TS EAMCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પરવલય $y^2=8x$ (જ્યાં $4a=8$,તેથી $a=2$) ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=2$ (ત્રિજ્યા $r=\sqrt{2}$) નો પણ સ્પર્શક છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{2}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{4}{m^2} = 2(m^2+1)$ $\Rightarrow m^4+m^2-2=0$.
ધારો કે $t = m^2$,તો $t^2+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$. $m^2 > 0$ હોવાથી,$m^2=1$,તેથી $m = \pm 1$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2}{m}$ છે. $m=1$ માટે,$y = x + 2 \Rightarrow x - y + 2 = 0$. અહીં $a=1, b=-1$,તેથી $-\frac{a}{b} = 1 > 0$.
$m=-1$ માટે,$y = -x - 2 \Rightarrow x + y + 2 = 0$. અહીં $a=1, b=1$,તેથી $-\frac{a}{b} = -1 < 0$.
આમ,આપણે $a=1$ અને $b=-1$ લઈએ છીએ.
તેથી $3a^2+2b+1 = 3(1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4ax$ છે,જ્યાં $a=1$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
જો આ અભિલંબ $(9,6)$ માંથી પસાર થાય,તો $6 = -9t + 2(1)t + (1)t^3$.
$6 = -7t + t^3 \Rightarrow t^3 - 7t - 6 = 0$.
કિંમતો તપાસતા,$t=-1$ એ એક ઉકેલ છે: $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.
$(t+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(t+1)(t^2 - t - 6) = 0 \Rightarrow (t+1)(t-3)(t+2) = 0$ મળે છે.
ઉકેલો $t = -1, 3, -2$ છે.
$t$ માટે $3$ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવાથી,બિંદુ $(9,6)$ માંથી પરવલય પર $3$ ભિન્ન અભિલંબ દોરી શકાય છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 9x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
બિંદુ $P(9, 9)$ આગળ,પ્રાચલ $t_1$ લઈએ. તો $2at_1 = 9$ $\Rightarrow 2(\frac{9}{4})t_1 = 9$ $\Rightarrow t_1 = 2$.
$t_1$ આગળનો અભિલંબ પરવલયને $t_2$ આગળ મળે છે,જ્યાં $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} = -2 - \frac{2}{2} = -3$.
$Q(a, b)$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (\frac{9}{4} \times (-3)^2, 2 \times \frac{9}{4} \times (-3)) = (\frac{81}{4}, -\frac{27}{2})$ છે.
આમ,$a = \frac{81}{4}$ અને $b = -\frac{27}{2}$.
$2a + b = 2(\frac{81}{4}) + (-\frac{27}{2}) = \frac{81}{2} - \frac{27}{2} = \frac{54}{2} = 27$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 + 4y^2 - 18x - 16y - 11 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $9(x-1)^2 + 4(y-2)^2 = 36$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1$
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 9$. મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
કેન્દ્ર $(h, k) = (1, 2)$ છે.
નિયામિકાઓના સમીકરણો: $y - k = \pm \frac{b}{e}$
$y - 2 = \pm \frac{3}{\sqrt{5}/3} = \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$
$y = 2 \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 25$,તેથી $a = 5$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8$ આપેલ છે,તેથી $2(5)e = 8$,જે $e = \frac{4}{5}$ આપે છે.
ઋણ $X$-અક્ષ પરના નાભિ $S^{\prime}$ ના યામ $(-ae, 0) = (-4, 0)$ છે.
ઉપવલય પરનું બિંદુ $P$ એ $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (5 \cos \theta, b \sin \theta)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
નાભિ અંતર $S^{\prime}P$ એ $a + ex$ થાય છે.
તેથી,$S^{\prime}P = 5 + 5(\frac{4}{5}) \cos \theta = 5 + 4 \cos \theta$.
$S^{\prime}P = 7$ આપેલ હોવાથી,$5 + 4 \cos \theta = 7$.
$4 \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) ઉપવલયના કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = \sqrt{5}$ છે,તેથી $a^2e^2 = 5$.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 5$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 - b^2 = 5$,અથવા $b^2 = a^2 - 5$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{8}{3}$ છે.
$b^2 = a^2 - 5$ મૂકતા,આપણને $\frac{2(a^2 - 5)}{a} = \frac{8}{3}$ મળે છે.
$6(a^2 - 5) = 8a \Rightarrow 3a^2 - 4a - 15 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $3a^2 - 9a + 5a - 15 = 0 \Rightarrow 3a(a - 3) + 5(a - 3) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 3$.
તેથી $b^2 = 3^2 - 5 = 4$,એટલે કે $b = 2$.
અંતે,$\sqrt{a^2 + 6ab + b^2} = \sqrt{3^2 + 6(3)(2) + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \frac{b^2}{a})$ છે.
આ બિંદુઓ પરવલય $x^2 + 2ay - 4 = 0$ પર આવેલા હોવાથી,$x = ae$ અને $y = \frac{b^2}{a}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(ae)^2 + 2a(\frac{b^2}{a}) - 4 = 0$
$a^2e^2 + 2b^2 - 4 = 0$
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^2e^2 + 2a^2(1 - e^2) - 4 = 0$
$2a^2 - a^2e^2 = 4$
$a^2 = \frac{4}{2 - e^2}$ અને $b^2 = \frac{4(1 - e^2)}{2 - e^2}$ મળે.
$a^2 + b^2 = \frac{4 + 4 - 4e^2}{2 - e^2} = 4$.
તેથી,બિંદુઓ $(a, b)$ એ $x^2 + y^2 = 4$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે $b^2 = 2a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $ae = 2\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2e^2 = 8$ મળે છે.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,આપણી પાસે $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 8$ છે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - b^2 = 8$ થાય છે.
$b^2 = 2a$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a^2 - 2a - 8 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(a - 4)(a + 2) = 0$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે છે.
તેથી $b^2 = 2(4) = 8$.
અંતે,$a^2 + b^2 = 4^2 + 8 = 16 + 8 = 24$.

(C) નાભિ $S=(-1, 1)$ અને નિયામિકા $2x-3y+1=0$ છે,ઉત્કેન્દ્રતા $e=\frac{1}{2}$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(a, b)$ એ અક્ષ પર આવેલું હોય છે,જે નાભિમાંથી પસાર થાય છે અને નિયામિકાને લંબ હોય છે.
અક્ષનું સમીકરણ $3x+2y+1=0$ મળે છે.
આથી,$3a+2b+1=0 \Rightarrow 3a+2b=-1$.

(A) ધારો કે નાભિ $S(-1, -1)$ છે અને નિયામિકા $L: x + y + 1 = 0$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|-1 - 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
ઉપવલય માટે,નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $\frac{a}{e} - ae = d$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{a}{1/\sqrt{2}} - a(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a\sqrt{2} - \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $2a - a = 1$,તેથી $a = 1$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(1) = 2$ થાય.

(D) બિંદુઓ $(1,0), (0,2),$ અને $(-1,-1)$ પરવલય $ax^2 + bx + cy + d = 0$ પર આવેલા હોવાથી:
$a(1)^2 + b(1) + c(0) + d = 0 \Rightarrow a + b + d = 0$ ... $(i)$
$a(0)^2 + b(0) + c(2) + d = 0 \Rightarrow 2c + d = 0$ ... $(ii)$
$a(-1)^2 + b(-1) + c(-1) + d = 0 \Rightarrow a - b - c + d = 0$ ... $(iii)$
$(i)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $(a + b + d) - (a - b - c + d) = 0$ $\Rightarrow 2b + c = 0$ $\Rightarrow c = -2b$.
$(ii)$ પરથી,$d = -2c = -2(-2b) = 4b$.
$(i)$ પરથી,$a = -b - d = -b - 4b = -5b$.
તેથી,$\frac{ad}{bc} = \frac{(-5b)(4b)}{b(-2b)} = \frac{-20b^2}{-2b^2} = 10$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx \pm \frac{m(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}}$ છે.
આપેલ અભિલંબનું સમીકરણ $6x - 5y - 20 = 0$ ને $y = \frac{6}{5}x - 4$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$m = \frac{6}{5}$ અને અચળ પદ $-4$ છે.
ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = k$ માટે,$\frac{x^2}{k} + \frac{y^2}{k/3} = 1$,તેથી $a^2 = k$ અને $b^2 = \frac{k}{3}$ મળે.
અભિલંબના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{m(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}} = 4$.
$\frac{\frac{6}{5}(k - \frac{k}{3})}{\sqrt{k + \frac{k}{3} \cdot (\frac{6}{5})^2}} = 4$.
$\frac{\frac{4k}{5}}{\sqrt{k(1 + \frac{12}{25})}} = 4 \Rightarrow \frac{4\sqrt{k}}{\sqrt{37}} = 4$.
તેથી,$\sqrt{k} = \sqrt{37} \Rightarrow k = 37$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = (2, -1)$,$a^2 = 8$ અને $b^2 = 2$ મૂકતા:
$\frac{8x}{2} - \frac{2y}{-1} = 8 - 2
$ $\Rightarrow 4x + 2y = 6
$ $\Rightarrow y = 3 - 2x$.
$y = 3 - 2x$ ને ઉપવલયના સમીકરણ $x^2 + 4y^2 = 8$ માં મૂકતા:
$x^2 + 4(3 - 2x)^2 = 8
\Rightarrow 17x^2 - 48x + 28 = 0$.
બિંદુ $(2, -1)$ એ ઉપવલય પર હોવાથી,$x = 2$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજું બીજ $a$ છે. બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = \frac{c}{A}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times a = \frac{28}{17}
$ $\Rightarrow a = \frac{14}{17}
$ $\Rightarrow 17a = 14$.

