TS EAMCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{256}C_r (\sqrt{3})^{256-r} (\sqrt[8]{5})^r$ છે.
આને $T_{r+1} = {}^{256}C_r (3)^{\frac{256-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ તરીકે લખી શકાય.
પદ પૂર્ણાંક હોય તે માટે ઘાતાંક $\frac{256-r}{2}$ અને $\frac{r}{8}$ બંને અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$0 \leq r \leq 256$ હોવાથી,$\frac{r}{8}$ પૂર્ણાંક બને તે માટે $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \in \{0, 8, 16, \dots, 256\}$.
આ કિંમતો માટે $\frac{256-r}{2}$ પણ પૂર્ણાંક થશે.
આવા $r$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $0, 8, 16, \dots, 256$ સમાંતર શ્રેણી દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$256 = 0 + (n-1)8$,તેથી $n-1 = 32$,એટલે કે $n = 33$.
આમ,કુલ $33$ પૂર્ણાંક પદો છે.

(D) આપેલ શ્રેણી એ $a = 1$ પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (\cos \theta + i \sin \theta)$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = a \cdot r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$10$ માં પદ $(n = 10)$ માટે,$T_{10} = 1 \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)^9$ થાય.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = e^{i n \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $n = 9$ મૂકતા:
$T_{10} = e^{i 9 (\frac{\pi}{6})} = e^{i \frac{3\pi}{2}}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_{10} = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

(B) આપેલ છે $\left|\frac{z-i}{z i}\right|=2$.
$z=x iy$ હોવાથી,$\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3x^2 3y^2 10y 3=0$ મળે છે.

(A) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $12$ છે ($3$ વિભાગ $\times$ દરેકના $4$ પ્રશ્નો). ઉમેદવારે $5$ પ્રશ્નો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન પસંદ થાય.
$5$ પ્રશ્નોની $3$ વિભાગોમાં વહેંચણી નીચે મુજબ થઈ શકે:
કિસ્સો $1$: $(2, 2, 1)$ કોઈપણ ક્રમમાં. રીતોની સંખ્યા = $3 \times (^4C_2 \times ^4C_2 \times ^4C_1) = 3 \times (6 \times 6 \times 4) = 432$.
કિસ્સો $2$: $(3, 1, 1)$ કોઈપણ ક્રમમાં. રીતોની સંખ્યા = $3 \times (^4C_3 \times ^4C_1 \times ^4C_1) = 3 \times (4 \times 4 \times 4) = 192$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $432 + 192 = 624$.

(D) અંતઃખંડો $a$ અને $b$ વાળી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
જ્યારે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવા યામ $(x', y')$ અને જૂના યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ અને $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ છે.
આ કિંમતો રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x' \cos \theta - y' \sin \theta}{a} + \frac{x' \sin \theta + y' \cos \theta}{b} = 1$
$x' \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right) + y' \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right) = 1$.
નવી અક્ષોમાં રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b}$ અને $\frac{1}{q} = \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a}$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right)^2 + \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right)^2$
$= \frac{\cos^2 \theta}{a^2} + \frac{\sin^2 \theta}{b^2} + \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab} + \frac{\cos^2 \theta}{b^2} + \frac{\sin^2 \theta}{a^2} - \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab}$
$= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{a^2} + \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{b^2}$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
આમ,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1 + y = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ મળે.
આ $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,$nx = \frac{3}{4}$ અને $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{15}{32}$ મળે.
$n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મેળવતા,$1 + y = (1 - 1/2)^{-3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1 + y)^2 = 8$,તેથી $y^2 + 2y - 7 = 0$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0)$ લો. સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_0}{2} + yy_0 = 1$ થાય.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $A = (\frac{2}{x_0}, 0)$ અને $B = (0, \frac{1}{y_0})$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ અંતઃખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{1}{x_0}$ અને $k = \frac{1}{2y_0}$,જેનો અર્થ છે કે $x_0 = \frac{1}{h}$ અને $y_0 = \frac{1}{2k}$.
કારણ કે $(x_0, y_0)$ ઉપવલય પર છે,તેથી $(\frac{1}{h})^2 + 2(\frac{1}{2k})^2 = 2$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{2k^2} = 2$ થાય.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2y^2} = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 - 2x + k - 4 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\frac{1}{\alpha}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના ગુણધર્મ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 4$,$b = -2$,અને $c = k - 4$ છે.
તેથી,$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{k - 4}{4}$.
$1 = \frac{k - 4}{4}$.
$4 = k - 4$.
$k = 8$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+2x+2=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = -1 \pm i$.
ધારો કે $\alpha = -1+i$ અને $\beta = -1-i$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$\alpha = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$ અને $\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$.
તેથી $\alpha^{15} = (\sqrt{2})^{15} (\cos \frac{45\pi}{4} + i \sin \frac{45\pi}{4}) = 2^{7.5} (-\frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}})$.
તે જ રીતે,$\beta^{15} = (\sqrt{2})^{15} (\cos \frac{75\pi}{4} + i \sin \frac{75\pi}{4}) = 2^{7.5} (-\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}})$.
સરવાળો કરતા,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^{7.5} (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = -2^8 = -256$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+x^2+1=0$ છે.
તેના અવયવો $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$ થાય.
$x^2+x+1=0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
$x^2-x+1=0$ ના બીજ $-\omega$ અને $-\omega^2$ છે.
શરતો મુજબ $\alpha=\omega, \beta=\omega^2$ અને $\gamma=-\omega, \delta=-\omega^2$ મળે.
હવે,$\alpha^{2023}+\beta^{2023}+\gamma^{2022}+\delta^{2022} = \omega^{2023} + (\omega^2)^{2023} + (-\omega)^{2022} + (-\omega^2)^{2022}$
$= \omega + \omega^2 + 1 + 1 = -1 + 2 = 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
$\sin ^2 18^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
$\cos ^2 36^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{8}$.
બીજનો સરવાળો $\frac{3-\sqrt{5}}{8} + \frac{3+\sqrt{5}}{8} = \frac{3}{4}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\left(\frac{3-\sqrt{5}}{8}\right) \left(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\right) = \frac{1}{16}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ મુજબ,
$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{16} = 0$,એટલે કે $16x^2 - 12x + 1 = 0$.

(D) સમીકરણ $f(x)^{g(x)}=1$ નીચેના કિસ્સાઓમાં સંતોષાય છે:
કિસ્સો $1$: $f(x)=1$
$x^2-7x+11=1 \implies x^2-7x+10=0 \implies (x-2)(x-5)=0 \implies x=2, 5$.
કિસ્સો $2$: $g(x)=0$ અને $f(x) \neq 0$
$x^2-6x-7=0 \implies (x-7)(x+1)=0 \implies x=7, -1$.
કિસ્સો $3$: $f(x)=-1$ અને $g(x)$ એ બેકી પૂર્ણાંક છે
$x^2-7x+11=-1 \implies x^2-7x+12=0 \implies (x-3)(x-4)=0 \implies x=3, 4$.
$x=3, 4$ માટે $g(x)$ તપાસો:
$x=3$ માટે,$g(3)=3^2-6(3)-7=-16$ (બેકી,તેથી $x=3$ ઉકેલ છે).
$x=4$ માટે,$g(4)=4^2-6(4)-7=-15$ (એકી,તેથી $x=4$ ઉકેલ નથી).
$x$ ની વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ $\{2, 5, 7, -1, 3\}$ છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો $2+5+7-1+3=16$ છે.

(A) આપેલ $x^2+ax+2=0$ માટે,$\alpha+\beta = -a$ અને $\alpha\beta = 2$ છે.
$x^2-bx+c=0$ માટે,બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ છે,તેથી $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = b$ અને $\frac{1}{\alpha\beta} = c = \frac{1}{2}$ છે.
હવે,પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = \left(\alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta}\right) \left(\alpha\beta - \frac{\alpha}{\beta} - \frac{\beta}{\alpha} + \frac{1}{\alpha\beta}\right)$
$E = \left(2 + 2 + \frac{1}{2}\right) \left(2 + \frac{1}{2} - \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\right) = \frac{9}{2} \left(\frac{5}{2} - \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\right)$
$E = \frac{9}{2} \left(\frac{5}{2} - \frac{a^2-4}{2}\right) = \frac{9}{2} \left(\frac{5-a^2+4}{2}\right) = \frac{9}{4}(9-a^2)$.

(B) કારણ કે $(x-2)$ એ $x^2+ax+b$ નો અવયવ છે,તેથી $x=2$ એ તેનું બીજ છે,એટલે કે $(2)^2+2a+b=0$,જે $2a+b=-4$ આપે છે ... $(i)$.
તે જ રીતે,$(x-2)$ એ $x^2+cx+d$ નો અવયવ હોવાથી,$(2)^2+2c+d=0$,જે $2c+d=-4$ આપે છે ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(2a+b) - (2c+d) = -4 - (-4)$
$2(a-c) + (b-d) = 0$
$b-d = -2(a-c)$
$b-d = 2(c-a)$
તેથી,$\frac{b-d}{c-a} = 2$.

