TS EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $x^5-5x^3+5x^2-1=0$ છે.
બહુપદીના અવયવ પાડતા,આપણને $(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$ મળે છે.
ત્રણ સમાન બીજ $x=1, 1, 1$ છે.
અન્ય બે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+3x+1=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = -3$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a} = 1$.
તેથી,$\alpha+\beta+\alpha\beta = -3 + 1 = -2$.

(B) ધારો કે $y = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$. તો સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ બને છે.
$2y$ વડે ગુણતા,આપણને $2y^2 - 5y + 2 = 0$ મળે છે,જેનું અવયવીકરણ $(2y-1)(y-2) = 0$ થાય છે.
તેથી $y = 2$ અથવા $y = \frac{1}{2}$.
જો $y = 2$ હોય,તો $\frac{x}{1-x} = 4$ $\Rightarrow x = 4 - 4x$ $\Rightarrow 5x = 4$ $\Rightarrow x = \frac{4}{5}$.
જો $y = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\frac{x}{1-x} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4x = 1 - x$ $\Rightarrow 5x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
$p > q$ આપેલ હોવાથી,$p = \frac{4}{5}$ અને $q = \frac{1}{5}$ મળે.
તેથી $p+q = 1$,$pq = \frac{4}{25}$,અને $\frac{p}{q} = 4$.
બીજું સમીકરણ $1x^4 - \frac{4}{25}x^2 + 4 = 0$ છે,અથવા $25x^4 - 4x^2 + 100 = 0$.
બહુપદી $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\Sigma \alpha = -\frac{b}{a} = 0$.
બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{25}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma \delta = \frac{e}{a} = \frac{100}{25} = 4$.
તેથી,$(\Sigma \alpha)^2 - \Sigma \alpha \beta + \alpha \beta \gamma \delta = (0)^2 - (-\frac{4}{25}) + 4 = \frac{4}{25} + 4 = \frac{4 + 100}{25} = \frac{104}{25}$.

(C) આપણી પાસે છે,$x^4+x^2+1 = x^4+2x^2+1-x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$.
ધારો કે $F_1 = x^2+x+1$ અને $F_2 = x^2-x+1$.
તેથી,$\frac{x^3-2x^2+3x-4}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+x+1} + \frac{Cx+D}{x^2-x+1}$.
બંને બાજુ $x^4+x^2+1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$x^3-2x^2+3x-4 = (Ax+B)(x^2-x+1) + (Cx+D)(x^2+x+1)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^3-2x^2+3x-4 = (A+C)x^3 + (B-A+C+D)x^2 + (A-B+C+D)x + (B+D)$.
સમાન ઘાતવાળા પદોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) A+C = 1$
$2) B-A+C+D = -2$
$3) A-B+C+D = 3$
$4) B+D = -4$
આપણે $A+B+C+D$ શોધવું છે. સમીકરણ $(1)$ પરથી,$A+C=1$. સમીકરણ $(4)$ પરથી,$B+D=-4$.
તેથી,$A+B+C+D = (A+C) + (B+D) = 1 + (-4) = -3$.

(A) આપેલ છે કે,$(x-2)(x-3) = k^2$,જ્યાં $k \in R$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 5x + 6 - k^2 = 0$.
આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$b = -5$,અને $c = 6 - k^2$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (-5)^2 - 4(1)(6 - k^2) = 25 - 24 + 4k^2 = 1 + 4k^2$.
દરેક $k \in R$ માટે $k^2 \ge 0$ હોવાથી,$1 + 4k^2 \ge 1$ થાય.
આમ,$D > 0$.
વિવેચક ધન હોવાથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોય છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3-9x^2+26x-24=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે જ્યાં $\alpha = 2\beta$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$1$) $\alpha + \beta + \gamma = 9$ $\Rightarrow 3\beta + \gamma = 9$ $\Rightarrow \gamma = 9 - 3\beta$
$2$) $\alpha\beta\gamma = 24$ $\Rightarrow (2\beta)\beta\gamma = 24$ $\Rightarrow \beta^2\gamma = 12$
બીજા સમીકરણમાં $\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$\beta^2(9 - 3\beta) = 12$ $\Rightarrow 9\beta^2 - 3\beta^3 = 12$ $\Rightarrow \beta^3 - 3\beta^2 + 4 = 0$
આ ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(\beta + 1)(\beta - 2)^2 = 0$.
તેથી,$\beta = -1$ અથવા $\beta = 2$.
કિસ્સો $1$: જો $\beta = -1$,તો $\alpha = 2\beta = -2$. ઘનનો સરવાળો $\alpha^3 + \beta^3 = (-2)^3 + (-1)^3 = -8 - 1 = -9$.
કિસ્સો $2$: જો $\beta = 2$,તો $\alpha = 2\beta = 4$. ઘનનો સરવાળો $\alpha^3 + \beta^3 = 4^3 + 2^3 = 64 + 8 = 72$.
જેથી સાચો જવાબ $72$ છે.

(C) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{3x-2}{(x+1)^2(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+3}$
બંને બાજુ $(x+1)^2(x+3)$ વડે ગુણતા: $3x-2 = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^2$
$x = -1$ લેતા: $3(-1)-2 = B(-1+3)$ $\Rightarrow -5 = 2B$ $\Rightarrow B = -\frac{5}{2}$
$x = -3$ લેતા: $3(-3)-2 = C(-3+1)^2$ $\Rightarrow -11 = 4C$ $\Rightarrow C = -\frac{11}{4}$
બંને બાજુ $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + C \Rightarrow A = -C = \frac{11}{4}$
તેથી,$A+B+C = \frac{11}{4} - \frac{5}{2} - \frac{11}{4} = -\frac{5}{2}$

(C) કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+5x+2=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha^2+5\alpha+2=0$ અને $\beta^2+5\beta+2=0$ થાય.
આના પરથી,$5\alpha+2 = -\alpha^2$ અને $5\beta+2 = -\beta^2$ મળે.
વળી,બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha+\beta = -5$ અને $\alpha\beta = 2$ થાય.
હવે,આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\alpha}{2+5\alpha}\right)^2+\left(\frac{\beta}{2+5\beta}\right)^2 = \left(\frac{\alpha}{-\alpha^2}\right)^2+\left(\frac{\beta}{-\beta^2}\right)^2$
$= \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2+\beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$= \frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$
$= \frac{(-5)^2-2(2)}{(2)^2} = \frac{25-4}{4} = \frac{21}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3$,તેથી $abc$ વડે ગુણતા $a^3+b^3+c^3=3abc$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $a+b+c=0$ અથવા $a=b=c$.
જો $a=b=c$ હોય,તો $E_1=E_2=E_3=a(x^2+x+1)$,જે સમાન બીજ ધરાવે છે.
જો $a+b+c=0$ હોય,તો $x=1$ એ $E_1, E_2, E_3$ માટે બીજ છે કારણ કે $a(1)^2+b(1)+c = a+b+c=0$.
$E_2$ અને $E_3$ માટે,બીજ $x=1$ અને $x=\frac{a}{b}$ ($E_2$ માંથી) તથા $x=\frac{a}{c}$ ($E_3$ માંથી) છે.
સામાન્ય બીજ $x=1$ છે. અન્ય બીજ $x=\frac{a}{b}$ અને $x=\frac{a}{c}$ છે.
$x=\frac{a}{b}$ અને $x=\frac{a}{c}$ બીજ ધરાવતી દ્વિઘાત પદાવલિ $(x-\frac{a}{b})(x-\frac{a}{c}) = x^2 - (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})x + \frac{a^2}{bc} = x^2 - \frac{a(b+c)}{bc}x + \frac{a^2}{bc}$ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha^2-3a\alpha+14=0$ અને $\alpha^2+2a\alpha-16=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(\alpha^2-3a\alpha+14) - (\alpha^2+2a\alpha-16) = 0$
$-5a\alpha + 30 = 0
$ $\Rightarrow 5a\alpha = 30
$ $\Rightarrow \alpha = \frac{6}{a}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\alpha = \frac{6}{a}$ મૂકતા:
$(\frac{6}{a})^2 - 3a(\frac{6}{a}) + 14 = 0$
$\frac{36}{a^2} - 18 + 14 = 0$
$\frac{36}{a^2} = 4
\Rightarrow a^2 = 9$.
હવે,$a^4+a^2 = (a^2)^2 + a^2 = (9)^2 + 9 = 81 + 9 = 90$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^2+2px-2p+8 > 0$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે છે.
કોઈપણ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c > 0$ એ તમામ $x \in R$ માટે સત્ય હોય,તો તેની શરતો $a > 0$ અને વિવેચક $D < 0$ છે.
અહીં,$a = 1 > 0$,જે સંતોષાય છે.
હવે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (2p)^2 - 4(1)(-2p+8) < 0$
$4p^2 + 8p - 32 < 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$p^2 + 2p - 8 < 0$
અવયવ પાડતા:
$(p+4)(p-2) < 0$
સાઇન સ્કીમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $p = -4$ અને $p = 2$ ની વચ્ચે ઋણ છે.
તેથી,$p$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ $p \in (-4, 2)$ છે.

(B) આપેલ છે $y = \frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y(x^2+4x+2) = 11x^2+12x+6$
$(y-11)x^2 + (4y-12)x + (2y-6) = 0$
કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના બરાબર હોવો જોઈએ:
$D = (4y-12)^2 - 4(y-11)(2y-6) \geq 0$
$16(y-3)^2 - 8(y-11)(y-3) \geq 0$
$8(y-3) [2(y-3) - (y-11)] \geq 0$
$8(y-3)(2y-6-y+11) \geq 0$
$8(y-3)(y+5) \geq 0$
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $y \leq -5$ અથવા $y \geq 3$ હોય.
આપેલ શરત $y < a$ અથવા $y \geq b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -5$ અને $b = 3$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2+x+a$. બીજ $a$ કરતા વધારે હોવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $D \geq 0$ $\Rightarrow 1-4a \geq 0$ $\Rightarrow a \leq \frac{1}{4}$.
$2$. $f(a) > 0$ $\Rightarrow a^2+a+a > 0$ $\Rightarrow a^2+2a > 0$ $\Rightarrow a(a+2) > 0$ $\Rightarrow a \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.
$3$. $-\frac{b}{2a} > a$ $\Rightarrow -\frac{1}{2} > a$ $\Rightarrow a < -\frac{1}{2}$.
આ ત્રણેય શરતોનો છેદ લેતા:
$a \in (-\infty, \frac{1}{4}] \cap ((-\infty, -2) \cup (0, \infty)) \cap (-\infty, -\frac{1}{2})$
$= (-\infty, -2)$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(p-3)x^2 + 2(p-3)x + 2p-5 = 0$ છે. બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $p \neq 3$.
$D = [2(p-3)]^2 - 4(p-3)(2p-5) > 0$
$4(p-3)^2 - 4(p-3)(2p-5) > 0$
$4(p-3)[(p-3) - (2p-5)] > 0$
$4(p-3)(-p+2) > 0$
$(p-3)(p-2) < 0$
તેથી,$2 < p < 3$. આમ,$\alpha = 2$ અને $\beta = 3$.
પદાવલિ $f(x) = -(2+3)x^2 + (2 \times 3)x + (2-3) = -5x^2 + 6x - 1$ થાય.
દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ (જ્યાં $a < 0$) નું મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{4ac - b^2}{4a}$ છે.
અહીં $a = -5, b = 6, c = -1$.
અંતિમ મૂલ્ય $= \frac{4(-5)(-1) - (6)^2}{4(-5)} = \frac{20 - 36}{-20} = \frac{-16}{-20} = \frac{4}{5}$.

