JEE Main 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) લિફ્ટ $4, 5, 6, 7, 8, 9$ અને $10$મા માળે અટકે છે.
ત્રણ વ્યક્તિઓ માટે બહાર નીકળવા માટે $7$ માળ ઉપલબ્ધ છે.
ત્રણ વ્યક્તિઓ ત્રણ અલગ-અલગ માળ પર બહાર નીકળી શકે છે,તેથી આપણે $7$ માંથી $3$ માળ પસંદ કરવા પડે અને તેમને ગોઠવવા પડે.
કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $^7P_3 = \frac{7!}{(7-3)!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ છે.

(A) આપેલ પદ $T_r = \frac{r}{r^4+r^2+1}$ છે.
નિત્યસમ $r^4+r^2+1 = (r^2+r+1)(r^2-r+1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_r = \frac{r}{(r^2+r+1)(r^2-r+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r^2-r+1} - \frac{1}{r^2+r+1} \right)$.
ધારો કે $f(r) = \frac{1}{r^2-r+1}$,તો $f(r+1) = \frac{1}{r^2+r+1}$.
તેથી,$T_r = \frac{1}{2} (f(r) - f(r+1))$.
સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{25} T_r = \frac{1}{2} (f(1) - f(26))$.
$f(1) = 1$ અને $f(26) = \frac{1}{651}$.
$S = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{651}) = \frac{325}{651}$.
અહીં $p=325$ અને $q=651$ હોવાથી,$p+q = 325 + 651 = 976$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \frac{6}{3^{26}} + \sum_{k=0}^{24} \frac{10 \cdot 2^k}{3^{25-k}}$ છે.
આને $S = \frac{6}{3^{26}} + \frac{10}{3^{25}} \sum_{k=0}^{24} (6)^k$ તરીકે લખી શકાય.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{r^n - 1}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{6}{3^{26}} + \frac{10}{3^{25}} \left[ \frac{6^{25} - 1}{5} \right] = \frac{6}{3^{26}} + \frac{2}{3^{25}} (6^{25} - 1)$.
$S = \frac{6}{3^{26}} + 2 \cdot 2^{25} - \frac{2}{3^{25}} = \frac{2}{3^{25}} + 2^{26} - \frac{2}{3^{25}} = 2^{26}$.

(C) ગણ $A$ એ $2 + 0i$ કેન્દ્ર અને $R = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
ગણ $B$ એ $2$ અને $-2$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય છે. નાભિઓથી અંતરનો સરવાળો $2a = 5$ છે,તેથી $a = \frac{5}{2}$. કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a = \frac{5}{2}$ અને $c = 2$. $b^2 = a^2 - c^2$ હોવાથી,$b^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$,તેથી $b = \frac{3}{2}$.
$|z_1 - z_2|$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $z_1$ ને $A$ ની સીમા પર અને $z_2$ ને ઉપવલય $B$ પર એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી તેઓ એકબીજાથી શક્ય તેટલા દૂર હોય.
ઉપવલય $B$ પરનું કેન્દ્ર $2$ થી સૌથી દૂરનું બિંદુ $z_2 = -\frac{5}{2}$ છે.
વર્તુળ $A$ પરનું $z_2 = -\frac{5}{2}$ થી સૌથી દૂરનું બિંદુ $z_1 = 6$ છે.
તેથી,મહત્તમ અંતર $|6 - (-5/2)| = |6 + 2.5| = 8.5 = \frac{17}{2}$ છે.

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ છે. $x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ $A(2,0)$ અને $B(-2,0)$ છે.
ધારો કે $AQ$ અને $BP$ નું છેદબિંદુ $R(h,k)$ છે.
$BP$ નો ઢાળ $m_{BP} = \tan \frac{\alpha}{2}$ છે.
$AQ$ નો ઢાળ $m_{AQ} = -\cot \frac{\beta}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{4}$.
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $h^2 + k^2 - 4k - 4 = 0$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $x^2 + y^2 - 4y - 4 = 0$ પર આવેલું છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}=1$ છે. અહીં $a^{2}=144$ અને $b^{2}=169$. $b^{2} > a^{2}$ હોવાથી,નાભિ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉપવલય માટે,$e_{E} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$.
નાભિ $(0, \pm 5)$ છે.
અતિવલય $\frac{y^{2}}{\lambda^{2}} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ છે. અહીં $a^{2} = \lambda^{2}$ અને $b^{2} = 16$.
નાભિ $(0, \pm \sqrt{\lambda^{2} + 16})$ છે.
સરખાવતા,$\sqrt{\lambda^{2} + 16} = 5$ $\Rightarrow \lambda^{2} = 9$ $\Rightarrow \lambda = 3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2(16)}{3} = \frac{32}{3}$.
તેથી,$24(e+L) = 24(\frac{5}{3} + \frac{32}{3}) = 296$.

(B) આપેલ કેન્દ્ર $C = (1, -2)$,નાભિ $F_1 = (3, -2)$,અને શિરોબિંદુ $A_1 = (5, -2)$ છે.
$y$-યામ સમાન હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ સમક્ષિતિજ છે.
કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $a = |5 - 1| = 4$ છે.
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = |3 - 1| = 2$ છે.
તેથી,$e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 4^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$ મળે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 12}{4} = \frac{24}{4} = 6$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $a, 4, \alpha, b$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. સામાન્ય તફાવત $d$ લેતા,$a = 4-d, \alpha = 4+d, b = 4+2d$.
$\frac{1}{a}$ અને $\frac{1}{b}$ નો મધ્યક $\frac{5}{16}$ છે,તેથી $\frac{1}{2}(\frac{1}{4-d} + \frac{1}{4+2d}) = \frac{5}{16}$.
ઉકેલતા $d = -4/5$ મળે છે.
સમીકરણ $3.2x^2 - 4.8x - 3.2 = 0$ બને છે.
બીજ $x = 2$ અને $x = -0.5$ મળે છે.

(B) પરવલય $y^{2}=8x$ છે,તેથી $4a=8 \Rightarrow a=2$. નાભિ $A$ એ $(2,0)$ છે.
ધારો કે બિંદુઓ $B$ અને $C$ અનુક્રમે $(2t_{1}^{2}, 4t_{1})$ અને $(2t_{2}^{2}, 4t_{2})$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{2t_{1}^{2}+2t_{2}^{2}+2}{3}, \frac{4t_{1}+4t_{2}+0}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{4}{3})$ છે.
યામોને સરખાવતા:
$2(t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+1) = 7 \Rightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2} = \frac{5}{2}$.
$4(t_{1}+t_{2}) = 4 \Rightarrow t_{1}+t_{2} = 1$.
હવે,$(t_{1}-t_{2})^{2} = (t_{1}+t_{2})^{2} - 4t_{1}t_{2}$.
$t_{1}^{2}+t_{2}^{2} = (t_{1}+t_{2})^{2} - 2t_{1}t_{2} = \frac{5}{2}$ હોવાથી,$1 - 2t_{1}t_{2} = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2t_{1}t_{2} = -\frac{3}{2}$ $\Rightarrow t_{1}t_{2} = -\frac{3}{4}$.
તેથી,$(t_{1}-t_{2})^{2} = 1 - 4(-\frac{3}{4}) = 1+3 = 4$.
$(BC)^{2} = (2t_{1}^{2}-2t_{2}^{2})^{2} + (4t_{1}-4t_{2})^{2} = 4(t_{1}^{2}-t_{2}^{2})^{2} + 16(t_{1}-t_{2})^{2}$.
$(BC)^{2} = 4(t_{1}+t_{2})^{2}(t_{1}-t_{2})^{2} + 16(t_{1}-t_{2})^{2} = 4(1)^{2}(4) + 16(4) = 16 + 64 = 80$.

(B) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (1+x)^{1000}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1+x}$,અને $n = 1001$ પદો છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S = a \frac{1-r^n}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (1+x)^{1000} \frac{1-(\frac{x}{1+x})^{1001}}{1-\frac{x}{1+x}}$
$S = (1+x)^{1001} - x^{1001}$
$x^{499}$ અને $x^{500}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો:
$(1+x)^{1001}$ માં $x^{499}$ નો સહગુણક ${}^{1001}C_{499}$ છે અને $x^{500}$ નો સહગુણક ${}^{1001}C_{500}$ છે.
તેથી,જરૂરી સરવાળો ${}^{1001}C_{499} + {}^{1001}C_{500} = {}^{1002}C_{500}$ થાય.

(B) વિધાન $I$: આપણી પાસે $25^{13} + 3^{13} + 20^{13} + 8^{13}$ છે.
જ્યારે $n$ એકી હોય ત્યારે $a^n + b^n$ એ $(a + b)$ વડે વિભાજ્ય હોય છે,તેથી:
$25^{13} + 3^{13}$ એ $(25 + 3) = 28$ વડે વિભાજ્ય છે,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
$20^{13} + 8^{13}$ એ $(20 + 8) = 28$ વડે વિભાજ્ય છે,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,સરવાળો $7$ વડે વિભાજ્ય છે. વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: ધારો કે $R = (7 + 4\sqrt{3})^{25} = I + f$,જ્યાં $I$ પૂર્ણાંક ભાગ છે અને $0 < f < 1$.
ધારો કે $R' = (7 - 4\sqrt{3})^{25} = f'$,જ્યાં $0 < f' < 1$.
$7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1$ હોવાથી,$R'$ એ ખૂબ નાની ધન સંખ્યા છે.
$R + R' = (7 + 4\sqrt{3})^{25} + (7 - 4\sqrt{3})^{25} = 2 \left[ {}^{25}C_0 7^{25} + {}^{25}C_2 7^{23}(4\sqrt{3})^2 + \dots \right]$.
આ એક બેકી પૂર્ણાંક છે. તેથી,$I + f + f' = \text{બેકી પૂર્ણાંક}$.
$0 < f + f' < 2$ હોવાથી,$f + f'$ એ $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$I + 1 = \text{બેકી પૂર્ણાંક}$,જે સૂચવે છે કે $I$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. વિધાન $II$ સાચું છે.

(C) અતિવલય $x^{2} - y^{2} \sec^{2} \theta = 8$ માટે,તેને $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{8 \cos^{2} \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^{2} = 8$ અને $b^{2} = 8 \cos^{2} \theta$ છે.
$e_{1} = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \cos^{2} \theta}$.
$l_{1} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(8 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{8}} = 4 \sqrt{2} \cos^{2} \theta$.
ઉપવલય $x^{2} \sec^{2} \theta + y^{2} = 6$ માટે,તેને $\frac{x^{2}}{6 \cos^{2} \theta} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^{2} = 6$ અને $b^{2} = 6 \cos^{2} \theta$ છે.
$e_{2} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \cos^{2} \theta} = \sin \theta$.
$l_{2} = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(6 \cos^{2} \theta)}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{6} \cos^{2} \theta$.
આપેલ છે કે $e_{1}^{2} = e_{2}^{2}(\sec^{2} \theta + 1)$,તેથી $1 + \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta (1 + \frac{1}{\cos^{2} \theta}) = \sin^{2} \theta (\frac{\cos^{2} \theta + 1}{\cos^{2} \theta}) = \tan^{2} \theta (1 + \cos^{2} \theta)$.
$1 + \cos^{2} \theta \neq 0$ હોવાથી,$\tan^{2} \theta = 1$ મળે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\cos^{2} \theta = \frac{1}{2}$,$e_{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$,$l_{1} = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{2}) = 2 \sqrt{2}$.
$e_{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$l_{2} = 2 \sqrt{6} (\frac{1}{2}) = \sqrt{6}$.
તેથી $(\frac{l_{1}l_{2}}{e_{1}e_{2}}) \tan^{2} \theta = (\frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}) \cdot 1 = \frac{2 \sqrt{12}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના પ્રથમ ત્રણ પદો $\frac{A}{r}, A, Ar$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $27$ આપેલ છે:
$\frac{A}{r} \cdot A \cdot Ar = 27 \implies A^3 = 27 \implies A = 3$.
પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3 \left( r + \frac{1}{r} + 1 \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $r \neq 0$ માટે,$r + \frac{1}{r} \geq 2$ અથવા $r + \frac{1}{r} \leq -2$.
જો $r + \frac{1}{r} \geq 2$ હોય,તો $S \geq 3(2 + 1) = 9$.
જો $r + \frac{1}{r} \leq -2$ હોય,તો $S \leq 3(-2 + 1) = -3$.
આમ,$S$ માટેના શક્ય મૂલ્યોનો ગણ $(-\infty, -3] \cup [9, \infty)$ છે,જે $\mathbb{R} - (-3, 9)$ છે.
આને $\mathbb{R} - (a, b)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3$ અને $b = 9$ મળે છે.
તેથી,$a^2 + b^2 = (-3)^2 + 9^2 = 9 + 81 = 90$.

(C) ધારો કે બે $A.P.$ ના સામાન્ય તફાવત અનુક્રમે $d_{1}$ અને $d_{2}$ છે.
આપેલ છે કે $d_{1} = d_{2} + 13$.
$A.P.$ $b_{n}$ માટે,$b_{31} = b_{1} + 30d_{2} = -277$ (સમીકરણ $1$) અને $b_{43} = b_{1} + 42d_{2} = -385$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(b_{1} + 42d_{2}) - (b_{1} + 30d_{2}) = -385 - (-277)$
$12d_{2} = -108$
$d_{2} = -9$.
તેથી,$d_{1} = -9 + 13 = 4$.
$A.P.$ $a_{m}$ માટે,$a_{78} = a_{1} + 77d_{1} = 327$.
$d_{1} = 4$ મૂકતા:
$a_{1} + 77(4) = 327$
$a_{1} + 308 = 327$
$a_{1} = 327 - 308 = 19$.

(A) ધારો કે બે ખૂટતા અવલોકનો $a$ અને $b$ છે. $10$ અવલોકનોનો સરવાળો $10 \times 9 = 90$ છે.
આપેલ $8$ અવલોકનોનો સરવાળો $= 2+3+5+10+11+13+15+21 = 80$ છે.
તેથી,$a+b = 90 - 80 = 10$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 34.2$. વિચરણનું સૂત્ર $\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 34.2$ છે.
$\frac{2^2+3^2+5^2+10^2+11^2+13^2+15^2+21^2+a^2+b^2}{10} - 9^2 = 34.2$.
$1094 + a^2 + b^2 = 1152 \Rightarrow a^2 + b^2 = 58$.
$a+b=10$ અને $a^2+b^2=58$ ઉકેલતા $a=3$ અને $b=7$ મળે છે.
$10$ અવલોકનો $2, 3, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 21$ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{7+10}{2} = 8.5$.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma |x_i - 8.5|}{10} = \frac{6.5 + 5.5 + 5.5 + 3.5 + 1.5 + 1.5 + 2.5 + 4.5 + 6.5 + 12.5}{10} = \frac{50}{10} = 5$.

