JEE Main 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $L = \lim _{t}$ ${\rightarrow 0}\left(1^{\operatorname{cosec}^2 t}+2^{\operatorname{cosec}^2 t}+\ldots +n^{\operatorname{cosec}^2 t}\right)^{\sin ^2 t}$.
કૌંસમાંથી સૌથી મોટું પદ $n^{\operatorname{cosec}^2 t}$ સામાન્ય લેતા:
$L = \lim _{t}$ ${\rightarrow 0} \left[ n^{\operatorname{cosec}^2 t} \left( \left(\frac{1}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} + \left(\frac{2}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} + \ldots + 1 \right) \right]^{\sin ^2 t}$.
$L = \lim _{t}$ ${\rightarrow 0} \left( n^{\operatorname{cosec}^2 t} \right)^{\sin ^2 t} \cdot \left( \left(\frac{1}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} + \left(\frac{2}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} + \ldots + 1 \right)^{\sin ^2 t}$.
અહીં $\operatorname{cosec}^2 t \cdot \sin ^2 t = 1$ હોવાથી,પ્રથમ ભાગ $n^1 = n$ થાય છે.
બીજા ભાગ માટે,જેમ $t \rightarrow 0$,તેમ $\operatorname{cosec}^2 t \rightarrow \infty$. તેથી,$k < n$ માટે,$\left(\frac{k}{n}\right)^{\operatorname{cosec}^2 t} \rightarrow 0$.
આમ,પદાવલિ $n \cdot (0 + 0 + \ldots + 1)^0 = n \cdot 1^0 = n$ બને છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$.
બીજા પદ માટે આ લાગુ પાડતા,આપણને ${}^{23}C_{r} = {}^{23}C_{23-r}$ મળે છે.
આમ,સરવાળો $\sum \limits_{r=0}^{22} {}^{22}C_{r} \cdot {}^{23}C_{23-r}$ બને છે.
Vandermonde ના નિત્યસમ મુજબ,$\sum \limits_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
અહીં,$m=22$,$n=23$,અને $r=23$ છે.
તેથી,સરવાળો ${}^{22+23}C_{23} = {}^{45}C_{23}$ થાય છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 24x$ છે,તેથી $4a = 24$,જે $a = 6$ આપે છે.
આ પરવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx + \frac{6}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
અતિવલય $xy = 2$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,એટલે કે $xh + yk = 2hk$.
રેખા $AB$ ના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને બિંદુઓનો બિંદુપથ $x^2 = -3y$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $4x = 3$ છે.

(A) ધારો કે $x^{pq p^2} = y^{qr} = z^{p^2 r} = k$. તેથી $pq p^2 = \log_x k$,$qr = \log_y k$,અને $p^2 r = \log_z k$.
બેઝ બદલવાના નિયમ મુજબ,$\log_y x = \frac{p^3}{r}$,$\log_z y = \frac{q}{p^2}$,અને $\log_x z = \frac{r}{pq}$.
શ્રેણી $3, 3 \log_y x, 3 \log_z y, 7 \log_x z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$3 \log_y x - 3 = \frac{1}{2} \implies \log_y x = \frac{7}{6}$.
$p=2, q=3, r=7$ ઉકેલતા,$r - p - q = 7 - 2 - 3 = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{199}(p + iq)$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $1-\sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{-\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi}{3}))$.
તેથી,$(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{200}(\cos(\frac{-200\pi}{3}) + i\sin(\frac{-200\pi}{3}))$.
અહીં $\frac{-200\pi}{3} = -66\pi - \frac{2\pi}{3}$,તેથી $\cos(\frac{-200\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ અને $\sin(\frac{-200\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$2^{200}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{199}(p + iq)$.
$p + iq = -1 - i\sqrt{3}$,તેથી $p = -1$ અને $q = -\sqrt{3}$.
ધારો કે $\alpha = p + q + q^2 = -1 - \sqrt{3} + 3 = 2 - \sqrt{3}$.
ધારો કે $\beta = p - q + q^2 = -1 + \sqrt{3} + 3 = 2 + \sqrt{3}$.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 4$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 1$.
સમીકરણ $x^2 - 4x + 1 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપેલ વિધાન $r \Rightarrow s$ છે,જ્યાં $r = (\sim(P \wedge Q)) \vee ((\sim P) \wedge Q)$ અને $s = ((\sim P) \wedge (\sim Q))$ છે.
સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,$r \Rightarrow s$ નું મૂલ્ય $P \Leftrightarrow Q$ જેવું જ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^2-4x+[x]+3=x[x]$
પદોને ગોઠવતા: $x^2-4x+3=x[x]-[x]$
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા: $(x-1)(x-3)=[x](x-1)$
આ સૂચવે છે કે: $(x-1)(x-3-[x]) = 0$
તેથી,$x=1$ અથવા $x-3=[x]$
$x-3=[x]$ માટે,આપણને $x-[x]=3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\}=3$.
અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\}$ એ $0 \le \{x\} < 1$ નું પાલન કરતું હોવાથી,$\{x\}=3$ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,એકમાત્ર ઉકેલ $x=1$ છે.

(C) સંભાવના સિદ્ધાંતમાં,નિદર્શ અવકાશ $\Omega$ અને ઘટના $A \subseteq \Omega$ માટે:
$1$. જો $P(A) = 0$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે ઘટના $A$ એ અશક્ય ઘટના છે,એટલે કે $A = \phi$. તેથી,$(S1)$ સત્ય છે.
$2$. જો $P(A) = 1$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે ઘટના $A$ એ ચોક્કસ ઘટના છે,એટલે કે $A = \Omega$. તેથી,$(S2)$ સત્ય છે.
આમ,બંને વિધાનો $(S1)$ અને $(S2)$ સત્ય છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ ના કોઈપણ બિંદુ $P(6 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $3x \sec \theta - 2y \operatorname{cosec} \theta = 20$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2,0)$ છે અને તે ઉપવલયમાં અંતર્ગત હોવાથી,સંપર્ક બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ વર્તુળના કેન્દ્ર $(2,0)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ.
અભિલંબના સમીકરણમાં $(2,0)$ મૂકતા: $3(2) \sec \theta - 2(0) \operatorname{cosec} \theta = 20 \implies 6 \sec \theta = 20 \implies \cos \theta = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
તેથી $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{100} = \frac{91}{100}$,એટલે કે $\sin \theta = \frac{\sqrt{91}}{10}$.
સંપર્ક બિંદુ $P = (6 \cdot \frac{3}{10}, 4 \cdot \frac{\sqrt{91}}{10}) = (1.8, 0.4\sqrt{91})$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ $(2,0)$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$r^2 = (1.8 - 2)^2 + (0.4\sqrt{91} - 0)^2 = (-0.2)^2 + 0.16(91) = 0.04 + 14.56 = 14.6$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + y^2 = 14.6$ છે.
જો $(1, \alpha)$ વર્તુળ પર હોય: $(1-2)^2 + \alpha^2 = 14.6 \implies 1 + \alpha^2 = 14.6 \implies \alpha^2 = 13.6$.
તેથી,$10 \alpha^2 = 10(13.6) = 136$.

(A) આપણે દ્વિપદી સહગુણકો માટેનું પ્રમાણિત નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sum_{r=0}^{n} r \cdot ^{n}C_r = n \cdot 2^{n-1}$.
આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r$ માટે,આપણે નિત્યસમમાં $n = 2023$ મૂકીએ છીએ:
$\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \cdot 2^{2023-1} = 2023 \cdot 2^{2022}$.
આ પરિણામની સરખામણી આપેલ પદાવલિ $2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$2023 \cdot 2^{2022} = 2023 \cdot \alpha \cdot 2^{2022}$.
બંને બાજુને $2023 \cdot 2^{2022}$ વડે ભાગતા,આપણને $\alpha = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સંખ્યા $123412341$ છે. અંકો ${1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4}$ છે.
અહીં $5$ એકી અંકો ${1, 1, 1, 3, 3}$ અને $4$ બેકી અંકો ${2, 2, 4, 4}$ છે.
$9$ અંકની સંખ્યામાં $9$ સ્થાનો હોય છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ છે (કુલ $4$ સ્થાનો).
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7, 9$ છે (કુલ $5$ સ્થાનો).
શરત મુજબ,$4$ બેકી અંકો $4$ બેકી સ્થાનો પર હોવા જોઈએ.
$4$ બેકી અંકો ${2, 2, 4, 4}$ ને $4$ બેકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
$5$ એકી અંકો ${1, 1, 1, 3, 3}$ ને $5$ એકી સ્થાનો પર ગોઠવવાની રીતો $\frac{5!}{3!2!} = 10$ છે.
કુલ સંખ્યા $= 6 \times 10 = 60$.

(C) આપેલ સમીકરણ $|x|^2 - 2|x| + |\lambda - 3| = 0$ છે.
આને $(|x| - 1)^2 = 1 - |\lambda - 3|$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ વાસ્તવિક ઉકેલ હોય તે માટે $1 - |\lambda - 3| \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2 \le \lambda \le 4$.
$x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$(|x| - 1)^2$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ,એટલે કે $0$ અથવા $1$.
કિસ્સો $1$: $(|x| - 1)^2 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = \pm 1$. તો $1 - |\lambda - 3| = 0 \implies |\lambda - 3| = 1 \implies \lambda = 4$ અથવા $\lambda = 2$.
જો $\lambda = 4, x = 1, -1$,તો $x + \lambda$ ની કિંમત $5$ અથવા $3$ મળે.
જો $\lambda = 2, x = 1, -1$,તો $x + \lambda$ ની કિંમત $3$ અથવા $1$ મળે.
કિસ્સો $2$: $(|x| - 1)^2 = 1 \implies |x| = 2$ અથવા $0 \implies x = \pm 2, 0$. તો $1 - |\lambda - 3| = 1 \implies |\lambda - 3| = 0 \implies \lambda = 3$.
જો $\lambda = 3, x = 2, -2, 0$,તો $x + \lambda$ ની કિંમત $5, 1, 3$ મળે.
ગણ $S = \{5, 3, 1\}$ છે. સૌથી મોટો ઘટક $5$ છે.

(C) કુલ અભ્યાસક્રમો = $12$,ભાષાના અભ્યાસક્રમો = $5$,અન્ય અભ્યાસક્રમો = $7$.
આપણે $5$ અભ્યાસક્રમો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં વધુમાં વધુ $2$ ભાષાના હોય.
કિસ્સો $1$: $0$ ભાષાના અને $5$ અન્ય અભ્યાસક્રમો:
$^{5}C_{0} \times ^{7}C_{5} = 1 \times 21 = 21$.
કિસ્સો $2$: $1$ ભાષાનો અને $4$ અન્ય અભ્યાસક્રમો:
$^{5}C_{1} \times ^{7}C_{4} = 5 \times 35 = 175$.
કિસ્સો $3$: $2$ ભાષાના અને $3$ અન્ય અભ્યાસક્રમો:
$^{5}C_{2} \times ^{7}C_{3} = 10 \times 35 = 350$.
કુલ રીતો = $21 + 175 + 350 = 546$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(4 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{3} = 1$ છે.
$A$ (જ્યાં $y=0$) ના યામ $(4 \sec \theta, 0)$ અને $B$ (જ્યાં $x=0$) ના યામ $(0, 3 \operatorname{cosec} \theta)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ $L$ માટે $L^2 = 16 \sec^2 \theta + 9 \operatorname{cosec}^2 \theta$ થાય.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ અને $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$L^2 = 16(1 + \tan^2 \theta) + 9(1 + \cot^2 \theta) = 25 + 16 \tan^2 \theta + 9 \cot^2 \theta$ મળે.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$16 \tan^2 \theta + 9 \cot^2 \theta \geq 2 \sqrt{16 \tan^2 \theta \cdot 9 \cot^2 \theta} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$.
તેથી,$L^2 \geq 25 + 24 = 49$,જેનો અર્થ છે કે $L \geq 7$.
રેખાખંડ $AB$ ની ન્યૂનતમ લંબાઈ $7$ છે.

(C) આપેલ છે $T_4 = ar^3 = 500$,જ્યાં $r = \frac{1}{m}$.
તેથી,$a(\frac{1}{m})^3 = 500 \implies a = 500m^3$.
આપેલ છે $S_6 > S_5 + 1 \implies S_6 - S_5 > 1 \implies T_6 > 1$.
$ar^5 > 1 \implies 500m^3 \cdot (\frac{1}{m})^5 > 1 \implies \frac{500}{m^2} > 1 \implies m^2 < 500$.
આપેલ છે $S_7 < S_6 + \frac{1}{2} \implies S_7 - S_6 < \frac{1}{2} \implies T_7 < \frac{1}{2}$.
$ar^6 < \frac{1}{2} \implies 500m^3 \cdot (\frac{1}{m})^6 < \frac{1}{2} \implies \frac{500}{m^3} < \frac{1}{2} \implies m^3 > 1000 \implies m > 10$.
$m^2 < 500$ અને $m > 10$ ને જોડતા,આપણને $10 < m < \sqrt{500} \approx 22.36$ મળે છે.
$m \in N$ હોવાથી,$m \in \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22\}$.
$m$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $12$ છે.

