TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $x-2 = t$,તેથી $x = t+2$. આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3(t+2)^4 - 2(t+2)^2 + 1}{t^4} = A + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^2} + \frac{D}{t^3} + \frac{E}{t^4}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(t^4 + 8t^3 + 24t^2 + 32t + 16) - 2(t^2 + 4t + 4) + 1 = 3t^4 + 24t^3 + 72t^2 + 96t + 48 - 2t^2 - 8t - 8 + 1 = 3t^4 + 24t^3 + 70t^2 + 88t + 41$
$t^4$ વડે ભાગતા:
$3 + \frac{24}{t} + \frac{70}{t^2} + \frac{88}{t^3} + \frac{41}{t^4} = A + \frac{B}{t} + \frac{C}{t^2} + \frac{D}{t^3} + \frac{E}{t^4}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $A=3, B=24, C=70, D=88, E=41$ મળે છે.
હવે,$2A + 3B - C - D + E = 2(3) + 3(24) - 70 - 88 + 41 = 6 + 72 - 70 - 88 + 41 = -39$.

(D) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{x^2}{2 x^4+7 x^2+6}=\frac{A x+B}{x^2+a}+\frac{C x+D}{a x^2+3}$.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $2 x^4+7 x^2+6 = (x^2+2)(2 x^2+3)$.
આને આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણે $a=2$ મેળવીએ છીએ.
હવે,અપૂર્ણાંકને આ રીતે દર્શાવો: $\frac{x^2}{(x^2+2)(2 x^2+3)} = \frac{P}{x^2+2} + \frac{Q}{2 x^2+3}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરતા: $x^2 = P(2 x^2+3) + Q(x^2+2)$.
$x^2 = -2$ માટે: $-2 = P(-4+3) \implies -2 = -P \implies P = 2$.
$x^2 = -3/2$ માટે: $-3/2 = Q(-3/2+2) \implies -3/2 = Q(1/2) \implies Q = -3$.
આમ,$\frac{x^2}{2 x^4+7 x^2+6} = \frac{2}{x^2+2} - \frac{3}{2 x^2+3}$.
$\frac{A x+B}{x^2+2} + \frac{C x+D}{2 x^2+3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=0, B=2, C=0, D=-3$ મળે છે.
$A+B+C-2 D = 0+2+0-2(-3) = 2+6 = 8$ ની ગણતરી કરતા.
કારણ કે $a=2$,$4a = 4(2) = 8$.
તેથી,$A+B+C-2 D = 4 a$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)}$ છે.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $x^4 = (x^2+1)(x^2-1) + 1$.
તેથી,$\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{(x^2+1)(x^2-1)+1}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{x^2-1}{x-2} + \frac{1}{(x^2+1)(x-2)}$.
વધુમાં,$\frac{x^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4+3}{x-2} = x+2 + \frac{3}{x-2}$.
હવે,$\frac{1}{(x^2+1)(x-2)}$ ને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરતા:
$\frac{1}{(x^2+1)(x-2)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{x+2}{x^2+1} \right) = \frac{1}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)}$.
આને જોડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x^4}{(x^2+1)(x-2)} = x+2 + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)} = x+2 + \frac{16}{5(x-2)} - \frac{x+2}{5(x^2+1)}$.
$f(x) + \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = x+2$,$A = -\frac{1}{5}$,$B = -\frac{2}{5}$,$C = \frac{16}{5}$.
$f(14) + 2A - B = (14+2) + 2(-\frac{1}{5}) - (-\frac{2}{5}) = 16 - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 16$.
કારણ કે $5C = 5 \times \frac{16}{5} = 16$,તેથી જવાબ $5C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4+x^2+1 = (x^2+x+1)(x^2-x+1)$. આને $(x^2+ax+1)(x^2-ax+1) = x^4+(2-a^2)x^2+1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2-a^2=1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2=1$. તેથી,$a=1$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{x^4+x^2+1} = \frac{Ax+B}{x^2+ax+1} + \frac{Cx+D}{x^2-ax+1}$.
બંને બાજુ $(x^2+ax+1)(x^2-ax+1)$ વડે ગુણતા,આપણને $1 = (Ax+B)(x^2-ax+1) + (Cx+D)(x^2+ax+1)$ મળે છે.
$RHS$ નું વિસ્તરણ કરતા: $1 = (A+C)x^3 + (-aA+B+aC+D)x^2 + (A-aB+C+aD)x + (B+D)$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $A+C=0 \Rightarrow C=-A$
$2$) $B+D=1$
$3$) $-aA+B+aC+D = 0 \Rightarrow -aA+B-aA+D = 0 \Rightarrow -2aA + (B+D) = 0 \Rightarrow -2aA+1=0 \Rightarrow A = \frac{1}{2a}$. તેથી $C = -\frac{1}{2a}$.
$4$) $A-aB+C+aD = 0 \Rightarrow (A+C) - a(B-D) = 0 \Rightarrow 0 - a(B-D) = 0 \Rightarrow B=D$.
$B+D=1$ અને $B=D$ હોવાથી,આપણને $B=D=\frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,$A+B-C+D = \frac{1}{2a} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2a}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{a} + 1$.
$a=1$ હોવાથી,$A+B-C+D = 1+1 = 2 = 2a$.