(C) ધારો કે $L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\sec(ex)) + \ln(\sec(e^{2}x)) + ... + \ln(\sec(e^{10}x))}{e^{2} - e^{2\cos x}}$.
$\ln(\sec \theta) \approx \frac{\theta^{2}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $\frac{x^{2}}{2} \sum_{k=1}^{10} e^{2k}$ થશે.
છેદ $e^{2} - e^{2\cos x} = e^{2}(1 - e^{2\cos x - 2}) \approx 2e^{2}(1 - \cos x) \approx e^{2}x^{2}$ થશે.
તેથી,$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{2} \sum_{k=1}^{10} e^{2k}}{e^{2}x^{2}} = \frac{1}{2e^{2}} \sum_{k=1}^{10} (e^{2})^{k}$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$L = \frac{1}{2e^{2}} \cdot \frac{e^{2}(e^{20} - 1)}{e^{2} - 1} = \frac{e^{20} - 1}{2(e^{2} - 1)}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\lambda x^{2} - (\lambda + 3)x + 3 = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = \frac{\lambda + 3}{\lambda}$ અને $\alpha \beta = \frac{3}{\lambda}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta} = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\beta - \alpha}{\alpha \beta} = \frac{1}{3}$.
$\alpha < \beta$ હોવાથી,$\beta - \alpha > 0$. તેથી,$\beta - \alpha = \frac{\alpha \beta}{3} = \frac{3/\lambda}{3} = \frac{1}{\lambda}$.
નિત્યસમ $(\beta - \alpha)^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 4\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{1}{\lambda})^{2} = (\frac{\lambda + 3}{\lambda})^{2} - 4(\frac{3}{\lambda})$.
$\frac{1}{\lambda^{2}} = \frac{\lambda^{2} + 6\lambda + 9}{\lambda^{2}} - \frac{12}{\lambda}$.
$\lambda^{2}$ વડે ગુણતા $(\lambda \neq 0)$:
$1 = \lambda^{2} + 6\lambda + 9 - 12\lambda$.
$\lambda^{2} - 6\lambda + 8 = 0$.
$(\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$.
તેથી,$\lambda = 2$ અથવા $\lambda = 4$.
$\lambda$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $2 + 4 = 6$ થાય.

(D) ધારો કે $P(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$. $P(x)$ એ $x^{2} + 2$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીએ.
$x^{3} + ax^{2} + bx + c$ ને $x^{2} + 2$ વડે ભાગતા ભાગફળ $(x + a)$ અને શેષ $(b - 2)x + (c - 2a)$ મળે છે.
બહુપદી વિભાજ્ય હોવા માટે,શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી $(b - 2)x + (c - 2a) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $b - 2 = 0$ અને $c - 2a = 0$.
આમ,$b = 2$ અને $c = 2a$.
આપેલ છે કે $a, b, c \in \mathbb{N}$ અને $a, b, c \le 20$,તેથી $b = 2$ (જે નિશ્ચિત છે).
$c = 2a$ માટે,$c \le 20$ હોવાથી,$2a \le 20$,જેનો અર્થ છે કે $a \le 10$.
$a \in \mathbb{N}$ હોવાથી,$a$ ની કિંમતો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ હોઈ શકે.
તેથી,આવી કુલ $10$ બહુપદીઓ છે.

(C) ગણ $S$ માં $9$ ભિન્ન અંકો છે.
$x$ માટે: આપણે $1$ અંકને બે વાર પુનરાવર્તિત કરવા માટે પસંદ કરીએ છીએ,જે ${}^{9}C_{1}$ રીતે કરી શકાય છે. બાકીના $7$ અંકો બાકીના $8$ અંકોમાંથી ${}^{8}C_{7}$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{9!}{2!}$ છે. આમ,$x = {}^{9}C_{1} \times {}^{8}C_{7} \times \frac{9!}{2!} = 36 \times 9!$.
$y$ માટે: આપણે $2$ અંકોને બે વાર પુનરાવર્તિત કરવા માટે પસંદ કરીએ છીએ,જે ${}^{9}C_{2}$ રીતે કરી શકાય છે. બાકીના $5$ અંકો બાકીના $7$ અંકોમાંથી ${}^{7}C_{5}$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{9!}{2! \times 2!}$ છે. આમ,$y = {}^{9}C_{2} \times {}^{7}C_{5} \times \frac{9!}{2! \times 2!} = 189 \times 9!$.
ગુણોત્તર ગણતા: $\frac{x}{y} = \frac{36}{189} = \frac{4}{21}$.
તેથી,$21x = 4y$.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય છે. ધારો કે $O(0,0)$ એ લંબકેન્દ્ર છે. વેધ $AD$ એ $O$ માંથી પસાર થાય છે. $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે. $AD \perp BC$ હોવાથી,$AD$ નો ઢાળ $m_{AD} = 2\sqrt{2}$ છે. $AD$ નું સમીકરણ $y = 2\sqrt{2}x$ છે,તેથી $\beta = 2\sqrt{2}\alpha$.
$O(0,0)$ થી $BC$ $(x+2\sqrt{2}y-4=0)$ નું અંતર $OD = \frac{|0+0-4|}{\sqrt{1^2+(2\sqrt{2})^2}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર વેધને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$AO = 2OD = 2(\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}$. વેધ $AD$ ની કુલ લંબાઈ $AD = AO + OD = \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = 4$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ રેખા $y = 2\sqrt{2}x$ પર રેખા $BC$ થી $4$ અંતરે આવેલું છે. $A$ ના યામ $(\alpha, 2\sqrt{2}\alpha)$ છે. $A$ થી $x+2\sqrt{2}y-4=0$ નું અંતર $\frac{|\alpha+2\sqrt{2}(2\sqrt{2}\alpha)-4|}{\sqrt{1+8}} = \frac{|9\alpha-4|}{3} = 4$ છે.
આથી $9\alpha-4 = 12$ અથવા $9\alpha-4 = -12$ મળે. તેથી $\alpha = \frac{16}{9}$ અથવા $\alpha = -\frac{8}{9}$.
$O(0,0)$ અને $A$ એ $BC$ ની એક જ બાજુએ હોવા જોઈએ (કારણ કે $O$ એ મધ્યકેન્દ્ર છે),તેથી $(0,0)$ પર $x+2\sqrt{2}y-4$ ની કિંમત $-4$ છે. $A(\alpha, 2\sqrt{2}\alpha)$ માટે,પદાવલિ $9\alpha-4$ છે. તેથી $9\alpha-4 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha < \frac{4}{9}$. તેથી,$\alpha = -\frac{8}{9}$ અને $\beta = 2\sqrt{2}(-\frac{8}{9}) = -\frac{16\sqrt{2}}{9}$.
આપણે $|\alpha+\sqrt{2}\beta| = |-\frac{8}{9} + \sqrt{2}(-\frac{16\sqrt{2}}{9})| = |-\frac{8}{9} - \frac{32}{9}| = |-\frac{40}{9}| = \frac{40}{9} \approx 4.44$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક શોધવાનો છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક $4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો સંકર સમતલમાં બે વર્તુળો દર્શાવે છે:
$|z-6|=5$ એ $C_{1}(6, 0)$ કેન્દ્ર અને $r_{1}=5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$|z-(-2+6i)|=5$ એ $C_{2}(-2, 6)$ કેન્દ્ર અને $r_{2}=5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_{1}C_{2} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (0 - 6)^2} = 10$ છે.
$C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2} = 10$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
બિંદુ $z$ એ કેન્દ્રો $C_{1}$ અને $C_{2}$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
$z = (2, 3)$,એટલે કે $z = 2 + 3i$.
$z = 2+3i$ માટે $z^2 = 4z - 13$ અને $z^3 = 3z - 52$ મળે છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા: $(3z - 52) + 3(4z - 13) - 15z + 141 = 50$.

(A) આપેલ છે: $\frac{\tan(A-B)}{\tan A} + \frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}A} = 1$
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A - \tan B}{\tan A(1 + \tan A \tan B)} + \frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}A} = 1$
ધારો કે $\tan A = x, \tan B = y, \tan C = z$.
$\sin^{2}C = \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}$ અને $\sin^{2}A = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ લેતા:
$\frac{x-y}{x(1+xy)} + \frac{z^{2}(1+x^{2})}{x^{2}(1+z^{2})} = 1$
સાદુરૂપ આપતા:
$z^{2} = xy$
$\therefore \tan^{2}C = \tan A \cdot \tan B$
આમ,$\tan A, \tan C, \tan B$ એ $G$.$P$. માં છે.

(C) જીવા $y=x$ એ $C_{2}$ નો વ્યાસ છે. $C_{2}$ નું કેન્દ્ર $A(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને કેન્દ્ર $A$ થી સૌથી દૂર હોય તેવી જીવા,રેખાખંડ $AB$ ને લંબ હોય છે.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{3 - 5/2}{2 - 5/2} = -1$.
તેથી,જરૂરી જીવાનો ઢાળ $= 1$ થશે.
જીવાનું સમીકરણ $y - 3 = 1(x - 2)$ એટલે કે $x - y + 1 = 0$ છે.
$x + ay + b = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.
તેથી,$a - b = -1 - 1 = -2$.

(B) આપણને શ્રેણી $S = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k(k+1)}{k!}$ આપેલ છે.
નોંધો કે $\frac{k(k+1)}{k!} = \frac{k(k-1+2)}{k!} = \frac{k(k-1)}{k!} + \frac{2k}{k!} = \frac{1}{(k-2)!} + \frac{2}{(k-1)!}$ જ્યાં $k \ge 2$ છે.
$k=1$ માટે,પદ $(-1)^{1+1}\frac{1(2)}{1!} = 2$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{k(k-1)}{k!} + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{2k}{k!}$.
$S = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-2)!} + 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k-1)!}$.
પ્રથમ સરવાળામાં $j = k-2$ અને બીજા સરવાળામાં $m = k-1$ લેતા:
$S = -\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} + 2 \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m!}$.
કારણ કે $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1} = \frac{1}{e}$,તેથી:
$S = -(\frac{1}{e}) + 2(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$.

(B) ધારો કે $4$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4$ છે. સંખ્યા $5000$ અને $9000$ ની વચ્ચે હોવાથી,પ્રથમ અંક $d_1$ એ $5$ હોઈ શકે.
અંકોનો સરવાળો $S = 5 + d_2 + d_3 + d_4$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
$d_2, d_3, d_4 \in \{0, 1, 2, 5, 9\}$ માટે કુલ $42$ શક્યતાઓ મળે છે.

(A) સમીકરણ $x|x+3|+|x-1|-2=0$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $x=-3$ અને $x=1$ બિંદુઓના આધારે ત્રણ અંતરાલોમાં વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$I$. કિસ્સો $x \ge 1$:
$x(x+3) + (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+4x-3=0$.
ઉકેલતા,$x = -2 \pm \sqrt{7}$.
$x \ge 1$ હોવાથી,બંને ઉકેલો અસ્વીકાર્ય છે.
$II$. કિસ્સો $-3 \le x < 1$:
$x(x+3) - (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+2x-1=0$.
ઉકેલતા,$x = -1 \pm \sqrt{2}$.
બંને ઉકેલો $-3 \le x < 1$ ની વચ્ચે હોવાથી,તે માન્ય છે.
$III$. કિસ્સો $x < -3$:
$x(-(x+3)) - (x-1) - 2 = 0 \implies x^2+4x+1=0$.
ઉકેલતા,$x = -2 \pm \sqrt{3}$.
$x < -3$ હોવાથી,માત્ર $x = -2-\sqrt{3}$ માન્ય છે.
આમ,કુલ $3$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(D) $10$ અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_9, \alpha$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 10$ હોવાથી,$\frac{\sum_{i=1}^9 x_i + \alpha}{10} = 10 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i + \alpha = 100$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 2$ હોવાથી,$\frac{\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \alpha^2}{10} - (10)^2 = 2 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i^2 + \alpha^2 = 1020$.
જ્યારે $\alpha$ ને $\beta$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવો મધ્યક $10.1$ થાય છે,તેથી $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i + \beta}{10} = 10.1 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i + \beta = 101$.
આ સમીકરણો બાદ કરતા,$\beta - \alpha = 1 \Rightarrow \beta = \alpha + 1$.
નવું વિચરણ $1.99$ છે,તેથી $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \beta^2}{10} - (10.1)^2 = 1.99$.
$\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \beta^2 = 1040$.
પ્રથમ વિચરણના સમીકરણને બાદ કરતા,$\beta^2 - \alpha^2 = 20$.
$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = 20$ અને $\beta - \alpha = 1$ હોવાથી,$\alpha + \beta = 20$.

(C) સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{525}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = -\frac{3}{4}$ આપેલ છે.
$a_n = \frac{1}{4} a_1$ ને સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{n}{2}(a_1 + \frac{a_1}{4}) = \frac{525}{2} \implies \frac{n}{2}(\frac{5a_1}{4}) = \frac{525}{2} \implies \frac{5a_1 n}{8} = \frac{525}{2} \implies a_1 n = 420$.
$a_n = a_1 + (n-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4} a_1 = a_1 + (n-1)(-\frac{3}{4}) \implies -\frac{3}{4} a_1 = -\frac{3}{4}(n-1) \implies a_1 = n-1$.
$a_1 = n-1$ ને $a_1 n = 420$ માં મૂકતા:
$(n-1)n = 420 \implies n^2 - n - 420 = 0 \implies (n-21)(n+20) = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$n = 21$ અને $a_1 = 21 - 1 = 20$ મળે.
હવે,$\sum_{i=1}^{17} a_i = \frac{17}{2}[2a_1 + (17-1)d]$ ની ગણતરી કરતા:
$= \frac{17}{2}[2(20) + 16(-\frac{3}{4})] = \frac{17}{2}[40 - 12] = \frac{17}{2}[28] = 17 \times 14 = 238$.