(C) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. સમીકરણો $x^2-6x+a=0$ અને $x^2-cx+6=0$ છે.
ધારો કે અન્ય બીજ અનુક્રમે $\beta_1$ અને $\beta_2$ છે. આપેલ છે કે $\beta_1 : \beta_2 = 4:3$,તેથી $\beta_1 = 4k$ અને $\beta_2 = 3k$.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $\alpha + 4k = 6$ અને $\alpha \cdot 4k = a$.
બીજા સમીકરણ માટે: $\alpha + 3k = c$ અને $\alpha \cdot 3k = 6$.
$\alpha \cdot 3k = 6$ પરથી,$k = \frac{2}{\alpha}$ મળે.
$k$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha + 4(\frac{2}{\alpha}) = 6 \Rightarrow \alpha + \frac{8}{\alpha} = 6$.
$\alpha$ વડે ગુણતા: $\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\alpha - 4)(\alpha - 2) = 0$,તેથી $\alpha = 4$ અથવા $\alpha = 2$.
જો $\alpha = 4$ હોય,તો $4k = 6 - 4 = 2 \Rightarrow k = 0.5$. તેથી $\beta_1 = 2$ અને $\beta_2 = 1.5$. $\beta_2$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,તેથી આ શક્ય નથી.
જો $\alpha = 2$ હોય,તો $4k = 6 - 2 = 4 \Rightarrow k = 1$. તેથી $\beta_1 = 4$ અને $\beta_2 = 3$. બંને પૂર્ણાંક છે.
આમ,સામાન્ય બીજ $2$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ $x^2+3x-2k=0$ અને $x^2-2x-7k=0$ નું શૂન્યેતર સામાન્ય બીજ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x^2+3x-2k) - (x^2-2x-7k) = 0$ $\Rightarrow 5x+5k=0$ $\Rightarrow x=-k$.
$x=-k$ એ બીજ હોવાથી,તેને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $(-k)^2+3(-k)-2k=0$ $\Rightarrow k^2-5k=0$ $\Rightarrow k(k-5)=0$.
બીજ શૂન્યેતર હોવાથી,$k \neq 0$,તેથી $k=5$.
$k=5$ ને ત્રીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $5x^2+(5+2)x-(5+1)=0 \Rightarrow 5x^2+7x-6=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $5x^2+10x-3x-6=0$ $\Rightarrow 5x(x+2)-3(x+2)=0$ $\Rightarrow (5x-3)(x+2)=0$.
બીજ $x=\frac{3}{5}$ અને $x=-2$ મળે છે.
તેથી ધન બીજ $x=\frac{3}{5}$ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે.
આપેલા સમીકરણો $ax^2-7x+c=0$ અને $ax^2+5x-c=0$ છે.
$\alpha$ સામાન્ય બીજ હોવાથી,$a\alpha^2-7\alpha+c=0$ અને $a\alpha^2+5\alpha-c=0$ થાય.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$-12\alpha + 2c = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{c}{6}$.
$\alpha = \frac{c}{6}$ ને $ax^2-7x+c=0$ માં મૂકતા,$ac=6$ મળે છે.
$3$ એ અન્ય બીજ હોવાથી,$9a-21+c=0$ થાય.
$c=21-9a$ ને $ac=6$ માં મૂકતા $3a^2-7a+2=0$ મળે,જેના ઉકેલ $a=2$ અથવા $a=\frac{1}{3}$ છે.
$a=2$ માટે $c=3$ મળે,તેથી સમીકરણ $2x^2-7x+3=0$ બને,જેના બીજ $3$ અને $\frac{1}{2}$ છે.
આમ,સામાન્ય બીજ $\frac{1}{2}$ છે.

(C) પ્રથમ અસમતા માટે: $x^2-7x+10 \geq 0$
$(x-2)(x-5) \geq 0$
તેથી,$x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$.
બીજી અસમતા માટે: $2x+3-x^2 > 0$
$x^2-2x-3 < 0$
$(x-3)(x+1) < 0$
તેથી,$x \in (-1, 3)$.
બંને અંતરાલોનો છેદ લેતા:
$(-\infty, 2] \cup [5, \infty) \cap (-1, 3) = (-1, 2]$.
તેથી,$x$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ $(-1, 2]$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^2+2px-2p+8 > 0$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે છે.
કોઈપણ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સત્ય હોય,તો તેની શરતો $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ છે.
અહીં,$a = 1 > 0$,જે સંતોષાય છે.
હવે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (2p)^2 - 4(1)(-2p+8) < 0$
$4p^2 + 8p - 32 < 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$p^2 + 2p - 8 < 0$
અવયવ પાડતા:
$(p+4)(p-2) < 0$
સાઇન સ્કીમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $p = -4$ અને $p = 2$ ની વચ્ચે ઋણ છે.
તેથી,$p$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $p \in (-4, 2)$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
આપણે પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$f(x) = \frac{(x^2+x+1) - 2x}{x^2+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^2+x+1}$.
$f(x)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $\frac{2x}{x^2+x+1}$ પદને મહત્તમ બનાવવું પડશે.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ લેતા:
$(y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0 \implies (3-y)(3y-1) \geq 0$.
આથી,$\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $e^{4t} - 10e^{3t} + 29e^{2t} - 20e^t + 4 = 0$.
ધારો કે $x = e^t$. તો સમીકરણ $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 20x + 4 = 0$ બને છે.
ધારો કે $t$ માં સમીકરણના બીજ $t_1, t_2, t_3, t_4$ છે.
તો $x$ માં સમીકરણના બીજ $x_1 = e^{t_1}, x_2 = e^{t_2}, x_3 = e^{t_3}, x_4 = e^{t_4}$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બહુપદી $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 20x + 4 = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર અચળ પદ જેટલો થાય છે:
$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 4$.
$e^t$ પાછું મૂકતા:
$e^{t_1} \cdot e^{t_2} \cdot e^{t_3} \cdot e^{t_4} = 4$.
$e^{(t_1 + t_2 + t_3 + t_4)} = 4$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \log_e 4$.
$4 = 2^2$ હોવાથી:
$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \log_e 2^2 = 2\log_e 2$.

(D) આપેલ ઘાત સમીકરણ: $x^3-14x^2+56x-64=0$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે:
$\alpha+\beta+\gamma=14$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=56$
$\alpha\beta\gamma=64$
નાની પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ એક બીજ છે:
$2^3-14(2^2)+56(2)-64 = 8-56+112-64 = 0$.
બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$(x-2)(x^2-12x+32)=0$
$(x-2)(x-4)(x-8)=0$
બીજ $\alpha=2, \beta=4, \gamma=8$ છે.
કારણ કે $\frac{4}{2} = \frac{8}{4} = 2$,તેથી બીજ ભૂમિતિ શ્રેણી $(GP)$ માં છે.

(D) આપેલ છે $x^3+3x^2-9x+\lambda = (x-\alpha)^2(x-\beta) = x^3 - (2\alpha+\beta)x^2 + (2\alpha\beta+\alpha^2)x - \alpha^2\beta$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2\alpha+\beta = -3$ $(i)$
$2\alpha\beta+\alpha^2 = -9$ (ii)
$-\alpha^2\beta = \lambda$ (iii)
$(i)$ પરથી,$\beta = -3-2\alpha$.
(ii) માં કિંમત મુકતા: $2\alpha(-3-2\alpha) + \alpha^2 = -9$ $\Rightarrow 3\alpha^2 + 6\alpha - 9 = 0$ $\Rightarrow \alpha^2 + 2\alpha - 3 = 0$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $(\alpha+3)(\alpha-1) = 0$,તેથી $\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -3$.
જો $\alpha = 1$,તો $\beta = -5$. (iii) પરથી,$\lambda = -(1)^2(-5) = 5$.
જો $\alpha = -3$,તો $\beta = 3$. (iii) પરથી,$\lambda = -(-3)^2(3) = -27$.
તેથી,$\lambda$ ની કિંમતો $-27$ અને $5$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $f(x) = x^4-2ax^3+4bx^2+8ax+16=0$ ના બીજ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ છે.
નવા સમીકરણના બીજ $p\alpha_1, p\alpha_2, p\alpha_3, p\alpha_4$ છે.
તેથી,નવું સમીકરણ $f(\frac{x}{p}) = 0$ થશે.
$\frac{x}{p}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{x}{p})^4 - 2a(\frac{x}{p})^3 + 4b(\frac{x}{p})^2 + 8a(\frac{x}{p}) + 16 = 0$
$p^4$ વડે ગુણતા:
$x^4 - 2apx^3 + 4bp^2x^2 + 8ap^3x + 16p^4 = 0$
આ એક વ્યસ્ત સમીકરણ હોવાથી,$x^4$ નો સહગુણક અચળ પદ જેટલો હોવો જોઈએ:
$1 = 16p^4$
$p^4 = \frac{1}{16}$
$p^2 = \frac{1}{4} \implies |p| = \frac{1}{2}$

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4-4x^3-7x^2+22x+24=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)=0$ મળે છે.
બીજ $x_1 = -1, x_2 = -2, x_3 = 3, x_4 = 4$ છે.
શરત ચકાસતા: $3 + (-1) = 2$ અને $4 + (-2) = 2$.
આમ,બીજના ઘનનો સરવાળો:
$(-1)^3 + (-2)^3 + (3)^3 + (4)^3 = -1 - 8 + 27 + 64 = 82$.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ: $x^3+4x^2-9x-36=0$
સમીકરણનું અવયવીકરણ કરતા:
$x^2(x+4)-9(x+4)=0$
$(x^2-9)(x+4)=0$
$(x-3)(x+3)(x+4)=0$
બીજ $x = -4, -3, 3$ છે.
શરત $\alpha < \beta < \gamma$ મુજબ,$\alpha = -4$,$\beta = -3$,અને $\gamma = 3$ મળે.
હવે,$\alpha+2\beta+3\gamma$ ની ગણતરી કરતા:
$\alpha+2\beta+3\gamma = -4 + 2(-3) + 3(3)$
$= -4 - 6 + 9$
$= -10 + 9 = -1$.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-3x^2+3x+1=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 3$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 3$
$\alpha\beta\gamma = -1$
આપણે $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=\alpha\beta, b=\beta\gamma, c=\gamma\alpha$.
તેથી $(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 = \alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 + 2(\alpha\beta^2\gamma + \beta\gamma^2\alpha + \gamma\alpha^2\beta)$.
બીજા પદમાંથી $\alpha\beta\gamma$ સામાન્ય લેતા:
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\beta+\alpha+\gamma)$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (3)^2 - 2(-1)(3) = 9 + 6 = 15$.

