TS EAMCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $f(x)$ એ સંમેય સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે.
જો સંકર સંખ્યા $a+bi$ બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $a-bi$ પણ બીજ હોય. તેથી,$1+2i$ અને $1-2i$ બીજ છે.
જો અસંમેય સંખ્યા $a+\sqrt{b}$ સ્વરૂપનું બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $a-\sqrt{b}$ પણ બીજ હોય. તેથી,$2-\sqrt{3}$ અને $2+\sqrt{3}$ બીજ છે.
વધુમાં,$5$ એ પણ બીજ આપેલ છે.
તેથી,કુલ બીજ $1+2i, 1-2i, 2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}$ અને $5$ છે.
આમ,બહુપદીની ન્યૂનતમ ઘાત $n$ એ $5$ છે.

(B) $m$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના શિરોબિંદુઓથી બનાવી શકાતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $T_m = {}^mC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $T_{m+1} - T_m = 15$.
સૂત્ર મૂકતા,${}^{m+1}C_3 - {}^mC_3 = 15$.
નિત્યસમ ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે ${}^{m+1}C_3 = {}^mC_3 + {}^mC_2$.
તેથી,${}^mC_3 + {}^mC_2 - {}^mC_3 = 15$.
આનું સાદું રૂપ ${}^mC_2 = 15$ થાય છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{m(m-1)}{2} = 15$.
$m(m-1) = 30$.
$m^2 - m - 30 = 0$.
$(m-6)(m+5) = 0$.
કારણ કે $m$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $m = 6$.

(A) રેખા $ax + by + c = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(h, k)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં રેખા $5x - 3y - 2 = 0$ અને બિંદુ $(2, -3)$ આપેલ છે,તેથી $a = 5, b = -3, c = -2, x_1 = 2, y_1 = -3$.
$ax_1 + by_1 + c = 5(2) - 3(-3) - 2 = 10 + 9 - 2 = 17$.
$a^2 + b^2 = 5^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{h - 2}{5} = \frac{k - (-3)}{-3} = -2 \frac{17}{34} = -1$.
તેથી,$h - 2 = 5(-1) \implies h = -3$.
અને $k + 3 = -3(-1) \implies k + 3 = 3 \implies k = 0$.
આમ,$h + k = -3 + 0 = -3$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{25}(3x-4y+7)^2$ છે.
અહીં નાભિ $S = (2, 3)$ છે અને નિયામિકાનું સમીકરણ $3x-4y+7=0$ છે.
નાભિથી નિયામિકાનું લંબઅંતર $d = \frac{|3(2)-4(3)+7|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+7|}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
પરવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $2d$ થાય છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \times \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
આપેલ છે કે $a+c=5b$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5b+b}{2} = 3b$.
$s = 3b$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b}{3b-b} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$.

(A) ધારો કે $y = \frac{x}{x+1}$. તેથી $y(x+1) = x$ $\Rightarrow yx + y = x$ $\Rightarrow x(y-1) = -y$ $\Rightarrow x = \frac{y}{1-y}$.
આમ,$\frac{\alpha}{\alpha+1}$ અને $\frac{\beta}{\beta+1}$ એ $x^2+7x+3=0$ ના બીજ હોવાથી,$x = \frac{y}{1-y}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા $\alpha$ અને $\beta$ માટેનું સમીકરણ મળે છે:
$(\frac{y}{1-y})^2 + 7(\frac{y}{1-y}) + 3 = 0$
$(1-y)^2$ વડે ગુણતા:
$y^2 + 7y(1-y) + 3(1-y)^2 = 0$
$y^2 + 7y - 7y^2 + 3(1 - 2y + y^2) = 0$
$y^2 + 7y - 7y^2 + 3 - 6y + 3y^2 = 0$
$(1-7+3)y^2 + (7-6)y + 3 = 0$
$-3y^2 + y + 3 = 0$
$3y^2 - y - 3 = 0$.
આમ,$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ $3x^2-x-3=0$ છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $3x^3-26x^2+52x-24=0$ ના બીજ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘન સમીકરણ $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $-\frac{D}{A}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{a}{r} \times a \times ar = -\frac{(-24)}{3} = 8$.
$a^3 = 8 \Rightarrow a = 2$.
હવે,બીજનો સરવાળો $\frac{a}{r} + a + ar = -\frac{(-26)}{3} = \frac{26}{3}$ થાય.
$a=2$ મૂકતા: $\frac{2}{r} + 2 + 2r = \frac{26}{3} \Rightarrow \frac{1}{r} + r = \frac{10}{3}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $3r^2 - 10r + 3 = 0$ મળે,જેનાથી $r = 3$ અથવા $r = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,બીજ $\frac{2}{3}, 2, 6$ છે.
બે બીજનો સરવાળો $\frac{2}{3}+2 = \frac{8}{3}$ થાય છે,જે વિકલ્પમાં આપેલ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{32x^2+186x}{(x^2+1)(x+5)}=\frac{37x+1}{x^2+1}+\frac{\lambda}{x+5}$
જમણી બાજુના પદોને જોડતા:
$\frac{32x^2+186x}{(x^2+1)(x+5)}=\frac{(37x+1)(x+5)+\lambda(x^2+1)}{(x^2+1)(x+5)}$
અંશને સરખાવતા:
$32x^2+186x = (37x^2 + 185x + x + 5) + \lambda x^2 + \lambda$
$32x^2+186x = (37+\lambda)x^2 + 186x + (5+\lambda)$
$x^2$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$37+\lambda = 32 \implies \lambda = -5$
$5+\lambda = 0 \implies \lambda = -5$
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = \frac{-5}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ના બીજ છે અને $\beta^2=\alpha \gamma$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) માં છે.
હવે,સમીકરણ $ak^3x^3+bk^2x^2+ckx+d=0$ ને ધ્યાનમાં લો. આને $a(kx)^3+b(kx)^2+c(kx)+d=0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = kx$. તો સમીકરણ $ay^3+by^2+cy+d=0$ બને છે,જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
તેથી,$kx = \alpha, kx = \beta, kx = \gamma$,જે આપે છે $x = \frac{\alpha}{k}, x = \frac{\beta}{k}, x = \frac{\gamma}{k}$.
આમ,બીજ $u, v, w$ એ $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ છે.
જેમ કે $\alpha, \beta, \gamma$ $G$.$P$. માં છે,તેથી તેમના સ્કેલ કરેલા મૂલ્યો $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ પણ $G$.$P$. માં છે.
તેથી,$u, v, w$ $G$.$P$. માં છે,જે સૂચવે છે કે $v^2=uw$.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3-3x^2-4x+12=0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2(x-3)-4(x-3)=0$
$(x^2-4)(x-3)=0$
$(x-2)(x+2)(x-3)=0$
તેથી,બીજ $\alpha=-2, \beta=2, \gamma=3$ મળે છે.
આપણે $\sum(\alpha+\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 + (\beta+\gamma)^2 + (\gamma+\alpha)^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(\alpha+\beta)^2 = (-2+2)^2 = 0^2 = 0$
$(\beta+\gamma)^2 = (2+3)^2 = 5^2 = 25$
$(\gamma+\alpha)^2 = (3-2)^2 = 1^2 = 1$
સરવાળો કરતા: $0 + 25 + 1 = 26$.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = ax^2+bx+c$ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{b}{2a}$ આગળ મળે છે.
અહીં,$f(x) = x^2+5x-2$,તેથી $a=1, b=5, c=-2$.
ન્યૂનતમ કિંમત $a = -\frac{5}{2(1)} = -2.5$ આગળ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $M = f(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) - 2 = 6.25 - 12.5 - 2 = -8.25$.
હવે,$\frac{M}{a} = \frac{-8.25}{-2.5} = 3.3$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x^2+ax+2=0$ અને $g(x)=x^2+2x+a=0$ ને માત્ર એક જ વાસ્તવિક સામાન્ય બીજ છે. સામાન્ય બીજ શોધવા માટે બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$f(x)-g(x)=(a-2)x+(2-a)=0$
$(a-2)(x-1)=0$
$a \neq 2$ હોવાથી,સામાન્ય બીજ $x=1$ મળે છે.
$x=1$ ને $f(x)=0$ માં મૂકતા:
$1+a+2=0 \Rightarrow a=-3$.
હવે,$f(x)=x^2-3x+2=0$ અને $g(x)=x^2+2x-3=0$.
તેથી $f(x)+g(x) = 2x^2-x-1=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2+Bx+C=0$ ના બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A}$ થાય છે.
આમ,$2x^2-x-1=0$ માટે બીજનો સરવાળો $-\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2cx + ab = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવાથી,તેનો વિવેચક $D_1 > 0$ થાય.
$D_1 = (-2c)^2 - 4(1)(ab) = 4c^2 - 4ab > 0$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 > ab$.
હવે,સમીકરણ $x^2 - 2(a + b)x + a^2 + b^2 + 2c^2 = 0$ ધ્યાનમાં લો.
આ સમીકરણનો વિવેચક $D_2$ નીચે મુજબ છે:
$D_2 = [-2(a + b)]^2 - 4(1)(a^2 + b^2 + 2c^2)$
$D_2 = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 4a^2 - 4b^2 - 8c^2$
$D_2 = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 4a^2 - 4b^2 - 8c^2$
$D_2 = 8ab - 8c^2 = 8(ab - c^2)$.
$c^2 > ab$ હોવાથી,$ab - c^2 < 0$ થાય.
તેથી,$D_2 < 0$.
વિવેચક ઋણ હોવાથી,સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=ax^2-bx-a$ એક દ્વિઘાત પદાવલી છે જેથી $f(x) \leq K, \forall x \in R$.
આનો અર્થ એ છે કે $ax^2-bx-a-K \leq 0, \forall x \in R$.
કોઈપણ દ્વિઘાત પદાવલી $Ax^2+Bx+C$ માટે,જો તે તમામ $x$ માટે $0$ કે તેથી ઓછી હોય,તો $x^2$ નો સહગુણક ઋણ $(a < 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$D = (-b)^2 - 4(a)(-a-K) \leq 0$.
$b^2 + 4a(a+K) \leq 0$.
$b^2 + 4a^2 + 4aK \leq 0$.
કારણ કે $b^2 + 4a^2 \geq 0$,પદાવલી $\leq 0$ રહે તે માટે $4aK$ ઋણ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $a < 0$,તેથી $4aK < 0$ થવા માટે $K$ ધન હોવું જોઈએ.
આમ,$K > 0$.

