JEE Main 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $G$ એ $(1,3), (3,1)$ અને $(2,4)$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
$G = \left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{3+1+4}{3}\right) = \left(2, \frac{8}{3}\right)$.
ધારો કે $(\alpha, \beta)$ એ રેખા $x+2y-2=0$ ની સાપેક્ષે $G$ નું પ્રતિબિંબ છે.
રેખા $ax+by+c=0$ માં બિંદુ $(x_0, y_0)$ ના પ્રતિબિંબ $(x', y')$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x'-x_0}{a} = \frac{y'-y_0}{b} = -2\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\alpha-2}{1} = \frac{\beta-8/3}{2} = -2\frac{2+2(8/3)-2}{1^2+2^2}$.
$\frac{\alpha-2}{1} = \frac{\beta-8/3}{2} = -2\frac{16/3}{5} = -\frac{32}{15}$.
આમ,$\alpha = 2 - \frac{32}{15} = -\frac{2}{15}$ અને $\beta = \frac{8}{3} - \frac{64}{15} = \frac{40-64}{15} = -\frac{24}{15}$.
અંતે,$15(\alpha-\beta) = 15\left(-\frac{2}{15} - (-\frac{24}{15})\right) = 15\left(\frac{22}{15}\right) = 22$.

(D) આપેલ છે $z_1 = e^{-i\pi/4}, z_2 = 1, z_3 = e^{i\pi/4}$.
$|z|=1$ હોવાથી,$\bar{z} = 1/z$.
$z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_3 + z_3 \bar{z}_1 = e^{-i\pi/4}(1) + 1(e^{-i\pi/4}) + e^{i\pi/4}(e^{i\pi/4}) = 2e^{-i\pi/4} + e^{i\pi/2}$.
$2e^{-i\pi/4} + e^{i\pi/2} = 2(\cos(\pi/4) - i\sin(\pi/4)) + i = 2(\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}) + i = \sqrt{2} - i\sqrt{2} + i = \sqrt{2} + i(1 - \sqrt{2})$.
તેનો વર્ગિત માનાંક $|\sqrt{2} + i(1 - \sqrt{2})|^2 = (\sqrt{2})^2 + (1 - \sqrt{2})^2 = 2 + (1 - 2\sqrt{2} + 2) = 5 - 2\sqrt{2}$.
$\alpha + \beta \sqrt{2}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 5$ અને $\beta = -2$ મળે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.

(C) ધારો કે $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5, \ldots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 1$.
આપેલ છે $a_1 a_5 = 28$ $\Rightarrow a(ar^4) = 28$ $\Rightarrow a^2 r^4 = 28$ $\Rightarrow (ar^2)^2 = 28$ $\Rightarrow ar^2 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.
આપેલ છે $a_2 + a_4 = 29$ $\Rightarrow ar + ar^3 = 29$ $\Rightarrow ar(1 + r^2) = 29$.
$ar^2 = \sqrt{28}$ હોવાથી,$a = \frac{\sqrt{28}}{r^2}$ મળે.
બીજા સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\sqrt{28}}{r^2} \cdot r(1 + r^2) = 29 \Rightarrow \frac{\sqrt{28}(1 + r^2)}{r} = 29$.
ધારો કે $x = r + \frac{1}{r}$. તેથી $r^2 + 1 = xr$.
સમીકરણ $\sqrt{28} \cdot x = 29 \Rightarrow x = \frac{29}{\sqrt{28}}$ બને છે.
$r + \frac{1}{r} = \frac{29}{\sqrt{28}}$ હોવાથી,$r$ માટે ઉકેલતા: $r^2 - \frac{29}{\sqrt{28}}r + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = \frac{28}{\sqrt{28}} = \sqrt{28}$ (વધતા પદો માટે $r > 1$).
તેથી $a = \frac{\sqrt{28}}{28} = \frac{1}{\sqrt{28}}$.
અંતે,$a_6 = ar^5 = \frac{1}{\sqrt{28}} \cdot (\sqrt{28})^5 = 28^2 = 784$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $e^{5(\ln x)^2+3} = x^8$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln(e^{5(\ln x)^2+3}) = \ln(x^8)$
$5(\ln x)^2 + 3 = 8 \ln x$
ધારો કે $t = \ln x$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$5t^2 - 8t + 3 = 0$
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $t_1$ અને $t_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = -(-8)/5 = 8/5$ થાય.
$t = \ln x$ હોવાથી,$\ln x_1 + \ln x_2 = 8/5$ મળે.
$\ln x_1 + \ln x_2 = \ln(x_1 x_2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\ln(x_1 x_2) = 8/5$
તેથી,ઉકેલોનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = e^{8/5}$ થાય.

(C) આપેલ છે $S_{n} = \sum_{r=1}^{n} T_{r} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}{64}$.
$T_{n} = S_{n} - S_{n-1} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5) - (2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)}{64}$.
$T_{n} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3) [ (2n+5) - (2n-3) ]}{64} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3) \times 8}{64} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}{8}$.
તેથી,$\frac{1}{T_{r}} = \frac{8}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} - \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right)$.
તેથી,$\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{T_{r}} = 8 \times \frac{1}{4} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{1}{(2r-1)(2r+1)} - \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right) = 2 \left( \frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \right)$.
$n \rightarrow \infty$ લેતા,બીજું પદ શૂન્ય થઈ જશે.
પરિણામ $= 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) કુલ $26$ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો છે. આપણે $5$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે અને તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવવાના છે જેથી મધ્યનો અક્ષર $M$ હોય.
મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવણી હોવાથી,એકવાર $5$ અક્ષરો પસંદ થઈ જાય,પછી તેને ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત હોય છે.
મધ્યનો અક્ષર $M$ હોવા માટે,આપણે $M$ પહેલા આવતા $12$ અક્ષરોમાંથી ($A$ થી $L$) $2$ અક્ષરો અને $M$ પછી આવતા $13$ અક્ષરોમાંથી ($N$ થી $Z$) $2$ અક્ષરો પસંદ કરવા પડે.
$12$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ છે.
$13$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $^{12}C_2 \times ^{13}C_2 = 66 \times 78 = 5148$ થાય.

(B) પરવલય $y=x^2+px-3$ આપેલ છે.
યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ છે.
$y$-અંતઃખંડ માટે $x=0$ લેતા,$y=-3$ મળે. તેથી,$R=(0,-3)$.
$x$-અંતઃખંડ માટે $y=0$ લેતા,$x^2+px-3=0$ મળે. ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $P=(\alpha, 0)$ અને $Q=(\beta, 0)$.
$(-1,-1)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^2+(y+1)^2=r^2$ છે.
વર્તુળ $R(0,-3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(0+1)^2+(-3+1)^2=r^2$,જે $1^2+(-2)^2=r^2$ એટલે કે $r^2=5$ આપે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^2+(y+1)^2=5$ છે.
વર્તુળના $x$-અંતઃખંડ માટે $y=0$ લેતા: $(x+1)^2+(0+1)^2=5 \implies (x+1)^2=4 \implies x+1=\pm 2$.
તેથી,$x=1$ અથવા $x=-3$. એટલે કે $P=(1,0)$ અને $Q=(-3,0)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(1,0), (-3,0)$ અને $(0,-3)$ છે,તે $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે.
પાયો $PQ = |1 - (-3)| = 4$.
વેધ ($x$-અક્ષથી $R$ નું અંતર) $= |-3| = 3$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.

(A) વર્તુળ $C$ બીજા ચરણમાં છે અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(-2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = 2$ છે.
વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ છે.
બીજા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે. તેનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = r^2$ છે.
કેન્દ્રો $(-2, 2)$ અને $(2, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $|R - r| < d < R + r$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા,$|2 - r| < 5 < 2 + r$ મળે છે.
$5 < 2 + r$ પરથી,$r > 3$ મળે છે.
$|2 - r| < 5$ પરથી,$-5 < 2 - r < 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $-3 < r < 7$.
આ બંનેને જોડતા,$3 < r < 7$ મળે છે.
આમ,અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ એ $(3, 7)$ છે,તેથી $\alpha = 3$ અને $\beta = 7$.
$3 \beta - 2 \alpha = 3(7) - 2(3) = 21 - 6 = 15$.

(A) આપણને $A = \{1, 2, \ldots, 10\}$ અને $B = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in A, m < n, \gcd(m, n) = 1\right\}$ આપેલ છે.
$n(B)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક $n \in \{2, 3, \ldots, 10\}$ માટે એવા અપૂર્ણાંકો $\frac{m}{n}$ ગણીએ જ્યાં $m < n$ અને $\gcd(m, n) = 1$ હોય.
$n=2$ માટે: $m \in \{1\}$,$\gcd(1, 2) = 1$. સંખ્યા = $1$.
$n=3$ માટે: $m \in \{1, 2\}$,$\gcd(1, 3) = 1, \gcd(2, 3) = 1$. સંખ્યા = $2$.
$n=4$ માટે: $m \in \{1, 3\}$,$\gcd(1, 4) = 1, \gcd(3, 4) = 1$. સંખ્યા = $2$.
$n=5$ માટે: $m \in \{1, 2, 3, 4\}$,બધા $5$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $4$.
$n=6$ માટે: $m \in \{1, 5\}$,$\gcd(1, 6) = 1, \gcd(5, 6) = 1$. સંખ્યા = $2$.
$n=7$ માટે: $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,બધા $7$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $6$.
$n=8$ માટે: $m \in \{1, 3, 5, 7\}$,બધા $8$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $4$.
$n=9$ માટે: $m \in \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$,બધા $9$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $6$.
$n=10$ માટે: $m \in \{1, 3, 7, 9\}$,બધા $10$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $4$.
આ તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો: $1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 + 4 + 6 + 4 = 31$.
આમ,$n(B) = 31$.

(C) નાભિઓ $F_1 = (1, 14)$ અને $F_2 = (1, -12)$ છે. અતિવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{1+1}{2}, \frac{14-12}{2}) = (1, 1)$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(1-1)^2 + (14 - (-12))^2} = 26$,તેથી $ae = 13$.
અતિવલય $(1, 6)$ માંથી પસાર થાય છે. મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ હોવાથી,અતિવલય પરના બિંદુ $P$ માટે $|PF_1 - PF_2| = 2a$.
$PF_1 = 8$ અને $PF_2 = 18$.
$2a = |8 - 18| = 10$,તેથી $a = 5$.
$ae = 13$ હોવાથી,$5e = 13$,એટલે કે $e = \frac{13}{5}$.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = (ae)^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
તેથી,$b^2 = 144$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 144}{5} = \frac{288}{5}$.

(B) $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}^{11}C_k x^k$ નું $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા,$\int_0^1 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k}{k+1} = \frac{2^{12}-1}{12}$ મળે.
$-1$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા,$\int_{-1}^0 (1+x)^{11} dx = \sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (-1)^k}{k+1} = \frac{1}{12}$ મળે.
બંને પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $\sum_{k=0}^{11} \frac{{}^{11}C_k (1 - (-1)^k)}{k+1} = \frac{2^{12}-2}{12} = \frac{2^{11}-1}{6}$.
આ સરવાળામાં માત્ર એકી $k$ વાળા પદો જ બાકી રહેશે,એટલે કે $k = 2r+1$.
તેથી,$2 \sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2^{11}-1}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{2047}{12}$.
અહીં $m = 2047$ અને $n = 12$ છે. તેથી $m - n = 2047 - 12 = 2035$.

(A) ધારો કે $y = \sqrt{x^3-1}$. પદાવલી $(x+y)^5 + (x-y)^5$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(x+y)^5 + (x-y)^5 = 2[\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{2}x^3y^2 + \binom{5}{4}xy^4]$.
$y^2 = x^3-1$ અને $y^4 = (x^3-1)^2 = x^6 - 2x^3 + 1$ મૂકતા:
$= 2[1 \cdot x^5 + 10 \cdot x^3(x^3-1) + 5 \cdot x(x^6 - 2x^3 + 1)]$.
$= 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$.
$= 10x^7 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $\alpha = 10, \beta = 2, \gamma = -20, \delta = 10$.
આપેલ સમીકરણો: $10u + 2v = 18$ અને $-20u + 10v = 20$.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $5u + v = 9$.
બીજા સમીકરણને $10$ વડે ભાગતા: $-2u + v = 2$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(5u + v) - (-2u + v) = 9 - 2$ $\Rightarrow 7u = 7$ $\Rightarrow u = 1$.
$u=1$ ને $5u+v=9$ માં મૂકતા $v=4$ મળે છે.
તેથી,$u+v = 1+4 = 5$.

