TS EAMCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $3 + 8 = 11$.
$11$ વ્યક્તિઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો = $(11 - 1)! = 10!$.
હવે,ધારો કે ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે છે. $3$ બહેનોને $1$ એકમ તરીકે ગણો.
કુલ એકમો = $8$ ભાઈઓ + $1$ બહેનોનો એકમ = $9$ એકમો.
$9$ એકમોને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો = $(9 - 1)! = 8!$.
$3$ બહેનો પોતાની વચ્ચે $3! = 6$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે તેવી રીતો = $8! \times 6$.
ત્રણેય બહેનો સાથે ન બેસે તેવી રીતો = (કુલ ગોઠવણી) - (ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી) = $10! - (8! \times 6)$.
$10! - 6 \times 8! = (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
બંને બાજુને $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા.
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અહીં $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ લેતા,$\tan \alpha = \tan(\frac{5\pi}{12})$ મળે.
તેથી,$\sin(\theta + \frac{5\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
ઉકેલ: $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે. નાભિ $S$ એ $(a, 0) = (1, 0)$ છે.
પરવલય પર બિંદુ $P = (4, 4)$ હોવાથી,આપણે $x = at_1^2$ અને $y = 2at_1$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $P$ માટે પ્રાચલ $t_1$ શોધી શકીએ છીએ. તેથી,$4 = 1 \cdot t_1^2 \implies t_1 = 2$.
નાભિ જીવા માટે,અંત્યબિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના પ્રાચલો $t_1$ અને $t_2$ એ $t_1 t_2 = -1$ નું પાલન કરે છે. તેથી,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -\frac{1}{2}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પર પ્રાચલ $t$ વાળા બિંદુનું નાભિ અંતર $a(1 + t^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાચલ $t_2 = -\frac{1}{2}$ વાળા બિંદુ $Q$ માટે,નાભિ અંતર $SQ = a(1 + t_2^2) = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{2})^2) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1 + y = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ મળે.
આ $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,$nx = \frac{3}{4}$ અને $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{15}{32}$ મળે.
$n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મેળવતા,$1 + y = (1 - 1/2)^{-3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1 + y)^2 = 8$,તેથી $y^2 + 2y - 7 = 0$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0)$ લો. સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_0}{2} + yy_0 = 1$ થાય.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A = (\frac{2}{x_0}, 0)$ અને $B = (0, \frac{1}{y_0})$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ અંતઃખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{1}{x_0}$ અને $k = \frac{1}{2y_0}$,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = \frac{1}{h}$ અને $y_0 = \frac{1}{2k}$.
કારણ કે $(x_0, y_0)$ ઉપવલય પર છે,તેથી $(\frac{1}{h})^2 + 2(\frac{1}{2k})^2 = 2$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{2k^2} = 2$ થાય.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2y^2} = 2$ મળે છે.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $Q$ માટે,અભિલંબ $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
તેથી,બીજો અભિલંબ $ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2 + b^2$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $ax(\cos \theta - \sin \theta) + by(\cot \theta - \tan \theta) = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$k = -\left(\frac{a^2+b^2}{b}\right)$ મળે છે.

(D) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+a x^2-b x+c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = -b$
$\alpha \beta \gamma = -c$
આપણે $\sum \beta^2(\gamma+\alpha) = \beta^2(\gamma+\alpha) + \gamma^2(\alpha+\beta) + \alpha^2(\beta+\gamma)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\sum \alpha^2(\beta+\gamma) = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) - 3 \alpha \beta \gamma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= (-a)(-b) - 3(-c) = ab + 3c$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3+px+q=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે,તેથી $\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=p$,અને $\alpha\beta\gamma=-q$ મળે.
$\alpha^3+p\alpha+q=0$ હોવાથી,$\alpha^4 = -p\alpha^2-q\alpha$ મળે.
બધા બીજ માટે સરવાળો લેતા,$\sum \alpha^4 = -p\sum \alpha^2 - q\sum \alpha = -p(-2p) - 0 = 2p^2$.
આમ,$\sum \alpha^2\beta + \sum \alpha^4$ ની કિંમત $f(-1)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,તેથી વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 < 4ac$.
ધારો કે $f(x) = 3a^2x^2 + 6abx + 2b^2$.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક $3a^2 > 0$ હોવાથી,આ પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત મળશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4AC - B^2}{4A}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 3a^2$,$B = 6ab$,અને $C = 2b^2$.
ન્યૂનતમ કિંમત $= \frac{4(3a^2)(2b^2) - (6ab)^2}{4(3a^2)} = \frac{24a^2b^2 - 36a^2b^2}{12a^2} = \frac{-12a^2b^2}{12a^2} = -b^2$.
ચૂકી $b^2 < 4ac$,તેથી $-b^2 > -4ac$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-4ac$ કરતા મોટી છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ ના બીજને $h$ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે. $x$ ને $x+h$ વડે બદલતા,સમીકરણ $(x+h)^4+(x+h)^3-4(x+h)^2+(x+h)+1=0$ બને છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2$ નો સહગુણક $6h^2+3h-4$ મળે છે.
$x^2$ પદ ગેરહાજર હોવાથી,આપણે $6h^2+3h-4=0$ લઈએ છીએ.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના તફાવત માટેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $6h^2+3h-4=0$ પરથી,$\alpha+\beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ અને $\alpha\beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ મળે છે.
આમ,$(\alpha-\beta)^2 = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{3+32}{12} = \frac{35}{12}$.
તેથી,$12(\alpha-\beta)^2 = 12 \times \frac{35}{12} = 35$.

(D) $x^2+9x+20=0$ ના બીજ $x = -5$ અને $x = -4$ છે.
$x^2+bx+c=0$ ના બીજ $r_3$ અને $r_4$ ધારો.
આપેલ શરત $|\alpha_1-\alpha_3|=8$ અને $|\alpha_2-\alpha_4|=8$ મુજબ,શક્ય બીજની જોડીઓ મેળવતા અને $b = -(r_3+r_4)$ તથા $c = r_3r_4$ ગણતરી કરતા,$b$ અને $c$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $143$ મળે છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $\lambda x^2 + 13x + 7 = 0$ ના બીજ સંમેય હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ. $\lambda$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$D$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = 169 - 28\lambda$.
$\lambda \in (-3, 7)$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ચકાસણી કરતા:
$\lambda = -2$ માટે,$D = 225 = (15)^2$ (પૂર્ણ વર્ગ).
$\lambda = 0$ માટે,સમીકરણ $13x + 7 = 0$ થાય,જેનું બીજ $x = -7/13$ (સંમેય).
$\lambda = 6$ માટે,$D = 1 = (1)^2$ (પૂર્ણ વર્ગ).
આમ,$S = \{-2, 0, 6\}$.
સરવાળો $= -2 + 0 + 6 = 4$.

(B) આપેલ છે,$\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
અંશને સરખાવતા:
$1 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+C = 0, B-A+C+D = 0, A-B+C+D = 0, B+D = 1$.
ઉકેલતા આપણને $A=\frac{1}{2}, B=\frac{1}{2}, C=-\frac{1}{2}, D=\frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$A+B+C+D = 1$.
તેથી,$\cos^{-1}(A+B+C+D) = \cos^{-1}(1) = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3+3x^2-x-3=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2(x+3)-1(x+3)=0$
$(x^2-1)(x+3)=0$
$(x-1)(x+1)(x+3)=0$
તેથી,બીજ $\alpha = -3, \beta = -1, \gamma = 1$ છે.
હવે,આપણે પદાવલિની ગણતરી કરીએ:
$(1+\alpha^2)(1+\beta^2)(1+\gamma^2) = (1+(-3)^2)(1+(-1)^2)(1+(1)^2)$
$= (1+9)(1+1)(1+1)$
$= (10)(2)(2) = 40$.

(A) ધારો કે $x^3+a x^2+b x+c=0$ ના બીજ $\alpha-1, \alpha, \alpha+1$ છે કારણ કે બીજ $1$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
બીજનો સરવાળો $= (\alpha-1) + \alpha + (\alpha+1) = 3\alpha = -a \Rightarrow \alpha = -\frac{a}{3} \quad \dots(i)$
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $= (\alpha-1)\alpha + \alpha(\alpha+1) + (\alpha-1)(\alpha+1) = b$
$\Rightarrow 3\alpha^2 - 1 = b \quad \dots(ii)$
બીજનો ગુણાકાર $= (\alpha-1)\alpha(\alpha+1) = \alpha(\alpha^2-1) = -c \quad \dots(iii)$
$\alpha = -\frac{a}{3}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $3(-\frac{a}{3})^2 - 1 = b$ $\Rightarrow \frac{a^2}{3} - 1 = b$ $\Rightarrow a^2 = 3(b+1)$.
$\alpha = -\frac{a}{3}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા: $(-\frac{a}{3})((-\frac{a}{3})^2 - 1) = -c$
$\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{a^2}{9} - 1) = c$ $\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{3(b+1)}{9} - 1) = c$
$\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{b+1}{3} - 1) = c$ $\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{b-2}{3}) = c$ $\Rightarrow 9c = a(b-2)$.

(C) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+7x+3=0$ ના બીજ છે.
જેના બીજ $\frac{3p}{1-2p}$ અને $\frac{3q}{1-2q}$ હોય તેવું દ્વિઘાત સમીકરણ શોધવા માટે,$y = \frac{3x}{1-2x}$ લો.
તેથી $y(1-2x) = 3x$ $\Rightarrow y - 2xy = 3x$ $\Rightarrow y = x(3+2y)$ $\Rightarrow x = \frac{y}{3+2y}$.
કારણ કે $x$ એ $x^2+7x+3=0$ નું બીજ છે,તેથી $x = \frac{y}{3+2y}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{y}{3+2y})^2 + 7(\frac{y}{3+2y}) + 3 = 0$.
$(3+2y)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $y^2 + 7y(3+2y) + 3(3+2y)^2 = 0$.
$y^2 + 21y + 14y^2 + 3(9 + 12y + 4y^2) = 0$.
$15y^2 + 21y + 27 + 36y + 12y^2 = 0$.
$27y^2 + 57y + 27 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $9y^2 + 19y + 9 = 0$ મળે છે.
આને $lx^2+mx+n=0$ સાથે સરખાવતા,$l=9, m=19, n=9$ મળે છે.
$9, 19, 9$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $1$ છે.
તેથી,$l-m+n = 9 - 19 + 9 = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+x^2+1=0$ છે.
સમીકરણમાં માત્ર $x$ ની બેકી ઘાત હોવાથી,જો $x$ એ બીજ હોય,તો $-x$ પણ બીજ થાય.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
બીજ $\pm x_i$ ની જોડીમાં હોવાથી,આપણે તેમને $\alpha, -\alpha, \gamma, -\gamma$ તરીકે લખી શકીએ.
કોઈપણ એકી ઘાત $n$ માટે,બીજના $n$-ઘાતનો સરવાળો $\alpha^n + (-\alpha)^n + \gamma^n + (-\gamma)^n$ થાય.
જો $n$ એકી હોય,તો $\alpha^n + (-\alpha)^n = \alpha^n - \alpha^n = 0$.
તેથી,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3 = 0$.
અંશ $0$ હોવાથી અને છેદ $\alpha^6+\beta^6+\gamma^6+\delta^6$ શૂન્યતર હોવાથી,અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
$\alpha$ બીજ હોવાથી,$a\alpha^2+b\alpha+c=0$,જેનો અર્થ છે કે $a\alpha^2+b\alpha = -c$.
$\alpha$ સામાન્ય લેતા,$\alpha(a\alpha+b) = -c$,તેથી $a\alpha+b = -\frac{c}{\alpha}$.
તે જ રીતે,$\beta$ બીજ હોવાથી,$a\beta^2+b\beta+c=0$,જેનો અર્થ છે કે $a\beta^2+b\beta = -c$.
$\beta$ સામાન્ય લેતા,$\beta(a\beta+b) = -c$,તેથી $a\beta+b = -\frac{c}{\beta}$.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\alpha}{a\beta+b}\right)^3 - \left(\frac{\beta}{a\alpha+b}\right)^3 = \left(\frac{\alpha}{-c/\beta}\right)^3 - \left(\frac{\beta}{-c/\alpha}\right)^3$
$= \left(-\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 - \left(-\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3$
$= -\left(\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 + \left(\frac{\alpha\beta}{c}\right)^3 = 0$.