(B) ધારો કે $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ એ સામાન્ય તફાવત $d$ સાથે $A.P.$ માં છે.
$a_1 + a_3 = a_1 + (a_1 + 2d) = 2a_1 + 2d = 10 \Rightarrow a_1 + d = 5$.
છ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = \frac{19}{2}$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 6 \times \frac{19}{2} = 57$.
$A.P.$ માટે સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + 5d) = 3(2a_1 + 5d) = 57 \Rightarrow 2a_1 + 5d = 19$.
$a_1 + d = 5$ અને $2a_1 + 5d = 19$ ઉકેલતા,આપણને $d = 3$ અને $a_1 = 2$ મળે છે.
સંખ્યાઓ $2, 5, 8, 11, 14, 17$ છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^2 + 14^2 + 17^2}{6} - (\frac{19}{2})^2$.
$\sigma^2 = \frac{4 + 25 + 64 + 121 + 196 + 289}{6} - \frac{361}{4} = \frac{699}{6} - \frac{361}{4} = 116.5 - 90.25 = 26.25 = \frac{105}{4}$.
તેથી,$8 \sigma^2 = 8 \times \frac{105}{4} = 210$.

(C) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ તમામ $x, y \in \mathbb{N}$ માટે અને $f(1)=3$.
આપણે શ્રેણીના પદો શોધી શકીએ છીએ:
$f(1)=3$
$f(2)=f(1+1)=f(1) \cdot f(1)=3^2=9$
$f(3)=f(2+1)=f(2) \cdot f(1)=3^2 \cdot 3=3^3=27$
સામાન્ય રીતે,$f(k)=3^k$.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} 3^k = 3279$ આપેલ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=3$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r=3$ અને $n$ પદો છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3(3^n-1)}{3-1} = 3279$
$\frac{3(3^n-1)}{2} = 3279$
$3(3^n-1) = 6558$
$3^n-1 = 2186$
$3^n = 2187$
કારણ કે $3^7 = 2187$,તેથી $n=7$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$
ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$. તેથી $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3(t^2 - 2) - 2t + 5 = 0$
$3t^2 - 6 - 2t + 5 = 0$
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
અવયવ પાડતા: $3t^2 - 3t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t(t - 1) + 1(t - 1) = 0$
$(3t + 1)(t - 1) = 0$,તેથી $t = 1$ અથવા $t = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3x^2 + x + 3 = 0$. વિવેચક $D = (1)^2 - 4(3)(3) = 1 - 36 = -35 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) $3, 5, 6, 7, 8$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $7000$ થી મોટી સંખ્યા બનાવવા માટે આપણે $4$-અંકની અથવા $5$-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકીએ.
$1$. $4$-અંકની સંખ્યાઓ માટે:
પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $7$ અથવા $8$ હોવો જોઈએ (કારણ કે સંખ્યા $> 7000$ હોવી જોઈએ).
જો પ્રથમ અંક $7$ અથવા $8$ ($2$ વિકલ્પો) હોય,તો બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ $4$-અંકની સંખ્યાઓ $= 2 \times 24 = 48$.
$2$. $5$-અંકની સંખ્યાઓ માટે:
આ $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ $5$-અંકની સંખ્યાઓ $7000$ થી મોટી જ હોય છે,તેથી આવી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5! = 120$ છે.
કુલ સંખ્યાઓ $= 48 + 120 = 168$.

(C) ધારો કે $z = \sin \frac{2 \pi}{9} + i \cos \frac{2 \pi}{9}$.
અહીં $|z|^2 = 1$ હોવાથી,$\bar{z} = \frac{1}{z}$ થાય.
આથી પદાવલિ $\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)^3 = \left(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}}\right)^3 = z^3$ બને.
હવે,$z = i(\cos \frac{2 \pi}{9} - i \sin \frac{2 \pi}{9}) = i e^{-i \frac{2 \pi}{9}}$.
તેથી $z^3 = (i e^{-i \frac{2 \pi}{9}})^3 = i^3 e^{-i \frac{6 \pi}{9}} = -i e^{-i \frac{2 \pi}{3}}$.
$z^3 = -i (\cos \frac{2 \pi}{3} - i \sin \frac{2 \pi}{3}) = -i (-\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2}(\sqrt{3}-i)$.

(B) બાજુઓના સમીકરણો $AB: (\lambda+1)x + \lambda y = 4$ અને $AC: \lambda x + (1-\lambda)y + \lambda = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,$A$ નો $y$-યામ શોધવા માટે આપણે બંને સમીકરણોમાં $x=0$ મૂકીએ છીએ.
$AB$ માટે,$y = 4/\lambda$. $AC$ માટે,$y = \lambda/(\lambda-1)$.
આ બંનેને સરખાવતા,$4/\lambda = \lambda/(\lambda-1)$ $\Rightarrow 4\lambda - 4 = \lambda^2$ $\Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0$ $\Rightarrow (\lambda-2)^2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda=2$ મૂકતા,$AB: 3x + 2y = 4$ અને $AC: 2x - y + 2 = 0$ મળે છે. આમ,$A$ એ $(0,2)$ છે.
ધારો કે $C$ એ $(\alpha, 2\alpha+2)$ છે (કારણ કે $C$ એ $AC$ પર છે).
લંબકેન્દ્ર $H(1,2)$ એ વેધનું છેદબિંદુ છે. $C$ માંથી પસાર થતો વેધ $AB$ ને લંબ છે. $AB$ નો ઢાળ $-3/2$ છે,તેથી $C$ માંથી પસાર થતા વેધનો ઢાળ $2/3$ છે.
$H(1,2)$ અને $C(\alpha, 2\alpha+2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $(2\alpha+2-2)/(\alpha-1) = 2\alpha/(\alpha-1)$ છે.
$2\alpha/(\alpha-1) = 2/3$ $\Rightarrow 6\alpha = 2\alpha - 2$ $\Rightarrow 4\alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -1/2$ લેતા.
આમ,$C$ એ $(-1/2, 1)$ છે.
પરવલય $y^2 = 6x$ છે,તેથી $4a = 6 \Rightarrow a = 3/2$. સ્પર્શક $y = mx + a/m = mx + 3/(2m)$ છે.
સ્પર્શક $C(-1/2, 1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$1 = m(-1/2) + 3/(2m)$ $\Rightarrow 2 = -m + 3/m$ $\Rightarrow m^2 + 2m - 3 = 0$.
$m$ માટે ઉકેલતા,$(m+3)(m-1) = 0 \Rightarrow m = 1$ અથવા $m = -3$.
પ્રથમ ચરણ માટે,સ્પર્શબિંદુ $T(a/m^2, 2a/m) = (3/(2m^2), 3/m)$ છે.
$m=1$ માટે,$T = (3/2, 3)$. અંતર $CT = \sqrt{(3/2 - (-1/2))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(D) આપણને $\lim_{x \rightarrow a}(\lfloor x-5 \rfloor - \lfloor 2x+2 \rfloor) = 0$ આપેલ છે.
આનું સાદું રૂપ $\lim_{x \rightarrow a}(\lfloor x \rfloor - \lfloor 2x \rfloor) = 7$ થાય છે.
ધારો કે $a = I + f$,જ્યાં $I$ પૂર્ણાંક છે અને $f \in [0, 1)$.
જો $f \in [0, 0.5)$ હોય,તો $\lfloor a \rfloor = I$ અને $\lfloor 2a \rfloor = 2I$ થાય. તેથી $I - 2I = 7 \Rightarrow I = -7$. આમ $a \in [-7, -6.5)$.
જો $f \in [0.5, 1)$ હોય,તો $\lfloor a \rfloor = I$ અને $\lfloor 2a \rfloor = 2I + 1$ થાય. તેથી $I - (2I + 1) = 7 \Rightarrow I = -8$. આમ $a \in [-7.5, -7)$.
બંનેને જોડતા,$a \in [-7.5, -6.5)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _k\right)^2$.
ગુણધર્મ ${ }^{n} C _k = { }^{n} C _{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum_{k=1}^{30} k \left({ }^{30} C _{30-k}\right)^2$.
$j = 30-k$ લેતા,$S = \sum_{j=0}^{29} (30-j) \left({ }^{30} C _j\right)^2$.
આમ,$2S = 30 \sum_{k=0}^{30} \left({ }^{30} C _k\right)^2 = 30 \times { }^{60} C _{30}$.
$S = 15 \times { }^{60} C _{30} = 15 \times \frac{60!}{(30!)^2}$.
તેથી,$\alpha = 15$.

(D) ધારો કે $C(4, 5)$ એ $R = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $P(h, k)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જે કેન્દ્ર $C$ આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CPB$ માં,$CP = R \cos(\frac{\theta}{2}) = 2 \cos(\frac{\theta}{2})$ થાય.
અંતર $CP$ એ કેન્દ્ર $(4, 5)$ થી બિંદુ $P(h, k)$ સુધીનું અંતર છે,તેથી $CP^2 = (h-4)^2 + (k-5)^2$.
આમ,$(h-4)^2 + (k-5)^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta}{2})$.
આ $r = 2 \cos(\frac{\theta}{2})$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે $r_i = 2 \cos(\frac{\theta_i}{2})$,તેથી $r_i^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta_i}{2})$.
$\theta_1 = \frac{\pi}{3}$ માટે,$r_1^2 = 4 \cos^2(\frac{\pi}{6}) = 4 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3$.
$\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ માટે,$r_3^2 = 4 \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 4 \times (\frac{1}{2})^2 = 1$.
$r_1^2 = r_2^2 + r_3^2$ હોવાથી,$3 = r_2^2 + 1$,જેનો અર્થ છે કે $r_2^2 = 2$.
$r_2^2 = 4 \cos^2(\frac{\theta_2}{2})$ મૂકતા,આપણને $4 \cos^2(\frac{\theta_2}{2}) = 2$ મળે,તેથી $\cos^2(\frac{\theta_2}{2}) = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(\frac{\theta_2}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{\theta_2}{2} = \frac{\pi}{4}$,જે $\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ આપે છે.

(C) આપણને પદાવલિ $\sim(p \wedge (p \rightarrow \sim q))$ આપેલ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (p$ $\rightarrow \sim q)) \equiv \sim p \vee \sim(p$ $\rightarrow \sim q)$.
કારણ કે $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$,તેથી $p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \vee \sim q$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\equiv \sim p \vee \sim(\sim p \vee \sim q)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા:
$\equiv \sim p \vee (p \wedge q)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$:
$\equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$.
કારણ કે $\sim p \vee p \equiv t$ (નિરર્થક સત્ય):
$\equiv t \wedge (\sim p \vee q)$.
$\equiv \sim p \vee q$.

(D) અંશનો સરવાળો $\sum_{r=1}^n r^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ છે.
છેદ $\sum_{r=1}^n r(2r+1) = \sum_{r=1}^n (2r^2+r) = 2\sum r^2 + \sum r$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}} = \frac{9}{5}$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{3n(n+1)}{2(4n+5)} = \frac{9}{5}$.
$\frac{n(n+1)}{2(4n+5)} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5n^2 + 5n = 24n + 30$.
$5n^2 - 19n - 30 = 0$.
$(n-5)(5n+6) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$n = 5$.

(D) આપેલ દ્વિપદી પદાવલિ $\left(x-\frac{3}{x^2}\right)^n$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ પ્રથમ ત્રણ પદો નીચે મુજબ છે:
$T_1 = { }^n C_0 x^n$
$T_2 = -3 { }^n C_1 x^{n-3}$
$T_3 = 9 { }^n C_2 x^{n-6}$
સહગુણકોનો સરવાળો $376$ આપેલ છે:
${ }^n C_0 - 3 { }^n C_1 + 9 { }^n C_2 = 376$
$1 - 3n + 9 \frac{n(n-1)}{2} = 376$
$9n^2 - 15n - 750 = 0$
$3n^2 - 5n - 250 = 0$
$(n-10)(3n+25) = 0$
$n = 10$ મળે છે.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = { }^{10} C_r (-3)^r x^{10-3r}$ છે.
$x^4$ ના સહગુણક માટે $10-3r = 4$ લેતા $r = 2$ મળે.
તેથી સહગુણક ${ }^{10} C_2 (-3)^2 = 45 \times 9 = 405$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\tan (\pi \cos \theta) + \tan (\pi \sin \theta) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan (\pi \cos \theta) = -\tan (\pi \sin \theta) = \tan (-\pi \sin \theta)$.
તેથી,$\pi \cos \theta = n\pi - \pi \sin \theta$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin \theta + \cos \theta = n$ મળે છે.
કારણ કે $-\sqrt{2} \leq \sin \theta + \cos \theta \leq \sqrt{2}$,$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $-1, 0, 1$ છે.
કિસ્સો $1$: $\sin \theta + \cos \theta = 0 \implies \tan \theta = -1$. $[0, 2\pi)$ માં,$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\sin \theta + \cos \theta = 1 \implies \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $[0, 2\pi)$ માં,$\theta = 0, \frac{\pi}{2}$.
કિસ્સો $3$: $\sin \theta + \cos \theta = -1 \implies \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. $[0, 2\pi)$ માં,$\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$.
ગણ $S = \{0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}\}$.
આપણે $\sum_{\theta \in S} \sin^2(\theta + \frac{\pi}{4})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\theta \in \{0, \frac{\pi}{2}\}$ માટે,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.
$\theta \in \{\pi, \frac{3\pi}{2}\}$ માટે,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.
$\theta \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ માટે,$\sin^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = (0)^2 = 0$.
સરવાળો $= 4 \times \frac{1}{2} + 2 \times 0 = 2$.