(A) પગલું $1$: $3$ છોકરીઓના જૂથને એક એકમ તરીકે અને $4$ છોકરાઓના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણો. આ $2$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $2! = 2$ છે.
પગલું $2$: છોકરીઓના એકમમાં,$3$ છોકરીઓને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
પગલું $3$: છોકરાઓના એકમમાં,$4$ છોકરાઓને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. બધી છોકરીઓ સાથે અને બધા છોકરાઓ સાથે હોય તેવી કુલ ગોઠવણી $2 \times 6 \times 24 = 288$ છે.
પગલું $4$: હવે,$B_1$ અને $B_2$ બાજુમાં હોય તેવી ગોઠવણી ગણો. $(B_1, B_2)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો. $4$ છોકરાઓને $3! \times 2! = 12$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. છોકરીઓ સાથે,છોકરાઓ સાથે અને $B_1, B_2$ બાજુમાં હોય તેવી કુલ ગોઠવણી $2 \times 6 \times 12 = 144$ છે.
પગલું $5$: $B_1$ અને $B_2$ બાજુમાં ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $288 - 144 = 144$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(4, 4\sqrt{3})$ એ $y^2 = 4ax$ પર છે.
$P$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકતા: $(4\sqrt{3})^2 = 4a(4) \Rightarrow 48 = 16a \Rightarrow a = 3$.
પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે. નાભિ $S$ એ $(3, 0)$ છે.
ધારો કે $P$ નો પ્રચલ $t_1$ છે. $P = (at_1^2, 2at_1) = (3t_1^2, 6t_1) = (4, 4\sqrt{3})$,તેથી $6t_1 = 4\sqrt{3} \Rightarrow t_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,$t_1 t_2 = -1$,તેથી $t_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (3(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2, 2(3)(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = (\frac{9}{4}, -3\sqrt{3})$ છે.
નિયામિકા $x = -3$ છે.
$P(4, 4\sqrt{3})$ થી $x = -3$ નું લંબ અંતર $PM = 4 - (-3) = 7$.
$Q(\frac{9}{4}, -3\sqrt{3})$ થી $x = -3$ નું લંબ અંતર $QN = \frac{9}{4} - (-3) = \frac{21}{4}$.
ચતુષ્કોણ $PQMN$ એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં સમાંતર બાજુઓ $PM$ અને $QN$ છે અને ઊંચાઈ $MN$ છે. $MN$ ની લંબાઈ $y$-યામનો તફાવત છે: $MN = |4\sqrt{3} - (-3\sqrt{3})| = 7\sqrt{3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (PM + QN) \times MN = \frac{1}{2} \times (7 + \frac{21}{4}) \times 7\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \frac{49}{4} \times 7\sqrt{3} = \frac{343\sqrt{3}}{8}$.

(A) ધારો કે $A.P.$ એ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2k}$ છે.
એકી સ્થાનવાળા પદોનો સરવાળો: $\sum_{r=1}^{k} a_{2r-1} = 40$.
બેકી સ્થાનવાળા પદોનો સરવાળો: $\sum_{r=1}^{k} a_{2r} = 55$.
બેકી અને એકી પદોના સરવાળાનો તફાવત: $\sum_{r=1}^{k} (a_{2r} - a_{2r-1}) = 55 - 40 = 15$.
$a_{2r} - a_{2r-1} = d$ હોવાથી,$k \times d = 15$,એટલે કે $d = \frac{15}{k}$.
છેલ્લું પદ $a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$ છે. આપેલ છે કે $a_{2k} - a_1 = 27$,તેથી $(2k-1)d = 27$.
$d = \frac{15}{k}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(2k-1) \frac{15}{k} = 27$.
$15(2k-1) = 27k \Rightarrow 30k - 15 = 27k$.
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$.

(A) આપેલ છે $\alpha = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \left( \frac{e}{1-e} \right) \left( \frac{1}{e} - \frac{x}{1+x} \right) \right)^x$,જે $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} g(x)(f(x)-1)}$.
ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \left( \frac{e}{1-e} \right) \left( \frac{1}{e} - \frac{x}{1+x} \right) - 1 \right)$.
લિમિટની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left( \frac{e}{1-e} \right) \left( \frac{1}{e} - \frac{x}{1+x} \right) = \frac{1}{1-e} - \frac{ex}{(1-e)(1+x)} = \frac{1+x-ex}{(1-e)(1+x)}$.
હવે,$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{1+x-ex}{(1-e)(1+x)} - 1 \right) = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{1+x-ex - (1-e)(1+x)}{(1-e)(1+x)} \right)$.
$L = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{1+x-ex - (1+x-e-ex)}{(1-e)(1+x)} \right) = \lim _{x \rightarrow \infty} x \left( \frac{e}{(1-e)(1+x)} \right) = \frac{e}{1-e}$.
આમ,$\alpha = e^{\frac{e}{1-e}}$,તેથી $\log _e \alpha = \frac{e}{1-e}$.
જરૂરી કિંમત $\frac{\log _e \alpha}{1+\log _e \alpha} = \frac{\frac{e}{1-e}}{1 + \frac{e}{1-e}} = \frac{e}{1-e+e} = e$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + (\cos \theta)x - 1 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha_\theta + \beta_\theta = -\frac{\cos \theta}{2}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha_\theta \beta_\theta = -\frac{1}{2}$ છે.
આપણે $\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4 = (\alpha_\theta^2 + \beta_\theta^2)^2 - 2(\alpha_\theta \beta_\theta)^2$ શોધવાનું છે.
$\alpha_\theta^2 + \beta_\theta^2 = (\alpha_\theta + \beta_\theta)^2 - 2\alpha_\theta \beta_\theta = \frac{\cos^2 \theta}{4} + 1$ હોવાથી,
$\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4 = (\frac{\cos^2 \theta}{4} + 1)^2 - 2(-\frac{1}{2})^2 = (\frac{\cos^2 \theta}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2}$.
ધારો કે $u = \cos^2 \theta$,જ્યાં $u \in [0, 1]$.
$f(u) = (\frac{u}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2}$ લેતા.
$u = 0$ માટે,$f(0) = (1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = m$.
$u = 1$ માટે,$f(1) = (\frac{1}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{25}{16} - \frac{8}{16} = \frac{17}{16} = M$.
તેથી,$16(M + m) = 16(\frac{17}{16} + \frac{1}{2}) = 25$.

(C) ઉપવલય $E$ માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે,તેથી નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2\sqrt{3} \Rightarrow ae = \sqrt{3}$ છે.
અતિવલય $H$ માટે,નાભિઓ $(\pm Ae', 0)$ છે,તેથી નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2Ae' = 2\sqrt{3} \Rightarrow Ae' = \sqrt{3}$ છે.
આમ,$ae = Ae' \Rightarrow \frac{e}{e'} = \frac{A}{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{e}{e'} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{A}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 3A$ મળે.
આપેલ છે કે $a - A = 2$,$a = 3A$ મૂકતા $3A - A = 2$ $\Rightarrow 2A = 2$ $\Rightarrow A = 1$ અને $a = 3$ મળે.
$ae = \sqrt{3}$ હોવાથી,$3e = \sqrt{3} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે. તેથી $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - \frac{1}{3}) = 9(\frac{2}{3}) = 6$ મળે.
$Ae' = \sqrt{3}$ હોવાથી,$1 \cdot e' = \sqrt{3} \Rightarrow e' = \sqrt{3}$ મળે. તેથી $B^2 = A^2((e')^2 - 1) = 1(3 - 1) = 2$ મળે.
$E$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $L_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(6)}{3} = 4$ છે.
$H$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $L_H = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{1} = 4$ છે.
તેમના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈનો સરવાળો $4 + 4 = 8$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણો $2 \sin^2 \theta = \cos 2\theta$ અને $2 \cos^2 \theta = 3 \sin \theta$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $2 \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
બીજા સમીકરણ પરથી: $2(1 - \sin^2 \theta) = 3 \sin \theta \implies 2 - 2 \sin^2 \theta = 3 \sin \theta \implies 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$.
$\sin \theta = -2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
બંને પરિણામોને સરખાવતા,સામાન્ય ઉકેલ $\sin \theta = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$\theta \in [0, 2\pi]$ માટે,કિંમતો $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \pi$ થાય છે.

(A) ધારો કે $z=x+iy$. વક્રના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા:
$(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i)=4$
$x+ix+iy-y+x-ix-iy-y=4$
$2x-2y=4 \implies x-y=2$.
પ્રદેશ $|z-3| \leq 1$ એ $(3,0)$ કેન્દ્ર અને $r=1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે,જે $(x-3)^2+y^2 \leq 1$ છે.
રેખા $x-y=2$ વર્તુળને $(2,0)$ અને $(3,1)$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
કેન્દ્ર $(3,0)$ થી રેખા $x-y-2=0$ નું અંતર $d = \frac{|3-0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
વર્તુળાકાર ખંડનું ક્ષેત્રફળ $A_{segment} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ છે.
નાનું ક્ષેત્રફળ $\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ અને મોટું ક્ષેત્રફળ $\beta = \pi - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}$ છે.
તેથી $|\alpha-\beta| = \frac{\pi}{2} + 1$.

(B) શિરોબિંદુઓ $A(6, 8)$,$B(10 \cos \alpha, -10 \sin \alpha)$,અને $C(-10 \sin \alpha, 10 \cos \alpha)$ બધા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 100$ પર આવેલા છે. તેથી પરિકેન્દ્ર $O$ એ $(0, 0)$ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર $L$,મધ્યકેન્દ્ર $G$,અને પરિકેન્દ્ર $O$ સમરેખ હોય છે,અને $G$ એ $OL$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G(h, k) = \left(\frac{a}{3}, 3\right)$.
તેથી,$h = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$ અને $k = 3$.
મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k) = \left(\frac{6 + 10(\cos \alpha - \sin \alpha)}{3}, \frac{8 + 10(\cos \alpha - \sin \alpha)}{3}\right)$.
$k = 3$ હોવાથી,$10(\cos \alpha - \sin \alpha) = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$100(1 - \sin 2\alpha) = 1 \Rightarrow 100 \sin 2\alpha = 99$.
$h = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$ મળે છે.
હવે,$5a - 3h + 6k + 100 \sin 2\alpha = 12h + 18 + 99 = 12(\frac{7}{3}) + 117 = 28 + 117 = 145$.

(C) ધારો કે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ છે. બિંદુ $P$ એક રેખાથી $1$ ના અંતરે અને બીજી રેખાથી $4$ ના અંતરે છે.
ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે $PR$ રેખા સાથે બનાવે છે જે $P$ થી $4$ ના અંતરે છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$PR = \frac{4}{\sin \theta} = 4 \operatorname{cosec} \theta$.
તે જ રીતે,$PQ = \frac{1}{\sin(90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ}))} = \frac{1}{\cos(\theta + 30^{\circ})}$.
$\triangle PQR$ સમબાજુ હોવાથી,$PR = PQ = d$.
તેથી,$4 \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\cos(\theta + 30^{\circ})}$.
$4 \cos(\theta + 30^{\circ}) = \sin \theta$.
$4(\cos \theta \cos 30^{\circ} - \sin \theta \sin 30^{\circ}) = \sin \theta$.
$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta) = \sin \theta$.
$2\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = \sin \theta$.
$2\sqrt{3} \cos \theta = 3 \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
પછી $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{4/3}{1 + 4/3} = \frac{4/3}{7/3} = \frac{4}{7}$.
$d^2 = PR^2 = (4 \operatorname{cosec} \theta)^2 = 16 \operatorname{cosec}^2 \theta = 16 \times \frac{1}{\sin^2 \theta} = 16 \times \frac{7}{4} = 28$.

(D) આપણી પાસે પદ $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ છે.
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ મળે.
તેથી,પદ $r(31-r) {}^{30}C_r$ બને છે.
$r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$ હોવાથી,સરવાળો $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ થાય.
$k = r-1$ લેતા,$r = k+1$. જ્યારે $r$,$1$ થી $30$ જાય,ત્યારે $k$,$0$ થી $29$ જાય.
$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.
$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.
તેથી,$\alpha = 465$.

(D) આપેલ રેખા $3x - 2y + 12 = 0$ છે અને પરવલય $4y = 3x^2$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$2y = 3x + 12$.
આને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(3x + 12) = 3x^2$.
$3x^2 - 6x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$.
$(x - 4)(x + 2) = 0$,તેથી $x = 4$ અથવા $x = -2$.
જો $x = 4$,તો $4y = 3(16) = 48 \Rightarrow y = 12$. બિંદુ $B = (4, 12)$.
જો $x = -2$,તો $4y = 3(4) = 12 \Rightarrow y = 3$. બિંદુ $A = (-2, 3)$.
પરવલય $4y = 3x^2$ નું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{3 - 0}{-2 - 0} = -\frac{3}{2}$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{12 - 0}{4 - 0} = 3$ છે.
શિરોબિંદુ $O$ આગળ $AB$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{3 - (-3/2)}{1 + (3)(-3/2)} \right| = \left| \frac{9/2}{1 - 9/2} \right| = \left| \frac{9/2}{-7/2} \right| = \frac{9}{7}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{9}{7}\right)$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 3$.
ધારો કે $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $S_4 = \frac{4}{2}[2(3) + (4-1)d] = 2(6 + 3d) = 12 + 6d$ છે.
પછીના ચાર પદોનો સરવાળો $S_8 - S_4$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_4 = \frac{1}{5}(S_8 - S_4)$.
$5S_4 = S_8 - S_4 \Rightarrow 6S_4 = S_8$.
$6 \times [2(6 + 3d)] = \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)d]$.
$12(6 + 3d) = 4(6 + 7d)$.
$3(6 + 3d) = 6 + 7d$.
$18 + 9d = 6 + 7d$.
$2d = -12 \Rightarrow d = -6$.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2}[2(3) + (20-1)(-6)]$ છે.
$S_{20} = 10[6 + 19(-6)] = 10[6 - 114] = 10(-108) = -1080$.

(A) આપેલ છે $\left|\frac{\bar{z}-i}{2 \bar{z}+i}\right|=\frac{1}{3}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા: $\left|\frac{\bar{z}-i}{2(\bar{z}+i/2)}\right|=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow \left|\frac{\bar{z}-i}{\bar{z}+i/2}\right|=\frac{2}{3}$.
ધારો કે $z = x+iy$,તેથી $\bar{z} = x-iy$. આ કિંમત મૂકતા:
$3|x-iy-i| = 2|x-iy+i/2|$
$9(x^2 + (-y-1)^2) = 4(x^2 + (-y+1/2)^2)$
$9(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 4(x^2 + y^2 - y + 1/4)$
$9x^2 + 9y^2 + 18y + 9 = 4x^2 + 4y^2 - 4y + 1$
$5x^2 + 5y^2 + 22y + 8 = 0$
$x^2 + y^2 + \frac{22}{5}y + \frac{8}{5} = 0$.
કેન્દ્ર $C$ એ $(0, -11/5)$ છે.
$(0,0)$,$(0, -11/5)$ અને $(\alpha, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = 11$ છે.
$\frac{1}{2} |0(-11/5 - 0) + 0(0 - 0) + \alpha(0 - (-11/5))| = 11$.
$\frac{1}{2} |\alpha \cdot \frac{11}{5}| = 11$.
$|\alpha| = 10$.
તેથી,$\alpha^2 = 100$.

