JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. ધારો કે $P$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$P = \left(\frac{\alpha-2}{2}, \frac{\beta-1}{2}\right) = \left(\frac{\gamma+1}{2}, \frac{\delta+0}{2}\right)$
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha-2 = \gamma+1 \Rightarrow \alpha-\gamma = 3 \dots(1)$
$\beta-1 = \delta \Rightarrow \beta-\delta = 1 \dots(2)$
કારણ કે $C(\alpha, \beta)$ એ $2x-y=5$ પર છે,તેથી $2\alpha-\beta=5 \dots(3)$
કારણ કે $D(\gamma, \delta)$ એ $3x-2y=6$ પર છે,તેથી $3\gamma-2\delta=6 \dots(4)$
$(2)$ પરથી,$\delta = \beta-1$. તેને $(4)$ માં મૂકતા:
$3\gamma - 2(\beta-1) = 6 \Rightarrow 3\gamma - 2\beta = 4 \dots(5)$
$(1)$ પરથી,$\gamma = \alpha-3$. તેને $(5)$ માં મૂકતા:
$3(\alpha-3) - 2\beta = 4$ $\Rightarrow 3\alpha - 9 - 2\beta = 4$ $\Rightarrow 3\alpha - 2\beta = 13 \dots(6)$
$(3)$ અને $(6)$ ને ઉકેલતા:
$2\alpha - \beta = 5 \Rightarrow \beta = 2\alpha - 5$
$3\alpha - 2(2\alpha-5) = 13$ $\Rightarrow 3\alpha - 4\alpha + 10 = 13$ $\Rightarrow -\alpha = 3$ $\Rightarrow \alpha = -3$
$\beta = 2(-3) - 5 = -11$
$\gamma = -3-3 = -6$
$\delta = -11-1 = -12$
$|\alpha+\beta+\gamma+\delta| = |-3-11-6-12| = |-32| = 32$

(D) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x+3)^{n-1}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x+2}{x+3}$ ધરાવતી $n$ પદોની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (x+3)^{n-1} \frac{1 - (\frac{x+2}{x+3})^n}{1 - \frac{x+2}{x+3}} = (x+3)^n - (x+2)^n$.
સહગુણકોનો સરવાળો $\sum \alpha_r$ મેળવવા માટે $x=1$ મૂકતા:
$\sum \alpha_r = (1+3)^n - (1+2)^n = 4^n - 3^n$.
આપેલ છે કે $\sum \alpha_r = \beta^n - \gamma^n$,તેથી $\beta = 4$ અને $\gamma = 3$.
આમ,$\beta^2 + \gamma^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.

(C) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^2 e^x - b \log _e(1+x) + c x e^{-x}}{x^2 \sin x} = 1$.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$,$\log _e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$,$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \dots$,અને $\sin x \approx x$.
પદાવલિ બને છે $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{a x^2(1+x+\dots) - b(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) + c x(1 - x + \frac{x^2}{2} - \dots)}{x^3} = 1$.
$x$ ની ઘાત મુજબ પદોને ગોઠવતા: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(c-b)x + (a + \frac{b}{2} - c)x^2 + (a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2})x^3 + \dots}{x^3} = 1$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $1$ હોય તે માટે $x$ અને $x^2$ ના સહગુણકો $0$ હોવા જોઈએ:
$c - b = 0 \implies c = b$.
$a + \frac{b}{2} - c = 0 \implies a + \frac{b}{2} - b = 0 \implies a = \frac{b}{2}$.
$x^3$ નો સહગુણક $1$ હોવો જોઈએ: $a - \frac{b}{3} + \frac{c}{2} = 1$.
$a = \frac{b}{2}$ અને $c = b$ મુકતા: $\frac{b}{2} - \frac{b}{3} + \frac{b}{2} = 1 \implies b - \frac{b}{3} = 1 \implies \frac{2b}{3} = 1 \implies b = \frac{3}{2}$.
આમ,$c = \frac{3}{2}$ અને $a = \frac{3}{4}$.
તેથી $16(a^2 + b^2 + c^2) = 16((\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2) = 16(\frac{9}{16} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}) = 9 + 36 + 36 = 81$.

(A) આપણને $\tan A = \frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}$ અને $\tan B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}$ આપેલ છે.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(A+B) = \frac{\frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{x(x^2+x+1)}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+1}}}$
$= \frac{\frac{1 + x}{\sqrt{x(x^2+x+1)}}}{1 - \frac{1}{x^2+x+1}} = \frac{(1+x) \sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x}(x^2+x)}$
$= \frac{(1+x) \sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x} \cdot x(x+1)} = \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^3}}$
$= \sqrt{x^{-1} + x^{-2} + x^{-3}} = \tan C$.
આમ,$A+B = C$ મળે છે.

(C) આ પ્રશ્ન $5$ અલગ વસ્તુઓને $4$ અવિભેદ્ય બોક્સમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા પૂછે છે,જ્યાં બોક્સ ખાલી હોઈ શકે છે. આ બીજા પ્રકારના સ્ટર્લિંગ નંબર્સ $S(5, k)$ નો સરવાળો છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, 4$.
$S(5, 1) = 1$ (બધા $5$ એક ઓફિસમાં)
$S(5, 2) = 15$ ($5$ ને $2$ બિન-ખાલી સેટમાં વિભાજિત કરવા: $4+1$ અથવા $3+2$)
$S(5, 3) = 25$ ($5$ ને $3$ બિન-ખાલી સેટમાં વિભાજિત કરવા: $3+1+1$ અથવા $2+2+1$)
$S(5, 4) = 10$ ($5$ ને $4$ બિન-ખાલી સેટમાં વિભાજિત કરવા: $2+1+1+1$)
કુલ રીતો $n = S(5, 1) + S(5, 2) + S(5, 3) + S(5, 4) = 1 + 15 + 25 + 10 = 51$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. શરત $|z-1|=1$ સૂચવે છે કે $(x-1)^2 + y^2 = 1$,જે $x^2 + y^2 - 2x = 0$ માં પરિણમે છે.
બીજી શરત $(\sqrt{2}-1)(2x) - i(2iy) = 2\sqrt{2}$ છે,જે $(\sqrt{2}-1)x + y = \sqrt{2}$ માં પરિણમે છે,અથવા $y = \sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)x$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $(x-1)^2 + (\sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)x)^2 = 1$.
આનું સાદુરૂપ આપતા: $(2 - \sqrt{2})x^2 - (3 - \sqrt{2})x + 1 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x-1)((2-\sqrt{2})x - 1) = 0$.
તેથી,$x = 1$ અથવા $x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x=1$ માટે,$y = 1$. તેથી $z_2 = 1+i$.
$x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,$y = \frac{1}{\sqrt{2}}$. તેથી $z_1 = (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + i\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $|\sqrt{2}z_1 - z_2|^2 = |(\sqrt{2} + 1 + i) - (1+i)|^2 = |\sqrt{2}|^2 = 2$.

(C) આપેલ અવલોકનો: $125, 170, 190, 210, 230, a, b$. મધ્યસ્થ $170$ હોવાથી,આપણે તેને $125, a, b, 170, 190, 210, 230$ તરીકે ગોઠવીએ છીએ.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{|125-170| + |a-170| + |b-170| + |170-170| + |190-170| + |210-170| + |230-170|}{7} = \frac{205}{7}$.
ગણતરી કરતા $a+b = 130$ મળે છે.
મધ્યક $\bar{x} = 165$ મળે છે.
મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= 30$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^x = 10$
નોંધો કે $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$. તેથી,$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
ધારો કે $t = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^x$. તો સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = 10$ બને છે.
$t$ વડે ગુણતા,આપણને $t^2 - 10t + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
કારણ કે $5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ અને $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$,તેથી $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ અથવા $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$.
આમ,$x = 2$ અથવા $x = -2$.
તેથી,ગણ $S = \{2, -2\}$,અને $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) અતિવલય $x^2 - y^2 \operatorname{cosec}^2 \theta = 5$ ને $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \sin^2 \theta} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \sqrt{1 + \sin^2 \theta}$ છે.
ઉપવલય $x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta + y^2 = 5$ ને $\frac{x^2}{5 \sin^2 \theta} + \frac{y^2}{5} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e_c = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta$ છે.
આપેલ છે કે $e_h = \sqrt{7} e_c$,તેથી:
$\sqrt{1 + \sin^2 \theta} = \sqrt{7} \cos \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 + \sin^2 \theta = 7 \cos^2 \theta = 7(1 - \sin^2 \theta)$.
$8 \sin^2 \theta = 6 \Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{3}{4}$.
$0 < \theta < \pi / 2$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $e^2 = \frac{1}{2}$.
આમ,$1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \sqrt{14}$ છે.
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ પરથી,$b^2 = \frac{a^2}{2}$ મળે.
આ કિંમત નાભિલંબના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2(a^2/2)}{a} = \sqrt{14} \Rightarrow a = \sqrt{14}$.
તેથી $b^2 = \frac{14}{2} = 7$.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_H$ એ $e_H^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$e_H^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ મળે.

(D) ધારો કે $3, a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તેથી $a = 3+d, b = 3+2d, c = 3+3d$.
$3, a-1, b+1, c+9$ એ $G.P.$ માં છે,કિંમતો મૂકતા:
$3, 2+d, 4+2d, 12+3d$ એ $G.P.$ માં છે.
$G.P.$ માટે,$(2+d)^2 = 3(4+2d)$.
$4 + 4d + d^2 = 12 + 6d \Rightarrow d^2 - 2d - 8 = 0$.
$(d-4)(d+2) = 0$,તેથી $d = 4$ અથવા $d = -2$.
કિસ્સો $1$: જો $d = 4$,તો $a = 7, b = 11, c = 15$. શ્રેણી $3, 6, 12, 24$ છે,જે $G.P.$ છે.
$a, b, c$ નો સમાંતર મધ્યક $\frac{7+11+15}{3} = 11$ છે.

(D) બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
વર્તુળ $C$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 2$.
વર્તુળ $C^{\prime}$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2\lambda, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4\lambda^2-9}$.
શરત $|2 - \sqrt{4\lambda^2-9}| < 2|\lambda| < 2 + \sqrt{4\lambda^2-9}$ ઉકેલતા,આપણને $\lambda \in (-\infty, -\frac{13}{8}) \cup (\frac{13}{8}, \infty)$ મળે છે.
તેથી $a = -\frac{13}{8}$ અને $b = \frac{13}{8}$.
બિંદુ $(-1, 6)$ મળે છે,જે $6x^2+y^2=42$ વક્ર પર છે.

(B) આપણે $x + 2y + 3z = 42$ માટે અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
નિશ્ચિત $z$ માટે,$x + 2y = 42 - 3z$ ના ઉકેલોની સંખ્યા $y$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા છે,જે $\lfloor \frac{42 - 3z}{2} \rfloor + 1$ છે.
આપણે $z = 0, 1, 2, \dots, 14$ માટે સરવાળો કરીએ:
કુલ સરવાળો = $22 + 20 + 19 + 17 + 16 + 14 + 13 + 11 + 10 + 8 + 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 169$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{(x+1)^6}{x^6} (1+x^2)^7 (1-x^3)^8 = \frac{1}{x^6} (1+x)^6 (1+x^2)^7 (1-x^3)^8$ છે.
આપણે $(1+x)^6 (1+x^2)^7 (1-x^3)^8$ માં $x^{36}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
સામાન્ય પદ $\binom{6}{r_1} \binom{7}{r_2} \binom{8}{r_3} (-1)^{r_3} x^{r_1 + 2r_2 + 3r_3}$ છે.
આપણે $r_1 + 2r_2 + 3r_3 = 36$ ની શરત પૂરી કરવાની છે,જ્યાં $0 \le r_1 \le 6, 0 \le r_2 \le 7, 0 \le r_3 \le 8$.
તમામ શક્ય ત્રિપુટીઓ $(r_1, r_2, r_3)$ માટે સહગુણકોનો સરવાળો કરતા $\alpha = -678$ મળે છે.
તેથી,$|\alpha| = 678$.

(D) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી $A_1 = 3, 7, 11, 15, \ldots, 403$ છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ છે.
બીજી સમાંતર શ્રેણી $A_2 = 2, 5, 8, 11, \ldots, 404$ છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d_2 = 3$ છે.
સામાન્ય પદો એક નવી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $\text{LCM}(4, 3) = 12$ છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $11$ છે.
ધારો કે સામાન્ય પદો $11, 23, 35, \ldots, L$ છે,જ્યાં $L \leq 403$.
$n$-મું પદ $a_n = 11 + (n - 1) \times 12$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $11 + (n - 1) \times 12 \leq 403$ જોઈએ,જેનો અર્થ છે $(n - 1) \times 12 \leq 392$,તેથી $n - 1 \leq 32.66$.
આમ,$n - 1 = 32$,જે $n = 33$ આપે છે.
છેલ્લું પદ $L = 11 + 32 \times 12 = 11 + 384 = 395$ છે.
આ $33$ પદોનો સરવાળો $S_{33} = \frac{n}{2}(a + L) = \frac{33}{2}(11 + 395) = \frac{33}{2}(406) = 33 \times 203 = 6699$ થાય.

