JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $^{n-1}C_r = (k^2 - 8) ^nC_{r+1}$
सर्वसमिका $^{n}C_{r+1} = \frac{n}{r+1} ^{n-1}C_r$ का उपयोग करने पर:
$^{n-1}C_r = (k^2 - 8) \cdot \frac{n}{r+1} ^{n-1}C_r$
चूँकि $^{n-1}C_r \neq 0$,हमें प्राप्त होता है:
$1 = (k^2 - 8) \frac{n}{r+1} \Rightarrow \frac{r+1}{n} = k^2 - 8$
चूँकि $0 \leq r+1 \leq n$,इसलिए $0 < \frac{r+1}{n} \leq 1$ होता है।
अतः,$0 < k^2 - 8 \leq 1$.
$k^2 - 8 > 0$ को हल करने पर $k^2 > 8$ प्राप्त होता है,अर्थात $k > 2\sqrt{2}$ या $k < -2\sqrt{2}$।
$k^2 - 8 \leq 1$ को हल करने पर $k^2 \leq 9$ प्राप्त होता है,अर्थात $-3 \leq k \leq 3$।
इन दोनों को मिलाने पर,धनात्मक $k$ के लिए,हमें $2\sqrt{2} < k \leq 3$ प्राप्त होता है।

(A) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में सभी गुणांकों का योग $x=1$ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।
$A$ के लिए,$(1-3x+10x^2)^n$ में गुणांकों का योग:
$A = (1-3(1)+10(1)^2)^n = (1-3+10)^n = 8^n$.
$B$ के लिए,$(1+x^2)^n$ में गुणांकों का योग:
$B = (1+(1)^2)^n = (1+1)^n = 2^n$.
अब,$A$ को $B$ के पदों में व्यक्त करें:
$A = 8^n = (2^3)^n = (2^n)^3$.
चूंकि $B = 2^n$,इसलिए:
$A = B^3$.

(C) पहली श्रेणी $4, 9, 14, 19, \ldots$ है,जहाँ $a_1 = 4$ और $d_1 = 5$ है। $25$ वाँ पद $T_{25} = 4 + (25-1)5 = 124$ है।
दूसरी श्रेणी $3, 6, 9, 12, \ldots$ है,जहाँ $a_2 = 3$ और $d_2 = 3$ है। $37$ वाँ पद $T_{37} = 3 + (37-1)3 = 111$ है।
उभयनिष्ठ पद दोनों श्रेणियों में होने चाहिए। पहला उभयनिष्ठ पद $9$ है।
उभयनिष्ठ पदों की नई श्रेणी का सार्व अंतर $\text{LCM}(5, 3) = 15$ है।
माना उभयनिष्ठ पद $a_n = 9 + (n-1)15$ हैं। हमें $a_n \le 111$ चाहिए।
$9 + (n-1)15 \le 111 \implies (n-1)15 \le 102 \implies n-1 \le 6.8 \implies n \le 7.8$.
अतः,उभयनिष्ठ पदों की संख्या $7$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2=4x$ है,अतः $a=1$ है। परवलय के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-8)^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $C(2, 8)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
न्यूनतम दूरी के लिए अभिलंब केंद्र से गुजरना चाहिए। $8 = -2t + 2t + t^3$ $\Rightarrow t^3 = 8$ $\Rightarrow t=2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(4, 4)$ प्राप्त होता है। दूरी $PC = \sqrt{(4-2)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{20}$ है।
अतः $d^2 = 20$।

(A) माना $z = x + iy$ है। दिए गए समीकरण $|z - i| = |z + i| = |z - 1|$ हैं।
ये सम्मिश्र तल में एक बिंदु $z$ की बिंदुओं $A(1, 0)$,$B(0, 1)$,और $C(0, -1)$ से दूरियों को दर्शाते हैं।
$|z - i| = |z + i|$ के लिए,बिंदु $z$ को $i$ और $-i$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए,जो कि वास्तविक अक्ष $(y = 0)$ है।
$|z - i| = |z - 1|$ के लिए,बिंदु $z$ को $i$ और $1$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
चूँकि $A, B, C$ एक त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए केवल एक ही बिंदु (परिकेंद्र) ऐसा होता है जो तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है।
अतः,$n(S) = 1$।

(C) बिंदु $(0, 0), (1, 0)$ और $(0, 1)$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर समकोण बनाने वाला एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
चूंकि ये तीनों बिंदु एक वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $(1, 0)$ और $(0, 1)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास होगा।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
$(1, 0)$ और $(0, 1)$ को व्यास के अंत बिंदुओं के रूप में लेने पर:
$(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$
बिंदु $(2k, 3k)$ इस वृत्त पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0$
$4k^2 + 9k^2 - 5k = 0$
$13k^2 - 5k = 0$
$k(13k - 5) = 0$
इससे $k = 0$ या $k = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु भिन्न हैं,इसलिए $k = 0$ संभव नहीं है (क्योंकि यह बिंदु $(0, 0)$ देता है,जो पहले से ही दिया गया है)। अतः,$k = \frac{5}{13}$।

(B) दिया गया है $\sum_{k=1}^{10} a_k = 50$ और $\sum_{k < j} a_k a_j = 1100$।
हम जानते हैं कि $(\sum_{i=1}^{10} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2 \sum_{k < j} a_k a_j$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(50)^2 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2(1100)$।
$2500 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2200$।
$\sum_{i=1}^{10} a_i^2 = 2500 - 2200 = 300$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum a_i^2 - (\bar{a})^2$,जहाँ $\bar{a} = \frac{\sum a_i}{n} = \frac{50}{10} = 5$।
$\sigma^2 = \frac{300}{10} - (5)^2 = 30 - 25 = 5$।
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{5}$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है।
यहाँ $a^2=25, b^2=16$ और $(x_1, y_1) = (1, \frac{2}{5})$ है।
$T=S_1$ का उपयोग करने पर,जीवा का समीकरण $\frac{x}{25}+\frac{y}{40} = -\frac{19}{20}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण और दीर्घवृत्त के समीकरण को हल करने पर,जीवा की लंबाई $\frac{\sqrt{1691}}{5}$ प्राप्त होती है।

(D) रेखा $4x + 5y = 20$ अक्षों को $P(5, 0)$ और $Q(0, 4)$ पर काटती है।
माना समत्रिभाजन बिंदु $A$ और $B$ हैं ताकि $PA = AB = BQ$ हो।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$A$ के निर्देशांक $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करते हैं:
$A = \left( \frac{1(0) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(4) + 2(0)}{1+2} \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{4}{3} \right)$.
$B$ के निर्देशांक $PQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करते हैं:
$B = \left( \frac{2(0) + 1(5)}{2+1}, \frac{2(4) + 1(0)}{2+1} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{8}{3} \right)$.
रेखा $OA$ की ढाल $(m_1)$ = $\frac{4/3}{10/3} = \frac{2}{5}$.
रेखा $OB$ की ढाल $(m_2)$ = $\frac{8/3}{5/3} = \frac{8}{5}$.
$L_1$ और $L_2$ के बीच के कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta$:
$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{8}{5} - \frac{2}{5}}{1 + (\frac{8}{5})(\frac{2}{5})} \right| = \frac{30}{41}$.

(B) के लिए: $a = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2}}{x^4} \times \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^4}-1}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2})} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{x^4(\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}+\sqrt{2})(\sqrt{1+x^4}+1)} = \frac{1}{(2\sqrt{2})(2)} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$.
$b$ के लिए: $b = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos^2 x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{2-(1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x} = \lim_{x \rightarrow 0} (1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x}) = (1+1)(\sqrt{2}+\sqrt{2}) = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
$ab^3$ की गणना: $ab^3 = \frac{1}{4\sqrt{2}} \times (4\sqrt{2})^3 = \frac{1}{4\sqrt{2}} \times 64 \times 2\sqrt{2} = \frac{128\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 32$.

(A) दी गई श्रेणी एक अंकगणितीय-ज्यामितीय प्रगति $(AGP)$ है,जिसका रूप $\sum_{n=0}^{\infty} (a + np)r^n$ है,जहाँ $a = 3$,$d = p$,और $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत $AGP$ का योग $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$8 = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} + \frac{p \cdot \frac{1}{4}}{(1 - \frac{1}{4})^2}$
$8 = 4 + \frac{4p}{9}$
$4 = \frac{4p}{9}$
$p = 9$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + a \sin x = 2a - 7$
$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर: $1 - 2 \sin^2 x + a \sin x = 2a - 7$
$2 \sin^2 x - a \sin x + 2a - 8 = 0$
$2(\sin^2 x - 4) - a(\sin x - 2) = 0$
$(\sin x - 2)(2 \sin x + 4 - a) = 0$
चूंकि $\sin x \neq 2$,इसलिए $a = 2 \sin x + 4$ होगा।
$-1 \leq \sin x \leq 1$ के लिए,$a \in [2, 6]$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = 2$ और $q = 6$ है।
अब,$r = \tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ} - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ}) = \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$।
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ रखने पर,$r = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$pqr = 2 \times 6 \times 4 = 48$।

(B) दिया गया है $x^2+x+1=0$,इसके मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं। मान लीजिए $\alpha = \omega$.
चूंकि $1+\omega+\omega^2=0$,इसलिए $1+\omega = -\omega^2$.
तब $(1+\alpha)^7 = (1+\omega)^7 = (-\omega^2)^7 = -\omega^{14} = -\omega^2$.
$1+\omega+\omega^2=0$ का उपयोग करने पर,$-\omega^2 = 1+\omega$.
$1+\omega$ की तुलना $A+B\alpha+C\alpha^2 = A+B\omega+C\omega^2$ से करने पर,हमें $A=1, B=1, C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$5(3A-2B-C) = 5(3(1)-2(1)-0) = 5(3-2) = 5(1) = 5$.

