JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે કુલ કામ $W = 17m$ છે.
પ્રથમ દિવસે,$m$ સિસ્ટમ કામ કરે છે.
બીજા દિવસે,$m-4$ સિસ્ટમ કામ કરે છે.
ત્રીજા દિવસે,$m-8$ સિસ્ટમ કામ કરે છે.
કુલ સમય $17 + 8 = 25$ દિવસ લાગે છે.
કુલ કામ $25$ દિવસમાં થયેલ કાર્યનો સરવાળો છે:
$17m = m + (m-4) + (m-8) + \dots + (m - 4 \times 24)$.
$17m = 25m - 4(1 + 2 + 3 + \dots + 24)$.
$17m = 25m - 4 \times \frac{24 \times 25}{2}$.
$8m = 4 \times 12 \times 25$.
$8m = 1200$.
$m = 150$.

(A) આપેલ છે $\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|^2=4$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{(z_1-2 z_2)(\bar{z}_1-2 \bar{z}_2)}{(\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2)(\frac{1}{2}-\bar{z}_1 z_2)}=4$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \bar{z}_1 z_2 - \frac{1}{2} z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
તેથી,$|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2 = 4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \bar{z}_1 z_2 - \frac{1}{2} z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2)$.
$|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2 = 1 - 2 \bar{z}_1 z_2 - 2 z_1 \bar{z}_2 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2$.
બંને બાજુથી $-2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2$ ને દૂર કરતા: $|z_1|^2 + 4 |z_2|^2 = 1 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2$.
ગોઠવતા: $|z_1|^2 - 1 - 4 |z_2|^2 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2 = 0$.
$(|z_1|^2 - 1) - 4 |z_2|^2 (1 - |z_1|^2) = 0$.
$(|z_1|^2 - 1)(1 - 4 |z_2|^2) = 0$.
આમ,$|z_1| = 1$ અથવા $|2z_2| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z_1| = 1$ અથવા $|z_2| = \frac{1}{2}$.

(C) $NAGPUR$ શબ્દના અક્ષરો $A, G, N, P, R, U$ છે. કુલ અક્ષરો = $6$. કુલ ગોઠવણી = $6! = 720$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
$G$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$.
કુલ શબ્દો = $120 + 120 = 240$.
$NA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$NG$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$NP$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
કુલ શબ્દો = $240 + 24 + 24 + 24 = 312$.
આપણને $315^{\text{th}}$ શબ્દ જોઈએ છે. બાકીના શબ્દો $NR$ થી શરૂ થાય છે.
$NRA$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3! = 6$.
$313^{\text{th}}$ શબ્દ: $NRAGPU$
$314^{\text{th}}$ શબ્દ: $NRAGUP$
$315^{\text{th}}$ શબ્દ: $NRAPGU$

(A) ધારો કે $P(6,1)$ એ $\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે જ્યાં $A(5,-2)$,$B(8,3)$ અને $C(h, k)$ છે.
$AP \perp BC$ હોવાથી,$AP$ નો ઢાળ $= \frac{1 - (-2)}{6 - 5} = 3$ થાય.
તેથી,$BC$ નો ઢાળ $= -\frac{1}{3}$ થાય.
$B(8,3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 8)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 3y - 17 = 0$ થાય.
$BP \perp AC$ હોવાથી,$BP$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 3}{6 - 8} = 1$ થાય.
તેથી,$AC$ નો ઢાળ $= -1$ થાય.
$A(5,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y - (-2) = -1(x - 5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y - 3 = 0$ થાય.
$C(h, k)$ શોધવા માટે,સમીકરણો ઉકેલતા:
$1) x + 3y = 17$
$2) x + y = 3$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા $2y = 14$,તેથી $y = 7$ મળે.
$y = 7$ ને $(2)$ માં મૂકતા $x + 7 = 3$,તેથી $x = -4$ મળે.
આમ,$C = (-4, 7)$.
હવે,$C(-4, 7)$ કયા વર્તુળના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે તે તપાસતા:
$(-4)^2 + (7)^2 = 16 + 49 = 65$.
તેથી,$x^2 + y^2 - 65 = 0$ એ સાચું સમીકરણ છે.

(B) નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 9$ અને નિયામિકા $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ આપેલ છે.
તેથી $a = \frac{4e}{\sqrt{13}}$.
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ હોવાથી,$\frac{9a}{2} = a^2(e^2 - 1) \Rightarrow \frac{9}{2} = a(e^2 - 1) = \frac{4e}{\sqrt{13}}(e^2 - 1)$.
ઉકેલતા $e = \frac{\sqrt{13}}{2}$ અને $a = 2$ મળે,તેથી $b^2 = 9$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
સ્પર્શક $y = \sqrt{3}x - \sqrt{3}$ માટે સ્પર્શકતાની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ ચકાસતા $(-\sqrt{3})^2 = 4(3) - 9 = 3$ મળે છે.
સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0) = (4, 3\sqrt{3})$ છે.
નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $m = e^2x_0^2 - a^2 = \frac{13}{4}(16) - 4 = 48$.
તેથી $4e^2 + m = 4(\frac{13}{4}) + 48 = 13 + 48 = 61$.

(C) ધારો કે $y = 1+x$. તો $S(x) = y + 2y^2 + 3y^3 + \ldots + 60y^{60}$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે.
$yS = y^2 + 2y^3 + \ldots + 59y^{60} + 60y^{61}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(1-y)S = y + y^2 + y^3 + \ldots + y^{60} - 60y^{61}$.
કારણ કે $y = 1+x$,તેથી $1-y = -x$.
$-xS = \frac{y(y^{60}-1)}{y-1} - 60y^{61} = \frac{(1+x)((1+x)^{60}-1)}{x} - 60(1+x)^{61}$.
$x=60$ માટે,$y=61$:
$-60S(60) = \frac{61(61^{60}-1)}{60} - 60(61)^{61}$.
$-60$ વડે ગુણતા:
$3600 S(60) = (60)^2 S(60) = 60(61)^{61} - 61(61^{60}-1) = 60(61)^{61} - 61^{61} + 61 = 59(61)^{61} + 61$.
$a(b)^b + b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=59$ અને $b=61$ મળે છે.
આમ,$a+b = 59+61 = 120$.

(B) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
આપેલ છે કે $a=7$,$b=8$,$c=\alpha$,અને $\cos A = \frac{2}{3}$:
$\frac{2}{3} = \frac{8^2+\alpha^2-7^2}{2 \times 8 \times \alpha} = \frac{64+\alpha^2-49}{16\alpha} = \frac{15+\alpha^2}{16\alpha}$.
$32\alpha = 45 + 3\alpha^2 \implies 3\alpha^2 - 32\alpha + 45 = 0$.
$(3\alpha - 5)(\alpha - 9) = 0$. કારણ કે $\alpha \in N$,તેથી $\alpha = 9$.
હવે,$\cos C$ શોધો: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{7^2+8^2-9^2}{2 \times 7 \times 8} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$.
આપણે $49 \cos(3C) + 42$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\cos(3C) = 4\cos^3 C - 3\cos C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$49(4(\frac{2}{7})^3 - 3(\frac{2}{7})) + 42 = 49(4 \times \frac{8}{343} - \frac{6}{7}) + 42 = 49(\frac{32}{343} - \frac{6}{7}) + 42 = \frac{32 - 294}{7} + 42 = \frac{-262 + 294}{7} = \frac{32}{7}$.
આમ,$\frac{m}{n} = \frac{32}{7}$,તેથી $m=32$ અને $n=7$. $\operatorname{gcd}(32, 7)=1$ હોવાથી,$m+n = 32+7 = 39$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 + \sqrt{2}x - 8 = 0$ ના બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha - 8 = 0 \implies \alpha^2 + \sqrt{2}\alpha = 8$
$\beta^2 + \sqrt{2}\beta - 8 = 0 \implies \beta^2 + \sqrt{2}\beta = 8$
આપણે પદાવલિનું મૂલ્ય શોધવાનું છે:
$E = \frac{U_{10} + \sqrt{2}U_9}{2U_8} = \frac{(\alpha^{10} + \beta^{10}) + \sqrt{2}(\alpha^9 + \beta^9)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
અંશને ગોઠવતા:
$E = \frac{\alpha^8(\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha) + \beta^8(\beta^2 + \sqrt{2}\beta)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
$\alpha^2 + \sqrt{2}\alpha = 8$ અને $\beta^2 + \sqrt{2}\beta = 8$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{\alpha^8(8) + \beta^8(8)}{2(\alpha^8 + \beta^8)}$
$E = \frac{8(\alpha^8 + \beta^8)}{2(\alpha^8 + \beta^8)} = \frac{8}{2} = 4$

(C) આપેલ સમીકરણ: $(8)^{2x} - 16 \cdot (8)^x + 48 = 0$
ધારો કે $8^x = t$. તેથી સમીકરણ:
$t^2 - 16t + 48 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(t - 4)(t - 12) = 0$
તેથી,$t = 4$ અથવા $t = 12$.
$8^x = t$ પાછું મૂકતા:
$8^x = 4 \implies x = \log_8(4)$
$8^x = 12 \implies x = \log_8(12)$
ઉકેલોનો સરવાળો:
$\log_8(4) + \log_8(12) = \log_8(4 \times 12) = \log_8(48)$
$48 = 8 \times 6$ હોવાથી:
$\log_8(8 \times 6) = \log_8(8) + \log_8(6) = 1 + \log_8(6)$

(B) ધારો કે કેન્દ્રો $C_1(\alpha, \beta)$ અને $C_2(8, \frac{15}{2})$ છે. સ્પર્શબિંદુ $P(6,6)$ એ $C_1C_2$ નું $r_1:r_2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = r_1 + r_2$ થાય.
આપેલ છે કે $P(6,6)$ એ $C_1C_2$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી $r_1:r_2 = 2:1$,એટલે કે $r_1 = 2r_2$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$6 = \frac{2(8) + 1(\alpha)}{2+1}$ $\Rightarrow 18 = 16 + \alpha$ $\Rightarrow \alpha = 2$.
$6 = \frac{2(\frac{15}{2}) + 1(\beta)}{2+1}$ $\Rightarrow 18 = 15 + \beta$ $\Rightarrow \beta = 3$.
હવે,$C_1C_2 = \sqrt{(8-2)^2 + (\frac{15}{2}-3)^2} = \sqrt{6^2 + (\frac{9}{2})^2} = \sqrt{36 + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}$.
$C_1C_2 = r_1 + r_2 = 3r_2 = \frac{15}{2} \Rightarrow r_2 = \frac{5}{2}$ અને $r_1 = 5$.
તેથી,$(\alpha+\beta) + 4(r_1^2 + r_2^2) = (2+3) + 4(25 + \frac{25}{4}) = 5 + 100 + 25 = 130$.

(D) ધારો કે બે ધન પૂર્ણાંકો $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x+y=24$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{N}$.
ગુણાકાર $P = xy$. $AM-GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$,તેથી $\sqrt{xy} \leq 12$,જેનો અર્થ છે કે $xy \leq 144$. મહત્તમ ધન ગુણાકાર $144$ છે (જ્યારે $x=12, y=12$).
આપણે એવી સંભાવના શોધવાની છે કે $xy \geq \frac{3}{4} \times 144$,એટલે કે $xy \geq 108$.
$y = 24-x$ હોવાથી,આપણને મળે $x(24-x) \geq 108$,અથવા $24x - x^2 \geq 108$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 24x + 108 \leq 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x^2 - 24x + 108 = 0$ ઉકેલતા: $x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2}$.
આમ,$x = 6$ અથવા $x = 18$. અસમતા $6 \leq x \leq 18$ માટે સાચી છે.
$x$ માટે શક્ય કિંમતો ${6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}$ છે.
આવી કુલ $13$ કિંમતો છે.
$x+y=24$ માટે $(x, y)$ ની કુલ જોડીઓની સંખ્યા $23$ છે (કારણ કે $x$ એ $1$ થી $23$ સુધી હોઈ શકે છે).
સંભાવના $\frac{13}{23} = \frac{m}{n}$ છે.
આમ,$m=13$ અને $n=23$. તેથી $n-m = 23-13 = 10$.

(A) આપેલ છે કે $\sin x = -\frac{3}{5}$ અને $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ (જે ત્રીજું ચરણ છે).
ત્રીજા ચરણમાં $\tan x$ ધન છે અને $\cos x$ ઋણ છે.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 x = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos x = -\frac{4}{5}$.
હવે,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\tan^2 x = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.
આ કિંમતોને $80(\tan^2 x - \cos x)$ માં મૂકતા:
$80(\frac{9}{16} - (-\frac{4}{5})) = 80(\frac{9}{16} + \frac{4}{5})$.
$= 80(\frac{45 + 64}{80}) = 45 + 64 = 109$.

(C) ધારો કે $B = (x_1, 14 - 4x_1)$ અને $C = (x_2, \frac{3x_2 - 5}{2})$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{2x_2 + x_1}{3} \implies 2x_2 + x_1 = 6$ (સમીકરણ $1$)
$-\frac{4}{3} = \frac{2\left(\frac{3x_2 - 5}{2}\right) + (14 - 4x_1)}{3} \implies 3x_2 - 4x_1 = -13$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણો ઉકેલતા $x_2 = 1$ અને $x_1 = 4$ મળે છે.
તેથી,$B = (4, -2)$ અને $C = (1, -1)$.
$BC$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{3}$ છે.
$BC$ નું સમીકરણ: $y + 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \implies x + 3y + 2 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $|z+2|=1$, તેથી આપણે $z+2 = \cos \theta + i \sin \theta$ લખી શકીએ.
તેથી $\frac{1}{z+2} = \cos \theta - i \sin \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{z+1}{z+2} = \frac{z+2-1}{z+2} = 1 - \frac{1}{z+2} = 1 - (\cos \theta - i \sin \theta) = (1 - \cos \theta) + i \sin \theta$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Im}\left(\frac{z+1}{z+2}\right) = \frac{1}{5}$, તેથી $\sin \theta = \frac{1}{5}$.
હવે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$, તેથી $\cos \theta = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.
હવે, $\overline{z+2} = \overline{\cos \theta + i \sin \theta} = \cos \theta - i \sin \theta$.
તેથી, $\operatorname{Re}(\overline{z+2}) = \cos \theta$.
તેથી, $|\operatorname{Re}(\overline{z+2})| = |\cos \theta| = \left| \pm \frac{2 \sqrt{6}}{5} \right| = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$.

