JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,તેથી $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(D) કીડીનો સ્થાન સદિશ $\vec{S} = 2t^2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $\vec{v}$ એ સ્થાન સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે: $\vec{v} = \frac{d\vec{S}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 \hat{j} + 5 \hat{k}) = 4t \hat{j}$.
$t = 1 \ s$ સમયે,વેગ $\vec{v} = 4(1) \hat{j} = 4 \hat{j} \ m/s$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = 4 \ m/s$ છે.
તેની દિશા ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે (જે એકમ સદિશ $\hat{j}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે).

(B) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે વાયુઓની સ્નિગ્ધતા સામાન્ય રીતે પ્રવાહીઓ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે. વાયુઓમાં સ્નિગ્ધતા આણ્વિક અથડામણો દ્વારા વેગમાનના સ્થાનાંતરણને કારણે ઉદ્ભવે છે,જ્યારે પ્રવાહીમાં તે અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે કારણ કે અદ્રાવ્ય અશુદ્ધિઓ (જેમ કે ધૂળ અથવા અમુક તેલ) ની હાજરી સપાટી પરના આસંજક બળોને ઘટાડે છે,જેનાથી પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $M$ અચળ હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે અને અંતિમ ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{R}{2}$ છે.
તેથી,નવા પ્રવેગ $g_2$ અને પ્રારંભિક પ્રવેગ $g_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{g_2}{g_1} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{R^2}{(R/2)^2} = \frac{R^2}{R^2/4} = 4$.
આમ,$g_2 = 4g_1 = 4g$ થાય.

(B) રેલના બેન્કિંગ માટે, બેન્કિંગનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ઝડપ $v = 12 \,m/s$, ત્રિજ્યા $R = 400 \,m$, પાટા વચ્ચેનું અંતર $d = 1.5 \,m$, અને $g = 10 \,m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{12^2}{400 \times 10} = \frac{144}{4000} = 0.036$.
બેન્ક કરેલા ટ્રેકની ભૂમિતિ પરથી, $\tan \theta = \frac{h}{d}$, જ્યાં $h$ એ બહારના પાટાની ઊંચાઈ છે.
તેથી, $h = d \times \tan \theta = 1.5 \,m \times 0.036 = 0.054 \,m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $h = 0.054 \times 100 \,cm = 5.4 \,cm$.

(B) સ્ફેરોમીટર એ ગોળાકાર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા (અંતર્ગોળ અથવા બહિર્ગોળ) અથવા પાતળી પ્લેટની જાડાઈના ચોક્કસ માપન માટે વપરાતું સાધન છે. તે સ્ક્રૂ ગેજના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે. પ્રવાહીનું વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ પોલારીમીટરનો ઉપયોગ કરીને માપવામાં આવે છે,સ્ફેરોમીટરનો નહીં. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના રેખીય વેગમાન $P$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી, $K_1 = K_2$ થાય.
તેથી, $\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$.
વેગમાનના ગુણોત્તર માટે પદોને ગોઠવતા, $\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
આપેલ દળ $m_1 = 4 \,g$ અને $m_2 = 25 \,g$ ની કિંમતો મૂકતા, $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$ મળે.
આમ, તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $2: 5$ છે.

(C) અચળ કદ પર થતી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = 0$ છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$,તેથી $\Delta Q = \Delta U$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = m \cdot c_v \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$m = 0.08 \text{ kg}$
$c_v = 0.17 \text{ kcal/kg}^{\circ} \text{C} = 0.17 \times 1000 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C} = 170 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C}$
$\Delta T = 5^{\circ} \text{C}$
$J = 4.18 \text{ J/cal}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 0.08 \text{ kg} \times 170 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C} \times 5^{\circ} \text{C} \times 4.18 \text{ J/cal}$
$\Delta U = 0.08 \times 170 \times 5 \times 4.18 \text{ J}$
$\Delta U = 68 \times 4.18 \text{ J}$
$\Delta U = 284.24 \text{ J}$
આમ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર આશરે $284 \text{ J}$ છે.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય તો તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_1 \times v_1 = 1000 \text{ kg} \times 6 \text{ m/s} = 6000 \text{ kg m/s}$.
અંતિમ દળ $m_f = 1000 \text{ kg} + 200 \text{ kg} = 1200 \text{ kg}$.
ધારો કે અંતિમ વેગ $v_f$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m_f \times v_f = 1200 \text{ kg} \times v_f$.
$P_i = P_f$ હોવાથી,$6000 = 1200 \times v_f$.
$v_f = \frac{6000}{1200} = 5 \text{ m/s}$.

(A) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[h] = ML^2 T^{-1}$ છે.
કોણીય વેગમાન $(L)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L] = ML^2 T^{-1}$ છે.
બંનેના પરિમાણો સમાન હોવાથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
રેખીય વેગમાન $(P)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[P] = MLT^{-1}$ છે.
બળની ચાકમાત્રા (ટોર્ક,$\tau$) નું પારિમાણિક સૂત્ર $[\tau] = ML^2 T^{-2}$ છે.
આ પરિમાણો અલગ હોવાથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) એક પરમાણ્વીય અણુ માટે મુક્તિના અંશો (degree of freedom) $f = 3$ છે.
સરેરાશ ગતિઊર્જા $K_{avg}$ નું સૂત્ર:
$K_{avg} = \frac{3}{2} K_{B} T$
આપેલ છે:
$K_{avg} = 0.414 eV = 0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} J$
$K_{B} = 1.38 \times 10^{-23} J/K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{1.3248 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}}$
$T = 0.32 \times 10^4 K = 3200 K$
આમ,તાપમાન $3200 K$ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 5 \hat{i} \text{ m/s}$,પ્રવેગ $\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ m/s}^2$,અને સ્થાનાંતર $x = 84 \text{ m}$.
પ્રથમ,$x$-અક્ષ પરની ગતિ ધ્યાનમાં લો: $u_x = 5 \text{ m/s}$,$a_x = 3 \text{ m/s}^2$,$x = 84 \text{ m}$.
સમીકરણ $v_x^2 - u_x^2 = 2 a_x x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_x^2 - 5^2 = 2(3)(84)$
$v_x^2 - 25 = 504$
$v_x^2 = 529 \implies v_x = 23 \text{ m/s}$.
હવે,$v_x = u_x + a_x t$ નો ઉપયોગ કરીને સમય $t$ શોધો:
$23 = 5 + 3t \implies 3t = 18 \implies t = 6 \text{ s}$.
હવે,$y$-અક્ષ પરની ગતિ ધ્યાનમાં લો: $u_y = 0$,$a_y = 2 \text{ m/s}^2$,$t = 6 \text{ s}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 2(6) = 12 \text{ m/s}$.
ઝડપ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા મળે છે:
$v = \sqrt{23^2 + 12^2} = \sqrt{529 + 144} = \sqrt{673} \text{ m/s}$.
આને $\sqrt{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 673$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક કણનું દળ $m = 1 \ kg$ છે અને ચોરસની બાજુ $a = 2 \ m$ છે.
ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ એક શિરોબિંદુ (ધારો કે ઉપરનો જમણો ખૂણો) માંથી પસાર થાય છે અને તે ચોરસના સમતલને લંબ છે.
આ અક્ષથી ચાર કણોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$1$. અક્ષ પર રહેલો કણ: $r_1 = 0$
$2$. બે પાસપાસેના કણો: $r_2 = r_3 = a = 2 \ m$
$3$. વિકર્ણની સામેનો કણ: $r_4 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ m$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = \sum m_i r_i^2 = m(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2)$ છે.
$I = 1 \times (0^2 + 2^2 + 2^2 + (2\sqrt{2})^2)$
$I = 1 \times (0 + 4 + 4 + 8) = 16 \ kg \ m^2$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મધ્યમાન સ્થાને વેગ $V_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 4 \ cm$ અને $V_{max} = 10 \ cm/s$ આપેલ છે,તેથી $10 = 4\omega$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\omega = 2.5 \ rad/s$ મળે છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે વેગ $V$ નું સૂત્ર $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 = 2.5 \sqrt{4^2 - x^2}$.
$2.5$ વડે ભાગતા: $2 = \sqrt{16 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = 16 - x^2$.
તેથી,$x^2 = 12$,જેનો અર્થ છે કે $x = \sqrt{12} \ cm$.
આને $\sqrt{\alpha} \ cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમુદ્રના તળિયે દબાણ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = \rho g h$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = 1000 \ kg m^{-3} \times 10 \ m s^{-2} \times 4000 \ m = 4 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
આંશિક સંકોચન $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \times 10^7}{2 \times 10^9} = 2 \times 10^{-2}$.
આને $\alpha \times 10^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(B) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણમાં ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $(P + \frac{a}{V^2})$ પદમાં,$P$ ના પરિમાણો $\frac{a}{V^2}$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \Rightarrow [a] = [P][V^2] = [P][L^6]$.
$2$. $(V - b)$ પદમાં,$V$ ના પરિમાણો $b$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
$[b] = [V] = [L^3] \Rightarrow [b^2] = [V^2] = [L^6]$.
$3$. હવે,$\frac{a}{b^2}$ ના પરિમાણો શોધો:
$[\frac{a}{b^2}] = \frac{[P][V^2]}{[V^2]} = [P]$.
તેથી,$\frac{a}{b^2}$ ના પરિમાણો દબાણ $P$ ના પરિમાણો સમાન છે.