(D) ધારો કે $f(x) = x^5-6x^4+11x^3-2x^2-12x+8$.
નાના પૂર્ણાંક બીજ તપાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ એ એક બીજ છે.
બહુપદીના ભાગાકારનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું અવયવીકરણ કરીએ છીએ:
$f(x) = (x-2)^3(x^2-1) = (x-2)^3(x-1)(x+1)$.
બીજ $x=2$ (જેની ગુણકતા $3$ છે),$x=1$,અને $x=-1$ છે.
કારણ કે $\alpha$ એ બહુવિધ બીજ છે,તેથી $\alpha=2$.
$3\alpha^2-2\alpha+1$ માં $\alpha=2$ મૂકતા:
$3(2)^2-2(2)+1 = 3(4)-4+1 = 12-4+1 = 9$.

(A) આપેલ સમીકરણ $18x^3-15x^2-4x+4=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \alpha, \gamma$ છે જ્યાં $\alpha > \gamma$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$2\alpha + \gamma = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ $(i)$
$\alpha^2 + 2\alpha\gamma = -\frac{2}{9}$ (ii)
$\alpha^2\gamma = -\frac{2}{9}$ (iii)
(ii) અને (iii) પરથી,$\alpha^2 + 2\alpha\gamma = \alpha^2\gamma$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha + 2\gamma = \alpha\gamma$.
$(i)$ પરથી,$\gamma = \frac{5}{6} - 2\alpha$.
$\alpha + 2\gamma = \alpha\gamma$ માં કિંમત મૂકતા:
$\alpha + 2(\frac{5}{6} - 2\alpha) = \alpha(\frac{5}{6} - 2\alpha)$
$12\alpha^2 - 23\alpha + 10 = 0$
$(3\alpha - 2)(4\alpha - 5) = 0$.
તેથી,$\alpha = \frac{2}{3}$ અથવા $\alpha = \frac{5}{4}$.
જો $\alpha = \frac{2}{3}$,તો $\gamma = -\frac{1}{2}$.
$\alpha > \gamma$ હોવાથી,$\alpha + \beta^2 + \gamma^3 = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{1}{8} = \frac{71}{72}$.

(D) આપેલ ઘન સમીકરણ $2x^3+x^2-13x+6=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે:
$\alpha+\beta+\gamma = -\frac{1}{2}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -\frac{13}{2}$
$\alpha\beta\gamma = -\frac{6}{2} = -3$
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$
અહીં $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{13}{2}) = \frac{1}{4} + 13 = \frac{53}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = (-\frac{1}{2})(\frac{53}{4} + \frac{26}{4}) - 9$
$= (-\frac{1}{2})(\frac{79}{4}) - 9$
$= -\frac{79}{8} - \frac{72}{8} = -\frac{151}{8}$.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3+2x^2-x-2=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2(x+2)-1(x+2)=0$
$(x^2-1)(x+2)=0$
$(x-1)(x+1)(x+2)=0$
આમ,બીજ $\alpha=1, \beta=-1, \gamma=-2$ છે.
આપણે $\alpha^6+\beta^6+\gamma^6$ ની ગણતરી કરવાની છે:
$\alpha^6+\beta^6+\gamma^6 = (1)^6 + (-1)^6 + (-2)^6$
$= 1 + 1 + 64$
$= 66$

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$ મળે.
ધારો કે $y = x + \frac{1}{x}$,તો $y^2 - 2 + y - 4 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0$.
$(y+3)(y-2) = 0$,તેથી $y = 2$ અથવા $y = -3$.
જો $x + \frac{1}{x} = 2$,તો $x=1, 1$.
જો $x + \frac{1}{x} = -3$,તો $x^2 + 3x + 1 = 0$,તેથી $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
ધારો કે બીજ $r_1, r_2, r_3, r_4$ છે. બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\sum r_i r_j = -4$ છે.
જ્યારે બીજને $h$ જેટલા ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવા બીજ $r_i - h$ બને છે.
$x^2$ નો નવો સહગુણક $\sum (r_i - h)(r_j - h) = 0$ થાય.
આનું વિસ્તરણ $\sum r_i r_j - 3h \sum r_i + 6h^2 = 0$ થાય છે.
મૂળ સમીકરણ પરથી,$\sum r_i = -1$ અને $\sum r_i r_j = -4$.
આ કિંમતો મૂકતા,$-4 - 3h(-1) + 6h^2 = 0 \Rightarrow 6h^2 + 3h - 4 = 0$.
$h$ માં આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ અને $\alpha \beta = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.
તેથી $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{2}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{8}{3} = \frac{35}{12}$.
તેથી,$12(\alpha - \beta)^2 = 12 \times \frac{35}{12} = 35$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ છે,જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = -1$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -1$
$(i)$ $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha}{\alpha \beta \gamma} = \frac{1}{-1} = -1$. તેથી,$(i)$ $\rightarrow$ $A$.
(ii) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$: કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ બીજ છે,$\alpha^3 = -\alpha^2 - \alpha - 1$,$\beta^3 = -\beta^2 - \beta - 1$,$\gamma^3 = -\gamma^2 - \gamma - 1$.
સરવાળો કરતા: $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - (\alpha + \beta + \gamma) - 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = (-1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
તેથી,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -(-1) - (-1) - 3 = 1 + 1 - 3 = -1$. તેથી,(ii) $\rightarrow$ $A$.
(iii) $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$: મૂળ સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા: $x^4 + x^3 + x^2 + x = 0$.
બીજ માટે સરવાળો કરતા: $(\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4) + (\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) + (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + (\alpha + \beta + \gamma) = 0$.
$(\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4) + (-1) + (-1) + (-1) = 0 \Rightarrow \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 = 3$. તેથી,(iii) $\rightarrow$ $D$.
(iv) $(\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2 = 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) = 2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4$. તેથી,(iv) $\rightarrow$ $B$.
સાચી જોડ $(i)$ $\rightarrow$ $A$,(ii) $\rightarrow$ $A$,(iii) $\rightarrow$ $D$,(iv) $\rightarrow$ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $k x^3 - 18 x^2 - 36 x + 8 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ હરાત્મક શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
મૂળ સમીકરણમાં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને $8 x^3 - 36 x^2 - 18 x + k = 0$ મળે છે.
ધારો કે આ નવા સમીકરણના બીજ $a-d, a, a+d$ છે.
બીજના સરવાળા પરથી,$3a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{2}$.
$a = \frac{3}{2}$ એ $8 x^3 - 36 x^2 - 18 x + k = 0$ નું બીજ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$8(\frac{3}{2})^3 - 36(\frac{3}{2})^2 - 18(\frac{3}{2}) + k = 0$.
$27 - 81 - 27 + k = 0$.
$k = 81$.

(B) આપેલ છે કે $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ એ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે જેનો અગ્ર સહગુણક $2$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $x = 1, 2, 3, 4$ માટે,$P(x) = x^2 + 3$ થાય છે.
ધારો કે $Q(x) = P(x) - (x^2 + 3)$.
$P(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,$Q(x)$ પણ $4$ ઘાતની બહુપદી છે જેનો અગ્ર સહગુણક $2$ છે.
$P(1)=4, P(2)=7, P(3)=12, P(4)=19$ હોવાથી,$Q(1)=0, Q(2)=0, Q(3)=0, Q(4)=0$ થાય.
તેથી,$Q(x) = 2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.
આમ,$P(x) = 2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2 + 3$.
$P(5)$ શોધવા માટે,$x = 5$ મૂકતા:
$P(5) = 2(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) + (5^2 + 3)$
$P(5) = 2(4)(3)(2)(1) + (25 + 3)$
$P(5) = 2(24) + 28 = 48 + 28 = 76$.

(D) આપેલ અસમતાઓ $x^2-1 \leq 0$ અને $x^2-x-2 \geq 0$ છે.
$x^2-1 \leq 0$ માટે:
$(x-1)(x+1) \leq 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in [-1, 1]$.
$x^2-x-2 \geq 0$ માટે:
$(x-2)(x+1) \geq 0$
આ સૂચવે છે કે $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.
બંને ગણ $x \in [-1, 1]$ અને $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ નો છેદગણ માત્ર એક બિંદુ $\{-1\}$ છે.
આમ,$x$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ $\{-1\}$ છે.

(C) આપેલ શ્રેણી $S = 1+i^2+i^4+i^6+\ldots+i^{2024}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^2 = -1$,$i^4 = 1$,$i^6 = -1$ વગેરે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r=i^2=-1$ અને પદોની સંખ્યા $n = \frac{2024-0}{2} + 1 = 1013$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1((-1)^{1013} - 1)}{-1 - 1} = \frac{-1 - 1}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.

(B) ધારો કે $z_1 = 1+\sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$.
તે જ રીતે,$z_2 = 1-\sqrt{3}i = 2e^{-i\pi/3}$.
તેથી,$(1+\sqrt{3}i)^{2023} + (1-\sqrt{3}i)^{2023} = 2^{2023} (e^{i2023\pi/3} + e^{-i2023\pi/3})$.
અહીં $\frac{2023\pi}{3} = 674\pi + \frac{\pi}{3}$ હોવાથી,
$e^{i2023\pi/3} = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,સરવાળો $= 2^{2023} (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{2023}(1) = 2^{2023}$.

(D) આપેલ પદાવલિ એક અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે: $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{i}{3}\right)^n = 1 + \frac{i}{3} + \left(\frac{i}{3}\right)^2 + \dots \infty$.
અનંત ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a=1$ અને $r=\frac{i}{3}$ છે.
$S = \frac{1}{1-\frac{i}{3}} = \frac{1}{\frac{3-i}{3}} = \frac{3}{3-i}$.
સાદું રૂપ આપવા માટે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3+i)$ વડે ગુણતા:
$S = \frac{3}{3-i} \times \frac{3+i}{3+i} = \frac{3(3+i)}{3^2 - i^2} = \frac{9+3i}{9 - (-1)} = \frac{9+3i}{10}$.