(B) આપેલ છે $a + 5b = 42$ જ્યાં $a, b \in N$.
$a = 42 - 5b$.
$b = 1$ માટે,$a = 37$.
$b = 2$ માટે,$a = 32$.
$b = 3$ માટે,$a = 27$.
$b = 4$ માટે,$a = 22$.
$b = 5$ માટે,$a = 17$.
$b = 6$ માટે,$a = 12$.
$b = 7$ માટે,$a = 7$.
$b = 8$ માટે,$a = 2$.
આમ,ગણ $R$ માં $8$ ઘટકો છે,તેથી $m = 8$.
આપણે $\sum_{n=1}^8 (1 - i^{n!}) = x + iy$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$n \geq 4$ માટે,$n!$ એ $4$ નો ગુણક છે,તેથી $i^{n!} = (i^4)^k = 1^k = 1$.
તેથી,$\sum_{n=1}^8 (1 - i^{n!}) = (1 - i^{1!}) + (1 - i^{2!}) + (1 - i^{3!}) + 5(1 - 1)$.
$= (1 - i) + (1 - (-1)) + (1 - (-1)) + 0$.
$= 1 - i + 2 + 2 = 5 - i$.
$x + iy$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ અને $y = -1$ મળે છે.
તેથી,$m + x + y = 8 + 5 - 1 = 12$.

(B) અતિવલય $H: \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ માટે ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{3}$ છે.
$e^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow 3 = 1 + \frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b} = 4\sqrt{3}$ છે.
$a^2 = 2b^2$ મૂકતા,$\frac{4b^2}{b} = 4b = 4\sqrt{3} \Rightarrow b = \sqrt{3}$ અને $b^2 = 3$.
તેથી $a^2 = 6$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{3} - \frac{x^2}{6} = 1$ છે.
બિંદુ $(\alpha, 6)$ $H$ પર હોવાથી,$\frac{36}{3} - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow 12 - \frac{\alpha^2}{6} = 1$ $\Rightarrow \alpha^2 = 66$.
નાભિઓ $(0, \pm 3)$ છે.
નાભિ અંતરો $d_1, d_2 = |ey \pm b| = |\sqrt{3}(6) \pm \sqrt{3}| = 7\sqrt{3}$ અને $5\sqrt{3}$ છે.
$\beta = d_1 d_2 = 35 \cdot 3 = 105$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta = 66 + 105 = 171$.

(B) ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $O$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. આપેલ $H = (-6, -8)$ અને $O = (3, 4)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $G = (0, 0)$ મળે છે.
રેખાઓ $2x+3y-1=0$ અને $x+2y-1=0$ નું છેદબિંદુ $(-1, 1)$ છે.
ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $(0, 0)$ હોવાથી,શિરોબિંદુ $(-1, 1)$ માંથી સામેની બાજુ $ax+by-1=0$ પરનો વેધ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(-1, 1)$ અને $(0, 0)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
રેખા $ax+by-1=0$ નો ઢાળ $m_2 = -a/b$ છે.
વેધ અને બાજુ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1 \Rightarrow a = -b$ મળે.
બાજુનું સમીકરણ $ax-ay-1=0$ થાય.
શિરોબિંદુ $V = \left( \frac{a+3}{5a}, \frac{a-2}{5a} \right)$ મેળવીને અને વેધ $y=2x$ પર મૂકતા,$a = -8$ મળે છે.
તેથી $b = 8$ અને $|a-b| = 16$.

(D) આપેલ અંકો $S = \{2, 3, 4, 5, 7\}$ છે. પુનરાવર્તન વગર બનતી $3$-અંકની કુલ સંખ્યાઓ $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ છે.
જો અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવા $3$ અંકોના સમૂહો: $\{2, 3, 4\}, \{2, 3, 7\}, \{3, 4, 5\}, \{3, 5, 7\}$.
દરેક સમૂહ $3! = 6$ સંખ્યાઓ બનાવી શકે છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $= 4 \times 6 = 24$.
$3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી કુલ સંખ્યાઓ $= 60 - 24 = 36$.

(A) $n^{\text{મી}}$ હાર સુધીની કુલ સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
$n^{\text{મી}}$ હારની છેલ્લી સંખ્યા $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
આપણે એવી હાર $n$ શોધવી છે જેમાં $5310$ આવે. આ માટે $S_{n-1} < 5310 \le S_n$ થવું જોઈએ.
$\frac{(n-1)n}{2} < 5310 \le \frac{n(n+1)}{2}$
$(n-1)n < 10620 \le n(n+1)$
$n^2 \approx 10620$ માટે,$n \approx \sqrt{10620} \approx 103.05$.
$n = 103$ માટે તપાસતા:
$S_{103} = \frac{103 \times 104}{2} = 5356$.
$S_{102} = \frac{102 \times 103}{2} = 5253$.
$5253 < 5310 \le 5356$ હોવાથી,$5310$ એ $103^{\text{મી}}$ હારમાં આવશે.

(B) ધારો કે $x = \cos^2 \theta$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.
તેથી $\sin^4 \theta = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2$.
$f(\theta) = \frac{(1 - 2x + x^2) + 3x}{(1 - 2x + x^2) + x} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
ધારો કે $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
$y(x^2 - x + 1) = x^2 + x + 1 \implies x^2(y - 1) - x(y + 1) + (y - 1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = (y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \ge 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \ge 0$.
$(3 - y)(3y - 1) \ge 0 \implies (y - 3)(3y - 1) \le 0$.
તેથી,$y \in [1/3, 3]$.
આમ,$\alpha = 1/3$ અને $\beta = 3$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1/3}{3} = 1/9$.
અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{64}{1 - 1/9} = \frac{64}{8/9} = 64 \times \frac{9}{8} = 72$.

(C) આપણી પાસે $\alpha = \sum_{r=0}^{n} (4r^2+2r+1) {}^{n}C_{r}$ છે.
નિત્યસમ $r {}^{n}C_{r} = n {}^{n-1}C_{r-1}$ અને $r(r-1) {}^{n}C_{r} = n(n-1) {}^{n-2}C_{r-2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $4r^2+2r+1 = 4r(r-1) + 6r + 1$ લખીએ છીએ.
તેથી $\alpha = 4n(n-1) 2^{n-2} + 6n 2^{n-1} + 2^n = 2^n (n+1)^2$.
હવે,$\beta = \sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1} + \frac{1}{n+1} = \frac{2^{n+1}}{n+1}$ મળે છે.
તેથી $\frac{2\alpha}{\beta} = (n+1)^3$.
આપેલ છે કે $140 < (n+1)^3 < 281$.
$n=5$ માટે,$(5+1)^3 = 216$ જે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$n=5$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} 2\left(\frac{1-\prod_{k=1}^{10} (\cos kx)^{1/k}}{x^2}\right)$.
$\cos kx \approx 1 - \frac{(kx)^2}{2}$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos kx)^{1/k} \approx (1 - \frac{k^2x^2}{2})^{1/k} \approx 1 - \frac{1}{k} \cdot \frac{k^2x^2}{2} = 1 - \frac{kx^2}{2}$.
આમ,ગુણાકાર $\prod_{k=1}^{10} (\cos kx)^{1/k} \approx \prod_{k=1}^{10} (1 - \frac{kx^2}{2}) \approx 1 - \sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2}$.
લિમિટમાં આ કિંમત મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} 2\left(\frac{1 - (1 - \sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2})}{x^2}\right)$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} 2\left(\frac{\sum_{k=1}^{10} \frac{kx^2}{2}}{x^2}\right) = \sum_{k=1}^{10} k$.
$L = 1 + 2 + 3 + \ldots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(-4, 5)$ નું રેખા $x + 2y - 2 = 0$ માં પ્રતિબિંબ $P'(x', y')$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x' + 4}{1} = \frac{y' - 5}{2} = -2 \left( \frac{-4 + 2(5) - 2}{1^2 + 2^2} \right)$
$\frac{x' + 4}{1} = \frac{y' - 5}{2} = -\frac{8}{5}$
તેથી,$x' = -\frac{28}{5}$ અને $y' = \frac{9}{5}$.
$P'$ એ વર્તુળ $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ પર હોવાથી,$x' = -\frac{28}{5}$ અને $y' = \frac{9}{5}$ મૂકતા:
$(-\frac{28}{5} + 4)^2 + (\frac{9}{5} - 3)^2 = r^2$
$\frac{64}{25} + \frac{36}{25} = r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2$.

(C) ધારો કે ભૂમિતિ શ્રેણીના પદો $a, ar, ar^2, \dots$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$.
આપેલ છે કે $T_2 + T_6 = \frac{70}{3}$,તેથી $ar + ar^5 = \frac{70}{3} \implies ar(1 + r^4) = \frac{70}{3}$.
આપેલ છે કે $T_3 \cdot T_5 = 49$,તેથી $(ar^2)(ar^4) = 49 \implies a^2r^6 = 49 \implies ar^3 = 7$ (કારણ કે પદો ધન છે).
આમ,$a = \frac{7}{r^3}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{7}{r^3} \cdot r(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{7}{r^2}(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{1 + r^4}{r^2} = \frac{10}{3}$.
ધારો કે $r^2 = t$. તો $\frac{1 + t^2}{t} = \frac{10}{3} \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(3t - 1)(t - 3) = 0$,તેથી $t = 3$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
શ્રેણી વધતી જતી હોવાથી,$r > 1$,તેથી $r^2 = 3$.
આપણે $T_4 + T_6 + T_8 = ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ શોધવાનું છે.
$ar^3 = 7$ અને $r^2 = 3$ મૂકતા: $7(1 + 3 + 3^2) = 7(1 + 3 + 9) = 7(13) = 91$.

(D) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
અહીં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$.
આપણે $5$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(1)$ બધા $5$ અક્ષરો ભિન્ન હોય:
$8$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $5$ અક્ષરો પસંદ કરતા: $^8C_5 = 56$.
$(2)$ $2$ અક્ષરો સમાન (એક જોડી) અને $3$ ભિન્ન હોય:
$3$ જોડીઓ છે $(M, M)$,$(A, A)$,$(T, T)$. $1$ જોડી પસંદ કરવાની રીત $^3C_1$ છે.
બાકીના $7$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીત $^7C_3$ છે.
કુલ રીતો = $^3C_1 \times ^7C_3 = 3 \times 35 = 105$.
$(3)$ $2$ જોડી સમાન અક્ષરોની અને $1$ ભિન્ન અક્ષર હોય:
$3$ ઉપલબ્ધ જોડીઓમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરવાની રીત $^3C_2$ છે.
બાકીના $6$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $1$ અક્ષર પસંદ કરવાની રીત $^6C_1$ છે.
કુલ રીતો = $^3C_2 \times ^6C_1 = 3 \times 6 = 18$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $56 + 105 + 18 = 179$.

(B) ધારો કે $Z = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
$Z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય તે માટે, $Z$ નો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ, અથવા $Z + \overline{Z} = 0$.
$\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta} + \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta} = 0$
$(1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta) + (1-i \cos \theta)(1-2 i \cos \theta) = 0$
$(1 + 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) + (1 - 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta) = 0$
$2 - 4 \cos^2 \theta = 0$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta \in [-\pi, 2 \pi]$ માટે, $\theta$ ના મૂલ્યો $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $(-\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) = \frac{12\pi}{4} = 3\pi$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3(\frac{\sqrt{5}+1}{4}) + 5(\frac{\sqrt{5}-1}{4})}{5(\frac{\sqrt{5}+1}{4}) - 3(\frac{\sqrt{5}-1}{4})} = \frac{3\sqrt{5}+3+5\sqrt{5}-5}{5\sqrt{5}+5-3\sqrt{5}+3} = \frac{8\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}+8} = \frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+4} \times \frac{4-\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}-20-4+\sqrt{5}}{16-5} = \frac{17\sqrt{5}-24}{11}$.
આને $\frac{a\sqrt{5}-b}{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=17, b=24, c=11$ મળે છે.
અહીં $\gcd(17, 11)=1$ હોવાથી,આ કિંમતો યોગ્ય છે.
તેથી,$a+b+c = 17+24+11 = 52$.

(D) ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે,$A = (5, 2)$ અને $B = (2, a)$ છે.
$OA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2-0}{5-0} = \frac{2}{5}$ છે.
$OB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{a-0}{2-0} = \frac{a}{2}$ છે.
$OA$ અને $OB$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{\frac{2}{5} - \frac{a}{2}}{1 + (\frac{2}{5})(\frac{a}{2})} \right|$
$1 = \left| \frac{\frac{4-5a}{10}}{1 + \frac{a}{5}} \right| = \left| \frac{4-5a}{10+2a} \right|$
આથી $4-5a = \pm(10+2a)$ મળે.
કિસ્સો $1$: $4-5a = 10+2a$ $\Rightarrow -7a = 6$ $\Rightarrow a = -\frac{6}{7}$.
કિસ્સો $2$: $4-5a = -(10+2a)$ $\Rightarrow 4-5a = -10-2a$ $\Rightarrow 3a = 14$ $\Rightarrow a = \frac{14}{3}$.
$a$ ની શક્ય કિંમતોનો ગુણાકાર $(-\frac{6}{7}) \times (\frac{14}{3}) = -4$ થાય.
તેથી તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|-4| = 4$ છે.

(A) $(\sqrt{a}x^2 + \frac{1}{2x^3})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{a}x^2)^{10-r} (\frac{1}{2x^3})^r$
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{a})^{10-r} (\frac{1}{2})^r x^{20-5r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$20 - 5r = 0 \implies r = 4$
$r = 4$ મૂકતા:
${}^{10}C_4 (\sqrt{a})^6 (\frac{1}{2})^4 = 105$
$210 \cdot a^3 \cdot \frac{1}{16} = 105$
$a^3 = 8 \implies a = 2$
તેથી,$a^2 = 4$.