(D) શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે.
$A$ એ $2x + y = 0$ અને $x - y = 3$ નું છેદબિંદુ છે. આનો સરવાળો કરતા,$3x = 3 \Rightarrow x = 1$. તેથી $y = -2$. એટલે કે $A = (1, -2)$.
$B$ એ $2x + y = 0$ અને $x + py = 21a$ નું છેદબિંદુ છે. ધારો કે $B = (\alpha, -2\alpha)$.
$C$ એ $x - y = 3$ અને $x + py = 21a$ નું છેદબિંદુ છે. ધારો કે $C = (\beta + 3, \beta)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G(2, a) = (\frac{1 + \alpha + \beta + 3}{3}, \frac{-2 - 2\alpha + \beta}{3})$.
યામોને સરખાવતા: $1 + \alpha + \beta + 3 = 6$ $\Rightarrow \alpha + \beta = 2$ $\Rightarrow \beta = 2 - \alpha$.
$-2 - 2\alpha + \beta = 3a$ $\Rightarrow -2 - 2\alpha + 2 - \alpha = 3a$ $\Rightarrow -3\alpha = 3a$ $\Rightarrow \alpha = -a$.
$B$ એ $x + py = 21a$ પર હોવાથી: $\alpha + p(-2\alpha) = 21a$ $\Rightarrow \alpha(1 - 2p) = 21(- \alpha)$ $\Rightarrow 1 - 2p = -21$ $\Rightarrow 2p = 22$ $\Rightarrow p = 11$.
$C$ એ $x + py = 21a$ પર હોવાથી: $(\beta + 3) + 11\beta = 21a$ $\Rightarrow 12\beta + 3 = 21(- \alpha)$ $\Rightarrow 4\beta + 1 = -7\alpha$.
$\beta = 2 - \alpha$ મૂકતા: $4(2 - \alpha) + 1 = -7\alpha$ $\Rightarrow 8 - 4\alpha + 1 = -7\alpha$ $\Rightarrow 3\alpha = -9$ $\Rightarrow \alpha = -3$.
તેથી $\beta = 2 - (-3) = 5$. આમ $B = (-3, 6)$ અને $C = (8, 5)$.
$(BC)^2 = (8 - (-3))^2 + (5 - 6)^2 = 11^2 + (-1)^2 = 121 + 1 = 122$.

(B) બે પૂર્ણાંકો $x$ અને $66-x$ નો ગુણાકાર $f(x) = x(66-x)$ છે.
આ એક નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેની મહત્તમ કિંમત $x = 33$ પર મળે છે.
તેથી,$M = 33 \times 33 = 1089$.
આપણે $x(66-x) \geq \frac{5}{9} \times 1089 = 5 \times 121 = 605$ ની જરૂર છે.
$66x - x^2 \geq 605 \implies x^2 - 66x + 605 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x^2 - 66x + 605 = 0$ ઉકેલતા: $x = \frac{66 \pm \sqrt{4356 - 2420}}{2} = \frac{66 \pm 44}{2}$.
તેથી,$x_1 = 11$ અને $x_2 = 55$.
ગણ $S = \{11, 12, \ldots, 55\}$,તેથી સભ્યોની સંખ્યા $n(S) = 55 - 11 + 1 = 45$.
ઘટના $A$ માં $S$ ના $3$ ના ગુણકો છે: $A = \{12, 15, 18, \ldots, 54\}$.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 12$,$l = 54$,અને $d = 3$.
$54 = 12 + (n-1)3 \implies 42 = (n-1)3 \implies n = 15$.
તેથી,$n(A) = 15$.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

(C) અંશ એ $n$ પદોનો સરવાળો છે જેનું સ્વરૂપ $(3k-2) + (3k-1) - 3k = 3k-3$ છે,જ્યાં $k=1$ થી $n$.
સરવાળો $= \sum_{k=1}^{n} (3k-3) = 3 \sum_{k=1}^{n} (k-1) = 3 \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3n^2-3n}{2}$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરતા: $\operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{3n^2-3n}{2}}{\sqrt{2n^4+4n+3}-\sqrt{n^4+5n+4}}$.
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા: $\operatorname{Lim}_{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\frac{3}{2} - \frac{3}{2n}}{\sqrt{2+\frac{4}{n^3}+\frac{3}{n^4}}-\sqrt{1+\frac{5}{n^3}+\frac{4}{n^4}}}$.
જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ આ પદ $\frac{3/2}{\sqrt{2}-1}$ તરફ જાય છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{3}{2(\sqrt{2}-1)} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{3(\sqrt{2}+1)}{2(2-1)} = \frac{3}{2}(\sqrt{2}+1)$.

(A) રેખા $ax + by = 0$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$A(\alpha, 0)$ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ પર હોવાથી,$\alpha^2 - 2\alpha = 0$,એટલે કે $\alpha = 0$ અથવા $\alpha = 2$. જો $\alpha = 0$ હોય,તો $A = (0, 0)$.
$B(1, \beta)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$1^2 + \beta^2 - 2(1) = 0$,એટલે કે $\beta^2 = 1$,તેથી $\beta = 1$ અથવા $\beta = -1$.
રેખા $ax + by = 0$ એ $(0, 0)$ અને $(1, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = \beta x$ છે. $a \neq b$ હોવાથી,છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(1, 1)$ મળે છે (જ્યાં $\beta=1$).
$AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$ છે,જે $x^2 + y^2 - x - y = 0$ થાય છે.
કેન્દ્ર $(1/2, 1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1/\sqrt{2}$ છે.
રેખા $x + y + 2 = 0$ માં કેન્દ્રનું પ્રતિબિંબ $(-2.5, -2.5)$ મળે છે.
આમ,પ્રતિબિંબિત વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 5x + 5y + 12 = 0$ છે.

(C) ધારો કે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $n$ છે. પ્રારંભિક મધ્યક $\bar{x} = 10$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 4$ છે.
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 10 \implies \sum x_i = 10n$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 4 \implies \frac{\sum x_i^2}{n} - 100 = 4 \implies \sum x_i^2 = 104n$.
જ્યારે એક વિદ્યાર્થીના ગુણ $8$ થી બદલાઈને $12$ થાય છે,ત્યારે ગુણનો નવો સરવાળો $\sum x_i' = 10n - 8 + 12 = 10n + 4$ થાય છે.
નવો મધ્યક $\frac{10n + 4}{n} = 10.2 \implies 10n + 4 = 10.2n \implies 0.2n = 4 \implies n = 20$.
હવે,વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum x_i'^2 = \sum x_i^2 - 8^2 + 12^2 = 104(20) - 64 + 144 = 2080 + 80 = 2160$ છે.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i'^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{2160}{20} - (10.2)^2 = 108 - 104.04 = 3.96$ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. તો $|z - z_1|^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2$ અને $|z - z_2|^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$.
આપેલ છે $|z_1 - z_2|^2 = |(2 - 3) + i(3 - 4)|^2 = |-1 - i|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$.
સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 - ((x - 3)^2 + (y - 4)^2) = 2$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) - (x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16) = 2$.
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13) - (x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25) = 2$.
$2x + 2y - 12 = 2$.
$2x + 2y = 14 \Rightarrow x + y = 7$.
આ એક સીધી રેખા છે જેનો $x$-અંતઃખંડ $7$ અને $y$-અંતઃખંડ $7$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $7 + 7 = 14$ થાય છે.

(B) પરવલય $y^2 = \frac{x}{2}$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{8m}$ છે.
વક્ર $x = 1 + y^2$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ મૂકતા $x = 1 + (mx + \frac{1}{8m})^2$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $m^2x^2 - \frac{3}{4}x + (1 + \frac{1}{64m^2}) = 0$ મળે.
સ્પર્શક હોવાથી વિવેચક $D = 0$ લેતા,$m = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ મળે.
તેથી સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - 2\sqrt{2}y + 1 = 0$ થાય.
બિંદુ $(6, -2\sqrt{2})$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|6 + 8 + 1|}{\sqrt{9}} = 5$ થાય.

(B) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \wedge \sim q)$ $\Rightarrow (p$ $\Rightarrow \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થ નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim (p \wedge \sim q) \vee (p \Rightarrow \sim q)$
$S \equiv (\sim p \vee \sim (\sim q)) \vee (\sim p \vee \sim q)$
$S \equiv (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee \sim q)$
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim p \vee (q \vee \sim q)$
કારણ કે $(q \vee \sim q)$ એ નિત્યસત્ય $(t)$ છે:
$S \equiv \sim p \vee t$
$S \equiv t$
તેથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.

(B) આપેલ છે કે $a_r$ એ $(1+x)^{10}$ માં $x^{10-r}$ નો સહગુણક છે,તેથી $a_r = {}^{10}C_{10-r} = {}^{10}C_r$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{10}C_r}{{}^{10}C_{r-1}} = \frac{11-r}{r}$ છે.
સરવાળામાં કિંમત મૂકતા,$\sum \limits_{r=1}^{10} r^3 \left(\frac{11-r}{r}\right)^2 = \sum \limits_{r=1}^{10} r(11-r)^2$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum \limits_{r=1}^{10} (121r - 22r^2 + r^3)$.
$n=10$ માટે સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= 121 \times 55 - 22 \times 385 + 3025 = 6655 - 8470 + 3025 = 1210$.

(A) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 5, 7, 10, 11\}$. ઘટકોને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ મુજબ વર્ગીકૃત કરીએ:
$R_0 = \{3\}$ (સંખ્યા $n_0 = 1$)
$R_1 = \{1, 7, 10\}$ (સંખ્યા $n_1 = 3$)
$R_2 = \{2, 5, 11\}$ (સંખ્યા $n_2 = 3$)
ગણતરી કરતા,$3$ નો ગુણક હોય તેવા કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $43$ મળે છે.
ખાલી ગણને બાદ કરતા,અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $43 - 1 = 42$ થાય.

(B) અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm 6, 0)$ આપેલ હોવાથી,$a = 6$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( \frac{5}{4} - 1 \right) = 36 \left( \frac{1}{4} \right) = 9$.
તેથી,અતિવલય $H$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\sec \theta} + \frac{by}{\tan \theta} = a^2 + b^2$ છે.
$a=6, b=3$ મૂકતા,સમીકરણ $\frac{6x}{\sec \theta} + \frac{3y}{\tan \theta} = 36 + 9 = 45$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $6x \cos \theta + 3y \cot \theta = 45$ થાય.
આ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{6 \cos \theta}{3 \cot \theta} = -2 \sin \theta$ છે.
અભિલંબ રેખા $\sqrt{2}x + y = 2\sqrt{2}$ ને સમાંતર છે,જેનો ઢાળ $-\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$-2 \sin \theta = -\sqrt{2} \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
અભિલંબના સમીકરણમાં $\theta = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા: $6x \cos(\frac{\pi}{4}) + 3y \cot(\frac{\pi}{4}) = 45 \Rightarrow 6x(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3y(1) = 45 \Rightarrow 3\sqrt{2}x + 3y = 45 \Rightarrow \sqrt{2}x + y = 15$.
અતિવલય પરનું બિંદુ $P$ એ $(6 \sec(\frac{\pi}{4}), 3 \tan(\frac{\pi}{4})) = (6\sqrt{2}, 3)$ છે.
અભિલંબનું $y$-અક્ષ $(x=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $K(0, 15)$ છે.
લંબાઈ $d$ એ $P(6\sqrt{2}, 3)$ અને $K(0, 15)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$d^2 = (6\sqrt{2} - 0)^2 + (3 - 15)^2 = (6\sqrt{2})^2 + (-12)^2 = 72 + 144 = 216$.

(B) આપેલ છે કે $\log_2(9^{2\alpha-4} + 13) - \log_2(\frac{5}{2} \cdot 3^{2\alpha-4} + 1) = 2$.
ધારો કે $y = 3^{2\alpha-4}$. તેથી $9^{2\alpha-4} = y^2$.
સમીકરણ $\log_2(\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1}) = 2$ બને છે.
$\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1} = 4 \implies y^2 + 13 = 10y + 4$.
$y^2 - 10y + 9 = 0 \implies (y-1)(y-9) = 0$.
તેથી $y = 1$ અથવા $y = 9$.
જો $3^{2\alpha-4} = 1$,તો $2\alpha-4 = 0 \implies \alpha = 2$.
જો $3^{2\alpha-4} = 9$,તો $2\alpha-4 = 2 \implies \alpha = 3$.
આમ,$S = \{2, 3\}$.
$\sum_{\alpha \in S} \alpha = 2 + 3 = 5$.
$\sum_{\alpha \in S} (\alpha+1)^2 = (2+1)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2(5)^2 x + 25\beta = 0$ છે,જે $x^2 - 50x + 25\beta = 0$ થાય.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (-50)^2 - 4(1)(25\beta) = 2500 - 100\beta \geq 0$.
$100\beta \leq 2500 \implies \beta \leq 25$.
$\beta$ ની મહત્તમ કિંમત $25$ છે.

