TS EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $4x^3 + 12x^2 - 7x + 165 = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{12}{4} = -3$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -\frac{7}{4}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{165}{4}$
આપણે બીજા સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર શોધવાનો છે,જે $(\alpha + 5)(\beta + 5)(\gamma + 5)$ છે.
આ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\alpha + 5)(\beta + 5)(\gamma + 5) = \alpha\beta\gamma + 5(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + 25(\alpha + \beta + \gamma) + 125$
કિંમતો મૂકતા:
$= -\frac{165}{4} + 5(-\frac{7}{4}) + 25(-3) + 125$
$= -\frac{165}{4} - \frac{35}{4} - 75 + 125$
$= -\frac{200}{4} + 50$
$= -50 + 50 = 0$

(C) ધારો કે બીજ $\alpha = \frac{a}{r}, \beta = a, \gamma = ar$ છે. તેઓ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $\frac{a^3}{r} \cdot r = a^3 = \frac{24}{3} = 8$ થાય.
આમ,$a = 2$.
બીજનો સરવાળો $\frac{a}{r} + a + ar = \frac{26}{3}$ થાય.
$a = 2$ મૂકતા,$\frac{2}{r} + 2 + 2r = \frac{26}{3}$ મળે.
$2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{13}{3}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{r} + r = \frac{10}{3}$ થાય.
$3r$ વડે ગુણતા,$3r^2 - 10r + 3 = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા $(3r - 1)(r - 3) = 0$ મળે,તેથી $r = 3$ અથવા $r = \frac{1}{3}$.
$\alpha < \beta < \gamma$ હોવાથી,$r > 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $r = 3$.
બીજ $\alpha = \frac{2}{3}, \beta = 2, \gamma = 6$ છે.
અંતે,$3\alpha + 2\beta + \gamma = 3(\frac{2}{3}) + 2(2) + 6 = 2 + 4 + 6 = 12$.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-5x^2-2x+24=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 5$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -2$
$\alpha\beta\gamma = -24$
આપણે પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે:
$E = \frac{\beta\gamma}{\alpha}+\frac{\gamma\alpha}{\beta}+\frac{\alpha\beta}{\gamma}$
$E = \frac{(\beta\gamma)^2 + (\gamma\alpha)^2 + (\alpha\beta)^2}{\alpha\beta\gamma}$
નિત્યસમ $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$:
$E = \frac{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\beta+\gamma+\alpha)}{\alpha\beta\gamma}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(-2)^2 - 2(-24)(5)}{-24}$
$E = \frac{4 + 240}{-24} = \frac{244}{-24} = -\frac{61}{6}$

(B) આપેલ છે કે $\tan 15^{\circ}$ અને $\tan 30^{\circ}$ એ $x^2+px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$-p = \tan 15^{\circ} + \tan 30^{\circ}$ અને $q = \tan 15^{\circ} \tan 30^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 15^{\circ} = \tan(45^{\circ}-30^{\circ}) = 2-\sqrt{3}$.
હવે,$q = (2-\sqrt{3}) \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-3}{3}$.
અને $-p = (2-\sqrt{3}) + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$p = \frac{2-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.
આમ,$pq = \frac{10-6\sqrt{3}}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ છે.
આ એક વ્યસ્ત સમીકરણ છે.
$x^3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $6(x^3 - \frac{1}{x^3}) - 25(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 31(x - \frac{1}{x}) = 0$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. તો $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$ અને $x^3 - \frac{1}{x^3} = t^3 + 3t$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6(t^3 + 3t) - 25(t^2 + 2) + 31t = 0$.
$6t^3 - 25t^2 + 49t - 50 = 0$.
સમીકરણના અવયવો પાડતા $(x-1)(x+1)(2x-1)(x-2)(3x^2-5x+3)=0$ મળે છે.
સંમેય બીજ $\{-1, 1, \frac{1}{2}, 2\}$ છે.
સૌથી નાનું બીજ $m = -1$ અને સૌથી મોટું બીજ $M = 2$ છે.
તેથી,$M-m = 2 - (-1) = 3$.

(C) આપેલ દ્વિ-વર્ગ સમીકરણ $x^4-9x^3+31x^2-49x+30=0$ છે.
સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી,જો $(2-i)$ એક બીજ હોય,તો $(2+i)$ પણ એક બીજ છે.
ધારો કે ચાર બીજ $\alpha, \beta, (2-i),$ અને $(2+i)$ છે.
બીજોનો સરવાળો $\alpha + \beta + (2-i) + (2+i) = 9$ થાય.
$\alpha + \beta + 4 = 9 \implies \alpha + \beta = 5$.
બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta \cdot (2-i)(2+i) = 30$ થાય.
$(2-i)(2+i) = 5$ હોવાથી,$\alpha \cdot \beta \cdot 5 = 30 \implies \alpha \cdot \beta = 6$.
$\alpha + \beta = 5$ અને $\alpha \cdot \beta = 6$ ઉકેલતા,આપણને $\alpha = 2$ અને $\beta = 3$ મળે છે (કારણ કે $\alpha < \beta$).
તેથી,$2\alpha - \beta = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3-4x^2-9x+36=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$1) \alpha+\beta+\gamma = 4$
$2) \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -9$
$3) \alpha\beta\gamma = -36$
આપેલ છે કે $\alpha+\beta=0$,તેથી $(1)$ પરથી $\gamma=4$ મળે.
$(2)$ માં $\gamma=4$ મૂકતા: $\alpha\beta + 4(\alpha+\beta) = -9$. $\alpha+\beta=0$ હોવાથી,$\alpha\beta = -9$ મળે.
$\alpha+\beta=0$ હોવાથી,$\beta=-\alpha$. તેથી $\alpha(-\alpha) = -9 \Rightarrow \alpha^2 = 9$.
આમ,$\alpha^2=9$ અને $\beta^2=9$.
હવે,$\alpha^2+2\beta^2+3\gamma^2 = 9 + 2(9) + 3(4^2) = 9 + 18 + 3(16) = 27 + 48 = 75$.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $5x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{5}$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{2}{5}$
$\alpha\beta\gamma = \frac{4}{5}$
આપણે $\sum \alpha^2 \beta^2 = \alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 = \sum \alpha^2\beta^2 + 2\alpha\beta\gamma(\alpha + \beta + \gamma)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{2}{5})^2 = \sum \alpha^2\beta^2 + 2(\frac{4}{5})(\frac{3}{5})$
$\frac{4}{25} = \sum \alpha^2\beta^2 + \frac{24}{25}$
$\sum \alpha^2\beta^2 = \frac{4}{25} - \frac{24}{25} = -\frac{20}{25} = -\frac{4}{5}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ છે,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha+\beta = -b$ $(i)$ અને $\alpha\beta = c$ (ii).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 = (-b)^2 - 2c$,જે આપણને $2c = b^2-5$ અથવા $c = \frac{b^2-5}{2}$ આપે છે.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2 - \alpha\beta)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $9 = (-b)(5 - c)$.
$c = \frac{b^2-5}{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $9 = -b(5 - \frac{b^2-5}{2})$.
$9 = -b(\frac{10-b^2+5}{2}) = -b(\frac{15-b^2}{2})$.
$18 = -15b + b^3$,જેનું સાદું રૂપ $b^3 - 15b - 18 = 0$ થાય છે.
બીજ માટે ચકાસણી કરતા,જો $b=-3$ લઈએ: $(-3)^3 - 15(-3) - 18 = -27 + 45 - 18 = 0$. તેથી,$b=-3$ એક બીજ છે.
ત્યારબાદ $c = \frac{(-3)^2-5}{2} = \frac{9-5}{2} = 2$.
આમ,$b+c = -3+2 = -1$.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^3 + 3x^2 + kx + 12 = 0$ ના બીજ $r, -r,$ અને $t$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $r + (-r) + t = -3$ થાય,તેથી $t = -3$.
બીજનો ગુણાકાર $(r)(-r)(t) = -12$ થાય.
$t = -3$ મૂકતા,$(r)(-r)(-3) = -12$ મળે,જે $3r^2 = -12$ થાય છે.
જો સમીકરણ $x^3 + 3x^2 + kx - 12 = 0$ હોય,તો ગુણાકાર $12$ થાય.
તેથી $3r^2 = 12$ $\Rightarrow r^2 = 4$ $\Rightarrow r = 2, -2$.
બીજ $2, -2, -3$ છે.
બે-બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $k = (2)(-2) + (-2)(-3) + (-3)(2) = -4 + 6 - 6 = -4$ મળે.

(C) આપેલ સમીકરણ $3p^2x^3 + px^2 + qx + 3 = 0$ છે. $p = 1$ અને $q = -7$ મૂકતા:
$3x^3 + x^2 - 7x + 3 = 0$.
$x = 1$ લેતા,$3(1)^3 + (1)^2 - 7(1) + 3 = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x - 1)$ એક અવયવ છે. બહુપદીને $(x - 1)$ વડે ભાગતા:
$(x - 1)(3x^2 + 4x - 3) = 0$.
બીજ $x = 1$ અને $3x^2 + 4x - 3 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-3)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}$.
ધારો કે $\alpha = \frac{-2 + \sqrt{13}}{3}$ અને $\beta = \frac{-2 - \sqrt{13}}{3}$.
તેથી $|\alpha - \beta| = |\frac{2\sqrt{13}}{3}| = \frac{2\sqrt{13}}{3}$.

(B) ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. આપેલ છે કે $\alpha+\beta=0$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta+\gamma = 7p$
$\alpha+\beta=0$ હોવાથી,આપણને $\gamma=7p$ મળે છે.
વળી,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 5q$
$\alpha\beta + \gamma(\alpha+\beta) = 5q$
$\alpha\beta + \gamma(0) = 5q \implies \alpha\beta = 5q$.
અંતે,$\alpha\beta\gamma = 6r$.
$\alpha\beta$ અને $\gamma$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(5q)(7p) = 6r$
$35pq = 6r \implies 5q = \frac{6r}{7p}$.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha_1 = \sqrt{3}+\sqrt{2}i$ અને $\alpha_2 = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,$\alpha_1$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\bar{\alpha_1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}i$ પણ બીજ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\alpha_1$ અને $\bar{\alpha_1}$ માટેનો દ્વિઘાત અવયવ $(x^2-2\sqrt{3}x+5)$ છે.
સહગુણકો સંમેય બનાવવા માટે,આપણે તેના અનુબદ્ધ અવયવ સાથે ગુણાકાર કરવો પડે,જે $(x^4-2x^2+25)=0$ આપે છે.
તે જ રીતે,$\alpha_2 = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ માટે,ન્યૂનતમ બહુપદી $(x^4-10x^2+1)=0$ મળે છે.
આમ,સંયુક્ત સમીકરણ $(x^4-2x^2+25)(x^4-10x^2+1)=0$ છે.