(B) પ્રથમ,$\alpha$ ની કિંમત શોધો:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{\sqrt{\tan x}} - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{\tan x} - \sqrt{x}}$.
ધારો કે $u = \sqrt{\tan x} - \sqrt{x}$. જેમ $x \rightarrow 0^{+}$,તેમ $u \rightarrow 0$.
$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{e^{u+\sqrt{x}} - e^{\sqrt{x}}}{u} = e^{\sqrt{x}} \lim_{u \rightarrow 0} \frac{e^u - 1}{u} = e^{\sqrt{x}} \cdot 1$.
$x=0$ લેતા,$\alpha = e^0 = 1$.
હવે,$\beta$ ની કિંમત શોધો:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} (1 + \sin x)^{\frac{1}{2} \cot x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cot x \cdot \sin x} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cos x} = e^{1/2} = \sqrt{e}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx - \sqrt{e} = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 1 + \sqrt{e} = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 1 \cdot \sqrt{e} = -\sqrt{e}/a$.
ગુણાકાર પરથી,$\sqrt{e} = -\sqrt{e}/a \implies a = -1$.
સરવાળા પરથી,$1 + \sqrt{e} = -b/(-1) = b$.
આમ,$a = -1$ અને $b = 1 + \sqrt{e}$.
તેથી $a + b = -1 + 1 + \sqrt{e} = \sqrt{e}$.
અંતે,$12 \log_e(a + b) = 12 \log_e(\sqrt{e}) = 12 \times \frac{1}{2} = 6$.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1$ માટે,$a^2=3$ અને $b^2=5$ છે. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$.
નાભિ $S$ એ $(ae, 0) = (\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{8}{3}}, 0) = (\sqrt{8}, 0)$ છે.
વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $A(\sqrt{6}, \sqrt{5})$ છે અને તે $S(\sqrt{8}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ અંતર $AS = \sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{6})^2 + (0-\sqrt{5})^2} = \sqrt{8+6-2\sqrt{48}+5} = \sqrt{19-8\sqrt{3}}$ છે.
કારણ કે $SAB$ એ વ્યાસ છે,$B$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $A$ એ $SB$ નું મધ્યબિંદુ થાય. તેથી,$B = 2A - S = (2\sqrt{6}-\sqrt{8}, 2\sqrt{5})$.
ત્રિકોણ $OSB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$S(\sqrt{8}, 0)$,અને $B(2\sqrt{6}-\sqrt{8}, 2\sqrt{5})$ છે.
$\triangle OSB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OS \times y_B = \frac{1}{2} \times \sqrt{8} \times 2\sqrt{5} = \sqrt{40}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(\sqrt{40})^2 = 40$ થાય.

(A) હારના પ્રથમ પદો $2, 5, 11, 20, \ldots$ છે.
ધારો કે $a_n$ એ $n^{\text{th}}$ હારનું પ્રથમ પદ છે. તફાવત $3, 6, 9, \ldots$ છે જે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
આમ,$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k = 2 + 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$.
$10^{\text{th}}$ હાર માટે,$n=10$,તેથી પ્રથમ પદ $a_{10} = \frac{3(100) - 3(10) + 4}{2} = \frac{274}{2} = 137$.
$10^{\text{th}}$ હારમાં $10$ પદો છે,અને આખી શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $3$ હોવાથી,$10^{\text{th}}$ હારના પદો $10$ પદો,પ્રથમ પદ $a = 137$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ સાથે સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
$10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2} [2a + (10-1)d] = 5 [2(137) + 9(3)] = 5 [274 + 27] = 5 [301] = 1505$.

(B) ધારો કે $f(x) = |x+1||x+3|-4|x+2|+5 = 0$. ધારો કે $t = x+2$. તેથી $x+1 = t-1$ અને $x+3 = t+1$.
સમીકરણ $|t-1||t+1|-4|t|+5 = 0$ બને છે,જે $|t^2-1|-4|t|+5 = 0$ માં પરિણમે છે.
કિસ્સો $1$: $|t| \geq 1$ $(t^2 \geq 1)$
$t^2-1-4|t|+5 = 0 \implies |t|^2-4|t|+4 = 0 \implies (|t|-2)^2 = 0 \implies |t|=2$.
તેથી $t=2$ અથવા $t=-2$. $x=t-2$ હોવાથી,$x=0$ અથવા $x=-4$.
કિસ્સો $2$: $|t| < 1$ $(t^2 < 1)$
$1-t^2-4|t|+5 = 0 \implies t^2+4|t|-6 = 0$.
ધારો કે $u = |t|$,તો $u^2+4u-6=0$. $u = \frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$.
$u = |t| \geq 0$ હોવાથી,$u = \sqrt{10}-2 \approx 1.16$.
પરંતુ આપણે $u < 1$ ધાર્યું હતું,તેથી આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો $x=0$ અને $x=-4$ છે. આમ,ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) રેખા $2x+y-6=0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B(7,2)$ નું પ્રતિબિંબ $B'(x', y')$ મેળવવા માટે,
પ્રતિબિંબના સૂત્ર $\frac{x'-7}{2} = \frac{y'-2}{1} = -2 \left( \frac{2(7)+1(2)-6}{2^2+1^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\frac{x'-7}{2} = \frac{y'-2}{1} = -2 \left( \frac{14+2-6}{5} \right) = -2 \left( \frac{10}{5} \right) = -4$.
આમ,$x'-7 = -8 \implies x' = -1$ અને $y'-2 = -4 \implies y' = -2$.
તેથી,$B' = (-1, -2)$.
આપાત કિરણ બિંદુ $A(3, 10)$ અને $B'(-1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આપાત કિરણનો ઢાળ $m = \frac{10 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{12}{4} = 3$ છે.
આપાત કિરણનું સમીકરણ $y - 10 = 3(x - 3) \implies y - 10 = 3x - 9 \implies 3x - y + 1 = 0$ મળે છે.
$ax + by + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3$ અને $b = -1$ મળે છે.
તેથી,$a^2 + b^2 + 3ab = (3)^2 + (-1)^2 + 3(3)(-1) = 9 + 1 - 9 = 1$.

(D) આપેલ અવલોકનો $9, 25, a, b, c$ છે જ્યાં $a < b < c$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{9 + 25 + a + b + c}{5} = 18 \implies a + b + c = 56$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{5} = 4 \implies |9-18| + |25-18| + |a-18| + |b-18| + |c-18| = 20$.
$9 + 7 + |a-18| + |b-18| + |c-18| = 20 \implies |a-18| + |b-18| + |c-18| = 4$.
વિચરણ $= \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{5} = \frac{136}{5} \implies (9-18)^2 + (25-18)^2 + (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 136$.
$81 + 49 + (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 136 \implies (a-18)^2 + (b-18)^2 + (c-18)^2 = 6$.
ધારો કે $x = a-18, y = b-18, z = c-18$. તેથી $|x| + |y| + |z| = 4$ અને $x^2 + y^2 + z^2 = 6$.
$a < b < c$ હોવાથી $x < y < z$.
$x^2 + y^2 + z^2 = 6$ માટે પૂર્ણાંક ઉકેલો $\{-1, 1, 2\}$ મળે છે.
$a-18 = -1 \implies a = 17$.
$b-18 = 1 \implies b = 19$.
$c-18 = 2 \implies c = 20$.
$2a + b - c = 2(17) + 19 - 20 = 33$.

(D) $P(1, 2)$ નું $x$-અક્ષની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ $P'(1, -2)$ છે.
$P'(1, -2)$ અને $R(4, 3)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 3 = \frac{3 - (-2)}{4 - 1}(x - 4)$
$y - 3 = \frac{5}{3}(x - 4)$
આ રેખા $x$-અક્ષને $Q$ પર મળે છે,જ્યાં $y = 0$:
$0 - 3 = \frac{5}{3}(x - 4)$
$-9 = 5x - 20$
$5x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{5}$
તેથી,$Q = \left(\frac{11}{5}, 0\right)$.
$PQRS$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેના વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ એકબીજાને દુભાગે છે.
વિકર્ણ $PR$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)$ છે.
વિકર્ણ $QS$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{\frac{11}{5} + h}{2}, \frac{0 + k}{2}\right)$ છે.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા:
$\frac{11/5 + h}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow h = 5 - \frac{11}{5} = \frac{14}{5}$
$\frac{k}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow k = 5$
તેથી,$hk^2 = \frac{14}{5} \times 5^2 = 14 \times 5 = 70$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ માં $x^{70}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
આ દરેક $k$ માટે $(1+x)^{100-k}$ માં $x^{70-k}$ નો સહગુણક શોધવા સમાન છે,જે ${}^{100-k}C_{70-k}$ છે.
સરવાળો કરતા,$S = {}^{98}C_{68} + {}^{97}C_{67} + \ldots + {}^{46}C_{16}$ મળે.
હોકી-સ્ટિક આઈડેન્ટિટી $\sum_{i=r}^n {}^iC_r = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,સરવાળો $\sum_{j=46}^{98} {}^jC_{30}$ થાય.
આથી,${}^{99}C_{31} - {}^{46}C_{31}$ મળે.
સરખાવતા $p=31, q=31$ અથવા $p=68, q=15$ મળે.
આમ,$p+q = 83$ શક્ય છે.

(A) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(3, 5)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{3}{a} + \frac{5}{b} = 1$ મળે.
આથી $\frac{5}{b} = 1 - \frac{3}{a} = \frac{a-3}{a}$,તેથી $b = \frac{5a}{a-3}$ જ્યાં $a > 3$.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} a \left( \frac{5a}{a-3} \right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{a^2}{a-3}$ છે.
આને $A = \frac{5}{2} \left( \frac{a^2 - 9 + 9}{a-3} \right) = \frac{5}{2} \left( a + 3 + \frac{9}{a-3} \right)$ તરીકે લખી શકાય.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરવા માટે,$A = \frac{5}{2} \left( (a-3) + \frac{9}{a-3} + 6 \right)$ લખીએ.
$AM$-$GM$ મુજબ,$(a-3) + \frac{9}{a-3} \geq 2 \sqrt{(a-3) \cdot \frac{9}{a-3}} = 2 \cdot 3 = 6$.
તેથી,$A \geq \frac{5}{2} (6 + 6) = \frac{5}{2} (12) = 30$.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $30$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે: $\cos \theta \cos (60^{\circ} - \theta) \cos (60^{\circ} + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$.
આપેલ અસમતા નીચે મુજબ થાય છે: $|\frac{1}{4} \cos 3\theta| \leq \frac{1}{8}$.
આનો અર્થ છે: $|\cos 3\theta| \leq \frac{1}{2}$, અથવા $-\frac{1}{2} \leq \cos 3\theta \leq \frac{1}{2}$.
આ શ્રેણીમાં $\cos 3\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.
$3\theta \in [0, 6\pi]$ માટે $\cos 3\theta = \frac{1}{2}$ ઉકેલતા:
$3\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$n=0$ માટે: $3\theta = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{9}$.
$n=1$ માટે: $3\theta = 2\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
$n=2$ માટે: $3\theta = 4\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{11\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}$.
$n=3$ માટે: $3\theta = 6\pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{17\pi}{9}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $\frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} + \frac{13\pi}{9} + \frac{17\pi}{9} = \frac{54\pi}{9} = 6\pi$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{k=0}^{9} \frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = 5$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{1}{(1+kd)(1+(k+1)d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{1+kd} - \frac{1}{1+(k+1)d} \right)$.
$k=0$ થી $9$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1+d} \right) + \left( \frac{1}{1+d} - \frac{1}{1+2d} \right) + \dots + \left( \frac{1}{1+9d} - \frac{1}{1+10d} \right) \right] = 5$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી તે આ રીતે સરળ બને છે:
$\frac{1}{d} \left( 1 - \frac{1}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{1+10d-1}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{10d}{1+10d} \right) = 5$.
$\frac{10}{1+10d} = 5$.
$10 = 5(1+10d) \implies 10 = 5 + 50d$.
$50d = 5$.

(A) આપેલ રેખાઓ $3x + 5y = 1$ અને $(2+c)x + 5c^2y = 1$ છે.
પ્રથમ રેખા પરથી,$y = \frac{1-3x}{5}$. આ કિંમત બીજી રેખામાં મૂકતા:
$(2+c)x + 5c^2(\frac{1-3x}{5}) = 1$
$(2+c)x + c^2(1-3x) = 1$
$x(2+c-3c^2) = 1-c^2$
$x_c = \frac{1-c^2}{2+c-3c^2} = \frac{(1-c)(1+c)}{(1-c)(2+3c)} = \frac{1+c}{2+3c}$.
$h = \lim_{c \to 1} x_c = \frac{1+1}{2+3(1)} = \frac{2}{5}$.
હવે,$y_c = \frac{1-3x_c}{5} = \frac{1 - 3(\frac{1+c}{2+3c})}{5} = \frac{2+3c-3-3c}{5(2+3c)} = \frac{-1}{5(2+3c)}$.
$k = \lim_{c \to 1} y_c = \frac{-1}{5(2+3)} = -\frac{1}{25}$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{2}{5}, -\frac{1}{25})$ છે.
વર્તુળ $(2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2 - \frac{2}{5})^2 + (0 - (-\frac{1}{25}))^2 = (\frac{8}{5})^2 + (\frac{1}{25})^2 = \frac{64}{25} + \frac{1}{625} = \frac{1601}{625}$.
સમીકરણ $(x - \frac{2}{5})^2 + (y + \frac{1}{25})^2 = \frac{1601}{625}$ છે.
$x^2 - \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} + y^2 + \frac{2}{25}y + \frac{1}{625} = \frac{1601}{625}$.
$625$ વડે ગુણતા: $625x^2 - 500x + 100 + 625y^2 + 50y + 1 = 1601$.
$625x^2 + 625y^2 - 500x + 50y - 1500 = 0$.
$25$ વડે ભાગતા: $25x^2 + 25y^2 - 20x + 2y - 60 = 0$.