(C) સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ લેતા,$\alpha+\beta = -1$ અને $\alpha\beta = 1$ મળે.
કોઈપણ $n$ માટે,$\alpha^n+\beta^n = \omega^n+\omega^{2n}$.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,તો $\omega^n = 1$ અને $\omega^{2n} = 1$,તેથી $\alpha^n+\beta^n = 1+1 = 2$.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય,તો $\alpha^n+\beta^n = \omega^n+\omega^{2n} = -1$.
આપણે $S = \sum_{n=1}^{12} (\alpha^n+\beta^n)^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$n=1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11$ ($8$ પદો) માટે,કિંમત $(-1)^2 = 1$ છે.
$n=3, 6, 9, 12$ ($4$ પદો) માટે,કિંમત $(2)^2 = 4$ છે.
તેથી,$S = 8 \times (1) + 4 \times (4) = 8 + 16 = 24$.

(B) આપેલ છે $z = (\alpha + i\beta)(2 + 7i) = (2\alpha - 7\beta) + i(7\alpha + 2\beta)$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2\alpha - 7\beta = 0 \Rightarrow 2\alpha = 7\beta$.
$\alpha, \beta$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,ધારો કે $\alpha = 7k$ અને $\beta = 2k$ જ્યાં $k$ શૂન્યતર પૂર્ણાંક છે.
તેથી $|z|^2 = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2 = 0^2 + (7\alpha + 2\beta)^2$.
$\alpha = 7k$ અને $\beta = 2k$ મૂકતા:
$|z|^2 = (7(7k) + 2(2k))^2 = (49k + 4k)^2 = (53k)^2 = 2809k^2$.
ન્યૂનતમ શૂન્યતર કિંમત માટે,$k = 1$ લેતા:
$|z|^2 = 2809(1)^2 = 2809$.

(C) ધારો કે $Z = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
$Z$ ને શુદ્ધ વાસ્તવિક બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+2i \cos \theta)$ વડે ગુણીએ છીએ:
$Z = \frac{(1+i \cos \theta)(1+2i \cos \theta)}{(1-2i \cos \theta)(1+2i \cos \theta)}$
$Z = \frac{1 + 2i \cos \theta + i \cos \theta + 2i^2 \cos^2 \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$Z = \frac{(1 - 2 \cos^2 \theta) + i(3 \cos \theta)}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$Z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\operatorname{Im}(Z) = \frac{3 \cos \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = 0$.
જો $\cos \theta = 0$ હોય,તો $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos^3 \theta + \sin^2 \theta + \cos \theta + 1 = (0)^3 + 1 + 0 + 1 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $x+iy=\sqrt{\frac{3+i}{1+3i}}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|x+iy| = \left|\sqrt{\frac{3+i}{1+3i}}\right|$.
$|x+iy| = \sqrt{\left|\frac{3+i}{1+3i}\right|}$.
$|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ હોવાથી,$|x+iy| = \sqrt{\frac{|3+i|}{|1+3i|}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3^2+1^2}}{\sqrt{1^2+3^2}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}} = \sqrt{1} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$,તેથી $\sqrt{x^2+y^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2+y^2 = 1$.
તેથી,$\left(x^2+y^2\right)^2 = 1^2 = 1$.

(C) ધારો કે $Z = \sqrt{-5-12 i} + \sqrt{7+24 i}$.
આપણે સૂત્ર $\sqrt{a+ib} = \pm \left( \sqrt{\frac{|Z|+a}{2}} + i \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{|Z|-a}{2}} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\sqrt{-5-12 i}$ માટે,$|Z| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$. તેથી,$\sqrt{-5-12 i} = \pm \left( \sqrt{\frac{13-5}{2}} - i \sqrt{\frac{13+5}{2}} \right) = \pm(2-3i)$.
$\sqrt{7+24 i}$ માટે,$|Z| = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$. તેથી,$\sqrt{7+24 i} = \pm \left( \sqrt{\frac{25+7}{2}} + i \sqrt{\frac{25-7}{2}} \right) = \pm(4+3i)$.
આપેલ છે કે $Z = \pm(2-3i) \pm(4+3i)$.
$Z$ માટે શક્ય કિંમતો $(2-3i) + (4+3i) = 6$,$(2-3i) - (4+3i) = -2-6i$,$-(2-3i) + (4+3i) = 2+6i$,અને $-(2-3i) - (4+3i) = -6$ છે.
કારણ કે $k$ એક ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $k = -6$.

(C) ધારો કે $z = \frac{3+2 i \sin \theta}{1-2 i \sin \theta}$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક બને તે માટે તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+2 i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3+2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}{(1-2 i \sin \theta)(1+2 i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6 i \sin \theta + 2 i \sin \theta + 4 i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + i(8 \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,$\text{Re}(z) = 0$:
$\frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$
$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
આથી $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$ મળે.

(D) શરત $|Z_1+Z_2|=|Z_1|+|Z_2|$ એ ત્રિકોણ અસમતા સમાનતામાં ફેરવાય ત્યારે શક્ય છે.
આ ત્યારે જ થાય છે જો સંકર સમતલમાં $Z_1$ અને $Z_2$ દર્શાવતા સદિશો એક જ દિશામાં હોય.
તેથી,$Z_1$ અને $Z_2$ ના કોણાંક (amplitudes) સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\text{arg}(Z_1) = \text{arg}(Z_2)$.
આમ,તેમના કોણાંક વચ્ચેનો તફાવત $\text{arg}(Z_1) - \text{arg}(Z_2) = 0$ થાય.

(D) ધારો કે $Z = \sin \frac{6 \pi}{5} + i(1 + \cos \frac{6 \pi}{5})$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ અને $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \frac{3\pi}{5}$:
$Z = 2\sin \frac{3\pi}{5}\cos \frac{3\pi}{5} + i(2\cos^2 \frac{3\pi}{5})$
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\sin \frac{3\pi}{5} + i\cos \frac{3\pi}{5})$
$\frac{3\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{10}$ હોવાથી,$\sin \frac{3\pi}{5} = \cos \frac{\pi}{10}$ અને $\cos \frac{3\pi}{5} = -\sin \frac{\pi}{10}$ મળે.
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\cos \frac{\pi}{10} - i\sin \frac{\pi}{10})$
$Z = 2\cos \frac{3\pi}{5} (\cos(-\frac{\pi}{10}) + i\sin(-\frac{\pi}{10}))$
$\cos \frac{3\pi}{5} < 0$ હોવાથી,કોણાંક (argument) $\pi - \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$ થશે.

(A) ધારો કે $z = x+iy$. આપેલ પદાવલિ $\frac{(x-2)+i(y-1)}{(x+1)+i(y-2)}$ છે.
આ પદાવલિ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,અંશ અને છેદના અનુબદ્ધનો ગુણાકારનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{[(x-2)+i(y-1)][(x+1)-i(y-2)]}{(x+1)^2+(y-2)^2}$.
કાલ્પનિક ભાગ: $(x+1)(y-1) - (x-2)(y-2) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $(xy - x + y - 1) - (xy - 2x - 2y + 4) = 0$.
$xy - x + y - 1 - xy + 2x + 2y - 4 = 0$.
$x + 3y - 5 = 0$.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $z \neq -(1-2i)$,એટલે કે $x \neq -1$ અને $y \neq 2$.
આમ,બિંદુપથ એ રેખા $x+3y-5=0$ છે,જેમાં બિંદુ $(-1,2)$ નો સમાવેશ થતો નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ $z^2-i=0$ માટે,$z^2=i$ થાય.
$i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,$i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i \sin(\frac{\pi}{2}) = e^{i\frac{\pi}{2}}$.
બીજ $z = \pm e^{i\frac{\pi}{4}}$ મળે.
આમ,બીજ $z_1 = e^{i\frac{\pi}{4}}$ અને $z_2 = e^{i(\frac{\pi}{4} + \pi)} = e^{i\frac{5\pi}{4}}$ છે.
ધારો કે $\alpha = e^{i\frac{\pi}{4}}$ અને $\beta = e^{i\frac{5\pi}{4}}$.
તેથી $\operatorname{Arg} \alpha = \frac{\pi}{4}$ અને $\operatorname{Arg} \beta = \frac{5\pi}{4}$.
તેથી,$|\operatorname{Arg} \beta - \operatorname{Arg} \alpha| = |\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4}| = |\pi| = \pi$.

(A) ધારો કે $Z = \frac{(1+i)^{2025}}{(1-i)^{2022}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1-i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$Z = \frac{(\sqrt{2} e^{i\pi/4})^{2025}}{(\sqrt{2} e^{-i\pi/4})^{2022}}$
$Z = \frac{(\sqrt{2})^{2025} e^{i(2025\pi/4)}}{(\sqrt{2})^{2022} e^{-i(2022\pi/4)}}$
$Z = (\sqrt{2})^3 e^{i(2025\pi/4 + 2022\pi/4)}$
$Z = 2\sqrt{2} e^{i(4047\pi/4)}$
કારણ કે $4047\pi/4 = 1011\pi + 3\pi/4$,મુખ્ય કોણ $\operatorname{Arg}(Z) = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4}$ થાય.

(C) ઉગમબિંદુ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a) = 4ax + 4a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) x + 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 1$.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$.
તેથી,$mn - m + n = (1 \times 2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.

(A) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + d = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $(2, -1, 3)$ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ઉગમબિંદુથી લંબપાદ સુધીનો સદિશ થશે,જે $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (-1 - 0)\hat{j} + (3 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z = D$ સ્વરૂપનું થશે.
બિંદુ $(2, -1, 3)$ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2) - (-1) + 3(3) = D$
$4 + 1 + 9 = D$
$D = 14$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 3z - 14 = 0$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x+3}{(x-1)(x+2)}$.
$(x-1)(x+2)y = x+3$
$y(x^2+x-2) = x+3$
$yx^2 + (y-1)x - (2y+3) = 0$.
$x \in R$ હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$:
$(y-1)^2 + 4y(2y+3) \geq 0$
$y^2 - 2y + 1 + 8y^2 + 12y \geq 0$
$9y^2 + 10y + 1 \geq 0$
$(9y+1)(y+1) \geq 0$.
ઉકેલ $y \in (-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{9}, \infty)$ છે.
આમ,વિસ્તાર $R - (-1, -\frac{1}{9})$ છે.
$R - (\alpha, \beta)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -1$ અને $\beta = -\frac{1}{9}$ મળે.
રેખાનું સમીકરણ $-x - \frac{1}{9}y + 1 = 0$ છે,એટલે કે $x + \frac{1}{9}y = 1$.
આને $\frac{x}{1} + \frac{y}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અંતઃખંડો $1$ અને $9$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $1 + 9 = 10$ થાય.