(B) મલ્ટિનોમિયલ વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\frac{5!}{n_1! n_2! n_3!} (2x)^{n_1} (x^{-7})^{n_2} (3x^2)^{n_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{5!}{n_1! n_2! n_3!} 2^{n_1} 3^{n_3} x^{n_1 - 7n_2 + 2n_3}$ થાય છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $n_1 - 7n_2 + 2n_3 = 0$.
$n_1 + n_2 + n_3 = 5$ હોવાથી,$n_1 = 5 - n_2 - n_3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(5 - n_2 - n_3) - 7n_2 + 2n_3 = 0$ $\Rightarrow 5 - 8n_2 + n_3 = 0$ $\Rightarrow n_3 = 8n_2 - 5$.
જો $n_2 = 1$ હોય,તો $n_3 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 = 5 - 1 - 3 = 1$.
આ કિંમતોને સહગુણકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{5!}{1! 1! 3!} (2)^1 (3)^3 = \frac{120}{6} \times 2 \times 27 = 20 \times 54 = 1080$.

(B) ધારો કે $S = \{1, 2, \dots, 25\}$. આપણે એવી જોડી $(x, y)$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી $x, y \in S$,$x \neq y$,અને $x + y \equiv 0 \pmod{5}$ થાય.
પ્રથમ,$S$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષના આધારે વિભાજિત કરો:
$R_0 = \{5, 10, 15, 20, 25\}$ (કદ $5$)
$R_1 = \{1, 6, 11, 16, 21\}$ (કદ $5$)
$R_2 = \{2, 7, 12, 17, 22\}$ (કદ $5$)
$R_3 = \{3, 8, 13, 18, 23\}$ (કદ $5$)
$R_4 = \{4, 9, 14, 19, 24\}$ (કદ $5$)
$x+y$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,શેષની શક્ય જોડીઓ $(r_x, r_y)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(0, 0)$: $x, y \in R_0$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 4 = 20$.
$2$. $(1, 4)$: $x \in R_1, y \in R_4$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 = 25$.
$3$. $(4, 1)$: $x \in R_4, y \in R_1$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 = 25$.
$4$. $(2, 3)$: $x \in R_2, y \in R_3$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 = 25$.
$5$. $(3, 2)$: $x \in R_3, y \in R_2$. રીતોની સંખ્યા = $5 \times 5 = 25$.
કુલ રીતો = $20 + 25 + 25 + 25 + 25 = 120$.

(C) આપેલ છે $\left|\frac{z-2i}{z+i}\right|=2$,તેથી $|z-2i|^2 = 4|z+i|^2$.
ધારો કે $z = x+iy$. તો $|x+i(y-2)|^2 = 4|x+i(y+1)|^2$.
$x^2 + (y-2)^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$.
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$.
$3x^2 + 3y^2 + 12y = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 + 4y = 0$ મળે છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 + (y+2)^2 = 4$.
આ $2$ ત્રિજ્યા અને $(0, -2)$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^n + \lambda$ છે.
આપેલ કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$f(4) = 2(4^n) + \lambda = 133$ --- $(1)$
$f(5) = 2(5^n) + \lambda = 255$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$2(5^n - 4^n) = 255 - 133 = 122$
$5^n - 4^n = 61$
$n \in N$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
$n = 3$ માટે,$5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61$. તેથી,$n = 3$.
$n = 3$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2(4^3) + \lambda = 133$
$2(64) + \lambda = 133$
$128 + \lambda = 133 \Rightarrow \lambda = 5$.
હવે,$f(3) - f(2)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(3) = 2(3^3) + 5 = 2(27) + 5 = 59$
$f(2) = 2(2^3) + 5 = 2(8) + 5 = 21$
$f(3) - f(2) = 59 - 21 = 38$.
$38$ ના ભાજકો $1, 2, 19, 38$ છે.
આ ભાજકોનો સરવાળો $1 + 2 + 19 + 38 = 60$ થાય છે.

(C) કયા સંયોજનથી નિત્યસત્ય મળે છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક કિસ્સા માટે સત્યતા કોષ્ટક તપાસીએ:
$1$. $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$ માટે: પદાવલિ $(p \rightarrow q) \wedge (p \vee q)$ છે. જો $p=T, q=F$ હોય,તો $(T \rightarrow F) \wedge (T \vee F) = F \wedge T = F$. આ નિત્યસત્ય નથી.
$2$. $\Delta=\vee, \nabla=\wedge$ માટે: પદાવલિ $(p \rightarrow q) \vee (p \wedge q)$ છે. જો $p=T, q=F$ હોય,તો $(T \rightarrow F) \vee (T \wedge F) = F \vee F = F$. આ નિત્યસત્ય નથી.
$3$. $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ માટે: પદાવલિ $(p \rightarrow q) \vee (p \vee q)$ છે.
- જો $p=T, q=T$: $T \vee T = T$
- જો $p=T, q=F$: $F \vee T = T$
- જો $p=F, q=T$: $T \vee T = T$
- જો $p=F, q=F$: $T \vee F = T$
બધા મૂલ્યો $T$ હોવાથી,આ એક નિત્યસત્ય છે.
$4$. $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$ માટે: પદાવલિ $(p \rightarrow q) \wedge (p \wedge q)$ છે. જો $p=F, q=F$ હોય,તો $T \wedge F = F$. આ નિત્યસત્ય નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ છે.

(D) $5000$ અને $10000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા બનાવવા માટે,તે $4$ અંકની સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પ્રથમ અંક (હજારનું સ્થાન) $5$ કરતા મોટો અથવા $5$ જેટલો હોવો જોઈએ. આપેલ અંકો $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ માંથી,હજારના સ્થાન માટે શક્ય વિકલ્પો $5, 7, 9$ ($3$ વિકલ્પો) છે.
પુનરાવર્તન માન્ય ન હોવાથી,સોના સ્થાન માટે $4$ બાકી રહેલા અંકો,દશકના સ્થાન માટે $3$ બાકી રહેલા અંકો અને એકમના સ્થાન માટે $2$ બાકી રહેલા અંકો છે.
કુલ સંખ્યા $= 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 6x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 6$,તેથી $a = \frac{3}{2}$ મળે.
પરવલય $y^2 = 6x$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{3}{2m}$ છે.
ત્રિકોણ રેખાઓ $x = 0$,$y = 3$,અને $y = mx + \frac{3}{2m}$ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$1$. $x = 0$ અને $y = 3$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
$2$. $x = 0$ અને $y = mx + \frac{3}{2m}$ નું છેદબિંદુ $(0, \frac{3}{2m})$ છે.
$3$. $y = 3$ અને $y = mx + \frac{3}{2m}$ નું છેદબિંદુ $(\frac{6m - 3}{2m^2}, 3)$ છે.
ધારો કે પરિવૃતકેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિવૃતકેન્દ્ર કર્ણનું મધ્યબિંદુ થાય.
તેથી,$h = \frac{6m - 3}{4m^2}$ અને $k = \frac{6m + 3}{4m}$.
$k = \frac{6m + 3}{4m}$ પરથી $m = \frac{3}{2(2k - 3)}$ મળે.
આ કિંમત $h$ માં મૂકતા,આપણને બિંદુપથ $4y^2 - 18y + 3x + 18 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સરવાળો $S = \sum \limits_{k=0}^{6} {}^{51-k}C_{3}$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,$S = {}^{51}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{45}C_{3}$ મળે.
આને ચડતા ક્રમમાં લખતા,$S = {}^{45}C_{3} + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3}$ મળે.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3} = {}^{46}C_{4}$ થાય.
આથી,$S = ({}^{45}C_{4} + {}^{45}C_{3}) + {}^{46}C_{3} + {}^{47}C_{3} + {}^{48}C_{3} + {}^{49}C_{3} + {}^{50}C_{3} + {}^{51}C_{3} - {}^{45}C_{4}$.
આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરતા,અંતે ${}^{52}C_{4} - {}^{45}C_{4}$ મળે છે.

(B) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
આપેલ છે કે $N - 2, \sqrt{3N}, N + 2$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી મધ્યમ પદનો વર્ગ એ અંતિમ પદોના ગુણાકાર જેટલો હોવો જોઈએ:
$(\sqrt{3N})^2 = (N - 2)(N + 2)$
$3N = N^2 - 4$
$N^2 - 3N - 4 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(N - 4)(N + 1) = 0$
$N$ એ બે પાસાનો સરવાળો હોવાથી,$N \geq 2$,તેથી $N = 4$ એ એકમાત્ર માન્ય ઉકેલ છે.
સરવાળો $N = 4$ મળે તેવા પરિણામો: $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ છે.
આપણને $P(A) = \frac{k}{48}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{k}{48} = \frac{1}{12}$
$k = \frac{48}{12} = 4$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, \frac{1}{18}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b^2 = a \times \frac{1}{18} \implies a = 18b^2$ $(i)$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{a}, 10, \frac{1}{b}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 \times 10 = 20$.
$\frac{a+b}{ab} = 20 \implies a+b = 20ab$ $(ii)$.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$18b^2 + b = 20(18b^2)b = 360b^3$.
$b > 0$ હોવાથી,$b$ વડે ભાગતા: $18b + 1 = 360b^2 \implies 360b^2 - 18b - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $b = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4(360)(-1)}}{2(360)} = \frac{18 \pm \sqrt{1764}}{720} = \frac{18 \pm 42}{720}$.
$b > 0$ હોવાથી,$b = \frac{60}{720} = \frac{1}{12}$.
તેથી $a = 18 \times (\frac{1}{12})^2 = 18 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{8}$.
અંતે,$16a + 12b = 16(\frac{1}{8}) + 12(\frac{1}{12}) = 2 + 1 = 3$.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
બિંદુઓ $(2, -3, 1)$,$(-1, 1, -2)$ અને $(3, -4, 2)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-2 & y+3 & z-1 \\ -3 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(4 - 3) - (y+3)(-3 + 3) + (z-1)(3 - 4) = 0$
$(x-2)(1) - (y+3)(0) + (z-1)(-1) = 0$
$x - 2 - z + 1 = 0$
$x - z - 1 = 0$
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
બિંદુ $(7, -3, -4)$ અને સમતલ $x - z - 1 = 0$ માટે:
$d = \frac{|7 - (-4) - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|7 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{u}=(1, -1, -2)$,$\vec{v}=(2, 1, -1)$,અને $\vec{v} \cdot \vec{w}=2$.
આપણને સમીકરણ $\vec{v} \times \vec{w} = \vec{u} + \lambda\vec{v} \quad \dots(1)$ આપેલ છે.
સમીકરણ $(1)$ નો $\vec{v}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} \cdot \vec{u} + \lambda(\vec{v} \cdot \vec{v})$.
કારણ કે $\vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$,તેથી $0 = (2 - 1 + 2) + \lambda(2^2 + 1^2 + (-1)^2)$.
$0 = 3 + 6\lambda \implies \lambda = -\frac{1}{2}$.
હવે,સમીકરણ $(1)$ નો $\vec{w}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{w} \cdot \vec{u} + \lambda(\vec{w} \cdot \vec{v})$.
કારણ કે $\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$,તેથી $0 = \vec{u} \cdot \vec{w} + \lambda(2)$.
$\vec{u} \cdot \vec{w} = -2\lambda = -2(-\frac{1}{2}) = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=1$
$2x+Ny+2z=2$
$3x+3y+Nz=3$
સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta \neq 0$ હોય.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & N & 2 \\ 3 & 3 & N \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(N^2 - 6) - 1(2N - 6) + 1(6 - 3N)$
$\Delta = N^2 - 6 - 2N + 6 + 6 - 3N$
$\Delta = N^2 - 5N + 6 = (N-2)(N-3)$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $N \neq 2$ અને $N \neq 3$.
કારણ કે $N$ એ એક નિષ્પક્ષ પાસાનું પરિણામ છે,$N \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$N$ ના જે મૂલ્યો માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે તે $\{1, 4, 5, 6\}$ છે.
આવા $4$ મૂલ્યો છે,તેથી સંભાવના $\frac{4}{6}$ છે,જે $k = 4$ આપે છે.
$k$ અને $N$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો જે માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે તે $4 + (1 + 4 + 5 + 6) = 4 + 16 = 20$ થાય.

