JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $^{n-1}C_r = (k^2 - 8) ^nC_{r+1}$
નિત્યસમ $^{n}C_{r+1} = \frac{n}{r+1} ^{n-1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{n-1}C_r = (k^2 - 8) \cdot \frac{n}{r+1} ^{n-1}C_r$
$^{n-1}C_r \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે:
$1 = (k^2 - 8) \frac{n}{r+1} \Rightarrow \frac{r+1}{n} = k^2 - 8$
$0 \leq r+1 \leq n$ હોવાથી,$0 < \frac{r+1}{n} \leq 1$ થાય.
તેથી,$0 < k^2 - 8 \leq 1$.
$k^2 - 8 > 0$ ઉકેલતા $k^2 > 8$ મળે,એટલે કે $k > 2\sqrt{2}$ અથવા $k < -2\sqrt{2}$.
$k^2 - 8 \leq 1$ ઉકેલતા $k^2 \leq 9$ મળે,એટલે કે $-3 \leq k \leq 3$.
આ બંનેને જોડતા,ધન $k$ માટે,આપણને $2\sqrt{2} < k \leq 3$ મળે છે.

(A) બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ મૂકીને મેળવી શકાય છે.
$A$ માટે,$(1-3x+10x^2)^n$ માં સહગુણકોનો સરવાળો:
$A = (1-3(1)+10(1)^2)^n = (1-3+10)^n = 8^n$.
$B$ માટે,$(1+x^2)^n$ માં સહગુણકોનો સરવાળો:
$B = (1+(1)^2)^n = (1+1)^n = 2^n$.
હવે,$A$ ને $B$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$A = 8^n = (2^3)^n = (2^n)^3$.
તેથી,$B = 2^n$ હોવાથી:
$A = B^3$.

(C) પ્રથમ શ્રેણી $4, 9, 14, 19, \ldots$ છે,જેમાં $a_1 = 4$ અને $d_1 = 5$ છે. $25$ મું પદ $T_{25} = 4 + (25-1)5 = 124$ છે.
બીજી શ્રેણી $3, 6, 9, 12, \ldots$ છે,જેમાં $a_2 = 3$ અને $d_2 = 3$ છે. $37$ મું પદ $T_{37} = 3 + (37-1)3 = 111$ છે.
સામાન્ય પદો બંને શ્રેણીમાં હોવા જોઈએ. પ્રથમ સામાન્ય પદ $9$ છે.
સામાન્ય પદોની નવી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $\text{LCM}(5, 3) = 15$ છે.
ધારો કે સામાન્ય પદો $a_n = 9 + (n-1)15$ છે. આપણે $a_n \le 111$ જોઈએ.
$9 + (n-1)15 \le 111 \implies (n-1)15 \le 102 \implies n-1 \le 6.8 \implies n \le 7.8$.
તેથી,સામાન્ય પદોની સંખ્યા $7$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=4x$ છે,તેથી $a=1$. પરવલયના બિંદુ $(at^2, 2at)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-8)^2 = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(2, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
લઘુત્તમ અંતર માટે અભિલંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થવો જોઈએ. $8 = -2t + 2t + t^3$ $\Rightarrow t^3 = 8$ $\Rightarrow t=2$.
બિંદુ $P(4, 4)$ મળે છે. અંતર $PC = \sqrt{(4-2)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{20}$.
તેથી $d^2 = 20$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણો $|z - i| = |z + i| = |z - 1|$ છે.
આ સમીકરણો સંકર સમતલમાં બિંદુ $z$ ના બિંદુઓ $A(1, 0)$,$B(0, 1)$,અને $C(0, -1)$ થી અંતર દર્શાવે છે.
$|z - i| = |z + i|$ માટે,બિંદુ $z$ એ $i$ અને $-i$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ,જે વાસ્તવિક અક્ષ $(y = 0)$ છે.
$|z - i| = |z - 1|$ માટે,બિંદુ $z$ એ $i$ અને $1$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
જેમ કે $A, B, C$ એક ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી માત્ર એક જ બિંદુ (પરિકેન્દ્ર) એવું હોય જે ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય.
આમ,$n(S) = 1$.

(C) બિંદુઓ $(0, 0), (1, 0)$ અને $(0, 1)$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કાટખૂણો બનાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
આ ત્રણ બિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોવાથી,$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ ને જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળનો વ્યાસ થશે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ ને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ તરીકે લેતા:
$(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$
બિંદુ $(2k, 3k)$ આ વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 5k = 0$
$13k^2 - 5k = 0$
$k(13k - 5) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = \frac{5}{13}$ મળે.
બિંદુઓ ભિન્ન હોવાથી,$k = 0$ શક્ય નથી (કારણ કે તે બિંદુ $(0, 0)$ આપે છે,જે પહેલેથી જ આપેલું છે). તેથી,$k = \frac{5}{13}$.

(B) આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^{10} a_k = 50$ અને $\sum_{k < j} a_k a_j = 1100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sum_{i=1}^{10} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2 \sum_{k < j} a_k a_j$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(50)^2 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2(1100)$.
$2500 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2200$.
$\sum_{i=1}^{10} a_i^2 = 2500 - 2200 = 300$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum a_i^2 - (\bar{a})^2$,જ્યાં $\bar{a} = \frac{\sum a_i}{n} = \frac{50}{10} = 5$.
$\sigma^2 = \frac{300}{10} - (5)^2 = 30 - 25 = 5$.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{5}$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T=S_1$ છે.
અહીં $a^2=25, b^2=16$ અને $(x_1, y_1) = (1, \frac{2}{5})$ છે.
$T=S_1$ નો ઉપયોગ કરતા,જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{25}+\frac{y}{40} = -\frac{19}{20}$ મળે છે.
આ સમીકરણ અને ઉપવલયના સમીકરણને ઉકેલતા,જીવાની લંબાઈ $\frac{\sqrt{1691}}{5}$ મળે છે.

(D) રેખા $4x + 5y = 20$ અક્ષોને $P(5, 0)$ અને $Q(0, 4)$ બિંદુએ છેદે છે.
ધારો કે ત્રિભાજન બિંદુઓ $A$ અને $B$ છે જેથી $PA = AB = BQ$ થાય.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A$ ના યામ $PQ$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$A = \left( \frac{1(0) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(4) + 2(0)}{1+2} \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{4}{3} \right)$.
$B$ ના યામ $PQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$B = \left( \frac{2(0) + 1(5)}{2+1}, \frac{2(4) + 1(0)}{2+1} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{8}{3} \right)$.
રેખા $OA$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{4/3}{10/3} = \frac{2}{5}$.
રેખા $OB$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{8/3}{5/3} = \frac{8}{5}$.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\tan \theta$:
$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{8}{5} - \frac{2}{5}}{1 + (\frac{8}{5})(\frac{2}{5})} \right| = \frac{30}{41}$.

(B) માટે: $a = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2}}{x^4} \times \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^4}-1}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2})} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+x^4}+1)} = \frac{1}{(2\sqrt{2})(2)} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$.
$b$ માટે: $b = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos^2 x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{2-(1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x} = \lim_{x \rightarrow 0} (1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x}) = (1+1)(\sqrt{2}+\sqrt{2}) = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
$ab^3$ ની ગણતરી: $ab^3 = \frac{1}{4\sqrt{2}} \times (4\sqrt{2})^3 = \frac{1}{4\sqrt{2}} \times 64 \times 2\sqrt{2} = \frac{128\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 32$.

(A) આપેલ શ્રેણી એ અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી $(AGP)$ છે,જેનું સ્વરૂપ $\sum_{n=0}^{\infty} (a + np)r^n$ છે,જ્યાં $a = 3$,$d = p$,અને $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત $AGP$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$8 = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} + \frac{p \cdot \frac{1}{4}}{(1 - \frac{1}{4})^2}$
$8 = 4 + \frac{4p}{9}$
$4 = \frac{4p}{9}$
$p = 9$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x + a \sin x = 2a - 7$
$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 - 2 \sin^2 x + a \sin x = 2a - 7$
$2 \sin^2 x - a \sin x + 2a - 8 = 0$
$2(\sin^2 x - 4) - a(\sin x - 2) = 0$
$(\sin x - 2)(2 \sin x + 4 - a) = 0$
$\sin x \neq 2$ હોવાથી,$a = 2 \sin x + 4$ મળે.
$-1 \leq \sin x \leq 1$ હોવાથી,$a \in [2, 6]$ મળે.
તેથી,$p = 2$ અને $q = 6$.
હવે,$r = \tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ} - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ}) = \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ મૂકતા,$r = 4$ મળે.
તેથી,$pqr = 2 \times 6 \times 4 = 48$.

(B) આપેલ $x^2+x+1=0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે. ધારો કે $\alpha = \omega$.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$1+\omega = -\omega^2$.
તેથી $(1+\alpha)^7 = (1+\omega)^7 = (-\omega^2)^7 = -\omega^{14} = -\omega^2$.
$1+\omega+\omega^2=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\omega^2 = 1+\omega$.
$1+\omega$ ને $A+B\alpha+C\alpha^2 = A+B\omega+C\omega^2$ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=1, C=0$ મળે છે.
આમ,$5(3A-2B-C) = 5(3(1)-2(1)-0) = 5(3-2) = 5(1) = 5$.

(B) ધારો કે $P = (a^2, a+1)$.
રેખા $L_1: 3x-y+1=0$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ લેતા $L_1(0,0) = 3(0)-0+1 = 1 > 0$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ ઉગમબિંદુની સમાન બાજુએ હોવાથી,$L_1(a^2, a+1) > 0$ થાય.
$3(a^2) - (a+1) + 1 > 0$ $\Rightarrow 3a^2 - a > 0$ $\Rightarrow a(3a-1) > 0$.
તેથી,$a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, \infty) \dots (i)$.
રેખા $L_2: x+2y-5=0$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ લેતા $L_2(0,0) = 0+2(0)-5 = -5 < 0$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ ઉગમબિંદુની સમાન બાજુએ હોવાથી,$L_2(a^2, a+1) < 0$ થાય.
$a^2 + 2(a+1) - 5 < 0$ $\Rightarrow a^2 + 2a - 3 < 0$ $\Rightarrow (a+3)(a-1) < 0$.
તેથી,$a \in (-3, 1) \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા:
$a \in (-3, 0) \cup (\frac{1}{3}, 1)$.

(C) આપેલ શ્રેણી એક $A.P.$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 19 \frac{1}{4} - 20 = -\frac{3}{4}$ છે.
અંતથી $n$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે $A.P.$ ને ઉલટાવી શકીએ છીએ.
નવી $A.P.$ $-129 \frac{1}{4}$ થી શરૂ થાય છે અને તેનો સામાન્ય તફાવત $d' = -d = \frac{3}{4}$ છે.
અંતથી $n$ મું પદ $a_n = a_{last} + (n-1)d'$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a_{last} = -129 \frac{1}{4} = -\frac{517}{4}$,$n = 20$,અને $d' = \frac{3}{4}$ છે.
$a_{20} = -\frac{517}{4} + (20-1) \times \frac{3}{4}$
$a_{20} = -\frac{517}{4} + 19 \times \frac{3}{4}$
$a_{20} = \frac{-517 + 57}{4} = \frac{-460}{4} = -115$.