(C) ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)$.
આ એક રીમેન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય:
$\log L = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(1+x^2)$ અને $dv = dx$ લેતા:
$\int \log(1+x^2) dx = x \log(1+x^2) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^2} dx$.
$= x \log(1+x^2) - 2 \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = x \log(1+x^2) - 2 \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx$.
$= x \log(1+x^2) - 2x + 2 \tan^{-1} x$.
$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્ય શોધતા:
$\log L = [1 \cdot \log(2) - 2(1) + 2 \tan^{-1}(1)] - [0 - 0 + 0] = \log 2 - 2 + 2(\frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.
$\log L = \log 2 + \frac{\pi-4}{2} = \log 2 + \log e^{\frac{\pi-4}{2}} = \log \left(2 e^{\frac{\pi-4}{2}}\right)$.
તેથી,$L = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

(D) આપેલ વક્ર $y = 2 - x - 3x^2$ છે. પ્રદેશ $X$-અક્ષ $(y = 0)$,$Y$-અક્ષ $(x = 0)$ અને રેખા $x = -2$ દ્વારા આવૃત છે.
પ્રથમ,$y = 0$ લઈને વક્રના શૂન્યો શોધો:
$2 - x - 3x^2 = 0 \implies 3x^2 + x - 2 = 0 \implies (3x - 2)(x + 1) = 0$.
શૂન્યો $x = -1$ અને $x = 2/3$ છે.
$x \in [-2, -1]$ માટે,$y = 2 - x - 3x^2$ ઋણ છે.
$x \in [-1, 0]$ માટે,$y = 2 - x - 3x^2$ ધન છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-2}^{-1} -(2 - x - 3x^2) dx + \int_{-1}^{0} (2 - x - 3x^2) dx$
$= \int_{-2}^{-1} (3x^2 + x - 2) dx + \int_{-1}^{0} (2 - x - 3x^2) dx$
$= [x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x]_{-2}^{-1} + [2x - \frac{x^2}{2} - x^3]_{-1}^{0}$
$= [(-1 + 0.5 + 2) - (-8 + 2 + 4)] + [(0) - (-2 - 0.5 + 1)]$
$= [1.5 - (-2)] + [0 - (-1.5)]$
$= 3.5 + 1.5 = 5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $A = \int_0^{2\pi} |\sin 2x| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય $f(x) = |\sin 2x|$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તમાન ધરાવે છે,તેથી $[0, 2\pi]$ પરનું ક્ષેત્રફળ $4$ સમાન ભાગો (humps) ધરાવે છે,જે દરેક $\frac{\pi}{2}$ લંબાઈના અંતરાલમાં છે.
આમ,$A = 4 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $A = 4 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2}$.
$A = 4 \left( -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-1 - 1) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} (-2) \right) = 4(1) = 4$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) વક્ર $y=2x-x^2$ અને રેખા $y=-x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,$2x-x^2 = -x$ લઈને.
$2x-x^2+x = 0$
$3x-x^2 = 0$
$x(3-x) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=3$ છે.
અંતરાલ $[0, 3]$ માં,વક્ર $y=2x-x^2$ એ રેખા $y=-x$ ની ઉપર આવેલું છે.
ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_0^3 ((2x-x^2) - (-x)) dx$
$= \int_0^3 (3x-x^2) dx$
$= \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3$
$= \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - (0 - 0)$
$= \frac{27}{2} - \frac{27}{3}$
$= \frac{27}{2} - 9$
$= \frac{27-18}{2} = \frac{9}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,$A+B$ ની ગણતરી કરો:
$A+B = \begin{bmatrix} 1-3 & 2-2 & -1+4 \\ -1+2 & 0+2 & 2-1 \\ 1-2 & 2+0 & 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A^2 = A+B$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ... $(i)$
આપણે આને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $I+P+P^2+\ldots+P^{n-1} = -P^n$ ... $(ii)$
હવે,સમીકરણ $(i)$ ને ડાબી બાજુથી $P^{-1}$ વડે ગુણતા:
$P^{-1}(I+P+P^2+\ldots+P^{n}) = P^{-1}(0)$
$P^{-1}I + P^{-1}P + P^{-1}P^2 + \ldots + P^{-1}P^n = 0$
$P^{-1} + I + P + \ldots + P^{n-1} = 0$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $I+P+\ldots+P^{n-1} = -P^n$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P^{-1} + (-P^n) = 0$
તેથી,$P^{-1} = P^n$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $AB = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a+3b \\ c & 2c+3d \end{bmatrix}$.
$AB$ અદિશ શ્રેણિક હોવાથી,$c = 0$ અને $2a+3b = 0$,અને $a = 2c+3d = 3d$.
આમ,$a = 3d$ અને $b = -\frac{2}{3}a = -2d$.
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 3d & -2d \\ 0 & d \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $\det(3A) = 27$,તેથી $3^2 \det(A) = 27$,એટલે કે $\det(A) = 3$.
$\det(A) = (3d)(d) - 0 = 3d^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $d^2 = 1$. $d=1$ લેતા,આપણને $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$3A^{-1} + A^2 = 3 \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} b & a & 0 \\ c & 0 & b \\ a & a & b \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ b & 0 & c \\ b & a & a \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર $AB$ કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} ab & ab & b^2+ac \\ b^2 & ac+ab & bc+ab \\ ab+b^2 & a^2+ab & 2ab+ac \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 7 \\ 1 & 8 & 5 \\ 3 & 6 & 10 \end{bmatrix}$.
સરખાવતા,$b^2 = 1$,$ab = 2$,અને $b^2+ac = 7$.
$b^2=1$ હોવાથી,$1+ac=7 \implies ac=6$.
જો $b=1$ હોય તો $a=2$ અને $c=3$. જો $b=-1$ હોય તો $a=-2$ અને $c=-3$.
બંને કિસ્સામાં,$a^2+b^2+c^2 = (\pm 2)^2 + (\pm 1)^2 + (\pm 3)^2 = 4+1+9 = 14$.

(B) શ્રેણિક $A$ સંમિત હોવા માટે,$A = A^T$,જેનો અર્થ છે કે $a=b$,$c=d$,અને $3=3$. તેથી,$A = \begin{bmatrix} 1 & a & 3 \\ a & 2 & c \\ 3 & c & 4 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $B$ વિસંમિત હોવા માટે,$B = -B^T$,જેનો અર્થ છે કે વિકર્ણ ઘટકો $0$ છે. $B_{13} = -B_{31}$ પરથી,આપણને $b = -6$ મળે છે. $B_{23} = -B_{32}$ પરથી,આપણને $-7 = -c$ મળે છે,તેથી $c = 7$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $a = b = -6$ અને $d = c = 7$ મળે છે.
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 3 \\ -6 & 2 & 7 \\ 3 & 7 & 4 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 5 & -6 \\ -5 & 0 & -7 \\ 6 & 7 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 3 \\ -6 & 2 & 7 \\ 3 & 7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5 & -6 \\ -5 & 0 & -7 \\ 6 & 7 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & 26 & 36 \\ 32 & 19 & 22 \\ -11 & 43 & -67 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
અહીં $A^2 = 0$ હોવાથી,$n \geq 2$ માટે તમામ ઉચ્ચ ઘાત $A^n = 0$ થશે.
આપેલ છે કે $f(x) = x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{2023}$,તેથી $f(A) = A + A^2 + A^3 + \ldots + A^{2023}$.
$n \geq 2$ માટે $A^n = 0$ મૂકતા,આપણને $f(A) = A + 0 + 0 + \ldots + 0 = A$ મળે છે.
તેથી,$f(A) + I = A + I$.
$f(A) + I = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{bmatrix}$ શોધો.
સમીકરણ $\alpha A^2 - \beta A = 2I$ માં $A^2$ અને $A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\alpha \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 18 & 31 \end{bmatrix} - \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આનાથી શ્રેણિક સમીકરણ મળે છે:
$\begin{bmatrix} 7\alpha - \beta & 12\alpha - 2\beta \\ 18\alpha - 3\beta & 31\alpha - 5\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$7\alpha - \beta = 2$ $(i)$
$12\alpha - 2\beta = 0 \Rightarrow 6\alpha - \beta = 0$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા $\alpha = 2$ મળે છે.
$\alpha = 2$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,$6(2) - \beta = 0 \Rightarrow \beta = 12$ મળે છે.
અંતે,$\alpha^2 + \beta = (2)^2 + 12 = 4 + 12 = 16$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $P$ માટે,તેના પરિવર્તિત શ્રેણિકનો ટ્રેસ એ શ્રેણિકના ટ્રેસ જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $\operatorname{Tr}(P) = \operatorname{Tr}(P^T)$.
વળી,$\operatorname{Tr}(P - P^T) = \operatorname{Tr}(P) - \operatorname{Tr}(P^T) = 0$ અને $\operatorname{Tr}(P + P^T) = \operatorname{Tr}(P) + \operatorname{Tr}(P^T) = 2\operatorname{Tr}(P)$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 + 2\operatorname{Tr}(P) + \frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P)} + \operatorname{Tr}(P) \times \operatorname{Tr}(P) = 0$
કારણ કે $\operatorname{Tr}(P) \neq 0$,તેથી $\frac{\operatorname{Tr}(P)}{\operatorname{Tr}(P)} = 1$.
આમ,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $2\operatorname{Tr}(P) + 1 + (\operatorname{Tr}(P))^2 = 0$.
આ $\operatorname{Tr}(P)$ ના સંદર્ભમાં દ્વિઘાત સમીકરણ છે:
$(\operatorname{Tr}(P))^2 + 2\operatorname{Tr}(P) + 1 = 0$
$(\operatorname{Tr}(P) + 1)^2 = 0$
$\operatorname{Tr}(P) = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(AB+BA)^{T}+(AB-BA)^{T}=2BA$
ગુણધર્મ $(X+Y)^T = X^T + Y^T$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(AB)^T + (BA)^T + (AB)^T - (BA)^T = 2BA$
$2(AB)^T = 2BA$
$(AB)^T = BA$
$B^T A^T = BA$
જો $A$ અને $B$ સંમિત હોય,તો $A^T = A$ અને $B^T = B$. આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $BA = BA$ મળે છે,જે સત્ય છે.
જો $A$ અને $B$ વિસંમિત હોય,તો $A^T = -A$ અને $B^T = -B$. આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-B)(-A) = BA$ મળે છે,એટલે કે $BA = BA$,જે પણ સત્ય છે.
આમ,જો $A$ અને $B$ બંને સંમિત હોય અથવા બંને વિસંમિત હોય તો આ શરતનું પાલન થાય છે.