(C) ધારો કે $x = \tan ^{-1}\left(\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\right)$.
દલીલનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$x = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
ધારો કે $y = \sec ^{-1}\left(\sqrt{\frac{8+4 \sqrt{3}}{6+3 \sqrt{3}}}\right)$.
દલીલનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{\frac{4(2+\sqrt{3})}{3(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$y = \sec ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$x + y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ છે. સરળતા માટે,$\vec{p} = \vec{0}$ લો.
આપેલ છે કે $\frac{QA}{AR} = \frac{1}{2}$,તેથી બિંદુ $A$ એ $QR$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$\vec{a} = \frac{2\vec{q} + 1\vec{r}}{3}$.
આપેલ છે કે $\frac{RB}{BP} = \frac{1}{2}$,તેથી બિંદુ $B$ એ $RP$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$\vec{b} = \frac{2\vec{r} + 1\vec{p}}{3} = \frac{2\vec{r}}{3}$.
આપેલ છે કે $\frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$,તેથી બિંદુ $C$ એ $PQ$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. તેથી,$\vec{c} = \frac{2\vec{p} + 1\vec{q}}{3} = \frac{\vec{q}}{3}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}|$ દ્વારા મળે છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta' = \frac{1}{2} |(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશોની ગણતરી કરતા: $\vec{b} - \vec{a} = \frac{\vec{r} - 2\vec{q}}{3}$ અને $\vec{c} - \vec{a} = \frac{-\vec{q} - \vec{r}}{3}$.
$\Delta' = \frac{1}{2} |\frac{1}{9} (\vec{r} - 2\vec{q}) \times (-\vec{q} - \vec{r})| = \frac{1}{18} |-\vec{r} \times \vec{q} + 2\vec{q} \times \vec{r}| = \frac{1}{18} |\vec{q} \times \vec{r} + 2\vec{q} \times \vec{r}| = \frac{1}{6} |\vec{q} \times \vec{r}|$.
આમ,$\frac{\operatorname{Area}(\triangle PQR)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)} = \frac{\frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}|}{\frac{1}{6} |\vec{q} \times \vec{r}|} = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $A^2 + B = A^2 B$
પદોને ગોઠવતા:
$A^2 = A^2 B - B$
$A^2 = (A^2 - I)B$
અથવા અવયવ પાડવા માટે:
$A^2 B - B = A^2$
$B(A^2 - I) = A^2$
પદ $(A^2 - I)(B - I) = A^2 B - A^2 - B + I$ ને ધ્યાનમાં લો.
$A^2 B = A^2 + B$ કિંમત મૂકતા:
$(A^2 - I)(B - I) = (A^2 + B) - A^2 - B + I = I$
કારણ કે $(A^2 - I)(B - I) = I$,તેનો અર્થ એ છે કે શ્રેણિકો $(A^2 - I)$ અને $(B - I)$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
તેથી,$(A^2 - I)(B - I) = (B - I)(A^2 - I) = I$
$(B - I)(A^2 - I) = I$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$B A^2 - B - A^2 + I = I$
$B A^2 = A^2 + B$
$A^2 + B = A^2 B$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે:
$A^2 B = B A^2$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^3 \frac{dy}{dx} + xy - 1 = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^2} = \frac{1}{x^3}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x^2}$ અને $Q = \frac{1}{x^3}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x^2} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} dx$.
ધારો કે $t = -\frac{1}{x}$,તો $dt = \frac{1}{x^2} dx$. વળી,$\frac{1}{x} = -t$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^t dt = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$.
$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$.
$e^{-\frac{1}{x}}$ વડે ભાગતા,$y = 1 + \frac{1}{x} + C e^{\frac{1}{x}}$ મળે.
આપેલ છે કે $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$,તેથી $3 - e = 1 + \frac{1}{1/2} + C e^{\frac{1}{1/2}} = 1 + 2 + C e^2 = 3 + C e^2$.
આમ,$3 - e = 3 + C e^2 \implies C e^2 = -e \implies C = -\frac{1}{e} = -e^{-1}$.
તેથી,$y(x) = 1 + \frac{1}{x} - e^{-1} e^{\frac{1}{x}} = 1 + \frac{1}{x} - e^{\frac{1}{x} - 1}$.
$x = 1$ માટે,$y(1) = 1 + \frac{1}{1} - e^{\frac{1}{1} - 1} = 1 + 1 - e^0 = 2 - 1 = 1$.

(C) આપેલ વક્રો $y^2 = -4(x-1)$ અને $x = \frac{y-2}{2}$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{y-2}{2}$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = -4(\frac{y-2}{2} - 1) = -2(y-2-2) = -2(y-4) = -2y + 8$.
$y^2 + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2) = 0$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $y = -4$ અને $y = 2$ પર છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં જમણી બાજુના વક્રમાંથી ડાબી બાજુના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-4}^{2} [x_{right} - x_{left}] dy = \int_{-4}^{2} [\frac{4-y^2}{4} - \frac{y-2}{2}] dy$.
$A = \int_{-4}^{2} [1 - \frac{y^2}{4} - \frac{y}{2} + 1] dy = \int_{-4}^{2} [2 - \frac{y}{2} - \frac{y^2}{4}] dy$.
$A = [2y - \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{12}]_{-4}^{2}$.
$A = (2(2) - \frac{4}{4} - \frac{8}{12}) - (2(-4) - \frac{16}{4} - \frac{-64}{12}) = (4 - 1 - \frac{2}{3}) - (-8 - 4 + \frac{16}{3}) = (3 - \frac{2}{3}) - (-12 + \frac{16}{3}) = \frac{7}{3} - (\frac{-36+16}{3}) = \frac{7}{3} - (\frac{-20}{3}) = \frac{27}{3} = 9$.

(B) આપેલ શ્રેણિક અસામાન્ય હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક $0$ થાય:
$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha^2(c-b) - \alpha(c-a) + (b-a) = 0$
આ સમીકરણ $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ જેવું જ છે,જ્યાં $\alpha=1$ એ એક બીજ છે કારણ કે $(a-c) + (b-a) + (c-b) = 0$.
ધારો કે $X = a-c$,$Y = b-a$,અને $Z = c-b$. અહીં $X+Y+Z = 0$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{X^2}{YZ} + \frac{Y^2}{XZ} + \frac{Z^2}{XY} = \frac{X^3 + Y^3 + Z^3}{XYZ}$ છે.
$X+Y+Z = 0$ હોવાથી,નિત્યસમ $X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$ નો ઉપયોગ કરતા,
આમ,પદાવલિની કિંમત $\frac{3XYZ}{XYZ} = 3$ મળે છે.

(C) બિંદુ $P(-1, 9, -16)$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખા $\frac{x+4}{3} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-3}{12}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{3} = \frac{y-9}{-4} = \frac{z+16}{12} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3\lambda - 1, -4\lambda + 9, 12\lambda - 16)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x + 3y - z = 5$ પર હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(3\lambda - 1) + 3(-4\lambda + 9) - (12\lambda - 16) = 5$.
$6\lambda - 2 - 12\lambda + 27 - 12\lambda + 16 = 5$.
$-18\lambda + 41 = 5$.
$-18\lambda = -36$,તેથી $\lambda = 2$.
છેદબિંદુ $(3(2) - 1, -4(2) + 9, 12(2) - 16) = (5, 1, 8)$ છે.
$(-1, 9, -16)$ અને $(5, 1, 8)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - 9)^2 + (8 - (-16))^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 24^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26$ છે.

(D) સ્વવાચકતા: $R$ સ્વવાચક હોય તે માટે,દરેક $a \in \mathbb{Z}$ માટે $(a, a) \in R$ હોવું જોઈએ.
આ માટે $\operatorname{gcd}(a, a) = |a| = 1$ અને $2a \neq a$ હોવું જરૂરી છે. આ દરેક $a \in \mathbb{Z}$ માટે સાચું નથી (દા.ત.,$a=2$),તેથી $R$ સ્વવાચક નથી.
સંમિતતા: $R$ સંમિત હોય તે માટે,જો $(a, b) \in R$ હોય,તો $(b, a) \in R$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $a=2, b=1$. $\operatorname{gcd}(2, 1) = 1$ અને $2(2) = 4 \neq 1$,તેથી $(2, 1) \in R$.
પરંતુ,$(1, 2)$ માટે,$\operatorname{gcd}(1, 2) = 1$ પણ $2(1) = 2 = b$. શરત $2a \neq b$ નું પાલન થતું નથી,તેથી $(1, 2) \notin R$.
આમ,$R$ સંમિત નથી.
પરંપરિતતા: $R$ પરંપરિત હોય તે માટે,જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$ હોય,તો $(a, c) \in R$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $a=14, b=19, c=21$.
$\operatorname{gcd}(14, 19) = 1$ અને $2(14) = 28 \neq 19$,તેથી $(14, 19) \in R$.
$\operatorname{gcd}(19, 21) = 1$ અને $2(19) = 38 \neq 21$,તેથી $(19, 21) \in R$.
પરંતુ,$\operatorname{gcd}(14, 21) = 7 \neq 1$,તેથી $(14, 21) \notin R$.
આમ,$R$ પરંપરિત નથી.
નિષ્કર્ષ: $R$ ન તો સંમિત છે કે ન તો પરંપરિત છે.

(B) $x=0$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)$. કારણ કે $|\sin(1/x)| \leq 1$,આપણી પાસે $|x^2 \sin(1/x)| \leq x^2$ છે. સ્ક્વીઝ પ્રમેય દ્વારા,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. આમ,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે.
$x=0$ આગળ $f(x)$ ની વિકલનીયતા: $f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) = 0$. લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને $f^{\prime}(0) = 0$.
$x=0$ આગળ $f^{\prime}(x)$ ની સાતત્યતા: $x \neq 0$ માટે,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \sin(1/x)] = 2x \sin(1/x) + x^2 \cos(1/x) (-1/x^2) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.
જેમ $x \to 0$,$2x \sin(1/x) \to 0$,પરંતુ $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ નું અસ્તિત્વ નથી કારણ કે તે દોલન કરે છે. તેથી,$\lim_{x \to 0} f^{\prime}(x)$ નું અસ્તિત્વ નથી,એટલે કે $f^{\prime}(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત નથી.

(C) ધારો કે $I = 12 \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$.
પ્રથમ,દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડો: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
પદાવલિ $(x - 1)(x - 2)$ એ $[0, 1)$ પર ધન,$(1, 2)$ પર ઋણ અને $(2, 3]$ પર ધન છે.
તેથી,આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = 12 \left[ \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx \right]$.
દરેક સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$.
$[0, 1]$ માટે: $[\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2] - [0] = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}$.
$[1, 2]$ માટે: $-[(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] = -[(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] = -[\frac{4-5}{6}] = \frac{1}{6}$.
$[2, 3]$ માટે: $[(9 - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4)] = [15 - 13.5 - \frac{2}{3}] = [1.5 - \frac{2}{3}] = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6}$.
સરવાળો કરતા: $I = 12 \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \right) = 12 \left( \frac{11}{6} \right) = 22$.

