TS EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + ax + 5 = 0$ ના વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે તેનો વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac < 0$
અહીં,$a = a$,$b = a$,અને $c = 5$.
તેથી,$a^2 - 4(a)(5) < 0$
$a^2 - 20a < 0$
$a(a - 20) < 0$
આ અસમતા $0 < a < 20$ માટે સાચી છે.
'$a$' ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $1, 2, 3, \dots, 19$ છે.
આવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $19$ છે.

(C) ધારો કે સમીકરણ $x^4-2x^3+x^2+4x-6=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 0$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = -(-2)/1 = 2$.
$\alpha + \beta = 0$ હોવાથી,$\gamma + \delta = 2$ મળે.
વળી,બે-બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \gamma\delta + (\alpha+\beta)(\gamma+\delta) = 1$ થાય.
$\alpha+\beta=0$ અને $\gamma+\delta=2$ મૂકતા,$\alpha\beta + \gamma\delta = 1$ મળે.
ત્રણ-ત્રણ બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta(\gamma+\delta) + \gamma\delta(\alpha+\beta) = -4$.
$\alpha+\beta=0$ અને $\gamma+\delta=2$ મૂકતા,$2\alpha\beta = -4$,તેથી $\alpha\beta = -2$.
તેથી $\gamma\delta = 1 - (-2) = 3$.
બાકીના બે બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma^2 + \delta^2 = (2)^2 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-3ax+a^2-2a-K=0$ માટે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2-4ac > 0$
$(-3a)^2 - 4(1)(a^2-2a-K) > 0$
$9a^2 - 4a^2 + 8a + 4K > 0$
$5a^2 + 8a + 4K > 0$
આ અસમતા દરેક સંમેય સંખ્યા $a$ માટે સાચી હોવી જોઈએ. $5a^2 + 8a + 4K$ એ $a$ માં દ્વિઘાત છે જેનો મુખ્ય સહગુણક ધન $(5 > 0)$ છે,તેથી તે દરેક $a$ માટે ધન રહેશે જો તેનો પોતાનો વિવેચક $D_a < 0$ હોય.
$D_a = (8)^2 - 4(5)(4K) < 0$
$64 - 80K < 0$
$64 < 80K$
$K > \frac{4}{5}$
આમ,$K$ એ $(\frac{4}{5}, \infty)$ અંતરાલમાં છે.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે અને $f(-3) = 0$ છે,આપણે $f(x) = a(x + 3)(x - k)$ લખી શકીએ.
$f(x) \geq 0$ હોવાથી,આલેખ $x$-અક્ષને એક જ બિંદુએ સ્પર્શે છે,એટલે કે $x = -3$ એ પુનરાવર્તિત બીજ છે,તેથી $k = -3$.
તેથી,$f(x) = a(x + 3)^2$.
$f(0) = 18$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a(0 + 3)^2 = 18$ $\Rightarrow 9a = 18$ $\Rightarrow a = 2$.
તેથી,$f(x) = 2(x + 3)^2$.
હવે,$f(3) = 2(3 + 3)^2 = 2(6)^2 = 2 \times 36 = 72$.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ $x^2+px+2=0$ અને $x^2+x+2p=0$ સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2+p\alpha+2=0$ અને $\alpha^2+\alpha+2p=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$(p-1)\alpha + (2-2p) = 0$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ $(p-1)\alpha - 2(p-1) = 0$ થાય.
આથી $(p-1)(\alpha-2) = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $p=1$ હોય,તો સમીકરણો $x^2+x+2=0$ અને $x^2+x+2=0$ બને છે,જે સમાન છે. પરંતુ વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ હોવાથી બીજ વાસ્તવિક નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha=2$ હોય,તો $x^2+px+2=0$ માં $\alpha=2$ મૂકતા $4+2p+2=0$ મળે,તેથી $2p = -6$,એટલે કે $p=-3$.
હવે,$p=-3$ ને $x^2+2px+8=0$ માં મૂકતા $x^2+2(-3)x+8=0$ મળે,જે $x^2-6x+8=0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય છે.
તેથી $x^2-6x+8=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-(-6)/1 = 6$ થાય.

(C) ધારો કે $f(x) = x^4+4x^3-16x-16$.
બહુવિધ બીજ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = 4x^3+12x^2-16$ મેળવીએ છીએ.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $4(x^3+3x^2-4) = 0$ મળે છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ $f'(x)$ નું બીજ છે,તેથી $(x-1)$ એક અવયવ છે.
$x^3+3x^2-4$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-1)(x+2)^2 = 0$ મળે છે.
$f'(x)=0$ ના બીજ $x=1$ અને $x=-2$ છે.
$f(x)$ માં આ કિંમતો તપાસતા:
$f(1) = 1+4-16-16 = -27 \neq 0$.
$f(-2) = (-2)^4+4(-2)^3-16(-2)-16 = 16-32+32-16 = 0$.
$f(-2)=0$ અને $f'(-2)=0$ હોવાથી,$x=-2$ એ બહુવિધ બીજ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$x=-2$ એ $x^2+x-2=0$ નું બીજ છે.

(D) $f(x) = x^2 - 2(4K - 1)x + g(K) > 0$ એ દરેક $x \in R$ માટે સાચું હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [-2(4K - 1)]^2 - 4(1)(g(K)) < 0$
$4(16K^2 - 8K + 1) - 4(15K^2 - 2K - 7) < 0$
$16K^2 - 8K + 1 - 15K^2 + 2K + 7 < 0$
$K^2 - 6K + 8 < 0$
$(K - 2)(K - 4) < 0$
આમ,$K \in (2, 4)$,તેથી $a = 2$ અને $b = 4$.
વિધેય $g(K) = 15K^2 - 2K - 7$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $K = 1/15$ પર છે.
કારણ કે $1/15 \notin (2, 4)$,વિધેય $g(K)$ એ અંતરાલ $(2, 4)$ માં સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,$g(K)$ એ વિવૃત અંતરાલ $(2, 4)$ માં કોઈ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરતું નથી.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - 5ax + 6a$. બંને બીજ $1$ કરતા મોટા હોવા માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$:
$D = 25a^2 - 24a \ge 0 \implies a \in (- \infty, 0] \cup [\frac{24}{25}, \infty)$.
$2$. શિરોબિંદુ $x_v > 1$:
$x_v = \frac{5a}{2} > 1 \implies a > \frac{2}{5}$.
$3$. $f(1) > 0$:
$f(1) = 1 + a > 0 \implies a > -1$.
આ ત્રણેય શરતોનો છેદ લેતા,આપણને $a \in [\frac{24}{25}, \infty)$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $32x^3 - 48x^2 + 22x - 3 = 0$ ના બીજ $a-d$,$a$,અને $a+d$ છે.
બીજનો સરવાળો $(a-d) + a + (a+d) = -(\frac{-48}{32}) = \frac{3}{2}$ થાય.
તેથી,$3a = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર બે-બેની જોડીમાં લેતા: $(a-d)a + a(a+d) + (a-d)(a+d) = \frac{22}{32} = \frac{11}{16}$.
$a = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $\frac{3}{4} - d^2 = \frac{11}{16}$.
$d^2 = \frac{3}{4} - \frac{11}{16} = \frac{1}{16}$.
આમ,સામાન્ય તફાવતનો વર્ગ $\frac{1}{16}$ છે.

(A) સમીકરણ $x^3-5x^2+4x=0$ ના બીજ $0, 1, 4$ છે.
આથી $(\alpha-2)^2, (\beta-2)^2, (\gamma-2)^2$ ની કિંમતો $0, 1, 4$ થાય.
વિવિધ સંયોજનો ચકાસતા,$P+Q+R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(x) = x^4-4x^3+3x^2+2x-2$.
રેશનલ રૂટ થિયરમ મુજબ,શક્ય પૂર્ણાંક બીજ $\pm 1, \pm 2$ છે.
$x=1$ ચકાસતા: $1-4+3+2-2 = 0$. તેથી,$(x-1)$ એક અવયવ છે.
$x=1$ ને ફરીથી $x^3-3x^2+2$ માં ચકાસતા: $1-3+2 = 0$. તેથી,$(x-1)^2$ એક અવયવ છે.
$x^3-3x^2+2$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા $x^2-2x-2$ મળે છે.
આમ,બીજ $\alpha=1, \beta=1$ છે અને $x^2-2x-2=0$ ના બીજ $\gamma, \delta = 1 \pm \sqrt{3}$ છે.
આપણે $\alpha+2\beta+\gamma^2+\delta^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\gamma, \delta$ એ $x^2-2x-2=0$ ના બીજ હોવાથી,$\gamma+\delta=2$ અને $\gamma\delta=-2$.
તેથી $\gamma^2+\delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta = (2)^2 - 2(-2) = 4+4 = 8$.
કિંમતો મૂકતા: $1 + 2(1) + 8 = 11$.

(A) $3x^5-6x^4+2x^3+4x^2-5x+8$ ને $x^2-2x+3$ વડે ભાગાકાર કરતા:
$1$. $3x^5$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $3x^3$ મળે. $3x^3(x^2-2x+3) = 3x^5-6x^4+9x^3$ થાય. બાદબાકી કરતા $-7x^3+4x^2-5x+8$ મળે.
$2$. $-7x^3$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $-7x$ મળે. $-7x(x^2-2x+3) = -7x^3+14x^2-21x$ થાય. બાદબાકી કરતા $-10x^2+16x+8$ મળે.
$3$. $-10x^2$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $-10$ મળે. $-10(x^2-2x+3) = -10x^2+20x-30$ થાય. બાદબાકી કરતા $-4x+38$ મળે.
આમ,ભાગફળ $3x^3+0x^2-7x-10$ અને શેષ $-4x+38$ છે.
$ax^3+bx^2+cx+d$ અને $px+q$ સાથે સરખાવતા,$a=3, b=0, c=-7, d=-10$ અને $p=-4, q=38$ મળે.
તેથી $ab+cd = (3)(0) + (-7)(-10) = 0 + 70 = 70$.