(C) બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{x^4+x^3+2x^2-2x+1}{x^3+x^2} = x + \frac{2x^2-2x+1}{x^2(x+1)}$.
આને $P(x) + \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P(x) = x$ અને $\frac{2x^2-2x+1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ મળે છે.
$x^2(x+1)$ વડે ગુણતા,$2x^2-2x+1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$ મળે છે.
$x = 0$ લેતા,$1 = B(1) \Rightarrow B = 1$.
$x = -1$ લેતા,$2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = C(-1)^2$ $\Rightarrow 2+2+1 = C$ $\Rightarrow C = 5$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $2 = A + C$ $\Rightarrow 2 = A + 5$ $\Rightarrow A = -3$.
આમ,$A+B+C = -3 + 1 + 5 = 3$.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha = q$
$\alpha \beta \gamma = -r$
બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3 \alpha \beta \gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha)$
વળી,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) = (-p)^2 - 2q = p^2-2q$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-r) = (-p)(p^2-2q-q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 3r = -p(p^2-3q)$
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -p^3+3pq-3r$
તેથી,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3pq-3r-p^3$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3+3px^2+3qx+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. કારણ કે તેઓ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$x = \frac{1}{y}$ મૂકતા,આપણને $ry^3 + 3qy^2 + 3py + 1 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણના બીજ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,બીજનો સરવાળો $3a = -\frac{3q}{r}$ થાય,તેથી $a = -\frac{q}{r}$.
$a$ એ $ry^3 + 3qy^2 + 3py + 1 = 0$ નું બીજ હોવાથી,$r(-\frac{q}{r})^3 + 3q(-\frac{q}{r})^2 + 3p(-\frac{q}{r}) + 1 = 0$.
આને સાદું રૂપ આપતા $2q^3 = r(3pq-r)$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^5+15x^4+94x^3+305x^2+507x+353=0$ છે.
જો સમીકરણના તમામ બીજોને $k$ દ્વારા વધારવામાં આવે,તો રૂપાંતરિત સમીકરણ $x$ ને $(x-k)$ દ્વારા બદલીને મેળવવામાં આવે છે.
રૂપાંતરિત સમીકરણ $(x-k)^5+15(x-k)^4+94(x-k)^3+305(x-k)^2+507(x-k)+353=0$ છે.
$x^4$ પદને દૂર કરવા માટે,$x^4$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$x^4$ નો સહગુણક $\binom{5}{1}(-k) + 15 = -5k + 15$ છે.
$-5k + 15 = 0$ લેતા,આપણને $k = 3$ મળે છે.
હવે,$k=3$ ને રૂપાંતરિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x-3)^5+15(x-3)^4+94(x-3)^3+305(x-3)^2+507(x-3)+353=0$.
$x$ નો સહગુણક નીચે મુજબ છે:
$\binom{5}{4}(-3)^4 + 15 \times \binom{4}{3}(-3)^3 + 94 \times \binom{3}{2}(-3)^2 + 305 \times \binom{2}{1}(-3)^1 + 507$.
$= 5(81) + 15(4 \times -27) + 94(3 \times 9) + 305(2 \times -3) + 507$.
$= 405 - 1620 + 2538 - 1830 + 507 = 0$.
આમ,$x$ નો સહગુણક $0$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી સમીકરણ $x^n+px+q=0$ ના બીજ $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ છે,તેથી આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$x^n+px+q = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\ldots(x-\alpha_n)$.
બંને બાજુ $(x-\alpha_n)$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^n+px+q}{x-\alpha_n} = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\ldots(x-\alpha_{n-1})$.
બંને બાજુ $x \to \alpha_n$ લેતા:
$\lim_{x \to \alpha_n} \frac{x^n+px+q}{x-\alpha_n} = (\alpha_n-\alpha_1)(\alpha_n-\alpha_2)\ldots(\alpha_n-\alpha_{n-1})$.
ડાબી બાજુ માટે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to \alpha_n} \frac{\frac{d}{dx}(x^n+px+q)}{\frac{d}{dx}(x-\alpha_n)} = \lim_{x \to \alpha_n} (nx^{n-1}+p) = n\alpha_n^{n-1}+p$.
આમ,$(\alpha_n-\alpha_1)(\alpha_n-\alpha_2)\ldots(\alpha_n-\alpha_{n-1}) = n\alpha_n^{n-1}+p$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3-7x^2+14x-8=0$ છે. ધારો કે બીજ $k$ જેટલા ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી $y = x - k$,જેનો અર્થ છે $x = y + k$.
$x = y + k$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y+k)^3 - 7(y+k)^2 + 14(y+k) - 8 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(y^3 + 3y^2k + 3yk^2 + k^3) - 7(y^2 + 2yk + k^2) + 14(y + k) - 8 = 0$
$y^3 + y^2(3k - 7) + y(3k^2 - 14k + 14) + (k^3 - 7k^2 + 14k - 8) = 0$
આને $y^3 + py - \frac{20}{27} = 0$ સાથે સરખાવતા,$y^2$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$3k - 7 = 0 \Rightarrow k = \frac{7}{3}$
હવે,$y$ ના સહગુણક તરીકે $p$ શોધો:
$p = 3k^2 - 14k + 14$
$p = 3(\frac{7}{3})^2 - 14(\frac{7}{3}) + 14$
$p = 3(\frac{49}{9}) - \frac{98}{3} + 14$
$p = \frac{49}{3} - \frac{98}{3} + \frac{42}{3} = -\frac{7}{3}$

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{1-2x}{(2x+1)(2-x)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1-2x}{(2x+1)(2-x)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{2-x}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા: $1-2x = A(2-x) + B(2x+1)$.
$x = 2$ માટે,$B = -\frac{3}{5}$.
$x = -\frac{1}{2}$ માટે,$A = \frac{4}{5}$.
તેથી,$f(x) = \frac{4}{5}(1+2x)^{-1} - \frac{3}{10}(1-\frac{x}{2})^{-1}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^{-1} = 1-u+u^2-u^3+\dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{4}{5}(1 - 2x + 4x^2 - 8x^3) - \frac{3}{10}(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{8})$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{4}{5}(-8) - \frac{3}{10}(\frac{1}{8}) = -\frac{32}{5} - \frac{3}{80} = -\frac{512+3}{80} = -\frac{515}{80} = -\frac{103}{16}$ થાય.

(B) જેના બીજ $-2$ જેટલા સ્થાનાંતરિત હોય તેવી બહુપદી મેળવવા માટે,આપણે મૂળ સમીકરણ $x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6=0$ માં $x$ ની જગ્યાએ $(x+2)$ મૂકીશું.
$x \to x+2$ મૂકતા:
$(x+2)^5 - 2(x+2)^4 + 3(x+2)^3 - 4(x+2)^2 + 5(x+2) - 6 = 0$.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32) - 2(x^4+8x^3+24x^2+32x+16) + 3(x^3+6x^2+12x+8) - 4(x^2+4x+4) + 5(x+2) - 6 = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$x^5 + 8x^4 + 27x^3 + 46x^2 + 41x + 12 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^4-10x^3+37x^2-60x+36=0$.
બીજ $\alpha, \alpha, \beta, \beta$ હોવાથી,વીએટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $2\alpha + 2\beta = 10 \Rightarrow \alpha + \beta = 5$ $(i)$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^2\beta^2 = 36 \Rightarrow \alpha\beta = 6$ $(ii)$.
$(i)$ પરથી,$\beta = 5 - \alpha$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા: $\alpha(5 - \alpha) = 6 \Rightarrow \alpha^2 - 5\alpha + 6 = 0$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા: $(\alpha - 2)(\alpha - 3) = 0$,તેથી $\alpha = 2$ અથવા $\alpha = 3$.
$\alpha < \beta$ હોવાથી,$\alpha = 2$ અને $\beta = 3$.
હવે,$2\alpha + 3\beta - 2\alpha\beta$ ની ગણતરી કરતા:
$2(2) + 3(3) - 2(2)(3) = 4 + 9 - 12 = 1$.

(A) આપેલ છે કે,$n=8$.
આપણે $(\sqrt{3}+i)^8+(\sqrt{3}-i)^8$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,સંકર સંખ્યાઓને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવો: $\sqrt{3}+i = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{i\pi/6}$ અને $\sqrt{3}-i = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{-i\pi/6}$.
તેથી,$(\sqrt{3}+i)^8 = (2e^{i\pi/6})^8 = 2^8 e^{i8\pi/6} = 256 e^{i4\pi/3}$.
અને $(\sqrt{3}-i)^8 = (2e^{-i\pi/6})^8 = 2^8 e^{-i8\pi/6} = 256 e^{-i4\pi/3}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $256(e^{i4\pi/3} + e^{-i4\pi/3}) = 256(2 \cos \frac{4\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}$,
તેથી અભિવ્યક્તિ $256 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -256$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ છે.
અવયવ પાડતા:
$x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$
$(x^7+1)(x^4-1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x^7 = -1$ અથવા $x^4 = 1$.
$x^4 = 1$ માટે,બીજ $1, -1, i, -i$ છે. બીજ $i$ નો કોણાંક $\frac{\pi}{2}$ છે,જે પ્રથમ ચરણની સીમા પર છે.
$x^7 = -1$ માટે,બીજ $e^{i(\frac{(2k+1)\pi}{7})}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
કોણાંક $\frac{\pi}{7}, \frac{3\pi}{7}, \frac{5\pi}{7}, \pi, \frac{9\pi}{7}, \frac{11\pi}{7}, \frac{13\pi}{7}$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં $(0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ આવતા કોણાંક $\frac{\pi}{7}$ અને $\frac{3\pi}{7}$ છે.
આમ,આવા $2$ બીજ છે.