(C) ધારો કે $y = x^2 - 2nx$. સમીકરણ $(x-n)(y^2 + (2n^2-5)y + (n^4-5n^2+4)) = 0$ બને છે.
$y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^2 + (2n^2-5)y + (n^2-1)(n^2-4) = (y + n^2-1)(y + n^2-4) = 0$.
$y$ ની કિંમત પાછી મૂકતા: $(x-n)(x^2 - 2nx + n^2 - 1)(x^2 - 2nx + n^2 - 4) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $(x-n)((x-n)^2 - 1)((x-n)^2 - 4) = 0$ થાય છે.
$(x-n)(x-n-1)(x-n+1)(x-n-2)(x-n+2) = 0$.
બીજ $x = n, n+1, n-1, n+2, n-2$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
આ $5$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $5! = 120$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(A) આપેલ છે કે $2+\sqrt{3}$ એ $f(x)=x^4+2x^3-16x^2-22x+7=0$ નું બીજ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $2-\sqrt{3}$ પણ બીજ થશે.
ધારો કે $x=2+\sqrt{3}$,તો $(x-2)^2=3$,જેનું સાદું રૂપ $x^2-4x+1=0$ થાય છે.
$f(x)$ ને $x^2-4x+1$ વડે ભાગતા,ભાગફળ $x^2+6x+7$ મળે છે.
$x^2+6x+7=0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36-28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}$.
$f(x)=0$ ના બીજ $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, -3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$3-\sqrt{2}$ એ બીજ નથી.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ $3x^2 - 7x + 2 = 0$ અને $kx^2 + 7x - 3 = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$3\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$ $\dots(i)$
અને $k\alpha^2 + 7\alpha - 3 = 0$ $\dots(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$(k+3)\alpha^2 - 1 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^2 = \frac{1}{k+3}$.
$(i)$ પરથી,$3\alpha^2 + 2 = 7\alpha$,તેથી $3(\frac{1}{k+3}) + 2 = 7\alpha$,જે $\alpha = \frac{2k+9}{7(k+3)}$ આપે છે.
$\alpha^2$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{k+3} = \left(\frac{2k+9}{7(k+3)}\right)^2$.
$49(k+3) = (2k+9)^2 = 4k^2 + 36k + 81$.
$4k^2 - 13k - 66 = 0$.
$(k-6)(4k+11) = 0$.
$k$ ધન હોવાથી,$k = 6$.

(C) ધારો કે $x_1, x_2, x_3$ એ $E_1: x^3+x^2+lx+n=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$x_1+x_2+x_3 = -1$.
આપેલ છે કે $E_2: x^3+ax^2+bx+c=0$ એ પ્રથમ પ્રકારનું વ્યસ્ત સમીકરણ છે,તેથી $c=1$ અને $a=b$.
આમ,$E_2: x^3+ax^2+ax+1=0$.
$E_2$ ના બીજ $\frac{x_i-1}{2}$ છે.
$E_2$ ના બીજનો સરવાળો $\sum \frac{x_i-1}{2} = \frac{(x_1+x_2+x_3)-3}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$.
$E_2$ પરથી,બીજનો સરવાળો $-a$ છે,તેથી $-a = -2 \Rightarrow a=2$.
$E_2$ એ $x^3+2x^2+2x+1 = (x+1)(x^2+x+1) = 0$ બને છે.
$E_2$ ના બીજ $-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ છે.
$\frac{x_i-1}{2} = y_i$ નો ઉપયોગ કરતા,$x_i = 2y_i+1$.
$y_1 = -1$ માટે,$x_1 = 2(-1)+1 = -1$.
$y_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x_2 = 2(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})+1 = i\sqrt{3}$.
$y_3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x_3 = 2(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2})+1 = -i\sqrt{3}$.
$E_1$ ના બીજ $\{-1, i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}\}$ છે.
$E_2$ ના બીજ $\{-1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ છે.
સામાન્ય બીજ $-1$ છે.
સામાન્ય બીજને બાદ કરતાં,બાકીના બીજ $\{i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\}$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $3x^2 - 16x + 4 > -16$ છે.
આનું સાદું રૂપ $3x^2 - 16x + 20 > 0$ થાય છે.
ધારો કે $f(x) = 3x^2 - 16x + 20$. અહીં $a = 3, b = -16, c = 20$.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(3)(20) = 256 - 240 = 16 > 0$.
$3x^2 - 16x + 20 = 0$ ના બીજ $x = 2$ અને $x = \frac{10}{3}$ મળે છે.
$a > 0$ હોવાથી,$x \in (-\infty, 2) \cup (\frac{10}{3}, \infty)$ માટે $f(x) > 0$ થાય છે.
અંતરાલ $(0, \frac{10}{3})$ માં $x=1$ જેવી કિંમતો છે જ્યાં $f(1) = 7 > 0$ થાય છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે જ્યારે $D > 0$ હોય ત્યારે $ax^2 + bx + c$ અને $a$ સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે. આ સાચું છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપણી પાસે $f(x) = 1-2x-5x^2 = -5(x+\frac{1}{5})^2 + \frac{6}{5}$ છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\alpha = \frac{6}{5}$ છે.
વળી,$g(x) = x^2-2x+r = (x-1)^2 + r-1$ છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $\beta = r-1$ છે.
અસમતા $6x^2 + (r-1)x + 6 > 0$ માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$(r-1)^2 - 144 < 0 \Rightarrow (r-13)(r+11) < 0$.
તેથી,$r \in (-11, 13)$.

(D) ધારો કે $y = \frac{x^2+ax+3}{x^2+x+1}$.
તેથી $yx^2 + yx + y = x^2 + ax + 3$,જે સૂચવે છે કે $(y-1)x^2 + (y-a)x + (y-3) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$(y-a)^2 - 4(y-1)(y-3) \geq 0$.
$y^2 - 2ay + a^2 - 4(y^2 - 4y + 3) \geq 0$.
$-3y^2 + (16-2a)y + (a^2-12) \geq 0$.
$3y^2 + (2a-16)y + (12-a^2) \leq 0$.
$y$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ હોય તે માટે,$y$ માં આ દ્વિઘાત અસમતા તમામ $y \in R$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,જે ધન અગ્ર સહગુણક $(3 > 0)$ ધરાવતી દ્વિઘાત પદાવલિ માટે અશક્ય છે.
આમ,કોઈ પણ $a$ માટે આ પદાવલિ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો ધારણ કરી શકે નહીં.

(D) ધારો કે $y = \frac{9 \cdot 3^{2x} + 6 \cdot 3^x + 4}{9 \cdot 3^{2x} - 6 \cdot 3^x + 4}$.
$t = 3^x$ લેતા,જ્યાં $t > 0$.
તેથી $y = \frac{9t^2 + 6t + 4}{9t^2 - 6t + 4}$.
$y(9t^2 - 6t + 4) = 9t^2 + 6t + 4$.
$9t^2(y - 1) - 6t(y + 1) + 4(y - 1) = 0$.
$t$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = [-6(y + 1)]^2 - 4 \cdot 9(y - 1) \cdot 4(y - 1) \geq 0$.
$36(y + 1)^2 - 144(y - 1)^2 \geq 0$.
$36$ વડે ભાગતા: $(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \geq 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \geq 0$.
$(-y + 3)(3y - 1) \geq 0$.
$(y - 3)(3y - 1) \leq 0$.
આમ,$\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+14x+9}{x^2+2x+3}$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,છેદ $x^2+2x+3 = (x+1)^2+2$ હંમેશા ધન છે.
$y(x^2+2x+3) = x^2+14x+9$
$x^2(y-1) + 2x(y-7) + 3y-9 = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [2(y-7)]^2 - 4(y-1)(3y-9) \geq 0$
$4(y^2-14y+49) - 4(3y^2-12y+9) \geq 0$
$y^2-14y+49 - 3y^2+12y-9 \geq 0$
$-2y^2-2y+40 \geq 0$
$y^2+y-20 \leq 0$
$(y+5)(y-4) \leq 0$.
આમ,$y \in [-5, 4]$.
તેથી મહત્તમ કિંમત $4$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.

(C) આપેલ અસમતા $\frac{\sqrt{12-x-x^2}}{x+10} \leq \frac{\sqrt{12-x-x^2}}{2x+9}$ છે.
પ્રથમ,વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $12-x-x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x^2+x-12 \leq 0$,તેથી $(x+4)(x-3) \leq 0$,જે $x \in [-4, 3]$ આપે છે.
ઉપરાંત,છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $x \neq -10$ અને $x \neq -4.5$.
કિસ્સો $1$: જો $12-x-x^2 = 0$,તો $x = -4$ અથવા $x = 3$. બંને અસમતા $0 \leq 0$ નું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $2$: જો $12-x-x^2 > 0$,તો આપણે $\sqrt{12-x-x^2}$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{1}{x+10} \leq \frac{1}{2x+9} \implies \frac{x-1}{(x+10)(2x+9)} \leq 0$.
$x \in (-4, 3)$ માટે ચિહ્ન યોજનાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(-4, 1]$ મળે છે.
કિસ્સો $1$ અને $2$ ને જોડતા,$x \in [-4, 1] \cup \{3\}$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^2+1}{(x+2)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$ છે.
બંને બાજુ $(x+2)(x^2+x+1)$ વડે ગુણતા,$x^2+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x+2)$ મળે.
$x = -2$ લેતા: $5 = 3A \Rightarrow A = \frac{5}{3}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $1 = A + B \Rightarrow B = -\frac{2}{3}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $1 = A + 2C \Rightarrow C = -\frac{1}{3}$.
તેથી,$A - B + C = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 2$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$ એ $a x^4+b x^3+c x^2+d x+e=0$ ના બીજ છે.
સમીકરણ $e x^4+d x^3+c x^2+b x+a=0$ ના બીજ એ પ્રથમ સમીકરણના બીજના વ્યસ્ત છે.
તેથી,$\alpha_2 = \frac{1}{\delta_1}, \beta_2 = \frac{1}{\gamma_1}, \gamma_2 = \frac{1}{\beta_1}, \delta_2 = \frac{1}{\alpha_1}$.
આપેલ છે $\alpha_1 - \delta_2 = 2 \implies \alpha_1 - \frac{1}{\alpha_1} = 2 \implies \alpha_1^2 - 2\alpha_1 - 1 = 0$.
આપેલ છે $\delta_1 - \alpha_2 = 4 \implies \delta_1 - \frac{1}{\delta_1} = 4 \implies \delta_1^2 - 4\delta_1 - 1 = 0$.
કારણ કે $\alpha_1$ અને $\delta_1$ એ ચતુર્થઘાત સમીકરણના બીજ છે,તેથી દ્વિઘાત અવયવો $(x^2 - 2x - 1)$ અને $(x^2 - 4x - 1)$ છે.
તેથી,$a x^4+b x^3+c x^2+d x+e = (x^2 - 2x - 1)(x^2 - 4x - 1)$.
$a+b+c+d+e$ શોધવા માટે,$x=1$ મૂકતા:
$a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e = (1^2 - 2(1) - 1)(1^2 - 4(1) - 1)$.
$a+b+c+d+e = (-2)(-4) = 8$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^4+x^3-4x^2+x-1=0$.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો: $\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2\sum x_ix_j = (-1)^2 - 2(-4) = 1+8 = 9$.
ભિન્ન બીજનો ગુણાકાર: $1$.
ગુણોત્તર: $9:1$.

