JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $81^{\sin^2 x} + 81^{\cos^2 x} = 30$.
ધારો કે $u = 81^{\sin^2 x}$. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ હોવાથી,સમીકરણ $u + \frac{81}{u} = 30$ બને છે.
$u^2 - 30u + 81 = 0$ ને ઉકેલતા,$(u - 27)(u - 3) = 0$ મળે.
તેથી,$u = 27$ અથવા $u = 3$.
કિસ્સો $1$: $81^{\sin^2 x} = 27 \implies 4 \sin^2 x = 3 \implies \sin^2 x = 3/4 \implies x = \pi/3$ અથવા $2\pi/3$.
કિસ્સો $2$: $81^{\sin^2 x} = 3 \implies 4 \sin^2 x = 1 \implies \sin^2 x = 1/4 \implies x = \pi/6$ અથવા $5\pi/6$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\pi/6$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સમીકરણ $(|x|-3)|x+4|=6$ ઉકેલીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = |x|-3$ અને $g(x) = \frac{6}{|x+4|}$.
આપણે $y = |x|-3$ અને $y = \frac{6}{|x+4|}$ ના આલેખના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધીએ છીએ.
$y = |x|-3$ નો આલેખ $(0, -3)$ પર શિરોબિંદુ અને $x = 3$ તથા $x = -3$ પર $x$-અંત:ખંડ ધરાવતો $V$-આકારનો વક્ર છે.
$y = \frac{6}{|x+4|}$ નો આલેખ $x = -4$ પર શિરોલંબ અનંતસ્પર્શક ધરાવતો વક્ર છે અને તે હંમેશા ધન હોય છે.
આલેખનું અવલોકન કરતા,વક્ર $y = |x|-3$ એ $y = \frac{6}{|x+4|}$ ને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે: એક $(3, \infty)$ અંતરાલમાં અને બીજું $(-\infty, -4)$ અંતરાલમાં.
તેથી,ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$
$\Rightarrow \log_{10}(\sin x \cos x) = -1$
$\Rightarrow \sin x \cos x = 10^{-1} = \frac{1}{10} \quad ....(1)$
બીજા સમીકરણ પરથી: $\log_{10}(\sin x + \cos x) = \frac{1}{2}(\log_{10} n - \log_{10} 10) = \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{n}{10}\right) = \log_{10} \sqrt{\frac{n}{10}}$
$\Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{\frac{n}{10}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin x + \cos x)^2 = \frac{n}{10}$
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{n}{10}$
$1 + 2 \left(\frac{1}{10}\right) = \frac{n}{10}$
$1 + \frac{1}{5} = \frac{n}{10}$
$\frac{6}{5} = \frac{n}{10}$
$n = \frac{6 \times 10}{5} = 12$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 2x$ છે. તેને $y^{2} = 4Ax$ સાથે સરખાવતા,$4A = 2$ મળે,તેથી $A = 1/2$.
પરવલય $y^{2} = 4Ax$ માટે,કોઈપણ બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ પરનો અભિલંબ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય જો $a > 2A$ હોય.
$A$ ની કિંમત મૂકતા:
$a > 2 \times (1/2)$
$a > 1$.
આમ,ત્રણ ભિન્ન અભિલંબ બિંદુ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય તે માટે $a$ ની કિંમત $1$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ.

(D) 'Tautology' એ એક એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે સાચું હોય છે. આપણે $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ પદાવલિ માટે સત્યતા કોષ્ટક તપાસીએ:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$p \rightarrow q$	$(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

છેલ્લી કોલમમાં માત્ર $T$ (સત્ય) હોવાથી,$(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ એ 'tautology' છે.

(B) આપેલ અસમતા: $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \right) \leq 2$.
અહીં આધાર $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$\frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \geq \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$2(|z|+11) \geq (|z|-1)^2$.
$2|z| + 22 \geq |z|^2 - 2|z| + 1$.
પદોને ગોઠવતા:
$|z|^2 - 4|z| - 21 \leq 0$.
અવયવ પાડતા:
$(|z|-7)(|z|+3) \leq 0$.
$|z| \geq 0$ હોવાથી,$|z|+3 > 0$,તેથી $|z|-7 \leq 0$,જેનો અર્થ છે $|z| \leq 7$.
$|z| \neq 1$ આપેલ હોવાથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $7$ છે.

(A) $(3^{1/4} + 5^{1/8})^{60}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{60}C_r (3^{1/4})^{60-r} (5^{1/8})^r = {}^{60}C_r (3)^{(60-r)/4} (5)^{r/8}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$3$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ જેથી $0 \leq r \leq 60$ થાય.
$r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56$ છે.
કુલ $8$ સંમેય પદો છે.
વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $60 + 1 = 61$ છે.
તેથી,અસંમેય પદોની સંખ્યા $n = 61 - 8 = 53$ છે.
આપણે $(n - 1) = 53 - 1 = 52$ માટે વિભાજ્યતા તપાસવાની છે.
કારણ કે $52 = 26 \times 2$,તેથી $(n - 1)$ એ $26$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=25$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $xh+yk=h^{2}+k^{2}$ છે.
આ રેખા અતિવલય $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ ને સ્પર્શે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે.
અહીં $m=-\frac{h}{k}$ અને $c=\frac{h^{2}+k^{2}}{k}$ લેતા,આપણને $(h^{2}+k^{2})^{2} = 9h^{2}-16k^{2}$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $(x^{2}+y^{2})^{2}-9x^{2}+16y^{2}=0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$.
$\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ હોવાથી,$(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{1 - \sin ^{2} x} = 30$.
$(81)^{\sin ^{2} x} + \frac{81}{(81)^{\sin ^{2} x}} = 30$.
ધારો કે $t = (81)^{\sin ^{2} x}$. તેથી $t + \frac{81}{t} = 30$,જે $t^{2} - 30t + 81 = 0$ આપે છે.
$(t - 3)(t - 27) = 0$,તેથી $t = 3$ અથવા $t = 27$.
કિસ્સો $1$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{1} \implies 4 \sin ^{2} x = 1 \implies \sin ^{2} x = \frac{1}{4}$.
$[0, \pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -\frac{1}{2}$. $[0, \pi]$ માં $\sin x \ge 0$ હોવાથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ ઉકેલો).
કિસ્સો $2$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{3} \implies 4 \sin ^{2} x = 3 \implies \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$.
$[0, \pi]$ માં,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $[0, \pi]$ માં $\sin x \ge 0$ હોવાથી,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ ($2$ ઉકેલો).
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $2 + 2 = 4$.

(A) સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ $4$ થી શરૂ થવી જોઈએ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ હોવો જોઈએ,તેથી પદો $4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192$ છે. પછીનું પદ $16384$ એ પાંચ અંકની સંખ્યા છે.
સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ $11$ થી શરૂ થવી જોઈએ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5$ હોવો જોઈએ (કારણ કે $16-11=5, 21-16=5, 26-21=5$),તેથી પદો $11, 16, 21, 26, 31, \dots, a_n = 11 + (n-1)5$ છે.
આપણે $GP$ માં એવા પદો શોધીએ છીએ જે $AP$ માં પણ હોય. પદ $x$ એ $AP$ માં હોય જો $x \equiv 1 \pmod{5}$ હોય.
$GP$ ના પદો તપાસતા:
$16 \equiv 1 \pmod{5}$ (સામાન્ય)
$256 \equiv 1 \pmod{5}$ (સામાન્ય)
$4096 \equiv 1 \pmod{5}$ (સામાન્ય)
સામાન્ય પદો $16, 256, 4096$ છે. આવા $3$ પદો છે.

(C) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,અને $D(0,1)$ છે.
વર્તુળ $C_{1}$ નું કેન્દ્ર $A(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C_{2}$ નું કેન્દ્ર $(r,r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે કારણ કે તે $AD$ $(x=0)$ અને $AB$ $(y=0)$ ને સ્પર્શે છે.
વર્તુળ $C_{2}$ એ $C_{1}$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $\sqrt{r^2 + r^2} = 1 + r$.
$\sqrt{2}r = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \sqrt{2}+1$. પરંતુ વર્તુળ ચોરસની અંદર હોવાથી $r = \sqrt{2}-1$ લેવું પડે.
$C_{2}$ નું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ છે જ્યાં $r = \sqrt{2}-1$.
બિંદુ $C(1,1)$ માંથી પસાર થતી $m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y-1 = m(x-1)$ અથવા $mx - y + (1-m) = 0$ છે.
આ રેખા $C_{2}$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,$(r,r)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $r$ થાય:
$\frac{|mr - r + 1 - m|}{\sqrt{m^2+1}} = r \Rightarrow |(m-1)(r-1) + 1| = r\sqrt{m^2+1}$.
$r = \sqrt{2}-1$ મૂકતા,$r-1 = \sqrt{2}-2$.
$|(m-1)(\sqrt{2}-2) + 1| = (\sqrt{2}-1)\sqrt{m^2+1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને $m$ માટે ઉકેલતા $m = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
સ્પર્શક $AB$ ને $E$ માં મળે તે માટે $m = -(2+\sqrt{3})$ અથવા ભૂમિતિ મુજબ યોગ્ય કિંમત લેતા,$y-1 = m(x-1)$ માં $y=0$ મૂકતા $x = 1 - \frac{1}{m}$ મળે.
$m = -(2+\sqrt{3})$ માટે,$x = 1 - \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = 3-\sqrt{3}$.
$EB = 1 - x = 1 - (3-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$ (આ સ્વરૂપમાં નથી). બીજો સ્પર્શક લેતા $EB = 2-\sqrt{3}$ મળે.
આમ $\alpha = 2, \beta = -1$. તેથી $\alpha+\beta = 2-1 = 1$.

(D) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ae^{x}-b \cos x + ce^{-x}}{x \sin x} = 2.$
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} + \dots$
અંશમાં કિંમતો મૂકતા:
$(a - b + c) + (a - c)x + (\frac{a+b+c}{2})x^2 + \dots = 0$
તેથી,$a - b + c = 0$ અને $a - c = 0 \Rightarrow a = c$.
$b = 2a$ મળતા,લક્ષ $\frac{a+b+c}{2} = 2$ થાય.
તેથી,$a + b + c = 4$.

(C) આપેલ છે કે $\left| \frac{z+i}{z-3i} \right| = 1$, તેથી $|z+i| = |z-3i|$.
આ સંકર સમતલ પર $-i$ અને $3i$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક દર્શાવે છે, જે રેખા $\operatorname{Im}(z) = 1$ છે.
ધારો કે $z = x + i$, જ્યાં $x \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે $w = z \bar{z} - 2z + 2$, $z = x + i$ મૂકતા:
$w = (x+i)(x-i) - 2(x+i) + 2$
$w = (x^2 + 1) - 2x - 2i + 2$
$w = (x^2 - 2x + 3) - 2i$.
આમ, $\operatorname{Re}(w) = x^2 - 2x + 3$.
$\operatorname{Re}(w)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે, $x = 1$ લેતા.
$x = 1$ પર, $\operatorname{Re}(w) = 1 - 2 + 3 = 2$.
તેથી $w = 2 - 2i = 2(1 - i) = 2\sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
$w^n$ વાસ્તવિક હોય તે માટે, $w^n$ નો કોણાંક $\pi$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$\operatorname{arg}(w^n) = n \times (-\pi/4) = -n\pi/4$.
આ $k\pi$ થાય તે માટે, $n/4$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી $n \in N$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $4$ છે.