(C) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3+\alpha \sin x+\beta \cos x+\log _e(1-x)}{3 \tan ^2 x}=\frac{1}{3}$.
$\sin x$,$\cos x$,અને $\log _e(1-x)$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$
$\log _e(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$
અંશમાં કિંમતો મૂકતા:
$3 + \alpha(x - \frac{x^3}{6}) + \beta(1 - \frac{x^2}{2}) + (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}) = (3+\beta) + (\alpha-1)x - (\frac{\beta+1}{2})x^2 + \dots$
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે $x^0$ અને $x^1$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3+\beta = 0 \Rightarrow \beta = -3$
$\alpha-1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$
હવે,$2\alpha - \beta = 2(1) - (-3) = 2 + 3 = 5$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-x-1=0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ એ $\alpha^2 = \alpha + 1$ અને $\beta^2 = \beta + 1$ નું પાલન કરે છે.
આપેલ છે કે $S_n = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n$.
$S_{n-1} + S_{n-2} = (2023 \alpha^{n-1} + 2024 \beta^{n-1}) + (2023 \alpha^{n-2} + 2024 \beta^{n-2})$ લો.
$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha + 1) + 2024 \beta^{n-2}(\beta + 1)$.
કારણ કે $\alpha + 1 = \alpha^2$ અને $\beta + 1 = \beta^2$,તેથી:
$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha^2) + 2024 \beta^{n-2}(\beta^2) = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n = S_n$.
આમ,$S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$.
$n=12$ લેતા,આપણને $S_{12} = S_{11} + S_{10}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે ગણ $A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે અને ગણ $B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2^m - 2^n = 56$.
$2^n(2^{m-n} - 1) = 56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7$.
$2$ ની ઘાતની સરખામણી કરતા,$2^n = 2^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
વળી,$2^{m-n} - 1 = 7$,તેથી $2^{m-n} = 8 = 2^3$.
આમ,$m - n = 3$,અને $n = 3$ મૂકતા,આપણને $m = 6$ મળે છે.
બિંદુઓ $P(6, 3)$ અને $Q(-2, -3)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે $2 \tan ^2 \theta - 5 \sec \theta = 1$.
$\tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2(\sec ^2 \theta - 1) - 5 \sec \theta - 1 = 0$.
$2 \sec ^2 \theta - 5 \sec \theta - 3 = 0$.
$(2 \sec \theta + 1)(\sec \theta - 3) = 0$.
$\sec \theta = -\frac{1}{2}$ શક્ય નથી,તેથી $\sec \theta = 3$,જેનો અર્થ છે $\cos \theta = \frac{1}{3}$.
$[0, 2\pi]$ અંતરાલમાં $\cos \theta = \frac{1}{3}$ માટે $2$ ઉકેલો મળે છે.
$7$ ઉકેલો માટે,$n = 13$ મળે છે.
આપણે $S = \sum_{k=1}^{13} \frac{k}{2^k}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \dots + \frac{13}{2^{13}}$.
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{12}{2^{13}} + \frac{13}{2^{14}}$.
બાદબાકી કરતા $\frac{S}{2} = 1 - \frac{15}{2^{14}}$ મળે છે.
તેથી $S = 2 - \frac{15}{2^{13}} = \frac{2^{14} - 15}{2^{13}}$.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=9$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ છે.
$e_1 e_2 = 1$ હોવાથી,$e_2 = \frac{4}{5}$ મળે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ છે.
ઉપવલય $(\pm 5, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a=5$ મળે.
ઉપવલય માટે,$e_2^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{16}{25} = 1 - \frac{b^2}{25}$ $\Rightarrow b^2 = 9$ મળે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ છે.
$y=2$ મુકતા,$\frac{x^2}{25} + \frac{4}{9} = 1$ $\Rightarrow x^2 = \frac{125}{9}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{5 \sqrt{5}}{3}$ મળે.
જીવાની લંબાઈ $\frac{5 \sqrt{5}}{3} - (-\frac{5 \sqrt{5}}{3}) = \frac{10 \sqrt{5}}{3}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{(4!)!}{(4!)^{3!}} = \frac{24!}{(24)^6}$ અને $\beta = \frac{(5!)!}{(5!)^{4!}} = \frac{120!}{(120)^{24}}$.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $m$ કદના $k$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા (જ્યાં $n = km$) $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$ માટે,$n=24, m=4, k=6$. રીતોની સંખ્યા $\frac{24!}{(4!)^6 \cdot 6!} = K_1$ છે,જ્યાં $K_1 \in N$.
તેથી,$\alpha = K_1 \cdot 6!$. $K_1$ અને $6!$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\alpha \in N$.
$\beta$ માટે,$n=120, m=5, k=24$. રીતોની સંખ્યા $\frac{120!}{(5!)^{24} \cdot 24!} = K_2$ છે,જ્યાં $K_2 \in N$.
તેથી,$\beta = K_2 \cdot 24!$. $K_2$ અને $24!$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\beta \in N$.
આમ,$\alpha$ અને $\beta$ બંને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.

(A) ધારો કે ખોટો મધ્યક $\mu^{\prime}$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma^{\prime}$ છે.
આપણી પાસે $\mu^{\prime} = \frac{\Sigma x_i}{15} = 12 \Rightarrow \Sigma x_i = 180$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,સાચો $\Sigma x_i = 180 - 10 + 12 = 182$.
$\mu = \frac{182}{15}$.
વળી,$\sigma^{\prime} = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{15} - (12)^2} = 3$ $\Rightarrow \frac{\Sigma x_i^2}{15} - 144 = 9$ $\Rightarrow \Sigma x_i^2 = 15 \times 153 = 2295$.
સાચો $\Sigma x_i^2 = 2295 - 10^2 + 12^2 = 2295 - 100 + 144 = 2339$.
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2 = \frac{2339}{15} - \left(\frac{182}{15}\right)^2$.
આપણે $15(\mu + \mu^2 + \sigma^2)$ શોધવાનું છે.
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2$ મૂકતા:
$15(\mu + \mu^2 + \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2) = 15(\mu + \frac{\Sigma x_i^2}{15}) = 15\mu + \Sigma x_i^2$.
$= 15 \times \frac{182}{15} + 2339 = 182 + 2339 = 2521$.

(D) ત્રણ રેખાઓ ત્રિકોણ ન બનાવે જો તે સંગામી હોય અથવા તેમાંથી કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર હોય.
કિસ્સો-$1$: રેખાઓ સંગામી છે.
સંગામી હોવાની શરત એ છે કે સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 6 & 3 & 1 \\ \alpha & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
$2(-6 - 2) - (-1)(-12 - \alpha) + 3(12 - 3\alpha) = 0$
$-16 - 12 - \alpha + 36 - 9\alpha = 0$
$8 - 10\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{4}{5}$.
કિસ્સો-$2$: બે રેખાઓ સમાંતર છે.
રેખા $L_1: 2x - y + 3 = 0$ (ઢાળ $m_1 = 2$)
રેખા $L_2: 6x + 3y + 1 = 0$ (ઢાળ $m_2 = -2$)
રેખા $L_3: \alpha x + 2y - 2 = 0$ (ઢાળ $m_3 = -\frac{\alpha}{2}$)
$L_3$ એ $L_1$ ને સમાંતર હોય જો $-\frac{\alpha}{2} = 2 \Rightarrow \alpha = -4$.
$L_3$ એ $L_2$ ને સમાંતર હોય જો $-\frac{\alpha}{2} = -2 \Rightarrow \alpha = 4$.
$\alpha$ ના મૂલ્યો $\frac{4}{5}, 4, -4$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો $p = (\frac{4}{5})^2 + (4)^2 + (-4)^2 = \frac{16}{25} + 16 + 16 = 32.64$.
$p$ થી નાનો અથવા તેના બરાબરનો મહત્તમ પૂર્ણાંક $[32.64] = 32$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1-x)^{2008}(1+x+x^2)^{2007}$
$= (1-x)(1-x)^{2007}(1+x+x^2)^{2007}$
$= (1-x)[(1-x)(1+x+x^2)]^{2007}$
$= (1-x)(1-x^3)^{2007}$
$= (1-x) \sum_{r=0}^{2007} {}^{2007}C_r (-x^3)^r$
$= \sum_{r=0}^{2007} (-1)^r {}^{2007}C_r x^{3r} - \sum_{r=0}^{2007} (-1)^r {}^{2007}C_r x^{3r+1}$
$x^{2012}$ ના સહગુણક માટે:
કિસ્સો $1$: $3r = 2012 \implies r = \frac{2012}{3}$ (પૂર્ણાંક નથી)
કિસ્સો $2$: $3r+1 = 2012 \implies 3r = 2011 \implies r = \frac{2011}{3}$ (પૂર્ણાંક નથી)
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x^{2012}$ વાળું કોઈ પદ નથી.
આમ,$x^{2012}$ નો સહગુણક $0$ છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=50$ છે,તેથી કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળ રેખા $x+y=0$ ને બિંદુ $P$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta)$ થી રેખા $x+y=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{2}}$.
$d = r$ લેતા,આપણને $\frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$ મળે છે.
$|\alpha+\beta| = 5 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 10$.
$\alpha, \beta > 0$ હોવાથી,$\alpha+\beta = 10$ મળે.
તેથી,$(\alpha+\beta)^2 = 10^2 = 100$.

(B) આપેલ છે કે $|z-z_0|^2=4$ અને $\alpha$ તેના પર છે,તેથી $|\alpha-z_0|^2=4$.
$(\alpha-z_0)(\bar{\alpha}-\bar{z}_0)=4 \Rightarrow |\alpha|^2 - \alpha\bar{z}_0 - \bar{\alpha}z_0 + |z_0|^2 = 4$.
$z_0 = 1+i$ હોવાથી,$|z_0|^2 = 1^2+1^2 = 2$.
તેથી,$|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 4 - 2 = 2$ ... $(i)$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ એ $|z-z_0|^2=16$ પર છે,તેથી $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=16$.
$|\frac{1-\bar{\alpha}z_0}{\bar{\alpha}}|^2 = 16 \Rightarrow \frac{|1-\bar{\alpha}z_0|^2}{|\alpha|^2} = 16$.
$|1-\bar{\alpha}z_0|^2 = 16|\alpha|^2 \Rightarrow (1-\bar{\alpha}z_0)(1-\alpha\bar{z}_0) = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + |\alpha|^2|z_0|^2 = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + 2|\alpha|^2 = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 14|\alpha|^2$ ... $(ii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) - (1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) = 2 - 14|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 - 1 = 2 - 14|\alpha|^2$.
$15|\alpha|^2 = 3 \Rightarrow |\alpha|^2 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$100|\alpha|^2 = 100 \times \frac{1}{5} = 20$.

(D) ધારો કે $G.P.$ $a, ar, ar^2, \ldots, ar^{63}$ છે.
બધા $64$ પદોનો સરવાળો $S_{64} = \frac{a(r^{64}-1)}{r-1}$ છે.
એકી પદો $a, ar^2, ar^4, \ldots, ar^{62}$ છે. આ $32$ પદોની $G.P.$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે.
એકી પદોનો સરવાળો $S_{odd} = \frac{a((r^2)^{32}-1)}{r^2-1} = \frac{a(r^{64}-1)}{r^2-1}$ છે.
આપેલ છે કે $S_{64} = 7 \times S_{odd}$,તેથી:
$\frac{a(r^{64}-1)}{r-1} = 7 \times \frac{a(r^{64}-1)}{r^2-1}$.
$r \neq 1$ અને $r^{64} \neq 1$ લેતા,બંને બાજુથી $\frac{a(r^{64}-1)}{r-1}$ ને દૂર કરતા:
$1 = \frac{7}{r+1}$.
$r+1 = 7 \Rightarrow r = 6$.

(C) આપેલ છે કે $a_6 = 2$,તેથી $a + 5d = 2$,જેનો અર્થ છે $a = 2 - 5d$.
ધારો કે ગુણાકાર $P = a_1 a_4 a_5 = a(a + 3d)(a + 4d)$ છે.
$a = 2 - 5d$ મૂકતા:
$P = (2 - 5d)(2 - 5d + 3d)(2 - 5d + 4d)$
$P = (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)$
$P = (2 - 5d)(4 - 6d + 2d^2) = 8 - 12d + 4d^2 - 20d + 30d^2 - 10d^3$
$P(d) = -10d^3 + 34d^2 - 32d + 8$
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,વિકલન $P'(d)$ શોધીએ:
$P'(d) = -30d^2 + 68d - 32$
$P'(d) = 0$ લેતા:
$-2(15d^2 - 34d + 16) = 0$
$-2(3d - 2)(5d - 8) = 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $d = \frac{2}{3}$ અને $d = \frac{8}{5}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન કસોટી મુજબ:
$P''(d) = -60d + 68$.
$d = \frac{8}{5}$ માટે,$P''(\frac{8}{5}) = -28 < 0$,તેથી તે મહત્તમ મૂલ્ય આપે છે.
આમ,સામાન્ય તફાવત $d = \frac{8}{5}$ છે.

(B) આપેલ છે $z = \frac{1}{2} - 2i$.
સમીકરણ $|z+1| = \alpha z + \beta(1+i)$ માં $z$ ની કિંમત મૂકતા:
$|(\frac{1}{2} - 2i) + 1| = \alpha(\frac{1}{2} - 2i) + \beta(1+i)$
$|\frac{3}{2} - 2i| = (\frac{\alpha}{2} + \beta) + (\beta - 2\alpha)i$
ડાબી બાજુનું માનાંક શોધતા:
$|\frac{3}{2} - 2i| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
કાલ્પનિક ભાગ: $\beta - 2\alpha = 0 \implies \beta = 2\alpha$
વાસ્તવિક ભાગ: $\frac{\alpha}{2} + \beta = \frac{5}{2}$
$\beta = 2\alpha$ ને વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\alpha}{2} + 2\alpha = \frac{5}{2}$
$\frac{5\alpha}{2} = \frac{5}{2} \implies \alpha = 1$
તેથી $\beta = 2(1) = 2$.
આમ,$\alpha + \beta = 1 + 2 = 3$.

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\int_{x^3}^{(\pi/2)^3} \cos(t^{1/3}) dt}{(x-\pi/2)^2}$.
અહીં લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમ અને Leibniz ના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીશું:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{d}{dx} \int_{x^3}^{(\pi/2)^3} \cos(t^{1/3}) dt}{2(x-\pi/2)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{0 - \cos((x^3)^{1/3}) \cdot \frac{d}{dx}(x^3)}{2(x-\pi/2)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos(x) \cdot 3x^2}{2(x-\pi/2)}$
ધારો કે $h = x - \frac{\pi}{2}$,તેથી $x = h + \frac{\pi}{2}$. જ્યારે $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $h \rightarrow 0$.
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{-\cos(h + \pi/2) \cdot 3(h + \pi/2)^2}{2h}$
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h) \cdot 3(h + \pi/2)^2}{2h}$
કારણ કે $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,તેથી:
$L = 1 \cdot \frac{3(\pi/2)^2}{2} = \frac{3 \cdot \pi^2/4}{2} = \frac{3 \pi^2}{8}$.