(B) मान लीजिए $P = (a^2, a+1)$ है।
रेखा $L_1: 3x-y+1=0$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $L_1(0,0) = 3(0)-0+1 = 1 > 0$ है।
चूंकि $P$ मूल बिंदु के समान ओर स्थित है,इसलिए $L_1(a^2, a+1) > 0$ होगा।
$3(a^2) - (a+1) + 1 > 0$ $\Rightarrow 3a^2 - a > 0$ $\Rightarrow a(3a-1) > 0$।
अतः,$a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, \infty) \dots (i)$।
रेखा $L_2: x+2y-5=0$ के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ पर $L_2(0,0) = 0+2(0)-5 = -5 < 0$ है।
चूंकि $P$ मूल बिंदु के समान ओर स्थित है,इसलिए $L_2(a^2, a+1) < 0$ होगा।
$a^2 + 2(a+1) - 5 < 0$ $\Rightarrow a^2 + 2a - 3 < 0$ $\Rightarrow (a+3)(a-1) < 0$।
अतः,$a \in (-3, 1) \dots (ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$a \in (-3, 0) \cup (\frac{1}{3}, 1)$।

(C) दी गई श्रेणी एक $A.P.$ है जिसका प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = 19 \frac{1}{4} - 20 = -\frac{3}{4}$ है।
अंत से $n$ वां पद ज्ञात करने के लिए,हम $A.P.$ को उल्टा कर सकते हैं।
नई $A.P.$ $-129 \frac{1}{4}$ से शुरू होती है और इसका सार्व अंतर $d' = -d = \frac{3}{4}$ है।
अंत से $n$ वां पद $a_n = a_{last} + (n-1)d'$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$a_{last} = -129 \frac{1}{4} = -\frac{517}{4}$,$n = 20$,और $d' = \frac{3}{4}$ है।
$a_{20} = -\frac{517}{4} + (20-1) \times \frac{3}{4}$
$a_{20} = -\frac{517}{4} + 19 \times \frac{3}{4}$
$a_{20} = \frac{-517 + 57}{4} = \frac{-460}{4} = -115$.

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3+\alpha \sin x+\beta \cos x+\log _e(1-x)}{3 \tan ^2 x}=\frac{1}{3}$।
$\sin x$,$\cos x$,और $\log _e(1-x)$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$
$\log _e(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$
अंश में मान रखने पर:
$3 + \alpha(x - \frac{x^3}{6}) + \beta(1 - \frac{x^2}{2}) + (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}) = (3+\beta) + (\alpha-1)x - (\frac{\beta+1}{2})x^2 + \dots$
सीमा के अस्तित्व के लिए $x^0$ और $x^1$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$3+\beta = 0 \Rightarrow \beta = -3$
$\alpha-1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$
अतः,$2\alpha - \beta = 2(1) - (-3) = 2 + 3 = 5$।

(B) दिए गए समीकरण $x^2-x-1=0$ के लिए,मूल $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $\alpha^2 = \alpha + 1$ और $\beta^2 = \beta + 1$ को संतुष्ट करते हैं।
दिया गया है $S_n = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n$।
$S_{n-1} + S_{n-2} = (2023 \alpha^{n-1} + 2024 \beta^{n-1}) + (2023 \alpha^{n-2} + 2024 \beta^{n-2})$ पर विचार करें।
$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha + 1) + 2024 \beta^{n-2}(\beta + 1)$।
चूंकि $\alpha + 1 = \alpha^2$ और $\beta + 1 = \beta^2$,इसलिए:
$= 2023 \alpha^{n-2}(\alpha^2) + 2024 \beta^{n-2}(\beta^2) = 2023 \alpha^n + 2024 \beta^n = S_n$।
अतः,$S_n = S_{n-1} + S_{n-2}$।
$n=12$ रखने पर,हमें $S_{12} = S_{11} + S_{10}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि समुच्चय $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^m$ है और समुच्चय $B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2^m - 2^n = 56$.
$2^n(2^{m-n} - 1) = 56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7$.
$2$ की घातों की तुलना करने पर,$2^n = 2^3$,जिसका अर्थ है $n = 3$.
साथ ही,$2^{m-n} - 1 = 7$,इसलिए $2^{m-n} = 8 = 2^3$.
अतः,$m - n = 3$,और $n = 3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m = 6$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(6, 3)$ और $Q(-2, -3)$ हैं।
दूरी $PQ = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $2 \tan ^2 \theta - 5 \sec \theta = 1$.
$\tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,$2(\sec ^2 \theta - 1) - 5 \sec \theta - 1 = 0$.
$2 \sec ^2 \theta - 5 \sec \theta - 3 = 0$.
$(2 \sec \theta + 1)(\sec \theta - 3) = 0$.
$\sec \theta = -\frac{1}{2}$ संभव नहीं है,इसलिए $\sec \theta = 3$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{3}$.
$[0, 2\pi]$ अंतराल में $\cos \theta = \frac{1}{3}$ के लिए $2$ हल हैं.
$7$ हलों के लिए,$n = 13$ प्राप्त होता है.
हमें $S = \sum_{k=1}^{13} \frac{k}{2^k}$ की गणना करनी है.
$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \dots + \frac{13}{2^{13}}$.
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{12}{2^{13}} + \frac{13}{2^{14}}$.
घटाने पर $\frac{S}{2} = 1 - \frac{15}{2^{14}}$ प्राप्त होता है.
अतः $S = 2 - \frac{15}{2^{13}} = \frac{2^{14} - 15}{2^{13}}$.

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=9$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1+\frac{9}{16}} = \frac{5}{4}$ है।
$e_1 e_2 = 1$ दिया गया है,इसलिए $e_2 = \frac{4}{5}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $(\pm 5, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a=5$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$e_2^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow \frac{16}{25} = 1 - \frac{b^2}{25}$ $\Rightarrow b^2 = 9$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ है।
$y=2$ रखने पर,$\frac{x^2}{25} + \frac{4}{9} = 1$ $\Rightarrow x^2 = \frac{125}{9}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{5 \sqrt{5}}{3}$ प्राप्त होता है।
जीवा की लंबाई $\frac{5 \sqrt{5}}{3} - (-\frac{5 \sqrt{5}}{3}) = \frac{10 \sqrt{5}}{3}$ है।

(C) दिया गया है $\alpha = \frac{(4!)!}{(4!)^{3!}} = \frac{24!}{(24)^6}$ और $\beta = \frac{(5!)!}{(5!)^{4!}} = \frac{120!}{(120)^{24}}$.
$n$ भिन्न वस्तुओं को $m$ आकार के $k$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या (जहाँ $n = km$) $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ द्वारा दी जाती है।
$\alpha$ के लिए,$n=24, m=4, k=6$ है। तरीकों की संख्या $\frac{24!}{(4!)^6 \cdot 6!} = K_1$ है,जहाँ $K_1 \in N$ है।
अतः,$\alpha = K_1 \cdot 6!$ है। चूंकि $K_1$ और $6!$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\alpha \in N$ है।
$\beta$ के लिए,$n=120, m=5, k=24$ है। तरीकों की संख्या $\frac{120!}{(5!)^{24} \cdot 24!} = K_2$ है,जहाँ $K_2 \in N$ है।
अतः,$\beta = K_2 \cdot 24!$ है। चूंकि $K_2$ और $24!$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\beta \in N$ है।
अतः,$\alpha$ और $\beta$ दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

(A) माना गलत माध्य $\mu^{\prime}$ और मानक विचलन $\sigma^{\prime}$ है।
हमारे पास $\mu^{\prime} = \frac{\Sigma x_i}{15} = 12 \Rightarrow \Sigma x_i = 180$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,सही $\Sigma x_i = 180 - 10 + 12 = 182$ है।
$\mu = \frac{182}{15}$।
साथ ही,$\sigma^{\prime} = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{15} - (12)^2} = 3$ $\Rightarrow \frac{\Sigma x_i^2}{15} - 144 = 9$ $\Rightarrow \Sigma x_i^2 = 15 \times 153 = 2295$ है।
सही $\Sigma x_i^2 = 2295 - 10^2 + 12^2 = 2295 - 100 + 144 = 2339$ है।
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2 = \frac{2339}{15} - \left(\frac{182}{15}\right)^2$ है।
हमें $15(\mu + \mu^2 + \sigma^2)$ का मान ज्ञात करना है।
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$15(\mu + \mu^2 + \frac{\Sigma x_i^2}{15} - \mu^2) = 15(\mu + \frac{\Sigma x_i^2}{15}) = 15\mu + \Sigma x_i^2$ है।
$= 15 \times \frac{182}{15} + 2339 = 182 + 2339 = 2521$।

(D) तीन रेखाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं यदि वे संगामी हों या उनमें से कोई भी दो रेखाएँ समांतर हों।
स्थिति-$1$: रेखाएँ संगामी हैं।
संगामी होने की शर्त यह है कि गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 6 & 3 & 1 \\ \alpha & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
$2(-6 - 2) - (-1)(-12 - \alpha) + 3(12 - 3\alpha) = 0$
$-16 - 12 - \alpha + 36 - 9\alpha = 0$
$8 - 10\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{4}{5}$.
स्थिति-$2$: दो रेखाएँ समांतर हैं।
रेखा $L_1: 2x - y + 3 = 0$ (ढाल $m_1 = 2$)
रेखा $L_2: 6x + 3y + 1 = 0$ (ढाल $m_2 = -2$)
रेखा $L_3: \alpha x + 2y - 2 = 0$ (ढाल $m_3 = -\frac{\alpha}{2}$)
$L_3$,$L_1$ के समांतर है यदि $-\frac{\alpha}{2} = 2 \Rightarrow \alpha = -4$.
$L_3$,$L_2$ के समांतर है यदि $-\frac{\alpha}{2} = -2 \Rightarrow \alpha = 4$.
$\alpha$ के मान $\frac{4}{5}, 4, -4$ हैं।
वर्गों का योग $p = (\frac{4}{5})^2 + (4)^2 + (-4)^2 = \frac{16}{25} + 16 + 16 = 32.64$.
$p$ से छोटा या उसके बराबर का महत्तम पूर्णांक $[32.64] = 32$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $(1-x)^{2008}(1+x+x^2)^{2007}$
$= (1-x)(1-x)^{2007}(1+x+x^2)^{2007}$
$= (1-x)[(1-x)(1+x+x^2)]^{2007}$
$= (1-x)(1-x^3)^{2007}$
$= (1-x) \sum_{r=0}^{2007} {}^{2007}C_r (-x^3)^r$
$= \sum_{r=0}^{2007} (-1)^r {}^{2007}C_r x^{3r} - \sum_{r=0}^{2007} (-1)^r {}^{2007}C_r x^{3r+1}$
$x^{2012}$ के गुणांक के लिए:
स्थिति $1$: $3r = 2012 \implies r = \frac{2012}{3}$ (पूर्णांक नहीं है)
स्थिति $2$: $3r+1 = 2012 \implies 3r = 2011 \implies r = \frac{2011}{3}$ (पूर्णांक नहीं है)
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $x^{2012}$ वाला कोई पद नहीं है।
अतः,$x^{2012}$ का गुणांक $0$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=50$ है,अतः केंद्र $C(\alpha, \beta)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x+y=0$ को बिंदु $P$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $C(\alpha, \beta)$ से रेखा $x+y=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{2}}$.
$d = r$ रखने पर,हमें $\frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$|\alpha+\beta| = 5 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 10$.
चूंकि $\alpha, \beta > 0$,इसलिए $\alpha+\beta = 10$ है।
अतः,$(\alpha+\beta)^2 = 10^2 = 100$.