(B) કોણીય ઝડપ $\omega$ એ સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega \propto \frac{1}{T}$.
પૃથ્વીની આસપાસ ફરતા ચંદ્રનો સમયગાળો $T_{\text{moon}} \approx 27.3 \text{ દિવસ}$ છે.
સૂર્યની આસપાસ ફરતી પૃથ્વીનો સમયગાળો $T_{\text{earth}} \approx 365.25 \text{ દિવસ}$ છે.
જેમ કે $T_{\text{moon}} < T_{\text{earth}}$,તેથી $\omega_{\text{moon}} > \omega_{\text{earth}}$ થાય છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને કારણ $(R)$ એ ચંદ્રની કોણીય ઝડપ કેમ વધારે છે તેની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) ઘર્ષણના નિયમો જણાવે છે કે આપેલ લંબબળ માટે ઘર્ષણ બળ સામાન્ય રીતે સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોય છે.
વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે સ્થિત ઘર્ષણનું સીમિત બળ સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોય છે અને સંપર્કમાં રહેલા પદાર્થોની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે કારણ કે ગતિક ઘર્ષણનું બળ સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોય છે અને સંપર્કમાં રહેલા પદાર્થોની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) સૌથી નીચલી સ્થિતિમાં,વેગ $v$ છે. પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી છે,જે $a_{low} = \frac{v^2}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં,વેગ શૂન્ય છે. પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે સ્પર્શકીય છે,જે $a_{ext} = g \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ અને અંતિમ બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} mv^2 = mg \ell(1 - \cos \theta) \Rightarrow \frac{v^2}{\ell} = 2g(1 - \cos \theta)$.
આપેલ છે કે પ્રવેગના મૂલ્યો સમાન છે:
$a_{low} = a_{ext} \Rightarrow \frac{v^2}{\ell} = g \sin \theta$.
$\frac{v^2}{\ell}$ માટેનું પદ મુકતા:
$2g(1 - \cos \theta) = g \sin \theta \Rightarrow 2(1 - \cos \theta) = \sin \theta$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(2 \sin^2(\theta/2)) = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$.
$2 \sin(\theta/2)$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\theta \neq 0$):
$2 \sin(\theta/2) = \cos(\theta/2) \Rightarrow \tan(\theta/2) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(C) આદર્શ વાયુની કુલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $K.E. = \frac{f}{2} nRT$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,ઓરડાના તાપમાને મુક્તિના અંશો $(f)$ $5$ હોય છે.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $(n)$ = $1 \ mol$
તાપમાન $(T)$ = $27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ = $8.31 \ J/mol \cdot K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$K.E. = \frac{5}{2} \times 1 \times 8.31 \times 300$
$K.E. = 5 \times 8.31 \times 150$
$K.E. = 6232.5 \ J$

(D) $1$. વિધાન $(A)$: ધન શૂન્ય ત્રુટિનો અર્થ એ છે કે જ્યારે જડબાં બંધ હોય,ત્યારે વર્નિયર સ્કેલનું શૂન્ય મુખ્ય સ્કેલના શૂન્યની જમણી બાજુએ હોય છે. સાચું માપ મેળવવા માટે,આપણે અવલોકન કરેલા માપમાંથી શૂન્ય ત્રુટિ બાદ કરીએ છીએ. તેથી,અવલોકન કરેલું માપ વાસ્તવિક માપ કરતા વધારે હોય છે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$2$. કારણ $(R)$: વર્નિયર કેલિપર્સમાં શૂન્ય ત્રુટિ ખરેખર ઉત્પાદન ખામી અથવા અયોગ્ય હેન્ડલિંગને કારણે થતા ઘસારાને લીધે થાય છે. આ વિધાન સાચું છે.
$3$. નિષ્કર્ષ: કારણ કે $(A)$ ખોટું છે અને $(R)$ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_v} = \gamma = \frac{3}{2}$ છે.

(C) વિધાન $(A)$ સ્થિતિસ્થાપકતાને તે ગુણધર્મ તરીકે યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેના દ્વારા પદાર્થ વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તેનો મૂળ આકાર અને કદ પાછું મેળવે છે.
કારણ $(R)$ યોગ્ય રીતે જણાવે છે કે પુનઃસ્થાપક બળ,જે પદાર્થને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછું લાવે છે,તે ઘન પદાર્થની અંદરના આંતરઆણ્વિય અને આંતરપરમાણ્વિય બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેহেতু પુનઃસ્થાપક બળ એ ભૌતિક પદ્ધતિ છે જે સ્થિતિસ્થાપકતાના ગુણધર્મને સક્ષમ કરે છે,તેથી કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ માટે સાચી સમજૂતી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાનું વજન $W = mg = 12 \times g = 120 \,N$ ($g = 10 \,m/s^2$ લેતા) છે, જે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે, જે જમીન પરના છેડા $(O)$ થી $L/2$ અંતરે છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે, બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\sum \tau_O = 0$
$(W \cos 60^{\circ}) \times (L/2) - N_2 \times L = 0$
અહીં, $N_2$ એ માણસના ખભા દ્વારા સળિયા પર લાગતું લંબબળ છે, જે સળિયાને લંબ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$120 \times (1/2) \times (L/2) = N_2 \times L$
$30 \times L = N_2 \times L$
$N_2 = 30 \,N$
કારણ કે $W = mg = 120 \,N$, માણસ દ્વારા અનુભવાતું વજન દળના સ્વરૂપમાં $m_{eff} = N_2 / g = 30 / 10 = 3 \,kg$ થશે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$ અંતર કાપ્યા પછી,વેગ $v_1 = u - \frac{1}{3}u = \frac{2}{3}u$ થાય છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\frac{2}{3}u)^2 - u^2 = 2(-a)(4 \times 10^{-2})$
$\frac{4}{9}u^2 - u^2 = -8a \times 10^{-2}$
$-\frac{5}{9}u^2 = -8a \times 10^{-2} \implies a = \frac{5u^2}{72 \times 10^{-2}} \dots(1)$
હવે,બાકીના અંતર $x = D \times 10^{-3} \ m$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $\frac{2}{3}u$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે:
$0^2 - (\frac{2}{3}u)^2 = 2(-a)(x)$
$-\frac{4}{9}u^2 = -2ax \implies x = \frac{4u^2}{18a} = \frac{2u^2}{9a} \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $a$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{2u^2}{9} \times \frac{72 \times 10^{-2}}{5u^2} = \frac{2 \times 8 \times 10^{-2}}{5} = \frac{16}{5} \times 10^{-2} = 3.2 \times 10^{-2} \ m = 32 \times 10^{-3} \ m$.
$D \times 10^{-3} \ m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $D = 32$ મળે છે.

(C) બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4\ell_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell_1 = 150 \ cm = 1.5 \ m$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2\ell_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell_2 = 350 \ cm = 3.5 \ m$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|f_c - f_o| = 7$.
સૂત્રો મૂકતા: $|\frac{v}{4 \times 1.5} - \frac{v}{2 \times 3.5}| = 7$.
$|\frac{v}{6} - \frac{v}{7}| = 7$.
$|\frac{7v - 6v}{42}| = 7$.
$\frac{v}{42} = 7$.
$v = 42 \times 7 = 294 \ m/s$.

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ પર પદાર્થનો વેગ $u$ છે. પદાર્થ $g = 10 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે મુક્ત પતન કરે છે.
$A$ થી $B$ સુધીના ગતિ માટે ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ વાપરતા:
$80 = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2$
$80 = 2u + 20$
$60 = 2u$
$u = 30 \ m/s$
હવે,શરૂઆતના બિંદુ $O$ (જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u_0 = 0$ છે) થી બિંદુ $A$ સુધીની ગતિ ધ્યાનમાં લેતા:
$v^2 = u_0^2 + 2gS$ સૂત્ર વાપરતા,જ્યાં $v = u = 30 \ m/s$ છે:
$(30)^2 = 0^2 + 2(10)S$
$900 = 20S$
$S = 45 \ m$
આમ,શરૂઆતના બિંદુથી બિંદુ $A$ નું અંતર $45 \ m$ છે.

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,આડા પ્રવાહ માટે કુલ દબાણ (સ્થિર દબાણ + ગતિશીલ દબાણ) અચળ રહે છે.
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$
જ્યાં $P_1$ એ પાણી સ્થિર હોય ત્યારનું પ્રારંભિક દબાણ $(4.5 \times 10^4 \ N/m^2)$ છે,$P_2$ એ પાણી વહેતું હોય ત્યારનું દબાણ $(2.0 \times 10^4 \ N/m^2)$ છે,અને $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(10^3 \ kg/m^3)$ છે.
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v^2$
$(4.5 \times 10^4) - (2.0 \times 10^4) = \frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2$
$2.5 \times 10^4 = 0.5 \times 10^3 \times v^2$
$v^2 = \frac{2.5 \times 10^4}{0.5 \times 10^3} = 5 \times 10 = 50$
$v = \sqrt{50} \ m/s$
આપેલ છે કે વેગ $\sqrt{V} \ m/s$ છે,તેથી $\sqrt{V} = \sqrt{50}$.
આમ,$V = 50$.