(B) પરિકેન્દ્ર $O$ એ ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ છે.
આપણને $PR$ નો લંબદ્વિભાજક $L_1: 2x - y + 2 = 0$ આપેલ છે.
હવે,આપણે $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક શોધીએ.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{-2+4}{2}, \frac{4-2}{2}) = (1, 1)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{-2-4}{4-(-2)} = \frac{-6}{6} = -1$ છે.
$PQ$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{PQ}} = 1$ છે.
$PQ$ ના લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય છે.
પરિકેન્દ્ર $O$ એ $2x - y + 2 = 0$ અને $x - y = 0$ નું છેદબિંદુ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા: $2x - x + 2 = 0 \implies x = -2$.
$y = x$ હોવાથી,$y = -2$ મળે છે.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(-2, -2)$ છે.

(A) આપેલ છે કે પદાવલિ $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (q * (\sim p))$ એ નિત્યસત્ય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q$.
$(p \Rightarrow q)$ ની સરખામણી $(q * (\sim p))$ સાથે કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કારક $*$ એ વિયોજન (disjunction) કારક $\vee$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$p * (\sim q) \equiv p \vee (\sim q)$.
ગર્ભિતાર્થ (implication) ના નિયમ $\sim a \vee b \equiv a \Rightarrow b$ નો ઉપયોગ કરતા,$p \vee (\sim q) \equiv \sim q \vee p \equiv q \Rightarrow p$.
તેથી,$p * (\sim q) \equiv q \Rightarrow p$.

(B) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે પરિણામો $(x, y)$ છે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$.
આપણે સરવાળો $x + y \leq 8$ જોઈએ છે.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
જો $x=1$,તો $y \in \{1, 2, 3, 5, 7\}$ ($5$ પરિણામો).
જો $x=2$,તો $y \in \{1, 2, 3, 5\}$ ($4$ પરિણામો).
જો $x=3$,તો $y \in \{1, 2, 3, 5\}$ ($4$ પરિણામો).
જો $x=5$,તો $y \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ પરિણામો).
જો $x=7$,તો $y \in \{1\}$ ($1$ પરિણામ).
જો $x=11$,તો કોઈ $y$ શરત સંતોષતું નથી.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 5 + 4 + 4 + 3 + 1 = 17$.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{17}{36}$.

(A) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ છે.
ચોથા પદ $(T_4)$ માટે,$r=3$ લેતા:
$T_4 = {}^{7}C_{3} (x)^{7-3} (x^{\log_{2} x})^{3} = 4480$.
${}^{7}C_{3} = 35$ હોવાથી:
$35 \cdot x^{4} \cdot x^{3 \log_{2} x} = 4480$.
$35$ વડે ભાગતા:
$x^{4 + 3 \log_{2} x} = 128 = 2^{7}$.
ધારો કે $t = \log_{2} x$,તો $x = 2^t$. સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2^t)^{4 + 3t} = 2^{7} \Rightarrow t(4 + 3t) = 7$.
$3t^{2} + 4t - 7 = 0$.
$(3t + 7)(t - 1) = 0$.
તેથી,$t = 1$ અથવા $t = -7/3$.
જો $t = 1$,તો $\log_{2} x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$.
$x \in N$ હોવાથી,$x = 2$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રણ રમતો રમતા વિદ્યાર્થીઓના ત્રણ ગણ $A$,$B$,અને $C$ છે.
સમસ્યા મુજબ,કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ બે રમતો રમે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બે ગણનો છેદ ખાલી નથી (એટલે કે,$A \cap B \neq \emptyset$,$B \cap C \neq \emptyset$,$A \cap C \neq \emptyset$).
જોકે,કોઈ પણ વિદ્યાર્થી ત્રણેય રમતો રમતું નથી,જેનો અર્થ છે કે ત્રણેય ગણનો છેદ ખાલી હોવો જોઈએ (એટલે કે,$A \cap B \cap C = \emptyset$).
આકૃતિ $P$ માં,માત્ર બે જ ગણ છે,તેથી તે ત્રણ રમતોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી નથી.
આકૃતિ $Q$ માં,ત્રણ વર્તુળો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે એક કેન્દ્રીય પ્રદેશ છે જ્યાં ત્રણેય ઓવરલેપ થાય છે,એટલે કે $A \cap B \cap C \neq \emptyset$.
આકૃતિ $R$ માં,ત્રણ વર્તુળો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે ત્રણેય દ્વારા વહેંચાયેલ કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ નથી,એટલે કે $A \cap B \cap C = \emptyset$,જ્યારે વર્તુળોની જોડી હજુ પણ ઓવરલેપ થાય છે.
તેથી,માત્ર આકૃતિ $R$ વિધાનને ન્યાયી ઠેરવે છે. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(z)$,$B(iz)$,અને $C(z+iz)$ છે.
આ ત્રિકોણ ઉગમબિંદુ $O(0)$,બિંદુ $P(z)$,અને બિંદુ $Q(iz)$ દ્વારા રચાય છે.
$iz$ એ $z$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ $90^{\circ}$ ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે,તેથી સદિશો $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ પરસ્પર લંબ છે અને તેમનું માન $|z|$ સમાન છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |z| \times |iz| = \frac{1}{2}|z|^2$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $x - 2y = 4$ પર હોવાથી,$h - 2k = 4$,એટલે કે $k = \frac{h - 4}{2}$.
તેથી,કેન્દ્ર $O(h, \frac{h - 4}{2})$ છે.
રેખા $2x - y + 1 = 0$ એ બિંદુ $A(2, 5)$ આગળ સ્પર્શક છે. ત્રિજ્યા $OA$ એ સ્પર્શકને લંબ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
ત્રિજ્યા $OA$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{\frac{h - 4}{2} - 5}{h - 2} = \frac{h - 14}{2(h - 2)}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,$2 \times \frac{h - 14}{2(h - 2)} = -1$.
$\frac{h - 14}{h - 2} = -1 \implies h - 14 = -h + 2 \implies 2h = 16 \implies h = 8$.
તેથી $k = \frac{8 - 4}{2} = 2$.
કેન્દ્ર $(8, 2)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(8, 2)$ અને $(2, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$.

(C) ટીમ $A$ અને ટીમ $B$ ના છોકરાઓ વચ્ચેની મેચોની સંખ્યા:
$7 \times 4 = 28$
ટીમ $A$ અને ટીમ $B$ ની છોકરીઓ વચ્ચેની મેચોની સંખ્યા:
$n \times 6 = 6n$
કુલ મેચોની સંખ્યા:
$28 + 6n = 52$
બંને બાજુથી $28$ બાદ કરતા:
$6n = 52 - 28$
$6n = 24$
$6$ વડે ભાગતા:
$n = 4$

(A) ધારો કે $y = 4+\frac{1}{5+\frac{1}{4+\frac{1}{5+\ldots}}}$.
અહીં પદનું પુનરાવર્તન થાય છે: $y = 4+\frac{1}{5+\frac{1}{y}}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $y - 4 = \frac{y}{5y+1}$.
ગુણાકાર કરતા: $(y-4)(5y+1) = y$.
$5y^2 - 20y - 4 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{20 \pm \sqrt{480}}{10}$.
$y > 0$ હોવાથી,$y = \frac{20 + \sqrt{480}}{10} = 2 + \frac{2}{5}\sqrt{30}$.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_{1} = (5, 5)$,ત્રિજ્યા $r_{1} = 3$.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-16x-10y+80=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_{2} = (8, 5)$,ત્રિજ્યા $r_{2} = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 3$ છે.
અહીં $d = r_{1} = r_{2} = 3$ હોવાથી,દરેક વર્તુળ બીજાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આથી,વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે કેન્દ્રો એકબીજાના પરિઘ પર છે,અંદર નહીં.

(D) $x \in (0, 1)$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x] = 0$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(x-0) \cdot \sin ^{-1}(x-0)}{x(1-x^2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \left( \frac{\cos ^{-1} x}{1-x^2} \cdot \frac{\sin ^{-1} x}{x} \right)$
જેમ $x \rightarrow 0^{+}$,તેમ $\cos ^{-1} x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$1-x^2 \rightarrow 1$,અને $\frac{\sin ^{-1} x}{x} \rightarrow 1$ થાય.
તેથી,લક્ષની કિંમત $\frac{\pi}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$ મળે.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_{1} = (5, 5)$,ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{5^{2}+5^{2}-41} = \sqrt{25+25-41} = \sqrt{9} = 3$.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-24x-10y+160=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_{2} = (12, 5)$,ત્રિજ્યા $r_{2} = \sqrt{12^{2}+5^{2}-160} = \sqrt{144+25-160} = \sqrt{9} = 3$.
કેન્દ્રો $C_{1}$ અને $C_{2}$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(12-5)^{2}+(5-5)^{2}} = \sqrt{7^{2}+0^{2}} = 7$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d - (r_{1} + r_{2}) = 7 - (3 + 3) = 7 - 6 = 1$ છે.

(C) આપણે $(2021)^{3762}$ ને $17$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$2021 = 2023 - 2$ લખી શકાય,જ્યાં $2023 = 17 \times 119$ છે.
તેથી,$(2021)^{3762} = (2023 - 2)^{3762} \equiv (-2)^{3762} \pmod{17}$.
$(-2)^{3762} = 2^{3762} = (2^4)^{940} \times 2^2 = 16^{940} \times 4$.
$16 \equiv -1 \pmod{17}$ હોવાથી,$16^{940} \equiv (-1)^{940} \equiv 1 \pmod{17}$.
આમ,$2^{3762} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{17}$.
શેષ $4$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $y = mx + 1$ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત પહેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$(3 + 4m)x = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $(3 + 4m)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $5$ ના ભાજકો $\{1, -1, 5, -5\}$ છે.
કિસ્સો $1$: $3 + 4m = 1$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -0.5$ (પૂર્ણાંક નથી)
કિસ્સો $2$: $3 + 4m = -1$ $\Rightarrow 4m = -4$ $\Rightarrow m = -1$ (પૂર્ણાંક છે)
કિસ્સો $3$: $3 + 4m = 5$ $\Rightarrow 4m = 2$ $\Rightarrow m = 0.5$ (પૂર્ણાંક નથી)
કિસ્સો $4$: $3 + 4m = -5$ $\Rightarrow 4m = -8$ $\Rightarrow m = -2$ (પૂર્ણાંક છે)
$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-1, -2\}$ છે.
આમ,$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ છે $(1+x+2x^2)^{20} = \sum_{k=0}^{40} a_k x^k$.
$f(x) = (1+x+2x^2)^{20}$ લો.
$f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{40} = (1+1+2)^{20} = 4^{20} = 2^{40}$.
$f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{40} = (1-1+2)^{20} = 2^{20}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $f(1) - f(-1) = 2(a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) = 2^{40} - 2^{20}$.
તેથી,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{39} = \frac{2^{40} - 2^{20}}{2} = 2^{39} - 2^{19}$.
આપણને $a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = (a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) - a_{39}$ જોઈએ છે.
$a_{39}$ શોધવા માટે,$(1+x+2x^2)^{20}$ માં $x^{39}$ નો સહગુણક શોધો.
બહુપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$a_{39} = \frac{20!}{0! 1! 19!} (1)^0 (1)^1 (2)^{19} = 20 \times 2^{19}$.
આમ,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = 2^{39} - 2^{19} - 20 \times 2^{19} = 2^{39} - 21 \times 2^{19} = 2^{19}(2^{20} - 21)$.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ માટે:
કેન્દ્ર $A = (5, 5)$,ત્રિજ્યા $R_{1} = \sqrt{5^{2}+5^{2}-41} = \sqrt{9} = 3$.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-22x-10y+137=0$ માટે:
કેન્દ્ર $B = (11, 5)$,ત્રિજ્યા $R_{2} = \sqrt{11^{2}+5^{2}-137} = \sqrt{9} = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(11-5)^{2}+(5-5)^{2}} = 6$.
અહીં $AB = R_{1} + R_{2} = 3 + 3 = 6$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
તેથી,વર્તુળોને માત્ર એક જ સામાન્ય બિંદુ છે.