(B) दिया गया है कि $|z-z_0|^2=4$ और $\alpha$ इस पर स्थित है,इसलिए $|\alpha-z_0|^2=4$.
$(\alpha-z_0)(\bar{\alpha}-\bar{z}_0)=4 \Rightarrow |\alpha|^2 - \alpha\bar{z}_0 - \bar{\alpha}z_0 + |z_0|^2 = 4$.
चूँकि $z_0 = 1+i$,$|z_0|^2 = 1^2+1^2 = 2$.
अतः,$|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 4 - 2 = 2$ ... $(i)$.
दिया गया है कि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ वृत्त $|z-z_0|^2=16$ पर स्थित है,इसलिए $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=16$.
$|\frac{1-\bar{\alpha}z_0}{\bar{\alpha}}|^2 = 16 \Rightarrow \frac{|1-\bar{\alpha}z_0|^2}{|\alpha|^2} = 16$.
$|1-\bar{\alpha}z_0|^2 = 16|\alpha|^2 \Rightarrow (1-\bar{\alpha}z_0)(1-\alpha\bar{z}_0) = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + |\alpha|^2|z_0|^2 = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) + 2|\alpha|^2 = 16|\alpha|^2$.
$1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0) = 14|\alpha|^2$ ... $(ii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$(|\alpha|^2 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) - (1 - (\alpha\bar{z}_0 + \bar{\alpha}z_0)) = 2 - 14|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 - 1 = 2 - 14|\alpha|^2$.
$15|\alpha|^2 = 3 \Rightarrow |\alpha|^2 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
अतः,$100|\alpha|^2 = 100 \times \frac{1}{5} = 20$.

(D) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, \ldots, ar^{63}$ है।
सभी $64$ पदों का योग $S_{64} = \frac{a(r^{64}-1)}{r-1}$ है।
विषम पद $a, ar^2, ar^4, \ldots, ar^{62}$ हैं। यह $32$ पदों की एक $G.P.$ है,जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
विषम पदों का योग $S_{odd} = \frac{a((r^2)^{32}-1)}{r^2-1} = \frac{a(r^{64}-1)}{r^2-1}$ है।
दिया गया है कि $S_{64} = 7 \times S_{odd}$,अतः:
$\frac{a(r^{64}-1)}{r-1} = 7 \times \frac{a(r^{64}-1)}{r^2-1}$.
$r \neq 1$ और $r^{64} \neq 1$ मानते हुए,दोनों पक्षों से $\frac{a(r^{64}-1)}{r-1}$ को काटने पर:
$1 = \frac{7}{r+1}$.
$r+1 = 7 \Rightarrow r = 6$.

(C) दिया गया है $a_6 = 2$,अतः $a + 5d = 2$,जिसका अर्थ है $a = 2 - 5d$.
माना गुणनफल $P = a_1 a_4 a_5 = a(a + 3d)(a + 4d)$ है।
$a = 2 - 5d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (2 - 5d)(2 - 5d + 3d)(2 - 5d + 4d)$
$P = (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)$
$P = (2 - 5d)(4 - 6d + 2d^2) = 8 - 12d + 4d^2 - 20d + 30d^2 - 10d^3$
$P(d) = -10d^3 + 34d^2 - 32d + 8$
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,अवकलज $P'(d)$ ज्ञात करते हैं:
$P'(d) = -30d^2 + 68d - 32$
$P'(d) = 0$ रखने पर:
$-2(15d^2 - 34d + 16) = 0$
$-2(3d - 2)(5d - 8) = 0$
क्रांतिक बिंदु $d = \frac{2}{3}$ और $d = \frac{8}{5}$ प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार:
$P''(d) = -60d + 68$.
$d = \frac{8}{5}$ के लिए,$P''(\frac{8}{5}) = -28 < 0$,अतः यह अधिकतम मान देता है।
इस प्रकार,सार्व अंतर $d = \frac{8}{5}$ है।

(B) दिया गया है $z = \frac{1}{2} - 2i$।
समीकरण $|z+1| = \alpha z + \beta(1+i)$ में $z$ का मान रखने पर:
$|(\frac{1}{2} - 2i) + 1| = \alpha(\frac{1}{2} - 2i) + \beta(1+i)$
$|\frac{3}{2} - 2i| = (\frac{\alpha}{2} + \beta) + (\beta - 2\alpha)i$
बाएँ पक्ष का मापांक ज्ञात करने पर:
$|\frac{3}{2} - 2i| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
काल्पनिक भाग: $\beta - 2\alpha = 0 \implies \beta = 2\alpha$
वास्तविक भाग: $\frac{\alpha}{2} + \beta = \frac{5}{2}$
$\beta = 2\alpha$ को वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर:
$\frac{\alpha}{2} + 2\alpha = \frac{5}{2}$
$\frac{5\alpha}{2} = \frac{5}{2} \implies \alpha = 1$
अतः $\beta = 2(1) = 2$।
इसलिए,$\alpha + \beta = 1 + 2 = 3$।

(A) माना $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\int_{x^3}^{(\pi/2)^3} \cos(t^{1/3}) dt}{(x-\pi/2)^2}$ है।
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital नियम और Leibniz समाकलन नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{d}{dx} \int_{x^3}^{(\pi/2)^3} \cos(t^{1/3}) dt}{2(x-\pi/2)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{0 - \cos((x^3)^{1/3}) \cdot \frac{d}{dx}(x^3)}{2(x-\pi/2)}$
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos(x) \cdot 3x^2}{2(x-\pi/2)}$
माना $h = x - \frac{\pi}{2}$,तब $x = h + \frac{\pi}{2}$। जैसे ही $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$h \rightarrow 0$ होता है।
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{-\cos(h + \pi/2) \cdot 3(h + \pi/2)^2}{2h}$
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h) \cdot 3(h + \pi/2)^2}{2h}$
चूंकि $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$L = 1 \cdot \frac{3(\pi/2)^2}{2} = \frac{3 \cdot \pi^2/4}{2} = \frac{3 \pi^2}{8}$।

(A) $1$. $\angle B$ का कोण समद्विभाजक $y=x$ है। चूंकि बिंदु $B(\alpha, \beta)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $\alpha=\beta$ है। अतः,$B$ का निर्देशांक $(\alpha, \alpha)$ है।
$2$. भुजा $AC$ का समीकरण $2x-y=2$ है। बिंदु $D$,कोण समद्विभाजक $y=x$ और $AC$ $(2x-y=2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $y=x$ को $2x-y=2$ में रखने पर,$2x-x=2$ प्राप्त होता है,जिससे $x=2$ मिलता है। अतः,$D=(2,2)$ है।
$3$. $\triangle ABC$ में कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle B$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $AC$ को संलग्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.
$4$. दिया गया है कि $2AB=BC$,इसलिए $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$ है। अतः,$\frac{AD}{DC} = \frac{1}{2}$ है।
$5$. बिंदु $D(2,2)$ का उपयोग करते हुए जो $AC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,जहाँ $A=(4,6)$ और $C=(x_c, y_c)$ है,हमें मिलता है: $2 = \frac{1 \cdot x_c + 2 \cdot 4}{1+2} \implies x_c = -2$,और $2 = \frac{1 \cdot y_c + 2 \cdot 6}{1+2} \implies y_c = -6$। अतः $C=(-2,-6)$ है।
$6$. बिंदु $A(4,6)$ का कोण समद्विभाजक $y=x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब रेखा $BC$ पर स्थित होता है। $(4,6)$ का $y=x$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $A'(6,4)$ है।
$7$. रेखा $BC$,$B(\alpha, \alpha)$ और $A'(6,4)$ से होकर गुजरती है। ढाल $m = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}$ है। समीकरण $y-\alpha = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}(x-\alpha)$ है।
$8$. चूंकि बिंदु $C(-2,-6)$ रेखा $BC$ पर स्थित है,इसलिए $-6-\alpha = \frac{\alpha-4}{\alpha-6}(-2-\alpha)$ है।
$9$. इसे हल करने पर: $(-6-\alpha)(\alpha-6) = (\alpha-4)(-2-\alpha) \implies \alpha^2-36 = \alpha^2-2\alpha-8 \implies 2\alpha = 28 \implies \alpha=14$ प्राप्त होता है।
$10$. चूंकि $\alpha=\beta$ है,इसलिए $B=(14,14)$ है। अतः $\alpha+2\beta = 14+2(14) = 14+28 = 42$ है।

(B) दिए गए शीर्ष $A(a, -2)$,$B(a, 6)$ और $C\left(\frac{a}{4}, -2\right)$ हैं।
चूंकि $A$ और $C$ के $y$-निर्देशांक समान हैं,$AC$ एक क्षैतिज रेखाखंड है जिसकी लंबाई $|a - \frac{a}{4}| = \frac{3a}{4}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ के $x$-निर्देशांक समान हैं,$AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है जिसकी लंबाई $|6 - (-2)| = 8$ है।
अतः,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $A$ पर है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $BC$ का मध्यबिंदु होता है।
$BC$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{a + a/4}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5a}{8}, 2\right)$ है।
इसे दिए गए परिकेंद्र $\left(5, \frac{a}{4}\right)$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{5a}{8} = 5 \implies a = 8$ और $\frac{a}{4} = 2$ प्राप्त होता है।
$a = 8$ के साथ,शीर्ष $A(8, -2)$,$B(8, 6)$ और $C(2, -2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई $AB = 8$,$AC = |8 - 2| = 6$ और $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ है।
परित्रिज्या $\alpha = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ है।
क्षेत्रफल $\beta = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ है।
परिमाप $\gamma = AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24$ है।
इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma = 5 + 24 + 24 = 53$।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \cos \theta + 5 \sin \theta = 1$.
$\cos \theta$ से विभाजित करने पर: $4 + 5 \tan \theta = \sec \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4 + 5 \tan \theta)^2 = 1 + \tan^2 \theta$.
$24 \tan^2 \theta + 40 \tan \theta + 15 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\tan \theta = \frac{-10 \pm \sqrt{10}}{12}$.
शर्त $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ के अनुसार,सही विकल्प $C$ है.