(D) આપેલ વ્યસ્ત સમીકરણ $12x^4-56x^3+89x^2-56x+12=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $12(x^2+\frac{1}{x^2})-56(x+\frac{1}{x})+89=0$ મળે છે.
ધારો કે $u = x+\frac{1}{x}$. તો $x^2+\frac{1}{x^2} = u^2-2$.
આ કિંમત મૂકતા,$12(u^2-2)-56u+89=0$,જેનું સાદું રૂપ $12u^2-56u+65=0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $u$ શોધતા: $u = \frac{56 \pm \sqrt{56^2-4(12)(65)}}{2(12)} = \frac{56 \pm 4}{24}$.
તેથી,$u_1 = \frac{5}{2}$ અને $u_2 = \frac{13}{6}$.
$\alpha\beta=1$ હોવાથી,$\alpha+\beta$ એ $u$ ની કિંમતો પૈકીની એક છે. ધારો કે $\alpha+\beta = \frac{5}{2}$ અને $\gamma+\delta = \frac{13}{6}$.
તેથી $\frac{\alpha+\beta}{\gamma+\delta} = \frac{5/2}{13/6} = \frac{15}{13}$.
$\frac{15}{13} > 1$ હોવાથી,આ શરતનું પાલન થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^5+x^4-13x^3-13x^2+36x+36=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^4(x+1) - 13x^2(x+1) + 36(x+1) = 0$
$(x+1)(x^4-13x^2+36) = 0$
$(x+1)(x^2-4)(x^2-9) = 0$
$(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3) = 0$
બીજ $-3, -2, -1, 2, 3$ છે.
$\alpha < \beta < \gamma < \delta < \varepsilon$ હોવાથી:
$\alpha = -3, \beta = -2, \gamma = -1, \delta = 2, \varepsilon = 3$.
હવે,$\frac{\varepsilon}{\alpha}+\frac{\delta}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{3}{-3} + \frac{2}{-2} + \frac{1}{-1} = -1 - 1 - 1 = -3$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4-3x^3+8x^2-7x+5=0$ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવે છે,તેથી સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
$1+2i$ એ એક બીજ હોવાથી,તેનો અનુબદ્ધ $1-2i$ પણ બીજ થશે.
ધારો કે બીજો $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે. ધારો કે $\alpha = 1+2i$ અને $\beta = 1-2i$.
બીજોનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -(-3)/1 = 3$.
$(1+2i) + (1-2i) + \gamma + \delta = 3 \implies 2 + \gamma + \delta = 3 \implies \gamma + \delta = 1$.
બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma \delta = 5/1 = 5$.
$(1+2i)(1-2i) \gamma \delta = 5 \implies (1^2+2^2) \gamma \delta = 5 \implies 5 \gamma \delta = 5 \implies \gamma \delta = 1$.
આપણે અન્ય બીજોના વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $\gamma^2 + \delta^2$ છે.
નિત્યસમ $\gamma^2 + \delta^2 = (\gamma+\delta)^2 - 2\gamma\delta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\gamma^2 + \delta^2 = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^3 + \frac{a}{2}x + b = 0$. બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta+\gamma = 0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{a}{2}$,અને $\alpha\beta\gamma = -b$.
બીજા સમીકરણના બીજ $y_1, y_2, y_3$ છે.
ગણતરી કરતા,$K = \frac{3a}{2}$ અને $L = -27b^2$ મળે છે.
તેથી $\frac{L}{K} = \frac{-27b^2}{3a/2} = -\frac{18b^2}{a}$.
વિકલ્પ મુજબ જવાબ $\frac{18b^2}{a}$ છે.

(D) પ્રથમ,આપેલ સમીકરણ $x^4-10x^3+37x^2-60x+36=0$ ના અવયવ પાડો.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ અને $x=3$ બીજ છે.
$(x-2)^2(x-3)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)^2(x-3)^2=0$ મળે છે.
આમ,બીજ $2, 2, 3, 3$ છે.
ધારો કે બીજ $r_1=2, r_2=2, r_3=3, r_4=3$ છે.
આપણે બે ભિન્ન બીજમાં $1$ ઉમેરીએ છીએ. ભિન્ન બીજ $2$ અને $3$ છે.
તેમાં $1$ ઉમેરતા નવા બીજ $3$ અને $4$ મળે છે.
બાકીના બે બીજ $2$ અને $3$ અચળ રહે છે.
તેથી નવા બીજ $2, 3, 3, 4$ છે.
મૂળ બીજ ${2, 2, 3, 3}$ છે અને નવા બીજ ${2, 3, 3, 4}$ છે.
સામાન્ય બીજ $2, 3, 3$ છે.
પ્રશ્ન સામાન્ય બીજની સંખ્યા પૂછે છે.
ગણની સરખામણી કરતા,સામાન્ય કિંમતો $2$ અને $3$ છે.
આમ,$2$ ભિન્ન સામાન્ય બીજ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = x^2 + bx + c$.
તમામ $k \in R$ માટે $f(1+k) = f(1-k)$ હોવાથી,પરવલયની સંમિતિની ધરી $x = 1$ છે.
$f(x) = ax^2 + bx + c$ માટે સંમિતિની ધરીનું સૂત્ર $x = -b/(2a)$ છે.
અહીં $a = 1$ છે,તેથી $-b/2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $b = -2$.
આમ,$f(x) = x^2 - 2x + c$.
હવે,કિંમતોની ગણતરી કરીએ:
$f(0) = 0^2 - 2(0) + c = c$.
$f(1) = 1^2 - 2(1) + c = 1 - 2 + c = c - 1$.
$f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + c = 1 + 2 + c = c + 3$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $c - 1 < c < c + 3$.
તેથી,$f(1) < f(0) < f(-1)$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2+3x+k=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha+\beta = -3$ અને $\alpha\beta = k$.
બીજા સમીકરણ $4x^2+px+18=0$ માટે,બીજ $\alpha+\frac{1}{\alpha}$ અને $\beta+\frac{1}{\beta}$ છે.
બીજનો સરવાળો $(\alpha+\frac{1}{\alpha}) + (\beta+\frac{1}{\beta}) = -3(1+\frac{1}{k}) = -\frac{p}{4}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $(\alpha+\frac{1}{\alpha})(\beta+\frac{1}{\beta}) = k + 2 + \frac{1}{k} = 4.5$ છે.
તેથી $k + \frac{1}{k} = 2.5 = \frac{5}{2}$,જે $2k^2-5k+2=0$ આપે છે. $k=2$ માટે $x^2-5x+6=0$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 6x^3-25x^2+2x+8$. રેશનલ રૂટ પ્રમેય મુજબ,શક્ય પૂર્ણાંક બીજ $8$ ના અવયવો અને $6$ ના અવયવોના ભાગાકાર છે. $x=4$ મૂકતા,$f(4) = 6(64)-25(16)+2(4)+8 = 384-400+8+8 = 0$. તેથી,$x=4$ એક બીજ છે. $6x^3-25x^2+2x+8$ ને $(x-4)$ વડે ભાગતા,આપણને $6x^2-x-2=0$ મળે છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $(2x+1)(3x-2)=0$. બીજ $x = -1/2$ અને $x = 2/3$ છે. $\alpha > 0$ અને $\beta < 0$ હોવાથી,$\alpha = 2/3$ અને $\beta = -1/2$ મળે. તેથી,$\frac{4}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{-1/2} = 6 - 2 = 4$.

(B) આપેલ પદ $\frac{2+3 i}{i-2}-\frac{4 i-3}{3+4 i}=x+i y$ છે.
પ્રથમ પદનું સાદું રૂપ: $\frac{2+3 i}{-2+i} \times \frac{-2-i}{-2-i} = \frac{-4-2i-6i-3i^2}{4+1} = \frac{-4-8i+3}{5} = \frac{-1-8i}{5} = -0.2 - 1.6i$.
બીજા પદનું સાદું રૂપ: $\frac{-3+4i}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{-9+12i+12i-16i^2}{9+16} = \frac{-9+24i+16}{25} = \frac{7+24i}{25} = 0.28 + 0.96i$.
બંનેની બાદબાકી: $(-0.2 - 1.6i) - (0.28 + 0.96i) = -0.48 - 2.56i$.
તેથી,$x = -0.48$ અને $y = -2.56$.
$3x+y = 3(-0.48) + (-2.56) = -1.44 - 2.56 = -4$.

(D) ધારો કે $z_1 = 24-70 i$ અને $z_2 = -24+70 i$.
આપણે $\sqrt{z_1} + \sqrt{z_2}$ શોધવાની જરૂર છે.
અહીં $z_2 = -z_1$ છે,તેથી આપણે $\sqrt{z_1} + \sqrt{-z_1}$ શોધી રહ્યા છીએ.
$\sqrt{24-70 i} = \pm(7-5 i)$ અને $\sqrt{-24+70 i} = \pm(5+7 i)$ મળે છે.
સરવાળો કરતા: $\pm(7-5 i) \pm(5+7 i)$.
શક્ય કિંમતો: $12+2 i, 2-12 i, -2+12 i, -12-2 i$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરની અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં મૂકો:
$i^{228} = (i^4)^{57} = 1^{57} = 1$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો કે કયો વિકલ્પ $1$ મળે છે:
વિકલ્પ $C$ માટે: $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{228} = \left(\frac{1}{i}\right)^{228} = \frac{1}{i^{228}} = \frac{1}{1} = 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a = |\bar{a}|$ અને $b = |\bar{b}|$. આપણે જાણીએ છીએ કે $z \bar{z} = |z|^2$,તેથી $\frac{\bar{a}}{a^2} = \frac{\bar{a}}{|a|^2} = \frac{\bar{a}}{a \bar{a}} = \frac{1}{a}$.
તે જ રીતે,$\frac{\bar{b}}{b^2} = \frac{1}{b}$.
તેથી,$\left(\frac{\bar{a}}{a^2} - \frac{\bar{b}}{b^2}\right)^2 = \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)^2 = \left(\frac{b-a}{ab}\right)^2 = \left(\frac{a-b}{ab}\right)^2$.