(A) ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખા $(1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 1)$ છે.
આપેલ રેખા $y = 3\sqrt{2}x - 1$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = 3\sqrt{2}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\sqrt{2} = \left| \frac{m - 3\sqrt{2}}{1 + 3\sqrt{2}m} \right|$.
કિસ્સો $1$: $m = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$.
કિસ્સો $2$: $m = \frac{2\sqrt{2}}{7}$.
$m = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$ લેતા,રેખાનું સમીકરણ $4\sqrt{2}x + 5y - (15 + 4\sqrt{2}) = 0$ મળે છે.

(D) કોઓર્ડિનેટ અક્ષોના પરિભ્રમણ હેઠળ સદિશનું માન અપરિવર્તિત રહે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a}_{Old} = (3p, 1)$ અને $\vec{a}_{New} = (p+1, \sqrt{10})$.
માનના વર્ગને સરખાવતા:
$|\vec{a}_{Old}|^2 = |\vec{a}_{New}|^2$
$(3p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + (\sqrt{10})^2$
$9p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 10$
$8p^2 - 2p - 10 = 0$
$4p^2 - p - 5 = 0$
$(4p - 5)(p + 1) = 0$
આમ,$p = \frac{5}{4}$ અથવા $p = -1$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી કિંમત $-1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $a|z|^2 + \overline{\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}} + d = 0$ છે.
કારણ કે $\overline{\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}} = \alpha\bar{z} + \bar{\alpha}z$,સમીકરણ $az\bar{z} + \bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} + d = 0$ બને છે.
$a$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને),આપણને $z\bar{z} + \frac{\bar{\alpha}}{a}z + \frac{\alpha}{a}\bar{z} + \frac{d}{a} = 0$ મળે છે.
આ વર્તુળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $z\bar{z} + \bar{\beta}z + \beta\bar{z} + c = 0$ છે,જ્યાં $\beta = \frac{\alpha}{a}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{|\beta|^2 - c} = \sqrt{\left|\frac{\alpha}{a}\right|^2 - \frac{d}{a}} = \sqrt{\frac{|\alpha|^2 - ad}{a^2}}$.
વર્તુળ માટે ત્રિજ્યા વાસ્તવિક અને ધન હોવી જોઈએ,તેથી $|\alpha|^2 - ad > 0$ અને $a \neq 0$.

(B) વર્તુળોના કેન્દ્રો નીચે મુજબ છે:
વર્તુળ $M: (0, 0)$
વર્તુળ $N: (1, 0)$
વર્તુળ $O: (1, 1)$
વર્તુળ $P: (0, 1)$
બાજુઓની લંબાઈ:
$MN = 1, NO = 1, OP = 1, PM = 1$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી અને પાસપાસેની બાજુઓ કાટખૂણે હોવાથી,આ આકૃતિ ચોરસ છે.

(B) ધારો કે સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{99} (100-k)(100+k)$ છે.
$S = \sum_{k=0}^{99} (100^2 - k^2) = \sum_{k=0}^{99} 100^2 - \sum_{k=0}^{99} k^2$.
અહીં $100$ પદો છે ($k=0$ થી $99$ સુધી):
$S = 100(100^2) - \frac{99(99+1)(2 \times 99 + 1)}{6} = 100^3 - \frac{99 \times 100 \times 199}{6}$.
$S = 1000000 - 33 \times 50 \times 199 = 1000000 - 328350 = 671650$.
આપેલ છે કે $100^{\alpha} - 199\beta = 671650$.
જો $\alpha = 3$ લઈએ,તો $100^3 - 199\beta = 671650 \implies 1000000 - 671650 = 199\beta$.
$328350 = 199\beta \implies \beta = \frac{328350}{199} = 1650$.
આમ,બિંદુ $(3, 1650)$ મળે છે.
$(3, 1650)$ અને $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{1650 - 0}{3 - 0} = 550$ થાય.

(B) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_n = \frac{1}{(2n+1)^2 - 1}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, \ldots, 100$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $(2n+1)^2 - 1 = (2n)(2n+2) = 4n(n+1)$.
તેથી,$T_n = \frac{1}{4n(n+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{100} T_n = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{101} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{100}{101} \right) = \frac{25}{101}$.

(A) આપેલ અંકો $1, 2, 2, 3$ છે. કુલ અલગ $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $\frac{4!}{2!} = 12$ છે.
દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર દરેક અંક કેટલી વાર આવે છે તે શોધીએ:
- અંક $1$: $\frac{3!}{2!} = 3$ વાર.
- અંક $2$: $\frac{3!}{1!} = 6$ વાર.
- અંક $3$: $\frac{3!}{2!} = 3$ વાર.
કોઈપણ સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $= (1 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 3 + 12 + 9 = 24$.
કુલ $4$ સ્થાન હોવાથી,કુલ સરવાળો $= 24 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 24 \times 1111 = 26664$ થાય.

(A) ધારો કે $x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\ldots \infty}}}}$
તેથી,$x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{x}}=3+\frac{x}{4x+1}$
$\Rightarrow x-3=\frac{x}{4x+1}$
$\Rightarrow (x-3)(4x+1)=x$
$\Rightarrow 4x^2+x-12x-3=x$
$\Rightarrow 4x^2-12x-3=0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x=\frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2-4(4)(-3)}}{2(4)}$
$x=\frac{12 \pm \sqrt{144+48}}{8}=\frac{12 \pm \sqrt{192}}{8}$
$x=\frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{3} = 1.5 \pm \sqrt{3}$
$x > 0$ હોવાથી,$x=1.5+\sqrt{3}$ મળે.

(B) $1$ થી $1000$ સુધીની સંખ્યાઓમાં અંક $3$ કેટલી વાર આવે છે તે શોધવા માટે,આપણે બધી સંખ્યાઓને $3$-અંકની સંખ્યા તરીકે ગણીએ છીએ ($1$ થી $999$ ને $001$ થી $999$ તરીકે અને $1000$ ને અલગથી).
કોઈપણ સ્થાન (એકમ,દશક અથવા સો) માટે,જો આપણે અંક $3$ ને નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના બે સ્થાનો $10$ અંકો $(0-9)$ માંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે.
એકમના સ્થાન પર $3$ આવે તેવી સંખ્યા: $10 \times 10 = 100$.
દશકના સ્થાન પર $3$ આવે તેવી સંખ્યા: $10 \times 10 = 100$.
સોના સ્થાન પર $3$ આવે તેવી સંખ્યા: $10 \times 10 = 100$.
કુલ સંખ્યા = $100 + 100 + 100 = 300$.
સંખ્યા $1000$ માં અંક $3$ નથી,તેથી કુલ ગણતરી $300$ રહે છે.

(C) ધારો કે દરેક ચરણમાં બહારની સંખ્યાઓ $(a, b)$ છે અને અંદરની સંખ્યા $k$ છે. પેટર્ન $k = (a - b)^{n!}$ છે,જ્યાં $n$ એ ચરણ સાથે સંબંધિત સૂચકાંક છે.
પ્રથમ ચરણ માટે: $(2 - 1)^{1!} = 1^{1} = 1$.
બીજા ચરણ માટે: $(12 - 8)^{4!} = 4^{24}$.
ત્રીજા ચરણ માટે: $(7 - 4)^{3!} = 3^{6}$.
ચોથા ચરણ માટે: $(5 - 3)^{2!} = 2^{2} = 4$.
આમ,ખૂટતી કિંમત $4$ છે.

(B) ઉગમબિંદુ $(0)$,$z_{1}$ અને $z_{2}$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તે માટેની શરત છે:
$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = z_{1}z_{2}$
બંને બાજુ $2z_{1}z_{2}$ ઉમેરતા,આપણને મળે:
$(z_{1} + z_{2})^{2} = 3z_{1}z_{2}$
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $z^{2} + az + 12 = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $z_{1} + z_{2} = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $z_{1}z_{2} = 12$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$(-a)^{2} = 3(12)$
$a^{2} = 36$
$|a| = 6$

(B) ધારો કે $25$ શિક્ષકોની ઉંમરનો સરવાળો $\sum x_i$ છે.
આપેલ છે કે,$\frac{\sum x_i}{25} = 40$,તેથી $\sum x_i = 1000$.
ધારો કે નવા નિમણૂક પામેલા શિક્ષકની ઉંમર $N$ છે.
$60$ વર્ષના શિક્ષકની નિવૃત્તિ અને નવા શિક્ષકની નિમણૂક પછી,ઉંમરનો નવો સરવાળો $\sum x_i - 60 + N$ થાય છે.
હવે $25$ શિક્ષકોની સરેરાશ ઉંમર $39$ વર્ષ છે.
$\frac{1000 - 60 + N}{25} = 39$
$940 + N = 39 \times 25$
$940 + N = 975$
$N = 975 - 940 = 35$.
આમ,નવા નિમણૂક પામેલા શિક્ષકની ઉંમર $35$ વર્ષ છે.