(A) $1$. $\angle B$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $y=x$ છે. બિંદુ $B(\alpha, \beta)$ આ રેખા પર હોવાથી,$\alpha=\beta$ થાય. તેથી,$B$ એ $(\alpha, \alpha)$ છે.
$2$. બાજુ $AC$ નું સમીકરણ $2x-y=2$ છે. બિંદુ $D$ એ ખૂણાના દ્વિભાજક $y=x$ અને $AC$ $(2x-y=2)$ નું છેદબિંદુ છે. $y=x$ ને $2x-y=2$ માં મૂકતા,$2x-x=2$ મળે,તેથી $x=2$. આમ,$D=(2,2)$.
$3$. $\triangle ABC$ માં ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$\angle B$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $AC$ ને બાજુઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.
$4$. આપેલ છે કે $2AB=BC$,તેથી $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$. તેથી,$\frac{AD}{DC} = \frac{1}{2}$.
$5$. બિંદુ $D(2,2)$ એ $AC$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જ્યાં $A=(4,6)$ અને $C=(x_c, y_c)$,તેથી $2 = \frac{1 \cdot x_c + 2 \cdot 4}{1+2} \implies x_c = -2$,અને $2 = \frac{1 \cdot y_c + 2 \cdot 6}{1+2} \implies y_c = -6$. તેથી $C=(-2,-6)$.
$6$. બિંદુ $A(4,6)$ નું ખૂણાના દ્વિભાજક $y=x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ રેખા $BC$ પર આવેલું છે. $(4,6)$ નું $y=x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $A'(6,4)$ છે.
$7$. રેખા $BC$ એ $B(\alpha, \alpha)$ અને $A'(6,4)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}$ છે. સમીકરણ $y-\alpha = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}(x-\alpha)$ છે.
$8$. બિંદુ $C(-2,-6)$ રેખા $BC$ પર હોવાથી,$-6-\alpha = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}(-2-\alpha)$.
$9$. આને ઉકેલતા: $(-6-\alpha)(\alpha-6) = (\alpha-4)(-2-\alpha) \implies \alpha^2-36 = \alpha^2-2\alpha-8 \implies 2\alpha = 28 \implies \alpha=14$.
$10$. $\alpha=\beta$ હોવાથી,$B=(14,14)$. તેથી $\alpha+2\beta = 14+2(14) = 14+28 = 42$.

(B) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(a, -2)$,$B(a, 6)$ અને $C\left(\frac{a}{4}, -2\right)$ છે.
$A$ અને $C$ ના $y$-યામ સમાન હોવાથી,$AC$ એ $|a - \frac{a}{4}| = \frac{3a}{4}$ લંબાઈનો સમક્ષિતિજ રેખાખંડ છે.
$A$ અને $B$ ના $x$-યામ સમાન હોવાથી,$AB$ એ $|6 - (-2)| = 8$ લંબાઈનો શિરોલંબ રેખાખંડ છે.
આમ,$\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{a + a/4}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5a}{8}, 2\right)$ છે.
આને આપેલ પરિકેન્દ્ર $\left(5, \frac{a}{4}\right)$ સાથે સરખાવતા,$\frac{5a}{8} = 5 \implies a = 8$ અને $\frac{a}{4} = 2$ મળે છે.
$a = 8$ લેતા,શિરોબિંદુઓ $A(8, -2)$,$B(8, 6)$ અને $C(2, -2)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ $AB = 8$,$AC = |8 - 2| = 6$ અને $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ છે.
પરિત્રિજ્યા $\alpha = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
ક્ષેત્રફળ $\beta = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
પરિમિતિ $\gamma = AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 5 + 24 + 24 = 53$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \cos \theta + 5 \sin \theta = 1$.
$\cos \theta$ વડે ભાગતા: $4 + 5 \tan \theta = \sec \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(4 + 5 \tan \theta)^2 = 1 + \tan^2 \theta$.
$24 \tan^2 \theta + 40 \tan \theta + 15 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \theta = \frac{-10 \pm \sqrt{10}}{12}$.
શરત $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ મુજબ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ બે વ્યાસ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ નું છેદબિંદુ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $8x - 12y = 20$ અને $9x - 12y = 21$ મળે છે.
બીજામાંથી પ્રથમ બાદ કરતા $x = 1$ મળે છે. $x = 1$ ને $2(1) - 3y = 5$ માં મૂકતા,$-3y = 3$,તેથી $y = -1$ મળે છે. આમ,કેન્દ્ર $C$ એ $(1, -1)$ છે.
રેખા $AB$ એ $A\left(-\frac{22}{7}, -4\right)$ અને $B\left(-\frac{1}{7}, 3\right)$ માંથી પસાર થાય છે. $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - (-4)}{-1/7 - (-22/7)} = \frac{7}{21/7} = \frac{7}{3}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - 3 = \frac{7}{3}(x + \frac{1}{7})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3y - 9 = 7x + 1$ અથવા $7x - 3y + 10 = 0$ થાય છે.
રેખા વર્તુળને માત્ર એક બિંદુ $P$ પર છેદે છે,તેથી તે $P$ આગળ સ્પર્શક છે. આમ,$CP$ એ $AB$ ને લંબ છે.
$CP$ નો ઢાળ $-\frac{1}{7/3} = -\frac{3}{7}$ છે. $C(1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $CP$ નું સમીકરણ $y + 1 = -\frac{3}{7}(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $7y + 7 = -3x + 3$ અથવા $3x + 7y + 4 = 0$ થાય છે.
$7x - 3y = -10$ અને $3x + 7y = -4$ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $7$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા: $49x - 21y = -70$ અને $9x + 21y = -12$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $58x = -82$,તેથી $x = \alpha = -\frac{41}{29}$ મળે છે.
$x = -\frac{41}{29}$ ને $3x + 7y = -4$ માં મૂકતા: $3(-\frac{41}{29}) + 7y = -4 \implies -\frac{123}{29} + 7y = -4 \implies 7y = -4 + \frac{123}{29} = \frac{7}{29} \implies y = \beta = \frac{1}{29}$.
અંતે,$17\beta - \alpha = 17(\frac{1}{29}) - (-\frac{41}{29}) = \frac{17 + 41}{29} = \frac{58}{29} = 2$.

(B) $GTWENTY$ શબ્દમાં અક્ષરો $G, T, W, E, N, T, Y$ છે. કુલ અક્ષરો = $7$. $T$ બે વાર આવે છે.
અક્ષરોને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા: $E, G, N, T, T, W, Y$.
$1$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{6!}{2!} = 360$ રીતે.
$2$. $G$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $GE$: $\frac{5!}{2!} = 60$ રીતે.
- $GN$: $\frac{5!}{2!} = 60$ રીતે.
- $GT$:
- $GTE$: $4! = 24$ રીતે.
- $GTN$: $4! = 24$ રીતે.
- $GTT$: $4! = 24$ રીતે.
- $GTWENTY$ સુધી ગણતરી કરતા કુલ સરવાળો $553$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-x+2=0$ માટે, બીજ $\alpha, \beta = \frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$ છે.
ચૂંક $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$ હોવાથી, $\alpha = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$ અને $\beta = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$ મળે.
અહીં $\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha \beta = 2$ છે.
વળી, $\alpha^2 = \alpha - 2$.
તેથી $\alpha^4 = (\alpha-2)^2 = \alpha^2 - 4\alpha + 4 = (\alpha-2) - 4\alpha + 4 = -3\alpha + 2$.
અને $\alpha^6 = \alpha^2 \cdot \alpha^4 = (\alpha-2)(-3\alpha+2) = -3\alpha^2 + 2\alpha + 6\alpha - 4 = -3(\alpha-2) + 8\alpha - 4 = 5\alpha + 2$.
તે જ રીતે, $\beta^4 = -3\beta + 2$.
આ કિંમતોને પદાવલિ $\alpha^6 + \alpha^4 + \beta^4 - 5\alpha^2$ માં મૂકતા:
$= (5\alpha + 2) + (-3\alpha + 2) + (-3\beta + 2) - 5(\alpha - 2)$
$= 5\alpha - 3\alpha - 3\beta + 6 - 5\alpha + 10$
$= -3\alpha - 3\beta + 16$
$= -3(\alpha + \beta) + 16$
$= -3(1) + 16 = 13$.

(A) $y^2=3x^2$ ને બંને શંકુના સમીકરણોમાં મૂકતા.
પ્રથમ શંકુ માટે: $x^2+3x^2=4b$ $\Rightarrow 4x^2=4b$ $\Rightarrow x^2=b$.
બીજા શંકુ માટે: $\frac{x^2}{16}+\frac{3x^2}{b^2}=1 \Rightarrow \frac{b}{16}+\frac{3}{b}=1$.
$16b$ વડે ગુણતા,$b^2+48=16b \Rightarrow b^2-16b+48=0$.
અવયવ પાડતા $(b-12)(b-4)=0$,તેથી $b=12$ અથવા $b=4$.
જો $b=4$ હોય,તો શંકુઓ $x^2+y^2=16$ અને $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1$ થાય,જે એકબીજા પર સંપાતી છે. તેથી,$b=12$.
$b=12$ માટે,$x^2=12 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$ અને $y^2=3(12)=36 \Rightarrow y = \pm 6$.
છેદબિંદુઓ $(\pm 2\sqrt{3}, \pm 6)$ છે.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(\pm 2\sqrt{3}, \pm 6)$ છે,તેથી તેની પહોળાઈ $4\sqrt{3}$ અને ઊંચાઈ $12$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (4\sqrt{3}) \times 12 = 48\sqrt{3}$.
માંગેલ કિંમત $3\sqrt{3} \times (48\sqrt{3}) = 3 \times 48 \times 3 = 432$ છે.

(C) આપેલ માહિતી: $65, 68, 58, 44, 48, 45, 60, \alpha, \beta, 60$. અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 10$.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 56$.
$\frac{448+\alpha+\beta}{10} = 56 \Rightarrow \alpha+\beta = 112$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\overline{x})^2 = 66.2$.
$\frac{25678+\alpha^2+\beta^2}{10} - 3136 = 66.2$.
$\frac{25678+\alpha^2+\beta^2}{10} = 3202.2$.
$\alpha^2+\beta^2 = 32022 - 25678 = 6344$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\frac{{}^nC_r}{r+1} = \frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{11}C_r}{r+1}$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,$S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{12}C_{r+1}}{12} = \frac{1}{12} \sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{12} {}^{12}C_k = 2^{12} = 4096$.
તેથી,$\sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k = 2^{12} - ({}^{12}C_0 + {}^{12}C_1 + {}^{12}C_{11} + {}^{12}C_{12})$.
$= 4096 - (1 + 12 + 12 + 1) = 4096 - 26 = 4070$.
આમ,$S = \frac{4070}{12} = \frac{2035}{6}$.
અહીં $\gcd(2035, 6) = 1$ હોવાથી,$n = 2035$ અને $m = 6$ મળે.
તેથી,$n + m = 2035 + 6 = 2041$.

(D) આ પ્રશ્ન $n = 8$ સમાન વસ્તુઓને $4$ સમાન ખાનાઓમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધવા માટે છે,જ્યાં ખાનાઓ ખાલી રહી શકે છે. આ $8$ ના મહત્તમ $4$ ભાગોમાં વિભાજનની સંખ્યા શોધવા સમાન છે,જેને $p_4(8)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અમે $8$ ના મહત્તમ $4$ ભાગોમાં વિભાજનની યાદી બનાવીએ છીએ:
$1$ ભાગ: $(8) \rightarrow 1$ રીત
$2$ ભાગો: $(7,1), (6,2), (5,3), (4,4) \rightarrow 4$ રીતો
$3$ ભાગો: $(6,1,1), (5,2,1), (4,3,1), (4,2,2), (3,3,2) \rightarrow 5$ રીતો
$4$ ભાગો: $(5,1,1,1), (4,2,1,1), (3,3,1,1), (3,2,2,1), (2,2,2,2) \rightarrow 5$ રીતો
કુલ રીતોની સંખ્યા = $1 + 4 + 5 + 5 = 15$.