(C) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3 - px^2 + px - 1 = 0$ સમીકરણના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = p$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p$
$\alpha\beta\gamma = 1$
આપેલ છે કે $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ મૂળ સમીકરણ જેવું જ છે,તેથી બીજનો સરવાળો પણ $p$ થવો જોઈએ:
$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = p$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$.
કિંમતો મૂકતા:
$p^2 = p + 2(p)$
$p^2 = 3p$
$p$ શૂન્યતર હોવાથી,$p$ વડે ભાગતા:
$p = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} + \sqrt{\frac{x-2}{5x}} = \frac{29}{10}$ છે.
ધારો કે $y = \sqrt{\frac{5x}{x-2}}$. તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{29}{10}$ બને છે.
$10y$ વડે ગુણતા,$10y^2 - 29y + 10 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા: $10y^2 - 25y - 4y + 10 = 0 \Rightarrow 5y(2y - 5) - 2(2y - 5) = 0$.
તેથી,$(5y - 2)(2y - 5) = 0$,જે $y = \frac{2}{5}$ અથવા $y = \frac{5}{2}$ આપે છે.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \frac{5x}{x-2} = \frac{4}{25}$ $\Rightarrow 125x = 4x - 8$ $\Rightarrow 121x = -8$ $\Rightarrow x = -\frac{8}{121}$.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{\frac{5x}{x-2}} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow \frac{5x}{x-2} = \frac{25}{4}$ $\Rightarrow \frac{x}{x-2} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 4x = 5x - 10$ $\Rightarrow x = 10$.
$\alpha > \beta$ હોવાથી,$\alpha = 10$ અને $\beta = -\frac{8}{121}$ મળે.
હવે,$\sqrt{\alpha^2 - 11^4 \beta^2} = \sqrt{10^2 - 11^4 \left(-\frac{8}{121}\right)^2} = \sqrt{100 - 11^4 \cdot \frac{64}{11^4}} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+6=0$
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$. તેથી $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
સમીકરણ $(t^2-2)-5t+6=0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $t^2-5t+4=0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(t-4)(t-1)=0$ મળે,તેથી $t=4$ અથવા $t=1$.
કિસ્સો $1$: $x+\frac{1}{x}=4 \Rightarrow x^2-4x+1=0$. વિવેચક $D = 16-4 = 12 > 0$,તેથી બીજ વાસ્તવિક છે.
કિસ્સો $2$: $x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$. વિવેચક $D = 1-4 = -3 < 0$,તેથી બીજ સંકર છે.
બીજ $x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\beta = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
દરેક સંકર બીજનો માનાંક $|\alpha| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ છે.
તે જ રીતે,$|\beta| = 1$.
માનાંકનો સરવાળો $|\alpha| + |\beta| = 1 + 1 = 2$ થાય.

(A) ધારો કે $f(x) = x^5-8x^4+25x^3-38x^2+28x-8$.
જો $\alpha$ એ $3$ ગુણકતા ધરાવતું બીજ હોય,તો $f(\alpha) = 0$,$f'(\alpha) = 0$,અને $f''(\alpha) = 0$ થાય.
વિકલન કરતા:
$f'(x) = 5x^4-32x^3+75x^2-76x+28$
$f''(x) = 20x^3-96x^2+150x-76$
$x = 2$ માટે ચકાસતા:
$f(2) = 32-128+200-152+56-8 = 0$
$f'(2) = 80-256+300-152+28 = 0$
$f''(2) = 160-384+300-76 = 0$
$f'''(2) = 60(4)-192(2)+150 = 6 \neq 0$.
આમ,$\alpha = 2$ એ $3$ ગુણકતા ધરાવતું બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2-5\alpha+6 = (2)^2-5(2)+6 = 4-10+6 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$
પદોને ગોઠવતા: $6(x^6-1) - 25x(x^4-1) + 31x^2(x^2-1) = 0$
$(x^2-1)$ સામાન્ય લેતા: $(x^2-1)[6(x^4+x^2+1) - 25x(x^2+1) + 31x^2] = 0$
$(x^2-1)[6x^4 - 25x^3 + 37x^2 - 25x + 6] = 0$
બીજા કૌંસને $x^2$ વડે ભાગતા: $x^2(x^2-1)[6(x^2+\frac{1}{x^2}) - 25(x+\frac{1}{x}) + 37] = 0$
ધારો કે $y = x+\frac{1}{x}$,તો $x^2+\frac{1}{x^2} = y^2-2$.
$6(y^2-2) - 25y + 37 = 0 \Rightarrow 6y^2 - 25y + 25 = 0$
$(2y-5)(3y-5) = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{2}, \frac{5}{3}$
$x+\frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ માટે,$x=2, \frac{1}{2}$ (વાસ્તવિક બીજ).
$x+\frac{1}{x} = \frac{5}{3}$ માટે,$3x^2-5x+3=0$. આ બીજ સંકર છે.
આ સંકર બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -(\frac{-5}{3}) = \frac{5}{3}$.

(A) $\theta=\frac{\pi}{2}$ માટે,$\cos \theta = 0$ અને $\sin \theta = 1$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{0+i(1)}{1+i(0)}\right)^{2020} + \left(\frac{1+0+i(1)}{1-0+i(1)}\right)^{2021}$
$= (i)^{2020} + \left(\frac{1+i}{1+i}\right)^{2021}$
$= (i^4)^{505} + (1)^{2021}$
$= (1)^{505} + 1 = 1 + 1 = 2$.
તેથી $x+iy = 2$ હોવાથી,$x=2$ અને $y=0$ મળે.
આમ,$x+y = 2+0 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $z = e^{ix} = \cos x + i \sin x$ એ બહુપદી સમીકરણ $z^n + p_1 z^{n-1} + \ldots + p_n = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં સહગુણકો $p_i$ વાસ્તવિક છે.
વાસ્તવિક સહગુણકો હોવાથી,તેનો સંકર અનુબદ્ધ $z = e^{-ix} = \cos x - i \sin x$ પણ સમીકરણનો ઉકેલ હશે.
$z = e^{ix}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(e^{ix})^n + p_1 (e^{ix})^{n-1} + \ldots + p_{n-1} e^{ix} + p_n = 0$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{ikx} = \cos kx + i \sin kx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\cos nx + i \sin nx) + p_1(\cos(n-1)x + i \sin(n-1)x) + \ldots + p_{n-1}(\cos x + i \sin x) + p_n = 0$.
કાલ્પનિક ભાગને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\sin nx + p_1 \sin(n-1)x + \ldots + p_{n-1} \sin x = 0$.

(A) આપેલ છે કે $a^2+b^2+c^2=1$ અને $b+ic=(1+a)z$.
$z = \frac{b+ic}{1+a}$.
તેથી $iz = \frac{-c+ib}{1+a}$.
$\frac{1+iz}{1-iz} = \frac{1 + \frac{-c+ib}{1+a}}{1 - \frac{-c+ib}{1+a}} = \frac{1+a-c+ib}{1+a+c-ib}$.
અંશ અને છેદને $(1+a+c)+ib$ વડે ગુણતા:
$= \frac{((1+a)+ib)^2 - c^2}{(1+a+c)^2+b^2} = \frac{2(1+a)(a+ib)}{2(1+a)(1+c)} = \frac{a+ib}{1+c}$.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r z^r$ આપેલ છે.
ધારો કે $z = \cos x + i \sin x = e^{ix}$.
તેથી $(1 + e^{ix})^n = \sum_{r=0}^{n} { }^n C_r e^{irx}$.
$1 + e^{ix} = 2 \cos \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$(1 + e^{ix})^n = (2 \cos \frac{x}{2})^n e^{i \frac{nx}{2}} = (2 \cos \frac{x}{2})^n (\cos \frac{nx}{2} + i \sin \frac{nx}{2})$.
કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$\sum_{r=0}^{n} { }^n C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^n \sin(\frac{nx}{2})$.
$n = 100$ માટે,$\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = (2 \cos \frac{x}{2})^{100} \sin(50x)$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$k = 50$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A_n = \cos \left(\frac{\pi}{2^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
તેથી,$A_1 A_2 A_3 A_4 = e^{i \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\right)}$.
ઘાતાંકોનો સરવાળો: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
તેથી,$(A_1 A_2 A_3 A_4)^4 = (e^{i \pi \frac{15}{16}})^4 = e^{i \pi \frac{15}{4}}$.
$e^{i \frac{15\pi}{4}} = e^{i (4\pi - \frac{\pi}{4})} = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4}) + i \sin(4\pi - \frac{\pi}{4})$.
$= \cos(\frac{\pi}{4}) - i \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે $w = \frac{z-2}{z-4i}$. આપેલી શરતો $\operatorname{Re}(w) = 0$ અને $\operatorname{Im}(w) = 1$ છે।
આનો અર્થ એ છે કે $w = 0 + 1i = i$.
તેથી, $\frac{z-2}{z-4i} = i$.
બંને બાજુ $(z-4i)$ વડે ગુણતા, આપણને $z-2 = i(z-4i)$ મળે છે।
$z-2 = iz - 4i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી, $z-2 = iz + 4$.
પદોને ગોઠવતા, $z - iz = 4 + 2$.
$z(1-i) = 6$.
$z = \frac{6}{1-i} = \frac{6(1+i)}{2} = 3(1+i)$.
$z$ માટે એક અનન્ય કિંમત હોવાથી, બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$\arg(\bar{z}_1) = \frac{\pi}{5}$ અને $\arg(z_2) = \frac{\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\arg(\bar{z}_1) = -\arg(z_1)$,તેથી $\arg(z_1) = -\frac{\pi}{5}$.
તેથી,$\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = -\frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{15}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$,$\frac{\pi}{2} + \arg(z)$ નહીં.
તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$.
તો,આર્ગેન્ડ સમતલમાં લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(x, y), (x, -y), (-x, -y),$ અને $(-x, y)$ છે.
લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ $|2x|$ અને $|2y|$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $4|xy|$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $2\sqrt{3}$ છે,તેથી $4|xy| = 2\sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $|xy| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વિકલ્પ $A$ માટે,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \sqrt{3}$.
તેથી $|xy| = |\frac{1}{2} \times \sqrt{3}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$ એ એક શક્ય ઉકેલ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \{z : |z| \leq 2\}$,જેનો અર્થ છે $\sqrt{x^2 + y^2} \leq 2$,અથવા $x^2 + y^2 \leq 4$.
આપેલ છે કે $B = \{z : (1-i)z + (1+i)\bar{z} \geq 4\}$.
$z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$ મૂકતા:
$(1-i)(x+iy) + (1+i)(x-iy) \geq 4$
$(x + iy - ix - i^2y) + (x - iy + ix - i^2y) \geq 4$
$(x + iy - ix + y) + (x - iy + ix + y) \geq 4$
$2x + 2y \geq 4 \implies x + y \geq 2$.
આમ,$A \cap B = \{z : x^2 + y^2 \leq 4 \text{ અને } x + y \geq 2\}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$ માટે,$z = \sqrt{3} + \frac{1}{2}i$: $|z|^2 = 3 + \frac{1}{4} = 3.25 \leq 4$ (સાચું). $x+y = \sqrt{3} + 0.5 \approx 1.732 + 0.5 = 2.232 \geq 2$ (સાચું).
તેથી,$\sqrt{3} + \frac{1}{2}i$ એ $A \cap B$ માં આવે છે.