(D) આપેલ શ્રેણિકો: $P_{2 \times 3}$,$X_{4 \times 3}$,$Y_{4 \times 3}$.
$X^T$ નો ક્રમ $3 \times 4$ છે.
$P^T$ નો ક્રમ $3 \times 2$ છે.
$X^T Y$ નો ક્રમ $(3 \times 4) \times (4 \times 3) = 3 \times 3$ છે.
$(X^T Y)^{-1}$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે.
$P(X^T Y)^{-1}$ નો ક્રમ $(2 \times 3) \times (3 \times 3) = 2 \times 3$ છે.
$P(X^T Y)^{-1} P^T$ નો ક્રમ $(2 \times 3) \times (3 \times 2) = 2 \times 2$ છે.
અંતે,$2 \times 2$ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) પણ $2 \times 2$ જ રહે છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એક સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = A$ થાય.
જો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો આપણે ગુણધર્મ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ સમીકરણમાં $A^T = A$ મૂકતા,આપણને $(A^{-1})^T = (A)^{-1} = A^{-1}$ મળે છે.
કારણ કે $A^{-1}$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક તે પોતે જ છે,તેથી જો $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો તે સંમિત શ્રેણિક છે.

(B) $\{-1, 0, 1\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $3^9 = 19683$ છે. આપણે માત્ર શૂન્યતર શ્રેણિકો ધ્યાનમાં લેતા હોવાથી,કુલ શક્ય શ્રેણિકોની સંખ્યા $3^9 - 1 = 19682$ છે.
વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે $A^T = -A$ થાય. $3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણના ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ. શ્રેણિકનું સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$
ઘટકો $a, b, c$ દરેક $\{-1, 0, 1\}$ માંથી પસંદ કરી શકાય છે. આમ,આવા $3^3 = 27$ શ્રેણિકો છે.
શૂન્ય શ્રેણિકને બાદ કરતાં (જ્યાં $a=b=c=0$),શૂન્યતર વિસંમિત શ્રેણિકોની સંખ્યા $27 - 1 = 26$ છે.
સંભાવના $\frac{26}{19682} = \frac{1}{757}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} k & 5 & 2 \\ 2 & -k & 5 \\ 5 & 2 & -k \end{bmatrix}$ અને $\det A = 190$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\det A = k(k^2 - 10) - 5(-2k - 25) + 2(4 + 5k) = 190$
$k^3 - 10k + 10k + 125 + 8 + 10k = 190$
$k^3 + 10k - 57 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,$k=3$ માટે: $27 + 30 - 57 = 0$. તેથી,$k=3$.
$k=3$ મૂકતા,$A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
સહ-અવયવ શ્રેણિક $C$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$C_{11} = ((-3)(-3) - (5)(2)) = 9 - 10 = -1$
$C_{12} = -((2)(-3) - (5)(5)) = -(-6 - 25) = 31$
$C_{13} = ((2)(2) - (-3)(5)) = 4 + 15 = 19$
$C_{21} = -((5)(-3) - (2)(2)) = -(-15 - 4) = 19$
$C_{22} = ((3)(-3) - (2)(5)) = -9 - 10 = -19$
$C_{23} = -((3)(2) - (5)(5)) = -(6 - 25) = 19$
$C_{31} = ((5)(5) - (-3)(2)) = 25 + 6 = 31$
$C_{32} = -((3)(5) - (2)(2)) = -(15 - 4) = -11$
$C_{33} = ((3)(-3) - (5)(2)) = -9 - 10 = -19$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક એ સહ-અવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\operatorname{Adj} A = C^T = \begin{bmatrix} -1 & 19 & 31 \\ 31 & -19 & -11 \\ 19 & 19 & -19 \end{bmatrix}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ થાય છે.
અહીં $A$ એ $n=3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,શ્રેણિક $M = A^2$ લો. $M$ ની કક્ષા $3$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj} M| = |M|^{3-1} = |M|^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$ થાય.
હવે,આપણે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)|$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $K = \operatorname{adj} A^2$. તો $|K| = |A|^4$ થાય.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} K| = |K|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$ છે:
$|\operatorname{adj} K| = |K|^{3-1} = |K|^2$ થાય.
$|K| = |A|^4$ મૂકતા:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = (|A|^4)^2 = |A|^8$ મળે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$. શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ તેના કોફેક્ટર શ્રેણિકનો ટ્રાન્સપોઝ છે,$\text{adj}(A) = [C_{ij}]^T$.
કોફેક્ટર્સ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-4) = 5$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 0 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-2)) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
આમ,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ શ્રેણિક સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n = 1$ મળે છે.
તેથી,$m+n = 4+1 = 5$.

(B) આપેલ છે કે $(A-2I)(A-3I) = O$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - 3A - 2A + 6I^2 = O$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $A^2 - 5A + 6I = O$ મળે છે.
$I$ ને અલગ કરવા માટે ગોઠવતા,$6I = 5A - A^2$ મળે છે.
$A$ ને સામાન્ય કાઢતા,$6I = A(5I - A)$ મળે છે.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,$6A^{-1} = 5I - A$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A^{-1} = \frac{5I - A}{6}$.
હવે,આ કિંમતને $\frac{1}{5}A + \frac{6}{5}A^{-1}$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{5}A + \frac{6}{5} \left( \frac{5I - A}{6} \right) = \frac{1}{5}A + \frac{5I - A}{5} = \frac{1}{5}A + I - \frac{1}{5}A = I$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = -1(5 - 8) - (-3)(0 - 6) + (-2)(0 - 3) = -1(-3) + 3(-6) - 2(-3) = 3 - 18 + 6 = -9$.
ત્યારબાદ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = +(5 - 8) = -3$,$C_{12} = -(0 - 6) = 6$,$C_{13} = +(0 - 3) = -3$.
$C_{21} = -(-15 - (-8)) = -(-7) = 7$,$C_{22} = +(-5 - (-6)) = 1$,$C_{23} = -(-4 - (-9)) = -5$.
$C_{31} = +(-6 - (-2)) = -4$,$C_{32} = -(-2 - 0) = 2$,$C_{33} = +(-1 - 0) = -1$.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 7 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \\ -3 & -5 & -1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = -\frac{1}{9} \begin{bmatrix} -3 & 7 & -4 \\ 6 & 1 & 2 \\ -3 & -5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & -7/9 & 4/9 \\ -6/9 & -1/9 & -2/9 \\ 3/9 & 5/9 & 1/9 \end{bmatrix}$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1 = 1/3$,$c_2 = 5/9$,અને $b_3 = -2/9$ મળે છે.
તેથી,$a_1 + c_2 + b_3 = \frac{3}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $\operatorname{det}(A^2) = 25$.
ગુણધર્મ $\operatorname{det}(A^n) = (\operatorname{det}(A))^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $(\operatorname{det}(A))^2 = 25$.
હવે,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = \begin{vmatrix} 5 & 5\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & 5\alpha \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}$.
આ એક ઉપલા ત્રિકોણીય શ્રેણિક હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક તેના વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર છે:
$|A| = 5 \times \alpha \times 5 = 25\alpha$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(25\alpha)^2 = 25$.
$625\alpha^2 = 25$.
$\alpha^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$.

(D) નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}\sqrt{3} & 2 \sqrt{5} & \sqrt{5} \\ \sqrt{15} & 5 & \sqrt{10} \\ 3 & \sqrt{15} & 5\end{array}\right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \sqrt{3}(5 \times 5 - \sqrt{15} \times \sqrt{10}) - 2\sqrt{5}(\sqrt{15} \times 5 - 3 \times \sqrt{10}) + \sqrt{5}(\sqrt{15} \times \sqrt{15} - 3 \times 5)$
$\Delta = \sqrt{3}(25 - \sqrt{150}) - 2\sqrt{5}(5\sqrt{15} - 3\sqrt{10}) + \sqrt{5}(15 - 15)$
કારણ કે $\sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6}$,તેથી:
$\Delta = \sqrt{3}(25 - 5\sqrt{6}) - 2\sqrt{5}(5\sqrt{15} - 3\sqrt{10}) + 0$
$\Delta = 25\sqrt{3} - 5\sqrt{18} - 10\sqrt{75} + 6\sqrt{50}$
$\Delta = 25\sqrt{3} - 5(3\sqrt{2}) - 10(5\sqrt{3}) + 6(5\sqrt{2})$
$\Delta = 25\sqrt{3} - 15\sqrt{2} - 50\sqrt{3} + 30\sqrt{2}$
$\Delta = 15\sqrt{2} - 25\sqrt{3}$

(D) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય.
નિશ્ચાયકમાં $\omega$ ના ઘાતાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\omega^9 = 1, \omega^{27} = 1, \omega^{31} = \omega, \omega^{17} = \omega^2, \omega^{30} = 1, \omega^{41} = \omega^2, \omega^{19} = \omega$.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\omega+\omega^2 & \omega^2+1 & 1+\omega \\ 1+\omega & \omega+\omega^2 & \omega^2+1 \\ 1+\omega^2 & \omega^2+\omega & \omega+1\end{array}\right|$
$1+\omega+\omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega+\omega^2 = -1$,$\omega^2+1 = -\omega$,અને $1+\omega = -\omega^2$ થાય.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & -\omega & -\omega^2 \\ -\omega^2 & -1 & -\omega \\ -\omega & -\omega^2 & -1\end{array}\right|$
દરેક હારમાંથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^2 \\ \omega^2 & 1 & \omega \\ \omega & \omega^2 & 1\end{array}\right| = 0$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & (x+1) - x \\ 2x & x(x-1) & (x+1)x - x(x-1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x+1)x(x-1) - x(x-1)(x-2) \end{array} \right|$.
ત્રીજા સ્તંભનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(x+1) - x = 1$.
$(x+1)x - x(x-1) = x^2 + x - x^2 + x = 2x$.
$(x+1)x(x-1) - x(x-1)(x-2) = x(x-1) [ (x+1) - (x-2) ] = x(x-1) [ 3 ] = 3x(x-1)$.
આમ,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\ 2x & x(x-1) & 2x \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & 3x(x-1) \end{array} \right|$.
અહીં સ્તંભ $C_1$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,દરેક $x$ માટે $f(x) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(100) = 0$.