(A) આપેલ ઘન સમીકરણ $5x^3 - 2x - 4 = 0$ છે.
$\alpha, \beta, \gamma$ એ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$5\alpha^3 = 2\alpha + 4$,$5\beta^3 = 2\beta + 4$,$5\gamma^3 = 2\gamma + 4$
સરવાળો કરતા:
$5(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) = 2(\alpha + \beta + \gamma) + 12$
બીજ અને સહગુણકોના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = 0$.
તેથી,$5(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) = 12$
$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = \frac{12}{5}$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$x^3-2x-25\lambda=0 \quad (1)$
$3x^3-8x-\frac{175}{3}\lambda=0 \quad (2)$
$\alpha$ સામાન્ય બીજ હોવાથી:
$25\lambda = \alpha^3-2\alpha \Rightarrow \lambda = \frac{\alpha^3-2\alpha}{25}$
$\frac{175}{3}\lambda = 3\alpha^3-8\alpha \Rightarrow \lambda = \frac{9\alpha^3-24\alpha}{175}$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\alpha^3-2\alpha}{25} = \frac{9\alpha^3-24\alpha}{175}$
$7(\alpha^3-2\alpha) = 9\alpha^3-24\alpha$
$2\alpha^3-10\alpha = 0$
$2\alpha(\alpha^2-5) = 0$
$\lambda > 0$ હોવાથી,$\alpha = \sqrt{5}$ લેતા:
$\lambda = \frac{5\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{25} = \frac{3\sqrt{5}}{25} = \frac{3}{5\sqrt{5}}$.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 - 7x + 3c = 0$ અને $x^2 + x - 5c = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 - 7\alpha + 3c = 0$ અને $\alpha^2 + \alpha - 5c = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 - 7\alpha + 3c) - (\alpha^2 + \alpha - 5c) = 0$ $\Rightarrow -8\alpha + 8c = 0$ $\Rightarrow \alpha = c$.
$\alpha = c$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $c^2 - 7c + 3c = 0$ $\Rightarrow c^2 - 4c = 0$ $\Rightarrow c(c - 4) = 0$.
$c$ શૂન્યતર હોવાથી,$c = 4$.
પદાવલિ $x^2 - 3x + 4$ બને છે.
વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક $1 > 0$ છે અને $D < 0$ હોવાથી,પદાવલિ $x^2 - 3x + 4$ હંમેશા બધા $x \in R$ માટે ધન રહેશે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{10}-3x^8+5x^6-5x^4+3x^2-1=0$ છે.
પદોને જૂથબદ્ધ કરીને અવયવ પાડતા,$f(x) = (x^2-1)(x^4-x^2+1)^2$ મળે છે.
$f(x) = 0$ લેતા,$x^2-1=0$ અથવા $(x^4-x^2+1)^2=0$ મળે.
$x^2-1=0$ થી $x = \pm 1$ ($2$ વાસ્તવિક બીજ) મળે છે.
$x^4-x^2+1=0$ માટે,$x^2$ ના મૂલ્યો સંકર સંખ્યાઓ મળે છે,જે કુલ $8$ અવાસ્તવિક બીજ આપે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ માટે $b=17$ છે.
બીજ $-2$ અને $-15$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $-2 + (-15) = -17$ થાય.
સમીકરણ $x^2+bx+c=0$ માં,બીજનો સરવાળો $-b$ થાય છે.
આમ,$-b = -17$,જે $b=17$ સાથે સુસંગત છે.
બીજનો ગુણાકાર $c = (-2) \times (-15) = 30$ થાય.
હવે,$b=13$ અને $c=30$ લેતા,સમીકરણ $x^2+13x+30=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $x^2+10x+3x+30=0 \implies (x+10)(x+3)=0$.
તેથી બીજ $\alpha = -10$ અને $\beta = -3$ મળે.
માટે,$|\alpha-\beta| = |-10 - (-3)| = |-10+3| = |-7| = 7$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^4-8x^3+3x^2-1=0$ છે.
$x^3$ પદને દૂર કરવા માટે,આપણે $x = y - \frac{a_1}{n a_0}$ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $a_0=2$ અને $a_1=-8$ છે.
અહીં,$h = -\frac{-8}{4 \times 2} = \frac{8}{8} = 1$.
સમીકરણમાં $x = y+1$ મૂકતા:
$2(y+1)^4 - 8(y+1)^3 + 3(y+1)^2 - 1 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(y^4+4y^3+6y^2+4y+1) - 8(y^3+3y^2+3y+1) + 3(y^2+2y+1) - 1 = 0$.
$2y^4 + 8y^3 + 12y^2 + 8y + 2 - 8y^3 - 24y^2 - 24y - 8 + 3y^2 + 6y + 3 - 1 = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2y^4 + (8-8)y^3 + (12-24+3)y^2 + (8-24+6)y + (2-8+3-1) = 0$.
$2y^4 - 9y^2 - 10y - 4 = 0$.
આને $2x^4+bx^2+cx+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = -9$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $1+\sqrt{2}$ અને $2-i$ એ સંમેય સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી સમીકરણના બીજ છે,તેથી તેમના અનુબદ્ધ બીજ $1-\sqrt{2}$ અને $2+i$ પણ બીજ હોવા જોઈએ.
ધારો કે બીજ $\alpha_1 = 1+\sqrt{2}, \alpha_2 = 1-\sqrt{2}, \alpha_3 = 2-i, \alpha_4 = 2+i$ છે.
વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$-b = \sum \alpha_i = 6 \Rightarrow b = -6$.
$c = \sum \alpha_i \alpha_j = 12$.
$-d = \sum \alpha_i \alpha_j \alpha_k = 6 \Rightarrow d = -6$.
સમીકરણ $bx^2+cx+d=0$ એ $-6x^2+12x-6=0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2-2x+1=0$ થાય છે.
આ $(x-1)^2=0$ છે,તેથી બીજ $1, 1$ મળે છે,જે વાસ્તવિક અને સમાન છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ છે.
આ પ્રથમ પ્રકારનું વ્યસ્ત સમીકરણ (reciprocal equation) છે.
$x=1$ અને $x=-1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $x=1$ અને $x=-1$ આ સમીકરણના બીજ છે.
ધારો કે બીજ $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ છે.
આપેલ છે કે $a_1+a_2 = \frac{5}{2}$.
$1$ અને $-1$ બીજ હોવાથી,ધારો કે $a_3=1$ અને $a_4=-1$.
તમામ બીજનો સરવાળો $-\frac{x^5 \text{ નો સહગુણક}}{x^6 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-25}{6} = \frac{25}{6}$ થાય.
તેથી,$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 = \frac{25}{6}$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{2} + 1 - 1 + a_5 + a_6 = \frac{25}{6}$.
$a_5+a_6 = \frac{25}{6} - \frac{5}{2} = \frac{25-15}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
આ સમીકરણ વ્યસ્ત પ્રકારનું હોવાથી,બીજ જોડીમાં $(r, 1/r)$ મળે છે. $1$ અને $-1$ વાસ્તવિક બીજ છે. બાકીના બીજ $a_1, a_2, a_5, a_6$ અવાસ્તવિક છે.
તમામ અવાસ્તવિક બીજનો સરવાળો $(a_1+a_2) + (a_5+a_6) = \frac{5}{2} + \frac{5}{3} = \frac{15+10}{6} = \frac{25}{6}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+x^2+x+r=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -1$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 1$
$\alpha\beta\gamma = -r$
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$
નોંધો કે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-1)^2 - 2(1) = 1-2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા:
$5 - 3(-r) = (-1)(-1 - 1)$
$5 + 3r = (-1)(-2)$
$5 + 3r = 2$
$3r = -3$
$r = -1$

(B) આપેલ સમીકરણ $\left(x^4+1\right)=\frac{1}{a}(x+1)^4$ છે.
$a$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $a(x^4+1) = (x+1)^4$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a(x^4+1) = x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.
પદોને ગોઠવતા: $(a-1)x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x + (a-1) = 0$.
કોઈપણ સમીકરણ વ્યસ્ત સમીકરણ ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે $x^k$ અને $x^{n-k}$ ના સહગુણકો સમાન હોય.
અહીં,$x^4$ નો સહગુણક $(a-1)$ છે અને અચળ પદ $(a-1)$ છે.
સમીકરણ $4$ ઘાતનું રહે તે માટે $x^4$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $a-1 \neq 0$,એટલે કે $a \neq 1$.
આમ,આ સમીકરણ બધા $a \in R - \{1\}$ માટે વ્યસ્ત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^5-3x^4+5x^3-5x^2+3x-1=0$ છે.
પદોને જૂથબદ્ધ કરીને સમીકરણને ફરીથી લખતા: $(x^5-1) - 3x(x^3-1) + 5x^2(x-1) = 0$.
$(x-1)$ સામાન્ય લેતા: $(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) - 3x(x-1)(x^2+x+1) + 5x^2(x-1) = 0$.
$(x-1)[(x^4+x^3+x^2+x+1) - 3x(x^2+x+1) + 5x^2] = 0$.
$(x-1)(x^4-2x^3+3x^2-2x+1) = 0$.
ચતુર્થઘાત ભાગ માટે,$x^2$ વડે ભાગતા: $x^2-2x+3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} = 0$.
$(x^2+\frac{1}{x^2}) - 2(x+\frac{1}{x}) + 3 = 0$.
ધારો કે $y = x+\frac{1}{x}$,તો $y^2-2 - 2y + 3 = 0$,એટલે કે $y^2-2y+1 = 0$.
$(y-1)^2 = 0$,જે $y=1$ આપે છે.
$x+\frac{1}{x} = 1 \implies x^2-x+1 = 0$.
આમ,ભિન્ન બીજનો સરવાળો $1 + 1 = 2$ થાય છે.