(D) વિધાન $(A)$ માટે: આપેલ છે $|z| \geq 3$.
આપણે અસમતા $|z_1 + z_2| \geq ||z_1| - |z_2||$ નો ઉપયોગ કરીએ.
તેથી,$|z + \frac{3}{z}| \geq ||z| - |\frac{3}{z}|| = ||z| - \frac{3}{|z|}||$.
ધારો કે $f(t) = t - \frac{3}{t}$ જ્યાં $t = |z| \geq 3$.
$f(t)$ એ $t \geq 3$ માટે વધતું વિધેય હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t = 3$ આગળ મળે.
$f(3) = 3 - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2$.
તેથી,$|z + \frac{3}{z}| \geq 2$.
વિધાનમાં ન્યૂનતમ કિંમત $1$ આપેલી છે,જે ખોટું છે.
કારણ $(R)$ માટે: ત્રિકોણીય અસમતા મુજબ $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. વિધાન $|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ એ ત્રિકોણીય અસમતાનું સાચું સ્વરૂપ છે,જે સત્ય છે.
તેથી,$A$ ખોટું છે પણ $R$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે,$|z|-z=2+i$.
ધારો કે $z=x+iy$. તેથી $\sqrt{x^2+y^2}-(x+iy)=2+i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sqrt{x^2+y^2}-x=2$ અને $-y=1$.
આમ,$y=-1$.
$y=-1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{x^2+(-1)^2}-x=2$.
$\sqrt{x^2+1}=x+2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+1=(x+2)^2 = x^2+4x+4$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $1=4x+4$ $\Rightarrow 4x=-3$ $\Rightarrow x=-\frac{3}{4}$.
તેથી,$z=-\frac{3}{4}-i$.
માનાંક $|z|=\sqrt{(-\frac{3}{4})^2+(-1)^2} = \sqrt{\frac{9}{16}+1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $z=e^{i \theta}$,તેથી $\cos n \theta = \frac{z^n+z^{-n}}{2}$ અને $\sin n \theta = \frac{z^n-z^{-n}}{2i}$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3(\frac{z^3+z^{-3}}{2})+2(\frac{z^2+z^{-2}}{2})+5(\frac{z^5+z^{-5}}{2})}{3(\frac{z^3-z^{-3}}{2i})+2(\frac{z^2-z^{-2}}{2i})+5(\frac{z^5-z^{-5}}{2i})} = i \frac{5z^{10}+3z^8+2z^7+2z^3+3z^2+5}{5z^{10}+3z^8+2z^7-2z^3-3z^2-5} = i \frac{\sum_{r=0}^{10} a_r z^r}{\sum_{r=0}^{10} b_r z^r}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,સહગુણકોનો સરવાળો $\sum (a_r+b_r) = 2+3+5 = 10$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\sum_{r=0}^{10} (a_r+b_r)}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

(B) ધારો કે $z_1 = \frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta} = \frac{\cos \theta+i \sin \theta}{i(\cos \theta-i \sin \theta)} = \frac{1}{i} \cdot \frac{e^{i \theta}}{e^{-i \theta}} = -i e^{i 2 \theta}$.
તેથી $z_1^8 = (-i)^8 (e^{i 2 \theta})^8 = 1 \cdot e^{i 16 \theta} = \cos 16 \theta + i \sin 16 \theta$.
ધારો કે $z_2 = \frac{1+\cos \theta-i \sin \theta}{1+\cos \theta+i \sin \theta} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + i 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{e^{-i \theta/2}}{e^{i \theta/2}} = e^{-i \theta}$.
તેથી $z_2^{16} = (e^{-i \theta})^{16} = e^{-i 16 \theta} = \cos 16 \theta - i \sin 16 \theta$.
બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $z_1^8 + z_2^{16} = (\cos 16 \theta + i \sin 16 \theta) + (\cos 16 \theta - i \sin 16 \theta) = 2 \cos 16 \theta$.

(D) આપેલ સમીકરણ $z^2(1-z^2)=16$,જ્યાં $z \in \mathbb{C}$ છે.
આને $z^2 - z^4 = 16$,અથવા $z^4 - z^2 + 16 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $z^2 = w$. તો $w^2 - w + 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$w = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2} = \frac{1 \pm 3i\sqrt{7}}{2}$.
કારણ કે $w = z^2$,તેથી $|w| = |z^2| = |z|^2$.
$w$ નો માનાંક શોધતા:
$|w| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{63}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4}} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$|z|^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = 2$.

(B) યામ પદ્ધતિના પરિભ્રમણ દરમિયાન સદિશનું માન અચળ રહે છે.
આપેલ છે કે મૂળ ઘટકો $(2p, 1)$ છે અને નવા ઘટકો $(p+1, 1)$ છે.
સદિશના માનનો વર્ગ $x^2 + y^2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$.
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$.
$3p^2 - 2p - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $3p^2 - 3p + p - 1 = 0$.
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$.
$(3p+1)(p-1) = 0$.
આમ,$p = 1$ અથવા $p = -\frac{1}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ અને $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -2l - 2n$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{l}{n}$. તો $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ અને $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ છે.
તો $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
તે જ રીતે,$l = -\frac{m+2n}{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ મળે છે.
$n^2$ વડે ભાગતા,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
ધારો કે $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ અને $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. તો $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
બે રેખાઓ માટે જેમની દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A)

$A$. આપેલ $A$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય છે. તેથી $3 - |A| = 3$. જે $(iii)$ સાથે જોડાય છે.

$B$. આપેલ વિધેયનું આવર્તમાન $2\pi$ છે. $\frac{2k\pi}{5} = 2\pi$ લેતા,$k = 5$ મળે છે. જે $(v)$ સાથે જોડાય છે.

$C$. $y$ નું સાદું રૂપ આપતા $y = \frac{3}{2} - \frac{\sin 2x}{2}$ મળે છે. મહત્તમ કિંમત $2$ છે. જે $(ii)$ સાથે જોડાય છે.

$D$. ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,કિંમત $4$ મળે છે. જે $(iv)$ સાથે જોડાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} = \cos 2\theta$. તેથી,$\frac{\tan^2 \theta - 1}{\tan^2 \theta + 1} = -\cos 2\theta$.
ધારો કે $\theta = \frac{\alpha-\pi}{4}$. તો $2\theta = \frac{\alpha-\pi}{2} = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$-\cos 2\theta = -\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = -\sin \frac{\alpha}{2}$.
પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(-\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \cot 5 \alpha\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(-\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \frac{\cos 5 \alpha}{\sin 5 \alpha}\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\left(\frac{-\sin 5 \alpha \sin \frac{\alpha}{2} + \cos 5 \alpha \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin 5 \alpha}\right) \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{\cos(5 \alpha + \frac{\alpha}{2})}{\sin 5 \alpha} \cdot \sec \frac{11 \alpha}{2}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}\left[\frac{\cos \frac{11 \alpha}{2}}{\sin 5 \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \frac{11 \alpha}{2}}\right]$
$= \operatorname{cosec}^{-1}(\operatorname{cosec} 5 \alpha) = 5 \alpha$.

(A) કારણ $(R)$ માટે,ધારો કે $p = e^{\operatorname{cosech}^{-1} x}$.
તેથી $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln p$,જેનો અર્થ છે કે $x = \operatorname{cosech}(\ln p) = \frac{p^2 - 1}{2p}$.
આથી $2px = p^2 - 1$,અથવા $p^2 - 2px - 1 = 0$.
આપેલ સમીકરણ $x p^2 - 2p - x = 0$ માં $p = \frac{1 + \sqrt{1+x^2}}{x}$ મૂકતા તે શૂન્ય થાય છે.
તેથી કારણ $(R)$ સાચું છે.
વિધાન $(A)$ માટે,$\operatorname{cosech}^{-1}(3) = \ln \left(\frac{1 + \sqrt{1+3^2}}{3}\right) = \ln \left(\frac{1 + \sqrt{10}}{3}\right)$.
તેથી વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ છે,$\sinh (2 \tanh ^{-1} x) = \frac{11}{60}$.
નિત્યસમ $\sinh (2 \theta) = \frac{2 \tanh \theta}{1 - \tanh ^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \tanh ^{-1} x$,આપણને $\tanh \theta = x$ મળે છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{2x}{1 - x^2} = \frac{11}{60}$
$120x = 11(1 - x^2)$
$11x^2 + 120x - 11 = 0$
$11x^2 + 121x - x - 11 = 0$
$11x(x + 11) - 1(x + 11) = 0$
$(11x - 1)(x + 11) = 0$
આમ,$x = \frac{1}{11}$ અથવા $x = -11$.
$\tanh ^{-1} x$ નો પ્રદેશ $(-1, 1)$ હોવાથી,$x = -11$ શક્ય નથી.
તેથી,$x = \frac{1}{11}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A = 2 \hat{i}+3 \hat{j}+5 \hat{k}$,$B = 5 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $C = 3 \hat{i}+5 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$|AB| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$.
$|BC| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$.
$|AC| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,લંબકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{A+B+C}{3} = \frac{10}{3}\hat{i} + \frac{10}{3}\hat{j} + \frac{10}{3}\hat{k}$.
તેથી,$x=y=z$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 12 \hat{i}-12 \hat{j}-18 \hat{k}$,$\vec{b} = -3 \hat{i}-6 \hat{j}-9 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 3 \hat{i}+3 \hat{j}-24 \hat{k}$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$a = |\vec{BC}| = |6\hat{i} + 9\hat{j} - 15\hat{k}| = \sqrt{342}$.
$b = |\vec{AC}| = |-9\hat{i} + 15\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{342}$.
$c = |\vec{AB}| = |-15\hat{i} + 6\hat{j} + 9\hat{k}| = \sqrt{342}$.
અહીં $a=b=c$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર જ હોય છે,જે $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ દ્વારા મળે છે.
અંતઃકેન્દ્ર $= \frac{12\hat{i} - 15\hat{j} - 51\hat{k}}{3} = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 17\hat{k}$.