(B) પ્રથમ અસમતા માટે: $x^2-4x \leq 12$
$x^2-4x-12 \leq 0$
$(x-6)(x+2) \leq 0$
તેથી,$x \in [-2, 6]$ ... $(i)$
બીજી અસમતા માટે: $x^2-2x \geq 15$
$x^2-2x-15 \geq 0$
$(x-5)(x+3) \geq 0$
તેથી,$x \in (-\infty, -3] \cup [5, \infty)$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા:
$[-2, 6] \cap ((-\infty, -3] \cup [5, \infty)) = [5, 6]$
તેથી,સામાન્ય ઉકેલ ગણ $[5, 6]$ છે.

(D) $3^x+3^{1-x}-4 < 0$
$\Rightarrow 3^x+\frac{3}{3^x}-4 < 0$
ધારો કે $3^x=t$,જ્યાં $t > 0$.
$\Rightarrow t+\frac{3}{t}-4 < 0$
$\Rightarrow t^2-4t+3 < 0$
$\Rightarrow (t-1)(t-3) < 0$
આ અસમતા $1 < t < 3$ માટે સાચી છે.
$t=3^x$ મૂકતા,આપણને $1 < 3^x < 3$ મળે છે.
$\Rightarrow 3^0 < 3^x < 3^1$
આધાર $3 > 1$ હોવાથી,અસમતાનું ચિહ્ન સમાન રહેશે:
$0 < x < 1$
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in (0,1)$ છે.

(C) વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,આપણી પાસે $x^2+x-2 \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $(x+2)(x-1) \ge 0$. આમ,$x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.
કિસ્સો $1$: જો $1-x < 0$,એટલે કે $x > 1$,તો અસમતા $\sqrt{x^2+x-2} > 1-x$ હંમેશા સાચી છે કારણ કે ડાબી બાજુ અ-ઋણ છે અને જમણી બાજુ ઋણ છે.
કિસ્સો $2$: જો $1-x \ge 0$,એટલે કે $x \le 1$,તો બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+x-2 > (1-x)^2$.
$x^2+x-2 > 1-2x+x^2$.
$x-2 > 1-2x$ $\Rightarrow 3x > 3$ $\Rightarrow x > 1$.
આને શરત $x \le 1$ સાથે જોડતા,આ કિસ્સામાંથી કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
જોકે,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ ને ધ્યાનમાં લેતા,$x > 1$ માટે અસમતા સાચી છે.
$x \le -2$ તપાસતા: જો $x = -2$,તો $\sqrt{4-2-2} = 0$ અને $1-(-2) = 3$. $0 > 3$ ખોટું છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(1, \infty)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $AB = AC$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 = AC^2$.
$AB^2 = (2 - (-1))^2 + (3 - k)^2 + (k - (-1))^2 = 3^2 + (3 - k)^2 + (k + 1)^2 = 9 + 9 - 6k + k^2 + k^2 + 2k + 1 = 2k^2 - 4k + 19$.
$AC^2 = (2 - 4)^2 + (3 - (-3))^2 + (k - 2)^2 = (-2)^2 + 6^2 + (k - 2)^2 = 4 + 36 + k^2 - 4k + 4 = k^2 - 4k + 44$.
$AB^2 = AC^2$ ને સરખાવતા:
$2k^2 - 4k + 19 = k^2 - 4k + 44$.
$k^2 = 25$.
$k > 0$ હોવાથી,$k = 5$ મળે.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB^2 = 2(5)^2 - 4(5) + 19 = 50 - 20 + 19 = 49 \Rightarrow AB = 7$.
$AC^2 = 49 \Rightarrow AC = 7$.
$BC^2 = (-1 - 4)^2 + (5 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2 = (-5)^2 + 8^2 + (-3)^2 = 25 + 64 + 9 = 98$.
$AB^2 + AC^2 = 49 + 49 = 98 = BC^2$ હોવાથી,ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) $3$ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
સરવાળો $10$ થાય તેવા પરિણામો $(x, y, z)$ જ્યાં $1 \le x, y, z \le 6$ છે:
$(1,3,6), (1,4,5), (1,5,4), (1,6,3), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (2,5,3), (2,6,2), (3,1,6), (3,2,5), (3,3,4), (3,4,3), (3,5,2), (3,6,1), (4,1,5), (4,2,4), (4,3,3), (4,4,2), (4,5,1), (5,1,4), (5,2,3), (5,3,2), (5,4,1), (6,1,3), (6,2,2), (6,3,1)$.
આ ગણતરી કરતા,$n(E) = 27$ મળે છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}$ છે.

