TS EAMCET 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે,$\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2+2x+c=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો,$\alpha+\beta = -\frac{2}{1} = -2$.
બીજનો ગુણાકાર,$\alpha\beta = \frac{c}{1} = c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta)$.
આને $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta]$ તરીકે લખી શકાય.
$\alpha^3+\beta^3 = 4$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$(-2)[(-2)^2 - 3c] = 4$.
$(-2)[4-3c] = 4$.
$4-3c = -2$.
$-3c = -6$.
$c = 2$.

(D) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
આપેલ છે કે $f(0) + f(1) = 0$,તેથી $c + (a + b + c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a + b + 2c = 0$ $(i)$.
આપેલ છે કે $f(-2) = 0$,તેથી $4a - 2b + c = 0$ (ii).
$(i)$ પરથી,$b = -a - 2c$. (ii) માં મૂકતા:
$4a - 2(-a - 2c) + c = 0$ $\Rightarrow 4a + 2a + 4c + c = 0$ $\Rightarrow 6a + 5c = 0$.
ધારો કે $a = 5k$,તો $c = -6k$.
$(i)$ માં મૂકતા: $5k + b + 2(-6k) = 0$ $\Rightarrow 5k + b - 12k = 0$ $\Rightarrow b = 7k$.
આમ,$f(x) = k(5x^2 + 7x - 6) = k(5x^2 + 10x - 3x - 6) = k(5x(x + 2) - 3(x + 2)) = k(5x - 3)(x + 2)$.
બીજ $x = -2$ અને $x = \frac{3}{5}$ છે.
તેથી,$f\left(\frac{3}{5}\right) = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^2-8x+9-\frac{8}{x}+\frac{1}{x^2}=0$
પદોને ગોઠવતા: $(x^2+\frac{1}{x^2}) - 8(x+\frac{1}{x}) + 9 = 0$
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$. તેથી $t^2 = x^2+2+\frac{1}{x^2}$,એટલે કે $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(t^2-2) - 8t + 9 = 0$
$t^2 - 8t + 7 = 0$
$(t-7)(t-1) = 0$
કિસ્સો $1$: $t = 7$ $\Rightarrow x+\frac{1}{x} = 7$ $\Rightarrow x^2-7x+1 = 0$. વિવેચક $D = (-7)^2 - 4(1)(1) = 45 > 0$,તેથી બે વાસ્તવિક બીજ મળે છે. આ બીજનો ગુણાકાર $c/a = 1$ થાય.
કિસ્સો $2$: $t = 1$ $\Rightarrow x+\frac{1}{x} = 1$ $\Rightarrow x^2-x+1 = 0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.
આમ,તમામ વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $a x^2+b x+c=0$ ના બીજ છે.
$\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
ધારો કે $p x^2+q x+r=0$ ના બીજ $\gamma = \frac{1-\alpha}{\alpha} = \frac{1}{\alpha}-1$ અને $\delta = \frac{1-\beta}{\beta} = \frac{1}{\beta}-1$ છે.
તેથી $\alpha = \frac{1}{1+\gamma}$ અને $\beta = \frac{1}{1+\delta}$.
$\alpha$ એ $a x^2+b x+c=0$ નું બીજ હોવાથી,$a(\frac{1}{1+x})^2 + b(\frac{1}{1+x}) + c = 0$.
$a + b(1+x) + c(1+x)^2 = 0$.
$a + b + bx + c(1 + 2x + x^2) = 0$.
$c x^2 + (b+2c)x + (a+b+c) = 0$.
આને $p x^2+q x+r=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r = a+b+c$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $(x+iy)(1-2i)$ નો અનુબદ્ધ $(1+i)$ છે.
ધારો કે $z = (x+iy)(1-2i)$.
તેથી $\bar{z} = 1+i$.
કારણ કે $\bar{z} = (x-iy)(1+2i)$,તેથી $(x-iy)(1+2i) = 1+i$.
તેથી,$x-iy = \frac{1+i}{1+2i}$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને મળે $\overline{x-iy} = \overline{\left(\frac{1+i}{1+2i}\right)}$.
આમ,$x+iy = \frac{1-i}{1-2i}$.

(C) આપેલ પદને ધ્યાનમાં લો: $\left[\frac{\left(1+\cos \frac{\pi}{12}\right)+i \sin \frac{\pi}{12}}{\left(1+\cos \frac{\pi}{12}\right)-i \sin \frac{\pi}{12}}\right]^{72}$
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left[\frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{24} + i 2 \sin \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}}{2 \cos^2 \frac{\pi}{24} - i 2 \sin \frac{\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}}\right]^{72}$
અંશ અને છેદમાંથી $2 \cos \frac{\pi}{24}$ સામાન્ય લેતા:
$\left[\frac{2 \cos \frac{\pi}{24} (\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24})}{2 \cos \frac{\pi}{24} (\cos \frac{\pi}{24} - i \sin \frac{\pi}{24})}\right]^{72} = \left(\frac{\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24}}{\cos \frac{\pi}{24} - i \sin \frac{\pi}{24}}\right)^{72}$
ગુણધર્મ $\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}} = e^{i2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(e^{i \frac{\pi}{24}} / e^{-i \frac{\pi}{24}}\right)^{72} = (e^{i \frac{2\pi}{24}})^{72} = (e^{i \frac{\pi}{12}})^{72}$
$= e^{i \frac{72\pi}{12}} = e^{i 6\pi}$
ઓઈલરના સૂત્ર મુજબ,$e^{i 6\pi} = \cos(6\pi) + i \sin(6\pi) = 1 + i(0) = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x-1)^3+64=0$
$\Rightarrow (x-1)^3 = -64$
$\Rightarrow (x-1)^3 = (-4)^3$
ધારો કે $y = x-1$,તો $y^3 = (-4)^3$. બીજો $y = -4, -4\omega, -4\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
તેથી,$x-1 = -4, -4\omega, -4\omega^2$.
બીજો $x_1 = -3$,$x_2 = 1-4\omega$,અને $x_3 = 1-4\omega^2$ છે.
સંકર બીજો $x_2 = 1-4\omega$ અને $x_3 = 1-4\omega^2$ છે.
સંકર બીજોનો સરવાળો $= (1-4\omega) + (1-4\omega^2) = 2 - 4(\omega + \omega^2)$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.
સરવાળો $= 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
પદમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{2z+1}{iz+1} = \frac{2(x+iy)+1}{i(x+iy)+1} = \frac{(2x+1) + i(2y)}{(1-y) + ix}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$\frac{[(2x+1) + i(2y)][(1-y) - ix]}{(1-y)^2 + x^2} = \frac{(2x+1)(1-y) + 2xy + i[2y(1-y) - x(2x+1)]}{(1-y)^2 + x^2}$.
કાલ્પનિક ભાગ $-2$ આપેલ છે:
$\frac{2y - 2y^2 - 2x^2 - x}{(1-y)^2 + x^2} = -2$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2(1 - 2y + y^2 + x^2)$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-x - 2y = -2$,અથવા $x + 2y - 2 = 0$.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(C) $TRICK$ શબ્દમાં $5$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $T, R, I, C, K$.
આપણે $5$ અક્ષરનો શબ્દ બનાવવો છે જેમાં $C$ મધ્યમાં નિશ્ચિત હોય.
આથી બાકીના $4$ અક્ષરો $(T, R, I, K)$ માટે $4$ જગ્યાઓ ખાલી રહે છે.
$4$ અલગ-અલગ અક્ષરોને $4$ જગ્યાઓ પર ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,કુલ $24$ શક્ય રીતો છે.