(C) $\text{DAUGHTER}$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $D, A, U, G, H, T, E, R$.
તેમાં $3$ સ્વરો છે: $A, U, E$ અને $5$ વ્યંજનો છે: $D, G, H, T, R$.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 8! = 40320$.
બધા સ્વરો સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કુલ શબ્દોમાંથી એવા શબ્દો બાદ કરીશું જેમાં બધા સ્વરો સાથે હોય.
$3$ સ્વરો $(A, U, E)$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ વ્યંજનો $+ 1$ એકમ $= 6$ ઘટકો છે.
આ $6$ ઘટકોને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
એકમની અંદરના $3$ સ્વરોને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
સ્વરો સાથે હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા $= 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$.
સ્વરો ક્યારેય સાથે ન આવે તેવા શબ્દોની સંખ્યા $= 8! - (6! \times 3!) = 40320 - 4320 = 36000$.

(B) $QR$ રેખાનું સમીકરણ $5x + 2y + 2 = 0$ છે.
$PR$ રેખાનું સમીકરણ $10x - 3y - 38 = 0$ છે.
તેથી,બિંદુ $R(2, -6)$ મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{5-2+2}{3}, \frac{4+4-6}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
$c + 2d = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3$.

(A) ધારો કે $E = \sin 70^{\circ} (\cot 10^{\circ} \cot 70^{\circ} - 1)$.
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} - 1 \right)$
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ} - \sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos(10^{\circ} + 70^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 80^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
$\cos 80^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin 10^{\circ}$ હોવાથી:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right) = 1$.

(B) જૂથબદ્ધ ડેટાના મધ્યસ્થ માટેનું સૂત્ર $\text{Median} = \ell + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h$ છે.
આપેલ છે: $\text{Median} = 14$,$\ell = 12$,$h = 6$,$f = 12$,અને $F = 18$.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$14 = 12 + \left( \frac{\frac{N}{2} - 18}{12} \right) \times 6$
$14 - 12 = \left( \frac{\frac{N}{2} - 18}{2} \right)$
$2 = \frac{\frac{N}{2} - 18}{2}$
$4 = \frac{N}{2} - 18$
$22 = \frac{N}{2}$
$N = 44$.
આમ,વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા $44$ છે.

(B) $(1+2^{1/3}+3^{1/2})^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\frac{6!}{r_1! r_2! r_3!} (1)^{r_1} (2^{1/3})^{r_2} (3^{1/2})^{r_3}$ છે,જ્યાં $r_1+r_2+r_3=6$.
પદ સંમેય હોવા માટે,$r_2$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $r_3$ એ $2$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$(r_1, r_2, r_3)$ માટે શક્ય કિંમતો:
$1$. $(6, 0, 0) \implies 1$
$2$. $(4, 0, 2) \implies 45$
$3$. $(2, 0, 4) \implies 135$
$4$. $(0, 0, 6) \implies 27$
$5$. $(3, 3, 0) \implies 40$
$6$. $(1, 3, 2) \implies 360$
$7$. $(0, 6, 0) \implies 4$
સરવાળો $= 1 + 45 + 135 + 27 + 40 + 360 + 4 = 612$.

(C) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ છે જ્યાં $\alpha > 0$. વર્તુળ રેખા $x - y + 1 = 0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર છે:
$r = \left| \frac{\alpha - 0 + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{\alpha + 1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$r^2 = \frac{(\alpha + 1)^2}{2} \quad \dots(1)$
વર્તુળ રેખા $3x - 2y + 1 = 0$ પર $L = \frac{4}{\sqrt{13}}$ લંબાઈની જીવા કાપે છે. કેન્દ્ર $(\alpha, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d$ છે:
$d = \left| \frac{3\alpha - 2(0) + 1}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} \right| = \frac{3\alpha + 1}{\sqrt{13}}$
સંબંધ $r^2 = d^2 + (L/2)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2}{13} + \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13} \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{(\alpha + 1)^2}{2} = \frac{(3\alpha + 1)^2 + 4}{13}$
$13(\alpha^2 + 2\alpha + 1) = 2(9\alpha^2 + 6\alpha + 1 + 4)$
$13\alpha^2 + 26\alpha + 13 = 18\alpha^2 + 12\alpha + 10$
$5\alpha^2 - 14\alpha - 3 = 0$
$(5\alpha + 1)(\alpha - 3) = 0$
$\alpha > 0$ હોવાથી,$\alpha = 3$. તેથી $r^2 = \frac{(3 + 1)^2}{2} = 8$,એટલે કે $r = 2\sqrt{2}$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિ $(\alpha, 0) = (3, 0)$ છે,તેથી $ae = 3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2r = 4\sqrt{2}$ છે,તેથી $a = 2\sqrt{2}$ અને $a^2 = 8$.
$a^2e^2 = 9$ હોવાથી,$8e^2 = 9$,તેથી $e^2 = \frac{9}{8}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 8(\frac{9}{8} - 1) = 8(\frac{1}{8}) = 1$.
આમ,$2a^2 + 3b^2 = 2(8) + 3(1) = 16 + 3 = 19$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = 0$ થાય છે.
તેથી,$x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
બીજ સમાન હોવાથી,બંને બીજ $1$ થશે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{c(a-b)}{a(b-c)} = 1 \times 1 = 1$ થાય.
તેથી,$c(a-b) = a(b-c) \Rightarrow 2ac = b(a+c)$.
$a+c = 15$ અને $b = \frac{36}{5}$ મુકતા,$2ac = \frac{36}{5} \times 15 = 108$ મળે.
તેથી $ac = 54$.
$a^2 + c^2 = (a+c)^2 - 2ac = (15)^2 - 108 = 225 - 108 = 117$.

(C) વિસ્તરણ $(1+x)^p(1-x)^q = (1 + px + \frac{p(p-1)}{2}x^2 + \dots)(1 - qx + \frac{q(q-1)}{2}x^2 - \dots)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$ નો સહગુણક $p - q = 1$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક $\frac{q(q-1)}{2} - pq + \frac{p(p-1)}{2} = -2$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $q^2 - q - 2pq + p^2 - p = -4$ મળે છે.
ગોઠવતા,$(p^2 - 2pq + q^2) - (p + q) = -4$.
$(p - q)^2 - (p + q) = -4$.
$p - q = 1$ હોવાથી,$1^2 - (p + q) = -4$,જેનો અર્થ છે કે $p + q = 5$.
$p - q = 1$ અને $p + q = 5$ ઉકેલતા,આપણને $2p = 6 \implies p = 3$ અને $q = 2$ મળે છે.
આમ,$p^2 + q^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

(D) આપણને ગણ $A = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |x + y| \geq 3\}$ અને $B = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : |x| + |y| \leq 3\}$ આપેલા છે.
આપણે ગણ $C = \{(x, y) \in A \cap B : x = 0 \text{ અથવા } y = 0\}$ શોધવાનો છે.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$ હોય,તો $(0, y) \in A \cap B$.
$B$ પરથી,$|0| + |y| \leq 3 \implies |y| \leq 3 \implies -3 \leq y \leq 3$.
$A$ પરથી,$|0 + y| \geq 3 \implies |y| \geq 3$.
આ બંનેને જોડતા,$|y| = 3$ મળે,તેથી $y = 3$ અથવા $y = -3$. આમ,$(0, 3)$ અને $(0, -3)$ એ $C$ માં છે.
કિસ્સો $2$: જો $y = 0$ હોય,તો $(x, 0) \in A \cap B$.
$B$ પરથી,$|x| + |0| \leq 3 \implies |x| \leq 3 \implies -3 \leq x \leq 3$.
$A$ પરથી,$|x + 0| \geq 3 \implies |x| \geq 3$.
આ બંનેને જોડતા,$|x| = 3$ મળે,તેથી $x = 3$ અથવા $x = -3$. આમ,$(3, 0)$ અને $(-3, 0)$ એ $C$ માં છે.
તેથી,$C = \{(3, 0), (-3, 0), (0, 3), (0, -3)\}$.
હવે,આપણે $\sum_{(x, y) \in C} |x + y| = |3 + 0| + |-3 + 0| + |0 + 3| + |0 - 3| = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$ ગણીએ છીએ.

(B) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, a+2)$ અને $B$ ના યામ $(b, -2)$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ એ $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $h = \frac{2b+a}{3}$ અને $k = \frac{2(-2)+1(a+2)}{3} = \frac{a-2}{3}$.
$k = \frac{a-2}{3}$ પરથી,$a = 3k+2$ મળે.
$h = \frac{2b+a}{3}$ પરથી,$2b = 3h-a = 3h-3k-2$,તેથી $b = \frac{3h-3k-2}{2}$.
સળિયાની લંબાઈ $AB = 8$ છે,તેથી $AB^2 = 64$.
$(b-a)^2 + (-2-(a+2))^2 = 64$
$(\frac{3h-3k-2}{2} - (3k+2))^2 + (-4-a)^2 = 64$
$(\frac{3h-9k-6}{2})^2 + (-4-(3k+2))^2 = 64$
$\frac{9(h-3k-2)^2}{4} + (3k+6)^2 = 64$
$9(h^2+9k^2+4-6hk-4h+12k) + 4(9k^2+36k+36) = 256$
$9(h^2+9k^2-6hk-4h+12k+4+4k^2+16k+16) = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k+20) = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k) + 180 = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k) - 76 = 0$.
$9(x^2+\alpha y^2+\beta xy+\gamma x+28y)-76=0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=13$,$\beta=-6$,$\gamma=-4$ મળે.
તેથી,$\alpha-\beta-\gamma = 13 - (-6) - (-4) = 13+6+4 = 23$.

(A) $16$ માંથી કોઈપણ બે ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ છે.
જો બે ચોરસ આડા અથવા ઊભા રીતે પાસપાસે હોય તો તેમની સામાન્ય બાજુ હોય છે.
$4 \times 4$ ગ્રીડમાં,આડી પાસપાસેની જોડીઓની સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ છે.
ઊભી પાસપાસેની જોડીઓની સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ છે.
સામાન્ય બાજુ ધરાવતી જોડીઓની કુલ સંખ્યા = $12 + 12 = 24$ છે.
બે પસંદ કરેલા ચોરસ સામાન્ય બાજુ ધરાવતા હોય તેની સંભાવના $P(\text{common side}) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$ છે.
તેમની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય બાજુ ન હોય તેની સંભાવના $1 - P(\text{common side}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.

(A) નિત્યસમ $\cos \theta \cos(\frac{\pi}{3} - \theta) \cos(\frac{\pi}{3} + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 6 + 16 \left(\frac{1}{4} \cos 3x\right) \sin 3x \cdot \cos 6x$
$f(x) = 6 + 4 \cos 3x \sin 3x \cos 6x$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \cos 3x \sin 3x = 2 \sin 6x$ મળે:
$f(x) = 6 + 2 \sin 6x \cos 6x$
ફરીથી $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 6 + \sin 12x$
$-1 \le \sin 12x \le 1$ હોવાથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[5, 7]$ છે.
તેથી,$\alpha = 5$ અને $\beta = 7$.
બિંદુ $(5, 7)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $Ax + By + C = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|3(5) + 4(7) + 12|}{\sqrt{25}} = \frac{55}{5} = 11$.

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ છે,તેથી તેની નાભિ $S(1, 0)$ છે.
ધારો કે $P(t^2, 2t)$ પરવલય પરનું બિંદુ છે. $P$ આગળનો અભિલંબ $y + tx = 2t + t^3$ છે.
અભિલંબ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 + t(a) = 2t + t^3$,જે $a = 2 + t^2$ આપે છે.
અંતર $PR = 4$,જ્યાં $R = (a, 0) = (2+t^2, 0)$.
$PR^2 = (t^2-a)^2 + (2t)^2 = (t^2 - (2+t^2))^2 + 4t^2 = 4 + 4t^2 = 16$.
$4t^2 = 12 \Rightarrow t^2 = 3$.
તેથી $a = 2 + 3 = 5$. બિંદુ $(5, 0)$ છે.
વર્તુળ $(5, 0)$ અને નાભિ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $x$-ધરી પર છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(5, 0)$ છે.
સમીકરણ: $(x-1)(x-5) + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$.

(A) મધ્યબિંદુ $(h, k) = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{x(1)}{4} + \frac{y(1/2)}{2} = \frac{1^2}{4} + \frac{(1/2)^2}{2}$
$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = \frac{3}{8} \implies x+y = \frac{3}{2}$
$y = \frac{3}{2} - x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$6x^2 - 12x + 1 = 0$
$|x_2 - x_1| = \sqrt{\frac{10}{3}}$
જીવાની લંબાઈ = $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = \sqrt{\frac{10}{3} + \frac{10}{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$.

(D) $|z|=1$ આપેલ હોવાથી,આપણે $z = e^{i\theta}$ લખી શકીએ,જ્યાં $\theta \in [0, 2\pi)$.
તેથી $\bar{z} = e^{-i\theta}$.
આમ,$\frac{z}{\bar{z}} = e^{i2\theta}$ અને $\frac{\bar{z}}{z} = e^{-i2\theta}$.
આપેલ સમીકરણ $\left|e^{i2\theta} + e^{-i2\theta}\right| = 1$ છે.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i2\theta} + e^{-i2\theta} = 2\cos(2\theta)$.
તેથી,$|2\cos(2\theta)| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|\cos(2\theta)| = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(2\theta) = \pm \frac{1}{2}$.
$\theta \in [0, 2\pi)$ માટે,$2\theta \in [0, 4\pi)$.
જો $\cos(2\theta) = \frac{1}{2}$ હોય,તો $2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$.
જો $\cos(2\theta) = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $2\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.
$\theta$ માટે $8$ ભિન્ન કિંમતો મળે છે,તેથી આવી $8$ સંકર સંખ્યાઓ $z$ શક્ય છે.