(C) આપણી પાસે $S = \sum_{r=0}^{12} \frac{1}{(2r+1)!(25-2r)!}$ છે.
$26!$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} \frac{26!}{(2r+1)!(25-2r)!} = \frac{1}{26!} \sum_{r=0}^{12} {}^{26}C_{2r+1}$.
એકી દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{12} {}^{26}C_{2r+1} = {}^{26}C_1 + {}^{26}C_3 + \dots + {}^{26}C_{25} = 2^{26-1} = 2^{25}$ થાય.
આમ,$S = \frac{2^{25}}{26!}$.
આપેલ છે કે $13S = \frac{2^k}{n!}$,તેથી $13 \times \frac{2^{25}}{26!} = \frac{13 \times 2^{25}}{26 \times 25!} = \frac{2^{25}}{2 \times 25!} = \frac{2^{24}}{25!}$.
$\frac{2^k}{n!}$ સાથે સરખાવતા,$k = 24$ અને $n = 25$ મળે.
તેથી,$n + k = 25 + 24 = 49$.

(D) સૌ પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(\frac{7}{3}-2)^2 + (\frac{4}{3}-(-1))^2} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle ABC$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $AC$ ને $AB:BC = 3:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$D = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ મળે છે.
દ્વિભાજક $B(2,-1)$ અને $D(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
તેનો ઢાળ $m = -3$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $3x + y = 5$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = 3$ અને $\beta = 1$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = 3^2 + 1^2 = 10$.

(C) આપેલ છે કે $\cot x = \frac{5}{12}$ અને $x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$,તેથી $\cos x = -\frac{5}{13}$ અને $\sin x = -\frac{12}{13}$.
$\frac{x}{2} \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$ હોવાથી,$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$ અને $\cos \frac{x}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.
આપેલ પદાવલિ: $\cos(7x - \frac{13x}{2}) + \sin(7x - \frac{13x}{2}) = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$.
કિંમત મૂકતા: $-\frac{2}{\sqrt{13}} + \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$.

(D) આપેલ છે $\left|\frac{z-6i}{z-2i}\right| = 1$,જ્યાં $z = x + iy$. આનો અર્થ થાય છે $|z-6i| = |z-2i|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + (y-6)^2 = x^2 + (y-2)^2$.
$y^2 - 12y + 36 = y^2 - 4y + 4$ $\Rightarrow 8y = 32$ $\Rightarrow y = 4$.
હવે,$\left|\frac{z-8+2i}{z+2i}\right| = \frac{3}{5} \Rightarrow 25|z-(8-2i)|^2 = 9|z+2i|^2$.
$25((x-8)^2 + (y+2)^2) = 9(x^2 + (y+2)^2)$.
$y=4$ મૂકતા: $25((x-8)^2 + 36) = 9(x^2 + 36)$.
$25(x^2 - 16x + 64 + 36) = 9(x^2 + 36)$.
$25x^2 - 400x + 2500 = 9x^2 + 324$.
$16x^2 - 400x + 2176 = 0 \Rightarrow x^2 - 25x + 136 = 0$.
$(x-8)(x-17) = 0 \Rightarrow x = 8 \text{ અથવા } x = 17$.
આમ,$z_1 = 8+4i$ અને $z_2 = 17+4i$.
$|z_1|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$.
$|z_2|^2 = 17^2 + 4^2 = 289 + 16 = 305$.
$\sum_{z \in S} |z|^2 = 80 + 305 = 385$.

(C) ધારો કે $E = \frac{\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}}$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\sqrt{3}\text{cosec } 20^{\circ}-\sec 20^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}\cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}} = \frac{2\sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}} = \frac{2\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$E = \frac{2\sin 40^{\circ} / (\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ})}{1/16} = \frac{4\sin 40^{\circ} / \sin 40^{\circ}}{1/16} = 4 \times 16 = 64$.

(B) $E_1$ માટે,નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8$ છે. આપેલ છે $e = \frac{4}{5}$,તેથી $2a(\frac{4}{5}) = 8 \Rightarrow a = 5$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 25(1 - \frac{16}{25}) = 25(\frac{9}{25}) = 9$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\ell_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$.
$E_2$ માટે,$A < B$,તેથી ઉત્કેન્દ્રતાનું સૂત્ર $A^2 = B^2(1 - e^2) = B^2(1 - \frac{16}{25}) = \frac{9}{25}B^2$ છે,જે $A = \frac{3}{5}B$ આપે છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\ell_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(9/25)B^2}{B} = \frac{18}{25}B$.
આપેલ છે $2\ell_1^2 = 9\ell_2$,તેથી $2(\frac{18}{5})^2 = 9(\frac{18}{25}B) \Rightarrow 2 \times \frac{324}{25} = \frac{162}{25}B$.
$B$ માટે ઉકેલતા,$B = \frac{2 \times 324}{162} = 4$.
$E_2$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2Be = 2 \times 4 \times \frac{4}{5} = \frac{32}{5}$ છે.

(A) આ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 729 = 3^6$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{9} = 3^{-2}$ છે.
$P_n$ એ પ્રથમ $n$ પદોનો ગુણાકાર છે: $P_n = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}} = 3^{6n} \cdot 3^{-n(n-1)} = 3^{7n - n^2}$.
તેથી,$(P_n)^{\frac{1}{n}} = 3^{7-n}$.
આપણે $2 \sum_{n=1}^{40} 3^{7-n}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ $40$ પદોની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $A = 3^6$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R = \frac{1}{3}$ છે.
સરવાળો $= 2 \cdot 3^6 \left( \frac{1 - (1/3)^{40}}{1 - 1/3} \right) = \frac{3^{40}-1}{3^{33}}$.
સરખામણી કરતા,$\alpha = 40$ અને $\beta = 33$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 40 + 33 = 73$.

(C) વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$,$A(-\sqrt{3}a, 0)$,અને $B(0, -\sqrt{2}b)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ સ્વરૂપનું છે.
$A(-\sqrt{3}a, 0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(-\sqrt{3}a)^2 + 2g(-\sqrt{3}a) = 0 \implies 3a^2 - 2g\sqrt{3}a = 0 \implies 2g = \sqrt{3}a$.
$B(0, -\sqrt{2}b)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(-\sqrt{2}b)^2 + 2f(-\sqrt{2}b) = 0 \implies 2b^2 - 2f\sqrt{2}b = 0 \implies 2f = \sqrt{2}b$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + (\sqrt{3}a)x + (\sqrt{2}b)y = 0$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2 + f^2} = 4$ છે.
તેથી,$g^2 + f^2 = 16 \implies (\frac{\sqrt{3}a}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}b}{2})^2 = 16 \implies \frac{3a^2}{4} + \frac{2b^2}{4} = 16 \implies 3a^2 + 2b^2 = 64$.
ધારો કે $\Delta OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ છે.
$h = \frac{0 - \sqrt{3}a + 0}{3} = -\frac{\sqrt{3}a}{3} \implies a = -\sqrt{3}h$.
$k = \frac{0 + 0 - \sqrt{2}b}{3} = -\frac{\sqrt{2}b}{3} \implies b = -\frac{3k}{\sqrt{2}}$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો $3a^2 + 2b^2 = 64$ માં મૂકતા:
$3(-\sqrt{3}h)^2 + 2(-\frac{3k}{\sqrt{2}})^2 = 64 \implies 3(3h^2) + 2(\frac{9k^2}{2}) = 64 \implies 9h^2 + 9k^2 = 64 \implies h^2 + k^2 = \frac{64}{9}$.
બિંદુપથ $x^2 + y^2 = (\frac{8}{3})^2$ છે,જે $\frac{8}{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan x \tan(x-50^{\circ})$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin(4x + 100^{\circ}) = \sin(-40^{\circ})$ મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ: $4x + 100^{\circ} = n \cdot 180^{\circ} + (-1)^n (-40^{\circ})$.
અંતરાલ $[0, 180^{\circ}]$ માં ઉકેલો $x = 30^{\circ}, 55^{\circ}, 120^{\circ}, 145^{\circ}$ મળે છે.
આમ,કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \{a, b, c, d, e\}$ એ $n = 5$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે.
કોઈપણ ઘટક $x \in S$ માટે,ગણ $A$ અને $B$ માં તેની સભ્યપદ માટે $4$ શક્યતાઓ છે જેથી $A \cap B = \varnothing$ થાય:
$1$. $x \in A$ અને $x \notin B$
$2$. $x \notin A$ અને $x \in B$
$3$. $x \notin A$ અને $x \notin B$
($A \cap B = \varnothing$ હોવાથી $x \in A$ અને $x \in B$ શક્ય નથી)
$5$ ઘટકો હોવાથી,કુલ ક્રમયુક્ત જોડ $(A, B)$ ની સંખ્યા $(2^n) \times (2^n) = 2^5 \times 2^5 = 2^{10} = 4^5$ છે.
સાનુકૂળ જોડ $(A, B)$ ની સંખ્યા કે જેમાં $A \cap B = \varnothing$ હોય તે $3^5$ છે (કારણ કે દરેક ઘટક પાસે $3$ વિકલ્પો છે).
આમ,સંભાવના $P(E) = \frac{3^5}{4^5} = \frac{3^5}{(2^2)^5} = \frac{3^5}{2^{10}}$.
આને $\frac{3^p}{2^q}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 5$ અને $q = 10$ મળે છે.
તેથી,$p + q = 5 + 10 = 15$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $z = \prod_{r=1}^n (1+ri)$.
બંને બાજુ માનાંકનો વર્ગ લેતા,$|z|^2 = \prod_{r=1}^n |1+ri|^2$.
કારણ કે $|1+ri|^2 = 1^2 + r^2 = 1+r^2$,તેથી $|z|^2 = \prod_{r=1}^n (1+r^2) = 44200$.
$n=1$ માટે: $1+1^2 = 2$.
$n=2$ માટે: $2 \times (1+2^2) = 2 \times 5 = 10$.
$n=3$ માટે: $10 \times (1+3^2) = 10 \times 10 = 100$.
$n=4$ માટે: $100 \times (1+4^2) = 100 \times 17 = 1700$.
$n=5$ માટે: $1700 \times (1+5^2) = 1700 \times 26 = 44200$.
આમ,$n=5$.

(C) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ પરનું બિંદુ $(h, k)$ એ $(2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $(x, y) = (2h + 1, 3k + 2)$.
$h = 2 \cos \theta$ અને $k = 2 \sin \theta$ મૂકતા,આપણને $x = 4 \cos \theta + 1$ અને $y = 6 \sin \theta + 2$ મળે છે.
ગોઠવતા,$\cos \theta = \frac{x - 1}{4}$ અને $\sin \theta = \frac{y - 2}{6}$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{x - 1}{4})^2 + (\frac{y - 2}{6})^2 = 1$ મળે છે.
આ $a = 6$ અને $b = 4$ અર્ધ-અક્ષો ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{36} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$\frac{5}{e^2} = \frac{5}{5/9} = 9$.

(D) $x^4 - ax^2 + 9 = 0$ . . . . $(1)$
ધારો કે $x^2 = t$.
તો $t^2 - at + 9 = 0$ . . . . $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,સમીકરણ $(2)$ ના બીજ ધન અને ભિન્ન હોવા જોઈએ.
$(i)$ વિવેચક $D > 0$ $\Rightarrow a^2 - 36 > 0$ $\Rightarrow a \in (-\infty, -6) \cup (6, \infty)$.
$(ii)$ બીજનો સરવાળો $\frac{-b}{a} > 0 \Rightarrow a > 0$.
$(iii)$ બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} > 0 \Rightarrow 9 > 0$,જે તમામ $a \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય છે.
$(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો છેદ લેતા,આપણને $a > 6$ મળે છે.
તેથી,$a$ ની સૌથી નાની ધન પૂર્ણાંક કિંમત $7$ છે.

(D) $X$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+19}{2} = 10$ છે.
$X$ નું વિચરણ $\sigma_x^2 = \frac{n^2-1}{12} = \frac{19^2-1}{12} = \frac{360}{12} = 30$ છે.
આપેલ છે કે $Y = aX + b$,તેથી $Y$ નો મધ્યક $\bar{y} = a\bar{x} + b = 10a + b = 30$ થાય.
$Y$ નું વિચરણ $\sigma_y^2 = a^2 \sigma_x^2 = a^2(30) = 750$ થાય.
આમ,$a^2 = 25$,જેનો અર્થ છે કે $a = 5$ અથવા $a = -5$.
જો $a = 5$ હોય,તો $10(5) + b = 30 \Rightarrow b = -20$.
જો $a = -5$ હોય,તો $10(-5) + b = 30 \Rightarrow b = 80$.
$b$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $-20 + 80 = 60$ થાય.

(D) આપણે $n$ ની એવી સૌથી મોટી કિંમત શોધવી છે કે જેથી $40^n$ એ $60!$ ને ભાગે.
$40^n = (2^3 \times 5)^n = 2^{3n} \times 5^n$.
લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{m}{p^k} \rfloor$ છે.
$p=2$ માટે: $E_2(60!) = \lfloor \frac{60}{2} \rfloor + \lfloor \frac{60}{4} \rfloor + \lfloor \frac{60}{8} \rfloor + \lfloor \frac{60}{16} \rfloor + \lfloor \frac{60}{32} \rfloor = 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56$.
$p=5$ માટે: $E_5(60!) = \lfloor \frac{60}{5} \rfloor + \lfloor \frac{60}{25} \rfloor = 12 + 2 = 14$.
આપણે $3n \le 56$ અને $n \le 14$ ની જરૂર છે.
$3n \le 56$ પરથી,આપણને $n \le \lfloor \frac{56}{3} \rfloor = 18$ મળે છે.
$n \le 14$ પરથી,મર્યાદિત કિંમત $n = 14$ છે.

(B) "$UDAYPUR$" શબ્દના અક્ષરો $A, D, P, R, U, U, Y$ છે. કુલ અક્ષરો = $7$. $U$ અક્ષર $2$ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
મૂળાક્ષર ક્રમ: $A, D, P, R, U, Y$.
શબ્દો જે આનાથી શરૂ થાય છે:
$A$: $\frac{6!}{2!} = 360$
$D$: $\frac{6!}{2!} = 360$
$P$: $\frac{6!}{2!} = 360$
$R$: $\frac{6!}{2!} = 360$
$UA$: $5! = 120$
$UDAP$: $3! = 6$
$UDAR$: $3! = 6$
$UDAYP$: $1! = 1$
$UDAYR$: $1! = 1$
$UDAYU$: $1! = 1$
$UDAYPUR$: $1$
કુલ સરવાળો: $1440 + 120 + 6 + 6 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1576$.