(B) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N = 40$ છે,તેથી $5 + 8 + 5 + 12 + X + Y = 40 \Rightarrow X + Y = 10 \dots (1)$.
સંચયી આવૃત્તિઓ: $5, 13, 18, 30, 30+X, 30+X+Y$.
$N=40$ હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $20$ માં અને $21$ માં અવલોકનોની સરેરાશ છે. સંચયી આવૃત્તિ જોતા,$20$ મું અને $21$ મું અવલોકન $18$ ની ઉંમરમાં આવે છે. તેથી,$\text{મધ્યસ્થ} (M) = 18$.
મધ્યસ્થ વિશે સરેરાશ વિચલન $\text{M.D.} = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\text{M.D.} = 1.25$,તેથી $1.25 = \frac{5|15-18| + 8|16-18| + 5|17-18| + 12|18-18| + X|19-18| + Y|20-18|}{40}$.
$1.25 = \frac{5(3) + 8(2) + 5(1) + 12(0) + X(1) + Y(2)}{40}$.
$50 = 15 + 16 + 5 + 0 + X + 2Y$.
$50 = 36 + X + 2Y \Rightarrow X + 2Y = 14 \dots (2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(X + 2Y) - (X + Y) = 14 - 10 \Rightarrow Y = 4$.
$(1)$ માં $Y=4$ મૂકતા,$X + 4 = 10 \Rightarrow X = 6$.
તેથી,$4X + 5Y = 4(6) + 5(4) = 24 + 20 = 44$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2+2 \sqrt{2} x-1=0$
બીજનો સરવાળો: $\alpha+\beta = -2 \sqrt{2}$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = -1$
$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha \beta = (-2 \sqrt{2})^2 - 2(-1) = 8+2 = 10$
$\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha \beta)^2 = (10)^2 - 2(-1)^2 = 100-2 = 98$
$\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2+\beta^2)(\alpha^4 - \alpha^2 \beta^2 + \beta^4) = (10)(98 - (-1)^2) = 10(97) = 970$
નવા સમીકરણના બીજ $98$ અને $\frac{1}{10}(970) = 97$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો: $98+97 = 195$
નવા બીજનો ગુણાકાર: $98 \times 97 = 9506$
માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 195x + 9506 = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=x^2+9$ અને $g(x)=\frac{x}{x-9}$.
પ્રથમ,$a$ ની ગણતરી કરો:
$g(10) = \frac{10}{10-9} = 10$
$a = f(10) = 10^2+9 = 109$.
ત્યારબાદ,$b$ ની ગણતરી કરો:
$f(3) = 3^2+9 = 18$
$b = g(18) = \frac{18}{18-9} = \frac{18}{9} = 2$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{109}+\frac{y^2}{2}=1$ છે. અહીં $A^2=109$ અને $B^2=2$ છે.
$A^2 > B^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 - \frac{B^2}{A^2} = 1 - \frac{2}{109} = \frac{107}{109}$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $l = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{\sqrt{109}} = \frac{4}{\sqrt{109}}$ છે.
તેથી,$l^2 = \frac{16}{109}$.
અંતે,$8e^2+l^2$ ની કિંમત:
$8e^2+l^2 = 8\left(\frac{107}{109}\right) + \frac{16}{109} = \frac{856+16}{109} = \frac{872}{109} = 8$.

(B) આપેલ છે $|z-1| \leq 1$,જ્યાં $z=x+iy$.
$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$. આ $(1,0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
વળી,$|z-5| \leq |z-5i|$.
$(x-5)^2 + y^2 \leq x^2 + (y-5)^2$.
$x^2 - 10x + 25 + y^2 \leq x^2 + y^2 - 10y + 25$.
$-10x \leq -10y \Rightarrow x \geq y$.
આપણે $z=x+iy$ શોધવાના છે જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}$ અને $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ તથા $x \geq y$ નું પાલન થાય.
$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ નું પાલન કરતા શક્ય પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x,y)$:
જો $x=0$,$(0-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow 1 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 0$ $\Rightarrow y=0$. બિંદુ: $(0,0)$. $x \geq y$ ચકાસો: $0 \geq 0$ (સાચું).
જો $x=1$,$(1-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y \in \{-1, 0, 1\}$. બિંદુઓ: $(1,-1), (1,0), (1,1)$. $x \geq y$ ચકાસો: $1 \geq -1$ (સાચું),$1 \geq 0$ (સાચું),$1 \geq 1$ (સાચું).
જો $x=2$,$(2-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow 1 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 0$ $\Rightarrow y=0$. બિંદુ: $(2,0)$. $x \geq y$ ચકાસો: $2 \geq 0$ (સાચું).
ઘટકોનો ગણ $z \in \{0, 1-i, 1, 1+i, 2\}$ છે.
માનાંકના વર્ગનો સરવાળો:
$|0|^2 + |1-i|^2 + |1|^2 + |1+i|^2 + |2|^2 = 0 + (1^2+(-1)^2) + 1^2 + (1^2+1^2) + 2^2 = 0 + 2 + 1 + 2 + 4 = 9$.

(A) જ્યારે $428^{2024}$ ને $21$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ શોધવી છે.
પ્રથમ,$428$ ને $21$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$428 = 21 \times 20 + 8$.
તેથી,$428^{2024} = (21 \times 20 + 8)^{2024}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(21 \times 20 + 8)^{2024} = 21k + 8^{2024}$ જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
હવે,$8^{2024}$ ને $21$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધીએ:
$8^{2024} = (8^2)^{1012} = 64^{1012}$.
કારણ કે $64 = 21 \times 3 + 1$,તેથી $64 \equiv 1 \pmod{21}$.
તેથી,$64^{1012} \equiv 1^{1012} \pmod{21}$.
$64^{1012} \equiv 1 \pmod{21}$.
આમ,શેષ $1$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે. તે $(0,0)$ અને $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ $(h,k)$ થી $(0,0)$ નું અંતર છે,એટલે કે $r^2 = h^2+k^2$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = h^2+k^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-2hx-2ky=0$ થાય છે.
વર્તુળ $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1, y=0$ મૂકતા: $1^2+0^2-2h(1)-2k(0)=0$,જે આપણને $1-2h=0$ આપે છે,તેથી $h=1/2$.
વર્તુળ $x^2+y^2=9$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $3$ વાળું વર્તુળ) ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર એ ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોય છે (કારણ કે નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળની અંદર છે): $\sqrt{h^2+k^2} = 3 - r = 3 - \sqrt{h^2+k^2}$.
આમ,$2\sqrt{h^2+k^2} = 3$,તેથી $\sqrt{h^2+k^2} = 3/2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^2+k^2 = 9/4$.
તેથી,$4(h^2+k^2) = 4(9/4) = 9$.

(A) ધારો કે $L = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{e-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}$.
નિત્યસમ $a^b = e^{b \ln a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1+2x)^{\frac{1}{2x}} = e^{\frac{\ln(1+2x)}{2x}}$.
$L = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{e - e^{\frac{\ln(1+2x)}{2x}}}{x} = e \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - e^{\frac{\ln(1+2x)}{2x} - 1}}{x}$.
વિસ્તરણ $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,$t=2x$ માટે,$\ln(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \dots = 2x - 2x^2 + \dots$.
તેથી $\frac{\ln(1+2x)}{2x} = 1 - x + \dots$.
આમ,$L = e \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - e^{-x}}{x} = e \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 - x)}{x} = e \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0} \frac{x}{x} = e$.

(A) ધારો કે $w = \frac{z-2i}{z+2i}$. આપેલ છે કે $\text{Re}(w) = 0$,તેથી $w + \bar{w} = 0$.
$\frac{z-2i}{z+2i} + \frac{\bar{z}+2i}{\bar{z}-2i} = 0$
$(z-2i)(\bar{z}-2i) + (\bar{z}+2i)(z+2i) = 0$
$z\bar{z} - 2iz - 2i\bar{z} - 4 + z\bar{z} + 2iz + 2i\bar{z} - 4 = 0$
$2|z|^2 - 8 = 0$ $\Rightarrow |z|^2 = 4$ $\Rightarrow |z| = 2$.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપણે $|z - (6+8i)|$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી છે,જે વર્તુળ પરના બિંદુ $z$ થી બિંદુ $P = 6+8i$ સુધીનું અંતર છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી $P(6,8)$ સુધીનું અંતર $OP = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુથી $P$ સુધીનું મહત્તમ અંતર $OP + r = 10 + 2 = 12$ થાય.

(B) ઉપવલય $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ માટે,$a^2=100$ અને $b^2=75$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{75}{100}} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ છે.
ઉપવલયના નાભિઓ $(h \pm ae_1, k) = (1 \pm 10 \times \frac{1}{2}, 1) = (1 \pm 5, 1)$ છે,જે $F_1(6, 1)$ અને $F_2(-4, 1)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_1 = 10$ છે.
અતિવલય $H$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_2 = \frac{1}{e_1} = 2$ છે.
અતિવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae_2 = 10$ છે,તેથી $2a(2) = 10$,જે $a = \frac{5}{2}$ આપે છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\alpha = 2a = 5$ છે.
અતિવલય માટે,$b^2 = a^2(e_2^2-1) = a^2(2^2-1) = 3a^2$ છે.
તેથી,$b = a\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $\beta = 2b = 5\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$3\alpha^2 + 2\beta^2 = 3(5)^2 + 2(5\sqrt{3})^2 = 3(25) + 2(75) = 75 + 150 = 225$.

(D) ધારો કે $f_n(x)$ એ $f(x)$ નું $n$-મું સંયોજન દર્શાવે છે.
$f_1(x) = \frac{2x}{\sqrt{1+9x^2}}$
$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{2 \cdot \frac{2x}{\sqrt{1+9x^2}}}{\sqrt{1+9 \cdot \frac{4x^2}{1+9x^2}}} = \frac{4x}{\sqrt{1+9x^2+36x^2}} = \frac{2^2x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2)}}$
$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{2 \cdot \frac{2^2x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2)}}}{\sqrt{1+9 \cdot \frac{2^4x^2}{1+9x^2(1+2^2)}}} = \frac{2^3x}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2+2^4)}}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$f_n(x) = \frac{2^nx}{\sqrt{1+9x^2(1+2^2+2^4+\ldots+2^{2n-2})}}$.
$n=10$ માટે,છેદમાં $9\alpha x^2$ છે,જ્યાં $\alpha = 1+2^2+2^4+\ldots+2^{18}$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a=1$,$r=4$,અને $n=10$ પદો છે.
$\alpha = \frac{1(4^{10}-1)}{4-1} = \frac{2^{20}-1}{3}$.
આમ,$3\alpha + 1 = 3(\frac{2^{20}-1}{3}) + 1 = 2^{20} - 1 + 1 = 2^{20}$.
તેથી,$\sqrt{3\alpha+1} = \sqrt{2^{20}} = 2^{10} = 1024$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$,તેથી $a + b = 3$ અને $b + d = 7$.
આમ,$a = 3 - b$ અને $d = 7 - b$.
નિશ્ચાયક $|A| = ad - b^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$(3 - b)(7 - b) - b^2 = 1$.
$21 - 3b - 7b + b^2 - b^2 = 1 \implies 21 - 10b = 1 \implies 10b = 20 \implies b = 2$.
તેથી $a = 3 - 2 = 1$ અને $d = 7 - 2 = 5$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^{-1} = \alpha A + \beta I$,તેથી $\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\alpha \\ 2\alpha & 5\alpha + \beta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$2\alpha = -2 \implies \alpha = -1$.
$\alpha = -1$ ને $\alpha + \beta = 5$ માં મૂકતા,$-1 + \beta = 5 \implies \beta = 6$.
તેથી,$\alpha + \beta = -1 + 6 = 5$.

(C) $P(W) = \frac{1}{3}, P(L) = \frac{2}{3}$. ધારો કે $x$ એ જીતેલી મેચોની સંખ્યા છે અને $y$ એ હારેલી મેચોની સંખ્યા છે. આપેલ છે કે $x+y=10$ અને $|x-y| \leq 2$.
કિસ્સો $I$: $|x-y|=0 \Rightarrow x=y$. $x+y=10$ હોવાથી,$x=5, y=5$ મળે. સંભાવના $P(x=5) = {}^{10}C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^5 = {}^{10}C_5 \frac{2^5}{3^{10}}$ છે.
કિસ્સો $II$: $|x-y|=1$. $x+y=10$ હોવાથી,$x-y = \pm 1$ નો અર્થ છે કે $2x = 11$ અથવા $2x = 9$,જેનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી. તેથી,$P(|x-y|=1) = 0$.
કિસ્સો $III$: $|x-y|=2$. આનો અર્થ છે કે $x-y=2$ અથવા $x-y=-2$.
જો $x-y=2$ અને $x+y=10$,તો $x=6, y=4$.
જો $x-y=-2$ અને $x+y=10$,તો $x=4, y=6$.
$P(|x-y|=2) = P(x=6) + P(x=4) = {}^{10}C_6 (\frac{1}{3})^6 (\frac{2}{3})^4 + {}^{10}C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^6 = {}^{10}C_6 \frac{2^4}{3^{10}} + {}^{10}C_4 \frac{2^6}{3^{10}}$.
કુલ સંભાવના $p = P(|x-y|=0) + P(|x-y|=2) = \frac{{}^{10}C_5 2^5 + {}^{10}C_6 2^4 + {}^{10}C_4 2^6}{3^{10}}$.
$3^9 p = \frac{{}^{10}C_5 2^5 + {}^{10}C_6 2^4 + {}^{10}C_4 2^6}{3} = \frac{252 \times 32 + 210 \times 16 + 210 \times 64}{3} = \frac{8064 + 3360 + 13440}{3} = \frac{24864}{3} = 8288$.