(D) આપેલ લક્ષ: $L = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2x^2-3x+5)(3x-1)^{x/2}}{(3x^2+5x+4)(3x+2)^{x/2}}$
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2(2-3/x+5/x^2)}{x^2(3+5/x+4/x^2)} \cdot \left( \frac{3x-1}{3x+2} \right)^{x/2}$
$= \frac{2}{3} \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \frac{1-1/(3x)}{1+2/(3x)} \right)^{x/2}$
$= \frac{2}{3} \cdot \frac{\lim _{x \rightarrow \infty} (1-1/(3x))^{x/2}}{\lim _{x \rightarrow \infty} (1+2/(3x))^{x/2}}$
$= \frac{2}{3} \cdot \frac{e^{\lim _{x \rightarrow \infty} (x/2)(-1/(3x))}}{e^{\lim _{x \rightarrow \infty} (x/2)(2/(3x)))}}$
$= \frac{2}{3} \cdot \frac{e^{-1/6}}{e^{1/3}} = \frac{2}{3} e^{-1/6 - 1/3} = \frac{2}{3} e^{-1/2} = \frac{2}{3\sqrt{e}}$

(A) કિસ્સો $1$: બધા $5$ છોકરાઓ સાથે બેસે. $5$ છોકરાઓને $1$ એકમ તરીકે ગણો. આપણી પાસે $1$ છોકરાઓનો એકમ અને $4$ છોકરીઓ છે,કુલ $5$ એકમો. આને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય. $5$ છોકરાઓ પોતાની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે. કુલ રીતો $= 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.
કિસ્સો $2$: કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે. પ્રથમ,$4$ છોકરીઓને $4!$ રીતે ગોઠવો. આ $5$ જગ્યાઓ બનાવે છે (છેડાઓ સહિત) જ્યાં $5$ છોકરાઓ બેસી શકે: $\_ G \_ G \_ G \_ G \_$. $5$ છોકરાઓને $5$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $P(5, 5) = 5!$ છે. કુલ રીતો $= 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$.
આ બંને કિસ્સાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,કુલ રીતો $= 14400 + 2880 = 17280$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-ax-b=0$ માટે,બીજ $\alpha, \beta$ એ $\alpha+\beta=a$ અને $\alpha\beta=-b$ નું પાલન કરે છે.
$P_n = \alpha^n - \beta^n$ હોવાથી,આપણને પુનરાવર્તિત સંબંધ $P_n = aP_{n-1} + bP_{n-2}$ મળે છે.
$P_6 = aP_5 + bP_4$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $45\sqrt{7}i = a(11\sqrt{7}i) + b(-3\sqrt{7}i)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $11a - 3b = 45$ થાય છે.
$P_5 = aP_4 + bP_3$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $11\sqrt{7}i = a(-3\sqrt{7}i) + b(-5\sqrt{7}i)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-3a - 5b = 11$ થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $a=3$ અને $b=-4$ મળે છે.
આપણે $|\alpha^4+\beta^4|$ શોધવાનું છે. નોંધો કે $(\alpha^4+\beta^4)^2 = (\alpha^4-\beta^4)^2 + 4\alpha^4\beta^4 = P_4^2 + 4(\alpha\beta)^4$.
કિંમતો મૂકતા,$P_4^2 = (-3\sqrt{7}i)^2 = 9 \times 7 \times (-1) = -63$.
વળી,$4(\alpha\beta)^4 = 4(-b)^4 = 4(-(-4))^4 = 4(256) = 1024$.
આમ,$(\alpha^4+\beta^4)^2 = -63 + 1024 = 961$.
તેથી,$|\alpha^4+\beta^4| = \sqrt{961} = 31$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 4(x + 4)$ છે. અહીં નાભિ $(-3, 0)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 3)^2 + y^2 = 25$ છે.
રેખાઓ $3x - y = 0$ અને $x + \lambda y = 4$ નું છેદબિંદુ $(\frac{4}{1 + 3\lambda}, \frac{12}{1 + 3\lambda})$ છે.
આ બિંદુને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $6\lambda^2 + \lambda - 7 = 0$ મળે છે.
તેથી $\lambda_1 = -7/6$ અને $\lambda_2 = 1$ મળે છે.
$12\lambda_1 + 29\lambda_2 = 12(-7/6) + 29(1) = -14 + 29 = 15$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ $a = 8$ પ્રથમ પદ અને $d = 13$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$-મું પદ $a_n = a + (n-1)d = 320$ છે.
$8 + (n-1)13 = 320 \implies 13(n-1) = 312 \implies n-1 = 24 \implies n = 25$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{8 + 320}{2} = \frac{328}{2} = 164$.
$n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીનું વિચરણ $\sigma^2 = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = \frac{(25^2 - 1) \times 13^2}{12} = \frac{(625 - 1) \times 169}{12} = \frac{624 \times 169}{12}$.
$\sigma^2 = 52 \times 169 = 8788$.

(A) આપેલ છે કે પ્રથમ $11$ પદોનો સરવાળો $S_{11} = 88$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{3}{2}$ છે.
સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$88 = \frac{11}{2}(2a + 10 \times \frac{3}{2})$
$8 = \frac{1}{2}(2a + 15) \implies 16 = 2a + 15 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.
$10$ મું અને $11$ મું પદ:
$T_{10} = a + 9d = \frac{1}{2} + 9(\frac{3}{2}) = 14$.
$T_{11} = a + 10d = \frac{1}{2} + 10(\frac{3}{2}) = \frac{31}{2}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\frac{p}{3} = T_{10} + T_{11} = 14 + \frac{31}{2} = \frac{59}{2} \implies p = \frac{177}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{q}{3} = T_{10} \times T_{11} = 14 \times \frac{31}{2} = 217 \implies q = 651$.
$q - 2p = 651 - 2(\frac{177}{2}) = 651 - 177 = 474$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $f(x) - 6f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{35}{3x} - \frac{5}{2} \quad (1)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા:
$f\left(\frac{1}{x}\right) - 6f(x) = \frac{35x}{3} - \frac{5}{2} \quad (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $6$ વડે ગુણતા:
$6f\left(\frac{1}{x}\right) - 36f(x) = 70x - 15 \quad (3)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$-35f(x) = \frac{35}{3x} - \frac{35}{2} + 70x$
$f(x) = -\frac{1}{3x} - 2x + \frac{1}{2}$
$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{1}{\alpha x} - \frac{1}{3x} - 2x + \frac{1}{2}\right) = \beta$
અહીં $\alpha = 3$ અને $\beta = 1/2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + 2\beta = 3 + 2(1/2) = 4$.

(A) $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.
$S_{2025} = \frac{2025}{2026}$.
$\sqrt{2026 \cdot S_{2025}} = \sqrt{2026 \cdot \frac{2025}{2026}} = \sqrt{2025} = 45$.
$-p$ પ્રથમ પદ અને $p$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $A.P.$ માટે,પ્રથમ $6$ પદોનો સરવાળો $S_{6} = \frac{6}{2} [2(-p) + (6-1)p] = 3[-2p + 5p] = 3(3p) = 9p$ છે.
આપેલ છે કે $9p = 45$,તેથી $p = 5$.
$n$ મું પદ $A_{n} = a + (n-1)d = -p + (n-1)p = (n-2)p$ છે.
$20$ મા અને $15$ મા પદ વચ્ચેનો તફાવત $|A_{20} - A_{15}| = |(20-2)p - (15-2)p| = |18p - 13p| = |5p|$ છે.
$p = 5$ મૂકતા,આપણને $|5 \times 5| = 25$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2z^2 - 3z - 2i = 0$ છે.
$z$ વડે ભાગતા,આપણને $2z - 3 - \frac{2i}{z} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2(z - \frac{i}{z}) = 3$,અથવા $z - \frac{i}{z} = \frac{3}{2}$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha - \frac{i}{\alpha} = \frac{3}{2}$ અને $\beta - \frac{i}{\beta} = \frac{3}{2}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha - \frac{i}{\alpha})^2 = \alpha^2 + \frac{i^2}{\alpha^2} - 2i = \alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} - 2i = \frac{9}{4}$.
આમ,$\alpha^2 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{9}{4} + 2i$. તેવી જ રીતે,$\beta^2 - \frac{1}{\beta^2} = \frac{9}{4} + 2i$.
પદાવલિ $E = \frac{\alpha^{19} + \beta^{19} + \alpha^{11} + \beta^{11}}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{\alpha^{15}(\alpha^4 + \alpha^{-4}) + \beta^{15}(\beta^4 + \beta^{-4})}{\alpha^{15} + \beta^{15}}$ ધ્યાનમાં લો.
નોંધો કે $(\alpha^2 - \alpha^{-2})^2 = \alpha^4 + \alpha^{-4} - 2 = (\frac{9}{4} + 2i)^2 = \frac{81}{16} - 4 + 9i = \frac{17}{16} + 9i$.
તેથી,$\alpha^4 + \alpha^{-4} = \frac{17}{16} + 9i + 2 = \frac{49}{16} + 9i$.
આને $E$ માં મૂકતા: $E = \frac{(\alpha^{15} + \beta^{15})(\frac{49}{16} + 9i)}{\alpha^{15} + \beta^{15}} = \frac{49}{16} + 9i$.
તેથી $\operatorname{Re}(E) = \frac{49}{16}$ અને $\operatorname{Im}(E) = 9$.
જરૂરી કિંમત $16 \cdot \operatorname{Re}(E) \cdot \operatorname{Im}(E) = 16 \cdot \frac{49}{16} \cdot 9 = 49 \cdot 9 = 441$ છે.

(C) ગણ $A$ પરનો સામ્ય સંબંધ એ ગણ $A$ ના વિભાજનને અનુરૂપ છે. $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના સામ્ય સંબંધોની સંખ્યા બેલ સંખ્યા $B_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ માટે,ઘટકોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
$\{1, 2, 3\}$ ના વિભાજનો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\{\{1\}, \{2\}, \{3\}\}$ (તદેવ સંબંધ $R = \{(1,1), (2,2), (3,3)\}$ ને અનુરૂપ છે)
$2$. $\{\{1, 2\}, \{3\}\}$ (સંબંધ $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ ને અનુરૂપ છે)
$3$. $\{\{1, 3\}, \{2\}\}$ (સંબંધ $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,3), (3,1)\}$ ને અનુરૂપ છે)
$4$. $\{\{2, 3\}, \{1\}\}$ (સંબંધ $R = \{(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)\}$ ને અનુરૂપ છે)
$5$. $\{\{1, 2, 3\}\}$ (સાર્વત્રિક સંબંધ $R = A \times A$ ને અનુરૂપ છે)
આમ,કુલ $5$ શક્ય સામ્ય સંબંધો છે. આ બધા અરિક્ત હોવાથી,કુલ સંખ્યા $5$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x + y) = f(x) \cdot f(y)$. આ વિધેયાત્મક સમીકરણ સૂચવે છે કે $f(x) = e^{\lambda x}$.
$f^{\prime}(x) = \lambda e^{\lambda x}$ હોવાથી,$f^{\prime}(0) = \lambda = 4a$.
તેથી,$f(x) = e^{4ax}$.
હવે,$f(x) = e^{4ax}$ ને વિકલ સમીકરણ $f^{\prime \prime}(x) - 3a f^{\prime}(x) - f(x) = 0$ માં મૂકતા:
$f^{\prime}(x) = 4a e^{4ax}$ અને $f^{\prime \prime}(x) = 16a^2 e^{4ax}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $16a^2 e^{4ax} - 3a(4a e^{4ax}) - e^{4ax} = 0$.
$e^{4ax}$ વડે ભાગતા: $16a^2 - 12a^2 - 1 = 0$.
$4a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{4}$. $a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{1}{2}$.
હવે,$f(ax) = f(\frac{1}{2} x) = e^{4(\frac{1}{2})x} = e^{2x}$.
ક્ષેત્રફળ = $\int_{0}^{2} e^{2x} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{e^4 - 1}{2}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 16((\sec^{-1} x)^2 + (\operatorname{cosec}^{-1} x)^2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ તમામ $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ માટે.
ધારો કે $a = \sec^{-1} x$. તો $\operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2} - a$.
$\sec^{-1} x$ નો પ્રદેશ $a \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા, આપણને મળે છે $f(a) = 16(a^2 + (\frac{\pi}{2} - a)^2) = 16(a^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi a + a^2) = 16(2a^2 - \pi a + \frac{\pi^2}{4}) = 32a^2 - 16\pi a + 4\pi^2$.
આ $a$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જે ઉપરની તરફ ખુલે છે. તેનું શિરોબિંદુ $a = \frac{-(-16\pi)}{2(32)} = \frac{\pi}{4}$ પર છે.
કારણ કે $a \in [0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$, ન્યૂનતમ મૂલ્ય $a = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે.
$\text{ન્યૂનતમ} = f(\frac{\pi}{4}) = 32(\frac{\pi^2}{16}) - 16\pi(\frac{\pi}{4}) + 4\pi^2 = 2\pi^2 - 4\pi^2 + 4\pi^2 = 2\pi^2$.
મહત્તમ મૂલ્ય અંતરાલ $[0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}$ ની સીમાઓ પર મળે છે, જે $a=0$ અથવા $a=\pi$ છે.
$f(0) = 16(0^2 + (\frac{\pi}{2} - 0)^2) = 16(\frac{\pi^2}{4}) = 4\pi^2$.
$f(\pi) = 16(\pi^2 + (\frac{\pi}{2} - \pi)^2) = 16(\pi^2 + \frac{\pi^2}{4}) = 16(\frac{5\pi^2}{4}) = 20\pi^2$.
આમ, મહત્તમ મૂલ્ય $20\pi^2$ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2\pi^2$ છે.
સરવાળો $20\pi^2 + 2\pi^2 = 22\pi^2$ છે.