(A) ટીમ પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $10$ માંથી $5$ ખેલાડીઓ પસંદ કરીને અને ત્યારબાદ બાકીના $5$ ખેલાડીઓમાંથી $1$ કેપ્ટન પસંદ કરીને મેળવી શકાય છે.
આ અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$({ }^{10} C_5) \times ({ }^5 C_1)$
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 5$
$= 252 \times 5 = 1260$.

(D) ગણ $S = \{2k \mid -9 \leq k \leq 10\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k$ ની કિંમત $-9$ થી $10$ સુધી હોવાથી,કુલ ઘટકોની સંખ્યા $10 - (-9) + 1 = 20$ છે.
આમ,ગણ $S$ માં કુલ $20$ ઘટકો છે.
$4$ અને $6$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યા તે $\text{lcm}(4, 6) = 12$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$S$ માં $12$ ના ગુણકો $\{-12, 0, 12\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{3}{20}$ છે.

(B) સરવાળો ધ્યાનમાં લો: $\sum_{k=1}^n k(k+2) = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k)$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$= \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{42}$ ના વિસ્તરણ માટે,સહગુણકો નીચે મુજબ છે:
$(2r+1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^{42}C_{2r}}$ છે.
$(r+1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^{42}C_r}$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણકો સમાન છે:
${^{42}C_{2r}} = {^{42}C_r}$.
ગુણધર્મ ${^nC_x} = {^nC_y}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $x = y$ $\Rightarrow 2r = r$ $\Rightarrow r = 0$.
કિસ્સો $2$: $x + y = n$ $\Rightarrow 2r + r = 42$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
અહીં $r$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $r = 14$ એ યોગ્ય ઉકેલ છે.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $p$ મું પદ $T_p = { }^n C_{p-1} x^{p-1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $p = { }^n C_{p-1}$ છે.
$(p+1)$ મું પદ $T_{p+1} = { }^n C_p x^p$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $q = { }^n C_p$ છે.
દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}} = \frac{n-p+1}{p}$ છે.
તેથી,$q = n-p+1$.
આમ,$p+q = p + n - p + 1 = n+1$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = 2017$ $(i)$.
નિત્યસમ $\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$.
તેથી,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1}{2017}$ (ii).
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2 \operatorname{cosec} \theta = 2017 + \frac{1}{2017} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{cosec} \theta > 0$.
કારણ કે $\operatorname{cosec} \theta > 0$,$\theta$ એ $I$ અથવા $II$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$2 \cot \theta = \frac{1}{2017} - 2017 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cot \theta < 0$.
કારણ કે $\cot \theta < 0$,$\theta$ એ $II$ અથવા $IV$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
બંને શરતો સંતોષાય તે માટે,$\theta$ એ $II$ ચરણમાં આવેલું છે.

(D) આપેલ છે કે,$\tan 20^{\circ}=\lambda$.
સૂત્ર $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\tan(160^{\circ}-110^{\circ}) = \tan 50^{\circ}$ બને છે.
અથવા પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\tan 160^{\circ} = \tan(180^{\circ}-20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ} = -\lambda$.
$\tan 110^{\circ} = \tan(90^{\circ}+20^{\circ}) = -\cot 20^{\circ} = -\frac{1}{\lambda}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{-\lambda - (-1/\lambda)}{1 + (-\lambda)(-1/\lambda)} = \frac{-\lambda + 1/\lambda}{1 + 1} = \frac{\frac{1-\lambda^2}{\lambda}}{2} = \frac{1-\lambda^2}{2\lambda}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta_1 = k \cot \theta_2$.
$\cot \theta_2 = \frac{1}{\tan \theta_2}$ હોવાથી,$\tan \theta_1 = \frac{k}{\tan \theta_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = k$.
હવે,પદ $\frac{\cos (\theta_1 + \theta_2)}{\cos (\theta_1 - \theta_2)}$ ધ્યાનમાં લો.
વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2}{\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2}$ મળે છે.
અંશ અને છેદને $\cos \theta_1 \cos \theta_2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1 - \tan \theta_1 \tan \theta_2}{1 + \tan \theta_1 \tan \theta_2}$ મળે છે.
$\tan \theta_1 \tan \theta_2 = k$ મૂકતા,પદ $\frac{1-k}{1+k}$ બને છે.

(D) આપેલ છે કે,$\cosh ^{-1} x = 2 \log _e(\sqrt{2}+1)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $n \log a = \log a^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh ^{-1} x = \log _e(\sqrt{2}+1)^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh ^{-1} x = \log _e(x + \sqrt{x^2-1})$.
તેથી,$\log _e(x + \sqrt{x^2-1}) = \log _e(2 + 1 + 2\sqrt{2}) = \log _e(3 + 2\sqrt{2})$.
બંને બાજુ સરખાવતા,$x + \sqrt{x^2-1} = 3 + 2\sqrt{2}$.
જો $x = 3$ લઈએ,તો $\sqrt{x^2-1} = \sqrt{9-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,$3 + 2\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}$,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,$x = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\cos 2 \theta = \sin \theta$ છે.
નિત્યસમ $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2 \theta = \sin \theta$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - \sin \theta - 1 = 0$
$2 \sin \theta (\sin \theta + 1) - 1 (\sin \theta + 1) = 0$
$(\sin \theta + 1)(2 \sin \theta - 1) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) \sin \theta = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3 \pi}{2}$
$2) \sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$
$\theta \in (0, 2 \pi)$ હોવાથી,ત્રણેય કિંમતો $\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$ માન્ય ઉકેલો છે.
આમ,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$ABCD$ એ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(4,4,-1)$,$B(5,6,-1)$,$C(6,5,1)$ અને $D(x, y, z)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,$AC$ નું મધ્યબિંદુ = $BD$ નું મધ્યબિંદુ.
$\left(\frac{4+6}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = \left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
$\left(\frac{10}{2}, \frac{9}{2}, 0\right) = \left(\frac{x+5}{2}, \frac{y+6}{2}, \frac{z-1}{2}\right)$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x+5}{2} = \frac{10}{2}$ $\Rightarrow x+5 = 10$ $\Rightarrow x = 5$
$\frac{y+6}{2} = \frac{9}{2}$ $\Rightarrow y+6 = 9$ $\Rightarrow y = 3$
$\frac{z-1}{2} = 0$ $\Rightarrow z-1 = 0$ $\Rightarrow z = 1$
આમ,શિરોબિંદુ $D(x, y, z)$ એ $(5, 3, 1)$ છે.

