JEE Main 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $t = \sqrt{x}$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ $2|t - 3| + t(t - 6) + 6 = 0$ બને છે.
કિસ્સો $I$: $0 \le t < 3$ (એટલે કે $0 \le x < 9$)
$2(3 - t) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 8t + 12 = 0$
$(t - 6)(t - 2) = 0$
$t = 6$ અથવા $t = 2$.
$0 \le t < 3$ હોવાથી,$t = 2$,જેનો અર્થ છે $x = 4$.
કિસ્સો $II$: $t \ge 3$ (એટલે કે $x \ge 9$)
$2(t - 3) + t^2 - 6t + 6 = 0$
$t^2 - 4t = 0$
$t(t - 4) = 0$
$t = 0$ અથવા $t = 4$.
$t \ge 3$ હોવાથી,$t = 4$,જેનો અર્થ છે $x = 16$.
આમ,$S = \{4, 16\}$,જે બરાબર બે ઘટકો ધરાવે છે.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $MN = h$ છે.
$\Delta QMN$ માં,$\tan 30^o = \frac{MN}{QM}$.
$\therefore QM = \frac{h}{\tan 30^o} = h\sqrt{3}$. $M$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$QM = MR = h\sqrt{3}$.
$\Delta MNP$ માં,ટાવરની ટોચનો $P$ આગળનો ઉત્સેધકોણ $45^o$ છે,તેથી $\tan 45^o = \frac{MN}{PM}$.
$\therefore PM = \frac{h}{\tan 45^o} = h$.
$\Delta PMQ$ માં,$PM \perp MQ$ હોવાથી,$PQ^2 = PM^2 + QM^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(200)^2 = h^2 + (h\sqrt{3})^2$.
$40000 = h^2 + 3h^2$.
$40000 = 4h^2$.
$h^2 = 10000$.
$h = 100 \ m$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $8 \cos x \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - x \right) - \frac{1}{2} \right\} = 1$
નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \cos x \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cos(2x) - 1 \right\} = 1$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$4 \cos x \left\{ \frac{1}{2} + \cos 2x - 1 \right\} = 1$
$4 \cos x \left\{ \cos 2x - \frac{1}{2} \right\} = 1$
$8 \cos^3 x - 6 \cos x = 1$
$2 \cos 3x = 1 \Rightarrow \cos 3x = \frac{1}{2}$
$x \in [0, \pi]$ માટે,$3x \in [0, 3\pi]$.
$3x$ ના ઉકેલો: $3x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $= \frac{13\pi}{9}$.
આમ,$k = \frac{13}{9}$.

(B) સમીકરણ $x^2 - x + 1 = 0$ ના બીજ $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આ બીજ $-\omega$ અને $-\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -\omega$ અને $\beta = -\omega^2$.
તેથી $\alpha^{101} + \beta^{107} = (-\omega)^{101} + (-\omega^2)^{107} = -\omega^{101} - \omega^{214}$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{101} = \omega^2$ અને $\omega^{214} = \omega$ મળે.
તેથી,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(\omega^2 + \omega)$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^2 = -1$.
તેથી,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(-1) = 1$.

(C) પગલું $1$: $6$ અલગ-અલગ નવલકથાઓમાંથી $4$ નવલકથાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_4$ છે.
$^6C_4 = 15$ રીતો.
પગલું $2$: $3$ અલગ-અલગ શબ્દકોશોમાંથી $1$ શબ્દકોશ પસંદ કરવાની રીતો $^3C_1$ છે.
$^3C_1 = 3$ રીતો.
પગલું $3$: $4$ પસંદ કરેલી નવલકથાઓ અને $1$ શબ્દકોશને એવી રીતે ગોઠવો કે શબ્દકોશ હંમેશા વચ્ચે રહે.
શબ્દકોશ વચ્ચે નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે બાકીની $4$ જગ્યાઓમાં $4$ નવલકથાઓ ગોઠવવાની છે.
$4$ નવલકથાઓ ગોઠવવાની રીતો $4! = 24$ છે.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા = $^6C_4 \times ^3C_1 \times 4! = 15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(C) ધારો કે $f(x) = (x + \sqrt{x^3 - 1})^5 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^5$.
દ્વિપદી વિસ્તરણના સૂત્ર $(a+b)^n + (a-b)^n = 2[\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \binom{n}{4}a^{n-4}b^4 + \dots]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2[\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{2}x^3(\sqrt{x^3-1})^2 + \binom{5}{4}x(\sqrt{x^3-1})^4]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^3(x^3-1) + 5x(x^3-1)^2]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x(x^6 - 2x^3 + 1)]$
$f(x) = 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$
$f(x) = 10x^7 + 20x^6 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$.
એકી ઘાતવાળા પદો $10x^7$,$2x^5$,$-20x^3$,અને $10x$ છે.
આ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો $10 + 2 - 20 + 10 = 2$ થાય છે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = n^2$ જો $n$ એકી હોય,અને $a_n = 2n^2$ જો $n$ બેકી હોય.
$B - 2A = \sum_{n=1}^{40} a_n - 2\sum_{n=1}^{20} a_n = \sum_{n=21}^{40} a_n - \sum_{n=1}^{20} a_n$.
$k=1$ થી $20$ માટે ગણતરી કરતા,$B - 2A = 24800$ મળે છે.
તેથી $100\lambda = 24800$,એટલે કે $\lambda = 248$.

(B) આપેલ છે કે $\sum_{k = 0}^{12} {a_{4k + 1}} = 416$. આ $13$ પદોનો $A.P.$ માં સરવાળો છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a_1$ અને સામાન્ય તફાવત $4d$ છે.
$\frac{13}{2} [2a_1 + (13-1)4d] = 416$ $\Rightarrow \frac{13}{2} [2a_1 + 48d] = 416$ $\Rightarrow a_1 + 24d = 32 \dots (1)$
આપેલ છે કે ${a_9} + {a_{43}} = 66$ $\Rightarrow (a_1 + 8d) + (a_1 + 42d) = 66$ $\Rightarrow 2a_1 + 50d = 66$ $\Rightarrow a_1 + 25d = 33 \dots (2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$d = 1$ મળે છે. $(1)$ માં $d=1$ મૂકતા,$a_1 + 24 = 32 \Rightarrow a_1 = 8$.
હવે,$\sum_{r = 1}^{17} a_r^2 = \sum_{r = 1}^{17} [8 + (r-1)1]^2 = \sum_{r = 1}^{17} (r+7)^2 = \sum_{r = 1}^{17} (r^2 + 14r + 49) = 140m$.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $n=17$ માટે,$\frac{17 \times 18 \times 35}{6} + 14 \times \frac{17 \times 18}{2} + 49 \times 17 = 1785 + 2142 + 833 = 4760$.
$140m = 4760 \Rightarrow m = \frac{4760}{140} = 34$.

(B) આપેલ છે કે લંબકેન્દ્ર $A(-3, 5)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $B(3, 3)$ છે.
અંતર $AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
મધ્યકેન્દ્ર $B$ એ લંબકેન્દ્ર $A$ અને પરિકેન્દ્ર $C$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,એટલે કે $AB:BC = 2:1$.
આથી $AB = \frac{2}{3}AC$,અથવા $AC = \frac{3}{2}AB$.
$AB$ ની કિંમત મૂકતા,$AC = \frac{3}{2}(2\sqrt{10}) = 3\sqrt{10}$.
$AC$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$ થાય.
આને $r = 3\sqrt{\frac{10}{4}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}}$ તરીકે લખી શકાય.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(h, 0)$ અને $Q$ ના યામ $(0, k)$ છે.
લંબચોરસ $OPRQ$ પૂર્ણ થતો હોવાથી,$R$ ના યામ $(h, k)$ થશે.
$P(h, 0)$ અને $Q(0, k)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$
આ રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{2}{h} + \frac{3}{k} = 1$
$R(h, k)$ નો બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે $h$ ને $x$ અને $k$ ને $y$ વડે બદલીએ છીએ:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$
બંને બાજુ $xy$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$2y + 3x = xy$
આમ,$R$ નો બિંદુપથ $3x + 2y = xy$ છે.

(C) વક્રનું સમીકરણ $x^2 = y - 6$ છે,જેને $y = x^2 + 6$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ સ્પર્શક શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = 2x$.
બિંદુ $(1, 7)$ આગળ ઢાળ $m = 2(1) = 2$ મળે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 7 = 2(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + 5 = 0$ થાય.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(-8, -6)$ થી રેખાનું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $r = \sqrt{64 + 36 - c} = \sqrt{100 - c}$ જેટલું થાય.
લંબ અંતર $\frac{|2(-8) - (-6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ છે.
તેથી,$\sqrt{5} = \sqrt{100 - c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $5 = 100 - c$,તેથી $c = 95$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $PQ$ એ $T(0, 3)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની સ્પર્શક જીવા (chord of contact) છે.
$(x_1, y_1)$ માંથી સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (0, 3)$,$a^2 = 9$,અને $b^2 = 36$ મૂકતા:
$\frac{x(0)}{9} - \frac{y(3)}{36} = 1$
$\Rightarrow -\frac{y}{12} = 1$
$\Rightarrow y = -12$.
$P$ અને $Q$ ના યામ શોધવા માટે,$y = -12$ ને અતિવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4x^2 - (-12)^2 = 36$
$4x^2 - 144 = 36$
$4x^2 = 180$
$x^2 = 45$
$x = \pm 3\sqrt{5}$.
આમ,બિંદુઓ $P(3\sqrt{5}, -12)$ અને $Q(-3\sqrt{5}, -12)$ છે.
પાયા $PQ$ ની લંબાઈ $= |3\sqrt{5} - (-3\sqrt{5})| = 6\sqrt{5}$.
$\Delta PTQ$ ની ઊંચાઈ એ $T(0, 3)$ થી રેખા $y = -12$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $h = |3 - (-12)| = 15$ છે.
$\Delta PTQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{5} \times 15 = 45\sqrt{5}$ ચોરસ એકમ.

(A) પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જેનો અર્થ છે $a = 4$.
બિંદુ $P(16, 16)$ માટે,$y_1^2 = 16x_1$ થાય છે,જે સંતોષાય છે.
$P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શક $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે,તેથી $16y = 8(x + 16)$,જેનું સાદું રૂપ $2y = x + 16$ થાય છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા,$x = -16$ મળે છે,તેથી $A = (-16, 0)$.
$P(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબ $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ છે,તેથી $y - 16 = -\frac{16}{8}(x - 16)$,જેનું સાદું રૂપ $y - 16 = -2(x - 16)$ અથવા $y = -2x + 48$ થાય છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા,$2x = 48$,તેથી $x = 24$ મળે છે,આમ $B = (24, 0)$.
વર્તુળ $A(-16, 0)$,$B(24, 0)$ અને $P(16, 16)$ માંથી પસાર થાય છે. $A$ અને $B$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,કેન્દ્ર $C$ નો $x$-યામ $\frac{-16 + 24}{2} = 4$ હશે.
ધારો કે $C = (4, k)$. $CA = CP$ હોવાથી,$(4 - (-16))^2 + (k - 0)^2 = (4 - 16)^2 + (k - 16)^2$.
$20^2 + k^2 = (-12)^2 + (k - 16)^2 \Rightarrow 400 + k^2 = 144 + k^2 - 32k + 256$.
$400 = 400 - 32k \Rightarrow k = 0$. આમ,$C = (4, 0)$.
$PC$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{16 - 0}{16 - 4} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
$PB$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{16 - 0}{16 - 24} = \frac{16}{-8} = -2$.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{4}{3} - (-2)}{1 + (\frac{4}{3})(-2)} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{1 - \frac{8}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{-\frac{5}{3}} \right| = |-2| = 2$.