(B) ધારો કે મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે. મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$(x, y) = \left(\frac{a + a \cos t + b \sin t}{3}, \frac{0 + a \sin t - b \cos t}{3}\right)$
આથી:
$3x = a + a \cos t + b \sin t \Rightarrow 3x - a = a \cos t + b \sin t$
$3y = a \sin t - b \cos t$
આ બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - a)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$
$9x^2 + a^2 - 6ax + 9y^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$9x^2 + 9y^2 - 6ax + a^2 = a^2 + b^2$
$9x^2 + 9y^2 - 6ax = b^2$
આપેલ બિંદુપથ $9x^2 + 9y^2 - 6x = 49$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ અને $b^2 = 49$ મળે છે,તેથી $b = 7$.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{1} + \frac{y}{7} = 1$ છે.
અંતઃખંડો $x = 1$ અને $y = 7$ છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 1 \times 7 = \frac{7}{2}$ થાય.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$,તેથી $a = 2$ અને $b = \sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
ત્રીજા ચરણમાં નાભિલંબના અંત્યબિંદુના યામ $(-ae, -\frac{b^2}{a}) = (-2 \times \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) = (-1, -\frac{3}{2})$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = (-1, -\frac{3}{2})$,$a^2 = 4$,અને $b^2 = 3$ મૂકતા:
$\frac{4x}{-1} - \frac{3y}{-3/2} = 4 - 3$ $\Rightarrow -4x + 2y = 1$ $\Rightarrow y = 2x + \frac{1}{2}$.
$y = 2x + \frac{1}{2}$ ને ઉપવલયના સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ માં મૂકતા:
$3x^2 + 4(2x + \frac{1}{2})^2 = 12$ $\Rightarrow 3x^2 + 4(4x^2 + 2x + \frac{1}{4}) = 12$ $\Rightarrow 19x^2 + 8x - 11 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x + 1)(19x - 11) = 0$.
ઉકેલ $x = -1$ ($L_1^{\prime}$ બિંદુ) અને $x = \frac{11}{19}$ ($P$ બિંદુ) મળે છે.
તેથી,$a = \frac{11}{19}$.

(C) નાભિ $S$ એ $(ae, 0)$ છે. આપેલ છે કે $Q = (0, 1)$,તેથી $S Q^2 = (ae)^2 + 1^2 = 26$,એટલે કે $a^2 e^2 = 25$,જેનો અર્થ છે $ae = 5$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$b^2 = 9$,તેથી $e^2 = 1 + \frac{9}{a^2}$.
$e^2 = \frac{25}{a^2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{25}{a^2} = 1 + \frac{9}{a^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $\frac{16}{a^2} = 1$,તેથી $a = 4$.
પછી $e = \frac{5}{4}$. બિંદુ $P$ એ $(4 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ છે.
અંતર $SP = 6$. $SP^2 = (4 \sec \theta - 5)^2 + (3 \tan \theta - 0)^2 = 36$.
$16 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta + 25 + 9 \tan^2 \theta = 36$.
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$16 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta + 25 + 9 \sec^2 \theta - 9 = 36$.
$25 \sec^2 \theta - 40 \sec \theta - 20 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $5 \sec^2 \theta - 8 \sec \theta - 4 = 0$ થાય છે.
$(5 \sec \theta + 2)(\sec \theta - 2) = 0$.
$|\sec \theta| \geq 1$ હોવાથી,$\sec \theta = 2$,જે $\theta = \frac{\pi}{3}$ આપે છે.

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેનું નિયામક વર્તુળ છે,જેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 - b^2$ છે.
આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$b^2 = 4$ છે.
તેથી નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 - 4$ થાય.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ સાથે સરખાવતા,$a^2 - 4 = 5$ મળે.
$a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ (કારણ કે અતિવલય માટે $a > 0$ છે).

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $2x^2-y^2=4$ છે,જેને $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=2$ અને $b^2=4$ છે.
અતિવલય માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$ છે,જે $y=mx \pm \sqrt{2m^2-4}$ બને છે.
સ્પર્શક બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે $x=1$ અને $y=1$ મૂકીએ:
$1 = m(1) \pm \sqrt{2m^2-4}$
$1-m = \pm \sqrt{2m^2-4}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1-m)^2 = 2m^2-4$
$1+m^2-2m = 2m^2-4$
$m^2+2m-5 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}$.

(A) અતિવલય $x^2-y^2=c^2$ પરનું બિંદુ $P(c \sec \theta, c \tan \theta)$ લો.
$P$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x \sec \theta - y \tan \theta = c$ છે.
$X$-અંત:ખંડ $T = (c \cos \theta, 0)$.
$P$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \cot \theta = 2c \sec \theta$ છે.
$Y$-અંત:ખંડ $N = (0, 2c \csc \theta)$.
$TN$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k) = (\frac{c}{2 \cos \theta}, c \csc \theta)$ છે.
તેથી $\cos \theta = \frac{c}{2h}$ અને $\sin \theta = \frac{c}{k}$.
આમ,બિંદુપથ $\frac{c^2}{4x^2} - \frac{y^2}{c^2} = 1$ મળે છે.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.
નાભિલંબનું સમીકરણ $x = ae = 4 \times \frac{5}{4} = 5$ છે.
અનંતસ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 0$ છે,જે $y = \pm \frac{3}{4}x$ માં પરિણમે છે.
પ્રથમ ચરણ માટે,આપણે $y = \frac{3}{4}x$ લઈએ છીએ.
અનંતસ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = 5$ મૂકતા,$q = \frac{3}{4}(5) = \frac{15}{4}$ મળે.
આમ,$q = \frac{15}{4}$.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{|2 \cos x - 1|}{2 \cos x - 1}$ જ્યાં $0 \leq x \leq \pi/2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે $\cos x > 1/2$,એટલે કે $0 \leq x < \pi/3$ હોય ત્યારે $2 \cos x - 1 > 0$ થાય,અને જ્યારે $\pi/3 < x \leq \pi/2$ હોય ત્યારે $2 \cos x - 1 < 0$ થાય.
આમ,$0 \leq x < \pi/3$ માટે $f(x) = 1$ અને $\pi/3 < x \leq \pi/2$ માટે $f(x) = -1$ થાય.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવા જોઈએ.
$0 \leq a < \pi/3$ માટે,વિધેય અચળ $1$ છે,તેથી લક્ષ $1$ છે.
$\pi/3 < a \leq \pi/2$ માટે,વિધેય અચળ $-1$ છે,તેથી લક્ષ $-1$ છે.
$a = \pi/3$ પર,ડાબી બાજુનું લક્ષ $1$ છે અને જમણી બાજુનું લક્ષ $-1$ છે,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે જ્યારે $0 \leq a < \pi/3$ હોય ત્યારે લક્ષ $1$ છે.

(A) $\text{આપેલ લક્ષ: } L = \lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}} \frac{2x(2x-3)(4x^2+6x+9)}{(2x)^{1/3} - 3^{1/3}}$
$\text{છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: } a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \text{ જ્યાં } a=(2x)^{1/3}, b=3^{1/3}:$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}} \frac{2x(2x-3)(4x^2+6x+9)((2x)^{2/3} + (6x)^{1/3} + 3^{2/3})}{2x-3}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}} 2x(4x^2+6x+9)((2x)^{2/3} + (6x)^{1/3} + 3^{2/3})$
$x = \frac{3}{2} \text{ મુકતા:}$
$L = 3(27)(3^{5/3}) = 3^{17/3} = \sqrt[3]{3^{17}}$

(B) ધારો કે $x = \tan \theta$. જેમ $\theta \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}$,તેમ $x \rightarrow \infty$.
પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8x^4 + 4x^2 + 5}{(3-2x)^4}$ બને છે.
અંશ અને છેદને $x^4$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{8 + \frac{4}{x^2} + \frac{5}{x^4}}{(\frac{3}{x} - 2)^4}$.
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{4}{x^2} \rightarrow 0$,$\frac{5}{x^4} \rightarrow 0$,અને $\frac{3}{x} \rightarrow 0$.
આમ,લક્ષ $\frac{8 + 0 + 0}{(0 - 2)^4} = \frac{8}{(-2)^4} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{2 x^2+(3+2 a) x+3 a}{x^3-2 x^2-23 x+60} = \frac{11}{9}$.
સીમા અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $x=4$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ: $2(16) + (3+2a)(4) + 3a = 0$.
$32 + 12 + 8a + 3a = 0 \Rightarrow 11a = -44 \Rightarrow a = -4$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim _{x \rightarrow 4} \frac{4x + 3 + 2a}{3x^2 - 4x - 23} = \frac{16 + 3 + 2a}{48 - 16 - 23} = \frac{19 + 2a}{9} = \frac{11}{9}$.
$19 + 2a = 11 \Rightarrow 2a = -8 \Rightarrow a = -4$.
હવે,$\lim _{x \rightarrow -4} \frac{x^2+9x+20}{x^2-x-20} = \lim _{x \rightarrow -4} \frac{(x+4)(x+5)}{(x+4)(x-5)} = \lim _{x \rightarrow -4} \frac{x+5}{x-5}$ ની કિંમત શોધો.
$x = -4$ મૂકતા: $\frac{-4+5}{-4-5} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=3 x^{15}-5 x^{10}+7 x^5+50 \cos (x-1)$.
આપણે $L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{h^3+3 h}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લક્ષને આ રીતે લખતા: $L = \lim _{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \cdot \frac{-h}{h(h^2+3)} \right)$.
કારણ કે $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} = f'(1)$,તેથી $L = f'(1) \cdot \lim _{h \rightarrow 0} \left( \frac{-1}{h^2+3} \right)$.
હવે,$f'(x) = 45 x^{14} - 50 x^9 + 35 x^4 - 50 \sin (x-1)$.
$x=1$ આગળ કિંમત મુકતા,$f'(1) = 45(1)^{14} - 50(1)^9 + 35(1)^4 - 50 \sin(0) = 45 - 50 + 35 = 30$.
તેથી,$L = 30 \cdot \left( \frac{-1}{0^2+3} \right) = 30 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -10$.