(C) પ્રથમ,$5x - 6y - 1 = 0$ અને $3x + 2y + 5 = 0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,$9x + 6y + 15 = 0$ મળે.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $(5x - 6y - 1) + (9x + 6y + 15) = 0$ $\Rightarrow 14x + 14 = 0$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $3x + 2y + 5 = 0$ માં મૂકતા: $3(-1) + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow -3 + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = -2$ $\Rightarrow y = -1$.
છેદબિંદુ $(-1, -1)$ છે.
$3x - 5y + 11 = 0$ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{3}{5}$ છે.
તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{5}{3}$ થાય.
$(-1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = -\frac{5}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$(y - (-1)) = -\frac{5}{3}(x - (-1))
$ $\Rightarrow 3(y + 1) = -5(x + 1)
$ $\Rightarrow 3y + 3 = -5x - 5
$ $\Rightarrow 5x + 3y + 8 = 0$.

(D) ધારો કે $X$-અંતઃખંડ $a$ છે અને $Y$-અંતઃખંડ $2a$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1$ છે.
$2a$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + y = 2a$ મળે,અથવા $2x + y - 2a = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $1$ આપેલું છે.
$(x_1, y_1)$ થી $Ax + By + C = 0$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{|2(0) + 1(0) - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$.
$1 = \frac{|-2a|}{\sqrt{5}}$.
$|2a| = \sqrt{5}$,જેનો અર્થ છે કે $2a = \pm \sqrt{5}$.
$2a$ ની કિંમત $2x + y = 2a$ માં મૂકતા,આપણને $2x + y = \pm \sqrt{5}$ મળે છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 1)$,રેખા $3x + 4y + c = 0$ અને અંતર $d = 7$ માટે:
$7 = \left| \frac{3(1) + 4(1) + c}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right|$
$7 = \left| \frac{7 + c}{5} \right|$
$|7 + c| = 35$
આથી $7 + c = 35$ અથવા $7 + c = -35$ થાય.
જો $7 + c = 35$,તો $c = 28$.
જો $7 + c = -35$,તો $c = -42$.
આમ,$c$ ની શક્ય કિંમતો $28$ અને $-42$ છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$,$A=(5,3)$,$B=(3,-2)$.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(3 - (-2)) - y(5 - 3) + 1(5(-2) - 3(3))| = 9$.
$\frac{1}{2} |5x - 2y - 19| = 9$.
$|5x - 2y - 19| = 18$.
$5x - 2y - 19 = 18$ અથવા $5x - 2y - 19 = -18$.
$5x - 2y = 37$ અથવા $5x - 2y = 1$.
આ સમીકરણો સમાન ઢાળ $m = \frac{5}{2}$ ધરાવતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે,જે સમાંતર રેખાઓ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $xy-x-y+1=0$ ને $(x-1)(y-1)=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ બે રેખાઓ $x=1$ અને $y=1$ દર્શાવે છે.
આ રેખાઓ $x+ay-3=0$ સાથે સંગામી હોવાથી,તેમનું છેદબિંદુ $(1,1)$ એ $x+ay-3=0$ નું સમાધાન કરશે.
$(1,1)$ ને $x+ay-3=0$ માં મૂકતા,$1+a(1)-3=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a=2$.
$a=2$ ને બીજી રેખાઓની જોડીમાં મૂકતા,$2x^2-13xy-7y^2+x+23y-6=0$ મળે છે.
સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ માટે,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}\right|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $A=2, 2H=-13, B=-7$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{(-13/2)^2 - (2)(-7)}}{2-7}\right| = \left|\frac{2\sqrt{169/4 + 14}}{-5}\right| = \left|\frac{2\sqrt{225/4}}{-5}\right| = \left|\frac{2(15/2)}{-5}\right| = |-3| = 3$.
$\tan \theta = 3$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણને $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4, h=4, b=10, g=-4, f=-22$ અને $c=14$ મળે છે.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ને $(h_0, k_0)$ પર ખસેડવું પડે,જ્યાં $h_0 = \frac{bg-fh}{h^2-ab}$ અને $k_0 = \frac{af-gh}{h^2-ab}$ છે.
છેદની ગણતરી: $h^2-ab = 4^2 - (4)(10) = 16 - 40 = -24$.
$h_0$ ની ગણતરી: $h_0 = \frac{(10)(-4) - (-22)(4)}{-24} = \frac{-40 + 88}{-24} = \frac{48}{-24} = -2$.
$k_0$ ની ગણતરી: $k_0 = \frac{(4)(-22) - (-4)(4)}{-24} = \frac{-88 + 16}{-24} = \frac{-72}{-24} = 3$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(-2, 3)$ પર ખસેડવું જોઈએ.

(C) આપેલ સમીકરણને $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, b=2 \lambda, h=-5, g=\frac{5}{2}, f=-8, c=-3$ મળે છે.
સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું હોવાથી,નિશ્ચાયક શરત મુજબ:
$\left|\begin{array}{ccc} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right|=0$ $\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 2 \lambda & -8 \\ 5/2 & -8 & -3 \end{array}\right|=0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(-6 \lambda-64)+5(15+20)+\frac{5}{2}(40-5 \lambda)=0$.
$-12 \lambda-128+175+100-12.5 \lambda=0$ $\Rightarrow -24.5 \lambda = -147$ $\Rightarrow \lambda=6$.
હવે,$b=2 \lambda = 12$. છેદબિંદુ $(x, y) = \left(\frac{b g-f h}{h^2-a b}, \frac{a f-g h}{h^2-a b}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
છેદ $h^2-a b = (-5)^2 - (2)(12) = 25-24=1$.
$x = \frac{(12)(5/2) - (-8)(-5)}{1} = 30-40 = -10$.
$y = \frac{(2)(-8) - (5/2)(-5)}{1} = -16 + 12.5 = -3.5 = \frac{-7}{2}$.
આમ,છેદબિંદુ $\left(-10, \frac{-7}{2}\right)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2-13=0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(2,3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = -\frac{2}{3}$ છે.
હવે,બિંદુ $\left(m, -\frac{1}{m}\right)$ એ $\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right)$ થાય છે.
આ બિંદુનું વર્તુળની સાપેક્ષમાં સ્થાન ચકાસવા માટે,આપણે તેને $S(x, y) = x^2+y^2-13$ માં મૂકીએ:
$S\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 13 = \frac{4}{9} + \frac{9}{4} - 13 = \frac{16 + 81 - 468}{36} = -\frac{371}{36}$.
અહીં $S\left(-\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) < 0$ હોવાથી,આ બિંદુ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2-6x+4y=12$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-3)^2+(y+2)^2 = 12+9+4 = 25 = 5^2$ મળે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=5$ છે.
રેખા $4x+3y+5=0$ ને સમાંતર રેખાનું સ્વરૂપ $4x+3y+k=0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી સ્પર્શક $4x+3y+k=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r=5$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{|4(3)+3(-2)+k|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5$.
$\frac{|12-6+k|}{5} = 5
\Rightarrow |6+k| = 25$.
આથી $6+k = 25$ અથવા $6+k = -25$ મળે.
તેથી,$k = 19$ અથવા $k = -31$.
સ્પર્શકોના સમીકરણો $4x+3y+19=0$ અને $4x+3y-31=0$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળના પ્રચલિત સમીકરણો $x = 12 \cos \theta$ અને $y = 12 \sin \theta$ છે.
બિંદુ $A$ માટે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{3}$:
$x_A = 12 \cos \frac{\pi}{3} = 6$
$y_A = 12 \sin \frac{\pi}{3} = 6\sqrt{3}$
તેથી,$A = (6, 6\sqrt{3})$.
બિંદુ $B$ માટે,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$:
$x_B = 12 \cos \frac{\pi}{6} = 6\sqrt{3}$
$y_B = 12 \sin \frac{\pi}{6} = 6$
તેથી,$B = (6\sqrt{3}, 6)$.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ અંતરના સૂત્ર દ્વારા:
$AB = \sqrt{(6\sqrt{3} - 6)^2 + (6 - 6\sqrt{3})^2}$
$AB = 6\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$.