(B) શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે કારણ કે સંપર્ક બિંદુ ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $(PE = mgh)$ ઢળતા સમતલના તળિયે કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
બંને પદાર્થો સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતા હોવાથી,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તળિયે તેમની કુલ ગતિઊર્જા સમાન હશે.
તેથી,$KE_{\text{ring}} = KE_{\text{sphere}}$.
તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE_{\text{ring}}}{KE_{\text{sphere}}} = 1$ થાય છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{7}{x}$ છે,તેથી $\frac{7}{x} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = 7$.

(C) કેશિકા ઉન્નયનની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $r$ એ કેશિકા નળીની ત્રિજ્યા છે.
જેમ જેમ પાણીનું તાપમાન વધે છે,તેમ પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $T$ ઘટે છે.
કારણ કે $h \propto T$,પૃષ્ઠતાણમાં ઘટાડો થવાથી કેશિકા ઉન્નયનની ઊંચાઈમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,ઠંડા પાણીની સરખામણીમાં ગરમ પાણીમાં કેશિકા ઉન્નયનની ઊંચાઈ ઓછી હોય છે.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. અચળ પ્રવેગ $a$ સાથે $t$ સમયમાં કપાતું સ્થાનાંતર $S = \frac{1}{2}at^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ $(p-1)$ સેકન્ડ માટે,સ્થાનાંતર $S_1 = \frac{1}{2}a(p-1)^2$ છે.
પ્રથમ $p$ સેકન્ડ માટે,સ્થાનાંતર $S_2 = \frac{1}{2}ap^2$ છે.
આપણે એવો સમય $t$ શોધવાનો છે કે જેથી કુલ સ્થાનાંતર $S_1 + S_2 = \frac{1}{2}at^2$ થાય.
$S_1$ અને $S_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2}a(p-1)^2 + \frac{1}{2}ap^2 = \frac{1}{2}at^2$
બંને બાજુ $\frac{1}{2}a$ વડે ભાગતા:
$(p-1)^2 + p^2 = t^2$
$p^2 - 2p + 1 + p^2 = t^2$
$2p^2 - 2p + 1 = t^2$
$t = \sqrt{2p^2 - 2p + 1} \ s$.

(C) સ્થિતિઊર્જા વિધેય $U = 2x^2 + 3y^3 + 2z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળનો $x$-ઘટક $F_x$ એ સ્થિતિઊર્જા સાથે $F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$y$ અને $z$ ને અચળ રાખીને $U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 3y^3 + 2z) = 4x$ મળે છે.
તેથી,$F_x = -4x$.
બિંદુ $P(1, 2, 3) \ m$ પર,$x$ નું મૂલ્ય $1 \ m$ છે.
$F_x$ ના સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા,આપણને $F_x = -4(1) = -4 \ N$ મળે છે.
બળના $x$-ઘટકનું મૂલ્ય $|F_x| = |-4| = 4 \ N$ થાય છે.

(A) આપેલ છે,$R = \frac{V}{I}$.
ભાગાકાર માટેની ત્રુટિ વિશ્લેષણના નિયમો મુજબ,$R$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$
આપેલ કિંમતો $V = 200 \ V$,$\Delta V = 5 \ V$,$I = 20 \ A$,અને $\Delta I = 0.2 \ A$ મૂકતા:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{5}{200} + \frac{0.2}{20}$
$\frac{\Delta R}{R} = 0.025 + 0.01 = 0.035$
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણાકાર કરો:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.035 \times 100 = 3.5 \%$

(C) આપેલ છે:
દળ $m = 100 \ kg$
અંતર $s = 10 \ m$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.4$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ (પ્રમાણિત મૂલ્ય લેતા).
ઘર્ષણ બળ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \mu N = \mu mg$
$f = 0.4 \times 100 \times 10 = 400 \ N$
ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ મળે:
$W = f \times s$
$W = 400 \times 10 = 4000 \ J$
આમ,ઘર્ષણની વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $4000 \ J$ છે.

(A) આપેલ છે કે બંને કણોના દળ સમાન છે,તેથી $m_1 = m_2 = m$.
તેમની વક્રતા ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે.
કણ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$F_1 = F_2$ થાય.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે $\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$.
$m_1 = m_2$ હોવાથી,સમીકરણ $\frac{v_1^2}{r_1} = \frac{v_2^2}{r_2}$ માં પરિણમે છે.
વેગનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{r_1}{r_2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$ મળે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ મૂકતા,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
તેથી,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{3}:2$ છે.

(C) $P-V$ આલેખમાં થયેલ કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ માટે,થયેલ કાર્ય એ રેખા $AB$ ની નીચેના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ છે:
$W_{AB} = \text{સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$W_{AB} = \frac{1}{2} \times (8000 + 4000) \text{ dyne/cm}^2 \times (7 - 3) \text{ m}^3 = 6000 \text{ dyne/cm}^2 \times 4 \text{ m}^3 = 24000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
એકમ રૂપાંતર: $1 \text{ dyne/cm}^2 = 0.1 \text{ N/m}^2$. તેથી,$W_{AB} = 24000 \times 0.1 \text{ J} = 2400 \text{ J}$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માટે,થયેલ કાર્ય એ રેખા $BC$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે (સમદાબી સંકોચન):
$W_{BC} = P_B \times (V_C - V_B) = 4000 \text{ dyne/cm}^2 \times (3 - 7) \text{ m}^3 = 4000 \times (-4) \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2 = -16000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
એકમ રૂપાંતર: $W_{BC} = -16000 \times 0.1 \text{ J} = -1600 \text{ J}$.
કુલ કાર્ય $W = W_{AB} + W_{BC} = 2400 \text{ J} - 1600 \text{ J} = 800 \text{ J}$.

(D) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપર અને નીચે $h$ અંતરે પદાર્થનું વજન સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_h)$ અને $h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_d)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{g R^2}{(R+h)^2}$ છે.
$h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{g R^2}{(R+h)^2} = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$.
$\frac{1}{(1 + h/R)^2} = 1 - \frac{h}{R}$.
ધારો કે $x = \frac{h}{R}$. તો $\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - x$.
$1 = (1-x)(1+x)^2 = (1-x)(1 + 2x + x^2) = 1 + x - x^2 - x^3$.
$x^3 + x^2 - x = 0$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$x^2 + x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
તેથી,$h = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} R = \frac{\sqrt{5} R - R}{2}$.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ એ મોલની સંખ્યા છે.
પાત્રો સમાન કદના $(V_A = V_B)$ અને સમાન તાપમાને $(T_A = T_B)$ હોવાથી,દબાણ $P$ એ મોલની સંખ્યા $n$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto n)$.
તેથી,$\frac{P_A}{P_B} = \frac{n_A}{n_B}$.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $M_A = 2 \ g/mol$ છે અને ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M_B = 32 \ g/mol$ છે.
પાત્ર $A$ માં મોલની સંખ્યા $n_A = \frac{1 \ g}{2 \ g/mol} = 0.5 \ mol$ છે.
પાત્ર $B$ માં મોલની સંખ્યા $n_B = \frac{1 \ g}{32 \ g/mol} = \frac{1}{32} \ mol$ છે.
આમ,$\frac{P_A}{P_B} = \frac{0.5}{1/32} = 0.5 \times 32 = 16$.

(B) દડાને $5$ મા પગથિયા પર પહોંચવા માટે,તેણે $4$ પગથિયાં ઓળંગવા પડે.
તેથી,સમક્ષિતિજ અંતર (Range) $(R) = 4 \times 0.1 = 0.4 \ m$.
$R = u \cdot t \implies t = \frac{0.4}{u}$.
તે જ રીતે,શિરોલંબ દિશામાં,
$h = \frac{1}{2} gt^2$.
અહીં $h = 4 \times 0.1 = 0.4 \ m$.
$0.4 = \frac{1}{2} \times 10 \times (\frac{0.4}{u})^2$.
$0.4 = 5 \times \frac{0.16}{u^2}$.
$u^2 = \frac{0.8}{0.4} = 2$.
તેથી,$u = \sqrt{2} \ ms^{-1}$.
આમ,$x = 2$.

(D) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુ માટે,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}}$
નળાકાર માટે,તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$
અહીં $g = 10 \ m/s^2$ અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે:
$a = \frac{2}{3} \times 10 \times \sin(60^{\circ}) = \frac{20}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s^2$
આપેલ પદ $\frac{x}{\sqrt{3}} \ m/s^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 10$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત દોલકની કુલ ઉર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$y = \frac{A}{3}$ સ્થાનાંતર પર સ્થિતિ ઉર્જા $U$ એ $U = \frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} k (\frac{A}{3})^2 = \frac{1}{2} k \frac{A^2}{9} = \frac{E}{9}$ છે.
ગતિ ઉર્જા $KE$ એ કુલ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $KE = E - U = E - \frac{E}{9} = \frac{8E}{9}$.
કુલ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E}{KE} = \frac{E}{\frac{8E}{9}} = \frac{9}{8}$ છે.
આને આપેલા ગુણોત્તર $\frac{x}{8}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 9$ મળે છે.

