.06 + 4] - [50 - 15 + 4]$
$= [50.4008 - 15.06 + 4] - 39 = 39.3408 - 39 = 0.3408$.
ત્યારબાદ,વિકલન $dy = f'(x) \cdot dx$ ની ગણતરી કરો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 3x + 4) = 4x - 3$.
$x = 5$ આગળ,$f'(5) = 4(5) - 3 = 17$.
$dy = 17 \times 0.02 = 0.34$.
અંતે,તફાવત $\delta y - dy = 0.3408 - 0.34 = 0.0008$ થાય.

(A) વિધેય $f(x) = \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$ નો પ્રદેશ $\frac{1+x}{1-x} > 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x \in (-1, 1)$.
પ્રથમ,આપણે $f(x)$ માટેના પદને સરળ બનાવીએ:
$f(x) = \log(1+x) - \log(1-x) - 2x - \frac{x^3}{1-x^2}$.
હવે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} - 2 - \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{1-x^2} \right)$.
$f'(x) = \frac{(1-x) + (1+x)}{1-x^2} - 2 - \frac{3x^2(1-x^2) - x^3(-2x)}{(1-x^2)^2}$.
$f'(x) = \frac{2}{1-x^2} - 2 - \frac{3x^2 - 3x^4 + 2x^4}{(1-x^2)^2}$.
$f'(x) = \frac{2(1-x^2) - 2(1-x^2)^2 - (3x^2 - x^4)}{(1-x^2)^2}$.
$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 - 2(1 - 2x^2 + x^4) - 3x^2 + x^4}{(1-x^2)^2}$.
$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 - 2 + 4x^2 - 2x^4 - 3x^2 + x^4}{(1-x^2)^2} = \frac{-x^4 - x^2}{(1-x^2)^2} = -\frac{x^2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$.
બધા $x \in (-1, 1) \setminus \{0\}$ માટે $x^2(x^2+1) > 0$ અને $(1-x^2)^2 > 0$ હોવાથી,બધા $x \in (-1, 1)$ માટે $f'(x) < 0$ થાય છે.
આમ,વિધેય સમગ્ર અંતરાલ $(-1, 1)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
અહીં,$a = -1$ અને $b = 1$,તેથી $\frac{a}{b} = \frac{-1}{1} = -1$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = kx^3 - 3x^2 - 12x + 8$ છે.
$f(x)$ તમામ $x \in R$ માટે ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોવાથી,$f'(x) < 0$ થવું જોઈએ.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 3kx^2 - 6x - 12$.
કોઈપણ દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ તમામ $x$ માટે ઋણ હોય તે માટે $a < 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 3k$,$b = -6$,અને $c = -12$.
શરત $1$: $3k < 0 \Rightarrow k < 0$.
શરત $2$: $D = b^2 - 4ac < 0$.
$(-6)^2 - 4(3k)(-12) < 0$.
$36 + 144k < 0$.
$144k < -36$.
$k < -\frac{36}{144} \Rightarrow k < -\frac{1}{4}$.
આમ,$k < -\frac{1}{4}$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = (2x-1)(3x+2)(4x-3)$.
પ્રથમ,રોલના પ્રમેયની શરતો તપાસો:
$f(\frac{1}{2}) = (2(\frac{1}{2})-1)(...) = 0 \times (...) = 0$.
$f(\frac{3}{4}) = (...)(4(\frac{3}{4})-3) = (...)(3-3) = 0$.
$f(\frac{1}{2}) = f(\frac{3}{4}) = 0$ હોવાથી અને $f(x)$ બહુપદી હોવાથી,તે સતત અને વિકલનીય છે.
$f(x)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = (6x^2 + x - 2)(4x-3) = 24x^3 - 14x^2 - 11x + 6$.
હવે,$f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 72x^2 - 28x - 11$.
$f'(c) = 0$ લેતા:
$72c^2 - 28c - 11 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$c = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 3168}}{144} = \frac{28 \pm \sqrt{3952}}{144} = \frac{7 \pm \sqrt{247}}{36}$.
અહીં $c \in [0.5, 0.75]$ હોવાથી,માત્ર $c = \frac{7+\sqrt{247}}{36}$ શક્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$.
$-5$ અને $4$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ હોવાથી,$f(-5) = 0$ અને $f(4) = 0$ થાય.