(B) આપેલ છે કે $z+\frac{1}{z}=1$,જેનો અર્થ છે $z^2-z+1=0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ અને $-\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $E = \frac{(z^{20}+1)(z^{40}+1)(z^{60}+1)}{z^{60}}$.
$z = -\omega$ માટે:
$z^{20} = \omega^2, z^{40} = \omega, z^{60} = 1$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(\omega^2+1)(\omega+1)(1+1)}{1} = 2(\omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) = 2(1 + 0) = 2$.

(A) ધારો કે $z = \frac{(1-i)^3(2-i)}{(2+i)(1+i)}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $(1-i)^2 = -2i$,તેથી $(1-i)^3 = -2i(1-i) = -2-2i$.
હવે,$(1-i)^3(2-i) = (-2-2i)(2-i) = -6-2i$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(2+i)(1+i) = 1+3i$.
તેથી,$z = \frac{-6-2i}{1+3i} = -1.2 + 1.6i$.
માનાંક $r = \sqrt{(-1.2)^2 + (1.6)^2} = 2$.
કોણાંક $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ (બીજા ચરણમાં હોવાથી).
આમ,માનાંક-કોણાંક સ્વરૂપ $2 \operatorname{cis}\left(\pi - \tan^{-1} \frac{4}{3}\right)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|1 + iz| = |1 - iz|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|1 + i(x + iy)| = |1 - i(x + iy)|$
$|1 + ix - y| = |1 - ix + y|$
$|(1 - y) + ix| = |(1 + y) - ix|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1 - y)^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2$
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$
$-2y = 2y$
$4y = 0 \Rightarrow y = 0$.
કારણ કે $z = x + iy$ અને $y = 0$, તેથી $z = x$.
વળી, $\bar{z} = x - iy = x - i(0) = x$.
તેથી, $z = \bar{z}$.

(B) આપેલ છે કે $(x-iy)^{\frac{1}{3}} = a+ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$x-iy = (a+ib)^3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x-iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$.
$i^2 = -1$ અને $i^3 = -i$ હોવાથી,$x-iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા,$x = a^3-3ab^2$ અને $y = b^3-3a^2b$.
હવે,આ કિંમતોને $\frac{ax-by}{a-b}$ માં મૂકતા:
$\frac{a(a^3-3ab^2) - b(b^3-3a^2b)}{a-b} = \frac{a^4-3a^2b^2 - b^4+3a^2b^2}{a-b}$.
$= \frac{a^4-b^4}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{a-b}$.
$= (a+b)(a^2+b^2) = a^3+a^2b+ab^2+b^3$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{z} - i \bar{w} = 0$,તેથી $\bar{z} = i \bar{w}$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,$z = -i w$,જેનો અર્થ છે કે $w = \frac{z}{-i} = iz$.
હવે,$\operatorname{Arg}(zw) = \operatorname{Arg}(z(iz)) = \operatorname{Arg}(iz^2) = \frac{3 \pi}{4}$.
ગુણધર્મ $\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\operatorname{Arg}(i) + \operatorname{Arg}(z^2) = \frac{3 \pi}{4}$.
કારણ કે $\operatorname{Arg}(i) = \frac{\pi}{2}$ અને $\operatorname{Arg}(z^2) = 2 \operatorname{Arg}(z)$,તેથી $\frac{\pi}{2} + 2 \operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4}$.
$2 \operatorname{Arg}(z) = \frac{3 \pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{8}$.

(A) પદાવલિને શુદ્ધ વાસ્તવિક બનાવવા માટે,તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $z = \frac{1-10 i \cos \theta}{1-10 \sqrt{3} i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1-10 i \cos \theta)(1+10 \sqrt{3} i \sin \theta)}{(1-10 \sqrt{3} i \sin \theta)(1+10 \sqrt{3} i \sin \theta)}$
$z = \frac{1 + 10 \sqrt{3} i \sin \theta - 10 i \cos \theta + 100 \sqrt{3} \sin \theta \cos \theta}{1 + 300 \sin^2 \theta}$
કાલ્પનિક ભાગ $\frac{10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta}{1 + 300 \sin^2 \theta}$ છે.
કાલ્પનિક ભાગને $0$ લેતા:
$10 \sqrt{3} \sin \theta - 10 \cos \theta = 0$
$10 \sqrt{3} \sin \theta = 10 \cos \theta$
$\tan \theta = \frac{10}{10 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $z^{\frac{1}{5}} = 2 \cos \left(\frac{7 \pi}{5}\right) + 2i \sin \left(\frac{7 \pi}{5}\right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,જો $w = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ એ $z^{\frac{1}{5}}$ નું એક મૂળ હોય,તો $z = w^5 = r^5(\cos(5\theta) + i \sin(5\theta))$.
અહીં,$r = 2$ અને $\theta = \frac{7 \pi}{5}$ છે.
તેથી,$z = 2^5 \left(\cos \left(5 \times \frac{7 \pi}{5}\right) + i \sin \left(5 \times \frac{7 \pi}{5}\right)\right)$.
$z = 32(\cos(7 \pi) + i \sin(7 \pi))$.
કારણ કે $\cos(7 \pi) = -1$ અને $\sin(7 \pi) = 0$,તેથી $z = 32(-1 + 0i) = -32$.

(D) આપેલ છે કે $|a|=1$ અને $\arg (a)=\theta$,તેથી $a = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta}$.
સમીકરણ $\left(\frac{1+i z}{1-i z}\right)^4 = e^{i\theta}$ છે.
ચોથું મૂળ લેતા,$\frac{1+i z}{1-i z} = e^{i\left(\frac{2k\pi+\theta}{4}\right)} = \cos \phi + i \sin \phi$,જ્યાં $\phi = \frac{2k\pi+\theta}{4}$ અને $k=0,1,2,3$.
ધારો કે $\omega = \frac{2k\pi+\theta}{8}$. તેથી $\phi = 2\omega$.
$\frac{1+iz}{1-iz} = \cos 2\omega + i \sin 2\omega$ પર યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{iz} = \frac{\cos 2\omega + i \sin 2\omega + 1}{\cos 2\omega + i \sin 2\omega - 1} = \frac{2\cos^2 \omega + 2i \sin \omega \cos \omega}{-2\sin^2 \omega + 2i \sin \omega \cos \omega} = \frac{2\cos \omega (\cos \omega + i \sin \omega)}{2i \sin \omega (\cos \omega + i \sin \omega)} = \frac{\cos \omega}{i \sin \omega} = \frac{1}{i \tan \omega}$.
આમ,$z = \tan \omega = \tan \left(\frac{2k\pi+\theta}{8}\right)$ જ્યાં $k=0,1,2,3$.

(B) ધારો કે $z = \frac{1+\cos \frac{\pi}{8}-i \sin \frac{\pi}{8}}{1+\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} - i (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})}{2 \cos^2 \frac{\pi}{16} + i (2 \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16})}{2 \cos \frac{\pi}{16} (\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16})}$
$z = \frac{\cos \frac{\pi}{16} - i \sin \frac{\pi}{16}}{\cos \frac{\pi}{16} + i \sin \frac{\pi}{16}} = \frac{e^{-i \pi / 16}}{e^{i \pi / 16}} = e^{-i \pi / 8}$.
હવે,$z^{12} = (e^{-i \pi / 8})^{12} = e^{-i 12 \pi / 8} = e^{-i 3 \pi / 2}$.
$e^{-i 3 \pi / 2} = \cos(\frac{3 \pi}{2}) + i \sin(\frac{3 \pi}{2}) = 0 + i(1) = i$.

(D) ધારો કે $z = 1 - i \sqrt{3}$.
પ્રથમ,$z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો: $|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2$.
કોણાંક $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$. $z$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી,$\theta = -\frac{\pi}{3}$ અથવા $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
તેથી,$z = 2(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})$.
$z$ ના ઘનમૂળો $z^{1/3} = 2^{1/3} \left[ \cos \left( \frac{5\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{5\pi/3 + 2k\pi}{3} \right) \right]$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2$.
કોણાંક $\theta_k = \frac{5\pi + 6k\pi}{9}$ છે.
$k=0$ માટે,$\theta_0 = \frac{5\pi}{9}$.
$k=1$ માટે,$\theta_1 = \frac{11\pi}{9}$.
$k=2$ માટે,$\theta_2 = \frac{17\pi}{9}$.
આ બધા ધન છે અને $2\pi$ કરતા નાના છે.
સરવાળો $\frac{5\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} + \frac{17\pi}{9} = \frac{33\pi}{9} = \frac{11\pi}{3}$ થાય.

(A) $z^2-z+1=0$ ના બીજ $z = -\omega^2, -\omega$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -\omega$. તો $\alpha^6 = 1$.
દરેક પદની કિંમત શોધતા:
$n=2014: T_{2014} = -1$
$n=2015: T_{2015} = -1$
$n=2016: T_{2016} = 2$
$n=2017: T_{2017} = 1$
$n=2018: T_{2018} = -1$
આમ,$(-1)^1 + (-1)^2 + (2)^3 + (1)^4 + (-1)^5 = -1 + 1 + 8 + 1 - 1 = 8$.

(B) આપેલ છે,$z^3+2z^2+2z+1=0$.
અવયવ પાડતા: $(z^3+1)+2z(z+1)=0$.
$(z+1)(z^2-z+1)+2z(z+1)=0$.
$(z+1)(z^2-z+1+2z)=0$.
$(z+1)(z^2+z+1)=0$.
બીજ $z=-1$ અને $z^2+z+1=0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
હવે,$z^{2018}+z^{2017}+1=0$ માં આ બીજ તપાસતા:
$z=-1$ માટે: $(-1)^{2018}+(-1)^{2017}+1 = 1-1+1 = 1 \neq 0$.
$z=\omega$ માટે: $\omega^{2018}+\omega^{2017}+1 = \omega^2+\omega+1 = 0$.
$z=\omega^2$ માટે: $(\omega^2)^{2018}+(\omega^2)^{2017}+1 = \omega+\omega^2+1 = 0$.
સામાન્ય બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
$z=\omega$ અને $z=\omega^2$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$z^4+z^2+1=0$ માટે:
$z=\omega$ હોય ત્યારે,$\omega^4+\omega^2+1 = \omega+\omega^2+1 = 0$.
$z=\omega^2$ હોય ત્યારે,$(\omega^2)^4+(\omega^2)^2+1 = \omega^8+\omega^4+1 = \omega^2+\omega+1 = 0$.
આમ,સામાન્ય બીજ $z^4+z^2+1=0$ નું સમાધાન કરે છે.