(D) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3-9 x^2+k=0$ છે,જ્યાં બીજ $\alpha, \beta, 2 \beta$ છે.
વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta + 2 \beta = 9 \implies \alpha + 3 \beta = 9$ $(i)$
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha \beta + \beta(2 \beta) + 2 \beta(\alpha) = 0$ (કારણ કે $x$ નો સહગુણક $0$ છે)
$\alpha \beta + 2 \beta^2 + 2 \alpha \beta = 0 \implies 3 \alpha \beta + 2 \beta^2 = 0$
$\beta(3 \alpha + 2 \beta) = 0$
કારણ કે $k \neq 0$,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta \cdot 2 \beta = -k \neq 0$,તેથી $\beta \neq 0$.
આમ,$3 \alpha + 2 \beta = 0 \implies \alpha = -\frac{2 \beta}{3}$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-\frac{2 \beta}{3} + 3 \beta = 9$
$\frac{-2 \beta + 9 \beta}{3} = 9$
$\frac{7 \beta}{3} = 9 \implies 7 \beta = 27$
તેથી,$14 \beta = 2 \times (7 \beta) = 2 \times 27 = 54$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3-9x^2+23x-15=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે:
$\alpha+\beta+\gamma = 9$ ... $(i)$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 23$ ... (ii)
$\alpha\beta\gamma = 15$ ... (iii)
$\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^3 = 9\alpha^2-23\alpha+15$,$\beta^3 = 9\beta^2-23\beta+15$,$\gamma^3 = 9\gamma^2-23\gamma+15$
ત્રણેયનો સરવાળો કરતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 9(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) - 23(\alpha+\beta+\gamma) + 45$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = 9^2 - 2(23) = 35$.
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 9(35) - 23(9) + 45 = 315 - 207 + 45 = 153$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-2 \sqrt{3} x+4=0$ છે જેના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha+\beta = 2 \sqrt{3}$ અને $\alpha \beta = 4$.
પ્રથમ,$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2 \sqrt{3})^2 - 2(4) = 12 - 8 = 4$ શોધો.
હવે,આપણે નિત્યસમ $\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2)^3 + (\beta^2)^3 = (\alpha^2+\beta^2)((\alpha^2+\beta^2)^2 - 3\alpha^2\beta^2)$ નો ઉપયોગ કરીએ.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha^6+\beta^6 = (4)((4)^2 - 3(4)^2) = 4(16 - 3(16)) = 4(16 - 48) = 4(-32) = -128$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-2x+2=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$.
ધારો કે $\alpha = 1+i$ અને $\beta = 1-i$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\alpha = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$.
$\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
તેથી,$\alpha^{2020} = (\sqrt{2})^{2020} e^{i(2020\pi/4)} = 2^{1010} e^{i(505\pi)}$.
કારણ કે $e^{i(505\pi)} = \cos(505\pi) + i \sin(505\pi) = -1 + 0 = -1$,
$\alpha^{2020} = -2^{1010}$.
તે જ રીતે,$\beta^{2020} = (\sqrt{2})^{2020} e^{-i(505\pi)} = 2^{1010} (-1) = -2^{1010}$.
તેથી,$\alpha^{2020} + \beta^{2020} = -2^{1010} - 2^{1010} = -2 \cdot 2^{1010} = -2^{1011}$.

(C) ધારો કે $z = \sqrt{(-3+4 i)(8+6 i)}$.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરનો ગુણાકાર શોધો:
$(-3+4 i)(8+6 i) = -24 - 18 i + 32 i + 24 i^2$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે:
$-24 + 14 i - 24 = -48 + 14 i$.
હવે,આપણે $\sqrt{-48 + 14 i}$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $\sqrt{-48 + 14 i} = x + i y$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + i y)^2 = -48 + 14 i$
$x^2 - y^2 + 2 i x y = -48 + 14 i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x^2 - y^2 = -48$ $(1)$
$2 x y = 14 \Rightarrow x y = 7$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$y = \frac{7}{x}$. $(1)$ માં મૂકતા:
$x^2 - (\frac{7}{x})^2 = -48$
$x^2 - \frac{49}{x^2} = -48$
$x^4 + 48 x^2 - 49 = 0$
$(x^2 + 49)(x^2 - 1) = 0$.
$x \in \mathbb{R}$ હોવાથી,$x^2 = 1$,તેથી $x = \pm 1$.
જો $x = 1$,તો $y = 7$. જો $x = -1$,તો $y = -7$.
આમ,વર્ગમૂળ $\pm(1 + 7 i)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x+i(x-2)}{3+i}-i=\frac{2y+i(1-3y)}{i-3}$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,આપણને $x=3$ અને $y=-1$ મળે છે.
તેથી,$x+y = 3+(-1) = 2$.

(A) ધારો કે $z_1 = (-1)^{1/4}$. આપણે $-1 = \cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi) = e^{i(\pi + 2k\pi)}$ લખી શકીએ.
તેથી,$z_1 = e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})}$ જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
કિંમતો $e^{i\pi/4}, e^{i3\pi/4}, e^{i5\pi/4}, e^{i7\pi/4}$ છે.
ધારો કે $z_2 = (-i)^{1/2}$. આપણે $-i = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) + i\sin(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) = e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi)}$ લખી શકીએ.
તેથી,$z_2 = e^{i(\frac{3\pi}{4} + n\pi)}$ જ્યાં $n = 0, 1$.
કિંમતો $e^{i3\pi/4}$ અને $e^{i7\pi/4}$ છે.
સામાન્ય કિંમતો $e^{i3\pi/4}$ અને $e^{i7\pi/4}$ છે.
$e^{i3\pi/4}$ માટે,$\alpha = \frac{3\pi}{4}$,તેથી $\tan \alpha = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
$e^{i7\pi/4}$ માટે,$\alpha = \frac{7\pi}{4}$,તેથી $\tan \alpha = \tan(\frac{7\pi}{4}) = -1$.
તેથી,$\tan \alpha = -1$.

(B) આપેલ છે કે $Z = \alpha + i \beta$.
$|Z| - Z = 1 + 2i$ હોવાથી,$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} - (\alpha + i \beta) = 1 + 2i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} - \alpha = 1$ અને $-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$.
$\beta = -2$ ને વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sqrt{\alpha^2 + (-2)^2} - \alpha = 1
\Rightarrow \sqrt{\alpha^2 + 4} = \alpha + 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\alpha^2 + 4 = (\alpha + 1)^2
$ $\Rightarrow \alpha^2 + 4 = \alpha^2 + 2\alpha + 1
$ $\Rightarrow 2\alpha = 3
$ $\Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}$.
આપણે $Z \bar{Z} = |Z|^2 = \alpha^2 + \beta^2$ શોધવાનું છે.
$Z \bar{Z} = (\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9 + 16}{4} = \frac{25}{4}$.

(D) આપેલ છે $(2x - y + 1) + i(x - 2y - 1) = 2 - 3i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$2x - y + 1 = 2 \implies 2x - y = 1$ (સમીકરણ $1$)
$x - 2y - 1 = -3 \implies x - 2y = -2$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા,$2x - 4y = -4$ (સમીકરણ $3$) મળે છે.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $3$ બાદ કરતા:
$3y = 5 \implies y = \frac{5}{3}$.
$y = \frac{5}{3}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$2x = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \implies x = \frac{4}{3}$.
આપણે $(x - iy) = (\frac{4}{3} - i\frac{5}{3})$ નો વ્યસ્ત શોધવાનો છે.
વ્યસ્ત $\frac{1}{\frac{4}{3} - i\frac{5}{3}} = \frac{3}{4 - 5i}$ થાય.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{3(4 + 5i)}{16 + 25} = \frac{12 + 15i}{41} = \frac{12}{41} + \frac{15}{41}i$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $iz^2 - 2(i+1)z + (2-i) = 0$ છે.
$-i$ બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + (-i) = -\frac{b}{a} = \frac{2(i+1)}{i} = 2(1-i) = 2-2i$ થાય.
તેથી,$\alpha = 2-i$.
પરંતુ,પ્રશ્ન $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ પરથી $5^3 \cos 6\theta$ ની કિંમત માંગે છે.
સૂત્ર $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} = \frac{3(-1/2) - (-1/8)}{1 - 3(1/4)} = \frac{-3/2 + 1/8}{1/4} = \frac{-11/8}{1/4} = -\frac{11}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
હવે,$5^3 \cos 6\theta = 125 \left( \frac{1 - \tan^2 3\theta}{1 + \tan^2 3\theta} \right) = 125 \left( \frac{1 - (-11/2)^2}{1 + (-11/2)^2} \right) = 125 \left( \frac{1 - 121/4}{1 + 121/4} \right) = 125 \left( \frac{-117/4}{125/4} \right) = -117$.

(D) ધારો કે $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i \sin 2x$.
$z_1$ અને $z_2$ અનુબદ્ધ હોવા માટે,$z_1 = \overline{z_2}$ હોવું જોઈએ.
આથી $\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1) \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
$2) \cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$.
બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતી કોઈ સામાન્ય કિંમત $x$ ન હોવાથી,ગણ ખાલી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $z_1 = 1-\sqrt{3}i$ અને $z_2 = \sqrt{3}+i$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$z_1 = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) = 2e^{-i\pi/3}$.
$z_2 = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})) = 2e^{i\pi/6}$.
હવે,$z_1^9 = 2^9 e^{-i3\pi} = 2^9(\cos(-3\pi) + i\sin(-3\pi)) = 2^9(-1) = -2^9$.
$z_2^9 = 2^9 e^{i3\pi/2} = 2^9(\cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})) = 2^9(0 - i) = -i2^9$.
તેથી,$|z_1^9 + z_2^9| = |-2^9 - i2^9| = |2^9(-1-i)| = 2^9|-1-i|$.
$|z_1^9 + z_2^9| = 2^9 \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = 2^9 \sqrt{2} = 2^9 \cdot 2^{1/2} = 2^{19/2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
વળી,$\frac{1}{\omega} = \omega^2$.
પદાવલિ $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^k + \omega^{2k})^2 = \sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^{4k} + 2\omega^{3k})$ છે.
$\omega^{3k} = 1$ હોવાથી,આ $\sum_{k=1}^{2022} (\omega^{2k} + \omega^k + 2)$ બને છે.
સરવાળાને અલગ પાડતા: $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} + \sum_{k=1}^{2022} \omega^k + \sum_{k=1}^{2022} 2$.
$2022$ એ $3$ નો ગુણક હોવાથી,$3$ પદો પર $\omega$ ની ઘાતનો સરવાળો $0$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{k=1}^{2022} \omega^k = 0$ અને $\sum_{k=1}^{2022} \omega^{2k} = 0$.
કુલ સરવાળો $0 + 0 + 2 \times 2022 = 4044$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\left(\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}\right)^m=1$ છે.
પ્રથમ,આધારનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = e^{i\pi/3}$.
તેથી,સમીકરણ $(e^{i\pi/3})^m = 1$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $e^{im\pi/3} = 1$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\frac{m\pi}{3} = 2n\pi$ હોય,એટલે કે $m = 6n$.
આપણને $2022 < m < 2029$ આપેલ છે.
$6$ ના ગુણકો તપાસતા: $2022/6 = 337$ અને $2028/6 = 338$.
આમ,$2022$ અને $2029$ ની વચ્ચે $6$ નો ગુણક $2028$ છે.
તેથી,$m = 2028$.

(B) આપેલ પદ: $(-32 i)^{\frac{2}{5}}$
આપણે $-i$ ને $\cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$(-32 i)^{\frac{2}{5}} = (32)^{\frac{2}{5}} (-i)^{\frac{2}{5}} = 4 (\cos \frac{3 \pi}{2} + i \sin \frac{3 \pi}{2})^{\frac{2}{5}}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n \theta) + i \sin(n \theta)$,આપણે મુખ્ય કિંમત લઈએ:
$= 4 (\cos(\frac{3 \pi}{2} \times \frac{2}{5}) + i \sin(\frac{3 \pi}{2} \times \frac{2}{5}))$
$= 4 (\cos \frac{3 \pi}{5} + i \sin \frac{3 \pi}{5})$
$= 4 \operatorname{cis} \frac{3 \pi}{5}$.