(C) ધારો કે $I = \frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x)^{2023}}{(\sin x)^{2023}+(\cos x)^{2023}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin x)^{2023}}{(\cos x)^{2023}+(\sin x)^{2023}} dx$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{(\cos x)^{2023} + (\sin x)^{2023}}{(\sin x)^{2023}+(\cos x)^{2023}} \right) dx$.
$2I = \frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$.
$2I = \frac{8}{\pi} [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{8}{\pi} \times \frac{\pi}{2} = 4$.
તેથી,$I = \frac{4}{2} = 2$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-6}{2}$ અને $L_2: \frac{x-6}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+8}{0}$ છે.
અહીં,બિંદુ $A(2, -1, 6)$ એ $L_1$ પર છે અને બિંદુ $B(6, 1, -8)$ એ $L_2$ પર છે.
દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (6-2)\hat{i} + (1-(-1))\hat{j} + (-8-6)\hat{k} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 14\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-4)) - \hat{j}(0 - 6) + \hat{k}(-6 - 6) = 4\hat{i} + 6\hat{j} - 12\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{4^2 + 6^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|(4)(4) + (2)(6) + (-14)(-12)|}{14} = \frac{|16 + 12 + 168|}{14} = \frac{196}{14} = 14$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.
$f(x) + f(1-x) = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x} + 2}$ ધ્યાનમાં લો.
$= \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4/4^x}{4/4^x + 2} = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{2 + 4^x} = \frac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$.
આમ,$f(x) + f(1-x) = 1$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{2022} f\left(\frac{k}{2023}\right)$ છે.
અહીં કુલ $2022$ પદો છે,તેથી આપણે તેમને $f\left(\frac{k}{2023}\right) + f\left(1 - \frac{k}{2023}\right) = 1$ તરીકે જોડી શકીએ છીએ.
આવી જોડીઓની સંખ્યા $\frac{2022}{2} = 1011$ છે.
તેથી,સરવાળો $1011 \times 1 = 1011$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x^3-x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)-f^{\prime \prime \prime}(3)$.
ધારો કે $f^{\prime}(1)=a$,$f^{\prime \prime}(2)=b$,અને $f^{\prime \prime \prime}(3)=c$.
તેથી $f(x)=x^3-ax^2+bx-c$.
વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x)=3x^2-2ax+b$
$f^{\prime \prime}(x)=6x-2a$
$f^{\prime \prime \prime}(x)=6$
હવે,કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime \prime \prime}(3)=6 \implies c=6$.
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)-2a=12-2a=b \implies 2a+b=12$.
$f^{\prime}(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=a \implies 3a-b=3$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2a+b)+(3a-b)=12+3 \implies 5a=15 \implies a=3$.
$a=3$ ને $2a+b=12$ માં મૂકતા: $2(3)+b=12 \implies b=6$.
આમ,$f(x)=x^3-3x^2+6x-6$.
કિંમતો શોધતા:
$f(0)=-6$
$f(1)=1-3+6-6=-2$
$f(2)=8-12+12-6=2$
$f(3)=27-27+18-6=12$
વિકલ્પ $C$ તપાસતા: $2f(0)-f(1)+f(3) = 2(-6)-(-2)+12 = -12+2+12 = 2 = f(2)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+2y+3z=3$ ... $(i)$
$4x+3y-4z=4$ ... (ii)
$8x+4y-\lambda z=9+\mu$ ... (iii)
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકનો ક્રમ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિક $D$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & -4 \\ 8 & 4 & -\lambda \end{vmatrix} = 1(-3\lambda + 16) - 2(-4\lambda + 32) + 3(16 - 24) = 5\lambda - 72$.
અનંત ઉકેલો માટે,$D = 0 \Rightarrow 5\lambda - 72 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{72}{5}$.
હવે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B]$ ધ્યાનમાં લો:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 4 & 3 & -4 & | & 4 \\ 8 & 4 & -\frac{72}{5} & | & 9+\mu \end{bmatrix}$.
હારની પ્રક્રિયાઓ કરતા: $R_2 \to R_2 - 4R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 8R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 3 \\ 0 & -5 & -16 & | & -8 \\ 0 & -12 & -\frac{192}{5} & | & \mu-15 \end{bmatrix}$.
અનંત ઉકેલો માટે,ત્રીજી હાર બીજી હારનો ગુણક હોવી જોઈએ. સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\frac{-12}{-5} = 2.4$ છે.
તેથી,$\mu - 15 = 2.4 \times (-8) = -19.2 \Rightarrow \mu = 15 - 19.2 = -4.2 = -\frac{21}{5}$.
આમ,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{72}{5}, -\frac{21}{5}\right)$.

(D) $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + kP_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + (\lambda+4)y + z - 1) + k(2x + y + z - 2) = 0$ $(1)$
સમતલ બિંદુ $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(0 + (\lambda+4)(1) + 0 - 1) + k(0 + 1 + 0 - 2) = 0$
$\lambda + 3 - k = 0 \implies k = \lambda + 3$
સમતલ બિંદુ $(1, 0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$(1 + 0 + 1 - 1) + k(2 + 0 + 1 - 2) = 0$
$1 + k = 0 \implies k = -1$
$k$ ની કિંમતો સરખાવતા:
$\lambda + 3 = -1 \implies \lambda = -4$
હવે,બિંદુ $(2\lambda, \lambda, -\lambda) = (-8, -4, 4)$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
સમતલ $P_2: 2x + y + z - 2 = 0$ અને બિંદુ $(-8, -4, 4)$ માટે:
$d = \frac{|2(-8) + 1(-4) + 1(4) - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-16 - 4 + 4 - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|-18|}{\sqrt{6}} = \frac{18}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{6}$.

(C) ધારો કે $\vec{\beta}_1 = \lambda \vec{\alpha}$.
$\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 + \vec{\beta}_2$ હોવાથી,$\vec{\beta}_2 = \vec{\beta} - \vec{\beta}_1 = \vec{\beta} - \lambda \vec{\alpha}$ મળે.
સદિશોની કિંમત મૂકતા,$\vec{\beta}_2 = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) - \lambda(4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = (1 - 4\lambda)\hat{i} + (2 - 3\lambda)\hat{j} - (4 + 5\lambda)\hat{k}$.
$\vec{\beta}_2 \perp \vec{\alpha}$ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha} = 0$.
$4(1 - 4\lambda) + 3(2 - 3\lambda) + 5(-4 - 5\lambda) = 0$.
$4 - 16\lambda + 6 - 9\lambda - 20 - 25\lambda = 0$.
$-50\lambda - 10 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{5}$.
હવે,$\vec{\beta}_2 = (1 - 4(-\frac{1}{5}))\hat{i} + (2 - 3(-\frac{1}{5}))\hat{j} - (4 + 5(-\frac{1}{5}))\hat{k} = \frac{9}{5}\hat{i} + \frac{13}{5}\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેથી,$5\vec{\beta}_2 = 9\hat{i} + 13\hat{j} - 15\hat{k}$.
અંતે,$5\vec{\beta}_2 \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 9(1) + 13(1) - 15(1) = 9 + 13 - 15 = 7$.

(D) રેખાની દિશાના ગુણોત્તર બે સમતલોના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-3) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(3-0) = -5\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
$(3, 2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $\vec{v} = \langle -5, 1, 3 \rangle$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{-5} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(-5\lambda+3, \lambda+2, 3\lambda+1)$ છે.
ધારો કે $P = (1, 9, 7)$. સદિશ $\vec{PM} = \langle -5\lambda+3-1, \lambda+2-9, 3\lambda+1-7 \rangle = \langle -5\lambda+2, \lambda-7, 3\lambda-6 \rangle$.
કારણ કે $\vec{PM}$ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PM} \cdot \langle -5, 1, 3 \rangle = 0$.
$-5(-5\lambda+2) + 1(\lambda-7) + 3(3\lambda-6) = 0$.
$25\lambda - 10 + \lambda - 7 + 9\lambda - 18 = 0$.
$35\lambda - 35 = 0 \implies \lambda = 1$.
$M$ ના યામમાં $\lambda = 1$ મૂકતા,$M = (-5(1)+3, 1+2, 3(1)+1) = (-2, 3, 4)$.
આમ,$(\alpha, \beta, \gamma) = (-2, 3, 4)$.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = -2+3+4 = 5$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2-3y^2)dx+3xydy=0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{3y^2-x^2}{3xy} = \frac{y}{x} - \frac{1}{3}\frac{x}{y}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y=vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = v - \frac{1}{3v}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $x\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{3v}$,અથવા $3vdv = -\frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int 3vdv = -\int \frac{dx}{x} \Rightarrow \frac{3v^2}{2} = -\ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + C$.
$y(1)=1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3(1)^2}{2(1)^2} = -\ln(1) + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{3y^2}{2x^2} = -\ln|x| + \frac{3}{2} \Rightarrow 3y^2 = 3x^2 - 2x^2\ln|x|$.
$x=e$ માટે,$3y^2(e) = 3e^2 - 2e^2\ln(e) = 3e^2 - 2e^2 = e^2$.
આમ,$6y^2(e) = 2(3y^2(e)) = 2e^2$.

(B) $5$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક જેમાં દરેક હારનો સરવાળો $1$ અને દરેક સ્તંભનો સરવાળો $1$ હોય અને ઘટકો $\{0, 1\}$ માંથી હોય,તેને ક્રમચય શ્રેણિક (permutation matrix) કહેવાય.
પ્રથમ હારમાં,$1$ મૂકવા માટે $5$ શક્ય સ્થાનો છે.
બીજી હારમાં,$1$ મૂકવા માટે $4$ બાકી રહેલા સ્થાનો ઉપલબ્ધ છે (કારણ કે પ્રથમ હારમાં વપરાયેલ સ્તંભ ફરીથી વાપરી શકાતો નથી).
ત્રીજી હારમાં,$3$ બાકી રહેલા સ્થાનો છે.
ચોથી હારમાં,$2$ બાકી રહેલા સ્થાનો છે.
પાંચમી હારમાં,માત્ર $1$ બાકી રહેલું સ્થાન છે.
તેથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ છે.

(D) આપણે સંકલન $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{9-4 x^2}} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,સંકલનને $I = \int \limits_{\frac{3 \sqrt{2}}{4}}^{\frac{3 \sqrt{3}}{4}} \frac{48}{\sqrt{3^2-(2 x)^2}} dx$ તરીકે લખો.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરીને,$u = 2x$ લેતા,$du = 2dx$ અથવા $dx = \frac{du}{2}$ મળે.
જ્યારે $x = \frac{3\sqrt{2}}{4}$,ત્યારે $u = 2(\frac{3\sqrt{2}}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
જ્યારે $x = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,ત્યારે $u = 2(\frac{3\sqrt{3}}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$I = \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{48}{\sqrt{3^2-u^2}} \cdot \frac{du}{2} = 24 \int_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \frac{du}{\sqrt{3^2-u^2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{u}{3} \right) \right]_{\frac{3\sqrt{2}}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{3}/2}{3} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3\sqrt{2}/2}{3} \right) \right]$.
$I = 24 \left[ \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]$.
$I = 24 \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = 24 \left( \frac{4\pi - 3\pi}{12} \right) = 24 \left( \frac{\pi}{12} \right) = 2\pi$.

(A) આપેલ છે કે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))| = 12^4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\dots \operatorname{adj} A))|$ ($k$ વખત) એ $|A|^{(n-1)^k}$ થાય છે.
અહીં $n = 3$ અને $k = 3$ છે,તેથી $|A|^{(3-1)^3} = 12^4$.
$|A|^{2^3} = 12^4 \Rightarrow |A|^8 = 12^4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|A|^4 = 12^2 = 144$.
$|A|^2 = 12 \Rightarrow |A| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
આપણે $|A^{-1} \operatorname{adj} A|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|XY| = |X||Y|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A^{-1}| |\operatorname{adj} A|$ મળે છે.
કારણ કે $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ અને $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2$.
તેથી,$|A^{-1} \operatorname{adj} A| = \frac{1}{|A|} \cdot |A|^2 = |A|$.
આમ,$|A^{-1} \operatorname{adj} A| = 2\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $R$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(C|R) = \frac{P(C)P(R|C)}{P(A)P(R|A) + P(B)P(R|B) + P(C)P(R|C)}$
આપેલ છે કે $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$,$P(R|A) = \frac{4}{10}$,$P(R|B) = \frac{5}{10}$,$P(R|C) = \frac{\lambda}{\lambda+4}$ અને $P(C|R) = 0.4 = \frac{2}{5}$.
$\frac{2}{5} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{\lambda}{\lambda+4}}{\frac{1}{3}(\frac{4}{10} + \frac{5}{10} + \frac{\lambda}{\lambda+4})} = \frac{\frac{\lambda}{\lambda+4}}{0.9 + \frac{\lambda}{\lambda+4}}$
$0.36 + 0.4 \frac{\lambda}{\lambda+4} = \frac{\lambda}{\lambda+4} \Rightarrow 0.36 = 0.6 \frac{\lambda}{\lambda+4} \Rightarrow \frac{\lambda}{\lambda+4} = 0.6 = \frac{3}{5}$
$5\lambda = 3\lambda + 12 \Rightarrow 2\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6$.
પરવલય $y^2 = 6x$ છે. સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(at_1^2, 2at_1)$,અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે જ્યાં $4a = 6 \Rightarrow a = 1.5$.
$x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,$t_1 = t$ અને $t_2 = -t$. બાજુની લંબાઈ $\ell$ માટે $\ell^2 = (at^2)^2 + (2at)^2 = a^2t^4 + 4a^2t^2$.
વળી,બાજુનો ઢાળ $\tan(30^{\circ}) = \frac{2at}{at^2} = \frac{2}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow t = 2\sqrt{3}$.
$\ell^2 = (1.5)^2(2\sqrt{3})^4 + 4(1.5)^2(2\sqrt{3})^2 = 2.25(144) + 9(12) = 324 + 108 = 432$.

(D) આપેલ વક્રો $y^2-2y=-x$ અને $x+y=0$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$x=-y$.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2-2y=-(-y) \Rightarrow y^2-2y=y \Rightarrow y^2-3y=0$.
આમ,$y(y-3)=0$,જે $y=0$ અને $y=3$ આપે છે.
જ્યારે $y=0$,ત્યારે $x=0$. જ્યારે $y=3$,ત્યારે $x=-3$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં વક્રો વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે:
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy = \int_{0}^{3} (-y^2+2y - (-y)) dy = \int_{0}^{3} (-y^2+3y) dy$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{3y^2}{2} \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{27}{3} + \frac{3(9)}{2} \right) - 0 = -9 + 13.5 = 4.5 = \frac{9}{2}$.
તેથી,$8A = 8 \times \frac{9}{2} = 36$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) + \int_0^x f(t) \sqrt{1 - (\ln f(t))^2} dt = e$.
$x=0$ લેતા,$f(0) + 0 = e$,તેથી $f(0) = e$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) + f(x) \sqrt{1 - (\ln f(x))^2} = 0$.
ધારો કે $y = f(x)$,તો $\frac{dy}{dx} = -y \sqrt{1 - (\ln y)^2}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{dy}{y \sqrt{1 - (\ln y)^2}} = -\int dx$.
ધારો કે $\ln y = t$,તો $\frac{1}{y} dy = dt$.
$\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -x + C$.
$\sin^{-1}(t) = -x + C \Rightarrow \sin^{-1}(\ln f(x)) = -x + C$.
$f(0) = e$ હોવાથી,$\sin^{-1}(\ln e) = -0 + C \Rightarrow \sin^{-1}(1) = C \Rightarrow C = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\sin^{-1}(\ln f(x)) = \frac{\pi}{2} - x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\sin^{-1}(\ln f(\frac{\pi}{6})) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\ln f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અંતે,$(6 \ln f(\frac{\pi}{6}))^2 = (6 \times \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 = 27$.