(D) એકમના $n$-મા મૂળ સમીકરણ $x^n - 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.
તેથી,આપણે $x^n - 1 = (x - \omega_0)(x - \omega_1) \ldots (x - \omega_{n-1})$ લખી શકીએ.
ગુણાકાર $(1+2 \omega_0)(1+2 \omega_1) \ldots (1+2 \omega_{n-1})$ શોધવા માટે,આપણે $2^n$ સામાન્ય કાઢીશું:
$2^n (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$.
ધારો કે $x = -\frac{1}{2}$. તો $x^n - 1 = (-\frac{1}{2})^n - 1 = (-\frac{1}{2} - \omega_0)(-\frac{1}{2} - \omega_1) \ldots (-\frac{1}{2} - \omega_{n-1})$.
$(-1)^n$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $(-1)^n (x^n - 1) = (\omega_0 + \frac{1}{2})(\omega_1 + \frac{1}{2}) \ldots (\omega_{n-1} + \frac{1}{2})$.
$x = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(-1)^n ((-\frac{1}{2})^n - 1) = (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$.
બંને બાજુ $2^n$ વડે ગુણતા:
$2^n (\frac{1}{2} + \omega_0) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1}) = 2^n (-1)^n ((-1)^n \frac{1}{2^n} - 1) = 1 + (-1)^{n-1} 2^n$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\left|\frac{z-2i}{z+2i}\right|=2$.
$z=x+iy$ મૂકતા: $\left|\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+2)} \right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2+(y-2)^2}{x^2+(y+2)^2}=4$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4(x^2+y^2+4y+4)$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4x^2+4y^2+16y+16$.
$3x^2+3y^2+20y+12=0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2+y^2+\frac{20}{3}y+4=0$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9}-4 = \frac{100-36}{9} = \frac{64}{9}$.
આમ,$x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{8}{3}$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, 5)$,$B(-1, 6)$,$C(-2, 8)$,અને $D(-4, 7)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરતા:
$AB = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (7 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
$DA = \sqrt{(-3 - (-4))^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા ચોરસ છે.
વિકર્ણોની લંબાઈની ગણતરી કરતા:
$AC = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
$BD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (7 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
વિકર્ણો સમાન હોવાથી $(AC = BD = \sqrt{10})$ અને બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ આકૃતિ ચોરસ છે.

(C) આપેલ છે કે $|Z| \leq 2$ અને $-\frac{\pi}{3} \leq \operatorname{amp} Z \leq \frac{\pi}{3}$.
આ એક વર્તુળનો વૃતાંશ દર્શાવે છે જેની ત્રિજ્યા $r = 2$ એકમ છે અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2 \pi}{3}$ છે.
આકૃતિ પરથી,$Z$ નો બિંદુપથ $OAB$ વૃતાંશ બનાવે છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} \times (2)^2 \times \frac{2 \pi}{3}$
$A = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{2 \pi}{3}$
$A = \frac{4 \pi}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(z)$,અને $B(z e^{i \alpha})$ છે.
અંતર $OA = |z - 0| = |z|$.
અંતર $OB = |z e^{i \alpha} - 0| = |z| |e^{i \alpha}| = |z| \times 1 = |z|$.
$OA$ અને $OB$ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{z e^{i \alpha}}{z} = e^{i \alpha}$ નો કોણાંક છે,જે $\alpha$ છે.
બે બાજુઓ $a$ અને $b$ તથા તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} ab \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin \alpha = \frac{1}{2} |z| |z| \sin \alpha = \frac{1}{2} |z|^2 \sin \alpha$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $z_1=2-3i$ અને $z_2=-1+i$. શરત $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\frac{\pi}{2}$ સૂચવે છે કે સદિશ $z-z_1$ એ $z-z_2$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{\pi}{2}$ ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આનો અર્થ એ છે કે $\angle z_1 z z_2 = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$z$ નો બિંદુપથ એ $z_1 z_2$ વ્યાસવાળું વર્તુળ છે,જેમાં $z_1$ અને $z_2$ બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
અહીં,$z_1 = (2, -3)$ અને $z_2 = (-1, 1)$.
$(x-2)(x+1) + (y+3)(y-1) = 0$
$x^2 - x - 2 + y^2 + 2y - 3 = 0$
$x^2 + y^2 - x + 2y - 5 = 0$.
આર્ગ્યુમેન્ટ બરાબર $\frac{\pi}{2}$ થાય તે માટે,બિંદુઓ $z, z_1, z_2$ એ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ત્રિકોણ બનાવતા હોવા જોઈએ. આ શરત બિંદુપથને $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થતી રેખાની એક તરફના અર્ધવર્તુળ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$z_1(2, -3)$ અને $z_2(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $4x+3y+1=0$ છે.
વર્તુળની અંદરનું બિંદુ $(0,0)$ લેતા: $4(0)+3(0)+1 = 1 > 0$. તેથી,શરત $4x+3y+1 > 0$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે $13!$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ શોધીએ:
$13! = 2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1$.
$13!$ ને $100$ $(2^2 \times 5^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{13!}{100} = \frac{2^{10} \times 3^5 \times 5^2 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1}{2^2 \times 5^2} = 2^8 \times 3^5 \times 7^1 \times 11^1 \times 13^1$.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $(8+1)(5+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 9 \times 6 \times 2 \times 2 \times 2 = 432$ છે.
યોગ્ય ભાજકોની સંખ્યા એટલે કુલ ભાજકોમાંથી સંખ્યા પોતે અને $1$ ને બાદ કરતા મળતી સંખ્યા,તેથી આપણે $2$ બાદ કરીશું:
$432 - 2 = 430$.

(B) દરેક પ્રશ્ન માટે,$4$ વિકલ્પો છે. કારણ કે એક અથવા એકથી વધુ જવાબો સાચા હોઈ શકે છે,એક પ્રશ્ન માટે સાચા જવાબ(ઓ) પસંદ કરવાની કુલ રીતો એ $4$ વિકલ્પોના ગણના ખાલી ન હોય તેવા ઉપગણોની સંખ્યા છે.
આ $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$ રીતો દ્વારા મળે છે.
આવા $15$ પ્રશ્નો હોવાથી અને દરેકનો જવાબ સ્વતંત્ર રીતે આપવામાં આવતો હોવાથી,આખા પેપરનો જવાબ આપવાની કુલ રીતો $15 \times 15 \times \dots \times 15$ ($15$ વખત) છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $15^{15}$ છે.

(D) અંકો $S = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ છે. કુલ અંકો $n = 5$. સંખ્યાઓ ઉતરતા ક્રમમાં છે.
$1$. $5$ અંકની સંખ્યાઓ: $5! = 120$.
$2$. $4$ અંકની સંખ્યાઓ: $^5P_4 = 120$.
$3$. $7$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: $^4P_2 = 12$.
$4$. $5$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: $^4P_2 = 12$.
$5$. $37$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: $^3P_1 = 3$.
$6$. $35$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: $^3P_1 = 3$.
$7$. $32$ થી શરૂ થતી $3$ અંકની સંખ્યાઓ: બાકીના અંકો $\{1, 5, 7\}$ છે. ઉતરતા ક્રમમાં,આ $327, 325, 321$ છે. $327$ આ શ્રેણીમાં પ્રથમ છે.
ક્રમ (Rank) $= 120 + 120 + 12 + 12 + 3 + 3 + 1 = 271$.

(D) વારાફરતી બેસવા માટે બે શક્ય કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: ગોઠવણ છોકરાથી શરૂ થાય છે: $B G B G B G B G B G B G B G B G$.
$8$ છોકરાઓને $8$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $8!$ છે અને $8$ છોકરીઓને $8$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $8!$ છે. તેથી,$8! \times 8!$ રીતો.
કિસ્સો $2$: ગોઠવણ છોકરીથી શરૂ થાય છે: $G B G B G B G B G B G B G B G B$.
$8$ છોકરીઓને $8$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $8!$ છે અને $8$ છોકરાઓને $8$ સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $8!$ છે. તેથી,$8! \times 8!$ રીતો.
કુલ ગોઠવણની સંખ્યા $= 8! \times 8! + 8! \times 8! = 2 \times (8!)^2 = 2!(8!)^2$.

(B) $1000$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એક-અંકની,બે-અંકની અથવા ત્રણ-અંકની હોઈ શકે છે.
$1$. ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ:
સોના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $1-9$).
દશકના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $0-9$,સોના સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાય).
એકમના સ્થાનને $8$ રીતે ભરી શકાય છે (બાકીના અંકો).
કુલ ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.
$2$. બે-અંકની સંખ્યાઓ:
દશકના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $1-9$).
એકમના સ્થાનને $9$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $0-9$,દશકના સ્થાનમાં વપરાયેલ અંક સિવાય).
કુલ બે-અંકની સંખ્યાઓ $= 9 \times 9 = 81$.
$3$. એક-અંકની સંખ્યાઓ:
કુલ $9$ એક-અંકની સંખ્યાઓ છે ($1$ થી $9$).
કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $= 648 + 81 + 9 = 738$.

(B) આપેલ સંખ્યા $10800$ છે.
$10800$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^4 \times 3^3 \times 5^2$ છે.
કુલ ભાજકોની સંખ્યા $(4+1)(3+1)(2+1) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ છે.
એકી ભાજકોની સંખ્યા માત્ર એકી અવિભાજ્ય અવયવોને ધ્યાનમાં લઈને મળે છે: $(3+1)(2+1) = 4 \times 3 = 12$.
આમ,$b = 12$.
બેકી ભાજકોની સંખ્યા એ કુલ ભાજકોમાંથી એકી ભાજકોની સંખ્યા બાદ કરતાં મળે છે: $a = 60 - 12 = 48$.
તેથી,$2a + 3b = 2(48) + 3(12) = 96 + 36 = 132$.