(C) આપેલ છે $f(x) = (x-a) \frac{e^{\frac{1}{x-a}}-1}{e^{\frac{1}{x-a}}+1}$ જ્યાં $x \neq a$ અને $f(a) = 0$.
$x=a$ આગળ સાતત્ય ચકાસવા માટે,આપણે સીમાઓનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
ડાબી બાજુની સીમા: $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (-h) \frac{e^{-1/h}-1}{e^{-1/h}+1} = 0 \times \frac{0-1}{0+1} = 0$.
જમણી બાજુની સીમા: $\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (h) \frac{e^{1/h}-1}{e^{1/h}+1} = \lim_{h \rightarrow 0} h \frac{1-e^{-1/h}}{1+e^{-1/h}} = 0 \times \frac{1-0}{1+0} = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a) = 0$,તેથી વિધેય $f(x)$ એ $x=a$ આગળ સતત છે.

(D) ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2}\right) \right]^{\frac{1}{n}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{r}{n}\right)^2\right)$.
સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\log L = \int_0^1 \log(1 + x^2) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(1 + x^2)$ અને $dv = dx$ લેતા:
$\log L = [x \log(1 + x^2)]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{1 + x^2} dx$.
$\log L = \log 2 - 2 \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^2} dx = \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right) dx$.
$\log L = \log 2 - 2 [x - \tan^{-1} x]_0^1 = \log 2 - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.
આમ,$L = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

(C) આપેલ પદ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \sin ^{-1} \left( \frac{r}{n} \right)$ છે.
આ રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^1 x \sin ^{-1} x \, dx$ તરીકે લખી શકાય.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \sin ^{-1} x$ અને $dv = x \, dx$ લેતા,$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ અને $v = \frac{x^2}{2}$ મળે.
$\int_0^1 x \sin ^{-1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \sin ^{-1} x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2 \sqrt{1-x^2}} \, dx$.
પ્રથમ પદની કિંમત: $\left[ \frac{1^2}{2} \sin ^{-1}(1) - 0 \right] = \frac{\pi}{4}$.
બીજા પદ માટે: $-\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2 - 1 + 1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
પ્રમાણિત સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sin ^{-1} x \right]_0^1 - \frac{1}{2} \left[ \sin ^{-1} x \right]_0^1 = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8}$.
કુલ સરવાળો: $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 2\sigma^2$,તેથી $np = 2npq$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,આપણને $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\mu + \sigma^2 = 3$,તેથી $np + npq = 3$.
$p = \frac{1}{2}$ અને $q = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{n}{2} + \frac{n}{4} = 3$ મળે છે.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $2n + n = 12$ મળે છે,તેથી $3n = 12$,જે $n = 4$ આપે છે.
હવે,$P(X \leq 3) = 1 - P(X = 4)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P(X=4) = {^4C_4} (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^0 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ મળે છે.
તેથી,$P(X \leq 3) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(D) ધારો કે $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે. ધારો કે $\vec{a} = \vec{0}$. તો $\vec{b} = \vec{b}$ અને $\vec{c} = \vec{c}$.
બિંદુઓ $P, Q, R$ એ $BC, CA, AB$ ને $3:4, 2:5, 9:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$\vec{P} = \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{7}$,$\vec{Q} = \frac{5\vec{c} + 2\vec{a}}{7} = \frac{5\vec{c}}{7}$,$\vec{R} = \frac{9\vec{b} + 5\vec{a}}{14} = \frac{9\vec{b}}{14}$.
હવે,$\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR} = (\vec{P} - \vec{a}) + (\vec{Q} - \vec{b}) + (\vec{R} - \vec{c})$
$= \frac{3\vec{c} + 4\vec{b}}{7} + (\frac{5\vec{c}}{7} - \vec{b}) + (\frac{9\vec{b}}{14} - \vec{c})$
$= \frac{6\vec{c} + 8\vec{b} + 10\vec{c} - 14\vec{b} + 9\vec{b} - 14\vec{c}}{14} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{14}$.
બિંદુ $D$ એ $BC$ ને $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\vec{D} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{b}}{5}$.
કારણ કે $\vec{A} = \vec{0}$,$\vec{AD} = \vec{D} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$.
આમ,$\frac{\vec{AP} + \vec{BQ} + \vec{CR}}{\vec{AD}} = \frac{(3\vec{b} + 2\vec{c})/14}{(3\vec{b} + 2\vec{c})/5} = \frac{5}{14}$.
તેથી,$k = \frac{5}{14}$.
અંતે,$(14k + 1) : (14k - 1) = (14 \times \frac{5}{14} + 1) : (14 \times \frac{5}{14} - 1) = (5 + 1) : (5 - 1) = 6 : 4 = 3 : 2$.

(D) ધારો કે $\theta = A = 67 \frac{1}{2}^{\circ} = \frac{3\pi}{8} \text{ રેડિયન}$.
માપનમાં ભૂલ $d\theta = 9 \text{ min} = \frac{\pi}{1200} \text{ રેડિયન}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $S = \frac{1}{2}bc \sin \theta$.
વિકલન કરતા,$\frac{dS}{d\theta} = \frac{1}{2}bc \cos \theta$.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dS}{S} = \cot \theta d\theta$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{dS}{S} = \cot \left( \frac{3\pi}{8} \right) \times \frac{\pi}{1200} = (\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{1200}$.
પ્રતિશત ભૂલ = $(\sqrt{2}-1) \frac{\pi}{1200} \times 100 = \frac{\pi}{12}(\sqrt{2}-1)$.

(D) આપેલ વક્રો $x^2+y^2-4x=0 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=4$ અને $y^2=x$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2=x$ મૂકતા: $x^2+x-4x=0 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0$. તેથી,$x=0$ અથવા $x=3$.
$x=0$ માટે,$y=0$. $x=3$ માટે,$y^2=3 \Rightarrow y=\sqrt{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં).
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=0$ થી $x=3$ સુધી પરવલય દ્વારા અને $x=3$ થી $x=4$ સુધી વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું છે.
$A = \int_0^3 \sqrt{x} \, dx + \int_3^4 \sqrt{4-(x-2)^2} \, dx$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^3 + \left[ \frac{x-2}{2} \sqrt{4-(x-2)^2} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{x-2}{2} \right) \right]_3^4$
$A = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) + \left[ (0 + 2 \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{3} + 2 \sin^{-1}(1/2)) \right]$
$A = 2\sqrt{3} + \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}$.
તેથી,$6A - 9\sqrt{3} = 6(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{2\pi}{3}) - 9\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + 4\pi - 9\sqrt{3} = 4\pi$.

(A) આપેલ પરવલય $y=x^2+3$ છે.
પ્રથમ,$(3,12)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2x$ છે. $x=3$ આગળ,ઢાળ $m = 2(3) = 6$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 12 = 6(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 6x - 6$ થાય છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $y=0$ આગળ છેદે છે,તેથી $6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$.
પ્રથમ ચરણમાં પરવલય,સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=3$ સુધી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ સ્પર્શક રેખા,$x$-અક્ષ અને શિરોલંબ રેખા $x=3$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ = $\int_0^3 (x^2+3) dx - \int_1^3 (6x-6) dx$.
પ્રથમ સંકલન ગણતા: $\int_0^3 (x^2+3) dx = [\frac{x^3}{3} + 3x]_0^3 = (9 + 9) - 0 = 18$.
બીજું સંકલન (ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ) ગણતા: $\int_1^3 (6x-6) dx = [3x^2 - 6x]_1^3 = (27 - 18) - (3 - 6) = 9 - (-3) = 12$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $18 - 12 = 6$ ચોરસ એકમ.

(A) છેદબિંદુ માટે,$y^2=6ax$ ને $x^2+y^2=16a^2$ માં મૂકતા:
$x^2+6ax-16a^2=0$
$(x+8a)(x-2a)=0$
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=2a$ મળે.
નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2 \left[ \int_0^{2a} \sqrt{6ax} \, dx + \int_{2a}^{4a} \sqrt{16a^2-x^2} \, dx \right]$ છે.
સંકલન ગણતા:
$2 \int_0^{2a} \sqrt{6a} \sqrt{x} \, dx = 2 \sqrt{6a} \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^{2a} = 2 \sqrt{6a} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2a \sqrt{2a} = \frac{8a^2 \sqrt{12}}{3} = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3}$.
$2 \int_{2a}^{4a} \sqrt{(4a)^2-x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{16a^2-x^2} + \frac{16a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{4a} \right) \right]_{2a}^{4a}$
$= 2 \left[ (0 + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{2}) - (a \sqrt{12a^2} + 8a^2 \cdot \frac{\pi}{6}) \right] = 2 \left[ 4\pi a^2 - 2a^2 \sqrt{3} - \frac{4\pi a^2}{3} \right] = 2 \left[ \frac{8\pi a^2}{3} - 2a^2 \sqrt{3} \right] = \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3}$.
કુલ નાનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{16a^2 \sqrt{3}}{3} + \frac{16\pi a^2}{3} - 4a^2 \sqrt{3} = \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(4\pi + \sqrt{3})$.
મોટું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી નાનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે:
$A_2 = \pi(4a)^2 - A_1 = 16\pi a^2 - \left( \frac{16\pi a^2}{3} + \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} \right) = \frac{32\pi a^2}{3} - \frac{4a^2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4a^2}{3}(8\pi - \sqrt{3})$ ચોરસ એકમ.

(A) આ પ્રદેશ $x = \pm 2$ અને $y = \pm 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ચોરસ દ્વારા ઘેરાયેલ છે,જેનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times 4 = 16$ છે. શરત $xy \leq \frac{1}{2}$ એ $xy > \frac{1}{2}$ વાળા પ્રદેશને બાકાત રાખે છે.
આ પ્રદેશ $xy > \frac{1}{2}$ બે ભાગોનો બનેલો છે: એક પ્રથમ ચરણમાં જ્યાં $y > \frac{1}{2x}$ અને બીજો ત્રીજા ચરણમાં જ્યાં $y < \frac{1}{2x}$.
સમાનતાને કારણે,આ બંને ભાગોનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે. ચાલો પ્રથમ ચરણમાં $x=2, y=2, x=1/4$ (કારણ કે $2x=1/2 \implies x=1/4$ જ્યારે $y=2$) અને વક્ર $y=1/(2x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધીએ.
પ્રથમ ચરણમાં જ્યાં $xy > 1/2$ હોય ત્યાંનું ક્ષેત્રફળ $\int_{1/4}^{2} (2 - \frac{1}{2x}) dx = [2x - \frac{1}{2} \log x]_{1/4}^{2} = (4 - \frac{1}{2} \log 2) - (1/2 - \frac{1}{2} \log(1/4)) = 4 - 0.5 \log 2 - 0.5 + 0.5 \log(2^{-2}) = 3.5 - 0.5 \log 2 - \log 2 = 3.5 - 1.5 \log 2$ છે.
બાકાત રાખવાનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $2 \times (3.5 - 1.5 \log 2) = 7 - 3 \log 2$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ - બાકાત રાખેલ ક્ષેત્રફળ = $16 - (7 - 3 \log 2) = 9 + 3 \log 2$.