(B) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,પાંખની નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણ તફાવત $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ ઉપરની સપાટી પરની ઝડપ છે અને $v_2$ એ નીચેની સપાટી પરની ઝડપ છે।
લિફ્ટ બળ $F$ ની ગણતરી $F = \Delta P \times A$ તરીકે કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પાંખનું ક્ષેત્રફળ છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\rho = 1.2 \,kg/m^3$,$v_1 = 70 \,m/s$,$v_2 = 65 \,m/s$,અને $A = 2 \,m^2$.
$F = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (70^2 - 65^2) \times 2$
$F = 1.2 \times (4900 - 4225)$
$F = 1.2 \times 675 = 810 \,N$.

(C) આપેલ સંબંધ: $Q = \frac{a^4 b^3}{c^2}$.
$Q$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{\Delta Q}{Q} = 4 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 4 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ $(3 \%, 4 \%, 5 \%)$ મૂકતા:
$\% \text{ error in } Q = 4(3 \%) + 3(4 \%) + 2(5 \%)$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$= 12 \% + 12 \% + 10 \% = 34 \%$.
આમ,$Q$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $34 \%$ છે.

(A) સંખ્યા ઘનતા $n = N/V$ ના સંદર્ભમાં આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $P = nkT$ છે.
આપેલ છે:
સંખ્યા ઘનતા $n = 2.0 \times 10^{25} \text{ m}^{-3}$
દબાણ $P = 1.38 \text{ atm} = 1.38 \times 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1.4 \times 10^5 \text{ Pa}$
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J K}^{-1}$
સૂત્ર $P = nkT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T = \frac{P}{nk}$
$T = \frac{1.38 \times 1.01325 \times 10^5}{2.0 \times 10^{25} \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{1.01325 \times 10^5}{2.0 \times 10^2}$
$T = \frac{101325}{200} \approx 506.6 \text{ K}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $500 \text{ K}$ છે.

(B) આપેલ છે:
દળ $m = 900 \,g = 0.9 \,kg$
ત્રિજ્યા $r = 1 \,m$
આવૃત્તિ $N = 10 \,rpm = \frac{10}{60} \,rev/s = \frac{1}{6} \,rev/s$
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi N = 2\pi \times \frac{1}{6} = \frac{\pi}{3} \,rad/s$
ઉર્ધ્વ વર્તુળના સૌથી નીચેના બિંદુએ, પથ્થર પર લાગતા બળો તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે। કેન્દ્રગામી બળ તણાવ અને વજનના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$T - mg = mr\omega^2$
$T = mg + mr\omega^2$
કિંમતો મૂકતા:
$T = (0.9 \times 9.8) + (0.9 \times 1 \times (\frac{\pi}{3})^2)$
$T = 8.82 + 0.9 \times \frac{\pi^2}{9}$
આપેલ છે કે $\pi^2 = 9.8$:
$T = 8.82 + 0.9 \times \frac{9.8}{9}$
$T = 8.82 + 0.1 \times 9.8$
$T = 8.82 + 0.98 = 9.8 \,N$

(A) આપેલ છે કે,લોલકની લંબાઈ $\ell = 10 \ m$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$ છે.
શરૂઆતમાં,ગોળો આડી સ્થિતિમાં છે,તેથી સૌથી નીચા બિંદુની સાપેક્ષમાં તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = mg\ell$ છે.
ગોળાને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = 0$ છે.
કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = mg\ell$ છે.
જેમ ગોળો સૌથી નીચા બિંદુ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તે હવાના અવરોધ સામે તેની પ્રારંભિક ઉર્જાના $10 \%$ ગુમાવે છે.
ગુમાવેલી ઉર્જા = $0.10 \times mg\ell$.
સૌથી નીચા બિંદુએ બાકી રહેલી ઉર્જા = $E_f = E_i - 0.10 \times E_i = 0.90 \times mg\ell$.
સૌથી નીચા બિંદુએ,સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે,તેથી બાકી રહેલી તમામ ઉર્જા ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = 0.90 \times mg\ell$.
$v^2 = 2 \times 0.90 \times g \times \ell = 1.8 \times 10 \times 10 = 180$.
$v = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(A) પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને $27$ નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $27 \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $R = 3r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{3}$.
આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = T \Delta A$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 27 \times (4 \pi r^2) = 27 \times 4 \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = 27 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{9} = 12 \pi R^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 12 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$.

(B) પૂર્ણ શિરોલંબ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે,સૌથી નીચેના બિંદુ $A$ પર લઘુત્તમ વેગ $V_A = \sqrt{5gL}$ હોવો જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુ $B$ પર,દોરીમાં તણાવ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ વેગ $V_B = \sqrt{gL}$ છે.
બિંદુ $A$ પર ગતિઊર્જા $(K.E.)_A = \frac{1}{2} m V_A^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{5gL})^2 = \frac{5}{2} mgL$ છે.
બિંદુ $B$ પર ગતિઊર્જા $(K.E.)_B = \frac{1}{2} m V_B^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{gL})^2 = \frac{1}{2} mgL$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જાઓનો ગુણોત્તર $\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{\frac{5}{2} mgL}{\frac{1}{2} mgL} = \frac{5}{1}$ થાય.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\ell/L} = \frac{FL}{A\ell}$.
અહીં $A = \pi r^2$ હોવાથી,$Y = \frac{FL}{\pi r^2 \ell}$,જેનો અર્થ છે કે $\ell = \frac{FL}{Y \pi r^2}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાં,લંબાઈમાં વધારો $\ell = \frac{FL}{Y \pi r^2}$ છે.
નવી સ્થિતિમાં,બળ $F' = F/2$ અને ત્રિજ્યા $r' = r/2$ છે. લંબાઈ $L$ અચળ રહે છે.
નવો વધારો $\ell'$ આ મુજબ મળે: $\ell' = \frac{F' L}{Y \pi (r')^2} = \frac{(F/2) L}{Y \pi (r/2)^2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\ell' = \frac{(F/2) L}{Y \pi (r^2/4)} = \frac{FL}{2 Y \pi (r^2/4)} = \frac{FL}{Y \pi r^2 / 2} = 2 \times \frac{FL}{Y \pi r^2}$.
પ્રારંભિક $\ell$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\ell' = 2\ell$ મળે છે.
તેથી,લંબાઈમાં થતો વધારો મૂળ મૂલ્ય કરતા $2$ ગણો થશે.

(A) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ સૂર્યથી ગ્રહના સરેરાશ અંતરના ઘન $(r^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 200 \text{ દિવસ}$ છે અને પ્રારંભિક અંતર $r_1 = r$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે અને નવું અંતર $r_2 = \frac{r}{4}$ છે.
સંબંધ $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(200)^2}{r^3} = \frac{T_2^2}{(\frac{r}{4})^3}$
$T_2^2 = (200)^2 \times \frac{(\frac{r}{4})^3}{r^3}$
$T_2^2 = (200)^2 \times \frac{r^3}{64 \times r^3}$
$T_2^2 = \frac{(200)^2}{64}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$T_2 = \frac{200}{\sqrt{64}}$
$T_2 = \frac{200}{8}$
$T_2 = 25 \text{ દિવસ}$.

(A) પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$.
આથી,$\cos(A/2) = \sin((A + \delta_{\min})/2)$.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(\frac{\pi}{2} - A/2) = \sin((A + \delta_{\min})/2)$.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા: $\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} = \frac{A + \delta_{\min}}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $\pi - A = A + \delta_{\min}$.
તેથી,$\delta_{\min} = \pi - 2A$.

(C) અચળ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $\vec{F} = 0$ માટે,$\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય.
કિસ્સો $(A)$: જો $\vec{E} = 0$ અને $\vec{B} = 0$ હોય,તો $\vec{F} = 0$ થાય. તેથી વેગ અચળ રહે છે.
કિસ્સો $(B)$: જો $\vec{E} = 0$ અને $\vec{B} \neq 0$ હોય,તો કણ અચળ વેગથી ગતિ કરી શકે જો $\vec{v}$ એ $\vec{B}$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોય (કારણ કે $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ થાય).
કિસ્સો $(C)$: જો $\vec{E} \neq 0$ અને $\vec{B} = 0$ હોય,તો વિદ્યુત બળ $q\vec{E}$ ને કારણે પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય,તેથી વેગ અચળ રહી શકે નહીં. આમ,$(C)$ શક્ય નથી.
કિસ્સો $(D)$: જો $\vec{E} \neq 0$ અને $\vec{B} \neq 0$ હોય,તો કણ અચળ વેગથી ગતિ કરી શકે જો $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$ હોય. આ શક્ય છે (દા.ત.,વેલોસિટી સિલેક્ટરમાં).
તેથી,કિસ્સાઓ $(A), (B)$ અને $(D)$ શક્ય છે.