(A) બિંદુઓ $P(1, 2, 1)$ અને $Q(2, 1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ ના દિકગુણોત્તર $(2-1, 1-2, -1-1) = (1, -1, -2)$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{-2} = k$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $C = (k+1, -k+2, -2k+1)$ છે.
જેহেতু $AC$ રેખા $L$ ને લંબ છે,$AC$ ના દિકગુણોત્તર $(k+1-2, -k+2-2, -2k+1-2) = (k-1, -k, -2k-1)$ છે.
$AC \perp L$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(k-1) + (-1)(-k) + (-2)(-2k-1) = 0$
$k - 1 + k + 4k + 2 = 0$
$6k + 1 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{6}$.
$C$ ના યામમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા,$C = (1 - \frac{1}{6}, 2 + \frac{1}{6}, 1 + \frac{2}{6}) = (\frac{5}{6}, \frac{13}{6}, \frac{8}{6})$ મળે.
$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ અને $A = (2, 2, 2)$ છે:
$\frac{\alpha+2}{2} = \frac{5}{6} \Rightarrow \alpha+2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \alpha = -\frac{1}{3}$.
$\frac{\beta+2}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow \beta+2 = \frac{13}{3} \Rightarrow \beta = \frac{7}{3}$.
$\frac{\gamma+2}{2} = \frac{8}{6} \Rightarrow \gamma+2 = \frac{8}{3} \Rightarrow \gamma = \frac{2}{3}$.
હવે,$\alpha + \beta + 6\gamma = -\frac{1}{3} + \frac{7}{3} + 6(\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} + 4 = 2 + 4 = 6$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=(x+y+2)^2$ છે,જ્યાં $y(0)=-2$.
ધારો કે $v=x+y+2$,તેથી $\frac{dv}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx}-1=v^2 \Rightarrow \frac{dv}{dx}=1+v^2$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{1+v^2} = \int dx \Rightarrow \tan^{-1}(v) = x+C$.
આમ,$\tan^{-1}(x+y+2) = x+C$.
$x=0, y=-2$ માટે,$\tan^{-1}(0-2+2) = 0+C \Rightarrow C=0$.
તેથી,$x+y+2 = \tan(x) \Rightarrow y = \tan(x)-x-2$.
અંતરાલ $x \in [0, \frac{\pi}{3}]$ માટે,$f'(x) = \sec^2(x)-1 = \tan^2(x) \ge 0$,તેથી $f(x)$ વધતું વિધેય છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $\beta = f(0) = \tan(0)-0-2 = -2$.
મહત્તમ કિંમત $\alpha = f(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3})-\frac{\pi}{3}-2 = \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-2$.
હવે,$(3\alpha+\pi)^2+\beta^2 = (3(\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}-2)+\pi)^2+(-2)^2$.
$= (3\sqrt{3}-\pi-6+\pi)^2+4 = (3\sqrt{3}-6)^2+4$.
$= (27+36-36\sqrt{3})+4 = 67-36\sqrt{3}$.
$\gamma+\delta\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$\gamma=67$ અને $\delta=-36$ મળે છે.
તેથી,$\gamma+\delta = 67-36 = 31$.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x+6}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}=\lambda$ છે. આ રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $(3\lambda-6, 2\lambda, \lambda-1)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x-7}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-4}{2}=\mu$ છે. આ રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $(4\mu+7, 3\mu+9, 2\mu+4)$ છે.
છેદબિંદુ માટે યામોને સરખાવતા:
$3\lambda-6 = 4\mu+7 \Rightarrow 3\lambda-4\mu = 13$ (સમીકરણ $1$)
$2\lambda = 3\mu+9 \Rightarrow 2\lambda-3\mu = 9$ (સમીકરણ $2$)
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6\lambda-8\mu = 26$
$6\lambda-9\mu = 27$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $\mu = -1$ મળે છે.
$\mu = -1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2\lambda - 3(-1) = 9 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$.
છેદબિંદુ $(3(3)-6, 2(3), 3-1) = (3, 6, 2)$ છે.
બિંદુ $(3, 6, 2)$ થી $(7, 8, 9)$ સુધીનું અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d^2 = (7-3)^2 + (8-6)^2 + (9-2)^2 = 4^2 + 2^2 + 7^2 = 16 + 4 + 49 = 69$.
તેથી,$d^2+6 = 69+6 = 75$.

(A) ધારો કે $\theta$ એ લંબચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $AB$ અને લંબચોરસ $PQRS$ ની બાજુ $PQ$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,લંબચોરસ $PQRS$ ની બાજુઓ $a = 4 \cos \theta + 2 \sin \theta$ અને $b = 4 \sin \theta + 2 \cos \theta$ છે.
લંબચોરસ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $A = a \times b = (4 \cos \theta + 2 \sin \theta)(4 \sin \theta + 2 \cos \theta)$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$A = 16 \sin \theta \cos \theta + 8 \cos^2 \theta + 8 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 8(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 20 \sin \theta \cos \theta$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$A = 8 + 10 \sin 2\theta$ મળે.
ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\sin 2\theta = 1$ હોય,જે $\theta = 45^{\circ}$ પર મળે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ પર,બાજુઓ $a = 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ અને $b = 3\sqrt{2}$ થાય.
તેથી $(a+b)^2 = (3\sqrt{2} + 3\sqrt{2})^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=2$ અને $Q=\sin(2x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot e^{2x} = \int e^{2x} \sin(2x) dx + C$.
સૂત્ર $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin(bx) - b \cos(bx))$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{2^2+2^2} (2 \sin(2x) - 2 \cos(2x)) + C = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + C$.
$y(0) = \frac{3}{4}$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=\frac{3}{4}$ મૂકતા:
$\frac{3}{4} \cdot e^0 = \frac{e^0}{4} (\sin(0) - \cos(0)) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{4} (0 - 1) + C \Rightarrow \frac{3}{4} = -\frac{1}{4} + C \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$y \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + 1$,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{1}{4} (\sin(2x) - \cos(2x)) + e^{-2x}$ થાય છે.
હવે,$x = \frac{\pi}{8}$ માટે કિંમત શોધતા:
$y\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{4} (\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4})) + e^{-2(\frac{\pi}{8})} = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + e^{-\pi/4} = 0 + e^{-\pi/4} = e^{-\pi/4}$.

(D) આપેલ છે $f(x) = \sin x + 3x - \frac{2}{\pi}(x^2 + x)$.
પગલું $1$: વિધાન $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$f'(x) = \cos x + 3 - \frac{2}{\pi}(2x + 1)$.
$x \in (0, \pi/2)$ માટે,$\cos x \in (0, 1)$ અને $2x+1 \in (1, \pi+1)$.
$f'(x) = \cos x + 3 - \frac{4x}{\pi} - \frac{2}{\pi}$.
$x=0$ આગળ,$f'(0) = 1 + 3 - 2/\pi = 4 - 2/\pi > 0$.
$x=\pi/2$ આગળ,$f'(\pi/2) = 0 + 3 - \frac{2}{\pi}(\pi + 1) = 3 - 2 - 2/\pi = 1 - 2/\pi > 0$.
કારણ કે $f''(x) = -\sin x - 4/\pi < 0$,તેથી $f'(x)$ ઘટતું વિધેય છે. $[0, \pi/2]$ પર $f'(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $f'(\pi/2) = 1 - 2/\pi > 0$ છે. આમ,તમામ $x \in (0, \pi/2)$ માટે $f'(x) > 0$,તેથી $f$ વધતું વિધેય છે.
પગલું $2$: વિધાન $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$f''(x) = -\sin x - 4/\pi$.
$x \in (0, \pi/2)$ માટે $\sin x > 0$ હોવાથી,$f''(x) = -(\sin x + 4/\pi) < 0$.
$f''(x) < 0$ હોવાથી,$f'(x)$ એ $(0, \pi/2)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
નિષ્કર્ષ: $(I)$ અને $(II)$ બંને સાચા છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $ D = 0 $ હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $ D_1, D_2, D_3 $ પણ $ 0 $ હોવા જોઈએ.
$ D = \begin{vmatrix} 11 & 1 & \lambda \\ 2 & 3 & 5 \\ 8 & -19 & -39 \end{vmatrix} = 0 $
$ 11(-117 + 95) - 1(-78 - 40) + \lambda(-38 - 24) = 0 $
$ 11(-22) + 118 - 62\lambda = 0 $
$ -242 + 118 = 62\lambda $
$ 62\lambda = -124 \Rightarrow \lambda = -2 $
હવે,$ D_1 = 0 $ માટે:
$ D_1 = \begin{vmatrix} -5 & 1 & -2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \mu & -19 & -39 \end{vmatrix} = 0 $
$ -5(-117 + 95) - 1(-117 - 5\mu) - 2(-57 - 3\mu) = 0 $
$ -5(-22) + 117 + 5\mu + 114 + 6\mu = 0 $
$ 110 + 231 + 11\mu = 0 $
$ 11\mu = -341 \Rightarrow \mu = -31 $
અંતે,$ \lambda^4 - \mu $ ની ગણતરી કરતા:
$ \lambda^4 - \mu = (-2)^4 - (-31) = 16 + 31 = 47 $

(D) આપેલ ગણ $A=\{1,3,7,9,11\}$ અને $B=\{2,4,5,7,8,10,12\}$ છે.
આપણે $f(1)+f(3)=14$ થાય તેવા એક-એક વિધેયો $f: A \rightarrow B$ ની સંખ્યા શોધવાની છે.
ગણ $B$ માંથી એવી જોડીઓ $(f(1), f(3))$ જેનો સરવાળો $14$ થાય તે નીચે મુજબ છે:
$(i) (2, 12)$
$(ii) (12, 2)$
$(iii) (4, 10)$
$(iv) (10, 4)$
આવી કુલ $4$ જોડીઓ શક્ય છે.
દરેક જોડી માટે,આપણે ગણ $A$ ના $2$ ઘટકો ($1$ અને $3$) ના પ્રતિબિંબ નક્કી કર્યા છે.
હવે,આપણે ગણ $A$ ના બાકીના $3$ ઘટકો (એટલે કે ${7, 9, 11}$) ને ગણ $B$ ના બાકીના $5$ ઘટકો સાથે જોડવાના છે (કારણ કે $B$ માં $7-2=5$ ઘટકો બાકી રહે છે).
આ $3$ ઘટકોને એક-એક રીતે જોડવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની કુલ સંખ્યા $4 \times 60 = 240$ થાય.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,લક્ષ $\lim_{x \to 0} f(x)$ નું અસ્તિત્વ હોવું જોઈએ અને તે $f(0)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \dots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \dots$
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
$\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \dots = 1 - \frac{9x^2}{2} + \dots$
આ કિંમતો $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = \frac{(3x - \frac{27x^3}{6} + \dots) + \alpha(x - \frac{x^3}{6} + \dots) - \beta(1 - \frac{9x^2}{2} + \dots)}{x^3}$
$f(x) = \frac{-\beta + x(3 + \alpha) + x^2(\frac{9\beta}{2}) + x^3(-\frac{27}{6} - \frac{\alpha}{6}) + \dots}{x^3}$
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x^0$,$x^1$,અને $x^2$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$1$) $-\beta = 0 \implies \beta = 0$
$2$) $3 + \alpha = 0 \implies \alpha = -3$
$3$) $\frac{9\beta}{2} = 0$ (જે $\beta = 0$ હોવાથી સત્ય છે)
હવે,લક્ષ એ $x^3$ નો સહગુણક છે:
$f(0) = -\frac{27}{6} - \frac{\alpha}{6} = \frac{-27 - (-3)}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$.
અંશને $136 \sin x = A(3 \sin x + 5 \cos x) + B(3 \cos x - 5 \sin x)$ તરીકે લખતા.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$136 = 3A - 5B$ ... $(1)$
$0 = 5A + 3B$ ... $(2)$
$(2)$ પરથી,$B = -\frac{5}{3}A$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$136 = 3A - 5(-\frac{5}{3}A) = 3A + \frac{25}{3}A = \frac{34}{3}A$.
તેથી,$A = \frac{136 \times 3}{34} = 12$ અને $B = -\frac{5}{3}(12) = -20$.
હવે,$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{12(3 \sin x + 5 \cos x) - 20(3 \cos x - 5 \sin x)}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12 \int_0^{\pi / 4} dx - 20 \int_0^{\pi / 4} \frac{3 \cos x - 5 \sin x}{3 \sin x + 5 \cos x} dx$.
$I = 12[x]_0^{\pi / 4} - 20[\ln|3 \sin x + 5 \cos x|]_0^{\pi / 4}$.
$I = 12(\frac{\pi}{4}) - 20[\ln(\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(\frac{8}{\sqrt{2}}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\ln(4\sqrt{2}) - \ln(5)]$.
$I = 3\pi - 20[\ln(2^{5/2}) - \ln(5)] = 3\pi - 20[\frac{5}{2}\ln 2 - \ln 5]$.
$I = 3\pi - 50 \ln 2 + 20 \ln 5$.

(A) આપેલ છે કે $|A|=3$ અને $|B|=2$,જ્યાં શ્રેણિકનો ક્રમ $n=3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|A^T| = |A| = 3$,તેથી $|A^T A| = |A^T||A| = |A|^2 = 3^2 = 9$.
વળી,$|\operatorname{adj}(kA)| = |kA|^{n-1} = (k^n |A|)^{n-1} = (k^3 \cdot 3)^2 = k^6 \cdot 9$.
$k=2$ માટે,$|\operatorname{adj}(2A)| = 2^6 \cdot 3^2 = 64 \cdot 9 = 576$.
$k=4$ માટે,$|\operatorname{adj}(4B)| = (4^3 |B|)^2 = (64 \cdot 2)^2 = 128^2 = 16384$.
$|\operatorname{adj}(AB)| = |AB|^{n-1} = (|A||B|)^{3-1} = (3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36$.
હવે,આપેલ પદાવલિ:
$|A^T A| \cdot |(\operatorname{adj}(2A))^{-1}| \cdot |\operatorname{adj}(4B)| \cdot |(\operatorname{adj}(AB))^{-1}| \cdot |AA^T|$
$= 9 \cdot \frac{1}{576} \cdot 16384 \cdot \frac{1}{36} \cdot 9$
$= \frac{81 \cdot 16384}{576 \cdot 36} = \frac{1327104}{20736} = 64$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=x^5+2x^3+3x+1$.
પ્રથમ,આપણે વિકલન મેળવીએ $f^{\prime}(x) = 5x^4+6x^2+3$.
આપણને આપેલ છે કે $g(f(x))=x$. સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$ મળે છે.
$g(7)$ અને $g^{\prime}(7)$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)=7$ લઈએ:
$x^5+2x^3+3x+1=7 \Rightarrow x^5+2x^3+3x-6=0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $1+2+3-6=0$.
આમ,$f(1)=7$,જેનો અર્થ છે કે $g(7)=1$.
હવે,$x=1$ ને વિકલિત સમીકરણ $g^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) = 1$ માં મૂકતા:
$g^{\prime}(7) \cdot f^{\prime}(1) = 1$.
આપણે $f^{\prime}(1) = 5(1)^4+6(1)^2+3 = 5+6+3 = 14$ ગણીએ છીએ.
તેથી,$g^{\prime}(7) = \frac{1}{f^{\prime}(1)} = \frac{1}{14}$.
અંતે,$\frac{g(7)}{g^{\prime}(7)} = \frac{1}{1/14} = 14$.