(D) વક્ર $x^{2}y^{2}=1$ છે,જેનો અર્થ છે $xy=1$ અથવા $xy=-1$. ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(t_1, 1/t_1)$,$B(t_2, -1/t_2)$,$C(-t_1, -1/t_1)$,અને $D(-t_2, 1/t_2)$ છે.
$ABCD$ ચોરસ હોવાથી,$AB$ નું મધ્યબિંદુ વક્ર $xy=1$ અથવા $xy=-1$ પર હોવું જોઈએ. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{t_1+t_2}{2}, \frac{1/t_1 - 1/t_2}{2})$ છે.
$M$ એ $xy=1$ પર હોય તે માટે,$(\frac{t_1+t_2}{2})(\frac{t_2-t_1}{2t_1t_2}) = 1$,જેનું સાદું રૂપ $t_2^2 - t_1^2 = 4t_1t_2$ થાય છે.
વળી,$AB$ નો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ. $AB$ નો ઢાળ $\frac{-1/t_2 - 1/t_1}{t_2 - t_1} = -1$ છે,જેનો અર્થ છે $t_1+t_2 = t_1t_2(t_2-t_1)$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $t_1t_2 = 1$ અને $t_2^2 - t_1^2 = 4$ મળે છે. તેથી $t_2^2 + t_1^2 = \sqrt{4^2 + 4(1)^2} = 2\sqrt{5}$.
બાજુની લંબાઈનો વર્ગ $AB^2 = (t_2-t_1)^2 + (-1/t_2 - 1/t_1)^2 = 4\sqrt{5}$.
$ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= AB^2 = 4\sqrt{5}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(4\sqrt{5})^2 = 80$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $|\cot x| = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $\cot x \ge 0$ હોય,તો $|\cot x| = \cot x$. સમીકરણ $\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sin x} = 0$. આનો કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\cot x < 0$ હોય,તો $|\cot x| = -\cot x$. સમીકરણ $-\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2\cot x + \frac{1}{\sin x} = 0$ થાય છે.
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{2\cos x + 1}{\sin x} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ છે કે $2\cos x + 1 = 0$,તેથી $\cos x = -\frac{1}{2}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x = -\frac{1}{2}$ એ $x = \frac{2\pi}{3}$ અને $x = \frac{4\pi}{3}$ માટે મળે છે.
શરત $\cot x < 0$ તપાસતા: $x = \frac{2\pi}{3}$ માટે,$\cot(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ (માન્ય).
$x = \frac{4\pi}{3}$ માટે,$\cot(\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ (અમાન્ય,કારણ કે તે $\cot x < 0$ નો વિરોધાભાસ કરે છે).
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ છે.

(B) $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી $6$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $6 \times 6! = 4320$ છે.
સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તેના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ. બધા અંકોનો સરવાળો $21$ છે. $6$ અંકો પસંદ કરવા માટે એક અંક બાકાત રાખવો પડે જે $0, 3,$ અથવા $6$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $I$: $0$ ને બાકાત રાખતા,અંકો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ મળે. કુલ રીતો $= 6! = 720$.
કિસ્સો $II$: $3$ ને બાકાત રાખતા,અંકો ${0, 1, 2, 4, 5, 6}$ મળે. પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે,તેથી $5 \times 5! = 600$ રીતો.
કિસ્સો $III$: $6$ ને બાકાત રાખતા,અંકો ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ મળે. પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે,તેથી $5 \times 5! = 600$ રીતો.
સાનુકૂળ પરિણામો $n(A) = 720 + 600 + 600 = 1920$.
સંભાવના $P(A) = \frac{1920}{4320} = \frac{4}{9}$.

(A) આપેલ પરવલય $y^{2}=4x$ છે.
રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x, y)$ નું પ્રતિબિંબ $(y, x)$ થાય છે.
સમીકરણ $y^{2}=4x$ માં $x$ ને $y$ અને $y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને બિંદુપથ $C$ તરીકે $x^{2}=4y$ મળે છે.
$x^{2}=4y$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2x = 4 \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$.
બિંદુ $P(2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,1)} = \frac{2}{2} = 1$ થાય.
$P(2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 1 = x - 2$ અથવા $x - y = 1$ થાય છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+ax+2ay+c=0$ છે.
$x$-અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^{2}-c} = 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-c} = 2\sqrt{2}$ છે.
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{4}-c = 2 \quad \dots(1)$
$y$-અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{f^{2}-c} = 2\sqrt{a^{2}-c} = 2\sqrt{5}$ છે.
$\Rightarrow a^{2}-c = 5 \quad \dots(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(a^{2}-c) - (\frac{a^{2}}{4}-c) = 5-2$ $\Rightarrow \frac{3a^{2}}{4} = 3$ $\Rightarrow a^{2} = 4$.
$a < 0$ હોવાથી,$a = -2$ મળે.
$a = -2$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $(-2)^{2}-c = 5$ $\Rightarrow 4-c = 5$ $\Rightarrow c = -1$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x-4y-1 = 0$ એટલે કે $(x-1)^{2}+(y-2)^{2} = 6$ છે.
કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{6}$ છે.
સ્પર્શક રેખા $x+2y=0$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = 2$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y-2) = 2(x-1) \pm \sqrt{6}\sqrt{1+2^{2}}$ છે.
$y-2 = 2x-2 \pm \sqrt{30} \Rightarrow 2x-y \pm \sqrt{30} = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી સ્પર્શક $2x-y \pm \sqrt{30} = 0$ નું અંતર $d = \frac{|\pm \sqrt{30}|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}} = \sqrt{6}$ થાય.

(A) આપેલ અસમતા: $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \ln 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$
પ્રથમ,જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $|5 \sqrt{7}+9 i| = \sqrt{(5 \sqrt{7})^2 + 9^2} = \sqrt{175 + 81} = \sqrt{256} = 16$.
તેથી,$\log _{\sqrt{2}}(16) = \log _{2^{1/2}}(2^4) = 8 \log _{2}(2) = 8$.
હવે,અસમતા આ મુજબ બને છે: $2^{\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1}} \geq 8$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી: $\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \geq 3$.
ધારો કે $x = |z|$,જ્યાં $x \geq 0$. તો $\frac{(x+3)(x-1)}{x+1} \geq 3$.
$(x^2 + 2x - 3) \geq 3(x+1)$.
$x^2 + 2x - 3 \geq 3x + 3$.
$x^2 - x - 6 \geq 0$.
$(x-3)(x+2) \geq 0$.
કારણ કે $x = |z| \geq 0$,$x+2$ હંમેશા ધન છે,તેથી $x-3 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|z| \geq 3$.
આમ,$|z|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $3$ છે.

(D) ધારો કે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1=5, n_2=6, n_3=7, n_4=9$ છે.
$\alpha$ એ અલગ-અલગ બાજુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $4$ માંથી $3$ બાજુઓ પસંદ કરીએ છીએ અને પછી દરેક પસંદ કરેલી બાજુમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ.
$\alpha = (n_1 n_2 n_3) + (n_1 n_2 n_4) + (n_1 n_3 n_4) + (n_2 n_3 n_4)$
$\alpha = (5 \cdot 6 \cdot 7) + (5 \cdot 6 \cdot 9) + (5 \cdot 7 \cdot 9) + (6 \cdot 7 \cdot 9)$
$\alpha = 210 + 270 + 315 + 378 = 1173$
$\beta$ એ અલગ-અલગ બાજુઓમાંથી $4$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ચતુષ્કોણની સંખ્યા છે.
ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે $4$ બાજુઓમાંથી દરેકમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ.
$\beta = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4$
$\beta = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 = 1890$
તેથી,$(\beta-\alpha) = 1890 - 1173 = 717$.

(A) આપેલ વક્ર $y^{2}=3x^{2}$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4b$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2}=3x^{2}$ મૂકતા: $x^{2}+3x^{2}=4b \implies 4x^{2}=4b \implies x^{2}=b$.
તેથી $y^{2}=3b$.
હવે,$x^{2}=b$ અને $y^{2}=3b$ ને ઉપવલયના સમીકરણ $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માં મૂકતા:
$\frac{b}{16}+\frac{3b}{b^{2}}=1$
$\frac{b}{16}+\frac{3}{b}=1$
$16b$ વડે ગુણતા: $b^{2}+48=16b$
$b^{2}-16b+48=0$
$(b-12)(b-4)=0$
$b > 4$ હોવાથી,$b=12$ મળે છે.

(A) પ્રારંભિક સદિશ $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ છે. તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ છે.
પ્રારંભિક સદિશનો ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$ છે.
આ સદિશને $45^{\circ}$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવતા નવો ખૂણો $\theta' = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$ મળે છે.
નવો સદિશ $\vec{v}' = |\vec{v}|(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j}) = 2(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j})$ છે.
તેથી,$\alpha = 2 \cos 75^{\circ}$ અને $\beta = 2 \sin 75^{\circ}$ થાય.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(\alpha, \beta), (0, \beta)$ અને $(0,0)$ છે. આ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $\alpha$ અને વેધ $\beta$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \alpha \beta = \frac{1}{2} (2 \cos 75^{\circ}) (2 \sin 75^{\circ}) = 2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ} = \sin(2 \times 75^{\circ}) = \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) બિંદુ $C(0, -a, -1)$ એ સમતલ $lx + my + nz = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$l(0) + m(-a) + n(-1) = 0,$ એટલે કે $-ma - n = 0,$ અથવા $\frac{m}{n} = -\frac{1}{a} \quad \dots(1)$
સદિશ $\vec{CA} = (a - 0, -2a - (-a), 3 - (-1)) = (a, -a, 4)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (l, m, n)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\frac{a}{l} = \frac{-a}{m} = \frac{4}{n}.$ $\frac{-a}{m} = \frac{4}{n}$ પરથી,આપણને $\frac{m}{n} = -\frac{a}{4} \quad \dots(2)$ મળે છે.
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,$-\frac{1}{a} = -\frac{a}{4} \Rightarrow a^2 = 4.$ $a > 0$ હોવાથી,$a = 2$ મળે.
$a = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$ મળે. ધારો કે $m = -t$ અને $n = 2t.$ તો $\frac{2}{l} = \frac{-2}{-t} \Rightarrow l = t.$
સમતલનું સમીકરણ $t(x - y + 2z) = 0,$ અથવા $x - y + 2z = 0$ થાય.
બિંદુ $D$ એ $B(0, 4, 5)$ માંથી સમતલ $x - y + 2z = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. રેખા $BD$ નું સમીકરણ $\frac{x-0}{1} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-5}{2} = k$ છે.
તેથી,$D = (k, 4-k, 5+2k).$ $D$ સમતલ પર હોવાથી,$k - (4-k) + 2(5+2k) = 0 \Rightarrow k - 4 + k + 10 + 4k = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1.$
આમ,$D = (-1, 4-(-1), 5+2(-1)) = (-1, 5, 3).$
$C = (0, -2, -1)$ અને $D = (-1, 5, 3)$ હોવાથી,$CD$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(-1-0)^2 + (5-(-2))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 49 + 16} = \sqrt{66}.$