(A) $n!$ ના અંતમાં શૂન્યોની સંખ્યા $5$ ના મહત્તમ ઘાતાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જે $n!$ ને ભાગે છે,કારણ કે $n!$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં $5$ કરતા $2$ ના અવયવો હંમેશા વધુ હોય છે.
$100!$ માં $5$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે આપણે લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$K = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{5^2} \rfloor$
$K = \lfloor 20 \rfloor + \lfloor 4 \rfloor$
$K = 20 + 4 = 24$.
આમ,$100!$ ના અંતમાં $24$ ક્રમિક શૂન્યો છે.

(D) આ પ્રશ્ન વિકૃતિઓ (derangements) નો છે,જેને $D_n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ વસ્તુઓની સંખ્યા છે.
$n=4$ માટે,વિકૃતિઓની સંખ્યાનું સૂત્ર $D_n = n! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)$ છે.
$n=4$ મૂકતા:
$D_4 = 24 \times \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \left(\frac{12 - 4 + 1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \frac{9}{24} = 9$.
અથવા,સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને:
કુલ રીતો $= 4! = 24$.
ઓછામાં ઓછો એક પત્ર સાચા પરબીડિયામાં હોય તેવી રીતો $= \binom{4}{1} \times 3! - \binom{4}{2} \times 2! + \binom{4}{3} \times 1! - \binom{4}{4} \times 0! = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$.
જરૂરી રીતો $= 24 - 15 = 9$.

(C) સંકલન $\int \frac{x^8-9 x^2+18}{x^4-3 x^2+3} d x$ ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ જોઈએ છીએ કે અંશની ઘાત $(8)$ એ છેદની ઘાત $(4)$ કરતા મોટી છે.
$x^8-9 x^2+18$ ને $x^4-3 x^2+3$ વડે ભાગાકાર કરતા:
$x^8-9 x^2+18 = (x^4-3 x^2+3)(x^4+3 x^2+6) + 0$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ બને છે:
$\int (x^4+3 x^2+6) d x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \int x^4 d x + 3 \int x^2 d x + 6 \int 1 d x$.
$= \frac{x^5}{5} + 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 6x + c$.
$= \frac{x^5}{5} + x^3 + 6x + c$.

(B) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $mn-2lm-2nl=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$mn - 2(-(m+n))m - 2(-(m+n))n = 0$
$mn + 2m^2 + 2mn + 2mn + 2n^2 = 0$
$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 0$
$(2m+n)(m+2n) = 0$.
કિસ્સો $1$: $n = -2m$. $l+m+n=0$ માં મૂકતા,$l+m-2m=0 \Rightarrow l=m$. તેથી,દિકગુણોત્તર $(1, 1, -2)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -2n$. $l+m+n=0$ માં મૂકતા,$l-2n+n=0 \Rightarrow l=n$. તેથી,દિકગુણોત્તર $(1, -2, 1)$ મળે છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 1, -2)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (1)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$l+m+n=0$ ... $(i)$
$2lm+2ln-mn=0$ ... (ii)
$(i)$ પરથી,$m+n = -l$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$2l(m+n) - mn = 0$
$2l(-l) - mn = 0 \Rightarrow mn = -2l^2$ ... (iii)
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2+m^2+n^2 = 1$. વળી,$(m+n)^2 = m^2+n^2+2mn = (-l)^2 = l^2$.
તેથી,$m^2+n^2 = l^2 - 2mn = l^2 - 2(-2l^2) = 5l^2$.
$l^2+m^2+n^2 = 1$ માં મૂકતા:
$l^2 + 5l^2 = 1 \Rightarrow 6l^2 = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{6}$.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
$mn = -2l^2$ અને $m+n = -l$ પરથી,$m$ અને $n$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 + lt - 2l^2 = 0$ ના બીજ છે.
$(t+2l)(t-l) = 0 \Rightarrow t = -2l, l$.
આમ,દિક્ગુણોત્તર $(l, -2l, l)$ અને $(l, l, -2l)$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેને પ્રમાણિત કરતા,દિક્કોસાઇન $(1, -2, 1)$ અને $(1, 1, -2)$ ના પ્રમાણમાં મળે છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ અને $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -2l - 2n$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{l}{n}$. તો $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ અને $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ છે.
તો $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
તે જ રીતે,$l = -\frac{m+2n}{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ મળે છે.
$n^2$ વડે ભાગતા,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
ધારો કે $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ અને $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. તો $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
બે રેખાઓ માટે જેમની દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે $y = \frac{x+3}{x^2+x-2}$. તેથી $y(x^2+x-2) = x+3$,જે સૂચવે છે કે $yx^2 + (y-1)x - (2y+3) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (y-1)^2 - 4(y)(-(2y+3)) = y^2 - 2y + 1 + 8y^2 + 12y = 9y^2 + 10y + 1 \geq 0$.
અવયવ પાડતા,આપણને $(9y+1)(y+1) \geq 0$ મળે છે.
આ અસમતાનો ઉકેલ $y \in (-\infty, -1] \cup [-\frac{1}{9}, \infty)$ છે.
આમ,વિસ્તાર $R - (-1, -\frac{1}{9})$ છે.
$R - (\alpha, \beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -1$ અને $\beta = -\frac{1}{9}$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $-x - \frac{1}{9}y + 1 = 0$ છે,જે $x + \frac{1}{9}y = 1$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$x$-અંતઃખંડ $1$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $9$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $1 + 9 = 10$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan \alpha = \frac{1}{7}$ અને $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
$\beta$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
તેથી,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{3}$.
હવે,$\alpha + 2\beta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + 2\tan^{-1}(\frac{1}{3})$.
સૂત્ર $2\tan^{-1} x = \tan^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\tan^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$.
તેથી,$\alpha + 2\beta = \tan^{-1}(\frac{1}{7}) + \tan^{-1}(\frac{3}{4}) = \tan^{-1}(\frac{1/7 + 3/4}{1 - 3/28}) = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(u, v, w)$ છે.
$P$ એ $O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 6, 0),$ અને $C(0, 0, 9)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PO^2 = PA^2 = PB^2 = PC^2$ થાય.
$PO^2 = u^2 + v^2 + w^2$.
$PA^2 = (u-3)^2 + v^2 + w^2 = u^2 - 6u + 9 + v^2 + w^2$.
$PO^2 = PA^2$ સરખાવતા,$u^2 = u^2 - 6u + 9$ $\Rightarrow 6u = 9$ $\Rightarrow u = \frac{3}{2}$.
$PB^2 = u^2 + (v-6)^2 + w^2 = u^2 + v^2 - 12v + 36 + w^2$.
$PO^2 = PB^2$ સરખાવતા,$v^2 = v^2 - 12v + 36$ $\Rightarrow 12v = 36$ $\Rightarrow v = 3$.
$PC^2 = u^2 + v^2 + (w-9)^2 = u^2 + v^2 + w^2 - 18w + 81$.
$PO^2 = PC^2$ સરખાવતા,$w^2 = w^2 - 18w + 81$ $\Rightarrow 18w = 81$ $\Rightarrow w = \frac{81}{18} = \frac{9}{2}$.
આમ,$P = \left(\frac{3}{2}, 3, \frac{9}{2}\right)$.
$Q = (2, 5, 8)$ આપેલ છે,બિંદુ $R$ એ $PQ$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્ર $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \left(\frac{3(2) + 2(\frac{3}{2})}{3+2}, \frac{3(5) + 2(3)}{3+2}, \frac{3(8) + 2(\frac{9}{2})}{3+2}\right)$
$R = \left(\frac{6+3}{5}, \frac{15+6}{5}, \frac{24+9}{5}\right) = \left(\frac{9}{5}, \frac{21}{5}, \frac{33}{5}\right)$.