(C) $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ દ્વારા $x=\frac{\pi}{4}$ થી $x=\pi$ સુધી ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે. અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ માં,$\sin x \ge \cos x$ છે,અને $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ માં પણ $\sin x \ge \cos x$ છે (કારણ કે $\cos x$ ઋણ છે). આમ,કુલ ક્ષેત્રફળ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,રેખા $x=a$ આ ક્ષેત્રફળને દુભાગે છે,તેથી:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{a} (\sin x - \cos x) dx = \int_{a}^{\pi} (\sin x - \cos x) dx$
સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$[-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{a} = [-\cos x - \sin x]_{a}^{\pi}$
$(-\cos a - \sin a) - (-\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) = (-\cos \pi - \sin \pi) - (-\cos a - \sin a)$
$-\cos a - \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -(-1) - 0 + \cos a + \sin a$
$-\cos a - \sin a + \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 + \cos a + \sin a$
$\sqrt{2} - 1 = 2(\sin a + \cos a)$
$\sin a + \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$
બંને બાજુને $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin a + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos a = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$
$\sin a \cos \frac{\pi}{4} + \cos a \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$
$\sin \left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}-1}{2 \sqrt{2}}$

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2=2x$ $\dots(i)$ અને રેખાનું સમીકરણ $y=4x-1$ $\dots(ii)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$(ii)$ માંથી $x = \frac{y+1}{4}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2\left(\frac{y+1}{4}\right) \implies y^2 = \frac{y+1}{2} \implies 2y^2 - y - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2y+1)(y-1) = 0$,તેથી $y = -\frac{1}{2}$ અને $y = 1$.
અનુરૂપ $x$ કિંમતો $x = \frac{(-1/2)+1}{4} = \frac{1}{8}$ અને $x = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ $(\frac{1}{8}, -\frac{1}{2})$ અને $(\frac{1}{2}, 1)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_{-1/2}^{1} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-1/2}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$.
$= \frac{1}{4} \int_{-1/2}^{1} (y+1) dy - \frac{1}{2} \int_{-1/2}^{1} y^2 dy$.
$= \frac{1}{4} [\frac{y^2}{2} + y]_{-1/2}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{y^3}{3}]_{-1/2}^{1}$.
$= \frac{1}{4} [(\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2})] - \frac{1}{6} [1 - (-\frac{1}{8})]$.
$= \frac{1}{4} [\frac{3}{2} + \frac{3}{8}] - \frac{1}{6} [\frac{9}{8}] = \frac{1}{4} [\frac{15}{8}] - \frac{3}{16} = \frac{15}{32} - \frac{6}{32} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ વક્રો $x^2+y^2-2ax=0$ (કેન્દ્ર $(a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a$ વાળું વર્તુળ) અને $y^2=ax$ (પરવલય) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=ax$ ને $x^2+y^2-2ax=0$ માં મૂકતા:
$x^2+ax-2ax=0 \implies x^2-ax=0 \implies x(x-a)=0$.
તેથી,વક્રો $x=0$ અને $x=a$ પર છેદે છે.
$X$-અક્ષની ઉપરના ભાગ માટે,ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=a$ સુધી ઉપરના વક્ર (વર્તુળ) અને નીચેના વક્ર (પરવલય) વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a \left(\sqrt{2ax-x^2} - \sqrt{ax}\right) dx$
$= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx$
સૂત્ર $\int \sqrt{r^2-u^2} du = \frac{u}{2}\sqrt{r^2-u^2} + \frac{r^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{r})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \left[ \frac{x-a}{2}\sqrt{2ax-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x-a}{a}\right) - \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^a$
$= \left( 0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(0) - \frac{2}{3}a^2 \right) - \left( \frac{-a}{2}\sqrt{0} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(-1) - 0 \right)$
$= (0 + 0 - \frac{2}{3}a^2) - (0 + \frac{a^2}{2}(-\frac{\pi}{2}) - 0)$
$= -\frac{2}{3}a^2 + \frac{\pi a^2}{4} = a^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\right)$ ચોરસ એકમ.

(A) વક્રો $y=2x-x^2$ અને $y=x^2-2x-6$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$2x-x^2 = x^2-2x-6$
$2x^2-4x-6 = 0$
$x^2-2x-3 = 0$
$(x-3)(x+1) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=-1$ અને $x=3$ પર છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x=-1$ થી $x=3$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{3} [(2x-x^2) - (x^2-2x-6)] dx$
$A = \int_{-1}^{3} (-2x^2+4x+6) dx$
$A = [- \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 6x]_{-1}^{3}$
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા:
$A = [(- \frac{2}{3}(27) + 2(9) + 6(3)) - (- \frac{2}{3}(-1) + 2(1) + 6(-1))]$
$A = [(-18 + 18 + 18) - (\frac{2}{3} + 2 - 6)]$
$A = 18 - (\frac{2}{3} - 4) = 18 - (-\frac{10}{3}) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54+10}{3} = \frac{64}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$2x + y + z = 1$ $(i)$
$3y - z = 1$ $(ii)$
$x - y + z = 0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$(2x + y + z) - (x - y + z) = 1 - 0$
$x + 2y = 1 \Rightarrow x = 1 - 2y$ $(iv)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$z = 3y - 1$.
ધારો કે $y = K$,જ્યાં $K \in R$.
તેથી $x = 1 - 2K$ અને $z = 3K - 1$.
આમ,ઉકેલ સદિશ:
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 2K \\ K \\ 3K - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + K \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A=B+C$,$BC=CB$,અને $C^2=0$.
કારણ કે $B$ અને $C$ ક્રમનો વિનિમય કરે છે,આપણે શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$A^k = (B+C)^k = \sum_{r=0}^{k} \binom{k}{r} B^{k-r} C^r$.
$C^2=0$ હોવાથી,$r \ge 2$ માટે તમામ ઉચ્ચ ઘાત $C^r=0$ થશે.
તેથી,$A^k = \binom{k}{0} B^k C^0 + \binom{k}{1} B^{k-1} C^1 = B^k + k B^{k-1} C = B^{k-1}(B+kC)$.
$k=2021$ લેતા,આપણને મળે છે:
$A^{2021} = B^{2021-1}(B+2021C) = B^{2020}(B+2021C)$.
તેથી,$B^{2020}[B+(2021)C] = A^{2021}$.

(B) $\alpha=1$ માટે,સિસ્ટમ એક સજાતીય સિસ્ટમમાં ઘટાડો થાય છે જે હંમેશા સુસંગત હોય છે. તેથી,$\alpha \neq 1$.
$\alpha \neq 1$ માટે,આપણે નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$D = \begin{vmatrix} \alpha & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix}$.
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ કરતાં,આપણને મળે છે:
$D = \begin{vmatrix} \alpha+2 & \alpha+2 & \alpha+2 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = (\alpha+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix}$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ અને $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ લાગુ કરતાં:
$D = (\alpha+2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \alpha-1 & 0 \\ 1 & 0 & \alpha-1 \end{vmatrix} = (\alpha+2)(\alpha-1)^2$.
હવે,$D_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} \alpha-1 & -1 & -1 \\ \alpha-1 & -\alpha & -1 \\ \alpha-1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix} = (\alpha-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & -1 & -\alpha \end{vmatrix}$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતાં:
$D_1 = (\alpha-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1-\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1-\alpha \end{vmatrix} = (\alpha-1)(1-\alpha)^2 = (\alpha-1)^3$.
સિસ્ટમ અસંગત હોવા માટે,આપણને $D=0$ અને $D_1 \neq 0$ ની જરૂર છે.
$D=0$ નો અર્થ છે $\alpha = -2$ અથવા $\alpha = 1$.
કારણ કે $\alpha \neq 1$,આપણે $\alpha = -2$ તપાસીએ છીએ.
$\alpha = -2$ માટે,$D=0$ અને $D_1 = (-2-1)^3 = -27 \neq 0$.
આમ,$\alpha = -2$ માટે સિસ્ટમ અસંગત છે.

(A) આપેલ છે કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 7 & -6 \end{bmatrix}$ અને $B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{bmatrix}$.
$AB=\begin{bmatrix} 2 & 14 & -4 \\ 4 & 1 & -8 \\ -6 & 15 & 12 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 2+4b_{21}+2b_{31} & 4b_{22}+2b_{32} & -2+4b_{23}+2b_{33} \\ 4-b_{21}+4b_{31} & -b_{22}+4b_{32} & -4-b_{23}+4b_{33} \\ -6+7b_{21}-6b_{31} & 7b_{22}-6b_{32} & 6+7b_{23}-6b_{33} \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
સ્તંભ $1$ પરથી: $2b_{21}+b_{31}=0$ અને $-b_{21}+4b_{31}=0$ ઉકેલતા $b_{21}=0, b_{31}=0$ મળે.
સ્તંભ $2$ પરથી: $4b_{22}+2b_{32}=14$ અને $-b_{22}+4b_{32}=1$ ઉકેલતા $b_{22}=3, b_{32}=1$ મળે.
સ્તંભ $3$ પરથી: $-2+4b_{23}+2b_{33}=-4$ અને $-4-b_{23}+4b_{33}=-8$ ઉકેલતા $b_{23}=0, b_{33}=-1$ મળે.
આમ,$B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$.
$|B| = 2(-3-0) - 0 + (-2)(0-0) = -6$.
$\operatorname{trace}(B) = 2+3-1 = 4$.
તેથી,$|B|+\operatorname{trace}(B) = -6+4 = -2$.

(A) આપેલ છે કે $B$ એ લંબકોણીય શ્રેણિક છે,$B^T = B^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $B^T B = I$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|B^T B| = |I| = 1$ મળે છે.
કારણ કે $|B^T| = |B|$,તેથી $|B|^2 = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $|B| = 1$,આપણે શ્રેણિક $B-I$ ધ્યાનમાં લઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|B-I| = |B-I|^T = |B^T - I^T| = |B^T - I|$.
કારણ કે $B^T = B^{-1}$,તેથી $|B^T - I| = |B^{-1} - I| = |B^{-1}(I - B)| = |B^{-1}| |I - B| = \frac{1}{|B|} |-(B-I)| = \frac{1}{1} (-1)^3 |B-I| = -|B-I|$.
આમ,$|B-I| = -|B-I|$,જે સૂચવે છે કે $2|B-I| = 0$,તેથી $|B-I| = 0$.

