TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \lambda x+4 y+2=0$,$L_2: 3 x+4 y-3=0$,$L_3: 2 x+\mu y+6=0$,$L_4: 2 x+y+3=0$ છે.
$L_1 \parallel L_2$ હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય: $-\frac{\lambda}{4} = -\frac{3}{4} \Rightarrow \lambda = 3$.
$L_3 \parallel L_4$ હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય: $-\frac{2}{\mu} = -\frac{2}{1} \Rightarrow \mu = 1$.
$a_1 x+b_1 y+c_1=0$,$a_1 x+b_1 y+c_2=0$,$a_2 x+b_2 y+d_1=0$ અને $a_2 x+b_2 y+d_2=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{|(c_1-c_2)(d_1-d_2)|}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$L_1: 3x+4y+2=0$,$L_2: 3x+4y-3=0$,$L_3: 2x+y+6=0$,$L_4: 2x+y+3=0$.
$c_1=2, c_2=-3, d_1=6, d_2=3$.
$a_1=3, b_1=4, a_2=2, b_2=1$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{|(2 - (-3))(6 - 3)|}{|(3)(1) - (2)(4)|} = \frac{|5 \times 3|}{|3 - 8|} = \frac{15}{|-5|} = \frac{15}{5} = 3$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ધારો કે $Q = (h, k)$. બિંદુ $P(2, 3)$ નું રેખા $x-y+2=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $\frac{h-2}{1} = \frac{k-3}{-1} = -2 \frac{2-3+2}{1^2+(-1)^2} = -1$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$h=1$ અને $k=4$. એટલે કે $Q = (1, 4)$.
ધારો કે $R = (x_1, y_1)$. બિંદુ $P(2, 3)$ નું રેખા $2x+y-2=0$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $\frac{x_1-2}{2} = \frac{y_1-3}{1} = -2 \frac{2(2)+3-2}{2^2+1^2} = -2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$x_1=-2$ અને $y_1=1$. એટલે કે $R = (-2, 1)$.
હવે,રેખા $x+y+2=0$ ની સાપેક્ષમાં $Q(1, 4)$ અને $R(-2, 1)$ નું સ્થાન તપાસીએ:
$Q(1, 4)$ માટે,$1+4+2 = 7 > 0$.
$R(-2, 1)$ માટે,$-2+1+2 = 1 > 0$.
બંને કિંમતો ધન હોવાથી,$Q$ અને $R$ રેખા $x+y+2=0$ ની એક જ બાજુએ આવેલા છે.

(D) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(4,3)$ અને $C(1,-2)$ વિકર્ણના અંત્યબિંદુઓ છે. ચોરસના વિકર્ણ અને કોઈપણ બાજુ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોય છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - (-2)}{4 - 1} = \frac{5}{3}$.
ધારો કે બાજુનો ઢાળ $m$ છે. તો,$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - 5/3}{1 + m(5/3)} \right|$.
$1 = \left| \frac{3m - 5}{3 + 5m} \right|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{3m - 5}{3 + 5m} = 1$ $\Rightarrow 3m - 5 = 3 + 5m$ $\Rightarrow 2m = -8$ $\Rightarrow m = -4$.
$(1,-2)$ માંથી પસાર થતી અને $-4$ ઢાળ ધરાવતી બાજુનું સમીકરણ $y - (-2) = -4(x - 1)$ $\Rightarrow y + 2 = -4x + 4$ $\Rightarrow 4x + y - 2 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{3m - 5}{3 + 5m} = -1$ $\Rightarrow 3m - 5 = -3 - 5m$ $\Rightarrow 8m = 2$ $\Rightarrow m = \frac{1}{4}$.
$(1,-2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{1}{4}$ ઢાળ ધરાવતી બાજુનું સમીકરણ $y - (-2) = \frac{1}{4}(x - 1)$ $\Rightarrow 4y + 8 = x - 1$ $\Rightarrow x - 4y - 9 = 0$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x - 4y - 9 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખા $x+y-2=0$ છે.
$X$-અંતઃખંડ '$a$' શોધવા માટે,$y=0$ લો: $x+0-2=0 \Rightarrow x=2$. આમ,$a=2$.
રેખાને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \beta + y \sin \beta = p$ છે.
$x+y=2$ ને $x \cos \beta + y \sin \beta = p$ સાથે સરખાવતા,આપણે $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
અહીં,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\beta = 45^{\circ}$.
લંબ અંતર $p = \sqrt{2}$.
હવે,$a \tan \beta + p^2$ ની ગણતરી કરો:
$a \tan \beta + p^2 = 2 \tan(45^{\circ}) + (\sqrt{2})^2 = 2(1) + 2 = 4$.

(B) પગલું $1$: $2x^2 - 3xy + 4y^2 + 5y - 6 = 0$ માંથી પ્રથમ-ઘાત વાળા પદો દૂર કરવા માટે ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડો. $x = X + h$ અને $y = Y + k$ લેતા. સમીકરણમાં મૂકતા,$X$ અને $Y$ ના સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ.
$4h - 3k = 0$ અને $-3h + 8k + 5 = 0$.
ઉકેલતા,$h = -\frac{15}{23}$ અને $k = -\frac{20}{23}$ મળે છે.
તેથી બિંદુ $(a, b) = (-\frac{15}{23}, -\frac{20}{23})$ છે.
પગલું $2$: $a = -\frac{15}{23}$ અને $b = -\frac{20}{23}$ ને $ax^2 + 23abxy + by^2 = 0$ માં મૂકતા.
$-\frac{15}{23}x^2 + 23(-\frac{15}{23})(-\frac{20}{23})xy - \frac{20}{23}y^2 = 0$.
$-23$ વડે ગુણતા,$15x^2 - 300xy + 20y^2 = 0$,એટલે કે $3x^2 - 60xy + 4y^2 = 0$ મળે છે.
પગલું $3$: અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવીને $xy$-પદ દૂર કરવા માટે,સૂત્ર $\tan 2\theta = \frac{B}{A - C}$ છે,જ્યાં સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ છે.
અહીં $A = 3, B = -60, C = 4$.
$\tan 2\theta = \frac{-60}{3 - 4} = \frac{-60}{-1} = 60$.

(B) રેખાઓ $x-3y+3=0$ અને $2x+y-8=0$ નું છેદબિંદુ $(a, b)$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x=3, y=2$,તેથી $(a, b) = (3, 2)$.
બિંદુ $(3, 2)$ એ $kx+y+k=0$ પર હોવાથી,$3k+2+k=0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
રેખા $L$ એ $3x-2y-1=0$ છે.
ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $p = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
બિંદુ $(2, 3)$ થી $3x-2y-1=0$ નું લંબ અંતર $\frac{|3(2)-2(3)-1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = p$ થાય.

(B) રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $ax^2+4xy+2y^2=0$ છે. તેને $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,$A=a$,$H=2$,અને $B=2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B} \right|$ છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$.
$1 = \left| \frac{2\sqrt{4-2a}}{a+2} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \frac{4(4-2a)}{(a+2)^2}$.
$(a+2)^2 = 16-8a \Rightarrow a^2+4a+4 = 16-8a$.
$a^2+12a-12 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{-12 \pm \sqrt{144+48}}{2} = -6 \pm 4\sqrt{3}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(h, k)$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$P$ નું $(1, 1)$ થી અંતર અને રેખા $x-y+2=0$ થી અંતરનો ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.
$\frac{\sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2}}{\frac{|h-k+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2} \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2}}{|h-k+2|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{2((h-1)^2+(k-1)^2)}{(h-k+2)^2} = \frac{1}{2}$
$4(h^2-2h+1+k^2-2k+1) = (h-k+2)^2$
$4(h^2+k^2-2h-2k+2) = h^2+k^2+4-2hk+4h-4k$
$4h^2+4k^2-8h-8k+8 = h^2+k^2-2hk+4h-4k+4$
$3h^2+3k^2+2hk-12h-4k+4 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $3x^2+3y^2+2xy-12x-4y+4=0$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P(x, y)$ થી $(4, 3)$ સુધીનું અંતર એ $P(x, y)$ થી રેખા $x + 2y - 1 = 0$ ના લંબ અંતર જેટલું છે.
અંતરના સૂત્ર અને લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 3)^2} = \frac{|x + 2y - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
$5(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 40x + 80 + 5y^2 - 30y + 45 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 + y^2 - 4xy - 38x - 26y + 124 = 0$

(D) ચોરસનું કેન્દ્ર $x+2y-3=0$ અને $2x-y-1=0$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,આપણને $(1,1)$ મળે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $16$ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{16} = 4$ છે.
કેન્દ્ર $(1,1)$ થી દરેક બાજુનું અંતર $d = s/2 = 2$ છે.
બાજુઓ આપેલી રેખાઓ $x+2y-3=0$ અને $2x-y-1=0$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે બાજુઓના સમીકરણો $x+2y+C_1=0$ અને $2x-y+C_2=0$ છે.
$(1,1)$ થી $x+2y+C_1=0$ નું અંતર $\frac{|1+2(1)+C_1|}{\sqrt{1^2+2^2}} = 2$ $\Rightarrow |3+C_1| = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow C_1 = -3 \pm 2\sqrt{5}$.
$(1,1)$ થી $2x-y+C_2=0$ નું અંતર $\frac{|2(1)-1+C_2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 2$ $\Rightarrow |1+C_2| = 2\sqrt{5}$ $\Rightarrow C_2 = -1 \pm 2\sqrt{5}$.
બાજુઓની એક જોડી પસંદ કરતા,આપણને $(2x-y-1-2\sqrt{5})(x+2y-3+2\sqrt{5})=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x, y) = 2x^2+axy+3y^2+bx+cy-3=0$. $(2,-1)$ એ છેદબિંદુ હોવાથી,આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x}$ અને $\frac{\partial f}{\partial y}$ બિંદુ $(2,-1)$ આગળ શૂન્ય થાય.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+ay+b = 0 \implies 4(2)+a(-1)+b = 0 \implies a-b=8$....$(i)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = ax+6y+c = 0 \implies a(2)+6(-1)+c = 0 \implies 2a+c=6$....(ii)
વળી,બિંદુ $(2,-1)$ મૂળ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$8-2a+3+2b-c-3 = 0 \implies 2a-2b+c = 8$....(iii)
$(i)$ પરથી,$b = a-8$. (iii) માં મૂકતા:
$2a-2(a-8)+c = 8 \implies c = -8$.
(ii) માં $c=-8$ મૂકતા:
$2a-8 = 6 \implies a = 7$.
$(i)$ પરથી,$b = 7-8 = -1$.
તેથી,$3a+2b+c = 3(7)+2(-1)+(-8) = 21-2-8 = 11$.

(B) રેખાઓની જોડી $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ એ રેખા $lx + my + n = 0$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે જો $\frac{A+B}{1} = \frac{H}{lm} = \frac{A-B}{l^2-m^2}$ હોય.
આપેલ રેખાઓની જોડી $ax^2 - 96bxy + ky^2 = 0$ માટે,$A = a$,$2H = -96b$,અને $B = k$ છે.
રેખા $2x + by + 5 = 0$ છે,તેથી $l = 2$ અને $m = b$ છે.
શરત $\frac{a+k}{1} = \frac{-48b}{2b} = \frac{a-k}{4-b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\frac{a+k}{1} = -24$ પરથી,આપણને $a+k = -24$ મળે છે.
$\frac{-48b}{2b} = \frac{a-k}{4-b^2}$ પરથી,આપણને $-24 = \frac{a-k}{4-b^2}$ મળે છે,તેથી $a-k = -96 + 24b^2$.
ઉકેલતા,આપણને $a+3k = 192$ મળે છે.