(A) ધારો કે $a = \frac{4}{7}$ અને $b = \frac{1}{3}$.
દરેક પદ $\sum_{k=0}^{n} a^k b^{n-k} = \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b}$ સ્વરૂપમાં છે.
શ્રેણી $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b} = \frac{1}{a - b} \left[ \sum_{n=1}^{\infty} a^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} b^{n+1} \right]$ છે.
અહીં $a - b = \frac{4}{7} - \frac{1}{3} = \frac{5}{21}$.
સરવાળો $= \frac{21}{5} \left[ \frac{a^2}{1 - a} - \frac{b^2}{1 - b} \right] = \frac{21}{5} \left[ \frac{16/49}{3/7} - \frac{1/9}{2/3} \right] = \frac{21}{5} \left[ \frac{16}{21} - \frac{1}{6} \right] = \frac{5}{2}$.

(C) પરવલય $x^2 = 4y$ પરનું પ્રચલ બિંદુ $P(2t, t^2)$ છે.
રેખા $x - y - 1 = 0$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ $Q(h, k)$ છે.
પ્રતિબિંબના સૂત્ર મુજબ,$\frac{h - 2t}{1} = \frac{k - t^2}{-1} = -2 \frac{2t - t^2 - 1}{2} = t^2 - 2t + 1$.
આથી,$h = t^2 + 1$ અને $k = 2t - 1$.
$k = 2t - 1$ પરથી $t = \frac{k + 1}{2}$ મળે.
$h = t^2 + 1$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા,$h = (\frac{k + 1}{2})^2 + 1$.
$h - 1 = \frac{(k + 1)^2}{4} \implies (k + 1)^2 = 4(h - 1)$.
આમ,પ્રતિબિંબિત પરવલયનું સમીકરણ $(y + 1)^2 = 4(x - 1)$ છે.
સરખામણી કરતા $a = 1, b = 4, c = 1$ મળે.
તેથી,$a + b + c = 1 + 4 + 1 = 6$.

(A) ધારો કે ચાર પદો $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ છે,જ્યાં સામાન્ય તફાવત $l=2d$ છે.
સરવાળો $48$ હોવાથી,$(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=48$,જેનું સાદું રૂપ $4a=48$ એટલે કે $a=12$ મળે છે.
પદોનો ગુણાકાર અને $l^4$ નો સરવાળો $(a^2-9d^2)(a^2-d^2)+l^4=361$ છે.
$l=2d$ હોવાથી,$l^4=16d^4$. $a=12$ મૂકતા:
$(144-9d^2)(144-d^2)+16d^4=361$
$25d^4 - 1440d^2 + 20375 = 0$
$5$ વડે ભાગતા: $5d^4 - 288d^2 + 4075 = 0$.
$d^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરતા: $d^2 = 25$ મળે છે.
તેથી $d=5$ (કારણ કે $l=2d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ).
પદો $-3, 7, 17, 27$ છે.
સૌથી મોટું પદ $27$ છે.

(C) બિંદુ $P(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખાને પ્રાચલ સ્વરૂપમાં $(x, y) = (2 + r\cos\theta, 3 + r\sin\theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $r = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
આ બિંદુ રેખા $x+y=6$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામો મૂકીએ:
$(2 + r\cos\theta) + (3 + r\sin\theta) = 6$
$r(\cos\theta + \sin\theta) + 5 = 6$
$\sqrt{\frac{2}{3}}(\cos\theta + \sin\theta) = 1$
$\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{\frac{3}{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\cos\theta + \sin\theta)^2 = \frac{3}{2}$
$1 + \sin(2\theta) = \frac{3}{2}$
$\sin(2\theta) = \frac{1}{2}$
આમ,$2\theta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $2\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
તેથી,$\theta_1 = \frac{\pi}{12}$ અને $\theta_2 = \frac{5\pi}{12}$.
ખૂણાઓનો સરવાળો: $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$.

(C) વિધેય $f(t) = -t^{2} + 2t - \frac{3}{4}$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(t) = -(t-1)^{2} + \frac{1}{4}$.
મહત્તમ મૂલ્ય $e = \frac{1}{4}$ છે,તેથી $e^{2} = \frac{1}{16}$.
ઉપવલય માટે,$e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,તેથી $\frac{b^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \Rightarrow b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 30$ છે,તેથી $b^{2} = 15a$.
$b^{2}$ માટેના સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{15}{16}a^{2} = 15a$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$\frac{a}{16} = 1 \Rightarrow a = 16$.
તેથી $b^{2} = 15(16) = 240$.
આમ,$a^{2} + b^{2} = 16^{2} + 240 = 256 + 240 = 496$.

(B) ધારો કે $P = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ અને $Q = (\alpha, -5\alpha - 2)$.
$x-y+1=0$ એ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$PQ$ નું મધ્યબિંદુ રેખા $x-y+1=0$ પર આવેલું છે.
મધ્યબિંદુ $M = (\frac{2 \cos \theta + \alpha}{2}, \frac{2 \sin \theta - 5\alpha - 2}{2})$.
$M$ ને $x-y+1=0$ માં મૂકતા:
$\frac{2 \cos \theta + \alpha}{2} - \frac{2 \sin \theta - 5\alpha - 2}{2} + 1 = 0$
$\cos \theta - \sin \theta + 3\alpha + 2 = 0 \quad \dots(1)$
$PQ$ નો ઢાળ $-1$ છે.
$\frac{2 \sin \theta + 5\alpha + 2}{2 \cos \theta - \alpha} = -1$
$\sin \theta + \cos \theta + 2\alpha + 1 = 0 \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી $\alpha$ નો લોપ કરતા:
$5 \sin \theta + \cos \theta = 1$
$\cos \theta = 1$ અથવા $\cos \theta = -\frac{12}{13}$.
$P$ ના $x$-યામોનો સરવાળો $= 2(1) + 2(-\frac{12}{13}) = 2 - \frac{24}{13} = \frac{2}{13}$.
$13$ ગણા સરવાળો $= 13 \times \frac{2}{13} = 2$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$. આપણે $A = I + M$ લખી શકીએ,જ્યાં $M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$.
$M^2$ ની ગણતરી કરતા: $M^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-4 & -8+8 \\ 2-2 & -4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
કારણ કે $M^2 = O$,તેથી તમામ $k \geq 2$ માટે $M^k = O$ થશે.
શ્રેણિકો માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $A^{100} = (I + M)^{100} = I^{100} + \binom{100}{1} I^{99} M + \binom{100}{2} I^{98} M^2 + \dots = I + 100M$.
આપેલ છે કે $A^{100} = 100B + I$,તેથી $I + 100M = 100B + I$,જેનો અર્થ છે કે $B = M = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $B^2 = M^2 = O$,તેથી $B^{100} = O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$B^{100}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $0 + 0 + 0 + 0 = 0$ થાય છે.

(A) રેખા $\vec{r} = (4, 0, -1) + \mu(2, 0, 3)$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(43, \alpha, \beta)$ છે. બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને $(3, -1, 0)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $\frac{x-43}{3} = \frac{y-\alpha}{-1} = \frac{z-\beta}{0} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P_1(43+3\lambda, \alpha-\lambda, \beta)$ છે.
કારણ કે $P_1$ એ રેખા $\vec{r} = (4+2\mu, 0, -1+3\mu)$ પર આવેલું છે,તેથી:
$43+3\lambda = 4+2\mu \Rightarrow 2\mu - 3\lambda = 39$
$\alpha-\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \alpha$
$\beta = -1+3\mu$
$\lambda = \alpha$ પરથી,$2\mu - 3\alpha = 39 \Rightarrow \mu = \frac{3\alpha+39}{2}$ મળે.
તેથી $\beta = -1 + 3(\frac{3\alpha+39}{2}) = \frac{-2+9\alpha+117}{2} = \frac{9\alpha+115}{2}$.
અંતર $PP_1 = 13\sqrt{10}$ છે,તેથી $(PP_1)^2 = 1690$.
$PP_1^2 = (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + 0^2 = 10\lambda^2 = 1690 \Rightarrow \lambda^2 = 169 \Rightarrow \lambda = \pm 13$.
જો $\lambda = 13$ હોય,તો $\alpha = 13$ અને $\beta = \frac{9(13)+115}{2} = 116$ (શક્ય નથી કારણ કે $\beta < 0$).
જો $\lambda = -13$ હોય,તો $\alpha = -13$ અને $\beta = \frac{9(-13)+115}{2} = -1$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = (-13)^2 + (-1)^2 = 169 + 1 = 170$.

(A) આપેલ છે $f(x)=1-2x+\int_{0}^{x}e^{(x-t)}f(t)dt$.
$e^{-x}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $e^{-x}f(x) = (1-2x)e^{-x} + \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^{-x}f'(x) - e^{-x}f(x) = -2e^{-x} - (1-2x)e^{-x} + e^{-x}f(x)$.
$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x) \Rightarrow f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ છે.
$f(x)e^{-2x} = \int (2x-3)e^{-2x} dx = (2x-3)\frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
$f(x) = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + Ce^{2x} = 1-x + Ce^{2x}$.
કારણ કે $f(0) = 1-2(0) + 0 = 1$,તેથી $1 = 1-0 + C \Rightarrow C=0$.
તેથી,$f(x) = 1-x$.
હવે,$g(x) = \int_{0}^{x} (1-t+2)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt = \int_{0}^{x} (3-t)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt$.
$g'(x) = (3-x)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} = -(x-3)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $-12, 3, 4$ ની આસપાસ $g'(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$x < -12$ માટે,$g'(x) < 0$.
$-12 < x < 3$ માટે,$g'(x) > 0$.
$3 < x < 4$ માટે,$g'(x) < 0$.
$x > 4$ માટે,$g'(x) < 0$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ $p = -12$ પર અને સ્થાનિક મહત્તમ $q = 3$ પર મળે છે.
તેથી,$|p+q| = |-12+3| = |-9| = 9$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{dx}{x^{2/3} + 2x^{1/2}}$.
ધારો કે $x = t^6$,તેથી $dx = 6t^5 dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \int \frac{6t^5 dt}{t^4 + 2t^3} = \int \frac{6t^2 dt}{t + 2} = 6 \int \frac{t^2 - 4 + 4}{t + 2} dt$.
$f(x) = 6 \int (t - 2 + \frac{4}{t + 2}) dt = 6 [\frac{t^2}{2} - 2t + 4 \log_{e}(t + 2)] + C$.
$t = x^{1/6}$ મૂકતા:
$f(x) = 3x^{1/3} - 12x^{1/6} + 24 \log_{e}(x^{1/6} + 2) + C$.
આપેલ છે કે $f(0) = -26 + 24 \log_{e}(2)$.
$x = 0$ માટે,$f(0) = 0 - 0 + 24 \log_{e}(2) + C = 24 \log_{e}(2) + C$.
સરખાવતા,$C = -26$.
હવે,$f(1) = 3(1)^{1/3} - 12(1)^{1/6} + 24 \log_{e}(1^{1/6} + 2) - 26$.
$f(1) = 3 - 12 + 24 \log_{e}(3) - 26 = -35 + 24 \log_{e}(3)$.
આપેલ છે કે $f(1) = a + b \log_{e}(3)$,તેથી $a = -35$ અને $b = 24$.
તેથી,$a + b = -35 + 24 = -11$.

(C) ધારો કે $\theta$ એ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AP}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. $P$ એ $AB$ અને $AC$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$AP$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે. ધારો કે $\angle BAC = 2\alpha$. તેથી $\angle BAP = \alpha$.
પ્રથમ,$\cos(2\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{(3)(1) + (1)(-1) + (-1)(3)}{\sqrt{3^2+1^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}} = \frac{3-1-3}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = -\frac{1}{11}$ ગણીએ.
નિત્યસમ $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - 2\sin^2(\alpha) = -\frac{1}{11}$,જેનો અર્થ છે કે $2\sin^2(\alpha) = \frac{12}{11}$,તેથી $\sin^2(\alpha) = \frac{6}{11}$ અને $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{6}{11}}$.
$\triangle ABP$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AP}| \sin(\alpha)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{11} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{\frac{6}{11}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{6} = \frac{\sqrt{30}}{4}$.