(C) આપેલ છે કે $a_{ij} = 1$ જો $i+j=7$ અને અન્યથા $0$. આ એક પ્રતિ-વિકર્ણ શ્રેણિક દર્શાવે છે જ્યાં પ્રતિ-વિકર્ણના તમામ ઘટકો $1$ છે.
$n$ ક્રમના શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = (-1)^{n(n-1)/2}$ થાય છે. અહીં $n=6$ હોવાથી,$|A| = (-1)^{6(5)/2} = (-1)^{15} = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A(\text{adj } A) = |A| I$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $(A(\text{adj } A) A^{-1}) A^2 = (|A| I) A^{-1} A^2$.
કારણ કે $|A| = -1$,આ પદ $(-I) A^{-1} A^2 = -I (A^{-1} A) A$ બને છે.
કારણ કે $A^{-1} A = I$,તેથી આપણને $-I (I) A = -A$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ શોધો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
હવે,નિશ્ચાયક $|A^2|$ શોધો:
$|A^2| = 3(3) + 4(0) + 4(-2) = 9 - 8 = 1$.
કારણ કે $|A^2| = 1$,તેથી $(A^2)^{-1} = \frac{1}{|A^2|} \text{adj}(A^2) = \text{adj}(A^2)$.
$A^2$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક શોધતા,આપણને મળે છે કે $(A^2)^{-1} = A^2$.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $3$ કક્ષાના અસામાન્ય શ્રેણિકો છે અને $|B|=k$.
$A$. $|k^{-1} A^{-1}| = (k^{-1})^3 |A^{-1}| = \frac{1}{k^3 |A|} = \frac{1}{|B|^3 |A|}$. તેથી,$A-III$.
$B$. $|\text{Adj}(A^{-1})| = |A^{-1}|^{3-1} = |A^{-1}|^2 = \frac{1}{|A|^2}$. તેથી,$B-V$.
$C$. જો $BAB^{-1} = I$ હોય,તો $BA^kB^{-1} = (BAB^{-1})^k = I^k = I$. અહીં $B \frac{\text{Adj}(B)}{|B|} = I$ થાય છે. તેથી,$C-II$.
$D$. $\text{Adj}(\text{Adj}(A^{-1})) = |A^{-1}|^{3-2} (A^{-1}) = |A^{-1}| A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{-1}$. તેથી,$D-IV$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-V, C-II, D-IV$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A^{-1}=\frac{1}{3}(A^2-5A+7I)$.
$3A$ વડે ગુણતા,આપણને $3I = A^3-5A^2+7A$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A^3-5A^2+7A-3I=0$.
ધારો કે $P(x) = x^3-5x^2+7x-3$. કારણ કે $P(A)=0$,આપણે આપેલ પદાવલિ $17A^8-85A^7+119A^6-51A^5-19A^4+95A^3-133A^2+58A+I$ નો $A^3-5A^2+7A-3I$ વડે બહુપદી ભાગાકાર કરી શકીએ છીએ.
બહુપદી $17x^8-85x^7+119x^6-51x^5-19x^4+95x^3-133x^2+58x+1$ ને $x^3-5x^2+7x-3$ વડે ભાગતા ભાગફળ $17x^5-19x$ અને શેષ $x+1$ મળે છે.
આમ,$17A^8-85A^7+119A^6-51A^5-19A^4+95A^3-133A^2+58A+I = (A^3-5A^2+7A-3I)(17A^5-19A) + (A+I)$.
કારણ કે $A^3-5A^2+7A-3I=0$,પદાવલિનું સાદું રૂપ $0 + A+I = A+I$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $m \times n$ શ્રેણિક છે જેનો ક્રમ $4$ છે.
કારણ કે $A$ માં $m$-ક્રમનો અસામાન્ય ઉપ-શ્રેણિક છે,તેથી $A$ એ $m \times m$ ચોરસ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.
આમ,$n = m$,અને $A$ નો ક્રમ $m$ છે.
આપેલ છે કે $A$ નો ક્રમ $4$ છે,તેથી $m = 4$.
વળી,$A^T A$ એ $n \times n$ ક્રમનો શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A^T A$ એ $7 \times 7$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 7$.
જોકે,શરત મુજબ $A$ માં $m$-ક્રમનો અસામાન્ય ઉપ-શ્રેણિક છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ એ $m \times m$ ચોરસ શ્રેણિક છે,એટલે કે $m = n$.
પ્રશ્નનું પુનઃ મૂલ્યાંકન કરતા: જો $A^T A$ એ $7 \times 7$ હોય,તો $n = 7$.
જો $A$ માં $m$-ક્રમનો અસામાન્ય ઉપ-શ્રેણિક હોય,તો $m$ એ $A$ ના ક્રમ જેટલો હોવો જોઈએ,જે $4$ છે.
તેથી,$A$ ની હારની સંખ્યા $m = 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $5$ ક્રમનો સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય. આ સૂચવે છે કે રેન્ક $\rho(A) < 5$ છે.
કારણ કે $B$ પાસે $3$ ક્રમનો શૂન્યતર નિશ્ચાયક છે,તેથી રેન્ક $\rho(B) \geq 3$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $\rho(B) = \rho(A)$.
જો $\rho(A) = 3$ હોય,તો $\rho(B) = 3$ થાય.
જો $\rho(A) = 4$ હોય,તો $\rho(B) = 4$ થાય.
વિકલ્પ $C$ જણાવે છે કે જ્યારે $A$ ના તમામ ચતુર્થ ક્રમના નિશ્ચાયકો શૂન્ય હોય ત્યારે $\rho(A) = \rho(B) = 3$ થાય.
જો $A$ ના તમામ ચતુર્થ ક્રમના નિશ્ચાયકો શૂન્ય હોય,તો $\rho(A) \leq 3$ થાય. કારણ કે $B$ પાસે $3$ ક્રમનો શૂન્યતર નિશ્ચાયક છે,તેથી $\rho(B) = 3$ થાય.
આમ,જો $\rho(A) = 3$ હોય,તો $\rho(A) = \rho(B) = 3$ એ એક સુસંગત વિધાન છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & x(x-1)(x+1) \end{bmatrix}$.
બીજી કોલમમાંથી $x$ અને ત્રીજી હારમાંથી $x(x-1)$ સામાન્ય લેતા:
$A = x(x-1) \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$|A| = -4x(x-1)^2(x+1)$.
જો $x \neq 0, 1, -1$ હોય,તો $|A| \neq 0$,તેથી રેન્ક $3$ છે.
જો $x=0$ હોય,તો રેન્ક $1$ છે.
જો $x=1$ હોય,તો રેન્ક $2$ છે.
જો $x=-1$ હોય,તો રેન્ક $1$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix}$ અને $A^2 = A$.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -16-4x \\ -1 & 3 & 16+4x \\ 4+x & -8-2x & -16+x^2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^2 = A$,ઘટકોની સરખામણી કરતા $4+x = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ $x = -3$ થાય.
$x = -3$ ને $A$ માં મૂકતા:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 2(-9+8) + 2(3-4) - 4(2-3) = 2(-1) + 2(-1) - 4(-1) = -2 - 2 + 4 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી શ્રેણીકનો ક્રમ $r < 3$ છે.
$2$ ક્રમના માઇનર તપાસતા: $\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0$.
આમ,શ્રેણીકનો ક્રમ $r = 2$ છે.
તેથી,$r + x = 2 + (-3) = -1$.

(B) ધારો કે $C$ એ $A$ ના સહઅવયવોનો શ્રેણિક છે. આપેલ છે કે $C = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 4 & -5 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A$ નો એડજોઈન્ટ (adjoint),જેને $\operatorname{adj} A$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) છે.
તેથી,$\operatorname{adj} A = C^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -2 & -5 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
હવે,$\operatorname{adj} A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|\operatorname{adj} A| = 1((-5)(1) - (4)(-2)) - 4((-2)(1) - (1)(4)) + (-2)((-2)(-2) - (1)(-5))$
$|\operatorname{adj} A| = 1(3) - 4(-6) - 2(9) = 3 + 24 - 18 = 9$.
તેથી $|A|^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 3$.
આમ,$A$ ના નિશ્ચાયકનું એક શક્ય મૂલ્ય $3$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & 1+\cos ^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta & 1+4 \sin 4 \theta\end{array}\right| = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (2 + 4\sin 4\theta) \left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & 1+\cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1+4\sin 4\theta\end{array}\right| = 0$
હવે હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (2 + 4\sin 4\theta) \left|\begin{array}{ccc}1 & \cos^2 \theta & 4\sin 4\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,$(2 + 4\sin 4\theta)(1) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2 + 4\sin 4\theta = 0$.
તેથી,$\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$4\theta \in (0, 2\pi)$. $\sin 4\theta = -\frac{1}{2}$ માટે $4\theta$ ની કિંમતો $\frac{7\pi}{6}$ અને $\frac{11\pi}{6}$ છે.
$4\theta = \frac{7\pi}{6}$ માટે,$\theta = \frac{7\pi}{24}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\frac{7\pi}{24}$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2a-2b-4 & 4a & 4a \\ 4 & 2-b-a & 4 \\ 2b & 2b & b-a-2 \end{array}\right|$.
$C_2 \to C_2 - C_3$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2a-2b-4 & 0 & 4a \\ 4 & -2+b+a & 4 \\ 2b & -b+a+2 & b-a-2 \end{array}\right|$.
$C_2$ માંથી $(a+b-2)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a+b-2) \left|\begin{array}{ccc} 2a-2b-4 & 0 & 4a \\ 4 & 1 & 4 \\ 2b & -1 & b-a-2 \end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 + R_2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = (a+b-2) \left|\begin{array}{ccc} 2a-2b-4 & 0 & 4a \\ 4 & 1 & 4 \\ 2b+4 & 0 & b-a+2 \end{array}\right|$.
$C_2$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a+b-2) \cdot (-1) \left|\begin{array}{cc} 2a-2b-4 & 4a \\ 2b+4 & b-a+2 \end{array}\right|$.
$= -(a+b-2) [(2a-2b-4)(b-a+2) - 8ab]$.
$= -(a+b-2) [2(a-b-2)(-(a-b-2)) - 8ab]$.
$= -(a+b-2) [-2(a-b-2)^2 - 8ab]$.
$= 2(a+b-2) [(a-b-2)^2 + 4ab]$.
$= 2(a+b-2) [a^2+b^2+4-2ab-4a+4b+4ab]$.
$= 2(a+b-2) [a^2+b^2+2ab-4a+4b+4]$.
$= 2(a+b-2) [(a+b)^2 - 4(a-b) + 4]$.
આનું સાદું રૂપ $2(a+b+2)^3 = 2[(a+b)^3+6(a+b)^2+12(a+b)+8]$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $C$ અને $D$ એ $n \times n$ કક્ષાના અસામાન્ય શ્રેણિકો છે.
કારણ કે $C$ અને $D$ અસામાન્ય છે,તેથી $|C| \neq 0$ અને $|D| \neq 0$.
આપણને સંબંધ $CD = -DC$ આપેલ છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|CD| = |-DC|$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ અને $|kA| = k^n|A|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|C||D| = (-1)^n |D||C|$ મળે છે.
કારણ કે $|C| \neq 0$ અને $|D| \neq 0$,આપણે બંને બાજુને $|C||D|$ વડે ભાગી શકીએ છીએ,જેનાથી $1 = (-1)^n$ મળે છે.
$(-1)^n = 1$ સાચું હોવા માટે,$n$ એ બેકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=3$
$x+2y+2z=6$
$x+ay+3z=b$
આ સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX=B$ માં દર્શાવતા,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & a & 3 \end{bmatrix}$ છે.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta = |A| = 1(6-2a) - 1(3-2) + 1(a-2)$
$\Delta = 6 - 2a - 1 + a - 2 = 3 - a$.
સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે તે માટે નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્યતર હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta \neq 0$.
$3 - a \neq 0 \Rightarrow a \neq 3$.
જો $a \neq 3$ હોય,તો $b$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=3$
$2x+2y-z=3$
$x+y+\lambda z=1$
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની કિંમત:
$|A| = 1(2\lambda + 1) - 1(2\lambda + 1) + 1(2-2) = 0$
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી કોઈપણ $\lambda \in R$ માટે સંહતિને અનન્ય ઉકેલ નથી.
હવે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ:
$[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & 2 & -1 & | & 3 \\ 1 & 1 & \lambda & | & 1 \end{bmatrix}$
$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & 0 & -3 & | & -3 \\ 0 & 0 & \lambda-1 & | & -2 \end{bmatrix}$
$R_2$ પરથી,$-3z = -3 \implies z = 1$ મળે છે.
$z=1$ ને $R_3$ માં મૂકતા: $(\lambda-1)(1) = -2 \implies \lambda = -1$.
જો $\lambda = -1$ હોય,તો સંહતિ સુસંગત છે (અનંત ઉકેલો).
જો $\lambda \neq -1$ હોય,તો સંહતિ અસુસંગત છે (કોઈ ઉકેલ નથી).
તેથી,વિધાન '$S$ એ તમામ $\lambda \in R$ માટે સુસંગત છે' તે ખોટું છે.