(A) ધારો કે $z = \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \sin \theta}$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $1-2i \sin \theta$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1-i \cos \theta)(1-2i \sin \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{(1 - \sin(2 \theta)) - i(2 \sin \theta + \cos \theta)}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ $0$ લેતા,$1 - \sin(2 \theta) = 0 \Rightarrow \sin(2 \theta) = 1$.
તેથી,$2 \theta = 2n \pi + \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(D) ધારો કે $z = \sqrt{3}-i$. ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
આપણે $w = z^{3/7} = (2e^{-i\frac{\pi}{6} + 2k\pi i})^{3/7}$ ની તમામ કિંમતોનો ગુણાકાર શોધવા માંગીએ છીએ,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
આ $w_k = 2^{3/7} e^{i(-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})}$ તરીકે સરળ બને છે.
આ $7$ કિંમતોનો ગુણાકાર $P = \prod_{k=0}^{6} 2^{3/7} e^{i(-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})}$ છે.
$P = (2^{3/7})^7 \cdot e^{i \sum_{k=0}^{6} (-\frac{\pi}{14} + \frac{6k\pi}{7})} = 8 \cdot e^{i (-\frac{7\pi}{14} + \frac{6\pi}{7} \cdot \frac{6 \cdot 7}{2})} = 8 \cdot e^{i (-\frac{\pi}{2} + 18\pi)} = 8 \cdot e^{-i\frac{\pi}{2}} = 8(-i) = -8i$.

(C) આપેલ છે કે $|Z|=2$ અને $\operatorname{amp}(Z)=\theta$, તેથી આપણે $Z=2e^{i\theta}$ લખી શકીએ.
તેથી $Z_1 = \frac{2e^{i\theta}}{2} e^{i\alpha} = e^{i(\theta+\alpha)}$.
હવે, $Z_1^n = (e^{i(\theta+\alpha)})^n = e^{in(\theta+\alpha)} = \cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))$.
તે જ રીતે, $Z_1^{-n} = e^{-in(\theta+\alpha)} = \cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha))$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{Z_1^n-Z_1^{-n}}{Z_1^n+Z_1^{-n}} = \frac{(\cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))) - (\cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha)))}{(\cos(n(\theta+\alpha)) + i\sin(n(\theta+\alpha))) + (\cos(n(\theta+\alpha)) - i\sin(n(\theta+\alpha)))}$
$= \frac{2i\sin(n(\theta+\alpha))}{2\cos(n(\theta+\alpha))} = i\tan(n(\theta+\alpha))$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $z = \sqrt{3} + i$. આપણે $z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}))$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી $z^{2n} = 2^{2n}(\cos(\frac{n\pi}{3}) + i \sin(\frac{n\pi}{3}))$.
તે જ રીતે,$(\sqrt{3}-i)^{2n} = 2^{2n}(\cos(\frac{n\pi}{3}) - i \sin(\frac{n\pi}{3}))$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,આપણને $2^{2n} \times 2 \cos(\frac{n\pi}{3}) = 2^{2n+1} \cos(\frac{n\pi}{3})$ મળે છે.
$n=1$ માટે,$(\sqrt{3}+i)^2 + (\sqrt{3}-i)^2 = (2+2\sqrt{3}i) + (2-2\sqrt{3}i) = 4$.
વિકલ્પ $C$ માં $n=1$ મૂકતા,$(-1)^{1+1} 2^{2(1)} = 1 \times 4 = 4$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $z = 1 - i \sqrt{3}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,જ્યાં $r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
ખૂણો $\theta = -\frac{\pi}{3}$ છે.
ઘનમૂળ $w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos \left( \frac{-\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{-\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) \right)$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2$.
$k=0$ માટે: $\theta_0 = -20^\circ$ (ચોથું ચરણ).
$k=1$ માટે: $\theta_1 = 100^\circ$ (બીજું ચરણ).
$k=2$ માટે: $\theta_2 = 220^\circ$ (ત્રીજું ચરણ).
કોઈ પણ મૂળ પ્રથમ ચરણમાં નથી.

(B) ધારો કે $z = \sqrt{3} + i$. ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા,$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$. કોણ $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$z^{10} = 2^{10}(\cos \frac{10\pi}{6} + i \sin \frac{10\pi}{6}) = 1024(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $z^{10} = 1024(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 - 512i\sqrt{3}$.
તે જ રીતે,$\bar{z} = \sqrt{3} - i$ માટે,$\bar{z}^{10} = 1024(\cos(-\frac{5\pi}{3}) + i \sin(-\frac{5\pi}{3})) = 1024(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 512 + 512i\sqrt{3}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(\sqrt{3}+i)^{10} + (\sqrt{3}-i)^{10} = (512 - 512i\sqrt{3}) + (512 + 512i\sqrt{3}) = 1024$.

(C) ધારો કે $z = -1 - \sqrt{3}i$.
પ્રથમ,$z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
$\theta = \text{arg}(z) = \frac{4\pi}{3}$.
તેથી,$z = 2e^{i(4\pi/3 + 2k\pi)}$ જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
$z^{3/4} = 2^{3/4} e^{i(\pi + 3k\pi/2)}$.
વાસ્તવિક કિંમત માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\sin(\pi + \frac{3k\pi}{2}) = 0$.
આ માટે $k$ યુગ્મ હોવો જોઈએ.
$k \in \{0, 1, 2, 3\}$ માટે,$k=0$ અને $k=2$ મળે છે.
આમ,$2$ વાસ્તવિક કિંમતો મળે છે.

(C) ધારો કે $z = 1 - i \sqrt{3}$.
પ્રથમ,$z$ નું ધ્રુવીય સ્વરૂપ શોધો.
માનાંક $r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
કોણ $\theta = \tan^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{1}) = -\frac{\pi}{3}$.
તેથી,$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{2025} = 2^{2025}(\cos(2025 \times -\frac{\pi}{3}) + i \sin(2025 \times -\frac{\pi}{3}))$.
$2025 \times -\frac{\pi}{3} = -675\pi$.
કારણ કે $-675\pi = -674\pi - \pi$,ખૂણો $-\pi$ સાથે સમાન છે.
$z^{2025} = 2^{2025}(\cos(-\pi) + i \sin(-\pi)) = 2^{2025}(-1 + 0i) = -2^{2025}$.

(C) આપેલ છે કે $Z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ એ $x^3 = i$ નો ઉકેલ છે.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$Z^3 = r^3(\cos 3\theta + i \sin 3\theta)$.
કારણ કે $Z^3 = i$,તેથી $r^3(\cos 3\theta + i \sin 3\theta) = i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i = \cos(\pi / 2) + i \sin(\pi / 2)$.
આમ,$r^9(\cos \theta + i \sin \theta)^9 = (r^3(\cos \theta + i \sin \theta)^3)^3$.
$Z^3 = i$ હોવાથી,આ પદ $(i)^3$ બને છે.
કિંમત ગણતા: $i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i$.

(C) આપેલ છે $|Z-1| \leq 2$,જે $1$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ડિસ્ક છે.
$|\omega Z - 1 - \omega^2| = r$ માં $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ મૂકતા,તે $|\omega Z + \omega| = r$ એટલે કે $|Z+1| = r$ બને છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |1 - (-1)| = 2$ છે.
કોઈ સામાન્ય ઉકેલ ન મળે તે માટે,વર્તુળ ડિસ્કની બહાર હોવું જોઈએ,જે $r < 0$ સૂચવે છે. વિકલ્પો મુજબ $r > 4$ એ યોગ્ય શરત છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-x+1=0$ છે. તેના બીજ $\alpha = -\omega$ અને $\alpha = -\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$\alpha^2-\alpha+1=0$ હોવાથી,$\alpha+\frac{1}{\alpha} = 1$ મળે.
ધારો કે $S_n = \alpha^n + \frac{1}{\alpha^n}$.
$n=1$ માટે,$S_1 = 1$.
$n=2$ માટે,$S_2 = -1$.
$n=3$ માટે,$S_3 = -2$.
$n=4$ માટે,$S_4 = 1$.
$n=5$ માટે,$S_5 = -1$.
$n=6$ માટે,$S_6 = 2$.
પદો $S_n^3$ છે: $1, -1, -8, 1, -1, 8, 1, -1, -8, 1, -1, 8$.
$12$ પદોનો સરવાળો: $(1-1-8) + (1-1+8) + (1-1-8) + (1-1+8) = 0$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2 = 0$,તેથી $1+\omega = -\omega^2$.
આપણે $-\omega^2$ ના $7^{\text{th}}$ મૂળ શોધી રહ્યા છીએ.
જો $z = -\omega^2$ લઈએ,તો $z^7 = (-\omega^2)^7 = -\omega^{14} = -\omega^2 = 1+\omega$.
આમ,$z = -\omega^2$ એ $1+\omega$ નું એક $7^{\text{th}}$ મૂળ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલી શરત $\operatorname{Arg}\left(\frac{z-3i}{z+2i}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે.
આ $A(0, 3)$ અને $B(0, -2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે.
$\frac{z-3i}{z+2i} = \frac{x+i(y-3)}{x+i(y+2)}$ લેતા અને સાદું રૂપ આપતા, આપણને મળે છે $\frac{x(y-3) - x(y+2)}{x^2 + (y-3)(y+2)} = 1$.
આથી, $-5x = x^2 + y^2 - y - 6$.
તેથી, $x^2 + y^2 + 5x - y - 6 = 0$, જ્યાં $(x, y) \neq (0, -2)$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\frac{z-3}{z+3i} = \frac{(x-3) + iy}{x + i(y+3)}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $x - i(y+3)$.
કાલ્પનિક ભાગ $\frac{-3x + 3y + 9}{x^2 + (y+3)^2} = 0$ મળે છે.
તેથી,$-3x + 3y + 9 = 0$ એટલે કે $x - y - 3 = 0$.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $(x, y) \neq (0, -3)$.

(C) શરત $\text{arg}\left(\frac{z-3}{z-2i}\right)=-\frac{\pi}{2}$ સૂચવે છે કે બિંદુ $A(3,0)$ અને $B(0,2)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા બિંદુ $P(x,y)$ પર બનતો ખૂણો $-\frac{\pi}{2}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $P$ એ $A(3,0)$ અને $B(0,2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ચાપ પર આવેલું છે.
$z=x+iy$ લેતા,$\frac{z-3}{z-2i} = \frac{x^2+y^2-3x-2y + i(6-2x-3y)}{x^2+(y-2)^2}$ મળે.
કોણ $-\frac{\pi}{2}$ હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ $0$ અને કાલ્પનિક ભાગ ઋણ હોવો જોઈએ.
વાસ્તવિક ભાગ: $x^2+y^2-3x-2y=0$,જે એક વર્તુળ છે.
કાલ્પનિક ભાગ: $6-2x-3y < 0$,જેનો અર્થ $2x+3y > 6$ થાય.
આમ,બિંદુપથ એ વર્તુળનો તે ચાપ છે જ્યાં $2x+3y > 6$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
$x = \omega^2 - \omega + 2$ હોવાથી,આપણે $\omega^2 = -1 - \omega$ મૂકી શકીએ:
$x = (-1 - \omega) - \omega + 2 = 1 - 2\omega$.
તેથી,$2\omega = 1 - x$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{1 - x}{2}$.
આ કિંમતને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ માં મૂકતા:
$1 + \left(\frac{1 - x}{2}\right) + \left(\frac{1 - x}{2}\right)^2 = 0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4 + 2(1 - x) + (1 - x)^2 = 0$.
$4 + 2 - 2x + 1 - 2x + x^2 = 0$.
$x^2 - 4x + 7 = 0$.