(C) ધારો કે $S_1$ એ $(2, 3)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. તેનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-3)^2 = a^2$ છે,જે $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $S_2$ એ $(5, 6)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. તેનું સમીકરણ $(x-5)^2 + (y-6)^2 = a^2$ છે,જે $x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2) - (x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2) = 0$
$6x + 6y - 48 = 0 \Rightarrow x + y = 8$.
વર્તુળો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
અહીં $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = 13 - a^2$ અને $g_2 = -5, f_2 = -6, c_2 = 61 - a^2$.
$2(-2)(-5) + 2(-3)(-6) = (13 - a^2) + (61 - a^2)$
$20 + 36 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 56 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 2a^2 = 18$ $\Rightarrow a^2 = 9$ $\Rightarrow a = 3$.
$a = 3$ ને વિકલ્પોમાં મૂકતા:
$(C)$ $(3, 5) \Rightarrow 3 + 5 = 8$. જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2+y^2-4x-6y+5=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-4y-1=0$
$S_3: x^2+y^2-6x-2y=0$
રેડિકલ કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની બાદબાકી કરીને રેડિકલ અક્ષો શોધીએ છીએ:
$S_1 - S_2 = 0$ $\Rightarrow -2x-2y+6=0$ $\Rightarrow x+y-3=0$ (સમીકરણ $i$)
$S_2 - S_3 = 0 \Rightarrow 4x-2y-1=0$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$x = \frac{7}{6}$ અને $y = \frac{11}{6}$ મળે છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર $(\frac{7}{6}, \frac{11}{6})$ છે.
વિકલ્પ $D$ માં કિંમત મૂકતા: $18(\frac{7}{6}) - 12(\frac{11}{6}) + 1 = 21 - 22 + 1 = 0$.
તેથી,રેડિકલ કેન્દ્ર $18x-12y+1=0$ રેખા પર આવેલું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y^2+6y-2x=-5$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^2+6y+9 = 2x-5+9$
$(y+3)^2 = 2x+4$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા:
શિરોબિંદુ $(h, k) = (-2, -3)$. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
અહીં,$4a = 2$,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
પરવલય $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ ની નિયામિકા $x = h-a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$
$2x = -5 \Rightarrow 2x+5 = 0$.
વિધાન $II$ કહે છે કે નિયામિકા $y+3=0$ છે,જે ખોટું છે.
તેથી,$I$ સાચું છે અને $II$ ખોટું છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = x + 4K$ છે. પરવલય $y^2 = 8x$ (જ્યાં $a=2$) માટે સ્પર્શકની શરત $c = a/m$ છે.
અહીં,$c = 4K$,$a = 2$,અને $m = 1$.
તેથી,$4K = 2/1 \implies 4K = 2 \implies K = 1/2$.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $(a/m^2, 2a/m) = (2/1^2, 2(2)/1) = (2, 4)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ છે.
$x_1 = 2, y_1 = 4, a = 2$ મૂકતા: $y - 4 = -\frac{4}{2(2)}(x - 2) \implies y - 4 = -1(x - 2) \implies x + y - 6 = 0$.
બિંદુ $(K, 2K)$ એ $(1/2, 1)$ છે.
$(1/2, 1)$ થી $x + y - 6 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1/2 + 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3/2 - 6|}{\sqrt{2}} = \frac{|-9/2|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $25x^2 + 100x + 4y^2 - 4y + 100 = 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $25(x + 2)^2 + 4(y - 1/2)^2 = 1$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x + 2)^2}{(1/5)^2} + \frac{(y - 1/2)^2}{(1/2)^2} = 1$
અહીં $a^2 = 1/25$ અને $b^2 = 1/4$. $b > a$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ $(x = -2)$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.
નાભિઓ $(h, k \pm be)$ છે,જ્યાં $(h, k) = (-2, 1/2)$.
નાભિઓ $= (-2, 1/2 \pm \sqrt{21}/10) = (-2, \frac{5 \pm \sqrt{21}}{10})$.

(A) નાભિઓના યામ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
$\triangle SBS^{\prime}$ એ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$SB = S^{\prime}B$ અને $SB^2 + S^{\prime}B^2 = SS^{\prime 2}$ થાય.
$SB = \sqrt{(ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
$SS^{\prime} = 2ae$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $SB^2 + S^{\prime}B^2 = SS^{\prime 2}$.
$(a^2e^2 + b^2) + (a^2e^2 + b^2) = (2ae)^2$.
$2(a^2e^2 + b^2) = 4a^2e^2$.
$b^2 = a^2e^2$.
$b^2 = a^2(1-e^2)$ હોવાથી,$a^2(1-e^2) = a^2e^2$.
$1-e^2 = e^2$.
$2e^2 = 1$.
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
તેથી અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{9x}{x_1} + \frac{4y}{y_1} = 13$ થાય.
આપેલ રેખા $x + y = -k$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{9/x_1}{1} = \frac{4/y_1}{1} = \frac{13}{-k}$.
જેથી $x_1 = -\frac{9k}{13}$ અને $y_1 = -\frac{4k}{13}$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ અતિવલય પર હોવાથી:
$\frac{(-9k/13)^2}{9} - \frac{(-4k/13)^2}{4} = 1$.
$\frac{9k^2}{169} - \frac{4k^2}{169} = 1$.
$\frac{5k^2}{169} = 1$.
$k^2 = \frac{169}{5}$.
$k = \pm \frac{13}{\sqrt{5}}$.

(A) આપણી પાસે છે,$\lim _{y \rightarrow 1}\left(\frac{1}{y^2-1}-\frac{2}{y^4-1}\right)$
$= \lim _{y \rightarrow 1}\left(\frac{y^2+1-2}{y^4-1}\right)$
$= \lim _{y \rightarrow 1}\left(\frac{y^2-1}{(y^2-1)(y^2+1)}\right)$
$= \lim _{y \rightarrow 1} \frac{1}{y^2+1}$
$= \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2}$

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓ $(2, 4, 6, \dots, 2n)$ માટે,દરેક પદ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કરતા $2$ ગણું છે. તેથી,વિચરણ $A = 2^2 \times \frac{n^2-1}{12} = \frac{4(n^2-1)}{12} = \frac{n^2-1}{3}$ થાય.
પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓ $(1, 3, 5, \dots, 2n-1)$ માટે,આ સંખ્યાઓ પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓમાંથી $1$ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે. વિચરણ એ ઉગમબિંદુના ફેરફાર હેઠળ બદલાતું નથી,તેથી પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનું વિચરણ $B$ એ પ્રથમ $n$ બેકી સંખ્યાઓના વિચરણ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,$A = B$.

