વિધેય $f: [\frac{1}{2}, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ને $f(x) = 4\sqrt{2}x^3 - 3\sqrt{2}x - 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુએ છેદે છે.
$(II)$ વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને $x = \cos \frac{\pi}{12}$ પર છેદે છે.
તો:

સમીકરણ $2^x = x^2$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ એ વિધેયો છે જે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x)=\begin{cases} x|x| \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ અને $g(x)=\begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$
ધારો કે $a, b, c, d \in R$. વિધેય $h: R \rightarrow R$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરો:
$h(x)=a f(x)+b\left(g(x)+g\left(\frac{1}{2}-x\right)\right)+c(x-g(x))+d g(x), x \in R$
$List-I$ ની દરેક એન્ટ્રીને $List-II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો.

$List-I$	$List-II$
$(P)$ જો $a=0, b=1, c=0$ અને $d=0$ હોય,તો	$(1)$ $h$ એક-એક છે
$(Q)$ જો $a=1, b=0, c=0$ અને $d=0$ હોય,તો	$(2)$ $h$ વ્યાપ્ત છે
$(R)$ જો $a=0, b=0, c=1$ અને $d=0$ હોય,તો	$(3)$ $h$ એ $R$ પર વિકલનીય છે
$(S)$ જો $a=0, b=0, c=0$ અને $d=1$ હોય,તો	$(4)$ $h$ નો વિસ્તાર $[0,1]$ છે
	$(5)$ $h$ નો વિસ્તાર $\{0,1\}$ છે

સાચો વિકલ્પ છે

જો $f: R \setminus \{0\} \rightarrow R$ એ $f(x) = x + \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $(f(x))^2$ ની કિંમત =

નીચે આપેલા ચાર વિધાનોમાંથી કયું વિધાન અન્ય કરતા અલગ છે?

જો $f(x) = \cos (\log x)$ હોય,તો $f(x^2)f(y^2) - \frac{1}{2}\left[ f\left( \frac{x^2}{y^2} \right) + f(x^2y^2) \right]$ ની કિંમત શું થાય?