(D) આપણે પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln a$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{\sin x}-2^{\tan x}}{\sin x}$ છે.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{3^{\sin x}-1}{x} - \frac{2^{\tan x}-1}{x}}{\frac{\sin x}{x}}$.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$,તેથી:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{3^{\sin x}-1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} - \frac{2^{\tan x}-1}{\tan x} \cdot \frac{\tan x}{x} \right) / \frac{\sin x}{x}$.
આનું સાદું રૂપ $\ln 3 - \ln 2 = \ln \left( \frac{3}{2} \right)$ થાય છે.

(A) મધ્યક $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{1+2+3+5+8+13+17}{7} = \frac{49}{7} = 7$.
વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma x_i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 5^2 + 8^2 + 13^2 + 17^2 = 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 + 289 = 561$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{561}{7} - (7)^2 = \frac{561}{7} - 49 = \frac{561 - 343}{7} = \frac{218}{7} \approx 31.14$.

(D) પ્રથમ,આપણે વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ અને મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$0-2$	$1$	$1$	$1$	$4$	$4$
$2-4$	$3$	$3$	$9$	$2$	$6$
$4-6$	$5$	$5$	$25$	$0$	$0$
$6-8$	$7$	$3$	$21$	$2$	$6$
$8-10$	$9$	$1$	$9$	$4$	$4$
કુલ		$13$	$65$		$20$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{65}{13} = 5$ છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{20}{13}$ છે.

(D) આપેલ માહિતી $44, 5, 27, 20, 8, 54, 9, 14, 35$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $N = 9$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x} = \frac{44+5+27+20+8+54+9+14+35}{9} = \frac{216}{9} = 24$ શોધો.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M_1 = \frac{1}{N} \sum |x_i - \bar{x}|$.
$|44-24| + |5-24| + |27-24| + |20-24| + |8-24| + |54-24| + |9-24| + |14-24| + |35-24| = 20 + 19 + 3 + 4 + 16 + 30 + 15 + 10 + 11 = 128$.
તેથી,$M_1 = \frac{128}{9}$.
હવે,માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો: $5, 8, 9, 14, 20, 27, 35, 44, 54$.
મધ્યસ્થ $M$ એ $\left(\frac{9+1}{2}\right)^{\text{th}} = 5^{\text{th}}$ પદ છે,જે $20$ છે.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $M_2 = \frac{1}{N} \sum |x_i - M|$.
$|5-20| + |8-20| + |9-20| + |14-20| + |20-20| + |27-20| + |35-20| + |44-20| + |54-20| = 15 + 12 + 11 + 6 + 0 + 7 + 15 + 24 + 34 = 124$.
તેથી,$M_2 = \frac{124}{9}$.
તેથી,$M_1 - M_2 = \frac{128}{9} - \frac{124}{9} = \frac{4}{9}$.

(D) $3$ ના ગુણક હોય તેવી પ્રથમ $10$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ છે.
મધ્યક $\mu$ આ મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\mu = \frac{3+6+9+12+15+18+21+24+27+30}{10} = \frac{165}{10} = 16.5$.
વિચરણ $\sigma^2$ માટેનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$ છે.
વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો: $\sum (x_i - 16.5)^2 = (3-16.5)^2 + (6-16.5)^2 + \dots + (30-16.5)^2 = 182.25 + 110.25 + 56.25 + 20.25 + 2.25 + 2.25 + 20.25 + 56.25 + 110.25 + 182.25 = 742.5$.
તેથી,$\sigma^2 = \frac{742.5}{10} = 74.25$.

(B) સૌ પ્રથમ,દરેક અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્નો $(x_i)$ શોધો:
$0-4: x_1 = 2$
$4-8: x_2 = 6$
$8-12: x_3 = 10$
$12-16: x_4 = 14$
ગણતરીનું કોષ્ટક:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{વર્ગ} & f_i & x_i & f_i x_i & f_i x_i^2 \\ \hline 0-4 & 2 & 2 & 4 & 8 \\ \hline 4-8 & 3 & 6 & 18 & 108 \\ \hline 8-12 & 2 & 10 & 20 & 200 \\ \hline 12-16 & 1 & 14 & 14 & 196 \\ \hline \text{કુલ} & 8 & & 56 & 512 \\ \hline\end{array}$
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{56}{8} = 7$
વિચરણ $(\sigma^2)$ = $\frac{\Sigma f_i x_i^2}{\Sigma f_i} - (\bar{x})^2$
$= \frac{512}{8} - (7)^2$
$= 64 - 49 = 15$

(C) આપેલ સમીકરણો: $r_1 r_2 + r_3 r = 35$,$r_2 r_3 + r r_1 = 63$,અને $r_3 r_1 + r r_2 = 45$.
નિત્યસમ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 r_2 + r_3 r = ab$,$r_2 r_3 + r r_1 = bc$,અને $r_3 r_1 + r r_2 = ac$.
તેથી,$ab = 35$,$bc = 63$,અને $ac = 45$.
આનો ગુણાકાર કરતા $(abc)^2 = 35 \times 63 \times 45 = 99225$,તેથી $abc = 315$.
તેથી $c = \frac{abc}{ab} = \frac{315}{35} = 9$,$a = \frac{abc}{bc} = \frac{315}{63} = 5$,અને $b = \frac{abc}{ac} = \frac{315}{45} = 7$.
તેથી,$2s = a + b + c = 5 + 7 + 9 = 21$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. આપેલ છે કે $A=45^{\circ}$ અને $C=75^{\circ}$,તેથી $B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = 2\sqrt{2}$.
$a = 2R \sin A = 2\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 2$.
$b = 2R \sin B = 2\sqrt{2} \sin 60^{\circ} = \sqrt{6}$.
$c = 2R \sin C = 2\sqrt{2} \sin 75^{\circ} = \sqrt{3}+1$.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{abc}{4RS}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = \frac{\sqrt{3}+1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 7^2 - 5^2}{2 \times 3 \times 7} = \frac{9 + 49 - 25}{42} = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 7^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 7} = \frac{25 + 49 - 9}{70} = \frac{65}{70} = \frac{13}{14}$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$,તેથી $\sin A = ak, \sin B = bk, \sin C = ck$.
$\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$ હોવાથી:
$\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)} = \frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\sin C} = \frac{ak \cos B - \cos A bk}{ck} = \frac{a \cos B - b \cos A}{c}$
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{5 \times \frac{13}{14} - 3 \times \frac{11}{14}}{7} = \frac{\frac{65-33}{14}}{7} = \frac{32}{14 \times 7} = \frac{32}{98} = \frac{16}{49}$
તેથી,$\sqrt{\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)}} = \sqrt{\frac{16}{49}} = \frac{4}{7}$.

(C) આપેલ છે: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2} = a^2 + b^2$
$\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{1+\cos C}{2}$ અને $\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{1-\cos C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(a-b)^2(1+\cos C)}{2} + \frac{(a+b)^2(1-\cos C)}{2} = a^2 + b^2$
સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $-4ab \cos C = 0$
તેથી,$\cos C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $C = 90^{\circ}$.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A + B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$A = 90^{\circ} - B$.
તેથી,$\cos A = \cos(90^{\circ} - B) = \sin B$.

(C) આપેલ છે કે $A+B+C=2S$,તેથી $S-C = A+B-S$ અને $2S-C = A+B$.
પદાવલિ $E = \sin(S-A) \cos(S-B) - \sin(S-C) \cos S$ છે.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $E = \frac{1}{2} [2 \sin(S-A) \cos(S-B) - 2 \sin(S-C) \cos S]$.
$2 \sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [(\sin(2S-A-B) + \sin(B-A)) - (\sin(2S-C) + \sin(-C))]$.
$2S-A-B = C$ અને $2S-C = A+B$ હોવાથી:
$E = \frac{1}{2} [\sin C + \sin(B-A) - \sin(A+B) + \sin C]$.
આનું સાદું રૂપ $\sin B \cos A$ મળે છે.