(A) જમણી બાજુની લક્ષ $(R)$ માટે:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} f(h) = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(1-h^2) \sin ^{-1}(1-h)}{h(1-h^2)}$
$= \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(1-h^2)}{h} \cdot \frac{\sin ^{-1}(1)}{1} = \frac{\pi}{2} \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(1-h^2)}{h}$.
ધારો કે $\cos ^{-1}(1-h^2) = \theta$,તો $\cos \theta = 1-h^2$,તેથી $h = \sqrt{1-\cos \theta} = \sqrt{2} \sin(\theta/2)$.
જ્યારે $h \rightarrow 0^{+}$,ત્યારે $\theta \rightarrow 0^{+}$.
$R = \frac{\pi}{2} \lim _{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{2} \sin(\theta/2)} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2} \cdot (1/2)} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$R^2 = \frac{\pi^2}{2}$.
ડાબી બાજુની લક્ષ $(L)$ માટે:
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} f(-h) = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(1-(1-h)^2) \sin ^{-1}(1-(1-h))}{(1-h)-(1-h)^3} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(2h-h^2) \sin ^{-1}(h)}{(1-h)(1-(1-h)^2)} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(2h-h^2) \sin ^{-1}(h)}{(1-h)(2h-h^2)} = \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(0) \cdot h}{1 \cdot 2h} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$L^2 = \frac{\pi^2}{16}$.
અંતે,$\frac{32}{\pi^2} (L^2 + R^2) = \frac{32}{\pi^2} \left(\frac{\pi^2}{16} + \frac{\pi^2}{2}\right) = \frac{32}{\pi^2} \left(\frac{\pi^2 + 8\pi^2}{16}\right) = 2 \cdot 9 = 18$.

(B) આપેલ સમીકરણો: $x^2 + y^2 = 3$ અને $x^2 = 2y$.
$x^2 = 2y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $2y + y^2 = 3 \Rightarrow y^2 + 2y - 3 = 0$.
$(y + 3)(y - 1) = 0 \Rightarrow y = 1$ (કારણ કે $P$ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $y > 0$).
$y = 1$ માટે,$x^2 = 2(1) = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$. આમ,$P = (\sqrt{2}, 1)$.
$P$ એ રેખા $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$ પર હોવાથી,$\sqrt{2}(\sqrt{2}) + 1 = \alpha \Rightarrow \alpha = 3$.
રેખા $L$ એ $\sqrt{2}x + y - 3 = 0$ છે. કેન્દ્રો $Q_1, Q_2$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી ધારો કે $Q = (0, k)$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{3}$ છે. બિંદુ $(0, k)$ થી રેખા $\sqrt{2}x + y - 3 = 0$ નું અંતર $r$ છે:
$\frac{|\sqrt{2}(0) + k - 3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2}} = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \frac{|k - 3|}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow |k - 3| = 6$.
$k - 3 = 6 \Rightarrow k = 9$ અથવા $k - 3 = -6 \Rightarrow k = -3$.
તેથી,$Q_1 = (0, 9)$ અને $Q_2 = (0, -3)$.
શિરોબિંદુઓ $(\sqrt{2}, 1), (0, 9), (0, -3)$ ધરાવતા $\triangle PQ_1Q_2$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\sqrt{2}(9 - (-3)) + 0 + 0| = \frac{1}{2} |\sqrt{2}(12)| = 6\sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$ થાય.

(B) ગણ $P$ એ કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે. ગણ $Q$ એ $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq -8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $z=x+iy$,તો $(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i) \leq -8$,જેનું સાદું રૂપ $2x-2y \leq -8$,અથવા $x-y \leq -4$,એટલે કે $y \geq x+4$ થાય છે.
આપણે અંતર $f(z) = |z-(3-2i)|$ નું મૂલ્ય શોધવું છે,જે $z$ થી બિંદુ $A(3, -2)$ સુધીનું અંતર છે.
રેખા $L: x-y+4=0$ એ કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. $C(-2, 3)$ થી રેખા $x-y+4=0$ નું અંતર $\frac{|-2-3+4|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ છે,તેથી રેખા વર્તુળને છેદે છે.
બિંદુ $A(3, -2)$ એ રેખા $x+y-1=0$ પર આવેલું છે. $A$ થી રેખા $x-y+4=0$ નું અંતર $\frac{|3-(-2)+4|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$ છે.
મહત્તમ અંતર $A(3, -2)$ થી સૌથી દૂર વર્તુળ પરના બિંદુ $z_1$ પર મળે છે. $A(3, -2)$ અને $C(-2, 3)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3-(-2)}{-2-3} = -1$ છે. રેખા $y-3 = -1(x+2) \Rightarrow x+y-1=0$ છે.
$z_1$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે જે $C$ થી $A$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં રેખા $x+y-1=0$ પર $1$ ના અંતરે છે. $C$ થી $A$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. તેથી $z_1 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$.
$|z_1|^2 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-5\sqrt{2}$.
$z_2$ એ $P \cap Q$ માં $A(3, -2)$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ છે. આ રેખા $x-y+4=0$ અને વર્તુળની સીમાનું છેદબિંદુ છે. $x-y+4=0$ અને $(x+2)^2+(y-3)^2=1$ ઉકેલતા $z_2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
$|z_2|^2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-\sqrt{2}$.
$|z_1|^2+2|z_2|^2 = (14-5\sqrt{2}) + 2(14-\sqrt{2}) = 42-7\sqrt{2}$.
આમ,$\alpha=42, \beta=-7$,તેથી $\alpha+\beta=35$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2+qx-r=0$ છે. $p, q, r$ એ $G$.$P$. ના ક્રમિક પદો હોવાથી,$q=pk$ અને $r=pk^2$ લેતા.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $px^2+pkx-pk^2=0$.
$p$ વડે ભાગતા: $x^2+kx-k^2=0$.
બીજ $\alpha, \beta$ માટે,$\alpha+\beta = -k$ અને $\alpha\beta = -k^2$.
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-k}{-k^2} = \frac{1}{k} = \frac{3}{4}$,એટલે કે $k = \frac{4}{3}$.
$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (-k)^2 - 4(-k^2) = 5k^2$.
$k = \frac{4}{3}$ મૂકતા: $(\alpha-\beta)^2 = 5 \times (\frac{4}{3})^2 = 5 \times \frac{16}{9} = \frac{80}{9}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4 \sin^2 x - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ મૂકતા:
$4(1 - \cos^2 x) - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$4 - 4 \cos^2 x - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$-4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 4 \cos x + 13 = 0$
$4 \cos^3 x + 4 \cos^2 x + 4 \cos x = 13$
ધારો કે $f(t) = 4t^3 + 4t^2 + 4t$ જ્યાં $t = \cos x \in [-1, 1]$.
$[-1, 1]$ પર $f(t)$ ની મહત્તમ કિંમત $t = 1$ આગળ મળે છે:
$f(1) = 4(1)^3 + 4(1)^2 + 4(1) = 4 + 4 + 4 = 12$.
ડાબી બાજુની મહત્તમ કિંમત $12$ હોવાથી,તે ક્યારેય $13$ ને સમાન ન હોઈ શકે.
તેથી,કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) ધારો કે $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પરનું બિંદુ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = 3 \cos \theta$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ ને $Q = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ માં મળે છે.
ધારો કે $PQ$ પરનું બિંદુ $R = (h, k)$ છે,જ્યાં $PR:RQ = 4:3$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$h = 3 \cos \theta$ અને $k = \frac{4(3 \sin \theta) + 3(2 \sin \theta)}{4+3} = \frac{18}{7} \sin \theta$.
આમ,$\cos \theta = \frac{h}{3}$ અને $\sin \theta = \frac{7k}{18}$.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{h^2}{9} + \frac{49k^2}{324} = 1$ મળે.
બિંદુપથ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{(18/7)^2} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = \frac{324}{49}$ છે. $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{13}}{7}$.

(D) $(a+b)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{18}C_r a^{18-r} b^r$ છે.
સાતમા પદ $(T_7)$ માટે,$r=6$:
$T_7 = {}^{18}C_6 \left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}\right)^{12} \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right)^6 = {}^{18}C_6 \cdot 3^{-12} \cdot 2^{-6}$.
તેથી,$m = {}^{18}C_6 \cdot 3^{-12} \cdot 2^{-6}$.
તેરમા પદ $(T_{13})$ માટે,$r=12$:
$T_{13} = {}^{18}C_{12} \left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}\right)^6 \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right)^{12} = {}^{18}C_{12} \cdot 3^{-6} \cdot 2^{-12}$.
અહીં ${}^{18}C_6 = {}^{18}C_{12}$ હોવાથી:
$\frac{n}{m} = \frac{3^{-6} \cdot 2^{-12}}{3^{-12} \cdot 2^{-6}} = 3^6 \cdot 2^{-6} = \left(\frac{3}{2}\right)^6$.
તેથી $\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

(C) આપેલ છે $S_{10} = 390$. સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{10}{2}[2a + 9d] = 390 \Rightarrow 2a + 9d = 78$ $......(1)$
દસમા પદ $(t_{10})$ અને પાંચમા પદ $(t_5)$ નો ગુણોત્તર $15:7$ છે:
$\frac{a + 9d}{a + 4d} = \frac{15}{7}$ $\Rightarrow 7(a + 9d) = 15(a + 4d)$ $\Rightarrow 7a + 63d = 15a + 60d$ $\Rightarrow 8a = 3d$ $\Rightarrow d = \frac{8a}{3}$ $......(2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2a + 9(\frac{8a}{3}) = 78$ $\Rightarrow 2a + 24a = 78$ $\Rightarrow 26a = 78$ $\Rightarrow a = 3$
$a = 3$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$d = \frac{8(3)}{3} = 8$.
આપણે $S_{15} - S_5$ શોધવાનું છે:
$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[2(3) + 14(8)] - \frac{5}{2}[2(3) + 4(8)]$
$= \frac{15}{2}[6 + 112] - \frac{5}{2}[6 + 32]$
$= \frac{15}{2}(118) - \frac{5}{2}(38) = 15(59) - 5(19) = 885 - 95 = 790$.

(D) ધારો કે $z_0 = -\frac{1}{2}(3+4i) = -\frac{3}{2} - 2i$.
આપણે $|z - z_0|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે,જ્યાં $|z| \geq 1$.
ભૌમિતિક રીતે,આ એકમ વર્તુળ $|z|=1$ પર અથવા તેની બહારના બિંદુ $z$ થી નિશ્ચિત બિંદુ $z_0 = -\frac{3}{2} - 2i$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી બિંદુ $z_0$ નું અંતર $|z_0| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ છે.
જેহেতু બિંદુ $z_0$ એકમ વર્તુળની બહાર આવેલું છે $(|z_0| = 2.5 > 1)$,તેથી વર્તુળ $|z|=1$ થી બિંદુ $z_0$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $|z_0| - r$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r=1$ એ એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $= |z_0| - 1 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ $n=10$ અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$ છે.
$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\alpha)=2$ પરથી,$\sum x_i - 10\alpha = 2$ મળે.
મધ્યક $\mu = \frac{\sum x_i}{10} = \frac{6}{5}$ આપેલ છે,તેથી $\sum x_i = 12$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\sum x_i = 12$ મૂકતા: $12 - 10\alpha = 2$ $\Rightarrow 10\alpha = 10$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2 = \frac{84}{25}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum (x_i - \beta)^2 = \sum x_i^2 - 2\beta \sum x_i + 10\beta^2 = 40$.
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{84}{25}$ પરથી,$\frac{\sum x_i^2}{10} = \frac{84}{25} + \frac{36}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5}$,તેથી $\sum x_i^2 = 48$.
$\sum x_i^2 = 48$ અને $\sum x_i = 12$ ને $48 - 2\beta(12) + 10\beta^2 = 40$ માં મૂકતા:
$10\beta^2 - 24\beta + 8 = 0 \Rightarrow 5\beta^2 - 12\beta + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(5\beta - 2)(\beta - 2) = 0$.
$\beta$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$\beta = 2$.
તેથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{2}{1} = 2$.

(B) ધારો કે $A$ એ અજય પરીક્ષામાં હાજર રહેવાની ઘટના છે અને $V$ એ વિજય પરીક્ષામાં હાજર રહેવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(\overline{A}) = \frac{2}{7}$,તેથી $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
આપેલ છે: $P(A \cap V) = \frac{1}{5}$.
આપણે અજય હાજર રહે અને વિજય હાજર ન રહે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(A \cap \overline{V})$ છે.
ગણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P(A) = P(A \cap V) + P(A \cap \overline{V})$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{7} = \frac{1}{5} + P(A \cap \overline{V})$.
$P(A \cap \overline{V}) = \frac{5}{7} - \frac{1}{5} = \frac{25 - 7}{35} = \frac{18}{35}$.

(A) ધારો કે $M(h, k)$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી દોરેલી જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.
વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=1$ નું કેન્દ્ર $C(0, 1)$ છે.
$CM \perp OM$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{k-1}{h-0}\right) \cdot \left(\frac{k-0}{h-0}\right) = -1$
$\frac{k(k-1)}{h^2} = -1$
$k^2-k = -h^2$
$h^2+k^2-k = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2+y^2-y=0$ મળે છે.
આ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $(0, 1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1/2$ છે.
રેખા $x+y-1=0$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 1/2)$ થી રેખા $x+y-1=0$ નું લંબ અંતર $p$:
$p = \frac{|0 + 1/2 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-p^2}$ છે:
$PQ = 2\sqrt{(1/2)^2 - (1/(2\sqrt{2}))^2} = 2\sqrt{1/4 - 1/8} = 2\sqrt{1/8} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $a, ar, ar^2$ છે જ્યાં $a > 0$ અને $r > 1$.
ત્રિકોણની બાજુઓ માટે,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$a + ar > ar^2 \implies 1 + r > r^2 \implies r^2 - r - 1 < 0$.
$r^2 - r - 1 = 0$ ના બીજ $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
$r > 1$ હોવાથી,$r^2 - r - 1 < 0$ ની શરત મુજબ $1 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$\frac{1 + 2.236}{2} = 1.618$ થાય.
તેથી,$1 < r < 1.618$.
આથી,$[r] = 1$.
$[-r]$ માટે,$1 < r < 1.618$ હોવાથી,$-1.618 < -r < -1$ મળે.
તેથી,$[-r] = -2$.
આમ,$3[r] + [-r] = 3(1) + (-2) = 3 - 2 = 1$.