(C) આપેલ છે કે $(1+\omega)$ એ $x^n-x=0$ નું બીજ છે.
$x = 1+\omega$ મૂકતા,આપણને $(1+\omega)^n - (1+\omega) = 0$ મળે છે.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$1+\omega = -\omega^2$ થાય.
સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા: $(-\omega^2)^n - (-\omega^2) = 0$.
$(-1)^n \omega^{2n} + \omega^2 = 0$.
$(-1)^n \omega^{2n} = -\omega^2$.
આ શરત સંતોષવા માટે,$n$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ (જેથી $(-1)^n = -1$) અને $\omega^{2n} = \omega^2$ થવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $2n \equiv 2 \pmod{3}$,એટલે કે $2n = 3k + 2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
$n=3$ માટે,$2(3) = 6 \equiv 0 \pmod{3}$ (ખોટું).
$n=5$ માટે,$2(5) = 10 \equiv 1 \pmod{3}$ (ખોટું).
$n=7$ માટે,$2(7) = 14 = 3(4) + 2 \equiv 2 \pmod{3}$ (સાચું).
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(A) ધારો કે એકમના $n^{\text{th}}$ મૂળ $z_0, z_1, \ldots, z_{n-1}$ છે જ્યાં $z_0 = 1$. સમીકરણ $x^n - 1 = 0$ ના મૂળ $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બે-બે મૂળનો સરવાળો એ $x^{n-2}$ નો સહગુણક ભાગ્યા $x^n$ નો સહગુણક છે.
$x^n - 1 = 0$ માટે,$x^{n-1}$ નો સહગુણક $0$ છે અને $x^{n-2}$ નો સહગુણક $0$ છે (જ્યાં $n > 2$).
ધારો કે $S = \sum_{0 \leq i < j \leq n-1} z_i z_j = 0$.
આ સરવાળાને આ રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય: $z_0(\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 0$.
કારણ કે $z_0 = 1$ અને એકમના તમામ $n^{\text{th}}$ મૂળનો સરવાળો $0$ છે,તેથી $1 + \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i = 0$,એટલે કે $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i = -1$.
આ કિંમતને વિસ્તરણમાં મૂકતા: $1(-1) + \sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 0$.
તેથી,$\sum_{1 \leq i < j \leq n-1} \alpha_i \alpha_j = 1$.

(C) આપેલ છે કે $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ છે,તેથી $1+\omega+\omega^2=0$.
એકમના ચતુર્થ મૂળ $1, i, -1, -i$ છે.
ધારો કે $\alpha = i$. તો $\alpha^2 = -1$ અને $\alpha^3 = -i$.
પદાવલિ $\alpha+\alpha \omega-\alpha^3 \omega^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\alpha+\alpha \omega-\alpha^3 \omega^2 = i + i\omega - (-i)\omega^2$
$= i(1+\omega+\omega^2)$
કારણ કે $1+\omega+\omega^2=0$,તેથી પદાવલિ $i(0) = 0$ થાય છે.

(A) $72!$ માં $6$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે તેના અવિભાજ્ય અવયવો $2$ અને $3$ ના ઘાતાંક શોધવા પડશે.
લેજેન્ડ્રના સૂત્ર મુજબ,$n!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right]$ દ્વારા મળે છે.
$p=2$ માટે: $E_2(72!) = \left[ \frac{72}{2} \right] + \left[ \frac{72}{4} \right] + \left[ \frac{72}{8} \right] + \left[ \frac{72}{16} \right] + \left[ \frac{72}{32} \right] + \left[ \frac{72}{64} \right] = 36 + 18 + 9 + 4 + 2 + 1 = 70$.
$p=3$ માટે: $E_3(72!) = \left[ \frac{72}{3} \right] + \left[ \frac{72}{9} \right] + \left[ \frac{72}{27} \right] = 24 + 8 + 2 = 34$.
કારણ કે $6 = 2 \times 3$,તેથી $72!$ માં $6$ નો ઘાતાંક $\min(E_2(72!), E_3(72!)) = \min(70, 34) = 34$ થશે.

(D) $10$ વક્તાઓને એક હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
$a, b, c$ એકસાથે ન બેસે તે શોધવા માટે,આપણે કુલ રીતોમાંથી તેઓ એકસાથે બેસે તે રીતો બાદ કરીશું.
$a, b, c$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $8$ એકમો છે (ત્રણનું જૂથ અને બાકીના $7$ વક્તાઓ),જે $8!$ રીતે કરી શકાય છે.
જૂથની અંદર,$a, b, c$ ને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ એકસાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $6 \times 8!$ છે.
તેઓ એકસાથે ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $10! - 6 \times 8!$ છે.
$= (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) આપેલ છે: $^mP_r - ^{m-1}P_r = a \cdot ^{m-1}P_s$
સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m!}{(m-r)!} - \frac{(m-1)!}{(m-1-r)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-1-s)!}$
$\frac{m(m-1)!}{(m-r)(m-r-1)!} - \frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \left( \frac{m}{m-r} - 1 \right) = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{(m-1)!}{(m-r-1)!} \left( \frac{m - m + r}{m-r} \right) = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
$\frac{r \cdot (m-1)!}{(m-r)!} = a \cdot \frac{(m-1)!}{(m-s-1)!}$
છેદની સરખામણી કરતા,$m-r = m-s-1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $r = s+1$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = r$ મળે છે.
તેથી,$a = s+1$,જે $a - s = 1$ આપે છે.

(A) પ્રશ્નપત્રમાં $3$ ભાગ છે,દરેક ભાગમાં $4$ પ્રશ્નો છે. આપણે કુલ $8$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો હોય.
ધારો કે $n_1, n_2, n_3$ એ ભાગ $1, 2$ અને $3$ માંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા છે.
$n_1 + n_2 + n_3 = 8$,જ્યાં $2 \le n_i \le 4$.
શક્ય સમૂહો $(4, 2, 2)$ અને $(3, 3, 2)$ ના ક્રમચયો છે.
કિસ્સો $1$: $(4, 2, 2)$ ના $3$ પ્રકારો: $(4, 2, 2), (2, 4, 2), (2, 2, 4)$.
રીતોની સંખ્યા $= 3 \times (^{4}C_4 \times ^{4}C_2 \times ^{4}C_2) = 3 \times 36 = 108$.
કિસ્સો $2$: $(3, 3, 2)$ ના $3$ પ્રકારો: $(3, 3, 2), (3, 2, 3), (2, 3, 3)$.
રીતોની સંખ્યા $= 3 \times (^{4}C_3 \times ^{4}C_3 \times ^{4}C_2) = 3 \times 96 = 288$.
કુલ રીતો $= 108 + 288 = 396$.

(B) આપણે એવી ત્રિપુટીઓ $(x, y, z)$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેથી $x, y, z \in N$,$x < y < z$ અને $x+y+z=12$ થાય.
$x < y < z$ હોવાથી,$x+y+z > x+x+x = 3x$ થાય,તેથી $3x < 12$,જેનો અર્થ છે કે $x < 4$. આમ,$x$ ની કિંમત $1, 2,$ અથવા $3$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: જો $x=1$ હોય,તો $y+z=11$ જ્યાં $1 < y < z$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ એ $(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)$ છે. (કુલ $4$)
કિસ્સો $2$: જો $x=2$ હોય,તો $y+z=10$ જ્યાં $2 < y < z$. શક્ય જોડીઓ $(y, z)$ એ $(3, 7), (4, 6)$ છે. (કુલ $2$)
કિસ્સો $3$: જો $x=3$ હોય,તો $y+z=9$ જ્યાં $3 < y < z$. એકમાત્ર શક્ય જોડી $(y, z)$ એ $(4, 5)$ છે. (કુલ $1$)
ત્રિપુટીઓની કુલ સંખ્યા $= 4 + 2 + 1 = 7$.

(C) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય છે. આપણે ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી પુનરાવર્તન વગર $3$ અંકની એકી સંખ્યા બનાવવાની છે. છેલ્લો અંક $1, 3,$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: છેલ્લો અંક $1$ છે. બાકીના બે અંકોનો સરવાળો $x+y$ એ $3k-1$ હોવો જોઈએ. ${2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી શક્ય જોડીઓ ${2, 3}, {2, 6}, {3, 5}, {4, 5}$ છે. દરેક જોડી $2$ ક્રમચયો આપે છે. કુલ $= 4 \times 2 = 8$.
કિસ્સો $2$: છેલ્લો અંક $3$ છે. બાકીના બે અંકોનો સરવાળો $x+y$ એ $3k-3$ હોવો જોઈએ. ${1, 2, 4, 5, 6}$ માંથી શક્ય જોડીઓ ${1, 2}, {1, 5}, {2, 4}, {4, 5}$ છે. દરેક જોડી $2$ ક્રમચયો આપે છે. કુલ $= 4 \times 2 = 8$.
કિસ્સો $3$: છેલ્લો અંક $5$ છે. બાકીના બે અંકોનો સરવાળો $x+y$ એ $3k-5$ હોવો જોઈએ. ${1, 2, 3, 4, 6}$ માંથી શક્ય જોડીઓ ${1, 3}, {1, 6}, {2, 4}, {3, 6}$ છે. દરેક જોડી $2$ ક્રમચયો આપે છે. કુલ $= 4 \times 2 = 8$.
કુલ સંખ્યા $= 8 + 8 + 8 = 24$.

(D) $LINEAR$ શબ્દમાં $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $L, I, N, E, A, R$.
આપણે આ અક્ષરોને એવી રીતે ગોઠવવા માંગીએ છીએ કે $E$ અને $A$ હંમેશા સાથે હોય,પરંતુ $N$ અને $R$ સાથે ન હોય.
પ્રથમ,$(EA)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $L, I, N, R, (EA)$.
આ $5$ એકમોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
$E$ અને $A$ તેમના એકમમાં $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,તેથી $E$ અને $A$ સાથે હોય તેવી કુલ ગોઠવણીઓ $120 \times 2 = 240$ છે.
આગળ,આપણે એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધીએ જેમાં $E$ અને $A$ સાથે હોય અને $N$ અને $R$ પણ સાથે હોય.
$(EA)$ ને એક એકમ અને $(NR)$ ને બીજો એકમ ગણો. હવે આપણી પાસે $4$ એકમો છે: $L, I, (EA), (NR)$.
આ $4$ એકમોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
તેમના એકમોમાં,$E$ અને $A$ ને $2! = 2$ રીતે અને $N$ અને $R$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$(EA)$ અને $(NR)$ બંને સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $24 \times 2 \times 2 = 96$ છે.
છેલ્લે,$E$ અને $A$ સાથે હોય પણ $N$ અને $R$ સાથે ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $240 - 96 = 144$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક: $\left| \begin{array}{cc} 2 + 3i & i \\ 1 - 2i & -i \end{array} \right| = x + iy$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(2 + 3i)(-i) - (i)(1 - 2i) = x + iy$
$-2i - 3i^2 - i + 2i^2 = x + iy$
$i^2 = -1$ હોવાથી: $-2i - 3(-1) - i + 2(-1) = x + iy$
$-2i + 3 - i - 2 = x + iy$
$1 - 3i = x + iy$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા: $x = 1$ અને $y = -3$
તેથી,$x + y = 1 + (-3) = -2$

(D) આપેલ છે $x + 2y = 10$,જ્યાં $x, y$ ધન પૂર્ણાંકો છે.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$(8, 1) \implies x^2 y^3 = 8^2 \times 1^3 = 64$
$(6, 2) \implies x^2 y^3 = 6^2 \times 2^3 = 36 \times 8 = 288$
$(4, 3) \implies x^2 y^3 = 4^2 \times 3^3 = 16 \times 27 = 432$
$(2, 4) \implies x^2 y^3 = 2^2 \times 4^3 = 4 \times 64 = 256$
$x^2 y^3$ ની મહત્તમ કિંમત $432$ છે,જે $x = 4$ અને $y = 3$ માટે મળે છે.
આપણે $x^2 + 2y^3 = 4^2 + 2(3^3) = 16 + 2(27) = 16 + 54 = 70$ શોધવાનું છે.