(C) સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
$|A| = \begin{vmatrix} 2 & p & 6 \\ 1 & 2 & q \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(6 - q) - p(3 - q) + 6(1 - 2) = 0$
$12 - 2q - 3p + pq - 6 = 0$
$pq - 3p - 2q + 6 = 0$
$p(q - 3) - 2(q - 3) = 0$
$(p - 2)(q - 3) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $p = 2$ અથવા $q = 3$.
કિસ્સો $1$: જો $p = 2$ હોય,તો સમીકરણો બને છે:
$2x + 2y + 6z = 8 \Rightarrow x + y + 3z = 4$
$x + 2y + qz = 5$
$x + y + 3z = 4$
અહીં,પ્રથમ અને ત્રીજું સમીકરણ સમાન છે. જો $p=2$ હોય,તો સંહતિ અનંત ઉકેલો ધરાવે છે,તેથી $p=2$ માટે 'કોઈ ઉકેલ નથી' તેવી સ્થિતિ મળતી નથી.
કિસ્સો $2$: જો $q = 3$ અને $p \neq 2$ હોય,તો સમીકરણો છે:
$2x + py + 6z = 8$
$x + 2y + 3z = 5$
$x + y + 3z = 4$
બીજા સમીકરણમાંથી ત્રીજું બાદ કરતા: $y = 1$.
$y=1$ ને ત્રીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 3z = 3$.
$y=1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2x + p + 6z = 8 \Rightarrow 2x + 6z = 8 - p$.
$x + 3z = 3$ હોવાથી,$2x + 6z = 6$.
કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$6 \neq 8 - p$,જેનો અર્થ છે કે $p \neq 2$.
આમ,કોઈ ઉકેલ ન હોવાની શરત $p \neq 2$ અને $q = 3$ છે.

(B) સમીકરણ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$.
શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda-1 & 4\lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3\lambda+1 & 3(\lambda-1) \end{bmatrix}$
$|A| = 0$ લેતા:
$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda-1 & 4\lambda-2 & \lambda+3 \\ 2 & 3\lambda+1 & 3(\lambda-1) \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ 0 & \lambda-3 & -\lambda+3 \\ -\lambda+3 & 0 & \lambda-3 \end{vmatrix} = 0$
$R_2$ અને $R_3$ માંથી $(\lambda-3)$ સામાન્ય લેતા:
$(\lambda-3)^2 \begin{vmatrix} \lambda-1 & 3\lambda+1 & 2\lambda \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\lambda-3)^2 [(\lambda-1)(1-0) - (3\lambda+1)(0-1) + 2\lambda(0 - (-1))] = 0$
$(\lambda-3)^2 [\lambda-1 + 3\lambda+1 + 2\lambda] = 0$
$(\lambda-3)^2 [6\lambda] = 0$
આમ,$\lambda$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો $\lambda = 3$ અને $\lambda = 0$ મળે છે. તેથી $p=3$ અને $q=0$.
અંતે,$p^2+q^2-pq = 3^2 + 0^2 - (3)(0) = 9 + 0 - 0 = 9$.

(B) આપેલ સમરૂપ સમીકરણોની સંહતિ $AX=0$ છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ છે,તેથી નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 1 - bc - ab + abc + abc - ac = 1 - ab - bc - ca + 2abc = 0$.
હવે અ-સમરૂપ સંહતિ $\Pi_1=a, \Pi_2=b, \Pi_3=c$ ને ધ્યાનમાં લો. ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $A' = \begin{bmatrix} 1 & a & a & | & a \\ b & 1 & b & | & b \\ c & c & 1 & | & c \end{bmatrix}$ છે.
કારણ કે $|A|=0$ છે,તેથી સંહતિને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અસંખ્ય ઉકેલો છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $A'$ નો ક્રમ $A$ ના ક્રમ જેટલો જ છે (જે $a, b, c \neq 1$ માટે $2$ છે).
કારણ કે સહગુણક શ્રેણિકનો ક્રમ ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સના ક્રમ જેટલો છે,તેથી સંહતિને અસંખ્ય ઉકેલો છે.

(A) ધારો કે $x = \sin \alpha$,$y = \cos \beta$,અને $z = \tan \gamma$. સમીકરણો આ મુજબ બને છે:
$2x - y + 3z = 3 \quad \dots (i)$
$4x + 2y - 2z = 2 \quad \dots (ii)$
$6x - 3y + z = 9 \quad \dots (iii)$
મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX = B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & -2 \\ 6 & -3 & 1 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 2(2 - 6) - (-1)(4 + 12) + 3(-12 - 12) = -64$.
$X = A^{-1}B$ ઉકેલતા,આપણને $x = 1$,$y = -1$,$z = 0$ મળે છે.
આમ,$\sin \alpha = 1 \implies \alpha = \pi/2$.
$\cos \beta = -1 \implies \beta = \pi$.
$\tan \gamma = 0 \implies \gamma = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા: $2\alpha - \beta - \gamma = 2(\pi/2) - \pi - 0 = 0$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x^a y^b = e^m$ અને $x^c y^d = e^n$ છે. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
આ $X = \ln x$ અને $Y = \ln y$ ચલોમાં સુરેખ સમીકરણોની એક સિસ્ટમ છે.
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$X = \frac{\Delta_1}{\Delta_3} = \frac{md-bn}{ad-bc}$
$Y = \frac{\Delta_2}{\Delta_3} = \frac{an-mc}{ad-bc}$
કારણ કે $X = \ln x$,તેથી $x = e^X = e^{\frac{\Delta_1}{\Delta_3}}$.
કારણ કે $Y = \ln y$,તેથી $y = e^Y = e^{\frac{\Delta_2}{\Delta_3}}$.

(A) $A)$ $\cos ^2 x$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
$\Rightarrow 1+\cos ^2 x \in [1, 2]$.
$\Rightarrow [1+\cos ^2 x] \in \{1, 2\}$.
$\Rightarrow \sec ^{-1}[1+\cos ^2 x] \in \{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\}$. તેથી,$A-V$.
$B)$ આપેલ છે $f(x+\frac{1}{x}) = x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$.
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$. વિધેય $f(t) = t^2-2$ માટે પ્રદેશ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $R$ છે. તેથી,$B-IV$.
$C)$ $f(x+y) = f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,તેથી $f(x) = kx$.
$f(1) = 5$ આપેલ હોવાથી,$k(1) = 5 \Rightarrow k = 5$.
તેથી $f(x) = 5x$,જે અયુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = 5(-x) = -f(x)$. તેથી,$C-I$.
$D)$ $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = 0$.
$x=0$ માટે: $\sin ^{-1}(0) - \cos ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$. (સાચું)
$x=\frac{1}{2}$ માટે: $\sin ^{-1}(\frac{1}{2}) - \cos ^{-1}(\frac{1}{2}) + \sin ^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = 0$. (સાચું)
તેથી,$D-II$.

(C) આપણી પાસે $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$ છે.
કારણ કે $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$,તેથી $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2}$. આમ,$A-V$.
$(B)$ ધારો કે $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$. તો $\sin \theta=\frac{(-1)^n}{2}=\sin\left((-1)^n \frac{\pi}{6}\right)$. સામાન્ય ઉકેલ $\theta=k \pi+(-1)^k\left((-1)^n \frac{\pi}{6}\right)$ છે,જે $k \pi \pm \frac{\pi}{6}, k \in Z$ માં સરળ થાય છે. આ $I$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ ધારો કે $\alpha=\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right) = \tan ^{-1}(\sqrt{2}+1)$. કારણ કે $\tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{2}+1$,તેથી $\alpha = \frac{3\pi}{8}$. આમ,$C-IV$.
$(D)$ ધારો કે $t=\sin ^{-1}|\sin x|$. તો $t=\sqrt{t} \Rightarrow t^2-t=0 \Rightarrow t(t-1)=0$. તેથી $t=0$ અથવા $t=1$. $\sin ^{-1}|\sin x|=0 \Rightarrow |\sin x|=0 \Rightarrow x=k\pi$. $\sin ^{-1}|\sin x|=1 \Rightarrow |\sin x|=\sin 1 \Rightarrow x=k\pi \pm 1$. આ બંનેને જોડતા,સામાન્ય ઉકેલ $x=k\pi \pm 1, k \in Z$ મળે છે. આમ,$D-II$.

(C) વિધેય $f: R \rightarrow [0, \frac{\pi}{2})$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ $[0, \frac{\pi}{2})$ જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં $f(x) = \tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2)$ છે,તેથી $f(x)$ નો વિસ્તાર $[\tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2 \text{ ની ન્યૂનતમ કિંમત}), \frac{\pi}{2})$ થશે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 + x + \alpha^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4(1)(\alpha^2) - (1)^2}{4(1)} = \alpha^2 - \frac{1}{4}$ છે.
વિસ્તાર $0$ થી શરૂ થાય તે માટે,$\tan^{-1}(\alpha^2 - \frac{1}{4}) = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha^2 - \frac{1}{4} = 0$,તેથી $\alpha^2 = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \pm \frac{1}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left[2 \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}\right]=0$
$\Rightarrow 2 \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=n \pi, n \in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\frac{n \pi}{2}$
$\cos ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,$\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\} \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi\}$ મળે.
કિસ્સો $1$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=0 \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=1 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{8} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ માટે,$\tan ^{-1} x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$. અહીં માત્ર $\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 1$ મળે.
કિસ્સો $2$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=0 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{2} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ માટે,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 1$ (જે અગાઉ ગણતરીમાં આવી ગયું છે).
કિસ્સો $3$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\pi \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=-1 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{4} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{8} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ માટે,$\tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{8} \Rightarrow x = \tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{2} + 1$.
આમ,$1$ કે તેથી મોટા બીજ $1$ અને $\sqrt{2} + 1$ છે.
તેથી,આવા બીજની સંખ્યા $2$ છે.