(C) ધારો કે રેખા $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = r$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $N = (r+1, 2r, r+1)$ છે.
$PN$ ના દિકગુણોત્તર $(r+1-3, 2r-2, r+1-1) = (r-2, 2r-2, r)$ છે.
$PN$ એ $L_1$ (દિશા સદિશ $\vec{v_1} = \langle 1, 2, 1 \rangle$) ને લંબ હોવાથી,$1(r-2) + 2(2r-2) + 1(r) = 0$.
$r-2 + 4r-4 + r = 0 \Rightarrow 6r = 6 \Rightarrow r = 1$.
આમ,$N = (1+1, 2(1), 1+1) = (2, 2, 2)$.
$N$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,ધારો કે $Q = (x_q, y_q, z_q)$. તો $\frac{x_q+3}{2} = 2, \frac{y_q+2}{2} = 2, \frac{z_q+1}{2} = 2$.
$x_q = 1, y_q = 2, z_q = 3$. તેથી $Q = (1, 2, 3)$.
હવે,$Q(1, 2, 3)$ નું રેખા $L_2: \frac{x-9}{3}=\frac{y-9}{2}=\frac{z-5}{-2} = k$ થી અંતર શોધો.
$L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $M = (3k+9, 2k+9, -2k+5)$ છે.
સદિશ $\vec{QM} = \langle 3k+8, 2k+7, -2k+2 \rangle$. $L_2$ ની દિશા $\vec{v_2} = \langle 3, 2, -2 \rangle$ છે.
$\vec{QM} \perp \vec{v_2}$ હોવાથી,$3(3k+8) + 2(2k+7) - 2(-2k+2) = 0$.
$9k+24 + 4k+14 + 4k-4 = 0 \Rightarrow 17k + 34 = 0 \Rightarrow k = -2$.
$k=-2$ મૂકતા,$M = (3(-2)+9, 2(-2)+9, -2(-2)+5) = (3, 5, 9)$.
અંતર $QM = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

(B) અમે $x \neq \frac{n\pi}{2}$ માટે વિવિધ ચરણોમાં વિધેય $f(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x \in (0, \pi/2)$ માટે,$\sin x > 0, \cos x > 0, \tan x > 0, \cot x > 0 \Rightarrow f(x) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.
$2$. $x \in (\pi/2, \pi)$ માટે,$\sin x > 0, \cos x < 0, \tan x < 0, \cot x < 0 \Rightarrow f(x) = 1 - 1 - 1 - 1 = -2$.
$3$. $x \in (\pi, 3\pi/2)$ માટે,$\sin x < 0, \cos x < 0, \tan x > 0, \cot x > 0 \Rightarrow f(x) = -1 - 1 + 1 + 1 = 0$.
$4$. $x \in (3\pi/2, 2\pi)$ માટે,$\sin x < 0, \cos x > 0, \tan x < 0, \cot x < 0 \Rightarrow f(x) = -1 + 1 - 1 - 1 = -2$.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $\{-2, 0, 4\}$ છે.
વિસ્તારના ઘટકોનો સરવાળો $-2 + 0 + 4 = 2$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx}-y=x^2 \cot x$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x \frac{dy}{dx}-y}{x^2} = \cot x$ મળે છે.
આને $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \cot x$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\frac{y}{x} = \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા:
$\frac{\pi/2}{\pi/2} = \ln(\sin \frac{\pi}{2}) + C \implies 1 = \ln(1) + C \implies C = 1$.
આમ,ઉકેલ $y = x(\ln(\sin x) + 1)$ છે.
હવે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6}(\ln(\sin \frac{\pi}{6}) + 1) = \frac{\pi}{6}(\ln(\frac{1}{2}) + 1) = \frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)$ શોધો.
$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}(\ln(\sin \frac{\pi}{4}) + 1) = \frac{\pi}{4}(\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 1) = \frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)$ શોધો.
અંતે,$6y(\frac{\pi}{6}) - 8y(\frac{\pi}{4}) = 6[\frac{\pi}{6}(1 - \ln 2)] - 8[\frac{\pi}{4}(1 - \frac{1}{2}\ln 2)]$.
$= \pi(1 - \ln 2) - 2\pi(1 - \frac{1}{2}\ln 2) = \pi - \pi \ln 2 - 2\pi + \pi \ln 2 = -\pi$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} dx$.
અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં $[x]$,$[\sin x]$,અને $[\cos x]$ ની કિંમતોને આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ.
$x \in [-\frac{\pi}{2}, -1)$ માટે,$[x] = -2$,$[\sin x] = -1$,$[\cos x] = 0$. તેથી,સંકલ્ય $\frac{12(3-2)}{3-1+0} = \frac{12}{2} = 6$ છે.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$,$[\sin x] = -1$,$[\cos x] = 0$. તેથી,સંકલ્ય $\frac{12(3-1)}{3-1+0} = \frac{24}{2} = 12$ છે.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,$[\sin x] = 0$,$[\cos x] = 0$. તેથી,સંકલ્ય $\frac{12(3+0)}{3+0+0} = \frac{36}{3} = 12$ છે.
$x \in [1, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$[x] = 1$,$[\sin x] = 0$,$[\cos x] = 0$. તેથી,સંકલ્ય $\frac{12(3+1)}{3+0+0} = \frac{48}{3} = 16$ છે.
આમ,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} 6 dx + \int_{-1}^{0} 12 dx + \int_{0}^{1} 12 dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} 16 dx$.
$I = 6(-1 - (-\frac{\pi}{2})) + 12(0 - (-1)) + 12(1 - 0) + 16(\frac{\pi}{2} - 1)$.
$I = 6(-1 + \frac{\pi}{2}) + 12(1) + 12(1) + 16(\frac{\pi}{2} - 1)$.
$I = -6 + 3\pi + 12 + 12 + 8\pi - 16$.
$I = 11\pi + 2$.

(C) $P_{1}: y = 4x^{2}$ અને $P_{2}: y = x^{2} + 27$ ના છેદબિંદુઓ $4x^{2} = x^{2} + 27$ ઉકેલતા મળે છે,જે $3x^{2} = 27$ આપે છે,તેથી $x = \pm 3$.
$P_{1}$ અને $P_{2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_{1} = \int_{-3}^{3} ((x^{2} + 27) - 4x^{2}) dx = \int_{-3}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 \int_{0}^{3} (27 - 3x^{2}) dx = 2 [27x - x^{3}]_{0}^{3} = 2(81 - 27) = 108$ ચોરસ એકમ.
પ્રશ્ન મુજબ,$P_{1}$ અને રેખા $y = \alpha x$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A_{2} = \frac{A_{1}}{6} = \frac{108}{6} = 18$ ચોરસ એકમ છે.
રેખા $y = \alpha x$ એ $P_{1}: y = 4x^{2}$ ને $4x^{2} = \alpha x$ પર છેદે છે,તેથી $x(4x - \alpha) = 0$,જે $x = 0$ અને $x = \frac{\alpha}{4}$ આપે છે.
ક્ષેત્રફળ $A_{2} = \int_{0}^{\alpha/4} (\alpha x - 4x^{2}) dx = [\frac{\alpha x^{2}}{2} - \frac{4x^{3}}{3}]_{0}^{\alpha/4} = \frac{\alpha}{2}(\frac{\alpha^{2}}{16}) - \frac{4}{3}(\frac{\alpha^{3}}{64}) = \frac{\alpha^{3}}{32} - \frac{\alpha^{3}}{48} = \frac{\alpha^{3}}{96}$.
$A_{2} = 18$ લેતા,$\frac{\alpha^{3}}{96} = 18$,તેથી $\alpha^{3} = 18 \times 96 = 1728$.
આમ,$\alpha = \sqrt[3]{1728} = 12$.

(B) વિધાન $I$: $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & x \ge 0 \\ \frac{x}{1-x}, & x < 0 \end{cases}$
$x \ge 0$ માટે,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} > 0$.
વિકલન હંમેશા ધન હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને તેથી તે એક-એક છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: $f(x) = \frac{x^2+4x-30}{x^2-8x+18}$.
તે અનેક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે શું એવા $x_1 \neq x_2$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$ થાય.
ધારો કે $f(x) = k$. તો $k(x^2-8x+18) = x^2+4x-30$.
$(k-1)x^2 - (8k+4)x + (18k+30) = 0$.
આ સમીકરણને બે ભિન્ન ઉકેલ હોય તે માટે,વિવેચક $D$ ધન હોવો જોઈએ.
$D = (8k+4)^2 - 4(k-1)(18k+30) > 0$.
$16(2k+1)^2 - 24(k-1)(3k+5) > 0$.
$16(4k^2+4k+1) - 24(3k^2+2k-5) > 0$.
$64k^2+64k+16 - 72k^2-48k+120 > 0$.
$-8k^2+16k+136 > 0 \Rightarrow k^2-2k-17 < 0$.
$k$ ની એવી શ્રેણી અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે બે ભિન્ન ઉકેલો મળે છે,તેથી વિધેય અનેક-એક છે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) ધારો કે $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)$ અને $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.
તેથી $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{2}{3}$.
તેથી $\cos \phi = \frac{3}{\sqrt{10}}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \phi = \frac{1}{3}$.
આપણે $\tan(2\theta - 2\phi) = \frac{\tan 2\theta - \tan 2\phi}{1 + \tan 2\theta \tan 2\phi}$ શોધવાનું છે.
$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2\theta = \frac{2(2/3)}{1 - (2/3)^2} = \frac{4/3}{5/9} = \frac{12}{5}$.
$\tan 2\phi = \frac{2(1/3)}{1 - (1/3)^2} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\tan(2\theta - 2\phi) = \frac{12/5 - 3/4}{1 + (12/5)(3/4)} = \frac{33/20}{56/20} = \frac{33}{56}$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \pi x - x^{(2/\theta)} \sin(x-1)}{1 + x^{(2/\theta)}(x-1)}$.
કિસ્સો $1$: $|x| < 1$. જેમ $\theta \rightarrow 0$,તેમ $x^{(2/\theta)} \rightarrow 0$. તેથી,$f(x) = \cos \pi x$.
કિસ્સો $2$: $|x| > 1$. જેમ $\theta \rightarrow 0$,તેમ $x^{(2/\theta)} \rightarrow \infty$. અંશ અને છેદને $x^{(2/\theta)}$ વડે ભાગતા,આપણને $f(x) = \frac{-\sin(x-1)}{x-1}$ મળે છે.
$x=1$ આગળ: $LHL = \lim_{x \rightarrow 1^-} \cos \pi x = -1$. $RHL = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = -1$. $LHL = RHL = f(1) = -1$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત છે. વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
$x=-1$ આગળ: $LHL = \lim_{x \rightarrow -1^-} \frac{-\sin(x-1)}{x-1} = \frac{-\sin(-2)}{-2} = \frac{-\sin 2}{2}$. $RHL = \lim_{x \rightarrow -1^+} \cos \pi x = \cos(-\pi) = -1$. $LHL \neq RHL$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x=-1$ આગળ અસતત છે. વિધાન $(II)$ ખોટું છે.
તેથી,ન તો $(I)$ કે ન તો $(II)$ સાચું છે.

(C) આપેલ અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{263}{15}$.
સરવાળો ગણતા: $E(X) = (4k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{30}{7}k \cdot \frac{1}{15}) + (\frac{32}{7}k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{34}{7}k \cdot \frac{1}{5}) + (\frac{36}{7}k \cdot \frac{1}{15}) + (\frac{38}{7}k \cdot \frac{2}{15}) + (\frac{40}{7}k \cdot \frac{1}{5}) + (6k \cdot \frac{1}{15})$.
$E(X) = \frac{k}{105} [ 56 + 30 + 64 + 102 + 36 + 76 + 120 + 42 ] = \frac{526k}{105} = \frac{263}{15}$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{263}{15} \cdot \frac{105}{526} = \frac{7}{2}$.
$k = \frac{7}{2}$ ને $X$ ની કિંમતોમાં મૂકતા: $X$ ની કિંમતો ${14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}$ મળે છે.
આપણે $P(X < 20) = P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) + P(X=17) + P(X=18) + P(X=19)$ શોધવાનું છે.
$P(X < 20) = \frac{2}{15} + \frac{1}{15} + \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} + \frac{2}{15} = \frac{11}{15}$.

(B) આપેલ છે $\overrightarrow{PQ}=-2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,તેથી $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
આપેલ છે $\overrightarrow{PR}=a\hat{i}+b\hat{j}-4\hat{k}$ અને $|\overrightarrow{PR}|=9$,તેથી $a^2+b^2+(-4)^2 = 9^2 \implies a^2+b^2+16=81 \implies a^2+b^2=65$ ...$(1)$.
આપેલ છે $\overrightarrow{PS}=\hat{i}-7\hat{j}+2\hat{k}$,તેથી $|\overrightarrow{PS}| = \sqrt{1^2+(-7)^2+2^2} = \sqrt{1+49+4} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$.
જેમ કે $S$ એ $PQ$ અને $PR$ થી સમાન અંતરે છે,$PS$ એ $\angle QPR$ નો ખૂણા દ્વિભાજક છે. ધારો કે $\angle QPS = \angle RPS = \theta$.
તો $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PS}}{|\overrightarrow{PQ}| |\overrightarrow{PS}|} = \frac{(-2)(1)+(-1)(-7)+(2)(2)}{3 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{-2+7+4}{9\sqrt{6}} = \frac{9}{9\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.
વળી,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{PS}}{|\overrightarrow{PR}| |\overrightarrow{PS}|} = \frac{(a)(1)+(b)(-7)+(-4)(2)}{9 \cdot 3\sqrt{6}} = \frac{a-7b-8}{27\sqrt{6}}$.
$\cos \theta$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{a-7b-8}{27\sqrt{6}} \implies a-7b-8 = 27 \implies a-7b = 35$ ...$(2)$.
$(1)$ પરથી,$a^2+b^2=65$. $a=35+7b$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $(35+7b)^2+b^2=65 \implies 1225+490b+49b^2+b^2=65 \implies 50b^2+490b+1160=0 \implies 5b^2+49b+116=0$.
$b$ માટે ઉકેલતા: $b = \frac{-49 \pm \sqrt{49^2-4(5)(116)}}{10} = \frac{-49 \pm \sqrt{2401-2320}}{10} = \frac{-49 \pm \sqrt{81}}{10} = \frac{-49 \pm 9}{10}$.
તેથી $b = -4$ અથવા $b = -5.8$. કારણ કે $b \in \mathbb{Z}$,$b=-4$.
પછી $a = 35+7(-4) = 35-28 = 7$.
આમ,$3a-4b = 3(7)-4(-4) = 21+16 = 37$.

(B) ધારો કે $I_r = \int_0^r x |\sin \pi x| dx$ ...$(1)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_r = \int_0^r (r-x) |\sin \pi (r-x)| dx = \int_0^r (r-x) |\sin \pi x| dx$ ...$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I_r = \int_0^r r |\sin \pi x| dx \Rightarrow I_r = \frac{r}{2} \int_0^r |\sin \pi x| dx$
કારણ કે $\int_0^n |\sin \pi x| dx = \frac{2n}{\pi}$,તેથી $I_r = \frac{r}{2} \cdot \frac{2r}{\pi} = \frac{r^2}{\pi}$.
આમ,પદાવલિ $\sum_{r=1}^{20} \sqrt{\pi \cdot \frac{r^2}{\pi}} = \sum_{r=1}^{20} r$ બને છે.
સરવાળો $= \frac{20(21)}{2} = 210$.