(D) આપણે બંને નિશ્ચાયકોનું અલગ-અલગ મૂલ્ય શોધીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D_1 = \left|\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 3\end{array}\right|$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણધર્મ $\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right| = 3abc - a^3 - b^3 - c^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$D_1 = 3(2)(3)(5) - 2^3 - 3^3 - 5^3$
$D_1 = 90 - 8 - 27 - 125 = -70$.
હવે,નિશ્ચાયક $D_2 = \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 7 & 11 & 13 \\ 49 & 121 & 169\end{array}\right|$ ધ્યાનમાં લો.
આ વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે જેનું સ્વરૂપ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2\end{array}\right| = (a-b)(b-c)(c-a)$ છે,જ્યાં $a=7, b=11, c=13$.
$D_2 = (7-11)(11-13)(13-7)$
$D_2 = (-4)(-2)(6) = 48$.
માગેલ સરવાળો $D_1 + D_2 = -70 + 48 = -22$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x + ky + 3z = -2$
$4x + 3y + kz = 14$
$2x + y + 2z = 3$
મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવા માટે,સહગુણક મેટ્રિક્સ $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે નિશ્ચાયક $|A|$ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ $(|A| \neq 0)$.
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & k & 3 \\ 4 & 3 & k \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(3 \times 2 - k \times 1) - k(4 \times 2 - k \times 2) + 3(4 \times 1 - 3 \times 2)$
$|A| = 1(6 - k) - k(8 - 2k) + 3(4 - 6)$
$|A| = 6 - k - 8k + 2k^2 - 6$
$|A| = 2k^2 - 9k$
કારણ કે $|A| \neq 0$:
$2k^2 - 9k \neq 0$
$k(2k - 9) \neq 0$
તેથી,$k \neq 0$ અને $k \neq \frac{9}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$3x - 2y + z = 5k$
$2x + 3y - 2z = -5k$
$x + 4y + 3z = k$
સૌ પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 3(9 + 8) + 2(6 + 2) + 1(8 - 3) = 3(17) + 2(8) + 1(5) = 51 + 16 + 5 = 72$.
હવે,ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $D_3$ શોધો:
$D_3 = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5k \\ 2 & 3 & -5k \\ 1 & 4 & k \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 & 3 & -5 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix} = k [3(3 + 20) + 2(2 + 5) + 5(8 - 3)] = k [3(23) + 2(7) + 5(5)] = k [69 + 14 + 25] = 108k$.
કારણ કે $z = \frac{D_3}{D} = 3$,તેથી:
$\frac{108k}{72} = 3$
$\frac{3k}{2} = 3$
$3k = 6$
$k = 2$.

(D) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$2x-3y+5z=12$ $(1)$
$5x+2y+3z=11$ $(2)$
$x+2y-3z=-3$ $(3)$
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6-6) + 3(-15-3) + 5(10-2) = 2(-12) + 3(-18) + 5(8) = -24 - 54 + 40 = -38$.
હવે,ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $D_1, D_2, D_3$ શોધો:
$D_1 = \begin{vmatrix} 12 & -3 & 5 \\ 11 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 12(-6-6) + 3(-33+9) + 5(22+6) = 12(-12) + 3(-24) + 5(28) = -144 - 72 + 140 = -76$.
$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 12 & 5 \\ 5 & 11 & 3 \\ 1 & -3 & -3 \end{vmatrix} = 2(-33+9) - 12(-15-3) + 5(-15-11) = 2(-24) - 12(-18) + 5(-26) = -48 + 216 - 130 = 38$.
$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 12 \\ 5 & 2 & 11 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 2(-6-22) + 3(-15-11) + 12(10-2) = 2(-28) + 3(-26) + 12(8) = -56 - 78 + 96 = -38$.
$\alpha, \beta, \gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{D_1}{D} = \frac{-76}{-38} = 2$.
$\beta = \frac{D_2}{D} = \frac{38}{-38} = -1$.
$\gamma = \frac{D_3}{D} = \frac{-38}{-38} = 1$.
અંતે,$2\alpha + 5\beta + 3\gamma$ ની કિંમત શોધો:
$2(2) + 5(-1) + 3(1) = 4 - 5 + 3 = 2$.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=5$
$x+2y+2z=6$
$x+3y+\lambda z=\mu$
આ સંહતિ મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝન પદ્ધતિ દ્વારા ત્યારે જ ઉકેલી શકાય જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય $(|A| \neq 0)$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 2) + 1(3 - 2)$
$|A| = 2\lambda - 6 - \lambda + 2 + 1$
$|A| = \lambda - 3$
મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ મેળવવા માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda - 3 \neq 0$,એટલે કે $\lambda \neq 3$.
જ્યારે $\lambda \neq 3$ હોય,ત્યારે શ્રેણિક વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો હોય છે,તેથી $\mu \in R$ ની કોઈપણ કિંમત માટે સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
તેથી,શરત $\lambda \neq 3, \mu \in R$ છે.

(C) $\sin^{-1}(u)$ નો પ્રદેશ $u \in [-1, 1]$ છે.
આપેલ વિધેય માટે,$-1 \leq \log_2\left(\frac{x^2}{2}\right) \leq 1$ હોવું જોઈએ.
આધાર $2$ નો ઘાતાંક લેતા,$2^{-1} \leq \frac{x^2}{2} \leq 2^1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2} \leq \frac{x^2}{2} \leq 2$ થાય.
$2$ વડે ગુણતા,$1 \leq x^2 \leq 4$ મળે.
વર્ગમૂળ લેતા,$x \in [-2, -1] \cup [1, 2]$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. અંશમાં વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $\log_{10}\left(\frac{x}{x-2}\right) \geq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{x}{x-2} \geq 10^0$,તેથી $\frac{x}{x-2} \geq 1$.
$\frac{x}{x-2} - 1 \geq 0$ $\Rightarrow \frac{x - (x-2)}{x-2} \geq 0$ $\Rightarrow \frac{2}{x-2} > 0$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $x-2 > 0$,એટલે કે $x > 2$.
$2$. છેદમાં વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ: $[x]^2 - 5[x] + 6 > 0$.
$([x]-2)([x]-3) > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $[x] < 2$ અથવા $[x] > 3$.
જો $[x] < 2$,તો $x < 2$. જો $[x] > 3$,તો $x \geq 4$.
$3$. શરતો $x > 2$ અને ($x < 2$ અથવા $x \geq 4$) ને જોડતા,આપણને $x \in [4, \infty)$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{|x|-x}{x-[x]}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
અંશ $\sqrt{|x|-x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$|x|-x \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $|x| \geq x$. આ તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે.
છેદ $\sqrt{x-[x]}$ વ્યાખ્યાયિત અને શૂન્યતર હોવા માટે,$x-[x] > 0$ હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x-[x] = \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
શરત $\{x\} > 0$ એ તમામ $x \notin Z$ (પૂર્ણાંકો સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ) માટે સાચી છે.
જો $x \in Z$ હોય,તો $\{x\} = 0$ થાય,જે છેદને શૂન્ય બનાવે છે અને વિધેય અવ્યાખ્યાયિત બને છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $R-Z$ છે.

(A) સંચય ${ }^{n} C_{r}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$n \geq r \geq 0$ અને $n, r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$n = 16-x$ અને $r = 2x-1$.
$1$) $r \geq 0 \implies 2x-1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}$.
$2$) $n \geq r \implies 16-x \geq 2x-1 \implies 17 \geq 3x \implies x \leq \frac{17}{3} \approx 5.66$.
$3$) $n \geq 0 \implies 16-x \geq 0 \implies x \leq 16$.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $\frac{1}{2} \leq x \leq 5.66$ મળે છે.
$n$ અને $r$ અઋણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી $x$ એવો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ કે જેથી $2x-1$ અઋણ પૂર્ણાંક થાય અને $16-x \geq 2x-1$ થાય.
અંતરાલ $[0.5, 5.66]$ માં $x$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે.

(B) આપણને $f(x) = 8$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: $x < 2$ માટે,$f(x) = x^2 - 4x + 3$.
$x^2 - 4x + 3 = 8$ લેતા,આપણને $x^2 - 4x - 5 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા $(x - 5)(x + 1) = 0$ મળે,તેથી $x = 5$ અથવા $x = -1$.
શરત $x < 2$ હોવાથી,માત્ર $x = -1$ એ માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $x \geq 2$ માટે,$f(x) = x - 3$.
$x - 3 = 8$ લેતા,આપણને $x = 11$ મળે છે.
$11 \geq 2$ હોવાથી,આ એક માન્ય ઉકેલ છે.
આમ,ઉકેલો $x = -1$ અને $x = 11$ છે.
તેથી $f(x) = 8$ થાય તેવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ ની કુલ સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 4x + 5$ એ પ્રદેશ $[2, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
પ્રદેશ $x \in [2, \infty)$ હોવાથી,$(x - 2)^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે (જ્યારે $x = 2$ હોય).
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $(x - 2)^2 \rightarrow \infty$.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[0 + 1, \infty) = [1, \infty)$ છે.