(C) $52$ પત્તાંના પેકમાં,દરેક સૂટમાં $A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K$ હોય છે.
સંયુક્ત સંખ્યાઓ $\{4, 6, 8, 9, 10\}$ છે (દરેક સૂટમાં $5$,કુલ $20$).
$3$ ના ગુણકો $\{3, 6, 9\}$ છે (દરેક સૂટમાં $3$,કુલ $12$).
$C \cap M = \{6, 9\}$ (દરેક સૂટમાં $2$,કુલ $8$).
$C \setminus M = \{4, 8, 10\}$ (દરેક સૂટમાં $3$,કુલ $12$).
$M \setminus C = \{3\}$ (દરેક સૂટમાં $1$,કુલ $4$).
સાધ્ય પરિણામો $= (12 \times 4) + (12 \times 8) + (4 \times 8) + \binom{8}{2} = 48 + 96 + 32 + 28 = 204$.
કુલ પરિણામો $= \binom{52}{2} = 1326$.
સંભાવના $= \frac{204}{1326} = \frac{102}{663}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^2 = 36$ છે.
બે સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય છે જો તેમનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ $1$ હોય.
જે પરિણામોમાં સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય નથી (એટલે કે $\text{GCD} > 1$) તે શોધવું સરળ છે.
જે જોડી $(x, y)$ માટે $\text{GCD}(x, y) > 1$ છે તે આ મુજબ છે:
$\{(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,2), (4,4), (4,6), (5,5), (6,2), (6,3), (6,4), (6,6)\}$.
આવા પરિણામોની સંખ્યા $13$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (જ્યાં સંખ્યાઓ સહ-અવિભાજ્ય હોય) $36 - 13 = 23$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{23}{36}$ છે.

(C) $5$ પુરુષોને $5$ પત્નીઓ સાથે જોડવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
કોઈ પણ પુરુષ તેની પોતાની પત્ની સાથે ન જોડાય તેવી રીતોની સંખ્યા એ $5$ વસ્તુઓનું વિક્ષેપ (derangement) છે,જેને $D_5$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિક્ષેપ માટેનું સૂત્ર $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ છે.
$n = 5$ માટે:
$D_5 = 5! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right) = 120 \left( \frac{60 - 20 + 5 - 1}{120} \right) = 44$.
તેથી,કોઈ પણ પુરુષ તેની પત્ની સાથે ન જોડાય તેની સંભાવના $\frac{D_5}{5!} = \frac{44}{120} = \frac{11}{30}$ છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $S = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}$ છે.
$6$ માંથી $3$ ચિઠ્ઠીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
આપણે સંખ્યાઓને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે વર્ગીકૃત કરીએ છીએ:
- શેષ $0$: ${3}$ (સંખ્યા $n_0 = 1$)
- શેષ $1$: ${7, 13}$ (સંખ્યા $n_1 = 2$)
- શેષ $2$: ${2, 5, 11}$ (સંખ્યા $n_2 = 3$)
$3$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય થાય તે માટે શેષના શક્ય સંયોજનો $(r_1, r_2, r_3)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(0, 1, 2)$: દરેક ગણમાંથી એક સંખ્યા પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા $= 1 \times 2 \times 3 = 6$.
$2$. $(0, 0, 0)$: શક્ય નથી કારણ કે આપણી પાસે શેષ $0$ વાળી માત્ર એક જ સંખ્યા છે.
$3$. $(1, 1, 1)$: શક્ય નથી કારણ કે આપણી પાસે શેષ $1$ વાળી માત્ર બે જ સંખ્યાઓ છે.
$4$. $(2, 2, 2)$: શેષ $2$ વાળા ગણમાંથી ત્રણેય સંખ્યાઓ પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા $= ^3C_3 = 1$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 6 + 1 = 7$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{7}{20}$ છે.

(B) $PROBABILITY$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $P(1), R(1), O(1), B(2), A(1), I(2), L(1), T(1), Y(1)$. કુલ $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{P, R, O, B, A, I, L, T, Y\}$.
$11$ અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{11}C_4 = 330$ છે.
ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય તેની સંભાવના શોધવા માટે,આપણે પૂરક ઘટનાનો ઉપયોગ કરીશું: બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય.
$8$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{8}C_4 = 70$ છે.
બધા અક્ષરો ભિન્ન હોય તેની સંભાવના $P(\text{distinct}) = \frac{70}{330} = \frac{7}{33}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય તેની સંભાવના $1 - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}$ થાય. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.