(B) કુલ $20$ રેખાઓ છે. ધારો કે $S_1 = \{L_1, L_3, \ldots, L_{19}\}$ એ $10$ સમાંતર રેખાઓનો ગણ છે અને $S_2 = \{L_2, L_4, \ldots, L_{20}\}$ એ એક સામાન્ય બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી $10$ રેખાઓનો ગણ છે.
રેખાઓની જોડીની કુલ સંખ્યા $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
$S_1$ માંની $10$ રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેઓ છેદતી નથી. તેથી,આપણે $\binom{10}{2} = 45$ છેદબિંદુઓ ગુમાવીએ છીએ.
$S_2$ માંની $10$ રેખાઓ બિંદુ $P$ પર સંગામી હોવાથી,તેઓ $\binom{10}{2} = 45$ ભિન્ન બિંદુઓને બદલે માત્ર એક જ બિંદુ પર છેદે છે. તેથી,આપણે $45 - 1 = 44$ છેદબિંદુઓ ગુમાવીએ છીએ.
છેદબિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા $190 - 45 - 44 = 101$ છે.

(C) ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $S_2 = \frac{ab(a+b)}{2}$ છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y = (a - b)x + ab$ છે.
પરવલય અને રેખા વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $S_1 = \frac{(a+b)^3}{6}$ છે.
તેથી,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{3} \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 \right)$.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4}{3}$ મળે છે.
અહીં $m = 4$ અને $n = 3$ છે,તેથી $m + n = 7$.

(D) આપેલ પરવલયો $2y^2 = kx$ અને $ky^2 = 2(y - x)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{2y^2}{k}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકો:
$ky^2 = 2(y - \frac{2y^2}{k})$
$ky^2 = 2y - \frac{4y^2}{k}$
$y^2(k + \frac{4}{k}) = 2y$
$y(y(k + \frac{4}{k}) - 2) = 0$
તેથી,$y = 0$ અથવા $y = \frac{2}{k + \frac{4}{k}} = \frac{2k}{k^2 + 4}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ આ મુજબ મળે છે:
$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (x_2 - x_1) dy = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} ((y - \frac{ky^2}{2}) - \frac{2y^2}{k}) dy$
$A = \int_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}} (y - (\frac{k}{2} + \frac{2}{k})y^2) dy$
$A = [\frac{y^2}{2} - (\frac{k^2 + 4}{2k}) \frac{y^3}{3}]_0^{\frac{2k}{k^2 + 4}}$
$A = \frac{1}{2}(\frac{2k}{k^2 + 4})^2 - \frac{k^2 + 4}{6k} (\frac{2k}{k^2 + 4})^3 = \frac{1}{6} (\frac{2k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} (\frac{k}{k^2 + 4})^2 = \frac{2}{3} \frac{1}{(k + \frac{4}{k})^2}$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થવા માટે,છેદ $(k + \frac{4}{k})^2$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
$AM \geq GM$ મુજબ,$k + \frac{4}{k} \geq 2\sqrt{k \cdot \frac{4}{k}} = 4$ ($k > 0$ માટે) અથવા $k + \frac{4}{k} \leq -4$ ($k < 0$ માટે).
$(k + \frac{4}{k})^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $16$ છે,જે $k = \frac{4}{k}$ એટલે કે $k^2 = 4$ હોય ત્યારે મળે છે,તેથી $k = 2$ અથવા $k = -2$.
આ મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો $2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $A = (-1, 0)$ અને $B$ એ ધન $x$-અક્ષ પર છે,ધારો કે $B = (b, 0)$ જ્યાં $b > 0$.
$AB = AC$ અને $\angle A = 120^{\circ}$ હોવાથી,પાયાના ખૂણા $\angle B = \angle C = 30^{\circ}$ થાય.
$\triangle ABC$ માં સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{AB}{\sin 30^{\circ}} = \frac{BC}{\sin 120^{\circ}}$.
$\frac{AB}{1/2} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}$ $\Rightarrow 2AB = 8$ $\Rightarrow AB = 4$.
$A = (-1, 0)$ અને $B = (b, 0)$ હોવાથી,$AB = |b - (-1)| = b + 1 = 4$,તેથી $b = 3$.
આમ,$B = (3, 0)$.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $\tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 3) \Rightarrow x + \sqrt{3}y = 3$ છે.
$x + \sqrt{3}y = 3$ અને $y = x + 3$ ને ઉકેલતા:
$x = y - 3$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $(y - 3) + \sqrt{3}y = 3$ $\Rightarrow y(1 + \sqrt{3}) = 6$ $\Rightarrow y = \frac{6}{\sqrt{3} + 1} = 3(\sqrt{3} - 1)$.
તેથી $x = 3(\sqrt{3} - 1) - 3 = 3\sqrt{3} - 6$.
તેથી $\alpha = 3(\sqrt{3} - 2)$ અને $\beta = 3(\sqrt{3} - 1)$.
$\frac{\beta^4}{\alpha^2} = \frac{[3(\sqrt{3} - 1)]^4}{[3(\sqrt{3} - 2)]^2} = 36$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-1, 3)$,$B(-2, 2)$ અને $C(3, -1)$ છે.
બાજુઓના સમીકરણો:
$AC$ નું સમીકરણ: ઢાળ $m = -1$,સમીકરણ $x + y = 2$ છે.
$AB$ નું સમીકરણ: ઢાળ $m = 1$,સમીકરણ $x - y + 4 = 0$ છે.
$BC$ નું સમીકરણ: ઢાળ $m = -\frac{3}{5}$,સમીકરણ $3x + 5y - 4 = 0$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ ને $d=1$ એકમ અંદરની તરફ ખસેડતા,નવી રેખા $ax + by + c \pm \sqrt{a^2+b^2} = 0$ મળે.
$AC: x + y - 2 = 0$ માટે,નવી રેખા $x + y = 2 - \sqrt{2}$ છે.
ઉગમબિંદુની સૌથી નજીકની બાજુ $x + y = 2 - \sqrt{2}$ છે.

(B) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 5 + 6 + 7 = 18$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $18$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે,જે $^{18}C_3$ રીતે કરી શકાય.
જોકે,એક જ બાજુ પરના બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
બાજુ $AB$ પરના $5$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^{5}C_3$ છે.
બાજુ $BC$ પરના $6$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^{6}C_3$ છે.
બાજુ $CA$ પરના $7$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^{7}C_3$ છે.
કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $^{18}C_3 - (^{5}C_3 + ^{6}C_3 + ^{7}C_3)$.
ગણતરી: $^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$.
$^{5}C_3 = 10$,$^{6}C_3 = 20$,$^{7}C_3 = 35$.
કુલ ત્રિકોણ = $816 - (10 + 20 + 35) = 816 - 65 = 751$.

(A) $(2^{\frac{1}{5}} + 5^{\frac{1}{3}})^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_{r} (2^{\frac{1}{5}})^{15-r} (5^{\frac{1}{3}})^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદને સરળ બનાવતા,$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} 2^{3 - \frac{r}{5}} 5^{\frac{r}{3}}$ મળે છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 15$ હોવાથી,$r$ માટે શક્ય કિંમતો $0$ અને $15$ છે.
$r = 0$ માટે,$T_1 = {}^{15}C_0 2^3 5^0 = 1 \times 8 \times 1 = 8$.
$r = 15$ માટે,$T_{16} = {}^{15}C_{15} 2^0 5^5 = 1 \times 1 \times 3125 = 3125$.
તમામ સંમેય પદોનો સરવાળો $8 + 3125 = 3133$ થાય છે.

(D) ધારો કે $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે અને $G.P.$ એ $2, p, q, \dots$ છે.
આપેલ છે કે $2, p, q$ એ $A.P.$ ના $7^{\text{th}}, 8^{\text{th}}, 13^{\text{th}}$ પદો છે:
$2 = a + 6d \quad \dots(i)$
$p = a + 7d \quad \dots(ii)$
$q = a + 12d \quad \dots(iii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$p - 2 = d$ મળે.
$(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$q - p = 5d$ મળે.
$q - p = 5(p - 2)$ હોવાથી,$q = 6p - 10$ મળે.
$2, p, q$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$p^2 = 2q$.
$q = 6p - 10$ મૂકતા,$p^2 = 2(6p - 10) \implies p^2 - 12p + 20 = 0$.
$p$ માટે ઉકેલતા,$(p - 10)(p - 2) = 0$,તેથી $p = 10$ અથવા $p = 2$.
જો $p = 2$ હોય,તો $q = 2$ થાય,જે $q \neq 2$ ની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી,$p = 10$.
ત્યારબાદ $d = p - 2 = 8$ અને $a = 2 - 6(8) = -46$.
$G.P.$ એ $2, 10, 50, 250, 1250, \dots$ છે.
$G.P.$ નું $5^{\text{th}}$ પદ $2 \times 5^4 = 1250$ છે.
ધારો કે આ $A.P.$ નું $n^{\text{th}}$ પદ છે: $1250 = a + (n - 1)d$.
$1250 = -46 + (n - 1)8 \implies 1296 = (n - 1)8 \implies n - 1 = 162 \implies n = 163$.

(A) અવલોકનો $-3, 4, 7, -6, a, b$ છે. $N = 6$.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{-3 + 4 + 7 - 6 + a + b}{6} = 2 \implies a + b = 10$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - (\overline{x})^2 = 23$.
$\frac{9 + 16 + 49 + 36 + a^2 + b^2}{6} = 27 \implies a^2 + b^2 = 52$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો $4$ અને $6$ મળે છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{\sum |x_i - \overline{x}|}{6} = \frac{5 + 2 + 5 + 8 + 2 + 4}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + bx + 1 = 0$ ના બીજ $2$ અને $6$ છે.
બીજનો સરવાળો: $2 + 6 = 8 = -\frac{b}{a} \implies b = -8a$.
બીજનો ગુણાકાર: $2 \times 6 = 12 = \frac{1}{a} \implies a = \frac{1}{12}$.
$a$ ની કિંમત $b = -8a$ માં મૂકતા: $b = -8 \times \frac{1}{12} = -\frac{2}{3}$.
હવે,નવા બીજ શોધીએ:
બીજ $1 = \frac{1}{2a + b} = \frac{1}{2(\frac{1}{12}) - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{6} - \frac{4}{6}} = \frac{1}{-\frac{3}{6}} = -2$.
બીજ $2 = \frac{1}{6a + b} = \frac{1}{6(\frac{1}{12}) - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$.
$-2$ અને $-6$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x + 2)(x + 6) = 0$ છે.
$x^2 + 8x + 12 = 0$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\bar{z} = x - iy$ અને $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
આપેલ સમીકરણ: $(x - iy)^2 + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$.
$(x^2 - y^2 - 2ixy) + \sqrt{x^2 + y^2} = 0$.
કાલ્પનિક ભાગને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $-2xy = 0 \implies x = 0$ અથવા $y = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$,તો $-y^2 + |y| = 0 \implies |y|^2 = |y|$. $z \neq 0$ હોવાથી,$|y| = 1$,તેથી $y = 1$ અથવા $y = -1$. આમ,$z_1 = i$ અને $z_2 = -i$.
કિસ્સો $2$: જો $y = 0$,તો $x^2 + |x| = 0 \implies |x|^2 + |x| = 0$. $|x| \geq 0$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $|x| = 0$,તેથી $x = 0$,જે $z = 0$ આપે છે (જે શૂન્યતર ઉકેલ નથી).
શૂન્યતર ઉકેલો $z_1 = i$ અને $z_2 = -i$ છે.
સરવાળો $\alpha = i + (-i) = 0$.
ગુણાકાર $\beta = i \times (-i) = -i^2 = 1$.
તેથી,$4(\alpha^2 + \beta^2) = 4(0^2 + 1^2) = 4(1) = 4$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x-6y+30=0$ છે.
તેને $(x-5)^2+(y-3)^2 = 4 = 2^2$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,કેન્દ્ર $(5, 3)$ અને ત્રિજ્યા $R = 2$ છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુઓ $y=x+c$ અને $x+y+d=0$ ને સમાંતર છે.
કેન્દ્ર $(5, 3)$ થી આ રેખાઓનું અંતર $R/\sqrt{2} = \sqrt{2}$ હોવું જોઈએ.
$y-x-c=0$ માટે: $\left|\frac{3-5-c}{\sqrt{2}}\right| = \sqrt{2} \implies |c+2| = 2 \implies c=0$ અથવા $c=-4$.
$x+y+d=0$ માટે: $\left|\frac{5+3+d}{\sqrt{2}}\right| = \sqrt{2} \implies |d+8| = 2 \implies d=-6$ અથવા $d=-10$.
બાજુઓના સમીકરણો $y=x$,$y=x-4$,$x+y=6$ અને $x+y=10$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા શિરોબિંદુઓ $(5, 5), (3, 3), (5, 1), (7, 3)$ મળે છે.
$\sum(x_i^2+y_i^2) = (25+25) + (9+9) + (25+1) + (49+9) = 152$.