(D) ચતુષ્ફલક જેના શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ હોય તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{A+B+C+D}{4}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે $A(1,1,1), B(1,-4,3), C(2,-2,0), D(8,1,4)$.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{1+1+2+8}{4}, \frac{1-4-2+1}{4}, \frac{1+3+0+4}{4}\right) = \left(\frac{12}{4}, \frac{-4}{4}, \frac{8}{4}\right) = (3,-1,2)$.
એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે ચતુષ્ફલકના ફલકોના મધ્યકેન્દ્રો દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ચતુષ્ફલકના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
તેથી,$G_1, G_2, G_3, G_4$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $(3,-1,2)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(\vec{a})$,$B(\vec{0})$,અને $C(\vec{c})$ છે.
$P$ એ $AB$ ને $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{a}$.
$Q$ એ $BC$ ને $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{q} = \frac{1}{3}\vec{c}$.
$AQ$ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t(\frac{1}{3}\vec{c})$ છે.
$CP$ રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (1-s)\vec{c} + s(\frac{2}{3}\vec{a})$ છે.
છેદબિંદુ $D$ માટે સહગુણકો સરખાવતા,$s = \frac{2}{7}$ અને $t = \frac{6}{7}$ મળે છે.
તેથી,$\vec{d} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{c}$.
$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{d} \times \vec{c}| = \frac{1}{14} |\vec{a} \times \vec{c}|$ થાય.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $k = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{c}|$ હોવાથી,$\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{7} k$ થાય.

(D) આપેલ વક્ર $y^2=4x$ અને બિંદુ $P(1,2)$ છે.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y^2=4x$ નું વિકલન કરીને મેળવી શકાય: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(1,2)$ આગળ ઢાળ $m_t = \frac{2}{2} = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-2 = 1(x-1) \Rightarrow y = x+1$ છે.
સ્પર્શક $Y$-અક્ષ $(x=0)$ ને $A(0,1)$ બિંદુએ છેદે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -1$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-2 = -1(x-1) \Rightarrow y = -x+3$ છે.
અભિલંબ $Y$-અક્ષ $(x=0)$ ને $B(0,3)$ બિંદુએ છેદે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(1,2)$,$A(0,1)$ અને $B(0,3)$ છે.
$Y$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $A(0,1)$ અને $B(0,3)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|3-1| = 2$ એકમ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P(1,2)$ થી $Y$-અક્ષનું લંબ અંતર છે,જે $P$ નો $x$-યામ એટલે કે $1$ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-16}{x-4} & \text{જો } x > 4 \\ 2x & \text{જો } x \leq 4 \end{cases}$
$x > 4$ માટે,$f(x) = \frac{(x-4)(x+4)}{x-4} = x+4$.
$x \leq 4$ માટે,$f(x) = 2x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \begin{cases} \frac{d}{dx}(x+4) = 1 & \text{જો } x > 4 \\ \frac{d}{dx}(2x) = 2 & \text{જો } x < 4 \end{cases}$
તેથી,$f^{\prime}(4^{+}) = \lim_{h \to 0} f^{\prime}(4+h) = 1$ અને $f^{\prime}(4^{-}) = \lim_{h \to 0} f^{\prime}(4-h) = 2$.
આમ,$f^{\prime}(4^{-}) + f^{\prime}(4^{+}) = 2 + 1 = 3$.

(C) પોઈસન વિતરણ માટે,મધ્યક અને વિચરણ બંને $\lambda$ જેટલા હોય છે. આપેલ વિચરણ $\lambda = 2$ છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ છે.
આપણે $P(X \geq 3) = 1 - \{P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\}$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$.
$P(X=1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$.
$P(X=2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4 e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.
આનો સરવાળો કરતા,$P(X < 3) = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.
તેથી,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2-5}{e^2}$.

(A) શ્રેણિક $A$ એ વિકર્ણ શ્રેણિક છે જ્યાં વિકર્ણના ઘટકો $a_{ii} = k^i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$.
$A$ નો ટ્રેસ (trace),જેને $m$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે:
$m = \sum_{i=1}^{n} k^i = k + k^2 + \dots + k^n = \frac{k(1-k^n)}{1-k}$.
આપણને લક્ષ (limit) આપેલ છે: $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n-m}{1-k} = 171$.
$m$ ની કિંમત મૂકતા: $\lim_{k \rightarrow 1} \frac{n - \frac{k(1-k^n)}{1-k}}{1-k} = \lim_{k \rightarrow 1} \frac{n(1-k) - (k - k^{n+1})}{(1-k)^2} = 171$.
$L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા (અંશ અને છેદનું $k$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા):
અંશનું વિકલન: $\frac{d}{dk} [n - nk - k + k^{n+1}] = -n - 1 + (n+1)k^n$.
છેદનું વિકલન: $\frac{d}{dk} [(1-k)^2] = 2(1-k)(-1) = -2(1-k)$.
ફરીથી $L$'Hospital નો નિયમ લાગુ કરતા:
$\lim_{k \rightarrow 1} \frac{-n - 1 + (n+1)k^n}{-2(1-k)} = \lim_{k \rightarrow 1} \frac{(n+1)n k^{n-1}}{2} = 171$.
$\frac{n(n+1)}{2} = 171 \Rightarrow n^2 + n - 342 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n+19)(n-18) = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$n = 18$ મળે છે.

(A) ડાબી બાજુએ શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} 7(1) + 5(3) + \alpha(2) \\ \beta(1) + 2(3) + 11(2) \\ 3(1) + \gamma(3) + 1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 + 2\alpha \\ \beta + 28 \\ 5 + 3\gamma \end{bmatrix}$.
આને જમણી બાજુના શ્રેણિક સાથે સરખાવતા:
$1) \ 22 + 2\alpha = \alpha + \beta \implies \alpha - \beta = -22$
$2) \ \beta + 28 = -2\alpha + \beta - 2\gamma \implies 2\alpha + 2\gamma = -28 \implies \alpha + \gamma = -14$
$3) \ 5 + 3\gamma = \alpha + 2\beta + 3\gamma \implies \alpha + 2\beta = 5$
$(1)$ પરથી,$\beta = \alpha + 22$. તેને $(3)$ માં મૂકતા:
$\alpha + 2(\alpha + 22) = 5 \implies 3\alpha + 44 = 5 \implies 3\alpha = -39 \implies \alpha = -13$.
તેથી $\beta = -13 + 22 = 9$.
$(2)$ પરથી,$\gamma = -14 - \alpha = -14 - (-13) = -1$.
હવે,$100 + \frac{2\alpha + 11\beta}{\gamma} = 100 + \frac{2(-13) + 11(9)}{-1} = 100 + \frac{-26 + 99}{-1} = 100 + \frac{73}{-1} = 100 - 73 = 27$.

(A) આપેલ છે કે,$A+B=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right]$ અને $AB=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$.
આપણે $A^2+B(A+B)$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $A^2+B(A+B) = A^2+BA+B^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2+AB+BA+B^2$.
તેથી,$A^2+BA+B^2 = (A+B)^2 - AB$.
પ્રથમ,$(A+B)^2 = \left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 5 & 8 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 8 & 4\end{array}\right]$ ગણીએ.
હવે,$A^2+B(A+B) = \left[\begin{array}{lll} 5 & 8 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 8 & 4\end{array}\right] - \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 4 & 6 & 6 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 6 & 3\end{array}\right]$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & a \\ b & 0 & 4 \\ -3 & c & 0\end{array}\right]$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$A = -A^T$.
$\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & a \\ b & 0 & 4 \\ -3 & c & 0\end{array}\right] = -\left[\begin{array}{ccc}0 & b & -3 \\ 2 & 0 & c \\ a & 4 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & -b & 3 \\ -2 & 0 & -c \\ -a & -4 & 0\end{array}\right]$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$-b = 2 \Rightarrow b = -2$
$a = 3$
$c = -4$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left[\begin{array}{cc}a & b \\ b & a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}b & c \\ c & b\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & -2 \\ -2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2 & -4 \\ -4 & -2\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}(3)(-2) + (-2)(-4) & (3)(-4) + (-2)(-2) \\ (-2)(-2) + (3)(-4) & (-2)(-4) + (3)(-2)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{cc}-6 + 8 & -12 + 4 \\ 4 - 12 & 8 - 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -8 \\ -8 & 2\end{array}\right]$.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણો $AX=B$ અને $AY=Q$ છે.
કારણ કે $B$ એ $AY=Q$ નો અનન્ય ઉકેલ છે,તેથી $AB=Q$ થાય.
આપણે $AX=B$ માં $X$ માટે ઉકેલ શોધવાનો છે.
$AX=B$ ની બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A$ વડે ગુણતા:
$A(AX) = AB$
$A^2 X = AB$
$AB=Q$ હોવાથી,સમીકરણમાં $Q$ મૂકતા:
$A^2 X = Q$
$A$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોવાથી,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. બંને બાજુએ $(A^{-1})^2$ વડે ગુણતા:
$(A^{-1})^2 (A^2 X) = (A^{-1})^2 Q$
$I X = (A^{-1})^2 Q$
$X = (A^{-1})^2 Q$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & k \\ k & 1+k^2 \end{bmatrix}$ ગણો.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ k & 1+k^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 1+k^2 \\ 1+k^2 & k+k(1+k^2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 1+k^2 \\ 1+k^2 & 2k+k^3 \end{bmatrix}$ ગણો.
આપણને $d = 228$ આપેલ છે,તેથી $2k + k^3 = 228$.
કિંમતો ચકાસતા,જો $k = 6$ હોય,તો $2(6) + 6^3 = 12 + 216 = 228$. આમ,$k = 6$.
હવે,$b = 1 + k^2 = 1 + 6^2 = 1 + 36 = 37$.
તે જ રીતે,$c = 1 + k^2 = 1 + 36 = 37$.
તેથી,$b + c = 37 + 37 = 74$.