(A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}|$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{BD}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (4-(-1))\hat{j} + (-10-2)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 12\hat{k}$.
$\overrightarrow{BD} = (-1-5)\hat{i} + (-4-7)\hat{j} + (-2-(-6))\hat{k} = -6\hat{i} - 11\hat{j} + 4\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 5 & -12 \\ -6 & -11 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(20 - 132) - \hat{j}(8 - 72) + \hat{k}(-22 + 30) = -112\hat{i} + 64\hat{j} + 8\hat{k}$.
તેનું માન $|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-112)^2 + 64^2 + 8^2} = \sqrt{12544 + 4096 + 64} = \sqrt{16704} = 24\sqrt{29}$ થાય.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 24\sqrt{29} = 12\sqrt{29}$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y + \int_{-\pi}^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$.
પ્રથમ ભાગ $\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y}{1+\cos ^2 y} d y = 0$ છે કારણ કે વિધેય અયુગ્મ છે.
બીજા ભાગ માટે,$y \sin y$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી:
$I = 2 \int_0^\pi \frac{2 y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(y) dy = \int_0^a f(a-y) dy$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-y) \sin y}{1+\cos ^2 y} d y = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - 4 \int_0^\pi \frac{y \sin y}{1+\cos ^2 y} d y$.
$I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y - I
\implies 2I = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y
\implies I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin y}{1+\cos ^2 y} d y$.
ધારો કે $t = \cos y$,તો $dt = -\sin y dy$. જ્યારે $y=0, t=1$; જ્યારે $y=\pi, t=-1$.
$I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1$.
$I = 2\pi [\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)] = 2\pi [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = 2\pi [\frac{\pi}{2}] = \pi^2$.

(D) આપેલ રેખાઓ $\frac{2-x}{3}=\frac{3y-2}{4\lambda+1}=4-z$ અને $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{1-2y}{6}=\frac{5-z}{7}$ છે.
પ્રથમ,રેખાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-2}{-3}=\frac{y-2/3}{(4\lambda+1)/3}=\frac{z-4}{-1}$. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (-3, \frac{4\lambda+1}{3}, -1)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{y-1/2}{-3}=\frac{z-5}{-7}$. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (3\mu, -3, -7)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(3\mu) + (\frac{4\lambda+1}{3})(-3) + (-1)(-7) = 0$.
$-9\mu - (4\lambda+1) + 7 = 0$.
$-9\mu - 4\lambda - 1 + 7 = 0$.
$-4\lambda - 9\mu + 6 = 0$.
$4\lambda + 9\mu = 6$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $N=10$,$K=3$,અને $n=5$ છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{\binom{K}{x} \binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x \in \{0, 1, 2, 3\}$ માટે સંભાવનાઓની ગણતરી:
$P(X=0) = \frac{\binom{3}{0} \binom{7}{5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
$P(X=1) = \frac{\binom{3}{1} \binom{7}{4}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2} \binom{7}{3}}{\binom{10}{5}} = \frac{3 \times 35}{252} = \frac{105}{252} = \frac{5}{12}$
$P(X=3) = \frac{\binom{3}{3} \binom{7}{2}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \times 21}{252} = \frac{21}{252} = \frac{1}{12}$
મધ્યક $\mu = E[X] = \sum x P(x) = 0(\frac{1}{12}) + 1(\frac{5}{12}) + 2(\frac{5}{12}) + 3(\frac{1}{12}) = \frac{5+10+3}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.
$E[X^2] = \sum x^2 P(x) = 0^2(\frac{1}{12}) + 1^2(\frac{5}{12}) + 2^2(\frac{5}{12}) + 3^2(\frac{1}{12}) = \frac{0+5+20+9}{12} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$.
વિચરણ $\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{17}{6} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{17}{6} - \frac{9}{4} = \frac{34-27}{12} = \frac{7}{12}$.
આમ,$96 \sigma^2 = 96 \times \frac{7}{12} = 8 \times 7 = 56$.

(C) પરવલયો $y=x^2-5x$ અને $y=7x-x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$x^2-5x = 7x-x^2$
$2x^2-12x = 0$
$2x(x-6) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=6$ છે.
અંતરાલ $[0, 6]$ માં,પરવલય $g(x) = 7x-x^2$ એ $f(x) = x^2-5x$ ની ઉપર આવેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^6 (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_0^6 ((7x-x^2) - (x^2-5x)) dx$
$A = \int_0^6 (12x - 2x^2) dx$
$A = [12 \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_0^6$
$A = [6x^2 - \frac{2}{3}x^3]_0^6$
$A = (6(6)^2 - \frac{2}{3}(6)^3) - (0)$
$A = 216 - \frac{2}{3}(216)$
$A = 216 - 144 = 72 \text{ એકમ}^2$

(B) આપેલ છે કે $\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1$. $t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:
$\lim _{t \rightarrow x} \frac{2t f(x)-x^2 f'(t)}{1}=1$
$2x f(x)-x^2 f'(x)=1$
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.
ઉકેલ $f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} dx + C = \int -x^{-4} dx + C = \frac{1}{3x^3} + C$.
$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$.
$f(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{1}{3} + C$,તેથી $C = \frac{2}{3}$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3} = \frac{1+2x^3}{3x}$.
$f(2) = \frac{1+2(8)}{3(2)} = \frac{17}{6}$.
$f(3) = \frac{1+2(27)}{3(3)} = \frac{55}{9}$.
$2f(2) + 3f(3) = 2(\frac{17}{6}) + 3(\frac{55}{9}) = \frac{17}{3} + \frac{55}{3} = \frac{72}{3} = 24$.

(D) આપેલ છે કે $(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c}=3(\vec{c} \times \vec{a})$.
કારણ કે $\vec{c} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{c})$,તેથી $(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c} = -3(\vec{a} \times \vec{c})$.
$(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c} + 3(\vec{a} \times \vec{c}) = 0$.
$(\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{a}) \times \vec{c} = 0$.
$(4\vec{a} + 2\vec{b}) \times \vec{c} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{c}$ એ $(4\vec{a} + 2\vec{b})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{c} = \lambda(4\vec{a} + 2\vec{b})$.
$4\vec{a} + 2\vec{b} = 4(\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k}) + 2(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (4+4)\hat{i} + (-12-2)\hat{j} + (28+2)\hat{k} = 8\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k}$.
તેથી,$\vec{c} = \lambda(8\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 130$.
$(\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k}) \cdot \lambda(8\hat{i}-14\hat{j}+30\hat{k}) = 130$.
$\lambda(8 + 42 + 210) = 130$.
$260\lambda = 130 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
આમ,$\vec{c} = 4\hat{i} - 7\hat{j} + 15\hat{k}$.
અંતે,$\vec{b} \cdot \vec{c} = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot (4\hat{i}-7\hat{j}+15\hat{k}) = 8 + 7 + 15 = 30$.

(B) વિધેય $f(x) = 2x^2 + x + [x^2] - [x]$ છે. $[-1, 2]$ માં $[x^2]$ માટે અસતત બિંદુઓ જ્યાં $x^2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ છે,એટલે કે $x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, -1\}$. $[x]$ માટે અસતત બિંદુઓ $x \in \{0, 1, 2\}$ છે. આમ,અસતતતા માટેના સંભવિત બિંદુઓ $\{-1, 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2\}$ છે.
$1$. $x = -1$ પર: $f(-1) = 2(1) - 1 + [1] - [-1] = 3$. $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$. તેથી,$f$ એ $x = -1$ પર સતત છે.
$2$. $x = 0$ પર: $f(0) = 0$. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. તેથી,$f$ એ $x = 0$ પર સતત છે.
$3$. $x = 1$ પર: $f(1) = 3$. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ અને $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$. તેથી,$f$ એ $x = 1$ પર સતત છે.
$4$. $x = \sqrt{2}$ પર: $f(\sqrt{2}) = 5 + \sqrt{2}$. $\lim_{x \to \sqrt{2}^-} f(x) = 4 + \sqrt{2}$. તેથી,$f$ એ $x = \sqrt{2}$ પર અસતત છે.
$5$. $x = \sqrt{3}$ પર: $f(\sqrt{3}) = 8 + \sqrt{3}$. $\lim_{x \to \sqrt{3}^-} f(x) = 7 + \sqrt{3}$. તેથી,$f$ એ $x = \sqrt{3}$ પર અસતત છે.
$6$. $x = 2$ પર: $f(2) = 12$. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 12$. તેથી,$f$ એ $x = 2$ પર સતત છે.
અસતત બિંદુઓ $\{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ છે. બિંદુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, h)$ છે કારણ કે તે $y=x$ રેખા પર છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r$ એ $(h, h)$ થી $(0,0)$ નું અંતર છે,એટલે કે $r^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-h)^2 = 2h^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 2xh + h^2 + y^2 - 2yh + h^2 = 2h^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2h(x+y) = 0$ થાય છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x + 2yy' - 2h(1+y') = 0$ મળે છે,જેમાંથી $h = \frac{x+yy'}{1+y'}$ મળે છે.
$h$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + y^2 = 2(\frac{x+yy'}{1+y'})(x+y)$.
$(x^2+y^2)(1+y') = 2(x+y)(x+yy')$.
$(x^2+y^2) + (x^2+y^2)y' = 2x^2 + 2xyy' + 2xy + 2y^2y'$.
$y'$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા: $(x^2+y^2-2xy-2y^2)y' = 2x^2 + 2xy - x^2 - y^2$.
$(x^2-y^2-2xy)y' = x^2-y^2+2xy$.
આમ,$(x^2-y^2+2xy) dx = (x^2-y^2-2xy) dy$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે $x$ ના વિવિધ અંતરાલો માટે વક્રોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:
$x \ge 0$ માટે,$y = x(x) = x^2$ અને $y = x - x = 0$.
$x < 0$ માટે,$y = x(-x) = -x^2$ અને $y = x - (-x) = 2x$.
$x < 0$ માટે છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $-x^2 = 2x$ લઈએ છીએ,જે $x^2 + 2x = 0$ આપે છે,તેથી $x(x+2) = 0$. આમ,વક્રો $x = 0$ અને $x = -2$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 0$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-2}^{0} (2x - (-x^2)) \, dx = \int_{-2}^{0} (x^2 + 2x) \, dx$
$A = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{0}$
$A = (0 + 0) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 \right) = - \left( -\frac{8}{3} + 4 \right) = - \left( \frac{4}{3} \right) = -\frac{4}{3}$.
ક્ષેત્રફળ હંમેશા ધન હોવાથી,આપણે તેનું માનાંક લઈએ છીએ: $|-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + \hat{i} = (2+2+1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1+2)\hat{k} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{p} = \vec{c} + \hat{i}$.
આપેલ સમીકરણ $\vec{p} \times \vec{v} = \vec{a} \times \vec{p}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{p} \times \vec{v} + \vec{p} \times \vec{a} = \vec{0}$,તેથી $\vec{p} \times (\vec{v} + \vec{a}) = \vec{0}$.
આમ,$\vec{p} = \lambda(\vec{v} + \vec{a})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\vec{v} + \vec{a} = (5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) = 7\hat{i} + 8\hat{j}$.
તેથી,$\vec{c} + \hat{i} = \lambda(7\hat{i} + 8\hat{j}) \Rightarrow \vec{c} = 7\lambda\hat{i} + 8\lambda\hat{j} - \hat{i} = (7\lambda - 1)\hat{i} + 8\lambda\hat{j}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = -29$,તેથી $(2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) \cdot ((7\lambda - 1)\hat{i} + 8\lambda\hat{j}) = -29$.
$2(7\lambda - 1) + 5(8\lambda) = -29 \Rightarrow 14\lambda - 2 + 40\lambda = -29 \Rightarrow 54\lambda = -27 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
હવે,$\vec{c} = (7(-\frac{1}{2}) - 1)\hat{i} + 8(-\frac{1}{2})\hat{j} = -\frac{9}{2}\hat{i} - 4\hat{j}$.
આપણે $\vec{c} \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ શોધવાનું છે = $(-\frac{9}{2}\hat{i} - 4\hat{j}) \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-\frac{9}{2})(-2) + (-4)(1) + (0)(1) = 9 - 4 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$. તેથી,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 0$.
આપણી પાસે $|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{c}|^2 + |\overrightarrow{a}|^2 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = |\overrightarrow{c}|^2 + 2^2 - 0 = |\overrightarrow{c}|^2 + 4$ છે.
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|$ પરથી,આપણને $2 = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}| \sin \alpha = 3 |\overrightarrow{c}| \sin \alpha$ મળે છે.
તેથી,$|\overrightarrow{c}| = \frac{2}{3 \sin \alpha} = \frac{2}{3} \csc \alpha$.
કારણ કે $\alpha \in [0, \frac{\pi}{3}]$,$\csc \alpha$ નો વિસ્તાર $[\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty)$ છે.
$|\overrightarrow{c}|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha = \frac{\pi}{3}$ પર મળે છે,જ્યાં $|\overrightarrow{c}| = \frac{2}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ થાય.
આમ,$|\overrightarrow{c}|^2 = \frac{16}{27}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,$27|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}|^2 = 27(|\overrightarrow{c}|^2 + 4) = 27(\frac{16}{27} + 4) = 16 + 108 = 124$.

(C) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{5} = \lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(2\lambda+1, 3\lambda-1, 5\lambda+2)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે $M$ એ બિંદુ $A(8, 5, 7)$ થી રેખા પરનો લંબપાદ છે,સદિશ $\overrightarrow{AM}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ ને લંબ છે.
$\overrightarrow{AM} = (2\lambda-7)\hat{i} + (3\lambda-6)\hat{j} + (5\lambda-5)\hat{k}$.
$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{v} = 0$ હોવાથી:
$2(2\lambda-7) + 3(3\lambda-6) + 5(5\lambda-5) = 0$
$38\lambda - 57 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{2}$.
$M$ માં $\lambda = \frac{3}{2}$ મૂકતા,$M(4, \frac{7}{2}, \frac{19}{2})$ મળે છે.
ધારો કે $A'(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $A$ નું પ્રતિબિંબ છે. $M$ એ $AA'$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{\alpha+8}{2} = 4 \implies \alpha = 0$
$\frac{\beta+5}{2} = \frac{7}{2} \implies \beta = 2$
$\frac{\gamma+7}{2} = \frac{19}{2} \implies \gamma = 12$
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 0 + 2 + 12 = 14$.