(D) $PN$ જંકશન ડાયોડ ત્યારે રિવર્સ-બાયસ્ડ હોય છે જ્યારે $P$-ટર્મિનલનું પોટેન્શિયલ $N$-ટર્મિનલના પોટેન્શિયલ કરતા ઓછું હોય.
વિકલ્પ $A$ માં: $V_P = +2 \text{ V}$,$V_N = 0 \text{ V}$. $V_P > V_N$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ છે.
વિકલ્પ $B$ માં: $V_P = 0 \text{ V}$,$V_N = -5 \text{ V}$. $V_P > V_N$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ છે.
વિકલ્પ $C$ માં: $V_P = +2 \text{ V}$,$V_N = -10 \text{ V}$. $V_P > V_N$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ છે.
વિકલ્પ $D$ માં: $V_P = +2 \text{ V}$,$V_N = +4 \text{ V}$. $V_P < V_N$ હોવાથી,ડાયોડ રિવર્સ-બાયસ્ડ છે.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,આપેલ પરમાણુ માટે $n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n \propto n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $Z$ અચળ છે).
આપેલ છે કે ત્રીજી કક્ષા $(n=3)$ ની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી $r_3 = R$.
ચોથી કક્ષા $(n=4)$ ની ત્રિજ્યા $r_4$ છે.
પ્રમાણસરતા $r_n \propto n^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{r_4}{r_3} = \frac{4^2}{3^2}$
$\frac{r_4}{R} = \frac{16}{9}$
તેથી,$r_4 = \frac{16}{9} R$.

(C) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ લેતા:
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_i = B A \cos 60^{\circ} = 4 \times (2.5 \times 2) \times 0.5 = 10 \ Wb$.
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_f = 0 \ Wb$ (કારણ કે લૂપને ક્ષેત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે).
સરેરાશ પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_f - \phi_i}{\Delta t} = -\frac{0 - 10}{10} = +1 \ V$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $P(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ નું અંતર $r_1 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6} \text{ m}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $Q(\sqrt{6}, 0)$ નું અંતર $r_2 = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{6} \text{ m}$ છે.
અહીં $r_1 = r_2 = \sqrt{6} \text{ m}$ હોવાથી,બિંદુ $P$ પરનું સ્થિતિમાન $V_P = \frac{kQ}{r_1}$ અને બિંદુ $Q$ પરનું સ્થિતિમાન $V_Q = \frac{kQ}{r_2}$ સમાન થશે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_P - V_Q = \frac{kQ}{r_1} - \frac{kQ}{r_2} = 0 \text{ V}$ થાય.

(D) ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ એકમ સમયમાં ફોટોઈલેક્ટ્રિક સેલ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.
લેન્સનો ઉપયોગ વિસ્તૃત સ્ત્રોતમાંથી આવતા પ્રકાશને સેલ પર કેન્દ્રિત કરવા માટે થાય છે,તેથી લેન્સ દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવતી કુલ પ્રકાશ ઉર્જા (અને આમ ફોટોનની સંખ્યા) તેના એપર્ચર (વ્યાસ) પર આધાર રાખે છે.
અહીં નવા લેન્સનો વ્યાસ મૂળ લેન્સ જેટલો જ હોવાથી,લેન્સ દ્વારા ગ્રહણ કરવામાં આવતી પ્રકાશ ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,ફોટોઈલેક્ટ્રિક સેલ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા સમાન રહે છે.
પરિણામે,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ $I$ બદલાતો નથી.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ છે.
અહીં $E_0 = 200 \ Vm^{-1}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (200)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 40000 \times 3 \times 10^8$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 4 \times 3 \times 10^0$
$I = 53.1 \ Wm^{-2}$.

(C) મીટર બ્રિજ માટે,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ ડાબી બાજુનો અવરોધ છે,$Q$ એ જમણી બાજુનો અવરોધ છે,$l_1 = 60 \ cm$ અને $l_2 = 100 - 60 = 40 \ cm$ છે.
આપેલ છે કે $P = 4.5 \ \Omega$,તેથી $\frac{4.5}{Q} = \frac{60}{40} = 1.5$.
આમ,$Q = \frac{4.5}{1.5} = 3 \ \Omega$.
તારનો અવરોધ $Q = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને $r = \sqrt{7} \times 10^{-4} \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 = \frac{\rho \times 0.1}{\pi \times (\sqrt{7} \times 10^{-4})^2} = \frac{\rho \times 0.1}{\pi \times 7 \times 10^{-8}}$.
$\rho$ માટે ઉકેલતા: $\rho = \frac{3 \times \pi \times 7 \times 10^{-8}}{0.1} = 210 \pi \times 10^{-8} \ \Omega \ m$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\rho = 210 \times 3.14 \times 10^{-8} = 659.4 \times 10^{-8} \approx 66 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.
તેથી,$R = 66$.

(A) જ્યારે $R$ અવરોધ ધરાવતા તારને $5$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{5}$ થાય છે.
જ્યારે આ $5$ ભાગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{5}{R'}$.
સમીકરણમાં $R' = \frac{R}{5}$ મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{5}{R/5} = \frac{25}{R}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{R}{25}$.

(B) રીંગના કેન્દ્ર પર $d\theta$ ખૂણો આંતરતા એક નાના ભાગનો વિચાર કરો। આ ભાગ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda (R d\theta)$ છે, જ્યાં $\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે。
કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $q_0$ ને કારણે આ ભાગ પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $dF = \frac{k q_0 dq}{R^2} = \frac{k q_0 \lambda R d\theta}{R^2} = \frac{k q_0 \lambda d\theta}{R}$ છે。
આ બળ રીંગના ભાગના છેડાઓ પર લાગતા તણાવ $T$ ના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $2T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx 2T(\frac{d\theta}{2}) = T d\theta$.
બળોને સરખાવતા: $T d\theta = \frac{k q_0 \lambda d\theta}{R} \implies T = \frac{k q_0 \lambda}{R}$.
$\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ મૂકતા, આપણને $T = \frac{k q_0 Q}{2\pi R^2}$ મળે છે。
અહીં $q_0 = 30 \, pC$, $Q = 2\pi \, pC$, $R = 0.3 \, m$, અને $k = 9 \times 10^9 \, Nm^2/C^2$ છે。
ગણતરી કરતા, જો વિદ્યુતભારના મૂલ્યો માઇક્રો-કુલંબમાં હોય તો $T = 3 \, N$ મળે છે।

(C) બીજી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = Mi = M i_0 \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું $emf$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ: $emf = -\frac{d\phi}{dt} = -M \frac{di}{dt}$ છે.
પ્રવાહ માટે આપેલ સમીકરણ મૂકતા: $emf = -M \frac{d}{dt}(i_0 \sin \omega t) = -M i_0 \omega \cos \omega t$.
પ્રેરિત $emf$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $|emf|_{max} = M i_0 \omega$ થાય.
અહીં $M = 0.002 \ H$,$i_0 = 5 \ A$,અને $\omega = 50 \pi \ rad/s$ આપેલ છે:
$|emf|_{max} = (0.002) \times (5) \times (50 \pi) = 0.01 \times 50 \pi = 0.5 \pi = \frac{\pi}{2} \ V$.
આને $\frac{\pi}{\alpha} \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(D) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h$ ધરાવતા માધ્યમમાં પદાર્થની આભાસી ઊંડાઈ $h_{app} = \frac{h}{\mu}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદ્રાવ્ય પ્રવાહીના અનેક સ્તરો માટે,કુલ આભાસી ઊંડાઈ એ દરેક સ્તરની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$h_{app} = \frac{h_1}{\mu_1} + \frac{h_2}{\mu_2}$
આપેલ છે:
$h_1 = 6 \,cm, \mu_1 = \frac{8}{5}$
$h_2 = 6 \,cm, \mu_2 = \frac{3}{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$h_{app} = \frac{6}{8/5} + \frac{6}{3/2}$
$h_{app} = \frac{30}{8} + \frac{12}{3}$
$h_{app} = \frac{15}{4} + 4 = \frac{15 + 16}{4} = \frac{31}{4} \,cm$
આને આપેલી આભાસી ઊંડાઈ $\frac{\alpha}{4} \,cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 31$ મળે છે.

(A) પરમાણુ વિખંડન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = BE_{\text{products}} - BE_{\text{reactants}}$
આપેલ છે:
પ્રક્રિયકનો દળ ક્રમાંક $(A_R)$ = $236$
પ્રક્રિયકની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE_{R})$ = $7.6 \ MeV/\text{nucleon}$
પ્રક્રિયકની કુલ બંધન ઉર્જા = $236 \times 7.6 \ MeV = 1793.6 \ MeV$
દરેક નીપજનો દળ ક્રમાંક $(A_P)$ = $118$
નીપજની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE_{P})$ = $8.6 \ MeV/\text{nucleon}$
બે નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા = $2 \times (118 \times 8.6) \ MeV = 236 \times 8.6 \ MeV = 2029.6 \ MeV$
મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ = $2029.6 \ MeV - 1793.6 \ MeV = 236 \ MeV$.