(D) ધારો કે $z = \frac{(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3} i)}{(-1+i)(-1-i)}$.
પ્રથમ,અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $(\sqrt{3}+i)(1-\sqrt{3} i) = \sqrt{3} - 3i + i - \sqrt{3} i^2 = 2\sqrt{3} - 2i$.
હવે,છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $(-1+i)(-1-i) = (-1)^2 - (i)^2 = 1 + 1 = 2$.
તેથી,$z = \frac{2\sqrt{3} - 2i}{2} = \sqrt{3} - i$.
કંપવિસ્તાર $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$.
આ સંકર સંખ્યા ચોથા ચરણમાં હોવાથી,કંપવિસ્તાર $-\frac{\pi}{6}$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x+1)^4 + 81 = 0$ છે.
ધારો કે $y = x+1$,તેથી $y^4 = -81$.
આપણે $-81 = 81 e^{i(\pi + 2k\pi)}$ લખી શકીએ,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
ચોથું મૂળ લેતા,$y = 3 e^{i(\frac{\pi + 2k\pi}{4})}$.
$k=0$ માટે,$y = 3 e^{i\pi/4} = 3(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{3(1+i)}{\sqrt{2}}$.
તેથી $x = y - 1 = -1 + \frac{3(1+i)}{\sqrt{2}}$.
આથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $z_j = \frac{1}{x_j - 2i}$ છે. $x_j$ એ $x^8 - 1 = 0$ ના બીજ હોવાથી,તેઓ એકમ વર્તુળ $|x| = 1$ પર આવેલા છે.
મોબિયસ રૂપાંતરણ $f(x) = \frac{1}{x - 2i}$ નો ઉપયોગ કરતા,વર્તુળ $|x|=1$ નું પ્રતિબિંબ પણ એક વર્તુળ મળે છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $Z_0 = 3 + 4i$. આપેલ સમીકરણ $|Z_1 - Z_0| = 5$ એ $C(3, 4)$ કેન્દ્ર અને $r = 5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કેન્દ્ર $C$ નું ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી અંતર $|Z_0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$|Z_2| = 15$ હોવાથી,$|Z_1 - Z_2|$ ની મહત્તમ કિંમત $10 + 15 = 25$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $5$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $25 + 5 = 30$ થાય છે.

(B) '$HANDLE$' શબ્દના અક્ષરો $A, D, E, H, L, N$ છે. કુલ અક્ષરો $6$ છે.
શબ્દકોશ મુજબ ક્રમ: $A, D, E, H, L, N$.
$A, D, E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3 \times 120 = 360$.
$HA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $24$.
$HD$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $24$.
$HEA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6$.
$HED$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6$.
$HELA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $1$.
$HELAND$ શબ્દનો ક્રમ: $360 + 24 + 24 + 6 + 6 + 1 + 1 = 422$.

(C) $MOST$ શબ્દના અક્ષરો $M, O, S, T$ છે. બધા અક્ષરો ભિન્ન છે. કુલ ગોઠવણી = $4! = 24$.
શબ્દકોશના ક્રમ માટે અક્ષરોને મૂળાક્ષર પ્રમાણે ગોઠવતા: $M, O, S, T$.
$1$. $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$2$. $O$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$3$. $S$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $SM..$: $2! = 2$.
- $SO..$: $2! = 2$.
- $STMO$: $1$.
- $STOM$: $1$.
$MOST$ નો ક્રમ: $M$ થી શરૂ થતા શબ્દો $1$ થી $6$ છે. તેથી,$MOST$ એ $6$ મો શબ્દ છે.
$STOM$ નો ક્રમ: $6 + 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 18$.
$MOST$ ના ક્રમથી $STOM$ નો ક્રમ = $18 - 6 = 12$.

(C) $15$ સ્ટેશનમાંથી $5$ સ્ટેશન પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${ }^{15} C_5$ છે.
કોઈપણ બે સ્ટેશન ક્રમિક ન હોય તેવી રીતો શોધવા માટે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $10$ સ્ટેશન જ્યાં ટ્રેન રોકાતી નથી તેને $X$ તરીકે દર્શાવીએ.
$X_1 X_2 X_3 X_4 X_5 X_6 X_7 X_8 X_9 X_{10}$
અહીં $11$ સંભવિત ગેપ છે જ્યાં આપણે $5$ સ્ટેશન મૂકી શકીએ છીએ.
$11$ માંથી $5$ ગેપ પસંદ કરવાની રીતો ${ }^{11} C_5$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછા બે ક્રમિક સ્ટેશન પર ટ્રેન રોકાય તેવી રીતોની સંખ્યા = કુલ રીતો - કોઈ પણ બે સ્ટેશન ક્રમિક ન હોય તેવી રીતો
$= { }^{15} C_5 - { }^{11} C_5$.

(B) $CABINET$ શબ્દમાં $7$ અલગ અક્ષરો છે: $C, A, B, I, N, E, T$. કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $7! = 5040$ છે.
ધારો કે $S$ એ તમામ ગોઠવણીઓનો સમૂહ છે. $|S| = 5040$.
ધારો કે $X$ એ $CAB$ ધરાવતી ગોઠવણીઓનો સમૂહ છે. $CAB$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $(CAB), I, N, E, T$. આને $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
ધારો કે $Y$ એ $NET$ ધરાવતી ગોઠવણીઓનો સમૂહ છે. $NET$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $C, A, B, I, (NET)$. આને $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
ધારો કે $X \cap Y$ એ $CAB$ અને $NET$ બંને ધરાવતી ગોઠવણીઓનો સમૂહ છે. $CAB$ અને $NET$ ને બે એકમો તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $3$ એકમો છે: $(CAB), I, (NET)$. આને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંત મુજબ,$CAB$ અથવા $NET$ ધરાવતી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y| = 120 + 120 - 6 = 234$ છે.
જે ગોઠવણીઓમાં $CAB$ કે $NET$ ન આવતા હોય તેની સંખ્યા $|S| - |X \cup Y| = 5040 - 234 = 4806$ છે.

(A) $ACADEMICIAN$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, C, A, D, E, M, I, C, I, A, N$.
વ્યંજનો: $C, D, M, C, N$ (કુલ $5$). સ્વરો: $A, A, A, E, I, I$ (કુલ $6$).
વ્યંજનોને એક બ્લોક તરીકે લેતા,ગોઠવણીની રીતો = $\frac{5!}{2!} = 60$.
$A$ સિવાયના સ્વરો $(E, I, I)$ અને વ્યંજન બ્લોક $X$ ને ગોઠવવાની રીતો = $\frac{4!}{2!} = 12$.
$5$ જગ્યાઓમાંથી $3$ $A$ ગોઠવવાની રીતો = $^5C_3 = 10$.
કુલ ગોઠવણી = $60 \times 12 \times 10 = 7200$.

(C) $FEBRUARY$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $\{F, E, B, R, U, A, R, Y\}$. ભિન્ન અક્ષરો $\{F, E, B, R, U, A, Y\}$ છે.
અહીં $3$ સ્વરો છે: $\{E, U, A\}$ અને $5$ વ્યંજનો છે: $\{F, B, R, R, Y\}$.
આપણે વચ્ચેના સ્થાને સ્વર હોય તેવા $3$-અક્ષરી શબ્દો બનાવવાના છે.
કિસ્સો $1$: જો $R$ નો ઉપયોગ ન થાય.
આપણી પાસે $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{F, E, B, U, A, Y\}$.
- વચ્ચેનું સ્થાન: $3$ સ્વરોમાંથી $1$ સ્વર પસંદ કરવાની રીત $^3C_1 = 3$ છે.
- પ્રથમ અને ત્રીજું સ્થાન: બાકીના $6$ અક્ષરોમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાની રીત $^6P_2 = 6 \times 5 = 30$ છે.
- કિસ્સા $1$ માટે કુલ રીતો: $3 \times 30 = 90$.
કિસ્સો $2$: જો $R$ નો ઉપયોગ થાય.
$R$ વ્યંજન હોવાથી,તે પ્રથમ અથવા ત્રીજા સ્થાને હોવો જોઈએ.
- વચ્ચેનું સ્થાન: $3$ સ્વરોમાંથી $1$ સ્વર પસંદ કરવાની રીત $3$ છે.
- $R$ નું સ્થાન: $2$ સ્થાનોમાંથી $1$ સ્થાન (પ્રથમ અથવા ત્રીજું) પસંદ કરવાની રીત $2$ છે.
- બાકીનું સ્થાન: બાકીના $5$ અક્ષરોમાંથી $1$ અક્ષર પસંદ કરવાની રીત $5$ છે.
- કિસ્સા $2$ માટે કુલ રીતો: $3 \times 2 \times 5 = 30$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $90 + 30 = 120$.