(A) ગણ $A$ એ $|a - 5| < 1$ અને $|b - 5| < 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $x = a - 5$ અને $y = b - 5$. તો $A$ એ $(5, 5)$ પર કેન્દ્રિત અને $2$ લંબાઈની બાજુવાળા ચોરસનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે,એટલે કે $|x| < 1$ અને $|y| < 1$.
ગણ $B$ એ $4(a - 6)^2 + 9(b - 5)^2 \le 36$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $x = a - 5$ અને $y = b - 5$ મૂકતા,આપણને $4(x - 1)^2 + 9y^2 \le 36$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ થાય છે. આ $(x, y)$ સમતલમાં $(1, 0)$ પર કેન્દ્રિત ઉપવલયનો અંદરનો ભાગ અને સીમા દર્શાવે છે.
$(x, y)$ સમતલમાં ચોરસ $A$ ના શિરોબિંદુઓ $(1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1)$ છે.
શું આ બિંદુઓ ઉપવલયની અસમતા $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ નું પાલન કરે છે તે ચકાસતા:
$(1, 1)$ માટે: $\frac{0}{9} + \frac{1}{4} = 0.25 \le 1$ (સાચું)
$(-1, 1)$ માટે: $\frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} \le 1$ (સાચું)
$(-1, -1)$ માટે: $\frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} \le 1$ (સાચું)
$(1, -1)$ માટે: $\frac{0}{9} + \frac{1}{4} = 0.25 \le 1$ (સાચું)
ચોરસના તમામ શિરોબિંદુઓ ઉપવલયની અંદર હોવાથી,$A \subset B$ થાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $[t] = t - \{t\}$,જ્યાં $\{t\}$ એ $t$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
તેથી,પદાવલિ $\lim_{x \to 0^+} x \sum_{r=1}^{15} [\frac{r}{x}] = \lim_{x \to 0^+} x \sum_{r=1}^{15} (\frac{r}{x} - \{\frac{r}{x}\})$.
$= \lim_{x \to 0^+} (\sum_{r=1}^{15} r - x \sum_{r=1}^{15} \{\frac{r}{x}\})$.
કારણ કે $0 \le \{\frac{r}{x}\} < 1$,તેથી $0 \le x \{\frac{r}{x}\} < x$.
જેમ $x \to 0^+$,તેમ સ્ક્વિઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,$x \{\frac{r}{x}\} \to 0$.
તેથી,લક્ષ $\sum_{r=1}^{15} r = \frac{15 \times 16}{2} = 120$ થાય.

(B) ધારો કે $y_i = x_i - 5$. તેથી $\sum_{i=1}^9 y_i = 9$ અને $\sum_{i=1}^9 y_i^2 = 45$.
અવલોકનોના સમૂહનું વિચરણ ઉગમબિંદુના પરિવર્તન હેઠળ બદલાતું નથી. તેથી,$x_i$ નું પ્રમાણિત વિચલન એ $y_i$ ના પ્રમાણિત વિચલન જેટલું જ હોય છે.
વિચરણ $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{45}{9} - \left( \frac{9}{9} \right)^2$
$\sigma^2 = 5 - 1 = 4$
પ્રમાણિત વિચલન $(\sigma) = \sqrt{4} = 2$.

(D) ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$
કારણ કે $(\sim q \vee q) \equiv T$ (નિત્યસત્ય):
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(B) માંથી પસાર થતી મધ્યગા $x = 4$ છે. તેથી $C$ ના યામ $(4, y)$ ધારો.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $D = (\frac{1+4}{2}, \frac{2+y}{2}) = (2.5, \frac{2+y}{2})$ છે.
$D$ એ $B$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $(x + y = 5)$ પર હોવાથી,$2.5 + \frac{2+y}{2} = 5$ મળે.
$2.5 + 1 + \frac{y}{2} = 5$ $\Rightarrow \frac{y}{2} = 1.5$ $\Rightarrow y = 3$. આમ,$C = (4, 3)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યગાઓ $x = 4$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ છે. $x = 4$ ને $x + y = 5$ માં મૂકતા,$4 + y = 5$,તેથી $y = 1$. આમ,$G = (4, 1)$.
$B$ શોધવા માટે,મધ્યકેન્દ્રના સૂત્ર $G = (\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 = \frac{1+x_B+4}{3}$ $\Rightarrow 12 = 5 + x_B$ $\Rightarrow x_B = 7$.
$1 = \frac{2+y_B+3}{3}$ $\Rightarrow 3 = 5 + y_B$ $\Rightarrow y_B = -2$. આમ,$B = (7, -2)$.
શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(7, -2)$,અને $C(4, 3)$ ધરાવતા $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(-2 - 3) + 7(3 - 2) + 4(2 - (-2))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-5 + 7 + 16| = \frac{1}{2} |18| = 9$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $b$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
અનંત $G.P.$ માટે,સરવાળો $S = \frac{b}{1 - r}$ છે,જ્યાં $|r| < 1$.
આપેલ છે કે $S = 5$,તેથી $\frac{b}{1 - r} = 5$.
આના પરથી $b = 5(1 - r)$ મળે છે.
કારણ કે $-1 < r < 1$,તેથી $b$ માટેનો વિસ્તાર:
જો $r \to 1$,તો $b \to 5(1 - 1) = 0$.
જો $r \to -1$,તો $b \to 5(1 - (-1)) = 5(2) = 10$.
આમ,$-1 < r < 1$ માટે,$b$ ની કિંમત $(0, 10)$ અંતરાલમાં રહેલી છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^{2} + (2 - \lambda)x + (10 - \lambda) = 0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજોના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = \lambda - 2$ અને $\alpha\beta = 10 - \lambda$.
બીજોના ઘનનો સરવાળો $S = \alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = (\lambda - 2)^{3} - 3(10 - \lambda)(\lambda - 2)$.
$S = (\lambda - 2)[(\lambda - 2)^{2} - 3(10 - \lambda)] = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - 4\lambda + 4 - 30 + 3\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda^{2} - \lambda - 26)$.
$S = \lambda^{3} - 3\lambda^{2} - 24\lambda + 52$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$\frac{dS}{d\lambda} = 3\lambda^{2} - 6\lambda - 24 = 0$.
$3(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$.
ન્યૂનતમ માટે,$\frac{d^{2}S}{d\lambda^{2}} = 6\lambda - 6$. $\lambda = 4$ માટે,$18 > 0$,તેથી તે ન્યૂનતમ છે.
બીજોનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\lambda - 2)^{2} - 4(10 - \lambda)}$ છે.
$\lambda = 4$ માટે,$|\alpha - \beta| = \sqrt{(4 - 2)^{2} - 4(10 - 4)} = \sqrt{4 - 24} = \sqrt{-20}$.
તફાવતનું માન $|\sqrt{-20}| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
કેન્દ્ર $y - 4x + 3 = 0$ રેખા પર હોવાથી,$k - 4h + 3 = 0$,એટલે કે $k = 4h - 3$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ થી બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(4, 5)$ સુધીનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હોવું જોઈએ.
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$-4h - 6k + 13 = -8h - 10k + 41$
$4h + 4k = 28 \Rightarrow h + k = 7$.
$h + k = 7$ માં $k = 4h - 3$ મૂકતા:
$h + (4h - 3) = 7$ $\Rightarrow 5h = 10$ $\Rightarrow h = 2$.
તેથી $k = 4(2) - 3 = 5$.
કેન્દ્ર $(2, 5)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(2, 5)$ અને $(2, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(2 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $4y^2 - x^2 = 1$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(x_1, y_1)$ લો. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4yy_1 - xx_1 = 1$ છે.
આ સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A$ બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $y=0$,તેથી $-xx_1 = 1 \Rightarrow x = -1/x_1$. આમ,$A = (-1/x_1, 0)$.
આ સ્પર્શક $y$-અક્ષને $B$ બિંદુએ છેદે છે જ્યાં $x=0$,તેથી $4yy_1 = 1 \Rightarrow y = 1/(4y_1)$. આમ,$B = (0, 1/(4y_1))$.
ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
તેથી $h = -1/(2x_1) \Rightarrow x_1 = -1/(2h)$ અને $k = 1/(8y_1) \Rightarrow y_1 = 1/(8k)$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ અતિવલય $4y_1^2 - x_1^2 = 1$ પર હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$4(1/(8k))^2 - (-1/(2h))^2 = 1$
$4/(64k^2) - 1/(4h^2) = 1$
$1/(16k^2) - 1/(4h^2) = 1$
$16h^2k^2$ વડે ગુણતા:
$h^2 - 4k^2 = 16h^2k^2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 - 4y^2 - 16x^2y^2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ $x_1, x_2, \dots, x_n$ નો સામાન્ય તફાવત $d_1$ છે.
$x_8 - x_3 = 5d_1 = 20 - 8 = 12$ હોવાથી,$d_1 = \frac{12}{5} = 2.4$ મળે.
તેથી $x_5 = x_3 + 2d_1 = 8 + 2(2.4) = 12.8$.
ધારો કે $A.P.$ $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ નો સામાન્ય તફાવત $d_2$ છે.
$\frac{1}{h_7} - \frac{1}{h_2} = 5d_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{8} = -\frac{3}{40}$ હોવાથી,$d_2 = -\frac{3}{200}$ મળે.
હવે,$\frac{1}{h_{10}} = \frac{1}{h_7} + 3d_2 = \frac{1}{20} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$ મળે,તેથી $h_{10} = 200$.
આમ,$x_5 \cdot h_{10} = 12.8 \times 200 = 2560$.

(B) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{30}$ છે. મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} x_i = 75$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનને $\lambda$ વડે ગુણીને $25$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવા અવલોકનો $y_i = \lambda x_i - 25$ થાય.
નવો મધ્યક $\bar{y} = \frac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} (\lambda x_i - 25) = 75\lambda - 25$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,મધ્યક સમાન રહે છે,તેથી $75\lambda - 25 = 75$.
$75\lambda = 100$.
$\lambda = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}$.

(D) ધારો કે $P(x) = \left[\frac{1}{\sqrt{5 x^{3}+1}-\sqrt{5 x^{3}-1}}\right]^{8}+\left[\frac{1}{\sqrt{5 x^{3}+1}+\sqrt{5 x^{3}-1}}\right]^{8}$.
પદોનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$P(x) = \left[\frac{\sqrt{5 x^{3}+1}+\sqrt{5 x^{3}-1}}{2}\right]^{8} + \left[\frac{\sqrt{5 x^{3}+1}-\sqrt{5 x^{3}-1}}{2}\right]^{8}$.
$P(x) = \frac{1}{2^8} \left[ (\sqrt{5x^3+1} + \sqrt{5x^3-1})^8 + (\sqrt{5x^3+1} - \sqrt{5x^3-1})^8 \right]$.
$(a+b)^8 + (a-b)^8 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, 6, 8} \binom{8}{k} a^{8-k} b^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(x) = \frac{2}{2^8} \left[ \binom{8}{0} (5x^3+1)^4 + \binom{8}{2} (5x^3+1)^3(5x^3-1) + \binom{8}{4} (5x^3+1)^2(5x^3-1)^2 + \binom{8}{6} (5x^3+1)(5x^3-1)^3 + \binom{8}{8} (5x^3-1)^4 \right]$.
$x$ ની મહત્તમ ઘાત $x^{3 \times 4} = x^{12}$ છે,તેથી $n = 12$.
$x^{12}$ નો સહગુણક $\frac{2}{2^8} \times 5^4 \times \left[ \binom{8}{0} + \binom{8}{2} + \binom{8}{4} + \binom{8}{6} + \binom{8}{8} \right]$ છે.
$\sum_{k \text{ even}} \binom{8}{k} = 2^{8-1} = 2^7$ હોવાથી,
$m = \frac{2}{2^8} \times 5^4 \times 2^7 = \frac{2^8}{2^8} \times 5^4 \times 2^3 = 8 \times 10^4$.
આમ,$(n, m) = (12, 8(10)^4)$.