(D) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-2x-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2y=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 2x - 2\lambda y - 3 = 0$.
કેન્દ્ર $C = (\frac{1}{1+\lambda}, \frac{\lambda}{1+\lambda})$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\frac{1+\lambda^2+3+3\lambda}{(1+\lambda)^2}}$ છે.
સ્પર્શક $x+y+1=0$ હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $r$ જેટલું થાય.
ગણતરી કરતા $\lambda=1$ અથવા $\lambda=-2$ મળે છે.
$\lambda=1$ માટે,$2x^2+2y^2-2x-2y-3=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 1), B(-2, 2)$ અને $C(2, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ લો.
બિંદુઓને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1, 1)$ માટે: $2g + 2f + c = -2$ $(i)$
$(-2, 2)$ માટે: $-4g + 4f + c = -8$ $(ii)$
$(2, -2)$ માટે: $4g - 4f + c = -8$ $(iii)$
$(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $-8g + 8f = 0 \Rightarrow g = f$.
$g = f$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા: $4g + c = -2$ અને $c = -8$.
$c = -8$ ને $4g + c = -2$ માં મૂકતા: $g = \frac{3}{2}$.
આમ,કેન્દ્ર $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ મળે છે.
રેખા $3x - 4y + 1 = 0$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|3(-\frac{3}{2}) - 4(-\frac{3}{2}) + 1|}{5} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2x-6y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 - 1} = 3$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2y+4=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - 4} = 1$ છે.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2 = 3 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(h, k) = \left( \frac{3(2) + 1(-1)}{3+1}, \frac{3(-1) + 1(3)}{3+1} \right) = \left( \frac{5}{4}, 0 \right)$.
આમ,$h = \frac{5}{4}$,તેથી $4h = 5$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(-1, 1), (0, -1)$ અને $(1, 0)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$(-1, 1)$ માટે: $1 + 1 - 2g + 2f + c = 0 \Rightarrow -2g + 2f + c = -2 \dots (i)$
$(0, -1)$ માટે: $0 + 1 + 0 - 2f + c = 0 \Rightarrow -2f + c = -1 \dots (ii)$
$(1, 0)$ માટે: $1 + 0 + 2g + 0 + c = 0 \Rightarrow 2g + c = -1 \dots (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2c = -2 \Rightarrow c = -1$.
$c = -1$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$2g - 1 = -1 \Rightarrow g = 0$.
$c = -1$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$-2f - 1 = -1 \Rightarrow f = 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 1 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(1, k)$ વર્તુળ પર હોવાથી: $1^2 + k^2 - 1 = 0$ $\Rightarrow k^2 = 0$ $\Rightarrow k = 0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુઓ $(2,0)$ અને $(1,2)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$4 + 4g + c = 0 \Rightarrow 4g + c = -4$ $(i)$
$1 + 4 + 2g + 4f + c = 0 \Rightarrow 2g + 4f + c = -5$ $(ii)$
વર્તુળના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(0,2)$ ની પાવર $S(0,2) = 0^2 + 2^2 + 2g(0) + 2f(2) + c = 4 + 4f + c$ છે.
પાવર $4$ આપેલ હોવાથી,$4 + 4f + c = 4 \Rightarrow 4f + c = 0$ $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $(2g + 4f + c) - (4f + c) = -5 - 0$ $\Rightarrow 2g = -5$ $\Rightarrow g = -\frac{5}{2}$.
$g$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $4(-\frac{5}{2}) + c = -4$ $\Rightarrow -10 + c = -4$ $\Rightarrow c = 6$.
$c$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા: $4f + 6 = 0 \Rightarrow f = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{5}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 - 6} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{9}{4} - 6} = \sqrt{\frac{34}{4} - 6} = \sqrt{\frac{17}{2} - 6} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+4y+4=0$ છે.
કેન્દ્ર $O(2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
બિંદુ $P(3, 3)$ અને કેન્દ્ર $O(2, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y+2 = \frac{3+2}{3-2}(x-2)$ એટલે કે $y=5x-12$ છે.
પ્રતિવર્તી બિંદુ $Q(a, b)$ આ રેખા પર હોવાથી $b=5a-12$ થાય.
સૂત્ર $OQ \cdot OP = r^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$OP = \sqrt{26}$ મળે.
તેથી $OQ \cdot \sqrt{26} = 4 \Rightarrow OQ = \frac{4}{\sqrt{26}}$.
$Q(a, b)$ એ $OP$ પર હોવાથી અને $OQ = \frac{4}{\sqrt{26}}$ હોવાથી,ગણતરી કરતા $a=\frac{28}{13}$ અને $b=-\frac{16}{13}$ મળે.
તેથી $a+5b = \frac{28}{13} + 5(-\frac{16}{13}) = \frac{28-80}{13} = -4$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+C=0$ છે.
વર્તુળ $(-1,-1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2-2g-2f+C=0$,એટલે કે $2g+2f-C=2$ $... (i)$.
બિંદુ $(2,0)$ ની પાવર $-4$ છે,તેથી $4+4g+C=-4$,એટલે કે $C=-8-4g$ $... (ii)$.
$(1,1)$ થી સ્પર્શકની લંબાઈ $2$ છે,તેથી $2+2g+2f+C=4$,એટલે કે $2g+2f+C=2$ $... (iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(iii)$ માં મૂકતા: $2g+2f-8-4g=2$,એટલે કે $f-g=5$ $... (iv)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2g+2f+8+4g=2$,એટલે કે $3g+f=-3$ $... (v)$.
$(iv)$ અને $(v)$ ઉકેલતા,$g=-2$ અને $f=3$ મળે છે. સમીકરણ $(ii)$ પરથી $C=0$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-C} = \sqrt{4+9-0} = \sqrt{13}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x+2y-4=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2, -1)$ છે.
ધારો કે $M(a, b)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. રેખા $CM$ એ જીવા $AB$ ને લંબ છે.
રેખા $x+y+1=0$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
$CM \perp AB$ હોવાથી,$CM$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ થશે.
$C(2, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $CM$ નું સમીકરણ $y - (-1) = 1(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x - 3$ અથવા $x - y = 3$ થાય છે.
$M(a, b)$ એ રેખા $x+y+1=0$ અને $x-y=3$ બંને પર હોવાથી,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$a+b = -1$
$a-b = 3$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2a = 2$,તેથી $a = 1$ મળે.
$a=1$ ને $a-b=3$ માં મુકતા,$1-b=3$,તેથી $b = -2$ મળે.
આમ,$a-b = 1 - (-2) = 3$.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
રેખા $x-2y-6=0$ અભિલંબ હોવાથી,તે કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે:
$-g - 2(-f) - 6 = 0$ $\Rightarrow -g + 2f = 6$ $\Rightarrow g = 2f - 6$.
રેખા $y=2$ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખા $y=2$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
$r = |-f - 2| = \sqrt{g^2 + f^2 + 8}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(f+2)^2 = g^2 + f^2 + 8$.
$f^2 + 4f + 4 = g^2 + f^2 + 8 \Rightarrow 4f - 4 = g^2$.
$g = 2f - 6$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4f - 4 = (2f - 6)^2 = 4f^2 - 24f + 36$.
$4f^2 - 28f + 40 = 0 \Rightarrow f^2 - 7f + 10 = 0$.
$(f-2)(f-5) = 0 \Rightarrow f = 2$ અથવા $f = 5$.
જો $f = 2$,તો $g = -2$. ત્રિજ્યા $r = |-2 - 2| = 4$.
જો $f = 5$,તો $g = 4$. ત્રિજ્યા $r = |-5 - 2| = 7$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
રેખા $4x - 3y + p = 0$ વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
$\frac{|4(2) - 3(-3) + p|}{5} = 3 \Rightarrow |17 + p| = 15$.
$p + 3 > 0$ હોવાથી,$p = -2$ મળે.
સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ શોધતા,$h = -2/5$ અને $k = -6/5$ મળે છે.
તેથી,$h - 2k = -2/5 - 2(-6/5) = 2$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ અને $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ છે.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = 2\sqrt{2}$ છે.
ટ્રાન્સવર્સ સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $P$ એ $C_1 C_2$ નું $1:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $P = (0, 0)$.
$(0, 0)$ માંથી $S_1$ પરના સ્પર્શકોની જોડી $T^2 = S_1 S_{11}$ દ્વારા મળે છે.
$(x + y + 1)^2 = (x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1)(1)$.
$x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y = x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1$.
$2xy = 0 \Rightarrow xy = 0$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y-1=0$ છે.
કેન્દ્ર $C = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3}$ છે.
પ્રચલિત યામો $x = 1 + \sqrt{3}\cos\theta$ અને $y = 1 + \sqrt{3}\sin\theta$ છે.
$P(\frac{\pi}{4})$ માટે,$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, y_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$.
$Q(\frac{\pi}{3})$ માટે,$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, y_2 = 1 + \frac{3}{2}$.
જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{3-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}} = 2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$.
સ્પર્શક જીવાને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$ થશે.

(A) બિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(2, 0)$ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પર આવેલા છે.
$(1, 1)$ મૂકતા: $1 + 1 + 2g + 2f + c = 0 \Rightarrow 2g + 2f + c = -2$ ...$(i)$
$(2, 0)$ મૂકતા: $4 + 0 + 4g + 0 + c = 0 \Rightarrow 4g + c = -4$ ...$(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(4g + c) - (2g + 2f + c) = -4 - (-2)$ $\Rightarrow 2g - 2f = -2$ $\Rightarrow f = g + 1$.
$(ii)$ પરથી,$c = -4 - 4g$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-g, -(g + 1))$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2g^2 + 6g + 5}$ છે.
કેન્દ્ર $(-g, -g - 1)$ થી રેખા $3x - y - 1 = 0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું છે:
$\left|\frac{3(-g) - (-g - 1) - 1}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}\right| = r$ $\Rightarrow \left|\frac{-2g}{\sqrt{10}}\right| = \sqrt{2g^2 + 6g + 5}$.
$\frac{4g^2}{10} = 2g^2 + 6g + 5 \Rightarrow 8g^2 + 30g + 25 = 0$.
$(4g + 5)(2g + 5) = 0 \Rightarrow g = -\frac{5}{4}$ અથવા $g = -\frac{5}{2}$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+2x-2y+1=0$ છે,જેને $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય. કેન્દ્ર $C(-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
સ્પર્શકો $x+y+k=0$ અને $x+ay+b=0$ લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળ $m_1 = -1$ અને $m_2 = -1/a$ માટે $m_1 m_2 = -1$ થાય. તેથી,$(-1)(-1/a) = -1$,જે $a = -1$ આપે છે.
કેન્દ્ર $(-1, 1)$ થી સ્પર્શક $x+y+k=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $r=1$ જેટલું છે:
$\frac{|-1+1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 1 \Rightarrow |k| = \sqrt{2}$. $k > 1$ હોવાથી,$k = \sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $(-1, 1)$ થી સ્પર્શક $x-y+b=0$ નું અંતર પણ $r=1$ છે:
$\frac{|-1-1+b|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = 1 \Rightarrow |b-2| = \sqrt{2}$.
આથી $b-2 = \sqrt{2}$ અથવા $b-2 = -\sqrt{2}$ મળે. $b > 1$ હોવાથી,$b = 2+\sqrt{2}$ લેતા.
અંતે,$b-k = (2+\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=125$ છે.
આપેલ છે કે $P(8, \beta)$ એ જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે,એટલે કે $xx_1+yy_1=x_1^2+y_1^2$.
$(8, \beta)$ મૂકતા,$8x+\beta y = 64+\beta^2$ મળે,અથવા $8x+\beta y - (64+\beta^2) = 0$.
આ જીવાનો ઢાળ $m = -\frac{8}{\beta}$ છે.
$m$ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$\beta$ એ $8$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. તેથી,$\beta \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \}$.
બિંદુ $P(8, \beta)$ વર્તુળની અંદર હોવું જોઈએ,તેથી $8^2+\beta^2 < 125$,જેનો અર્થ છે $64+\beta^2 < 125$,એટલે કે $\beta^2 < 61$.
કિંમતો તપાસતા:
જો $\beta = \pm 1$,$\beta^2 = 1 < 61$ (માન્ય,$m = \mp 8$).
જો $\beta = \pm 2$,$\beta^2 = 4 < 61$ (માન્ય,$m = \mp 4$).
જો $\beta = \pm 4$,$\beta^2 = 16 < 61$ (માન્ય,$m = \mp 2$).
જો $\beta = \pm 8$,$\beta^2 = 64 > 61$ (અમાન્ય).
આમ,$\beta$ માટે શક્ય મૂલ્યો $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ છે,જે કુલ $6$ મૂલ્યો આપે છે.