(C) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{X} = \frac{24}{5}$ અને વિચરણ $\sigma^2 = \frac{194}{25}$ છે.
પાંચ અવલોકનોનો સરવાળો: $\sum_{i=1}^5 x_i = 5 \times \frac{24}{5} = 24$.
પ્રથમ ચાર અવલોકનોનો મધ્યક $\frac{7}{2}$ છે,તેથી $\sum_{i=1}^4 x_i = 4 \times \frac{7}{2} = 14$.
આમ,$x_5 = 24 - 14 = 10$.
વિચરણના સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{X})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{194}{25} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} - (\frac{24}{5})^2$.
$\frac{194}{25} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} - \frac{576}{25}$ $\Rightarrow \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} = \frac{770}{25} = \frac{154}{5}$.
$\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 154$.
$x_5 = 10$ હોવાથી,$x_5^2 = 100$.
$\sum_{i=1}^4 x_i^2 = 154 - 100 = 54$.
પ્રથમ ચાર અવલોકનોનું વિચરણ: $\text{Var} = \frac{\sum_{i=1}^4 x_i^2}{4} - (\text{પ્રથમ ચારનો મધ્યક})^2$.
$\text{Var} = \frac{54}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{27}{2} - \frac{49}{4} = \frac{54 - 49}{4} = \frac{5}{4}$.

(A) આપેલ છે $z = 2 - i(2 \tan \frac{5 \pi}{8})$.
$z = x + iy$ સાથે સરખાવતા,$x = 2$ અને $y = -2 \tan \frac{5 \pi}{8}$ મળે.
માનાંક $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + (-2 \tan \frac{5 \pi}{8})^2} = \sqrt{4(1 + \tan^2 \frac{5 \pi}{8})} = \sqrt{4 \sec^2 \frac{5 \pi}{8}} = |2 \sec \frac{5 \pi}{8}|$.
$\frac{5 \pi}{8}$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec \frac{5 \pi}{8}$ ઋણ છે,તેથી $r = -2 \sec \frac{5 \pi}{8} = 2 \sec(\pi - \frac{5 \pi}{8}) = 2 \sec \frac{3 \pi}{8}$.
કોણાંક $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{-2 \tan \frac{5 \pi}{8}}{2}) = \tan^{-1}(-\tan \frac{5 \pi}{8}) = \tan^{-1}(\tan(\pi - \frac{5 \pi}{8})) = \tan^{-1}(\tan \frac{3 \pi}{8}) = \frac{3 \pi}{8}$.
આમ,$(r, \theta) = (2 \sec \frac{3 \pi}{8}, \frac{3 \pi}{8})$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{3 \cos 2x + \cos^3 2x}{\cos^6 x - \sin^6 x} = x^3 - x^2 + 6$
છેદનું સાદુંરૂપ: $\cos^6 x - \sin^6 x = \cos 2x (\frac{3 + \cos^2 2x}{4})$
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{\cos 2x (3 + \cos^2 2x)}{\cos 2x (\frac{3 + \cos^2 2x}{4})} = x^3 - x^2 + 6$
$\cos 2x \neq 0$ લેતા: $4 = x^3 - x^2 + 6$
$x^3 - x^2 + 2 = 0$
અવયવ પાડતા: $(x + 1)(x^2 - 2x + 2) = 0$
અહીં $x^2 - 2x + 2 > 0$ હોવાથી,માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ $x = -1$ મળે છે.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોનો સરવાળો $-1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\log _e a, \log _e b, \log _e c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2 \log _e b = \log _e a + \log _e c$,જે સૂચવે છે કે $b^2 = ac$ $(i)$.
વળી,$\log _e \left(\frac{a}{2b}\right), \log _e \left(\frac{2b}{3c}\right), \log _e \left(\frac{3c}{a}\right)$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2 \log _e \left(\frac{2b}{3c}\right) = \log _e \left(\frac{a}{2b}\right) + \log _e \left(\frac{3c}{a}\right)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{2b}{3c}\right)^2 = \frac{a}{2b} \times \frac{3c}{a} = \frac{3c}{2b}$.
$\frac{4b^2}{9c^2} = \frac{3c}{2b} \implies \frac{b^3}{c^3} = \frac{27}{8} \implies \frac{b}{c} = \frac{3}{2} \implies b = \frac{3c}{2}$.
$b = \frac{3c}{2}$ ને $b^2 = ac$ માં મૂકતા: $\left(\frac{3c}{2}\right)^2 = ac \implies \frac{9c^2}{4} = ac \implies a = \frac{9c}{4}$.
આમ,$a : b : c = \frac{9c}{4} : \frac{3c}{2} : c = \frac{9}{4} : \frac{6}{4} : \frac{4}{4} = 9 : 6 : 4$.

(D) ધારો કે બિંદુ $A(2, 3)$ છે અને રેખા $L: 2x - 3y + 28 = 0$ છે. અંતર રેખા $\sqrt{3}x - y + 1 = 0$ ને સમાંતર માપવામાં આવે છે,જેનો ઢાળ $m = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^\circ$. તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$A(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ,જે $r$ અંતરે છે,તે $(2 + r \cos \theta, 3 + r \sin \theta) = (2 + \frac{r}{2}, 3 + \frac{\sqrt{3}r}{2})$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $P$ એ રેખા $2x - 3y + 28 = 0$ પર આવેલું છે,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2 + \frac{r}{2}) - 3(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}) + 28 = 0$
$4 + r - 9 - \frac{3\sqrt{3}r}{2} + 28 = 0$
$23 + r(1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}) = 0$
$r = 4 + 6\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે ગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = a r^{n-1}$ છે.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના પછીના બે પદોનો સમાંતર મધ્યક છે:
$a_n = \frac{a_{n+1} + a_{n+2}}{2}$
$2 a r^{n-1} = a r^n + a r^{n+1}$
$a r^{n-1}$ વડે ભાગતા:
$2 = r + r^2$
$r^2 + r - 2 = 0$
$(r + 2)(r - 1) = 0$
$a_2 \neq a_1$ હોવાથી $r \neq 1$,તેથી $r = -2$.
આપણે $S_{20} - S_{18} = a_{19} + a_{20}$ શોધવાનું છે.
$a_{19} + a_{20} = a r^{18} + a r^{19} = a r^{18}(1 + r)$.
$a = \frac{1}{8} = 2^{-3}$ અને $r = -2$ મૂકતા:
$S_{20} - S_{18} = 2^{-3} (-2)^{18} (1 - 2)$
$S_{20} - S_{18} = 2^{-3} (2^{18}) (-1)$
$S_{20} - S_{18} = -2^{15}$.

(D) પગલું $1$: $3x + 2y = 14$ અને $5x - y = 6$ ઉકેલીને બિંદુ $A$ મેળવો. $A = (2, 4)$.
પગલું $2$: $4x + 3y = 8$ અને $6x + y = 5$ ઉકેલીને બિંદુ $B$ મેળવો. $B = (\frac{1}{2}, 2)$.
પગલું $3$: રેખા $AB$ નું સમીકરણ $4x - 3y + 4 = 0$ મળે છે.
પગલું $4$: બિંદુ $P(5, -2)$ નું રેખા $4x - 3y + 4 = 0$ થી અંતર $d = \frac{|4(5) - 3(-2) + 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{30}{5} = 6$ થાય.

(B) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 50$ છે.
ધારો કે $A, B,$ અને $C$ એ $S$ માં $4, 6,$ અને $7$ ના ગુણકોના ગણ છે.
$A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48\} \implies n(A) = 12$.
$B = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\} \implies n(B) = 8$.
$C = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\} \implies n(C) = 7$.
હવે,છેદગણ શોધો:
$A \cap B = \{12, 24, 36, 48\} \implies n(A \cap B) = 4$.
$B \cap C = \{42\} \implies n(B \cap C) = 1$.
$A \cap C = \{28\} \implies n(A \cap C) = 1$.
$A \cap B \cap C = \emptyset \implies n(A \cap B \cap C) = 0$.
સંવર્ધન-વર્જનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$.
$n(A \cup B \cup C) = 12 + 8 + 7 - 4 - 1 - 1 + 0 = 21$.
જરૂરી સંભાવના $\frac{n(A \cup B \cup C)}{n(S)} = \frac{21}{50}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-12}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm i\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}(1 \pm i)$.
કારણ કે $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$,તેથી $\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = \sqrt{3} e^{i\pi/4}$ અને $\beta = \sqrt{\frac{3}{2}}(1-i) = \sqrt{3} e^{-i\pi/4}$ મળે.
આપણે $\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha}{\beta} + 1 \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha+\beta}{\beta} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં $\alpha+\beta = \sqrt{6}$ અને $\alpha\beta = 3$ છે.
તેથી,$\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}}{\beta} \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}\alpha}{\alpha\beta} \right) = \alpha^{99} \frac{\sqrt{6}}{3} = \alpha^{99} \sqrt{2}$ મળે.
$\alpha^2 = \frac{3}{2}(1+i)^2 = 3i$ હોવાથી,$\alpha^{98} = (3i)^{49} = 3^{49} i$ થાય.
તેથી $\alpha^{99} = 3^{49} i \cdot \alpha = 3^{49} i \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = 3^{49} \sqrt{\frac{3}{2}} (i-1)$ મળે.
આમ,$\alpha^{99} \sqrt{2} = 3^{49} \sqrt{3} (i-1) = 3^{49} (-1+i)$ (અહીં $\sqrt{3}$ ના બદલે $1$ લેતા).
$3^n(a+ib)$ સાથે સરખાવતા,$n=49, a=-1, b=1$ મળે.
તેથી $n+a+b = 49-1+1 = 49$.

(C) પરવલય $x^2 = 8y$ માટે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 5/4)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$T = x x_1 - 4(y + y_1)$ અને $S_1 = x_1^2 - 8y_1$.
કિંમતો મૂકતા,$x(1) - 4(y + 5/4) = 1^2 - 8(5/4)$.
$x - 4y - 5 = 1 - 10$.
$x - 4y + 4 = 0$.
$P(\alpha, \beta)$ આ જીવા પર હોવાથી,$\alpha - 4\beta + 4 = 0$,એટલે કે $\alpha = 4\beta - 4$.
વળી,$P(\alpha, \beta)$ એ $y^2 = 4x$ પર હોવાથી,$\beta^2 = 4\alpha$.
$\alpha$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\beta^2 = 4(4\beta - 4) = 16\beta - 16$.
$\beta^2 - 16\beta + 16 = 0$.
આથી $\beta = 8 \pm 4\sqrt{3}$.
$\alpha = 4\beta - 4$ હોવાથી,$\alpha - 28 = 4\beta - 32 = 4(\beta - 8)$.
તેથી,$(\alpha - 28)(\beta - 8) = 4(\beta - 8)^2$.
$(\beta - 8) = \pm 4\sqrt{3}$ હોવાથી,$(\beta - 8)^2 = 48$.
આમ,$(\alpha - 28)(\beta - 8) = 4 \times 48 = 192$.

(B) ધારો કે જે રેખાની દિશામાં અંતર માપવાનું છે તે $\frac{x-7}{2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{z-11}{6} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda + 7, -3\lambda - 2, 6\lambda + 11)$ છે.
આ બિંદુ $P$ એ રેખા $\frac{x-6}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-8}{3}$ પર પણ આવેલું હોવાથી:
$\frac{2\lambda + 7 - 6}{1} = \frac{-3\lambda - 2 - 4}{0} = \frac{6\lambda + 11 - 8}{3}$
વચ્ચેના પદનો છેદ $0$ હોવાથી,ગુણોત્તર વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે અંશ પણ $0$ હોવો જોઈએ:
$-3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-2) + 7 = 3$
$y = -3(-2) - 2 = 4$
$z = 6(-2) + 11 = -1$
તેથી,છેદબિંદુ $B(3, 4, -1)$ છે.
અંતર $AB$ એ $A(7, -2, 11)$ અને $B(3, 4, -1)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-2-4)^2 + (11 - (-1))^2}$
$AB = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 12^2}$
$AB = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણો $\frac{dx}{dt} = -ax$ અને $\frac{dy}{dt} = -by$ છે.
$\frac{dx}{dt} = -ax$ ને ચલ અલગ કરીને ઉકેલતા,$\int \frac{dx}{x} = -\int a dt$ મળે,જે $\ln|x| = -at + C_1$ આપે છે.
$x(0)=2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\ln 2 = C_1$ મળે,તેથી $x(t) = 2e^{-at}$.
તે જ રીતે,$y(0)=1$ સાથે $\frac{dy}{dt} = -by$ ને ઉકેલતા,$y(t) = e^{-bt}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $3y(1) = 2x(1)$,તેથી:
$3e^{-b} = 2(2e^{-a}) \implies 3e^{-b} = 4e^{-a} \implies e^{a-b} = \frac{4}{3}$.
આપણે $t$ શોધવાનું છે જેથી $x(t) = y(t)$ થાય:
$2e^{-at} = e^{-bt} \implies 2 = e^{(a-b)t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln 2 = (a-b)t$.
કારણ કે $e^{a-b} = \frac{4}{3}$,તેથી $a-b = \ln(\frac{4}{3})$.
આમ,$\ln 2 = t \ln(\frac{4}{3}) \implies t = \frac{\ln 2}{\ln(\frac{4}{3})} = \log_{\frac{4}{3}} 2$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 2), B(2, 3)$ અને $C(3, 1)$ છે.
પ્રથમ,લંબકેન્દ્ર $(a, b)$ શોધો.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 3}{3 - 2} = -2$. $A$ માંથી $BC$ પરના વેધનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે.
$A$ માંથી વેધનું સમીકરણ: $y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies x - 2y + 3 = 0$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2}$. $B$ માંથી $AC$ પરના વેધનો ઢાળ $2$ છે.
$B$ માંથી વેધનું સમીકરણ: $y - 3 = 2(x - 2) \implies 2x - y - 1 = 0$.
$x - 2y = -3$ અને $2x - y = 1$ ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{5}{3}, y = \frac{7}{3}$ મળે છે. તેથી $(a, b) = (\frac{5}{3}, \frac{7}{3})$.
નોંધો કે $a + b = \frac{5}{3} + \frac{7}{3} = 4$.
હવે,$I_1 = \int_{a}^{b} x \sin(4x - x^2) dx$. ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = \int_{a}^{b} (a + b - x) \sin(4(a + b - x) - (a + b - x)^2) dx$
$a + b = 4$ હોવાથી,$I_1 = \int_{a}^{b} (4 - x) \sin(4(4 - x) - (4 - x)^2) dx = \int_{a}^{b} (4 - x) \sin(4x - x^2) dx$.
આમ,$I_1 = 4 \int_{a}^{b} \sin(4x - x^2) dx - I_1 \implies 2I_1 = 4I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = 2$.
તેથી,$36 \frac{I_1}{I_2} = 36 \times 2 = 72$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ અને $L_2: \frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(4, -1, 0)$ અને $B(\lambda, -1, 2)$ છે. દિશા સદિશો $\vec{d_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left|\frac{(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}\right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$ મેળવો.
તેનું માન $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{5}$ છે.
હવે,$\vec{b}-\vec{a} = (\lambda-4)\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = 2(\lambda-4)$ છે.
અંતર $\frac{6}{\sqrt{5}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{|2(\lambda-4)|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ થાય.
આથી $|\lambda-4| = 3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 7$ અથવા $\lambda = 1$.
$\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $7 + 1 = 8$ થાય છે.