(A) આપેલ છે $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
$y(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 14x + 9$.
$(y - 1)x^2 + 2(y - 7)x + 3y - 9 = 0$.
$x \in R$ હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$4(y - 7)^2 - 4(y - 1)(3y - 9) \geq 0$.
$(y^2 - 14y + 49) - (3y^2 - 12y + 9) \geq 0$.
$-2y^2 - 2y + 40 \geq 0$.
$y^2 + y - 20 \leq 0$.
$(y + 5)(y - 4) \leq 0$.
તેથી,$y \in [-5, 4]$.

(D) વિધાન $(A)$: ધારો કે $f(x) = -x^2+3x+1$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લઈને નિર્ણાયક બિંદુ શોધો.
$f'(x) = -2x+3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
કારણ કે $f''(x) = -2 < 0$,વિધેયને $x = \frac{3}{2}$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $f\left(\frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) + 1 = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1 = \frac{13}{4}$ છે.
આપેલ વિધાનમાં મહત્તમ કિંમત $\frac{11}{4}$ આપેલી છે,તેથી વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$: $f(x) = ax^2+bx+c$ માટે જ્યાં $a < 0$,શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a}$ પર મળે છે.
$f'(x) = 2ax+b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}$.
કારણ કે $f''(x) = 2a < 0$,આ બિંદુ મહત્તમ છે.
તેથી,કારણ $(R)$ સાચું છે.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2+bx+5$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{b}{2}$ પર મળે છે. આ કિંમત મૂકતા,$\alpha = (-\frac{b}{2})^2 + b(-\frac{b}{2}) + 5 = 5 - \frac{b^2}{4}$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $-x^2+ax+5$ ની મહત્તમ કિંમત $x = \frac{a}{2}$ પર મળે છે. આ કિંમત મૂકતા,$\beta = -(\frac{a}{2})^2 + a(\frac{a}{2}) + 5 = 5 + \frac{a^2}{4}$ મળે છે.
આપેલ અસમતા $x^2-10x+24 \leq 0$ ને અવયવ પાડતા $(x-4)(x-6) \leq 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $4 \leq x \leq 6$.
આ અંતરાલને $[\alpha, \beta]$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 4$ અને $\beta = 6$ મળે છે.
પદાવલિઓને સરખાવતા:
$5 - \frac{b^2}{4} = 4$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 4$.
$5 + \frac{a^2}{4} = 6$ $\Rightarrow \frac{a^2}{4} = 1$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
તેથી,$a^2b^2 = 4 \times 4 = 16$.

(A) આપેલ અસમતા: $x^2-5x-14 > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(x+2)(x-7) > 0$
ગુણાકાર ધન હોવા માટે,$x$ એ નાના બીજ કરતા નાનો અથવા મોટા બીજ કરતા મોટો હોવો જોઈએ: $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ એ $[\alpha, \beta]$ અંતરાલની બહાર છે.
સરખામણી કરતા,$\alpha = -2$ અને $\beta = 7$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{-2}{7}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3-x+1=0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -1$
$\alpha\beta\gamma = -1$
ધારો કે $y = \frac{1+x}{1-x}$. તેથી $x = \frac{y-1}{y+1}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y^3-y^2+7y+1 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણના બીજ $\frac{1+\alpha}{1-\alpha}, \frac{1+\beta}{1-\beta}, \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $y_1+y_2+y_3 = -(\frac{-1}{1}) = 1$ થાય.

(A) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^4-2 x^3+6 x-21=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે. આપણે એવું સમીકરણ શોધવું છે જેના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ હોય.
ધારો કે $y = x^2$,તેથી $x = \sqrt{y}$.
આપેલ સમીકરણને $x^4-21 = 2 x(x^2-3)$ તરીકે લખી શકાય.
$x^2 = y$ મૂકતા: $y^2-21 = 2 x(y-3)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y^2-21)^2 = 4 x^2(y-3)^2$.
$x^2 = y$ હોવાથી: $(y^2-21)^2 = 4 y(y-3)^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $y^4-42 y^2+441 = 4 y(y^2-6 y+9)$.
$y^4-42 y^2+441 = 4 y^3-24 y^2+36 y$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $y^4-4 y^3-18 y^2-36 y+441=0$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,જરૂરી સમીકરણ $x^4-4 x^3-18 x^2-36 x+441=0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x^2-3x+2$ એ $P(x) = x^4-ax^2+b$ નો અવયવ છે.
ભાજકનું અવયવીકરણ: $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.
તેથી $(x-1)$ અને $(x-2)$ અવયવો હોવાથી,$P(1) = 0$ અને $P(2) = 0$ થાય.
$x=1$ માટે: $(1)^4 - a(1)^2 + b = 0 \implies 1 - a + b = 0 \implies -a + b = -1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $(2)^4 - a(2)^2 + b = 0 \implies 16 - 4a + b = 0 \implies -4a + b = -16$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતાં: $(-a+b) - (-4a+b) = -1 - (-16) \implies 3a = 15 \implies a = 5$.
$a=5$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $-5 + b = -1 \implies b = 4$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $a=5$ અને $b=4$ છે.
સમીકરણ $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (5+4)x + (5 \times 4) = 0 \implies x^2 - 9x + 20 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x^3+4x^2-5x-2=0$ $(i)$.
ધારો કે $(i)$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજને $h$ જેટલા ઘટાડતા,નવા બીજ $t = x - h$ થાય,જેનો અર્થ છે $x = t + h$.
$(i)$ માં $x = t + h$ મૂકતા:
$3(t+h)^3 + 4(t+h)^2 - 5(t+h) - 2 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3t^3 + (9h + 4)t^2 + (9h^2 + 8h - 5)t + (3h^3 + 4h^2 - 5h - 2) = 0$.
કારણ કે $x^2$ (અથવા $t^2$) પદ ગેરહાજર છે,તેનો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$9h + 4 = 0 \Rightarrow h = -\frac{4}{9}$.
હવે,મૂળ સમીકરણ $3x^3+4x^2-5x-2=0$ ના બીજ શોધો.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ એક બીજ છે $(3+4-5-2=0)$.
$(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-1)(3x^2+7x+2) = 0$ મળે છે.
$(x-1)(3x+1)(x+2) = 0$.
બીજ $x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{3}, x_3 = -2$ છે.
નવા બીજ $x_i - h = x_i - (-\frac{4}{9}) = x_i + \frac{4}{9}$ છે.
નવા બીજ: $1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}$,$-\frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$,અને $-2 + \frac{4}{9} = -\frac{14}{9}$.

(B) આપેલ છે $x=2+2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$.
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા,$x-2=2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$ મળે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$(x-2)^3 = (2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}})^3$.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^3-6x^2+12x-8 = (2^{\frac{2}{3}})^3 + (2^{\frac{1}{3}})^3 + 3(2^{\frac{2}{3}})(2^{\frac{1}{3}})(2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}})$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 4 + 2 + 3(2^1)(x-2)$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6 + 6(x-2)$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6 + 6x - 12$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6x - 6$.
પદોને ગોઠવતા,$x^3-6x^2+6x = 8-6 = 2$ મળે.

(B) આપેલ છે કે,એક બીજ $-1+i$ છે.
સમીકરણના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેનું સંકર અનુબદ્ધ $-1-i$ પણ બીજ થશે.
તેથી,$(x+1-i)(x+1+i) = x^2+2x+2$ એ આપેલ સમીકરણનો એક અવયવ છે.
$x^4+4x^3+5x^2+2x-2$ ને $x^2+2x+2$ વડે ભાગતા,આપણને ભાગફળ $x^2+2x-1$ મળે છે.
$x^2+2x-1 = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.
તેથી,વાસ્તવિક બીજ $-1 \pm \sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^3 + mx^2 - 13x + n = 0$ છે. $2$ અને $3$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = 2$ માટે:
$2(2)^3 + m(2)^2 - 13(2) + n = 0$
$16 + 4m - 26 + n = 0$
$4m + n = 10$ --- $(i)$
$x = 3$ માટે:
$2(3)^3 + m(3)^2 - 13(3) + n = 0$
$54 + 9m - 39 + n = 0$
$9m + n = -15$ --- $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(9m + n) - (4m + n) = -15 - 10$
$5m = -25 \Rightarrow m = -5$
$m = -5$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$4(-5) + n = 10$
$-20 + n = 10 \Rightarrow n = 30$
આમ,$m = -5$ અને $n = 30$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,$\frac{(1+i)^n}{(1-i)^n} = -i$
$\Rightarrow \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n = -i$
કૌંસની અંદરના પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\Rightarrow \left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^n = -i$
$\Rightarrow \left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^n = -i$
કારણ કે $i^2 = -1$:
$\Rightarrow \left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^n = -i$
$\Rightarrow \left(\frac{2i}{2}\right)^n = -i$
$\Rightarrow i^n = -i$
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^1 = i$,$i^2 = -1$,$i^3 = -i$,અને $i^4 = 1$.
$i^n = -i$ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $n$ એ $4k-1$ સ્વરૂપમાં હોય,જ્યાં $k \in N$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(z-4)^3=8 i$ છે. ધારો કે $w = z-4$,તો $w^3 = 8 i = 8 e^{i \pi/2}$.
બીજ $w_k = 2 e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}$ છે,જ્યાં $k=0, 1, 2$.
$k=0$ માટે,$w_0 = \sqrt{3} + i$.
$k=1$ માટે,$w_1 = -\sqrt{3} + i$.
$k=2$ માટે,$w_2 = -2 i$.
$z = w+4$ હોવાથી,બીજ $z_0 = 4+\sqrt{3}+i$,$z_1 = 4-\sqrt{3}+i$,અને $z_2 = 4-2 i$ છે.
$a-2 i, b+i, c+i$ સાથે સરખાવતા,$a=4, b=4+\sqrt{3}, c=4-\sqrt{3}$ મળે.
તેથી $abc = 4(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = 4(16-3) = 52$.
આમ,$\sqrt{abc} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$.