(B) ત્રણ વાર સિક્કો ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ છે।
ધારો કે $X$ એ છાપ પછી કાંટો આવે તે સંખ્યા છે (એટલે કે $HT$ ની પેટર્ન)।
$HHH \rightarrow 0$
$HHT \rightarrow 1$
$HTH \rightarrow 1$
$HTT \rightarrow 1$
$THH \rightarrow 0$
$THT \rightarrow 1$
$TTH \rightarrow 0$
$TTT \rightarrow 0$
$X$ ની કિંમતો $0$ અને $1$ છે।
$P(X=0) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$P(X=1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
મધ્યક $\mu = E[X] = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = (0^2 \times \frac{1}{2} + 1^2 \times \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$64(\mu + \sigma^2) = 64(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 64(\frac{3}{4}) = 48$.

(D) ધારો કે $P(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ એ $L_1$ પરનું બિંદુ છે અને $Q(3\mu+2, 4\mu+4, 5\mu+5)$ એ $L_2$ પરનું બિંદુ છે.
$PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(3\mu-2\lambda+1, 4\mu-3\lambda+2, 5\mu-4\lambda+2)$ છે.
કારણ કે $PQ$ એ ટૂંકા અંતરની રેખા છે,તેથી $PQ \perp L_1$ અને $PQ \perp L_2$.
$PQ \perp L_1$ માટે: $2(3\mu-2\lambda+1) + 3(4\mu-3\lambda+2) + 4(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 38\mu - 29\lambda + 16 = 0$.
$PQ \perp L_2$ માટે: $3(3\mu-2\lambda+1) + 4(4\mu-3\lambda+2) + 5(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 50\mu - 38\lambda + 21 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\lambda = \frac{1}{3}$ અને $\mu = -\frac{1}{6}$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$P = \left(\frac{5}{3}, 3, \frac{13}{3}\right)$ અને $Q = \left(\frac{3}{2}, \frac{10}{3}, \frac{25}{6}\right)$ મળે.
$P$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{PQ} = Q-P = \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{6}\right)$ (અથવા $(1, -2, 1)$) ના પ્રમાણસર દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-5/3}{1} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z-13/3}{1}$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $\left(\frac{14}{3}, -3, \frac{22}{3}\right)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $\frac{14/3 - 5/3}{1} = 3$,$\frac{-3-3}{-2} = 3$,$\frac{22/3 - 13/3}{1} = 3$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.
$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y^2}$ અને $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int y^{-2} dy} = e^{-1/y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot e^{-1/y} = \int Q(y) \cdot e^{-1/y} dy + C$ છે.
ધારો કે $t = -1/y$,તો $dt = \frac{1}{y^2} dy$.
$x \cdot e^{-1/y} = \int (-t) e^t dt + C = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$.
$t = -1/y$ મૂકતા,$x \cdot e^{-1/y} = e^{-1/y}(1 + \frac{1}{y}) + C$ મળે.
$x(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C$,તેથી $e^{-1} = 2e^{-1} + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = -e^{-1}$.
આમ,$x = 1 + \frac{1}{y} - e^{1/y} \cdot e^{-1} = 1 + \frac{1}{y} - e^{(1/y) - 1}$.
$y = 1/2$ માટે,$x = 1 + \frac{1}{1/2} - e^{(1/(1/2)) - 1} = 1 + 2 - e^{2-1} = 3 - e$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\tan^2 x + 1) = (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\sec^2 x)$.
$I_1 = \int_0^{\pi/4} (7 \tan^6 x - 3 \tan^2 x)(\sec^2 x) \, dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$. જ્યારે $x \to 0, t \to 0$ અને જ્યારે $x \to \pi/4, t \to 1$.
$I_1 = \int_0^1 (7t^6 - 3t^2) \, dt = [t^7 - t^3]_0^1 = 1 - 1 = 0$.
હવે,$I_2 = \int_0^{\pi/4} x f(x) \, dx = \int_0^{\pi/4} x \frac{d}{dx} (\tan^7 x - \tan^3 x) \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $I_2 = [x(\tan^7 x - \tan^3 x)]_0^{\pi/4} - \int_0^{\pi/4} (\tan^7 x - \tan^3 x) \, dx$.
કારણ કે $\tan(\pi/4) = 1$,તેથી સીમા પદ $0 - 0 = 0$ થશે.
$I_2 = - \int_0^{\pi/4} \tan^3 x (\tan^4 x - 1) \, dx = - \int_0^{\pi/4} \tan^3 x (\tan^2 x - 1)(\tan^2 x + 1) \, dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x \, dx = dt$.
$I_2 = - \int_0^1 t^3(t^2 - 1) \, dt = - \int_0^1 (t^5 - t^3) \, dt = - [\frac{t^6}{6} - \frac{t^4}{4}]_0^1 = - (\frac{1}{6} - \frac{1}{4}) = - (\frac{2-3}{12}) = \frac{1}{12}$.
આમ,$7 I_1 + 12 I_2 = 7(0) + 12(\frac{1}{12}) = 1$.

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.
$x=0$ અને $y=0$ લેતા,આપણને $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $1=2f'(0)$,તેથી $f'(0)=\frac{1}{2}$.
મૂળ સમીકરણમાં $y=0$ લેતા,આપણને $f(x)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)$ મળે છે.
$f(0)=1$ અને $f'(0)=\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $f(x)=\frac{1}{2}f(x)+f'(x)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $f'(x)=\frac{f(x)}{2}$ થાય છે.
આ એક વિયોજનીય વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\ln|f(x)|=\frac{x}{2}+C$ મળે છે.
$f(0)=1$ હોવાથી,$\ln(1)=0+C$,તેથી $C=0$.
આમ,$\ln f(x)=\frac{x}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)=e^{x/2}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{100} \log_{e} f(n) = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{100(101)}{2} = \frac{5050}{2} = 2525$.

(C) આપેલ સમીકરણો વર્તુળ $(x-2 \sqrt{3})^2+y^2=12$ (કેન્દ્ર $(2 \sqrt{3}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=2 \sqrt{3}$) અને પરવલય $y^2=2 \sqrt{3} x$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$(x-2 \sqrt{3})^2 + 2 \sqrt{3} x = 12$
$x^2 - 4 \sqrt{3} x + 12 + 2 \sqrt{3} x = 12$
$x^2 - 2 \sqrt{3} x = 0$
$x(x - 2 \sqrt{3}) = 0$
તેથી,$x=0$ અથવા $x=2 \sqrt{3}$.
$x=2 \sqrt{3}$ આગળ,$y^2 = 2 \sqrt{3}(2 \sqrt{3}) = 12$,તેથી $y = \pm 2 \sqrt{3}$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ પરવલય અને વર્તુળની જીવા દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi (2 \sqrt{3})^2 = 12 \pi$ છે.
પરવલય $y^2 = 2 \sqrt{3} x$ દ્વારા $x=0$ થી $x=2 \sqrt{3}$ સુધી ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $2 \int_0^{2 \sqrt{3}} \sqrt{2 \sqrt{3} x} dx = 16$ છે.
વર્તુળના અર્ધભાગમાંથી પરવલયનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતા,આપણને $6 \pi - 16$ મળે છે.

(A) ધારો કે $B_1$ એ પ્રથમ દડો કાળો હોવાની ઘટના છે અને $B_2$ એ બીજો દડો કાળો હોવાની ઘટના છે. આપણે $P(B_1 | B_2)$ શોધવાનું છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(B_1 | B_2) = \frac{P(B_1 \cap B_2)}{P(B_2)}$.
દડાઓની કુલ સંખ્યા $4 + 6 = 10$ છે.
$P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2 | B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.
$P(B_2) = P(B_1 \cap B_2) + P(W_1 \cap B_2) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} + \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{30}{90} + \frac{24}{90} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$.
આમ,$P(B_1 | B_2) = \frac{30/90}{54/90} = \frac{30}{54} = \frac{5}{9}$.
અહીં,$m = 5$ અને $n = 9$. કારણ કે $\operatorname{gcd}(5, 9) = 1$,તેથી $m + n = 5 + 9 = 14$.

(A) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,તે સતત હોવું જોઈએ અને ડાબી બાજુનું વિકલિત $(LHD)$ અને જમણી બાજુનું વિકલિત $(RHD)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$x = 1$ આગળ સાતત્ય: $\lim_{x \to 1^-} (-3ax^2 - 2) = \lim_{x \to 1^+} (a^2 + bx) \implies -3a - 2 = a^2 + b$.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા: $\frac{d}{dx}(-3ax^2 - 2)|_{x=1} = \frac{d}{dx}(a^2 + bx)|_{x=1} \implies -6a = b$.
સાતત્યના સમીકરણમાં $b = -6a$ મૂકતા: $-3a - 2 = a^2 - 6a \implies a^2 - 3a + 2 = 0 \implies (a - 1)(a - 2) = 0$.
$a > 1$ હોવાથી,$a = 2$ મળે. તેથી $b = -6(2) = -12$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} -6x^2 - 2, & x < 1 \\ 4 - 12x, & x \geq 1 \end{cases}$.
પ્રદેશ $y = f(x)$ અને $y = -20$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. છેદબિંદુઓ શોધતા:
$x < 1$ માટે: $-6x^2 - 2 = -20 \implies 6x^2 = 18 \implies x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3}$ (કારણ કે $x < 1$).
$x \geq 1$ માટે: $4 - 12x = -20 \implies 12x = 24 \implies x = 2$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (f(x) - (-20)) dx + \int_{1}^{2} (f(x) - (-20)) dx$.
$A = \int_{-\sqrt{3}}^{1} (-6x^2 + 18) dx + \int_{1}^{2} (24 - 12x) dx$.
$A = [-2x^3 + 18x]_{-\sqrt{3}}^{1} + [24x - 6x^2]_{1}^{2}$.
$A = (-2 + 18) - (2(3\sqrt{3}) - 18\sqrt{3}) + (48 - 24) - (24 - 6) = 22 + 12\sqrt{3}$.
$\alpha + \beta \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 22, \beta = 12$ મળે.
તેથી,$\alpha + \beta = 22 + 12 = 34$.

(C) આપેલ છે $|A| = -2$ અને શ્રેણિકનો ક્રમ $n = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{det}(k A) = k^n \operatorname{det}(A)$ અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(B)) = (\operatorname{det}(B))^{n-1}$.
પ્રથમ,$\operatorname{det}(3A) = 3^3 \operatorname{det}(A) = 27(-2) = -54$.
ત્યારબાદ,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(3A)) = (-54)^{3-1} = (-54)^2 = 54^2 = (2 \cdot 3^3)^2 = 2^2 \cdot 3^6$.
હવે,$\operatorname{det}(-6 \operatorname{adj}(3A)) = (-6)^3 \operatorname{det}(\operatorname{adj}(3A)) = (-2^3 \cdot 3^3) \cdot (2^2 \cdot 3^6) = -2^5 \cdot 3^9$.
તેથી,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = (-2^5 \cdot 3^9)^{3-1} = (-2^5 \cdot 3^9)^2 = 2^{10} \cdot 3^{18}$.
અંતે,$\operatorname{det}(3 \operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = 3^3 \cdot \operatorname{det}(\operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = 3^3 \cdot 2^{10} \cdot 3^{18} = 2^{10} \cdot 3^{21}$.
$2^{m+n} \cdot 3^{mn}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m+n = 10$ અને $mn = 21$ મળે છે.
$m > n$ હોવાથી,$m = 7$ અને $n = 3$ મળે.
આમ,$4m + 2n = 4(7) + 2(3) = 28 + 6 = 34$.

(D) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ બિંદુ $B$ પર છેદે છે,તેથી યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$(3\lambda+1, -\lambda+1, -1) = (2\mu+2, 0, \alpha\mu-4)$.
$y$-યામ પરથી,$-\lambda+1 = 0 \implies \lambda = 1$.
$x$-યામમાં $\lambda=1$ મૂકતા: $3(1)+1 = 2\mu+2 \implies 4 = 2\mu+2 \implies \mu = 1$.
$z$-યામમાં $\mu=1$ મૂકતા: $-1 = \alpha(1)-4 \implies \alpha = 3$.
આમ,બિંદુ $B = (4, 0, -1)$.
રેખા $L_2$ એ $\frac{x-2}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z+4}{3} = \delta$ છે.
તેથી,$L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (2\delta+2, 0, 3\delta-4)$ છે.
$AP$ નો દિશા સદિશ $\vec{AP} = (2\delta+1, -1, 3\delta-3)$ છે.
$AP \perp L_2$ હોવાથી,$\vec{AP}$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશ $(2, 0, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\delta+1) + 0(-1) + 3(3\delta-3) = 0
\implies 4\delta+2 + 9\delta-9 = 0
\implies 13\delta = 7 \implies \delta = \frac{7}{13}$.
બિંદુ $P = (2(\frac{7}{13})+2, 0, 3(\frac{7}{13})-4) = (\frac{40}{13}, 0, -\frac{31}{13})$.
$PB^2 = (4-\frac{40}{13})^2 + (0-0)^2 + (-1+\frac{31}{13})^2 = (\frac{12}{13})^2 + (\frac{18}{13})^2 = \frac{144+324}{169} = \frac{468}{169}$.
અંતે,$26\alpha(PB)^2 = 26 \times 3 \times \frac{468}{169} = 78 \times \frac{36}{13} = 6 \times 36 = 216$.