(A) આપેલ છે કે મધ્યક $(\bar{x}) = 10$ અને અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ છે.
અવલોકનોનો સરવાળો $6 + 7 + 11 + 12 + 13 + \alpha + 12 + 16 = 77 + \alpha$ થાય.
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ હોવાથી,$10 = \frac{77 + \alpha}{8}$.
$80 = 77 + \alpha \Rightarrow \alpha = 3$.
માહિતી $6, 7, 11, 12, 13, 3, 12, 16$ છે.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ છે.
$\text{MD}(\bar{x}) = \frac{|6-10| + |7-10| + |11-10| + |12-10| + |13-10| + |3-10| + |12-10| + |16-10|}{8}$.
$\text{MD}(\bar{x}) = \frac{4 + 3 + 1 + 2 + 3 + 7 + 2 + 6}{8} = \frac{28}{8} = 3.5$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = k$,$b = \sqrt{3}k$,અને $c = 2k$ છે.
અહીં $a^2 + b^2 = k^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2 = c^2$ હોવાથી,આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $c = 2k$ છે.
ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ ની સામેના ખૂણાઓ અનુક્રમે $A, B, C$ છે.
તેથી $C = 90^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતિના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A = \frac{a}{c} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2} \implies A = 30^{\circ}$.
$\sin B = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}k}{2k} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies B = 60^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ છે.
ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $30^{\circ} : 60^{\circ} : 90^{\circ} = 1 : 2 : 3$ થાય.

(A) આપેલ છે: $a=1, b=2, \angle C=60^{\circ}$.
$1$. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$
$\Delta = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \sin 60^{\circ}$
$\Delta = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\Delta^2 = \frac{3}{4}$
$4 \Delta^2 = 3$
$2$. કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બાજુ $c$ શોધો:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = 1^2 + 2^2 - 2(1)(2) \cos 60^{\circ}$
$c^2 = 1 + 4 - 4 \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 5 - 2 = 3$
$3$. $4 \Delta^2 + c^2$ ની કિંમત શોધો:
$4 \Delta^2 + c^2 = 3 + 3 = 6$.

(D) ધારો કે $a = 13$,$b = 14$,અને $c = 15$.
પ્રથમ,અર્ધ-પરિમિતિ $s$ શોધો:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.
હવે,હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta}$ શોધો:
$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s}$ શોધો:
$r = \frac{84}{21} = 4$.
છેલ્લે,$8R + r$ ની કિંમત શોધો:
$8R + r = 8 \times \left(\frac{65}{8}\right) + 4 = 65 + 4 = 69$.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2+5}{(x^2+1)(x-2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$.
બંને બાજુ $(x^2+1)(x-2)$ વડે ગુણતા: $x^2+5 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+5 = Ax^2 + A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$.
$x$ ના ઘાતાંક મુજબ પદોને ગોઠવતા: $x^2+5 = (A+B)x^2 + (C-2B)x + (A-2C)$.
બંને બાજુ સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A+B = 1$
$2$) $C-2B = 0 \Rightarrow C = 2B$
$3$) $A-2C = 5$
સમીકરણ $(3)$ માં $C=2B$ મૂકતા: $A - 2(2B) = 5 \Rightarrow A - 4B = 5$.
હવે સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલતા:
$A+B = 1$
$A-4B = 5$
પ્રથમમાંથી બીજું બાદ કરતા: $5B = -4 \Rightarrow B = -\frac{4}{5}$.
તેથી $A = 1 - B = 1 - (-4/5) = 9/5$.
અને $C = 2B = 2(-4/5) = -8/5$.
અંતે,$A+B+C = \frac{9}{5} - \frac{4}{5} - \frac{8}{5} = \frac{9-4-8}{5} = -\frac{3}{5}$.

(D) આપેલ છે કે,$P(A)=0.6$,$P(B)=0.4$ અને $P(A \cap B)=0$.
આપણે $A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P(A \cup B) = 0.6 + 0.4 - 0 = 1.0$.
તેથી,$P(\overline{A \cup B}) = 1 - 1.0 = 0$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 5 + 3 + 4 = 12$.
$12$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{12}C_3 = 220$ છે.
એક જ રંગના $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો:
- $3$ લાલ દડા: ${}^{5}C_3 = 10$
- $3$ કાળા દડા: ${}^{3}C_3 = 1$
- $3$ સફેદ દડા: ${}^{4}C_3 = 4$
એક જ રંગના દડા હોવાની કુલ રીતો $= 10 + 1 + 4 = 15$.
એક જ રંગના દડા હોવાની સંભાવના $= \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$.
એક જ રંગના ન હોય તેની સંભાવના $= 1 - \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$.

(D) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 4$,અને $|\bar{a}+\bar{b}| = 5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
કિંમતો મૂકતા: $5^2 = 3^2 + 4^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
$25 = 9 + 16 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies 25 = 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) \implies \bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકબીજાને લંબ છે.
હવે,આપણે $|\bar{a}-\bar{b}|$ શોધવાનું છે.
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})$.
$|\bar{a}-\bar{b}|^2 = 3^2 + 4^2 - 2(0) = 9 + 16 = 25$.
તેથી,$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(C) આપેલ વક્રો $x=y^2-2$ અને $x=y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $x=y$ ને $x=y^2-2$ માં મૂકીએ:
$y = y^2 - 2$
$y^2 - y - 2 = 0$
$(y-2)(y+1) = 0$
તેથી,$y=2$ અને $y=-1$ મળે છે.
જ્યારે $y=2$ હોય ત્યારે $x=2$ અને જ્યારે $y=-1$ હોય ત્યારે $x=-1$ મળે છે.
છેદબિંદુઓ $(-1, -1)$ અને $(2, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y=-1$ થી $y=2$ સુધી જમણી બાજુના વક્રમાંથી ડાબી બાજુના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-1}^{2} (y - (y^2 - 2)) \, dy$
$A = \int_{-1}^{2} (y - y^2 + 2) \, dy$
$A = \left[ \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} + 2y \right]_{-1}^{2}$
$A = \left( \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} + 2(-1) \right)$
$A = \left( 2 - \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2 \right)$
$A = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3+2-12}{6} \right)$
$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને સંમિત શ્રેણિક $B$ અને વિસંમિત શ્રેણિક $C$ ના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $B = \frac{1}{2}(A + A^T)$ અને $C = \frac{1}{2}(A - A^T)$ છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix}$.
તેથી $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,$C = \frac{1}{2}(A - A^T) = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right)$.
$C = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 \\ 0 & -0.5 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} x & x & x \\ x & x^2 & x \\ x & x & x+1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $1$ હોવા માટે,$2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
પ્રથમ બે હાર અને પ્રથમ બે સ્તંભ દ્વારા બનતો નિશ્ચાયક લો: $\begin{vmatrix} x & x \\ x & x^2 \end{vmatrix} = x^3 - x^2 = x^2(x-1)$.
આ શૂન્ય થવા માટે,$x=0$ અથવા $x=1$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: જો $x=1$ હોય,તો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. અહીં નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2-1 = 1 \neq 0$ થાય છે. તેથી,નિશ્ચાયક ઓછામાં ઓછો $2$ છે. એટલે $x=1$ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x=0$ હોય,તો $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. $2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકો શૂન્ય છે અને ઓછામાં ઓછો એક ઘટક શૂન્યતર છે ($A_{33}$ પર $1$). તેથી,નિશ્ચાયક $1$ છે.
આમ,માત્ર $x=0$ શક્ય છે.