(B) આપેલ છે કે $(a+ib)^{\frac{1}{4}}=2+3i$.
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા:
$(a+ib)=(2+3i)^4$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+ib)=[(2+3i)^2]^2 = [4+9i^2+12i]^2$.
$i^2=-1$ હોવાથી:
$(a+ib)=[4-9+12i]^2 = [-5+12i]^2$.
વધુ વિસ્તરણ કરતા:
$a+ib = (-5)^2 + (12i)^2 + 2(-5)(12i) = 25 - 144 - 120i = -119 - 120i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$a=-119$ અને $b=-120$ મળે છે.
હવે,$3b-2a$ ની ગણતરી કરતા:
$3b-2a = 3(-120) - 2(-119) = -360 + 238 = -122$.

(A) આપેલ છે $x = \frac{4+3i}{5}$,તેથી $\frac{1}{x} = \frac{5}{4+3i} = \frac{5(4-3i)}{16+9} = \frac{4-3i}{5}$.
$x + \frac{1}{x} = \frac{4+3i+4-3i}{5} = \frac{8}{5}$.
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (\frac{8}{5})^2 - 2 = \frac{64}{25} - 2 = \frac{14}{25}$.
આપેલ છે $y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$,તેથી $\frac{1}{y} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}i} = \frac{\sqrt{8}(\sqrt{3}+\sqrt{5}i)}{3+5} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$.
$y + \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i+\sqrt{3}+\sqrt{5}i}{\sqrt{8}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$.
$y - \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}i-(\sqrt{3}+\sqrt{5}i)}{\sqrt{8}} = \frac{-2\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}$.
$y^2 - \frac{1}{y^2} = (y + \frac{1}{y})(y - \frac{1}{y}) = (\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{8}})(\frac{-2\sqrt{5}i}{\sqrt{8}}) = \frac{-4\sqrt{15}i}{8} = \frac{-\sqrt{15}i}{2}$.
તેથી,$(x^2 + \frac{1}{x^2})(y^2 - \frac{1}{y^2}) = (\frac{14}{25})(\frac{-\sqrt{15}i}{2}) = \frac{-7\sqrt{15}i}{25} = \frac{-7\sqrt{3}\sqrt{5}i}{5\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{-7\sqrt{3}}{5\sqrt{5}}i$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=a x^2+b x+c$ અને $GCD(a, b, c)=1$.
જો $\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}$ એ $f(x)=0$ નું બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}$ પણ બીજ થાય.
બીજનો સરવાળો $= \frac{-7+\sqrt{11} i}{6} + \frac{-7-\sqrt{11} i}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -\frac{b}{a} \implies \frac{b}{a} = \frac{7}{3}$.
બીજનો ગુણાકાર $= \left(\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}\right) \left(\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}\right) = \frac{49+11}{36} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3} = \frac{c}{a}$.
આમ,$a=3, b=7, c=5$,જે $GCD(3, 7, 5)=1$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$f(x) = 3x^2+7x+5$.
આપેલ છે કે $f\left(\frac{x}{k}\right)-L = (x+4)(3x-5) = 3x^2+7x-20$.
$f\left(\frac{x}{k}\right) = 3\left(\frac{x}{k}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{k}\right) + 5$ મુકતા:
$3\frac{x^2}{k^2} + \frac{7x}{k} + 5 - L = 3x^2 + 7x - 20$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{3}{k^2} = 3 \implies k^2 = 1 \implies k = 1$.
$\frac{7}{k} = 7 \implies k = 1$.
$5 - L = -20 \implies L = 25$.
તેથી,$k=1$ અને $L=25$.

(A) આપેલ છે કે $z_1$ અને $z_2$ એ $x^2+2x+2=0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો $z_1+z_2 = -2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $z_2 = -2-z_1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2z_2 = -2z_1-4$,અથવા $2z_2+2 = -2z_1-2$.
ધારો કે આપેલ પદ $E = \frac{-2^{11}(z_1+1+3i)^{11}}{2^5(z_2+1-3i)^{11}}$ છે.
આને $E = -2^6 \left( \frac{z_1+1+3i}{z_2+1-3i} \right)^{11}$ તરીકે લખી શકાય.
કૌંસની અંદર અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$E = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{2z_2+2-6i} \right)^{11}$.
છેદમાં $2z_2+2 = -2z_1-2$ મૂકતા:
$E = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{-2z_1-2-6i} \right)^{11} = -2^6 \left( \frac{2z_1+2+6i}{-(2z_1+2+6i)} \right)^{11}$.
$E = -2^6 (-1)^{11} = -2^6 (-1) = 2^6 = 64$.

(B) આપેલ છે,$\sqrt{x^2 - 2x + 8} + (x + 4)i = y(2 + i)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sqrt{x^2 - 2x + 8} = 2y$ $(1)$
$x + 4 = y$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{x^2 - 2x + 8} = 2(x + 4)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 - 2x + 8 = 4(x^2 + 8x + 16)$
$3x^2 + 34x + 56 = 0$
$(3x + 28)(x + 2) = 0$
તેથી,$x = -2$ અથવા $x = -\frac{28}{3}$.
જો $x = -2$,તો $y = 2$. તેથી,$Z = -2 + 2i$.
જો $x = -\frac{28}{3}$,તો $y = -\frac{16}{3}$. તેથી,$Z = -\frac{28}{3} - \frac{16}{3}i$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$Z = -2 + 2i$ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) આપેલ છે $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}\right| = \left|\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right| \cdot \frac{|z_3|}{|z_2|}$
કિંમતો મૂકતા: $\left|\frac{1}{1-2 i}+\frac{2}{1+i}\right| \cdot \frac{|3+4 i|}{|1+i|}$
$= \left|\frac{1+2 i}{1^2+2^2} + \frac{2(1-i)}{1^2+1^2}\right| \cdot \frac{\sqrt{3^2+4^2}}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$= \left|\frac{1+2 i}{5} + \frac{2-2 i}{2}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \left|\frac{2+4 i + 10-10 i}{10}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \left|\frac{12-6 i}{10}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{6}{10} |2-i| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \frac{3}{5} \sqrt{2^2+(-1)^2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{9 \times 5}{2}} = \sqrt{\frac{45}{2}}$

(B) આપેલ છે કે,$k(\cos \theta+i \sin \theta)=2+2 \sqrt{3} i$.
માનાંક અને કોણાંકની સરખામણી કરતા,$k = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
વળી,$\cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.
હવે,આપણે $\frac{1}{\sqrt{3}}[\cos 6 \theta+i \sin 6 \theta]$ ની કિંમત મેળવવાની છે.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા,$6\theta = 6(\frac{\pi}{3}) = 2\pi$ મળે.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{3}}[\cos 2\pi + i \sin 2\pi] = \frac{1}{\sqrt{3}}[1 + i(0)] = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7} = 0$ અને $\sum_{k=0}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} = 0$.
કારણ કે $\cos 0 = 1$ અને $\sin 0 = 0$,તેથી $\sum_{k=1}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7} = -1$ અને $\sum_{k=1}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} = 0$.
આપેલ પદાવલિ $\sum_{k=1}^{6} (\sin \frac{2 \pi k}{7} - i \cos \frac{2 \pi k}{7}) = \sum_{k=1}^{6} \sin \frac{2 \pi k}{7} - i \sum_{k=1}^{6} \cos \frac{2 \pi k}{7}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $0 - i(-1) = i$ મળે છે.

(C) $n \in N$ આપેલ છે,ધારો કે $z = \left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1+\cos \theta-i \sin \theta}\right)^n$.
નિત્યસમ $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \left(\frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 2i \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right)^n$
$z = \left(\frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})}{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2})}\right)^n$
$z = \left(\frac{\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}}\right)^n$
ઘાતાંકીય સ્વરૂપ $e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \left(\frac{e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}}\right)^n = (e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$
$z = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)$.

(C) $(A) \ \omega^{1010} + \omega^{2000} = \omega^2 + \omega = -1$.
$(B) \ (1 + \omega - \omega^2)(1 - \omega + \omega^2) = (-2\omega^2)(-2\omega) = 4\omega^3 = 4$.
$(C) \ (2 + \omega^2 + \omega^4)^5 = (1 + (1 + \omega + \omega^2))^5 = 1^5 = 1$.
$(D) \ (3 + 5\omega + 3\omega^2)^3 = (3(-\omega) + 5\omega)^3 = (2\omega)^3 = 8\omega^3 = 8$.
આમ,સાચી જોડ $A-III, B-IV, C-II, D-V$ છે.

