જો વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = frac{x+y-2}{x-y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$.ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+(h+k-2)}{X-Y+(h-k

Vedclass · Accepted Answer

$11$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$.ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+(h+k-2)}{X-Y+(h-k)}$ મળે.સમીકરણ સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$h+k-2=0$ અને $h-k=0$ લેતા,$h=1$ અને $k=1$ મળે છે.તેથી,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$. અંશ અને છેદને $X$ વડે ભાગતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{1+(Y/X)}{1-(Y/X)}$ મળે.ધારો કે $Y/X = v$,તેથી $Y = vX$ અને $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} \Rightarrow X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v^2}{1-v}$.ચલને અલગ કરતા: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dX}{X}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$.$	an^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|X| + C$.$v = \frac{y-1}{x-1}$ અને $X = x-1$ મૂકતા: $	an^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}ight) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{y-1}{x-1}ight)^2ight) = \ln|x-1| + C$.વક્ર બિંદુ $(2,1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$	an^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1+0) = \ln|1| + C \Rightarrow C = 0$.આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 1$ અને $\beta = 2$ મળે છે.તેથી,$5\beta + \alpha = 5(2) + 1 = 11$.

Similar Questions

નીચેનામાંથી કયું વિધેય સમપરિમાણીય (homogeneous) વિધેય નથી?

સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x-y) dy - (x+y) dx = 0$ એ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ મેળવો.

વિકલ સમીકરણ $y e^{\frac{x}{y}} dx = \left( x e^{\frac{x}{y}} + y^2 \right) dy$ ઉકેલો,જ્યાં $y \neq 0$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module