(C) આપેલ છે: $A=\begin{bmatrix} a & 3 & 5 \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ અને $B=\begin{bmatrix} b & 1 & 4 \\ 4 & c & 1 \\ -3 & 1 & d \end{bmatrix}$.
$A$ નો ટ્રેસ $-4$ હોવાથી,$a - 1 - 4 = -4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
હવે,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 5 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b & 1 & 4 \\ 4 & c & 1 \\ -3 & 1 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b-3 & 3c+6 & 5d+7 \\ 5b-13 & 8-c & 3d+19 \\ 2b+24 & 3c-2 & 11-4d \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 17 \\ -3 & 10 & 25 \\ 28 & -8 & 3 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા:
$b-3 = -1$ પરથી,$b = 2$ મળે છે.
$3c+6 = 0$ પરથી,$c = -2$ મળે છે.
$5d+7 = 17$ પરથી,$5d = 10$,તેથી $d = 2$ મળે છે.
આમ,$a+b+c+d = 1 + 2 - 2 + 2 = 3$.

(D) આપેલ શ્રેણિક $X = \begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix}$ એ સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $X = X^T$.
ઘટકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} -1 & 2 & b \\ a & 5 & 6 \\ 3 & c & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & a & 3 \\ 2 & 5 & c \\ b & 6 & 7 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,$a = 2$,$b = 3$,અને $c = 6$ મળે છે.
હવે,આપણે નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 3 & 6 & 2 \\ 6 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$= 2(6 \times 3 - 2 \times 2) - 3(3 \times 3 - 6 \times 2) + 6(3 \times 2 - 6 \times 6)$
$= 2(18 - 4) - 3(9 - 12) + 6(6 - 36)$
$= 2(14) - 3(-3) + 6(-30)$
$= 28 + 9 - 180$
$= 37 - 180 = -143$.

(A) આપેલ છે કે $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right]$.
પ્રથમ,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ શોધો:
$A^T=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 5\end{array}\right]$.
હવે,$(A+A^T)$ ની ગણતરી કરો:
$A+A^T=\left[\begin{array}{lll}1+1 & 2+4 & 3+3 \\ 4+2 & 3+3 & 2+4 \\ 3+3 & 4+2 & 5+5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 10\end{array}\right]$.
ત્યારબાદ,$(A-A^T)$ ની ગણતરી કરો:
$A-A^T=\left[\begin{array}{lll}1-1 & 2-4 & 3-3 \\ 4-2 & 3-3 & 2-4 \\ 3-3 & 4-2 & 5-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]$.
અંતે,બંને શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરો:
$(A+A^T)(A-A^T)=\left[\begin{array}{lll}2 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 6 \\ 6 & 6 & 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}0 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}0+12+0 & -4+0+12 & 0-12+0 \\ 0+12+0 & -12+0+12 & 0-12+0 \\ 0+12+0 & -12+0+20 & 0-12+0\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{lll}12 & 8 & -12 \\ 12 & 0 & -12 \\ 12 & 8 & -12\end{array}\right] = 4\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -3 \\ 3 & 2 & -3\end{array}\right]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $A^2-4A-5I=0$ છે.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^2 A^{-1} - 4A A^{-1} - 5I A^{-1} = 0 A^{-1}$
$A - 4I - 5A^{-1} = 0$
$5A^{-1} = A - 4I$
$A^{-1} = \frac{1}{5}(A - 4I)$
હવે,શ્રેણિક $A$ અને $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right)$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1-4 & 2-0 & 2-0 \\ 2-0 & 1-4 & 2-0 \\ 2-0 & 2-0 & 1-4 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$

(D) વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે,આપણી પાસે $A = -A^T$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણના ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,તેથી $a = e = i = 0$.
આમ,શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & b & c \\ d & 0 & f \\ g & h & 0 \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $d = -b$,$g = -c$,અને $h = -f$ થાય.
$\frac{b}{c}$ ના પદમાં આ કિંમતો મૂકતા:
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી કક્ષાના કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય છે.
$|A| = 0 \cdot (0 - fh) - b(0 - gf) + c(dh - 0) = 0$.
$bgf + cdh = 0$.
$bgf = -cdh$.
$cf$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{b}{c} = \frac{-dh}{fg}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & \alpha \\ \beta & 1 & -11 \\ -5 & \gamma & 19 \end{bmatrix}$ અને $A \begin{bmatrix} 5 \\ -13 \\ 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -290 \\ -119 \\ 210 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$35 - 39 + 11\alpha = -290 \Rightarrow 11\alpha = -286 \Rightarrow \alpha = -26$.
$5\beta - 13 - 121 = -119 \Rightarrow 5\beta = 15 \Rightarrow \beta = 3$.
$-25 - 13\gamma + 209 = 210 \Rightarrow -13\gamma = 26 \Rightarrow \gamma = -2$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & -26 \\ 3 & 1 & -11 \\ -5 & -2 & 19 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 7(19 - 22) - 3(57 - 55) - 26(-6 + 5) = 7(-3) - 3(2) - 26(-1) = -21 - 6 + 26 = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{|A|} = -A$ અને $\operatorname{adj} A^{-1} = \operatorname{adj}(\frac{\operatorname{adj} A}{|A|}) = \frac{1}{|A|^{n-1}} \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = \frac{1}{(-1)^2} |A| A = -A$.
તેથી,$(\operatorname{adj} A)^{-1} + \operatorname{adj} A^{-1} = -A + (-A) = -2A$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A = |A|^{3-2} A = |A| A$.
હવે,પદ $|A^{-1}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))|^{-1}$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $|A^{-1}(|A| A)|^{-1} = | |A| (A^{-1} A) |^{-1} = | |A| I |^{-1}$.
કારણ કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $| |A| I | = |A|^3 |I| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$.
તેથી,પદ $(|A|^3)^{-1} = \frac{1}{|A|^3}$ બને છે.
આપેલ $|A| = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આપણને $\frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A X=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$ અને $\operatorname{Adj} A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A$.
$A X = B$ ને બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $X = A^{-1} B = \frac{1}{|A|} \operatorname{Adj} A \cdot B$ મળે.
$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$X = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1(1) + (-1)(1) + (-1)(2) \\ 1(1) + 1(1) + (-1)(2) \\ 1(1) + 1(1) + 1(2)\end{array}\right] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}1 - 1 - 2 \\ 1 + 1 - 2 \\ 1 + 1 + 2\end{array}\right] = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right]$.
અહીં $|A| > 0$ હોવાથી,આપણે આપેલ $\operatorname{Adj} A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$.
$|\operatorname{Adj} A| = 1(1+1) - (-1)(1+1) + (-1)(1-1) = 2 + 2 + 0 = 4$.
તેથી,$|A|^2 = 4 \implies |A| = 2$ (કારણ કે $|A| > 0$).
$X$ ના સમીકરણમાં $|A| = 2$ મૂકતા:
$X = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = -(\lambda-1)^2(\lambda-3) = -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^3 - 5A^2 + 7A - 3I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,$A^2 - 5A + 7I - 3A^{-1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A^{-1} = \frac{1}{3}A^2 - \frac{5}{3}A + \frac{7}{3}I$.
આને $A^{-1} = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{3}$,$\beta = -\frac{5}{3}$,અને $\gamma = \frac{7}{3}$ મળે છે.
તેથી,$17\alpha + 5\beta + \gamma = 17(\frac{1}{3}) + 5(-\frac{5}{3}) + \frac{7}{3} = \frac{17 - 25 + 7}{3} = \frac{-1}{3}$.

(B) ધારો કે $2 \times 2$ શ્રેણિક $A$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{det} A = \lambda_1 \lambda_2 = -21$.
$A^3$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_1^3$ અને $\lambda_2^3$ છે.
$A^3$ નો ટ્રેસ $\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = 2024$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = (\lambda_1 + \lambda_2)(\lambda_1^2 - \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_2^2)$.
$\lambda_1^2 + \lambda_2^2 = (\lambda_1 + \lambda_2)^2 - 2\lambda_1 \lambda_2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\lambda_1^3 + \lambda_2^3 = (\lambda_1 + \lambda_2)((\lambda_1 + \lambda_2)^2 - 3\lambda_1 \lambda_2)$.
ધારો કે $T = \lambda_1 + \lambda_2$ એ $A$ નો ટ્રેસ છે.
તેથી $2024 = T(T^2 - 3(-21)) = T(T^2 + 63) = T^3 + 63T$.
આમ,$T^3 + 63T - 2024 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$T = 11$ માટે: $11^3 + 63(11) = 1331 + 693 = 2024$.
આમ,$A$ નો ટ્રેસ $11$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a^2 & b^2 - a^2 & c^2 - a^2 \\ a^3 & b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$
$= \begin{vmatrix} (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \\ (b-a)(b^2+ab+a^2) & (c-a)(c^2+ac+a^2) \end{vmatrix}$
$= (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} b+a & c+a \\ b^2+ab+a^2 & c^2+ac+a^2 \end{vmatrix}$
$= (b-a)(c-a) [(b+a)(c^2+ac+a^2) - (c+a)(b^2+ab+a^2)]$
$= (b-a)(c-a) [bc^2+abc+a^2b+ac^2+a^2c+a^3 - (cb^2+abc+a^2c+ab^2+a^2b+a^3)]$
$= (b-a)(c-a) [bc^2+ac^2-cb^2-ab^2]$
$= (b-a)(c-a) [bc(c-b) + a(c^2-b^2)]$
$= (b-a)(c-a) [bc(c-b) + a(c-b)(c+b)]$
$= (b-a)(c-a)(c-b) [bc + ac + ab]$
$= (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