(C) આપેલ છે,$\sum_{k=1}^n\left(k+\frac{1}{\omega}\right)\left(k+\frac{1}{\omega^2}\right)=340$
સરવાળાની અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sum_{k=1}^n\left(k^2+k\left(\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega}\right)+\frac{1}{\omega^3}\right)=340$
કારણ કે $\omega^3=1$,તેથી $\frac{1}{\omega}=\omega^2$ અને $\frac{1}{\omega^2}=\omega$ થાય.
વળી,$1+\omega+\omega^2=0 \implies \omega+\omega^2=-1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sum_{k=1}^n\left(k^2+k(-1)+1\right)=340$
$\sum_{k=1}^n(k^2-k+1)=340$
સરવાળાના સૂત્રો $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + n = 340$
$\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - 1 \right] + n = 340$
$\frac{n(n+1)(n-1)}{3} + n = 340$
$n^3+2n = 1020$
કિંમતો ચકાસતા,$n=10$ માટે: $10^3 + 2(10) = 1000 + 20 = 1020$.
તેથી,$n=10$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ છે.
સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ એ એકમના કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે,તેથી $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$,જ્યાં $\omega^3 = 1$ અને $1+\omega+\omega^2=0$.
તેથી,$\alpha^3 = 1$ અને $\beta^3 = 1$.
વળી,$\alpha+\beta = -1$ અને $\alpha\beta = 1$.
આપણે પદાવલિ $E = (2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha^{10})(2-\alpha^{20})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^{10} = (\alpha^3)^3 \cdot \alpha = \alpha$ અને $\alpha^{20} = (\alpha^3)^6 \cdot \alpha^2 = \alpha^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = (2-\alpha)(2-\beta)(2-\alpha)(2-\alpha^2)$.
$\beta = \alpha^2$ હોવાથી,
$E = (2-\alpha)(2-\alpha^2)(2-\alpha)(2-\alpha^2) = [(2-\alpha)(2-\alpha^2)]^2$.
અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2-\alpha)(2-\alpha^2) = 4 - 2\alpha^2 - 2\alpha + \alpha^3 = 4 - 2(\alpha+\alpha^2) + 1$.
$1+\alpha+\alpha^2=0$ હોવાથી,$\alpha+\alpha^2 = -1$.
તેથી,$(2-\alpha)(2-\alpha^2) = 4 - 2(-1) + 1 = 4+2+1 = 7$.
તેથી,$E = 7^2 = 49$.

(C) ધારો કે $z = \sqrt{3}+i$. તો $\bar{z} = \sqrt{3}-i$.
આપણને મળે છે $z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{i\pi/6}$.
તેથી $z^8 = 2^8 e^{i8\pi/6} = 256 e^{i4\pi/3} = 256(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}) = 256(-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128\sqrt{3}i$.
તે જ રીતે,$\bar{z}^8 = \overline{z^8} = -128 + 128\sqrt{3}i$.
આમ,$z^8 - \bar{z}^8 = (-128 - 128\sqrt{3}i) - (-128 + 128\sqrt{3}i) = -256\sqrt{3}i$.
$\alpha + i\beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 0$ અને $\beta = -256\sqrt{3}$ મળે છે.
અંતે,$\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\beta = 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}(-256\sqrt{3}) = \frac{3}{2} \times 256 = 384$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.
$\omega^{1234}$ માટે,$1234$ ને $3$ વડે ભાગતા: $1234 = 3 \times 411 + 1$,તેથી $\omega^{1234} = \omega^1 = \omega$.
$\omega^{2021}$ માટે,$2021$ ને $3$ વડે ભાગતા: $2021 = 3 \times 673 + 2$,તેથી $\omega^{2021} = \omega^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos [(\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [(-1) \pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [-\pi - \frac{\pi}{4}] = \cos [-(\pi + \frac{\pi}{4})] = \cos (\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) જો $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય,તો $n = 3k + 1$ અથવા $n = 3k + 2$ થાય,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
કિસ્સો $(I)$: જ્યારે $n = 3k + 1$.
$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+1} + \omega^{6k+2} = (\omega^3)^k \cdot \omega + (\omega^3)^{2k} \cdot \omega^2 = 1^k \cdot \omega + 1^{2k} \cdot \omega^2 = \omega + \omega^2$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.
કિસ્સો $(II)$: જ્યારે $n = 3k + 2$.
$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^{3k+2} + \omega^{6k+4} = (\omega^3)^k \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{2k} \cdot \omega^4 = 1^k \cdot \omega^2 + 1^{2k} \cdot \omega = \omega^2 + \omega = -1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,$3$ ના ગુણક ન હોય તેવા તમામ $n$ માટે $\omega^n + \omega^{2n} = -1$ થાય છે.

(C) આપેલ છે $z=x+iy$ અને $\operatorname{Im}\left(\frac{z-3i}{iz+4}\right)=0$.
$z=x+iy$ મૂકતા, $\frac{x+i(y-3)}{i(x+iy)+4} = \frac{x+i(y-3)}{(4-y)+ix}$ મળે.
કાલ્પનિક ભાગ શોધવા માટે, અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(4-y)-ix$ વડે ગુણતા.
છેદ $(4-y)^2+x^2$ થાય છે.
અંશ $[x+i(y-3)][(4-y)-ix] = x(4-y)-ix^2+i(y-3)(4-y)+x(y-3)$ થાય છે.
અંશનું સાદું રૂપ: $4x-xy-ix^2+i(-y^2+7y-12)+xy-3x = x - i(x^2+y^2-7y+12)$.
કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવાથી, $i$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ: $-(x^2+y^2-7y+12) = 0$, જેનો અર્થ છે $x^2+y^2-7y+12=0$.
વળી, છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ, તેથી $(4-y)^2+x^2 \neq 0$, જેનો અર્થ છે $(x,y) \neq (0,4)$.

(B) આપેલ શરત $0 < r < s < n$ અને ${}^n P_r = {}^n P_s$ છે.
${}^n P_r = \frac{n!}{(n - r)!}$ અને ${}^n P_s = \frac{n!}{(n - s)!}$ હોવાથી,$\frac{n!}{(n - r)!} = \frac{n!}{(n - s)!}$ મળે.
આથી $(n - r)! = (n - s)!$ થાય.
$r < s$ હોવાથી,$(n - r) > (n - s)$ થાય.
બે ભિન્ન અ-ઋણ પૂર્ણાંકોના ફેક્ટોરિયલ સમાન હોવા માટે,માત્ર એક જ શક્યતા છે કે $0! = 1! = 1$.
તેથી,$n - s = 0$ અને $n - r = 1$ હોવું જોઈએ.
$n - s = 0$ પરથી,$s = n$ મળે.
$n - r = 1$ પરથી,$r = n - 1$ મળે.
તેથી,$r + s = (n - 1) + n = 2n - 1$.

(D) ધારો કે $5$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5$ છે. વચ્ચેનો અંક $d_3$ છે.
અંકો ભિન્ન અને શૂન્ય સિવાયના હોવા જોઈએ,અને $d_3$ સૌથી મોટો હોવાથી,$d_3$ ઓછામાં ઓછો $5$ હોવો જોઈએ.
જો $d_3 = 5$ હોય,તો બાકીના $4$ અંકો ${1, 2, 3, 4}$ માંથી પસંદ કરવાના રહે. ગોઠવણીના પ્રકાર ${ }^4 P_4$ છે.
જો $d_3 = 6$ હોય,તો બાકીના $4$ અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ માંથી પસંદ કરવાના રહે. ગોઠવણીના પ્રકાર ${ }^5 P_4$ છે.
આ જ રીતે,$d_3 = 9$ માટે ગોઠવણીના પ્રકાર ${ }^8 P_4$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યાઓ = ${ }^4 P_4 + { }^5 P_4 + { }^6 P_4 + { }^7 P_4 + { }^8 P_4 = \sum_{r=4}^8 { }^r P_4$.

(B) કુલ $7$ વૈજ્ઞાનિકો છે. $7$ વ્યાખ્યાનોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $7!$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$S_1, S_3,$ અને $S_7$ નો સાપેક્ષ ક્રમ $3! = 6$ શક્ય રીતે હોઈ શકે છે.
આ $6$ રીતો છે: $(S_1, S_3, S_7), (S_1, S_7, S_3), (S_3, S_1, S_7), (S_3, S_7, S_1), (S_7, S_1, S_3), (S_7, S_3, S_1)$.
આ $6$ રીતોમાંથી,માત્ર એક જ રીત એવી છે જે શરત સંતોષે છે કે $S_1$ એ $S_3$ પહેલાં અને $S_3$ એ $S_7$ પહેલાં આવે (એટલે કે,ક્રમ $S_1 < S_3 < S_7$).
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$ છે.

(C) $30$ વ્યક્તિઓની સમિતિ પસંદ કરવા માટે જેમાં છોકરાઓ,છોકરીઓ અને શિક્ષકોની સંખ્યા સમાન હોય,આપણે $10$ છોકરાઓ,$10$ છોકરીઓ અને $10$ શિક્ષકો પસંદ કરવા પડશે.
$20$ માંથી $10$ છોકરાઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
$20$ માંથી $10$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
$20$ માંથી $10$ શિક્ષકો પસંદ કરવાની રીતો $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
કુલ રીતો $= \frac{20!}{10!10!} \times \frac{20!}{10!10!} \times \frac{20!}{10!10!} = \frac{(20!)^3}{(10!)^6}$.

(C) આપેલ અંકો $\{1, 3, 5, 6, 8\}$ છે. બેકી અંકો $\{6, 8\}$ છે અને એકી અંકો $\{1, 3, 5\}$ છે.
$\bullet$ $e_1$ ની ગણતરી ($3$-અંકની બેકી સંખ્યાઓ,પુનરાવર્તન વગર):
છેલ્લો અંક બેકી હોવો જોઈએ ($2$ પસંદગીઓ: $6$ અથવા $8$). બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો વડે $P(4, 2)$ રીતે ભરી શકાય.
$e_1 = 2 \times (4 \times 3) = 24$.
$\bullet$ $e_2$ ની ગણતરી ($4$-અંકની બેકી સંખ્યાઓ,પુનરાવર્તન વગર):
છેલ્લો અંક બેકી હોવો જોઈએ ($2$ પસંદગીઓ). બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો વડે $P(4, 3)$ રીતે ભરી શકાય.
$e_2 = 2 \times (4 \times 3 \times 2) = 48$.
$\bullet$ $O_1$ ની ગણતરી ($3$-અંકની એકી સંખ્યાઓ,પુનરાવર્તન વગર):
છેલ્લો અંક એકી હોવો જોઈએ ($3$ પસંદગીઓ: $1, 3, 5$). બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો વડે $P(4, 2)$ રીતે ભરી શકાય.
$O_1 = 3 \times (4 \times 3) = 36$.
$\bullet$ $O_2$ ની ગણતરી ($4$-અંકની એકી સંખ્યાઓ,પુનરાવર્તન વગર):
છેલ્લો અંક એકી હોવો જોઈએ ($3$ પસંદગીઓ). બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો વડે $P(4, 3)$ રીતે ભરી શકાય.
$O_2 = 3 \times (4 \times 3 \times 2) = 72$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$\frac{e_1+e_2}{2} = \frac{24+48}{2} = \frac{72}{2} = 36$.
$\frac{O_1+O_2}{3} = \frac{36+72}{3} = \frac{108}{3} = 36$.
કારણ કે $36 = 6^2$,સાચો સંબંધ $\frac{e_1+e_2}{2} = \frac{O_1+O_2}{3} = 6^2$ છે.