(B) બે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x+2y+1=0$ અને $C_2: x^2+y^2-2x-2y-2=0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-2x+2y+1) - (x^2+y^2-2x-2y-2) = 0$
$4y + 3 = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{4}$.
આ સામાન્ય જીવા વર્તુળ $S$ નો વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર રેખા $y = -\frac{3}{4}$ પર હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$y$-યામ $-\frac{3}{4}$ ધરાવતા બિંદુઓ $\left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$,$\left(1, -\frac{3}{4}\right)$,અને $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ છે.
વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(1, -\frac{3}{4})$ છે.

(A) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબછેદી હોય તો $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ થાય.
પ્રથમ જોડી માટે: $2(g(-3) + f(-3)) = 6 - 6 = 0$,તેથી $g+f=0$,એટલે કે $f=-g$.
વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2+2gx-2gy+6=0$ છે. ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+(-g)^2-6} = \sqrt{2g^2-6}$.
બીજું વર્તુળ $x^2+y^2+6x+6y+2=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_2(-3, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{3^2+3^2-2} = \sqrt{16} = 4$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(-g, g)$ અને $C_2(-3, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d^2 = (-g+3)^2 + (g+3)^2 = 2g^2+18$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{(2g^2-6) + 16 - (2g^2+18)}{8r_1} = -\frac{1}{r_1}$.
આમ,$r_1 = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+C=0 \quad (i)$ છે.
વર્તુળ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2g+2f+C=-2 \quad (ii)$.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+C_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+C_2=0$ લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=C_1+C_2$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+4x-5=0$ માટે,$4g=C-5 \quad (iii)$.
વર્તુળ $x^2+y^2-4y+3=0$ માટે,$-4f=C+3 \quad (iv)$.
$(iii)$ અને $(iv)$ પરથી,$g+f=-2 \quad (v)$.
$(ii)$ અને $(v)$ પરથી,$g=-\frac{3}{4}$ અને $f=-\frac{5}{4}$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$ થાય.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2px-2qy+C=0$ છે.
આ વર્તુળ આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે,તેથી આપણે શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ માટે: $2(-p)(-1) + 2(-q)(-2) = C+4 \Rightarrow 2p+4q = C+4$ $(i)$.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ માટે: $2(-p)(1) + 2(-q)(-2) = C+1 \Rightarrow -2p+4q = C+1$ $(ii)$.
ત્રીજા વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ માટે: $2(-p)(-2) + 2(-q)(-1) = C-11 \Rightarrow 4p+2q = C-11$ $(iii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(2p+4q) - (-2p+4q) = (C+4) - (C+1)$ $\Rightarrow 4p = 3$ $\Rightarrow p = 3/4$.
$p=3/4$ ને $(i)$ અને $(iii)$ માં મૂકતા:
$(i)$ $\Rightarrow 2(3/4) + 4q = C+4$ $\Rightarrow 3/2 + 4q = C+4$ $\Rightarrow 4q - C = 5/2$.
$(iii)$ $\Rightarrow 4(3/4) + 2q = C-11$ $\Rightarrow 3 + 2q = C-11$ $\Rightarrow 2q - C = -14$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા: $(4q-C) - (2q-C) = 5/2 - (-14)$ $\Rightarrow 2q = 33/2$ $\Rightarrow q = 33/4$.
આમ,$p+q = 3/4 + 33/4 = 36/4 = 9$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2x-6y-6=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-2y+k=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{10-k}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d^2 = C_1C_2^2 = (3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2 = 20$ છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = 16 + (10-k) - 2(4)(\sqrt{10-k})(\frac{-5}{24})$.
$k - 6 = \frac{5}{3}\sqrt{10-k}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(k-6)^2 = \frac{25}{9}(10-k)$.
$9k^2 - 83k + 74 = 0$.
$(k-1)(9k-74) = 0$.
$k$ પૂર્ણાંક ન હોવાથી,$k = \frac{74}{9}$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે (કારણ કે તે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે).
વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-15=0$ માટે,$2g_1=6, 2f_1=0, c_1=-15$. લંબચ્છેદતાની શરત $2gg_1+2ff_1=c+c_1$ છે,જે $2g(3)+2f(0)=0-15$ $\Rightarrow 6g=-15$ $\Rightarrow g=-\frac{5}{2}$ આપે છે.
વર્તુળ $S_2 \equiv x^2+y^2-8y-10=0$ માટે,$2g_2=0, 2f_2=-8, c_2=-10$. લંબચ્છેદતાની શરત $2gg_2+2ff_2=c+c_2$ છે,જે $2g(0)+2f(-4)=0-10$ $\Rightarrow -8f=-10$ $\Rightarrow f=\frac{5}{4}$ આપે છે.
$g$ અને $f$ ની કિંમતો $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2+y^2+2(-\frac{5}{2})x+2(\frac{5}{4})y=0$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x^2+2y^2-10x+5y=0$ મળે છે.

(A) $(3, -7)$ અને $(-5, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાજન બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{1}{3}, -\frac{11}{3} \right)$
$Q = \left( -\frac{7}{3}, -\frac{1}{3} \right)$
$PQ$ એ $R$ પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ: $(x - \frac{1}{3})(x + \frac{7}{3}) + (y + \frac{11}{3})(y + \frac{1}{3}) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 4y + \frac{4}{9} = 0$
ત્રિજ્યા $= \sqrt{1^2 + 2^2 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{41}}{3}$.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x-8y+8=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_1(1, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
બીજું વર્તુળ $C_2: x^2+y^2-8x+15=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_2(4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
બહારનું સમાનતાનું કેન્દ્ર $P$ એ કેન્દ્રો $C_1(1, 4)$ અને $C_2(4, 0)$ ને જોડતી રેખાનું $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરે છે.
$P = \left(\frac{11}{2}, -2\right)$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ ધારો. $P$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $2mx - 2y - 11m - 4 = 0$ છે.
$C_2(4, 0)$ થી આ રેખાનું અંતર $r_2 = 1$ છે:
$\left|\frac{-3m-4}{\sqrt{4m^2+4}}\right| = 1$
$(3m+4)^2 = 4(m^2+1)$
$5m^2 + 24m + 12 = 0$.
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$m_1+m_2 = -\frac{24}{5}$.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-4x+6y+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2+(-3)^2-4} = 3$ છે.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-(-2)} = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = 5$ છે.
$r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 = C_1C_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને $P$ બિંદુએ બહારથી સ્પર્શે છે.
સંપર્ક બિંદુ $P$ એ $C_1C_2$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$P = \left( \frac{1}{5}, -\frac{3}{5} \right)$.
$P$ આગળનો સામાન્ય સ્પર્શક એ બંને વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ છે,જે $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-4x+6y+4) - (x^2+y^2+2x-2y-2) = 0$
$-6x + 8y + 6 = 0$
$-2$ વડે ભાગતા,$3x - 4y - 3 = 0$ મળે છે.
$ax+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=3, b=-4, c=-3$.
તેથી,$\frac{a}{c} = \frac{3}{-3} = -1$.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-16y+64=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શક $mx-y+c=0$ છે.
કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય છે:
$\left|\frac{2m-4+c}{\sqrt{1+m^2}}\right| = 2 \Rightarrow c = 2\sqrt{1+m^2}-2m+4$
$\left|\frac{3m-8+c}{\sqrt{1+m^2}}\right| = 3 \Rightarrow c = 3\sqrt{1+m^2}-3m+8$
$c$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2\sqrt{1+m^2}-2m+4 = 3\sqrt{1+m^2}-3m+8$
$\sqrt{1+m^2} = m-4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1+m^2 = m^2-8m+16$
$8m = 15 \Rightarrow m = \frac{15}{8}$.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $C_1: x^2+y^2-6x+5=0$ અને $C_2: x^2+y^2+4y-5=0$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે: $(x^2+y^2-6x+5) - (x^2+y^2+4y-5) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-6x-4y+10=0$ અથવા $3x+2y-5=0$ થાય છે.
$C_1$ નું કેન્દ્ર $(3, 0)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+0^2-5} = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $3x+2y-5=0$ નું અંતર $d = \frac{|3(3)+2(0)-5|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{13}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2-d^2} = 2\sqrt{2^2 - (\frac{4}{\sqrt{13}})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{16}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ થાય છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ દરેક આપેલ વર્તુળને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ પર છેદે છે,તેથી સામાન્ય જીવા સંબંધિત વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થશે.
$x^2+y^2=4$ માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ છે. સામાન્ય જીવા $2gx+2fy+c+4=0$ છે. તે $(0,0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$c+4=0$,એટલે કે $c=-4$.
$x^2+y^2-6x-8y+10=0$ માટે,કેન્દ્ર $(3,4)$ છે. સામાન્ય જીવા $(2g+6)x+(2f+8)y+(c-10)=0$ છે. $(3,4)$ અને $c=-4$ મૂકતા,$3(2g+6)+4(2f+8)-14=0$ મળે,જે $3g+4f+18=0$ $(i)$ માં પરિણમે છે.
$x^2+y^2+2x-4y-2=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-1,2)$ છે. સામાન્ય જીવા $(2g-2)x+(2f+4)y+(c+2)=0$ છે. $(-1,2)$ અને $c=-4$ મૂકતા,$-1(2g-2)+2(2f+4)-2=0$ મળે,જે $g-2f-4=0$ $(ii)$ માં પરિણમે છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,$f=-3$ અને $g=-2$ મળે છે.
આમ,$g+f+c = -2-3-4 = -9$.