(NONE) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 10x - 25 = 0$ ના બીજ $\tan A$ અને $\tan B$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\tan A + \tan B = \frac{10}{3}$ અને $\tan A \tan B = -\frac{25}{3}$.
સૂત્ર $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (A + B) = \frac{10/3}{1 - (-25/3)} = \frac{10/3}{28/3} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$.
ધારો કે $S = 3 \sin^2 (A + B) - 10 \sin (A + B) \cos (A + B) - 25 \cos^2 (A + B)$.
આખા પદને $\cos^2 (A + B)$ વડે ભાગતા:
$S = \cos^2 (A + B) [3 \tan^2 (A + B) - 10 \tan (A + B) - 25]$.
અહીં $\tan (A + B) = 5/14$ એ સમીકરણ $3x^2 - 10x - 25 = 0$ નું બીજ હોવાથી,કૌંસમાં રહેલી કિંમત $0$ થશે.
તેથી,$S = 0$.

(C) ઉગમબિંદુ સામાન્ય શિરોબિંદુ હોવાથી,બે પરવલયોના સમીકરણો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4by$ લો.
નાભિલંબની લંબાઈ $3$ આપેલ છે,તેથી $4a = 3$ અને $4b = 3$,એટલે કે $a = b = \frac{3}{4}$.
પરવલયોના સમીકરણો $y^2 = 3x$ અને $x^2 = 3y$ છે.
ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શક $y = mx + c$ છે.
$y^2 = 3x$ માટે,$y = mx + c$ મૂકતા $(mx + c)^2 = 3x$,એટલે કે $m^2x^2 + (2mc - 3)x + c^2 = 0$.
સ્પર્શક હોવાથી વિવેચક શૂન્ય થાય: $(2mc - 3)^2 - 4m^2c^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $9 - 12mc = 0$ એટલે કે $c = \frac{3}{4m}$ મળે.
$x^2 = 3y$ માટે,$y = mx + c$ મૂકતા $x^2 = 3(mx + c)$,એટલે કે $x^2 - 3mx - 3c = 0$.
વિવેચક શૂન્ય લેતા: $(-3m)^2 - 4(1)(-3c) = 0$,જે $9m^2 + 12c = 0$ આપે છે,તેથી $c = -\frac{3m^2}{4}$.
$c$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $\frac{3}{4m} = -\frac{3m^2}{4}$ $\Rightarrow m^3 = -1$ $\Rightarrow m = -1$.
તેથી $c = \frac{3}{4(-1)} = -\frac{3}{4}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -x - \frac{3}{4}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4(x + y) + 3 = 0$ થાય છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 3y^2 = 9$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{x}$ છે.
બિંદુ $P_1 = (3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ માટે,અભિલંબનો ઢાળ $m_1 = \frac{3(\sqrt{3} \sin \theta)}{3 \cos \theta} = \sqrt{3} \tan \theta$.
બિંદુ $P_2 = (-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ માટે,અભિલંબનો ઢાળ $m_2 = \frac{3(\sqrt{3} \cos \theta)}{-3 \sin \theta} = -\sqrt{3} \cot \theta$.
અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ માટે $\tan \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \beta = \left| \frac{\sqrt{3} \tan \theta - (-\sqrt{3} \cot \theta)}{1 + (\sqrt{3} \tan \theta)(-\sqrt{3} \cot \theta)} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{1 - 3} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{-2} \right| = \frac{\sqrt{3}}{2} (\tan \theta + \cot \theta)$.
કારણ કે $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$.
આમ,$\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sin 2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2\theta}$.
તેથી,$\frac{1}{\cot \beta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2\theta}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\cot \beta}{\sin 2\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આથી,$\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ છે $w = \frac{1 + (1 - 8\alpha)z}{1 - z}$. $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી,$w + \bar{w} = 0$.
$w + \bar{w} = \frac{1 + (1 - 8\alpha)z}{1 - z} + \frac{1 + (1 - 8\alpha)\bar{z}}{1 - \bar{z}} = 0$
$\Rightarrow (1 + (1 - 8\alpha)z)(1 - \bar{z}) + (1 + (1 - 8\alpha)\bar{z})(1 - z) = 0$
$|z| = 1$ હોવાથી,$z\bar{z} = 1$.
સાદુરૂપ આપતા,$-8\alpha(z + \bar{z} - 2) = 0$.
$\text{Re}(z) \neq 1$ હોવાથી,$z + \bar{z} \neq 2$,તેથી $-8\alpha = 0$,જેનો અર્થ છે $\alpha = 0$.

(D) ધારો કે વિમાનની ઊંચાઈ $h = \sqrt{3} \ km$ છે. ધારો કે $O$ એ જમીન પરનું નિરીક્ષણ બિંદુ છે.
ધારો કે $A$ એ વિમાનનું પ્રથમ સ્થાન છે અને $B$ એ $5 \ \text{સેકન્ડ}$ પછીનું બીજું સ્થાન છે.
$\Delta OA A_1$ માં,જ્યાં $A A_1 = \sqrt{3} \ km$ અને $\angle A O A_1 = 60^\circ$ છે:
$O A_1 = \frac{A A_1}{\tan 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \ km$.
$\Delta OB B_1$ માં,જ્યાં $B B_1 = \sqrt{3} \ km$ અને $\angle B O B_1 = 30^\circ$ છે:
$O B_1 = \frac{B B_1}{\tan 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3 \ km$.
વિમાન દ્વારા કાપેલું અંતર $AB = A_1 B_1 = O B_1 - O A_1 = 3 - 1 = 2 \ km$ છે.
લીધેલ સમય $5 \ \text{સેકન્ડ }= \frac{5}{3600} \ \text{કલાક}$ છે.
ઝડપ = $\frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2}{5/3600} = \frac{2 \times 3600}{5} = 1440 \ km/hr$.

(D) $n$-અંકી સંખ્યાના દરેક સ્થાનને $3$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $2, 5$ અથવા $7$ નો ઉપયોગ કરીને).
તેથી,કુલ ભિન્ન $n$-અંકી સંખ્યાઓ $3^n$ છે.
આપણે $n$ ની એવી નાનામાં નાની પૂર્ણાંક કિંમત શોધવાની છે જેના માટે $3^n \geq 900$ થાય.
$3$ ના ઘાતની ગણતરી કરતા:
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
$3^6 = 729 < 900$ અને $3^7 = 2187 \geq 900$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(A) આપણી પાસે $(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2$ છે.
$(1+x^2)^3 = 1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6$ છે.
$(1+x^3)^4 = 1 + 4x^3 + 6x^6 + 4x^9 + x^{12}$ છે.
$x^{10}$ મેળવવા માટેના શક્ય સંયોજનો:
$(2x) \cdot (1) \cdot (4x^9) = 8x^{10}$
$(x^2) \cdot (3x^2) \cdot (6x^6) = 18x^{10}$
$(1) \cdot (3x^4) \cdot (6x^6) = 18x^{10}$
$(2x) \cdot (x^6) \cdot (4x^3) = 8x^{10}$
કુલ સરવાળો: $8 + 18 + 18 + 8 = 52$.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત પદાવલી $f(x) = k(x - r_1)(x - r_2)$ છે.
આપેલ છે કે $-1$ એક બીજ છે,ધારો કે $r_1 = -1$. ધારો કે બીજું બીજ $a$ છે.
તેથી,$f(x) = k(x + 1)(x - a) = k(x^2 + (1 - a)x - a)$.
આપણને આપેલ છે કે $f(1) + f(2) = 0$.
$f(1) = k(1 + 1)(1 - a) = 2k(1 - a) = 2k - 2ka$.
$f(2) = k(2 + 1)(2 - a) = 3k(2 - a) = 6k - 3ka$.
સરવાળો કરતા: $f(1) + f(2) = (2k - 2ka) + (6k - 3ka) = 8k - 5ka$.
સરવાળાને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $8k - 5ka = 0$.
કારણ કે $f(x)$ દ્વિઘાત પદાવલી છે,$k \neq 0$,તેથી આપણે $k$ વડે ભાગી શકીએ છીએ.
$8 - 5a = 0 \Rightarrow 5a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{5}$.
આમ,બીજું બીજ $\frac{8}{5}$ છે.

(D) $BARRACK$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $A, A, R, R, B, C, K$. ભિન્ન અક્ષરો ${A, R, B, C, K}$ છે.
આપણે $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય: ${A, R, B, C, K}$ માંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^5C_4 = 5$. દરેકને ગોઠવવાના પ્રકાર $= 4! = 24$. કુલ $= 5 \times 24 = 120$.
(ii) $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી: જોડીઓ ${A, A}$ અને ${R, R}$ છે. બંને જોડી પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^2C_2 = 1$. ગોઠવણીના પ્રકાર $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
(iii) $2$ સમાન અને $2$ ભિન્ન અક્ષરો: ${A, A}$ અથવા ${R, R}$ માંથી $1$ જોડી પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^2C_1 = 2$. બાકીના $4$ અક્ષરોમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરવાના પ્રકાર $= ^4C_2 = 6$. દરેક પસંદગી માટે ગોઠવણીના પ્રકાર $= \frac{4!}{2!} = 12$. કુલ $= 2 \times 6 \times 12 = 144$.
કુલ $4$ અક્ષરના શબ્દો $= 120 + 6 + 144 = 270$.

(D) આપેલ છે $\sin 3x = \cos 2x$.
આપણે તેને $\sin 3x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
$\sin A = \sin B$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $A = n\pi + (-1)^n B$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આ લાગુ પાડતા,$3x = n\pi + (-1)^n \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$.
કિસ્સો $1$: જો $n$ બેકી હોય,ધારો કે $n = 2k$. તો $3x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} - 2x$ $\Rightarrow 5x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{2k\pi}{5} + \frac{\pi}{10} = \frac{(4k+1)\pi}{10}$.
$k=1$ માટે,$x = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (અંતરાલમાં નથી).
$k=2$ માટે,$x = \frac{9\pi}{10}$ (અંતરાલમાં છે).
કિસ્સો $2$: જો $n$ એકી હોય,ધારો કે $n = 2k+1$. તો $3x = (2k+1)\pi - \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{2} + 2x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} + 2x$ $\Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$.
$k=0$ માટે,$x = \frac{\pi}{2}$ (અંતરાલમાં નથી).
$k=1$ માટે,$x = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$ (અંતરાલમાં નથી).
આમ,અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માં માત્ર એક જ ઉકેલ $x = \frac{9\pi}{10}$ છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) વિધાન $p$ માટે: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $2\sin 120^\circ = \sqrt{3}$.
જમણી બાજુમાં $\theta = 240^\circ$ મૂકતા: $\sqrt{1 + \sin 240^\circ} - \sqrt{1 - \sin 240^\circ} = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} - \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = -1 \neq \sqrt{3}$. તેથી,વિધાન $p$ ખોટું છે.
વિધાન $q$ માટે: કોઈપણ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$A + B + C + D = 360^\circ$,તેથી $\frac{A+C}{2} + \frac{B+D}{2} = 180^\circ = \pi$.
ધારો કે $\alpha = \frac{A+C}{2}$,તો $\frac{B+D}{2} = \pi - \alpha$.
આમ,$\cos(\alpha) + \cos(\pi - \alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) = 0$. તેથી,વિધાન $q$ સાચું છે.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $F, T$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $|z - (3 - 2i)| \leq 4$ એ $C(3, -2)$ કેન્દ્ર અને $R = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$|z|$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી બિંદુ $z$ નું અંતર દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી વર્તુળ સુધીનું મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અંતર ઉગમબિંદુ અને કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થતી રેખા પર મળે છે.
ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર $C(3, -2)$ સુધીનું અંતર $OC = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ છે.
$|z|$ નું ન્યૂનતમ અંતર $|OC - R| = |\sqrt{13} - 4|$ છે. કારણ કે $\sqrt{13} < 4$,તેથી ન્યૂનતમ અંતર $4 - \sqrt{13}$ છે.
$|z|$ નું મહત્તમ અંતર $OC + R = \sqrt{13} + 4$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત $(4 + \sqrt{13}) - (4 - \sqrt{13}) = 2\sqrt{13}$ છે.