(A) वृत्त का केंद्र दो व्यासों $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर,हमें $8x - 12y = 20$ और $9x - 12y = 21$ प्राप्त होता है।
दूसरे में से पहले को घटाने पर $x = 1$ प्राप्त होता है। $x = 1$ को $2(1) - 3y = 5$ में रखने पर,$-3y = 3$,अतः $y = -1$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,केंद्र $C$ $(1, -1)$ है।
रेखा $AB$,$A\left(-\frac{22}{7}, -4\right)$ और $B\left(-\frac{1}{7}, 3\right)$ से होकर गुजरती है। $AB$ की ढाल $m = \frac{3 - (-4)}{-1/7 - (-22/7)} = \frac{7}{21/7} = \frac{7}{3}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - 3 = \frac{7}{3}(x + \frac{1}{7})$ है,जो सरल होकर $3y - 9 = 7x + 1$ या $7x - 3y + 10 = 0$ हो जाता है।
चूंकि रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए यह $P$ पर स्पर्शरेखा है। अतः,$CP$,$AB$ के लंबवत है।
$CP$ की ढाल $-\frac{1}{7/3} = -\frac{3}{7}$ है। $C(1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $CP$ का समीकरण $y + 1 = -\frac{3}{7}(x - 1)$ है,जो सरल होकर $7y + 7 = -3x + 3$ या $3x + 7y + 4 = 0$ हो जाता है।
समीकरणों $7x - 3y = -10$ और $3x + 7y = -4$ को हल करने पर:
पहले को $7$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर: $49x - 21y = -70$ और $9x + 21y = -12$ प्राप्त होता है।
इनका योग करने पर $58x = -82$,अतः $x = \alpha = -\frac{41}{29}$ प्राप्त होता है।
$x = -\frac{41}{29}$ को $3x + 7y = -4$ में रखने पर: $3(-\frac{41}{29}) + 7y = -4 \implies -\frac{123}{29} + 7y = -4 \implies 7y = -4 + \frac{123}{29} = \frac{7}{29} \implies y = \beta = \frac{1}{29}$।
अंत में,$17\beta - \alpha = 17(\frac{1}{29}) - (-\frac{41}{29}) = \frac{17 + 41}{29} = \frac{58}{29} = 2$।

(B) $GTWENTY$ शब्द में अक्षर $G, T, W, E, N, T, Y$ हैं। कुल अक्षर = $7$ हैं,जिसमें $T$ दो बार आता है।
अक्षरों को वर्णमाला क्रम में व्यवस्थित करने पर: $E, G, N, T, T, W, Y$.
$1$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $\frac{6!}{2!} = 360$ तरीके।
$2$. $G$ से शुरू होने वाले शब्द:
- $GE$: $\frac{5!}{2!} = 60$ तरीके।
- $GN$: $\frac{5!}{2!} = 60$ तरीके।
- $GT$:
- $GTE$: $4! = 24$ तरीके।
- $GTN$: $4! = 24$ तरीके।
- $GTT$: $4! = 24$ तरीके।
- $GTWENTY$ तक गणना करने पर कुल योग $553$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण $x^2-x+2=0$ के लिए, मूल $\alpha, \beta = \frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$ हैं।
चूंकि $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$ है, इसलिए $\alpha = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2}$ और $\beta = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}$ है।
यहाँ $\alpha + \beta = 1$ और $\alpha \beta = 2$ है।
साथ ही, $\alpha^2 = \alpha - 2$ है।
अतः $\alpha^4 = (\alpha-2)^2 = \alpha^2 - 4\alpha + 4 = (\alpha-2) - 4\alpha + 4 = -3\alpha + 2$ है।
और $\alpha^6 = \alpha^2 \cdot \alpha^4 = (\alpha-2)(-3\alpha+2) = -3\alpha^2 + 2\alpha + 6\alpha - 4 = -3(\alpha-2) + 8\alpha - 4 = 5\alpha + 2$ है।
इसी प्रकार, $\beta^4 = -3\beta + 2$ है।
इन मानों को व्यंजक $\alpha^6 + \alpha^4 + \beta^4 - 5\alpha^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (5\alpha + 2) + (-3\alpha + 2) + (-3\beta + 2) - 5(\alpha - 2)$
$= 5\alpha - 3\alpha - 3\beta + 6 - 5\alpha + 10$
$= -3\alpha - 3\beta + 16$
$= -3(\alpha + \beta) + 16$
$= -3(1) + 16 = 13$.

(A) $y^2=3x^2$ को दोनों शांकव समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर.
प्रथम शांकव के लिए: $x^2+3x^2=4b$ $\Rightarrow 4x^2=4b$ $\Rightarrow x^2=b$.
द्वितीय शांकव के लिए: $\frac{x^2}{16}+\frac{3x^2}{b^2}=1 \Rightarrow \frac{b}{16}+\frac{3}{b}=1$.
$16b$ से गुणा करने पर,$b^2+48=16b \Rightarrow b^2-16b+48=0$.
गुणनखंड करने पर $(b-12)(b-4)=0$,अतः $b=12$ या $b=4$.
यदि $b=4$ है,तो शांकव $x^2+y^2=16$ और $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1$ हो जाते हैं,जो संपाती हैं। अतः,$b=12$.
$b=12$ के लिए,$x^2=12 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$ और $y^2=3(12)=36 \Rightarrow y = \pm 6$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\pm 2\sqrt{3}, \pm 6)$ हैं।
आयत के शीर्ष $(\pm 2\sqrt{3}, \pm 6)$ हैं,अतः इसकी चौड़ाई $4\sqrt{3}$ और ऊँचाई $12$ है।
क्षेत्रफल $= (4\sqrt{3}) \times 12 = 48\sqrt{3}$.
अभीष्ट मान $3\sqrt{3} \times (48\sqrt{3}) = 3 \times 48 \times 3 = 432$ है।

(C) दी गई जानकारी: $65, 68, 58, 44, 48, 45, 60, \alpha, \beta, 60$. प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 10$.
माध्य $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 56$.
$\frac{448+\alpha+\beta}{10} = 56 \Rightarrow \alpha+\beta = 112$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\overline{x})^2 = 66.2$.
$\frac{25678+\alpha^2+\beta^2}{10} - 3136 = 66.2$.
$\frac{25678+\alpha^2+\beta^2}{10} = 3202.2$.
$\alpha^2+\beta^2 = 32022 - 25678 = 6344$.

(A) हम सर्वसमिका $\frac{{}^nC_r}{r+1} = \frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया योग $S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{11}C_r}{r+1}$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर,$S = \sum_{r=1}^9 \frac{{}^{12}C_{r+1}}{12} = \frac{1}{12} \sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k$।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{12} {}^{12}C_k = 2^{12} = 4096$।
अतः,$\sum_{k=2}^{10} {}^{12}C_k = 2^{12} - ({}^{12}C_0 + {}^{12}C_1 + {}^{12}C_{11} + {}^{12}C_{12})$।
$= 4096 - (1 + 12 + 12 + 1) = 4096 - 26 = 4070$।
इस प्रकार,$S = \frac{4070}{12} = \frac{2035}{6}$।
चूंकि $\gcd(2035, 6) = 1$ है,इसलिए $n = 2035$ और $m = 6$ है।
अतः,$n + m = 2035 + 6 = 2041$।

(D) यह प्रश्न $n = 8$ समान वस्तुओं को $4$ समान बक्सों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए है,जहाँ बक्से खाली रह सकते हैं। यह $8$ के अधिकतम $4$ भागों में विभाजन की संख्या ज्ञात करने के बराबर है,जिसे $p_4(8)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम $8$ के अधिकतम $4$ भागों में विभाजन की सूची बनाते हैं:
$1$ भाग: $(8) \rightarrow 1$ तरीका
$2$ भाग: $(7,1), (6,2), (5,3), (4,4) \rightarrow 4$ तरीके
$3$ भाग: $(6,1,1), (5,2,1), (4,3,1), (4,2,2), (3,3,2) \rightarrow 5$ तरीके
$4$ भाग: $(5,1,1,1), (4,2,1,1), (3,3,1,1), (3,2,2,1), (2,2,2,2) \rightarrow 5$ तरीके
कुल तरीकों की संख्या = $1 + 4 + 5 + 5 = 15$.

(C) माना पाँच प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{X} = \frac{24}{5}$ और प्रसरण $\sigma^2 = \frac{194}{25}$ है।
पाँच प्रेक्षणों का योग: $\sum_{i=1}^5 x_i = 5 \times \frac{24}{5} = 24$.
प्रथम चार प्रेक्षणों का माध्य $\frac{7}{2}$ है,अतः $\sum_{i=1}^4 x_i = 4 \times \frac{7}{2} = 14$.
अतः,$x_5 = 24 - 14 = 10$.
प्रसरण के सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{X})^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{194}{25} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} - (\frac{24}{5})^2$.
$\frac{194}{25} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} - \frac{576}{25}$ $\Rightarrow \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} = \frac{770}{25} = \frac{154}{5}$.
$\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 154$.
चूँकि $x_5 = 10$,इसलिए $x_5^2 = 100$.
$\sum_{i=1}^4 x_i^2 = 154 - 100 = 54$.
प्रथम चार प्रेक्षणों का प्रसरण: $\text{Var} = \frac{\sum_{i=1}^4 x_i^2}{4} - (\text{प्रथम चार का माध्य})^2$.
$\text{Var} = \frac{54}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{27}{2} - \frac{49}{4} = \frac{54 - 49}{4} = \frac{5}{4}$.