(D) ગણ $A = \{a, b, c, d\}$ પરના સંબંધ $R$ ને સામ્ય સંબંધ બનાવવા માટે,તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. સ્વવાચકતા: દરેક $x \in A$ માટે,$(x, x) \in R$. તેથી,આપણે $(a, a), (b, b), (c, c), (d, d)$ ઉમેરવા પડશે. ($4$ ઘટકો)
$2$. સંમિતતા: જો $(x, y) \in R$,તો $(y, x) \in R$. આપેલ $(a, b), (b, c), (b, d) \in R$ માટે,આપણે $(b, a), (c, b), (d, b)$ ઉમેરવા પડશે. ($3$ ઘટકો)
$3$. પરંપરિતતા: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$,તો $(x, z) \in R$.
$(a, b)$ અને $(b, c)$ પરથી,$(a, c)$ ઉમેરો.
$(a, b)$ અને $(b, d)$ પરથી,$(a, d)$ ઉમેરો.
$(c, b)$ અને $(b, d)$ પરથી,$(c, d)$ ઉમેરો.
$(d, b)$ અને $(b, c)$ પરથી,$(d, c)$ ઉમેરો.
$(a, c)$ અને $(a, d)$ ની સંમિતતા માટે $(c, a)$ અને $(d, a)$ ઉમેરવા પડશે. ($2$ ઘટકો)
કુલ સંબંધ $R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (c, d), (d, c)\}$ છે.
કુલ ઘટકો = $16$. આપેલ ઘટકો = $3$. ઉમેરવાના ઘટકો = $16 - 3 = 13$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ પરથી,$(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{a}-\vec{b})$ એ $\vec{c}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{a}-\vec{b} = \mu \vec{c}$ કોઈ અદિશ $\mu$ માટે.
$\vec{a}-\vec{b} = (1-3)\hat{i} + (2-(-5))\hat{j} + (\lambda - (-\lambda))\hat{k} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k}$ ગણતા.
આમ,$\mu \vec{c} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 7$ આપેલ હોવાથી,$\vec{a} \cdot (\frac{1}{\mu} (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k})) = 7$,જે $-2 + 14 + 2\lambda^2 = 7\mu$ આપે છે,એટલે કે $12 + 2\lambda^2 = 7\mu$.
$2\vec{b} \cdot \vec{c} = -43$ આપેલ હોવાથી,$\vec{b} \cdot (\frac{1}{\mu} (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 2\lambda\hat{k})) = -\frac{43}{2}$,જે $-6 - 35 - 2\lambda^2 = -\frac{43}{2}\mu$ આપે છે,એટલે કે $41 + 2\lambda^2 = \frac{43}{2}\mu$.
સમીકરણો $2\lambda^2 = 7\mu - 12$ અને $2\lambda^2 = \frac{43}{2}\mu - 41$ ઉકેલતા,$7\mu - 12 = 21.5\mu - 41$ મળે,તેથી $14.5\mu = 29$,જે $\mu = 2$ આપે છે.
ત્યારબાદ $2\lambda^2 = 7(2) - 12 = 2$,તેથી $\lambda^2 = 1$.
અંતે,$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-5) + (\lambda)(-\lambda) = 3 - 10 - \lambda^2 = -7 - 1 = -8$.
આમ,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |-8| = 8$.

(D) રેખાઓ $L_1: \frac{x+\sqrt{6}}{2}=\frac{y-\sqrt{6}}{3}=\frac{z-\sqrt{6}}{4}$ અને $L_2: \frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-2\sqrt{6}}{4}=\frac{z+2\sqrt{6}}{5}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $P_1(-\sqrt{6}, \sqrt{6}, \sqrt{6})$ અને $P_2(\lambda, 2\sqrt{6}, -2\sqrt{6})$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$ અને $\vec{v_2} = (3, 4, 5)$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{6}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = 6$ છે.
$\vec{P_2} - \vec{P_1} = (\lambda + \sqrt{6}, \sqrt{6}, -3\sqrt{6})$ છે.
$|(\lambda + \sqrt{6})(-1) + (\sqrt{6})(2) + (-3\sqrt{6})(-1)| = 6\sqrt{6}$ મળે.
$|4\sqrt{6} - \lambda| = 6\sqrt{6}$ મળે.
કિસ્સો $1: 4\sqrt{6} - \lambda = 6\sqrt{6} \Rightarrow \lambda = -2\sqrt{6}$.
કિસ્સો $2: 4\sqrt{6} - \lambda = -6\sqrt{6} \Rightarrow \lambda = 10\sqrt{6}$.
સરવાળો $= 8\sqrt{6}$ અને તેનો વર્ગ $= (8\sqrt{6})^2 = 384$ થાય.

(D) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b} - \vec{c}}{2}$,તેથી $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{b}$,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{d} = \frac{1}{2}$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}))$ ધ્યાનમાં લો.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{d}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કારણ કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,આ પદ $(\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c}$ માં પરિણમે છે.
આમ,$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot ((\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + y^3(1 + \log_e x)$ છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = (1 + \log_e x)y^3$ મળે.
$y^3$ વડે ભાગતા: $y^{-3}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y^{-2} = 1 + \log_e x$.
ધારો કે $t = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$. તો $\frac{dt}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}$,તેથી $y^{-3}\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}\frac{dt}{dx}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{1}{2}\frac{dt}{dx} - \frac{1}{x}t = 1 + \log_e x$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dt}{dx} + \frac{2}{x}t = -2(1 + \log_e x)$ થાય.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2\log_e x} = x^2$.
ઉકેલ $t \cdot x^2 = \int -2(1 + \log_e x)x^2 dx$ છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^2(1 + \log_e x) dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \frac{x^3}{9}$.
તેથી,$\frac{x^2}{y^2} = -2[\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3}\log_e x - \frac{x^3}{9}] + C = -2[\frac{2x^3}{9} + \frac{x^3}{3}\log_e x] + C = -\frac{4x^3}{9} - \frac{2x^3}{3}\log_e x + C$.
$y(1) = 3$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{9} = -\frac{4}{9} - 0 + C \Rightarrow C = \frac{5}{9}$.
આમ,$\frac{x^2}{y^2} = \frac{5 - 4x^3 - 6x^3\log_e x}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + 3\log_e x)}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}{9}$.
તેથી,$\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}$.

(C) આપેલ છે કે $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$.
$(1-x)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે $y(x) = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})}{1-x} = \frac{1-x^{32}}{1-x}$.
તેથી,$y(1-x) = 1-x^{32}$,જેનો અર્થ છે $y - xy = 1 - x^{32}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$y' - (y + xy') = -32x^{31}$,તેથી $y'(1-x) - y = -32x^{31}$.
ફરીથી વિકલન કરતા,$y''(1-x) - y' - y' = -32(31)x^{30}$,તેથી $y''(1-x) - 2y' = -992x^{30}$.
$x = -1$ આગળ,$1-x = 2$. પ્રથમ વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $y'(2) - y(-1) = -32(-1)^{31} = 32$. કારણ કે $y(-1) = 0$,તેથી $2y' = 32 \Rightarrow y' = 16$.
બીજા વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $y''(2) - 2y' = -992(-1)^{30} = -992$. કારણ કે $y' = 16$,તેથી $2y'' - 2(16) = -992 \Rightarrow 2y'' = -992 + 32 = -960 \Rightarrow y'' = -480$.
તેથી,$y' - y'' = 16 - (-480) = 496$.

(A) આપેલ છે $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$. સદિશ $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને $90^{\circ}$ ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે જેથી તે $y$-અક્ષમાંથી પસાર થાય. આનો અર્થ એ છે કે $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\hat{j}$ ના સમતલમાં છે.
તેથી,$\vec{b} = \lambda(\vec{a} \times (\vec{a} \times \hat{j}))$.
ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{a} \times \hat{j} = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times \hat{j} = -\hat{k} + \hat{i} = \hat{i} - \hat{k}$.
પછી $\vec{a} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{i} - \hat{k}) = \hat{j} + 2\hat{k} + 2\hat{i} + \hat{j} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
કારણ કે $|\vec{b}| = |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$,આપણી પાસે $\sqrt{6} = |\lambda| \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = |\lambda| \sqrt{12} = 2\sqrt{3}|\lambda|$.
તેથી,$|\lambda| = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\vec{b}$ એ $y$-અક્ષમાંથી પસાર થાય છે,$\vec{b} \cdot \hat{j} > 0$. $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ ચકાસતા,$\vec{b} = -\sqrt{2}\hat{i} - \sqrt{2}\hat{j} - \sqrt{2}\hat{k}$. આ $\vec{b} \cdot \hat{j} = -\sqrt{2} < 0$ આપે છે.
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ચકાસતા,$\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$. આ $\vec{b} \cdot \hat{j} = \sqrt{2} > 0$ આપે છે. તેથી $\vec{b} = \sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$.
હવે,$3\vec{a} + \sqrt{2}\vec{b} = 3(-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \sqrt{2}(\sqrt{2}\hat{i} + \sqrt{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = -\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{c} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{(- \hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (5\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{-5 + 32 + 15}{\sqrt{50}} = \frac{42}{5\sqrt{2}} = \frac{21\sqrt{2}}{5} = 4.2\sqrt{2}$.

(A) $x \leq 0$ માટે,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{t-x} dt = e^{-x}(e^2-1)$.
$0 < x < 2$ માટે,$f(x) = \int \limits_0^x e^{x-t} dt + \int \limits_x^2 e^{t-x} dt = (e^x - 1) + (e^{2-x} - 1) = e^x + e^{2-x} - 2$.
$x \geq 2$ માટે,$f(x) = \int \limits_0^2 e^{x-t} dt = e^{x-2}(e^2-1)$.
$x \leq 0$ માટે $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે અને $x \geq 2$ માટે $f(x)$ વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત અંતરાલ $x \in (0, 2)$ માં મળે છે.
અંતરાલ $(0, 2)$ માં,$f(x) = e^x + e^{2-x} - 2$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \geq GM)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$e^x + e^{2-x} \geq 2 \sqrt{e^x \cdot e^{2-x}} = 2 \sqrt{e^2} = 2e$.
આમ,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2e - 2 = 2(e-1)$ છે.

(A) ધારો કે $L_1$ પરનું બિંદુ $P = (2\lambda+1, \lambda+3, 2\lambda+2)$ છે અને $L_2$ પરનું બિંદુ $Q = (\mu+2, 2\mu+2, 3\mu+3)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $((\mu+2)-(2\lambda+1), (2\mu+2)-(\lambda+3), (3\mu+3)-(2\lambda+2)) = (\mu-2\lambda+1, 2\mu-\lambda-1, 3\mu-2\lambda+1)$ છે.
$L_3$ ના દિકગુણોત્તર $1, -1, -2$ હોવાથી:
$\frac{\mu-2\lambda+1}{1} = \frac{2\mu-\lambda-1}{-1} = \frac{3\mu-2\lambda+1}{-2}$.
પ્રથમ બે ભાગ પરથી: $-\mu+2\lambda-1 = 2\mu-\lambda-1 \Rightarrow 3\lambda = 3\mu \Rightarrow \lambda = \mu$.
$\lambda = \mu$ ને $\frac{\mu-2\lambda+1}{1} = \frac{3\mu-2\lambda+1}{-2}$ માં મૂકતા:
$\frac{-\lambda+1}{1} = \frac{\lambda+1}{-2} \Rightarrow 2\lambda - 2 = \lambda + 1 \Rightarrow \lambda = 3$.
આમ,$\lambda = 3$ અને $\mu = 3$. બિંદુઓ $P(7, 6, 8)$ અને $Q(5, 8, 12)$ મળે છે.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(5-7)^2 + (8-6)^2 + (12-8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^4 - 18x^2 + 8x + 12$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = 8x^3 - 36x + 8$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $8x^3 - 36x + 8 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x^3 - 9x + 2 = 0$ થાય છે.
આપણને આપેલ છે કે $x=2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે,તેથી $(x-2)$ એ $2x^3 - 9x + 2$ નો અવયવ છે.
$2x^3 - 9x + 2$ ને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)(2x^2 + 4x - 1) = 0$ મળે છે.
બીજ $x=2$ અને $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x=2$,$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$,અને $x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ છે.
દ્વિતીય વિકલન કસોટી $f''(x) = 24x^2 - 36$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x=2$ માટે,$f''(2) = 24(4) - 36 = 60 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = -1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$ માટે,$f''(x) > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = -1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ માટે,$f''(x) < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
આમ,સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ પર મળે છે.
$x = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$ ને $f(x)$ માં મૂકતા,આપણે $M = f\left(\frac{\sqrt{6}-2}{2}\right) = 12\sqrt{6} - \frac{33}{2}$ મેળવીએ છીએ.