(A) ધારો કે $\alpha = \frac{1}{2}\cos^{-1}(\frac{2}{3})$ અને $\beta = \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2}{3})$.
તેથી $k = \tan(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \tan(\beta)$.
$2\alpha = \cos^{-1}(\frac{2}{3})$ હોવાથી,$\cos(2\alpha) = \frac{2}{3}$.
$2\beta = \sin^{-1}(\frac{2}{3})$ હોવાથી,$\sin(2\beta) = \frac{2}{3}$.
$\tan \alpha = \sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે.
$\tan \beta = \sqrt{\frac{1-\cos 2\beta}{1+\cos 2\beta}} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા $k=3$ મળે છે.
સમીકરણ $\sin^{-1}(3x-1) = 2\sin^{-1}x - \frac{\pi}{2}$ બને છે.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $3x-1 = -\cos(2\sin^{-1}x) = 2x^2-1$.
$2x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x=0$ અથવા $x=1.5$.
$x=1.5$ માટે $\sin^{-1}(3.5)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
$x=0$ માટે સમીકરણ સંતોષાય છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x\frac{dy}{dx}-\sin(2y)=x^{3}(2-x^{3})\cos^{2}y$.
બંને બાજુ $x\cos^{2}y$ વડે ભાગતા: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{\sin(2y)}{x\cos^{2}y}=x^{2}(2-x^{3})$.
$\sin(2y)=2\sin y\cos y$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}-\frac{2\tan y}{x}=x^{2}(2-x^{3})$.
ધારો કે $\tan y=t$,તેથી $\sec^{2}y\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}$.
આ સમીકરણ સુરેખ વિકલ સમીકરણ બને છે: $\frac{dt}{dx}-\frac{2}{x}t=x^{2}(2-x^{3})$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $I.F. = e^{\int-\frac{2}{x}dx} = e^{-2\ln x} = \frac{1}{x^{2}}$.
$I$.$F$. વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(\frac{t}{x^{2}}) = 2-x^{3}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{t}{x^{2}} = \int(2-x^{3})dx = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.
$t=\tan y$ મૂકતા: $\frac{\tan y}{x^{2}} = 2x-\frac{x^{4}}{4}+C$.
$y(2)=0$ આપેલ છે,તેથી $\tan(0)=0$: $\frac{0}{4} = 2(2)-\frac{16}{4}+C \Rightarrow 0 = 4-4+C \Rightarrow C=0$.
તેથી,$\tan y = 2x^{3}-\frac{x^{6}}{4}$.
$x=1$ માટે,$\tan(y(1)) = 2(1)^{3}-\frac{1^{6}}{4} = 2-\frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{b}-\vec{c}|^{2}+|\vec{c}-\vec{a}|^{2}=9$
$(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}) + (|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}-2\vec{b}\cdot\vec{c}) + (|\vec{c}|^{2}+|\vec{a}|^{2}-2\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$2(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}) - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$2(1+1+1) - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$6 - 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 9$
$\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a} = -\frac{3}{2}$
હવે,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2} = |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2} + 2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) = 3 + 2(-\frac{3}{2}) = 0$ ધ્યાનમાં લો.
તેથી,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b}+\vec{c} = -\vec{a}$.
આને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$|2\vec{a}+k(\vec{b}+\vec{c})| = 3$
$|2\vec{a}+k(-\vec{a})| = 3$
$|(2-k)\vec{a}| = 3$
કારણ કે $|\vec{a}| = 1$,તેથી $|2-k| = 3$.
આથી $2-k = 3$ અથવા $2-k = -3$.
$k = -1$ અથવા $k = 5$.
$k$ ની ધન કિંમત $5$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1} = k$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+1, 2k, k+1)$ છે.
ધારો કે $A$ એ $L_1$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે. $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{b} = \lambda$ માટે,$L_1$ પરનું બિંદુ $(3\lambda+1, 4\lambda+2, b\lambda+a)$ છે.
$A$ એ $L$ પર હોવાથી,$\frac{3\lambda+1-1}{1} = \frac{4\lambda+2}{2} = \frac{b\lambda+a-1}{1}$.
$\frac{3\lambda}{1} = \frac{4\lambda+2}{2}$ પરથી,$6\lambda = 4\lambda+2 \Rightarrow 2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી $A = (3(1)+1, 4(1)+2, b(1)+a) = (4, 6, a+b)$.
$A$ એ $L$ પર હોવાથી,$\frac{4-1}{1} = \frac{6}{2} = \frac{a+b-1}{1} \Rightarrow 3 = 3 = a+b-1 \Rightarrow a+b=4$.
ધારો કે $B$ એ $L_2$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે. $L_2: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-a}{c} = \mu$ માટે,$L_2$ પરનું બિંદુ $(\mu+1, 4\mu+2, c\mu+a)$ છે.
$B$ એ $L$ પર હોવાથી,$\frac{\mu+1-1}{1} = \frac{4\mu+2}{2} = \frac{c\mu+a-1}{1}$.
$\mu = \frac{4\mu+2}{2}$ પરથી,$2\mu = 4\mu+2 \Rightarrow -2\mu = 2 \Rightarrow \mu = -1$.
તેથી $B = (-1+1, 4(-1)+2, c(-1)+a) = (0, -2, a-c)$.
$B$ એ $L$ પર હોવાથી,$\frac{0-1}{1} = \frac{-2}{2} = \frac{a-c-1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = a-c-1 \Rightarrow a-c=0 \Rightarrow a=c$.
આપેલ છે કે $PA = PB$,જ્યાં $P(1, 2, a)$,$A(4, 6, a+b)$,અને $B(0, -2, a-c)$.
$PA^2 = (4-1)^2 + (6-2)^2 + (a+b-a)^2 = 3^2 + 4^2 + b^2 = 9+16+b^2 = 25+b^2$.
$PB^2 = (0-1)^2 + (-2-2)^2 + (a-c-a)^2 = (-1)^2 + (-4)^2 + (-c)^2 = 1+16+c^2 = 17+c^2$.
$PA=PB$ હોવાથી,$25+b^2 = 17+c^2 \Rightarrow c^2 - b^2 = 8$.
$a=c$ અને $a+b=4$ હોવાથી,$c+b=4$. તેથી $c-b = \frac{c^2-b^2}{c+b} = \frac{8}{4} = 2$.
$c+b=4$ અને $c-b=2$ ઉકેલતા,$2c=6 \Rightarrow c=3$ અને $b=1$.
તેથી $a=c=3$. આમ,$a+b+c = 3+1+3 = 7$.

(B) આપેલ છે કે $B = (I + A)^{-1}$ અને $A + C = I$.
$A + C = I$ પરથી,આપણને $A = I - C$ મળે છે.
આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = (I + (I - C))^{-1} = (2I - C)^{-1}$.
આનો અર્થ એ છે કે $B(2I - C) = I$,તેથી $2B - BC = I$.
તે જ રીતે,$(2I - C)B = I$,તેથી $2B - CB = I$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$2B - BC = 2B - CB$,જે સૂચવે છે કે $BC = CB$.
આપેલ છે કે $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $CB = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે $CB \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$ ઉકેલવાનું છે.
ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|M| = (1)(2) - (-5)(-1) = 2 - 5 = -3$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $M^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 24 - 30 \\ 12 - 6 \end{bmatrix} = -\frac{1}{3} \begin{bmatrix} -6 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$.
આમ,$x_1 = 2$ અને $x_2 = -2$.
તેથી,$x_1 + x_2 = 2 + (-2) = 0$.

(C) પ્રદેશ $R$ એ $y=x^2$, $y=1$, અને $xy=8$ (અથવા $y=8/x$) દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
પ્રથમ, છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^2=1 \implies x=1$ (કારણ કે $x \ge 0$)
$x^2=8/x \implies x^3=8 \implies x=2$
$8/x=1 \implies x=8$
ક્ષેત્રફળ $A$ એ બે સંકલનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx$
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) = 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - 6$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{4}{3} + 16 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - \frac{14}{3} = \frac{48 \ln 2 - 14}{3} = \frac{2}{3}(24 \ln 2 - 7)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x^2+1) = x^4 + 5x^2 + 2$.
ધારો કે $t = x^2 + 1$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = t - 1$.
આ કિંમત $f$ ના પદમાં મૂકતા:
$f(t) = (t-1)^2 + 5(t-1) + 2$
$f(t) = (t^2 - 2t + 1) + 5t - 5 + 2$
$f(t) = t^2 + 3t - 2$.
હવે,આપણે નિશ્ચિત સંકલન ગણીએ:
$\int_{0}^{3} f(t) dt = \int_{0}^{3} (t^2 + 3t - 2) dt$
$= \left[ \frac{t^3}{3} + \frac{3t^2}{2} - 2t \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} + \frac{3(3^2)}{2} - 2(3) \right) - (0)$
$= \left( \frac{27}{3} + \frac{27}{2} - 6 \right)$
$= 9 + 13.5 - 6 = 16.5 = \frac{33}{2}$.

(B) ધારો કે $I = \int \left( \frac{1-5 \cos^{2}x}{\sin^{5}x \cos^{2}x} \right) dx = \int \left( \frac{\sec^{2}x}{\sin^{5}x} - \frac{5}{\sin^{5}x} \right) dx$.
$\int \frac{\sec^{2}x}{\sin^{5}x} dx$ પર ખંડશઃ સંકલન (Integration by Parts) વાપરતા,$u = \frac{1}{\sin^{5}x}$ અને $dv = \sec^{2}x dx$ લો.
તેથી $du = -5 \sin^{-6}x \cos x dx$ અને $v = \tan x$.
$\int \frac{\sec^{2}x}{\sin^{5}x} dx = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} - \int \tan x (-5 \sin^{-6}x \cos x) dx = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} + 5 \int \frac{\sin x / \cos x \cdot \cos x}{\sin^{6}x} dx = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} + 5 \int \frac{1}{\sin^{5}x} dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \left( \frac{\tan x}{\sin^{5}x} + 5 \int \frac{1}{\sin^{5}x} dx \right) - 5 \int \frac{1}{\sin^{5}x} dx = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} + C$.
આમ,$f(x) = \frac{\tan x}{\sin^{5}x} = \frac{1}{\cos x \sin^{4}x}$.
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\cos(\pi/6) \sin^{4}(\pi/6)} = \frac{32}{\sqrt{3}}$.
$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\cos(\pi/4) \sin^{4}(\pi/4)} = 4\sqrt{2}$.
$f(\frac{\pi}{6}) - f(\frac{\pi}{4}) = \frac{32}{\sqrt{3}} - 4\sqrt{2} = \frac{4}{\sqrt{3}}(8 - \sqrt{6})$.

(D) ધારો કે $E$ એ $3$ કાળા દડા નીકળવાની ઘટના છે. ધારો કે $H_k$ એ એવી પૂર્વધારણા છે કે થેલીમાં $k$ લાલ અને $(10-k)$ કાળા દડા છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(H_1 | E) = \frac{P(E | H_1) P(H_1)}{\sum_{k=0}^{7} P(E | H_k) P(H_k)}$.
દરેક રચના $k$ સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(H_k) = \frac{1}{11}$.
$P(E | H_k) = \frac{\binom{10-k}{3}}{\binom{10}{3}}$.
$P(H_1 | E) = \frac{\binom{9}{3}}{\sum_{k=0}^{7} \binom{10-k}{3}} = \frac{\binom{9}{3}}{\binom{11}{4}} = \frac{84}{330} = \frac{14}{55}$.

(C) આપેલ છે $g(x) = 3x^{2} + 2x - 3$. પ્રથમ,$g(2)$ ની ગણતરી કરો:
$g(2) = 3(2)^{2} + 2(2) - 3 = 12 + 4 - 3 = 13$.
આપણે $f(g(2)) = f(13)$ શોધવાનું છે.
આપેલ છે $4g(f(x)) = 3x^{2} - 32x + 72$,$g(f(x)) = 3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3$ મૂકતા:
$4[3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3] = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - 12 = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - (3x^{2} - 32x + 84) = 0$.
$f(x)$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(12)(-(3x^{2} - 32x + 84))}}{24} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 48(3x^{2} - 32x + 84)}}{24}$
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{144x^{2} - 1536x + 4096}}{24} = \frac{-8 \pm (12x - 64)}{24}$.
$f(0) = -3$ હોવાથી,$x=0$ માટે ચિહ્નો તપાસતા:
જો આપણે ધન ચિહ્ન લઈએ: $f(0) = \frac{-8 + (-64)}{24} = -3$ (સાચું).
તેથી,$f(x) = \frac{-8 + 12x - 64}{24} = \frac{12x - 72}{24} = \frac{x - 6}{2}$.
અંતે,$f(13) = \frac{13 - 6}{2} = \frac{7}{2}$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix}_{3 \times 2}$.
તેથી $A^{T}A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 & \dots \\ \dots & b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 \end{bmatrix}$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\text{Tr}(A^{T}A) = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 = 5$ છે.
આપણે $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ માંથી $6$ ઘટકો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી તેમના વર્ગોનો સરવાળો $5$ થાય.
વર્ગોના શક્ય સંયોજનો:
$1) \{1, 1, 1, 1, 1, 0\}$: રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{5!} \times 2^5 = 6 \times 32 = 192$ છે.
$2) \{4, 1, 0, 0, 0, 0\}$: રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{4!} \times 2^2 = 30 \times 4 = 120$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $192 + 120 = 312$.

(C) આપેલ છે $f(t) = \frac{|t+1|}{t^2}, t < 0$ માટે.
$t \in (-1, 0)$ માટે,$f(t) = \frac{t+1}{t^2} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}$. તેથી $f'(t) = -\frac{1}{t^2} - \frac{2}{t^3} = -\frac{t+2}{t^3}$. $t < 0$ હોવાથી,$t^3 < 0$,તેથી $t \in (-1, 0)$ માટે $f'(t) > 0$ થાય.
$t \in (-\infty, -1)$ માટે,$f(t) = \frac{-(t+1)}{t^2} = -\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}$. તેથી $f'(t) = \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t^3} = \frac{t+2}{t^3}$.
$f(t)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$f'(t) < 0$ હોવું જોઈએ. $t^3 < 0$ હોવાથી,આપણે $t+2 > 0$ ની જરૂર છે,એટલે કે $t > -2$. આમ,$f(t)$ એ $(-2, -1)$ પર ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.
$(-2, -1)$ ને $(2\alpha, \alpha)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -1$ મળે છે.
હવે,$x > 2$ માટે $g(x) = 2\log_e(x-2) - x^2 + 4x + 1$.
$g'(x) = \frac{2}{x-2} - 2x + 4 = \frac{2 - 2x(x-2) + 4(x-2)}{x-2} = \frac{-2x^2 + 8x - 6}{x-2} = \frac{-2(x-3)(x-1)}{x-2}$.
$x > 2$ માટે,$x = 3$ આગળ $g'(x) = 0$ થાય છે.
$x \in (2, 3)$ માટે,$g'(x) > 0$ અને $x > 3$ માટે,$g'(x) < 0$ થાય છે. તેથી,$x = 3$ આગળ $g(x)$ ની સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $g(3) = 2\log_e(3-2) - 3^2 + 4(3) + 1 = 2\log_e(1) - 9 + 12 + 1 = 0 - 9 + 13 = 4$ છે.