(A) $L$'Hopital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx}((5 x+1)^{1 / 3}-(x+5)^{1 / 3})}{\frac{d}{dx}((2 x+3)^{1 / 2}-(x+4)^{1 / 2})}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 1} \frac{\frac{1}{3}(5 x+1)^{-2 / 3} \cdot 5 - \frac{1}{3}(x+5)^{-2 / 3}}{\frac{1}{2}(2 x+3)^{-1 / 2} \cdot 2 - \frac{1}{2}(x+4)^{-1 / 2}}$
$= \frac{\frac{5}{3}(6)^{-2 / 3} - \frac{1}{3}(6)^{-2 / 3}}{(5)^{-1 / 2} - \frac{1}{2}(5)^{-1 / 2}}$
$= \frac{\frac{4}{3} \cdot 6^{-2 / 3}}{\frac{1}{2} \cdot 5^{-1 / 2}} = \frac{8}{3} \cdot 6^{-2 / 3} \cdot \sqrt{5} = \frac{8 \sqrt{5}}{3 \cdot 6^{2 / 3}}$
$\frac{m \sqrt{5}}{n(2 n)^{2 / 3}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=8$ અને $n=3$ મળે છે.
તેથી,$8m + 12n = 8(8) + 12(3) = 64 + 36 = 100$.

(B) ધારો કે $x$ એ ત્રણેય વિષયોનો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. ત્રણ ગણ $M, P, C$ ના યોગગણ માટે સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$|M \cup P \cup C| = 220 - 10 = 210$.
આપણને આપેલ છે $|M \cap P| = 40$,$|P \cap C| = 30$,$|C \cap M| = 50$.
માત્ર $M$ નો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $|M| - (40-x) - (50-x) - x = |M| - 90 x$ છે.
તે જ રીતે,માત્ર $P$ માટે $|P| - 70 x$ અને માત્ર $C$ માટે $|C| - 80 x$ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા:
$|M \cup P \cup C| = (|M| |P| |C|) - (|M \cap P| |P \cap C| |C \cap M|) |M \cap P \cap C| = 210$.
$|M| |P| |C| - (40 30 50) x = 210 \Rightarrow |M| |P| |C| = 330 - x$.
આપેલ છે $125 \leq |M| \leq 130$,$85 \leq |P| \leq 95$,$75 \leq |C| \leq 90$.
સરવાળો કરતા: $285 \leq |M| |P| |C| \leq 315$.
$|M| |P| |C| = 330 - x$ મુકતા:
$285 \leq 330 - x \leq 315$.
$-45 \leq -x \leq -15 \Rightarrow 15 \leq x \leq 45$.
વધુમાં,વેન આકૃતિ મુજબ,દરેક વિભાગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
$40-x \geq 0, 30-x \geq 0, 50-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 30$.
$15 \leq x \leq 45$ અને $x \leq 30$ ને જોડતા,આપણને $15 \leq x \leq 30$ મળે છે.
આમ,$m = 15$ અને $n = 30$.
$m n = 15 30 = 45$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{n} {}^n C_r = 2^n$.
તેથી,$b = 1 + \frac{2^1}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2$.
હવે,$a = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{{}^n C_2}{(n+1)!}$.
${}^n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$a = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{2(n+1)!} = 1 + \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{(n+1)!}$.
શ્રેણીનો સરવાળો કરતા $a = e/2$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2b}{a^2} = \frac{2(e^2)}{(e/2)^2} = \frac{2e^2}{e^2/4} = 8$.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ ની નાભિસ્થ જીવાની લંબાઈ $L = 4a \operatorname{cosec}^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ જીવાએ પરવલયની ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં,$4a = 12$,તેથી $a = 3$. લંબાઈ $L = 15$.
$12 \operatorname{cosec}^2 \theta = 15 \implies \operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
તેથી $\sin^2 \theta = \frac{4}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
આમ,$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{4/5}{1/5} = 4$,તેથી $\tan \theta = 2$.
નાભિસ્થ જીવા નાભિ $(a, 0) = (3, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $\theta$ ઢાળવાળી જીવાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 3)$ છે.
જીવા ધરી સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \pm \tan \theta = \pm 2$ છે. ધારો કે $m = 2$.
સમીકરણ $y = 2(x - 3) \implies 2x - y - 6 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $2x - y - 6 = 0$ નું અંતર $p = \frac{|2(0) - 0 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$p^2 = \frac{36}{5}$.
અંતે,$10p^2 = 10 \times \frac{36}{5} = 2 \times 36 = 72$.

(B) વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2+y^2=10$ છે. ત્રિજ્યા $R = \sqrt{10}$ છે.
જીવા $PQ$ માટે: રેખા $x+y-2=0$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $PQ$ નું લંબ અંતર $d_1 = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.
જીવા $MN$ માટે: જીવાની લંબાઈ $2$ એકમ છે. ધારો કે $A$ એ $MN$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $AN = \frac{MN}{2} = 1$. $\Delta OAN$ માં,$OA^2 + AN^2 = ON^2$,જ્યાં $ON$ એ ત્રિજ્યા $R = \sqrt{10}$ છે.
$OA^2 + 1^2 = (\sqrt{10})^2 \implies OA^2 = 9 \implies OA = 3$. આમ,ઉગમબિંદુથી જીવા $MN$ નું લંબ અંતર $d_2 = 3$ છે.
બંને જીવાઓ $PQ$ અને $MN$ નો ઢાળ $-1$ હોવાથી,તેઓ સમાંતર છે. બે સમાંતર જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર $|d_1 \pm d_2|$ થાય.
અંતર $= |3 \pm \sqrt{2}|$.
આમ,શક્ય અંતરો $3+\sqrt{2}$ અથવા $3-\sqrt{2}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$3-\sqrt{2}$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a + c$ થાય.
$a, b, c$ નો સમાંતર મધ્યક $8$ હોવાથી,$\frac{a+b+c}{3} = 8$,એટલે કે $a+b+c = 24$.
$a+c = 2b$ મૂકતા,$3b = 24$,તેથી $b = 8$ મળે.
તેથી $a+c = 16$,એટલે કે $c = 16 - a$.
$a+1, b, c+3$ ગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$b^2 = (a+1)(c+3)$ થાય.
$b=8$ અને $c=16-a$ મૂકતા,$64 = (a+1)(19-a)$ મળે.
$64 = 19a - a^2 + 19 - a$,જેનું સાદુંરૂપ $a^2 - 18a + 45 = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા,$(a-15)(a-3) = 0$ મળે.
$a > 10$ હોવાથી,$a = 15$ લેતા.
તેથી $c = 16 - 15 = 1$.
સંખ્યાઓ $a=15, b=8, c=1$ છે.
ગુણોત્તર મધ્યકનો ઘન $(abc)^{1/3}$ નો ઘન એટલે $abc = 15 \times 8 \times 1 = 120$ થાય.

(B) ધારો કે પદાવલિ $S = \frac{\sum_{r=1}^{n} r(r+1)^2}{\sum_{r=1}^{n} r^2(r+1)}$ છે,જ્યાં $n=100$.
અંશ: $\sum_{r=1}^{n} (r^3 + 2r^2 + r) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{2n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$.
છેદ: $\sum_{r=1}^{n} (r^3 + r^2) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\frac{n^2+n}{2} + \frac{4n+2}{3} + 1}{\frac{n^2+n}{2} + \frac{2n+1}{3}}$.
$n=100$ માટે: $\frac{5050 + 134 + 1}{5050 + 67} = \frac{5185}{5117} = \frac{305}{301}$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \int_0^x (t + \sin(1 - e^t)) dt$. આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$ શોધવાની જરૂર છે.
$f(0) = 0$ અને છેદ $x = 0$ પર $0$ હોવાથી,આપણે $L'H\text{ôpital's Rule}$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{3x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + \sin(1 - e^x)}{3x^2}$.
ફરીથી $L'H\text{ôpital's Rule}$ લાગુ પાડતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + \cos(1 - e^x) \cdot (-e^x)}{6x}$.
$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$ અને $\cos(\theta) \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ નો ટેલર વિસ્તરણ વાપરતા:
$1 - e^x \approx -x - \frac{x^2}{2}$.
$\cos(1 - e^x) \approx 1 - \frac{(-x - \frac{x^2}{2})^2}{2} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$.
કિંમત મૂકતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 - \frac{x^2}{2})(1 + x + \frac{x^2}{2})}{6x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 + x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2})}{6x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x}{6x} = -\frac{1}{6}$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ $|z-1| \leq 2$ પરથી, આપણને $(x-1)^2 + y^2 \leq 2^2$ મળે છે, જે $(1, 0)$ કેન્દ્ર અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે।
આપેલ $(z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2$ માં $z = x+iy$ અને $\overline{z} = x-iy$ મૂકતા:
$(x+iy + x-iy) + i(x+iy - (x-iy)) \leq 2$
$2x + i(2iy) \leq 2$
$2x - 2y \leq 2 \Rightarrow x - y \leq 1 \Rightarrow y \geq x - 1$.
આપેલ $\operatorname{Im}(z) \geq 0$ પરથી, $y \geq 0$ મળે છે।
આ પ્રદેશ એ વર્તુળ $(x-1)^2 + y^2 \leq 4$, અર્ધતલ $y \geq x-1$ અને ઉપરના અર્ધતલ $y \geq 0$ નો છેદ છે।
રેખા $y = x-1$ એ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ (અથવા $\pi/4$ રેડિયન) નો ખૂણો બનાવે છે।
ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $y = x-1$ દ્વારા કપાયેલા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે।
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.
વૃત્તાંશ એ વર્તુળની અંદર રેખા $y=x-1$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે। કેન્દ્ર $(1, 0)$ પર આ વૃત્તાંશ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\pi/4$ છે।
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (2)^2 (\pi/4) = \pi/2$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $2\pi - \pi/2 = \frac{3\pi}{2}$.

(A) $(1+x)^n$ માં $x^4, x^5, x^6$ ના સહગુણકો અનુક્રમે $^nC_4, ^nC_5, ^nC_6$ છે.
તેઓ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$ થાય.
$^nC_5$ વડે ભાગતા,$2 = \frac{^nC_4}{^nC_5} + \frac{^nC_6}{^nC_5}$ મળે.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{^nC_4}{^nC_5} = \frac{5}{n-4}$ અને $\frac{^nC_6}{^nC_5} = \frac{n-5}{6}$ મળે.
તેથી,$2 = \frac{5}{n-4} + \frac{n-5}{6}$.
$6(n-4)$ વડે ગુણતા,$12(n-4) = 30 + (n-5)(n-4)$ મળે.
$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$.
$n^2 - 21n + 98 = 0$.
$(n-14)(n-7) = 0$.
આમ,$n = 14$ અથવા $n = 7$.
$n$ ની મહત્તમ કિંમત $14$ છે.

(C) ધારો કે $n$ એ ગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે. અહીં,$n = 4$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના કુલ સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $2^{\frac{n(n+1)}{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ માટે,સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $2^{\frac{4(5)}{2}} = 2^{10} = 1024$ છે.
જે સંમિત સંબંધો સ્વવાચક પણ હોય તેની સંખ્યા $2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ માટે,સંમિત અને સ્વવાચક સંબંધોની સંખ્યા $2^{\frac{4(3)}{2}} = 2^6 = 64$ છે.
સ્વવાચક ન હોય તેવા સંમિત સંબંધોની સંખ્યા એ કુલ સંમિત સંબંધોમાંથી સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધોની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
સ્વવાચક ન હોય તેવા સંમિત સંબંધોની સંખ્યા $= 2^{10} - 2^6 = 1024 - 64 = 960$.

(A) આપેલા સમીકરણો $(y-2)^2 = x-1$ અને $x = 2y-4$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,રેખાના સમીકરણમાંથી $x$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y-2)^2 = (2y-4)-1$
$(y-2)^2 = 2(y-2)-1$
ધારો કે $u = y-2$,તો $u^2 = 2u-1$,જે $u^2-2u+1 = 0$ આપે છે,તેથી $(u-1)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે $u=1$.
આમ,$y-2 = 1$,તેથી $y=3$. પછી $x = 2(3)-4 = 2$.
છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.
પ્રદેશ $y$-અક્ષ $(x=0)$,$x$-અક્ષ $(y=0)$,રેખા $x = 2y-4$ અને પરવલય $x = (y-2)^2+1$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^3 ((y-2)^2+1) dy - \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^3 (y^2-4y+5) dy - \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = [\frac{y^3}{3}-2y^2+5y]_0^3 - 1 = (9-18+15) - 1 = 6-1 = 5$.

(D) શોધવા માટે,તમામ સહગુણકોનો સરવાળો,આપણે પદાવલિમાં $x=1$ મૂકીએ છીએ:
$a = (1-2(1)+2(1)^2)^{2023} \times (3-4(1)^2+2(1)^3)^{2024} = (1)^{2023} \times (1)^{2024} = 1$.
$b$ શોધવા માટે,આપણે $L'\text{H\^opital's Rule}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ કારણ કે તે $0/0$ સ્વરૂપ છે:
$b = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{\frac{d}{dx} (x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{2024}+1}}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\ln(1+x)}{x} \times \frac{1}{x^{2024}+1} \right) = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.
$a=1$ અને $b=1/2$ ને બીજા સમીકરણ $2bx^2+ax+4=0$ માં મૂકતા:
$2(1/2)x^2 + (1)x + 4 = 0 \implies x^2+x+4=0$.
કારણ કે સમીકરણો $cx^2+dx+e=0$ અને $x^2+x+4=0$ નું એક સામાન્ય બીજ છે અને સહગુણકો વાસ્તવિક છે,તેથી સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{c}{1} = \frac{d}{1} = \frac{e}{4}$.
આમ,$d:c:e = 1:1:4$.