(A) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $A$ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dr}{r} \times 100 = 3\%$ છે,તેથી $\frac{dr}{r} = 0.03$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dA = 2\pi r dr$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{dA}{A} = \frac{2\pi r dr}{\pi r^2} = 2 \frac{dr}{r}$ છે.
$\frac{dr}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dA}{A} = 2 \times 0.03 = 0.06$ મળે છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{dA}{A} \times 100 = 0.06 \times 100 = 6\%$ છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+k}{x^2-x+k}$.
તેથી $y(x^2-x+k) = x^2+x+k$.
$x^2(y-1) - x(y+1) + k(y-1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(k(y-1)) \ge 0$.
$(y+1)^2 - 4k(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1)^2 \ge 4k(y-1)^2$.
વિસ્તાર $\left[\frac{1}{3}, 3\right]$ માટે,સીમાવર્તી કિંમતો $y = \frac{1}{3}$ અને $y = 3$ એ સમીકરણ $(y+1)^2 = 4k(y-1)^2$ નું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$y = 3$ મૂકતા: $(3+1)^2 = 4k(3-1)^2 \implies 16 = 4k(4) \implies 16 = 16k \implies k = 1$.
$y = \frac{1}{3}$ માટે ચકાસણી: $(\frac{1}{3}+1)^2 = 4k(\frac{1}{3}-1)^2 \implies (\frac{4}{3})^2 = 4k(-\frac{2}{3})^2 \implies \frac{16}{9} = 4k(\frac{4}{9}) \implies \frac{16}{9} = \frac{16k}{9} \implies k = 1$.

(A) $\sqrt{6560}$ ની આશરે કિંમત શોધવા માટે,આપણે રેખીય અંદાજ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ: $\sqrt{x + \Delta x} \approx \sqrt{x} + \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $81^2 = 6561$.
ધારો કે $x = 6561$ અને $\Delta x = -1$.
તેથી,$\sqrt{6560} = \sqrt{6561 - 1} \approx \sqrt{6561} - \frac{1}{2\sqrt{6561}}$.
$\sqrt{6560} \approx 81 - \frac{1}{2 \times 81} = 81 - \frac{1}{162}$.
$\frac{1}{162} \approx 0.0061728$.
તેથી,$\sqrt{6560} \approx 81 - 0.0061728 = 80.9938272$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,આપણને $80.9938$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$80.9939$ એ સૌથી નજીકનો અંદાજ છે.

(B) આપણે $\sec 58^{\circ}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sec 58^{\circ} = \frac{1}{\cos 58^{\circ}}$ હોવાથી,આપણે પહેલા $\cos 58^{\circ}$ ની ગણતરી કરીએ.
$\cos(60^{\circ} - 2^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \cos 2^{\circ} + \sin 60^{\circ} \sin 2^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે કે $1^{\circ} = 0.0175 \text{ રેડિયન}$,તેથી $2^{\circ} = 2 \times 0.0175 = 0.035 \text{ રેડિયન}$.
નાના ખૂણાના અંદાજ મુજબ,$\cos 2^{\circ} \approx 1 - \frac{(0.035)^2}{2} = 0.9993875$ અને $\sin 2^{\circ} \approx 0.035$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\cos 58^{\circ} \approx (0.5 \times 0.9993875) + (0.866 \times 0.035) = 0.53000375$.
તેથી $\sec 58^{\circ} = \frac{1}{0.53000375} \approx 1.8867$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $1.8788$ છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
અહીં $f(0) = \ln 3 \ln 4$ આપેલ છે.
હવે,લક્ષની કિંમત શોધીએ: $\lim_{x \to 0} \frac{6^x-3^x-2^x+1}{1-\cos \left(\frac{x}{a}\right)}$.
અંશ: $6^x-3^x-2^x+1 = (3^x-1)(2^x-1)$.
છેદ: $1-\cos \left(\frac{x}{a}\right) = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2a}\right)$.
તેથી,$\lim_{x \to 0} \frac{(3^x-1)(2^x-1)}{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2a}\right)} = 2a^2 \ln 3 \ln 2$.
$\ln 4 = 2 \ln 2$ હોવાથી,આ કિંમત $a^2 \ln 3 \ln 4$ થાય.
$f(0)$ સાથે સરખાવતા: $a^2 \ln 3 \ln 4 = \ln 3 \ln 4$.
આમ,$a^2 = 1$. $a$ ધન હોવાથી,$a=1$.

(B) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,આપણે $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ હોવું જરૂરી છે.
અંશ $N(x)$ નું ટેલર વિસ્તરણ:
$N(x) = a(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)) - bx + cx^2 + x^3 = (a-b)x + cx^2 + (1 - \frac{a}{6})x^3 + O(x^4)$.
છેદ $D(x)$ નું ટેલર વિસ્તરણ:
$D(x) = 2(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)) - 2x + x^2 - \frac{2}{3}x^3 = -\frac{1}{2}x^4 + O(x^5)$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $0$ થાય તે માટે,અંશમાં $x, x^2,$ અને $x^3$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$a-b = 0 \implies a=b$,$c=0$,અને $1 - \frac{a}{6} = 0 \implies a=6$.
આપેલા વિકલ્પોના આધારે $a, b, c$ વચ્ચેનો સંબંધ $a=b$ છે.

(A) ધારો કે $h = -x$,જ્યાં $h > 0$ જેમ $x \rightarrow 0^-$.
કારણ કે $x$ એ $0$ થી થોડું નાનું છે,$[x] = -1$.
તેથી,$\{x\} = x - (-1) = x + 1 = 1 - h$.
જેમ $x \rightarrow 0^-$,$h \rightarrow 0^+$,તેથી $\{x\} \rightarrow 1^-$.
ધારો કે $u = \{x\}$. જેમ $u \rightarrow 1^-$,લક્ષ $\lim_{u \rightarrow 1^-} \frac{\cos^{-1}(1-u^2) \sin^{-1}(1-u)}{u(1-u^3)} = \lim_{u \rightarrow 1^-} \frac{\cos^{-1}(1-u^2) \sin^{-1}(1-u)}{u(1-u)(1+u+u^2)}$ બને છે.
ધારો કે $t = 1-u$. જેમ $u \rightarrow 1$,$t \rightarrow 0^+$.
ત્યારે $1-u^2 = (1-u)(1+u) = t(2-t)$.
જેમ $t \rightarrow 0^+$,$\cos^{-1}(1-u^2) = \cos^{-1}(t(2-t)) \rightarrow \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.
વળી,$\sin^{-1}(1-u) = \sin^{-1}(t) \approx t$ જેમ $t \rightarrow 0$.
આ કિંમતો લક્ષમાં મૂકતા: $\lim_{t \rightarrow 0^+} \frac{(\frac{\pi}{2}) \cdot t}{(1-t)(t)(1+(1-t)+(1-t)^2)} = \frac{\pi/2}{1 \cdot 3} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$\tan \theta = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{(a(625+x))^{1/5} - 5}{(625+bx)^{1/4} - 5}$.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = \frac{(625a)^{1/5} - 5}{625^{1/4} - 5} = \frac{(625a)^{1/5} - 5}{5 - 5}$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,અંશ $x = 0$ આગળ $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $(625a)^{1/5} = 5$,જે સૂચવે છે કે $625a = 5^5 = 3125$,તેથી $a = 5$.
હવે,$f(x) = \frac{5(1 + x/625)^{1/5} - 5}{5(1 + bx/625)^{1/4} - 5} = \frac{(1 + x/625)^{1/5} - 1}{(1 + bx/625)^{1/4} - 1}$.
લક્ષના સૂત્ર $\lim_{u \to 0} \frac{(1+u)^n - 1}{u} = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{x}{625}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{bx}{625}} = \frac{1/5}{1/4b} = \frac{4}{5b}$.

(D) ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{((2n)!/n!)^{1/n}}{n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{(2n)!}{n! n^n} \right)^{1/n}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( \frac{n+k}{n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( 1 + \frac{k}{n} \right)$.
આ સંકલન $\int_0^1 \ln(1+x) \, dx$ માટે રીમાન સરવાળો છે.
આમ,$\ln L = \int_0^1 \ln(1+x) \, dx$,જે સૂચવે છે કે $L = e^{\int_0^1 \ln(1+x) \, dx}$.
સીમામાં આપેલ પદાવલિ જ્યારે નિશ્ચિત સંકલનની રીમાન સરવાળાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે ત્યારે $\int_0^1 \ln(1+x) \, dx$ ને સમતુલ્ય છે.

(A) $y=f(x)$ વક્ર,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ તથા $x=b$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f(x) = x^3$,$a = -2$ અને $b = 4$ છે.
વિધેય $x^3$ એ $x < 0$ માટે ઋણ અને $x > 0$ માટે ધન છે.
તેથી,સંકલન $x = 0$ આગળ વિભાજિત થશે:
$A = \int_{-2}^{0} |x^3| \, dx + \int_{0}^{4} |x^3| \, dx = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx + \int_{0}^{4} x^3 \, dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx = [-\frac{x^4}{4}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^4}{4}) = \frac{16}{4} = 4$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\int_{0}^{4} x^3 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_{0}^{4} = \frac{4^4}{4} - 0 = 4^3 = 64$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4 + 64 = 68$ ચોરસ એકમ.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ એ વક્રો વચ્ચેના તફાવતના માનાંકનું સંકલન છે: $A = \int_{0}^{2} |x^3 - x^2| \, dx$.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો: $x^3 = x^2 \implies x^2(x-1) = 0$,તેથી $x=0$ અને $x=1$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$x^2 \ge x^3$,તેથી $|x^3 - x^2| = x^2 - x^3$.
અંતરાલ $[1, 2]$ માં,$x^3 \ge x^2$,તેથી $|x^3 - x^2| = x^3 - x^2$.
આમ,$A = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{2} (x^3 - x^2) \, dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (-\frac{1}{12}) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{12} + \frac{17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણો માટે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 & 18\end{array}\right]$
હારની પ્રક્રિયાઓ લાગુ કરતા:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 3 & 4 & 5 & 18\end{array}\right]$
$R_3 \to R_3 - 3R_1$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 8 & 15\end{array}\right]$
$R_3 \to 2R_3 - R_2$:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 15 & 32\end{array}\right]$
આપેલ મેટ્રિક્સ $\left[\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & b \\ 0 & 0 & c & 32\end{array}\right]$ સાથે સરખાવતા,પ્રથમ હારમાં ત્રીજા સ્તંભમાં $0$ લાવવા માટે $R_1 \to R_1 + R_2$ કરતા:
$\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 15 & 32\end{array}\right]$
તેથી,$a = 3$,$b = -2$,અને $c = 15$.
આમ,$\sqrt{a+b+c} = \sqrt{3 - 2 + 15} = \sqrt{16} = 4$.