(B) પ્રથમ,$\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$c = AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$
$a = BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
$b = AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{21}$
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{21 + 6 - 9}{2 \times \sqrt{21} \times \sqrt{6}} = \frac{18}{2 \sqrt{126}} = \frac{9}{3 \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{9 + 6 - 21}{2 \times 3 \times \sqrt{6}} = \frac{-6}{6 \sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}}$
તેથી,$\left|\frac{\cos A}{\cos B}\right| = \left|\frac{3}{\sqrt{14}} \div \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\right| = \left| -\frac{3 \sqrt{6}}{\sqrt{14}} \right| = \frac{3 \sqrt{3 \times 2}}{\sqrt{7 \times 2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

(D) આપેલ છે $a=4, b=3, c=2$ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ માં.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{16+9-4}{2 \times 4 \times 3} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{16+4-9}{2 \times 4 \times 2} = \frac{11}{16} \implies \sec B = \frac{16}{11}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2(a-b \cos C)(a-c \sec B) = 2(4 - 3 \times \frac{7}{8})(4 - 2 \times \frac{16}{11})$
$= 2(4 - \frac{21}{8})(4 - \frac{32}{11})$
$= 2(\frac{32-21}{8})(\frac{44-32}{11})$
$= 2(\frac{11}{8})(\frac{12}{11}) = 2 \times \frac{12}{8} = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = 6 \Rightarrow s-a = \frac{\Delta}{6}$ $(i)$
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = 9 \Rightarrow s-b = \frac{\Delta}{9}$ $(ii)$
$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = 18 \Rightarrow s-c = \frac{\Delta}{18}$ $(iii)$
$(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા $3s - (a+b+c) = \Delta(\frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18}) = \frac{\Delta}{3}$ મળે છે.
$a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = \frac{\Delta}{3} \Rightarrow s = \frac{\Delta}{3}$.
$s$ ની કિંમત $(i), (ii), (iii)$ માં મૂકતા:
$a = s - \frac{\Delta}{6} = \frac{3\Delta}{18}, b = s - \frac{\Delta}{9} = \frac{4\Delta}{18}, c = s - \frac{\Delta}{18} = \frac{5\Delta}{18}$.
આમ,$a:b:c = 3:4:5$. ધારો કે $a=3k, b=4k, c=5k$.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{16k^2+25k^2-9k^2}{40k^2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $r = \frac{\Delta}{s}$.
છેદ $D = r_1 - r + r_2 + r_3$ ને ઉકેલતા,તે $4R$ મળે છે.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા અંતે $r_1 r_2 r_3$ મળે છે.

(C) $r_1+r_2=3 R$ અને $r_2+r_3=2 R$ આપેલ છે.
સૂત્ર $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ અને $R = \frac{abc}{4\Delta}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$r_1+r_2=3 R$ માટે: $\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-b} = 3R \Rightarrow \frac{\Delta c}{(s-a)(s-b)} = 3R$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ હોવાથી,આપણને $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{3}{4} \Rightarrow \angle C = 60^{\circ}$ મળે છે.
$r_2+r_3=2 R$ માટે: $\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c} = 2R \Rightarrow \frac{\Delta a}{(s-b)(s-c)} = 2R$.
આનાથી $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle A = 90^{\circ}$ મળે છે.
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$90^{\circ} + \angle B + 60^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle B = 30^{\circ}$.
આમ,$\angle A = 90^{\circ}, \angle B = 30^{\circ}, \angle C = 60^{\circ}$.
બાજુઓનો ગુણોત્તર $a:b:c = \sin 90^{\circ} : \sin 30^{\circ} : \sin 60^{\circ} = 2 : 1 : \sqrt{3}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $r = \frac{\Delta}{s}$ અને $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$.
$rr_1 = \frac{\Delta^2}{s(s-a)} = \frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{s(s-a)} = (s-b)(s-c)$.
ત્રિકોણ $BC$ પાયા સાથે સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$b = c$ મળે.
તેથી,$rr_1 = (s-b)^2$.
$2s = a+b+c = a+2b$ હોવાથી,$s-b = \frac{a+2b-2b}{2} = \frac{a}{2}$ મળે.
તેથી,$rr_1 = (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A$,તેથી $rr_1 = \frac{(2R \sin A)^2}{4} = \frac{4R^2 \sin^2 A}{4} = R^2 \sin^2 A$.

(C) બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$AB = \sqrt{(4-3)^2 + (1-2)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{3}$
$AC = \sqrt{(2-3)^2 + (1-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle BAC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D(p, q, r)$ ના યામ:
$D = \left( \frac{1(2) + 3(4)}{4}, \frac{1(1) + 3(1)}{4}, \frac{1(4) + 3(0)}{4} \right) = \left( \frac{7}{2}, 1, 1 \right)$
તેથી,$p = \frac{7}{2}, q = 1, r = 1$.
અંતે,$\sqrt{2p + q + r} = \sqrt{2(\frac{7}{2}) + 1 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

(D) ધારો કે $\tan \frac{A}{2} = 15k$,$\tan \frac{B}{2} = 10k$,અને $\tan \frac{C}{2} = 6k$.
સૂત્ર $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan(A/2)}{\tan(B/2)} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{(s-a)^2}} = \frac{s-b}{s-a} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
આથી $2s - 2b = 3s - 3a$,એટલે કે $s = 3a - 2b$.
તે જ રીતે,$\frac{\tan(B/2)}{\tan(C/2)} = \sqrt{\frac{(s-c)^2}{(s-b)^2}} = \frac{s-c}{s-b} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
આથી $3s - 3c = 5s - 5b$,એટલે કે $2s = 5b - 3c$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા,આપણને $a+b+c = 5b - 3c$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a = 4b - 4c$ થાય છે.
તેથી,$\frac{a}{b-c} = 4$.

(C) $BC$ નો ઢાળ $\frac{-3 - 3}{-1 - (-2)} = \frac{-6}{1} = -6$ છે.
$A$ માંથી $BC$ પરના વેધ $L_1$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત વિરોધી એટલે કે $\frac{1}{6}$ થાય.
$A(1, -2)$ માંથી પસાર થતી $L_1$ ની રેખાનું સમીકરણ $y - (-2) = \frac{1}{6}(x - 1) \Rightarrow y + 2 = \frac{x}{6} - \frac{1}{6} \Rightarrow y = \frac{x}{6} - \frac{13}{6}$ ... $(i)$
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1 - 2}{2}, \frac{-2 + 3}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $\frac{3 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$ છે.
તેથી લંબદ્વિભાજક $L_2$ નો ઢાળ $\frac{3}{5}$ થાય.
$L_2$ નું સમીકરણ $y - \frac{1}{2} = \frac{3}{5}(x + \frac{1}{2}) \Rightarrow y = \frac{3x}{5} + \frac{3}{10} + \frac{5}{10} \Rightarrow y = \frac{3x}{5} + \frac{4}{5}$ ... (ii)
છેદબિંદુ $(l, m)$ શોધવા માટે $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$\frac{l}{6} - \frac{13}{6} = \frac{3l}{5} + \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{l}{6} - \frac{3l}{5} = \frac{4}{5} + \frac{13}{6} \Rightarrow \frac{5l - 18l}{30} = \frac{24 + 65}{30} \Rightarrow -13l = 89 \Rightarrow 13l = -89$.
આમ $l = -\frac{89}{13}$.
$l$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $m = \frac{-89/13}{6} - \frac{13}{6} = \frac{-89}{78} - \frac{169}{78} = \frac{-258}{78} = -\frac{43}{13}$.
તેથી $26m - 3 = 26(-\frac{43}{13}) - 3 = 2(-43) - 3 = -86 - 3 = -89$.
$13l = -89$ હોવાથી,$26m - 3 = 13l$ થાય.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $12 x^2-20 x y+7 y^2=0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $12 x^2-14 x y-6 x y+7 y^2=0$.
આનું સાદું રૂપ $2 x(6 x-7 y)-y(6 x-7 y)=0$ થાય છે,જે $(2 x-y)(6 x-7 y)=0$ આપે છે.
આમ,બે રેખાઓ $y=2 x$ અને $y=\frac{6 x}{7}$ છે.
ત્રીજી રેખા $x+y=1$ છે,એટલે કે $y=1-x$.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીએ છીએ:
$1$. $y=2 x$ અને $y=\frac{6 x}{7}$ નું છેદબિંદુ $(0,0)$ છે.
$2$. $y=2 x$ અને $x+y=1$ નું છેદબિંદુ: $x+2 x=1 \Rightarrow 3 x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$. શિરોબિંદુ $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ છે.
$3$. $y=\frac{6 x}{7}$ અને $x+y=1$ નું છેદબિંદુ: $x+\frac{6 x}{7}=1 \Rightarrow \frac{13 x}{7}=1 \Rightarrow x=\frac{7}{13}, y=\frac{6}{13}$. શિરોબિંદુ $(\frac{7}{13}, \frac{6}{13})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(\frac{2}{3}-\frac{6}{13}) + \frac{1}{3}(\frac{6}{13}-0) + \frac{7}{13}(0-\frac{2}{3})|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{6}{39} - \frac{14}{39}| = \frac{1}{2} |-\frac{8}{39}| = \frac{4}{39}$.

(C) આપણે વ્યસ્ત હાયપરબોલિક વિધેયોના લઘુગણકીય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cosh ^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ અને $\sinh ^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
આપેલ છે કે $\cosh ^{-1}\left(\frac{5}{3}\right) + \sinh ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = k$.
લઘુગણકીય સ્વરૂપો મૂકતા:
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + 1}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{25}{16}}\right) = k$
$\ln\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) + \ln\left(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}\right) = k$
$\ln\left(\frac{9}{3}\right) + \ln\left(\frac{8}{4}\right) = k$
$\ln(3) + \ln(2) = k$
$\ln(3 \times 2) = k$
$\ln(6) = k$
તેથી,$e^k = 6$.

(C) આપણે $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)-\tanh ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,આપણે નિત્યસમ $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \cosh^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)$.
લોગેરિધમિક સ્વરૂપ $\cosh^{-1}(x) = \log_e(x + \sqrt{x^2 - 1})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh^{-1}\left(\frac{5}{3}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) = \log_e(3)$.
આગળ,આપણે નિત્યસમ $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\tanh^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{1 + 3/5}{1 - 3/5}\right) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{8/5}{2/5}\right) = \frac{1}{2} \log_e(4) = \frac{1}{2} \log_e(2^2) = \log_e(2)$.
છેલ્લે,બંને કિંમતોની બાદબાકી કરતા:
$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) - \tanh^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \log_e(3) - \log_e(2) = \log_e\left(\frac{3}{2}\right)$.