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ. અહીં,આપેલ કિંમતો $P(X=x) = \frac{2}{20}, \frac{4}{20}, \frac{6}{20}, \frac{8}{20}$ છે.
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x \cdot P(X=x) = 1(\frac{2}{20}) + 2(\frac{4}{20}) + 3(\frac{6}{20}) + 4(\frac{8}{20}) = \frac{2+8+18+32}{20} = \frac{60}{20} = 3$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x) = 1^2(\frac{2}{20}) + 2^2(\frac{4}{20}) + 3^2(\frac{6}{20}) + 4^2(\frac{8}{20}) = \frac{2 + 16 + 54 + 128}{20} = \frac{200}{20} = 10$.
વિચરણ $\sigma^2 = 10 - (3)^2 = 10 - 9 = 1$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{1} = 1$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
$P, Q, R$ એ $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,તેમના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{q} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$,અને $\vec{r} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2}$ છે.
હવે,સદિશો $PC$ અને $BQ$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{PC} = \vec{c} - \vec{p} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2}$
$\vec{BQ} = \vec{q} - \vec{b} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2}$
તેથી,$\vec{PC} - \vec{BQ} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} - \frac{\vec{c} - \vec{b}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$PQ = \vec{q} - \vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
$AR = \vec{r} - \vec{a} = \frac{\vec{c} + \vec{a}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{c} - \vec{a}}{2}$.
આમ,$PC - BQ = PQ = AR$.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^4 - x^2$ છે.
ન્યૂનતમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1) = 0$.
આનાથી $x = 0$ અને $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$y'' = 12x^2 - 2$.
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ પર,$y'' = 12(\frac{1}{2}) - 2 = 4 > 0$,તેથી આ ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} |x^4 - x^2| dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} -(x^4 - x^2) dx$ થશે (કારણ કે આ અંતરાલમાં $x^4 - x^2 < 0$ છે).
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (x^2 - x^4) dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$.
$= 2 \left( \frac{1}{3(2\sqrt{2})} - \frac{1}{5(4\sqrt{2})} \right) = 2 \left( \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{20\sqrt{2}} \right)$.
$= 2 \left( \frac{10 - 3}{60\sqrt{2}} \right) = 2 \left( \frac{7}{60\sqrt{2}} \right) = \frac{7}{30\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ વક્ર $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $y = 0$ લઈએ:
$x(x^2 - 3x + 2) = 0$
$x(x - 1)(x - 2) = 0$
તેથી,વક્ર $X$-અક્ષને $x = 0, 1, 2$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $\int_0^2 |y| dx = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx + \left| \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx \right|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ ભાગ: $\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}$.
બીજો ભાગ: $\int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 \right]_1^2 = (\frac{16}{4} - 8 + 4) - (\frac{1}{4} - 1 + 1) = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.
તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રો $y=|x|$ અને $y=1-|x|$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$|x| = 1-|x|$ લો,જે $2|x| = 1$ આપે છે,તેથી $|x| = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -\frac{1}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{1}{2}$,ત્યારે $y = \frac{1}{2}$. જ્યારે $x = -\frac{1}{2}$,ત્યારે $y = \frac{1}{2}$.
છેદબિંદુઓ $A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને $C(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
વક્રો $y$-અક્ષને $O(0,0)$ અને $B(0,1)$ પર પણ છેદે છે.
આ પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$,$B(0,1)$,અને $C(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $OA = \sqrt{(\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(A) આપેલ વક્રો $y=2x^2$ અને $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ છે.
કારણ કે $x-[x] = \{x\}$,તેથી $y=\max \{\{x\}, x+|x|\}$ મળે.
$x \in [0, 2]$ માટે,$x+|x| = 2x$ અને $\{x\} \in [0, 1)$ થાય.
બધા $x \in [0, 2]$ માટે $2x \geq \{x\}$ હોવાથી,વિધેય $y=2x$ માં સરળ બને છે.
આપણે $x=0$ અને $x=2$ ની વચ્ચે $y=2x^2$ અને $y=2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
વક્રો $2x^2 = 2x$ પર છેદે છે,જે $x^2-x=0$ આપે છે,તેથી $x=0$ અને $x=1$ મળે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$2x \geq 2x^2$ છે. $x \in [1, 2]$ માટે,$2x^2 \geq 2x$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$ છે.
$= [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 + [\frac{2x^3}{3} - x^2]_1^2$.
$= (1 - \frac{2}{3}) + [(\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} - 1)]$.
$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(A) આપેલ વક્રોના સમીકરણો છે:
$y = 8x - x^2$ $(i)$
$8x - 4y + 11 = 0$ (ii)
(ii) પરથી,$4y = 8x + 11 \Rightarrow y = \frac{8x+11}{4} = 2x + \frac{11}{4}$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,(ii) માંથી $y$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$2x + \frac{11}{4} = 8x - x^2$
$x^2 - 6x + \frac{11}{4} = 0$
$4x^2 - 24x + 11 = 0$
$4x^2 - 22x - 2x + 11 = 0$
$2x(2x - 11) - 1(2x - 11) = 0$
$(2x - 1)(2x - 11) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{11}{2}$.
ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{1/2}^{11/2} [y_{\text{parabola}} - y_{\text{line}}] dx$
$A = \int_{1/2}^{11/2} [(8x - x^2) - (2x + \frac{11}{4})] dx$
$A = \int_{1/2}^{11/2} (-x^2 + 6x - \frac{11}{4}) dx$
$A = [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - \frac{11}{4}x]_{1/2}^{11/2}$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [-\frac{1}{3}(\frac{1331}{8} - \frac{1}{8}) + 3(\frac{121}{4} - \frac{1}{4}) - \frac{11}{4}(\frac{11}{2} - \frac{1}{2})]$
$A = [-\frac{1}{3}(\frac{1330}{8}) + 3(\frac{120}{4}) - \frac{11}{4}(5)]$
$A = [-\frac{665}{12} + 90 - \frac{55}{4}] = [-\frac{665}{12} + \frac{1080}{12} - \frac{165}{12}] = \frac{250}{12} = \frac{125}{6} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપેલ છે કે $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ અને $I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
આપણે $A$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 2A - I = 2A - (2-1)I$.
$A^3 = A^2 \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 3A - 2I = 3A - (3-1)I$.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આપણે કોઈપણ $n \in N$ માટે આ પેટર્નને સામાન્ય બનાવી શકીએ છીએ:
$A^n = nA - (n-1)I$.

(A) આપેલ છે કે,$A B A = B A^2 B$ અને $A^3 = I$.
$A B A = B A^2 B$ ના બંને બાજુએ જમણી બાજુ $A^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$A B A \cdot A^2 = B A^2 B \cdot A^2$
$A B A^3 = B A^2 B A^2$
$A^3 = I$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$A B = B A^2 B A^2$
હવે,જમણી બાજુ $B$ વડે ગુણતા:
$A B^2 = B A^2 B A^2 B$
આપેલ સમીકરણમાંથી $A^2 B = A B A$ મૂકતા:
$A B^2 = B A^2 B (A B A)$
$A B^2 = B A^2 B A B A$
$A^3 = I$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વધુ સાદું રૂપ આપી શકીએ છીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,નોંધો કે $A B A = B A^2 B \implies A B = B A^2 B A^{-1}$.
$A^3 = I$ હોવાથી,$A^{-1} = A^2$.
તેથી $A B = B A^2 B A^2$.
પુનરાવર્તિત પ્રતિસ્થાપન દ્વારા,$A B^4 = B^4 A$.
તેથી,$A B^4 - B^4 A = O_{3 \times 3}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને પરિવર્તિત શ્રેણિક $A'$ શોધો:
$A' = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.
હવે,ગુણાકાર $AA'$ ની ગણતરી કરો:
$AA' = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+4+9) & (4+10+18) & (7+16+27) \\ (4+10+18) & (16+25+36) & (28+40+54) \\ (7+16+27) & (28+40+54) & (49+64+81) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ શ્રેણિક $B$ માટે,$(B')' = B$. કારણ કે $AA'$ એ સંમિત શ્રેણિક છે (કારણ કે $(AA')' = (A')'A' = AA'$),તેથી $(AA')' = AA'$.
તેથી,$(AA')' = \begin{bmatrix} 14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $a_{i j} = xi + yj$. શ્રેણિક $A$ ને $A = [a_{i j}]_{n \times n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપણે $A$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$A = \begin{bmatrix} x+y & 2x+y & \dots & nx+y \\ x+2y & 2x+2y & \dots & nx+2y \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x+ny & 2x+ny & \dots & nx+ny \end{bmatrix}$
આને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય:
$A = x \begin{bmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & \dots & n \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 & \dots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \dots & n \end{bmatrix}$
ધારો કે $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 1 & 2 & \dots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & \dots & n \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 2 & 2 & \dots & 2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & \dots & n \end{bmatrix}$.
$P+Q = [i+j]_{n \times n}$, જે એક સંમિત શ્રેણિક છે કારણ કે $(P+Q)^T = [j+i]^T = [i+j] = P+Q$.
$P-Q = [i-j]_{n \times n}$, જે એક વિસંમિત શ્રેણિક છે કારણ કે $(P-Q)^T = [j-i]^T = [-(i-j)] = -(P-Q)$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ.
$A^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \frac{1}{36} \begin{bmatrix} 6 & -12 & -6 \\ -12 & 24 & 12 \\ -6 & 12 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = A$.
કારણ કે $A^2 = A$,તેથી તમામ $k \in N$ માટે $A^k = A$ થાય.
તેથી,$A^{2016l} = A$,$A^{2017m} = A$,અને $A^{2018n} = A$.
આપેલ સમીકરણ $A + A + A = \frac{1}{\alpha} A$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $3A = \frac{1}{\alpha} A$ થાય છે.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{\alpha} = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(1 - 4) - 2(2 - 4) + 2(4 - 2) = -3 + 4 + 4 = 5$.
આગળ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ $(\text{Adj } A)$ શોધીએ:
કોફેક્ટર મેટ્રિક્સ નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = -3, C_{12} = 2, C_{13} = 2$
$C_{21} = 2, C_{22} = -3, C_{23} = 2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 2, C_{33} = -3$
તેથી,$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$.
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{5}(A - 4I)$.

(C) મેટ્રિક્સ $A$ નો રેન્ક $3$ હોય જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછો એક $3 \times 3$ માઇનર હોય જેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય.
પ્રથમ ત્રણ સ્તંભો દ્વારા રચાયેલ સબમેટ્રિક્સ $M$ ધ્યાનમાં લો:
$M = \begin{bmatrix} 1 & r & r^2 \\ r & r^2 & 1 \\ r^2 & 1 & r \end{bmatrix}$.
$M$ નો નિશ્ચાયક $|M| = 1(r^3 - 1) - r(r^2 - r^2) + r^2(r - r^4) = r^3 - 1 + r^3 - r^6 = -(r^6 - 2r^3 + 1) = -(r^3 - 1)^2$ છે.
રેન્ક $3$ હોવા માટે,આપણે $|M| \neq 0$ ની જરૂર છે.
$-(r^3 - 1)^2 \neq 0 \Rightarrow r^3 - 1 \neq 0 \Rightarrow r^3 \neq 1 \Rightarrow r \neq 1$.
આમ,$A$ નો રેન્ક $r \in R - \{1\}$ માટે $3$ છે.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & -6 & 3 & -8\end{array}\right]$.
શ્રેણિકને રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં લાવવા માટે હારની પ્રક્રિયાઓ કરીએ:
$R_2 \rightarrow R_2 - \frac{2}{3}R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{3}R_1$ લાગુ કરતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 0 & 5/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & -20/3 & 8/3 & -20/3\end{array}\right]$
હવે,$R_3 \rightarrow R_3 + 4R_2$ લાગુ કરતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 0 & 5/3 & -2/3 & 5/3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
રો-એશેલોન સ્વરૂપમાં શૂન્યતર હારની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $2$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & bc+ad & b^2c^2+a^2d^2 \\ 1 & ca+bd & c^2a^2+b^2d^2 \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$ છે.
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & c(b-a)+d(a-b) & c^2(b^2-a^2)+d^2(a^2-b^2) \\ 0 & c(a-b)+d(b-a) & c^2(a^2-b^2)+d^2(b^2-a^2) \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$.
$R_1$ અને $R_2$ માંથી $(a-b)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)^2 \left|\begin{array}{ccc}0 & -(c-d) & -(c^2-d^2) \\ 0 & (c-d) & (c^2-d^2) \\ 1 & ab+cd & a^2b^2+c^2d^2\end{array}\right|$.
આ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા આપણને $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ મળે છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $\Delta_1 = \left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$ ની ગણતરી કરીએ.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta_1 = \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b^2-a^2 & b^3-a^3 \\ 0 & c^2-a^2 & c^3-a^3\end{array}\right| = (b-a)(c-a) \left|\begin{array}{ccc}1 & a^2 & a^3 \\ 0 & b+a & b^2+a^2+ab \\ 0 & c+a & c^2+a^2+ac\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_1 = (b-a)(c-a) [(b+a)(c^2+a^2+ac) - (c+a)(b^2+a^2+ab)]$
$= -(a-b)(b-c)(c-a) (ab+bc+ca)$.
હવે,આપણે $\Delta_2 = \left|\begin{array}{lll}bc & b+c & 1 \\ ca & c+a & 1 \\ ab & a+b & 1\end{array}\right|$ ની ગણતરી કરીએ.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta_2 = \left|\begin{array}{ccc}bc & b+c & 1 \\ ca-bc & a-b & 0 \\ ab-bc & a-c & 0\end{array}\right| = -(a-b)(b-c)(c-a)$.
અંતે,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)}{-(a-b)(b-c)(c-a)} = ab+bc+ca$.