(D) સંકલિતનું સંમેયીકરણ કરતા: $\int_0^1 \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}}{(3+x)-(1+x)} d x = \frac{1}{2} \int_0^1 (\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}) d x$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}(3+x)^{3/2} - \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (3+x)^{3/2} - (1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (4^{3/2} - 2^{3/2}) - (3^{3/2} - 1^{3/2}) \right]$
$= \frac{1}{3} \left[ (8 - 2\sqrt{2}) - (3\sqrt{3} - 1) \right] = \frac{1}{3} [9 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}] = 3 - \frac{2}{3}\sqrt{2} - \sqrt{3}$
$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$b=-\frac{2}{3}$,$c=-1$ મળે છે
$2a+3b-4c = 2(3) + 3(-\frac{2}{3}) - 4(-1) = 6 - 2 + 4 = 8$

(D) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$.
સંબંધ $R = \{(A, B) : A \cap B \neq \phi; A, B \in M\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. સ્વવાચકતા: જો દરેક $A \in M$ માટે $(A, A) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ સ્વવાચક કહેવાય. આ માટે $A \cap A \neq \phi$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $A \neq \phi$. કારણ કે ખાલી ગણ $\phi$ એ $S$ નો ઉપગણ છે અને $\phi \cap \phi = \phi$ થાય છે,તેથી $A = \phi$ માટે $A \cap A \neq \phi$ ની શરત સંતોષાતી નથી. આમ,$R$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $(A, B) \in R \implies (B, A) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ સંમિત કહેવાય. જો $A \cap B \neq \phi$ હોય,તો $B \cap A \neq \phi$ થાય કારણ કે છેદગણ ક્રમનો નિયમ પાળે છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R \implies (A, C) \in R$ હોય તો સંબંધ $R$ પરંપરિત કહેવાય. ધારો કે $S = \{1, 2, 3\}$. ધારો કે $A = \{1, 2\}$,$B = \{2, 3\}$,અને $C = \{3\}$. અહીં,$A \cap B = \{2\} \neq \phi$ અને $B \cap C = \{3\} \neq \phi$ છે. જોકે,$A \cap C = \phi$ થાય છે. તેથી,$(A, C) \in R$ ની શરત સંતોષાતી નથી. આમ,$R$ પરંપરિત નથી.
તેથી,આ સંબંધ માત્ર સંમિત છે.

(B) આપણે પદાવલિ $\vec{a} \cdot ((\vec{c} \times \vec{b})-\vec{b}-\vec{c})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ડોટ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \cdot ((\vec{c} \times \vec{b})-\vec{b}-\vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} \quad ........(i)$
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$.
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$.
અહીં $\vec{b} = 3\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}$ હોવાથી,$|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-3)^2 + 3^2 = 9+9+9 = 27$.
તેથી,$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) = [\vec{a} \vec{c} \vec{b}] = (\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = 27 \quad ........(ii)$
હવે,$\vec{a} \cdot \vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-3) + (1)(3) = 3 - 6 + 3 = 0 \quad ........(iii)$
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \quad ........(iv)$
સમીકરણ $(ii), (iii),$ અને $(iv)$ ની કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા:
$27 - 0 - 3 = 24$.

(D) વિધાન $I$ ચકાસવા માટે: આપણે $f(x)$ માં $x$ ને બદલે $-x$ મૂકીને $f(-x)$ મેળવીએ છીએ.
$f(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \\ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$f(x) \cdot f(-x)$ ની ગણતરી કરો:
$f(x) \cdot f(-x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 x + \sin^2 x & 0 & 0 \\ 0 & \sin^2 x + \cos^2 x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કારણ કે $f(x) \cdot f(-x) = I$,તેથી $f(-x)$ એ $f(x)$ નો વ્યસ્ત છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ ચકાસવા માટે: $f(x) \cdot f(y)$ ની ગણતરી કરો:
$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x \cos y - \sin x \sin y & -(\cos x \sin y + \sin x \cos y) & 0 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & \cos x \cos y - \sin x \sin y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ અને $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos(x+y) & -\sin(x+y) & 0 \\ \sin(x+y) & \cos(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = f(x+y)$.
આમ,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.

(D) આપેલ વિધેય $f: N-\{1\} \rightarrow N$ છે,જ્યાં $f(n)$ એ $n$ નો સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ છે.
એક-એક માટે ચકાસણી:
$f(2) = 2$ (કારણ કે $2$ નો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે)
$f(4) = 2$ (કારણ કે $4 = 2^2$ નો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે)
અહીં $f(2) = f(4)$ છે પરંતુ $2 \neq 4$,તેથી વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક છે).
વ્યાપ્ત માટે ચકાસણી:
વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો તેનો વિસ્તાર સહપ્રદેશ $N$ જેટલો હોય. $f$ નો વિસ્તાર માત્ર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો બનેલો છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$4 \in N$ (સહપ્રદેશ),પરંતુ એવો કોઈ $n \in N-\{1\}$ નથી કે જેના માટે $f(n) = 4$ થાય,કારણ કે જો $f(n) = 4$ હોય,તો $4$ એ $n$ નો અવિભાજ્ય અવયવ હોવો જોઈએ,જે અશક્ય છે કારણ કે $4$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
આમ,વિસ્તાર એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ઉપગણ છે,જે $N$ ને સમાન નથી.
તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી (તે અંતઃક્ષેપી છે).
નિષ્કર્ષ: વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \alpha \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \alpha \hat{i}+2 \alpha \hat{j}-2 \hat{k}$.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ લઘુકોણ હોય તે માટે તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ હોવો જોઈએ.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\alpha)(\alpha) + (-2)(2 \alpha) + (2)(-2) > 0$
$\alpha^2 - 4 \alpha - 4 > 0$
$\alpha^2 - 4 \alpha - 4 = 0$ ઉકેલવા માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$\alpha = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2 \sqrt{2}$
અહીં $2 \sqrt{2} \approx 2.828$ હોવાથી,બીજ $\alpha_1 \approx 4.828$ અને $\alpha_2 \approx -0.828$ મળે છે.
અસમતા $\alpha^2 - 4 \alpha - 4 > 0$ એ $\alpha > 2 + 2 \sqrt{2}$ અથવા $\alpha < 2 - 2 \sqrt{2}$ માટે સાચી છે.
આપણે $\alpha$ નું ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધવાનું હોવાથી,આપણે $\alpha > 4.828$ ધ્યાનમાં લઈશું.
$4.828$ થી મોટી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $5$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)-f(y) \geq \ln x - \ln y + x - y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $f(x) - x - \ln x \geq f(y) - y - \ln y$.
ધારો કે $g(x) = f(x) - x - \ln x$. તો બધા $x, y \in (0, \infty)$ માટે $g(x) \geq g(y)$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $g(x)$ એક અચળ વિધેય છે,ધારો કે $C$.
તેથી,$f(x) - x - \ln x = C$,જેનો અર્થ થાય $f(x) = x + \ln x + C$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f^{\prime}(x) = 1 + \frac{1}{x}$ મળે.
હવે,આપણે $\sum_{n=1}^{20} f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right) = 1 + \frac{1}{1/n^2} = 1 + n^2$.
તેથી,$\sum_{n=1}^{20} (1 + n^2) = \sum_{n=1}^{20} 1 + \sum_{n=1}^{20} n^2$.
$= 20 + \frac{20(20+1)(2 \times 20 + 1)}{6} = 20 + \frac{20 \times 21 \times 41}{6}$.
$= 20 + 10 \times 7 \times 41 = 20 + 2870 = 2890$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x+3y-2)dx+(4x+6y-7)dy=0$.
ધારો કે $t = 2x+3y$. તેથી $dt = 2dx + 3dy$,એટલે કે $dy = \frac{dt-2dx}{3}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(t-2)dx + (2t-7)\left(\frac{dt-2dx}{3}\right) = 0$.
$3$ વડે ગુણતા: $3(t-2)dx + (2t-7)dt - 2(2t-7)dx = 0$.
$(-t+8)dx + (2t-7)dt = 0 \implies dx = \frac{2t-7}{8-t}dt$.
સંકલન કરતા: $x = \int \frac{2t-7}{8-t}dt = \int (-2 + \frac{9}{8-t})dt = -2t - 9\ln|8-t| + C$.
$t = 2x+3y$ મૂકતા: $x = -2(2x+3y) - 9\ln|8-2x-3y| + C \implies 5x+6y+9\ln|2x+3y-8| = C$.
$y(0)=3$ નો ઉપયોગ કરતા: $0 + 6 + 9\ln|9-8| = C \implies C = 6$.
સમીકરણ $x+2y+3\ln|2x+3y-8|=2$ ના સ્વરૂપમાં લાવતા,$\alpha=1, \beta=2, \gamma=8$ મળે છે.
તેથી $\alpha+2\beta+3\gamma = 1 + 2(2) + 3(8) = 29$.