(C) વિધેયને $f(x) = \frac{|x-a|}{x-a}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે.
માનાંક વિધેયની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{જો } x > a \\ -1, & \text{જો } x < a \end{cases}$
$x = a$ આગળ વિધેય અવ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે છેદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to a^-} f(x) = -1$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to a^+} f(x) = 1$ સમાન ન હોવાથી,$x = a$ આગળ લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.
જ્યારે $x > a$ હોય,ત્યારે $f(x) = 1$,જે એક અચળ વિધેય છે.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે જ્યારે $x > a$ હોય ત્યારે તે અચળ વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3 \sin^{12} x + 4 \cos^{16} x$ છે.
કારણ કે $0 \le \sin^2 x \le 1$ અને $0 \le \cos^2 x \le 1$,તેથી ઘાત $\sin^{12} x$ અને $\cos^{16} x$ પણ અંતરાલ $[0, 1]$ માં આવે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની સીમા શરતો ચકાસીએ:
કિસ્સો $1$: જો $\sin^2 x = 1$ (એટલે કે $\cos^2 x = 0$),તો $f(x) = 3(1)^6 + 4(0)^8 = 3$.
કિસ્સો $2$: જો $\cos^2 x = 1$ (એટલે કે $\sin^2 x = 0$),તો $f(x) = 3(0)^6 + 4(1)^8 = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $4$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P(2, 3, 4)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left(\frac{6k+3}{k+1}, \frac{-17k-2}{k+1}, \frac{-4k+2}{k+1}\right)$ મળે છે.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{6k+3}{k+1} = 2 \Rightarrow 6k+3 = 2k+2 \Rightarrow 4k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{4}$.
હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $Q$ એ $AB$ ને $\frac{1}{4}:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$Q$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(\lambda = \frac{1}{4})$:
$Q = \left(\frac{\frac{1}{4}(6) + 1(3)}{\frac{1}{4}+1}, \frac{\frac{1}{4}(-17) + 1(-2)}{\frac{1}{4}+1}, \frac{\frac{1}{4}(-4) + 1(2)}{\frac{1}{4}+1}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.
આમ,$\alpha = \frac{18}{5}$,$\beta = -5$,અને $\gamma = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{18}{5} - 5 + \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.

(B) આપેલ છે: $l-m+n=0$ $\Rightarrow m=l+n$ $(i)$
$m=l+n$ ને $2lm-3mn+nl=0$ માં મૂકતા:
$2l(l+n)-3(l+n)n+nl=0$
$2l^2+2ln-3ln-3n^2+nl=0$
$2l^2-3n^2=0$
$l^2 = \frac{3}{2}n^2$
ધારો કે $n=1$,તો $l^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow l = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.
$l_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}$ માટે,$m_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}+1$.
$l_2 = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ માટે,$m_2 = -\sqrt{\frac{3}{2}}+1$.
બે રેખાઓના દિક્ગુણોત્તરો $\vec{a} = (\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{3}{2}}+1, 1)$ અને $\vec{b} = (-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1-\sqrt{\frac{3}{2}}, 1)$ છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|-\frac{3}{2} + (1-\frac{3}{2}) + 1|}{\sqrt{\frac{3}{2} + (\frac{3}{2}+1+2\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1} \cdot \sqrt{\frac{3}{2} + (1+\frac{3}{2}-2\sqrt{\frac{3}{2}}) + 1}}$
$\cos \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{16-6}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

(C) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}, \vec{p_4}$ છે. જો સદિશો $\vec{p_2}-\vec{p_1}$,$\vec{p_3}-\vec{p_1}$,અને $\vec{p_4}-\vec{p_1}$ સમતલીય હોય તો બિંદુઓ સમતલીય કહેવાય.
આ સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{v_1} = \vec{p_2}-\vec{p_1} = (1-\lambda)\vec{a} - (\lambda+3)\vec{b} + 4\vec{c}$
$\vec{v_2} = \vec{p_3}-\vec{p_1} = (3-\lambda)\vec{a} + 1\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c}$
$\vec{v_3} = \vec{p_4}-\vec{p_1} = (1-\lambda)\vec{a} - 9\vec{b} + 7\vec{c}$
આ સદિશો સમતલીય હોવા માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & -(\lambda+3) & 4 \\ 3-\lambda & 1 & 1-\lambda \\ 1-\lambda & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે કે $\lambda = 2$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તરો $\vec{a} = (3, 0, 2)$ અને $\vec{b} = (0, 2, k)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિક-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $|\cos \theta| = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $|\cos \theta| = \frac{|(3)(0) + (0)(2) + (2)(k)|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 2^2} \sqrt{0^2 + 2^2 + k^2}} = \frac{|2k|}{\sqrt{13} \sqrt{4 + k^2}}$.
આપેલ છે કે $|\cos \theta| = \frac{6}{13}$,તેથી $\frac{6}{13} = \frac{|2k|}{\sqrt{13} \sqrt{4 + k^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{36}{169} = \frac{4k^2}{13(4 + k^2)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{9}{13} = \frac{k^2}{4 + k^2}$.
$9(4 + k^2) = 13k^2 \Rightarrow 36 + 9k^2 = 13k^2 \Rightarrow 4k^2 = 36 \Rightarrow k^2 = 9$.
આમ,$k = \pm 3$.

(C) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે.
$L_1$ એ $A(2, -1, 6)$ અને $B(3, -1, -7)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (3-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (-7-6)\hat{k} = \hat{i} - 13\hat{k}$ છે.
$L_1$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i}-\hat{j}+6\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 13\hat{k})$ છે.
$L_2$ એ $C(2, 1, -6)$ અને $B(3, -1, -7)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (3-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (-7 - (-6))\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
$L_2$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}) + \mu(\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$ છે.
બંને રેખાઓ બિંદુ $B(3, -1, -7)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આ બિંદુ છેદબિંદુ છે.
તેથી,સ્થાન સદિશ $3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}$ છે.

(B) સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સમતલ $x+2y+2z-5=0$ ના અભિલંબ સદિશ $\overrightarrow{N} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\frac{\alpha-1}{1} = \frac{\beta-2}{2} = \frac{\gamma-2}{2} = \lambda$.
તેથી $\alpha = \lambda+1, \beta = 2\lambda+2, \gamma = 2\lambda+2$.
બિંદુ $B$ એ સમતલ $x+2y+2z-5=0$ પર હોવાથી,$(\lambda+1) + 2(2\lambda+2) + 2(2\lambda+2) - 5 = 0$.
$\lambda + 1 + 4\lambda + 4 + 4\lambda + 4 - 5 = 0 \Rightarrow 9\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{9}$.
આમ,$B = (1 - \frac{4}{9}, 2 - \frac{8}{9}, 2 - \frac{8}{9}) = (\frac{5}{9}, \frac{10}{9}, \frac{10}{9})$.
હવે,$\pi(A) = 1 + 2(2) + 2(2) + 5 = 1 + 4 + 4 + 5 = 14$.
અને $\pi(B) = \frac{5}{9} + 2(\frac{10}{9}) + 2(\frac{10}{9}) + 5 = \frac{5+20+20+45}{9} = \frac{90}{9} = 10$.
તેથી,$-\pi(A) : \pi(B) = -14 : 10 = -7 : 5$.

(C) રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}+t \vec{b}$ અને $\vec{r}=\vec{c}+s \vec{d}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{k}$,અને $\vec{d}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{c}-\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & \lambda \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (1-2\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} + 5\hat{k}$ શોધો.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{c}-\vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (-1)(1-2\lambda) + (1)(2+\lambda) + (-4)(5) = 3\lambda - 19$ ગણો.
રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે $3\lambda - 19 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\lambda = \frac{19}{3}$.
જો $\lambda \neq \frac{19}{3}$ હોય,તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય નથી,તેથી રેખાઓ વિષમતલીય (skew) છે.

(B) કારણ કે $\vec{e}$ એ $\vec{u} = \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\vec{v} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & -5 \end{vmatrix} = 0$
$a(15 - 5) - b(-5 - 15) + c(1 + 9) = 0$
$10a + 20b + 10c = 0 \Rightarrow a + 2b + c = 0$ ...$(i)$
આપેલ છે કે $\vec{e} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$,તેથી:
$a + b + c = 0$ ...$(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(a + 2b + c) - (a + b + c) = 0 \Rightarrow b = 0$.
$(ii)$ માં $b = 0$ મૂકતા,$c = -a$ મળે.
$\vec{e}$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,$a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Rightarrow a^2 + 0^2 + (-a)^2 = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$ અને $c^2 = \frac{1}{2}$.
હવે,$2a^2 + 3b^2 + 4c^2 = 2(\frac{1}{2}) + 3(0) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 0 + 2 = 3$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(5,1,2)$,$B(3,-4,6)$ અને $C(7,0,-1)$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-2 \\ 3-5 & -4-1 & 6-2 \\ 7-5 & 0-1 & -1-2 \end{vmatrix} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$\begin{vmatrix} x-5 & y-1 & z-2 \\ -2 & -5 & 4 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
$(x-5)(15+4) - (y-1)(6-8) + (z-2)(2+10) = 0$.
$19(x-5) + 2(y-1) + 12(z-2) = 0$.
$19x - 95 + 2y - 2 + 12z - 24 = 0$.
$19x + 2y + 12z - 121 = 0$.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 19\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{k}$ છે.
તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{19^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{361 + 4 + 144} = \sqrt{509}$ છે.
દિકકોસાઇન $l = \frac{19}{\sqrt{509}}$,$m = \frac{2}{\sqrt{509}}$,$n = \frac{12}{\sqrt{509}}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ $19x + 2y + 12z - 121 = 0$ નું લંબ અંતર $p = \frac{|-121|}{\sqrt{509}} = \frac{121}{\sqrt{509}}$ છે.
હવે,$|3l + 2m + 5n| = |3(\frac{19}{\sqrt{509}}) + 2(\frac{2}{\sqrt{509}}) + 5(\frac{12}{\sqrt{509}})| = |\frac{57 + 4 + 60}{\sqrt{509}}| = \frac{121}{\sqrt{509}} = p$.