(D) લાંબા સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 10 \ A$ છે અને બિંદુ $P$ નું દરેક તારથી અંતર $r = \frac{5.0 \ cm}{2} = 2.5 \ cm = 2.5 \times 10^{-2} \ m$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ બિંદુ $P$ પર બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
તેથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 + B_2 = 2 \times \left(\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\right) = \frac{\mu_0 i}{\pi r}$.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{\pi \times 2.5 \times 10^{-2}} = \frac{40 \times 10^{-7}}{2.5 \times 10^{-2}} = 16 \times 10^{-5} \ T$.
$\mu T$ માં રૂપાંતર કરતા: $16 \times 10^{-5} \ T = 160 \times 10^{-6} \ T = 160 \ \mu T$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા:
$V_A+\frac{10}{3}(1)-6(1)=V_B$
$V_A-V_B=6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3} \text { volt }$
$Q=C\left(V_A-V_B\right)$
$Q=150 \times \frac{8}{3}=400 \mu C$

(D) વિશિષ્ટ અવરોધકતા (જેને અવરોધકતા પણ કહેવાય છે) એ તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,લંબાઈ $(L)$ કે ત્રિજ્યા $(r)$ જેવા ભૌતિક પરિમાણો પર નહીં.
તેથી,જો તારની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે તો પણ,વિશિષ્ટ અવરોધકતા $(S_1)$ બદલાતી નથી.
આમ,વિશિષ્ટ અવરોધકતાનું નવું મૂલ્ય $S_1$ રહેશે.

(B) આ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,બે $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\overline{B}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot \overline{B}$ છે.
બીજા $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\overline{A}$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{A} \cdot B$ છે.
અંતિમ $OR$ ગેટ આ આઉટપુટને જોડીને $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ આપે છે.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$XOR$ ગેટ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:
- જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y=0$.
- જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y=1$.
- જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y=1$.
- જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y=0$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરમાં,કોણાવર્તન $\theta$ એ કોઈલમાંથી વહેતા પ્રવાહ $i$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે $i = k\theta$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અચળાંક છે.
આપેલ છે:
$i_1 = 200 \ \mu A$
$\theta_1 = 60^{\circ} = 60 \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$
$\theta_2 = \frac{\pi}{10} \text{ રેડિયન}$
સમપ્રમાણતા $i \propto \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{i_2}{i_1} = \frac{\theta_2}{\theta_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{i_2}{200 \ \mu A} = \frac{\pi / 10}{\pi / 3}$
$\frac{i_2}{200 \ \mu A} = \frac{3}{10}$
$i_2$ માટે ગણતરી કરતા:
$i_2 = 200 \ \mu A \times \frac{3}{10} = 60 \ \mu A$

(C) ${ }_{6} C^{13}$ માંથી ન્યુટ્રોન દૂર કરવા માટેની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: ${ }_{6} C^{13} + \text{Energy} \rightarrow { }_{6} C^{12} + { }_{0} n^{1}$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ નીપજોના દળ અને પ્રક્રિયકના દળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta m = (M({ }_{6} C^{12}) + M({ }_{0} n^{1})) - M({ }_{6} C^{13})$
$\Delta m = (12.000000 + 1.008665) - 13.003354$
$\Delta m = 13.008665 - 13.003354 = 0.005311 \ u$.
જરૂરી ઉર્જા $E = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$ દ્વારા મળે છે:
$E = 0.005311 \times 931.5 \ MeV \approx 4.947 \ MeV \approx 4.95 \ MeV$.

(D) આ પરિપથમાં $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
ઉપરની શાખામાં બે વોલ્ટમીટર શ્રેણીમાં છે,જેના રીડિંગ $V_1$ અને $V_2$ છે. આ શાખામાં કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 + V_2$ છે.
નીચેની શાખામાં એક વોલ્ટમીટર છે,જેનું રીડિંગ $V_3$ છે. આ શાખામાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_3$ છે.
બે શાખાઓ $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી હોવાથી,બંને શાખાઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$V_1 + V_2 = V_3$.

(C) ટ્રાન્સફોર્મરનું સમીકરણ $\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2}$ છે.
અહીં $V_1 = 230 \ V$ અને $\frac{N_1}{N_2} = 10$ આપેલ છે,તેથી $\frac{230}{V_2} = 10$ થાય.
આમ,સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_2 = \frac{230}{10} = 23 \ V$ મળે.
લોડ અવરોધ $R = 46 \ \Omega$ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V_2^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{23 \times 23}{46} = \frac{529}{46} = 11.5 \ W$.

(D) વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ અને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\phi_0 = h \nu_0$ છે.
આપેલ છે,$\phi_0 = 6.63 \ eV = 6.63 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
કિંમતો મૂકતા: $6.63 \times 1.6 \times 10^{-19} = 6.63 \times 10^{-34} \times \nu_0$.
$\nu_0 = \frac{6.63 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}$.
$\nu_0 = 1.6 \times 10^{15} \ Hz$.

(D) ધારો કે $I_0$ એ પ્રથમ પોલેરોઇડ પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
$I_1 = I_0 / 2$ એ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પ્રસારિત પ્રકાશની તીવ્રતા છે.
ધારો કે $\theta$ એ પ્રથમ અને બીજા પોલેરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો છે,અને $\phi$ એ બીજા અને ત્રીજા પોલેરોઇડ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ અને ત્રીજા પોલેરોઇડ ક્રોસ્ડ હોવાથી,$\theta + \phi = 90^{\circ}$,તેથી $\phi = 90^{\circ} - \theta$.
બીજા પોલેરોઇડમાંથી પ્રસારિત તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ છે.
ત્રીજા પોલેરોઇડમાંથી પ્રસારિત તીવ્રતા $I_3 = I_2 \cos^2 \phi = I_1 \cos^2 \theta \cos^2 (90^{\circ} - \theta) = I_1 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ છે.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_3 = I_1 (\sin 2\theta / 2)^2 = (I_0 / 2) \cdot (\sin^2 2\theta / 4) = (I_0 / 8) \sin^2 2\theta$ મળે છે.
$I_3$ ત્યારે મહત્તમ હોય જ્યારે $\sin^2 2\theta = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ સપાટી પર સંપૂર્ણપણે શોષાય છે,ત્યારે તેના દ્વારા લાગતું વિકિરણ દબાણ $P = \frac{I}{v}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ તરંગની તીવ્રતા છે અને $v$ એ માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ છે.
$n$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{c}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
દબાણના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = \frac{I \cdot n}{c}$ મળે છે.
આપેલ છે:
તીવ્રતા $I = 6 \times 10^8 \ W/m^2$
વક્રીભવનાંક $n = 3$
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$
દબાણની ગણતરી:
$P = \frac{(6 \times 10^8) \times 3}{3 \times 10^8}$
$P = 6 \ N/m^2$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં વિદ્યુતભાર $q$ ને ગતિ કરાવવા માટે થતું કાર્ય $W$ એ $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = \int q\vec{E} \cdot d\vec{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર,સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે,તેથી સ્થિતિમાનનો તફાવત $dV = 0$ થાય છે.
કારણ કે $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$,તેનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ હંમેશા પૃષ્ઠ પરના સ્થાનાંતર $d\vec{l}$ ને લંબ હોય છે.
આ પુષ્ટિ કરે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠોને લંબ હોય છે (કારણ $(R)$ સાચું છે).
કારણ કે $\vec{E} \perp d\vec{l}$,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{E} \cdot d\vec{l} = E dl \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે.
તેથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય છે (વિધાન $(A)$ સાચું છે).
કારણ કે શૂન્ય કાર્ય એ વિદ્યુતક્ષેત્ર પૃષ્ઠને લંબ હોવાનું સીધું પરિણામ છે,તેથી $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (અંદરની તરફ,લૂપના સમતલને લંબ) છે.
$B_{total} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_1} + \frac{\mu_0 I}{4R_2} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$.
આપેલ છે કે $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$,$I = 4 \text{ A}$,$R_1 = 2\pi \text{ m}$,અને $R_2 = 4\pi \text{ m}$.
$B_{total} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4} \left( \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{4\pi} \right) = 4\pi \times 10^{-7} \left( \frac{2+1}{4\pi} \right) = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{3}{4\pi} = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$.
આને $\alpha \times 10^{-7} \text{ T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$ મળે છે.

(B) ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ $\vec{p} = q(\vec{r}_B - \vec{r}_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q = 4 \ \mu C = 4 \times 10^{-6} \ C$,$\vec{r}_A = (1, 0, 4) \ m$,અને $\vec{r}_B = (2, -1, 5) \ m$ છે.
$\vec{p} = 4 \times 10^{-6} \times [(2-1)\hat{i} + (-1-0)\hat{j} + (5-4)\hat{k}] = 4 \times 10^{-6} (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \ C \cdot m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 0.20 \ \hat{i} \ V/cm = 0.20 \times 10^2 \ \hat{i} \ V/m = 20 \ \hat{i} \ V/m$ છે.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{\tau} = [4 \times 10^{-6} (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})] \times [20 \hat{i}] = 80 \times 10^{-6} [\hat{i} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i}] \ Nm$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,તેથી:
$\vec{\tau} = 80 \times 10^{-6} [0 - (-\hat{k}) + \hat{j}] = 80 \times 10^{-6} (\hat{j} + \hat{k}) \ Nm = 8 \times 10^{-5} (\hat{j} + \hat{k}) \ Nm$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = 8 \times 10^{-5} \sqrt{1^2 + 1^2} = 8 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ Nm$ થાય.
આને $8 \sqrt{\alpha} \times 10^{-5} \ Nm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે પ્રથમ ન્યૂનતમની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$,તેથી $a \sin \theta = \lambda$.
આપેલ છે:
સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.001 \text{ mm} = 1 \times 10^{-6} \text{ m}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000 \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-6}} = 0.5$.
$\sin \theta = 0.5$ હોવાથી,વિવર્તન કોણ $\theta = 30^{\circ}$ થશે.