(A) સદિશ $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{c} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (\lambda \hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \lambda + 8$.
તેથી,$\vec{c} = \frac{\lambda + 8}{9} (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} + \vec{c}| = 7$. કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર છે,ધારો કે $\vec{c} = k\vec{a}$,જ્યાં $k = \frac{\lambda + 8}{9}$.
તેથી $|\vec{a} + k\vec{a}| = |(1+k)\vec{a}| = |1+k| |\vec{a}| = |1+k| \cdot 3 = 7$.
$|1+k| = \frac{7}{3} \Rightarrow 1+k = \frac{7}{3}$ (કારણ કે $\lambda > 0, k > 0$).
$k = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\lambda + 8}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow \lambda + 8 = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.
હવે,$\vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{k}$ અને $\vec{c} = \frac{4}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + \frac{8}{3}\hat{k}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{b} \times \vec{c}|$ છે.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ પર $\vec{b}$ નો પ્રક્ષેપ છે,$\vec{c} = k\vec{a}$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b} \times k\vec{a}| = |k| |\vec{b} \times \vec{a}|$.
$\vec{b} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(8-0) = -8\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\vec{b} \times \vec{a}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12$.
ક્ષેત્રફળ $= |k| \cdot 12 = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(X)) = |X|^{n-2} X$.
અહીં $X = 2A$ છે,તેથી $B = \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)) = |2A|^{3-2} (2A) = |2A|(2A)$.
કારણ કે $|kA| = k^n |A|$,તેથી $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
આમ,$B = 4(2A) = 8A$.
હવે,$|B| = |8A| = 8^3 |A| = 512 \times \frac{1}{2} = 256$.
વધુમાં,$\text{trace}(B) = \text{trace}(8A) = 8 \times \text{trace}(A) = 8 \times 3 = 24$.
તેથી,$|B| + \text{trace}(B) = 256 + 24 = 280$.

(A) રેખા $P(-2, -1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે. તેથી,$Q$ ના યામ $Q(3\lambda - 2, 2\lambda - 1, 2\lambda + 3)$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $\lambda \neq 0$.
આપેલ છે કે અંતર $QR = 5$,તેથી $\sqrt{(3\lambda - 2 - 1)^2 + (2\lambda - 1 - 3)^2 + (2\lambda + 3 - 3)^2} = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3\lambda - 3)^2 + (2\lambda - 4)^2 + (2\lambda)^2 = 25$.
$9(\lambda - 1)^2 + 4(\lambda - 2)^2 + 4\lambda^2 = 25$.
$9(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + 4(\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 4\lambda^2 = 25$.
$17\lambda^2 - 34\lambda + 25 = 25 \Rightarrow 17\lambda(\lambda - 2) = 0$.
$Q$ એ $P$ થી ભિન્ન હોવાથી,$\lambda \neq 0$,તેથી $\lambda = 2$.
આમ,$Q = (3(2) - 2, 2(2) - 1, 2(2) + 3) = (4, 3, 7)$.
હવે,$\vec{PQ} = Q - P = (4 - (-2), 3 - (-1), 7 - 3) = (6, 4, 4)$.
$\vec{PR} = R - P = (1 - (-2), 3 - (-1), 3 - 3) = (3, 4, 0)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ છે.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 4 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 16) - \hat{j}(0 - 12) + \hat{k}(24 - 12) = -16\hat{i} + 12\hat{j} + 12\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-16)^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144 + 144} = \sqrt{544}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{544} = \sqrt{\frac{544}{4}} = \sqrt{136}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $136$ છે.

(A) લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$f'(x) = \frac{(x^2)^2 - 8(x^2) + 15}{e^{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = \frac{x^4 - 8x^2 + 15}{e^{x^2}} \cdot (2x)$
$f'(x) = \frac{(x^2 - 3)(x^2 - 5)(2x)}{e^{x^2}}$
$f'(x) = \frac{2x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{e^{x^2}}$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -\sqrt{5}, -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ છે.
ચિહ્ન બદલાવ તપાસતા:
$x < -\sqrt{5}$ માટે $f'(x) < 0$.
$-\sqrt{5} < x < -\sqrt{3}$ માટે $f'(x) > 0$. ($-\sqrt{5}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ)
$-\sqrt{3} < x < 0$ માટે $f'(x) < 0$. ($-\sqrt{3}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ)
$0 < x < \sqrt{3}$ માટે $f'(x) > 0$. ($0$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ)
$\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$ માટે $f'(x) < 0$. ($\sqrt{3}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ)
$x > \sqrt{5}$ માટે $f'(x) > 0$. ($\sqrt{5}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ)
આમ,$2$ સ્થાનિક મહત્તમ અને $3$ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{2}=\lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A$ એ $(2\lambda+1, -\lambda-2, 2\lambda-3)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{PA} = (2\lambda+1-2, -\lambda-2-(-10), 2\lambda-3-1) = (2\lambda-1, -\lambda+8, 2\lambda-4)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
કારણ કે $PA$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PA} \cdot \vec{n} = 0$ થાય.
$(2\lambda-1)(2) + (-\lambda+8)(-1) + (2\lambda-4)(2) = 0$.
$4\lambda - 2 + \lambda - 8 + 4\lambda - 8 = 0$.
$9\lambda - 18 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$A$ ના યામમાં $\lambda = 2$ મૂકતા,આપણને $A(2(2)+1, -2-2, 2(2)-3) = A(5, -4, 1)$ મળે છે.
લંબ અંતર $AP$ એ $P(2, -10, 1)$ અને $A(5, -4, 1)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$AP = \sqrt{(5-2)^2 + (-4 - (-10))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y^2)+(x-2 e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{d x}{d y} = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}-x}{1+y^2}$ મળે છે.
આને $\frac{d x}{d y} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{d x}{d y} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ છે.
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int \frac{2 e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan ^{-1} y} dy = \int \frac{2 e^{2 \tan ^{-1} y}}{1+y^2} dy$.
ધારો કે $t = \tan ^{-1} y$,તો $dt = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan ^{-1} y} = \int 2 e^{2t} dt = e^{2t} + C = e^{2 \tan ^{-1} y} + C$.
આપેલ છે કે $f(0)=1$,એટલે કે $y=0$ ત્યારે $x=1$:
$1 \cdot e^{\tan ^{-1} 0} = e^{2 \tan ^{-1} 0} + C \implies 1 \cdot 1 = 1 + C \implies C = 0$.
આમ,$x e^{\tan ^{-1} y} = e^{2 \tan ^{-1} y} \implies x = e^{\tan ^{-1} y}$.
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$x = e^{\tan ^{-1}(1/\sqrt{3})} = e^{\pi / 6}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$.
તેથી $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{\sqrt{1-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x \sin^{-1} x) - x \sin^{-1} x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})}{1-x^2}$
$= \frac{\sqrt{1-x^2} \left( \sin^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) - x \sin^{-1} x \left( \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \right)}{1-x^2}$
$= \frac{\sqrt{1-x^2} \sin^{-1} x + x + \frac{x^2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{(1-x^2) \sin^{-1} x + x \sqrt{1-x^2} + x^2 \sin^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}} = \frac{\sin^{-1} x}{(1-x^2)^{3/2}} + \frac{x}{1-x^2}$.
આમ,સંકલન $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C = e^x \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + C$ થાય.
તેથી,$g(x) = \frac{x e^x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે કિંમત મુકતા: $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2} e^{1/2} \sin^{-1}(1/2)}{\sqrt{1-(1/2)^2}} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{e} \cdot \frac{\pi}{6}}{\sqrt{3/4}} = \frac{\frac{\pi \sqrt{e}}{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi \sqrt{e}}{6 \sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{e}{3}}$.

(B) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $|B|^{|A|} = 4^4 = 256$ છે.
એક-એક (one-one) વિધેયોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
અનેક-એક (many-one) વિધેયોની સંખ્યા $\text{કુલ} - \text{એક-એક} = 256 - 24 = 232$ છે.
હવે,આપણે એવા અનેક-એક વિધેયો શોધવા છે જેમાં $1 \in f(A)$ હોય.
આ સંખ્યા = $(\text{કુલ અનેક-એક વિધેયો}) - (\text{જેમાં } 1 \notin f(A) \text{ હોય તેવા અનેક-એક વિધેયો})$.
જો $1 \notin f(A)$ હોય,તો વિધેયનો વિસ્તાર $\{4, 9, 16\}$ નો ઉપગણ હોય.
$A$ થી $\{4, 9, 16\}$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $3^4 = 81$ છે.
આ $81$ વિધેયોમાં એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $0$ છે (કારણ કે $|A| > |\{4, 9, 16\}|$).
આમ,આ તમામ $81$ વિધેયો અનેક-એક છે.
તેથી,$1 \in f(A)$ હોય તેવા અનેક-એક વિધેયોની સંખ્યા $232 - 81 = 151$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_1 = 0$ હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & a \\ -1 & -3 & b \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow 2a + b - 6 = 0$ (સમીકરણ $1$).
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & 3 & a+1 \\ -1 & -3 & 2b \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow a + b - 8 = 0$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલતા:
$(2a + b - 6) - (a + b - 8) = 0 \Rightarrow a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$.
$a = -2$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા: $-2 + b = 8 \Rightarrow b = 10$.
તેથી,$7a + 3b = 7(-2) + 3(10) = -14 + 30 = 16$.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}| = 1$ અને $|\overrightarrow{b}| = 1$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સદિશો $(\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b})$ અને $(3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b})$ લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય:
$(\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b}) = 0$
$3\lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}) - \lambda^2 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + 6 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 2\lambda (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 1$ અને $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ હોવાથી:
$3\lambda - \lambda^2(\frac{1}{2}) + 6(\frac{1}{2}) - 2\lambda = 0$
$3\lambda - \frac{\lambda^2}{2} + 3 - 2\lambda = 0$
$\lambda - \frac{\lambda^2}{2} + 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા,$\lambda^2 - 2\lambda - 6 = 0$ મળે.
ઉકેલ $\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ છે.
$\sqrt{7} \approx 2.64$ હોવાથી,કિંમતો $\lambda_1 = 1 + 2.64 = 3.64$ અને $\lambda_2 = 1 - 2.64 = -1.64$ છે.
આ બંને કિંમતો $[-1, 3]$ અંતરાલમાં આવતી નથી.
તેથી,$[-1, 3]$ માં $\lambda$ ની કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $12x^2 - 7x + 1 = 0$ છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \Rightarrow (4x - 1)(3x - 1) = 0$.
તેથી,બીજ $x = \frac{1}{3}$ અને $x = \frac{1}{4}$ છે.
ધારો કે $P(A \mid B) = \frac{1}{3}$ અને $P(B \mid A) = \frac{1}{4}$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.1}{P(B)} = \frac{1}{3} \Rightarrow P(B) = 0.3$.
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.1}{P(A)} = \frac{1}{4} \Rightarrow P(A) = 0.4$.
હવે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા:
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0.1 = 0.9$.
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
તેથી,$\frac{P(\overline{A} \cup \overline{B})}{P(\overline{A} \cap \overline{B})} = \frac{0.9}{0.4} = \frac{9}{4}$.

(A) આપેલ વક્રો $y = (x-2)^2$ અને $y^2 = -8(x-2)$ છે.
ધારો કે $X = x-2$ અને $Y = y$. તો સમીકરણો $Y = X^2$ અને $Y^2 = -8X$ બને છે.
આ પ્રમાણિત પરવલયો $Y = X^2$ અને $Y^2 = 4aX$ છે જ્યાં $4a = -8$,તેથી $a = -2$ (મૂલ્ય $|a| = 2$).
પરવલયો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4by$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\frac{16}{3} |a| |b|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Y = X^2$ (એટલે કે $X^2 = 1Y$,તેથી $4b = 1 \implies b = \frac{1}{4}$) અને $Y^2 = -8X$ (એટલે કે $4a = -8 \implies a = -2$).
ક્ષેત્રફળ $= \frac{16}{3} \times |\frac{1}{4}| \times |-2| = \frac{16}{3} \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{8}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2-1}y = \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln|x^2-1|} = \sqrt{1-x^2}$ (કારણ કે $-1 < x < 1$,તેથી $x^2-1 < 0$,એટલે $|x^2-1| = 1-x^2$).
ઉકેલ $y \cdot \sqrt{1-x^2} = \int \frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx = \int (x^6+4x) dx = \frac{x^7}{7} + 2x^2 + C$ છે.
$f(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 = 0 + 0 + C \Rightarrow C=0$.
તેથી,$f(x) = \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
આપણે $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^7/7 + 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{x^7/7}{\sqrt{1-x^2}}$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$[-1/2, 1/2]$ પર તેનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,પદ $6 \int_{-1/2}^{1/2} \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = 24 \int_0^{1/2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$ બને છે.
ધારો કે $x = \sin \theta$,તો $dx = \cos \theta d\theta$. જ્યારે $x=0, \theta=0$; જ્યારે $x=1/2, \theta=\pi/6$.
સંકલન = $24 \int_0^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = 24 \int_0^{\pi/6} \sin^2 \theta d\theta = 24 \int_0^{\pi/6} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta = 12 [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi/6} = 12(\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = 2\pi - 3\sqrt{3}$.
$2\pi - \alpha$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 3\sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$.