(A) બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $X$-અક્ષથી લંબ અંતર $d_1 = \sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
બિંદુ $P(x, y, z)$ નું $YZ$-સમતલથી લંબ અંતર $d_2 = |x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો ગુણોત્તર $d_1 : d_2 = 2 : 3$ છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{y^2 + z^2}}{|x|} = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{y^2 + z^2}{x^2} = \frac{4}{9}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$9(y^2 + z^2) = 4x^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$4x^2 - 9y^2 - 9z^2 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\pi: ax + by + cz + 1 = 0$ છે.
તે $(1, 2, -3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$a(1) + b(2) + c(-3) + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a + 2b - 3c = -1$ (સમીકરણ $i$).
સમતલ એ $x + y - z + 4 = 0$ અને $2x - y + z + 1 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$ અને $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$a + b - c = 0$ (સમીકરણ $ii$) અને $2a - b + c = 0$ (સમીકરણ $iii$).
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને $3a = 0$ મળે છે,તેથી $a = 0$.
$a = 0$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $b - c = 0$ મળે છે,તેથી $b = c$.
$a = 0$ અને $b = c$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $0 + 2c - 3c = -1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $-c = -1$,તેથી $c = 1$.
આમ,$b = 1$.
કિંમતો $a = 0, b = 1, c = 1$ છે.
તેથી,$a^2 + b^2 + c^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2$.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
આપેલા બિંદુઓ $(1, 0, -2), (3, -1, 2)$ અને $(0, -3, 4)$ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y & z+2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -1 & -3 & 6 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(-6 + 12) - y(12 + 4) + (z+2)(-6 - 1) = 0$
$6(x-1) - 16y - 7(z+2) = 0$
$6x - 6 - 16y - 7z - 14 = 0 \Rightarrow 6x - 16y - 7z = 20$
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ મેળવવા માટે $20$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{10/3} + \frac{y}{-5/4} + \frac{z}{-20/7} = 1$
આમ,$a = \frac{10}{3}, b = -\frac{5}{4}, c = -\frac{20}{7}$
$3a + 4b + 7c$ ની કિંમત શોધતા:
$3(\frac{10}{3}) + 4(-\frac{5}{4}) + 7(-\frac{20}{7}) = 10 - 5 - 20 = -15$.

(C) બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ તરીકે લખી શકાય.
સમતલ $\pi_1$ માટે,$\vec{a}_1 = 3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{n}_1 = \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$.
$\vec{r} \cdot (\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) = (3 \hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot (\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}) = 3 - 14 - 10 = -21$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $\vec{r} \cdot \hat{n} = p$ છે. અહીં,$|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = 3$.
$3$ વડે ભાગતા,$\vec{r} \cdot \frac{\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}}{3} = \frac{-21}{3} = -7$. તેથી,$p_1 = |-7| = 7$.
સમતલ $\pi_2$ માટે,$\vec{a}_2 = 2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$.
$\vec{r} \cdot (3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) = (2 \hat{i}+7 \hat{j}-8 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) = 6 + 14 - 48 = -28$.
અહીં,$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2+2^2+6^2} = \sqrt{9+4+36} = 7$.
$7$ વડે ભાગતા,$\vec{r} \cdot \frac{3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}}{7} = \frac{-28}{7} = -4$. તેથી,$p_2 = |-4| = 4$.
તેથી,$p_1 - p_2 = 7 - 4 = 3$.

(D) બે સમતલો $n_1 \cdot x + n_2 \cdot y + n_3 \cdot z = d_1$ અને $m_1 \cdot x + m_2 \cdot y + m_3 \cdot z = d_2$ ની છેદરેખાના દિકગુણોત્તરો તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
દિશા સદિશ $\vec{v} = (a, b, c)$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 4\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(a, b, c) = (4, 1, -3)$ છે.
આપણે $\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2}$ ની ગણતરી કરવાની છે:
$a^2+b^2+c^2 = 4^2 + 1^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.
$b^2 = 1^2 = 1$.
તેથી,$\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2} = \frac{26}{1} = 26$.

(B) બે સદિશો $\vec{\alpha}$ અને $\vec{\beta}$ ને સમાવતા અને બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા સમતલ $\pi$ નું સમીકરણ $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,લંબ સદિશ $\vec{n}' = \vec{\alpha} \times \vec{\beta}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{n}' = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(1-0) = -3\hat{i} + 7\hat{j} + \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-3(x+3) + 7(y-7) + 1(z-1) = 0$ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $-3x - 9 + 7y - 49 + z - 1 = 0$ મળે છે,જે $-3x + 7y + z - 59 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ સુધીનું લંબ અંતર $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ છે.
$p = \frac{|-59|}{\sqrt{(-3)^2 + 7^2 + 1^2}} = \frac{59}{\sqrt{9+49+1}} = \frac{59}{\sqrt{59}} = \sqrt{59}$.
તેથી,$\sqrt{p^2+5} = \sqrt{(\sqrt{59})^2 + 5} = \sqrt{59+5} = \sqrt{64} = 8$.

(D) આપેલા સમતલોના સમીકરણો $x-y+z=5$ અને $2x+y-z=3$ છે.
આ બે સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $(x-y+z-5) + \lambda(2x+y-z-3) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમતલ બિંદુ $(0, 1, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x=0, y=1, z=2$ મૂકીએ:
$(0-1+2-5) + \lambda(2(0)+1-2-3) = 0$.
$-4 + \lambda(-4) = 0 \Rightarrow -4\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-y+z-5) - 1(2x+y-z-3) = 0$.
$x-y+z-5-2x-y+z+3 = 0$.
$-x-2y+2z-2 = 0 \Rightarrow -x-2y+2z = 2$.
આને $\vec{r} \cdot(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}) = m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=-1, b=-2, c=2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{bc}{a^2} = \frac{(-2)(2)}{(-1)^2} = \frac{-4}{1} = -4$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P_1(2, -3, 0)$ અને $P_2(3, 0, 4)$ છે. સદિશ $\vec{v_1} = P_2 - P_1 = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
આપેલ છે કે સમતલ સદિશ $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = -24\hat{i} + 12\hat{j} - 3\hat{k}$.
$-3$ વડે ભાગતા,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 8\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$ મળે.
સમતલનું સમીકરણ $8(x-2) - 4(y+3) + 1(z-0) = 0 \Rightarrow 8x - 4y + z = 28$ છે.
બિંદુઓ $A(1, 2, 0)$ અને $B(0, 1, -2)$ ને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{d} = B - A = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{-1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-0}{-2} = k \Rightarrow x = 1-k, y = 2-k, z = -2k$ છે.
સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $8(1-k) - 4(2-k) + (-2k) = 28 \Rightarrow 8 - 8k - 8 + 4k - 2k = 28 \Rightarrow -6k = 28 \Rightarrow k = -\frac{14}{3}$.
તેથી $a = 17/3, b = 20/3, c = 28/3$.
આમ,$a+b+2c = \frac{17+20+56}{3} = \frac{93}{3} = 31$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P = (-2, -1, 3)$ અને લંબપાદ $F = (1, 0, -2)$ છે.
સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{PF} = (1 - (-2), 0 - (-1), -2 - 3) = (3, 1, -5)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$F(1, 0, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, 1, -5)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$3(x - 1) + 1(y - 0) - 5(z + 2) = 0$
$3x - 3 + y - 5z - 10 = 0$
$3x + y - 5z = 13$
$13$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{x}{13/3} + \frac{y}{13} + \frac{z}{-13/5} = 1$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{13}{3}$,$b = 13$,અને $c = -\frac{13}{5}$ મળે છે.
હવે,$3a + b + 5c$ ની ગણતરી કરીએ:
$3(\frac{13}{3}) + 13 + 5(-\frac{13}{5}) = 13 + 13 - 13 = 13$.

(D) ધારો કે $p$ એ વિદ્યાર્થી ગણિતમાં સારો હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.6 = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $q$ એ વિદ્યાર્થી ગણિતમાં સારો ન હોય તેની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$.
$n = 8$ વિદ્યાર્થીઓના જૂથ માટે,બરાબર $X = 2$ વિદ્યાર્થીઓ ગણિતમાં સારા હોય તેની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k \times p^k \times q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X=2) = { }^8 C_2 \times (0.6)^2 \times (0.4)^6$.
$P(X=2) = \frac{8 \times 7}{2} \times \left(\frac{3}{5}\right)^2 \times \left(\frac{2}{5}\right)^6$.
$P(X=2) = 28 \times \frac{3^2}{5^2} \times \frac{2^6}{5^6} = (2^2 \times 7) \times \frac{3^2 \times 2^6}{5^8} = \frac{2^8 \times 3^2 \times 7}{5^8}$.