(A) આપેલ છે કે $A, P, B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે.
$1$. $|-B|=5$ માટે:
$B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$|-B| = (-1)^3 |B| = -|B|$.
તેથી,$-|B| = 5 \Rightarrow |B| = -5$.
$2$. $|BA^T|=15$ માટે:
$|XY| = |X||Y|$ અને $|A^T| = |A|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|B||A| = 15$
$(-5)|A| = 15 \Rightarrow |A| = -3$.
$3$. $|P^T AP| = -27$ માટે:
$|P^T| = |P|$ અને $|XY| = |X||Y|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|P^T||A||P| = -27$
$|P||A||P| = -27$
$|P|^2 (-3) = -27$
$|P|^2 = 9$
$|P| = \pm 3$.
તેથી,$|P|$ ની એક કિંમત $3$ છે.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2+7}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)(x-2)$ વડે ગુણતા: $x^2+7 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2) \quad \dots (1)$.
$x=2$ લેતા: $2^2+7 = A(2^2+1) \Rightarrow 11 = 5A \Rightarrow A = \frac{11}{5}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1 = A+B \Rightarrow B = 1 - \frac{11}{5} = -\frac{6}{5}$.
સમીકરણ $(1)$ માં અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $7 = A - 2C \Rightarrow 2C = A - 7 = \frac{11}{5} - 7 = -\frac{24}{5} \Rightarrow C = -\frac{12}{5}$.
હવે,શ્રેણિક $\begin{bmatrix} A & B \\ C & \frac{2}{5} \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક ગણતા:
$\det = A \cdot \frac{2}{5} - B \cdot C = \left(\frac{11}{5}\right)\left(\frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{6}{5}\right)\left(-\frac{12}{5}\right)$.
$\det = \frac{22}{25} - \frac{72}{25} = -\frac{50}{25} = -2$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,તેથી $AB-C = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\det(AB-C) = -1 \neq 0$,$AB-C$ એ અસામાન્ય છે અને $D = (AB-C)^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -C$.
વિધાન $I$ માટે: $\det(BA) = \det(0) = 0$. $\det(BA-C) = \det(-C) = -1$. $\det(BDA) = \det(-CBA) = \det(0) = 0$. આમ $0 = (-1)(0)$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: $ABD = AB(-C) = -AB = 0$. $DAB = (-C)AB = -AB = 0$. આમ $ABD = DAB$ સાચું છે.
બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) આપણને $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
ગુણધર્મ $(XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$(A^{-1}B)^{-1} + (AB^{-1})^{-1} = B^{-1}(A^{-1})^{-1} + (B^{-1})^{-1}A^{-1} = B^{-1}A + BA^{-1}$.
પ્રથમ,નોંધો કે $A^2 = I$ અને $B^2 = I$,તેથી $A^{-1} = A$ અને $B^{-1} = B$.
આમ,પદાવલિ $BA + BA = 2BA$ બને છે.
$BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરતા.
તેથી,$2BA = 2 \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x & x+1 & x+3 \\ x+2 & x+4 & x+7 \\ x+6 & x+9 & x+13 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકમાં $x = 5$ મૂકતા:
$f(5) = \left| \begin{array}{ccc} 5 & 6 & 8 \\ 7 & 9 & 12 \\ 11 & 14 & 18 \end{array} \right|$.
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$f(5) = 5(9 \times 18 - 14 \times 12) - 6(7 \times 18 - 11 \times 12) + 8(7 \times 14 - 11 \times 9)$
$f(5) = 5(162 - 168) - 6(126 - 132) + 8(98 - 99)$
$f(5) = 5(-6) - 6(-6) + 8(-1)$
$f(5) = -30 + 36 - 8$
$f(5) = 6 - 8 = -2$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{lll}b & 1 & a \\ a & 1 & c \\ c & 1 & b\end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$b(b - c) - 1(ab - c^2) + a(a - c) = 0$
$b^2 - bc - ab + c^2 + a^2 - ac = 0$
$a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = 0 \quad \dots(i)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$
$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $a = b = c$.
આમ,$\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી $A = B = C = 60^{\circ}$.
હવે,$2(\cos A + \cos B + \cos C) = 2(\cos 60^{\circ} + \cos 60^{\circ} + \cos 60^{\circ})$
$= 2(3 \times \frac{1}{2}) = 3$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} -1 & x & 3 \\ -4 & -5 & -6 \\ -7 & y & 9 \end{bmatrix}$.
સ્થાન $(2, 3)$ પરના ઘટક (જે $-6$ છે) નો સહઅવયવ $C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -1 & x \\ -7 & y \end{vmatrix} = -1(-y - (-7x)) = -1(-y + 7x) = y - 7x$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $C_{23} = 22$,તેથી $y - 7x = 22$ --- $(1)$.
સ્થાન $(3, 1)$ પરના ઘટક (જે $-7$ છે) નો સહઅવયવ $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} x & 3 \\ -5 & -6 \end{vmatrix} = 1(-6x - (-15)) = -6x + 15$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $C_{31} = 27$,તેથી $-6x + 15 = 27$.
$-6x = 12 \implies x = -2$.
સમીકરણ $(1)$ માં $x = -2$ મૂકતા:
$y - 7(-2) = 22$
$y + 14 = 22 \implies y = 8$.
હવે,$5x + y$ ની કિંમત શોધો:
$5(-2) + 8 = -10 + 8 = -2$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -\sin x & 2 \sin 2x & 4 \cos^2 x \\ \cos x & 4 \sin^2 x & 2 \sin 2x \\ 0 & -\cos x & \sin x \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = -\sin x (4 \sin^2 x \sin x - (2 \sin 2x)(-\cos x)) - \cos x (2 \sin 2x \sin x - (4 \cos^2 x)(-\cos x)) + 0$
$f(x) = -\sin x (4 \sin^3 x + 4 \sin x \cos^2 x) - \cos x (4 \sin^2 x \cos x + 4 \cos^3 x)$
$f(x) = -4 \sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) - 4 \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)$
$f(x) = -4 \sin^2 x - 4 \cos^2 x = -4(\sin^2 x + \cos^2 x) = -4$.
$f(x) = -4$ એ અચળ વિધેય હોવાથી,તેનું વિકલન $f'(x) = 0$ થાય.
તેથી,$f\left(\frac{5\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -4 + 0 = -4$.

(D) પ્રથમ,આપણે ત્રીજી હારના આધારે નિશ્ચાયક $f(x)$ નું મૂલ્ય શોધીએ:
$f(x) = \sin x (-\sin x \cos x - 2 \sin^2 x \sin x) - (-\cos x) (-2 \cos^3 x - \sin x \sin 2x) + 0$
નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $f(x) = -2$ મળે છે.
તેથી,$|f(x)| = 2$ અને $f'(x) = 0$ થાય.
આમ,$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2(2) + 5(0)) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 4 \, dx = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{bmatrix} \alpha + 2\beta + \gamma & 2\alpha + 3\beta + 2\gamma & 3\alpha - 5\beta + 5\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) \alpha + 2\beta + \gamma = 3$
$2) 2\alpha + 3\beta + 2\gamma = 5$
$3) 3\alpha - 5\beta + 5\gamma = 2$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણના બમણા બાદ કરતા: $(2\alpha + 3\beta + 2\gamma) - 2(\alpha + 2\beta + \gamma) = 5 - 2(3) \Rightarrow -\beta = -1 \Rightarrow \beta = 1$.
$\beta = 1$ ને સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$\alpha + \gamma = 3 - 2(1) = 1 \Rightarrow \alpha + \gamma = 1$
$3\alpha + 5\gamma = 2 + 5(1) = 7 \Rightarrow 3\alpha + 5\gamma = 7$
આ બે સમીકરણો ઉકેલતા: $3(1 - \gamma) + 5\gamma = 7 \Rightarrow 3 - 3\gamma + 5\gamma = 7 \Rightarrow 2\gamma = 4 \Rightarrow \gamma = 2$.
તેથી $\alpha = 1 - 2 = -1$.
આમ,$\alpha = -1, \beta = 1, \gamma = 2$.
છેલ્લે,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = (-1)^3 + (1)^3 + (2)^3 = -1 + 1 + 8 = 8$.

(C) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$1) 2x + 3y - 2z = -4$
$2) 3x - 4y + 3z = -5$
$3) kx - 2y + z = -3$
અહીં $x = \alpha = -2$ આપેલ છે,તેથી $x = -2$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2(-2) + 3y - 2z = -4 \Rightarrow -4 + 3y - 2z = -4 \Rightarrow 3y - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 3y \Rightarrow z = \frac{3}{2}y$
$3(-2) - 4y + 3z = -5 \Rightarrow -6 - 4y + 3z = -5 \Rightarrow -4y + 3z = 1$
બીજા સમીકરણમાં $z = \frac{3}{2}y$ મૂકતા:
$-4y + 3(\frac{3}{2}y) = 1 \Rightarrow -4y + \frac{9}{2}y = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}y = 1 \Rightarrow y = 2$
તેથી $z = \frac{3}{2}(2) = 3$.
હવે $x = -2, y = 2, z = 3$ ને ત્રીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$k(-2) - 2(2) + 3 = -3$
$-2k - 4 + 3 = -3$
$-2k - 1 = -3$
$-2k = -2 \Rightarrow k = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$: $\left| \begin{array}{ll} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right| = (3 \times 2) - (5 \times 1) = 6 - 5 = 1$.
આમ,$k = 1$ એ વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$1) \beta x + \alpha y - z = -1$
$2) 3x - \beta y + \alpha z = 0$
$3) \alpha x + \beta y + z = 1$
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઉકેલ $x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = -1$,$y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = 1$,અને $z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = 2$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$(1)$ પરથી: $\beta(-1) + \alpha(1) - 2 = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = 1$
$(2)$ પરથી: $3(-1) - \beta(1) + \alpha(2) = 0 \Rightarrow 2\alpha - \beta = 3$
$(3)$ પરથી: $\alpha(-1) + \beta(1) + 2 = 1 \Rightarrow -\alpha + \beta = -1 \Rightarrow \alpha - \beta = 1$
હવે $\alpha$ અને $\beta$ માટે સમીકરણો ઉકેલતા:
$\alpha - \beta = 1$
$2\alpha - \beta = 3$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(2\alpha - \beta) - (\alpha - \beta) = 3 - 1$
$\alpha = 2$
$\alpha = 2$ ને $\alpha - \beta = 1$ માં મૂકતા:
$2 - \beta = 1 \Rightarrow \beta = 1$
આમ,$(\alpha, \beta) = (2, 1)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sum_{p=1}^7 p^2 \sin^{-1}\left(\frac{4}{5} \sin(px) - \frac{3}{5} \cos(px)\right)$.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ અને $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.
તેથી પદાવલિ $\sin^{-1}(\sin(px) \cos \alpha - \cos(px) \sin \alpha) = \sin^{-1}(\sin(px - \alpha)) = px - \alpha$ બને છે.
આમ,$f(x) = \sum_{p=1}^7 p^2(px - \alpha) = \sum_{p=1}^7 (p^3 x - p^2 \alpha) = x \sum_{p=1}^7 p^3 - \alpha \sum_{p=1}^7 p^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} \left( x \sum_{p=1}^7 p^3 - \alpha \sum_{p=1}^7 p^2 \right) = \sum_{p=1}^7 p^3$.
ઘનનો સરવાળો $n=7$ માટે $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\frac{df}{dx} = \left(\frac{7(8)}{2}\right)^2 = (28)^2 = 784$.