(B) આપેલ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{d}_1 = \langle 4, 1, 1 \rangle$ અને $\vec{d}_2 = \langle 1, 1, 0 \rangle$ છે.
રેખા $L$ બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{d}_L = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \langle -1, 1, 3 \rangle$ છે.
બિંદુ $P(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\vec{r}(t) = \langle 1-t, 1+t, 1+3t \rangle$ છે.
$yz$-સમતલ પરના બિંદુ $Q$ માટે,$x = 0 \Rightarrow 1-t = 0 \Rightarrow t = 1$. તેથી,$Q = (0, 2, 4)$.
બિંદુ $S(1, 0, -1)$ માંથી પસાર થતી $L$ ને સમાંતર રેખા $\vec{r}'(u) = \langle 1-u, u, -1+3u \rangle$ છે.
$yz$-સમતલ પરના બિંદુ $R$ માટે,$x = 0 \Rightarrow 1-u = 0 \Rightarrow u = 1$. તેથી,$R = (0, 1, 2)$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના પાસપાસેના સદિશો $\vec{PQ} = Q - P = \langle -1, 1, 3 \rangle$ અને $\vec{PS} = S - P = \langle 0, -1, -2 \rangle$ છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A} = \vec{PQ} \times \vec{PS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \langle 1, -2, 1 \rangle$ છે.
ક્ષેત્રફળ $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(\sqrt{6})^2 = 6$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\int_0^{36} f\left(\frac{tx}{36}\right) dt = 4\alpha f(x)$.
ધારો કે $u = \frac{tx}{36}$,તેથી $du = \frac{x}{36} dt$,એટલે કે $dt = \frac{36}{x} du$.
જ્યારે $t=0, u=0$ અને જ્યારે $t=36, u=x$.
સંકલન આ મુજબ બનશે: $\int_0^x f(u) \cdot \frac{36}{x} du = 4\alpha f(x)$.
$\int_0^x f(u) du = \frac{4\alpha x f(x)}{36} = \frac{\alpha x f(x)}{9}$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x) = \frac{\alpha}{9} [f(x) + x f'(x)]$.
$f(x) = \frac{\alpha}{9} f(x) + \frac{\alpha x}{9} f'(x)$.
$(1 - \frac{\alpha}{9}) f(x) = \frac{\alpha x}{9} f'(x) \Rightarrow (9 - \alpha) f(x) = \alpha x f'(x)$.
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{9 - \alpha}{\alpha} \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|f(x)| = (\frac{9}{\alpha} - 1) \ln|x| + C$.
$f(x) = c x^{(\frac{9}{\alpha} - 1)}$.
$f(x)$ એ પ્રમાણિત પરવલય હોવાથી,ઘાતાંક $2$ હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{9}{\alpha} - 1 = 2 \Rightarrow \frac{9}{\alpha} = 3 \Rightarrow \alpha = 3$.
આમ,$f(x) = cx^2$.
તે $(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 = c(2)^2 \Rightarrow c = \frac{1}{4}$.
તેથી,$f(x) = \frac{x^2}{4}$.
$(-4, \beta)$ બિંદુ માટે,$\beta = \frac{(-4)^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
અંતે,$\beta^{\alpha} = 4^3 = 64$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $A_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$A_1 = \int_0^2 ((8-x) - (x^2+2)) dx = \int_0^2 (6-x-x^2) dx$
$A_1 = [6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 12 - 2 - \frac{8}{3} = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}$
હવે,આપણે $A_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A_2 = \int_0^2 (x^2+2) dx - \int_0^2 \sqrt{x} dx$
$A_2 = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 - [\frac{2}{3}x^{3/2}]_0^2$
$A_2 = (\frac{8}{3} + 4) - \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) = \frac{20}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$
અંતે,$A_1 - A_2 = \frac{22}{3} - (\frac{20}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3}(1 + 2\sqrt{2})$

(D) કુલ બલ્બ = $100$. ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $10$. બિન-ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા = $90$.
ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$.
બિન-ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $q = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$.
બલ્બ બદલી સાથે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 8$ અને $p = 0.1$.
ઓછામાં ઓછા $7$ ખામીયુક્ત બલ્બ મેળવવાની સંભાવના $P(X \ge 7) = P(X = 7) + P(X = 8)$ છે.
$P(X = 7) = \binom{8}{7} \times (0.1)^7 \times (0.9)^1 = 8 \times \frac{1}{10^7} \times \frac{9}{10} = \frac{72}{10^8}$.
$P(X = 8) = \binom{8}{8} \times (0.1)^8 \times (0.9)^0 = 1 \times \frac{1}{10^8} \times 1 = \frac{1}{10^8}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{72}{10^8} + \frac{1}{10^8} = \frac{73}{10^8}$.

(B) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોવા માટે,તે $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ અને $f'(1^-) = f'(1^+)$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,$x = 1$ આગળ સાતત્ય માટે,$f(1^-) = f(1^+)$ થાય.
$f(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (2 \alpha (x^2 - 2) + 2 \beta x) = 2 \alpha (1 - 2) + 2 \beta (1) = -2 \alpha + 2 \beta$.
$f(1^+) = (\alpha + 3)(1) + (\alpha - \beta) = 2 \alpha - \beta + 3$.
બંનેને સરખાવતા: $-2 \alpha + 2 \beta = 2 \alpha - \beta + 3 \Rightarrow 4 \alpha - 3 \beta = -3$ $\quad (1)$.
ત્યારબાદ,વિકલનીયતા માટે,$f'(1^-) = f'(1^+)$ થાય.
$x < 1$ માટે $f'(x) = 4 \alpha x + 2 \beta$ અને $x > 1$ માટે $f'(x) = \alpha + 3$ છે.
$f'(1^-) = 4 \alpha + 2 \beta$.
$f'(1^+) = \alpha + 3$.
બંનેને સરખાવતા: $4 \alpha + 2 \beta = \alpha + 3 \Rightarrow 3 \alpha + 2 \beta = 3$ $\quad (2)$.
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$(2)$ પરથી,$2 \beta = 3 - 3 \alpha \Rightarrow \beta = \frac{3 - 3 \alpha}{2}$.
તેને $(1)$ માં મૂકતા: $4 \alpha - 3(\frac{3 - 3 \alpha}{2}) = -3 \Rightarrow 8 \alpha - 9 + 9 \alpha = -6 \Rightarrow 17 \alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{17}$.
તેથી $\beta = \frac{3 - 3(3/17)}{2} = \frac{3 - 9/17}{2} = \frac{42/17}{2} = \frac{21}{17}$.
આમ,$34(\alpha + \beta) = 34(\frac{3}{17} + \frac{21}{17}) = 34(\frac{24}{17}) = 2 \times 24 = 48$.

(C) સંબંધ $R$ એ ગણ $S = \{1, 2, 3, 4\} \times \{1, 2, 3, 4\}$ પર વ્યાખ્યાયિત છે. $S$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $4 \times 4 = 16$ છે. સંબંધ માટેની શરત $2a + 3b = 3c + 4d$ છે,જ્યાં $a, b, c, d \in \{1, 2, 3, 4\}$.
અમે તમામ જોડી $(a, b)$ માટે $f(a, b) = 2a + 3b$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$(1,1) \to 5, (1,2) \to 8, (1,3) \to 11, (1,4) \to 14$
$(2,1) \to 7, (2,2) \to 10, (2,3) \to 13, (2,4) \to 16$
$(3,1) \to 9, (3,2) \to 12, (3,3) \to 15, (3,4) \to 18$
$(4,1) \to 11, (4,2) \to 14, (4,3) \to 17, (4,4) \to 20$
હવે તમામ જોડી $(c, d)$ માટે $g(c, d) = 3c + 4d$ ની કિંમત શોધીએ:
$(1,1) \to 7, (1,2) \to 11, (1,3) \to 15, (1,4) \to 19$
$(2,1) \to 10, (2,2) \to 14, (2,3) \to 18, (2,4) \to 22$
$(3,1) \to 13, (3,2) \to 17, (3,3) \to 21, (3,4) \to 25$
$(4,1) \to 16, (4,2) \to 20, (4,3) \to 24, (4,4) \to 28$
$f(a, b) = g(c, d)$ થાય તેવી કિંમતો સરખાવતા:
$11: (1,3) \text{ અને } (4,1) \text{ એ } (1,2) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$14: (1,4) \text{ અને } (4,2) \text{ એ } (2,2) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$16: (2,4) \text{ એ } (4,1) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$7: (2,1) \text{ એ } (1,1) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$10: (2,2) \text{ એ } (2,1) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$13: (2,3) \text{ એ } (3,1) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$15: (3,3) \text{ એ } (1,3) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$18: (3,4) \text{ એ } (2,3) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$17: (4,3) \text{ એ } (3,2) \text{ સાથે જોડાય છે}$
$20: (4,4) \text{ એ } (4,2) \text{ સાથે જોડાય છે}$
આ શરતનું પાલન કરતી જોડીઓ $((a,b), (c,d))$ ગણતા,આપણને $12$ ઘટકો મળે છે.

(A) ધારો કે $\ln t = x$,તેથી $t = e^x$ અને $dt = e^x dx$. સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$f(t) = \int \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} e^x dx = \int \frac{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)} e^x dx$
$f(t) = \int \left( \frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2) \right) e^x dx$
નિત્યસમ $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g(x) = -\cot(x/2)$ અને $g'(x) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2)$ છે:
$f(t) = -e^x \cot(x/2) + C = -t \cot(\frac{\ln t}{2}) + C$
આપેલ છે કે $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2} \cot(\pi/4) + C = -e^{\pi/2} + C = -e^{\pi/2}$,તેથી $C = 0$.
આમ,$f(t) = -t \cot(\frac{\ln t}{2})$.
$f(e^{\pi/4}) = -e^{\pi/4} \cot(\pi/8) = -e^{\pi/4} (\sqrt{2} + 1)$.
$f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -(1 + \sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x) = \log_{g(x)}h(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$h(x) > 0$,$g(x) > 0$ અને $g(x) \neq 1$ હોવું જોઈએ.
પગલું $1$: $h(x) = 18x^2 - 11x + 1 > 0 \implies (2x-1)(9x-1) > 0 \implies x < \frac{1}{9}$ અથવા $x > \frac{1}{2}$.
પગલું $2$: $g(x) = 10x^2 - 17x + 7 > 0 \implies (x-1)(10x-7) > 0 \implies x < \frac{7}{10}$ અથવા $x > 1$.
પગલું $3$: $g(x) \neq 1 \implies 10x^2 - 17x + 6 \neq 0 \implies (2x-1)(5x-6) \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}, x \neq \frac{6}{5}$.
આ શરતોને જોડતા: $x \in (-\infty, \frac{1}{9}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{7}{10}) \cup (1, \infty) - \{\frac{6}{5}\}$.
$(-\infty, a) \cup (b, c) \cup (d, \infty) - \{e\}$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{1}{9}, b = \frac{1}{2}, c = \frac{7}{10}, d = 1, e = \frac{6}{5}$ મળે છે.
તેથી $90(a+b+c+d+e) = 90(\frac{1}{9} + \frac{1}{2} + \frac{7}{10} + 1 + \frac{6}{5}) = 10 + 45 + 63 + 90 + 108 = 316$.

(C) સૌ પ્રથમ,$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{c} \times \vec{d}| = 3$,તેથી $|\vec{c}||\vec{d}| \sin(\frac{\pi}{4}) = 3$.
$|\vec{c}| = 3$ મૂકતા,$3|\vec{d}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{d}| = \sqrt{2}$.
આપેલ છે કે $|\vec{d}-\vec{a}| = \sqrt{11}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{d}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 9$.
કિંમતો મૂકતા: $2 + 9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$.
$11 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 11$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ મળે છે.

(B) છેદબિંદુ $R$ શોધવા માટે,આપણે $\vec{r}$ માટેના સમીકરણોને સરખાવીએ:
$2\lambda+1 = 5\mu+4$,$3\lambda+2 = 2\mu+1$,$4\lambda+3 = \mu$.
આને ઉકેલતા,આપણને $\lambda = -1$ અને $\mu = -1$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $R$ એ $(-1, -1, -1)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $L_1$ પર છે,તેથી $P = (2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{PR}| = \sqrt{29}$,તેથી $PR^2 = 29$.
$(2\lambda+1 - (-1))^2 + (3\lambda+2 - (-1))^2 + (4\lambda+3 - (-1))^2 = 29$.
$(2\lambda+2)^2 + (3\lambda+3)^2 + (4\lambda+4)^2 = 29$.
$29(\lambda+1)^2 = 29 \Rightarrow (\lambda+1)^2 = 1 \Rightarrow \lambda = 0$ અથવા $\lambda = -2$.
જો $\lambda = 0$,તો $P = (1, 2, 3)$ (પ્રથમ અષ્ટમાંશ). જો $\lambda = -2$,તો $P = (-3, -4, -5)$ (પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં નથી).
તેથી,$P = (1, 2, 3)$.
બિંદુ $Q$ એ $L_2$ પર છે,તેથી $Q = (5\mu+4, 2\mu+1, \mu)$.
આપેલ છે કે $|\overrightarrow{PQ}|^2 = \frac{47}{3}$.
$(5\mu+4-1)^2 + (2\mu+1-2)^2 + (\mu-3)^2 = \frac{47}{3}$.
$(5\mu+3)^2 + (2\mu-1)^2 + (\mu-3)^2 = \frac{47}{3}$.
$25\mu^2 + 30\mu + 9 + 4\mu^2 - 4\mu + 1 + \mu^2 - 6\mu + 9 = \frac{47}{3}$.
$30\mu^2 + 20\mu + 19 = \frac{47}{3} \Rightarrow 90\mu^2 + 60\mu + 57 = 47 \Rightarrow 90\mu^2 + 60\mu + 10 = 0$.
$9\mu^2 + 6\mu + 1 = 0 \Rightarrow (3\mu+1)^2 = 0 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{3}$.
$Q = (5(-\frac{1}{3})+4, 2(-\frac{1}{3})+1, -\frac{1}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$.
$(QR)^2 = (\frac{7}{3} - (-1))^2 + (\frac{1}{3} - (-1))^2 + (-\frac{1}{3} - (-1))^2 = (\frac{10}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{100+16+4}{9} = \frac{120}{9}$.
$27(QR)^2 = 27 \times \frac{120}{9} = 3 \times 120 = 360$.