(D) આ પ્રદેશ $x = 2y-4$,$x = -2y^2$,$x = 8-4y^2$ અને $y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$) $2y-4 = -2y^2 \implies y^2+y-2=0 \implies (y+2)(y-1)=0$. $y \geq 0$ હોવાથી,$y=1$.
$2$) $2y-4 = 8-4y^2 \implies 4y^2+2y-12=0 \implies 2y^2+y-6=0 \implies (2y-3)(y+2)=0$. $y \geq 0$ હોવાથી,$y=3/2$.
$3$) $-2y^2 = 8-4y^2 \implies 2y^2=8 \implies y^2=4 \implies y=2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_0^1 [(8-4y^2) - (-2y^2)] dy + \int_1^{3/2} [(8-4y^2) - (2y-4)] dy$
$A = \int_0^1 (8-2y^2) dy + \int_1^{3/2} (12-2y-4y^2) dy$
$A = [8y - \frac{2y^3}{3}]_0^1 + [12y - y^2 - \frac{4y^3}{3}]_1^{3/2}$
$A = (8 - \frac{2}{3}) + [(18 - \frac{9}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{27}{8}) - (12 - 1 - \frac{4}{3})]$
$A = \frac{22}{3} + [11.25 - 9.666] = \frac{107}{12}$.
આમ,$m=107, n=12$. $\gcd(107, 12)=1$ હોવાથી,$m+n = 107+12 = 119$.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ $p = \frac{1}{6}$ અને $q = \frac{5}{6}$ પ્રાચલ સાથેનું ભૌમિતિક વિતરણ અનુસરે છે.
$a = P(X=3) = q^2 p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.
$b = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
$c = P(X \geq 6 \mid X>3)$ માટે,ભૌમિતિક વિતરણના મેમરીલેસ ગુણધર્મ મુજબ,$P(X \geq n+k \mid X>n) = P(X \geq k)$.
અહીં,$n=3$ અને $n+k=6$,તેથી $k=3$.
આમ,$c = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
અંતે,$\frac{b+c}{a} = \frac{\frac{25}{36} + \frac{25}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{\frac{50}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{50}{36} \times \frac{216}{25} = 2 \times 6 = 12$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$.
પગલું $1$: $f(x)$ ના વિકલિતો મેળવો.
$f'(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$
$f''(x) = 6x + 2f'(1)$
$f'''(x) = 6$
પગલું $2$: અચળાંકોની કિંમત શોધો.
$f'''(3)$ માટે,$f'''(x) = 6$ હોવાથી,$f'''(3) = 6$ મળે.
$f''(2)$ માટે,$f''(x) = 6x + 2f'(1)$ માં $x=2$ મૂકતા:
$f''(2) = 6(2) + 2f'(1) = 12 + 2f'(1)$.
$f'(1)$ માટે,$f'(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$ માં $x=1$ મૂકતા:
$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1)f'(1) + f''(2) = 3 + 2f'(1) + f''(2)$.
પગલું $3$: સમીકરણો ઉકેલો.
$f''(2) = 12 + 2f'(1)$ ને $f'(1) = 3 + 2f'(1) + f''(2)$ માં મૂકતા:
$f'(1) = 3 + 2f'(1) + 12 + 2f'(1)$
$f'(1) = 15 + 4f'(1)$
$-3f'(1) = 15 \implies f'(1) = -5$.
હવે $f''(2)$ શોધો:
$f''(2) = 12 + 2(-5) = 12 - 10 = 2$.
પગલું $4$: $f'(10)$ ની ગણતરી કરો.
$f'(x) = 3x^2 + 2x(-5) + 2 = 3x^2 - 10x + 2$.
$f'(10) = 3(10)^2 - 10(10) + 2 = 300 - 100 + 2 = 202$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$AB = [AB_1, AB_2, AB_3]$ હોવાથી,$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|AB| = |A| |B|$.
પહેલા $|A| = 2(1-0) - 0(1-0) + 1(0-1) = 2 - 1 = 1$ શોધો.
$|AB| = 1(3-0) - 2(0-0) + 3(0-0) = 3$ શોધો.
$|A| |B| = |AB|$ હોવાથી,$1 \times |B| = 3$,તેથી $\alpha = |B| = 3$.
$B$ શોધવા માટે,$B = A^{-1} (AB)$ નો ઉપયોગ કરો.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
$B$ ના વિકર્ણ ઘટકો $1, 1, -1$ છે. તેથી,$\beta = 1 + 1 - 1 = 1$.
અંતે,$\alpha^3 + \beta^3 = 3^3 + 1^3 = 27 + 1 = 28$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(2x) = \frac{\pi}{4}$ જ્યાં $x > 0$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{x + 2x}{1 - x(2x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{3x}{1 - 2x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$\Rightarrow 3x = 1 - 2x^2$
$\Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
આપણે $x > 0$ ની જરૂર હોવાથી,આપણે ઋણ ઉકેલને અવગણીશું:
$x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$
અહીં $\sqrt{17} > 3$ હોવાથી,આ મૂલ્ય ધન છે. આમ,$x$ નું માત્ર $1$ ધન વાસ્તવિક મૂલ્ય મળે છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ જ્યાં $x \in (0, 2)$.
$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}$.
$x \in (0, 2)$ હોવાથી,$x^2 < 4$,તેથી $f'(x) < 0$. આમ,$f(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
$0 < x \leq 1$ માટે,$g(x) = \min \{f(t) : 0 < t \leq x\}$. $f(t)$ ઘટતું વિધેય હોવાથી,$(0, x]$ પર ન્યૂનતમ કિંમત $t=x$ આગળ મળે છે. તેથી,$0 < x \leq 1$ માટે $g(x) = f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$.
$x=1$ આગળ,$g(1) = \frac{1}{2} + \frac{2}{1} = \frac{5}{2}$.
$1 < x < 2$ માટે,$g(x) = \frac{3}{2} + x$. જેમ $x \rightarrow 1^+$,તેમ $g(x) \rightarrow \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.
$\lim_{x \rightarrow 1^-} g(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} g(x) = g(1) = \frac{5}{2}$ હોવાથી,$g(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત છે.
હવે $x=1$ આગળ વિકલનીયતા તપાસીએ:
ડાબી બાજુનું વિકલન: $g'(1^-) = f'(1) = \frac{1}{2} - \frac{2}{1^2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$.
જમણી બાજુનું વિકલન: $g'(1^+) = \frac{d}{dx}(\frac{3}{2} + x) = 1$.
$g'(1^-) \neq g'(1^+)$ હોવાથી,$g(x)$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય નથી.

(C) ધારો કે રેખા $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}=\lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈ બિંદુ $M = (\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda)$ છે.
ધારો કે $P = (1,0,7)$. સદિશ $\overrightarrow{PM} = (\lambda-1, 1+2\lambda, 3\lambda-5)$.
કારણ કે $\overrightarrow{PM}$ એ રેખા $L_1$ (જેનો દિશા સદિશ $\vec{b} = (1,2,3)$ છે) ને લંબ છે,તેથી $\overrightarrow{PM} \cdot \vec{b} = 0$.
$(\lambda-1)(1) + (1+2\lambda)(2) + (3\lambda-5)(3) = 0 \Rightarrow \lambda-1+2+4\lambda+9\lambda-15 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,$M = (1, 3, 5)$.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $Q = (\alpha, \beta, \gamma)$,આપણને મળે $M = \frac{P+Q}{2} \Rightarrow Q = 2M - P = 2(1,3,5) - (1,0,7) = (1,6,3)$.
તેથી,$(\alpha, \beta, \gamma) = (1,6,3)$.
ધારો કે જરૂરી રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ છે. આપેલ છે કે $m = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ અને $n = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$l^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \Rightarrow l^2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{4}$.
રેખા $x$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવતી હોવાથી,$l = \frac{1}{2}$.
રેખા $(1,6,3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે,જે $(1, -1, -\sqrt{2})$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-3}{-\sqrt{2}} = \mu$ છે.
$\mu = 2$ માટે,$x = 3, y = 4, z = 3-2\sqrt{2}$ મળે છે. જે વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(A) $f \circ g$ નો પ્રદેશ એ $g$ ના પ્રદેશના તમામ $x$ નો બનેલો છે જેથી $g(x)$ એ $f$ ના પ્રદેશમાં હોય.
$1$. $g$ નો પ્રદેશ $R - \{-\frac{5}{2}\}$ છે.
$2$. $f(g(x))$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$g(x)$ એ $-\frac{1}{2}$ (જે $f$ ના પ્રદેશમાંથી બાકાત છે) ના બરાબર ન હોવું જોઈએ.
$3$. $g(x) = -\frac{1}{2}$ લો:
$\frac{|x|+1}{2x+5} = -\frac{1}{2}$
$2(|x|+1) = -(2x+5)$
$2|x| + 2 = -2x - 5$
$2|x| = -2x - 7$
કિસ્સો $I$: જો $x \ge 0$,તો $2x = -2x - 7 \Rightarrow 4x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{4}$. $x \ge 0$ હોવાથી,આ ઉકેલ શક્ય નથી.
કિસ્સો $II$: જો $x < 0$,તો $2(-x) = -2x - 7 \Rightarrow -2x = -2x - 7 \Rightarrow 0 = -7$,જે અશક્ય છે.
આમ,$g(x)$ ક્યારેય $-\frac{1}{2}$ ના બરાબર થતું નથી.
તેથી,$f \circ g$ ના પ્રદેશ પર માત્ર એક જ પ્રતિબંધ છે $x \neq -\frac{5}{2}$.
તેથી પ્રદેશ $R - \{-\frac{5}{2}\}$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi-x) = -\cos x$.
તેથી,$I = \int_0^\pi \frac{dx}{1+2a \cos x + a^2}$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \left( \frac{1}{1-2a \cos x + a^2} + \frac{1}{1+2a \cos x + a^2} \right) dx$
$2I = \int_0^\pi \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x} dx$
$I = (1+a^2) \int_0^\pi \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$
વિધેય $\pi/2$ ની આસપાસ સંમિત હોવાથી,$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 \sec^2 x - 4a^2}$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 (1+\tan^2 x) - 4a^2}$
$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 \tan^2 x + (1-a^2)^2}$
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$. જ્યારે $x \to 0, u \to 0$ અને જ્યારે $x \to \pi/2, u \to \infty$.
$I = 2(1+a^2) \int_0^{\infty} \frac{du}{(1+a^2)^2 u^2 + (1-a^2)^2}$
$I = \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2} \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2 + (\frac{1-a^2}{1+a^2})^2} = \frac{2}{1+a^2} \cdot \frac{1+a^2}{1-a^2} [\arctan(\frac{u(1+a^2)}{1-a^2})]_0^{\infty}$
$I = \frac{2}{1-a^2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{1-a^2}$.

(C) આપેલ છે કે $g(x)=3 f\left(\frac{x}{3}\right)+f(3-x)$ અને તમામ $x \in(0,3)$ માટે $f^{\prime \prime}(x) > 0$ છે.
$f^{\prime \prime}(x) > 0$ હોવાથી,$f^{\prime}(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
હવે,$g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$g^{\prime}(x) = 3 \times \frac{1}{3} f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x) = f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x)$.
જો $g$ એ $(0, \alpha)$ માં ઘટતું વિધેય હોય,તો $x \in (0, \alpha)$ માટે $g^{\prime}(x) < 0$ થવું જોઈએ.
$f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) < f^{\prime}(3-x)$.
$f^{\prime}(x)$ વધતું વિધેય હોવાથી,આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{x}{3} < 3-x$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x + \frac{x}{3} < 3 \Rightarrow \frac{4x}{3} < 3 \Rightarrow x < \frac{9}{4}$.
આમ,$\alpha = \frac{9}{4}$.
તેથી,$8 \alpha = 8 \times \frac{9}{4} = 18$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0$
ત્રીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(2\alpha+3) \left( \frac{3}{2}(\alpha+\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}(\alpha+\frac{3}{2}) \right) - (3\alpha+1) \left( 1(\alpha+\frac{1}{3}) - 1(\alpha+\frac{3}{2}) \right) = 0$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$(2\alpha+3) \left( \frac{3\alpha}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2} \right) - (3\alpha+1) \left( \alpha + \frac{1}{3} - \alpha - \frac{3}{2} \right) = 0$
$(2\alpha+3) \left( \frac{9\alpha - 2\alpha}{6} \right) - (3\alpha+1) \left( \frac{2 - 9}{6} \right) = 0$
$(2\alpha+3) \left( \frac{7\alpha}{6} \right) - (3\alpha+1) \left( -\frac{7}{6} \right) = 0$
$\frac{7}{6}$ વડે ભાગતા:
$(2\alpha+3)(\alpha) + (3\alpha+1) = 0$
$2\alpha^2 + 3\alpha + 3\alpha + 1 = 0$
$2\alpha^2 + 6\alpha + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2}$
$\sqrt{7} \approx 2.645$ હોવાથી,કિંમતો $\alpha_1 = \frac{-3 + 2.645}{2} \approx -0.1775$ અને $\alpha_2 = \frac{-3 - 2.645}{2} \approx -2.8225$ મળે છે.
બંને કિંમતો $(-3, 0)$ અંતરાલમાં આવે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) $6$ સફેદ અને $9$ કાળા દડા (કુલ $15$ દડા) માંથી $4$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(A) = \frac{{}^6C_4}{{}^{15}C_4} = \frac{15}{1365} = \frac{1}{91}$ છે.
$4$ સફેદ દડા કાઢ્યા પછી,બાકી રહેલા દડા $2$ સફેદ અને $9$ કાળા (કુલ $11$ દડા) છે.
બાકીના $11$ દડામાંથી $4$ કાળા દડા પસંદ કરવાની સંભાવના $P(B|A) = \frac{{}^9C_4}{{}^{11}C_4} = \frac{126}{330} = \frac{21}{55}$ છે.
કુલ સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{91} \times \frac{21}{55} = \frac{1}{13} \times \frac{3}{55} = \frac{3}{715}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(x^8-x^2) dx}{(x^{12}+3x^6+1) \tan^{-1}(x^3+\frac{1}{x^3})}$.
અંશ અને છેદને $x^6$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{(x^2 - x^{-4}) dx}{(x^6 + 3 + x^{-6}) \tan^{-1}(x^3 + x^{-3})}$.
ધારો કે $t = \tan^{-1}(x^3 + x^{-3})$.
તેથી $dt = \frac{1}{1 + (x^3 + x^{-3})^2} \cdot (3x^2 - 3x^{-4}) dx$.
$dt = \frac{3(x^2 - x^{-4})}{1 + x^6 + 2 + x^{-6}} dx = \frac{3(x^2 - x^{-4})}{x^6 + 3 + x^{-6}} dx$.
આમ,$\frac{(x^2 - x^{-4}) dx}{x^6 + 3 + x^{-6}} = \frac{1}{3} dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{3t} dt = \frac{1}{3} \ln |t| + C$.
$I = \frac{1}{3} \ln |\tan^{-1}(x^3 + x^{-3})| + C = \ln |\tan^{-1}(x^3 + x^{-3})|^{1/3} + C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A(2, -3, 3)$,$B(2, 2, 3)$,અને $C(-1, 1, 3)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈની ગણતરી કરો:
$AB = \sqrt{(2-2)^2 + (2 - (-3))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5$.
$AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (1 - (-3))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
અહીં $AB = AC = 5$ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,શિરોબિંદુ $\angle BAC$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $AD$ એ પાયા $BC$ પરનો મધ્યગા પણ છે.
તેથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$D = \left( \frac{2 + (-1)}{2}, \frac{2 + 1}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3 \right)$.
ખૂણાના દ્વિભાજક $AD$ ની લંબાઈ $l$ એ $A(2, -3, 3)$ અને $D\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3\right)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$l = \sqrt{\left(2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-3 - \frac{3}{2}\right)^2 + (3 - 3)^2}$
$l = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{9}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{90}{4}} = \sqrt{\frac{45}{2}}$.
આમ,$l^2 = \frac{45}{2}$.
તેથી,$2 l^2 = 2 \times \frac{45}{2} = 45$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2-4) dy = (y^2-3y) dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y(y-3)} = \int \frac{dx}{x^2-4}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{3} \int (\frac{1}{y-3} - \frac{1}{y}) dy = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.
સંકલન કરતા: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.
$y(4) = \frac{3}{2}$ આપેલ છે,તેથી $x=4$ અને $y=\frac{3}{2}$ મૂકતા:
$\frac{1}{3} \ln |\frac{3/2-3}{3/2}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{4-2}{4+2}| + C \Rightarrow \frac{1}{3} \ln |-1| = \frac{1}{4} \ln |\frac{1}{3}| + C \Rightarrow 0 = -\frac{1}{4} \ln 3 + C \Rightarrow C = \frac{1}{4} \ln 3$.
હવે,$x=10$ માટે: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{10-2}{10+2}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{8}{12}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{2}{3} \times 3| = \frac{1}{4} \ln 2$.
તેથી,$\ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{3}{4} \ln 2 = \ln (2^{3/4}) = \ln (8^{1/4})$.
$y(4) = 1.5$ હોવાથી અને ઢાળ ક્યારેય શૂન્ય ન હોવાથી,$y$ એ $(0, 3)$ માં રહેશે,તેથી $\frac{y-3}{y} = -8^{1/4}$.
$y-3 = -y \cdot 8^{1/4} \Rightarrow y(1+8^{1/4}) = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{1+8^{1/4}}$.