(A) આપેલ છે: $f(x) = \frac{\sqrt{6x^2+5x-6}}{\sqrt{4-x}-\sqrt{x+4}}$
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$(1)$ અંશ વાસ્તવિક હોવો જોઈએ: $6x^2+5x-6 \geq 0$
$(3x-2)(2x+3) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$
$(2)$ છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\sqrt{4-x} - \sqrt{x+4} \neq 0$
$4-x \neq x+4$ $\Rightarrow 2x \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 0$
$(3)$ વર્ગમૂળ પદો વ્યાખ્યાયિત હોવા જોઈએ:
$4-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$
$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
આ શરતોને જોડતા: $x \in [-4, 4] \cap ((-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)) \cap \{x \neq 0\}$
કારણ કે $0$ એ $(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$ અંતરાલમાં નથી,તેથી $x \neq 0$ શરત આપોઆપ સંતોષાય છે.
આમ,પ્રદેશ $[-4, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, 4]$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{2x^2 - 7x + 5}{3x^2 - 5x - 2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અઋણ હોવી જોઈએ:
$\frac{2x^2 - 7x + 5}{3x^2 - 5x - 2} \geq 0$
અંશ અને છેદના અવયવો પાડતા:
અંશ: $(2x - 5)(x - 1)$
છેદ: $(3x + 1)(x - 2)$
તેથી,અસમતા $\frac{(2x - 5)(x - 1)}{(3x + 1)(x - 2)} \geq 0$ થાય.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -\frac{1}{3}, 1, 2, \frac{5}{2}$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પ્રદેશ $\left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup [1, 2) \cup \left[\frac{5}{2}, \infty\right)$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{[x]-x}{x-[x]}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ $x \in R$ માટે,ધારો કે $x = [x] + \{x\}$,જ્યાં $0 \leq \{x\} < 1$.
તેથી $x - [x] = \{x\}$.
જો $x \notin Z$ હોય,તો $\{x\} \neq 0$,તેથી આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \sqrt{\frac{-\{x\}}{\{x\}}} = \sqrt{-1} = i$.
$i$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી,તેથી કોઈપણ $x \notin Z$ માટે $f(x)$ વાસ્તવિક નથી.
જો $x \in Z$ હોય,તો $[x] = x$,જે છેદને $x - [x] = 0$ બનાવે છે.
શૂન્ય વડે ભાગાકાર અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $x \in Z$ માટે $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમતો નથી જેના માટે $f(x)$ વાસ્તવિક હોય.
આવા મૂલ્યોનો ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2+[x]-2}}$.
વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$[x]^2+[x]-2 > 0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $[x] = t$. તો $t^2+t-2 > 0$,જેનું અવયવીકરણ $(t+2)(t-1) > 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ કે $t < -2$ અથવા $t > 1$.
કારણ કે $t = [x]$ એક પૂર્ણાંક છે,$[x] \in \{\dots, -4, -3\} \cup \{2, 3, 4, \dots\}$.
કિસ્સો $1$: જો $[x] \geq 2$,તો $[x]^2+[x]-2$ ની કિંમતો $4, 10, 18, \dots$ મળે છે.
વિધેયની કિંમતો $\frac{1}{\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, \dots$ એટલે કે $(0, \frac{1}{2}]$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $[x] \leq -3$,તો $[x]^2+[x]-2$ ની કિંમતો $4, 10, \dots$ મળે છે.
વિધેયની કિંમતો $\frac{1}{\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, \dots$ એટલે કે $(0, \frac{1}{2}]$ મળે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,વિસ્તાર $(0, \frac{1}{2}]$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ છે.
પ્રદેશ $D$ માટે,$\frac{1-x^2}{1+x^2} \geq 0$ હોવું જોઈએ. દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $1+x^2 > 0$ હોવાથી,$1-x^2 \geq 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x^2 \leq 1$,તેથી $x \in [-1, 1]$. આમ,$D = [-1, 1]$.
વિસ્તાર $G$ માટે,ધારો કે $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$. $x \in [-1, 1]$ હોવાથી,$1-x^2$ ની કિંમત $0$ થી $1$ ની વચ્ચે અને $1+x^2$ ની કિંમત $1$ થી $2$ ની વચ્ચે હોય છે. તેથી,$\frac{1-x^2}{1+x^2}$ ની કિંમત $0$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય છે. વર્ગમૂળ લેતા,$y \in [0, 1]$. આમ,$G = [0, 1]$.
અંતે,$D \cap G = [-1, 1] \cap [0, 1] = [0, 1]$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = |x-2| + |x-3|$ છે.
આપણે ત્રણ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ: $x \leq 2$,$2 < x < 3$,અને $x \geq 3$.
$x \leq 2$ માટે,$f(x) = -(x-2) - (x-3) = -2x + 5$. $x \leq 2$ હોવાથી,$f(x) \geq 1$ મળે.
$2 < x < 3$ માટે,$f(x) = (x-2) - (x-3) = 1$.
$x \geq 3$ માટે,$f(x) = (x-2) + (x-3) = 2x - 5$. $x \geq 3$ હોવાથી,$f(x) \geq 1$ મળે.
આમ,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે અને તે $1$ થી મોટી તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે.
તેથી,વિસ્તાર $[1, \infty)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) પદ $x-[x]$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે,જેને $\{x\}$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\}$ એ અંતરાલ $[0, 1)$ માં હોય છે.
જોકે,છેદ $\sqrt{x-[x]}$ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $x-[x] \neq 0$.
તેથી,$x-[x] \in (0, 1)$.
જેમ $x-[x]$ ની કિંમત $0$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $\frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ ની કિંમત $\infty$ તરફ જાય છે.
જેમ $x-[x]$ ની કિંમત $1$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $\frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ ની કિંમત $1$ તરફ જાય છે.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(1, \infty)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 1 - x$,$g(x) = \frac{1}{1 - x}$,અને $h(x) = \frac{1}{x}$.
આપણને સમીકરણ $f(F(h(x))) = g(x)$ આપેલ છે.
$f$ અને $g$ ના પદો મૂકતા,આપણને $1 - F(h(x)) = \frac{1}{1 - x}$ મળે છે.
$F(h(x))$ માટે ગોઠવતા,આપણને $F(h(x)) = 1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ મળે છે.
ધારો કે $t = h(x) = \frac{1}{x}$. તો $x = \frac{1}{t}$.
$F(h(x))$ ના પદમાં $x = \frac{1}{t}$ મૂકતા,આપણને $F(t) = \frac{1/t}{1/t - 1} = \frac{1/t}{(1 - t)/t} = \frac{1}{1 - t}$ મળે છે.
આમ,$F(x) = \frac{1}{1 - x} = g(x)$.
તેથી,$F(2022) = g(2022)$.

(C) વિધાન $I$ માટે: આપેલ $f(x) = \sec x + \tan x$ અંતરાલ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ પર.
$f'(x) = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$.
અહીં $\sec x + \tan x = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$ થાય છે.
$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,$\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી $f'(x) > 0$ થાય છે. તેથી,$f(x)$ વધતું વિધેય છે અને એક-એક છે.
વિધાન $II$ માટે: આપેલ $f(x) = x^2$ અંતરાલ $[0, \infty)$ પર.
જો $f(x_1) = f(x_2)$ હોય,તો $x_1^2 = x_2^2$. $x_1, x_2 \geq 0$ હોવાથી,$x_1 = x_2$ મળે.
તેથી,$f(x)$ એક-એક વિધેય છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $f: A \rightarrow B$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે,તેથી $f(x)$ નો વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $B$ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
કારણ કે $g: B \rightarrow C$ એ $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $g$ નો પ્રદેશ $B$ છે.
$g(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે:
$4x^2 - 4x - 3 \leq 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(2x - 3)(2x + 1) \leq 0$
બીજ $x = -\frac{1}{2}$ અને $x = \frac{3}{2}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,અસમતા $x \in [-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ માટે સાચી છે.
આમ,$g$ નો પ્રદેશ $[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ છે,જે $f$ નો વિસ્તાર છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} 2x-5 & x < -3 \\ x+2 & -3 \leq x < 5 \\ 3x+1 & x \geq 5 \end{cases}$
$(A) f(-5)+f(0)+f(-1) = (2(-5)-5) + (0+2) + (-1+2) = -15 + 2 + 1 = -12$. તેથી $(A) \rightarrow (IV)$.
$(B) f(f(5)+10f(-3)) = f((3(5)+1) + 10(-3+2)) = f(16 - 10) = f(6) = 3(6)+1 = 19$. તેથી $(B) \rightarrow (V)$.
$(C) f(f(-4)) = f(2(-4)-5) = f(-13) = 2(-13)-5 = -31$. તેથી $(C) \rightarrow (III)$.
$(D) f(f(f(1))) = f(f(1+2)) = f(f(3)) = f(3+2) = f(5) = 3(5)+1 = 16$. તેથી $(D) \rightarrow (I)$.
તેથી,સાચી જોડી $A-IV, B-V, C-III, D-I$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{2x-3}{x^2-5x+6}$.
$x$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,$x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ અઋણ હોવો જોઈએ.
$y(x^2-5x+6) = 2x-3$
$yx^2 - (5y+2)x + (6y+3) = 0$
$x \in \mathbb{R}$ માટે,$D = b^2 - 4ac \geq 0$.
$(5y+2)^2 - 4y(6y+3) \geq 0$
$25y^2 + 20y + 4 - 24y^2 - 12y \geq 0$
$y^2 + 8y + 4 \geq 0$.
$y^2 + 8y + 4 = 0$ ના બીજ $y = \frac{-8 \pm \sqrt{64-16}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{3}$ છે.
આમ,$y \in (-\infty, -4-2\sqrt{3}] \cup [-4+2\sqrt{3}, \infty)$.
$f(x)$ દ્વારા ન લેવાતી કિંમતો $(-4-2\sqrt{3}, -4+2\sqrt{3})$ અંતરાલમાં છે.
અહીં $-4-2\sqrt{3} \approx -7.46$ અને $-4+2\sqrt{3} \approx -0.53$ હોવાથી,$-2$ એ $f(x)$ ના વિસ્તારમાં નથી.

(C) $x = -3$ આગળ સાતત્ય તપાસતા:
$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (3-x) = 3 - (-3) = 6$.
$\lim_{x \to -3^+} f(x) = 6$.
$f(-3) = 6$.
$\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$ હોવાથી,વિધેય $x = -3$ આગળ સતત છે.
$x = 3$ આગળ સાતત્ય તપાસતા:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = 6$.
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (3+x) = 3+3 = 6$.
$f(3) = 6$.
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$ હોવાથી,વિધેય $x = 3$ આગળ સતત છે.
આમ,વિધેય દરેક જગ્યાએ સતત છે,તેથી અસતત બિંદુઓની સંખ્યા $\alpha = 0$ છે.
$x = -3$ આગળ વિકલનીયતા તપાસતા:
$x = -3$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલન $(LHD)$: $\frac{d}{dx}(3-x) = -1$.
$x = -3$ આગળ જમણી બાજુનું વિકલન $(RHD)$: $\frac{d}{dx}(6) = 0$.
$LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f$ એ $x = -3$ આગળ વિકલનીય નથી.
$x = 3$ આગળ વિકલનીયતા તપાસતા:
$x = 3$ આગળ $LHD$: $\frac{d}{dx}(6) = 0$.
$x = 3$ આગળ $RHD$: $\frac{d}{dx}(3+x) = 1$.
$LHD \neq RHD$ હોવાથી,$f$ એ $x = 3$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,અ-વિકલનીય બિંદુઓની સંખ્યા $\beta = 2$ છે.
આમ,$\alpha + \beta = 0 + 2 = 2$.