(D) ધારો કે આપેલ વર્તુળો $S_1: 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+2y+1=0$ છે.
$S_1$ ને $x^2+y^2-x+3y-\frac{3}{2}=0$ તરીકે લખતા.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - 2S_2 = 0$ છે:
$(2x^2+2y^2-2x+6y-3) - 2(x^2+y^2+4x+2y+1) = 0$
$-10x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow 10x - 2y + 5 = 0$.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે:
$(2+\lambda)x^2 + (2+\lambda)y^2 + (4\lambda-2)x + (2\lambda+6)y + (\lambda-3) = 0$.
$(2+\lambda)$ વડે ભાગતા,કેન્દ્ર $(h, k) = \left(-\frac{2\lambda-1}{\lambda+2}, -\frac{\lambda+3}{\lambda+2}\right)$ મળે.
કેન્દ્ર સામાન્ય જીવા $10x - 2y + 5 = 0$ પર હોવાથી:
$10\left(-\frac{2\lambda-1}{\lambda+2}\right) - 2\left(-\frac{\lambda+3}{\lambda+2}\right) + 5 = 0$.
$-13\lambda + 26 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ કિંમત મૂકતા: $4x^2+4y^2+6x+10y-1=0$ મળે છે.

(D) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-4x-12=0$ અને $C_2: x^2+y^2+4x-12=0$ છે.
તેમના કેન્દ્રો $A(-2, 0)$ અને $B(2, 0)$ છે, અને બંનેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+0^2+12} = 4$ છે.
સામાન્ય જીવા સમીકરણોની બાદબાકી કરવાથી મળે છે: $(x^2+y^2+4x-12) - (x^2+y^2-4x-12) = 0$, જે $8x = 0$ એટલે કે $x = 0$ ($y$-અક્ષ) આપે છે.
છેદબિંદુઓ $C$ અને $D$ એ $x=0$ ને $x^2+y^2-4x-12=0$ માં મૂકવાથી મળે છે, જે $y^2 = 12$ આપે છે, તેથી $y = \pm 2\sqrt{3}$. આમ, $C(0, 2\sqrt{3})$ અને $D(0, -2\sqrt{3})$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $AB$ (લંબાઈ $d_1 = 4$) અને $CD$ (લંબાઈ $d_2 = 4\sqrt{3}$) છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2-2x+4y+1=0$ છે. કેન્દ્ર $C$ એ $(1, -2)$ છે.
રેખા $lx+my+n=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ માટે,ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ એ $\frac{x_1+g}{l} = \frac{y_1+f}{m} = \frac{gx_1+fy_1+c}{-n}$ નું પાલન કરે છે.
અહીં $g=-1, f=2, c=1, l=1, m=-5, n=-7$.
તેથી,$\frac{a-1}{1} = \frac{b+2}{-5} = \frac{-a+2b+1}{7}$.
ઉકેલતા,$a=0$ અને $b=3$ મળે છે.
ધ્રુવ $P$ એ $(0, 3)$ છે.
અંતર $PC = \sqrt{(0-1)^2 + (3-(-2))^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$.
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $\sqrt{0^3+3^3-1} = \sqrt{26}$.
તેથી,$PC = \sqrt{a^3+b^3-1}$.

(B) લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(4, 5), (4, -2), (-2, 5)$ અને $(-2, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ વ્યાસ સ્વરૂપમાં: $(x-4)(x+2) + (y-5)(y+2) = 0$.
જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2x - 3y - 18 = 0$ થાય છે.
ધારો કે ધ્રુવ $(h, k)$ છે. ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ: $(h-1)x + (k-1.5)y - (h + 1.5k + 18) = 0$.
આ રેખાને $0x + 1y + 2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$h=1$ અને $k=\frac{-32}{7}$ મળે છે.
આમ,ધ્રુવ $\left(1, \frac{-32}{7}\right)$ છે.

(A) ધારો કે $C$ એ ત્રિકોણનું ત્રીજું શિરોબિંદુ છે. $S(0,0)$ પરિકેન્દ્ર હોવાથી,જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $S$ પર આંતરાતો ખૂણો $\angle ASB = 2\theta$ છે,જ્યાં $\theta = \angle ACB$ એ ત્રીજા શિરોબિંદુ પરનો ખૂણો છે.
$AS$ નો ઢાળ = $\frac{2-0}{1-0} = 2$.
$BS$ નો ઢાળ = $\frac{1-0}{2-0} = \frac{1}{2}$.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના સૂત્ર મુજબ,$\tan(2\theta) = \left|\frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)}\right| = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$.
તેથી,$\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} = \frac{3}{4}$.
$3\tan^2\theta + 8\tan\theta - 3 = 0$.
$(3\tan\theta - 1)(\tan\theta + 3) = 0$.
ત્રિકોણ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta$ લઘુકોણ હોવો જોઈએ,તેથી $\tan\theta = \frac{1}{3}$.
આમ,ત્રીજા શિરોબિંદુ પર આંતરાતો ખૂણો $\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $25[(x-2)^2+(y+5)^2]=(3x+4y-1)^2$ છે. આ $SP^2 = e^2 PM^2$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $S(2, -5)$ નાભિ છે અને $3x+4y-1=0$ નિયામિકા છે,જ્યાં $e=1$.
$I$. શિરોબિંદુ: શિરોબિંદુ એ નાભિ $S(2, -5)$ અને નિયામિકા પર નાભિના પ્રક્ષેપનું મધ્યબિંદુ છે. $S(2, -5)$ નો $3x+4y-1=0$ પરનો પ્રક્ષેપ $P' = (x, y)$ છે,જ્યાં $\frac{x-2}{3} = \frac{y+5}{4} = -\frac{3(2)+4(-5)-1}{3^2+4^2} = \frac{3}{5}$. તેથી $x = \frac{19}{5}$ અને $y = -\frac{13}{5}$. શિરોબિંદુ એ $S(2, -5)$ અને $(\frac{19}{5}, -\frac{13}{5})$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{29}{10}, \frac{-38}{10})$ છે. આમ,$I-B$.
$II$. નાભિલંબની લંબાઈ: નાભિ $(2, -5)$ થી નિયામિકા $3x+4y-1=0$ નું અંતર $d = \frac{|3(2)+4(-5)-1|}{5} = 3$ છે. નાભિલંબની લંબાઈ $2d = 6$ છે. આમ,$II-E$.
$III$. નિયામિકા: $3x+4y-1=0$ આપેલ છે. આમ,$III-C$.
$IV$. નાભિલંબનો એક અંત્યબિંદુ: નાભિલંબ એ નાભિ $(2, -5)$ માંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને સમાંતર રેખા છે,એટલે કે $3x+4y+14=0$. આ રેખા અને પરવલયનું છેદબિંદુ $(\frac{-2}{5}, \frac{-16}{5})$ છે. આમ,$IV-D$.

(B) ધારો કે નાભિ $(2,3)$ માંથી નિયામિકા $x-y+3=0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(h, k)$ છે.
નાભિમાંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{-1} = \lambda$ છે,તેથી $x = 2+\lambda$ અને $y = 3-\lambda$ મળે.
નિયામિકાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(2+\lambda) - (3-\lambda) + 3 = 0$ $\Rightarrow 2\lambda + 2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,લંબપાદ $(1, 4)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ એ નાભિ $(2,3)$ અને લંબપાદ $(1,4)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{2+1}{2}, \frac{3+4}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ થાય.
શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક નિયામિકા $x-y+3=0$ ને સમાંતર હોય,તેથી તેનું સમીકરણ $x-y+c=0$ સ્વરૂપનું હોય.
શિરોબિંદુ $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{2} - \frac{7}{2} + c = 0$ $\Rightarrow -2 + c = 0$ $\Rightarrow c = 2$.
તેથી,શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x-y+2=0$ છે.

(C) નિયામિકા $x+y+1=0$ નો ઢાળ $-1$ છે. પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને લંબ હોવાથી,અક્ષનો ઢાળ $1$ થાય.
શિરોબિંદુ $(1, 1)$ આપેલ છે,તેથી અક્ષનું સમીકરણ $y-1=1(x-1)$ એટલે કે $y=x$ થાય.
બિંદુ $(c, d)$ શોધવા માટે,નિયામિકા અને અક્ષના સમીકરણો ઉકેલતા:
$x+y+1=0$ અને $y=x$.
$y=x$ ને નિયામિકાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x+x+1=0$ $\Rightarrow 2x=-1$ $\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$.
આમ,$c=-\frac{1}{2}$ અને $d=-\frac{1}{2}$ મળે.
શિરોબિંદુ $(1, 1)$ એ નાભિ $(a, b)$ અને બિંદુ $(c, d)$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ: $1=\frac{a+c}{2}$ $\Rightarrow 1=\frac{a-1/2}{2}$ $\Rightarrow 2=a-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow a=\frac{5}{2}$.
તે જ રીતે,$1=\frac{b+d}{2}$ $\Rightarrow 1=\frac{b-1/2}{2}$ $\Rightarrow 2=b-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow b=\frac{5}{2}$.
અંતે,$a+b+c+d = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2=4ax$ છે. $P(9,9)$ પરવલય પર હોવાથી,$81=4 \times a \times 9$,જે $a=\frac{9}{4}$ આપે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(at^2, 2at)$ અને $Q(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ છે.
$P(9,9)$ ની સરખામણી $(at^2, 2at)$ સાથે કરતા,$2at=9$ $\Rightarrow 2(\frac{9}{4})t=9$ $\Rightarrow t=2$ મળે છે.
આમ,$Q = (\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t}) = (\frac{9/4}{4}, -\frac{2(9/4)}{2}) = (\frac{9}{16}, -\frac{9}{4})$.
તેથી,$p=\frac{9}{16}$ અને $q=-\frac{9}{4}$.
માટે $p-q = \frac{9}{16} - (-\frac{9}{4}) = \frac{9}{16} + \frac{36}{16} = \frac{45}{16}$.