(A) બે પાસાઓનો સરવાળો જે અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય તે $2, 3, 5, 7, 11$ છે.
નમૂના અવકાશ $S$ માં એવી જોડીઓ $(x, y)$ છે જ્યાં $x+y$ અવિભાજ્ય છે:
સરવાળો $= 2: (1, 1)$
સરવાળો $= 3: (1, 2), (2, 1)$
સરવાળો $= 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$
સરવાળો $= 7: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$
સરવાળો $= 11: (5, 6), (6, 5)$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
આપણને એવી સંભાવના જોઈએ છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક (એટલે કે $3$ અથવા $6$) હોય.
સાનુકૂળ પરિણામો છે: $(2, 3), (3, 2), (1, 6), (6, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 8$.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{8}{15}$.

(B) $50$ માંથી ત્રણ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{50}C_3 = 19,600$ છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $2b = a + c$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $a + c$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ,જે ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $a$ અને $c$ બંને એકી હોય અથવા બંને બેકી હોય.
ગણમાં $25$ એકી અને $25$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
બે એકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{25}C_2 = 300$ છે.
બે બેકી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{25}C_2 = 300$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $300 + 300 = 600$.
સંભાવના = $\frac{600}{19600} = \frac{3}{98}$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે પાત્રો $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. પાત્રો સમાન હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $F$ એ લાલ દડો પસંદ કરવાની ઘટના છે.
દરેક પાત્રમાંથી લાલ દડો પસંદ કરવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(F|E_1) = \frac{2}{5}$
$P(F|E_2) = \frac{3}{5}$
$P(F|E_3) = \frac{1}{5}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો પસંદ કરેલ દડો લાલ હોય તો તે પાત્ર $C$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_3|F) = \frac{P(F|E_3) \cdot P(E_3)}{P(F|E_1) \cdot P(E_1) + P(F|E_2) \cdot P(E_2) + P(F|E_3) \cdot P(E_3)}$
$P(E_3|F) = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}}$
$P(E_3|F) = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{6}{15}} = \frac{1}{6}$.

(C) ધારો કે $W_P, R_P, B_P$ એ થેલી $P$ માંથી અનુક્રમે સફેદ,લાલ અથવા વાદળી દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
થેલી $P$ માં $3+2+5 = 10$ દડા છે. તેથી,$P(W_P) = \frac{3}{10}, P(R_P) = \frac{2}{10}, P(B_P) = \frac{5}{10}$.
એક દડો થેલી $Q$ માં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,થેલી $Q$ માં $10+1 = 11$ દડા હશે.
જો સફેદ દડો સ્થાનાંતરિત થાય,તો થેલી $Q$ માં $3$ સફેદ,$3$ લાલ,$5$ વાદળી દડા હશે. $P(R|W_P) = \frac{3}{11}$.
જો લાલ દડો સ્થાનાંતરિત થાય,તો થેલી $Q$ માં $2$ સફેદ,$4$ લાલ,$5$ વાદળી દડા હશે. $P(R|R_P) = \frac{4}{11}$.
જો વાદળી દડો સ્થાનાંતરિત થાય,તો થેલી $Q$ માં $2$ સફેદ,$3$ લાલ,$6$ વાદળી દડા હશે. $P(R|B_P) = \frac{3}{11}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(R) = P(W_P) \times P(R|W_P) + P(R_P) \times P(R|R_P) + P(B_P) \times P(R|B_P)$
$P(R) = \frac{3}{10} \times \frac{3}{11} + \frac{2}{10} \times \frac{4}{11} + \frac{5}{10} \times \frac{3}{11}$
$P(R) = \frac{9}{110} + \frac{8}{110} + \frac{15}{110} = \frac{32}{110} = \frac{16}{55}$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $3$ નો ગુણક છે,તેથી $A = \{3, 6, 9, 12\}$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે સરવાળો એકી સંખ્યા છે,તેથી $B = \{3, 5, 7, 9, 11\}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ શોધવાની છે.
સરવાળો $3$ નો ગુણક અને એકી સંખ્યા બંને હોય તે માટે,સરવાળો $3$ અથવા $9$ હોવો જોઈએ.
જેમાં $x+y = 3$ હોય તેવી જોડીઓ $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ છે.
જેમાં $x+y = 9$ હોય તેવી જોડીઓ $(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)$ છે.
આમ,$A \cap B = \{(1, 2), (2, 1), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)\}$ અને $n(A \cap B) = 6$.
સરવાળો એકી સંખ્યા હોય $(B)$ તેવા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $18$ છે (કારણ કે $36$ પરિણામોમાંથી બરાબર અડધા પરિણામોનો સરવાળો એકી સંખ્યા હોય છે).
તેથી,$P(A|B) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

(B) એક જ પ્રકારના (suit) $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો એ $4$ માંથી એક પ્રકાર પસંદ કરીને તેમાંથી $13$ માંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવા જેટલી છે. કુલ રીતો $= 4 \times \binom{13}{2} = 4 \times \frac{13 \times 12}{2} = 312$.
વૈકલ્પિક રીતે,શરત એ છે કે પત્તા એક જ પ્રકારના છે,તેથી આપણે તે નમૂના અવકાશને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં બંને પત્તા એક જ પ્રકારના હોય. $4$ પ્રકાર છે,અને દરેક પ્રકાર માટે $2$ પત્તા પસંદ કરવાની $\binom{13}{2} = 78$ રીતો છે. કુલ પરિણામો $= 4 \times 78 = 312$.
દરેક પ્રકારમાં,અવિભાજ્ય સંખ્યાવાળા કાર્ડ્સ ${2, 3, 5, 7}$ (કુલ $4$ કાર્ડ્સ) છે અને ફેસ કાર્ડ્સ ${J, Q, K}$ (કુલ $3$ કાર્ડ્સ) છે.
આપણે એક જ પ્રકારમાંથી એક ફેસ કાર્ડ અને એક અવિભાજ્ય કાર્ડની જરૂર છે.
એક ચોક્કસ પ્રકાર માટે,એક ફેસ કાર્ડ અને એક અવિભાજ્ય કાર્ડ પસંદ કરવાની રીતો $3 \times 4 = 12$ છે.
$4$ પ્રકાર હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $4 \times (3 \times 4) = 48$ છે.
જો કે,પ્રશ્ન સૂચવે છે કે પત્તા એક જ પ્રકારના છે તે શરત હેઠળ સંભાવના શોધવાની છે.
પત્તા એક જ પ્રકારના છે તે જોતા,$2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{13}{2} = 78$ છે.
એક ફેસ કાર્ડ ($3$ વિકલ્પો) અને એક અવિભાજ્ય કાર્ડ ($4$ વિકલ્પો) પસંદ કરવાની રીતો $3 \times 4 = 12$ છે.
ક્રમ મહત્વનો ન હોવાથી,આપણી પાસે $12$ રીતો છે.
સંભાવના $= \frac{12}{78} = \frac{2}{13}$.

(C) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. નિષ્પક્ષ સિક્કા માટે,છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=5) = P(X=4)$
${}^nC_5 (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^{n-5} = {}^nC_4 (\frac{1}{2})^4 (\frac{1}{2})^{n-4}$
${}^nC_5 (\frac{1}{2})^n = {}^nC_4 (\frac{1}{2})^n$
${}^nC_5 = {}^nC_4$
ગુણધર્મ ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = 5 + 4 = 9$ મળે છે.
હવે,આપણે $6$ છાપ મળવાની સંભાવના શોધવાની છે:
$P(X=6) = {}^9C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^3 = {}^9C_3 (\frac{1}{2})^9$
$P(X=6) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{512} = 84 \times \frac{1}{512} = \frac{21}{128}$.

(A) દુકાનની મુલાકાત લેતા ગ્રાહકોની સંખ્યા પોઈસન વિતરણ (Poisson distribution) ને અનુસરે છે,જ્યાં પેરામીટર $\lambda = 4$ છે.
સંભાવના માસ ફંક્શન $P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $2$ થી વધુ ગ્રાહકો મુલાકાત લે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X > 2)$.
$P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X=0) = \frac{4^0 e^{-4}}{0!} = e^{-4}$.
$P(X=1) = \frac{4^1 e^{-4}}{1!} = 4e^{-4}$.
$P(X=2) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}$.
તેથી,$P(X > 2) = 1 - [e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4}] = 1 - 13e^{-4}$.
આને $1 - \frac{13}{e^4} = \frac{e^4 - 13}{e^4}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ ઘટનાઓ છે કે રેફ્રિજરેટર અનુક્રમે કંપનીઓ $C_1, C_2, C_3$ માંથી છે. ધારો કે $D$ એ ઘટના છે કે રેફ્રિજરેટર ખામીયુક્ત છે.
આપેલ સંભાવનાઓ:
$P(E_1) = 0.25, P(E_2) = 0.35, P(E_3) = 0.40$
$P(D|E_1) = 0.03, P(D|E_2) = 0.02, P(D|E_3) = 0.01$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત રેફ્રિજરેટર $C_2$ માંથી હોવાની સંભાવના:
$P(E_2|D) = \frac{P(E_2) \cdot P(D|E_2)}{P(E_1) \cdot P(D|E_1) + P(E_2) \cdot P(D|E_2) + P(E_3) \cdot P(D|E_3)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.35 \times 0.02}{(0.25 \times 0.03) + (0.35 \times 0.02) + (0.40 \times 0.01)}$
$P(E_2|D) = \frac{0.0070}{0.0075 + 0.0070 + 0.0040} = \frac{0.0070}{0.0185}$
$P(E_2|D) = \frac{70}{185} = \frac{14}{37}$