(B) આપેલ છે,$\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$.
આ એક અપર ટ્રાયન્ગ્યુલર મેટ્રિક્સ હોવાથી,નિશ્ચાયક એ વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર છે:
$\Delta = 1 \times 1 \times 1 = 1$.
હવે,$\Delta^{\prime} = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 3 \\ 4 & 6 & 100\end{array}\right|$.
બીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta^{\prime} = -0(300-12) + 0(100-4) - 6(3-3) = 0$.
હવે,$(\Delta+\Delta^{\prime})^2-3(\Delta+\Delta^{\prime})+2$ માં $\Delta = 1$ અને $\Delta^{\prime} = 0$ મુકતા:
$= (1+0)^2 - 3(1+0) + 2$
$= 1^2 - 3 + 2$
$= 1 - 3 + 2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $y = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
નોંધો કે $x^2 + y^2 = \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = \frac{9+8}{12} = \frac{17}{12} > 1$.
જ્યારે $x, y > 0$ અને $x^2 + y^2 > 1$ હોય,ત્યારે આપણે નિત્યસમ $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - \sin^{-1} (x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}} = \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{1 - \frac{3}{4}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{1}{4}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot 2} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \right)$
$= \pi - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \right)$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = -3x - 3$ છે.
પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ને વિસ્તારના દરેક ઘટક સાથે સરખાવીએ:
$(i)$ $f(x) = 3$ માટે: $3 = -3x - 3$ $\Rightarrow 6 = -3x$ $\Rightarrow x = -2$.
(ii) $f(x) = -6$ માટે: $-6 = -3x - 3$ $\Rightarrow -3 = -3x$ $\Rightarrow x = 1$.
(iii) $f(x) = -9$ માટે: $-9 = -3x - 3$ $\Rightarrow -6 = -3x$ $\Rightarrow x = 2$.
(iv) $f(x) = -18$ માટે: $-18 = -3x - 3$ $\Rightarrow -15 = -3x$ $\Rightarrow x = 5$.
આમ,$f$ નો પ્રદેશ $\{-2, 1, 2, 5\}$ છે.
આથી,$-1$ એ $f$ ના પ્રદેશમાં નથી.

(A) અહીં વિધેય $f: (-\infty, 0] \rightarrow [0, \infty)$ એ $f(x) = x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર દરેક રેખા આ વક્રને વધુમાં વધુ એક બિંદુમાં છેદે છે,તેથી વિધેય $f$ એક-એક (one-one) છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $f$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,જે તેના સહપ્રદેશ જેટલો જ છે.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત (onto) વિધેય છે.
આમ,$f$ એ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી તેનું વ્યસ્ત વિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}$ એ $f$ ના સહપ્રદેશને $f$ ના પ્રદેશ પર મેપ કરે છે.
તેથી,$f^{-1}: [0, \infty) \rightarrow (-\infty, 0]$.
આમ,$f^{-1}$ નો પ્રદેશ $[0, \infty)$ છે અને $f^{-1}$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 0]$ છે.

(D) $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર સતત હોવા માટે,તે $x=0, x=1,$ અને $x=2$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$x=0$ આગળ: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies \sin(0) = 0^2 + a^2 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$.
$x=1$ આગળ: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + a^2 = b(1) + 2 \implies 1 + 0 = b + 2 \implies b = -1$.
$x=2$ આગળ: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \implies b(2) + 2 = 0 \implies 2(-1) + 2 = 0$,જે સુસંગત છે.
આમ,$a = 0$ અને $b = -1$.
તેથી,$a+b+ab = 0 + (-1) + (0)(-1) = -1$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{y} \right)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y(1) - x(\frac{dy}{dx})}{y^2} \right)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$ મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y - x(-\frac{b^2 x}{a^2 y})}{y^2} \right)$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y + \frac{b^2 x^2}{a^2 y}}{y^2} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 y^2 + b^2 x^2}{a^2 y^3} \right)$
ચૂકી $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,તેથી $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 b^2}{a^2 y^3} \right) = -\frac{b^4}{a^2 y^3}$.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) f(y)$ છે.
વિકલિતની વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
આપેલ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$f(x+h) = f(x)f(h)$.
તેથી,$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
$f(0+0) = f(0)f(0)$ હોવાથી,$f(0) = f(0)^2$,તેથી $f(0)=1$ (ધારો કે $f(x) \neq 0$).
આમ,$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = 11$.
તેથી,$f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 11$.
$x=3$ માટે,$f^{\prime}(3) = f(3) \cdot 11 = 3 \cdot 11 = 33$.

(D) આપેલ છે કે $g(x) = (f(2f(x)+2))^2$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષે $g(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot \frac{d}{dx}(f(2f(x)+2))$
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot \frac{d}{dx}(2f(x)+2)$
$g^{\prime}(x) = 2(f(2f(x)+2)) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot 2f^{\prime}(x)$
$g^{\prime}(x) = 4 \cdot f(2f(x)+2) \cdot f^{\prime}(2f(x)+2) \cdot f^{\prime}(x)$.
હવે,$x=0$ મૂકતા:
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(2f(0)+2) \cdot f^{\prime}(2f(0)+2) \cdot f^{\prime}(0)$.
આપેલ છે કે $f(0)=-1$ અને $f^{\prime}(0)=1$:
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(2(-1)+2) \cdot f^{\prime}(2(-1)+2) \cdot (1)$
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot f(0) \cdot f^{\prime}(0) \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 4 \cdot (-1) \cdot (1) \cdot 1 = -4$.

(B) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $x^2=8y$ $(i)$ અને $xy=8$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(i)$ માંથી $y = \frac{x^2}{8}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x\left(\frac{x^2}{8}\right) = 8 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4$.
$x=4$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $4y=8 \Rightarrow y=2$ મળે છે.
તેથી,છેદબિંદુ $(4, 2)$ છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x^2=8y \Rightarrow 2x = 8 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$.
બિંદુ $(4, 2)$ પર,ઢાળ $m_1 = \frac{4}{4} = 1$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$xy=8 \Rightarrow x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
બિંદુ $(4, 2)$ પર,ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(3)$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $(\frac{x}{a})^n+(\frac{y}{b})^n=2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.