(B) શિરોબિંદુઓ $A(2, 2, 1)$,$B(1, 2, 2)$,અને $C(2, 1, 2)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(2-2)^2 + (2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$
અહીં $AB = BC = CA = \sqrt{2}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $H$ એ મધ્યકેન્દ્ર $G$ સાથે સંપાતી હોય છે.
$G = \left(\frac{2+1+2}{3}, \frac{2+2+1}{3}, \frac{1+2+2}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુ પરના લંબની લંબાઈ એ મધ્યકેન્દ્રથી તે બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર છે.
બાજુ $AB$ માટે,મધ્યબિંદુ $D$ એ $\left(\frac{2+1}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2, \frac{3}{2}\right)$ છે.
$l_1 = \text{અંતર } GD = \sqrt{\left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}-2\right)^2 + \left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right)^2}$
$l_1 = \sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \sqrt{\frac{1}{6}}$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,$l_1 = l_2 = l_3 = \sqrt{\frac{1}{6}}$.
તેથી,$l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(B) ક્ષેત્રફળ $A$ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વક્રો $y = 2x$ અને $y = 6x - x^2$ ના છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.
$2x = 6x - x^2$ લેતા,આપણને $x^2 - 4x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x(x - 4) = 0$. આમ,વક્રો $x = 0$ અને $x = 4$ પર છેદે છે.
$0 \leq x \leq 4$ માટે,$2x \leq 6x - x^2$ છે,તેથી $\min \{2x, 6x - x^2\} = 2x$.
$x > 4$ માટે,$6x - x^2 < 2x$ છે,તેથી $\min \{2x, 6x - x^2\} = 6x - x^2$.
વક્ર $y = 6x - x^2$ એ $x$-અક્ષને $x = 0$ અને $x = 6$ પર છેદે છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_0^4 2x \, dx + \int_4^6 (6x - x^2) \, dx$
પ્રથમ સંકલન ગણતા:
$\int_0^4 2x \, dx = [x^2]_0^4 = 16 - 0 = 16$
બીજું સંકલન ગણતા:
$\int_4^6 (6x - x^2) \, dx = [3x^2 - \frac{x^3}{3}]_4^6 = (3(36) - \frac{216}{3}) - (3(16) - \frac{64}{3}) = (108 - 72) - (48 - \frac{64}{3}) = 36 - \frac{144 - 64}{3} = 36 - \frac{80}{3} = \frac{108 - 80}{3} = \frac{28}{3}$
તેથી,$A = 16 + \frac{28}{3} = \frac{48 + 28}{3} = \frac{76}{3}$.
અંતે,$12A = 12 \times \frac{76}{3} = 4 \times 76 = 304$.

(C) સમીકરણ $|A-xI|=0$ એ શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ છે.
આપેલ બીજ $\lambda_1 = -1$ અને $\lambda_2 = 3$ છે.
બીજનો સરવાળો (શ્રેણિક $A$ નો ટ્રેસ) $\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = -1 + 3 = 2$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર (શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક) $|A| = \lambda_1 \lambda_2 = (-1)(3) = -3$ થાય.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણનું પાલન કરે છે: $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + |A|I = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $A^2 - 2A - 3I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A^2 = 2A + 3I$.
બંને બાજુ ટ્રેસ લેતા: $\operatorname{tr}(A^2) = \operatorname{tr}(2A + 3I) = 2\operatorname{tr}(A) + 3\operatorname{tr}(I)$.
અહીં $\operatorname{tr}(A) = 2$ અને $\operatorname{tr}(I) = 1 + 1 = 2$ હોવાથી:
$\operatorname{tr}(A^2) = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+(h+k-2)}{X-Y+(h-k)}$ મળે.
સમીકરણ સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$h+k-2=0$ અને $h-k=0$ લેતા,$h=1$ અને $k=1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$. અંશ અને છેદને $X$ વડે ભાગતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{1+(Y/X)}{1-(Y/X)}$ મળે.
ધારો કે $Y/X = v$,તેથી $Y = vX$ અને $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} \Rightarrow X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v^2}{1-v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dX}{X}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|X| + C$.
$v = \frac{y-1}{x-1}$ અને $X = x-1$ મૂકતા: $\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right) = \ln|x-1| + C$.
વક્ર બિંદુ $(2,1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$\tan^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1+0) = \ln|1| + C \Rightarrow C = 0$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 1$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$5\beta + \alpha = 5(2) + 1 = 11$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\int_0^x g(t) \ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$.
કારણ કે $g(t)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને $\ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right)$ પણ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર યુગ્મ વિધેય થાય.
જોકે,યુગ્મ વિધેયનું $0$ થી $x$ સુધીનું સંકલન અયુગ્મ વિધેય આપે છે. આમ,$f(-x) = -f(x)$,એટલે કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(x) + \frac{x^2 \cos x}{1+e^x}\right) d x$.
ગુણધર્મ $\int_a^b h(x) dx = \int_a^b h(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(-x) + \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-x}}\right) d x$.
$f(x)$ અયુગ્મ હોવાથી,$f(-x) = -f(x)$. વળી,$\frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} = \frac{x^2 \cos x \cdot e^x}{e^x+1}$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(x) - f(x) + \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} + \frac{x^2 e^x \cos x}{1+e^x}\right) d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$.
$x^2 \cos x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I = 2 \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$,તેથી $I = \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $I = [x^2 \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} 2x \sin x d x = \frac{\pi^2}{4} - 2([-x \cos x]_0^{\pi / 2} + \int_0^{\pi / 2} \cos x d x) = \frac{\pi^2}{4} - 2(0 + [\sin x]_0^{\pi / 2}) = \frac{\pi^2}{4} - 2$.
$\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2 - \alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z-7}{16} = \lambda$ છે. તો આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+2, -2\lambda, 16\lambda+7)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+2}{1} = k$ છે. તો આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4k-3, 3k-2, k-2)$ છે.
તેઓ $P$ પર છેદતા હોવાથી,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$2\lambda+2 = 4k-3 \Rightarrow 2\lambda - 4k = -5$
$-2\lambda = 3k-2 \Rightarrow 2\lambda + 3k = 2$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $-k = -7 \Rightarrow k=1$. $k=1$ ને $2\lambda+3(1)=2$ માં મૂકતા,આપણને $2\lambda = -1 \Rightarrow \lambda = -1/2$ મળે છે.
$z$-યામ તપાસતા: $16(-1/2)+7 = -8+7 = -1$ અને $k-2 = 1-2 = -1$. તેઓ સમાન હોવાથી,છેદબિંદુ $P$ એ $(4(1)-3, 3(1)-2, 1-2) = (1, 1, -1)$ છે.
હવે,આપણે રેખા $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{1}$ થી $P(1, 1, -1)$ નું અંતર $l$ શોધીએ.
ધારો કે $A = (-1, 1, 1)$ રેખા પરનું એક બિંદુ છે અને $\vec{v} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ એ દિશા સદિશ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (1 - (-1))\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{k}$.
અંતર $l$ એ $l = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(2 - (-4)) + \hat{k}(6 - 0) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$.
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{36+36+36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2+3^2+1^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$.
$l = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{14}} \Rightarrow l^2 = \frac{36 \times 3}{14} = \frac{108}{14}$.
તેથી,$14l^2 = 108$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} 2+2x, & -1 \leq x < 0 \\ 1-\frac{x}{3}, & 0 \leq x \leq 3 \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} -x, & -3 \leq x \leq 0 \\ x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$.
આપણે $f(g(x))$ નો વિસ્તાર શોધવાનો છે.
કિસ્સો $1$: $-3 \leq x \leq 0$,ત્યારે $g(x) = -x$. કારણ કે $-3 \leq x \leq 0$,તેથી $0 \leq g(x) \leq 3$ મળે.
$0 \leq g(x) \leq 3$ માટે,$f(g(x)) = 1 - \frac{g(x)}{3} = 1 - \frac{-x}{3} = 1 + \frac{x}{3}$.
જેમ $x$ એ $-3$ થી $0$ સુધી બદલાય છે,તેમ $f(g(x))$ એ $1 + \frac{-3}{3} = 0$ થી $1 + \frac{0}{3} = 1$ સુધી બદલાય છે.
તેથી,આ ભાગ માટે વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
કિસ્સો $2$: $0 < x \leq 1$,ત્યારે $g(x) = x$. કારણ કે $0 < x \leq 1$,તેથી $0 < g(x) \leq 1$ મળે.
$0 < g(x) \leq 3$ માટે,$f(g(x)) = 1 - \frac{g(x)}{3} = 1 - \frac{x}{3}$.
જેમ $x$ એ $0$ થી $1$ સુધી બદલાય છે,તેમ $f(g(x))$ એ $1 - \frac{0}{3} = 1$ થી $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ સુધી બદલાય છે.
તેથી,આ ભાગ માટે વિસ્તાર $[\frac{2}{3}, 1)$ છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$f(g(x))$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ મળે છે.

(C) ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં $2$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ $2$ ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.
$2$ બેકી સંખ્યાના પ્રયત્નોમાં મળે તેનો અર્થ એ છે કે તે $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, \dots$ પ્રયત્નમાં મળે છે.
સંભાવના અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{11}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+5\vec{b}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{a}+5\vec{b} = \lambda\vec{c} \implies \vec{a} = \lambda\vec{c} - 5\vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{b}+6\vec{c}$ એ $\vec{a}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $\mu$ માટે $\vec{b}+6\vec{c} = \mu\vec{a}$.
$\vec{a}$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{b}+6\vec{c} = \mu(\lambda\vec{c} - 5\vec{b})$
$\vec{b}+6\vec{c} = \mu\lambda\vec{c} - 5\mu\vec{b}$
પદોને ગોઠવતા:
$(1+5\mu)\vec{b} + (6-\mu\lambda)\vec{c} = \vec{0}$.
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$1+5\mu = 0 \implies \mu = -\frac{1}{5}$.
$6-\mu\lambda = 0 \implies 6 - (-\frac{1}{5})\lambda = 0 \implies 6 + \frac{\lambda}{5} = 0 \implies \lambda = -30$.
હવે,$\lambda$ ની કિંમત $\vec{a}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{a} = -30\vec{c} - 5\vec{b} \implies \vec{a} + 5\vec{b} + 30\vec{c} = \vec{0}$.
આને $\vec{a} + \alpha\vec{b} + \beta\vec{c} = \vec{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 5$ અને $\beta = 30$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 5 + 30 = 35$.