(B) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ ત્રણ ઉછાળમાં $2$ કે તેથી વધુ છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
$E_1 = \{HHH, HTH, HHT, THH\}$.
$P(E_1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E_2$ એ $6$ ઉછાળમાં બરાબર $3$ છાપ મેળવવાની ઘટના છે.
આપણે $P(E_2 | E_1) = \frac{P(E_2 \cap E_1)}{P(E_1)}$ શોધવાનું છે.
$E_2 \cap E_1$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે પ્રથમ ત્રણ ઉછાળમાં $2$ કે તેથી વધુ છાપ છે અને કુલ $6$ ઉછાળમાં બરાબર $3$ છાપ છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $2$ છાપ હોય (દા.ત.,$HHT, HTH, THH$).
જો પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $2$ છાપ હોય,તો બાકીના $3$ ઉછાળમાં બરાબર $1$ છાપ હોવી જોઈએ જેથી કુલ $3$ છાપ થાય.
પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $2$ છાપ મેળવવાની રીતો $= \binom{3}{2} = 3$.
છેલ્લા $3$ ઉછાળમાં $1$ છાપ મેળવવાની રીતો $= \binom{3}{1} = 3$.
કુલ રીતો $= 3 \times 3 = 9$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $3$ છાપ હોય $(HHH)$.
જો પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $3$ છાપ હોય,તો બાકીના $3$ ઉછાળમાં $0$ છાપ હોવી જોઈએ જેથી કુલ $3$ છાપ થાય.
પ્રથમ $3$ ઉછાળમાં $3$ છાપ મેળવવાની રીતો $= \binom{3}{3} = 1$.
છેલ્લા $3$ ઉછાળમાં $0$ છાપ મેળવવાની રીતો $= \binom{3}{0} = 1$.
કુલ રીતો $= 1 \times 1 = 1$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E_2 \cap E_1) = 9 + 1 = 10$.
$P(E_2 \cap E_1) = \frac{10}{2^6} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
$P(E_2 | E_1) = \frac{5/32}{1/2} = \frac{5}{16}$.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3, E_4$ એ ઘટનાઓ છે કે છોકરાએ અનુક્રમે $ABILITY$,$PROBABILITY$,$FACILITY$ અને $MOBILITY$ શબ્દો લખ્યા છે.
તે ચારમાંથી એક શબ્દ પસંદ કરે છે,તેથી $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = P(E_4) = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ભૂંસ્યા પછી '$LI$' બાકી રહે છે.
- $ABILITY$ ($7$ અક્ષરો) માટે,$7-1 = 6$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે. માત્ર એક જોડી '$LI$' છે. તેથી,$P(A|E_1) = \frac{1}{6}$.
- $PROBABILITY$ ($11$ અક્ષરો) માટે,$11-1 = 10$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે. માત્ર એક જોડી '$LI$' છે. તેથી,$P(A|E_2) = \frac{1}{10}$.
- $FACILITY$ ($8$ અક્ષરો) માટે,$8-1 = 7$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે. માત્ર એક જોડી '$LI$' છે. તેથી,$P(A|E_3) = \frac{1}{7}$.
- $MOBILITY$ ($8$ અક્ષરો) માટે,$8-1 = 7$ ક્રમિક અક્ષરોની જોડી છે. માત્ર એક જોડી '$LI$' છે. તેથી,$P(A|E_4) = \frac{1}{7}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{\sum_{i=1}^{4} P(E_i)P(A|E_i)} = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{4}(\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7})} = \frac{21}{116}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 1$ છે.
તેથી,$p = \frac{1}{n}$ અને $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે.
આપેલ છે કે $P(X=2) = \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = \frac{27}{128}$.
$p$ અને $q$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{n(n-1)}{2} \times (\frac{1}{n})^2 \times (\frac{n-1}{n})^{n-2} = \frac{27}{128}$
$\frac{n-1}{2n} \times \frac{(n-1)^{n-2}}{n^{n-2}} = \frac{27}{128}$
$\frac{(n-1)^{n-1}}{2n^{n-1}} = \frac{27}{128}$
જો $n=4$ લઈએ:
$\frac{(4-1)^{4-1}}{2(4)^{4-1}} = \frac{3^3}{2(4^3)} = \frac{27}{2(64)} = \frac{27}{128}$.
આ શરતનું પાલન થાય છે.
વિચરણ $Var(X) = npq = 1 \times q = q$ છે.
કારણ કે $p = \frac{1}{4}$,તેથી $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,વિચરણ $\frac{3}{4}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $X \sim B(6, p)$ એ $n=6$ અને સફળતાની સંભાવના $p$ વાળો દ્વિપદી ચલ છે. સંભાવના વિધેય $P(X=x) = {}^{6}C_{x} p^{x} q^{6-x}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $\frac{P(X=4)}{P(X=2)} = \frac{1}{9}$.
સૂત્ર મૂકતા: $\frac{{}^{6}C_{4} p^{4} q^{2}}{{}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}} = \frac{1}{9}$.
કારણ કે ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ: $\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{1}{9}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{p}{q} = \frac{1}{3}$ (કારણ કે $p, q > 0$).
$q = 1-p$ મૂકતા: $\frac{p}{1-p} = \frac{1}{3}$.
$3p = 1-p \Rightarrow 4p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\Sigma P(X = x_i) = 1$.
$\therefore 2k^2 + k + k + k^2 = 1$
$\Rightarrow 3k^2 + 2k - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3k - 1)(k + 1) = 0$.
આથી $k = \frac{1}{3}$ અથવા $k = -1$ મળે છે.
સંભાવના $P(X = x_i)$ હંમેશા અઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{3}$ એ જ સાચો ઉકેલ છે.
$X$ નો મધ્યક $E(X) = \Sigma x_i P(X = x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = (1 \times 2k^2) + (2 \times k) + (3 \times k) + (5 \times k^2)$
$E(X) = 2k^2 + 2k + 3k + 5k^2 = 7k^2 + 5k$
$k = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$E(X) = 7(\frac{1}{3})^2 + 5(\frac{1}{3}) = 7(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} = \frac{7}{9} + \frac{15}{9} = \frac{22}{9}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\Sigma P(X=x) = K + 2K + 3K^2 + K^2 = 1$
$4K^2 + 3K - 1 = 0$
$(4K - 1)(K + 1) = 0$
કારણ કે $P(X=x) \geq 0$,તેથી આપણે $K = -1$ ને નકારીએ છીએ. આમ,$K = \frac{1}{4}$.
વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X=x & 2 & 3 & 5 & 9 \\\hline P(X=x) & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{16} & \frac{1}{16} \\\hline\end{array}$
$E(X) = \Sigma x P(x) = (2 \times \frac{1}{4}) + (3 \times \frac{1}{2}) + (5 \times \frac{3}{16}) + (9 \times \frac{1}{16}) = \frac{8}{16} + \frac{24}{16} + \frac{15}{16} + \frac{9}{16} = \frac{56}{16} = \frac{7}{2}$
$E(X^2) = \Sigma x^2 P(x) = (4 \times \frac{1}{4}) + (9 \times \frac{1}{2}) + (25 \times \frac{3}{16}) + (81 \times \frac{1}{16}) = 1 + \frac{9}{2} + \frac{75}{16} + \frac{81}{16} = \frac{16 + 72 + 75 + 81}{16} = \frac{244}{16} = \frac{61}{4}$
$\text{વિચરણ} = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{61}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{61}{4} - \frac{49}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

(B) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. એક્કાની સંખ્યા $4$ છે. પત્તા પુરવણી સહિત પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં એક્કો મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે. એક્કો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 16/5$ અને વિચરણ $npq = 48/25$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = (48/25) / (16/5) = (48/25) \times (5/16) = 3/5$ મળે છે.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - 3/5 = 2/5$ થાય.
મધ્યકના સમીકરણમાં $p$ ની કિંમત મૂકતા: $n(2/5) = 16/5 \Rightarrow n = 8$.
આપણે $P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X = 0) = ^8C_0 (2/5)^0 (3/5)^8 = (3/5)^8$.
$P(X = 1) = ^8C_1 (2/5)^1 (3/5)^7 = 8 \times (2/5) \times (3/5)^7 = (16/5) \times (3/5)^7$.
આમ,$P(X > 1) = 1 - (3/5)(3/5)^7 - (16/5)(3/5)^7 = 1 - (3/5 + 16/5)(3/5)^7 = 1 - (19/5)(3/5)^7$.
આને $1 - K(3/5)^7$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 19/5$ મળે છે.
તેથી,$5K = 5 \times (19/5) = 19$.

(D) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$3K^2 + K + K^2 + 2K = 1$
$4K^2 + 3K - 1 = 0$
$(4K - 1)(K + 1) = 0$
$P(X=x) \geq 0$ હોવાથી,$K$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $K = \frac{1}{4}$.
વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X=x$	$1$	$3$	$5$	$2$
$P(X=x)$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{2}$

મધ્યક $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1(\frac{3}{16}) + 3(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{16}) + 2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{12}{16} + \frac{5}{16} + \frac{16}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 1^2(\frac{3}{16}) + 3^2(\frac{1}{4}) + 5^2(\frac{1}{16}) + 2^2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{16} + \frac{36}{16} + \frac{25}{16} + \frac{32}{16} = \frac{96}{16} = 6$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 6 - (\frac{9}{4})^2 = 6 - \frac{81}{16} = \frac{96 - 81}{16} = \frac{15}{16}$.