$f(-5) = (-5)^3 + a(-5)^2 + b(-5) + 40 = -125 + 25a - 5b + 40 = 25a - 5b - 85 = 0 \Rightarrow 5a - b = 17$ $(i)$.
$f(4) = (4)^3 + a(4)^2 + b(4) + 40 = 64 + 16a + 4b + 40 = 16a + 4b + 104 = 0 \Rightarrow 4a + b = -26$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$9a = -9 \Rightarrow a = -1$ મળે.
$(i)$ માં $a = -1$ મૂકતા,$5(-1) - b = 17 \Rightarrow -5 - b = 17 \Rightarrow b = -22$ મળે.
આમ,$f(x) = x^3 - x^2 - 22x + 40$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,એવો $c \in (-5, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
$f'(x) = 3x^2 - 2x - 22$.
$f'(c) = 0$ લેતા,$3c^2 - 2c - 22 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-22)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 264}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{268}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{67}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{67}}{3}$.
$c \in (-5, 4)$ હોવાથી,$\frac{1+\sqrt{67}}{3} \approx 3.06$ એ અંતરાલમાં છે.
તેથી,$c$ ની એક કિંમત $\frac{1+\sqrt{67}}{3}$ છે.

(D) અંતરાલ $[0, 1]$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ કરવા માટે,વિધેય $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ.
કારણ કે $f(x)$ એ $x \in (0, 1]$ માટે સતત છે,આપણે $x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} x^p \log x = 0$.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x^{-p}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-p x^{-p-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^p}{-p}$.
આ લક્ષ $0$ ત્યારે જ થાય જો $p > 0$ હોય.
વળી,રોલના પ્રમેય માટે,$f(0) = f(1)$ થવું જોઈએ.
$f(0) = 0$ અને $f(1) = 1^p \log 1 = 0$.
આમ,$f(0) = f(1) = 0$ એ $p > 0$ માટે સંતોષાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$p = 1$ એ એકમાત્ર કિંમત છે જે $p > 0$ ની શરતનું પાલન કરે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 4+3x-7x^2$.
વિકલન લેતા,$f'(x) = 3-14x$. $f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{3}{14} = \alpha$ મળે છે.
કારણ કે $f''(x) = -14 < 0$,$f(x)$ એ $x = \alpha = \frac{3}{14}$ પર મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
મહત્તમ કિંમત $M = f(\frac{3}{14}) = 4 + 3(\frac{3}{14}) - 7(\frac{3}{14})^2 = 4 + \frac{9}{14} - \frac{63}{196} = 4 + \frac{126-63}{196} = 4 + \frac{63}{196} = 4 + \frac{9}{28} = \frac{112+9}{28} = \frac{121}{28}$.
હવે,ધારો કે $g(x) = 5x^2-2x+1$.
વિકલન લેતા,$g'(x) = 10x-2$. $g'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{1}{5} = \beta$ મળે છે.
કારણ કે $g''(x) = 10 > 0$,$g(x)$ એ $x = \beta = \frac{1}{5}$ પર ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $m = g(\frac{1}{5}) = 5(\frac{1}{5})^2 - 2(\frac{1}{5}) + 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 1 = \frac{4}{5}$.
અંતે,$\frac{28(M-\alpha)}{5(m+\beta)} = \frac{28(\frac{121}{28} - \frac{3}{14})}{5(\frac{4}{5} + \frac{1}{5})} = \frac{28(\frac{121-6}{28})}{5(1)} = \frac{115}{5} = 23$.

(C) આપેલ છે કે $x+y=24$,તેથી $y=24-x$.
ધારો કે $P = x^3 y^5 = x^3(24-x)^5$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dP}{dx} = 3x^2(24-x)^5 + x^3 \cdot 5(24-x)^4(-1) = 0$.
$x^2(24-x)^4 [3(24-x) - 5x] = 0$.
$x^2(24-x)^4 [72 - 3x - 5x] = 0$.
$x^2(24-x)^4 (72 - 8x) = 0$.
$x$ અને $y$ ધન પૂર્ણાંકો હોવાથી,$x \neq 0$ અને $x \neq 24$.
તેથી,$72 - 8x = 0 \Rightarrow x = 9$.
પછી $y = 24 - 9 = 15$.