(D) આપેલ સમીકરણ પ્રણાલી નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=9$
$2x+5y+7z=52$
$x+7y+11z=77$
આપણે આ પ્રણાલીને ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ:
$[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 2 & 5 & 7 & 52 \\ 1 & 7 & 11 & 77 \end{bmatrix}$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & 34 \\ 0 & 6 & 10 & 68 \end{bmatrix}$
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3-2R_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & 34 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
અહીં,સહગુણક શ્રેણિકનો ક્રમ $\rho(A) = 2$ છે અને ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો ક્રમ $\rho(A|B) = 2$ છે. કારણ કે $\rho(A) = \rho(A|B) < 3$ (જ્યાં $3$ એ ચલની સંખ્યા છે),તેથી આ પ્રણાલીને અનંત ઉકેલો છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો બિન-તુચ્છ ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ -1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sin \alpha(-\cos \alpha + \sin \alpha) + \cos \alpha(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0$
$-1 - \sin \alpha(-\cos \alpha + \sin \alpha) + \cos \alpha(\sin \alpha + \cos \alpha) = 0$
$-1 + \sin \alpha \cos \alpha - \sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 0$
$-1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
$-1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 0$
$\sin 2\alpha + \cos 2\alpha = 1$
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(2\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta = \sin \beta$ માટે સામાન્ય ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \beta$ છે.
$2\alpha + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$2\alpha = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$
$\alpha = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{8}$

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+y+z=4$ $(1)$
$x-y+z=2$ $(2)$
$x+2y+2z=1$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(x+y+z) - (x-y+z) = 4-2 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
$y=1$ ની કિંમત $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$x+1+z=4 \implies x+z=3$ $(4)$
$x+2(1)+2z=1 \implies x+2z=-1$ $(5)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $(x+2z) - (x+z) = -1 - 3 \implies z = -4$.
$z=-4$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા: $x-4=3 \implies x=7$.
આમ,$a=7, b=1, c=-4$.
હવે,$ab+bc+ca$ શોધીએ:
$ab+bc+ca = (7)(1) + (1)(-4) + (-4)(7) = 7 - 4 - 28 = -25$.

(B) આપેલ સમીકરણ સંહતિ $\begin{bmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ છે.
આને $\begin{bmatrix} 2-k & 8 \\ 3 & 7-k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ તરીકે લખી શકાય.
શૂન્યેતર ઉકેલ માટે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 2-k & 8 \\ 3 & 7-k \end{vmatrix} = 0$.
$(2-k)(7-k) - 24 = 0$.
$k^2 - 9k + 14 - 24 = 0$.
$k^2 - 9k - 10 = 0$.
$(k-10)(k+1) = 0$.
તેથી,$k = 10$ અથવા $k = -1$. ધન કિંમત લેતા,$k = 10$.
$k = 10$ મૂકતા,આપણને $-8a + 8b = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = b$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$x+y+2z=3$
$x+2y+3z=4$
$x+y+cz=5$
સંહતિ સુસંગત ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(2c - 3) - 1(c - 3) + 2(1 - 2) = 0$
$2c - 3 - c + 3 - 2 = 0$
$c - 2 = 0 \Rightarrow c = 2$
જો $c=2$ હોય,તો સમીકરણો $x+y+2z=3$ અને $x+y+2z=5$ મળે છે,જે વિરોધાભાસી છે.
તેથી,$c=2$ માટે સંહતિ સુસંગત નથી.
નોંધ: જો ત્રીજું સમીકરણ $x+y+2cz=5$ હોય,તો $c=1$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે પાસપાસેની હાર (અથવા સ્તંભ) ની અદલાબદલી કરવાથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય માત્ર ચિહ્નમાં બદલાય છે,પરંતુ તેના માન (magnitude) માં નહીં.
તેથી,$B$ ના દરેક ઘટક $\Delta$ ને અનુરૂપ,$C$ માં એક ઘટક $\Delta^{\prime}$ મળે છે જે $\Delta$ માં બે પાસપાસેની હાર (અથવા સ્તંભ) ની અદલાબદલી કરીને મેળવી શકાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n(B) \leq n(C)$,એટલે કે $B$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $C$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી છે.
તે જ રીતે,$C$ ના કોઈપણ નિશ્ચાયકમાં બે હારની અદલાબદલી કરીને,આપણને $B$ માં એક નિશ્ચાયક મળે છે,તેથી $n(C) \leq n(B)$.
તેથી,$n(B) = n(C)$,જેનો અર્થ છે કે $B$ માં $C$ જેટલા જ ઘટકો છે.

(B) આપેલ છે કે,$2 \tan ^{-1} \frac{1}{5}+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}+2 \tan ^{-1} \frac{1}{8}$
$=2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A+\tan ^{-1} B=\tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-A B}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$=2 \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8}}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
$=2 \tan ^{-1}\left(\frac{13}{39}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
$2 \tan ^{-1} A=\tan ^{-1}\left(\frac{2 A}{1-A^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$=\tan ^{-1}\left(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$
હવે,$\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$ ને $\tan ^{-1}$ માં ફેરવો. ધારો કે $\theta = \sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7}$,તો $\sec \theta = \frac{5 \sqrt{2}}{7}$.
સામેની બાજુ $\sqrt{(5 \sqrt{2})^2 - 7^2} = \sqrt{50 - 49} = 1$ છે. તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{7}$,એટલે કે $\sec ^{-1} \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \tan ^{-1} \frac{1}{7}$.
પદાવલિ $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ બને છે.
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{7}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{21+4}{28-3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{25}{25}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$

(A) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} 2x + \cos ^{-1} 3x = \frac{\pi}{3}$.
સૂત્ર $\cos ^{-1} A + \cos ^{-1} B = \cos ^{-1} (AB - \sqrt{1-A^2}\sqrt{1-B^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^{-1} (2x \cdot 3x - \sqrt{1-(2x)^2}\sqrt{1-(3x)^2}) = \frac{\pi}{3}$
$6x^2 - \sqrt{1-4x^2}\sqrt{1-9x^2} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$6x^2 - \frac{1}{2} = \sqrt{(1-4x^2)(1-9x^2)}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(6x^2 - \frac{1}{2})^2 = (1-4x^2)(1-9x^2)$
$36x^4 - 6x^2 + \frac{1}{4} = 1 - 13x^2 + 36x^4$
$-6x^2 + 13x^2 = 1 - \frac{1}{4}$
$7x^2 = \frac{3}{4}$
$x^2 = \frac{3}{28}$
$x = \sqrt{\frac{3}{28}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

(B) ધારો કે $\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$. તેથી $\sin \theta = \frac{12}{13}$. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પાયો $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ મળે. આમ,$\tan \theta = \frac{12}{5}$,તેથી $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$.
ધારો કે $\phi = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$. તેથી $\cos \phi = \frac{4}{5}$. વેધ $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ મળે. આમ,$\tan \phi = \frac{3}{4}$,તેથી $\phi = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)$
જ્યારે $AB > 1$ હોય ત્યારે $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A = \frac{12}{5}, B = \frac{3}{4} \Rightarrow AB = \frac{36}{20} = 1.8 > 1$.
તેથી,$\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{12}{5} \times \frac{3}{4}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{63}{20}}{-\frac{16}{20}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(-\frac{63}{16}\right) = \pi - \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)$.
છેલ્લું પદ ઉમેરતા:
$\pi - \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right) = \pi$.

(A) આપેલ છે: $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\cos ^{-1} x$.
ધારો કે $\theta_1 = \tan ^{-1} \left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right)$ અને $\theta_2 = \sin ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
પ્રતિવિધેયોની વ્યાખ્યા મુજબ:
$\tan \theta_1 = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \implies \cos \theta_1 = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ અને $\sin \theta_1 = \frac{1}{3}$.
$\sin \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \cos \theta_2 = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
હવે,$\theta_1 + \theta_2 = \cos ^{-1} x \implies x = \cos(\theta_1 + \theta_2)$.
સૂત્ર $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2$
$x = \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
$x = \frac{2 \times 2}{3 \sqrt{3}} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}} - \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log_a(x - [x])}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ અને લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ.
$1$. પદ $(x - [x])$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે,જેને $\{x\}$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. $\{x\}$ માટે $0 \leq \{x\} < 1$ હોવાથી,અને $\log_a(\{x\})$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $\{x\} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \notin Z$.
$2$. વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\log_a(\{x\}) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$3$. જો $a > 1$ હોય,તો $\{x\} \geq a^0 = 1$. પરંતુ $\{x\} < 1$ હોવાથી,આ શક્ય નથી.
$4$. જો $0 < a < 1$ હોય,તો $\log_a(\{x\}) \geq 0 \implies \{x\} \leq a^0 = 1$. જે $x \notin Z$ માટે હંમેશા સાચું છે.
$5$. આમ,$x \in R - Z$ અને $a \in (0, 1)$.

(B) વિધેય $f(x) = \log \left[(2.5)^{3-x^2} - (0.4)^{x+9}\right]$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જો લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોય:
$(2.5)^{3-x^2} - (0.4)^{x+9} > 0$
$\Rightarrow (2.5)^{3-x^2} > (0.4)^{x+9}$
અહીં $0.4 = (2.5)^{-1}$ હોવાથી:
$(2.5)^{3-x^2} > (2.5)^{-(x+9)}$
આધાર $2.5 > 1$ હોવાથી,ઘાતાંકો માટે:
$3 - x^2 > -x - 9$
$x^2 - x - 12 < 0$
$(x - 4)(x + 3) < 0$
આથી $x \in (-3, 4)$ મળે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin^{-1} \left( \frac{2\theta}{1+\theta^2} \right) = 2 \tan^{-1} \theta$,જે $-1 \leq \theta \leq 1$ માટે સાચું છે.
અહીં,$\theta = 2x$ લેતા,સમીકરણ $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{2(2x)}{1+(2x)^2} \right)$ બને છે.
આ નિત્યસમ ત્યારે જ માન્ય છે જો $-1 \leq 2x \leq 1$ હોય.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$x$ ના મૂલ્યો $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ અંતરાલમાં આવેલા છે.