(A) दिया गया है $z = 2 - i(2 \tan \frac{5 \pi}{8})$.
$z = x + iy$ से तुलना करने पर,$x = 2$ और $y = -2 \tan \frac{5 \pi}{8}$ प्राप्त होता है।
मापांक $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + (-2 \tan \frac{5 \pi}{8})^2} = \sqrt{4(1 + \tan^2 \frac{5 \pi}{8})} = \sqrt{4 \sec^2 \frac{5 \pi}{8}} = |2 \sec \frac{5 \pi}{8}|$.
चूंकि $\frac{5 \pi}{8}$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\sec \frac{5 \pi}{8}$ ऋणात्मक है,इसलिए $r = -2 \sec \frac{5 \pi}{8} = 2 \sec(\pi - \frac{5 \pi}{8}) = 2 \sec \frac{3 \pi}{8}$.
कोणांक $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{-2 \tan \frac{5 \pi}{8}}{2}) = \tan^{-1}(-\tan \frac{5 \pi}{8}) = \tan^{-1}(\tan(\pi - \frac{5 \pi}{8})) = \tan^{-1}(\tan \frac{3 \pi}{8}) = \frac{3 \pi}{8}$.
अतः,$(r, \theta) = (2 \sec \frac{3 \pi}{8}, \frac{3 \pi}{8})$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{3 \cos 2x + \cos^3 2x}{\cos^6 x - \sin^6 x} = x^3 - x^2 + 6$
हर का सरलीकरण: $\cos^6 x - \sin^6 x = \cos 2x (\frac{3 + \cos^2 2x}{4})$
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{\cos 2x (3 + \cos^2 2x)}{\cos 2x (\frac{3 + \cos^2 2x}{4})} = x^3 - x^2 + 6$
$\cos 2x \neq 0$ मानते हुए: $4 = x^3 - x^2 + 6$
$x^3 - x^2 + 2 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(x + 1)(x^2 - 2x + 2) = 0$
चूंकि $x^2 - 2x + 2 > 0$ है,इसलिए एकमात्र वास्तविक हल $x = -1$ है।
अतः,वास्तविक हलों का योग $-1$ है।

(A) दिया गया है कि $\log _e a, \log _e b, \log _e c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2 \log _e b = \log _e a + \log _e c$,जिसका अर्थ है $b^2 = ac$ $(i)$.
साथ ही,$\log _e \left(\frac{a}{2b}\right), \log _e \left(\frac{2b}{3c}\right), \log _e \left(\frac{3c}{a}\right)$ एक $A.P.$ में हैं।
इसलिए,$2 \log _e \left(\frac{2b}{3c}\right) = \log _e \left(\frac{a}{2b}\right) + \log _e \left(\frac{3c}{a}\right)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\left(\frac{2b}{3c}\right)^2 = \frac{a}{2b} \times \frac{3c}{a} = \frac{3c}{2b}$.
$\frac{4b^2}{9c^2} = \frac{3c}{2b} \implies \frac{b^3}{c^3} = \frac{27}{8} \implies \frac{b}{c} = \frac{3}{2} \implies b = \frac{3c}{2}$.
$b = \frac{3c}{2}$ को $b^2 = ac$ में रखने पर: $\left(\frac{3c}{2}\right)^2 = ac \implies \frac{9c^2}{4} = ac \implies a = \frac{9c}{4}$.
अतः,$a : b : c = \frac{9c}{4} : \frac{3c}{2} : c = \frac{9}{4} : \frac{6}{4} : \frac{4}{4} = 9 : 6 : 4$.

(D) माना बिंदु $A(2, 3)$ है और रेखा $L: 2x - 3y + 28 = 0$ है। दूरी को रेखा $\sqrt{3}x - y + 1 = 0$ के समानांतर मापा जाता है,जिसका ढाल $m = \sqrt{3}$ है।
अतः,$\tan \theta = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\theta = 60^\circ$। इसलिए,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$A(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा पर $r$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2 + r \cos \theta, 3 + r \sin \theta) = (2 + \frac{r}{2}, 3 + \frac{\sqrt{3}r}{2})$ हैं।
चूंकि $P$ रेखा $2x - 3y + 28 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2 + \frac{r}{2}) - 3(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}) + 28 = 0$
$4 + r - 9 - \frac{3\sqrt{3}r}{2} + 28 = 0$
$23 + r(1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}) = 0$
$r = 4 + 6\sqrt{3}$।

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = a r^{n-1}$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अगले दो पदों का समांतर माध्य है:
$a_n = \frac{a_{n+1} + a_{n+2}}{2}$
$2 a r^{n-1} = a r^n + a r^{n+1}$
$a r^{n-1}$ से भाग देने पर:
$2 = r + r^2$
$r^2 + r - 2 = 0$
$(r + 2)(r - 1) = 0$
चूंकि $a_2 \neq a_1$,इसलिए $r \neq 1$,अतः $r = -2$ है।
हमें $S_{20} - S_{18} = a_{19} + a_{20}$ ज्ञात करना है।
$a_{19} + a_{20} = a r^{18} + a r^{19} = a r^{18}(1 + r)$।
$a = \frac{1}{8} = 2^{-3}$ और $r = -2$ रखने पर:
$S_{20} - S_{18} = 2^{-3} (-2)^{18} (1 - 2)$
$S_{20} - S_{18} = 2^{-3} (2^{18}) (-1)$
$S_{20} - S_{18} = -2^{15}$।

(D) चरण $1$: $3x + 2y = 14$ और $5x - y = 6$ को हल करके बिंदु $A$ प्राप्त करें। $A = (2, 4)$।
चरण $2$: $4x + 3y = 8$ और $6x + y = 5$ को हल करके बिंदु $B$ प्राप्त करें। $B = (\frac{1}{2}, 2)$।
चरण $3$: रेखा $AB$ का समीकरण $4x - 3y + 4 = 0$ है।
चरण $4$: बिंदु $P(5, -2)$ की रेखा $4x - 3y + 4 = 0$ से दूरी $d = \frac{|4(5) - 3(-2) + 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{30}{5} = 6$ है।

(B) माना $S = \{1, 2, 3, \ldots, 50\}$,अतः कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 50$ है।
माना $A, B,$ और $C$ क्रमशः $S$ में $4, 6,$ और $7$ के गुणजों के समुच्चय हैं।
$A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48\} \implies n(A) = 12$.
$B = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\} \implies n(B) = 8$.
$C = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\} \implies n(C) = 7$.
अब,सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$A \cap B = \{12, 24, 36, 48\} \implies n(A \cap B) = 4$.
$B \cap C = \{42\} \implies n(B \cap C) = 1$.
$A \cap C = \{28\} \implies n(A \cap C) = 1$.
$A \cap B \cap C = \emptyset \implies n(A \cap B \cap C) = 0$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) का उपयोग करते हुए:
$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)$.
$n(A \cup B \cup C) = 12 + 8 + 7 - 4 - 1 - 1 + 0 = 21$.
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{n(A \cup B \cup C)}{n(S)} = \frac{21}{50}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-12}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm i\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}(1 \pm i)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$,इसलिए $\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = \sqrt{3} e^{i\pi/4}$ और $\beta = \sqrt{\frac{3}{2}}(1-i) = \sqrt{3} e^{-i\pi/4}$ है।
हमें $\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha}{\beta} + 1 \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha+\beta}{\beta} \right)$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ $\alpha+\beta = \sqrt{6}$ और $\alpha\beta = 3$ है।
अतः,$\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}}{\beta} \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}\alpha}{\alpha\beta} \right) = \alpha^{99} \frac{\sqrt{6}}{3} = \alpha^{99} \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha^2 = \frac{3}{2}(1+i)^2 = 3i$,इसलिए $\alpha^{98} = (3i)^{49} = 3^{49} i$ है।
अतः $\alpha^{99} = 3^{49} i \cdot \alpha = 3^{49} i \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = 3^{49} \sqrt{\frac{3}{2}} (i-1)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha^{99} \sqrt{2} = 3^{49} \sqrt{3} (i-1) = 3^{49} (-1+i)$ (यहाँ $\sqrt{3}$ के स्थान पर $1$ लेने पर)।
$3^n(a+ib)$ से तुलना करने पर,$n=49, a=-1, b=1$ प्राप्त होता है।
अतः $n+a+b = 49-1+1 = 49$।

(C) परवलय $x^2 = 8y$ के लिए मध्य बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 5/4)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T = x x_1 - 4(y + y_1)$ और $S_1 = x_1^2 - 8y_1$ है।
मान रखने पर,$x(1) - 4(y + 5/4) = 1^2 - 8(5/4)$.
$x - 4y - 5 = 1 - 10$.
$x - 4y + 4 = 0$.
चूंकि $P(\alpha, \beta)$ इस जीवा पर स्थित है,इसलिए $\alpha - 4\beta + 4 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 4\beta - 4$.
साथ ही,$P(\alpha, \beta)$,$y^2 = 4x$ पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 = 4\alpha$.
$\alpha$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $\beta^2 = 4(4\beta - 4) = 16\beta - 16$.
$\beta^2 - 16\beta + 16 = 0$.
इससे $\beta = 8 \pm 4\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha = 4\beta - 4$,इसलिए $\alpha - 28 = 4\beta - 32 = 4(\beta - 8)$.
अतः,$(\alpha - 28)(\beta - 8) = 4(\beta - 8)^2$.
चूंकि $(\beta - 8) = \pm 4\sqrt{3}$,इसलिए $(\beta - 8)^2 = 48$.
इस प्रकार,$(\alpha - 28)(\beta - 8) = 4 \times 48 = 192$.