(D) આપેલ પ્રદેશ $y^2 \leq 4x$,$x < 4$,અને $\frac{xy(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$y > 0$ માટે,આપણે $\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} > 0$ ની જરૂર છે. વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$x$ માટેના અંતરાલ $(0, 1) \cup (2, 3)$ મળે છે.
$y < 0$ માટે,આપણે $\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} < 0$ ની જરૂર છે. $x$ માટેના અંતરાલ $(1, 2) \cup (3, 4)$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ આ અંતરાલો પર $2\sqrt{x}$ ના સંકલનનો સરવાળો છે:
$\text{Area} = \int_0^1 2\sqrt{x} dx + \int_2^3 2\sqrt{x} dx + \int_1^2 2\sqrt{x} dx + \int_3^4 2\sqrt{x} dx$
આને જોડતા,આપણને મળે છે:
$\text{Area} = \int_0^4 2\sqrt{x} dx = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_0^4 = \frac{4}{3} \times (4^{3/2} - 0) = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4x+3}{6x-4}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $g(x) = (f \circ f)(x) = f(f(x))$ શોધીએ.
$g(x) = f\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) = \frac{4\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) + 3}{6\left(\frac{4x+3}{6x-4}\right) - 4}$.
અંશ અને છેદને $(6x-4)$ વડે ગુણતા:
$g(x) = \frac{4(4x+3) + 3(6x-4)}{6(4x+3) - 4(6x-4)} = \frac{16x + 12 + 18x - 12}{24x + 18 - 24x + 16} = \frac{34x}{34} = x$.
અહીં $g(x) = x$ હોવાથી,$g$ એ તદેવ વિધેય (identity function) છે.
તેથી,$(g \circ g \circ g)(4) = g(g(g(4))) = g(g(4)) = g(4) = 4$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & \alpha & 3 \\ 3 & -1 & \beta \end{vmatrix} = 1(\alpha\beta + 3) + 2(2\beta - 9) + 1(-2 - 3\alpha) = \alpha\beta - 3\alpha + 4\beta - 17 = 0 \implies \alpha\beta - 3\alpha + 4\beta = 17 \dots (1)$
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & \beta \end{vmatrix} = 1(5\beta - 9) + 4(2\beta - 9) + 1(6 - 15) = 5\beta - 9 + 8\beta - 36 - 9 = 13\beta - 54 = 0 \implies \beta = \frac{54}{13}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $\beta = \frac{54}{13}$ મૂકતા:
$\alpha(\frac{54}{13}) - 3\alpha + 4(\frac{54}{13}) = 17$
$\frac{54\alpha - 39\alpha + 216}{13} = 17$
$15\alpha + 216 = 221 \implies 15\alpha = 5 \implies \alpha = \frac{1}{3}$.
હવે,$12\alpha + 13\beta = 12(\frac{1}{3}) + 13(\frac{54}{13}) = 4 + 54 = 58$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dx}{dy} = x(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.
$y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y}(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.
ધારો કે $v = \frac{x}{y}$,તેથી $x = vy$. $y$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + y \frac{dv}{dy} = v(\ln v + 1) = v \ln v + v$.
$y \frac{dv}{dy} = v \ln v$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \ln v} = \frac{dy}{y}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \ln v} = \int \frac{dy}{y}$.
ધારો કે $u = \ln v$,તેથી $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન થશે: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dy}{y}$.
$\ln|u| = \ln|y| + C \Rightarrow \ln|\ln v| = \ln y + C$.
$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા: $\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y + C$.
બિંદુ $(e, 1)$ માંથી પસાર થતા: $\ln|\ln(\frac{e}{1})| = \ln(1) + C \Rightarrow \ln(1) = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|\ln(\frac{x}{y})| = y$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{\tan x+y}{\sin x(\sec x-\sin x \tan x)}$ છે.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\sin x(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{\cos^2 x}{\cos x}) = \sin x \cos x$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan x + y}{\sin x \cos x} = \frac{\tan x}{\sin x \cos x} + \frac{y}{\sin x \cos x} = \sec^2 x + y(2 \csc 2x)$.
આ $\frac{d y}{d x} - (2 \csc 2x)y = \sec^2 x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2 \csc 2x dx} = e^{-\ln|\tan x|} = \frac{1}{\tan x}$ (કારણ કે $x \in (0, \pi/2)$).
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot \frac{1}{\tan x} = \int \sec^2 x \cdot \frac{1}{\tan x} dx + c$ છે.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec^2 x dx = dt$. તેથી,$y \cot x = \int \frac{1}{t} dt + c = \ln|t| + c = \ln(\tan x) + c$.
આમ,$y = \tan x (\ln(\tan x) + c)$.
$y(\frac{\pi}{4}) = 2$ આપેલ હોવાથી,$2 = \tan(\frac{\pi}{4})(\ln(\tan(\frac{\pi}{4})) + c) = 1(0 + c)$,તેથી $c = 2$.
ઉકેલ $y = \tan x (\ln(\tan x) + 2)$ છે.
$x = \frac{\pi}{3}$ માટે,$y(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3})(\ln(\tan(\frac{\pi}{3})) + 2) = \sqrt{3}(\ln \sqrt{3} + 2) = \sqrt{3}(2 + \log_e \sqrt{3})$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{p} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$,તેથી $\vec{p} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{b} = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{p} - \vec{c}) \times \vec{b} = \vec{0}$.
તેથી,$\vec{p} - \vec{c} = \lambda \vec{b}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{p} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આપેલ છે કે $\vec{p} \cdot \vec{a} = 0$,તેથી $\vec{p}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\vec{c} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (1)(3) + (-3)(1) + (4)(-2) = 3 - 3 - 8 = -8$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (4)(3) + (1)(1) + (7)(-2) = 12 + 1 - 14 = -1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $-8 + \lambda(-1) = 0 \Rightarrow \lambda = -8$.
આમ,$\vec{p} = \vec{c} - 8 \vec{b} = (\hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 8(4 \hat{i} + \hat{j} + 7 \hat{k}) = -31 \hat{i} - 11 \hat{j} - 52 \hat{k}$.
છેલ્લે,$\vec{p} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = (-31)(1) + (-11)(-1) + (-52)(-1) = -31 + 11 + 52 = 32$.

(D) જરૂરી રેખાની દિશાનો સદિશ બે આપેલી રેખાઓના દિશા સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 5 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 15) - \hat{j}(4 + 5) + \hat{k}(6 + 3) = -9\hat{i} - 9\hat{j} + 9\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ.
$P(5, -4, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M$ એ $(5+\lambda, -4+\lambda, 3-\lambda)$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $(0, 2, -2)$ છે. સદિશ $\vec{QM} = (5+\lambda - 0)\hat{i} + (-4+\lambda - 2)\hat{j} + (3-\lambda + 2)\hat{k} = (5+\lambda)\hat{i} + (\lambda-6)\hat{j} + (5-\lambda)\hat{k}$.
કારણ કે $QM$ એ રેખાને લંબ છે,$\vec{QM} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$(5+\lambda)(1) + (\lambda-6)(1) + (5-\lambda)(-1) = 0 \implies 5+\lambda + \lambda-6 - 5+\lambda = 0 \implies 3\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = 2$.
બિંદુ $M$ એ $(5+2, -4+2, 3-2) = (7, -2, 1)$ છે.
અંતર $QM = \sqrt{(7-0)^2 + (-2-2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{49 + 16 + 9} = \sqrt{74}$.

(A) ધારો કે $\sin ^{-1} \alpha = A, \sin ^{-1} \beta = B, \sin ^{-1} \gamma = C$.
તેથી $A+B+C = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $\sin A = \alpha, \sin B = \beta, \sin C = \gamma$.
આપેલ સમીકરણ $(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma) = 3\alpha\beta$ છે.
આને $(\alpha+\beta)^2 - \gamma^2 = 3\alpha\beta$ તરીકે લખી શકાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta - \gamma^2 = 3\alpha\beta$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2 = \alpha\beta$ થાય.
$2\alpha\beta$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}{2\alpha\beta} = \frac{1}{2}$ મળે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2}{2\alpha\beta} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos C = \frac{1}{2}$ હોવાથી $C = \frac{\pi}{3}$ મળે.
આમ,$\gamma = \sin C = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(D) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 10 + 30 + 20 + 15 = 75$.
લખોટીઓ પાછી મૂકીને પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
પ્રથમ લાલ લખોટી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(R) = \frac{10}{75} = \frac{2}{15}$.
બીજી સફેદ લખોટી પસંદ કરવાની સંભાવના $P(W) = \frac{30}{75} = \frac{2}{5}$.
બંને ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના $= P(R) \times P(W) = \frac{2}{15} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{75}$.

(D) ધારો કે $g(x) = ax + b$. $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ થાય.
$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} = g(0) = b$.
લક્ષની ગણતરી કરતા: $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+x}{2+x}\right)} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\ln(1+x) - \ln(2+x))} = e^{-\infty} = 0$.
તેથી,$b = 0$,એટલે કે $g(x) = ax$.
$x > 0$ માટે,$f(x) = \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}}$. ધારો કે $y = f(x)$,તો $\ln y = \frac{1}{x} (\ln(1+x) - \ln(2+x))$.
$\frac{1}{y} f'(x) = -\frac{1}{x^2} (\ln(1+x) - \ln(2+x)) + \frac{1}{x} \left(\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2+x}\right)$.
$x = 1$ આગળ,$y = f(1) = \frac{2}{3}$.
$\frac{3}{2} f'(1) = -(\ln 2 - \ln 3) + 1 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{6}$.
$f'(1) = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{9} = -\frac{2}{3} \ln\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{1}{9}$.
આપેલ છે કે $f'(1) = f(-1) = g(-1) = -a$,તેથી $a = \frac{2}{3} \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{9}$.
$g(3) = 3a = 2 \ln\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{3} = \ln\left(\frac{4}{9 e^{1/3}}\right)$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $x=0$ મૂકીને $f(0)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| = 0(0-24) - 1(-4-0) + 1(8-0) = 4 + 8 = 12$.
હવે,નિશ્ચાયકના વિકલનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \left|\begin{array}{ccc} 3x^2 & 4x & 3 \\ 3x^2+2 & 2x & x^3+6 \\ x^3-x & 4 & x^2-2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x^3 & 2x^2+1 & 1+3x \\ 6x & 2 & 3x^2 \\ x^3-x & 4 & x^2-2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x^3 & 2x^2+1 & 1+3x \\ 3x^2+2 & 2x & x^3+6 \\ 3x^2-1 & 0 & 2x \end{array}\right|$.
હવે $x=0$ મૂકીને $f'(0)$ શોધીએ:
$f'(0) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right|$.
દરેક નિશ્ચાયકની કિંમત:
પ્રથમ: $3(8-0) = 24$.
બીજો: $0$ (કારણ કે પ્રથમ સ્તંભ શૂન્ય છે).
ત્રીજો: $-1(6-0) = -6$.
આમ,$f'(0) = 24 + 0 - 6 = 18$.
અંતે,$2f(0) + f'(0) = 2(12) + 18 = 24 + 18 = 42$.

(D) કુલ સફરજન = $3 + 15 = 18$.
આપણે $2$ સફરજન પસંદ કરીએ છીએ. $2$ સફરજન પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2} = 153$ છે.
ધારો કે $X$ એ સડેલા સફરજનની સંખ્યા છે. $X$ ની કિંમતો $0, 1, 2$ હોઈ શકે છે.
$P(X=0) = \frac{^{15}C_2}{^{18}C_2} = \frac{105}{153}$.
$P(X=1) = \frac{^{3}C_1 \times ^{15}C_1}{^{18}C_2} = \frac{3 \times 15}{153} = \frac{45}{153}$.
$P(X=2) = \frac{^{3}C_2}{^{18}C_2} = \frac{3}{153}$.
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{105}{153} + 1 \times \frac{45}{153} + 2 \times \frac{3}{153} = \frac{51}{153} = \frac{1}{3}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0^2 \times \frac{105}{153} + 1^2 \times \frac{45}{153} + 2^2 \times \frac{3}{153} = \frac{45 + 12}{153} = \frac{57}{153}$.
$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{57}{153} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{57}{153} - \frac{1}{9} = \frac{57}{153} - \frac{17}{153} = \frac{40}{153}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x \cdot (\cos x)^{\frac{11}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x (\cos x)^{\frac{13}{2}} \left(1 + (\cos x)^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} dx$.
ધારો કે $\cos x = t^2$,તેથી $-\sin x dx = 2t dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=0$.
$I = 2 \int_1^0 (t^2)^{\frac{13}{2}} (1 + (t^2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{2}} (-2t dt) = 4 \int_0^1 t^{13} (1 + t^5)^{\frac{1}{2}} t dt = 4 \int_0^1 t^{14} \sqrt{1+t^5} dt$.
ધારો કે $1+t^5 = k^2$,તેથી $5t^4 dt = 2k dk$. જ્યારે $t=0, k=1$; જ્યારે $t=1, k=\sqrt{2}$.
વળી $t^5 = k^2-1$,તેથી $t^{10} = (k^2-1)^2$.
$I = 4 \int_1^{\sqrt{2}} (k^2-1)^2 \cdot k \cdot \frac{2k}{5} dk = \frac{8}{5} \int_1^{\sqrt{2}} (k^6 - 2k^4 + k^2) dk$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{k^7}{7} - \frac{2k^5}{5} + \frac{k^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = \frac{8}{5} \left[ (\frac{8\sqrt{2}}{7} - \frac{8\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{2}}{3}) - (\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}) \right]$.
$I = \frac{8}{5} \left[ \frac{120\sqrt{2} - 168\sqrt{2} + 70\sqrt{2}}{105} - \frac{15 - 42 + 35}{105} \right] = \frac{8}{5} \left[ \frac{22\sqrt{2}}{105} - \frac{8}{105} \right] = \frac{176\sqrt{2} - 64}{525}$.
આમ,$525 I = 176\sqrt{2} - 64$.
$(n \sqrt{2}-64)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 176$ મળે છે.