(A) રેખા $3x + y = \lambda$ નું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{\lambda/3} + \frac{y}{\lambda} = 1$ લખી શકાય.
આમ,$A$ ના યામ $(\frac{\lambda}{3}, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, \lambda)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ પરના લંબપાદ $P$ ના યામ $(\frac{-ac}{a^2+b^2}, \frac{-bc}{a^2+b^2})$ છે.
અહીં,$3x + y - \lambda = 0$,તેથી $a=3, b=1, c=-\lambda$.
$P = (\frac{-3(-\lambda)}{3^2+1^2}, \frac{-1(-\lambda)}{3^2+1^2}) = (\frac{3\lambda}{10}, \frac{\lambda}{10})$.
હવે,અંતર $BP$ અને $PA$ ગણીએ:
$BP^2 = (\frac{3\lambda}{10} - 0)^2 + (\frac{\lambda}{10} - \lambda)^2 = \frac{9\lambda^2}{100} + \frac{81\lambda^2}{100} = \frac{90\lambda^2}{100} = \frac{9\lambda^2}{10}$.
$PA^2 = (\frac{\lambda}{3} - \frac{3\lambda}{10})^2 + (0 - \frac{\lambda}{10})^2 = (\frac{10\lambda - 9\lambda}{30})^2 + \frac{\lambda^2}{100} = \frac{\lambda^2}{900} + \frac{9\lambda^2}{900} = \frac{10\lambda^2}{900} = \frac{\lambda^2}{90}$.
તેથી,$\frac{BP^2}{PA^2} = \frac{9\lambda^2/10}{\lambda^2/90} = \frac{9}{10} \times 90 = 81$.
આમ,$\frac{BP}{PA} = \sqrt{81} = 9$.
તેથી,ગુણોત્તર $BP : PA$ એ $9 : 1$ છે.

(B) $A_n$ એ પ્રથમ પદ $a = \frac{3}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{3}{4}$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $A_n = \frac{3}{7} \left[ 1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right]$ થાય.
$B_n > A_n$ માટે $1 - A_n > A_n \implies A_n < \frac{1}{2}$ હોવું જોઈએ.
$\frac{3}{7} \left[ 1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right] < \frac{1}{2} \implies \left( \frac{3}{4} \right)^n < \frac{1}{6}$ (જ્યારે $n$ એકી હોય).
લોગ લેતા,$n > 6.23$ મળે છે.
તેથી,સૌથી નાની એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $p = 7$ છે.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2 - 9y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_0} + \frac{b^2y}{y_0} = a^2 + b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ હોવાથી,સમીકરણ $\frac{9x}{x_0} + \frac{4y}{y_0} = 13$ મળે.
આ અભિલંબ $x$-અક્ષને $A(\frac{13x_0}{9}, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, \frac{13y_0}{4})$ માં મળે છે.
$OABP$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$P(x, y) = A + B = (\frac{13x_0}{9}, \frac{13y_0}{4})$.
તેથી,$x_0 = \frac{9x}{13}$ અને $y_0 = \frac{4y}{13}$.
$(x_0, y_0)$ અતિવલય પર હોવાથી,$4(\frac{9x}{13})^2 - 9(\frac{4y}{13})^2 = 36$ મળે.
સાદું રૂપ આપતા,$9x^2 - 4y^2 = 169$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 - (x + x_1) - 1 = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$2x + y - (x + 2) - 1 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x + y - 3 = 0$ થાય છે.
આ રેખા વર્તુળ $C_2$ (કેન્દ્ર $(3, -2)$) માટે જીવા તરીકે કામ કરે છે.
કેન્દ્ર $(3, -2)$ થી રેખા $x + y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|3 - 2 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $l = 4$ છે,તેથી જીવાની અડધી લંબાઈ $\frac{l}{2} = 2$ થાય.
વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(\frac{l}{2})^2 + d^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$.

(D) ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
આકૃતિ પરથી,$EA = 60 \, m$ $(T_1)$ અને $DB = 80 \, m$ $(T_2)$.
ધારો કે $C$ એ $T_2$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $EC$ સમક્ષિતિજ હોય. તેથી $EC = AB = x$.
$DC = DB - CB = 80 - 60 = 20 \, m$.
આપેલ છે કે $\angle DEC = \theta$ ($T_2$ ની ટોચનો ઉત્સેધકોણ) અને $\angle BEC = 2\theta$ ($T_2$ ના તળિયાનો અવસેધકોણ).
$\Delta DEC$ માં,$\tan \theta = \frac{DC}{EC} = \frac{20}{x}$.
$\Delta BEC$ માં,$\tan 2\theta = \frac{BC}{EC} = \frac{60}{x}$.
નિત્યસમ $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{60}{x} = \frac{2(\frac{20}{x})}{1 - (\frac{20}{x})^2}$.
$\frac{60}{x} = \frac{40/x}{1 - 400/x^2} = \frac{40x}{x^2 - 400}$.
$60(x^2 - 400) = 40x^2$.
$60x^2 - 24000 = 40x^2$.
$20x^2 = 24000$.
$x^2 = 1200$.
$x = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \, m$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(0, c)$ છે.
બાજુઓને સમાંતર રેખાઓના સમીકરણો $x - y + 2 = 0$ અને $7x - y + 3 = 0$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એ બાજુઓ ધરાવતી રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજક હોય છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોના સમીકરણો $\frac{x - y + 2}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{7x - y + 3}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{x - y + 2}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7x - y + 3}{5\sqrt{2}}$.
$5x - 5y + 10 = \pm (7x - y + 3)$.
કિસ્સો $1$: $5x - 5y + 10 = 7x - y + 3 \Rightarrow 2x + 4y - 7 = 0$. ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{2}$ છે.
કિસ્સો $2$: $5x - 5y + 10 = -7x + y - 3 \Rightarrow 12x - 6y + 13 = 0$. ઢાળ $m_2 = 2$ છે.
વિકર્ણો $P(1, 2)$ અને $A(0, c)$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $AP$ નો ઢાળ $\frac{2 - c}{1 - 0} = 2 - c$ છે.
જો $2 - c = 2$ હોય,તો $c = 0$ મળે,જે ઉગમબિંદુ છે (જે શક્ય નથી).
જો $2 - c = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ મળે.

(D) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\tan 2x - 2x\tan x}}{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}$.
$\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}$ અને $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} \right) - 2x\tan x}}{{{{\left( {2\sin^2 x} \right)}^2}}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x\tan x - 2x\tan x(1 - {{\tan }^2}x)}}{{(1 - {{\tan }^2}x) \cdot 4\sin^4 x}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x\tan^3 x}}{{4\sin^4 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ હોવાથી:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x}}}{{4\sin^4 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{4\sin x \cdot \cos^3 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{2\sin x} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\cos^3 x(1 - {{\tan }^2}x)}}$
$L = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1(1 - 0)} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a+c = 2b$.
$a+b+c = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$a+c=2b$ મૂકતા $3b = \frac{3}{4}$ મળે,તેથી $b = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $(b^2)^2 = a^2 c^2$,જેનો અર્થ છે કે $ac = \pm b^2 = \pm \frac{1}{16}$.
$a < b < c$ હોવાથી,$ac$ ઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $ac = -\frac{1}{16}$.
આપણને $a+c = 2b = \frac{1}{2}$ અને $ac = -\frac{1}{16}$ મળે છે.
$a$ અને $c$ માટેનું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a+c)x + ac = 0$ છે,એટલે કે $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
$16$ વડે ગુણતા,$16x^2 - 8x - 1 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{32} = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$a < b$ હોવાથી,આપણે નાની કિંમત પસંદ કરીશું: $a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$. નાભિ $F$ એ $(2, 0)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (-8, 0)$ માટે સ્પર્શક જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y(0) = 2(2)(x - 8)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $0 = 4(x - 8)$ થાય છે,તેથી $x = 8$.
$x = 8$ માટે,$y^2 = 8(8) = 64$,તેથી $y = \pm 8$. આમ,બિંદુઓ $P(8, 8)$ અને $Q(8, -8)$ છે.
ત્રિકોણ $PFQ$ ના શિરોબિંદુઓ $P(8, 8)$,$F(2, 0)$ અને $Q(8, -8)$ છે.
પાયો $PQ$ એ $|8 - (-8)| = 16$ લંબાઈનો શિરોલંબ રેખાખંડ છે.
$F(2, 0)$ થી રેખા $x = 8$ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ $|8 - 2| = 6$ છે.
$\triangle PFQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરનું તળિયું $D$ છે. કારના સ્થાન $B$ અને $A$ છે જ્યાં અવસેધકોણ અનુક્રમે $30^\circ$ અને $45^\circ$ છે.
$\Delta ODA$ માં,$\angle OAD = 45^\circ$. તેથી,$\tan(45^\circ) = \frac{h}{DA} \Rightarrow DA = h$.
$\Delta ODB$ માં,$\angle OBD = 30^\circ$. તેથી,$\tan(30^\circ) = \frac{h}{DB} \Rightarrow DB = h\sqrt{3}$.
$18 \text{ min}$ માં કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $BA = DB - DA = h(\sqrt{3} - 1)$ છે.
કારની ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{h(\sqrt{3} - 1)}{18}$.
$DA$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{DA}{v} = \frac{h}{h(\sqrt{3} - 1) / 18} = \frac{18}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $t = \frac{18(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{18(\sqrt{3} + 1)}{2} = 9(\sqrt{3} + 1) \text{ min}$.

(C) આપેલ છે કે $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \dots, \frac{1}{x_n}$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $a = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{4}$ અને $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
આપણને $\frac{1}{x_{21}} = \frac{1}{20}$ આપેલ છે.
$A.P.$ ના સૂત્ર મુજબ $\frac{1}{x_{21}} = a + 20d$,તેથી $\frac{1}{20} = \frac{1}{4} + 20d$.
$20d = \frac{1}{20} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{5}$,તેથી $d = -\frac{1}{100}$.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $\frac{1}{x_n} = a + (n-1)d = \frac{1}{4} - \frac{n-1}{100} = \frac{26 - n}{100}$ છે.
તેથી $x_n = \frac{100}{26 - n}$.
$x_n > 50$ હોવાથી,$\frac{100}{26 - n} > 50$,જેનો અર્થ છે કે $n > 24$.
સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 25$ છે.
હવે,$\sum_{i=1}^{25} \frac{1}{x_i} = \frac{25}{2} \left[ 2a + (25-1)d \right] = \frac{25}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{24}{100} \right] = \frac{25}{2} \left[ \frac{1}{2} - \frac{6}{25} \right] = \frac{13}{4}$.