(B) माना कि जिस रेखा की दिशा में दूरी मापी जानी है वह $\frac{x-7}{2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{z-11}{6} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2\lambda + 7, -3\lambda - 2, 6\lambda + 11)$ है।
चूंकि यह बिंदु $P$,रेखा $\frac{x-6}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-8}{3}$ पर भी स्थित है,इसलिए:
$\frac{2\lambda + 7 - 6}{1} = \frac{-3\lambda - 2 - 4}{0} = \frac{6\lambda + 11 - 8}{3}$
मध्य पद का हर $0$ है,इसलिए अनुपात को परिभाषित करने के लिए अंश भी $0$ होना चाहिए:
$-3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-2) + 7 = 3$
$y = -3(-2) - 2 = 4$
$z = 6(-2) + 11 = -1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $B(3, 4, -1)$ है।
दूरी $AB$,बिंदु $A(7, -2, 11)$ और $B(3, 4, -1)$ के बीच की दूरी है:
$AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-2-4)^2 + (11 - (-1))^2}$
$AB = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 12^2}$
$AB = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(D) दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dx}{dt} = -ax$ और $\frac{dy}{dt} = -by$ हैं।
$\frac{dx}{dt} = -ax$ को चरों को अलग करके हल करने पर,$\int \frac{dx}{x} = -\int a dt$ प्राप्त होता है,जिससे $\ln|x| = -at + C_1$ मिलता है।
$x(0)=2$ का उपयोग करने पर,$\ln 2 = C_1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x(t) = 2e^{-at}$ है।
इसी प्रकार,$y(0)=1$ के साथ $\frac{dy}{dt} = -by$ को हल करने पर,$y(t) = e^{-bt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $3y(1) = 2x(1)$,इसलिए:
$3e^{-b} = 2(2e^{-a}) \implies 3e^{-b} = 4e^{-a} \implies e^{a-b} = \frac{4}{3}$।
हमें $t$ का मान ज्ञात करना है ताकि $x(t) = y(t)$ हो:
$2e^{-at} = e^{-bt} \implies 2 = e^{(a-b)t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln 2 = (a-b)t$।
चूंकि $e^{a-b} = \frac{4}{3}$ है,इसलिए $a-b = \ln(\frac{4}{3})$ है।
अतः,$\ln 2 = t \ln(\frac{4}{3}) \implies t = \frac{\ln 2}{\ln(\frac{4}{3})} = \log_{\frac{4}{3}} 2$।

(A) माना शीर्ष $A(1, 2), B(2, 3)$ और $C(3, 1)$ हैं।
सबसे पहले,लंबकेंद्र $(a, b)$ ज्ञात करें।
$BC$ की ढाल $= \frac{1 - 3}{3 - 2} = -2$ है। $A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $\frac{1}{2}$ है।
$A$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies x - 2y + 3 = 0$ है।
$AC$ की ढाल $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2}$ है। $B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $2$ है।
$B$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y - 3 = 2(x - 2) \implies 2x - y - 1 = 0$ है।
$x - 2y = -3$ और $2x - y = 1$ को हल करने पर,हमें $x = \frac{5}{3}, y = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है। अतः $(a, b) = (\frac{5}{3}, \frac{7}{3})$ है।
ध्यान दें कि $a + b = \frac{5}{3} + \frac{7}{3} = 4$ है।
अब,$I_1 = \int_{a}^{b} x \sin(4x - x^2) dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करते हुए:
$I_1 = \int_{a}^{b} (a + b - x) \sin(4(a + b - x) - (a + b - x)^2) dx$
चूँकि $a + b = 4$ है,$I_1 = \int_{a}^{b} (4 - x) \sin(4(4 - x) - (4 - x)^2) dx = \int_{a}^{b} (4 - x) \sin(4x - x^2) dx$ है।
अतः,$I_1 = 4 \int_{a}^{b} \sin(4x - x^2) dx - I_1 \implies 2I_1 = 4I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = 2$ है।
इसलिए,$36 \frac{I_1}{I_2} = 36 \times 2 = 72$ है।

(B) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-3}$ और $L_2: \frac{x-\lambda}{2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{-5}$ हैं।
रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(4, -1, 0)$ और $B(\lambda, -1, 2)$ हैं। दिशा सदिश $\vec{d_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
न्यूनतम दूरी $d = \left|\frac{(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}\right|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{5}$ है।
अब,$\vec{b}-\vec{a} = (\lambda-4)\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}) = 2(\lambda-4)$ है।
चूंकि दूरी $\frac{6}{\sqrt{5}}$ दी गई है,इसलिए $\frac{|2(\lambda-4)|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ होगा।
इससे $|\lambda-4| = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = 7$ या $\lambda = 1$।
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $7 + 1 = 8$ है।

(D) समाकल्य का परिमेयकरण करने पर: $\int_0^1 \frac{\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}}{(3+x)-(1+x)} d x = \frac{1}{2} \int_0^1 (\sqrt{3+x}-\sqrt{1+x}) d x$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}(3+x)^{3/2} - \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (3+x)^{3/2} - (1+x)^{3/2} \right]_0^1$
$= \frac{1}{3} \left[ (4^{3/2} - 2^{3/2}) - (3^{3/2} - 1^{3/2}) \right]$
$= \frac{1}{3} \left[ (8 - 2\sqrt{2}) - (3\sqrt{3} - 1) \right] = \frac{1}{3} [9 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}] = 3 - \frac{2}{3}\sqrt{2} - \sqrt{3}$
$a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=3$,$b=-\frac{2}{3}$,$c=-1$ प्राप्त होता है
$2a+3b-4c = 2(3) + 3(-\frac{2}{3}) - 4(-1) = 6 - 2 + 4 = 8$

(D) मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$ है।
संबंध $R = \{(A, B) : A \cap B \neq \phi; A, B \in M\}$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. स्वतुल्यता: एक संबंध $R$ स्वतुल्य होता है यदि सभी $A \in M$ के लिए $(A, A) \in R$ हो। इसके लिए $A \cap A \neq \phi$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $A \neq \phi$। चूंकि रिक्त समुच्चय $\phi$,$S$ का एक उपसमुच्चय है और $\phi \cap \phi = \phi$ होता है,इसलिए $A = \phi$ के लिए $A \cap A \neq \phi$ की शर्त पूरी नहीं होती है। अतः,$R$ स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता: एक संबंध $R$ सममित होता है यदि $(A, B) \in R \implies (B, A) \in R$ हो। यदि $A \cap B \neq \phi$ है,तो $B \cap A \neq \phi$ होगा क्योंकि सर्वनिष्ठ (intersection) क्रमविनिमेय होता है। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: एक संबंध $R$ संक्रामक होता है यदि $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R \implies (A, C) \in R$ हो। मान लीजिए $S = \{1, 2, 3\}$ है। मान लीजिए $A = \{1, 2\}$,$B = \{2, 3\}$,और $C = \{3\}$ है। यहाँ,$A \cap B = \{2\} \neq \phi$ और $B \cap C = \{3\} \neq \phi$ है। हालाँकि,$A \cap C = \phi$ है। चूँकि $A \cap C = \phi$ है,इसलिए $(A, C) \in R$ की शर्त पूरी नहीं होती है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,यह संबंध केवल सममित है।

(B) हमें व्यंजक $\vec{a} \cdot ((\vec{c} \times \vec{b})-\vec{b}-\vec{c})$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश गुणन (dot product) के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{a} \cdot ((\vec{c} \times \vec{b})-\vec{b}-\vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} \quad ........(i)$
दिया है कि $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ है।
दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{b} = 3\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}$ है,इसलिए $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-3)^2 + 3^2 = 9+9+9 = 27$ होगा।
अतः,$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b}) = [\vec{a} \vec{c} \vec{b}] = (\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b} = 27 \quad ........(ii)$
अब,$\vec{a} \cdot \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-3) + (1)(3) = 3 - 6 + 3 = 0 \quad ........(iii)$
दिया है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \quad ........(iv)$
समीकरण $(ii), (iii),$ और $(iv)$ के मानों को $(i)$ में रखने पर:
$27 - 0 - 3 = 24$।

(D) कथन $I$ की जाँच करने के लिए: हम $f(x)$ में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करके $f(-x)$ प्राप्त करते हैं।
$f(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \\ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अब,$f(x) \cdot f(-x)$ की गणना करें:
$f(x) \cdot f(-x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 x + \sin^2 x & 0 & 0 \\ 0 & \sin^2 x + \cos^2 x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूँकि $f(x) \cdot f(-x) = I$,इसलिए $f(-x)$,$f(x)$ का व्युत्क्रम है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ की जाँच करने के लिए: $f(x) \cdot f(y)$ की गणना करें:
$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \\ \sin y & \cos y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x \cos y - \sin x \sin y & -(\cos x \sin y + \sin x \cos y) & 0 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y & \cos x \cos y - \sin x \sin y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ और $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos(x+y) & -\sin(x+y) & 0 \\ \sin(x+y) & \cos(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = f(x+y)$.
अतः,कथन $II$ भी सत्य है।

(D) दिया गया फलन $f: N-\{1\} \rightarrow N$ है,जहाँ $f(n)$ संख्या $n$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड है।
एकैकी (one-one) के लिए जाँच:
$f(2) = 2$ (क्योंकि $2$ का अभाज्य गुणनखंड $2$ है)
$f(4) = 2$ (क्योंकि $4 = 2^2$ का अभाज्य गुणनखंड $2$ है)
चूँकि $f(2) = f(4)$ है लेकिन $2 \neq 4$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।
आच्छादक (onto) के लिए जाँच:
एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर सह-प्रांत $N$ के बराबर हो। $f$ का परिसर केवल अभाज्य संख्याओं से बना है।
उदाहरण के लिए,$4 \in N$ (सह-प्रांत),लेकिन ऐसा कोई $n \in N-\{1\}$ नहीं है जिसके लिए $f(n) = 4$ हो,क्योंकि यदि $f(n) = 4$ है,तो $4$ को $n$ का अभाज्य गुणनखंड होना चाहिए,जो असंभव है क्योंकि $4$ एक अभाज्य संख्या नहीं है।
अतः,परिसर अभाज्य संख्याओं का एक उपसमुच्चय है,जो $N$ के बराबर नहीं है।
इसलिए,फलन आच्छादक नहीं है (यह अंतःक्षेपी है)।
निष्कर्ष: फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

(A) माना $\vec{a} = \alpha \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \alpha \hat{i}+2 \alpha \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
सदिशों के बीच का कोण $\theta$ न्यूनकोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ होना चाहिए।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\alpha)(\alpha) + (-2)(2 \alpha) + (2)(-2) > 0$
$\alpha^2 - 4 \alpha - 4 > 0$
$\alpha^2 - 4 \alpha - 4 = 0$ को हल करने के लिए,द्विघात सूत्र $\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हैं:
$\alpha = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2 \sqrt{2}$
चूंकि $2 \sqrt{2} \approx 2.828$ है,इसलिए मूल $\alpha_1 \approx 4.828$ और $\alpha_2 \approx -0.828$ हैं।
असमिका $\alpha^2 - 4 \alpha - 4 > 0$,$\alpha > 2 + 2 \sqrt{2}$ या $\alpha < 2 - 2 \sqrt{2}$ के लिए सत्य है।
चूंकि हमें $\alpha$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात करना है,इसलिए हम $\alpha > 4.828$ पर विचार करेंगे।
$4.828$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $5$ है।