(C) ધારો કે શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $m \times n$ છે. $A$ અને $B$ નો સરવાળો $P = A + B$ થાય છે,તેથી $B$ નો ક્રમ પણ $m \times n$ હોવો જોઈએ.
$Q = A^T B$ માટે,$A^T$ નો ક્રમ $n \times m$ અને $B$ નો ક્રમ $m \times n$ છે. તેથી,ગુણાકાર $Q$ નો ક્રમ $n \times n$ થાય છે.
$R = A B^T$ માટે,$A$ નો ક્રમ $m \times n$ અને $B^T$ નો ક્રમ $n \times m$ છે. તેથી,ગુણાકાર $R$ નો ક્રમ $m \times m$ થાય છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$P$ નો ક્રમ $m \times n$,$Q$ નો ક્રમ $n \times n$,$R$ નો ક્રમ $m \times m$ છે.
$PQ$ નો ક્રમ $(m \times n) \times (n \times n) = m \times n$ થાય છે.
$RP$ નો ક્રમ $(m \times m) \times (m \times n) = m \times n$ થાય છે.
આમ,$PQ$ અને $RP$ બંનેનો ક્રમ $A$ ના ક્રમ $(m \times n)$ જેટલો જ છે.

(A) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^3-5A^2+7A+I=0$ છે,તેથી $A^3 = 5A^2-7A-I$.
આપણે $P(A) = A^5-6A^4+12A^3-6A^2+2A+2I$ ને સરળ બનાવવાની જરૂર છે.
બહુપદી ભાગાકારનો ઉપયોગ કરીને $P(A)$ ને $A^3-5A^2+7A+I$ વડે ભાગતા:
$A^5-6A^4+12A^3-6A^2+2A+2I = (A^2-A)(A^3-5A^2+7A+I) + (0A^2+2A+3I)$.
કારણ કે $A^3-5A^2+7A+I=0$,તેથી પદાવલિ $0 + 2A+3I$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
આને $lA+mI$ સાથે સરખાવતા,આપણને $l=2$ અને $m=3$ મળે છે.
તેથી,$l+m = 2+3 = 5$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$(2)$ $2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ $(3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$5A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$(1)$ પરથી,$2B = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 4 & -2 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{tr}(A) - \operatorname{tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(D) સમીકરણ સંહતિ $AX=B$ માટે,કારણ કે તેને અનન્ય ઉકેલ છે,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{rank}(A) = 3$. આમ,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A: B]$ નો રેન્ક પણ $3$ છે.
સમીકરણ સંહતિ $CX=D$ માટે,કારણ કે તેને અનંત ઉકેલો છે,શ્રેણિક $C$ અસામાન્ય (singular) હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{rank}(C) < 3$. સુસંગતતા માટે,$\operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}([C: D]) < 3$ હોવું જોઈએ.
રેન્કની સરખામણી કરતા: $\operatorname{rank}(A) = 3$ અને $\operatorname{rank}(C) < 3$,તેથી $\operatorname{rank}(A) > \operatorname{rank}(C)$.
ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકોના સંદર્ભમાં,$\operatorname{rank}([A: D])$ મહત્તમ $3$ છે,અને $\operatorname{rank}([C: B])$ મહત્તમ $3$ છે. કારણ કે $\operatorname{rank}(A) = 3$,$[A: D]$ નો રેન્ક $3$ છે. કારણ કે $\operatorname{rank}(C) < 3$,$[C: B]$ નો રેન્ક મહત્તમ $3$ છે. આમ,$\operatorname{rank}([A: D]) \geq \operatorname{rank}([C: B])$ એ સાચું વિધાન છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & p \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = 0$ લેતા:
$1(3p - 2) + 2(2p - 1) + 1(4 - 3) = 0$
$3p - 2 + 4p - 2 + 1 = 0$
$7p - 3 = 0 \implies p = \frac{3}{7}$.
અનંત ઉકેલો માટે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ નો ક્રમ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
હાર પ્રક્રિયાઓ કરતા,આપણને $q = \frac{24}{7}$ મળે છે.
હવે,$q - p = \frac{24}{7} - \frac{3}{7} = \frac{21}{7} = 3$. તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$1) 2x + 3y + z = -1$
$2) 3x + y + z = 4$
$3) x - 3y - 2z = 1$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(2x + 3y + z) - (3x + y + z) = -1 - 4$
$-x + 2y = -5 \implies x - 2y = 5 \implies x = 2y + 5$
$x = 2y + 5$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$(2y + 5) - 3y - 2z = 1$
$-y - 2z = -4 \implies y + 2z = 4 \implies z = \frac{4-y}{2}$
$x = 2y + 5$ અને $z = \frac{4-y}{2}$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$3(2y + 5) + y + (\frac{4-y}{2}) = 4$
$6y + 15 + y + 2 - 0.5y = 4$
$6.5y = 4 - 17 = -13$
$y = \frac{-13}{6.5} = -2$
આમ,$\beta = -2$.

(C) સુરેખ સમઘાત સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A| = 0$ લેતા:
$1(2(1) - (-1)(3)) - a(a(1) - (-1)(2)) + 1(a(3) - 2(2)) = 0$
$1(2 + 3) - a(a + 2) + 1(3a - 4) = 0$
$5 - a^2 - 2a + 3a - 4 = 0$
$-a^2 + a + 1 = 0$
$a^2 - a - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
અહીં આપણે $a$ ની ધન કિંમત શોધવાની હોવાથી,$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(B) સમાંગ પ્રણાલી $AX=O$ માટે,જો પ્રણાલી પાસે શૂન્યેતર ઉકેલો (અનંત ઉકેલો) હોય,તો શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ નો શ્રેણીક (rank) ચલોની સંખ્યા $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
આપેલ છે કે $X = [l, m, 0]^T$ એ $l, m \neq 0$ સાથેનો ઉકેલ છે,તેથી ઉકેલ અવકાશમાં ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યેતર સદિશ છે.
ઉકેલ $k[l, m, 0]^T$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,નલ સ્પેસનું પરિમાણ (nullity) ઓછામાં ઓછું $1$ છે.
રેન્ક-નલિટી પ્રમેય મુજબ,$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$,જ્યાં $n=3$.
જો નલિટી $1$ હોય,તો $\text{rank}(A) = 3 - 1 = 2$.
આમ,$A$ નો શ્રેણીક $2$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -5 \\ -2 & 4 & -6 \\ 7 & -11 & 13 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(4 \times 13 - (-6) \times (-11)) - (-3)((-2) \times 13 - (-6) \times 7) + (-5)((-2) \times (-11) - 4 \times 7)$
$|A| = 1(52 - 66) + 3(-26 + 42) - 5(22 - 28)$
$|A| = 1(-14) + 3(16) - 5(-6)$
$|A| = -14 + 48 + 30 = 64$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|\operatorname{Adj} A| = (64)^2$.
તેથી,$\sqrt{|\operatorname{Adj} A|} = \sqrt{(64)^2} = 64$.

(B) $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A) = |A|^{n-2} A$ છે.
આ ગુણધર્મનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A)) = \operatorname{Adj}(|A|^{n-2} A)$ મળે.
$\operatorname{Adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{Adj}(A)$ હોવાથી,$\operatorname{Adj}(|A|^{n-2} A) = (|A|^{n-2})^{n-1} \operatorname{Adj}(A) = |A|^{(n-2)(n-1)} \operatorname{Adj}(A)$ મળે.
$n=2$ કક્ષાના શ્રેણિક માટે,$|A| = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
$n=2$ માટે $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A))$ નું સૂત્ર $|A|^{(2-2)(2-1)} \operatorname{Adj}(A) = |A|^0 \operatorname{Adj}(A) = \operatorname{Adj}(A)$ થાય છે.
સામાન્ય રીતે,$k$ વખત એડજોઈન્ટ માટેનું સૂત્ર $|A|^{(n-1)^k} A$ ના સ્વરૂપમાં હોય છે.
$n=2$ માટે,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A)) = |A|^{2-2} A = A$.
તેથી $\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj} A)) = \operatorname{Adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $|A|A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(1 - 2) - 2(2 - 1) + 2(4 - 1) = 1(-1) - 2(1) + 2(3) = -1 - 2 + 6 = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|A^2| = |A|^2 = 3^2 = 9$.
$n \times n$ કક્ષાના શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ થાય.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(A^2)| = |A^2|^{3-1} = |A^2|^2$.
$|A^2| = 9$ મૂકતા,આપણને $|\operatorname{Adj}(A^2)| = 9^2 = 81$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & x & 1 \end{bmatrix}$ અને $A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2y \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ અને $A^{-1}$ નો ગુણાકાર કરતા:
$A \cdot A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -8 & 6 & 2y \\ 5 & -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર શ્રેણિકના હાર $2$,સ્તંભ $3$ ના ઘટકને ધ્યાનમાં લેતા:
$\frac{1}{2} [ (1)(1) + (2)(2y) + (3)(1) ] = 0$.
$1 + 4y + 3 = 0 \implies 4y + 4 = 0 \implies y = -1$.
ગુણાકાર શ્રેણિકના હાર $3$,સ્તંભ $2$ ના ઘટકને ધ્યાનમાં લેતા:
$\frac{1}{2} [ (3)(-1) + (x)(6) + (1)(-3) ] = 0$.
$-3 + 6x - 3 = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1$.
આમ,બિંદુ $(x, y) = (1, -1)$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $B$ માટે: $y = \log_{2/5}(2^1 + 2^{-1}) = \log_{2/5}(2 + 0.5) = \log_{2/5}(2.5) = \log_{2/5}(5/2) = -1$.
જેથી $y = -1$ એ વિકલ્પ $B$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી બિંદુ $(1, -1)$ એ વક્ર $y = \log_{2/5}(2^x + 2^{-x})$ પર આવેલું છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 16 & 36 & 25 \\ 25 & 49 & 36\end{array}\right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$R_2 - R_1 = (16-9, 36-25, 25-16) = (7, 11, 9)$.
$R_3 - R_2 = (25-16, 49-36, 36-25) = (9, 13, 11)$.
હવે,$D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 9 & 13 & 11\end{array}\right|$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$D = \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right| = 2 \left|\begin{array}{ccc}9 & 25 & 16 \\ 7 & 11 & 9 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
$R_3$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા: $D = 2 [1(225-176) - 1(81-112) + 1(99-175)] = 2 [49 + 31 - 76] = 2 [4] = 8$.
આમ,$K = 8$. બીજ $K=8$ અને $K+1=9$ છે.
$8$ અને $9$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x-8)(x-9) = x^2 - 17x + 72 = 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\Delta_{r} = \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3r-2} & \frac{2}{3r-5} \\ 0 & \frac{3}{3r+1}\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_{r} = \left(\frac{1}{3r-2}\right) \left(\frac{3}{3r+1}\right) - (0) \left(\frac{2}{3r-5}\right) = \frac{3}{(3r-2)(3r+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3}{(3r-2)(3r+1)} = \frac{A}{3r-2} + \frac{B}{3r+1}$.
$3 = A(3r+1) + B(3r-2)$.
$r = 2/3$ માટે,$3 = A(3) \implies A = 1$.
$r = -1/3$ માટે,$3 = B(-3) \implies B = -1$.
આમ,$\Delta_{r} = \frac{1}{3r-2} - \frac{1}{3r+1}$.
હવે,સરવાળો $\sum_{r=1}^{33} \Delta_{r} = \sum_{r=1}^{33} \left( \frac{1}{3r-2} - \frac{1}{3r+1} \right)$ ગણીએ.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{3(33)-2} - \frac{1}{3(33)+1} \right)$.
$= 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} = 0.99$.