(C) પરવલય $x^2=12y$ છે,જે $x^2=4ay$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a=12$,તેથી $a=3$. નાભિ $(0,3)$ છે.
જીવા નાભિ $(0,3)$ અને બિંદુ $(3,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = 1$ છે,જે $y = 3-x$ માં પરિણમે છે.
$y = 3-x$ ને પરવલયના સમીકરણ $x^2 = 12y$ માં મૂકતા:
$x^2 = 12(3-x)$
$x^2 = 36 - 12x$
$x^2 + 12x - 36 = 0$.
ધારો કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામો $x_1$ અને $x_2$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 12x - 36 = 0$ ના બીજ છે.
બીજોના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$x_1 + x_2 = -12$ અને બીજોનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = -36$.
યામોના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{-12}{-36} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ પરવલયો $S \equiv y^2 - 4ax = 0$ અને $S' \equiv y^2 + 4ax = 0$ છે.
ધારો કે $P$ એ $S' = 0$ પરનું બિંદુ $P = \left(-\frac{t^2}{4a}, t\right)$ છે.
$P$ માંથી અક્ષો પરના લંબના પાદ $A = \left(-\frac{t^2}{4a}, 0\right)$ અને $B = (0, t)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{-t^2/4a} + \frac{y}{t} = 1$ એટલે કે $4ax - ty + t^2 = 0$ છે.
પરવલય $S \equiv y^2 = 4ax$ ને બિંદુ $Q(at_1^2, 2at_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y t_1 = x + at_1^2$ છે.
સરખામણી કરતા,આપણને $t_1 = \frac{t}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1 + \sin x}{\sin x}} dx$.
$\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ અને $1 + \sin x = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $u = \tan(x/2)$ અને $dx = \frac{2}{1+u^2} du$ આદેશ લઈએ છીએ.
સંકલન $I = \int \sqrt{\frac{(1+u)^2}{2u}} \cdot \frac{2}{1+u^2} du = \sqrt{2} \int \frac{1+u}{\sqrt{u}(1+u^2)} du$ બને છે.
ધારો કે $v = \sqrt{u}$,તો $dv = \frac{1}{2\sqrt{u}} du$,તેથી $du = 2v dv$.
$I = 2\sqrt{2} \int \frac{1+v^2}{1+v^4} dv = \sqrt{2} \int \frac{1+1/v^2}{v^2+1/v^2} dv = \sqrt{2} \int \frac{d(v-1/v)}{(v-1/v)^2 + 2} + \sqrt{2} \int \frac{d(v+1/v)}{(v+1/v)^2 - 2}$.
આનું મૂલ્યાંકન કરતા $I = 2 \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\tan(x/2)}}{1-\tan(x/2)}\right) + c$ મળે છે.
આમ,$k = 2$ અને $f(x) = \frac{\sqrt{2\tan(x/2)}}{1-\tan(x/2)}$.
$x = \pi/6$ માટે,$\tan(x/2) = \tan(\pi/12) = 2 - \sqrt{3}$.
$f(\pi/6) = \frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{1-(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{3}-1} = 1$.
તેથી,$\frac{1}{k} f(\pi/6) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{1}{x^m (x^m+1)^{1/m}} dx$ ઉકેલવા માટે,રેડિકલમાંથી $x^m$ સામાન્ય કાઢો:
$I = \int \frac{1}{x^m \cdot x (1 + x^{-m})^{1/m}} dx = \int \frac{1}{x^{m+1} (1 + x^{-m})^{1/m}} dx$.
ધારો કે $u = 1 + x^{-m}$. તો $du = -m x^{-m-1} dx = -m x^{-(m+1)} dx$.
તેથી,$dx / x^{m+1} = -du / m$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{u^{1/m}} \cdot \left(-\frac{du}{m}\right) = -\frac{1}{m} \int u^{-1/m} du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = -\frac{1}{m} \cdot \frac{u^{1 - 1/m}}{1 - 1/m} + C = -\frac{1}{m} \cdot \frac{u^{(m-1)/m}}{(m-1)/m} + C = -\frac{1}{m-1} u^{(m-1)/m} + C$.
$u = 1 + x^{-m} = \frac{x^m+1}{x^m}$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{m-1} \left(\frac{x^m+1}{x^m}\right)^{(m-1)/m} + C = -\frac{1}{m-1} \left(\frac{(x^m+1)^{1/m}}{x}\right)^{m-1} + C$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આપણી પાસે $I = \int \frac{1}{x^4+8x^2+9} dx$ છે. અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $I = \frac{1}{6} \int \frac{(1+3/x^2)}{(x-3/x)^2+14} dx - \frac{1}{6} \int \frac{(1-3/x^2)}{(x+3/x)^2+2} dx$.
ધારો કે $t = x-3/x$ અને $u = x+3/x$. તેથી $dt = (1+3/x^2) dx$ અને $du = (1-3/x^2) dx$.
$I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t^2+(\sqrt{14})^2} - \frac{1}{6} \int \frac{du}{u^2+(\sqrt{2})^2}$.
$I = \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{\sqrt{14}} \tan^{-1} \left( \frac{x-3/x}{\sqrt{14}} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x+3/x}{\sqrt{2}} \right) \right] + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$k=6$,$f(x) = \frac{x-3/x}{\sqrt{14}}$,અને $g(x) = \frac{x+3/x}{\sqrt{2}}$.
હવે,$f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}-3/\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = 0$ અને $g(1) = \frac{1+3/1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{k}{2} + f(\sqrt{3}) + g(1)} = \sqrt{\frac{6}{2} + 0 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sec x}{3(\sec x+\tan x)+2} dx$.
અંશ અને છેદને $(\sec x - \tan x)$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{\sec x(\sec x - \tan x)}{3(\sec^2 x - \tan^2 x) + 2(\sec x - \tan x)} dx$.
કારણ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,તેથી:
$I = \int \frac{\sec^2 x - \sec x \tan x}{3 + 2(\sec x - \tan x)} dx$.
ધારો કે $u = \sec x - \tan x$. તેથી $du = (\sec x \tan x - \sec^2 x) dx$,એટલે કે $-du = (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
$I = \int \frac{-du}{3 + 2u} = -\frac{1}{2} \ln|3 + 2u| + C = -\frac{1}{2} \ln|3 + 2(\sec x - \tan x)| + C$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $\sec x = \frac{1+\tan^2(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$ અને $\tan x = \frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{3(1-\tan^2(x/2)) + 2(1+\tan^2(x/2)) - 4\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{5 - 4\tan(x/2) - \tan^2(x/2)}{(1-\tan(x/2))(1+\tan(x/2))} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{(5+\tan(x/2))(1-\tan(x/2))}{(1-\tan(x/2))(1+\tan(x/2))} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{5+\tan(x/2)}{1+\tan(x/2)} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+\tan(x/2)}{5+\tan(x/2)} \right| + C$.

(C) ધારો કે $I = \int e^{-2 x}(\tan 2 x - 2 \sec^2 2 x \tan 2 x) dx$.
વિધેય $f(x) = \tan 2 x$ લો.
તેથી $f'(x) = 2 \sec^2 2 x$.
$2x = t$ લેતા,$2 dx = dt$,તેથી $dx = \frac{1}{2} dt$.
$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} (\tan t - 2 \sec^2 t \tan t) dt$.
$f(t) = \tan t - \sec^2 t$ લો.
તેથી $f'(t) = \sec^2 t - 2 \sec^2 t \tan t$.
આમ,$I = \frac{1}{2} \int e^{-t} (f'(t) - f(t)) dt$.
સૂત્ર $\int e^{kt} (f'(t) + k f(t)) dt = e^{kt} f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $k = -1$:
$I = \frac{1}{2} (-e^{-t} f(t)) + C = -\frac{1}{2} e^{-t} (\tan t - \sec^2 t) + C$.
$t = 2x$ મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2} e^{-2 x} (\tan 2 x - \sec^2 2 x) + C = \frac{1}{2} e^{-2 x} (\sec^2 2 x - \tan 2 x) + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{4+3 \cot x} = \int \frac{\sin x dx}{4 \sin x + 3 \cos x}$.
અંશને $A(4 \cos x - 3 \sin x) + B(4 \sin x + 3 \cos x)$ તરીકે દર્શાવીએ,જ્યાં $4 \cos x - 3 \sin x$ એ છેદ $4 \sin x + 3 \cos x$ નું વિકલન છે.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$4B - 3A = 1$ અને $3B + 4A = 0$.
$3B + 4A = 0$ પરથી,$A = -\frac{3B}{4}$ મળે.
પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $4B - 3(-\frac{3B}{4}) = 1 \Rightarrow 4B + \frac{9B}{4} = 1 \Rightarrow \frac{25B}{4} = 1 \Rightarrow B = \frac{4}{25}$.
તેથી $A = -\frac{3}{25}$.
આમ,$I = \int \frac{-\frac{3}{25}(4 \cos x - 3 \sin x) + \frac{4}{25}(4 \sin x + 3 \cos x)}{4 \sin x + 3 \cos x} dx$.
$I = -\frac{3}{25} \int \frac{4 \cos x - 3 \sin x}{4 \sin x + 3 \cos x} dx + \frac{4}{25} \int dx$.
$I = -\frac{3}{25} \ln |4 \sin x + 3 \cos x| + \frac{4}{25} x + C$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{2 \sin x \cos x + 2 \cos x}{4 \sin^2 x + 5 \sin x + 1} \, dx$.
છેદના અવયવ પાડતા: $4 \sin^2 x + 5 \sin x + 1 = (4 \sin x + 1)(\sin x + 1)$.
તેથી,$f(x) = \int \frac{2 \cos x (\sin x + 1)}{(4 \sin x + 1)(\sin x + 1)} \, dx = \int \frac{2 \cos x}{4 \sin x + 1} \, dx$.
ધારો કે $u = 4 \sin x + 1$,તો $du = 4 \cos x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\cos x \, dx = \frac{du}{4}$.
$f(x) = \int \frac{2}{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |4 \sin x + 1| + C$.
આપેલ છે કે $f(0) = 0$,તેથી $0 = \frac{1}{2} \ln |4 \sin(0) + 1| + C \implies 0 = \frac{1}{2} \ln(1) + C \implies C = 0$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2} \ln |4 \sin x + 1|$.
હવે,$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \ln |4 \sin(\frac{\pi}{6}) + 1| = \frac{1}{2} \ln |4(\frac{1}{2}) + 1| = \frac{1}{2} \ln(3)$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x+1) \sqrt{x^2+4}}$.
$x+1 = \frac{1}{t}$ આદેશ લેતા,$x = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t}$ અને $dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(\frac{1-t}{t})^2 + 4}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{\frac{1-2t+t^2+4t^2}{t^2}}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{5t^2-2t+1}}$.
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$5t^2 - 2t + 1 = 5(t^2 - \frac{2}{5}t + \frac{1}{5}) = 5((t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{25}) = 5(t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}$.
$I = -\int \frac{dt}{\sqrt{5(t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t-\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2}}$.
સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{t-\frac{1}{5}}{2/5}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{5t-1}{2}) + C$.
$t = \frac{1}{x+1}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{\frac{5}{x+1}-1}{2}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{5-x-1}{2(x+1)}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{4-x}{2(x+1)}) + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^5+x}{x^8+1} dx$.
અંશ અને છેદને $x^6$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^5}}{x^2 + \frac{1}{x^6}} dx$. આ પદ્ધતિ જટિલ છે.
વૈકલ્પિક રીત: ધારો કે $x^2 = t$,તેથી $2x dx = dt$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t^4+1} dt$.
અંશ અને છેદને $t^2$ વડે ભાગતા:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 + \frac{1}{t^2}} dt$.
ધારો કે $t - \frac{1}{t} = u$,તેથી $(1 + \frac{1}{t^2}) dt = du$.
વળી,$t^2 + \frac{1}{t^2} = (t - \frac{1}{t})^2 + 2 = u^2 + 2$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + c$.
$u = t - \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t} = \frac{x^4-1}{x^2}$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \tan^{-1} \left(\frac{x^4-1}{\sqrt{2}x^2}\right) + c$.

(D) આપણી પાસે $I = \int \frac{(1-4 \sin^2 x) \cos x}{\cos (3x+2)} dx$ છે.
નિત્યસમ $1 - 4 \sin^2 x = 1 - 4(1 - \cos^2 x) = 4 \cos^2 x - 3$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$I = \int \frac{(4 \cos^2 x - 3) \cos x}{\cos (3x+2)} dx = \int \frac{4 \cos^3 x - 3 \cos x}{\cos (3x+2)} dx$.
ત્રિ-ગુણિત સૂત્ર $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I = \int \frac{\cos 3x}{\cos (3x+2)} dx$ મળે છે.
ધારો કે $t = 3x+2$,તો $dt = 3 dx$,તેથી $dx = \frac{dt}{3}$.
વળી,$3x = t-2$.
$I = \int \frac{\cos(t-2)}{\cos t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{\cos t \cos 2 + \sin t \sin 2}{\cos t} dt$.
$I = \frac{1}{3} \int (\cos 2 + \sin 2 \tan t) dt = \frac{1}{3} [t \cos 2 + \sin 2 \ln |\sec t|] + c$.
$t = 3x+2$ મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{3} [(3x+2) \cos 2 + \sin 2 \ln |\sec (3x+2)|] + c = x \cos 2 + \frac{1}{3} \sin 2 \ln |\sec (3x+2)| + c'$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $I = \int(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}) dx$.
કારણ કે $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$,તેથી $\sqrt{1-\sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|$ અને $\sqrt{1+\sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}|$.
$\frac{5 \pi}{2} < x < \frac{7 \pi}{2}$ માટે,$\frac{5 \pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{7 \pi}{4}$ થાય.
આ અંતરાલમાં,$\cos \frac{x}{2} < 0$ અને $\sin \frac{x}{2} < 0$,અને ખાસ કરીને $\cos \frac{x}{2} < \sin \frac{x}{2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{1-\sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ અને $\sqrt{1+\sin x} = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
$I = \int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) dx = \int -2 \cos \frac{x}{2} dx = -4 \sin \frac{x}{2} + C$.
તેથી $f(x) = -4 \sin \frac{x}{2}$.
ત્યારબાદ $f'(x) = -2 \cos \frac{x}{2}$.
$f'(\frac{8 \pi}{3}) = -2 \cos \frac{4 \pi}{3} = -2 (-\frac{1}{2}) = 1$.