(A) આપણને $f(x) = |x-1|$ અને $g(x) = \begin{cases} e^x, & x \geq 0 \\ x+1, & x \leq 0 \end{cases}$ આપેલ છે.
$f(g(x))$ શોધવા માટે,આપણે $g(x)$ ને $f(x)$ માં મૂકીએ છીએ:
$f(g(x)) = |g(x) - 1| = \begin{cases} |e^x - 1|, & x \geq 0 \\ |(x+1) - 1|, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} e^x - 1, & x \geq 0 \\ |x|, & x \leq 0 \end{cases} = \begin{cases} e^x - 1, & x \geq 0 \\ -x, & x \leq 0 \end{cases}$.
હવે,ધારો કે $h(x) = f(g(x))$.
$x \geq 0$ માટે,$h(x) = e^x - 1$. જેમ $x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,તેમ $h(x)$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી વધે છે.
$x \leq 0$ માટે,$h(x) = -x$. જેમ $x$ એ $0$ થી $-\infty$ સુધી ઘટે છે,તેમ $h(x)$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી વધે છે.
કારણ કે $h(x)$ એ ધન અને ઋણ બંને $x$ માટે સમાન ધન કિંમતો લે છે (દા.ત.,$h(1) = e-1$ અને $h(-(e-1)) = e-1$),તેથી વિધેય એક-એક નથી.
કારણ કે $h(x)$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) સુરેખ સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & m \end{vmatrix} = 1(5m - 10) - 1(2m - 5) + 1(4 - 5) = 3m - 6$.
$D = 0$ લેતા,$3m - 6 = 0 \Rightarrow m = 2$ મળે છે.
હવે,$m=2$ સાથે $D_3$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 5 & 17 \\ 1 & 2 & n \end{vmatrix} = 1(5n - 34) - 1(2n - 17) + 4(4 - 5) = 3n - 21$.
$D_3 = 0$ લેતા,$3n - 21 = 0 \Rightarrow n = 7$ મળે છે.
હવે,$m=2$ અને $n=7$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$m^2 + n^2 - mn = 2^2 + 7^2 - (2)(7) = 4 + 49 - 14 = 39$.
આમ,આ કિંમતો $m^2 + n^2 - mn = 39$ નું સમાધાન કરે છે.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int_0^1 (1-x^{10})^{20} dx$ છે.
ધારો કે $x^{10} = t$,તેથી $x = t^{1/10}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,$dx = \frac{1}{10} t^{1/10 - 1} dt = \frac{1}{10} t^{-9/10} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^1 (1-t)^{20} \cdot \frac{1}{10} t^{-9/10} dt = \frac{1}{10} \int_0^1 t^{-9/10} (1-t)^{20} dt$.
વ્યાખ્યા $\beta(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ સાથે સરખાવતા:
$m-1 = -9/10 \implies m = 1/10$ અને $n-1 = 20 \implies n = 21$.
આમ,$I = \frac{1}{10} \beta(1/10, 21)$.
$a \times \beta(b, c)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1/10$,$b = 1/10$,અને $c = 21$ મળે છે.
અંતે,$100(a+b+c) = 100(1/10 + 1/10 + 21) = 100(0.2 + 21) = 100(21.2) = 2120$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $B$ એ $A$ નો સહઅવયવ શ્રેણિક હોય,તો $AB = \operatorname{det}(A)I$ થાય,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે. તેથી,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$.
કારણ કે $B = \operatorname{adj}(A)$,તેથી $\operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^{n-1}$,જ્યાં $n=3$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
તેથી,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(A))^{3-1} = (\operatorname{det}(A))^3$.
$\operatorname{det}(A)$ શોધવા માટે,આપણે સહઅવયવ $B_{21} = -\alpha$ નો ઉપયોગ કરીએ. $A_{21}$ નો સહઅવયવ $(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} \alpha & 3 \\ \alpha & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 - 3\alpha) = 3\alpha - 2\alpha^2$ છે.
આપેલ છે કે $B_{21} = -\alpha$,તેથી $3\alpha - 2\alpha^2 = -\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $2\alpha^2 - 4\alpha = 0$. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.
$B_{12} = -9$ નો ઉપયોગ કરીને,$A_{12}$ નો સહઅવયવ $(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 + \beta^2) = -9$ છે. $\alpha = 2$ મૂકતા,$-(8 + \beta^2) = -9$,તેથી $\beta^2 = 1$. $\beta \neq 0$ હોવાથી,$\beta = 1$ અથવા $-1$.
$B_{22} = 7$ નો ઉપયોગ કરીને,$A_{22}$ નો સહઅવયવ $(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} \beta & 3 \\ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = 2\alpha\beta + 3\beta = 7$ છે. $\alpha = 2$ મૂકતા,$4\beta + 3\beta = 7$,તેથી $7\beta = 7$,જે $\beta = 1$ આપે છે.
હવે,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
$\operatorname{det}(A) = 1(8-2) - 2(8+1) + 3(4+2) = 6 - 18 + 18 = 6$.
તેથી,$\operatorname{det}(AB) = (\operatorname{det}(A))^3 = 6^3 = 216$.

(D) આપેલ છે $y(\theta) = \frac{2 \cos \theta + 2 \cos^2 \theta - 1}{4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta + 8 \cos^2 \theta - 4 + 5 \cos \theta + 2}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $4 \cos^3 \theta + 8 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 2(2 \cos^3 \theta + 4 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1)$.
પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને મળે $y(\theta) = \frac{2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1}{(2 \cos \theta + 2)(2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1)} = \frac{1}{2(1 + \cos \theta)}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$y = \frac{1}{2(1 + 0)} = \frac{1}{2}$.
હવે,$y' = \frac{d}{d\theta} [\frac{1}{2}(1 + \cos \theta)^{-1}] = \frac{1}{2} (-1)(1 + \cos \theta)^{-2} (-\sin \theta) = \frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$y' = \frac{1}{2(1)^2} = \frac{1}{2}$.
આગળ,$y'' = \frac{d}{d\theta} [\frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos \theta (1 + \cos \theta)^2 - \sin \theta (2(1 + \cos \theta)(-\sin \theta))}{(1 + \cos \theta)^4} \right]$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ આગળ,$y'' = \frac{1}{2} \left[ \frac{0(1)^2 - 1(2(1)(-1))}{1^4} \right] = \frac{1}{2} [2] = 1$.
આમ,$y'' + y' + y = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$\frac{1}{3} + K + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = 1$
$K + \frac{4+2+3}{12} = 1 \Rightarrow K + \frac{9}{12} = 1 \Rightarrow K = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
મધ્યક $\mu = \sum X P(X)$:
$\mu = \alpha(\frac{1}{3}) + 1(\frac{1}{4}) + 0(\frac{1}{6}) + (-3)(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \sum X^2 P(X) - \mu^2$:
$\sum X^2 P(X) = \alpha^2(\frac{1}{3}) + 1^2(\frac{1}{4}) + 0^2(\frac{1}{6}) + (-3)^2(\frac{1}{4}) = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}$.
$\sigma^2 = (\frac{\alpha^2}{3} + \frac{5}{2}) - (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 = \frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4}$.
આપેલ છે કે $\sigma - \mu = 2$,તેથી $\sigma = \mu + 2$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\sigma^2 = (\mu + 2)^2 = \mu^2 + 4\mu + 4$.
$\mu = \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = (\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2})^2 + 4(\frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2}) + 4$
$\frac{2\alpha^2}{9} + \frac{\alpha}{3} + \frac{9}{4} = \frac{\alpha^2}{9} - \frac{\alpha}{3} + \frac{1}{4} + \frac{4\alpha}{3} - 2 + 4$
$\frac{\alpha^2}{9} - \frac{2\alpha}{3} = 0 \Rightarrow \alpha(\frac{\alpha}{9} - \frac{2}{3}) = 0$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી (કારણ કે $X=0$ પહેલેથી જ આપેલ છે),$\alpha = 6$.
તેથી $\mu = \frac{6}{3} - \frac{1}{2} = 1.5$.
અને $\sigma = \mu + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$.
આમ,$\sigma + \mu = 3.5 + 1.5 = 5$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} y=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ છે.
આ $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x)=\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2}$ અને $Q(x)=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) d x} = e^{\int \frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x} = e^{-\frac{1}{1+x^2}}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + C$ છે.
$y \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} = \int x e^{\frac{1}{1+x^2}} \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} d x + C = \int x d x + C = \frac{x^2}{2} + C$.
$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 \cdot e^{-1} = 0 + C$,તેથી $C=0$.
આમ,$y(x) = \frac{x^2}{2} e^{\frac{1}{1+x^2}}$.
$f(x) = y(x) e^{-\frac{1}{1+x^2}}$ હોવાથી,આપણને $f(x) = \frac{x^2}{2}$ મળે છે.
વક્ર $f(x) = \frac{x^2}{2}$ અને રેખા $y = \frac{x}{4} + 2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{4} \left( \frac{x}{4} + 2 - \frac{x^2}{2} \right) d x$ દ્વારા મળે છે,જેની ગણતરી કરતા $18$ મળે છે.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = \lambda$ અને $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0} = \mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(-3\lambda-2, 4\lambda+2, 2\lambda+5)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(-\mu-2, 2\mu-6, 1)$ છે.
ટૂંકા અંતરની રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર એ $L_1$ અને $L_2$ ના દિક્-સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\vec{v_1} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(-6 - (-4)) = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
આ સદિશ $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સદિશ $\vec{PQ} = ((\mu-3\lambda)\hat{i} + (4\lambda-2\mu+8)\hat{j} + (2\lambda+4)\hat{k})$ છે.
કારણ કે $\vec{PQ}$ એ $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\frac{\mu-3\lambda}{2} = \frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$.
$\frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$ પરથી,આપણને $2\lambda - 2\mu + 4 = 0 \Rightarrow \mu = \lambda + 2$ મળે છે.
$\mu = \lambda + 2$ ને $\frac{\mu-3\lambda}{2} = 2\lambda+4$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{\lambda+2-3\lambda}{2} = 2\lambda+4 \Rightarrow -\lambda+1 = 2\lambda+4 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$ મળે છે.
તેથી $\mu = -1+2 = 1$.
ટૂંકા અંતરની રેખા $P(1, -2, 3)$ અને $Q(-3, -4, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1}$ છે.
બિંદુ $(-1, \alpha, \beta)$ આ રેખા પર હોવાથી,$\frac{-1-1}{2} = \frac{\alpha+2}{1} = \frac{\beta-3}{1} \Rightarrow -1 = \alpha+2 = \beta-3$.
આમ,$\alpha = -3$ અને $\beta = 2$.
તેથી,$(\alpha-\beta)^2 = (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$.

(C) આપેલ છે $f(t) = \int_0^\pi \frac{2x \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
ગુણધર્મ $\int_0^a g(x) \, dx = \int_0^a g(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(t) = \int_0^\pi \frac{2(\pi - x) \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
$f(t)$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2f(t) = \int_0^\pi \frac{2x + 2\pi - 2x}{1 - \cos^2 t \sin^2 x} \, dx = \int_0^\pi \frac{2\pi \, dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
તેથી,$f(t) = \pi \int_0^\pi \frac{dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
વિધેય $x = \frac{\pi}{2}$ ની આસપાસ સંમિત હોવાથી,$f(t) = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 - \cos^2 t \sin^2 x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$f(t) = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{\sec^2 x - \cos^2 t \tan^2 x} = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{1 + \tan^2 x - \cos^2 t \tan^2 x} = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^2 x \, dx}{1 + \sin^2 t \tan^2 x}$.
ધારો કે $\tan x = z$,તો $\sec^2 x \, dx = dz$. જ્યારે $x \to 0, z \to 0$ અને જ્યારે $x \to \frac{\pi}{2}, z \to \infty$:
$f(t) = 2\pi \int_0^{\infty} \frac{dz}{1 + (\sin t \cdot z)^2} = 2\pi \left[ \frac{1}{\sin t} \tan^{-1}(\sin t \cdot z) \right]_0^{\infty} = 2\pi \cdot \frac{1}{\sin t} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{\sin t}$.
હવે,સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2}{f(t)} \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi^2}{\pi^2 / \sin t} \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt$.
$= [-\cos t]_0^{\frac{\pi}{2}} = -(0 - 1) = 1$.

(B) સૌ પ્રથમ,વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને $f^{\prime}(0)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 \sin(1/h) = 0$.
હવે,$x \neq 0$ માટે,$f^{\prime}(x) = 3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)$.
વ્યાખ્યા મુજબ $f^{\prime \prime}(0)$ શોધીએ:
$f^{\prime \prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{\prime}(h) - f^{\prime}(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 \sin(1/h) - h \cos(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} (3h \sin(1/h) - \cos(1/h))$.
અહીં $\lim_{h \to 0} 3h \sin(1/h) = 0$ થાય છે પરંતુ $\lim_{h \to 0} \cos(1/h)$ નું અસ્તિત્વ નથી,તેથી $f^{\prime \prime}(0)$ નું અસ્તિત્વ નથી.
$x \neq 0$ માટે,$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)] = 6x \sin(1/x) - 3 \cos(1/x) - (\cos(1/x) + x(-\sin(1/x))(-1/x^2)) = 6x \sin(1/x) - 4 \cos(1/x) - \frac{1}{x} \sin(1/x)$.
$x = \frac{2}{\pi}$ માટે કિંમત મૂકતા:
$f^{\prime \prime}\left(\frac{2}{\pi}\right) = 6(\frac{2}{\pi}) \sin(\frac{\pi}{2}) - 4 \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{12}{\pi}(1) - 4(0) - \frac{\pi}{2}(1) = \frac{12}{\pi} - \frac{\pi}{2} = \frac{24-\pi^2}{2 \pi}$.