(D) ન્યુક્લિયસની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{kQ}{R}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$,$Q = Ze$,અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $Z = 50$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,અને $R = 9 \times 10^{-13} \text{ cm} = 9 \times 10^{-15} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(9 \times 10^9) \times (50 \times 1.6 \times 10^{-19})}{9 \times 10^{-15}}$
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 80 \times 10^{-10} \times 10^{15} \text{ V}$
$V = 80 \times 10^5 \text{ V} = 8 \times 10^6 \text{ V}$.
આમ,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $8 \times 10^6 \text{ V}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n_1 = 3$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ નજીકના ઉર્જા સ્તર $n_2 = 4$ થી થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
તેથી,$\lambda = \frac{144}{7R}$.
આને $\frac{\alpha}{7R}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 144$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $L = \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} \text{ H}$,$C = \frac{10^{-3}}{\pi} \text{ F}$,$R = 10 \ \Omega$,$f = 50 \text{ Hz}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} = 100 \times 100 \times 10^{-3} = 10 \ \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{\pi}} = \frac{1}{100 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \ \Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 10 \ \Omega$ થાય.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{10}{10} = 1$.

(B) આપેલ છે કે, ઝેનર ડાયોડનો બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_z = 3.0 \, V$ છે.
કુલ વોલ્ટેજ $V = 10 \, V$ છે અને શ્રેણી અવરોધ $R_s = 1 \, k\Omega = 1000 \, \Omega$ છે.
શ્રેણી અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V - V_z}{R_s} = \frac{10 \, V - 3 \, V}{1000 \, \Omega} = \frac{7 \, V}{1000 \, \Omega} = 7 \, mA$.
લોડ અવરોધ $R_L = 2 \, k\Omega = 2000 \, \Omega$ છે. લોડ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L$ છે:
$I_L = \frac{V_z}{R_L} = \frac{3 \, V}{2000 \, \Omega} = 1.5 \, mA$.
નોડ $A$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$I = I_z + I_L$
$I_z = I - I_L = 7 \, mA - 1.5 \, mA = 5.5 \, mA$.
આમ, $I_z$ નું મૂલ્ય $5.5 \, mA$ છે.

(B) આપેલ છે કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમય $t$ સાથે $I = I_0 + \beta t$ મુજબ બદલાય છે.
અહીં,$I_0 = 20 \ A$ અને $\beta = 3 \ A/s$ છે.
તેથી,$I = 20 + 3t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{dq}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $dq = I \ dt$.
$t = 0$ થી $t = 20 \ s$ સમયગાળામાં વાયરના આડછેદમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ શોધવા માટે,આપણે આ સમીકરણનું સંકલન કરીશું:
$q = \int_{0}^{20} I \ dt = \int_{0}^{20} (20 + 3t) \ dt$
$q = \left[ 20t + \frac{3t^2}{2} \right]_{0}^{20}$
$q = \left( 20(20) + \frac{3(20)^2}{2} \right) - 0$
$q = 400 + \frac{3 \times 400}{2} = 400 + 600 = 1000 \ C$.

(A) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 30 \,cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f = R / 2 = +15 \,cm$ (બહિર્ગોળ અરીસા માટે).
મોટવણી $m = +1/2$ (કારણ કે બહિર્ગોળ અરીસો વાસ્તવિક વસ્તુ માટે હંમેશા આભાસી અને ચત્તું પ્રતિબિંબ રચે છે).
અરીસા માટે મોટવણીનું સૂત્ર વાપરતા: $m = f / (f - u)$.
કિંમતો મૂકતા: $1/2 = 15 / (15 - u)$.
$15 - u = 30$.
$-u = 30 - 15$.
$-u = 15$.
$u = -15 \,cm$.
આમ, વસ્તુ અંતર $-15 \,cm$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{\text{enclosed}}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
ગોળાની ત્રિજ્યા $4 a$ છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
$5 Q$ વિદ્યુતભાર $(3 a, 0)$ પર સ્થિત છે. ઉગમબિંદુથી તેનું અંતર $3 a < 4 a$ હોવાથી,આ વિદ્યુતભાર ગોળાની અંદર છે.
$-2 Q$ વિદ્યુતભાર $(-5 a, 0)$ પર સ્થિત છે. ઉગમબિંદુથી તેનું અંતર $5 a > 4 a$ હોવાથી,આ વિદ્યુતભાર ગોળાની બહાર છે.
તેથી,ગોળા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{\text{enclosed}} = 5 Q$ છે.
ગોસના નિયમમાં આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{5 Q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.

(A) મેક્સવેલના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. એમ્પીયર-મેક્સવેલ નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_c + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ ($A-IV$ સાથે જોડાય છે)
$2$. ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ ($B-III$ સાથે જોડાય છે)
$3$. વિદ્યુત માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ ($C-I$ સાથે જોડાય છે)
$4$. ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ ($D-II$ સાથે જોડાય છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-I, D-II$ છે.

(C) આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$G = 10 \ \Omega$
પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ,$I_g = 3 \ mA = 3 \times 10^{-3} \ A$
એમીટરની રેન્જ,$I = 8 \ A$
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોવો જોઈએ:
$I_g G = (I - I_g) S$
$S$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$S = \frac{I_g G}{I - I_g}$
કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{(3 \times 10^{-3} \ A) \times 10 \ \Omega}{8 \ A - 3 \times 10^{-3} \ A}$
$S = \frac{0.03}{8 - 0.003} \ \Omega$
$S = \frac{0.03}{7.997} \ \Omega \approx 3.75 \times 10^{-3} \ \Omega$
આમ,જરૂરી શંટ અવરોધ $3.75 \times 10^{-3} \ \Omega$ છે.

(B) ફોટોન માટે,ઉર્જા $E_{p} = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે $\lambda_{p} = \frac{hc}{E_{p}}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{e} = \frac{h}{p_{e}}$ છે. $K.E._{e} = \frac{1}{2} m_{e} v_{e}^2$ હોવાથી,આપણે $\lambda_{e} = \frac{h}{m_{e} v_{e}}$ લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે $v_{e} = 0.25c = \frac{c}{4}$.
$\lambda_{e} = \lambda_{p}$ હોવાથી,આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{h}{m_{e} v_{e}} = \frac{hc}{E_{p}}$
$E_{p} = m_{e} v_{e} c = m_{e} (0.25c) c = 0.25 m_{e} c^2$.
હવે,$K.E._{e}$ અને $E_{p}$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{K.E._{e}}{E_{p}} = \frac{\frac{1}{2} m_{e} v_{e}^2}{m_{e} v_{e} c} = \frac{v_{e}}{2c} = \frac{0.25c}{2c} = \frac{0.25}{2} = \frac{1}{8}$.

(B) ધારો કે $k$ એ ગેલ્વેનોમીટર માટે પ્રતિ કાપા દીઠ પ્રવાહ છે.
શરૂઆતમાં,કુલ પ્રવાહ $I = 25k$ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહે છે.
જ્યારે $S = 24\ \Omega$ નો શંટ અવરોધ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે આવર્તન $5$ કાપા થાય છે,જેનો અર્થ છે કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = 5k$ છે.
બાકીનો પ્રવાહ શંટમાંથી વહે છે: $I_s = I - I_g = 25k - 5k = 20k$.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_g \times G = I_s \times S$
$(5k) \times G = (20k) \times 24$
$5G = 480$
$G = 96\ \Omega$
આમ,ગેલ્વેનોમીટર કોઈલનો અવરોધ $96\ \Omega$ છે.

(B) આપેલ છે: લેન્સનો વક્રીભવનાંક $\mu_l = 1.5$, પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu_m = 1.6$, હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_a = 20 \,cm$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ, હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે.
પ્રવાહી માટે, કેન્દ્રલંબાઈ $f_m$ એ $\frac{1}{f_m} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા મળે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_m}{f_a} = \frac{(\mu_l - 1)}{\left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right)} = \frac{(\mu_l - 1) \mu_m}{(\mu_l - \mu_m)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f_m}{20} = \frac{(1.5 - 1) \times 1.6}{(1.5 - 1.6)} = \frac{0.5 \times 1.6}{-0.1} = \frac{0.8}{-0.1} = -8$.
તેથી, $f_m = 20 \times (-8) = -160 \,cm$.