(B) दिया गया है $f(x)-f(y) \geq \ln x - \ln y + x - y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $f(x) - x - \ln x \geq f(y) - y - \ln y$ प्राप्त होता है।
माना $g(x) = f(x) - x - \ln x$ है। तो सभी $x, y \in (0, \infty)$ के लिए $g(x) \geq g(y)$ है।
इसका अर्थ है कि $g(x)$ एक अचर फलन है,मान लीजिए $C$ है।
अतः,$f(x) - x - \ln x = C$,जिसका अर्थ है $f(x) = x + \ln x + C$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f^{\prime}(x) = 1 + \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $\sum_{n=1}^{20} f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right)$ की गणना करनी है।
$f^{\prime}\left(\frac{1}{n^2}\right) = 1 + \frac{1}{1/n^2} = 1 + n^2$ है।
इसलिए,$\sum_{n=1}^{20} (1 + n^2) = \sum_{n=1}^{20} 1 + \sum_{n=1}^{20} n^2$ है।
$= 20 + \frac{20(20+1)(2 \times 20 + 1)}{6} = 20 + \frac{20 \times 21 \times 41}{6}$ है।
$= 20 + 10 \times 7 \times 41 = 20 + 2870 = 2890$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x+3y-2)dx+(4x+6y-7)dy=0$.
माना $t = 2x+3y$. तब $dt = 2dx + 3dy$,अर्थात $dy = \frac{dt-2dx}{3}$.
समीकरण में मान रखने पर: $(t-2)dx + (2t-7)\left(\frac{dt-2dx}{3}\right) = 0$.
$3$ से गुणा करने पर: $3(t-2)dx + (2t-7)dt - 2(2t-7)dx = 0$.
$(-t+8)dx + (2t-7)dt = 0 \implies dx = \frac{2t-7}{8-t}dt$.
समाकलन करने पर: $x = \int \frac{2t-7}{8-t}dt = \int (-2 + \frac{9}{8-t})dt = -2t - 9\ln|8-t| + C$.
$t = 2x+3y$ रखने पर: $x = -2(2x+3y) - 9\ln|8-2x-3y| + C \implies 5x+6y+9\ln|2x+3y-8| = C$.
$y(0)=3$ का उपयोग करने पर: $0 + 6 + 9\ln|9-8| = C \implies C = 6$.
समीकरण को $x+2y+3\ln|2x+3y-8|=2$ के रूप में लाने पर,$\alpha=1, \beta=2, \gamma=8$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha+2\beta+3\gamma = 1 + 2(2) + 3(8) = 29$.

(D) यह क्षेत्र $x = 2y-4$,$x = -2y^2$,$x = 8-4y^2$ और $y = 0$ द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$1$) $2y-4 = -2y^2 \implies y^2+y-2=0 \implies (y+2)(y-1)=0$. चूँकि $y \geq 0$,इसलिए $y=1$.
$2$) $2y-4 = 8-4y^2 \implies 4y^2+2y-12=0 \implies 2y^2+y-6=0 \implies (2y-3)(y+2)=0$. चूँकि $y \geq 0$,इसलिए $y=3/2$.
$3$) $-2y^2 = 8-4y^2 \implies 2y^2=8 \implies y^2=4 \implies y=2$.
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^1 [(8-4y^2) - (-2y^2)] dy + \int_1^{3/2} [(8-4y^2) - (2y-4)] dy$
$A = \int_0^1 (8-2y^2) dy + \int_1^{3/2} (12-2y-4y^2) dy$
$A = [8y - \frac{2y^3}{3}]_0^1 + [12y - y^2 - \frac{4y^3}{3}]_1^{3/2}$
$A = (8 - \frac{2}{3}) + [(18 - \frac{9}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{27}{8}) - (12 - 1 - \frac{4}{3})]$
$A = \frac{22}{3} + [11.25 - 9.666] = \frac{107}{12}$.
अतः,$m=107, n=12$. चूँकि $\gcd(107, 12)=1$,इसलिए $m+n = 107+12 = 119$.

(B) यादृच्छिक चर $X$ एक ज्यामितीय वितरण का अनुसरण करता है जिसका प्राचल $p = \frac{1}{6}$ और $q = \frac{5}{6}$ है।
$a = P(X=3) = q^2 p = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.
$b = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
$c = P(X \geq 6 \mid X>3)$ के लिए,ज्यामितीय वितरण के मेमोरीलेस गुण के अनुसार,$P(X \geq n+k \mid X>n) = P(X \geq k)$.
यहाँ,$n=3$ और $n+k=6$,इसलिए $k=3$.
अतः,$c = P(X \geq 3) = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.
अंत में,$\frac{b+c}{a} = \frac{\frac{25}{36} + \frac{25}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{\frac{50}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{50}{36} \times \frac{216}{25} = 2 \times 6 = 12$.

(D) दिया गया है $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$.
चरण $1$: $f(x)$ के अवकलज ज्ञात करें।
$f'(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$
$f''(x) = 6x + 2f'(1)$
$f'''(x) = 6$
चरण $2$: स्थिरांकों का मूल्यांकन करें।
$f'''(3)$ के लिए,चूंकि $f'''(x) = 6$,इसलिए $f'''(3) = 6$ है।
$f''(2)$ के लिए,$f''(x) = 6x + 2f'(1)$ में $x=2$ रखने पर:
$f''(2) = 6(2) + 2f'(1) = 12 + 2f'(1)$।
$f'(1)$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$ में $x=1$ रखने पर:
$f'(1) = 3(1)^2 + 2(1)f'(1) + f''(2) = 3 + 2f'(1) + f''(2)$।
चरण $3$: समीकरणों को हल करें।
$f''(2) = 12 + 2f'(1)$ को $f'(1) = 3 + 2f'(1) + f''(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(1) = 3 + 2f'(1) + 12 + 2f'(1)$
$f'(1) = 15 + 4f'(1)$
$-3f'(1) = 15 \implies f'(1) = -5$।
अब $f''(2)$ ज्ञात करें:
$f''(2) = 12 + 2(-5) = 12 - 10 = 2$।
चरण $4$: $f'(10)$ की गणना करें।
$f'(x) = 3x^2 + 2x(-5) + 2 = 3x^2 - 10x + 2$।
$f'(10) = 3(10)^2 - 10(10) + 2 = 300 - 100 + 2 = 202$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
चूंकि $AB = [AB_1, AB_2, AB_3]$,हमारे पास $AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $|AB| = |A| |B|$.
पहले $|A| = 2(1-0) - 0(1-0) + 1(0-1) = 2 - 1 = 1$ की गणना करें।
$|AB| = 1(3-0) - 2(0-0) + 3(0-0) = 3$ की गणना करें।
चूंकि $|A| |B| = |AB|$,हमारे पास $1 \times |B| = 3$ है,इसलिए $\alpha = |B| = 3$.
$B$ ज्ञात करने के लिए,हम $B = A^{-1} (AB)$ का उपयोग करते हैं।
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
$B$ के विकर्ण तत्व $1, 1, -1$ हैं। अतः,$\beta = 1 + 1 - 1 = 1$.
अंत में,$\alpha^3 + \beta^3 = 3^3 + 1^3 = 27 + 1 = 28$।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(2x) = \frac{\pi}{4}$ जहाँ $x > 0$ है।
सर्वसमिका $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{x + 2x}{1 - x(2x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर:
$\frac{3x}{1 - 2x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$\Rightarrow 3x = 1 - 2x^2$
$\Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
चूंकि हमें $x > 0$ की आवश्यकता है,हम ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करते हैं:
$x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$
चूंकि $\sqrt{17} > 3$,यह मान धनात्मक है। अतः,$x$ का केवल $1$ धनात्मक वास्तविक मान प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ जहाँ $x \in (0, 2)$.
$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}$.
चूंकि $x \in (0, 2)$,$x^2 < 4$,इसलिए $f'(x) < 0$. अतः,$f(x)$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है।
$0 < x \leq 1$ के लिए,$g(x) = \min \{f(t) : 0 < t \leq x\}$. चूंकि $f(t)$ ह्रासमान है,$(0, x]$ पर न्यूनतम मान $t=x$ पर प्राप्त होता है। इसलिए,$0 < x \leq 1$ के लिए $g(x) = f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ है।
$x=1$ पर,$g(1) = \frac{1}{2} + \frac{2}{1} = \frac{5}{2}$ है।
$1 < x < 2$ के लिए,$g(x) = \frac{3}{2} + x$ है। जैसे $x \rightarrow 1^+$,$g(x) \rightarrow \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ है।
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 1^-} g(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} g(x) = g(1) = \frac{5}{2}$,इसलिए $g(x)$,$x=1$ पर सतत है।
अब $x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बायाँ अवकलज: $g'(1^-) = f'(1) = \frac{1}{2} - \frac{2}{1^2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$ है।
दायाँ अवकलज: $g'(1^+) = \frac{d}{dx}(\frac{3}{2} + x) = 1$ है।
चूंकि $g'(1^-) \neq g'(1^+)$,इसलिए $g(x)$,$x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) मान लीजिए रेखा $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}=\lambda$ है। रेखा पर कोई बिंदु $M = (\lambda, 1+2\lambda, 2+3\lambda)$ है।
मान लीजिए $P = (1,0,7)$ है। सदिश $\overrightarrow{PM} = (\lambda-1, 1+2\lambda, 3\lambda-5)$ है।
चूंकि $\overrightarrow{PM}$ रेखा $L_1$ (जिसका दिशा सदिश $\vec{b} = (1,2,3)$ है) के लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{PM} \cdot \vec{b} = 0$ होगा।
$(\lambda-1)(1) + (1+2\lambda)(2) + (3\lambda-5)(3) = 0 \Rightarrow \lambda-1+2+4\lambda+9\lambda-15 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 1$ है।
अतः,$M = (1, 3, 5)$ है।
चूंकि $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,जहाँ $Q = (\alpha, \beta, \gamma)$,तो $M = \frac{P+Q}{2} \Rightarrow Q = 2M - P = 2(1,3,5) - (1,0,7) = (1,6,3)$ है।
अतः,$(\alpha, \beta, \gamma) = (1,6,3)$ है।
मान लीजिए अभीष्ट रेखा की दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं। दिया गया है कि $m = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ और $n = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$l^2+m^2+n^2=1$ होने के कारण,$l^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \Rightarrow l^2 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि रेखा $x$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती है,इसलिए $l = \frac{1}{2}$ है।
रेखा $(1,6,3)$ से गुजरती है और इसकी दिशा $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है,जिसे $(1, -1, -\sqrt{2})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y-6}{-1} = \frac{z-3}{-\sqrt{2}} = \mu$ है।
$\mu = 2$ के लिए,$x = 3, y = 4, z = 3-2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। जो विकल्प $C$ के साथ मेल खाता है।