(B) $0, 1, 3, 5, 9$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $50000$ થી મોટી પાંચ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,પ્રથમ અંક (દસ હજારનું સ્થાન) $5$ અથવા $9$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $5$ છે.
બાકીના $4$ અંકો $(0, 1, 3, 9)$ બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $9$ છે.
બાકીના $4$ અંકો $(0, 1, 3, 5)$ બાકીની $4$ જગ્યાઓ પર $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 24 + 24 = 48$.

(D) ગોળ ટેબલ પર બેઠેલી $15$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{15}C_3$ છે.
પ્રથમ,$3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો: ${}^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
હવે,$3$ છોકરીઓ એકસાથે બેઠી હોય તેવી પસંદગીની રીતો $15$ છે.
તેથી,ત્રણેય એકસાથે ન બેઠી હોય તેવી પસંદગીની જરૂરી રીતો $455 - 15 = 440$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $X, Y$ અને $Z$ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા $\alpha = \frac{\pi}{4}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ અને $\gamma = \theta$ છે.
દિકકોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ અને $n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $(\cos \frac{\pi}{4})^2 + (\cos \frac{\pi}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,દિકકોસાઇન $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x+iy = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2-i)^2 = 4 + i^2 - 4i = 4 - 1 - 4i = 3 - 4i$.
તેથી,$x+iy = \frac{1+7i}{3-4i}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3+4i)$ વડે ગુણતા:
$x+iy = \frac{(1+7i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{3 + 4i + 21i + 28i^2}{9 - 16i^2} = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} = \frac{-25 + 25i}{25} = -1 + i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$x = -1$ અને $y = 1$ મળે છે.
હવે,$\operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \frac{y}{x} - \frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધીએ:
$= \operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \left(\frac{1}{-1}\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{cosec}\left(\tan^{-1}(-1) - \frac{\pi}{4}\right)$.
કારણ કે $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,તેથી:
$= \operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

(B) આપેલ લક્ષ $l = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{12n} \right)$ છે.
આ $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n})$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે.
અહીં,$f(x) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x)$.
તેથી,$l = \int_{0}^{1} \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$l = \left[ -\frac{12}{\pi} \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}x) \right]_{0}^{1}$
$l = -\frac{12}{\pi} \left[ \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}) - \cos(\frac{\pi}{4}) \right]$
$l = -\frac{12}{\pi} \left[ \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{4}) \right]$
$l = \frac{12}{\pi} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} \right] = \frac{6(\sqrt{2}-1)}{\pi}$.

(A) આપેલ વક્ર $y=4x^4+x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 16x^3+1$ મળે.
$(0,0)$ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 16(0)^3+1 = 1$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(a, b)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = 16a^3+1$ છે.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$ થાય.
$1 \times (16a^3+1) = -1$.
$16a^3 = -2$ $\Rightarrow a^3 = -\frac{1}{8}$ $\Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ $P$ વક્ર પર હોવાથી,$b = 4(-\frac{1}{2})^4 + (-\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ છે.

(A) ધારો કે $P$ એ સમતલ $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ પરનું બિંદુ છે જે $A = \left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ ની સૌથી નજીક છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -2, 4)$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખા $P = A + c\vec{n} = \left(1 + 2c, \frac{3}{2} - 2c, 2 + 4c\right)$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $P$ સમતલ પર હોવાથી,યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1 + 2c) - 2\left(\frac{3}{2} - 2c\right) + 4(2 + 4c) + 5 = 0$.
$2 + 4c - 3 + 4c + 8 + 16c + 5 = 0$.
$24c + 12 = 0 \Rightarrow c = -\frac{1}{2}$.
$c = -\frac{1}{2}$ ને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P = \left(1 + 2(-\frac{1}{2}), \frac{3}{2} - 2(-\frac{1}{2}), 2 + 4(-\frac{1}{2})\right) = \left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$.

(A) $x \neq 0$ માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધીએ છીએ:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \sin \frac{1}{x} \right) = 2x \sin \frac{1}{x} + x^2 \left( \cos \frac{1}{x} \right) \left( -\frac{1}{x^2} \right)$
$f^{\prime}(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$
હવે,આપણે $x \rightarrow 0$ તરીકે લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \right)$
$= \lim_{x \rightarrow 0} (2x \sin \frac{1}{x}) - \lim_{x \rightarrow 0} \cos \frac{1}{x}$
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} 2x \sin \frac{1}{x} = 0$ (સ્ક્વીઝ પ્રમેય દ્વારા) અને $\lim_{x \rightarrow 0} \cos \frac{1}{x}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી કારણ કે $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે વિધેય $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે દોલન કરે છે,તેથી એકંદરે લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય તે માટે,આપણે $f(0) = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
લક્ષની ગણતરી કરતા: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 - \sqrt{x + 4}}{\sin 2x}$.
આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L'\text{Hospital's Rule}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(2 - \sqrt{x + 4})}{\frac{d}{dx}(\sin 2x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{x + 4}}}{2 \cos 2x}$.
$x = 0$ મૂકતા:
$\frac{-\frac{1}{2\sqrt{4}}}{2 \cos(0)} = \frac{-\frac{1}{4}}{2(1)} = -\frac{1}{8}$.
આમ,$f(0) = -\frac{1}{8}$.

(D) આપેલ છે $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$.
ધારો કે $x = \cos 2\theta$,તો $1+x = 2\cos^2\theta$ અને $1-x = 2\sin^2\theta$.
$f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos\theta - \sqrt{2}\sin\theta}{\sqrt{2}\cos\theta + \sqrt{2}\sin\theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)\right) = \frac{\pi}{4}-\theta$.
કારણ કે $x = \cos 2\theta$,$\theta = \frac{1}{2}\cos^{-1}x$,તેથી $f(x) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\cos^{-1}x$.
લક્ષ $\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{2[f(x)-f(\frac{1}{2})]}{2x-1} = \lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{f(x)-f(\frac{1}{2})}{x-\frac{1}{2}} = f'(\frac{1}{2})$.
$f'(x) = -\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.
$f'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} = \frac{1}{2\sqrt{3/4}} = \frac{1}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ કિંમતો ધારણ કરે છે,જેમાં દરેકની સંભાવના $P_i = \frac{1}{6}$ છે.
મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P_i = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
તેથી,$\frac{\text{Variance of } X}{\text{Mean of } X} = \frac{35/12}{7/2} = \frac{35}{12} \times \frac{2}{7} = \frac{5}{6}$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ a & b & c \\ l & m & n\end{array}\right|$.
પ્રથમ,$C_1$ અને $C_2$ ની અદલાબદલી કરતા: $\Delta = -\left|\begin{array}{ccc}\beta & \alpha & \gamma \\ b & a & c \\ m & l & n\end{array}\right|$.
ત્યારબાદ,$C_2$ અને $C_3$ ની અદલાબદલી કરતા: $\Delta = (-1)^2 \left|\begin{array}{ccc}\beta & \gamma & \alpha \\ b & c & a \\ m & n & l\end{array}\right|$.
છેલ્લે,$R_1$ અને $R_3$ ની અદલાબદલી કરતા: $\Delta = (-1)^3 \left|\begin{array}{ccc}m & n & l \\ b & c & a \\ \beta & \gamma & \alpha\end{array}\right|$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 3$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કારણ કે $A^3 = I$,આપણે $A^5$ ને આ રીતે શોધી શકીએ છીએ:
$A^5 = A^3 \cdot A^2 = I \cdot A^2 = A^2$.
$A^3 = I$ હોવાથી,$A^2 = A^{-1}$ થાય છે.
તેથી,$A^5 = A^{-1}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = 1 \times 2 \times 3 = 6$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (6)^{3-2} A = (6)^1 A = 6A$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $6A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\operatorname{Adj}(A)=k A^T$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને મળે $|\operatorname{Adj}(A)|=|k A^T|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{Adj}(A)|=|A|^{n-1}$,$|k A|=k^n|A|$,અને $|A^T|=|A|$ થાય છે.
અહીં,$n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(A)|=|A|^{3-1}=|A|^2$.
વળી,$|k A^T|=k^3|A^T|=k^3|A|$.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે $|A|^2=k^3|A|$.
કારણ કે $|A|=27 \neq 0$,આપણે $|A|$ વડે ભાગાકાર કરી શકીએ,જેથી $k^3=|A|=27$ મળે.
આમ,$k=3$.
છેલ્લે,$k=3$ ને પદાવલિમાં મૂકતા,$k^2-3 k+5 = 3^2-3(3)+5 = 9-9+5 = 5$.

(B) આપેલ છે કે $P = \operatorname{adj}(A)$ અને $\det(A) = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$ છે.
તેથી,$|P| = |A|^{3-1} = |A|^2 = (4)^2 = 16$.
હવે,$P$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$|P| = 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$|P| = 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$|P| = 2\alpha - 6$.
$|P|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$.