(B) $LC$ સર્કિટમાં ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા એ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_{\max}^2$
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$I_{\max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
આપેલ કિંમતો:
$C = 100 \ \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$
$L = 6.4 \ mH = 6.4 \times 10^{-3} \ H$
$V = 12 \ V$
કિંમતો મૂકતા:
$I_{\max} = 12 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{6.4 \times 10^{-3}}}$
$I_{\max} = 12 \times \sqrt{\frac{10^{-4}}{6.4 \times 10^{-3}}} = 12 \times \sqrt{\frac{10^{-1}}{6.4}} = 12 \times \sqrt{\frac{0.1}{6.4}} = 12 \times \sqrt{\frac{1}{64}}$
$I_{\max} = 12 \times \frac{1}{8} = 1.5 \ A$

(D) આપેલ બે ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાઓનો સરવાળો કરતા:
${ }_3 Li^6 + { }_0 n^1 \rightarrow { }_2 He^4 + { }_1 H^3$
${ }_1 H^2 + { }_1 H^3 \rightarrow { }_2 He^4 + { }_0 n^1$
--------------------------------------------------------------
${ }_3 Li^6 + { }_1 H^2 \rightarrow 2({ }_2 He^4)$
---------------------------------------------------------------
પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ એ $Q = \Delta m \times 931.5 \ MeV/amu$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta m = [M(Li^6) + M({ }_1 H^2) - 2 \times M({ }_2 He^4)]$
$\Delta m = [6.01690 + 2.01471 - 2 \times 4.00388] \ amu$
$\Delta m = [8.03161 - 8.00776] \ amu = 0.02385 \ amu$
$Q = 0.02385 \times 931.5 \ MeV \approx 22.216 \ MeV$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$Q = 22.22 \ MeV$.

(A) $n=2$ અને $n=1$ સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોનનું વેગમાન હાઇડ્રોજન પરમાણુના રિકોઇલ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
$p_{\text{atom}} = p_{\text{photon}} = \frac{\Delta E}{c}$
કારણ કે $p_{\text{atom}} = m \cdot v$, જ્યાં $m$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ છે અને $v$ એ રિકોઇલ ઝડપ છે:
$v = \frac{\Delta E}{m \cdot c}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{10.2 \,eV}{(1.6 \times 10^{-27} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)}$
$eV$ ને જુલમાં ફેરવતા $(1 \,eV = 1.6 \times 10^{-19} \,J)$:
$v = \frac{10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-27} \,kg \times 3 \times 10^8 \,m/s}$
$v = \frac{10.2 \times 10^{-19}}{3 \times 10^{-19}} \,m/s = 3.4 \,m/s$
$3.4 \,m/s$ ને છેદ $5$ વાળા અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવતા:
$v = \frac{3.4 \times 5}{5} = \frac{17}{5} \,m/s$
આને $\frac{x}{5} \,m/s$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 17$ મળે છે.

(C) લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ પૂર્વ-પશ્ચિમ સમતલને લંબ છે,જે ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં છે. ધારો કે ઉત્તર દિશા $\hat{j}$ છે. તેથી,$\vec{A} = (0.1 \ m)^2 \hat{j} = 0.01 \hat{j} \ m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં છે,જે પૂર્વ (ક્ષૈતિજ) અને ઉત્તર (શિરોલંબ) અક્ષ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\vec{B} = 0.20 (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = 0.20 (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) \ T$.
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = [0.20 (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})] \cdot [0.01 \hat{j}] = 0.20 \times 0.01 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{0.002}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \times 10^{-3} \ Wb$.
પ્રેરિત emf $e$ નું મૂલ્ય $|e| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}| = |\frac{0 - \phi}{1 \ s}| = \sqrt{2} \times 10^{-3} \ V$ દ્વારા મળે છે.
આને $\sqrt{x} \times 10^{-3} \ V$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{x} = \sqrt{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(A) ચુંબકીય ડાયપોલને કારણે તેની અક્ષ પર $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય પોટેન્શિયલ $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^2}$
આપેલ કિંમતો:
$V = 1.5 \times 10^{-5} \ T \cdot m$
$r = 20 \ cm = 0.2 \ m = 2 \times 10^{-1} \ m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \cdot m \cdot A^{-1}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$1.5 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{(2 \times 10^{-1})^2}$
$1.5 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{4 \times 10^{-2}}$
$M = \frac{1.5 \times 10^{-5} \times 4 \times 10^{-2}}{10^{-7}}$
$M = \frac{6 \times 10^{-7}}{10^{-7}} = 6 \ A \cdot m^2$
આમ,ડાયપોલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $6 \ A \cdot m^2$ છે.

(B) $P$ બિંદુએ અપ્રકાશિત શલાકા માટે પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/2$ થાય.
આકૃતિ પરથી,પથ તફાવત $\Delta x = \sqrt{D^2+d^2} - D$ છે.
તેથી,$\sqrt{D^2+d^2} - D = \frac{\lambda}{2}$
$\sqrt{D^2+d^2} = D + \frac{\lambda}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $D^2 + d^2 = D^2 + D\lambda + \frac{\lambda^2}{4}$
$d^2 = D\lambda + \frac{\lambda^2}{4}$
અહીં $\lambda = 400 \ nm = 4 \times 10^{-7} \ m$ અને $D = 0.2 \ m$ છે.
આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા: $d^2 \approx D\lambda/2 = \frac{0.2 \times 400 \times 10^{-9}}{2} = 4 \times 10^{-8} \ m^2$.
તેથી,$d = \sqrt{4 \times 10^{-8}} = 2 \times 10^{-4} \ m = 0.20 \ mm$.

(C) ચોરસ લૂપ $16 \ \Omega$ ના તારમાંથી બનેલી છે,તેથી દરેક બાજુનો અવરોધ $4 \ \Omega$ છે.
ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $P, Q, R, S$ છે. બેટરીને બાજુ $PQ$ પર જોડવામાં આવી છે. કેપેસિટરને વિકર્ણ $PR$ પર જોડવામાં આવ્યું છે.
પરિપથ જોતા,બેટરીમાંથી આવતો પ્રવાહ $I$ નોડ $P$ માં જાય છે.
$P$ થી $Q$ સુધીનો એક માર્ગ સીધી બાજુ $PQ$ છે જેનો અવરોધ $4 \ \Omega$ છે.
$P$ થી $Q$ સુધીનો બીજો માર્ગ લૂપના બાકીના ભાગમાંથી છે: $P \rightarrow S \rightarrow R \rightarrow Q$,જેનો અવરોધ $4 \ \Omega + 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 12 \ \Omega$ છે.
આ બંને માર્ગો સમાંતર છે. લૂપનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{loop} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3 \ \Omega$ છે.
આંતરિક અવરોધ $r = 1 \ \Omega$ ને ગણતા,પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 3 \ \Omega + 1 \ \Omega = 4 \ \Omega$ છે.
બેટરીમાંથી કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{9 \ V}{4 \ \Omega} = 2.25 \ A$ છે.
સમાંતર જોડાણ (નોડ $P$ અને $Q$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PQ} = I \times R_{loop} = 2.25 \times 3 = 6.75 \ V$ છે.
માર્ગ $P \rightarrow S \rightarrow R \rightarrow Q$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{V_{PQ}}{12 \ \Omega} = \frac{6.75}{12} = 0.5625 \ A$ છે.
$P$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_P = 6.75 \ V$ અને $Q$ પર $0 \ V$ છે (સંદર્ભ તરીકે $Q$ લેતા).
$R$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_R = V_P - I_2 \times (4 + 4) = 6.75 - 0.5625 \times 8 = 6.75 - 4.5 = 2.25 \ V$ છે.
$P$ અને $R$ વચ્ચે જોડાયેલા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PR} = V_P - V_R = 6.75 - 2.25 = 4.5 \ V$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V_{PR}^2 = \frac{1}{2} \times 4 \ \mu F \times (4.5 \ V)^2 = 2 \times 20.25 = 40.5 \ \mu J$ છે.
આપેલ છે કે $U = \frac{x}{2} \ \mu J$,તેથી $40.5 = \frac{x}{2}$,જે $x = 81$ આપે છે.

(A) અનંત સમતલ શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભારિત હોવાથી,તેના પર લાગતું બળ $F = -eE = -\frac{e \sigma}{2 \epsilon_0}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = -\frac{\sigma e}{2 \epsilon_0 m}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક વેગ $u = 1 \,m/s$,સમય $t = 1 \,s$,અને સ્થાનાંતર $S = -1 \,m$ (શીટ તરફ).
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2} at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-1 = (1)(1) + \frac{1}{2} \left( -\frac{\sigma e}{2 \epsilon_0 m} \right) (1)^2$.
$-1 = 1 - \frac{\sigma e}{4 \epsilon_0 m}$.
$2 = \frac{\sigma e}{4 \epsilon_0 m}$.
$\sigma = 8 \left[ \frac{m \epsilon_0}{e} \right]$.
$\alpha \left[ \frac{m \epsilon_0}{e} \right]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 8$ મળે છે।

(D) પ્રકાશના સ્ત્રોતનો પાવર $P$ એ $P = n \times E_{photon}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
પ્રથમ સ્ત્રોત માટે: $P = n_1 \times \frac{hc}{\lambda_1} = 200 \ W$.
બીજા સ્ત્રોત માટે: $P = n_2 \times \frac{hc}{\lambda_2} = 200 \ W$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $n_1 \times \frac{hc}{\lambda_1} = n_2 \times \frac{hc}{\lambda_2}$.
આથી $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ મળે છે.
અહીં $\lambda_1 = 300 \ nm$ અને $\lambda_2 = 500 \ nm$ આપેલ હોવાથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{300}{500} = \frac{3}{5}$ થાય.