(B) ધારો કે $g(x) = -x^2-6x-5$. આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $-\frac{D}{4a}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16$.
મહત્તમ કિંમત $-\frac{16}{4(-1)} = 4$ છે.
આમ,$g(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 4]$ છે.
વિધેય $f(x) = -\sqrt{g(x)}$ હોવાથી,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અ-ઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $g(x) \in [0, 4]$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sqrt{g(x)} \in [0, 2]$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $f(x) \in [-2, 0]$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી તે પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f(-x) = -f(x)$ શરતનું પાલન કરે છે.
$x < 0$ માટે,આપણી પાસે $-x > 0$ છે.
કારણ કે $x > 0$ માટે $f(x) = x^2 + 3x - 7$ છે,આપણે આ પદમાં $-x$ મૂકીને $f(-x)$ શોધી શકીએ છીએ:
$f(-x) = (-x)^2 + 3(-x) - 7 = x^2 - 3x - 7$.
અયુગ્મ વિધેયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$x < 0$ માટે $f(x) = -f(-x)$:
$h(x) = -(x^2 - 3x - 7) = -x^2 + 3x + 7$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $(f \circ g)(x) = x$,તેથી $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય છે.
ધારો કે $g(1 + (2n - 1) \pi) = x_n$. તો $f(x_n) = 1 + (2n - 1) \pi$.
$f(x) = 2x + \cos x + \sin^2 x$ મુકતા:
$2x_n + \cos x_n + \sin^2 x_n = 1 + (2n - 1) \pi$
$2x_n + \cos x_n + 1 - \cos^2 x_n = 1 + (2n - 1) \pi$
$2x_n + \cos x_n - \cos^2 x_n = (2n - 1) \pi$.
જો $x_n = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$ લઈએ,તો $\cos x_n = 0$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મુકતા: $2((2n - 1) \frac{\pi}{2}) + 0 - 0 = (2n - 1) \pi$,જે સાચું છે.
તેથી,$g(1 + (2n - 1) \pi) = (2n - 1) \frac{\pi}{2}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{99} g(1 + (2n - 1) \pi) = \sum_{n=1}^{99} (2n - 1) \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{99} (2n - 1)$.
પ્રથમ $99$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $99^2$ થાય છે.
તેથી,સરવાળો $(99)^2 \frac{\pi}{2}$ થશે.

(B) અહીં $X = \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \mathbb{R} \right\}$ અને $f(A) = \operatorname{det}(A) = ad - bc$ છે.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,દરેક $y \in \mathbb{R}$ માટે,એવો શ્રેણિક $A \in X$ હોવો જોઈએ કે જેથી $f(A) = y$ થાય.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} y & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ લો. તો $\operatorname{det}(A) = y(1) - 0(0) = y$. કોઈપણ $y \in \mathbb{R}$ માટે આવો શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
વિધેય એક-એક હોવા માટે,$f(A_1) = f(A_2)$ નો અર્થ $A_1 = A_2$ થવો જોઈએ.
$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ લો.
$f(A_1) = (1)(1) - (0)(0) = 1$ અને $f(A_2) = (2)(1) - (1)(1) = 1$.
અહીં $f(A_1) = f(A_2)$ છે પરંતુ $A_1 \neq A_2$ છે,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{1+x}$ જ્યાં $f: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$.
એક-એક માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1}{1+x_1} = \frac{x_2}{1+x_2}$
$x_1(1+x_2) = x_2(1+x_1)$
$x_1 + x_1x_2 = x_2 + x_1x_2$
$x_1 = x_2$.
તેથી,$f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,તેથી વિધેય એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
ધારો કે $y = f(x) = \frac{x}{1+x}$.
$y(1+x) = x \implies y + xy = x \implies y = x(1-y) \implies x = \frac{y}{1-y}$.
કારણ કે $x \in [0, \infty)$,તેથી $\frac{y}{1-y} \geq 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $y \in [0, 1)$.
સહપ્રદેશ $[0, \infty)$ છે,પરંતુ વિસ્તાર $[0, 1)$ છે.
વિસ્તાર $\neq$ સહપ્રદેશ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,$f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2}$.
$f^{-1}(3)$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = y$ લઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x = f^{-1}(y)$.
$\frac{1+\sqrt{1+4 \log_2 x}}{2} = y$
$\sqrt{1+4 \log_2 x} = 2y - 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 + 4 \log_2 x = (2y - 1)^2$
$1 + 4 \log_2 x = 4y^2 - 4y + 1$
$4 \log_2 x = 4y^2 - 4y$
$\log_2 x = y^2 - y$
$x = 2^{y^2 - y}$
આમ,$f^{-1}(y) = 2^{y^2 - y}$.
હવે,$y = 3$ મૂકતા:
$f^{-1}(3) = 2^{3^2 - 3}$
$f^{-1}(3) = 2^{9 - 3}$
$f^{-1}(3) = 2^6 = 64$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \ldots$ છે,જ્યાં $|x| < \frac{1}{2}$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2x$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{1-2x}$.
ધારો કે $y = f(x) = \frac{1}{1-2x}$.
$f^{-1}(x)$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ના પદમાં $x$ ની કિંમત શોધીશું:
$y(1-2x) = 1$
$y - 2xy = 1$
$2xy = y - 1$
$x = \frac{y-1}{2y}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2x}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3x + \frac{2}{x}$. ધારો કે $y = 3x + \frac{2}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 - yx + 2 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 24}}{6}$.
પ્રદેશ $x \in [1, \infty)$ હોવાથી,આપણે તે ઉકેલ પસંદ કરવો જોઈએ જે આ શરતનું પાલન કરે.
$y \geq 5$ માટે,$y^2 \geq 25$,તેથી $\sqrt{y^2 - 24} \geq 1$.
જો આપણે $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 24}}{6}$ લઈએ,તો $y=5$ માટે,$x = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3} < 1$,જે પ્રદેશની બહાર છે.
જો આપણે $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 24}}{6}$ લઈએ,તો $y=5$ માટે,$x = \frac{5 + 1}{6} = 1$,જે પ્રદેશમાં છે.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 24}}{6}$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $x=0$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \ln \cos x}{\ln (1+x^2)}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x^2)}{x^2} = 1$.
તેથી,$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{\ln(1+x^2)} \right) \cdot \ln \cos x = 1 \cdot \ln(1) = 0$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$,વિધેય $x=0$ આગળ સતત છે.
હવે,$x=0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસવા માટે વ્યાખ્યા $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \ln \cos h}{h \ln(1+h^2)} = \lim_{h \to 0} \frac{h \ln \cos h}{\ln(1+h^2)}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
અંશ અને છેદને $h^2$ વડે ભાગતા: $\lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln \cos h}{h}}{\frac{\ln(1+h^2)}{h^2}} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln \cos h}{h}}{1}$.
$\frac{\ln \cos h}{h}$ પર એલ'હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{h \to 0} \frac{-\tan h}{1} = 0$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવાથી અને તે $0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.

(C) જો $f(x)$ એ $x=2$ આગળ સતત હોય,તો ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ અને $x=2$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $LHL$ ની ગણતરી: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (\frac{x-2}{|x-2|} + a)$. કારણ કે $x < 2$,$|x-2| = -(x-2)$,તેથી $\frac{x-2}{-(x-2)} + a = -1 + a$.
$2$. $RHL$ ની ગણતરી: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (\frac{x-2}{|x-2|} + b)$. કારણ કે $x > 2$,$|x-2| = (x-2)$,તેથી $\frac{x-2}{x-2} + b = 1 + b$.
$3$. $x=2$ આગળ મૂલ્ય: $f(2) = a + b$.
આ બધાને સરખાવતા: $-1 + a = 1 + b = a + b$.
$-1 + a = a + b$ પરથી,આપણને $b = -1$ મળે છે.
$1 + b = a + b$ પરથી,આપણને $a = 1$ મળે છે.
તેથી,$a + b = 1 + (-1) = 0$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $[-1, 1]$ માં સતત હોવા માટે,તે $x = 0$ આગળ પણ સતત હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયની કિંમત શોધો:
$f(0) = \frac{2(0) + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધો:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px})(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}$
$= \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+px) - (1-px)}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2p}{\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px}}$
$= \frac{2p}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2p}{2} = p$.
લક્ષને સરખાવતા: $p = -\frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $u = \sqrt{2+|x|}$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $u \ge \sqrt{2}$ મળે.
તેથી $|x| = u^2 - 2$.
અંશ $\sqrt{11 + (u^2 - 2) - 6u} = \sqrt{u^2 - 6u + 9} = \sqrt{(u-3)^2} = |u-3|$ થશે.
છેદ $6 - 2u = 2(3-u)$ છે.
આમ,$f(x) = \frac{|u-3|}{2(3-u)}$.
જ્યારે $u < 3$ હોય,ત્યારે $f(x) = \frac{3-u}{2(3-u)} = \frac{1}{2}$.
જ્યારે $u > 3$ હોય,ત્યારે $f(x) = \frac{u-3}{2(3-u)} = -\frac{1}{2}$.
વિધેય ત્યાં અસતત છે જ્યાં છેદ શૂન્ય થાય,એટલે કે $6 - 2u = 0 \Rightarrow u = 3$.
કિંમત મૂકતા,$\sqrt{2+|x|} = 3 \Rightarrow 2+|x| = 9 \Rightarrow |x| = 7$.
આનાથી $x = 7$ અને $x = -7$ મળે છે.
આ બે બિંદુઓ પર,ડાબી બાજુનું લક્ષ $\frac{1}{2}$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $-\frac{1}{2}$ છે,તેથી વિધેય અસતત છે.
આમ,અસતતતાના $2$ બિંદુઓ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર સતત છે,તેથી તે $x = -1$ અને $x = 1$ આગળ પણ સતત હશે.
$x = -1$ આગળ:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$
$a(-1) + b = 2(-1)^2 + 2b(-1) - \frac{a}{2}$
$-a + b = 2 - 2b - \frac{a}{2}$
$-\frac{a}{2} + 3b = 2 \quad \dots (i)$
$x = 1$ આગળ:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$
$2(1)^2 + 2b(1) - \frac{a}{2} = 7$
$2 + 2b - \frac{a}{2} = 7$
$-\frac{a}{2} + 2b = 5 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(-\frac{a}{2} + 3b) - (-\frac{a}{2} + 2b) = 2 - 5$
$b = -3$
$b = -3$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$-\frac{a}{2} + 2(-3) = 5$
$-\frac{a}{2} - 6 = 5$
$-\frac{a}{2} = 11$
$a = -22$
તેથી,$(a, b) = (-22, -3)$.