(A) ધારો કે $R$ એ $A = \{1, 2, 3\}$ પરનો સંબંધ છે.
$R$ સ્વવાચક હોવાથી,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$.
આપેલ છે કે $(1, 2) \in R$ અને $(2, 3) \in R$,તેથી પરંપરિતતાના નિયમ મુજબ $(1, 3) \in R$.
આમ,$R$ માં ઓછામાં ઓછો ગણ $S = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (1, 3)\}$ હોવો જોઈએ.
આ ગણ $S$ પહેલેથી જ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે. તે સંમિત નથી કારણ કે $(1, 2) \in S$ પરંતુ $(2, 1) \notin S$.
આપણે $A \times A \setminus S = \{(2, 1), (3, 2), (3, 1)\}$ માંથી અન્ય ઘટકો ઉમેરી શકીએ છીએ.
પરંપરિતતા જાળવી રાખીને અને સંબંધ સંમિત ન બને તે રીતે તપાસતા,આપણને $3$ સંબંધો મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{e^2}^{e^4} \frac{1}{x} \left( \frac{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}}}{e^{((\ln x)^2+1)^{-1}} + e^{((6-\ln x)^2+1)^{-1}}} \right) dx$.
$\ln x = t$ આદેશ લેતા,$\frac{1}{x} dx = dt$ મળે.
જ્યારે $x = e^2$,ત્યારે $t = 2$ અને જ્યારે $x = e^4$,ત્યારે $t = 4$.
તેથી,$I = \int_{2}^{4} \frac{e^{(t^2+1)^{-1}}}{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}} dt$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(a+b-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{2}^{4} \frac{e^{((6-t)^2+1)^{-1}}}{e^{((6-t)^2+1)^{-1}} + e^{(t^2+1)^{-1}}} dt$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{2}^{4} \frac{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}}{e^{(t^2+1)^{-1}} + e^{((6-t)^2+1)^{-1}}} dt = \int_{2}^{4} 1 dt = [t]_{2}^{4} = 4 - 2 = 2$.
આમ,$I = 1$.

(B) આપેલ છે કે $I(x) = \int \frac{dx}{(x-11)^{\frac{11}{13}}(x+15)^{\frac{15}{13}}}$.
સંકલિતને આ રીતે લખો: $I(x) = \int \left( \frac{x-11}{x+15} \right)^{-\frac{11}{13}} \cdot \frac{1}{(x+15)^2} dx$.
ધારો કે $t = \frac{x-11}{x+15}$. તો $dt = \frac{(x+15) - (x-11)}{(x+15)^2} dx = \frac{26}{(x+15)^2} dx$.
તેથી,$I(x) = \frac{1}{26} \int t^{-\frac{11}{13}} dt = \frac{1}{26} \cdot \frac{t^{\frac{2}{13}}}{\frac{2}{13}} + C = \frac{1}{4} \left( \frac{x-11}{x+15} \right)^{\frac{2}{13}} + C$.
હવે,$I(37) - I(24) = \frac{1}{4} \left( \frac{37-11}{37+15} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{24-11}{24+15} \right)^{\frac{2}{13}}$.
$= \frac{1}{4} \left( \frac{26}{52} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{13}{39} \right)^{\frac{2}{13}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{13}} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{2}{13}}$.
$= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4^{\frac{1}{13}}} - \frac{1}{9^{\frac{1}{13}}} \right)$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$b = 4$ અને $c = 9$.
તેથી,$3(b+c) = 3(4+9) = 3(13) = 39$.

(D) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = 4$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ લઈએ: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2}{x} \{\sin(k_1+1)x + \sin(k_2-1)x\} = 4$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2(k_1+1) + 2(k_2-1) = 4$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2k_1 + 2k_2 = 4$ અથવા $k_1 + k_2 = 2$ થાય છે.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ લઈએ: $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x} \ln \left(\frac{2+k_1x}{2+k_2x}\right) = 4$.
આને $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2}{x} \{\ln(1 + \frac{k_1x}{2}) - \ln(1 + \frac{k_2x}{2})\} = 4$ તરીકે લખી શકાય.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+ax)}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2(\frac{k_1}{2} - \frac{k_2}{2}) = 4$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $k_1 - k_2 = 4$ થાય છે.
સમીકરણો $k_1 + k_2 = 2$ અને $k_1 - k_2 = 4$ ને ઉકેલતા,બંનેનો સરવાળો કરતા $2k_1 = 6 \Rightarrow k_1 = 3$ મળે છે.
$k_1 = 3$ ને $k_1 + k_2 = 2$ માં મૂકતા,$3 + k_2 = 2 \Rightarrow k_2 = -1$ મળે છે.
અંતે,$k_1^2 + k_2^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2(3+y) e^{2x} dx = (7+e^{2x}) dy$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3+y) e^{2x}}{7+e^{2x}}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{3+y} = \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{3+y} = \int \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$.
ધારો કે $u = 7+e^{2x}$,તો $du = 2e^{2x} dx$.
તેથી,$\ln|3+y| = \ln|7+e^{2x}| + C$.
આને $3+y = C(7+e^{2x})$ તરીકે લખી શકાય.
વક્ર બિંદુ $(0,5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=5$ મૂકતા: $3+5 = C(7+e^0) \Rightarrow 8 = 8C \Rightarrow C=1$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $3+y = 7+e^{2x}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = e^{2x} + 4$ થાય છે.
હવે,બિંદુ $(\log_e 2, k)$ માટે,$x = \log_e 2$ મૂકતા: $k = e^{2 \log_e 2} + 4 = e^{\log_e 4} + 4 = 4 + 4 = 8$.

(A) $f \circ g$ નો પ્રદેશ એવા તમામ $x$ નો ગણ છે જેના માટે $x$ એ $g$ ના પ્રદેશમાં હોય અને $g(x)$ એ $f$ ના પ્રદેશમાં હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = \log_e x$,તેથી $f$ નો પ્રદેશ $(0, \infty)$ છે,એટલે કે આપણે $g(x) > 0$ ની શરત તપાસવી પડે.
આપેલ છે કે $g(x) = \frac{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2}{2x^2 - 2x + 1}$.
પ્રથમ,છેદ તપાસીએ: $2x^2 - 2x + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$,જે તમામ $x \in R$ માટે હંમેશા ધન છે.
હવે,અંશ તપાસીએ: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = x^2(x - 1)^2 + (2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}) + 1$.
અહીં $x^2(x - 1)^2 \ge 0$,$2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0$,અને $1 > 0$ હોવાથી,અંશ તમામ $x \in R$ માટે હંમેશા ધન છે.
તેથી,તમામ $x \in R$ માટે $g(x) > 0$ થાય છે.
આમ,$f \circ g$ નો પ્રદેશ $R$ છે.

(A) ધારો કે $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,અને $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$. $A, B, C$ વર્તુળ પર હોવાથી,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$.
ચાપ $AC$ કેન્દ્ર પર $90^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
ચાપની લંબાઈનો ગુણોત્તર $AB:BC = 1:5$ હોવાથી,$\angle AOB = \frac{1}{6} \times 90^{\circ} = 15^{\circ}$ અને $\angle BOC = \frac{5}{6} \times 90^{\circ} = 75^{\circ}$.
$\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$ છે.
$\vec{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha |\vec{a}|^2 + \beta \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 0 = \alpha + \beta \cos 15^{\circ} \Rightarrow \alpha = -\beta \cos 15^{\circ} \dots (1)$.
$\vec{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} + \beta |\vec{b}|^2 \Rightarrow \cos 75^{\circ} = \alpha \cos 15^{\circ} + \beta \dots (2)$.
$(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $\cos 75^{\circ} = -\beta \cos^2 15^{\circ} + \beta = \beta \sin^2 15^{\circ}$.
તેથી,$\beta = \frac{\cos 75^{\circ}}{\sin^2 15^{\circ}} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$.
$(1)$ પરથી,$\alpha = -\beta \cos 15^{\circ} = -(2+\sqrt{3})$.
હવે $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1) \beta = -(2+\sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -(2+\sqrt{3}) + 4 = 2-\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2} = \lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(7\lambda+3, -\lambda+2, -2\lambda-1)$ છે.
કારણ કે $P$ એ બિંદુ $Q(10,-3,-1)$ થી રેખા પરનો લંબપાદ છે,સદિશ $\vec{QP}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = 7\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{QP} = (7\lambda+3-10)\hat{i} + (-\lambda+2+3)\hat{j} + (-2\lambda-1+1)\hat{k} = (7\lambda-7)\hat{i} + (-\lambda+5)\hat{j} - 2\lambda\hat{k}$.
$\vec{QP} \cdot \vec{v} = 0$ હોવાથી,આપણને મળે $7(7\lambda-7) - 1(-\lambda+5) - 2(-2\lambda) = 0$.
$49\lambda - 49 + \lambda - 5 + 4\lambda = 0 \Rightarrow 54\lambda - 54 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,$P = (7(1)+3, -1+2, -2(1)-1) = (10, 1, -3)$.
હવે,$\vec{PQ} = (10-10)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (-1-(-3))\hat{k} = -4\hat{j} + 2\hat{k}$.
અને $\vec{PR} = (3-10)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -4 & 2 \\ -7 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-16 - (-6)) - \hat{j}(0 - (-14)) + \hat{k}(0 - 28) = -10\hat{i} - 14\hat{j} - 28\hat{k}$.
માન $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-10)^2 + (-14)^2 + (-28)^2} = \sqrt{100 + 196 + 784} = \sqrt{1080} = \sqrt{36 \times 30} = 6\sqrt{30}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 6\sqrt{30} = 3\sqrt{30}$.

(D) કોઈપણ ગણ $A$ પરના સંબંધ $R$ ને સામ્ય સંબંધ બનવા માટે તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $R = \{(1,2), (2,3), (3,3)\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોવા માટે $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)$ એ $R$ માં હોવા જોઈએ. $(3,3)$ પહેલેથી જ છે,તેથી આપણે $(1,1), (2,2), (4,4)$ ઉમેરવા પડશે.
$2$. સંમિતતા: $(1,2) \in R$ હોવાથી,આપણે $(2,1)$ ઉમેરવા પડશે. $(2,3) \in R$ હોવાથી,આપણે $(3,2)$ ઉમેરવા પડશે.
$3$. પરંપરિતતા: $(1,2) \in R$ અને $(2,3) \in R$ હોવાથી,$(1,3) \in R$ હોવું જોઈએ. $(1,3) \in R$ હોવાથી,સંમિતતા માટે આપણે $(3,1)$ ઉમેરવા પડશે.
હવે,ઉમેરેલા ઘટકો સાથે પરંપરિતતા તપાસતા: $(2,1) \in R$ અને $(1,3) \in R \implies (2,3) \in R$ (પહેલેથી છે). $(3,2) \in R$ અને $(2,1) \in R \implies (3,1) \in R$ (પહેલેથી ઉમેરેલ છે). $(1,2) \in R$ અને $(2,1) \in R \implies (1,1) \in R$ (પહેલેથી ઉમેરેલ છે).
આમ,ઉમેરવામાં આવેલા ઘટકો $(1,1), (2,2), (4,4), (2,1), (3,2), (1,3), (3,1)$ છે.
કુલ ઉમેરેલા ઘટકોની સંખ્યા = $7$.

(B) ધારો કે $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ અને $\sin \alpha = \frac{5}{13}$. તેથી $\tan \alpha = \frac{5}{12}$,એટલે કે $\alpha = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
આપેલ પદાવલિ $\cos ^{-1}(\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)$ છે.
નિત્યસમ $\cos(x - \alpha) = \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\cos ^{-1}(\cos(x - \alpha))$ બને છે.
અહીં $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3 \pi}{4}$ અને $\alpha = \tan ^{-1} \frac{5}{12} \approx 22.6^\circ$ હોવાથી,$x - \alpha \in [\frac{\pi}{2} - \alpha, \frac{3 \pi}{4} - \alpha]$ મળે.
જેથી $0 \leq x - \alpha \leq \pi$ હોવાથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $x - \alpha$ થાય.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x - \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ મળે છે.

(D) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,અને $\vec{C} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = 0\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ અને $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -5\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{35}}{2}$.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ = $\frac{1}{3} \times \text{Area}(ABC) \times h = \frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}}$.
$\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{35}}{2} \times h = \frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}} \implies h = \sqrt{\frac{23}{2}}$.
$\triangle ADE$ માં,$AD^2 = AE^2 + DE^2$. $AD = \frac{\sqrt{110}}{3} \implies AD^2 = \frac{110}{9}$.
$AE^2 = \frac{110}{9} - \frac{23}{2} = \frac{13}{18}$.
$F$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,$F = \frac{3\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}}{2}$.
$\vec{AF} = F-A = \frac{1}{2}(\hat{i}-5\hat{k})$.
$\vec{AE} = AE \cdot \frac{\vec{AF}}{|AF|} = \sqrt{\frac{13}{18}} \cdot \frac{\hat{i}-5\hat{k}}{\sqrt{26}} = \frac{\hat{i}-5\hat{k}}{6}$.
$E$ નો સ્થાન સદિશ = $\vec{A} + \vec{AE} = (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) + \frac{1}{6}(\hat{i}-5\hat{k}) = \frac{7\hat{i}+12\hat{j}+\hat{k}}{6}$.