(C) અને $A$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta(\lambda) = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3-\lambda \\ 0 & -1-\lambda & 2 \\ 1-\lambda & 1 & 3\end{array}\right|$ નું વિસ્તરણ કરીએ.
પગલું $1$: $\lambda = 0$ મૂકીને $D$ શોધો.
$D = \Delta(0) = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right| = 1(-3-2) - 0 + 1(4+3) = -5 + 7 = 2$.
પગલું $2$: $\lambda^3$ નો સહગુણક $A$ શોધો.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $\Delta(\lambda) = 1((-1-\lambda)(3) - 2) - 2(0 - 2(1-\lambda)) + (3-\lambda)(0 - (-1-\lambda)(1-\lambda)) = -\lambda^3 + 3\lambda^2 - 6\lambda - 4$.
તેથી,$A = -1$ અને $D = -4$.
પગલું $3$: $D+A$ ની ગણતરી કરો.
$D+A = -4 + (-1) = -5$.

(B) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x[(-2)(3) - (x-1)(x-2)] - (-3)[(-1)(3) - (1)(x-1)] + 2[(-1)(x-2) - (1)(-2)] = 0$
$x[-6 - (x^2 - 3x + 2)] + 3[-3 - x + 1] + 2[-x + 2 + 2] = 0$
$x[-6 - x^2 + 3x - 2] + 3[-x - 2] + 2[-x + 4] = 0$
$x[-x^2 + 3x - 8] - 3x - 6 - 2x + 8 = 0$
$-x^3 + 3x^2 - 8x - 5x + 2 = 0$
$-x^3 + 3x^2 - 13x + 2 = 0$
$x^3 - 3x^2 + 13x - 2 = 0$
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સ્વરૂપના ત્રિઘાત સમીકરણ માટે,બીજોનો સરવાળો $-b/a$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -3$ છે.
બીજોનો સરવાળો = $-(-3)/1 = 3$.

(B) ધારો કે શ્રેણીનું $n$-મું પદ $D_n = \left|\begin{array}{cc} a_n & b_n \\ 5 & 4 \end{array}\right| = 4a_n - 5b_n$ છે.
અહીં,$a_n$ એ પ્રથમ પદ $a_1 = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r_1 = 1/3$ ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે. તેથી,$a_n = 3(1/3)^{n-1}$.
તે જ રીતે,$b_n$ એ પ્રથમ પદ $b_1 = 4$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r_2 = -1/4$ ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે. તેથી,$b_n = 4(-1/4)^{n-1}$.
તેથી,$K = \sum_{n=1}^{\infty} (4a_n - 5b_n) = 4 \sum_{n=1}^{\infty} a_n - 5 \sum_{n=1}^{\infty} b_n$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{3}{1 - 1/3} = \frac{3}{2/3} = \frac{9}{2}$.
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{4}{1 - (-1/4)} = \frac{4}{5/4} = \frac{16}{5}$.
આ કિંમતોને $K$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = 4 \left(\frac{9}{2}\right) - 5 \left(\frac{16}{5}\right) = 18 - 16 = 2$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1-3) - 2(2-1) + 3(6-1) = 1(-2) - 2(1) + 3(5) = -2 - 2 + 15 = 11$.
ત્યારબાદ,આપણે $B$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|B| = 2(4-8) - 3(6-4) + 4(12-4) = 2(-4) - 3(2) + 4(8) = -8 - 6 + 32 = 18$.
$|AB| = |A| \times |B|$ હોવાથી,$|AB| = 11 \times 18 = 198$.
એડજોઈન્ટ મેટ્રિક્સના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(AB)| = |AB|^{3-1} = |AB|^2$.
આમ,$\sqrt{|\operatorname{Adj}(AB)|} = \sqrt{|AB|^2} = |AB| = 198$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(1 \times 3 - 3 \times 6) - 5(4 \times 3 - 3 \times 2) + 2(4 \times 6 - 1 \times 2)$
$|A| = 1(3 - 18) - 5(12 - 6) + 2(24 - 2)$
$|A| = 1(-15) - 5(6) + 2(22)$
$|A| = -15 - 30 + 44 = -1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (-1)^2 = 1$.
આપણે $|(\operatorname{Adj} A)^{-1}|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|(\operatorname{Adj} A)^{-1}| = \frac{1}{|\operatorname{Adj} A|} = \frac{1}{1} = 1$.

(C) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+\lambda y-2 z=1$
$x-y+\lambda z=2$
$x-2 y+3 z=3$
સંહતિ અસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D=0$ હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -2 \\ 1 & -1 & \lambda \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = 1(-3 + 2\lambda) - \lambda(3 - \lambda) - 2(-2 + 1) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0$.
અહીં $\lambda$ ના બે મૂલ્યો $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\lambda_1 + \lambda_2 = -(\text{coefficient of } \lambda) / (\text{coefficient of } \lambda^2) = -(-1)/1 = 1$.

(A) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અશૂન્ય ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} \sin \theta & 1 & -2 \\ 2 & -1 & \cos \theta \\ -3 & \sec \theta & 3 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = \sin \theta (-3 - \cos \theta \sec \theta) - 1(6 + 3 \cos \theta) - 2(2 \sec \theta - 3) = 0$.
$\cos \theta \sec \theta = 1$ હોવાથી:
$D = \sin \theta (-3 - 1) - 6 - 3 \cos \theta - 4 \sec \theta + 6 = 0$.
$-4 \sin \theta - 3 \cos \theta - 4 \sec \theta = 0$.
$\cos \theta$ વડે ગુણતા (જ્યાં $\cos \theta \neq 0$):
$-4 \sin \theta \cos \theta - 3 \cos^2 \theta - 4 = 0$.
$-2 \sin(2\theta) - 3 \cos^2 \theta - 4 = 0$.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ મૂકતા:
$-2 \sin(2\theta) - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(2\theta) - 4 = 0$.
$-4 \sin(2\theta) - 3 \cos(2\theta) = 11$.
$a \sin x + b \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2} = 5$ છે,અને $5 < 11$ હોવાથી,આ સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવી $\theta$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
આપેલ સમીકરણો:
$(\sin \theta) x - y + z = 0$
$x - (\cos \theta) y + z = 0$
$x + y + (\sin \theta) z = 0$
નિશ્ચાયક:
$|A| = \begin{vmatrix} \sin \theta & -1 & 1 \\ 1 & -\cos \theta & 1 \\ 1 & 1 & \sin \theta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\sin \theta (-\cos \theta \cdot \sin \theta - 1) - (-1) (\sin \theta - 1) + 1 (1 - (-\cos \theta)) = 0$
$-\sin^2 \theta \cos \theta - \sin \theta + \sin \theta - 1 + 1 + \cos \theta = 0$
$-\sin^2 \theta \cos \theta + \cos \theta = 0$
$\cos \theta (1 - \sin^2 \theta) = 0$
$\cos \theta (\cos^2 \theta) = 0$
$\cos^3 \theta = 0$
$\cos \theta = 0$
$\theta$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલો મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & a \\ 1 & a & -2 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(3a - (-2)) - 3(3 - (-6)) + a(1 - 3a) = 0$
$2(3a + 2) - 3(9) + a - 3a^2 = 0$
$6a + 4 - 27 + a - 3a^2 = 0$
$-3a^2 + 7a - 23 = 0$
$3a^2 - 7a + 23 = 0$
'$a$' ના વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ચકાસીએ:
$D = (-7)^2 - 4(3)(23) = 49 - 276 = -227$
વિવેચક $0$ કરતા નાનો હોવાથી,'$a$' નું કોઈ વાસ્તવિક મૂલ્ય શક્ય નથી.
તેથી,વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે $g(x) = x^2+x+1$. આપણે તેને $g(x) = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$,તેથી $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3}{4}$ છે.
આમ,$\sqrt{g(x)}$ નો વિસ્તાર $\left[\sqrt{\frac{3}{4}}, \infty\right) = \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$ છે.
જોકે,$\operatorname{Sin}^{-1}(u)$ નો પ્રદેશ $u \in [-1, 1]$ છે.
તેથી,આપણે $\frac{\sqrt{3}}{2} \le \sqrt{x^2+x+1} \le 1$ હોવું જોઈએ.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{3}{4} \le x^2+x+1 \le 1$ મળે છે.
વિધેય $f(u) = \operatorname{Sin}^{-1}(u)$ વધતું વિધેય હોવાથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $\left[\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \operatorname{Sin}^{-1}(1)\right]$ થાય.
જેનું સાદું રૂપ $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right]$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$. સૂત્ર $\tan^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right) = \tan^{-1} a + \tan^{-1} b$ નો ઉપયોગ કરતા,$x < 1$ માટે $f(x) = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x$ મળે છે.
$x > 1$ માટે,$\tan^{-1}$ ના વિસ્તારને કારણે સૂત્રમાં અચળાંક ઉમેરાય છે,એટલે કે $f(x) = \tan^{-1}(1) + \tan^{-1}(x) - \pi = \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x - \pi = -\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} x$.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$x < 1$ માટે,$\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x\right) = 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$.
$x > 1$ માટે,$\frac{d}{dx}\left(-\frac{3\pi}{4} + \tan^{-1} x\right) = 0 + \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,વિધાન $(A)$ પણ સાચું છે,અને $(R)$ સમજાવે છે કે શા માટે વિકલિતો સમાન છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપણે સૂત્ર $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} y = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$\operatorname{Tan}^{-1} \frac{3}{5} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{6}{41}$ ની ગણતરી કરો:
$= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{3}{5} + \frac{6}{41}}{1 - \frac{3}{5} \times \frac{6}{41}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{123+30}{205}}{\frac{205-18}{205}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{153}{187} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{9}{11} \right)$.
હવે,ત્રીજું પદ ઉમેરો: $\operatorname{Tan}^{-1} \frac{9}{11} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{9}{191}$:
$= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{9}{11} + \frac{9}{191}}{1 - \frac{9}{11} \times \frac{9}{191}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\frac{1719+99}{2101}}{\frac{2101-81}{2101}} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{1818}{2020} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{9}{10} \right)$.