(B) આપેલ છે કે,$\operatorname{adj} A = |A| B$.
કારણ કે $A$ નોન-સિંગ્યુલર છે,$\operatorname{adj} A = |A| A^{-1}$.
તેથી,$|A| B = |A| A^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $B = A^{-1}$.
તેથી,$A B = A A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
હવે,સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k}(A B)^k C\right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $(A B)^k = I^k = I$,પદાવલિ $S = \sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{tr}\left(\frac{1}{3^k} I C\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \operatorname{tr}(C)$ બને છે.
$C$ નો ટ્રેસ $\operatorname{tr}(C) = 4 + (-2) + 6 = 8$ છે.
તેથી,$S = 8 \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
સરવાળો $S = 8 \left( \frac{1/3}{1 - 1/3} \right) = 8 \left( \frac{1/3}{2/3} \right) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $\left(A^T\right)^{-1}=A$,જેનો અર્થ છે કે $A A^T=A^T A=I$.
હવે,$X=A B A^T$.
તેથી $X^{2021}=\left(A B A^T\right)^{2021} = (A B A^T)(A B A^T) \dots (A B A^T)$.
શ્રેણિક ગુણાકારના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $X^{2021}=A B (A^T A) B (A^T A) B \dots (A^T A) B A^T$.
કારણ કે $A^T A=I$,આ સાદું રૂપ થઈને $X^{2021}=A B I B I B \dots I B A^T = A B^{2021} A^T$ બને છે.
હવે,આપણે $A^T X^{2021} A = A^T (A B^{2021} A^T) A = (A^T A) B^{2021} (A^T A) = I B^{2021} I = B^{2021}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
શ્રેણિક $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ માટે,આપણે અવલોકન કરીએ છીએ:
$B^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$B^3 = B^2 B = \left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$B^n = \left[\begin{array}{cc}1 & 2n \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$B^{2021} = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \times 2021 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 4042 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.

(B) ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ -2 & 5 & -9 & : & -c \end{bmatrix}$ છે.
હરોળ પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 + 2R_1$ લાગુ પાડતા:
$[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ 0 & -3 & 5 & : & -c + 2a \end{bmatrix}$.
હરોળ પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$[A: B] = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 & : & a \\ 0 & 3 & -5 & : & -b \\ 0 & 0 & 0 & : & -c + 2a - b \end{bmatrix}$.
અહીં $A$ નો ક્રમ $\rho(A) = 2$ છે,તેથી $[A: B]$ નો ક્રમ $A$ ના ક્રમ જેટલો જ રહે તે માટે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સની છેલ્લી હરોળ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
તેથી,$-c + 2a - b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2a = b + c$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \to R_1 - R_2$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & a-b & a^2-b^2 \\ 0 & b-c & b^2-c^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$
$R_1$ માંથી $(a-b)$ અને $R_2$ માંથી $(b-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(b-c) \begin{vmatrix} 0 & 1 & a+b \\ 0 & 1 & b+c \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}$
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a-b)(b-c) [1 \cdot ((b+c) - (a+b))]$
$\Delta = (a-b)(b-c)(c-a)$
આને $K(a-b)(b-c)(c-a)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A_\alpha$ નો નિશ્ચાયક $\det(A_\alpha) = \cos^2 \alpha - (-\sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ થાય છે.
તેથી,$\det(A_{\pi / 5} A_{\pi / 4} A_{3 \pi / 10}) = \det(A_{\pi / 5}) \cdot \det(A_{\pi / 4}) \cdot \det(A_{3 \pi / 10})$.
કોઈપણ $\alpha$ ની કિંમત માટે $\det(A_\alpha) = 1$ હોવાથી,આપણને $\det(A_{\pi / 5}) = 1$,$\det(A_{\pi / 4}) = 1$,અને $\det(A_{3 \pi / 10}) = 1$ મળે છે.
આમ,$\det(A_{\pi / 5} A_{\pi / 4} A_{3 \pi / 10}) = 1 \times 1 \times 1 = 1$ થાય છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક: $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 2k & 1 \\ 1 & k-1 & 1 \\ 2 & 1 & k+1 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2[(k-1)(k+1) - 1] - 2k[1(k+1) - 2] + 1[1 - 2(k-1)]$
$\Delta = 2[k^2 - 1 - 1] - 2k[k + 1 - 2] + 1[1 - 2k + 2]$
$\Delta = 2[k^2 - 2] - 2k[k - 1] + [3 - 2k]$
$\Delta = 2k^2 - 4 - 2k^2 + 2k + 3 - 2k$
$\Delta = -1$.
$\Delta = -1$ ની સરખામણી $Ak^2 + Bk + C$ સાથે કરતા,આપણને $A = 0, B = 0, C = -1$ મળે છે.
તેથી,$A + B + C = 0 + 0 - 1 = -1$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ ($x = y = z = 0$ સિવાયનો ઉકેલ) હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ સમીકરણો:
$3x - 2y + z = 0$
$\lambda x - 14y + 15z = 0$
$x + 2y - 3z = 0$
નિશ્ચાયક $\Delta$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$3((-14)(-3) - (15)(2)) - (-2)((\lambda)(-3) - (15)(1)) + 1((\lambda)(2) - (-14)(1)) = 0$
$3(42 - 30) + 2(-3\lambda - 15) + 1(2\lambda + 14) = 0$
$3(12) - 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$36 - 30 + 14 - 4\lambda = 0$
$20 - 4\lambda = 0$
$4\lambda = 20$
$\lambda = 5$

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$5x - 2y + 3z = 0$ $(1)$
$7x + 10y - 8z = 3$ $(2)$
$2x + 3y - 4z = -4$ $(3)$
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ છીએ:
$D = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 3 \\ 7 & 10 & -8 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$D = 5(-40 + 24) + 2(-28 + 16) + 3(21 - 20) = -101$
હવે,બીજા સ્તંભને અચળાંકો સાથે બદલીને $D_y$ શોધો:
$D_y = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & -8 \\ 2 & -4 & -4 \end{vmatrix} = -202$
તેથી,$y = \beta = \frac{D_y}{D} = \frac{-202}{-101} = 2$.

(B) ધારો કે $\tan A = x$,$\cos B = y$,અને $\sin C = z$. સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x + 3y + 6z = 1 \quad \dots(i)$
$3x + y + 4z = 4 \quad \dots(ii)$
$5x + 3y - 8z = -2 \quad \dots(iii)$
મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝનનો ઉપયોગ કરતા,સહગુણક મેટ્રિક્સ $P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 3 & 1 & 4 \\ 5 & 3 & -8 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|P| = 1(-8 - 12) - 3(-24 - 20) + 6(9 - 5) = -20 + 132 + 24 = 136$.
સિસ્ટમ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}$ ને ઉકેલતા:
$x = 1 \implies \tan A = 1 \implies A = \frac{\pi}{4}$ (કારણ કે $A \in [0, \frac{\pi}{2})$).
$y = -1 \implies \cos B = -1 \implies B = \pi$ (કારણ કે $B \in [0, 2\pi]$).
$z = \frac{1}{2} \implies \sin C = \frac{1}{2} \implies C = \frac{\pi}{6}$ (કારણ કે $C \in [0, \frac{\pi}{2})$).
અંતે,$B - 2A - C = \pi - 2(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ $2x + 9y + 5z = 8$,$2x + 3y - z = -4$,અને $x - 2z = -5$ ને અનંત ઉકેલો $x = -5 + at$,$y = 2 + bt$,$z = ct$,જ્યાં $t \in R$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2(-5 + at) + 9(2 + bt) + 5(ct) = 8$
$2(-5 + at) + 3(2 + bt) - (ct) = -4$
$(-5 + at) - 2(ct) = -5$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$-10 + 2at + 18 + 9bt + 5ct = 8 \Rightarrow 2at + 9bt + 5ct = 0$
$-10 + 2at + 6 + 3bt - ct = -4 \Rightarrow 2at + 3bt - ct = 0$
$-5 + at - 2ct = -5 \Rightarrow at - 2ct = 0$
$t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારતા):
$2a + 9b + 5c = 0$
$2a + 3b - c = 0$
$a - 2c = 0 \Rightarrow a = 2c$
$a = 2c$ ને $2a + 3b - c = 0$ માં મૂકતા:
$2(2c) + 3b - c = 0 \Rightarrow 4c + 3b - c = 0 \Rightarrow 3b = -3c \Rightarrow b = -c$
આમ,$a : b : c = 2c : -c : c = 2 : -1 : 1$.
તેથી,$a = 2$,$b = -1$,$c = 1$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ,અને નિશ્ચાયકો $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ પણ શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{vmatrix} = 1(20-16) - 1(10-4) + 1(4-2) = 4 - 6 + 2 = 0$.
$\Delta = 0$ હોવાથી,સિસ્ટમ સુસંગત છે જો $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ હોય.
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ k & 2 & 4 \\ k^2 & 4 & 10 \end{vmatrix} = 2(k^2 - 3k + 2) = 2(k-1)(k-2)$.
$\Delta_1 = 0$ લેતા,$(k-1)(k-2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$ અથવા $k = 2$.
તે જ રીતે,$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 4 \\ 1 & k^2 & 10 \end{vmatrix} = -3(k^2 - 3k + 2) = -3(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = 0$ લેતા,$k = 1$ અથવા $k = 2$.
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & k \\ 1 & 4 & k^2 \end{vmatrix} = (k^2 - 3k + 2) = (k-1)(k-2)$.
$\Delta_3 = 0$ લેતા,$k = 1$ અથવા $k = 2$.
આમ,સિસ્ટમ $k = 1, 2$ માટે સુસંગત છે.