(A) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: \sqrt{2}x - y + 4\sqrt{2}k = 0 \Rightarrow y = \sqrt{2}x + 4\sqrt{2}k \quad (i)$
$L_2: \sqrt{2}kx + ky - 4\sqrt{2} = 0 \quad (ii)$
$(i)$ માંથી $y$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{2}kx + k(\sqrt{2}x + 4\sqrt{2}k) - 4\sqrt{2} = 0$
$2\sqrt{2}kx = 4\sqrt{2}(1 - k^2) \Rightarrow x = \frac{2(1 - k^2)}{k}$
તે જ રીતે,$y = \frac{2\sqrt{2}(1 + k^2)}{k}$
આમ,$(\frac{y}{4\sqrt{2}})^2 - (\frac{x}{4})^2 = 1$ મળે છે.
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે,જેમાં અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2a = 2(4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$ છે.

(A) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય,તો તે સંખ્યા પોતે $3$ વડે ભાગી શકાય છે.
હજારના સ્થાન પર $2, 3$ અથવા $4$ આવી શકે કારણ કે સંખ્યા $2,000$ અને $5,000$ ની વચ્ચે છે.
કિસ્સો $1$: હજારના સ્થાન પર $2$ હોય.
બાકીના $3$ અંકો ${0, 1, 3, 4}$ માંથી પસંદ કરવાના છે જેથી સરવાળો $3$ વડે ભાગી શકાય:
- ${0, 1, 3}$ (સરવાળો $= 6$)
- ${0, 3, 4}$ (સરવાળો $= 9$)
દરેક સમૂહ $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય. કુલ $= 2 \times 6 = 12$.
કિસ્સો $2$: હજારના સ્થાન પર $3$ હોય.
બાકીના $3$ અંકો ${0, 1, 2, 4}$ માંથી પસંદ કરવાના છે:
- ${0, 1, 2}$ (સરવાળો $= 6$)
- ${0, 2, 4}$ (સરવાળો $= 9$)
કુલ $= 2 \times 6 = 12$.
કિસ્સો $3$: હજારના સ્થાન પર $4$ હોય.
બાકીના $3$ અંકો ${0, 1, 2, 3}$ માંથી પસંદ કરવાના છે:
- ${0, 2, 3}$ (સરવાળો $= 9$)
કુલ $= 1 \times 6 = 6$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 12 + 12 + 6 = 30$.

(A) પ્રથમ બે સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ:
$(2x - 2y + 3z - 2) + \lambda(x - y + z + 1) = 0$
$x(\lambda + 2) - y(\lambda + 2) + z(\lambda + 3) + (\lambda - 2) = 0 \quad \dots(1)$
આ સમતલ ${L_2}$ ને સમાવે છે,તેથી:
$\begin{vmatrix} \lambda + 2 & -(\lambda + 2) & \lambda + 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(\lambda + 2) + 5(\lambda + 2) - 7(\lambda + 3) = 0$
$8\lambda + 16 - 7\lambda - 21 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$
સમીકરણ $(1)$ માં $\lambda = 5$ મૂકતા:
$7x - 7y + 8z + 3 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલનું લંબ અંતર:
$d = \frac{|3|}{\sqrt{7^2 + (-7)^2 + 8^2}} = \frac{3}{\sqrt{162}} = \frac{3}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, -1, 3)$ અને $B(5, -1, 4)$ છે. સદિશ $\overrightarrow{AB} = (5-4)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$ છે.
સમતલ $x + y + z = 7$ નો અભિલંબ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
એકમ અભિલંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.
અભિલંબ $\vec{n}$ પર $\overrightarrow{AB}$ નો પ્રક્ષેપ $d = |\overrightarrow{AB} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i} + \hat{k}) \cdot \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{3}}| = \frac{1+0+1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
સમતલ પર રેખાખંડ $AB$ ના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 - d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2$ છે.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $= \sqrt{2 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{2 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{6-4}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2(-x)}{1 + 2^{-x}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + \frac{1}{2^x}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2^x \sin^2 x}{2^x + 1} dx$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x + 2^x \sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x dx$
$\sin^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx$
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $18x^2 - 9\pi x + \pi^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(3x - \pi)(6x - \pi) = 0$.
તેથી,બીજ $\alpha = \frac{\pi}{6}$ અને $\beta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે (કારણ કે $\alpha < \beta$).
હવે,સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \cos((\sqrt{x})^2) = \cos(x)$ થાય.
વક્ર $y = \cos(x)$,રેખાઓ $x = \frac{\pi}{6}$,$x = \frac{\pi}{3}$ અને $y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos(x) \, dx$.
સંકલન કરતા: $A = [\sin(x)]_{\pi/6}^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{6})$.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{matrix} x - 4 & 2x & 2x \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right|$.
પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 5x - 4 & 5x - 4 & 5x - 4 \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right| = (5x - 4) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2x & x - 4 & 2x \\ 2x & 2x & x - 4 \end{matrix} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (5x - 4) \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2x & -x - 4 & 0 \\ 2x & 0 & -x - 4 \end{matrix} \right| = (5x - 4)(-x - 4)^2 = (5x - 4)(x + 4)^2$.
આને $(A + Bx)(x - A)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે $(A + Bx)(x - A)^2 = (5x - 4)(x - (-4))^2$.
આમ,$A = -4$ અને $B = 5$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(A, B) = (-4, 5)$ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-3k + 8) - k(-9 + 4) + 3(12 - 2k) = 0$
$-3k + 8 + 5k + 36 - 6k = 0$
$-4k + 44 = 0 \Rightarrow k = 11$
$k = 11$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x + 11y + 3z = 0$ $(1)$
$3x + 11y - 2z = 0$ $(2)$
$2x + 4y - 3z = 0$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(3x - x) + (11y - 11y) + (-2z - 3z) = 0 \Rightarrow 2x - 5z = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}z$
$x = \frac{5}{2}z$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{2}z + 11y + 3z = 0 \Rightarrow 11y = -\frac{11}{2}z \Rightarrow y = -\frac{1}{2}z$
હવે,$\frac{xz}{y^2}$ ની કિંમત શોધીએ:
$\frac{xz}{y^2} = \frac{(\frac{5}{2}z)(z)}{(-\frac{1}{2}z)^2} = \frac{\frac{5}{2}z^2}{\frac{1}{4}z^2} = \frac{5}{2} \times 4 = 10$

(C) આપેલ છે કે $h(x) = \frac{x^2 + \frac{1}{x^2}}{x - \frac{1}{x}}$.
અંશને $(x - \frac{1}{x})^2 + 2$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$h(x) = \frac{(x - \frac{1}{x})^2 + 2}{x - \frac{1}{x}} = (x - \frac{1}{x}) + \frac{2}{x - \frac{1}{x}}$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. $x \in R - \{-1, 1, 0\}$ હોવાથી,$t$ ની કિંમત $0$ સિવાયની કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.
તેથી $h(t) = t + \frac{2}{t}$.
જ્યારે $t > 0$ હોય,ત્યારે $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$t + \frac{2}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{2}{t}} = 2\sqrt{2}$.
સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $t = \frac{2}{t}$,એટલે કે $t^2 = 2$,તેથી $t = \sqrt{2}$ ($t > 0$ હોવાથી).
જ્યારે $t < 0$ હોય,ત્યારે $u = -t$ ધારો,જ્યાં $u > 0$. તો $h(t) = -u - \frac{2}{u} = -(u + \frac{2}{u}) \le -2\sqrt{2}$.
આમ,$h(x)$ ની સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $2\sqrt{2}$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = |x-\pi|(e^{|x|}-1)\sin|x|$ આપેલ છે.
આપણે $x=0$ અને $x=\pi$ આગળ વિકલનીયતા તપાસીએ.
$x=\pi$ આગળ:
$f(\pi) = 0$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|\pi+h-\pi|(e^{|\pi+h|}-1)\sin|\pi+h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(e^{\pi+h}-1)\sin(\pi+h)}{h} = (e^{\pi}-1)\sin(\pi) = 0$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|\pi-h-\pi|(e^{|\pi-h|}-1)\sin|\pi-h| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(e^{\pi-h}-1)\sin(\pi-h)}{-h} = -(e^{\pi}-1)\sin(\pi) = 0$.
$RHD = LHD = 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=\pi$ આગળ વિકલનીય છે.
$x=0$ આગળ:
$f(0) = 0$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h-\pi|(e^{|h|}-1)\sin|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h-\pi|(e^h-1)\sin(h)}{h} = |-\pi| \cdot (1) \cdot (0) = 0$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h-\pi|(e^{|-h|}-1)\sin|-h| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h-\pi|(e^h-1)\sin(h)}{-h} = |-\pi| \cdot (1) \cdot (0) = 0$.
$RHD = LHD = 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.
આમ,$f(x)$ દરેક બિંદુએ વિકલનીય હોવાથી,ગણ $S$ ખાલી ગણ છે,એટલે કે $S = \emptyset$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^5 x + \cos^3 x \sin^2 x + \sin^3 x \cos^2 x + \cos^5 x)^2} dx$.
છેદનું અવયવીકરણ કરતા:
$\sin^5 x + \cos^3 x \sin^2 x + \sin^3 x \cos^2 x + \cos^5 x = \sin^2 x(\sin^3 x + \cos^3 x) + \cos^2 x(\sin^3 x + \cos^3 x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^3 x + \cos^3 x) = (\sin^3 x + \cos^3 x)$.
તેથી,$I = \int \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^3 x + \cos^3 x)^2} dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^6 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(\tan^3 x + 1)^2} dx$.
ધારો કે $t = 1 + \tan^3 x$,તો $dt = 3 \tan^2 x \sec^2 x dx$,તેથી $\tan^2 x \sec^2 x dx = \frac{dt}{3}$.
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{3} (-t^{-1}) + C = \frac{-1}{3(1 + \tan^3 x)} + C$.

(A) ધારો કે $R_1$ એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે અને $B_1$ એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
ધારો કે $R_2$ એ બીજા પ્રયત્નમાં લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
શરૂઆતમાં,થેલીમાં $4$ લાલ અને $6$ કાળા દડા છે,કુલ $10$ દડા છે.
$P(R_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ અને $P(B_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
જો પ્રથમ લાલ દડો કાઢવામાં આવે,તો તેને બીજા $2$ લાલ દડા સાથે પાછો મૂકવામાં આવે છે. હવે થેલીમાં $4 + 2 = 6$ લાલ દડા અને $6$ કાળા દડા છે,કુલ $12$ દડા છે.
તેથી,$P(R_2 | R_1) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
જો પ્રથમ કાળો દડો કાઢવામાં આવે,તો તેને બીજા $2$ કાળા દડા સાથે પાછો મૂકવામાં આવે છે. હવે થેલીમાં $4$ લાલ દડા અને $6 + 2 = 8$ કાળા દડા છે,કુલ $12$ દડા છે.
તેથી,$P(R_2 | B_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બીજા દડાના લાલ હોવાની સંભાવના:
$P(R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) + P(B_1) \times P(R_2 | B_1)$
$P(R_2) = (\frac{4}{10} \times \frac{6}{12}) + (\frac{6}{10} \times \frac{4}{12})$
$P(R_2) = \frac{24}{120} + \frac{24}{120} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$.