(C) ખંડશઃ સંકલન $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$\int x^3 \sin 3x \, dx = x^3 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) - \int 3x^2 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) dx = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \int x^2 \cos 3x \, dx$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \left( x^2 \frac{\sin 3x}{3} - \int 2x \frac{\sin 3x}{3} \, dx \right)$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \int x \sin 3x \, dx$
હવે,$\int x \sin 3x \, dx = x \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) - \int 1 \left( \frac{-\cos 3x}{3} \right) dx = -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9}$
કિંમત મૂકતા:
$\int x^3 \sin 3x \, dx = -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} - \frac{2}{3} \left( -\frac{x \cos 3x}{3} + \frac{\sin 3x}{9} \right)$
$= -\frac{x^3 \cos 3x}{3} + \frac{x^2 \sin 3x}{3} + \frac{2x \cos 3x}{9} - \frac{2 \sin 3x}{27}$
$= \cos 3x \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} \right) + \sin 3x \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27} \right) + c$
$f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9}$ અને $g(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27}$ મળે છે.
તેથી $27(f(x) + x g(x)) = 27 \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} + x \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2}{27} \right) \right)$
$= 27 \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{2x}{9} + \frac{x^3}{3} - \frac{2x}{27} \right) = 27 \left( \frac{6x - 2x}{27} \right) = 4x$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x(g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$.
આપેલ છે કે $\int e^x(x^3+x^2-x+4) dx = e^x f(x) + c$,તેથી $f(x) + f'(x) = x^3+x^2-x+4$.
ધારો કે $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1$,તો $f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$.
સરવાળો કરતા: $f(x) + f'(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1 + 3x^2 - 4x + 3 = x^3 + x^2 - x + 4$.
આ આપેલ પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 3(1) + 1 = 1 - 2 + 3 + 1 = 3$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -\frac{\pi}{8}$ અને $b = \frac{\pi}{8}$,તેથી $a+b = 0$ મળે છે.
$I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(-4 x)}{1+e^{-4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+\frac{1}{e^{4 x}}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{e^{4 x} \sin ^4(4 x)}{e^{4 x}+1} d x$ ....(ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{(1+e^{4 x}) \sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$
$\sin^4(4x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$,તેથી $I = \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$ મળે.
ધારો કે $4x = t$,તો $4 dx = dt$,એટલે કે $dx = \frac{1}{4} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{8}, t=\frac{\pi}{2}$.
$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 t d t$.
વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt = \frac{(n-1)!!}{n!!} \times \frac{\pi}{2}$ (જ્યાં $n$ યુગ્મ છે) નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3 \times 1}{4 \times 2} \times \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{3 \pi}{16} = \frac{3 \pi}{64}$.

(C) ધારો કે $x = 2 \sin \theta$,તેથી $dx = 2 \cos \theta \, d\theta$.
જ્યારે $x = -2$,ત્યારે $\theta = -\frac{\pi}{2}$ અને જ્યારે $x = 2$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (2 \sin \theta)^4 (4 - 4 \sin^2 \theta)^{7/2} (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16 \sin^4 \theta (4 \cos^2 \theta)^{7/2} (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 16 \sin^4 \theta (2^7 \cos^7 \theta) (2 \cos \theta) \, d\theta$
$I = 16 \times 2^8 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$I = 2 \times 2^{12} \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta = 2^{13} \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^8 \theta \, d\theta$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2^{13} \times \frac{(3 \times 1) \times (7 \times 5 \times 3 \times 1)}{12 \times 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2} \times \frac{\pi}{2}$
$I = 2^{13} \times \frac{315}{46080} \times \pi = 28 \pi$.

(C) આપેલ છે $9 > m > l > s > n > r > 2$ ... $(i)$
$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = 4 \int_0^\pi \sin ^m x \cos ^n x \, dx$ માટે,$[-2\pi, 2\pi]$ પરનું સંકલન $4 \int_0^{\pi} f(x) dx$ થાય જો $m$ બેકી સંખ્યા હોય. તેથી,$m = 8$.
$\int_{-\pi}^\pi \sin ^r x \cos ^s x \, dx = 4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^r x \cos ^s x \, dx$ માટે,આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $r$ અને $s$ બંને બેકી સંખ્યા હોય. શરતો $9 > m > l > s > n > r > 2$ અને $m=8$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણી પાસે $8 > l > s > n > r > 2$ છે.
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^l x \cos ^m x \, dx = 0$ માટે,વિધેય અયુગ્મ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $l$ એકી સંખ્યા છે.
$m=8$ સાથે,બાકીના પૂર્ણાંકો $7, 6, 5, 4, 3$ છે.
$l$ એકી સંખ્યા છે અને $l < 8$ હોવાથી,$l=7$.
$s$ બેકી સંખ્યા છે અને $s < 7$ હોવાથી,$s=6$.
$n < 6$ અને $n > r > 2$ હોવાથી,$n=5, r=4$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(s-2)(s+2) = (6-2)(6+2) = 4 \times 8 = 32$.
$ln - 3 = (7 \times 5) - 3 = 35 - 3 = 32$.
આમ,$(s-2)(s+2) = ln - 3$ સાચું છે.

(B) ધારો કે $I = \frac{3}{25} \int_0^{25 \pi} \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|} \, dx$.
વિધેય $f(x) = \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|}$ નો આવર્તમાન $\pi$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$I = \frac{3}{25} \times 25 \int_0^{\pi} \sqrt{|\cos x(1 - \cos^2 x)|} \, dx = 3 \int_0^{\pi} \sqrt{|\cos x| \sin^2 x} \, dx = 3 \int_0^{\pi} \sin x \sqrt{|\cos x|} \, dx$.
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સંકલનનું વિભાજન કરતા:
$I = 3 \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sqrt{\cos x} \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sqrt{-\cos x} \, dx \right)$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = \cos x$ લેતા,$du = -\sin x \, dx$:
$3 \int_0^1 u^{1/2} \, du = 3 \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = 3 \times \frac{2}{3} = 2$.
બીજા ભાગ માટે,$u = \cos x$ લેતા,$du = -\sin x \, dx$:
$3 \int_{-1}^0 \sqrt{-u} \, du = 3 \int_0^1 \sqrt{v} \, dv = 3 \left[ \frac{v^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = 2$.
આમ,$I = 2 + 2 = 4$.

(B) ધારો કે $I = \int_{\frac{-3}{4}}^{\frac{\pi-6}{8}} \log (\sin (4 x+3)) \, dx$.
$t = 4x + 3$ આદેશ લેતા,$dt = 4 \, dx$,તેથી $dx = \frac{dt}{4}$.
જ્યારે $x = \frac{-3}{4}$,ત્યારે $t = 4(\frac{-3}{4}) + 3 = 0$.
જ્યારે $x = \frac{\pi-6}{8}$,ત્યારે $t = 4(\frac{\pi-6}{8}) + 3 = \frac{\pi-6}{2} + 3 = \frac{\pi}{2} - 3 + 3 = \frac{\pi}{2}$.
આમ,સંકલન $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \, dt$ બને છે.
પ્રમાણિત નિશ્ચિત સંકલન ગુણધર્મ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \log 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{4} \times (-\frac{\pi}{2} \log 2) = -\frac{\pi}{8} \log 2$.