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{2} = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^{4} = (A^{2})^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{4} = \left( 2 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \right)^{2} = 8 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
પછી,$A^{8} = (A^{4})^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{8} = \left( 8 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right)^{2} = 128 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
સમીકરણોની સંહતિ $128 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 64 \end{bmatrix}$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $128(x - y) = 8 \Rightarrow x - y = \frac{1}{16}$ અને $128(-x + y) = 64 \Rightarrow -x + y = \frac{1}{2}$,એટલે કે $x - y = -\frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{1}{16} \neq -\frac{1}{2}$ હોવાથી,આ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ બિંદુઓ $P(3, -1, 2)$ અને $Q(1, 2, -4)$ છે.
રેખાઓ $PR$ અને $QS$ ના દિક સદિશો $\vec{v_1} = 4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
$P, T, Q$ ને સમાવતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{4\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{20}} = \frac{2\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{5}}$.
છેદબિંદુ $T$ માટે,રેખા $PT: \vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ અને રેખા $QT: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \mu(-2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
યામ સરખાવતા: $3+4\lambda = 1-2\mu \Rightarrow 2\lambda + \mu = -1$ અને $-1-\lambda = 2+\mu \Rightarrow \lambda + \mu = -3$.
ઉકેલતા: $\lambda = 2, \mu = -5$.
બિંદુ $T = (11, -3, 6)$.
સદિશ $\vec{OA} = \vec{OT} \pm |\vec{TA}|\hat{n} = (11\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) \pm (2\hat{j} + \hat{k})$.
કિસ્સો $1$: $\vec{OA} = 11\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k} \Rightarrow |\vec{OA}| = \sqrt{171}$.
કિસ્સો $2$: $\vec{OA} = 11\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k} \Rightarrow |\vec{OA}| = \sqrt{171}$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે સંયોજિત વિધેય $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ શોધીએ.
આપેલ છે કે $g(x) < 0$ જ્યારે $x < 0$ (કારણ કે $x < 0$ માટે $x^3 < 0$),અને $g(x) \geq 0$ જ્યારે $x \geq 0$ (કારણ કે $x \in [0, 1)$ માટે $x^3 \geq 0$ અને $x \geq 1$ માટે $3x-2 \geq 1$).
તેથી,$(f \circ g)(x) = \begin{cases} x^3+2, & x < 0 \\ x^6, & 0 \leq x < 1 \\ (3x-2)^2, & x \geq 1 \end{cases}$.
હવે,સંક્રમણ બિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ પર સાતત્ય અને વિકલનીયતા તપાસીએ.
$x=0$ પર: $\lim_{x \to 0^-} (x^3+2) = 2$ અને $\lim_{x \to 0^+} (x^6) = 0$. $2 \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $x=0$ પર અસતત છે,તેથી $x=0$ પર વિકલનીય નથી.
$x=1$ પર: $\lim_{x \to 1^-} (x^6) = 1$ અને $\lim_{x \to 1^+} (3x-2)^2 = 1$. વિધેય $x=1$ પર સતત છે.
$x=1$ પર વિકલન તપાસીએ: $LHD = \frac{d}{dx}(x^6)|_{x=1} = 6(1)^5 = 6$. $RHD = \frac{d}{dx}(3x-2)^2|_{x=1} = 2(3x-2) \cdot 3|_{x=1} = 6(3-2) = 6$.
$LHD = RHD$ હોવાથી,વિધેય $x=1$ પર વિકલનીય છે.
તેથી,$(f \circ g)(x)$ જ્યાં વિકલનીય નથી તેવું એકમાત્ર બિંદુ $x=0$ છે. આવા બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3}$ છે.
સમતલ $lx + my + nz = 0$ આ રેખાને સમાવે છે,તેથી તે બિંદુ $(1, -4, -2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $(l, m, n)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(-1, 2, 3)$ ને લંબ છે.
તેથી,$l(1) + m(-4) + n(-2) = 0 \implies l - 4m - 2n = 0$ (સમીકરણ $1$).
અને $-l + 2m + 3n = 0$ (સમીકરણ $2$).
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$-2m + n = 0 \implies n = 2m$.
$n = 2m$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$-l + 2m + 3(2m) = 0 \implies l = 8m$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $8x + y + 2z = 0$ મળે છે.
$AB$ નું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $C$ ના યામ $\left(\frac{2k-3}{k+1}, \frac{4k-6}{k+1}, \frac{-3k+1}{k+1}\right)$ છે.
બિંદુ $C$ સમતલ પર હોવાથી,$8\left(\frac{2k-3}{k+1}\right) + \left(\frac{4k-6}{k+1}\right) + 2\left(\frac{-3k+1}{k+1}\right) = 0$.
$16k - 24 + 4k - 6 - 6k + 2 = 0$.
$14k - 28 = 0 \implies k = 2$.

(B) આપેલ છે $f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+2(a-7) \cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)$.
કારણ કે $\cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot \sin^2(x/2) = \sin(x/2)\cos(x/2) = \frac{1}{2} \sin x$,તેથી વિધેય આ રીતે સરળ બને છે:
$f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+(a-7) \sin x$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈએ છીએ:
$f'(x)=(4 a-3)(1)+(a-7) \cos x = 0$.
આ સૂચવે છે કે $\cos x = \frac{3-4 a}{a-7}$.
કારણ કે $-1 \leq \cos x \leq 1$ અને $x \neq 2n\pi$ (જેનો અર્થ છે કે $\cos x \neq 1$),આપણી પાસે છે:
$-1 \leq \frac{3-4 a}{a-7} < 1$.
કિસ્સો $1$: $\frac{3-4 a}{a-7} \geq -1 \Rightarrow \frac{3-4 a + a - 7}{a-7} \geq 0 \Rightarrow \frac{-3 a - 4}{a-7} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 a + 4}{a-7} \leq 0$.
આનાથી $a \in [-\frac{4}{3}, 7)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{3-4 a}{a-7} < 1 \Rightarrow \frac{3-4 a - a + 7}{a-7} < 0 \Rightarrow \frac{-5 a + 10}{a-7} < 0 \Rightarrow \frac{5(a-2)}{a-7} > 0$.
આનાથી $a \in (-\infty, 2) \cup (7, \infty)$ મળે છે.
કિસ્સો $1$ અને કિસ્સો $2$ નો છેદ લેતા,આપણને $a \in [-\frac{4}{3}, 2)$ મળે છે.
જોકે,સીમા $a=2$ તપાસતા,$\cos x = \frac{3-8}{2-7} = \frac{-5}{-5} = 1$,જે બાકાત છે કારણ કે $x \neq 2n\pi$. આમ,વિસ્તાર $[-\frac{4}{3}, 2)$ છે.

(C) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે ખોવાયેલું પત્તું કાળીનું નથી.
$P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ અને $P(E_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે બાકી રહેલા $51$ પત્તામાંથી ખેંચેલા બે પત્તા કાળીના છે.
જો $E_1$ બને,તો $51$ પત્તામાં $12$ કાળીના પત્તા બાકી રહે. તેથી,$P(A|E_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{132}{2550}$.
જો $E_2$ બને,તો $51$ પત્તામાં $13$ કાળીના પત્તા બાકી રહે. તેથી,$P(A|E_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{156}{2550}$.
આપણે $P(E_2|A)$ શોધવાનું છે. બેયઝના પ્રમેય મુજબ:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}}{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550} + \frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}} = \frac{468}{132 + 468} = \frac{468}{600} = \frac{39}{50}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ છે. આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \tan x$ અને $Q = \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx = \int \sec x \tan x dx = \sec x + C$.
$y(\frac{\pi}{3}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = \frac{\pi}{3}$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$.
તેથી,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{\sec x - 2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ થાય છે.
ધારો કે $t = \cos x$. કારણ કે $-1 \le \cos x \le 1$,તેથી $y = t - 2t^2$ મળે. મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = 1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4}$.
$t = \frac{1}{4}$ એ $[-1, 1]$ ની વચ્ચે હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $y = \frac{1}{4} - 2(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ મળે છે.

(C) આપણી પાસે $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2 \cdot 2^{2r} + 3 \cdot 3^{2r}}\right)$ છે.
અંશ અને છેદને $3^{2r}$ વડે ભાગતા:
$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{(2/3)^r}{2 \cdot (2/3)^{2r} + 3}\right)$.
આ પદને $\frac{(2/3)^r - (2/3)^{r+1}}{1 + (2/3)^r \cdot (2/3)^{r+1}}$ તરીકે લખી શકાય.
આથી,આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \left( \tan^{-1}((2/3)^r) - \tan^{-1}((2/3)^{r+1}) \right)$.
$S_{k} = \tan^{-1}(2/3) - \tan^{-1}((2/3)^{k+1})$.
જ્યારે $k \rightarrow \infty$,ત્યારે $(2/3)^{k+1} \rightarrow 0$.
તેથી,$S_{\infty} = \tan^{-1}(2/3) = \cot^{-1}(3/2)$.

(B) આપેલ લક્ષ $E = 2 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right)$ છે.
આ એક રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન $E = 2 \int_{0}^{1} f(x) dx$ તરીકે લખી શકાય.
$f(x) = \log_{2}\left(1+\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right)\right) = \frac{\ln(1+\tan(\pi x/4))}{\ln 2}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+\tan\frac{\pi x}{4}\right) dx \quad \dots(i)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,$x$ ને $1-x$ વડે બદલતા:
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}(1-x)\right)\right) dx$
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+\frac{1-\tan(\pi x/4)}{1+\tan(\pi x/4)}\right) dx$
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(\frac{2}{1+\tan(\pi x/4)}\right) dx$
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} (\ln 2 - \ln(1+\tan(\pi x/4))) dx \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln 2 dx = \frac{2}{\ln 2} \cdot \ln 2 = 2$
તેથી,$E = 1$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$.
$AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકો એ $A$ ની દરેક હારના ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો છે.
તેથી,વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}+i^{2} = 9$ થાય,જ્યાં $a, b, c, d, e, f, g, h, i \in \{0, 1, 2, 3\}$.
આપણે એવા ઘટકોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમના વર્ગોનો સરવાળો $9$ થાય.
$1$. નવ $1$s: $\frac{9!}{9!} = 1$
$2$. એક $3$ $(3^2=9)$: $\frac{9!}{1!8!} = 9$
$3$. એક $2$ $(2^2=4)$ અને પાંચ $1$s $(1^2=1)$: $\frac{9!}{1!5!3!} = 504$
$4$. બે $2$s $(2^2=4)$ અને એક $1$ $(1^2=1)$: $\frac{9!}{2!1!6!} = 252$
કુલ સંખ્યા $= 1 + 9 + 504 + 252 = 766$.

(C) ધારો કે $M = (P^{-1}AP - I)^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(P^{-1}AP - I) = \det(P^{-1}(A - I)P) = \det(P^{-1}) \det(A - I) \det(P) = \det(A - I)$.
તેથી,$\det(M) = (\det(A - I))^{2}$.
હવે,$A - I$ ની ગણતરી કરીએ:
$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega-1 & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$.
ગુણધર્મ $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\omega - 1 = \omega^{2}$ મળે.
$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & \omega^{2} & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક શોધતા:
$\det(A - I) = 1(\omega^{2}(-\omega) - (1)(-\omega)) - 7((-1)(-\omega) - 0) + \omega^{2}((-1)(-\omega) - 0)$
$= 1(-\omega^{3} + \omega) - 7\omega + \omega^{3} = -1 + \omega - 7\omega + 1 = -6\omega$.
આમ,$\det(M) = (-6\omega)^{2} = 36\omega^{2}$.
આપેલ છે કે $\det(M) = \alpha \omega^{2}$,તેથી $\alpha = 36$.