(D) કારણ કે $\vec{u}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે,આપણે લખી શકીએ $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{u} \perp \vec{a}$,તેથી $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$.
$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \implies x|\vec{a}|^2 + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
$|\vec{a}|^2 = 2^2 + 3^2 + (-1)^2 = 14$ ગણો.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(0) + (3)(1) + (-1)(1) = 2$ ગણો.
તેથી,$14x + 2y = 0 \implies y = -7x$.
આમ,$\vec{u} = x\vec{a} - 7x\vec{b} = x(\vec{a} - 7\vec{b})$.
$\vec{a} - 7\vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 7(\hat{j} + \hat{k}) = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{u} \cdot \vec{b} = 24$,તેથી $x(\vec{a} - 7\vec{b}) \cdot \vec{b} = 24$.
$(\vec{a} - 7\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} - 7|\vec{b}|^2 = 2 - 7(2) = -12$.
તેથી,$x(-12) = 24 \implies x = -2$.
તેથી,$\vec{u} = -2(2\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}) = -4\hat{i} + 8\hat{j} + 16\hat{k}$.
$|\vec{u}|^2 = (-4)^2 + 8^2 + 16^2 = 16 + 64 + 256 = 336$.

(C) ધારો કે ચલ સમતલના $x, y,$ અને $z$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a, b,$ અને $c$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આ સમતલ નિશ્ચિત બિંદુ $(3, 2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ મળે.
$A(a, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું અને $yz$-સમતલને સમાંતર સમતલ $x = a$ છે.
$B(0, b, 0)$ માંથી પસાર થતું અને $zx$-સમતલને સમાંતર સમતલ $y = b$ છે.
$C(0, 0, c)$ માંથી પસાર થતું અને $xy$-સમતલને સમાંતર સમતલ $z = c$ છે.
આ ત્રણ સમતલોનું છેદબિંદુ $(a, b, c)$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(x, y, z)$ છે. તેથી $x = a, y = b,$ અને $z = c$.
આ કિંમતોને $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ માં મૂકતા,આપણને બિંદુપથ $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x - 4}{x + 2}$.
તેથી $x - 4 = y(x + 2) \Rightarrow x - 4 = xy + 2y$.
$x(1 - y) = 2y + 4 \Rightarrow x = \frac{2y + 4}{1 - y}$.
$x$ ની કિંમત $f(y) = 2x + 1$ માં મૂકતા,આપણને મળે $f(y) = 2\left( \frac{2y + 4}{1 - y} \right) + 1$.
$f(y) = \frac{4y + 8 + 1 - y}{1 - y} = \frac{3y + 9}{1 - y}$.
આમ,$f(x) = \frac{3x + 9}{1 - x} = \frac{3(x - 1 + 4)}{1 - x} = \frac{3(x - 1)}{1 - x} + \frac{12}{1 - x} = -3 + \frac{12}{1 - x}$.
હવે,$\int f(x) \,dx = \int \left( -3 + \frac{12}{1 - x} \right) \,dx$.
$= -3x + 12 \int \frac{1}{1 - x} \,dx$.
$= -3x + 12 \left( \frac{\log_e |1 - x|}{-1} \right) + C$.
$= -12 \log_e |1 - x| - 3x + C$.

(A) પ્રથમ,સંમિતતા માટે તપાસો:
$R_1$ માટે: $(c, a) \in R_1$ અને $(a, c) \in R_1$. જોકે,$(b, c) \in R_1$ પરંતુ $(c, b) \notin R_1$. તેથી,$R_1$ સંમિત નથી.
$R_2$ માટે: $(a, b) \in R_2$ અને $(b, a) \in R_2$. $(a, c) \in R_2$ અને $(c, a) \in R_2$. $(c, a) \in R_2$ અને $(a, c) \in R_2$. તેથી,$R_2$ સંમિત છે.
ત્યારબાદ,પરંપરિતતા માટે તપાસો:
$R_1$ માટે: $(b, c) \in R_1$ અને $(c, a) \in R_1$,પરંતુ $(b, a) \notin R_1$. તેથી,$R_1$ પરંપરિત નથી.
$R_2$ માટે: $(b, a) \in R_2$ અને $(a, c) \in R_2$,પરંતુ $(b, c) \notin R_2$. તેથી,$R_2$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R_2$ સંમિત છે પરંતુ પરંપરિત નથી,અને $R_1$ સંમિત પણ નથી અને પરંપરિત પણ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + y^2 + \sin y = 4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} + \cos y \frac{dy}{dx} = 0$
$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y + \cos y}$.
બિંદુ $(-2, 0)$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(-2)}{2(0) + \cos 0} = \frac{4}{1} = 4$.
હવે,$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$2 + 2(\frac{dy}{dx})^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} - \sin y (\frac{dy}{dx})^2 + \cos y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
$x = -2, y = 0$ અને $\frac{dy}{dx} = 4$ મૂકતા:
$2 + 2(4)^2 + 2(0) \frac{d^2y}{dx^2} - \sin(0)(4)^2 + \cos(0) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$2 + 32 + 0 - 0 + 1 \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$34 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = -34$.

(D) આપેલ છે કે $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ એક અદિશ શ્રેણિક છે. ધારો કે આ અદિશ શ્રેણિક $K = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ છે.
તેથી $A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$.
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}$ થાય.
આમ,$A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & -2k/3 \\ 0 & k/3 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $|3A| = 108$. $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોવાથી,$|3A| = 3^2 |A| = 9|A|$.
તેથી,$9|A| = 108 \Rightarrow |A| = 12$.
આપણા પદ પરથી $|A|$ ની ગણતરી કરતા: $|A| = (k)(k/3) - 0 = k^2/3$.
બંનેને સરખાવતા: $k^2/3 = 12 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$.
$k = 6$ માટે,$A = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
$k = -6$ માટે,$A = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$,તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.
બંને કિસ્સામાં,$A^2 = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2\sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \cos x(x^2 - 2x^2) - x(2\sin x - 2x\tan x) + 1(2x\sin x - x^2\tan x)$
$f(x) = -x^2\cos x - 2x\sin x + 2x^2\tan x + 2x\sin x - x^2\tan x$
$f(x) = x^2\tan x - x^2\cos x = x^2(\tan x - \cos x)$.
હવે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 2x(\tan x - \cos x) + x^2(\sec^2 x + \sin x)$.
આપણે $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ શોધવાનું છે:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x(\tan x - \cos x) + x^2(\sec^2 x + \sin x)}{x}$
$= \lim_{x \to 0} [2(\tan x - \cos x) + x(\sec^2 x + \sin x)]$
$= 2(0 - 1) + 0(1 + 0) = -2$.
આમ,લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે $-2$ છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 2$
$2x + y - z = 3$
$3x + 2y + kz = 4$
સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય.
ધારો કે $D$ એ સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(1 \cdot k - (-1) \cdot 2) - 1(2 \cdot k - (-1) \cdot 3) + 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$D = 1(k + 2) - 1(2k + 3) + 1(4 - 3)$
$D = k + 2 - 2k - 3 + 1$
$D = -k$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $-k \neq 0$,અથવા $k \neq 0$.
તેથી,$S = R - \{0\}$.

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \sin^4 x \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) \right) + \sin^4(-x) \left( 1 + \log \left( \frac{2 + \sin(-x)}{2 - \sin(-x)} \right) \right) \right] dx$.
$\sin(-x) = -\sin x$ હોવાથી:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left[ 1 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \right) + 1 + \log \left( \frac{2 - \sin x}{2 + \sin x} \right) \right] dx$.
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \left[ 2 + \log \left( \frac{2 + \sin x}{2 - \sin x} \cdot \frac{2 - \sin x}{2 + \sin x} \right) \right] dx$.
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x [ 2 + \log(1) ] dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin^4 x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x dx$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$ (જ્યારે $n$ બેકી હોય):
$I = 2 \cdot \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}$.

(D) સમતલો $3x + 4y + z - 1 = 0$ અને $5x + 8y + 2z + 14 = 0$ ની છેદરેખાની દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ તેમના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (3, 4, 1)$ અને $\vec{n_2} = (5, 8, 2)$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 1 \\ 5 & 8 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(6-5) + \hat{k}(24-20) = 0\hat{i} - 1\hat{j} + 4\hat{k}$.
સમતલ $x + y + z = 5$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ છે.
રેખા (દિશા સદિશ $\vec{v}$) અને સમતલ (અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ છે.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (0)(1) + (-1)(1) + (4)(1) = 3$.
$|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$\sin \theta = \frac{|3|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{51}} = \sqrt{\frac{3}{17}}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{17}}\right)$.

(A) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $R = 3 \, cm$ છે.
ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $b$ છે.
ગોલકની ભૂમિતિ મુજબ,$h, b,$ અને $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $(h-R)^2 + b^2 = R^2$ છે.
તેથી,$b^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2hR - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi b^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$ છે.
ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2) = 0$ લઈએ છીએ.
આનાથી $h(4R - 3h) = 0$ મળે છે. $h \neq 0$ હોવાથી,$h = \frac{4R}{3} = \frac{4(3)}{3} = 4 \, cm$ મળે.
હવે,$b^2 = 2(4)(3) - (4)^2 = 24 - 16 = 8$,તેથી $b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, cm$.
ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = \sqrt{h^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, cm$.
વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi b l = \pi (2\sqrt{2}) (2\sqrt{6}) = 4\pi \sqrt{12} = 4\pi (2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} \pi \, cm^2$ થાય.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = f(x)$ છે.
કિસ્સો $1$: $x \in [0, 1]$ માટે,$f(x) = 1$.
$\frac{dy}{dx} + 2y = 1$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot e^{2x} = \int 1 \cdot e^{2x} dx + C_1 = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1$ મળે.
તેથી,$y(x) = \frac{1}{2} + C_1 e^{-2x}$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \frac{1}{2} + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2}$.
આમ,$x \in [0, 1]$ માટે $y(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2x}$ છે.
$x = 1$ આગળ,$y(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$.
કિસ્સો $2$: $x > 1$ માટે,$f(x) = 0$.
$\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2 dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|y| = -2x + C_2 \Rightarrow y = C_3 e^{-2x}$ મળે.
$x = 1$ આગળ $y(x)$ ની સાતત્યતાનો ઉપયોગ કરતા,$y(1) = C_3 e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$.
$C_3 = \frac{e^2 - 1}{2e^2} \cdot e^2 = \frac{e^2 - 1}{2}$.
તેથી,$x > 1$ માટે $y(x) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2x}$ છે.
$x = \frac{3}{2}$ માટે,$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2(\frac{3}{2})} = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-3} = \frac{e^2 - 1}{2e^3}$.