(A) વક્ર $y=ax^3+bx+4$ એ બિંદુ $(2, 14)$ માંથી પસાર થાય છે. આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$14 = a(2)^3 + b(2) + 4$
$14 = 8a + 2b + 4$
$10 = 8a + 2b$
$5 = 4a + b$ --- $(i)$
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + b$
બિંદુ $(2, 14)$ આગળ ઢાળ $21$ છે:
$21 = 3a(2)^2 + b$
$21 = 12a + b$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(12a + b) - (4a + b) = 21 - 5$
$8a = 16$
$a = 2$
$a = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5 = 4(2) + b$
$5 = 8 + b$
$b = -3$
આમ,$a = 2$ અને $b = -3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$y=x^3-3 x^2+5$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x$ મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કે સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત માટે,આપણે $\frac{dy}{dx} = 0$ લઈએ છીએ.
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0$ અથવા $x = 2$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 6$ મળે છે.
$x = 0$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(0) - 6 = -6 < 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલિત $x = 0$ આગળ ઋણ છે,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = 2$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(2) - 6 = 6 > 0$.
કારણ કે દ્વિતીય વિકલિત $x = 2$ આગળ ધન છે,તેથી $x = 2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
તેથી,સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $x = 0$ આગળ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int f(x) \cos x \, dx = \frac{1}{2} [f(x)]^2 + C$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x) \cos x = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} [f(x)]^2 + C \right)$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) \cos x = \frac{1}{2} \cdot 2 f(x) \cdot f'(x)$.
પદને સરળ બનાવતા:
$f(x) \cos x = f(x) \cdot f'(x)$.
$f(x) \neq 0$ માટે,$f'(x) = \cos x$ મળે.
$x = 0$ મૂકતા:
$f'(0) = \cos(0) = 1$.

(A) ધારો કે $I = \int x^4 e^{2 x} d x$.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$\int u v d x = u \int v d x - \int (u' \int v d x) d x$.
$u = x^4$ અને $v = e^{2 x}$ લેતા:
$I = x^4 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 4 x^3 \frac{e^{2 x}}{2} d x = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - 2 \int x^3 e^{2 x} d x$.
ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3 x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x = \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int x^2 e^{2 x} d x$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા:
$\int x^2 e^{2 x} d x = \frac{x^2 e^{2 x}}{2} - \int x e^{2 x} d x = \frac{x^2 e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})$.
$I$ ના પદમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - 2 [\frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^2 e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4})] + C$.
$I = \frac{x^4 e^{2 x}}{2} - x^3 e^{2 x} + \frac{3}{2} x^2 e^{2 x} - \frac{3}{2} x e^{2 x} + \frac{3}{4} e^{2 x} + C$.
$I = \frac{e^{2 x}}{4} (2 x^4 - 4 x^3 + 6 x^2 - 6 x + 3) + C$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$.
ધારો કે $I = \int (e^{2x} f(x) + e^{2x} f^{\prime}(x)) dx$.
આને બે સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $I = \int e^{2x} f(x) dx + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
પ્રથમ સંકલન $\int e^{2x} f(x) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા ($f(x)$ ને પ્રથમ વિધેય અને $e^{2x}$ ને બીજું વિધેય લેતા):
$\int e^{2x} f(x) dx = f(x) \int e^{2x} dx - \int (f^{\prime}(x) \int e^{2x} dx) dx = \frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = [\frac{1}{2} f(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx] + \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} \int e^{2x} f^{\prime}(x) dx$.
કારણ કે $\int e^{2x} f^{\prime}(x) dx = g(x)$,તેથી:
$I = \frac{1}{2} e^{2x} f(x) + \frac{1}{2} g(x) + C = \frac{1}{2} [e^{2x} f(x) + g(x)] + C$.

(B) $\int \frac{d x}{x\left(x^4+1\right)} = \int \frac{x^3 d x}{x^4\left(x^4+1\right)}$
ધારો કે $x^4 = t$,તેથી $4x^3 dx = dt$,એટલે કે $x^3 dx = \frac{dt}{4}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{dt/4}{t(t+1)} = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t(t+1)}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$
તેથી:
$\frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} \right) dt = \frac{1}{4} (\log |t| - \log |t+1|) + C$
$= \frac{1}{4} \log \left| \frac{t}{t+1} \right| + C$
$t = x^4$ પાછા મૂકતા:
$= \frac{1}{4} \log \left( \frac{x^4}{x^4+1} \right) + C$

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2(\pi - x) + 9 \sin^2(\pi - x)} = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x}$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \, dx}{4 \cos^2 x + 9 \sin^2 x} = \pi \int_0^\pi \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 \tan^2 x}$.
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $f(2a-x) = f(x)$):
$2I = 2\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 \tan^2 x} \Rightarrow I = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x \, dx}{4 + 9 \tan^2 x}$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec^2 x \, dx$. સીમાઓ $[0, \pi/2]$ થી બદલાઈને $[0, \infty]$ થશે.
$I = \pi \int_0^\infty \frac{dt}{4 + 9t^2} = \frac{\pi}{9} \int_0^\infty \frac{dt}{(2/3)^2 + t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{\pi}{9} \cdot \frac{3}{2} \left[ \tan^{-1}(\frac{3t}{2}) \right]_0^\infty = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{12}$.

(I-D, II-A, III-E, IV-C) સાચી જોડ નીચે મુજબ છે:
$I. \int_{-1}^1 x|x| dx = 0$ (કારણ કે $f(x) = x|x|$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,એટલે કે $f(-x) = -x|-x| = -x|x| = -f(x)$). તેથી,$I \rightarrow (d)$.
$II. \text{ધારો કે } I = \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \frac{4+3\cos x}{4+3\sin x}\right) dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\pi/2} \left(2 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x} \cdot \frac{4+3\cos x}{4+3\sin x}\right)\right) dx = \int_0^{\pi/2} (2 + \log 1) dx = \int_0^{\pi/2} 2 dx = \pi$.
તેથી,$I = \frac{\pi}{2}$. તેથી,$II \rightarrow (a)$.
$III. \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ એ નિશ્ચિત સંકલનનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે. તેથી,$III \rightarrow (e)$.
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$. પ્રથમ સંકલનમાં $x = -t$ લેતા,$dx = -dt$.
$\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$.
તેથી,$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx = \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$. તેથી,$IV \rightarrow (c)$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિનું આપેલ સમીકરણ: $x = A \cos (nt + \alpha)$ ... $(i)$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = -A n \sin (nt + \alpha)$ ... (ii)
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An \frac{d}{dt} \sin (nt + \alpha)$
$\frac{d^2x}{dt^2} = -An^2 \cos (nt + \alpha)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $x = A \cos (nt + \alpha)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -n^2 x$
તેથી,વિકલ સમીકરણ:
$\frac{d^2x}{dt^2} + n^2 x = 0$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x-y}$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x - vx} = \frac{1+v}{1-v}$.
$x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v - v + v^2}{1-v} = \frac{1+v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dx}{x}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \log(1+v^2) = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right) + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}\right) + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} [\log(x^2+y^2) - \log(x^2)] + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log|x| + \frac{1}{2} \log(x^2+y^2) - \log|x| + C$.
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \log\sqrt{x^2+y^2} + C$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y-3 x^2) d x+x d y=0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y d x-3 x^2 d x+x d y=0$.
$y d x$ અને $x d y$ પદોને સાથે લેતા: $y d x+x d y=3 x^2 d x$.
વિકલનના ગુણાકારના નિયમ મુજબ,$d(x y) = y d x + x d y$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $d(x y) = 3 x^2 d x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int d(x y) = \int 3 x^2 d x$.
આથી આપણને મળે છે: $x y = x^3 + C$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને),આપણને ઉકેલ મળે છે: $y = x^2 + \frac{C}{x}$.