(A) આપેલ છે કે,$\operatorname{det}(A^T B A) = 27$.
$\operatorname{det}(A^T) = \operatorname{det}(A)$ હોવાથી,આપણને $|A|^2 |B| = 27$ મળે છે $(i)$.
વળી,$\operatorname{det}(A B^{-1}) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{|A|}{|B|} = 8$,તેથી $|B| = \frac{|A|}{8}$ $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$|A|^2 \left(\frac{|A|}{8}\right) = 27 \Rightarrow |A|^3 = 216 \Rightarrow |A| = 6$.
તેથી,$|B| = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
આપણે $\operatorname{det}(B^T A^{-1} B) = |B^T| |A^{-1}| |B| = |B| \cdot \frac{1}{|A|} \cdot |B| = \frac{|B|^2}{|A|}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(\frac{3}{4})^2}{6} = \frac{9/16}{6} = \frac{9}{96} = \frac{3}{32}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\coth^{-1}(2) + \operatorname{cosech}^{-1}(-2\sqrt{2})$.
કારણ કે $\operatorname{cosech}^{-1}(-x) = -\operatorname{cosech}^{-1}(x)$,તેથી પદાવલિ $\coth^{-1}(2) - \operatorname{cosech}^{-1}(2\sqrt{2})$ થશે.
$|x| > 1$ માટે સૂત્ર $\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\coth^{-1}(2) = \frac{1}{2} \log \left(\frac{2+1}{2-1}\right) = \frac{1}{2} \log(3) = \log \sqrt{3}$.
$x > 0$ માટે સૂત્ર $\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{x^2+1}}{x}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{cosech}^{-1}(2\sqrt{2}) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1}}{2\sqrt{2}}\right) = \log \left(\frac{1 + \sqrt{8+1}}{2\sqrt{2}}\right) = \log \left(\frac{1+3}{2\sqrt{2}}\right) = \log \left(\frac{4}{2\sqrt{2}}\right) = \log \sqrt{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\log \sqrt{3} - \log \sqrt{2} = \log \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) = \log \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(D) આપણે $|x| < 1$ માટે $2 \tan ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ પદ માટે $x = \frac{1}{3}$ લેતા:
$2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2(\frac{1}{3})}{1-(\frac{1}{3})^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ બને છે.
$xy < 1$ હોય ત્યારે $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/7}{1 - (3/4)(1/7)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(21+4)/28}{1 - 3/28}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{25/28}{25/28}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) ધારો કે $f(x) = 2 \sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^2}) + 3 \cos ^{-1} x - \cos ^{-1}(4 x^3 - 3 x)$.
$x \in [-1, 1]$ માટે,$x = \cos \theta$ લો,જ્યાં $\theta \in [0, \pi]$.
તેથી $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \theta$.
વળી,$\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$ અને $\cos^{-1}(4x^3-3x) = \cos^{-1}(\cos 3\theta)$.
જ્યારે $x \in [-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}]$,ત્યારે $\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \pi]$.
આમ,$2\theta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$,તેથી $\sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta - 2\pi$.
અને $3\theta \in [\frac{9\pi}{4}, 3\pi]$,તેથી $\cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\pi - 3\theta$.
આ કિંમતો મૂકતા: $f(x) = 2(\frac{\pi}{2} - \theta) + (2\theta - 2\pi) + 3\theta - (3\pi - 3\theta) = \pi - 2\theta + 2\theta - 2\pi + 3\theta - 3\pi + 3\theta = 6\theta - 4\pi$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$x \in [-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}]$ માટે સાચો જવાબ $\pi$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \operatorname{sech}^{-1} x + \operatorname{cosech}^{-1} x$.
$\operatorname{sech}^{-1} x$ નો પ્રદેશ $x \in (0, 1]$ છે.
$\operatorname{cosech}^{-1} x$ નો પ્રદેશ $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ છે.
$f(x)$ નો પ્રદેશ આ બંનેનો છેદગણ છે,જે $x \in (0, 1]$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{sech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ અને $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
જ્યારે $x \to 0^+$,ત્યારે $f(x) \to \infty$.
$x = 1$ આગળ,$f(1) = \operatorname{sech}^{-1}(1) + \operatorname{cosech}^{-1}(1) = 0 + \ln(1+\sqrt{2}) = \ln(1+\sqrt{2})$.
કારણ કે $f(x)$ એ $(0, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે,તેથી તેનો વિસ્તાર $[\ln(1+\sqrt{2}), \infty)$ છે.
આમ,$a = \ln(1+\sqrt{2})$ અને $b = \infty$.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right)$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $S = \sin \left(\left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right) + \left(\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}\right)\right)$.
ધારો કે $p = \tan ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}$. સૂત્ર $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $p = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{5}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{7}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{28-5}{35}}{\frac{35+4}{35}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right)$.
ધારો કે $q = \tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}$. સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $q = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{9}}{1-\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{9}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{12+1}{9}}{\frac{27-4}{27}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{13}{9} \cdot \frac{27}{23}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{39}{23}\right)$.
કારણ કે $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $q = \cot ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right)$.
આમ,$p+q = \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) + \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$S = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(A) આપેલ છે,$\sin ^{-1} x < \cos ^{-1} x$
કારણ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,આપણે $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા:
$\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x < \cos ^{-1} x$
$\Rightarrow \frac{\pi}{2} < 2 \cos ^{-1} x$
$\Rightarrow \cos ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
કારણ કે $\cos \theta$ એ $[0, \pi]$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે,તેથી બંને બાજુ $\cos$ લેતા અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$x < \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$
વળી,$\sin ^{-1} x$ અને $\cos ^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ છે.
$x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને પ્રદેશ $[-1, 1]$ ને જોડતા,આપણને મળે છે:
$-1 \leq x < \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right)=\frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}(y) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{y}\right)$ જ્યાં $|y| \geq 1$.
તેથી,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$.
નિત્યસમ $\sin ^{-1}(A) + \cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
કારણ કે $\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{1 - \frac{16}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{9}{25}}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,તેથી $x = 3$.
અંતે,$5 + x = 5 + 3 = 8$.

(C) આપેલ છે કે $f(n) = \tan \left[\sum_{k=1}^{n} \tan ^{-1} \frac{1}{1+k(k+1)}\right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$.
આપણે સામાન્ય પદને $\tan ^{-1} \left(\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}\right) = \tan ^{-1}(k+1) - \tan ^{-1}(k)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી બને છે:
$S_n = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \ldots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$.
બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે,અને $S_n = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1)$ બાકી રહે છે.
સૂત્ર $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \tan ^{-1} \left(\frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{n}{n+2}\right)$.
તેથી,$f(n) = \tan \left[\tan ^{-1} \left(\frac{n}{n+2}\right)\right] = \frac{n}{n+2}$.
$n = 2021$ માટે,$f(2021) = \frac{2021}{2021+2} = \frac{2021}{2023}$.

(C) આપેલ છે $a^x + a^y = a$.
$f: A \rightarrow A$ હોવાથી,પ્રદેશ અને વિસ્તાર બંને $A$ છે.
$y$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$a^y > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $a - a^x > 0$,તેથી $a^x < a$.
$a > 1$ હોવાથી,બંને બાજુ $\log_a$ લેતા $x < 1$ મળે છે.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, 1)$ છે.
વિસ્તાર પણ $A$ હોવો જોઈએ,તેથી $y = \log_a(a - a^x)$.
જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $a^x \rightarrow 0$,તેથી $y \rightarrow \log_a(a) = 1$.
જ્યારે $x \rightarrow 1^-$,ત્યારે $a^x \rightarrow a^-$,તેથી $a - a^x \rightarrow 0^+$,જેનો અર્થ છે $y \rightarrow -\infty$.
આમ,વિસ્તાર $(-\infty, 1)$ છે.
તેથી,$A = (-\infty, 1)$.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{1}{2} - \tan \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ જેનો પ્રદેશ $(-1, 1)$ છે અને $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$.
$(f + g)$ નો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ અને $g(x)$ ના પ્રદેશોનો છેદગણ લેવો પડે.
$g(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$-1$ વડે ગુણતા,$4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ મળે.
અવયવ પાડતા,$(2x + 1)(2x - 3) \leq 0$.
આ અસમતા $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ માટે સાચી છે.
$(f + g)$ નો પ્રદેશ $(-1, 1)$ અને $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ નો છેદગણ છે.
છેદગણ $= (-1, 1) \cap \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] = \left[-\frac{1}{2}, 1\right)$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$.
વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
આ અસમતા તમામ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સાચી છે,એટલે કે $x < 0$.
તેથી,પ્રદેશ $(-\infty, 0)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય: $y(x) = \cos x - 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x$ નો પ્રદેશ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ $R$ છે,તેથી $y(x)$ નો પ્રદેશ $R$ છે.
કોઈપણ $x \in R$ માટે,$-1 \leq \cos x \leq 1$ થાય.
અસમતાના દરેક પદમાંથી $3$ બાદ કરતા:
$-1 - 3 \leq \cos x - 3 \leq 1 - 3$
$-4 \leq y(x) \leq -2$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[-4, -2]$ છે.
તેથી,પ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $[-4, -2]$ છે.

(B) વિધેય $y(x) = f(x) = \begin{cases} \frac{5x}{(x-3)(x+3)}, & x \neq -1 \\ -1, & x = -1 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f: A \rightarrow B$ વિધેય સુવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$A$ એ વિધેયનો પ્રદેશ હોવો જોઈએ.
પદાવલિ $\frac{5x}{(x-3)(x+3)}$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે સિવાય કે જ્યાં છેદ શૂન્ય થાય.
છેદને શૂન્ય લેતા: $(x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3$ અથવા $x = -3$.
$x = -1$ આગળ,વિધેય સ્પષ્ટપણે $y(-1) = -1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જે એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
તેથી,પ્રદેશ $A$ માં $3$ અને $-3$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
આમ,$A = R \setminus \{-3, 3\}$.

