જો $\sqrt{5}-i \sqrt{15}=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ જ્યાં $-\pi < \theta < \pi$ હોય,તો $r^2(\sec \theta+3 \operatorname{cosec}^2 \theta)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $z$ એ એક સંકર સંખ્યા છે જે $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ નું સમાધાન કરે છે,જ્યાં $\bar{z}$ એ $z$ નો સંકર અનુબદ્ધ છે. ધારો કે $z$ નો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય નથી.
યાદી-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને યાદી-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(P)$ $|z|^2$ બરાબર છે	$(1)$ $12$
$(Q)$ $|z-\bar{z}|^2$ બરાબર છે	$(2)$ $4$
$(R)$ $|z|^2+|z+\bar{z}|^2$ બરાબર છે	$(3)$ $8$
$(S)$ $|z+1|^2$ બરાબર છે	$(4)$ $10$
	$(5)$ $7$

જો ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{3^n} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{3^n} \right)$ હોય,તો ${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \cdots {x_\infty }$ ની કિંમત શોધો.

જો સંકર સંખ્યા $z$ એવી હોય કે $(7+i)(z+\bar{z})-(4+i)(z-\bar{z})+116i=0$,તો $z\bar{z}=$

$\frac{{{{( - 1 + i\sqrt 3 )}^{15}}}}{{{{(1 - i)}^{20}}}} + \frac{{{{( - 1 - i\sqrt 3 )}^{15}}}}{{{{(1 + i)}^{20}}}} = \dots$

જ્યારે $\left|z-\frac{3}{z}\right|=2$ હોય,ત્યારે $|z|$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જ્યાં $z$ એ સંકર સંખ્યા છે.