(A) વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\tan x} - e^x + \ln(\sec x + \tan x) - x}{\tan x - x}$.
$x=0$ ની નજીક ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{\tan x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$.
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$.
$\ln(\sec x + \tan x) = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$.
અંશમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$N = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3}) - (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) + (x + \frac{x^3}{6}) - x = \frac{2x^3}{3} + O(x^4)$.
છેદ $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ છે.
તેથી,$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x^3}{3}}{\frac{x^3}{3}} = 2$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} yf(y) dy + xe^{x} \int_{0}^{1} f(y) dy$.
ધારો કે $A = \int_{0}^{1} yf(y) dy$ અને $B = \int_{0}^{1} f(y) dy$.
તેથી $f(x) = e^{x} + A + Bxe^{x}$.
હવે,$B = \int_{0}^{1} (e^{y} + A + Bye^{y}) dy = [e^{y} + Ay + B(ye^{y} - e^{y})]_{0}^{1} = (e + A + 0) - (1 + 0 - B) = e + A - 1 + B$.
આનાથી $A = 1 - e$ મળે છે.
ત્યારબાદ,$A = \int_{0}^{1} y(e^{y} + A + Bye^{y}) dy = \int_{0}^{1} (ye^{y} + Ay + Bye^{y}) dy$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int ye^{y} dy = (y-1)e^{y}$.
તેથી,$A = [(y-1)e^{y} + \frac{A}{2}y^{2} + B(y-1)e^{y}]_{0}^{1} = (0 + \frac{A}{2} + 0) - (-1 + 0 - B) = \frac{A}{2} + 1 + B$.
$A = 1 - e$ મૂકતા,$1 - e = \frac{1-e}{2} + 1 + B$,જે $B = \frac{1-3e}{2}$ આપે છે.
અંતે,$f(0) = e^{0} + A + B(0)e^{0} = 1 + A = 1 + (1 - e) = 2 - e$.
તેથી,$e + f(0) = e + 2 - e = 2$.

(C) વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = a$.
$x > 0$ માટે,$f(x) = \frac{\sin x - \frac{1}{2} \sin 2x}{x^3} = \frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{2 \sin^2(x/2)}{x^2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$a = \frac{1}{2}$.
$x < 0$ માટે,$f(x) = b^2 \sin \left(\frac{\pi}{2} \left[\frac{\pi}{2}(\cos x + \sin x) \cos x\right]\right)$. જ્યારે $x \to 0^-$,ત્યારે $\cos x \to 1$ અને $\sin x \to 0$. મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની અંદરની કિંમત $\frac{\pi}{2}(1 + 0)(1) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ થાય છે. તેથી,$[\frac{\pi}{2}(\cos x + \sin x) \cos x] = 1$.
આમ,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = b^2 \sin(\frac{\pi}{2} \cdot 1) = b^2$.
સીમાઓને સરખાવતા,$b^2 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$a^2 + b^2 = (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{c}$ એ $(2\vec{a} + 3\vec{b})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{c} = \lambda(2\vec{a} + 3\vec{b})$.
$2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(2\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}) + 3(\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = 7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k}$ ગણતા.
તેથી,$\vec{c} = \lambda(7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k})$.
આપેલ છે કે $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = -97$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} - \vec{b} = \hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
ડોટ પ્રોડક્ટમાં કિંમત મૂકતા: $(\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \lambda(7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k}) = -97$.
$\lambda(7 + 52 + 38) = -97 \Rightarrow 97\lambda = -97 \Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,$\vec{c} = -7\hat{i} + 13\hat{j} - 19\hat{k}$.
હવે,$\vec{c} \times \hat{k} = (-7\hat{i} + 13\hat{j} - 19\hat{k}) \times \hat{k} = 13\hat{i} + 7\hat{j}$.
અંતે,$|\vec{c} \times \hat{k}|^2 = 13^2 + 7^2 = 169 + 49 = 218$.

(C) આપેલ છે કે $m = \sum_{i=1}^9 i^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$.
તેથી $\frac{m}{19x} = \frac{285}{19x} = \frac{15}{x}$.
સમીકરણ $3f(x) + 2f\left(\frac{15}{x}\right) = 5x$ માં $x$ ને $\frac{15}{x}$ વડે બદલતા,
$3f\left(\frac{15}{x}\right) + 2f(x) = \frac{75}{x}$ મળે.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા $f(x) = 3x - \frac{30}{x}$ મળે છે.
$f(5) = 3(5) - \frac{30}{5} = 9$ અને $f(2) = 3(2) - \frac{30}{2} = -9$.
તેથી $f(5) - f(2) = 9 - (-9) = 18$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2}y(x)-x^{2}y(t)}{x-t} = 3$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'$H$ôpital નો નિયમ વાપરતા:
$\lim_{t \rightarrow x} \frac{2ty(x)-x^{2}y'(t)}{-1} = 3$.
$t=x$ મૂકતા:
$2xy(x) - x^{2}y'(x) = -3$,જેનું સાદું રૂપ $x^{2}y'(x) - 2xy(x) = 3$ થાય છે.
$x^{4}$ વડે ભાગતા ($x>0$ માટે):
$\frac{x^{2}y'(x) - 2xy(x)}{x^{4}} = \frac{3}{x^{4}} \Rightarrow \frac{d}{dx} \left( \frac{y(x)}{x^{2}} \right) = 3x^{-4}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{y(x)}{x^{2}} = \int 3x^{-4} dx = -x^{-3} + C = -\frac{1}{x^{3}} + C$.
તેથી,$y(x) = Cx^{2} - \frac{1}{x}$.
$y(1)=2$ આપેલ છે:
$2 = C(1)^{2} - \frac{1}{1} \Rightarrow 2 = C - 1 \Rightarrow C = 3$.
આમ,$y(x) = 3x^{2} - \frac{1}{x}$.
અંતે,$2y(2) = 2 \left( 3(2)^{2} - \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 12 - 0.5 \right) = 24 - 1 = 23$.

(D) વિધેય $f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$ છે.
$x \in (0, 1)$ માટે,$\log_{e} x < 0$ અને $x - 1 < 0$,તેથી $f(x) = -\log_{e} x - (-(x - 1)) = -\log_{e} x + x - 1$.
તેથી $f'(x) = -\frac{1}{x} + 1 = \frac{x - 1}{x}$. $x \in (0, 1)$ હોવાથી,$f'(x) < 0$,તેથી $f$ એ $(0, 1)$ માં ઘટતું વિધેય છે. આમ,$(II)$ ખોટું છે.
$x \in (1, \infty)$ માટે,$\log_{e} x > 0$ અને $x - 1 > 0$,તેથી $f(x) = \log_{e} x - (x - 1) = \log_{e} x - x + 1$.
તેથી $f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$. $x > 1$ હોવાથી,$f'(x) < 0$,તેથી $f$ એ $(1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે. આમ,$(III)$ સાચું છે.
$x = 1$ આગળ,$f(x) = |\log_{e} x| - |x - 1|$. $x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલન $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 0$ અને જમણી બાજુનું વિકલન $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = 0$ મળે છે. તેથી $f$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય છે. આમ,$(I)$ સાચું છે. તેથી માત્ર $(I)$ અને $(III)$ સાચા છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2}{x^2-2x-2}\right)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$-1 \le \frac{2}{x^2-2x-2} \le 1$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\left|\frac{2}{x^2-2x-2}\right| \le 1$,એટલે કે $x^2-2x-2 \ge 2$ અથવા $x^2-2x-2 \le -2$.
કિસ્સો $1$: $x^2-2x-2 \ge 2 \Rightarrow x^2-2x-4 \ge 0$. બીજ $1 \pm \sqrt{5}$ છે. તેથી $x \in (-\infty, 1-\sqrt{5}] \cup [1+\sqrt{5}, \infty)$.
કિસ્સો $2$: $x^2-2x-2 \le -2 \Rightarrow x^2-2x \le 0 \Rightarrow x(x-2) \le 0$. તેથી $x \in [0, 2]$.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે: $x^2-2x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \pm \sqrt{3}$.
આમ,પ્રદેશ $(-\infty, 1-\sqrt{5}] \cup [0, 1-\sqrt{3}) \cup (1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}) \cup (1+\sqrt{3}, 2] \cup [1+\sqrt{5}, \infty)$ મળે છે.
આપેલ સ્વરૂપ $(-\infty, \alpha] \cup [\beta, \gamma] \cup [\delta, \infty)$ મુજબ,$\alpha = 1-\sqrt{5}, \beta = 0, \gamma = 2, \delta = 1+\sqrt{5}$.
સરવાળો $= (1-\sqrt{5}) + 0 + 2 + (1+\sqrt{5}) = 4$.

(C) જ્યારે $\alpha = 0$,ત્યારે વિધેય $y = |0 \cdot x - 5| - |1 - 0 \cdot x| + 0 \cdot x^2 = |-5| - |1| + 0 = 5 - 1 = 4$ બને છે.
આમ,$f(0)$ એ $x=0, x=1, y^2=x$ અને $y=4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે. પ્રથમ ચરણમાં $y^2=x$ એટલે $y=\sqrt{x}$,તેથી ક્ષેત્રફળ:
$f(0) = \int_0^1 (4 - \sqrt{x}) dx = [4x - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.
જ્યારે $\alpha = 1$,ત્યારે વિધેય $y = |x - 5| - |1 - x| + x^2$ બને છે. $x \in (0, 1)$ માટે,$x-5 < 0$ અને $1-x > 0$,તેથી $|x-5| = 5-x$ અને $|1-x| = 1-x$.
આમ,$y = (5-x) - (1-x) + x^2 = 5 - x - 1 + x + x^2 = 4 + x^2$.
ક્ષેત્રફળ $f(1)$ એ $x=0, x=1, y^2=x$ અને $y=4+x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે:
$f(1) = \int_0^1 ((4+x^2) - \sqrt{x}) dx = [4x + \frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x^{3/2}]_0^1 = 4 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$.
અંતે,$f(0) + f(1) = \frac{10}{3} + \frac{11}{3} = \frac{21}{3} = 7$.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{ |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{r_1} = (-1, 2, 4)$,$\vec{r_2} = (0, 1, 1)$,$\vec{v_1} = (\alpha, -1, -\alpha)$,અને $\vec{v_2} = (\alpha, 2, 2\alpha)$.
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (1, -1, -3)$.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & -1 & -\alpha \\ \alpha & 2 & 2\alpha \end{vmatrix} = \hat{i}(-2\alpha + 2\alpha) - \hat{j}(2\alpha^2 + \alpha^2) + \hat{k}(2\alpha + \alpha) = (0, -3\alpha^2, 3\alpha)$.
$|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-3\alpha^2)^2 + (3\alpha)^2} = \sqrt{9\alpha^4 + 9\alpha^2} = 3|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}$.
$(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (1)(0) + (-1)(-3\alpha^2) + (-3)(3\alpha) = 3\alpha^2 - 9\alpha$.
આપેલ છે કે $d = \sqrt{2}$,તેથી $\sqrt{2} = \frac{|3\alpha^2 - 9\alpha|}{3|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}} = \frac{|\alpha^2 - 3\alpha|}{|\alpha|\sqrt{\alpha^2+1}} = \frac{|\alpha - 3|}{\sqrt{\alpha^2+1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 = \frac{(\alpha-3)^2}{\alpha^2+1} \Rightarrow 2\alpha^2 + 2 = \alpha^2 - 6\alpha + 9$.
$\alpha^2 + 6\alpha - 7 = 0 \Rightarrow (\alpha+7)(\alpha-1) = 0$.
મૂલ્યો $\alpha = -7$ અને $\alpha = 1$ છે.
મૂલ્યોનો સરવાળો $-7 + 1 = -6$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $q_{ij} = 2^{(i+j-1)}p_{ij}$. શ્રેણિક $Q$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$Q = \begin{bmatrix} 2^1 p_{11} & 2^2 p_{12} & 2^3 p_{13} \\ 2^2 p_{21} & 2^3 p_{22} & 2^4 p_{23} \\ 2^3 p_{31} & 2^4 p_{32} & 2^5 p_{33} \end{bmatrix}$
દરેક હારમાંથી સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢતા:
$\det(Q) = (2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3) \begin{vmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ 2 p_{21} & 2 p_{22} & 2 p_{23} \\ 2^2 p_{31} & 2^2 p_{32} & 2^2 p_{33} \end{vmatrix} = 2^6 \cdot (1 \cdot 2 \cdot 2^2) \det(P) = 2^6 \cdot 2^3 \det(P) = 2^9 \det(P)$
આપેલ છે કે $\det(Q) = 2^{10}$,તેથી $2^9 \det(P) = 2^{10} \implies \det(P) = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(n-1)^2}$,જ્યાં $n=3$.
$\det(\text{adj}(\text{adj } P)) = \det(P)^{(3-1)^2} = \det(P)^4 = 2^4 = 16$.

(C) સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b} = x(2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) + y(\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}) = (2x+y)\hat{i} + (3y-x)\hat{j} - (x+y)\hat{k}$.
સદિશ $\vec{c}$ પર $\vec{v}$ નો પ્રક્ષેપ $\left|\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|}\right| = \frac{1}{\sqrt{14}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$ શોધો.
હવે,$\vec{v} \cdot \vec{c} = (2x+y)(2) + (3y-x)(1) + (-x-y)(3) = 4x + 2y + 3y - x - 3x - 3y = 2y$.
તેથી,$\left|\frac{2y}{\sqrt{14}}\right| = \frac{1}{\sqrt{14}} \implies |2y| = 1 \implies y^2 = \frac{1}{4}$.
માનાંકનો વર્ગ $|\vec{v}|^2 = (2x+y)^2 + (3y-x)^2 + (x+y)^2 = 6x^2 + 11y^2$ થાય.
$y^2 = \frac{1}{4}$ મૂકતા,$|\vec{v}|^2 = 6x^2 + \frac{11}{4}$ મળે.
જો આપણે $x=1$ લઈએ,તો $|\vec{v}| = \sqrt{6 + 2.75} = \sqrt{8.75} = \sqrt{\frac{35}{4}} = \frac{\sqrt{35}}{2}$.