(B) કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$f'(x) = (e^x-1)^{11}(2x-1)^5(x-2)^7(x-3)^{12}(2x-10)^{61}$.
સ્થાનિક બિંદુઓ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0, \frac{1}{2}, 2, 3, 5$ મળે છે.
આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
- $x=0$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની $+$ થી $-$ માં બદલાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x=0$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
- $x=\frac{1}{2}$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની $-$ થી $+$ માં બદલાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x=\frac{1}{2}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
- $x=2$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની $+$ થી $-$ માં બદલાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x=2$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.
- $x=3$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી (ઘાત $12$ છે),તેથી તે નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
- $x=5$ પર: $f'(x)$ ની નિશાની $-$ થી $+$ માં બદલાય છે,તેથી $f(x)$ ને $x=5$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યો $x=0$ અને $x=2$ પર મળે છે. તેથી,$p = 0^2 + 2^2 = 4$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો $x=\frac{1}{2}$ અને $x=5$ પર મળે છે. તેથી,$q = \frac{1}{2} + 5 = \frac{11}{2}$.
અંતે,$p^2 + 2q = 4^2 + 2(\frac{11}{2}) = 16 + 11 = 27$.

(D) રેખા $L_1$ એ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{0} = r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$Q = (r, r, 1)$.
$PQ \perp L_1$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PQ} = (r-a, r-a, 1-a)$ એ દિશા સદિશ $(1, 1, 0)$ ને લંબ છે.
$(r-a)(1) + (r-a)(1) + (1-a)(0) = 0 \implies 2(r-a) = 0 \implies r = a$. તેથી,$Q = (a, a, 1)$.
રેખા $L_2$ એ $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z+1}{0} = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$R = (k, -k, -1)$.
$PR \perp L_2$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PR} = (k-a, -k-a, -1-a)$ એ દિશા સદિશ $(1, -1, 0)$ ને લંબ છે.
$(k-a)(1) + (-k-a)(-1) + (-1-a)(0) = 0 \implies k-a + k+a = 0 \implies 2k = 0 \implies k = 0$. તેથી,$R = (0, 0, -1)$.
આપેલ છે કે $\angle QPR = 90^{\circ}$,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0$.
$\vec{PQ} = (a-a, a-a, 1-a) = (0, 0, 1-a)$.
$\vec{PR} = (0-a, 0-a, -1-a) = (-a, -a, -1-a)$.
$(0)(-a) + (0)(-a) + (1-a)(-1-a) = 0$.
$-(1-a)(1+a) = 0 \implies -(1-a^2) = 0 \implies a^2 = 1$.
તેથી,$12a^2 = 12(1) = 12$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{c} = 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}$.
$\vec{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 3|\vec{b}|^2$.
કારણ કે $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3|\vec{b}|^2 = -3(4)^2 = -48$.
વળી,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \alpha = 4|\vec{c}| \cos \alpha$.
તેથી,$4|\vec{c}| \cos \alpha = -48 \Rightarrow |\vec{c}| \cos \alpha = -12$.
હવે,$|\vec{c}|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$.
કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9(16) = 4|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin^2 \theta + 144$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 1 \cdot 4 \cdot \cos \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = 1/2 \Rightarrow \sin^2 \theta = 3/4$.
$|\vec{c}|^2 = 4(1)(16)(3/4) + 144 = 48 + 144 = 192$.
આપણને મળે છે $|\vec{c}|^2 \cos^2 \alpha = (-12)^2 = 144$.
$192 \cos^2 \alpha = 144 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 144/192 = 3/4$.
તેથી $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 3/4 = 1/4$.
આમ,$192 \sin^2 \alpha = 192 \times (1/4) = 48$.

(A) સામ્ય સંબંધ $S$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $R = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4)\}$.
$1$. સ્વવાચકતા: $S$ માં $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)$ હોવા જોઈએ.
$2$. સંમિતતા: $(1, 2) \in S$ હોવાથી $(2, 1) \in S$. $(2, 3) \in S$ હોવાથી $(3, 2) \in S$. $(1, 4) \in S$ હોવાથી $(4, 1) \in S$.
$3$. પરંપરિતતા: $(1, 2) \in S$ અને $(2, 3) \in S$ હોવાથી $(1, 3) \in S$. સંમિતતા મુજબ $(3, 1) \in S$.
અહીં બધા ઘટકો એક જ સામ્ય વર્ગમાં આવે છે,તેથી $S = A \times A$.
માટે,ઘટકોની સંખ્યા $n = 4 \times 4 = 16$.

(B) પ્રથમ,નોંધો કે $f(x) + f(1-x) = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4/4^x}{4/4^x+2} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{4}{4+2 \cdot 4^x} = \frac{4^x}{4^x+2} + \frac{2}{2+4^x} = \frac{4^x+2}{4^x+2} = 1.$
ધારો કે $M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx.$ ગુણધર્મ $\int_A^B g(x) dx = \int_A^B g(A+B-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અને $A+B = f(a) + f(1-a) = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} (1-x) \sin^4((1-x)(1-(1-x))) dx = \int_{f(a)}^{f(1-a)} (1-x) \sin^4((1-x)x) dx.$
આમ,$M = \int_{f(a)}^{f(1-a)} \sin^4(x(1-x)) dx - \int_{f(a)}^{f(1-a)} x \sin^4(x(1-x)) dx.$
આનો અર્થ એ થાય કે $M = N - M,$ જેનું સાદું રૂપ $2M = N$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\alpha M = \beta N,$ તેથી $\alpha M = \beta (2M),$ એટલે કે $\alpha = 2\beta.$
કારણ કે $\alpha, \beta \in N,$ સૌથી નાની કિંમતો $\beta = 1$ અને $\alpha = 2$ છે.
તેથી $\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ થાય.

(C) આપેલ છે $f(x) = \int_{-x}^{x} (|t| - t^2) e^{-t^2} dt$. સંકલ્ય યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$f(x) = 2 \int_{0}^{x} (t - t^2) e^{-t^2} dt$.
લેબનીઝના નિયમ મુજબ,$f'(x) = 2(x - x^2) e^{-x^2} = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$.
આપેલ છે $g(x) = \int_{0}^{x^2} t^{1/2} e^{-t} dt$. ધારો કે $t = u^2$,તો $dt = 2u du$. જ્યારે $t=0, u=0$ અને જ્યારે $t=x^2, u=x$.
તેથી,$g(x) = \int_{0}^{x} u e^{-u^2} (2u) du = 2 \int_{0}^{x} u^2 e^{-u^2} du$.
લેબનીઝના નિયમ મુજબ,$g'(x) = 2x^2 e^{-x^2}$.
હવે,$f'(x) + g'(x) = (2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}) + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$f(x) + g(x) = \int 2xe^{-x^2} dx = -e^{-x^2} + C$.
$f(0) = 0$ અને $g(0) = 0$ હોવાથી,$f(0) + g(0) = 0$,તેથી $C = 1$.
આમ,$f(x) + g(x) = 1 - e^{-x^2}$.
$x = \sqrt{\log_{e} 9}$ માટે,$x^2 = \log_{e} 9$.
તેથી $f(\sqrt{\log_{e} 9}) + g(\sqrt{\log_{e} 9}) = 1 - e^{-\log_{e} 9} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો $9$ ના ગુણાંકમાં લાગે છે. જો પ્રશ્ન $9(f+g)$ માંગતો હોય,તો જવાબ $8$ છે.

(B) ધારો કે $P = (2, 3, 5)$ અને $R = (\alpha, \beta, \gamma)$ એ રેખા $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ માં તેનું પ્રતિબિંબ છે.
ધારો કે $M$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે. કારણ કે $R$ એ રેખા $L$ માં $P$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી રેખાખંડ $PR$ એ રેખા $L$ ને લંબ છે.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 4)$ છે.
સદિશ $\vec{PR} = (\alpha - 2, \beta - 3, \gamma - 5)$ છે.
કારણ કે $\vec{PR} \perp \vec{v}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{PR} \cdot \vec{v} = 0$
$(\alpha - 2, \beta - 3, \gamma - 5) \cdot (2, 3, 4) = 0$
$2(\alpha - 2) + 3(\beta - 3) + 4(\gamma - 5) = 0$
$2\alpha - 4 + 3\beta - 9 + 4\gamma - 20 = 0$
$2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 4 + 9 + 20$
$2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 33$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dT}{dt} = -K(T-80)$.
ચલને અલગ કરીને સંકલન કરતા: $\int_{160}^{T} \frac{dT}{T-80} = \int_{0}^{t} -K dt$.
આથી મળે: $[ln |T-80|]_{160}^{T} = -Kt$.
$\ln |T-80| - \ln 80 = -Kt$.
$\ln \left| \frac{T-80}{80} \right| = -Kt$,જેનો અર્થ છે કે $T-80 = 80e^{-Kt}$,અથવા $T(t) = 80 + 80e^{-Kt}$.
આપેલ છે કે $T(15) = 120$,તેથી $120 = 80 + 80e^{-15K}$.
$40 = 80e^{-15K} \implies e^{-15K} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$.
આપણે $T(45) = 80 + 80e^{-45K}$ શોધવાનું છે.
$T(45) = 80 + 80(e^{-15K})^3$.
$e^{-15K} = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $T(45) = 80 + 80 \times (\frac{1}{2})^3$.
$T(45) = 80 + 80 \times \frac{1}{8} = 80 + 10 = 90^{\circ} F$.

(C) ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા બે વક્રોના છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ:
$y = 4x - x^2$ અને $3y = (x - 4)^2$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(4x - x^2) = (x - 4)^2$
$12x - 3x^2 = x^2 - 8x + 16$
$4x^2 - 20x + 16 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
$(x - 1)(x - 4) = 0$
તેથી,વક્રો $x = 1$ અને $x = 4$ પર છેદે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = 1$ થી $x = 4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_1^4 \left[ (4x - x^2) - \frac{(x - 4)^2}{3} \right] dx$
$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{(x - 4)^3}{9} \right]_1^4$
$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} - \frac{(4 - 4)^3}{9} \right) - \left( 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - \frac{(1 - 4)^3}{9} \right)$
$A = \left( 32 - \frac{64}{3} - 0 \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{-27}{9} \right)$
$A = \left( \frac{96 - 64}{3} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} + 3 \right)$
$A = \frac{32}{3} - \left( 5 - \frac{1}{3} \right) = \frac{32}{3} - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6$

(A) આપેલ છે કે $f(x) = e^{x^3-3x+1}$ જ્યાં $x \in (-\infty, -1]$.
વિકલન કરતા: $f'(x) = e^{x^3-3x+1} \cdot (3x^2-3) = 3e^{x^3-3x+1}(x-1)(x+1)$.
$x \in (-\infty, -1]$ માટે,$x+1 \leq 0$ અને $x-1 < 0$,તેથી $(x-1)(x+1) \geq 0$.
આમ,$f'(x) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ $(-\infty, -1]$ પર વધતું વિધેય છે.
વિધેય $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(a, b]$ છે.
$a = \lim_{x \to -\infty} f(x) = e^{-\infty} = 0$.
$b = f(-1) = e^{(-1)^3 - 3(-1) + 1} = e^{-1+3+1} = e^3$.
તેથી,$a=0$ અને $b=e^3$.
બિંદુ $P$ એ $(2b+4, a+2) = (2e^3+4, 0+2) = (2e^3+4, 2)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $Ax+By+C=0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,રેખા $x + e^{-3}y - 4 = 0$ છે,તેથી $A=1, B=e^{-3}, C=-4$.
$d = \frac{|1(2e^3+4) + e^{-3}(2) - 4|}{\sqrt{1^2 + (e^{-3})^2}} = \frac{|2e^3+4+2e^{-3}-4|}{\sqrt{1+e^{-6}}} = \frac{2e^3+2e^{-3}}{\sqrt{1+e^{-6}}}$.
$d = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\sqrt{\frac{e^6+1}{e^6}}} = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\frac{\sqrt{e^6+1}}{e^3}} = 2\sqrt{e^6+1}$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{-\left|\ln x\right|}$ છે,જ્યાં $x \in (0, \infty)$.
માનાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને આપણે વિધેયને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} e^{-(-\ln x)} = e^{\ln x} = x, & 0 < x < 1 \\ e^{-\ln x} = \frac{1}{x}, & x \geq 1 \end{cases}$
હવે,$x = 1$ આગળ સાતત્ય ચકાસીએ:
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$
$x = 1$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય: $f(1) = \frac{1}{1} = 1$
બધા લક્ષ સમાન હોવાથી,વિધેય તેના પ્રદેશમાં દરેક જગ્યાએ સતત છે. તેથી,$m = 0$.
હવે,$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસીએ:
ડાબી બાજુનું વિકલન: $f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x) \big|_{x=1} = 1$
જમણી બાજુનું વિકલન: $f'(1^+) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) \big|_{x=1} = -\frac{1}{x^2} \big|_{x=1} = -1$
$f'(1^-) \neq f'(1^+)$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી. તેથી,$n = 1$.
આમ,$m + n = 0 + 1 = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(\sin x) = x - 2n\pi$ જ્યાં $x \in [2n\pi - \frac{\pi}{2}, 2n\pi + \frac{\pi}{2}]$ છે.
$5$ રેડિયન એ $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ અંતરાલમાં હોવાથી,$a = \sin^{-1}(\sin 5) = 5 - 2\pi$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1}(\cos x) = 2n\pi - x$ જ્યાં $x \in [(2n-1)\pi, 2n\pi]$ છે.
$5$ રેડિયન એ $[\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં હોવાથી,$b = \cos^{-1}(\cos 5) = 2\pi - 5$ મળે.
હવે,$a^2 + b^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$a^2 + b^2 = (5 - 2\pi)^2 + (2\pi - 5)^2$
$= (5 - 2\pi)^2 + (5 - 2\pi)^2$
$= 2(5 - 2\pi)^2$
$= 2(25 - 20\pi + 4\pi^2)$
$= 50 - 40\pi + 8\pi^2$
$= 8\pi^2 - 40\pi + 50$.