(A) આપેલ છે કે $|a|=1$ અને $|b|=1$,અને $\alpha$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \alpha = (1)(1) \cos \alpha = \cos \alpha$.
કારણ કે $a+b$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|a+b|=1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$(a+b) \cdot (a+b) = 1$.
$a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = 1$.
કારણ કે $a \cdot a = |a|^2 = 1$ અને $b \cdot b = |b|^2 = 1$,અને $a \cdot b = b \cdot a = \cos \alpha$,તેથી આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$1 + \cos \alpha + \cos \alpha + 1 = 1$.
$2 + 2 \cos \alpha = 1$.
$2 \cos \alpha = 1 - 2$.
$2 \cos \alpha = -1$.
$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a|=|b|=|c|=1$.
આપેલ છે કે $a+b+c=0$.
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
$a+b+c=0$ નો $a$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$a \times (a+b+c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
કારણ કે $a \times a = 0$,તેથી આપણને મળે $a \times b = c \times a$.
માન લેતા,$|a \times b| = |c \times a|$.
તે જ રીતે,$b$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા,આપણને મળે $|a \times b| = |b \times c|$.
આમ,$|a \times b| = |b \times c| = |c \times a|$.
તેથી,$|a \times b| + |b \times c| + |c \times a| = 3|a \times b|$.
સૂત્ર $|a \times b| = |a||b| \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{3}$:
$|a \times b| = 1 \times 1 \times \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$3|a \times b| = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
આપણે પદાવલિ $E = (a \times \hat{i}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) + (a \times \hat{j}) \cdot (\hat{j} + \hat{k}) + (a \times \hat{k}) \cdot (\hat{k} + \hat{i})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[a, b, c] = (a \times b) \cdot c$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$E = [a, \hat{i}, \hat{i}] + [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
કારણ કે જો કોઈપણ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી $[a, \hat{i}, \hat{i}] = [a, \hat{j}, \hat{j}] = [a, \hat{k}, \hat{k}] = 0$.
આમ,$E = [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
ચક્રીય ગુણધર્મ $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = a \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + a \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) + a \cdot (\hat{k} \times \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,તેથી:
$E = a \cdot \hat{k} + a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = x + y + z$.

(A) આપેલ છે કે,$a=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ અને $b=\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$.
કારણ કે $c$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલને લંબ છે,તેથી $c$ એ $a \times b$ ને સમાંતર છે.
પ્રથમ,$a \times b$ ની ગણતરી કરીએ:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-9)) - \hat{j}(4 - (-3)) + \hat{k}(6 - 1) = 11 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k}$.
તેનું માન $|a \times b| = \sqrt{11^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{121 + 49 + 25} = \sqrt{195}$.
કારણ કે $c$ એ $a \times b$ ને સમાંતર છે અને $|c|=2$,તેથી $c = \pm 2 \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{2}{\sqrt{195}} (11 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k})$.
સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[a, b, c]| = |(a \times b) \cdot c|$ દ્વારા મળે છે.
$|[a, b, c]| = |(a \times b) \cdot (\pm 2 \frac{a \times b}{|a \times b|})| = |\pm 2 \frac{|a \times b|^2}{|a \times b|}| = 2 |a \times b|$.
$|a \times b| = \sqrt{195}$ મૂકતા,ઘનફળ $2 \sqrt{195}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$. $a$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$|a|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$.
હવે,$a \times \hat{i} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j}$.
તેથી,$|a \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$.
તે જ રીતે,$|a \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ અને $|a \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$|a \times \hat{i}|^2 + |a \times \hat{j}|^2 + |a \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ હોવાથી,સરવાળો $2(1) = 2$ થાય છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતા અને આપેલ સમતલ $ax + by + cz = d$ ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ એ બે બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને આપેલ સમતલના અભિલંબ સદિશનો સદિશ ગુણાકાર છે.
ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -1, 6)$ અને $B(0, 0, 7)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (0-1, 0-(-1), 7-6) = (-1, 1, 1)$.
સમતલ $x - 2y + z = 6$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, -2, 1)$ છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+2) - \hat{j}(-1-1) + \hat{k}(2-1) = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$.
$(0, 0, 7)$ માંથી પસાર થતા અને $(3, 2, 1)$ અભિલંબ સદિશ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $3(x-0) + 2(y-0) + 1(z-7) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 2y + z = 7$ થાય છે.
હવે,$3x + 2y + z = 7$ સમીકરણમાં વિકલ્પોના યામ મૂકીને ચકાસો:
$(1, 1, 2)$ માટે: $3(1) + 2(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ છે.
સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(C) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x) = a + a + a + b + b + 0.3 = 1$
$3a + 2b + 0.3 = 1$
$3a + 2b = 0.7$ --- $(i)$
યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 4.2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$1(a) + 2(a) + 3(a) + 4(b) + 5(b) + 6(0.3) = 4.2$
$a + 2a + 3a + 4b + 5b + 1.8 = 4.2$
$6a + 9b = 4.2 - 1.8$
$6a + 9b = 2.4$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2a + 3b = 0.8$ --- $(ii)$
હવે,સુરેખ સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ની સિસ્ટમને ઉકેલો:
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9a + 6b = 2.1$ --- $(iii)$
$4a + 6b = 1.6$ --- $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$5a = 0.5 \Rightarrow a = 0.1$
$a = 0.1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(0.1) + 2b = 0.7$
$0.3 + 2b = 0.7$
$2b = 0.4 \Rightarrow b = 0.2$
આમ,$a = 0.1$ અને $b = 0.2$ થાય.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું વિચરણ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
સૌ પ્રથમ,આપણે મધ્યક $E(X) = \sum P_i X_i$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E(X) = (0 \times 0.1) + (1 \times 0.4) + (2 \times 0.3) + (3 \times 0.2) + (4 \times 0) = 0 + 0.4 + 0.6 + 0.6 + 0 = 1.6$.
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2) = \sum P_i X_i^2$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E(X^2) = (0^2 \times 0.1) + (1^2 \times 0.4) + (2^2 \times 0.3) + (3^2 \times 0.2) + (4^2 \times 0) = 0 + 0.4 + 1.2 + 1.8 + 0 = 3.4$.
હવે,વિચરણની ગણતરી કરીએ:
$\text{Var}(X) = 3.4 - (1.6)^2 = 3.4 - 2.56 = 0.84$.