(D) સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોય જો નિશ્ચાયક $\Delta \neq 0$ હોય.
$\Delta = \begin{vmatrix} a & 2a & -3a \\ 2a+1 & 2a+3 & a+1 \\ 3a+5 & a+5 & a+2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $a$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = a \begin{vmatrix} 1 & 2a & -3a \\ 2a+1 & 2a+3 & a+1 \\ 3a+5 & a+5 & a+2 \end{vmatrix}$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - (2a+1)R_1$ અને $R_3 \to R_3 - (3a+5)R_1$ કરતા:
$\Delta = a \begin{vmatrix} 1 & 2a & -3a \\ 0 & -4a^2+3 & 6a^2+4a+1 \\ 0 & -6a^2-9a+5 & 9a^2+16a+2 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા,$\Delta = 0$ માત્ર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે $a = 0$. કારણ કે $a \in R - \{0\}$,તેથી આપેલ ગણ માટે $\Delta$ ક્યારેય $0$ થતો નથી.
આમ,તમામ $a \in R - \{0\}$ માટે સંહતિને હંમેશા અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
તેથી,$S_1 = R - \{0\}$ અને $S_2 = \Phi$.

(A) ધારો કે $t = x^2$,તેથી $dt = 2x dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \int \frac{dt}{(t+1)(t+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$f(x) = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{2} (\ln|t+1| - \ln|t+3|) + C$.
$t = x^2$ પાછા મૂકતા:
$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right) + C$.
આપેલ છે કે $f(3) = \frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 12) + C = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 6) + C$.
કારણ કે $\frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 12) = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 6)$,તેથી $C = 0$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right)$.
$f(4)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(4) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{4^2+1}{4^2+3} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{17}{19} \right) = \frac{1}{2} (\ln 17 - \ln 19)$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x-1}$.
તેથી $f(-x) = \frac{1}{1-e^x}$.
$g(x) = f(-x) - f(x) = \frac{1}{1-e^x} - \frac{e^x}{e^x-1} = \frac{1}{1-e^x} + \frac{e^x}{1-e^x} = \frac{1+e^x}{1-e^x}$.
હવે,$g'(x) = \frac{(1-e^x)(e^x) - (1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \frac{e^x - e^{2x} + e^x + e^{2x}}{(1-e^x)^2} = \frac{2e^x}{(1-e^x)^2}$.
દરેક $x \in (0,1)$ માટે $e^x > 0$ અને $(1-e^x)^2 > 0$ હોવાથી,$g'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,$g(x)$ એ $(0,1)$ માં વધતું વિધેય છે.
$g(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવાથી,તે $(0,1)$ માં એક-એક વિધેય પણ છે.
આમ,બંને વિધાનો $(I)$ અને $(II)$ સાચા છે.

(D) બિંદુ $(-3, 2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $3, 3, -1$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{3} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{-1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M$ એ $(3\lambda-3, 3\lambda+2, 3-\lambda)$ છે.
સદિશ $\vec{PM}$ ના દિકગુણોત્તર $(3\lambda-3-4, 3\lambda+2-6, 3-\lambda-(-2)) = (3\lambda-7, 3\lambda-4, 5-\lambda)$ છે.
કારણ કે $\vec{PM}$ એ $(3, 3, -1)$ દિકગુણોત્તર વાળી રેખાને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda-7) + 3(3\lambda-4) - 1(5-\lambda) = 0$.
$9\lambda - 21 + 9\lambda - 12 - 5 + \lambda = 0$.
$19\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$M$ ના યામમાં $\lambda = 2$ મૂકતા,આપણને $M(3(2)-3, 3(2)+2, 3-2) = (3, 8, 1)$ મળે છે.
અંતર $PM = \sqrt{(3-4)^2 + (8-6)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 2 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 3 \end{bmatrix}$.
ગુણધર્મ $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 2 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 3 \end{bmatrix}$.
$R_1$ ને $\ln x$ વડે,$R_2$ ને $\ln y$ વડે,અને $R_3$ ને $\ln z$ વડે ગુણતા:
$|A| = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \begin{vmatrix} \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & 2 \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & 3 \ln z \end{vmatrix}$.
સ્તંભમાંથી $\ln x, \ln y, \ln z$ સામાન્ય લેતા:
$|A| = \frac{\ln x \ln y \ln z}{\ln x \ln y \ln z} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(6-1) - 1(3-1) + 1(1-2) = 5 - 2 - 1 = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)| = |M|^{(n-1)^2}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A^2)| = |A^2|^{(3-1)^2} = |A^2|^4 = (|A|^2)^4 = |A|^8$.
કારણ કે $|A| = 2$,તેથી $|A|^8 = 2^8$.

(B) ધારો કે $h(x) = (fog)(x)$.
આપેલ છે કે $h^{-1}(x) = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$.
$h(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$. તેથી $y^3 = \frac{x-7}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2y^3 + 7$. આમ,$h(x) = 2x^3 + 7$.
આપણી પાસે $(fog)(x) = f(g(x)) = a(x^b + c) - 3 = ax^b + ac - 3$ છે.
$ax^b + ac - 3 = 2x^3 + 7$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $a=2$,$b=3$,અને $ac-3=7$ મળે છે,તેથી $ac=10$. $a=2$ હોવાથી,$c=5$ મળે.
હવે,$(fog)(ac) = (fog)(10) = 2(10)^3 + 7 = 2000 + 7 = 2007$.
આગળ,$(gof)(x) = g(f(x)) = g(ax-3) = (ax-3)^b + c = (2x-3)^3 + 5$.
તેથી $(gof)(b) = (gof)(3) = (2(3)-3)^3 + 5 = (3)^3 + 5 = 27 + 5 = 32$.
અંતે,$(fog)(ac) + (gof)(b) = 2007 + 32 = 2039$.

(B) સમાંતર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = a_1 + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A_1, A_2, A_3$ ના પ્રથમ પદો $A, A+1, A+2$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે:
$a = A + 6d$
$b = A + 1 + 8d$
$c = A + 2 + 16d$
$a = 29$ હોવાથી,$A + 6d = 29$.
નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{lll} A+6d & 7 & 1 \\ 2(A+1+8d) & 17 & 1 \\ A+2+16d & 17 & 1\end{array}\right| + 70 = 0$
ત્રીજી હારમાંથી બીજી હાર બાદ કરતા:
$\left|\begin{array}{lll} A+6d & 7 & 1 \\ 2A+2+16d & 17 & 1 \\ -A & 0 & 0\end{array}\right| + 70 = 0$
ત્રીજી હારના સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-A) \times (7 - 17) + 70 = 0 \Rightarrow 10A + 70 = 0 \Rightarrow A = -7$.
$A + 6d = 29$ હોવાથી,$-7 + 6d = 29 \Rightarrow 6d = 36 \Rightarrow d = 6$.
હવે,$a = 29$,$b = -7 + 1 + 48 = 42$,$c = -7 + 2 + 96 = 91$.
નવી સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $c - a - b = 91 - 29 - 42 = 20$.
સામાન્ય તફાવત $\frac{d}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2} [2(20) + (19)(0.5)] = 10 [40 + 9.5] = 495$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2 x}\right)=\frac{\pi}{3}$.
$y > 0$ માટે $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ હોવાથી,$\frac{1-x^2}{2x} > 0$ એટલે કે $x(1-x^2) > 0$ માટે $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ થાય.
કિસ્સો $I$: $x(1-x^2) > 0$. આ $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ માટે સાચું છે.
જો $x \in (0, 1)$ હોય,તો $\frac{2x}{1-x^2} > 0$,તેથી $2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{6}$.
તેથી $\frac{2x}{1-x^2} = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = 0$. $x > 0$ માટે ઉકેલતા,$x = 2 - \sqrt{3}$.
કિસ્સો $II$: $x(1-x^2) < 0$. આ $x \in (-1, 0)$ માટે સાચું છે.
ત્યારે $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \pi + \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ થાય.
સમીકરણ $2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) + \pi = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{\pi}{3}$.
તેથી $\frac{2x}{1-x^2} = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0$. $x < 0$ માટે ઉકેલતા,$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $(2 - \sqrt{3}) + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 - \frac{4}{\sqrt{3}}$ થાય.
$\alpha - \frac{4}{\sqrt{3}}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 2$ મળે.

(B) રેખા $x-2y-z-5=0$ અને $x+y+3z-5=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-2y-z-5) + \lambda(x+y+3z-5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(1+\lambda)x + (-2+\lambda)y + (-1+3\lambda)z - (5+5\lambda) = 0$ થાય છે.
રેખા $x+y+2z-7=0=2x+3y+z-2$ ના દિકગુણોત્તર બે સમતલોના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
સમતલ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ રેખાની દિશાને લંબ હોવો જોઈએ:
$(1+\lambda)(-5) + (-2+\lambda)(3) + (-1+3\lambda)(1) = 0$
$-5 - 5\lambda - 6 + 3\lambda - 1 + 3\lambda = 0$
$\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 12$.
$\lambda = 12$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$13x + 10y + 35z = 65$.
આમ,$a=13, b=10, c=35$. બિંદુ $(13, 10, 35)$ છે.
બિંદુ $(13, 10, 35)$ નું સમતલ $2x+2y-z+16=0$ થી અંતર:
$d = \frac{|2(13) + 2(10) - 1(35) + 16|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|26 + 20 - 35 + 16|}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

(B) પરવલયો $P_1: y = \frac{5x^2}{2}$ અને $P_2: y = x^2 + 6$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$\frac{5x^2}{2} = x^2 + 6$ લેતા,$5x^2 = 2x^2 + 12$ મળે,તેથી $3x^2 = 12$,$x^2 = 4$,$x = \pm 2$.
$P_1$ અને $P_2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_1$:
$A_1 = \int_{-2}^{2} (x^2 + 6 - \frac{5x^2}{2}) dx = 2 \int_{0}^{2} (6 - \frac{3x^2}{2}) dx = 2 [6x - \frac{x^3}{2}]_{0}^{2} = 2(12 - 4) = 16$.
$P_1: y = \frac{5x^2}{2}$ અને રેખા $y = \alpha x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_2$ શોધવા માટે $\frac{5x^2}{2} = \alpha x$ લેતા,$x = 0$ અથવા $x = \frac{2\alpha}{5}$ મળે.
$A_2 = \int_{0}^{\frac{2\alpha}{5}} (\alpha x - \frac{5x^2}{2}) dx = [\frac{\alpha x^2}{2} - \frac{5x^3}{6}]_{0}^{\frac{2\alpha}{5}} = \frac{\alpha}{2} (\frac{4\alpha^2}{25}) - \frac{5}{6} (\frac{8\alpha^3}{125}) = \frac{2\alpha^3}{25} - \frac{4\alpha^3}{75} = \frac{6\alpha^3 - 4\alpha^3}{75} = \frac{2\alpha^3}{75}$.
$A_1 = A_2$ આપેલ હોવાથી,$16 = \frac{2\alpha^3}{75}$,તેથી $\alpha^3 = 8 \times 75 = 600$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x)=2 x^3+(2 p-7) x^2+3(2 p-9) x-6$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x) = 6x^2 + 2(2p-7)x + 3(2p-9)$ મેળવો.
વિધેયને $x < 0$ પર સ્થાનિક મહત્તમ અને $x > 0$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $f'(x) = 0$ ના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા જોઈએ,જેમાંથી એક ઋણ અને એક ધન હોય.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે જેથી $\alpha < 0 < \beta$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોય તે માટે,બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{c}{a} < 0$.
અહીં,$a = 6$ અને $c = 3(2p-9)$ છે.
તેથી,$\frac{3(2p-9)}{6} < 0$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2p-9}{2} < 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $2p - 9 < 0$,અથવા $p < \frac{9}{2}$.
તેથી,$p$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $\left(-\infty, \frac{9}{2}\right)$ છે.

(D) વિધેય $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} e^{\frac{\cot 6x}{\cot 4x}} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} e^{\frac{\sin 4x \cdot \cos 6x}{\sin 6x \cdot \cos 4x}} = e^{2/3}$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (1+|\cos x|)^{\frac{\lambda}{|\cos x|}} = e^\lambda$.
આ લક્ષોને $f(\frac{\pi}{2}) = \mu$ સાથે સરખાવતા:
$e^\lambda = \mu = e^{2/3}$.
તેથી,$\lambda = \frac{2}{3}$ અને $\mu = e^{2/3}$.
હવે,કિંમતો મૂકતા:
$9\lambda + 6 \log_{e} \mu + \mu^6 - e^{6\lambda} = 9(\frac{2}{3}) + 6 \log_{e} (e^{2/3}) + (e^{2/3})^6 - e^{6(2/3)}$
$= 6 + 6(\frac{2}{3}) + e^4 - e^4 = 6 + 4 = 10$.