અંતે,$x^2 + y^2 = 9^2 + 15^2 = 81 + 225 = 306$.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
તેથી $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$,જે સૂચવે છે કે $(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1-2(y-1))(y+1+2(y-1)) \ge 0$.
$(-y+3)(3y-1) \ge 0$.
$(y-3)(3y-1) \le 0$.
આમ,$\frac{1}{3} \le y \le 3$.
મહત્તમ કિંમત $3$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ થાય છે.

(A) અંતરાલ $[-3,0]$ પર આપેલ વિધેય $f(x)=2x^3+9x^2+12x+1$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x)=6x^2+18x+12=6(x^2+3x+2)=6(x+1)(x+2)$.
$f'(x)=0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=-1$ અને $x=-2$ મળે છે.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતરાલ $[-3,0]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(-3)=2(-27)+9(9)+12(-3)+1 = -54+81-36+1 = -8$.
$f(-2)=2(-8)+9(4)+12(-2)+1 = -16+36-24+1 = -3$.
$f(-1)=2(-1)+9(1)+12(-1)+1 = -2+9-12+1 = -4$.
$f(0)=2(0)+9(0)+12(0)+1 = 1$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ $m = -8$ અને નિરપેક્ષ મહત્તમ $M = 1$ મળે છે.
તેથી,$m+M = -8+1 = -7$.

(B) ધારો કે $I = \int (1+x-x^{-1}) e^{x+x^{-1}} dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + \int x(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx$.
નોંધો કે $e^{x+x^{-1}}$ નું વિકલન $(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}}$ છે.
ખંડશઃ સંકલનના સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરીને,$u = x$ અને $dv = (1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx$ લો.
તેથી $du = dx$ અને $v = e^{x+x^{-1}}$ મળે.
આમ,$\int x(1-x^{-2}) e^{x+x^{-1}} dx = x e^{x+x^{-1}} - \int e^{x+x^{-1}} dx$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \int e^{x+x^{-1}} dx + x e^{x+x^{-1}} - \int e^{x+x^{-1}} dx + c = x e^{x+x^{-1}} + c$.
તેથી,$f(x) = x e^{x+x^{-1}}$.
હવે,$f(1) - f(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$f(1) = 1 \cdot e^{1+1} = e^2$.
$f(-1) = -1 \cdot e^{-1-1} = -e^{-2}$.
$f(1) - f(-1) = e^2 - (-e^{-2}) = e^2 + e^{-2}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{2 \cos 3 x-3 \sin 3 x}{\cos 3 x+2 \sin 3 x} d x$.
અંશને $A(\text{છેદ}) + B(\frac{d}{dx}(\text{છેદ}))$ તરીકે દર્શાવીએ.
ધારો કે $2 \cos 3 x-3 \sin 3 x = A(\cos 3 x+2 \sin 3 x) + B(-3 \sin 3 x + 6 \cos 3 x)$.
$\cos 3 x$ અને $\sin 3 x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$A + 6B = 2$ અને $2A - 3B = -3$.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $4A - 6B = -6$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $5A = -4 \Rightarrow A = -\frac{4}{5}$.
$A$ ની કિંમત $A + 6B = 2$ માં મૂકતા: $-\frac{4}{5} + 6B = 2 \Rightarrow 6B = \frac{14}{5} \Rightarrow B = \frac{7}{15}$.
આમ,$I = \int \left( A + B \frac{-3 \sin 3 x + 6 \cos 3 x}{\cos 3 x+2 \sin 3 x} \right) d x$.
$I = A \int 1 dx + B \int \frac{d(\cos 3 x+2 \sin 3 x)}{\cos 3 x+2 \sin 3 x}$.
$I = -\frac{4}{5} x + \frac{7}{15} \log |\cos 3 x+2 \sin 3 x| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{9 \cos^2 2x + 16 \sin^2 2x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 2x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 2x dx}{9 + 16 \tan^2 2x}$.
ધારો કે $u = \tan 2x$,તેથી $du = 2 \sec^2 2x dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2 2x dx = \frac{du}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{du/2}{9 + 16u^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{9 + 16u^2}$.
છેદમાંથી $16$ સામાન્ય કાઢતા:
$I = \frac{1}{2 \times 16} \int \frac{du}{\frac{9}{16} + u^2} = \frac{1}{32} \int \frac{du}{(\frac{3}{4})^2 + u^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{32} \times \frac{1}{3/4} \tan^{-1}(\frac{u}{3/4}) + C = \frac{1}{32} \times \frac{4}{3} \tan^{-1}(\frac{4u}{3}) + C$.