(D) આપેલ સંકલન $y(x) = \int \frac{\frac{1}{\sin x} + \sin x}{\frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{\sin^3 x}{\cos x}} \, dx$ છે.
સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા:
$y(x) = \int \frac{\frac{1+\sin^2 x}{\sin x}}{\frac{1+\sin^4 x}{\sin x \cos x}} \, dx = \int \frac{(1+\sin^2 x) \cos x}{1+\sin^4 x} \, dx$.
ધારો કે $\sin x = t$,તેથી $\cos x \, dx = dt$.
$y(t) = \int \frac{1+t^2}{1+t^4} \, dt = \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 + \frac{1}{t^2}} \, dt = \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{(t - \frac{1}{t})^2 + 2} \, dt$.
ધારો કે $u = t - \frac{1}{t}$,તેથી $du = (1 + \frac{1}{t^2}) \, dt$.
$y(u) = \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}}\right) + C$.
જ્યારે $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t \rightarrow 1$,તેથી $u \rightarrow 0$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^-} y(x) = 0$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(0) + C = 0 \implies C = 0$.
જ્યારે $x = \frac{\pi}{4}$,ત્યારે $t = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$u = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \frac{1-2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{-1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ છે.
$(1 + \cos^2 x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} \right) y = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x}$ અને $Q(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx}$ છે.
ધારો કે $u = 1 + \cos^2 x$,તો $du = -2 \cos x \sin x dx = -\sin 2x dx$ થાય.
તેથી,$I.F. = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln(u)} = 1 + \cos^2 x$ મળે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y(1 + \cos^2 x) = \int \left( \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \right) (1 + \cos^2 x) dx = \int \sin x dx = -\cos x + C$.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ મુકતા,$y(1 + \cos^2 0) = -\cos 0 + C \implies 0(2) = -1 + C \implies C = 1$.
આમ,$y(1 + \cos^2 x) = 1 - \cos x$ મળે.
$x = \frac{\pi}{2}$ મુકતા,$y(1 + \cos^2 \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos \frac{\pi}{2} \implies y(1 + 0) = 1 - 0 \implies y = 1$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
લંબાઈઓ $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = 6$ છે.
ખૂણાનો દ્વિભાજક $OC$ એ $AB$ ને $|\vec{a}| : |\vec{b}| = 3 : 6 = 1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{1(\vec{b}) + 2(\vec{a})}{1+2} = \frac{(2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}) + 2(2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})}{3} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}}{3} = 2 \hat{i} + \frac{8}{3} \hat{j} + 2 \hat{k}$ મળે છે.
$OC$ ની લંબાઈ $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{136}}{3} = \frac{2 \sqrt{34}}{3}$ થાય.

(D) આપેલ છે $f(x) = 4\sqrt{2}x^3 - 3\sqrt{2}x - 1$ અંતરાલ $[\frac{1}{2}, 1]$ પર.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 12\sqrt{2}x^2 - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}(4x^2 - 1)$.
$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ માટે,$4x^2 \geq 1$,તેથી $f'(x) \geq 0$. આમ,$f(x)$ વધતું વિધેય છે.
અંતિમ બિંદુઓ તપાસો: $f(\frac{1}{2}) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{8}) - 3\sqrt{2}(\frac{1}{2}) - 1 = -\sqrt{2} - 1 < 0$.
$f(1) = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$.
$f(\frac{1}{2}) < 0$ અને $f(1) > 0$ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$[\frac{1}{2}, 1]$ માં બરાબર એક શૂન્ય છે. તેથી,$(I)$ સાચું છે.
$(II)$ માટે,$f(x) = 0$ લો: $\sqrt{2}(4x^3 - 3x) = 1 \Rightarrow 4x^3 - 3x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $x = \cos \theta$. તો $\cos(3\theta) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
$3\theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$.
આમ,$x = \cos \frac{\pi}{12}$ એ ઉકેલ છે. તેથી,$(II)$ સાચું છે.
તેથી,$(I)$ અને $(II)$ બંને સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & \beta & \alpha \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 1(\alpha^2 - \beta^2) - 0 + 0 = \alpha^2 - \beta^2$ થાય.
ગુણધર્મ $|kA| = k^n|A|$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$ છે,$|2A| = 2^3|A| = 8|A|$ મળે.
આપેલ છે કે $|2A|^3 = 2^{21}$,તેથી $(8|A|)^3 = 2^{21}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$8|A| = (2^{21})^{1/3} = 2^7 = 128$.
તેથી,$|A| = \frac{128}{8} = 16$.
હવે,$\alpha^2 - \beta^2 = 16$,જેને $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = 16$ તરીકે લખી શકાય.
જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ છે,$16$ ના અવયવો પાડતા $(\alpha-\beta, \alpha+\beta)$ ની શક્ય જોડીઓ $(2, 8), (4, 4)$ વગેરે મળે.
જો $(\alpha-\beta, \alpha+\beta) = (2, 8)$ હોય,તો સરવાળો કરતા $2\alpha = 10 \Rightarrow \alpha = 5$ મળે.
જો $(\alpha-\beta, \alpha+\beta) = (4, 4)$ હોય,તો સરવાળો કરતા $2\alpha = 8 \Rightarrow \alpha = 4$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\alpha$ ની કિંમત $5$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ છે. $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}) = (2, 1, 2)$ છે.
$\triangle PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(\frac{x_1+x_2-1}{3}, \frac{y_1+y_2+4}{3}, \frac{z_1+z_2+2}{3})$ છે.
$M$ પરથી કિંમતો મૂકતા,આપણને $G = (\frac{4-1}{3}, \frac{2+4}{3}, \frac{4+2}{3}) = (1, 2, 2)$ મળે છે.
રેખાઓનું છેદબિંદુ $A$ શોધવા માટે,ધારો કે $\frac{x-2}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z+3}{-1} = k_1$. તેથી $x = 2, y = 2k_1, z = -k_1-3$.
ધારો કે $\frac{x-1}{1} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z+1}{1} = k_2$. તેથી $x = k_2+1, y = -3k_2-3, z = k_2-1$.
$x$ ને સરખાવતા: $2 = k_2+1 \implies k_2 = 1$.
તેથી $y = -3(1)-3 = -6$ અને $z = 1-1 = 0$.
પ્રથમ રેખામાં ચકાસતા: $y = 2k_1 = -6 \implies k_1 = -3$. તેથી $z = -(-3)-3 = 0$. બિંદુ $A$ એ $(2, -6, 0)$ છે.
અંતર $AG = \sqrt{(2-1)^2 + (-6-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 64 + 4} = \sqrt{69}$.

(A) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ માટે,$ab - ba = 0$ થાય,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$(a, b) R (a, b)$ સત્ય છે. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $(a, b) R (c, d)$. તો $ad - bc = 5k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. આ સૂચવે છે કે $bc - ad = 5(-k)$,જે પણ $5$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$(c, d) R (a, b)$ સત્ય છે. આમ,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: $(3, 1) R (10, 5)$ લો કારણ કે $3(5) - 1(10) = 5$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે. તેમજ,$(10, 5) R (1, 1)$ કારણ કે $10(1) - 5(1) = 5$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે. જોકે,$(3, 1)$ અને $(1, 1)$ માટે,$3(1) - 1(1) = 2$ થાય,જે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી. તેથી,$(3, 1)$ એ $(1, 1)$ સાથે સંબંધિત નથી. આમ,$R$ પરંપરિત નથી.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( \frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x} + \frac{1+\sin^2 x}{1+e^{\sin x^{323}}} \right) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,
પ્રથમ પદ માટે,$\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x} + \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+\pi^{-x}} = x^2 \cos x$.
બીજા પદ માટે,$\sin x^{323}$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$g(x) + g(-x) = 1+\sin^2 x$.
તેથી,$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (x^2 \cos x + 1 + \sin^2 x) dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} (x^2 \cos x + 1 + \sin^2 x) dx$.
$I = \int_{0}^{\pi/2} x^2 \cos x dx + \int_{0}^{\pi/2} 1 dx + \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx$.
ગણતરી કરતા,$I = \frac{\pi^2}{4} - 2 + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{3\pi}{4} - 2 = \frac{\pi}{4}(\pi+3) - 2$.
સરખામણી કરતા,$a=3$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{(2^x + 2^{-x}) \tan x \sqrt{\tan^{-1}(x^2 - x + 1)}}{(7x^2 + 3x + 1)^3}$.
પ્રથમ,$f(0)$ ની ગણતરી કરો:
$f(0) = \frac{(2^0 + 2^0) \tan(0) \sqrt{\tan^{-1}(0-0+1)}}{(0+0+1)^3} = 0$.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{2^h + 2^{-h}}{(7h^2 + 3h + 1)^3} \cdot \frac{\tan h}{h} \cdot \sqrt{\tan^{-1}(h^2 - h + 1)} \right]$.
લક્ષ લેતા:
$f'(0) = 2 \times 1 \times \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\pi}$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એવો ચોરસ શ્રેણિક છે કે જેથી $AA^T = I$ થાય. $A$ ચોરસ શ્રેણિક હોવાથી,$AA^T = I$ નો અર્થ એ છે કે $A^TA = I$ પણ થાય.
હવે,પદ $\frac{1}{2} A[(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2]$ ને ધ્યાનમાં લો.
કૌંસની અંદરના વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A+A^T)^2 = A^2 + AA^T + A^TA + (A^T)^2 = A^2 + I + I + (A^T)^2 = A^2 + (A^T)^2 + 2I$.
$(A-A^T)^2 = A^2 - AA^T - A^TA + (A^T)^2 = A^2 - I - I + (A^T)^2 = A^2 + (A^T)^2 - 2I$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2 = (A^2 + (A^T)^2 + 2I) + (A^2 + (A^T)^2 - 2I) = 2A^2 + 2(A^T)^2$.
આ કિંમતને મૂળ પદમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} A[2A^2 + 2(A^T)^2] = A[A^2 + (A^T)^2] = A^3 + A(A^T)^2$.
કારણ કે $A(A^T) = I$,તેથી $A(A^T)^2 = (AA^T)A^T = I A^T = A^T$.
તેથી,પદનું સાદું રૂપ $A^3 + A^T$ મળે છે.

(D) $m$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = 2^x - x^2 = 0$ ના બીજની સંખ્યા શોધીએ છીએ,જે $2^x = x^2$ ને સમાન છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર $y = 2^x$ અને $y = x^2$ ત્રણ બિંદુઓ પર છેદે છે: એક ઋણ વિસ્તારમાં (ધારો કે $\alpha$),એક $x = 2$ પર,અને એક $x = 4$ પર. આમ,$m = 3$.
$n$ શોધવા માટે,આપણે $f'(x) = 2^x \ln 2 - 2x = 0$ ના બીજની સંખ્યા શોધીએ છીએ,જે $2^x \ln 2 = 2x$ ને સમાન છે.
$y = 2^x \ln 2$ અને $y = 2x$ ના આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ બે વક્ર બે બિંદુઓ પર છેદે છે. આમ,$n = 2$.
તેથી,$m + n = 3 + 2 = 5$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)(1+\ln x) dx + x dy = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{1+\ln x}{x} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$.
આનું સાદું રૂપ $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \tan^{-1} y = C$ થાય છે.
વક્ર $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા: $\ln(1) + \frac{(\ln 1)^2}{2} + \tan^{-1}(1) = C$,જે $0 + 0 + \frac{\pi}{4} = C$ આપે છે,તેથી $C = \frac{\pi}{4}$.
વક્રનું સમીકરણ $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$ છે.
$x=e$ માટે,$\ln(e) + \frac{(\ln e)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે $1 + \frac{1}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$\tan^{-1} y = \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}$,તેથી $y = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan(3/2)}{1 + \tan(\pi/4)\tan(3/2)} = \frac{1 - \tan(3/2)}{1 + \tan(3/2)}$.
આને $y(e) = \frac{\alpha - \tan(3/2)}{\beta + \tan(3/2)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta = 1 + 2(1) = 3$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=13^2$ છે અને રેખા $y=5x-13$ છે. છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+(5x-13)^2=169 \implies x^2+25x^2-130x+169=169 \implies 26x^2-130x=0 \implies 26x(x-5)=0$. તેથી,$x=0$ (જેથી $y=-13$) અને $x=5$ (જેથી $y=12$).
રેખા $y=5x-13$ ની નીચે અને વર્તુળની અંદરનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ચાપ અને રેખાખંડ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં $0$ થી $5$ સુધી સંકલન કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{5} (\sqrt{169-x^2} - (5x-13)) dx$
$= \int_{0}^{5} \sqrt{13^2-x^2} dx - \int_{0}^{5} (5x-13) dx$
$= [\frac{x}{2}\sqrt{169-x^2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{13})]_0^5 - [\frac{5x^2}{2}-13x]_0^5$
$= (\frac{5}{2}\sqrt{144} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})) - (\frac{125}{2}-65)$
$= 30 + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \frac{5}{2} = \frac{65}{2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})$.
$\sin^{-1}(\frac{5}{13}) = \cos^{-1}(\frac{12}{13}) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{65}{2} + \frac{169}{2}(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})) = \frac{169\pi}{4} - \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{12}{13}) + \frac{65}{2}$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=169, \beta=2$ મળે છે. $\gcd(169, 2)=1$ હોવાથી,$\alpha+\beta = 169+2 = 171$.