(C) આપેલ છે કે $2 \operatorname{Tanh}^{-1} x = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.
ધારો કે $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \theta$,તેથી $x = \tanh \theta$.
તેથી,$2\theta = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$,જેનો અર્થ છે કે $\sinh(2\theta) = \frac{4}{3}$.
નિત્યસમ $\sinh(2\theta) = \frac{2\tanh \theta}{1-\tanh^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{2x}{1-x^2} = \frac{4}{3}$.
$6x = 4 - 4x^2 \implies 4x^2 + 6x - 4 = 0 \implies 2x^2 + 3x - 2 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $(2x-1)(x+2) = 0$. $\operatorname{Tanh}^{-1} x$ માટે $|x| < 1$ હોવાથી,આપણને $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,આપણે $\operatorname{Cosh}^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \operatorname{Cosh}^{-1}(2)$ શોધવાની જરૂર છે.
સૂત્ર $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(y + \sqrt{y^2-1})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\operatorname{Cosh}^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{2^2-1}) = \log(2 + \sqrt{3})$.

(A) ધારો કે $x = \sinh^{-1} 2$ અને $y = \cosh^{-1} \sqrt{6}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$,તેથી $x = \ln(2 + \sqrt{2^2 + 1}) = \ln(2 + \sqrt{5})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$,તેથી $y = \ln(\sqrt{6} + \sqrt{6 - 1}) = \ln(\sqrt{6} + \sqrt{5})$.
તેથી $e^{x+y} = e^x \cdot e^y = (2 + \sqrt{5})(\sqrt{6} + \sqrt{5})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $2\sqrt{6} + 2\sqrt{5} + \sqrt{30} + 5 = 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{5} + \sqrt{30}$ મળે છે.
આને $(a+(b+\sqrt{c}) \sqrt{a}+b \sqrt{c})$ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a=5, b=2, c=6$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c = 5+2+6 = 13$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{Tan}^{-1}(2x-1) + \operatorname{Tan}^{-1}(2x+1) = \operatorname{Tan}^{-1}(4x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)$.
સૂત્ર $\operatorname{Tan}^{-1} A + \operatorname{Tan}^{-1} B = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(2x-1) + (2x+1)}{1 - (2x-1)(2x+1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x - 2x}{1 + (4x)(2x)} \right)$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x}{1 - (4x^2 - 1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2x}{1 + 8x^2} \right)$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x}{2 - 4x^2} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2x}{1 + 8x^2} \right)$.
દલીલોને સરખાવતા: $\frac{4x}{2(1 - 2x^2)} = \frac{2x}{1 + 8x^2}$.
$\frac{2x}{1 - 2x^2} = \frac{2x}{1 + 8x^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $2x = 0$ અથવા $\frac{1}{1 - 2x^2} = \frac{1}{1 + 8x^2}$.
કિસ્સો $1$: $2x = 0 \implies x = 0$. કારણ કે $0 \leq 0 < \frac{3}{4}$,$x = 0$ એ એક માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $1 - 2x^2 = 1 + 8x^2 \implies 10x^2 = 0 \implies x = 0$.
આમ,એકમાત્ર ઉકેલ $x = 0$ છે. મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $\operatorname{Tan}^{-1}\left(x+\frac{\sqrt{2}}{x}\right)+\operatorname{Tan}^{-1}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}\right)=\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ છે.
$\operatorname{Tan}^{-1}(A) + \operatorname{Tan}^{-1}(B) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x+\frac{\sqrt{2}}{x} + x-\frac{\sqrt{2}}{x}}{1-(x+\frac{\sqrt{2}}{x})(x-\frac{\sqrt{2}}{x})}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$\operatorname{Tan}^{-1}$ વિધેયની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2x}{1-(x^2 - \frac{2}{x^2})} = x$.
$\frac{2x}{1-x^2 + \frac{2}{x^2}} = x$.
$x \neq 0$ ધારીને,$x$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{1-x^2 + \frac{2}{x^2}} = 1$.
$2 = 1 - x^2 + \frac{2}{x^2}$.
$x^2 - \frac{2}{x^2} + 1 = 0$.
ધારો કે $t = x^2$,તો $t - \frac{2}{t} + 1 = 0 \implies t^2 + t - 2 = 0$.
$(t+2)(t-1) = 0$.
$t = x^2$ હોવાથી,$t$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $t = 1$,જેનો અર્થ છે $x^2 = 1$,એટલે કે $x = \pm 1$.
આમ,$x$ ના $2$ મૂલ્યો મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(2x - 5) - \operatorname{Sin}^{-1}(x - 2)$ ના વિકલિત $f'(x)$ નો પ્રદેશ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આપણે વિધેયનો પ્રદેશ શોધીએ.
$\operatorname{Cos}^{-1}(2x - 5)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$-1 \le 2x - 5 \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $4 \le 2x \le 6$,એટલે કે $2 \le x \le 3$.
$\operatorname{Sin}^{-1}(x - 2)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$-1 \le x - 2 \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $1 \le x \le 3$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ $[2, 3]$ છે.
હવે,આપણે વિકલિત $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x - 5)^2}} \cdot 2 - \frac{1}{\sqrt{1 - (x - 2)^2}} \cdot 1$ મેળવીએ.
વિકલિત ત્યાં વ્યાખ્યાયિત છે જ્યાં વર્ગમૂળની અંદરની કિંમતો શૂન્ય કરતાં મોટી હોય.
$\operatorname{Cos}^{-1}(2x - 5)$ માટે,વિકલિત $2x - 5 = \pm 1$ એટલે કે $x = 2$ અને $x = 3$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી.
$\operatorname{Sin}^{-1}(x - 2)$ માટે,વિકલિત $x - 2 = \pm 1$ એટલે કે $x = 1$ અને $x = 3$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી.
આમ,વિકલિત વિવૃત અંતરાલ $(2, 3)$ માં વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,વિકલિતનો પ્રદેશ $(2, 3)$ છે.

(C) ધારો કે $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x^2}{2}}$. તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{1+x^2}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2 \theta = \frac{1+x^2}{2}$ મળે.
નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{1}{\frac{1+x^2}{2}} - 1 = \frac{2}{1+x^2} - 1 = \frac{2 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $x$ સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x^2)(-2x) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} 2x = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\operatorname{Tan}^{-1} A + \operatorname{Tan}^{-1} B = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+2x}{1-x(2x)} \right) = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{3x}{1-2x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$.
આથી $3x = 1 - 2x^2$,અથવા $2x^2 + 3x - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$.
અહીં $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} 2x = \frac{\pi}{4} > 0$ હોવાથી,$x > 0$ હોવું જોઈએ.
કિંમતો તપાસતા: $x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} > 0$ (માન્ય).
$x = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} < 0$ (અમાન્ય).
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે.

(A) વિધાન-$I$ માટે: $\operatorname{Cosh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ જ્યાં $x \ge 1$. $\operatorname{Tanh}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+x}{1-x})$ જ્યાં $|x| < 1$. પ્રદેશો અલગ હોવાથી ($x \ge 1$ અને $|x| < 1$),કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી. તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$ માટે: $\operatorname{Cosh}^{-1} x = \operatorname{Coth}^{-1} x$. $\operatorname{Coth}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$ જ્યાં $|x| > 1$. સમીકરણ $\ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$ ઉકેલતા,આપણને $x > 1$ માટે એક ઉકેલ મળે છે. તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.

(A) પગલું $1$: કારણ $(R)$ નું વિશ્લેષણ કરો. આપણે જાણીએ છીએ કે $u \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1}(u) + \cos^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે. તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.
પગલું $2$: વિધાન $(A)$ માં સંકલ્યને સરળ બનાવો. $(R)$ ના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{-1}(\log x) + \cos^{-1}(\log x) = \frac{\pi}{2}$ થાય,જો $|\log x| \le 1$ હોય,એટલે કે $x \in [1/e, e]$.
પગલું $3$: સંકલન શોધો: $\int \sqrt{x-3} \cdot \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int (x-3)^{1/2} dx$.
પગલું $4$: ઘાતનો નિયમ $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ વાપરતા,આપણને $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{(x-3)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{3}(x-3)^{3/2} + c = \frac{\pi}{3}(x-3)^{3/2} + c$ મળે છે.
પગલું $5$: પરિણામ વિધાન $(A)$ સાથે મેળ ખાતું હોવાથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{\cos^{-1} \sqrt{1-x^2}}$.
ધારો કે $x = \sin \theta$,તો $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$.
તેથી,$f(x) = \sqrt{\cos^{-1}(\cos \theta)} = \sqrt{\theta} = \sqrt{\sin^{-1} x}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)^{1/2} = \frac{1}{2}(\sin^{-1} x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin^{-1} x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ અને $\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f^{\prime}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{\pi/6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{\pi/6} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{\pi/2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$.

(A) ધારો કે $A = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{y z}}\right)$,$B = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{y(x+y+z)}{x z}}\right)$,અને $C = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\sqrt{\frac{z(x+y+z)}{x y}}\right)$.
આ પદાવલિને ઇન્વર્સ ટ્રિગોનોમેટ્રિક વિધેયોના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા,આપણને પરિણામ $\pi$ મળે છે.
કારણ $(R)$ એ એક પ્રમાણિત સૂત્ર છે જેનો ઉપયોગ આ સરવાળાને સાબિત કરવા માટે થાય છે.
તેથી,$(A)$ સાચું છે અને $(R)$ તેની સાચી સમજૂતી છે.