$I = \frac{1}{24} \tan^{-1}(\frac{4}{3} \tan 2x) + C$.

(B) ધારો કે $I = \int (\log x)^3 dx$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
તેથી,$I = \int t^3 e^t dt$.
ખંડશઃ સંકલનના સૂત્ર $\int e^t f(t) dt = e^t [f(t) - f'(t) + f''(t) - f'''(t) + \dots]$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = t^3$:
$f'(t) = 3t^2$,$f''(t) = 6t$,અને $f'''(t) = 6$.
તેથી,$I = e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા:
$I = x [(\log x)^3 - 3(\log x)^2 + 6 \log x - 6] + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{(\sin^4 x + 2 \cos^2 x - 1) \cos x}{(1 + \sin x)^6} dx$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $\sin^4 x + 2(1 - \sin^2 x) - 1 = \sin^4 x - 2 \sin^2 x + 1 = (1 - \sin^2 x)^2 = \cos^4 x$ થાય છે.
તેથી,$I = \int \frac{\cos^4 x \cdot \cos x}{(1 + \sin x)^6} dx = \int \frac{\cos^5 x}{(1 + \sin x)^6} dx$.
ધારો કે $u = 1 + \sin x$,તો $du = \cos x dx$.
આદેશ આપતા,$I = \int \frac{(1 - \sin x)^2}{(1 + \sin x)^4} \cos x dx = \int \frac{(1 - t)^2}{(1 + t)^4} dt$ જ્યાં $t = \sin x$.
$z = \frac{1 - t}{1 + t}$ લેતા,$dz = \frac{-2}{(1 + t)^2} dt$.
તેથી $I = \int z^2 (-\frac{1}{2} dz) = -\frac{z^3}{6} + C = -\frac{1}{6} \left( \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x} \right)^3 + C$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$I = -\frac{1}{6} \frac{(1 - \sin x)^3}{(1 + \sin x)^3} \cdot \frac{(1 + \sin x)^3}{(1 + \sin x)^3} = -\frac{1}{6} \frac{(1 - \sin^2 x)^3}{(1 + \sin x)^6} = -\frac{\cos^6 x}{6(1 + \sin x)^6} + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{4 \tan^4 x + 3 \tan^2 x - 1}{\tan^2 x + 4} dx$.
પ્રથમ,અંશના અવયવ પાડતા: $4 \tan^4 x + 3 \tan^2 x - 1 = (4 \tan^2 x - 1)(\tan^2 x + 1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,તેથી $I = \int \frac{(4 \tan^2 x - 1) \sec^2 x}{\tan^2 x + 4} dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
હવે સંકલન $I = \int \frac{4u^2 - 1}{u^2 + 4} du$ બને છે.
અંશને ફરીથી લખતા: $I = \int \frac{4(u^2 + 4) - 17}{u^2 + 4} du$.
$I = \int \left( 4 - \frac{17}{u^2 + 2^2} \right) du$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે $I = 4u - 17 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{u}{2} \right) + C$.
$u = \tan x$ મૂકતા,$I = 4 \tan x - \frac{17}{2} \tan^{-1} \left( \frac{\tan x}{2} \right) + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \sqrt{4 \cos ^2 x - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
નિત્યસમ $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \sqrt{4(1 - \sin ^2 x) - 5 \sin ^2 x} \cos x \, dx = \int \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} \cos x \, dx$.
ધારો કે $\sin x = t$,તો $\cos x \, dx = dt$.
$I = \int \sqrt{4 - 9t^2} \, dt = \int \sqrt{2^2 - (3t)^2} \, dt$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 3t$ અને $du = 3 \, dt$ (તેથી $dt = \frac{du}{3}$):
$I = \frac{1}{3} \int \sqrt{2^2 - u^2} \, du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{2} \sqrt{4 - u^2} + \frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) \right] + C$.
$u = 3 \sin x$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{3 \sin x}{2} \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + 2 \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) \right] + C$.
$I = \frac{1}{2} \sin x \sqrt{4 - 9 \sin ^2 x} + \frac{2}{3} \sin ^{-1}\left(\frac{3 \sin x}{2}\right) + C$.