(A) ધારો કે $I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{\sec^2 x + (\tan^{2022} x - 1)(\sec^2 x - 1)}$.
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ અને $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$ હોવાથી:
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^2 x + (\tan^{2022} x - 1)\tan^2 x}$
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^2 x + \tan^{2024} x - \tan^2 x} = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^{2024} x}$ ... $(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \pi/5$ અને $b = 3\pi/10$,$a+b = \pi/2$:
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^{2024}(\pi/2 - x)} = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \cot^{2024} x}$
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{\tan^{2024} x}{1 + \tan^{2024} x} dx$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{1 + \tan^{2024} x}{1 + \tan^{2024} x} dx = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} dx = \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10}$
તેથી,$I = \frac{\pi}{20}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos 4x = 2 \sin^2(2x)$.
તેથી,$\sqrt{1 - \cos 4x} = \sqrt{2 \sin^2(2x)} = \sqrt{2} |\sin 2x|$.
સંકલન $\int_0^{32 \pi} \sqrt{2} |\sin 2x| \, dx = \sqrt{2} \int_0^{32 \pi} |\sin 2x| \, dx$ બને છે.
કારણ કે $|\sin 2x|$ એ $\frac{\pi}{2}$ આવર્તકાળ ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે,અને અંતરાલ $[0, 32 \pi]$ માં $\frac{32 \pi}{\pi/2} = 64$ આવર્તકાળ છે.
તેથી,$\int_0^{32 \pi} |\sin 2x| \, dx = 64 \int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $64 \left[ -\frac{\cos 2x}{2} \right]_0^{\pi/2} = 64 \left( -\frac{\cos \pi}{2} - (-\frac{\cos 0}{2}) \right) = 64 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 64$.
અચળાંક $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,અંતિમ જવાબ $64 \sqrt{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{16} \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$.
બીજગણિતીય સાદુરૂપ આપતા,આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+1-1}{1+\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{1+\sqrt{x}}$.
તેથી,$I = \int_0^{16} 1 dx - \int_0^{16} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx = 16 - \int_0^{16} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx$.
$\int_0^{16} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,$t = 1+\sqrt{x}$ આદેશ લેતા,જેથી $\sqrt{x} = t-1$ અને $x = (t-1)^2$,જે આપણને $dx = 2(t-1) dt$ આપે છે.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=1$. જ્યારે $x=16$,ત્યારે $t=1+\sqrt{16}=5$.
તેથી,$\int_0^{16} \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx = \int_1^5 \frac{2(t-1)}{t} dt = 2 \int_1^5 (1 - \frac{1}{t}) dt = 2 [t - \ln|t|]_1^5$.
$= 2 [(5 - \ln 5) - (1 - \ln 1)] = 2 [4 - \ln 5] = 8 - 2 \ln 5$.
આમ,$I = 16 - (8 - 2 \ln 5) = 8 + 2 \ln 5$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi (\sin^3 x + \cos^2 x)^2 dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય,તો આપણે જોઈએ છીએ કે $(\sin^3(\pi-x) + \cos^2(\pi-x))^2 = (\sin^3 x + \cos^2 x)^2$.
તેથી,$I = 2 \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^4 x + 2 \sin^3 x \cos^2 x) dx$.
વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (જ્યારે $n$ બેકી હોય) અથવા $\frac{(n-1)!!}{n!!}$ (જ્યારે $n$ એકી હોય) નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 [ \int_0^{\pi/2} \sin^6 x dx + \int_0^{\pi/2} \cos^4 x dx + 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 x \cos^2 x dx ]$.
$I = 2 [ (\frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}) + (\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2}) + 2 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx ]$.
ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$.
$2 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx = 2 \int_0^1 (u^2 - u^4) du = 2 [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_0^1 = 2(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 2(\frac{2}{15}) = \frac{4}{15}$.
$I = 2 [ \frac{5\pi}{32} + \frac{3\pi}{16} ] + \frac{4}{15} = 2 [ \frac{5\pi + 6\pi}{32} ] + \frac{4}{15} = \frac{11\pi}{16} + \frac{4}{15}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{15}}^{\frac{\pi}{15}} \frac{\cos 5 x}{1+e^{5 x}} d x$.
ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \left( \frac{\cos 5x}{1+e^{5x}} + \frac{\cos(-5x)}{1+e^{-5x}} \right) dx$.
કારણ કે $\cos(-5x) = \cos(5x)$ અને $\frac{1}{1+e^{-5x}} = \frac{e^{5x}}{e^{5x}+1}$,પદ આ મુજબ બનશે:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \left( \frac{\cos 5x}{1+e^{5x}} + \frac{e^{5x} \cos 5x}{1+e^{5x}} \right) dx$.
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \frac{\cos 5x (1+e^{5x})}{1+e^{5x}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \cos 5x dx$.
$I = \left[ \frac{\sin 5x}{5} \right]_{0}^{\frac{\pi}{15}} = \frac{1}{5} \left( \sin \frac{\pi}{3} - \sin 0 \right)$.
$I = \frac{1}{5} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{10}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \left(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\right)^{1/2} + \frac{d^2y}{dx^2} + 5$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{d^2y}{dx^2} - 5 = \left(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\right)^{1/2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{dy}{dx} - \frac{d^2y}{dx^2} - 5\right)^2 = \frac{d^2y}{dx^2} + 2$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + 25 - 2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 10\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dx^2} + 2$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 9\frac{d^2y}{dx^2} + 23 = 0$
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી વધુ વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ છે $y = \sin ax + \cos bx$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = \frac{d}{dx}(\sin ax) + \frac{d}{dx}(\cos bx) = a \cos ax - b \sin bx$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન મેળવવા માટે ફરીથી વિકલન કરતા:
$y'' = \frac{d}{dx}(a \cos ax - b \sin bx) = -a^2 \sin ax - b^2 \cos bx$.
હવે,$y''$ અને $y$ ની કિંમત $y'' + b^2 y$ માં મૂકતા:
$y'' + b^2 y = (-a^2 \sin ax - b^2 \cos bx) + b^2(\sin ax + \cos bx)$.
$y'' + b^2 y = -a^2 \sin ax - b^2 \cos bx + b^2 \sin ax + b^2 \cos bx$.
$y'' + b^2 y = (b^2 - a^2) \sin ax$.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = A e^{-x} + B \cos x$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = -A e^{-x} - B \sin x$ ... $(ii)$
ફરીથી વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = A e^{-x} - B \cos x$ ... $(iii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$B$ નો લોપ કરતા: $y \sin x + \frac{dy}{dx} \cos x = A e^{-x} (\sin x - \cos x)$ ... $(iv)$
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી,$B$ નો લોપ કરતા: $y + \frac{d^2y}{dx^2} = 2 A e^{-x}$ ... $(v)$
$(iv)$ અને $(v)$ પરથી,$A$ નો લોપ કરતા: $y \sin x + \frac{dy}{dx} \cos x = \frac{1}{2} (y + \frac{d^2y}{dx^2}) (\sin x - \cos x)$
$2$ વડે ગુણતા: $2y \sin x + 2 \frac{dy}{dx} \cos x = (y + \frac{d^2y}{dx^2}) (\sin x - \cos x)$
પદોને ગોઠવતા: $(\cos x - \sin x) \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \cos x \frac{dy}{dx} + (\sin x + \cos x) y = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{\sin (2 x+y)}{\cos x}+2=0$ છે ....$(i)$
ધારો કે $2 x+y=t$. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$,તેથી $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-2$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(\frac{d t}{d x}-2) + \frac{\sin t}{\cos x} + 2 = 0$
$\frac{d t}{d x} + \frac{\sin t}{\cos x} = 0$
$\frac{d t}{\sin t} = -\frac{d x}{\cos x}$
$\operatorname{cosec} t \, dt = -\sec x \, dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \operatorname{cosec} t \, dt = -\int \sec x \, dx$
$\ln|\operatorname{cosec} t - \cot t| = -\ln|\sec x + \tan x| + C_1$
$\ln|\operatorname{cosec} t - \cot t| + \ln|\sec x + \tan x| = C_1$
$\ln|(\sec x + \tan x)(\operatorname{cosec} t - \cot t)| = C_1$
$(\sec x + \tan x)(\operatorname{cosec} t - \cot t) = e^{C_1} = C$
$t = 2x+y$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(\sec x + \tan x)[\operatorname{cosec}(2x+y) - \cot(2x+y)] = C$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy-y^2}{3x^2-2xy}$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y=vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v+x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v+x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v}$
$x\frac{dv}{dx} = \frac{2v-v^2}{3-2v} - v = \frac{2v-v^2-3v+2v^2}{3-2v} = \frac{v^2-v}{3-2v}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\frac{3-2v}{v^2-v} dv = \frac{dx}{x}$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3-2v}{v(v-1)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v-1} \Rightarrow 3-2v = A(v-1) + Bv$.
$v=0$ માટે,$A=-3$. $v=1$ માટે,$B=-1$.
તેથી,$\int (\frac{-3}{v} - \frac{1}{v-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-3\ln|v| - \ln|v-1| = \ln|x| + \ln|c|$
$\ln|v^3(v-1)|^{-1} = \ln|cx| \Rightarrow v^3(v-1) = \frac{1}{cx}$
$v=\frac{y}{x}$ મૂકતા: $(\frac{y}{x})^3(\frac{y}{x}-1) = \frac{1}{cx} \Rightarrow \frac{y^3(y-x)}{x^4} = \frac{1}{cx} \Rightarrow y^3(y-x) = \frac{x^3}{c}$
આમ,$xy-x^2=cy^3$ એ માંગેલ ઉકેલ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^2+1}{2 y^3-4 x y+y}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{d x}{d y}=\frac{2 y^3-4 x y+y}{2 y^2+1} = \frac{y(2 y^2+1) - 4 x y}{2 y^2+1} = y - \frac{4 x y}{2 y^2+1}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{d x}{d y} + \left(\frac{4 y}{2 y^2+1}\right) x = y$ મળે.
આ $\frac{d x}{d y} + P(y) x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{4 y}{2 y^2+1}$ અને $Q(y) = y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(y) d y} = e^{\int \frac{4 y}{2 y^2+1} d y} = e^{\ln(2 y^2+1)} = 2 y^2+1$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x(IF) = \int Q(y)(IF) d y + C$ છે.
$x(2 y^2+1) = \int y(2 y^2+1) d y + C = \int (2 y^3+y) d y + C$ મળે.
$x(2 y^2+1) = \frac{2 y^4}{4} + \frac{y^2}{2} + C = \frac{y^4}{2} + \frac{y^2}{2} + C$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$2 x(2 y^2+1) = y^4+y^2+2C$,જેનું સાદું રૂપ $4 x y^2+2 x = y^4+y^2+C$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(9x - 3y + 5) dy = (3x - y + 1) dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - y + 1}{3(3x - y) + 5}$
ધારો કે $v = 3x - y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 3 - \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = 3 - \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3 - \frac{dv}{dx} = \frac{v + 1}{3v + 5}$
$\frac{dv}{dx} = 3 - \frac{v + 1}{3v + 5} = \frac{8v + 14}{3v + 5}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{3v + 5}{8v + 14} dv = dx$
સંકલન કરતા: $\int \frac{3v + 5}{8v + 14} dv = \int dx$
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3}{8} v - \frac{1}{64} \ln |8v + 14| = x + C$
$v = 3x - y$ મૂકતા: $\frac{3}{8}(3x - y) - \frac{1}{64} \ln |24x - 8y + 14| = x + C$
બંને બાજુ $64$ વડે ગુણતા: $24(3x - y) - \ln |24x - 8y + 14| = 64x + C'$
$72x - 24y - \ln |2(12x - 4y + 7)| = 64x + C'$
$8x - 24y - \ln |12x - 4y + 7| = C''$
$2$ વડે ભાગતા: $4x - 12y - \frac{1}{2} \ln |12x - 4y + 7| = C$,જે વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = \sin x + A \cos x$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \cos x - A \sin x$ (ii)
$(i)$ પરથી,$A \cos x = y - \sin x$,તેથી $A = \frac{y - \sin x}{\cos x}$.
$A$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \cos x - (\frac{y - \sin x}{\cos x}) \sin x$
$\frac{dy}{dx} = \cos x - y \tan x + \sin x \tan x$
$\frac{dy}{dx} + y \tan x = \cos x + \sin x \tan x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$
આને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + f(x)y = Q(x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \tan x$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int f(x) dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(6x^2 - 2xy - 18x + 3y)dx - (x^2 - 3x)dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(6x^2 - 18x)dx + (3y - 2xy)dx - (x^2 - 3x)dy = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(6x^2 - 18x)dx + 3ydx - 2xydx - x^2dy + 3xdy = 0$.
પદોને જૂથમાં લેતા: $(6x^2 - 18x)dx + 3(ydx + xdy) - (2xydx + x^2dy) = 0$.
દરેક ભાગનું સંકલન કરતા: $\int (6x^2 - 18x)dx + 3\int d(xy) - \int d(x^2y) = 0$.
આથી આપણને મળે છે: $2x^3 - 9x^2 + 3xy - x^2y + c = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5y+3}{5x+2y-3}$
પદોને ગોઠવતા: $(5x+2y-3)dy = (2x-5y+3)dx$
$(5x+2y-3)dy - (2x-5y+3)dx = 0$
$5x dy + 2y dy - 3 dy - 2x dx + 5y dx - 3 dx = 0$
પદોને જૂથમાં લેતા: $5(x dy + y dx) + (2y dy - 2x dx) - (3 dy + 3 dx) = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $5 d(xy) + d(y^2) - d(x^2) - 3 d(x+y) = 0$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $5xy + y^2 - x^2 - 3(x+y) = C$
વક્ર બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા:
$5(1)(1) + (1)^2 - (1)^2 - 3(1+1) = C$
$5 + 1 - 1 - 6 = C \Rightarrow C = -1$
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $5xy + y^2 - x^2 - 3x - 3y = -1$
ગોઠવતા: $x^2 - 5xy - y^2 + 3x + 3y - 1 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{A} = \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = 2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{D} = \frac{\vec{B}+\vec{C}}{2} = \frac{(2+1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-2)\hat{k}}{2} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{k}$.
$E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{E} = \frac{\vec{C}+\vec{A}}{2} = \frac{(1+1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-2+1)\hat{k}}{2} = \hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$.
હવે,$\overrightarrow{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (1 - \frac{3}{2})\hat{i} + (-\frac{3}{2} - 0)\hat{j} + (-\frac{1}{2} - (-\frac{3}{2}))\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{DE}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધવા માટે,આપણે તેનું માન શોધીએ: $|\overrightarrow{DE}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \sqrt{\frac{10}{4} + 1} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.
એકમ સદિશ $\frac{\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{DE}|} = \frac{-\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \hat{k}}{\frac{\sqrt{14}}{2}} = \frac{-\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{14}}$ છે.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i}+\hat{j}$,$\vec{B} = \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{C} = \hat{k}+\hat{i}$,$\vec{D} = \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{E} = \hat{j}-\hat{k}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{A} + \lambda(\vec{B}-\vec{A}) = (\hat{i}+\hat{j}) + \lambda(-\hat{i}+\hat{k})$ છે.
તેથી,$x = 1-\lambda, y = 1, z = \lambda$.
$C, D, E$ માંથી પસાર થતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\vec{D}-\vec{C}) \times (\vec{E}-\vec{C})$ છે.
$\vec{D}-\vec{C} = -\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{E}-\vec{C} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{n} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $3x + y - z = 0$ મળે છે.
રેખાના યામ સમતલમાં મુકતા: $3(1-\lambda) + 1 - \lambda = 0 \Rightarrow 4 = 4\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
આમ,છેદબિંદુ $\frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$ છે.