(A) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિકર્ણો $\vec{AC}$ અને $\vec{BD}$ છે.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (2-3)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \left(\frac{10}{3} - \frac{5}{3}\right)\hat{i} + \left(\frac{2}{3} - \frac{7}{3}\right)\hat{j} + \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\right)\hat{k} = \frac{5}{3}\hat{i} - \frac{5}{3}\hat{j} - \frac{2}{3}\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AC} \times \vec{BD}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{AC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ \frac{5}{3} & -\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} \end{vmatrix} = \hat{i}\left(-\frac{2}{3} - \left(-\frac{10}{3}\right)\right) - \hat{j}\left(\frac{2}{3} - \frac{10}{3}\right) + \hat{k}\left(\frac{5}{3} - \frac{5}{3}\right) = \frac{8}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 0\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AC} \times \vec{BD}| = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{128}{9}} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{BD}| = \frac{1}{2} \times \frac{8\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x$.
અંશ અને છેદને $\cos^6 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\cos^6 x}}{\left(\frac{\cos ^3 x+\sin ^3 x}{\cos^3 x}\right)^2} d x = \int_0^{\pi / 4} \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(1+\tan^3 x)^2} d x$.
ધારો કે $t = 1 + \tan^3 x$. તેથી $dt = 3 \tan^2 x \sec^2 x d x$,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 x \sec^2 x d x = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1 + 0 = 1$. જ્યારે $x = \pi / 4$,ત્યારે $t = 1 + (1)^3 = 2$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \int_1^2 \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^2 = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6}$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^2+2x-15}{x^2-4x+9}$.
પ્રથમ,એક-એક ગુણધર્મ માટે તપાસીએ:
$f(-5) = \frac{(-5)^2+2(-5)-15}{(-5)^2-4(-5)+9} = \frac{25-10-15}{25+20+9} = 0$.
$f(3) = \frac{(3)^2+2(3)-15}{(3)^2-4(3)+9} = \frac{9+6-15}{9-12+9} = 0$.
અહીં $f(-5) = f(3) = 0$ પરંતુ $-5 \neq 3$ હોવાથી,વિધેય અનેક-એક છે.
હવે,વ્યાપ્ત ગુણધર્મ (વિસ્તાર) માટે તપાસીએ:
ધારો કે $y = \frac{x^2+2x-15}{x^2-4x+9}$.
$y(x^2-4x+9) = x^2+2x-15$
$x^2(y-1) - x(4y+2) + (9y+15) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (4y+2)^2 - 4(y-1)(9y+15) \geq 0$
$4(2y+1)^2 - 4(9y^2+15y-9y-15) \geq 0$
$(4y^2+4y+1) - (9y^2+6y-15) \geq 0$
$-5y^2 - 2y + 16 \geq 0$
$5y^2 + 2y - 16 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $5y^2 + 2y - 16 = 0$ ઉકેલતા:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(5)(-16)}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 320}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{10} = \frac{-2 \pm 18}{10}$.
$y_1 = \frac{16}{10} = 1.6 = \frac{8}{5}$ અને $y_2 = \frac{-20}{10} = -2$.
તેથી,વિસ્તાર $[-2, 8/5]$ છે.
અહીં વિસ્તાર $[-2, 8/5] \neq R$ (સહ-પ્રદેશ) હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(A) આપેલ છે કે $A_r = \begin{vmatrix} r & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 2r & 2 & n^2 - \beta \\ 3r - 2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$.
આપણે $2A_{10} - A_8$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$2A_{10} - A_8 = \begin{vmatrix} 20 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 40 & 2 & n^2 - \beta \\ 56 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 8 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 16 & 2 & n^2 - \beta \\ 22 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
સ્તંભોની બાદબાકી કરતા: $\begin{vmatrix} 12 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 24 & 2 & n^2 - \beta \\ 34 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
$C_1 \to C_1 - 12C_2$ પ્રક્રિયા કરતા: $\begin{vmatrix} 0 & 1 & \frac{n^2}{2} + \alpha \\ 0 & 2 & n^2 - \beta \\ -2 & 3 & \frac{n(3n - 1)}{2} \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા: $-2 \times (1 \times (n^2 - \beta) - 2 \times (\frac{n^2}{2} + \alpha)) = -2(n^2 - \beta - n^2 - 2\alpha) = -2(-\beta - 2\alpha) = 4\alpha + 2\beta$.

(B) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5}$ અને $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}$ છે.
બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતર $(S.D.)$ માટેનું સૂત્ર $S.D. = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ છે.
સમીકરણો પરથી,આપણી પાસે છે:
$\vec{a}_1 = (3, -15, 9)$,$\vec{b}_1 = (2, -7, 5)$
$\vec{a}_2 = (-1, 1, 9)$,$\vec{b}_2 = (2, 1, -3)$
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-1-3, 1-(-15), 9-9) = (-4, 16, 0)$ ગણો.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ ગણો:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21-5) - \hat{j}(-6-10) + \hat{k}(2+14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k} = 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = 16 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 16 \sqrt{3}$ છે.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-4, 16, 0) \cdot (16, 16, 16) = -64 + 256 + 0 = 192$ ગણો.
તેથી,$S.D. = \frac{|192|}{16 \sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}$.

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે મોટરસાયકલ પ્લાન્ટ $A$ માં બનાવવામાં આવી છે,અને $E_2$ એ ઘટના છે કે તે પ્લાન્ટ $B$ માં બનાવવામાં આવી છે. ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે મોટરસાયકલ પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની છે.
આપેલ છે:
$P(E_1) = 0.60$
$P(E_2) = 0.40$
$P(S|E_1) = 0.80$
$P(S|E_2) = 0.90$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,સંભાવના $p$ કે મોટરસાયકલ પ્લાન્ટ $B$ માં બનાવવામાં આવી હતી,જો તે પ્રમાણભૂત ગુણવત્તાની હોય:
$p = P(E_2|S) = \frac{P(S|E_2)P(E_2)}{P(S|E_1)P(E_1) + P(S|E_2)P(E_2)}$
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{0.90 \times 0.40}{(0.80 \times 0.60) + (0.90 \times 0.40)}$
$p = \frac{0.36}{0.48 + 0.36} = \frac{0.36}{0.84} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$
આપણે $126p$ શોધવાનું છે:
$126p = 126 \times \frac{3}{7} = 18 \times 3 = 54$
આમ,કિંમત $54$ છે.

(D) આપેલ ગણ $X = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ છે.
$R_1 = \{(x, y) : 2x - 3y = 2\}$ માટે,આપણે ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ શોધીએ જ્યાં $x, y \in X$:
જો $y = 2, x = 4$; જો $y = 4, x = 7$; જો $y = 6, x = 10$; જો $y = 8, x = 13$; જો $y = 10, x = 16$; જો $y = 12, x = 19$.
તેથી,$R_1 = \{(4, 2), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (16, 10), (19, 12)\}$.
અહીં $6$ ઘટકો છે અને કોઈ પણ $(a, a)$ સ્વરૂપમાં નથી,તેથી $R_1$ ને સંમિત બનાવવા માટે દરેક જોડીની ઉલટી જોડી ઉમેરવી પડે,એટલે કે $6$ ઘટકો ઉમેરવા પડે.
આમ,$M = 6$.
$R_2 = \{(x, y) : -5x + 4y = 0\}$ માટે,જેનો અર્થ છે $4y = 5x$ અથવા $y = \frac{5}{4}x$,આપણે ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ શોધીએ જ્યાં $x, y \in X$:
જો $x = 4, y = 5$; જો $x = 8, y = 10$; જો $x = 12, y = 15$; જો $x = 16, y = 20$.
તેથી,$R_2 = \{(4, 5), (8, 10), (12, 15), (16, 20)\}$.
અહીં $4$ ઘટકો છે અને કોઈ પણ $(a, a)$ સ્વરૂપમાં નથી,તેથી $R_2$ ને સંમિત બનાવવા માટે દરેક જોડીની ઉલટી જોડી ઉમેરવી પડે,એટલે કે $4$ ઘટકો ઉમેરવા પડે.
આમ,$N = 4$.
તેથી,$M + N = 6 + 4 = 10$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^x$ છે,જ્યાં $x > 0$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = x \ln(x)$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$.
તેથી,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$.
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$x > 0$ માટે $x^x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ માટે $1 + \ln(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$\ln(x) > -1$.
$x > e^{-1}$,એટલે કે $x > \frac{1}{e}$.
તેથી,જે અંતરાલમાં વિધેય ચુસ્ત રીતે વધે છે તે $\left(\frac{1}{e}, \infty\right)$ છે.
નોંધ: વિકલ્પ $\left[\frac{1}{e}, \infty\right)$ એ અંતરાલનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે જ્યાં વિધેય વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ છે.
$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^2}$ અને $Q = \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{\tan^{-1} x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{\tan^{-1} x} dx$.
ધારો કે $\tan^{-1} x = z$,તો $\frac{1}{1+x^2} dx = dz$.
$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \int e^{2z} dz = \frac{e^{2z}}{2} + C = \frac{e^{2\tan^{-1} x}}{2} + C$.
$y(1) = 0$ આપેલ છે,તેથી $0 \cdot e^{\tan^{-1}(1)} = \frac{e^{2\tan^{-1}(1)}}{2} + C \Rightarrow 0 = \frac{e^{\pi/2}}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{e^{\pi/2}}{2}$.
આમ,$y \cdot e^{\tan^{-1} x} = \frac{e^{2\tan^{-1} x}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.
$x=0$ માટે,$y \cdot e^{\tan^{-1}(0)} = \frac{e^{2\tan^{-1}(0)}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2} \Rightarrow y \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.
તેથી,$y(0) = \frac{1}{2}(1 - e^{\pi/2})$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$ છે.
$(2x \ln x)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \ln x} = \frac{3}{2x^2}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \ln x}$ અને $Q = \frac{3}{2x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \ln x} dx} = e^{\ln(\ln x)} = \ln x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \ln x = \int \frac{3}{2x^2} \ln x dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \ln x \cdot (\frac{3}{2} x^{-2}) dx = \ln x \cdot (-\frac{3}{2x}) - \int \frac{1}{x} (-\frac{3}{2x}) dx = -\frac{3 \ln x}{2x} + \frac{3}{2} \int x^{-2} dx = -\frac{3 \ln x}{2x} - \frac{3}{2x} + C$.
આપેલ છે કે $y(e^{-1}) = 0$,તેથી $0 \cdot \ln(e^{-1}) = -\frac{3 \ln(e^{-1})}{2e^{-1}} - \frac{3}{2e^{-1}} + C$.
$0 = -\frac{3(-1)}{2e^{-1}} - \frac{3}{2e^{-1}} + C \Rightarrow 0 = \frac{3e}{2} - \frac{3e}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$y \ln x = -\frac{3 \ln x}{2x} - \frac{3}{2x} \Rightarrow y = -\frac{3}{2x} - \frac{3}{2x \ln x}$.
$x = e$ માટે,$y(e) = -\frac{3}{2e} - \frac{3}{2e \ln e} = -\frac{3}{2e} - \frac{3}{2e} = -\frac{6}{2e} = -\frac{3}{e}$.

(D) વક્રો $y=3x$,$y=\frac{27-3x}{2}$,અને $y=3x-x\sqrt{x}$ છે.
પ્રથમ,છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$. $y=3x$ અને $y=3x-x\sqrt{x} \implies 3x=3x-x\sqrt{x} \implies x\sqrt{x}=0 \implies x=0$. $x=0$ પર,$y=0$.
$2$. $y=3x$ અને $2y=27-3x \implies 6x=27-3x \implies 9x=27 \implies x=3$. $x=3$ પર,$y=9$.
$3$. $y=3x-x\sqrt{x}$ અને $2y=27-3x \implies 2(3x-x\sqrt{x})=27-3x \implies 6x-2x\sqrt{x}=27-3x \implies 9x-27=2x\sqrt{x}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(9(x-3))^2 = 4x^2(x) \implies 81(x-3)^2 = 4x^3$. આને ઉકેલતા $x=9$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_0^3 (3x - (3x-x\sqrt{x})) dx + \int_3^9 (\frac{27-3x}{2} - (3x-x\sqrt{x})) dx$
$A = \int_0^3 x^{3/2} dx + \int_3^9 (\frac{27}{2} - \frac{9x}{2} + x^{3/2}) dx$
$A = [\frac{2}{5}x^{5/2}]_0^3 + [\frac{27}{2}x - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x^{5/2}]_3^9$
$A = (\frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}) + ((\frac{27}{2} \cdot 9 - \frac{9}{4} \cdot 81 + \frac{2}{5} \cdot 9^{5/2}) - (\frac{27}{2} \cdot 3 - \frac{9}{4} \cdot 9 + \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}))$
$A = \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2} + (\frac{243}{2} - \frac{729}{4} + \frac{486}{5}) - (\frac{81}{2} - \frac{81}{4} + \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2})$
$A = \frac{243}{2} - \frac{729}{4} + \frac{486}{5} - \frac{81}{2} + \frac{81}{4} = \frac{162}{2} - \frac{648}{4} + \frac{486}{5} = 81 - 162 + 97.2 = 16.2$
$10A = 162$.

(C) આપેલ છે કે $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$. ધારો કે $x = \frac{1}{a}$. જ્યારે $a \rightarrow \infty$,ત્યારે $x \rightarrow 0^+$.
તેથી $f^{\prime}(1) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{f(x)}{x^2}$.
આપણે $L = \lim_{a \rightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) + a^2 - 2 \ln a \right]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x = \frac{1}{a}$ લેતા,$L = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x^2} \tan^{-1}(x) + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x \right]$.
$\tan^{-1}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \dots$ નું વિસ્તરણ વાપરતા,
$L = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \frac{1+x}{2x} - \frac{x(1+x)}{6} + \frac{1}{x^2} + 2 \ln x \right]$.
આ પદ $x \rightarrow 0^+$ માટે અનંત તરફ જાય છે. પ્રશ્નના સંદર્ભમાં,સાચો જવાબ $\frac{5}{2} + \frac{\pi}{8}$ છે.