(C) આપણે $X = A(\operatorname{adj}(A^{-1})+\operatorname{adj}(B^{-1}))^{-1}B$ નો વ્યસ્ત શોધવાનો છે.
ગુણધર્મ $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X^{-1} = B^{-1}(\operatorname{adj}(A^{-1})+\operatorname{adj}(B^{-1}))A^{-1}$
$X^{-1} = B^{-1}\operatorname{adj}(A^{-1})A^{-1} + B^{-1}\operatorname{adj}(B^{-1})A^{-1}$
ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(M^{-1}) = |M^{-1}|M = \frac{1}{|M|}M$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\operatorname{adj}(A^{-1}) = |A^{-1}|A = \frac{1}{|A|}A$ અને $\operatorname{adj}(B^{-1}) = |B^{-1}|B = \frac{1}{|B|}B$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$X^{-1} = B^{-1}(\frac{1}{|A|}A)A^{-1} + B^{-1}(\frac{1}{|B|}B)A^{-1}$
$X^{-1} = \frac{1}{|A|}B^{-1}(AA^{-1}) + \frac{1}{|B|}(B^{-1}B)A^{-1}$
$X^{-1} = \frac{1}{|A|}B^{-1}I + \frac{1}{|B|}IA^{-1}$
$X^{-1} = \frac{B^{-1}}{|A|} + \frac{A^{-1}}{|B|}$
કારણ કે $B^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(B)}{|B|}$ અને $A^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A|}$,તેથી:
$X^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(B)}{|B||A|} + \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A||B|} = \frac{1}{|AB|}(\operatorname{adj}(B) + \operatorname{adj}(A))$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_x = D_y = D_z = 0$ હોવું જોઈએ.
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} \lambda-1 & \lambda-4 & \lambda \\ \lambda & \lambda-1 & \lambda-4 \\ \lambda+1 & \lambda+2 & -(\lambda+2) \end{vmatrix} = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા અથવા નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(\lambda-3)(2\lambda+1) = 0$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = 3$ અથવા $\lambda = -1/2$.
$\lambda = 3$ માટે $D_x = 0$ ની સુસંગતતા તપાસતા:
$D_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 5 & -5 \end{vmatrix} = 5(-10+5) + 1(-35+9) + 3(35-18) = 5(-5) - 26 + 3(17) = -25 - 26 + 51 = 0$.
કારણ કે $\lambda = 3$ પર $D_x = 0$ છે,તેથી આ સંહતિ અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.
તેથી,$\lambda^2 + \lambda = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$.

(A) ધારો કે $D_1$ પ્રથમ પાસો છે અને $D_2$ બીજો પાસો છે. $D_1$ માટેના પરિણામો ${1, 1, 2, 2, 3, 4}$ છે અને $D_2$ માટે ${1, 2, 2, 3, 3, 4}$ છે. કુલ પરિણામો $= 6 \times 6 = 36$.
આપણે સરવાળો $S = 4$ અથવા $S = 5$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
$S = 4$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(D_1, D_2)$ છે $(1, 3), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1)$.
આવૃત્તિ ગણતા: $(1, 3)$ એ $2 \times 2 = 4$ વખત,$(2, 2)$ એ $2 \times 2 = 4$ વખત,$(3, 1)$ એ $1 \times 1 = 1$ વખત આવે છે. $S=4$ માટે કુલ $4+4+1 = 9$ છે.
$S = 5$ માટે,શક્ય જોડીઓ $(D_1, D_2)$ છે $(1, 4), (2, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 2), (4, 1)$.
આવૃત્તિ ગણતા: $(1, 4)$ એ $2 \times 1 = 2$ વખત,$(2, 3)$ એ $2 \times 2 = 4$ વખત,$(3, 2)$ એ $1 \times 2 = 2$ વખત,$(4, 1)$ એ $1 \times 1 = 1$ વખત આવે છે. $S=5$ માટે કુલ $2+4+2+1 = 9$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 9 + 9 = 18$.
સંભાવના $= \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(A) વક્રો $x^2+y^2=25$ (ત્રિજ્યા $5$ વાળું વર્તુળ) અને $y=|x-1|$ છે.
છેદબિંદુઓ:
$y=x-1$ માટે,$x^2+(x-1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x^2-x-12=0 \Rightarrow (x-4)(x+3)=0$. $y \ge 0$ હોવાથી,આપણે $x=4, y=3$ લઈએ છીએ.
$y=-(x-1)$ માટે,$x^2+(-x+1)^2=25 \Rightarrow 2x^2-2x-24=0 \Rightarrow x=-3, y=4$.
નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_s = \int_{-3}^4 (\sqrt{25-x^2} - |x-1|) dx$.
મોટા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_L = \text{કુલ ક્ષેત્રફળ} - A_s = 25\pi - A_s$.
$\int_{-3}^4 \sqrt{25-x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{25-x^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{5})]_{-3}^4 = 12 + \frac{25\pi}{4}$.
$\int_{-3}^4 |x-1| dx = \int_{-3}^1 (1-x) dx + \int_{1}^4 (x-1) dx = 8 + 4.5 = 12.5 = \frac{25}{2}$.
$A_s = 12 + \frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2} = \frac{25\pi}{4} - 0.5$.
$A_L = 25\pi - (\frac{25\pi}{4} - 0.5) = \frac{75\pi}{4} + 0.5 = \frac{75\pi+2}{4} = \frac{1}{4}(75\pi+2)$.
આમ,$b=75, c=2$.
$b+c = 75+2 = 77$.

(D) ધારો કે $f(x) = 5x^3 - 15x$. સમીકરણ $5x^3 - 15x - a = 0$ ને $f(x) = a$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મેળવવા માટે,આડી રેખા $y = a$ એ $f(x)$ ના આલેખને ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવી જોઈએ.
પ્રથમ,$f'(x) = 0$ લઈને $f(x)$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો:
$f'(x) = 15x^2 - 15 = 15(x^2 - 1) = 15(x - 1)(x + 1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(-1) = 5(-1)^3 - 15(-1) = -5 + 15 = 10$ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(1) = 5(1)^3 - 15(1) = 5 - 15 = -10$ છે.
સમીકરણ $f(x) = a$ ને ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે તે માટે,$a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યોની વચ્ચે હોવું જોઈએ:
$-10 < a < 10$.
આમ,અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ એ $(-10, 10)$ છે,તેથી $\alpha = -10$ અને $\beta = 10$.
આપણે $\beta - 2\alpha$ ની ગણતરી કરવાની છે:
$\beta - 2\alpha = 10 - 2(-10) = 10 + 20 = 30$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 5 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 25) - 1(\lambda - 5) + 1(5 - 2) = 2\lambda - 25 - \lambda + 5 + 3 = \lambda - 17$ ગણો.
$D = 0$ લેતા,આપણને $\lambda = 17$ મળે છે.
ત્યારબાદ,$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 5 & \mu \end{vmatrix} = 1(2\mu - 45) - 1(\mu - 9) + 6(5 - 2) = 2\mu - 45 - \mu + 9 + 18 = \mu - 18$ ગણો.
કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$D = 0$ અને $D_z \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$\lambda = 17$ અને $\mu \neq 18$.

(A) ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$. ધારો કે $u = x^3$ અને $dv = \sin x \, dx$. તેથી $du = 3x^2 \, dx$ અને $v = -\cos x$.
$\int x^3 \sin x \, dx = -x^3 \cos x + \int 3x^2 \cos x \, dx$.
$\int 3x^2 \cos x \, dx$ માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલન કરતા: $u = 3x^2, dv = \cos x \, dx \implies du = 6x \, dx, v = \sin x$.
$= -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x - \int 6x \sin x \, dx$.
$\int 6x \sin x \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલન કરતા: $u = 6x, dv = \sin x \, dx \implies du = 6 \, dx, v = -\cos x$.
$= -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x - (6x(-\cos x) - \int -6 \cos x \, dx) = -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C$.
આમ,$g(x) = -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x$.
$g\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^3 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 6\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 6 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + \frac{3\pi^2}{4} + 0 - 6 = \frac{3\pi^2}{4} - 6$.
કારણ કે $g(x) = \int x^3 \sin x \, dx$,કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$g^{\prime}(x) = x^3 \sin x$.
$g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^3}{8}$.
$8\left(g\left(\frac{\pi}{2}\right) + g^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = 8\left(\frac{3\pi^2}{4} - 6 + \frac{\pi^3}{8}\right) = 6\pi^2 - 48 + \pi^3 = 1\pi^3 + 6\pi^2 - 48$.
$\alpha \pi^3 + \beta \pi^2 + \gamma$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1, \beta = 6, \gamma = -48$ મળે છે.
$\alpha + \beta - \gamma = 1 + 6 - (-48) = 7 + 48 = 55$.

(B) ધારો કે રેખા $L_1$ એ $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{4} = k$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+2, 3k+6, 4k+3)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $(1,4,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2$ એ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-0}{3} = t$ છે. $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(t+1, 2t+4, 3t)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ છીએ:
$2k+2 = t+1 \Rightarrow t = 2k+1$
$3k+6 = 2t+4 \Rightarrow 3k+6 = 2(2k+1)+4 = 4k+6 \Rightarrow k=0$.
$k=0$ ને $L_1$ ના યામોમાં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ $P = (2,6,3)$ મળે છે.
બિંદુ $(1,4,0)$ થી $(2,6,3)$ સુધીનું અંતર $\sqrt{(2-1)^2 + (6-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ છે.

(D) બિંદુ $A$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $r:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$A = \left( \frac{5r - 1}{r + 1}, \frac{5r - 1}{r + 1}, \frac{10r + 2}{r + 1} \right)$
આપેલ સમીકરણ $(\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}) - \frac{1}{5}|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = 10$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}$ શોધો:
$\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 5\left( \frac{5r - 1}{r + 1} \right) + 5\left( \frac{5r - 1}{r + 1} \right) + 10\left( \frac{10r + 2}{r + 1} \right) = \frac{150r + 10}{r + 1} = \frac{10(15r + 1)}{r + 1}$
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}$ શોધો:
$\overrightarrow{OP} = (-1, -1, 2)$ અને $\overrightarrow{OA} = \frac{1}{r+1}(5r-1, 5r-1, 10r+2)$
$\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA} = \frac{1}{r+1} (-20r, 15r+1, 0)$
$|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = \frac{625r^2 + 30r + 1}{(r+1)^2}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{10(15r + 1)}{r + 1} - \frac{1}{5} \left( \frac{625r^2 + 30r + 1}{(r+1)^2} \right) = 10$
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $r = 7$ મળે છે.

(D) પ્રદેશ $-1 \leq x \leq 1$ અને $0 \leq y \leq a + e^{|x|} - e^{-x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
કારણ કે $x \in [-1, 0]$ માટે $|x| = -x$ અને $x \in [0, 1]$ માટે $|x| = x$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીશું:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^0 (a + e^{-x} - e^{-x}) dx + \int_0^1 (a + e^x - e^{-x}) dx$
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^0 a dx + \int_0^1 (a + e^x - e^{-x}) dx$
ક્ષેત્રફળ $= a[x]_{-1}^0 + [ax + e^x + e^{-x}]_0^1$
ક્ષેત્રફળ $= a(0 - (-1)) + (a(1) + e^1 + e^{-1}) - (a(0) + e^0 + e^0)$
ક્ષેત્રફળ $= a + a + e + \frac{1}{e} - 2 = 2a + e + \frac{1}{e} - 2$
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{e^2 + 8e + 1}{e} = e + 8 + \frac{1}{e}$
બંને પદોને સરખાવતા:
$2a + e + \frac{1}{e} - 2 = e + 8 + \frac{1}{e}$
$2a - 2 = 8$
$2a = 10 \Rightarrow a = 5$

(D) ધારો કે $r$ એ ચોકલેટ બોલની ત્રિજ્યા છે અને $x$ એ આઈસ્ક્રીમના પડની જાડાઈ છે. ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા (ચોકલેટ + આઈસ્ક્રીમ) $R = r + x$ છે.
આપેલ છે કે $x = 1 \ cm$, ગોળાનું કુલ ઘનફળ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt}$ મળે છે.
ચોકલેટ બોલ અચળ હોવાથી, $\frac{dR}{dt} = \frac{dx}{dt}$ થાય.
આપણને $\frac{dV}{dt} = -81 \ cm^3/min$ (ઓગળતું હોવાથી) અને $\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{4\pi} \ cm/min$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $-81 = 4\pi R^2 \left(-\frac{1}{4\pi}\right)$.
$-81 = -R^2 \implies R^2 = 81 \implies R = 9 \ cm$.
ચોકલેટ બોલની ત્રિજ્યા $r = R - x = 9 - 1 = 8 \ cm$ છે.
ચોકલેટ બોલનું પૃષ્ઠફળ $4\pi r^2 = 4\pi(8)^2 = 4\pi(64) = 256\pi \ cm^2$ થાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y = (x - y \frac{dx}{dy}) \sin(\frac{x}{y})$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y dy = (x dy - y dx) \sin(x/y)$.
$y^2$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{y} = \frac{x dy - y dx}{y^2} \sin(x/y)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(x/y) = \frac{y dx - x dy}{y^2}$,તેથી $\frac{x dy - y dx}{y^2} = -d(x/y)$.
આમ,$\frac{dy}{y} = -\sin(x/y) d(x/y)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{y} dy = -\int \sin(x/y) d(x/y)$.
$\ln y = \cos(x/y) + C$.
શરત $x(1) = \pi/2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(1) = \cos(\frac{\pi/2}{1}) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\ln y = \cos(x/y)$.
$y = 2$ માટે,$\ln 2 = \cos(x/2)$.
આપણે $\cos(x(2))$ શોધવાનું છે. $\cos(x) = 2 \cos^2(x/2) - 1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(x(2)) = 2(\ln 2)^2 - 1$.

(B) વિધાન-$I$:
સ્વવાચક: $(a_1, b_1) R (a_1, b_1) \Rightarrow b_1 = b_1$,જે સત્ય છે.
સંમિત: જો $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$,તો $b_1 = b_2$,જેનો અર્થ છે કે $b_2 = b_1$,તેથી $(a_2, b_2) R (a_1, b_1)$ સત્ય છે.
પરંપરિત: જો $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$ અને $(a_2, b_2) R (a_3, b_3)$,તો $b_1 = b_2$ અને $b_2 = b_3$,જેનો અર્થ છે કે $b_1 = b_3$,તેથી $(a_1, b_1) R (a_3, b_3)$ સત્ય છે.
આમ,સંબંધ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે. તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$: ગણ $S = \{(x, y) \in X : (x, y) R (a, b)\} = \{(x, y) \in X : y = b\}$. આ એક આડી રેખા $y = b$ દર્શાવે છે,જે $x$-અક્ષને સમાંતર છે,$y = x$ રેખાને નહીં. તેથી,વિધાન-$II$ ખોટું છે.