(A) વિધેય યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે તપાસવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f(-x) = \log (-x + \sqrt{(-x)^2 + 1}) = \log (-x + \sqrt{x^2 + 1})$.
હવે,લઘુગણકની અંદર $(x + \sqrt{x^2 + 1})$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \right)$.
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = \log \left( \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \right)$.
ગુણધર્મ $\log(1/a) = -\log(a)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = -\log(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -f(x)$.
આમ,$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય એક અયુગ્મ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} -2, & -2 \leq x \leq 0 \\ x^2-2, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$.
$f(x)$ માટે,વિસ્તાર $[-2, 2]$ છે. કારણ કે તમામ $x \in [-2, 0]$ માટે $f(x) = -2$ છે,તેથી $f$ એક-એક વિધેય નથી. આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) નથી.
હવે,$g(x) = |f(x)| + f(|x|)$.
જો $-2 \leq x \leq 0$,તો $|x| \in [0, 2]$,તેથી $f(|x|) = |x|^2 - 2 = x^2 - 2$. વળી $f(x) = -2$,તેથી $|f(x)| = 2$. આમ $g(x) = 2 + x^2 - 2 = x^2$.
જો $0 \leq x \leq 2$,તો $|x| = x$,તેથી $f(|x|) = f(x) = x^2 - 2$. આમ $g(x) = |x^2 - 2| + x^2 - 2$.
$0 \leq x \leq \sqrt{2}$ માટે,$x^2 - 2 \leq 0$,તેથી $g(x) = -(x^2 - 2) + x^2 - 2 = 0$.
$\sqrt{2} < x \leq 2$ માટે,$x^2 - 2 > 0$,તેથી $g(x) = (x^2 - 2) + x^2 - 2 = 2(x^2 - 2)$.
આમ,$g(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \leq x \leq 0 \\ 0, & 0 \leq x \leq \sqrt{2} \\ 2(x^2-2), & \sqrt{2} < x \leq 2 \end{cases}$.
$g(x)$ નો વિસ્તાર $[0, 4]$ છે,જે સહ-પ્રદેશ જેટલો છે,તેથી $g$ વ્યાપ્ત વિધેય છે. કારણ કે $x \in [0, \sqrt{2}]$ માટે $g(x) = 0$ છે,તેથી $g$ એક-એક વિધેય નથી.

(D) બે વિધેયો $f: A \rightarrow B$ અને $g: B \rightarrow A$ એકબીજાના પ્રતિવિધેય હોય તે માટે,તેમણે તમામ $x \in A$ માટે $g(f(x)) = x$ અને તમામ $x \in B$ માટે $f(g(x)) = x$ નું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
આપેલ છે કે $f(x) = x^2$ અને $g(x) = x^{1/2}$.
$g(x) = \sqrt{x}$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,તમામ $x \in B$ માટે $x \geq 0$ હોવું જોઈએ. તેથી,$B = [0, \infty) = R \setminus R^{-}$.
$f(g(x)) = (x^{1/2})^2 = x$ માટે,આ તમામ $x \in B$ માટે સાચું છે.
$g(f(x)) = (x^2)^{1/2} = |x|$ માટે,આપણને $|x| = x$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 0$. તેથી,$A = [0, \infty) = R \setminus R^{-}$.
આમ,$f(x)$ અને $g(x)$ એકબીજાના પ્રતિવિધેય ત્યારે બને જ્યારે $A = B = R \setminus R^{-}$ હોય.

(B) આપેલ છે,$f(x) = x + x^2 + x^3 + \ldots \infty$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = x$ છે.
પ્રદેશ $(-1, 1)$ હોવાથી,$|x| < 1$,તેથી સરવાળો $f(x) = \frac{x}{1-x}$ થાય.
વિસ્તાર $B$ શોધવા માટે,$y = \frac{x}{1-x}$ લો.
$y(1-x) = x \Rightarrow y - xy = x \Rightarrow y = x(1+y) \Rightarrow x = \frac{y}{1+y}$.
$-1 < x < 1$ હોવાથી,$-1 < \frac{y}{1+y} < 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{y}{1+y} > -1 \Rightarrow \frac{2y+1}{1+y} > 0$.
અંતરાલ ચકાસતા,$y \in (-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty)$.
કિસ્સો $2$: $\frac{y}{1+y} < 1 \Rightarrow \frac{-1}{1+y} < 0 \Rightarrow y > -1$.
બંને કિસ્સાઓનો છેદ લેતા,$y \in (-1/2, \infty)$ મળે.
આમ,$B = (-1/2, \infty)$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x+y) = \frac{3^{x+y} + 3^{-(x+y)}}{2}$ અને $f(x-y) = \frac{3^{x-y} + 3^{-(x-y)}}{2}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [3^x \cdot 3^y + 3^{-x} \cdot 3^{-y} + 3^x \cdot 3^{-y} + 3^{-x} \cdot 3^y]$.
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [3^x(3^y + 3^{-y}) + 3^{-x}(3^y + 3^{-y})]$.
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} (3^x + 3^{-x})(3^y + 3^{-y})$.
કારણ કે $f(x) = \frac{3^x + 3^{-x}}{2}$,તેથી $(3^x + 3^{-x}) = 2f(x)$ અને $(3^y + 3^{-y}) = 2f(y)$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(x+y) + f(x-y) = \frac{1}{2} [2f(x) \cdot 2f(y)] = 2f(x)f(y)$.
આને $f(x+y) + f(x-y) = a f(x) f(y)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x+y)=f(x)+f(y)$ તમામ $x, y \in R$ માટે.
આ કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,અને $f: R \rightarrow R$ માટે,ઉકેલ $f(x)=cx$ છે.
આપેલ છે કે $f(1)=10$,તેથી $c(1)=10$,એટલે કે $c=10$.
આમ,$f(x)=10x$.
આપણે $\sum_{r=1}^n(f(r))^2 = \sum_{r=1}^n(10r)^2$ શોધવાનું છે.
$= 100 \sum_{r=1}^n r^2$.
સૂત્ર $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 100 \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$= \frac{50}{3} n(n+1)(2n+1)$.

(B) આપેલ છે કે $f(1)=0$ અને $f(n+1)-f(n)=5n$ તમામ $n \in N$ માટે.
આપણે પુનરાવર્તિત સંબંધને $f(k+1)-f(k)=5k$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ સંબંધનો $k=1$ થી $n-1$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{k=1}^{n-1} (f(k+1)-f(k)) = \sum_{k=1}^{n-1} 5k$.
ડાબી બાજુએ ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો મળે છે:
$(f(2)-f(1)) + (f(3)-f(2)) + \ldots + (f(n)-f(n-1)) = 5 \sum_{k=1}^{n-1} k$.
$f(n)-f(1) = 5 \times \frac{(n-1)n}{2}$.
કારણ કે $f(1)=0$,તેથી $f(n) = \frac{5}{2}(n^2-n)$.

(B) આપેલ છે કે,$f(x)=x^3+a x^2+b x$.
આપણને $f(1)-f(3)=0$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1)=f(3)$.
વિધેયમાં કિંમતો મૂકતા:
$1+a+b = 27+9a+3b$
$-26 = 8a+2b$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $4a+b=-13$ મળે છે ... $(i)$.
હવે,વિકલન $f^{\prime}(x) = 3x^2+2ax+b$ શોધો.
આપેલ છે કે $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$,ધારો કે $x = \frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$3\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2a\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + b = 0$
$3\left(4 + \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3}\right) + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
$12 + 4\sqrt{3} + 1 + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
$13 + 4\sqrt{3} + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} + b = 0$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $b = -13-4a$ મૂકતા:
$13 + 4\sqrt{3} + 4a + \frac{2a}{\sqrt{3}} - 13 - 4a = 0$
$4\sqrt{3} + \frac{2a}{\sqrt{3}} = 0$
$\frac{2a}{\sqrt{3}} = -4\sqrt{3}$
$2a = -4 \times 3 = -12$
$a = -6$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a=-6$ મૂકતા,$b = -13 - 4(-6) = -13 + 24 = 11$.
તેથી,$a-b = -6 - 11 = -17$.

(C) આપેલ છે,$2f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = 4x$ --- $(i)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને મળે છે:
$2f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{4}{x}$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 8x$ --- (iii)
સમીકરણ (iii) માંથી સમીકરણ (ii) બાદ કરતા:
$(4f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) - (f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)) = 8x - \frac{4}{x}$
$3f(x) = 8x - \frac{4}{x} = \frac{8x^2 - 4}{x}$
$f(x) = \frac{4(2x^2 - 1)}{3x}$
હવે,$S = \{x \in R : f(x) = f(-x)\}$ માટે:
$f(-x) = \frac{4(2(-x)^2 - 1)}{3(-x)} = -\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = -f(x)$
$f(x) = f(-x)$ મૂકતા,$f(x) = -f(x)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2f(x) = 0$,તેથી $f(x) = 0$.
$\frac{4(2x^2 - 1)}{3x} = 0 \implies 2x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$S = \left\{-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$.
$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x=0$ અને $x=2$ આગળ સતત છે.
$x=0$ આગળ સાતત્ય માટે,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ હોવું જોઈએ.
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (1 + \cos x) = 1 + \cos(0) = 2$.
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (a - x) = a - 0 = a$.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને $a = 2$ મળે છે.
$x=2$ આગળ સાતત્ય માટે,$f(2^-) = f(2) = f(2^+)$ હોવું જોઈએ.
$f(2^-) = \lim_{x \to 2^-} (a - x) = a - 2 = 2 - 2 = 0$.
$f(2^+) = \lim_{x \to 2^+} (x - b)^2 = (2 - b)^2$.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને $(2 - b)^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 2$.
અંતે,$a^2 + b^2 = (2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8$.

(A) વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$f(0^+) = f(0^-) = f(0)$ થાય.
પ્રથમ,જમણી બાજુની લક્ષ $f(0^+)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(0^+) = \lim_{x \to 0^+} q \left( \frac{\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} \right) = q \lim_{x \to 0^+} \frac{(\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x})(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x})}{x^{3/2}(\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x})}$
$= q \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+x-x}{x^{3/2}(\sqrt{x}(\sqrt{x+1}+1))} = q \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x^2(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{q}{2}$.
હવે,ડાબી બાજુની લક્ષ $f(0^-)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\tan(2p-7)x + \tan 3x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\tan(2p-7)x}{x} + \frac{\tan 3x}{x} \right) = (2p-7) + 3 = 2p-4$.
$f(0) = p-q$ આપેલ છે,તેથી $x=0$ આગળ સાતત્ય માટે:
$f(0^-) = f(0) \implies 2p-4 = p-q \implies p+q = 4$.
$f(0^+) = f(0) \implies \frac{q}{2} = p-q \implies q = 2p-2q \implies 3q = 2p$.
$3q = 2p$ પરથી,$\frac{q}{p} = \frac{2}{3}$ મળે છે.