(A) ધારો કે કાંટો મળવાની સંભાવના $P(T) = p$ છે. તો છાપ મળવાની સંભાવના $P(H) = 2p$ થાય.
$P(H) + P(T) = 1$ હોવાથી,$2p + p = 1$,એટલે કે $3p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(T) = \frac{1}{3}$ અને $P(H) = \frac{2}{3}$.
આપણે $3$ પ્રયત્નોમાં $2$ કાંટા અને $1$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે.
$2$ કાંટા અને $1$ છાપ ગોઠવવાની રીતો $\binom{3}{1} = 3$ છે (જેમ કે $TTH, THT, HTT$).
દરેક ગોઠવણી માટેની સંભાવના $P(T) \times P(T) \times P(H) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$ છે.
તેથી,કુલ સંભાવના $3 \times \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણો દર્શાવે છે કે સદિશો $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,$v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$,અને $v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ એ $A$ ના આઈગન સદિશો છે જે અનુરૂપ આઈગન કિંમતો $\lambda_1 = 2$,$\lambda_2 = 4$,અને $\lambda_3 = 2$ ધરાવે છે.
આ ત્રણ સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોવાથી,તેઓ $\mathbb{R}^3$ માટે આધાર (basis) બનાવે છે.
શ્રેણિક $A$ ને $A = PDP^{-1}$ તરીકે વિકર્ણીય કરી શકાય છે,જ્યાં $D = \text{diag}(2, 4, 2)$ અને $P$ એ $v_1, v_2, v_3$ સ્તંભો વાળો શ્રેણિક છે.
સમીકરણ સંહતિ $(A-3I)X = B$ છે. શ્રેણિક $(A-3I)$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_i - 3$ છે,જે $2-3 = -1$,$4-3 = 1$,અને $2-3 = -1$ છે.
$(A-3I)$ ના કોઈપણ આઈગન મૂલ્યો $0$ ન હોવાથી,નિશ્ચાયક $|A-3I| = (-1)(1)(-1) = 1 \neq 0$ થાય.
નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવાથી,શ્રેણિક $(A-3I)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે.
તેથી,સમીકરણ સંહતિ $(A-3I)X = B$ ને અનન્ય ઉકેલ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,રેખા $L_2$ નું સમીકરણ મેળવો. રેખા $L_2$ એ બિંદુઓ $A(-4, 4, 3)$ અને $B(-1, 6, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{AB} = (-1 - (-4), 6 - 4, 3 - 3) = (3, 2, 0)$ છે.
રેખા $L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{n_1} = (2, -3, 2)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{n_1} \times \vec{n_2})|}{ |\vec{n_1} \times \vec{n_2}| }$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{a_1} = (1, -1, -4)$ અને $\vec{a_2} = (-4, 4, 3)$ છે,તેથી $\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-5, 5, 7)$.
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 6\hat{j} + 13\hat{k}$.
તેથી,$|\vec{n_1} \times \vec{n_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 13^2} = \sqrt{221}$.
અંશનું મૂલ્ય $|(-5)(-4) + (5)(6) + (7)(13)| = |20 + 30 + 91| = 141$ છે.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{141}{\sqrt{221}}$ થાય.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x^2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)^2 \sin(\pi-x) \cos(\pi-x)}{\sin^4(\pi-x) + \cos^4(\pi-x)} dx = -\int_0^\pi \frac{(\pi^2 - 2\pi x + x^2) \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_0^\pi \frac{(2\pi x - \pi^2) \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$.
આને ઉકેલતા,$I = -\frac{\pi^2}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{\sin t \cos t}{\sin^4 t + \cos^4 t} dt$.
$u = \sin^2 t$ આદેશ લેતા,સંકલન $-\frac{\pi^3}{8}$ મળે છે.
માનાંક લેતા,$\left| -\frac{\pi^3}{8} \right| = \frac{\pi^3}{8}$.
અંતિમ જવાબ: $\frac{120}{\pi^3} \cdot \frac{\pi^3}{8} = 15$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $|A| = 2$.
શ્રેણિક $A$ ના $k$-મી વાર એડજોઈન્ટના નિશ્ચાયકનું સૂત્ર $\det(\operatorname{adj}^k(A)) = |A|^{(n-1)^k}$ છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n=3$ અને $k=2024$ છે.
તેથી,$n = |A|^{(3-1)^{2024}} = 2^{2^{2024}}$.
આપણે $2^{2^{2024}} \pmod{9}$ શોધવાની જરૂર છે.
ઓઈલરના ટોશિયન્ટ પ્રમેય મુજબ,$\phi(9) = 6$.
આપણે $2^{2024} \pmod{6}$ શોધીએ.
$2^{2024} \equiv 0 \pmod{2}$ અને $2^{2024} = 4^{1012} \equiv 1^{1012} \equiv 1 \pmod{3}$.
ચાઈનીઝ રિમેન્ડર થિયરમ દ્વારા,$2^{2024} \equiv 4 \pmod{6}$.
તેથી,$2^{2024} = 6k + 4$.
આમ,$n = 2^{6k+4} = (2^6)^k \cdot 2^4 = 64^k \cdot 16$.
$64 \equiv 1 \pmod{9}$ હોવાથી,$n \equiv 1^k \cdot 16 \equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}$.
તેથી,શેષ $7$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$.
પ્રથમ,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = 5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 7 \hat{i}-7 \hat{j}-7 \hat{k}$ મેળવો.
સમીકરણ $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 24 \hat{j}-6 \hat{k}$ આ મુજબ બનશે:
$(5 \hat{i}+\hat{j}+4 \hat{k}) \times \overrightarrow{c} = 2(7 \hat{i}-7 \hat{j}-7 \hat{k}) + 24 \hat{j}-6 \hat{k} = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
ધારો કે $\overrightarrow{c} = x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$. તો $\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 1 & 4 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
આનાથી આપણને મળે: $\hat{i}(z-4y) - \hat{j}(5z-4x) + \hat{k}(5y-x) = 14 \hat{i}+10 \hat{j}-20 \hat{k}$.
ઘટકોને સરખાવતા: $z-4y=14$,$4x-5z=10$,$5y-x=-20$.
વળી,$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i}) \cdot \overrightarrow{c} = -3$. કારણ કે $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\hat{i} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$,તેથી $2x+3y-2z=-3$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x=5, y=-3, z=2$ મળે છે.
તેથી,$|\overrightarrow{c}|^2 = 5^2 + (-3)^2 + 2^2 = 25+9+4 = 38$.

(D) રેખા $AB$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (16-4, -2-(-6), 4-(-2)) = (12, 4, 6)$ છે.
$AB$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 6^2}} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{144 + 16 + 36}} = \frac{(12, 4, 6)}{\sqrt{196}} = \frac{(12, 4, 6)}{14} = (\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7})$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(4, -6, -2)$ થી રેખા $AB$ પર $21$ એકમના અંતરે છે,તેથી $P = A + 21 \hat{u}$.
$P = (4, -6, -2) + 21(\frac{6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}) = (4 + 18, -6 + 6, -2 + 9) = (22, 0, 7)$.
અહીં $a=22, b=0, c=7$ છે,જે અ-ઋણ પૂર્ણાંકો છે.
$P(22, 0, 7)$ અને $Q(4, -12, 3)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(22-4)^2 + (0-(-12))^2 + (7-3)^2}$ છે.
$= \sqrt{18^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec^2 x dx + (e^{2y} \tan^2 x + \tan x) dy = 0$.
$dy$ વડે ભાગતા: $\sec^2 x \frac{dx}{dy} + e^{2y} \tan^2 x + \tan x = 0$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $\frac{dt}{dy} = \sec^2 x \frac{dx}{dy}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{dt}{dy} + t = -e^{2y} t^2$.
$t^2$ વડે ભાગતા: $t^{-2} \frac{dt}{dy} + t^{-1} = -e^{2y}$.
ધારો કે $u = t^{-1} = \frac{1}{\tan x}$,તો $\frac{du}{dy} = -t^{-2} \frac{dt}{dy}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{du}{dy} + u = -e^{2y}$,અથવા $\frac{du}{dy} - u = e^{2y}$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -1 dy} = e^{-y}$ છે.
ઉકેલ: $u e^{-y} = \int e^{2y} e^{-y} dy = \int e^y dy = e^y + C$.
તેથી,$\frac{1}{\tan x} e^{-y} = e^y + C$.
$y(\frac{\pi}{4}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{\tan(\pi/4)} e^0 = e^0 + C \Rightarrow 1 = 1 + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$\frac{1}{\tan x} e^{-y} = e^y \Rightarrow e^{2y} = \frac{1}{\tan x} = \cot x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$e^{2\alpha} = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.
તેથી,$e^{8\alpha} = (e^{2\alpha})^4 = (\sqrt{3})^4 = 9$.

(B) સંબંધ $R$ ને $(x, y) \in R \iff 2x = 3y$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે,જેનો અર્થ છે $y = \frac{2}{3}x$.
$x, y \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ હોવાથી,$x$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
ધારો કે $x = 3k$,તો $y = 2k$.
$1 \le 2k \le 100$ માટે,$k \le 50$.
$1 \le 3k \le 100$ માટે,$k \le 33$.
આમ,$k$ એ $1$ થી $33$ સુધીની કિંમતો લઈ શકે છે.
$R$ ના ઘટકો $\{(3, 2), (6, 4), (9, 6), \ldots, (99, 66)\}$ છે.
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(R) = 33$ છે.
$R_1$ એ સંમિત સંબંધ હોય અને $R \subset R_1$ હોય,તો દરેક $(x, y) \in R$ માટે,$(y, x)$ પણ $R_1$ માં હોવું જોઈએ.
$R$ સંમિત નથી (દા.ત.,$(3, 2) \in R$ પણ $(2, 3) \notin R$),તેથી આપણે બધા $(y, x)$ જોડાણોને $R_1$ માં ઉમેરવા પડશે.
આમ,$R_1 = R \cup R^{-1} = \{(3, 2), (6, 4), \ldots, (99, 66), (2, 3), (4, 6), \ldots, (66, 99)\}$.
$R_1$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = n(R) + n(R^{-1}) = 33 + 33 = 66$ છે.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે $2$ સફેદ અને $2$ કાળા દડા કાઢવામાં આવે છે. ધારો કે $H_i$ એ પૂર્વધારણા છે કે થેલીમાં $i$ સફેદ દડા અને $(8-i)$ કાળા દડા છે,જ્યાં $i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
દરેક રચના સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(H_i) = \frac{1}{9}$.
$H_i$ આપેલ હોય ત્યારે $2$ સફેદ અને $2$ કાળા દડા કાઢવાની સંભાવના $P(E|H_i) = \frac{{}^iC_2 \times {}^{8-i}C_2}{{}^8C_4}$ છે.
આપણે $P(H_4|E) = \frac{P(E|H_4)P(H_4)}{\sum_{i=0}^8 P(E|H_i)P(H_i)}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$P(H_i)$ અચળ હોવાથી,$P(H_4|E) = \frac{{}^4C_2 \times {}^4C_2}{\sum_{i=2}^6 {}^iC_2 \times {}^{8-i}C_2}$.
અંશની ગણતરી: ${}^4C_2 \times {}^4C_2 = 6 \times 6 = 36$.
છેદની ગણતરી:
$i=2: {}^2C_2 \times {}^6C_2 = 1 \times 15 = 15$
$i=3: {}^3C_2 \times {}^5C_2 = 3 \times 10 = 30$
$i=4: {}^4C_2 \times {}^4C_2 = 6 \times 6 = 36$
$i=5: {}^5C_2 \times {}^3C_2 = 10 \times 3 = 30$
$i=6: {}^6C_2 \times {}^2C_2 = 15 \times 1 = 15$
સરવાળો $= 15 + 30 + 36 + 30 + 15 = 126$.
$P(H_4|E) = \frac{36}{126} = \frac{2}{7}$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \, dx}{\sin^4(2x) + \cos^4(2x)}$.
$2x = t$ લેતા,$dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(t/2) \cdot (1/2) dt}{\sin^4 t + \cos^4 t} = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t \, dt}{\sin^4 t + \cos^4 t}$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(t) dt = \int_0^a f(a-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2} - t) dt}{\cos^4 t + \sin^4 t} = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{\sin^4 t + \cos^4 t} - I$.
તેથી,$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{\sin^4 t + \cos^4 t}$.
અંશ અને છેદને $\cos^4 t$ વડે ભાગતા:
$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec^4 t \, dt}{\tan^4 t + 1} = \frac{\pi}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1 + \tan^2 t) \sec^2 t \, dt}{\tan^4 t + 1}$.
$\tan t = y$ લેતા,$\sec^2 t \, dt = dy$:
$2I = \frac{\pi}{8} \int_0^{\infty} \frac{1 + y^2}{y^4 + 1} dy = \frac{\pi}{8} \int_0^{\infty} \frac{1 + 1/y^2}{y^2 + 1/y^2} dy$.
$y - 1/y = p$ લેતા,$(1 + 1/y^2) dy = dp$. સીમાઓ $-\infty$ થી $\infty$ બદલાય છે:
$2I = \frac{\pi}{8} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{p^2 + 2} = \frac{\pi}{8} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{p}{\sqrt{2}} \right) \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{\pi}{8\sqrt{2}} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi^2}{8\sqrt{2}}$.
તેથી,$I = \frac{\pi^2}{16\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi^2}{32}$.