(D) ધારો કે ત્રણ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{P} = \lambda \vec{a}-2 \vec{b}+\vec{c}$,$\vec{Q} = 2 \vec{a}+\lambda \vec{b}-2 \vec{c}$,અને $\vec{R} = 4 \vec{a}+7 \vec{b}-8 \vec{c}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{QR}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{PQ} = k \vec{QR}$.
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (2-\lambda) \vec{a} + (\lambda+2) \vec{b} - 3 \vec{c}$.
$\vec{QR} = \vec{R} - \vec{Q} = 2 \vec{a} + (7-\lambda) \vec{b} - 6 \vec{c}$.
$\vec{PQ} = k \vec{QR}$ હોવાથી:
$(2-\lambda) \vec{a} + (\lambda+2) \vec{b} - 3 \vec{c} = k [2 \vec{a} + (7-\lambda) \vec{b} - 6 \vec{c}]$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય હોવાથી,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\vec{c}$ માટે: $-3 = -6k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$.
$\vec{a}$ માટે: $2-\lambda = 2k = 2(\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\vec{b}$ માટે: $\lambda+2 = k(7-\lambda) = \frac{1}{2}(7-\lambda) \Rightarrow 2\lambda+4 = 7-\lambda \Rightarrow 3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ માટે બંને શરતો સંતોષાય છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
બિંદુ $C$ એ $AB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{c} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{a}}{3+2} = \frac{3(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + 2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})}{5}$
$\vec{c} = \frac{(3+4)\hat{i} + (6-6)\hat{j} + (-9+2)\hat{k}}{5} = \frac{7}{5} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{7}{5} \hat{k}$
બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = 3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) - (\frac{7}{5} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{7}{5} \hat{k})$
$\overrightarrow{CD} = (3 - \frac{7}{5}) \hat{i} + (-1 - 0) \hat{j} + (2 + \frac{7}{5}) \hat{k} = \frac{8}{5} \hat{i} - \hat{j} + \frac{17}{5} \hat{k} = \frac{1}{5} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})$
$\overrightarrow{CD}$ નું માન $|\overrightarrow{CD}| = \frac{1}{5} \sqrt{8^2 + (-5)^2 + 17^2} = \frac{1}{5} \sqrt{64 + 25 + 289} = \frac{1}{5} \sqrt{378} = \frac{1}{5} \sqrt{9 \times 42} = \frac{3 \sqrt{42}}{5}$ છે.
$\overrightarrow{CD}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|} = \frac{\frac{1}{5} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})}{\frac{3 \sqrt{42}}{5}} = \frac{1}{3 \sqrt{42}} (8 \hat{i} - 5 \hat{j} + 17 \hat{k})$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને લંબ છે,તેથી $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ અને $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ થાય.
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \times 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 6$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 + 5^2 + 2(6) + 0 + 0$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 9 + 8 + 25 + 12 = 54$.
તેથી,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(1) + (-1)(3) + (2)(-2) = 4 - 3 - 4 = -3$ છે.
માન $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{21}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{14}$ છે.
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{21} \sqrt{14}} = \frac{-3}{7 \sqrt{6}}$ છે.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{294} = \frac{285}{294}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{285}}{7 \sqrt{6}}$ મળે.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left( \frac{\sqrt{285}}{7 \sqrt{6}} \right) \left( \frac{-3}{7 \sqrt{6}} \right) = -\frac{\sqrt{285}}{49}$ થાય.

(D) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
પ્રથમ,માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$.
અહીં $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ હોવાથી,આંતરિક ખૂણાનો દ્વિભાજક $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = (2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 3 \hat{i} + 3 \hat{k}$.
દ્વિભાજકની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{3 \hat{i} + 3 \hat{k}}{\sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{3 \hat{i} + 3 \hat{k}}{3 \sqrt{2}} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$.
આ દિશામાં $\sqrt{2}$ માન ધરાવતો સદિશ $\sqrt{2} \times \hat{u} = \sqrt{2} \times \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{k}$ છે.

(D) સદિશ $\vec{r}$ એ $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{j} + 2 \hat{k}$ દ્વારા નક્કી થતા સમતલને લંબ છે. તેથી,$\vec{r}$ એ $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(4 - 0) + \hat{k}(2 - 0) = -2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{r} = \lambda(-2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2\lambda(-\hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{v} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ પર $\vec{r}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec{r} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.
$\vec{r} \cdot \vec{v} = \lambda(-2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = \lambda(-4 - 4 + 4) = -4\lambda$.
તેથી,$\frac{|-4\lambda|}{3} = 1 \Rightarrow |\lambda| = \frac{3}{4}$.
$|\vec{r}| = |\lambda| \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \frac{3}{4} \sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{3}{4} \sqrt{24} = \frac{3}{4} \times 2 \sqrt{6} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4$ અને $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}$.
નિત્યસમ $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$37 = 3^2 + 4^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$37 = 9 + 16 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$
$37 = 25 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 6$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,તેથી $6 = 3 \cdot 4 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = 60^{\circ}$ અને $\sin \theta = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
હવે,$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k^2 = 9 + 16 - 12 = 13$.
અંતે,$\frac{4}{13}(k \sin \theta)^2 = \frac{4}{13} \cdot k^2 \sin^2 \theta = \frac{4}{13} \cdot 13 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{d} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે જેથી $x^2+y^2+z^2=1$.
કારણ કે $\vec{d} \perp \vec{c}$,તેથી $\vec{d} \cdot \vec{c} = 0 \Rightarrow -x + 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$.
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ સમતલીય છે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(2z + y) - (-1)(0 + x) = 0 \Rightarrow 4z + 2y + x = 0$.
$x = 2z$ મૂકતા: $4z + 2y + 2z = 0 \Rightarrow 2y = -6z \Rightarrow y = -3z$.
હવે,એકમ સદિશની શરત $x^2+y^2+z^2=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $(2z)^2 + (-3z)^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 4z^2 + 9z^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 14z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{14}$.
આપણે $|\vec{d} \cdot \vec{b}| = |(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{j} - \hat{k})| = |2y - z|$ શોધવાનું છે.
$y = -3z$ મૂકતા: $|2(-3z) - z| = |-7z| = 7|z|$.
$z^2 = \frac{1}{14}$ હોવાથી,$|z| = \frac{1}{\sqrt{14}}$.
તેથી,$|\vec{d} \cdot \vec{b}| = 7 \times \frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{49}{14}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ ને સમાંતર $\vec{b}$ ના ઘટકનું માન શોધવાનું સૂત્ર $\frac{|\vec{b} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \cdot \vec{a} = (6)(4) + (-2)(5) + (-2)(-3) = 24 - 10 + 6 = 20$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ શોધો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
માન $= \frac{|20|}{5 \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ પરથી,આપણને મળે:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$
$(2z-y) \hat{i} - (z-x) \hat{j} + (y-2x) \hat{k} = 3 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2z-y=3$ $(i)$
$x-z=-3 \Rightarrow z-x=3$ (ii)
$y-2x=3$ (iii)
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$,તેથી $x+2y+z=3$ (iv).
(ii) પરથી,$z=x+3$. (iv) માં મૂકતા: $x+2y+x+3=3 \Rightarrow 2x+2y=0 \Rightarrow y=-x$.
(iii) માં $y=-x$ મૂકતા: $-x-2x=3 \Rightarrow -3x=3 \Rightarrow x=-1$.
તેથી $y=1$ અને $z=2$. આમ,$\vec{c}=-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$.
હવે,$\vec{c} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & -3 & 3 \end{vmatrix} = (3+6) \hat{i} - (-3-6) \hat{j} + (3-3) \hat{k} = 9 \hat{i}+9 \hat{j}$.
આપણે $\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b} - \vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) = (\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (9 \hat{i}+9 \hat{j}) = 9+18=27$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-3) + (1)(3) = 3-6+3=0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$.
તેથી,$27 - 0 - 3 = 24$.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{2}$ અને કોઈપણ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = 1$.
તે જ રીતે,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 1$ અને $\vec{c} \cdot \vec{a} = 1$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{x} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = 1 \cdot \vec{b} - 1 \cdot \vec{c} = \vec{b} - \vec{c}$.
હવે,$|\vec{x}|^2 = |\vec{b} - \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 2 + 2 - 2(1) = 2$.
તે જ રીતે,$\vec{y} = \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = 1 \cdot \vec{c} - 1 \cdot \vec{a} = \vec{c} - \vec{a}$.
હવે,$|\vec{y}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 2 + 2 - 2(1) = 2$.
કારણ કે $|\vec{x}|^2 = 2$ અને $|\vec{y}|^2 = 2$,તેથી $|\vec{x}| = |\vec{y}| = \sqrt{2}$ થાય.

(C) કારણ કે $\vec{d}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને લંબ છે,તેથી તે $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{d} = \lambda(\vec{a} \times \vec{b})$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 4) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-2 - 1) = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
આપણે $\vec{d} = \mu(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ લખી શકીએ જ્યાં $\mu = -3\lambda$.
આપેલ છે કે $\vec{d} \cdot \vec{c} = 2$,તેથી $\vec{c} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ મૂકતા:
$\mu(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 2$
$\mu(2 + 1 - 1) = 2 \Rightarrow 2\mu = 2 \Rightarrow \mu = 1$.
તેથી,$\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ થાય.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$ શોધો:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(2+1) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. આપેલ છે કે $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$,તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{v}| = |\vec{a}| |\vec{v}| \sin \theta$ થાય.
અહીં $|\vec{a}| = 1$ હોવાથી,$|\vec{a} \times \vec{v}| = 1 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \perp \vec{b}$ અને $\vec{a} \perp \vec{c}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,આ સમીકરણ $2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$ માં પરિણમે છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
હવે,સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ધ્યાનમાં લો: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ હોવાથી,આપણને $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ મળે છે,તેથી $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = 0$.
આગળ,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ છે.
$\vec{a} \perp \vec{b}$,$\vec{a} \perp \vec{c}$ અને $\vec{b} \perp \vec{c}$ હોવાથી,સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$.
આમ,$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|+|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| + 0 = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 4 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k}$ એ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો છે.
$P$ અને $Q$ એ $AB$ નું ત્રિભાગ કરે છે,તેથી સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$ અને $\vec{q} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$ થશે.
$PQ$ ને $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ શોધવા માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{r} = \frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5} = \frac{3(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) + 2(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})}{5} = \frac{8\vec{a} + 7\vec{b}}{15}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા: $\vec{r} = \frac{8(2 \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}) + 7(4 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k})}{15} = \frac{44\hat{i}-33\hat{j}-18\hat{k}}{15}$.