(B) આપેલ પ્રદેશ $y = \sqrt{x}$,$y = x - 2$,$x = 0$,અને $y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$y = \sqrt{x}$ અને $y = x - 2$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $\sqrt{x} = x - 2$ લઈએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 5x + 4 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(x - 4)(x - 1) = 0$ મળે,તેથી $x = 4$ અથવા $x = 1$.
અહીં $y = \sqrt{x}$ હોવાથી $y$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી છેદબિંદુ $(4, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના વક્ર અને નીચેના વક્ર વચ્ચેના સંકલન દ્વારા મળે છે.
$0 \le x \le 2$ માટે,પ્રદેશ $y = \sqrt{x}$ અને $y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ $A_1 = \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
$2 \le x \le 4$ માટે,પ્રદેશ $y = \sqrt{x}$ અને $y = x - 2$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ $A_2 = \int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx = [\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{2}^{4}$.
$A_2 = (\frac{16}{3}) - (\frac{4\sqrt{2}}{3} + 2) = \frac{10}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $A_1 + A_2 = \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{10}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{10}{3}$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ છે: $\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} = \vec{0}$ અને $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\vec{a} + 2\vec{c} = -2\vec{b}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\vec{a} + 2\vec{c}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{c}) = (-2\vec{b}) \cdot (-2\vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 + 4|\vec{c}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4|\vec{b}|^2$.
માનાંકની કિંમતો મૂકતા: $1 + 4(1) + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4(1)$.
$5 + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4 \Rightarrow 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = -1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$.
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = (1)(1) - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $f(t) = (\|\lambda\|e^{\|t\|} - \mu) \sin(2\|t\|)$.
અહીં $\|t\|$ હોવાથી,આપણે $t > 0$ અને $t < 0$ માટે $f(t)$ નું વિશ્લેષણ કરીશું.
$t > 0$ માટે,$f(t) = (\|\lambda\|e^t - \mu) \sin(2t)$.
$t < 0$ માટે,$f(t) = (\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \sin(-2t) = -(\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \sin(2t)$.
$f(t)$ એ $t=0$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે તે $t=0$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
$f(0) = (\|\lambda\| - \mu) \sin(0) = 0$.
હવે,$LHD = RHD$ નો ઉપયોગ કરીને $t=0$ આગળ વિકલિત $f'(t)$ ચકાસીએ.
$RHD = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t \to 0^+} (\|\lambda\|e^t - \mu) \frac{\sin(2t)}{t} = (\|\lambda\| - \mu) \times 2 = 2(\|\lambda\| - \mu)$.
$LHD = \lim_{t \to 0^-} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t \to 0^-} -(\|\lambda\|e^{-t} - \mu) \frac{\sin(2t)}{t} = -(\|\lambda\| - \mu) \times 2 = -2(\|\lambda\| - \mu)$.
વિકલનીયતા માટે,$LHD = RHD \implies 2(\|\lambda\| - \mu) = -2(\|\lambda\| - \mu)$.
$4(\|\lambda\| - \mu) = 0 \implies \|\lambda\| = \mu$.
કારણ કે $\|\lambda\| \ge 0$,તેથી $\mu \ge 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$S = \{(\lambda, \mu) : \mu = \|\lambda\|, \mu \ge 0, \lambda \in R\}$.
આ ગણ $S$ એ $R \times [0, \infty)$ નો ઉપગણ છે.

(A) ધારો કે $E$ એ એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. $H_A$ અને $H_B$ એ અનુક્રમે પેટી $A$ અને પેટી $B$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. $P(H_A) = P(H_B) = \frac{1}{2}$.
પેટી $A$ માંથી એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|H_A) = \frac{^2C_1 \times ^3C_1}{^7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ છે.
પેટી $B$ માંથી એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|H_B) = \frac{^4C_1 \times ^2C_1}{^9C_2} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પેટી $B$ માંથી દડા કાઢ્યા હોય તેની સંભાવના:
$P(H_B|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{9}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{9}} = \frac{7}{16}$.

(D) વિધેય વ્યસ્ત સંપન્ન છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) છે.
$1$. એક-એક: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{x_1 - 1}{x_1 - 2} = \frac{x_2 - 1}{x_2 - 2}$
$(x_1 - 1)(x_2 - 2) = (x_2 - 1)(x_1 - 2)$
$x_1x_2 - 2x_1 - x_2 + 2 = x_1x_2 - 2x_2 - x_1 + 2$
$-2x_1 - x_2 = -2x_2 - x_1$
$x_2 = x_1$. આમ,$f$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત: ધારો કે $y = \frac{x - 1}{x - 2}$.
$y(x - 2) = x - 1$
$yx - 2y = x - 1$
$yx - x = 2y - 1$
$x(y - 1) = 2y - 1$
$x = \frac{2y - 1}{y - 1}$.
દરેક $y \in R - \{1\}$ માટે,$x \in R - \{2\}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી તે વ્યસ્ત સંપન્ન છે અને $f^{-1}(y) = \frac{2y - 1}{y - 1}$ છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 1(6 - 10) - a(3 - 2) + 1(5 - 2) = -4 - a + 3 = -a - 1$.
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $-a - 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = -1$.
હવે,$\Delta_2$ ની ગણતરી કરીએ (બીજા સ્તંભને અચળાંકો $3, 6, b$ વડે બદલતા):
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & b & 3 \end{vmatrix} = 1(18 - 2b) - 3(3 - 2) + 1(b - 6) = 18 - 2b - 3 + b - 6 = 9 - b$.
સંહતિને ઉકેલ ન હોય તે માટે,$\Delta_2 \neq 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $9 - b \neq 0$,જેનો અર્થ છે $b \neq 9$.
આમ,શરત $a = -1$ અને $b \neq 9$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = ux$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 x^2 - x^2}{2x(ux)} = \frac{u^2 - 1}{2u}$.
$x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-(1 + u^2)}{2u}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{2u}{1 + u^2} \, du = - \int \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(1 + u^2) = -\ln|x| + \ln|C|$.
$\ln(1 + u^2) = \ln\left(\frac{C}{x}\right) \Rightarrow 1 + u^2 = \frac{C}{x}$.
$u = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 1^2 = C(1) \Rightarrow C = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2x$ છે,જેને $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(A) ધારો કે $P(X)$ એ ખેલાડી $X$ ના જીતવાની સંભાવના છે અને $P(Y)$ એ ખેલાડી $Y$ ના જીતવાની સંભાવના છે.
ખેલાડી $X$ પક્ષપાતી સિક્કાનો ઉપયોગ કરે છે જેમાં $P(H) = p$ અને $P(T) = 1-p$ છે. ખેલાડી $Y$ નિષ્પક્ષ સિક્કાનો ઉપયોગ કરે છે જેમાં $P(H) = 1/2$ અને $P(T) = 1/2$ છે.
$X$ જીતે છે જો $X$ પ્રથમ પ્રયાસમાં $H$ મેળવે,અથવા $X$ $T$ મેળવે,$Y$ $T$ મેળવે,અને $X$ ત્રીજા પ્રયાસમાં $H$ મેળવે,વગેરે.
$P(X) = p + (1-p)(1/2)p + (1-p)^2(1/2)^2p + \dots = p \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1-p}{2})^n = \frac{p}{1 - \frac{1-p}{2}} = \frac{2p}{1+p}$.
કુલ સંભાવના $1$ હોવાથી,$P(Y) = 1 - P(X) = 1 - \frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.
આપેલ છે કે $P(X) = P(Y)$,તેથી $\frac{2p}{1+p} = \frac{1-p}{1+p}$.
$2p = 1 - p \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{2x + 5}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે અંશને વર્ગમૂળની અંદરના દ્વિઘાત પદના વિકલિતના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ.
ધારો કે $f(x) = 7 - 6x - x^2$. તો $f'(x) = -6 - 2x$.
આપણે $2x + 5 = -( -2x - 6 ) - 1$ લખી શકીએ.
તેથી,$I = \int \frac{-( -2x - 6 ) - 1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx = -\int \frac{-2x - 6}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,ધારો કે $u = 7 - 6x - x^2$,તેથી $du = (-6 - 2x) dx$. તો $\int \frac{du}{\sqrt{u}} = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{7 - 6x - x^2}$.
તેથી,$-\int \frac{-2x - 6}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx = -2\sqrt{7 - 6x - x^2}$.
બીજા સંકલન માટે,પૂર્ણવર્ગની રીત વાપરતા: $7 - 6x - x^2 = 16 - (x^2 + 6x + 9) = 4^2 - (x + 3)^2$.
તેથી,$\int \frac{1}{\sqrt{4^2 - (x + 3)^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right)$.
આ બંનેને જોડતા,$I = -2\sqrt{7 - 6x - x^2} - \sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C$.
$A\sqrt{7 - 6x - x^2} + B\sin^{-1}\left(\frac{x + 3}{4}\right) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -2$ અને $B = -1$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(-3, 4, 5)$ છે.
સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી તે $AB$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે.
$M = \left(\frac{1-3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (-1, 3, 4)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{AB} = (-3-1, 4-2, 5-3) = (-4, 2, 2)$ છે.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n}' = (-2, 1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $-2(x - (-1)) + 1(y - 3) + 1(z - 4) = 0$ છે.
$-2x - 2 + y - 3 + z - 4 = 0 \Rightarrow -2x + y + z = 9$.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
$(-3, 2, 1)$ માટે: $-2(-3) + 2 + 1 = 6 + 2 + 1 = 9$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,સમતલ બિંદુ $(-3, 2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને તેની પાસેની બાજુઓના ગુણોત્તર $AB:AC$ માં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = 3$.
ગુણોત્તર $AB:AC = 6:3 = 2:1$.
$BC$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{D} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{b}}{2+1} = \frac{2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{3}$.
$\vec{D} = \frac{6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k})$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3^x}{1 + (3^x)^2}\right)$.
ધારો કે $3^x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(3^x)$.
$f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(3^x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (3^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(3^x) = \frac{2}{1 + 9^x} \cdot 3^x \ln 3$.
હવે,$x = -\frac{1}{2}$ માટે કિંમત શોધતા:
$f'(-\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 3^{-1/2}}{1 + 9^{-1/2}} \ln 3 = \frac{2 / \sqrt{3}}{1 + 1/3} \ln 3 = \frac{2 / \sqrt{3}}{4/3} \ln 3 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{4} \ln 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \ln 3$.
કારણ કે $\ln 3 = 2 \ln \sqrt{3}$,તેથી $f'(-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \ln \sqrt{3} = \sqrt{3} \ln \sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E$ એ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
આપેલ છે કે $\lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x^2} + 1 \right) = 3$,તેથી $\lim_{x \to 0} \left( \frac{Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E}{x^2} + 1 \right) = 3$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lim_{x \to 0} \left( Ax^2 + Bx + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x^2} + 1 \right) = 3$.
લક્ષનું મૂલ્ય નિશ્ચિત હોવાથી,$D = 0$ અને $E = 0$ હોવા જોઈએ. તેથી,$C + 1 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $C = 2$.
હવે,$f(x) = Ax^4 + Bx^3 + 2x^2$. વિકલન કરતા $f'(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 4x$ મળે.
$f(x)$ ને $x = 1$ અને $x = 2$ આગળ અંતિમ મૂલ્યો હોવાથી,$f'(1) = 0$ અને $f'(2) = 0$.
$f'(1) = 4A + 3B + 4 = 0 \implies 4A + 3B = -4$ (સમીકરણ $1$).
$f'(2) = 4A(8) + 3B(4) + 4(2) = 32A + 12B + 8 = 0 \implies 8A + 3B = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(8A + 3B) - (4A + 3B) = -2 - (-4) \implies 4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$.
$A = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $4(\frac{1}{2}) + 3B = -4 \implies 2 + 3B = -4 \implies 3B = -6 \implies B = -2$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.
અંતે,$f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 - 2(-1)^3 + 2(-1)^2 = \frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{9}{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$l + 3m + 5n = 0$ ....$(1)$
$5lm - 2mn + 6nl = 0$ ....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$l = -3m - 5n$.
$l$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$5(-3m - 5n)m - 2mn + 6n(-3m - 5n) = 0$
$-15m^2 - 25mn - 2mn - 18mn - 30n^2 = 0$
$-15m^2 - 45mn - 30n^2 = 0$
$-15$ વડે ભાગતા:
$m^2 + 3mn + 2n^2 = 0$
$(m + n)(m + 2n) = 0$
તેથી,$m = -n$ અથવા $m = -2n$.
કિસ્સો $1$: જો $m = -n$,તો $l = -3(-n) - 5n = 3n - 5n = -2n$. દિક્ગુણોત્તર $(-2n, -n, n)$ મળે,જે $(-2, -1, 1)$ તરીકે લખી શકાય.
કિસ્સો $2$: જો $m = -2n$,તો $l = -3(-2n) - 5n = 6n - 5n = n$. દિક્ગુણોત્તર $(n, -2n, n)$ મળે,જે $(1, -2, 1)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે દિક્ગુણોત્તર $\vec{a} = (-2, -1, 1)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(-2)(1) + (-1)(-2) + (1)(1)|}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 2 + 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(A - 3I)(A - 5I) = O$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $A^2 - 8A + 15I = O$ મળે છે.
$A$ નોન-સિંગ્યુલર હોવાથી,આપણે બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$A^{-1}(A^2 - 8A + 15I) = A^{-1}O$
$A - 8I + 15A^{-1} = O$
$A + 15A^{-1} = 8I$.
$\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે,આપણે આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગીએ:
$\frac{1}{2}A + \frac{15}{2}A^{-1} = 4I$.
$\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = \frac{15}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