(B) આપેલ વક્ર $y(x)=\int_{0}^{x}(2t^{2}-15t+10)dt$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$x=a$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y'(a) = 2a^{2}-15a+10$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{y'(a)} = -\frac{1}{2a^{2}-15a+10}$ છે.
આપેલ રેખા $x+3y=-5$ છે,જેને $y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય:
$-\frac{1}{2a^{2}-15a+10} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 2a^{2}-15a+10 = 3$.
$2a^{2}-15a+7 = 0 \Rightarrow (2a-1)(a-7) = 0$.
$a>1$ હોવાથી,$a=7$ મળે.
હવે,$b = y(7) = \int_{0}^{7}(2t^{2}-15t+10)dt = [\frac{2}{3}t^{3} - \frac{15}{2}t^{2} + 10t]_{0}^{7}$ ની ગણતરી કરીએ.
$b = \frac{2}{3}(343) - \frac{15}{2}(49) + 10(7) = \frac{686}{3} - \frac{735}{2} + 70 = \frac{1372 - 2205 + 420}{6} = -\frac{413}{6}$.
તેથી,$6b = -413$.
$|a+6b| = |7 - 413| = |-406| = 406$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2(x + 1)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y(x) = \int 2(x + 1) dx = (x + 1)^2 + C = x^2 + 2x + 1 + C$.
ધારો કે $K = 1 + C$,તેથી $y(x) = (x + 1)^2 + C$.
આ વક્ર ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(-1, C)$ છે. વક્ર $x-$અક્ષ સાથે ક્ષેત્રફળ ઘેરે તે માટે તે $x-$અક્ષની નીચે હોવો જોઈએ,તેથી $C < 0$. ધારો કે $C = -k^2$ જ્યાં $k > 0$.
$y(x) = 0$ ના બીજ $(x + 1)^2 = -C$ છે,તેથી $x = -1 \pm \sqrt{-C}$.
વક્ર અને $x-$અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ:
$A = \int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} (0 - ((x + 1)^2 + C)) dx = -\int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} ((x + 1)^2 + C) dx$.
$u = x + 1$ લેતા,$du = dx$. સીમાઓ $-\sqrt{-C}$ થી $\sqrt{-C}$ માં બદલાશે.
$A = -\int_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} (u^2 + C) du = -[\frac{u^3}{3} + Cu]_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} = -[(\frac{(-C)^{3/2}}{3} + C\sqrt{-C}) - (\frac{-(-C)^{3/2}}{3} - C\sqrt{-C})]$.
$A = -[\frac{2}{3}(-C)^{3/2} + 2C\sqrt{-C}] = -[\frac{2}{3}(-C)\sqrt{-C} - 2(-C)\sqrt{-C}] = -[-\frac{4}{3}(-C)^{3/2}] = \frac{4}{3}(-C)^{3/2}$.
આપેલ છે કે $A = \frac{4\sqrt{8}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\frac{4}{3}(-C)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \Rightarrow (-C)^{3/2} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$.
આમ,$-C = 2$,જેનો અર્થ છે કે $C = -2$.
વિધેય $y(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$ છે.
તેથી,$y(1) = (1)^2 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)+f(x+1)=2$.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા,$\int_{0}^{1} f(x) d x + \int_{0}^{1} f(x+1) d x = \int_{0}^{1} 2 d x$.
બીજા સંકલનમાં $t=x+1$ આદેશ લેતા,$\int_{0}^{1} f(x) d x + \int_{1}^{2} f(t) d t = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\int_{0}^{2} f(x) d x = 2$.
કારણ કે $f(x)+f(x+1)=2$,તેથી $f(x+2) = 2-f(x+1) = 2-(2-f(x)) = f(x)$,એટલે કે $f(x)$ એ $T=2$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
$I_{1} = \int_{0}^{8} f(x) d x = \frac{8}{2} \int_{0}^{2} f(x) d x = 4 \times 2 = 8$.
$I_{2} = \int_{-1}^{3} f(x) d x$. $f(x)$ નો આવર્તમાન $2$ હોવાથી,$\int_{a}^{a+T} f(x) d x$ એ $a$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$I_{2} = \int_{0}^{4} f(x) d x = \frac{4}{2} \int_{0}^{2} f(x) d x = 2 \times 2 = 4$.
તેથી,$I_{1}+2 I_{2} = 8 + 2(4) = 8 + 8 = 16$.

(B) આપેલ વિધેય $y = 5^{\log x}$ છે.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,$x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરતા:
$x = 5^{\log y}$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $a^{\log b} = b^{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$x = y^{\log 5}$.
આમ,વ્યસ્ત વિધેય $f^{-1}(y) = y^{\log 5}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}$,તેથી $\overrightarrow{r} \times (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{r}$ એ $(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$ ને સમાંતર છે.
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2-7)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (4 - (-6))\hat{k} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$ ગણો.
તેથી,$\overrightarrow{r} = \lambda(-5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$,$\overrightarrow{r}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda(-5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$.
$\lambda(-5 - 8 + 10) = -3 \Rightarrow -3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$\overrightarrow{r} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$.
છેલ્લે,$\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = (-5)(2) + (-4)(-3) + (10)(1) = -10 + 12 + 10 = 12$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$kx + y + z = 1$
$x + ky + z = k$
$x + y + kz = k^2$
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$
$= k(k^2 - 1) - 1(k - 1) + 1(1 - k)$
$= (k - 1)^2(k + 2)$
સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$\Delta = 0$ હોવું જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકો $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
જો $k = 1$ હોય,તો સમીકરણો $x + y + z = 1$ બને છે,જે અનંત ઉકેલો આપે છે.
જો $k = -2$ હોય,તો $\Delta = 0$ થાય છે. હવે $\Delta_1$ તપાસીએ:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 9 \neq 0$.
તેથી,$k = -2$ માટે સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ શ્રેણી $\sum_{n=1}^{100} \cot^{-1}(2n^2)$ છે.
નિત્યસમ $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})$ મળે છે.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,$\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{2}{4n^2})$ મળે.
આને $\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)})$ તરીકે લખી શકાય.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સરવાળો $\sum_{n=1}^{100} (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$ થાય છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $(\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1} 201 - \tan^{-1} 199)$.
પદો રદ થતા,આપણી પાસે $\tan^{-1} 201 - \tan^{-1} 1$ બાકી રહે છે.
ફરીથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan^{-1}(\frac{201-1}{1+201 \times 1}) = \tan^{-1}(\frac{200}{202}) = \tan^{-1}(\frac{100}{101})$.
તેથી $\cot^{-1}(\alpha) = \tan^{-1}(\frac{101}{100})$,એટલે કે $\alpha = \frac{101}{100} = 1.01$.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $y$-અક્ષ (જેનો દિશા સદિશ $\hat{j}$ છે) ને સમાવતા તથા બિંદુ $P(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ લંબ સદિશ $\vec{n}$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
સમતલ સદિશ $\vec{v} = \hat{j} = (0, 1, 0)$ અને સદિશ $\vec{OP} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = (1, 2, 3)$ ને સમાવે છે.
લંબ સદિશ $\vec{n}$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{OP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - \hat{k}$.
$(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને લંબ સદિશ $\vec{n} = (3, 0, -1)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$3(x - 0) + 0(y - 0) - 1(z - 0) = 0$
$3x - z = 0$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin^{2} \alpha & 0 \\ 0 & \sin^{2} \alpha \end{bmatrix} = \sin^{2} \alpha I$.
હવે,આ કિંમત નિશ્ચાયકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = \det\left(\sin^{2} \alpha I - \frac{1}{2} I\right) = \det\left(\left(\sin^{2} \alpha - \frac{1}{2}\right) I\right) = 0$.
અહીં $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક હોવાથી,$\det(kI) = k^{2} \det(I) = k^{2}$ થાય.
તેથી,$\left(\sin^{2} \alpha - \frac{1}{2}\right)^{2} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin^{2} \alpha = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,$\alpha$ ની એક શક્ય કિંમત $\frac{\pi}{4}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(x+1)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
ગુણધર્મ $\cot ^{-1}(u) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{u}\right)$ (જ્યારે $u > 0$) નો ઉપયોગ કરતા,જો $x > 1$ હોય તો $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \tan ^{-1}(x-1)$ થાય.
જો $x > 1$ હોય,તો $\tan ^{-1}(x+1) + \tan ^{-1}(x-1) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
$\tan(A+B)$ સૂત્ર મુજબ: $\frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)} = \frac{8}{31} \Rightarrow \frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$.
$4x^2 + 31x - 8 = 0$ ઉકેલતા,$x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = -8$ મળે છે. બંને મૂલ્યો $x \leq 1$ હોવાથી,આ ધારણા ખોટી છે.
જો $x < 1$ હોય,તો $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \pi + \tan ^{-1}(x-1)$ થાય.
તેથી $\tan ^{-1}(x+1) + \pi + \tan ^{-1}(x-1) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{2-x^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right) - \pi$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા: $\frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$,જેનું સાદું રૂપ $4x^2 + 31x - 8 = 0$ છે.
ચકાસણી કરતા,માત્ર $x = -8$ શક્ય છે. તેથી $x$ ના શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $-8$ થાય છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$.
અહીં,$a = \frac{\pi}{6}$ અને $b = \frac{\pi}{3}$,તેથી $a+b = \frac{\pi}{2}$.
$g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x}{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x} dx$ ... $(i)$
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\alpha} x}{\cos^{\alpha} x + \sin^{\alpha} x} dx$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x}{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$g(\alpha) = \frac{\pi}{12}$,જે એક અચળ વિધેય છે.
અચળ વિધેય ન તો ચુસ્ત વધતું છે કે ન તો ચુસ્ત ઘટતું છે.
તેથી,વિધાનો $A$,$B$,અને $C$ ત્રણેય ખોટા છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = xy - 1 + x - y$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = x(y + 1) - 1(y + 1) = (x - 1)(y + 1)$.
આ ચલ વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{y + 1} = (x - 1) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y + 1} = \int (x - 1) dx$.
$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|0 + 1| = \frac{0^2}{2} - 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x$,જેનો અર્થ છે $y + 1 = e^{\frac{x^2}{2} - x}$.
તેથી,$y(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x} - 1$.
$y(1)$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા: $y(1) = e^{\frac{1^2}{2} - 1} - 1 = e^{\frac{1}{2} - 1} - 1 = e^{-\frac{1}{2}} - 1$.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 6xy + y^2$ છે. શરતો $3x + 4y \leq 100$,$4x + 3y \leq 75$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ છે.
શરતો મુજબ,શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(18.75, 0)$ અને $(0, 25)$ છે.
શિરોબિંદુઓ પર $z$ ની કિંમત:
$(0, 0)$ પર,$z = 6(0)(0) + 0^2 = 0$.
$(18.75, 0)$ પર,$z = 6(18.75)(0) + 0^2 = 0$.
$(0, 25)$ પર,$z = 6(0)(25) + 25^2 = 625$.
જોકે,$z$ એ સુરેખ વિધેય ન હોવાથી,આપણે સીમા $4x + 3y = 75$ તપાસીએ,જેનો અર્થ છે $x = \frac{75-3y}{4}$.
આ કિંમત $z$ માં મૂકતા: $z = 6y(\frac{75-3y}{4}) + y^2 = \frac{3y(75-3y)}{2} + y^2 = \frac{225y - 9y^2 + 2y^2}{2} = \frac{225y - 7y^2}{2}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$y$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને $0$ સાથે સરખાવતા: $\frac{dz}{dy} = \frac{225 - 14y}{2} = 0 \implies y = \frac{225}{14} \approx 16.07$.
ત્યારબાદ $x = \frac{75 - 3(225/14)}{4} = \frac{375}{56} \approx 6.7$.
આ કિંમતો $z$ માં મૂકતા: $z = \frac{354375}{392} \approx 904.0178$.
આમ,મહત્તમ કિંમત આશરે $904$ છે.