(B) ધારો કે $g(x) = x^4 - 2x^2 + 3 = (x^2 - 1)^2 + 2$.
$(x^2 - 1)^2 \geq 0$ હોવાથી,$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ (જ્યારે $x^2 = 1$) અને મહત્તમ કિંમત $\infty$ છે.
તેથી,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે.
હવે,$f(x) = \log_{0.5}(g(x)) = \log_{1/2}(g(x)) = -\log_2(g(x))$.
$g(x) \in [2, \infty)$ હોવાથી,$\log_2(g(x)) \in [\log_2 2, \log_2 \infty) = [1, \infty)$ મળે.
$-1$ વડે ગુણતા,$-\log_2(g(x)) \in (-\infty, -1]$ મળે.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1]$ છે.

(B) ધારો કે $g(x) = -x^2-6x-5$. આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $-\frac{D}{4a}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16$.
મહત્તમ કિંમત $-\frac{16}{4(-1)} = 4$ છે.
આમ,$g(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 4]$ છે.
વિધેય $f(x) = -\sqrt{g(x)}$ હોવાથી,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અ-ઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $g(x) \in [0, 4]$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sqrt{g(x)} \in [0, 2]$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $f(x) \in [-2, 0]$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{x - |x|}$ છે.
જ્યારે $x \geq 0$ હોય,ત્યારે $|x| = x$ થાય,તેથી છેદ $x - |x| = 0$ થાય. આમ,$x \geq 0$ માટે વિધેય અવ્યાખ્યાયિત છે.
જ્યારે $x < 0$ હોય,ત્યારે $|x| = -x$ થાય,તેથી છેદ $x - (-x) = 2x$ થાય.
તેથી,$x < 0$ માટે $f(x) = \frac{1}{2x}$ થાય.
જેમ $x$ ની કિંમત $(-\infty, 0)$ માં બદલાય છે,તેમ $2x$ ની કિંમત $(-\infty, 0)$ માં બદલાય છે.
પરિણામે,$\frac{1}{2x}$ ની કિંમત $(-\infty, 0)$ માં બદલાય છે.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $(-\infty, 0)$ છે.

(B) વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે ત્રણ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x < -1$ માટે,$f(x) = 2x - 3$. જેમ $x \to -1^-$,$f(x) \to 2(-1) - 3 = -5$. કારણ કે $x < -1$,$f(x) < -5$. તેથી,આ ભાગ માટેનો વિસ્તાર $(-\infty, -5)$ છે.
$2$. $-1 \leq x \leq 1$ માટે,$f(x) = 1 - x^2$. ન્યૂનતમ કિંમત $x = -1$ અથવા $x = 1$ પર મળે છે,જે $1 - (1)^2 = 0$ છે. મહત્તમ કિંમત $x = 0$ પર મળે છે,જે $1 - 0 = 1$ છે. તેથી,આ ભાગ માટેનો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
$3$. $x > 1$ માટે,$f(x) = 3x^2 + 2$. જેમ $x \to 1^+$,$f(x) \to 3(1)^2 + 2 = 5$. કારણ કે $x > 1$,$f(x) > 5$. તેથી,આ ભાગ માટેનો વિસ્તાર $(5, \infty)$ છે.
આ બધાને જોડતા,કુલ વિસ્તાર $(-\infty, -5) \cup [0, 1] \cup (5, \infty)$ મળે છે.

(D) વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત ત્યારે જ કહેવાય જો તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય.
$(a)$ $f(x) = \sqrt{\{x\}}$. $\{x\}$ એ $1$ આવર્તમાન ધરાવતું વિધેય છે,તેથી $f(0.1) = f(1.1)$,માટે તે અનેક-એક છે.
$(b)$ $f(x) = 1-(x-2)^2$. આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે અનેક-એક છે.
$(c)$ $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-5}}$. તેનો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R \setminus \{0\}$ જેટલો નથી,તેથી તે અંતઃક્ષેપી છે.
$(d)$ $f(x) = \sqrt{16-x^2}$. $x \in [0,4]$ માટે,$f(x)$ એ $4$ થી $0$ સુધી ઘટતું વિધેય છે. તેથી તે એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = -|x|$.
પ્રથમ,આપણે $(f \circ f \circ f)(x)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(f(f(x))) = f(f(-|x|)) = f(-|-|x||) = f(-|x|) = -|-|x|| = -|x| = f(x)$.
તેથી,$(f \circ f \circ f)(x) = f(x)$.
તે જ રીતે,$(f \circ f \circ f)(-x) = f(-x)$.
તેથી,$(f \circ f \circ f)(x) + (f \circ f \circ f)(-x) = f(x) + f(-x)$.
કારણ કે $f(x) = -|x|$,તેથી $f(-x) = -|-x| = -|x| = f(x)$.
આમ,$f(x) + f(-x) = f(x) + f(x) = 2f(x)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 3x-2$ અને $g(x) = x^2+2$.
આપણે $(g \circ f)(x) + (f \circ g)(x)$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (f(x))^2 + 2 = (3x-2)^2 + 2 = 9x^2 - 12x + 4 + 2 = 9x^2 - 12x + 6$.
ત્યારબાદ,$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3(g(x)) - 2 = 3(x^2+2) - 2 = 3x^2 + 6 - 2 = 3x^2 + 4$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(g \circ f + f \circ g)(x) = (9x^2 - 12x + 6) + (3x^2 + 4) = 12x^2 - 12x + 10$.
હવે,$f(x)$ અને $g(x)$ ની કિંમતો મૂકીને વિકલ્પો તપાસતા:
$12g(x) - 4f(x) - 22 = 12(x^2+2) - 4(3x-2) - 22 = 12x^2 + 24 - 12x + 8 - 22 = 12x^2 - 12x + 10$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x + \sin x$ છે.
એક-એક ચકાસવા માટે,આપણે વિકલન મેળવીએ: $f'(x) = 2 + \cos x$.
કારણ કે $-1 \leq \cos x \leq 1$,તેથી $f'(x) = 2 + \cos x \geq 2 - 1 = 1 > 0$ થાય.
બધા $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત ચકાસવા માટે,આપણે $f(x)$ નો વિસ્તાર જોઈએ. જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,અને જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$.
$f(x)$ એ સતત વિધેય હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,તેનો વિસ્તાર $(-\infty, \infty) = R$ છે.
તેથી,$f(x)$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

(D) વિધેય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $f(x) = \begin{cases} 2x-3, & x < -2 \\ x^2-1, & -2 \leq x \leq 2 \\ 3x+2, & x > 2 \end{cases}$.
$1$. એક-એક (Injectivity) ચકાસણી:
જો $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ હોય તો વિધેય એક-એક કહેવાય.
અંતરાલ $[-2, 2]$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $f(x) = x^2 - 1$ છે.
અહીં $f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$ અને $f(1) = (1)^2 - 1 = 0$ મળે છે.
કારણ કે $f(-1) = f(1)$ છે પરંતુ $-1 \neq 1$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
$2$. વ્યાપ્ત (Surjectivity) ચકાસણી:
જો વિધેયનો વિસ્તાર તેના સહપ્રદેશ $(R)$ જેટલો હોય તો તે વ્યાપ્ત કહેવાય.
- $x < -2$ માટે,$f(x) < 2(-2) - 3 = -7$. તેથી,$f(x) \in (-\infty, -7)$.
- $-2 \leq x \leq 2$ માટે,$f(x) = x^2 - 1$. ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ (જ્યારે $x=0$) અને મહત્તમ કિંમત $f(-2) = f(2) = 3$ છે. તેથી,$f(x) \in [-1, 3]$.
- $x > 2$ માટે,$f(x) > 3(2) + 2 = 8$. તેથી,$f(x) \in (8, \infty)$.
આમ,$f$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -7) \cup [-1, 3] \cup (8, \infty)$ છે.
વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ બરાબર ન હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
નિષ્કર્ષ: વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) ગણ $X$ એ તમામ $2 \times 2$ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો બનેલો છે. વિધેય $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(A) = \det(A) = ad - bc$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય $f$ એક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,બે અલગ શ્રેણિકો $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ લો.
અહીં,$f(A_1) = (1)(1) - (0)(0) = 1$ અને $f(A_2) = (2)(0.5) - (0)(0) = 1$.
અહીં $f(A_1) = f(A_2)$ છે પરંતુ $A_1 \neq A_2$ હોવાથી,વિધેય $f$ એક-એક નથી.
વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $k \in \mathbb{R}$ માટે,આપણે $A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in X$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $f(A) = (k)(1) - (0)(0) = k$ થાય.
સહ-પ્રદેશ $\mathbb{R}$ ના દરેક ઘટક માટે $X$ માં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવાથી,વિધેય $f$ વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(C) વિધેય $f(x) = |x-1| + |x-2|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
અમે વિવિધ અંતરાલોમાં વિકલિત $f^{\prime}(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x < 1$ માટે,$f(x) = -(x-1) - (x-2) = -2x + 3$,તેથી $f^{\prime}(x) = -2$.
કારણ કે $-2023 < 1$,તેથી $f^{\prime}(-2023) = -2$.
$2$. $1 < x < 2$ માટે,$f(x) = (x-1) - (x-2) = 1$,તેથી $f^{\prime}(x) = 0$.
કારણ કે $1 < \frac{2024}{2023} < 2$,તેથી $f^{\prime}\left(\frac{2024}{2023}\right) = 0$.
$3$. $x > 2$ માટે,$f(x) = (x-1) + (x-2) = 2x - 3$,તેથી $f^{\prime}(x) = 2$.
કારણ કે $2023 > 2$,તેથી $f^{\prime}(2023) = 2$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $f^{\prime}(-2023) + f^{\prime}\left(\frac{2024}{2023}\right) + f^{\prime}(2023) = -2 + 0 + 2 = 0$.