(B) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{1+\sin x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi$:
$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\pi-x}{1+\sin(\pi-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{\pi-x}{1+\sin x} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x + \pi - x}{1+\sin x} dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} dx$.
અંશ અને છેદને $(1-\sin x)$ વડે ગુણતા:
$2I = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1-\sin x}{\cos^2 x} dx = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
સંકલન કરતા:
$2I = \pi [\tan x - \sec x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$2I = \pi [(\tan \frac{3\pi}{4} - \sec \frac{3\pi}{4}) - (\tan \frac{\pi}{4} - \sec \frac{\pi}{4})]$.
$2I = \pi [(-1 - (-\sqrt{2})) - (1 - \sqrt{2})] = \pi [\sqrt{2} - 1 - 1 + \sqrt{2}] = \pi [2\sqrt{2} - 2]$.
$I = \pi(\sqrt{2}-1)$.

(D) $x \in (0, 1)$ માટે,આપણી પાસે $x^3 < x^2 < x$ છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-x^3 > -x^2 > -x$ મળે છે.
ઘાતાંકીય વિધેય $f(t) = e^t$ વધતું વિધેય હોવાથી,$e^{-x^3} > e^{-x^2} > e^{-x}$ થાય.
હવે,સંકલ્ય (integrands) ને ધ્યાનમાં લો:
$I_3$ માટે,સંકલ્ય $f_3(x) = e^{-x^3}$ છે.
$I_2$ માટે,સંકલ્ય $f_2(x) = e^{-x^2} \cos^2 x$ છે. $0 \le \cos^2 x \le 1$ હોવાથી,$e^{-x^2} \cos^2 x \le e^{-x^2}$ થાય.
$I_1$ માટે,સંકલ્ય $f_1(x) = e^{-x} \cos^2 x$ છે. $0 \le \cos^2 x \le 1$ હોવાથી,$e^{-x} \cos^2 x \le e^{-x}$ થાય.
$(0, 1)$ અંતરાલ પર વિધેયોની સરખામણી કરતા:
$e^{-x^3} > e^{-x^2} \ge e^{-x^2} \cos^2 x$ સૂચવે છે કે $I_3 > I_2$.
વળી,$e^{-x^2} > e^{-x}$ હોવાથી $e^{-x^2} \cos^2 x > e^{-x} \cos^2 x$ થાય.
આમ,$I_3 > I_2 > I_1$ મળે છે.

(C) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ થાય.
$\lim_{x \to 2} (x - 1)^{\frac{1}{2 - x}} = k$. આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} (g(x) - 1)h(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$k = e^{\lim_{x \to 2} (x - 1 - 1) \cdot \frac{1}{2 - x}}$
$k = e^{\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{2 - x}}$
$k = e^{\lim_{x \to 2} \frac{-(2 - x)}{2 - x}}$
$k = e^{-1}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 6 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 10 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
ભાત (pattern) જોતા,$A^n$ માટે,પ્રથમ સ્તંભના ઘટકો $1$,$n$,અને $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.
તેથી,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n & 1 \end{bmatrix}$.
$n = 20$ માટે:
$A^{20} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 20 & 1 & 0 \\ \frac{20(21)}{2} & 20 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 20 & 1 & 0 \\ 210 & 20 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભના ઘટકોનો સરવાળો $1 + 20 + 210 = 231$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \sqrt{2^{\csc^{-1} t}}$ અને $y = \sqrt{2^{\sec^{-1} t}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 2^{\csc^{-1} t}$ અને $y^2 = 2^{\sec^{-1} t}$ મળે.
બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$x^2 y^2 = 2^{\csc^{-1} t + \sec^{-1} t}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|t| \ge 1$ માટે $\csc^{-1} t + \sec^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,તેથી $x^2 y^2 = 2^{\pi/2}$,જે અચળ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(2^{\pi/2})$
$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$
$2xy(y + x \frac{dy}{dx}) = 0$
$x, y \neq 0$ હોવાથી,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$
બિંદુઓ $(-2, -2, 2)$,$(1, -1, 2)$,અને $(1, 1, 1)$ મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x + 2 & y + 2 & z - 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x + 2)(-1 - 0) - (y + 2)(-3 - 0) + (z - 2)(9 - 3) = 0$
$-x - 2 + 3y + 6 + 6z - 12 = 0$
$-x + 3y + 6z - 8 = 0$
$x - 3y - 6z = -8$
અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ મેળવવા માટે $-8$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{-8} + \frac{y}{8/3} + \frac{z}{8/6} = 1$
અંતઃખંડો $a = -8$,$b = 8/3$,અને $c = 4/3$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $= -8 + \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = -8 + \frac{12}{3} = -8 + 4 = -4$.

(D) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આ ઉપવલય $(0,3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1$,જે આપણને $b^2 = 9$ આપે છે.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ થાય છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{9} y' = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a^2} + \frac{y y'}{9} = 0$ અથવા $\frac{1}{a^2} = -\frac{y y'}{9x}$ થાય છે.
$\frac{1}{a^2}$ ની કિંમત $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{9} = 1$ માં મૂકતા,$x^2(-\frac{y y'}{9x}) + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
$9$ વડે ગુણતા,$-x y y' + y^2 = 9$ અથવા $x y y' - y^2 + 9 = 0$ મળે છે.

(C) આપણે $P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C]$ શોધવાનું છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C] = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)}{P(C)}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$.
તેથી,$\bar{A} \cap \bar{B} \cap C = C \setminus ((A \cap C) \cup (B \cap C))$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(C) - P((A \cap C) \cup (B \cap C))$.
ઘટનાઓના સંયોજનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P((A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.
$A, B, C$ જોડીમાં સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap C) = P(A)P(C)$ અને $P(B \cap C) = P(B)P(C)$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B \cap C) = 0$,તેથી $P((A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - 0 = P(C)(P(A) + P(B))$.
આ કિંમત મૂકતા,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(C) - P(C)(P(A) + P(B)) = P(C)(1 - P(A) - P(B))$.
અંતે,$P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C] = \frac{P(C)(1 - P(A) - P(B))}{P(C)} = 1 - P(A) - P(B)$.
$1 - P(A) = P(\bar{A})$ હોવાથી,આ પદ $P(\bar{A}) - P(B)$ બને છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$(k + 2)x + 10y = k$
$kx + (k + 3)y = k - 1$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} k + 2 & 10 \\ k & k + 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 0$ લેતા:
$(k + 2)(k + 3) - 10k = 0$
$k^2 + 5k + 6 - 10k = 0$
$k^2 - 5k + 6 = 0$
$(k - 2)(k - 3) = 0$
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = 3$.
કિસ્સો $1$: જો $k = 2$ હોય,તો સમીકરણો $4x + 10y = 2$ અને $2x + 5y = 1$ બને છે. પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા $2x + 5y = 1$ મળે છે,જે બીજા સમીકરણ જેવું જ છે. આમ,અહીં અનંત ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $k = 3$ હોય,તો સમીકરણો $5x + 10y = 3$ અને $3x + 6y = 2$ બને છે. પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે અને બીજાને $5$ વડે ગુણતા $15x + 30y = 9$ અને $15x + 30y = 10$ મળે છે. કારણ કે $9 \neq 10$,તેથી આ સંહતિ અસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$k$ ની માત્ર $1$ કિંમત એવી છે જેના માટે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) પ્રથમ રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ ના દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (2, 2, 1)$ છે.
બીજી રેખા $\frac{-(x - 5)}{-2} = \frac{7(y - 2)}{p} = \frac{z - 3}{4}$ છે,જેને $\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{p/7} = \frac{z - 3}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (2, p/7, 4)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{|2(2) + 2(p/7) + 1(4)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{2^2 + (p/7)^2 + 4^2}}$.
$\frac{2}{3} = \frac{|8 + 2p/7|}{3 \sqrt{4 + p^2/49 + 16}} = \frac{|8 + 2p/7|}{3 \sqrt{20 + p^2/49}}$.
છેદમાંથી $3$ ઉડાડતા,$\frac{2}{1} = \frac{|8 + 2p/7|}{\sqrt{20 + p^2/49}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{(8 + 2p/7)^2}{20 + p^2/49} = \frac{64 + 32p/7 + 4p^2/49}{20 + p^2/49}$.
$80 + 4p^2/49 = 64 + 32p/7 + 4p^2/49$.
$80 = 64 + 32p/7 \Rightarrow 16 = 32p/7 \Rightarrow p = \frac{16 \times 7}{32} = \frac{7}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
આપણી પાસે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ છે. બંને બાજુ માન લેતા,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}|$.
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{c}|$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \theta = \sqrt{2} \quad \dots (1)$
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.
$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 3 \Rightarrow \sqrt{3} |\vec{b}| \cos \theta = 3 \quad \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \theta)^2 + (\sqrt{3} |\vec{b}| \cos \theta)^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2$
$3 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2 + 9$
$3 |\vec{b}|^2 = 11$
$|\vec{b}|^2 = \frac{11}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{\frac{11}{3}}$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \int_0^x t(\sin x - \sin t) dt = \sin x \int_0^x t dt - \int_0^x t \sin t dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int t \sin t dt = -t \cos t + \sin t$.
તેથી,$f(x) = \sin x (\frac{x^2}{2}) - [-t \cos t + \sin t]_0^x = \frac{x^2}{2} \sin x + x \cos x - \sin x$.
હવે,વિકલન મેળવતા:
$f'(x) = x \sin x + \frac{x^2}{2} \cos x + \cos x - x \sin x - \cos x = \frac{x^2}{2} \cos x$.
$f''(x) = x \cos x - \frac{x^2}{2} \sin x$.
$f'''(x) = \cos x - x \sin x - x \sin x - \frac{x^2}{2} \cos x = \cos x - 2x \sin x - \frac{x^2}{2} \cos x$.
$f'''(x) + f'(x)$ તપાસતા:
$f'''(x) + f'(x) = (\cos x - 2x \sin x - \frac{x^2}{2} \cos x) + (\frac{x^2}{2} \cos x) = \cos x - 2x \sin x$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x^2 - 3x + 2) = 0 \Rightarrow 6(x - 1)(x - 2) = 0$.
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 2$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 12x - 18$ તપાસીએ.
$x = 1$ માટે,$f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
$M = f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5 = 2 - 9 + 12 + 5 = 10$.
$x = 2$ માટે,$f''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0$,તેથી $x = 2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$m = f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 5 = 16 - 36 + 24 + 5 = 9$.
તેથી,$M - m = 10 - 9 = 1$.