(A) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
સૂત્ર $\cos A - \cos B = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin(\frac{\sin x + x}{2}) \sin(\frac{\sin x - x}{2})}{x^4} = \frac{1}{k}$
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(\frac{\sin x + x}{2}) \sin(\frac{x - \sin x}{2})}{x^4} = \frac{1}{k}$
જ્યારે $\theta \to 0$ હોય ત્યારે $\sin \theta \approx \theta$ અને ટેલર શ્રેણી $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin x + x}{2x} \right) \left( \frac{x - \sin x}{2x^3} \right) = \frac{1}{k}$
$\lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{x + x}{2x} \right) \left( \frac{x - (x - \frac{x^3}{6})}{2x^3} \right) = \frac{1}{k}$
$2 \times (1) \times \frac{x^3/6}{2x^3} = \frac{1}{k}$
$2 \times 1 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{k}$
$\frac{1}{6} = \frac{1}{k} \Rightarrow k = 6$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2x}}{1+2^{2x}}\right)\right)$.
ધારો કે $2^x = t$. તો $f(x) = \sin(\cos^{-1}(\frac{1-t^2}{1+t^2}))$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $t \ge 0$ માટે $\cos^{-1}(\frac{1-t^2}{1+t^2}) = 2\tan^{-1}(t)$ થાય.
તેથી,$f(x) = \sin(2\tan^{-1}(2^x))$.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \tan^{-1}(2^x)$,આપણને $\tan\theta = 2^x$ મળે.
આમ,$f(x) = \frac{2(2^x)}{1+(2^x)^2} = \frac{2 \cdot 2^x}{1+2^{2x}}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{(1+2^{2x}) \cdot \frac{d}{dx}(2 \cdot 2^x) - (2 \cdot 2^x) \cdot \frac{d}{dx}(1+2^{2x})}{(1+2^{2x})^2}$.
$f'(x) = \frac{(1+2^{2x})(2 \cdot 2^x \ln 2) - (2 \cdot 2^x)(2^{2x} \ln 2 \cdot 2)}{(1+2^{2x})^2}$.
$x=1$ આગળ,$2^x = 2$ અને $2^{2x} = 4$.
$f'(1) = \frac{(1+4)(2 \cdot 2 \ln 2) - (2 \cdot 2)(4 \ln 2 \cdot 2)}{(1+4)^2} = \frac{5(4 \ln 2) - 4(8 \ln 2)}{25} = \frac{20 \ln 2 - 32 \ln 2}{25} = -\frac{12}{25} \ln 2$.
$-\frac{b}{a} \ln 2$ સાથે સરખાવતા,$b=12$ અને $a=25$ મળે.
તેથી,$|a^2 - b^2| = |25^2 - 12^2| = |625 - 144| = 481$.

(B) ધારો કે $P(E_{1}) = P_{1}$,$P(E_{2}) = P_{2}$,અને $P(E_{3}) = P_{3}$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,માત્ર $E_{1}$ બને તેની સંભાવના $\alpha = P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3})$ છે.
માત્ર $E_{2}$ બને તેની સંભાવના $\beta = (1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})$ છે.
માત્ર $E_{3}$ બને તેની સંભાવના $\gamma = (1 - P_{1})(1 - P_{2})P_{3}$ છે.
એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $p = (1 - P_{1})(1 - P_{2})(1 - P_{3})$ છે.
આપેલ છે કે $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$,પદો મૂકતા:
$\left(P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3}) - 2(1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})\right)p = P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3}) \cdot (1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})$.
બંને બાજુ $(1 - P_{1})(1 - P_{2})(1 - P_{3})^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{P_{1}}{1 - P_{1}} - \frac{2P_{2}}{1 - P_{2}} = \frac{P_{1}P_{2}}{(1 - P_{1})(1 - P_{2})}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $P_{1} = 2P_{2}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ પરથી,આપણને $P_{2} = 3P_{3}$ મળે છે.
તેથી,$P_{1} = 2(3P_{3}) = 6P_{3}$.
આમ,$\frac{P_{1}}{P_{3}} = 6$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \Rightarrow (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (-\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}) = 1$.
આનું સાદું રૂપ $-\alpha \beta - \alpha \beta - 3 = 1 \Rightarrow -2 \alpha \beta = 4 \Rightarrow \alpha \beta = -2$ $(1)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3 \Rightarrow (-\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}) = -3$.
આનું સાદું રૂપ $-\beta + 2 \alpha + 1 = -3 \Rightarrow 2 \alpha - \beta = -4$ $(2)$ થાય છે.
$(1)$ પરથી,$\beta = -2/\alpha$. તેને $(2)$ માં મૂકતા: $2 \alpha - (-2/\alpha) = -4 \Rightarrow 2 \alpha^2 + 2 = -4 \alpha \Rightarrow \alpha^2 + 2 \alpha + 1 = 0 \Rightarrow (\alpha + 1)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
તેથી $\beta = -2/(-1) = 2$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\frac{1}{3}[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} \alpha & \beta & 3 \\ -\beta & -\alpha & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_3$ કરતા: $\frac{1}{3} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} [2(4 - 1)] = \frac{1}{3} \times 6 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = (2)(-1) - (3)(0) = -2$.
પ્રથમ,આપણે $\det(A^4) = |A|^4 = (-2)^4 = 16$ ગણીએ છીએ.
આગળ,$\operatorname{adj}(2A)$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $2A = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$,તેનો નિશ્ચાયક $|2A| = 2^2 |A| = 4(-2) = -8$ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$\operatorname{adj}(2A) = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
નોંધો કે $\operatorname{adj}(2A) = -2 \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીને,$n=2$ માટે,$\operatorname{adj}(2A) = 2 \operatorname{adj}(A) = 2 \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
$A$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_1 = 2$ અને $\lambda_2 = -1$ છે. $A^{10}$ ના આઈગન મૂલ્યો $2^{10}$ અને $(-1)^{10} = 1$ છે.
$\operatorname{adj}(2A)$ ના આઈગન મૂલ્યો $2 \times (-1) = -2$ અને $2 \times 2 = 4$ છે. તેથી,$(\operatorname{adj}(2A))^{10}$ ના આઈગન મૂલ્યો $(-2)^{10} = 2^{10}$ અને $4^{10} = 2^{20}$ છે.
કારણ કે $A^{10}$ અને $(\operatorname{adj}(2A))^{10}$ બંનેમાં $2^{10}$ આઈગન મૂલ્ય સમાન છે,શ્રેણિક $A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10}$ નું ઓછામાં ઓછું એક આઈગન મૂલ્ય $2^{10} - 2^{10} = 0$ થાય છે.
તેથી,$\det(A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10}) = 0$.
અંતે,જરૂરી કિંમત $16 + 0 = 16$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\sqrt{\pi / 2}} ([x^2] + [-\cos x]) dx$.
અહીં $0 \le x \le \sqrt{\pi / 2} \approx 1.25$ હોવાથી,$0 \le x^2 \le \pi / 2 \approx 1.57$ થાય.
તેથી,$0 \le x < 1$ માટે $[x^2] = 0$ અને $1 \le x \le \sqrt{\pi / 2}$ માટે $[x^2] = 1$ થાય.
$0 \le x \le \sqrt{\pi / 2}$ માટે,$0 \le \cos x \le 1$ થાય.
ચોક્કસ રીતે,$x \in (0, \sqrt{\pi / 2}]$ માટે,$0 \le \cos x < 1$ હોવાથી,$-\cos x \in [-1, 0)$ થાય.
તેથી,$x \in (0, \sqrt{\pi / 2}]$ માટે $[-\cos x] = -1$ અને $x = 0$ માટે $[-\cos x] = 0$ થાય.
$I = \int_{0}^{1} (0 - 1) dx + \int_{1}^{\sqrt{\pi / 2}} (1 - 1) dx = \int_{0}^{1} (-1) dx + 0 = -1$.

(C) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$(2x - 7y + 4z - 3) + \lambda(3x - 5y + 4z + 11) = 0$.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા,આપણને $(2 + 3\lambda)x - (7 + 5\lambda)y + (4 + 4\lambda)z + (-3 + 11\lambda) = 0$ મળે છે.
સમતલ બિંદુ $(-2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(2 + 3\lambda)(-2) - (7 + 5\lambda)(1) + (4 + 4\lambda)(3) - 3 + 11\lambda = 0$.
$-4 - 6\lambda - 7 - 5\lambda + 12 + 12\lambda - 3 + 11\lambda = 0$.
$\lambda$ વાળા પદો અને અચળાંકોને ભેગા કરતા: $(12)\lambda - 2 = 0$,જે $\lambda = \frac{1}{6}$ આપે છે.
$\lambda = \frac{1}{6}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2 + 3(\frac{1}{6}))x - (7 + 5(\frac{1}{6}))y + (4 + 4(\frac{1}{6}))z + (-3 + 11(\frac{1}{6})) = 0$.
$(\frac{15}{6})x - (\frac{47}{6})y + (\frac{28}{6})z - (\frac{7}{6}) = 0$.
$6$ વડે ગુણતા,આપણને $15x - 47y + 28z - 7 = 0$ મળે છે.
આને $ax + by + cz - 7 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 15, b = -47, c = 28$ મળે છે.
હવે,$2a + b + c - 7 = 2(15) + (-47) + 28 - 7 = 30 - 47 + 28 - 7 = 4$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $y^{2} = 4ax + 4a^{2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{2} = 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)x + 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} + 4 \cdot \frac{y^{2}}{4} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
$y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} + y^{2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
$y$ વડે ભાગતા (ધારો કે $y \neq 0$):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x\end{array}\right|=0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લાગુ પાડતા:
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ હોવાથી,પ્રથમ હારના દરેક સ્તંભનો સરવાળો $1 + \sin^{2} x + \cos^{2} x + 4 \sin 2x = 2 + 4 \sin 2x$ થાય છે.
$(2 + 4 \sin 2x)$ સામાન્ય લેતા:
$(2 + 4 \sin 2x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right| = 0$.
$C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ લાગુ પાડતા:
$(2 + 4 \sin 2x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \cos ^{2} x & 1 & 0 \\ 4 \sin 2 x & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$.
આથી $(2 + 4 \sin 2x)(1) = 0$,એટલે કે $\sin 2x = -\frac{1}{2}$.
$0 < x < \pi$ માટે,$0 < 2x < 2\pi$ થાય.
અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ માટે $2x$ ની કિંમતો $2x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ અને $2x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ છે.
તેથી,$x = \frac{7\pi}{12}$ અને $x = \frac{11\pi}{12}$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \gamma & \alpha \\ \gamma & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(\gamma\beta - \alpha^{2}) - \beta(\beta^{2} - \alpha\gamma) + \gamma(\beta\alpha - \gamma^{2}) = 0$
$\alpha\beta\gamma - \alpha^{3} - \beta^{3} + \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\gamma - \gamma^{3} = 0$
$3\alpha\beta\gamma - (\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}) = 0$
નિત્યસમ $\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha))$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$-(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)) = 0$
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = -a$ અને $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$. વળી,$\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = a^{2} - 2b$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$-(-a)(a^{2} - 2b - b) = 0$
$a(a^{2} - 3b) = 0$
કારણ કે $a \neq 0$,તેથી $a^{2} - 3b = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a^{2} = 3b$.
તેથી,$\frac{a^{2}}{b} = 3$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(2 x-1) \cos \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}}{\sqrt{4 x^{2}-4 x+6}} d x$.
નોંધો કે $4x^2 - 4x + 6 = (2x-1)^2 + 5$.
તેથી,$I = \int \frac{(2 x-1) \cos \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}}{\sqrt{(2 x-1)^{2}+5}} d x$.
ધારો કે $u = \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}$.
તેથી $u^2 = (2x-1)^2 + 5$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $2u \frac{du}{dx} = 2(2x-1) \cdot 2 = 4(2x-1)$.
આમ,$(2x-1) dx = \frac{u}{2} du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\cos u}{u} \cdot \frac{u}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos u du$.
$I = \frac{1}{2} \sin u + c$.
$u = \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે $I = \frac{1}{2} \sin \sqrt{(2 x-1)^{2}+5} + c$.