(B) આપેલ છે કે $A=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$,તેથી $\operatorname{det}(A) = (\sqrt{2})(\sqrt{2}) - (1)(-1) = 2 + 1 = 3$.
આપેલ છે કે $B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $\operatorname{det}(B) = (1)(1) - (0)(1) = 1$.
$C = ABA^T$ હોવાથી,$C$ નો નિશ્ચાયક $\operatorname{det}(C) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) \cdot \operatorname{det}(A^T)$ થાય.
$\operatorname{det}(A^T) = \operatorname{det}(A)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{det}(C) = \operatorname{det}(A)^2 \cdot \operatorname{det}(B) = (3)^2 \cdot 1 = 9$.
હવે,આપણે $\operatorname{det}(X)$ શોધવાનું છે જ્યાં $X = A^T C^2 A$.
$\operatorname{det}(MN) = \operatorname{det}(M)\operatorname{det}(N)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{det}(X) = \operatorname{det}(A^T) \cdot \operatorname{det}(C^2) \cdot \operatorname{det}(A)$.
$\operatorname{det}(C^2) = (\operatorname{det}(C))^2$ હોવાથી,$\operatorname{det}(X) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(C))^2 \cdot \operatorname{det}(A) = (\operatorname{det}(A))^2 \cdot (\operatorname{det}(C))^2$.
કિંમતો મૂકતા,$\operatorname{det}(X) = (3)^2 \cdot (9)^2 = 9 \cdot 81 = 729$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}=-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i} = (\vec{a} \cdot \hat{i}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \hat{i}) \vec{a} = -5 \vec{b} - \vec{a}$.
કિંમતો મૂકતા:
$-5(\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}) - (-5 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) = -11 \hat{j} + 23 \hat{k}$.
હવે,$\vec{c} = ((-11 \hat{j} + 23 \hat{k}) \times \hat{i}) \times \hat{i} \times \hat{i}$.
ગણતરી કરતા $\vec{c} = 11 \hat{j} - 23 \hat{k}$ મળે છે.
તેથી,$\vec{c} \cdot(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = (11 \hat{j} - 23 \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 11 - 23 = -12$.

(C) આપેલ વક્રો $xy + 4y = 16$ અને $x + y = 6$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y(x + 4) = 16$,તેથી $y = \frac{16}{x + 4}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$y = 6 - x$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y$ ના બંને પદોને સરખાવતા:
$6 - x = \frac{16}{x + 4}$
$(6 - x)(x + 4) = 16$
$6x + 24 - x^2 - 4x = 16$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
$(x - 4)(x + 2) = 0$
તેથી,$x = 4$ અને $x = -2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -2$ થી $x = 4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-2}^{4} \left( (6 - x) - \frac{16}{x + 4} \right) dx$
$A = \left[ 6x - \frac{x^2}{2} - 16 \ln|x + 4| \right]_{-2}^{4}$
$A = \left( 6(4) - \frac{16}{2} - 16 \ln(8) \right) - \left( 6(-2) - \frac{4}{2} - 16 \ln(2) \right)$
$A = (24 - 8 - 16 \ln(2^3)) - (-12 - 2 - 16 \ln 2)$
$A = (16 - 48 \ln 2) - (-14 - 16 \ln 2)$
$A = 16 - 48 \ln 2 + 14 + 16 \ln 2$
$A = 30 - 32 \ln 2$

(B) આપણને $f(x) = \begin{cases} \ln x & x > 0 \\ e^{-x} & x \leq 0 \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ e^x & x < 0 \end{cases}$ આપેલ છે.
$(gof)(x) = g(f(x))$ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ માટેના કિસ્સાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ:
કિસ્સો $1$: $x \leq 0$. તો $f(x) = e^{-x}$. બધા $x$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,$g(f(x)) = f(x) = e^{-x}$.
કિસ્સો $2$: $x > 0$. તો $f(x) = \ln x$.
પેટા-કિસ્સો 2a: $0 < x < 1$. તો $f(x) = \ln x < 0$. તેથી $g(f(x)) = e^{f(x)} = e^{\ln x} = x$.
પેટા-કિસ્સો 2b: $x \geq 1$. તો $f(x) = \ln x \geq 0$. તેથી $g(f(x)) = f(x) = \ln x$.
આ બધાને જોડતા,$(gof)(x) = \begin{cases} e^{-x} & x \leq 0 \\ x & 0 < x < 1 \\ \ln x & x \geq 1 \end{cases}$.
એક-એક ચકાસતા: $x \leq 0$ માટે,$g(f(x)) = e^{-x} \in [1, \infty)$. $0 < x < 1$ માટે,$g(f(x)) = x \in (0, 1)$. $x \geq 1$ માટે,$g(f(x)) = \ln x \in [0, \infty)$.
$g(f(x))$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ હોવાથી,તે વ્યાપ્ત નથી (કારણ કે સહપ્રદેશ $R$ છે).
વધુમાં,$x \leq 0$ માટે,$g(f(x)) \geq 1$,અને $x \geq 1$ માટે,$g(f(x)) \geq 0$. વિસ્તારમાં એવી કિંમતો છે જે એક કરતા વધુ $x$ દ્વારા મળે છે,અને વિધેય એક-એક નથી. આમ,તે એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકનો ક્રમ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & \alpha & 3 \\ 3 & -1 & \beta \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = 0$ લેતા:
$2(\alpha\beta + 3) - 3(\beta - 9) - 1(-1 - 3\alpha) = 0$
$2\alpha\beta + 6 - 3\beta + 27 + 1 + 3\alpha = 0$
$2\alpha\beta + 3\alpha - 3\beta + 34 = 0$ (સમીકરણ $1$)
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવાથી,સમતલો સુરેખ રીતે આધારિત હોવા જોઈએ. આપણે ત્રીજા સમીકરણને પ્રથમ બે સમીકરણોના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકીએ: $L_3 = c_1 L_1 + c_2 L_2$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2c_1 + c_2 = 3$
$3c_1 + c_2\alpha = -1$
$-c_1 + 3c_2 = \beta$
$5c_1 - 4c_2 = 7$
પ્રથમ અને છેલ્લા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $c_1$ અને $c_2$ માટે ઉકેલતા:
$c_2 = 3 - 2c_1$
$5c_1 - 4(3 - 2c_1) = 7 \implies 5c_1 - 12 + 8c_1 = 7 \implies 13c_1 = 19 \implies c_1 = \frac{19}{13}$
$c_2 = 3 - 2(\frac{19}{13}) = \frac{39 - 38}{13} = \frac{1}{13}$
$c_1$ અને $c_2$ ની કિંમતો અન્ય સમીકરણોમાં મૂકતા:
$3(\frac{19}{13}) + \alpha(\frac{1}{13}) = -1 \implies 57 + \alpha = -13 \implies \alpha = -70$
$-(\frac{19}{13}) + 3(\frac{1}{13}) = \beta \implies \beta = \frac{-16}{13}$
અંતે,$13\alpha\beta = 13(-70)(\frac{-16}{13}) = 70 \times 16 = 1120$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=2 x(x+y)^3-x(x+y)-1$ છે.
ધારો કે $t = x+y$,તેથી $\frac{d t}{d x} = 1 + \frac{d y}{d x}$,એટલે કે $\frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} - 1$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{d t}{d x} - 1 = 2xt^3 - xt - 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d t}{d x} = x(2t^3 - t)$ થાય છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{d t}{2t^3 - t} = x dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{t(2t^2 - 1)} = \frac{-1}{t} + \frac{2t}{2t^2 - 1}$.
સંકલન કરતા: $\int (\frac{2t}{2t^2 - 1} - \frac{1}{t}) dt = \int x dx$.
$\frac{1}{2} \ln|2t^2 - 1| - \ln|t| = \frac{x^2}{2} + C$.
$x=0, y=1$ માટે $t=1$,તેથી $C=0$.
$\ln|\frac{\sqrt{2t^2 - 1}}{t}| = \frac{x^2}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = e^{x^2}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે $x^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{2t^2 - 1}{t^2} = \sqrt{e}$.
$2t^2 - 1 = t^2 \sqrt{e} \implies t^2(2 - \sqrt{e}) = 1 \implies t^2 = \frac{1}{2 - \sqrt{e}}$.

(D) $f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(1^-) = f(1) = f(1^+)$ હોવું જોઈએ.
$f(1) = 1^2 + c(1) + 2 = 3+c$.
$f(1^+) = \lim_{h \rightarrow 0} [2(1+h)+1] = 3$.
તેથી,$3+c = 3 \implies c = 0$.
$f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$f(0^-) = f(0) = f(0^+)$ હોવું જોઈએ.
$f(0) = 0^2 + 0(0) + 2 = 2$.
$f(0^-) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a-b \cos 2h}{h^2} = 2$.
વિસ્તરણ $\cos 2h = 1 - 2h^2 + \frac{2}{3}h^4 - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(a-b) + 2bh^2 - \frac{2b}{3}h^4}{h^2} = 2$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$a-b=0 \implies a=b$. પછી $2b = 2 \implies b=1$. તેથી $a=1$.
હવે $x=0$ આગળ વિકલનીયતા તપાસતા:
$LHD = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = 0$.
$RHD = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 0$.
$LHD = RHD$ હોવાથી,$f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.
$x=1$ આગળ,$LHD = 2$ અને $RHD = 2$ છે,તેથી તે ત્યાં પણ વિકલનીય છે.
આમ,$m=0$. તેથી,$m+a+b+c = 0+1+1+0 = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $5 f(x)+4 f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2-2$ ....$(1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ ને બદલે $\frac{1}{x}$ મૂકતા:
$5 f\left(\frac{1}{x}\right)+4 f(x)=\frac{1}{x^2}-2$ ....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને $(2)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$25 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=5x^2-10$
$16 f(x)+20 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{4}{x^2}-8$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$9 f(x) = 5x^2 - 10 - \frac{4}{x^2} + 8 = 5x^2 - 2 - \frac{4}{x^2}$
આપેલ છે કે $y = 9x^2 f(x)$,તેથી $9 f(x)$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = x^2 \left(5x^2 - 2 - \frac{4}{x^2}\right) = 5x^4 - 2x^2 - 4$
$y$ ક્યાં ચુસ્ત રીતે વધે છે તે શોધવા માટે,વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 20x^3 - 4x = 4x(5x^2 - 1)$
ચુસ્ત રીતે વધવા માટે,$\frac{dy}{dx} > 0$:
$4x(\sqrt{5}x - 1)(\sqrt{5}x + 1) > 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -\frac{1}{\sqrt{5}}, 0, \frac{1}{\sqrt{5}}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,આપણને મળે છે કે $\frac{dy}{dx} > 0$ માટે $x \in \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \infty\right)$.

(B) રેખાઓ $L_1: \frac{x-\lambda}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$ અને $L_2: \frac{x-\sqrt{3}}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$ છે.
પસાર થતા બિંદુઓ $A = (\lambda, 2, 1)$ અને $B = (\sqrt{3}, 1, 2)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{v_1} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{v_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ મળે છે.
તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{B}-\vec{A}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{B}-\vec{A} = (\sqrt{3}-\lambda)\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$d = \frac{|3(\sqrt{3}-\lambda) - 3 + 3|}{3\sqrt{3}} = \frac{|\sqrt{3}-\lambda|}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
$d = 1$ આપેલ હોવાથી,$|\sqrt{3}-\lambda| = \sqrt{3}$ થાય.
તેથી,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = 2\sqrt{3}$ મળે છે.
$\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $0 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ થાય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$.
તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ માં ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{2x + (t+1)^4}{t+1} = \frac{2x}{t+1} + (t+1)^3$.
$\frac{dx}{dt} - \frac{2}{t+1}x = (t+1)^3$.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\frac{2}{t+1} dt} = e^{-2 \ln(t+1)} = (t+1)^{-2} = \frac{1}{(t+1)^2}$.
બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા:
$\frac{d}{dt} \left( \frac{x}{(t+1)^2} \right) = (t+1)^3 \cdot \frac{1}{(t+1)^2} = (t+1)$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\frac{x}{(t+1)^2} = \int (t+1) dt = \frac{(t+1)^2}{2} + C$.
પ્રારંભિક શરત $x(0) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{(0+1)^2} = \frac{(0+1)^2}{2} + C \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$.
તેથી,ઉકેલ $x = \frac{(t+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(t+1)^2$ મળે છે.
$t=1$ માટે:
$x(1) = \frac{(1+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(1+1)^2 = \frac{16}{2} + \frac{3}{2}(4) = 8 + 6 = 14$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} \, dx$ $(1)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x \cdot e^{\sin x}}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} \, dx$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{1+\sin ^4 x} \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \cos x}{1+\sin ^4 x} \, dx$
$I = \int_{0}^{1} \frac{8 \sqrt{2}}{1+t^4} \, dt$ (જ્યાં $\sin x = t$)
આ સંકલન ઉકેલતા આપણને મળે છે $I = 2\pi + 2 \ln (3+2\sqrt{2})$
તેથી,$\alpha = 2$ અને $\beta = 2$.
પરિણામે,$\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 + 2^2 = 8$.