(D) $x = 0$ ની નજીક $\sin^{-1} x$ અને $\tan^{-1} x$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{-1} x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{6}) - (x - \frac{x^3}{3})}{3x^3}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{3}}{3x^3} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{1+2}{6}}{3} = \frac{3/6}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
$L = 1/6$ આપેલ હોવાથી,$6L + 1$ ની ગણતરી કરતા:
$6(1/6) + 1 = 1 + 1 = 2$

(B) વિધેય $f(x) = \frac{\operatorname{cosec}^{-1} x}{\sqrt{x - [x]}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $\operatorname{cosec}^{-1} x$ નો પ્રદેશ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે.
$2$. છેદ $\sqrt{x - [x]}$ શૂન્યતર અને વાસ્તવિક હોવો જોઈએ. કારણ કે $x - [x] = \{x\}$ ($x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ),તેથી આપણે $\{x\} > 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $x$ પૂર્ણાંક ન હોઈ શકે.
આ શરતોને જોડતા,$x$ એ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ માં હોવો જોઈએ અને $x \notin \mathbb{Z}$ હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ માં આવતી તમામ બિન-પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ,જે અંતરાલ $(-1, 1)$ સિવાયની તમામ બિન-પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સમાન છે.

(C) $f(x) = \sqrt{x}$ માટે,પ્રદેશ $[0, \infty)$ છે.
$g(x) = \sqrt{1-x}$ માટે,પ્રદેશ $(-\infty, 1]$ છે.
$f+g, f-g,$ અને $g-f$ નો પ્રદેશ $f$ અને $g$ ના પ્રદેશોનો છેદગણ છે,જે $[0, 1]$ છે.
$f/g$ માટે,આપણે $g(x) \neq 0$ ની જરૂર છે,તેથી $1-x \neq 0 \implies x \neq 1$. પ્રદેશ $[0, 1)$ છે.
$g/f$ માટે,આપણે $f(x) \neq 0$ ની જરૂર છે,તેથી $x \neq 0$. પ્રદેશ $(0, 1]$ છે.
આ તમામ વિધેયો માટે સામાન્ય પ્રદેશ $[0, 1], [0, 1),$ અને $(0, 1]$ નો છેદગણ છે,જે $(0, 1)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & ; |x| \geq 1 \\ ax^2 + b & ; |x| < 1 \end{cases}$.
$x \geq 1$ માટે,$f(x) = \frac{1}{x}$. $x \leq -1$ માટે,$f(x) = -\frac{1}{x}$.
$f(x)$ દરેક બિંદુએ વિકલનીય હોવાથી,તે $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies a(1)^2 + b = \frac{1}{1} \implies a + b = 1 \quad \dots(1)$.
વળી,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x^2} & ; x > 1 \\ 2ax & ; -1 < x < 1 \end{cases}$.
$x = 1$ આગળ વિકલિતોને સરખાવતા:
$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2a(1) = -\frac{1}{(1)^2} \implies 2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $a = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$-\frac{1}{2} + b = 1 \implies b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
આમ,$a = -\frac{1}{2}$ અને $b = \frac{3}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \quad \dots(1)$
$2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \quad \dots(3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$5A = \begin{bmatrix} 1+4 & 2-2 & 0+10 \\ 6+4 & -3-2 & 3+12 \\ -5+0 & 3+2 & 1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
હવે,$(2)$ પરથી,$B = 2A - \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$:
$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 2 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{Tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$\operatorname{Tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{Tr}(A) - \operatorname{Tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(C) રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 0, -2)$ છે.
સમતલ રેખાખંડ $PQ$ ને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{PQ} = (2-4, 3-(-3), -5-1) = (-2, 6, -6)$ ને સમાંતર છે.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -3, 3)$ લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $M(3, 0, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -3, 3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$1(x-3) - 3(y-0) + 3(z+2) = 0$
$x - 3y + 3z - 3 + 6 = 0$
$x - 3y + 3z + 3 = 0$
$ax+by+cz+d=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, b=-3, c=3, d=3$ મળે છે.
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ ની કિંમત $1^{2} + (-3)^{2} + 3^{2} + 3^{2} = 1 + 9 + 9 + 9 = 28$ થાય છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $28$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ અને $g(4-x) = -g(x)$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $g(4-x) = -g(x)$ મૂકતા,આપણને $f(x^{2}) - g(x) = 4x^{3}$ મળે છે,તેથી $f(x^{2}) = 4x^{3} + g(x)$.
આપણે $I = \int_{-4}^{4} f(x) dx$ ની કિંમત શોધવી છે. $f(x^{2}) = 4x^{3} + g(x)$ હોવાથી,$\int_{-4}^{4} f(x^{2}) dx = \int_{-4}^{4} (4x^{3} + g(x)) dx$.
$= \int_{-4}^{4} 4x^{3} dx + \int_{-4}^{4} g(x) dx$.
$4x^{3}$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-4}^{4} 4x^{3} dx = 0$.
$g(4-x) = -g(x)$ આપેલ હોવાથી,$g(x)$ નું સંકલન શૂન્ય થાય છે.
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય $0$ મળે છે.

(A) સમતલ $x - 2y + 2z - 3 = 0$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + 2z + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ થી સમતલ $x - 2y + 2z + \lambda = 0$ નું અંતર $\frac{|1 - 2(2) + 2(3) + \lambda|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$ દ્વારા મળે છે.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{|1 - 4 + 6 + \lambda|}{\sqrt{9}} = 1 \Rightarrow \frac{|\lambda + 3|}{3} = 1$.
આથી $|\lambda + 3| = 3$,એટલે કે $\lambda + 3 = 3$ અથવા $\lambda + 3 = -3$.
તેથી,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -6$.
બે શક્ય સમતલો $x - 2y + 2z = 0$ અને $x - 2y + 2z - 6 = 0$ છે.
કિસ્સો $1$: $a=1, b=-2, c=2, d=0$. તો $(b - d) = -2 - 0 = -2$ અને $(c - a) = 2 - 1 = 1$. તેથી,$-2 = K(1) \Rightarrow K = -2$.
કિસ્સો $2$: $a=1, b=-2, c=2, d=-6$. તો $(b - d) = -2 - (-6) = 4$ અને $(c - a) = 2 - 1 = 1$. તેથી,$4 = K(1) \Rightarrow K = 4$.
$K$ ની ધન કિંમત $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$.
સંકલનની અંદર અંશ અને છેદને $x^{14}$ વડે ભાગતા:
$f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + x^{-7} + 2)^{2}} dx$.
ધારો કે $t = x^{-5} + x^{-7} + 2$.
તેથી $dt = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,જેનો અર્થ છે કે $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \int -\frac{dt}{t^{2}} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^{7}}{1 + x^{2} + 2x^{7}} + C$.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,આપણને $C = 0$ મળે છે.
આમ,$f(x) = \frac{x^{7}}{x^{2} + 1 + 2x^{7}}$.
$x = 1$ માટે કિંમત શોધતા:
$f(1) = \frac{1^{7}}{1^{2} + 1 + 2(1)^{7}} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$.
$f(1) = \frac{1}{K}$ હોવાથી,$K = 4$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} \sin^{2} x & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 1+\sin^{2} x & \cos^{2} x & \cos 2x \\ \sin^{2} x & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2}$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 2 & \cos^{2} x & \cos 2x \\ 1 & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2}$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & \cos^{2} x & \cos 2x \\ 1 & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = -1 \times (2 \sin 2x - \cos 2x) = \cos 2x - 2 \sin 2x$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ થાય.
અહીં $a = 1$ અને $b = -2$ છે.
તેથી,$f(x)_{\max} = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

(C) વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = f(0) = \alpha$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ $x \rightarrow 0^{+}$ માટે:
$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2) \sin^{-1}(1-x)}{x(1-x)(1+x)} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x} \cdot \frac{\sin^{-1}(1-x)}{1-x^2} = \frac{\pi}{2} \cdot \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x}$.
ધારો કે $1-x^2 = \cos \theta$,તો જેમ $x \rightarrow 0^{+}$,તેમ $\theta \rightarrow 0^{+}$.
$\operatorname{Lim}_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{1-\cos \theta}} = \operatorname{Lim}_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{2} \sin(\theta/2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \sqrt{2}$.
તેથી,$RHL = \frac{\pi}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
હવે,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ $x \rightarrow 0^{-}$ માટે:
$x \in (-1, 0)$ માટે,$\{x\} = x+1$.
$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(1-(x+1))}{(x+1)-(x+1)^3} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(-x)}{(x+1)(1-(x+1)^2)} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \cdot (-x)}{(x+1)(-x)(2+x)} = \frac{\cos^{-1}(0)}{1 \cdot 2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.
અહીં $RHL = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ અને $LHL = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,લક્ષ સમાન નથી.
તેથી,$\alpha$ ની કોઈ પણ કિંમત માટે વિધેય $x=0$ આગળ સતત નથી.

(B) $(42, 0, 0)$,$(0, 42, 0)$ અને $(0, 0, 42)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{42} + \frac{y}{42} + \frac{z}{42} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 42$ થાય છે.
આને આપણે $(x-11) + (y-19) + (z-12) = 42 - 11 - 19 - 12 = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $a = x-11$,$b = y-19$,અને $c = z-12$. તેથી $a + b + c = 0$.
આપેલ પદાવલિ $3 + \frac{a}{b^2 c^2} + \frac{b}{a^2 c^2} + \frac{c}{a^2 b^2} - \frac{42}{14abc}$ છે.
$a+b+c=0$ હોવાથી,$x+y+z=42$ થાય. છેલ્લા પદમાં આ કિંમત મૂકતા,$\frac{42}{14abc} = \frac{3}{abc}$ મળે.
પદાવલિ $3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 b^2 c^2} - \frac{3}{abc} = 3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 b^2 c^2}$ બને છે.
$a+b+c=0$ હોવાથી,નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ સાચું છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $3 + \frac{3abc - 3abc}{a^2 b^2 c^2} = 3 + 0 = 3$ થાય છે.

(C) સંકલન $I = \int_{0}^{10} [x] e^{[x]-x+1} dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $x \in [n, n+1)$ હોય ત્યારે $[x] = n$ હોવાથી,આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \sum_{n=0}^{9} \int_{n}^{n+1} n \cdot e^{n-x+1} dx$.
દરેક પદ માટે સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$I = \sum_{n=0}^{9} n \left[ -e^{n-x+1} \right]_{n}^{n+1} = \sum_{n=0}^{9} n \left( -e^{0} + e^{1} \right) = (e-1) \sum_{n=0}^{9} n$.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{n=0}^{9} n = \frac{9 \times 10}{2} = 45$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = 45(e-1)$.