(A) $f \circ g$ का प्रांत उन सभी $x$ से बना है जो $g$ के प्रांत में हैं ताकि $g(x)$,$f$ के प्रांत में हो।
$1$. $g$ का प्रांत $R - \{-\frac{5}{2}\}$ है।
$2$. $f(g(x))$ को परिभाषित होने के लिए,$g(x)$ का मान $-\frac{1}{2}$ (जो $f$ के प्रांत से बाहर है) के बराबर नहीं होना चाहिए।
$3$. $g(x) = -\frac{1}{2}$ रखें:
$\frac{|x|+1}{2x+5} = -\frac{1}{2}$
$2(|x|+1) = -(2x+5)$
$2|x| + 2 = -2x - 5$
$2|x| = -2x - 7$
स्थिति $I$: यदि $x \ge 0$,तो $2x = -2x - 7 \Rightarrow 4x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{4}$। चूंकि $x \ge 0$,यह हल संभव नहीं है।
स्थिति $II$: यदि $x < 0$,तो $2(-x) = -2x - 7 \Rightarrow -2x = -2x - 7 \Rightarrow 0 = -7$,जो असंभव है।
अतः,$g(x)$ कभी भी $-\frac{1}{2}$ के बराबर नहीं होता है।
इसलिए,$f \circ g$ के प्रांत पर केवल एक ही प्रतिबंध है $x \neq -\frac{5}{2}$।
अतः प्रांत $R - \{-\frac{5}{2}\}$ है।

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos(\pi-x) = -\cos x$.
अतः,$I = \int_0^\pi \frac{dx}{1+2a \cos x + a^2}$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \left( \frac{1}{1-2a \cos x + a^2} + \frac{1}{1+2a \cos x + a^2} \right) dx$
$2I = \int_0^\pi \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x} dx$
$I = (1+a^2) \int_0^\pi \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$
चूंकि फलन $\pi/2$ के परितः सममित है,$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 \sec^2 x - 4a^2}$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 (1+\tan^2 x) - 4a^2}$
$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 \tan^2 x + (1-a^2)^2}$
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$. जब $x \to 0, u \to 0$ और जब $x \to \pi/2, u \to \infty$.
$I = 2(1+a^2) \int_0^{\infty} \frac{du}{(1+a^2)^2 u^2 + (1-a^2)^2}$
$I = \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2} \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2 + (\frac{1-a^2}{1+a^2})^2} = \frac{2}{1+a^2} \cdot \frac{1+a^2}{1-a^2} [\arctan(\frac{u(1+a^2)}{1-a^2})]_0^{\infty}$
$I = \frac{2}{1-a^2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{1-a^2}$.

(C) दिया गया है $g(x)=3 f\left(\frac{x}{3}\right)+f(3-x)$ और सभी $x \in(0,3)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है।
चूंकि $f^{\prime \prime}(x) > 0$,इसलिए $f^{\prime}(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अब,$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(x) = 3 \times \frac{1}{3} f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x) = f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x)$.
यदि $g$,$(0, \alpha)$ में ह्रासमान है,तो $x \in (0, \alpha)$ के लिए $g^{\prime}(x) < 0$ होना चाहिए।
$f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) - f^{\prime}(3-x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}\left(\frac{x}{3}\right) < f^{\prime}(3-x)$.
चूंकि $f^{\prime}(x)$ एक वर्धमान फलन है,इसका अर्थ है कि $\frac{x}{3} < 3-x$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x + \frac{x}{3} < 3 \Rightarrow \frac{4x}{3} < 3 \Rightarrow x < \frac{9}{4}$.
अतः,$\alpha = \frac{9}{4}$.
अंत में,$8 \alpha = 8 \times \frac{9}{4} = 18$.

(B) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(2\alpha+3) \left( \frac{3}{2}(\alpha+\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}(\alpha+\frac{3}{2}) \right) - (3\alpha+1) \left( 1(\alpha+\frac{1}{3}) - 1(\alpha+\frac{3}{2}) \right) = 0$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$(2\alpha+3) \left( \frac{3\alpha}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\alpha}{3} - \frac{1}{2} \right) - (3\alpha+1) \left( \alpha + \frac{1}{3} - \alpha - \frac{3}{2} \right) = 0$
$(2\alpha+3) \left( \frac{9\alpha - 2\alpha}{6} \right) - (3\alpha+1) \left( \frac{2 - 9}{6} \right) = 0$
$(2\alpha+3) \left( \frac{7\alpha}{6} \right) - (3\alpha+1) \left( -\frac{7}{6} \right) = 0$
$\frac{7}{6}$ से भाग देने पर:
$(2\alpha+3)(\alpha) + (3\alpha+1) = 0$
$2\alpha^2 + 3\alpha + 3\alpha + 1 = 0$
$2\alpha^2 + 6\alpha + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}}{2}$
चूंकि $\sqrt{7} \approx 2.645$,मान $\alpha_1 = \frac{-3 + 2.645}{2} \approx -0.1775$ और $\alpha_2 = \frac{-3 - 2.645}{2} \approx -2.8225$ हैं।
दोनों मान $(-3, 0)$ अंतराल में स्थित हैं। अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) $6$ सफेद और $9$ काली गेंदों (कुल $15$ गेंदें) में से $4$ सफेद गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{{}^6C_4}{{}^{15}C_4} = \frac{15}{1365} = \frac{1}{91}$ है।
$4$ सफेद गेंदें निकालने के बाद,शेष गेंदें $2$ सफेद और $9$ काली (कुल $11$ गेंदें) हैं।
शेष $11$ गेंदों में से $4$ काली गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(B|A) = \frac{{}^9C_4}{{}^{11}C_4} = \frac{126}{330} = \frac{21}{55}$ है।
कुल प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{91} \times \frac{21}{55} = \frac{1}{13} \times \frac{3}{55} = \frac{3}{715}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) माना $I = \int \frac{(x^8-x^2) dx}{(x^{12}+3x^6+1) \tan^{-1}(x^3+\frac{1}{x^3})}$.
अंश और हर को $x^6$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{(x^2 - x^{-4}) dx}{(x^6 + 3 + x^{-6}) \tan^{-1}(x^3 + x^{-3})}$.
माना $t = \tan^{-1}(x^3 + x^{-3})$.
तब $dt = \frac{1}{1 + (x^3 + x^{-3})^2} \cdot (3x^2 - 3x^{-4}) dx$.
$dt = \frac{3(x^2 - x^{-4})}{1 + x^6 + 2 + x^{-6}} dx = \frac{3(x^2 - x^{-4})}{x^6 + 3 + x^{-6}} dx$.
अतः,$\frac{(x^2 - x^{-4}) dx}{x^6 + 3 + x^{-6}} = \frac{1}{3} dt$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{3t} dt = \frac{1}{3} \ln |t| + C$.
$I = \frac{1}{3} \ln |\tan^{-1}(x^3 + x^{-3})| + C = \ln |\tan^{-1}(x^3 + x^{-3})|^{1/3} + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) शीर्षों के स्थिति सदिश $A(2, -3, 3)$,$B(2, 2, 3)$,और $C(-1, 1, 3)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(2-2)^2 + (2 - (-3))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5$.
$AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (1 - (-3))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
चूंकि $AB = AC = 5$,त्रिभुज $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,शीर्ष कोण $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक $AD$,आधार $BC$ पर माध्यिका भी होता है।
इसलिए,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$D = \left( \frac{2 + (-1)}{2}, \frac{2 + 1}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3 \right)$.
कोण समद्विभाजक $AD$ की लंबाई $l$,$A(2, -3, 3)$ और $D\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3\right)$ के बीच की दूरी है:
$l = \sqrt{\left(2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-3 - \frac{3}{2}\right)^2 + (3 - 3)^2}$
$l = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{9}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{90}{4}} = \sqrt{\frac{45}{2}}$.
अतः,$l^2 = \frac{45}{2}$.
इसलिए,$2 l^2 = 2 \times \frac{45}{2} = 45$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2-4) dy = (y^2-3y) dx$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y(y-3)} = \int \frac{dx}{x^2-4}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \int (\frac{1}{y-3} - \frac{1}{y}) dy = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.
समाकलन करने पर: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.
$y(4) = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए $x=4$ और $y=\frac{3}{2}$ रखने पर:
$\frac{1}{3} \ln |\frac{3/2-3}{3/2}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{4-2}{4+2}| + C \Rightarrow \frac{1}{3} \ln |-1| = \frac{1}{4} \ln |\frac{1}{3}| + C \Rightarrow 0 = -\frac{1}{4} \ln 3 + C \Rightarrow C = \frac{1}{4} \ln 3$.
अब,$x=10$ के लिए: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{10-2}{10+2}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{8}{12}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{2}{3} \times 3| = \frac{1}{4} \ln 2$.
अतः,$\ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{3}{4} \ln 2 = \ln (2^{3/4}) = \ln (8^{1/4})$.
चूंकि $y(4) = 1.5$ है और ढाल कभी शून्य नहीं है,$y$ का मान $(0, 3)$ में रहेगा,इसलिए $\frac{y-3}{y} = -8^{1/4}$.
$y-3 = -y \cdot 8^{1/4} \Rightarrow y(1+8^{1/4}) = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{1+8^{1/4}}$.

(B) शीर्ष $A(2, 2, 1)$,$B(1, 2, 2)$,और $C(2, 1, 2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(2-2)^2 + (2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$
चूंकि $AB = BC = CA = \sqrt{2}$,त्रिभुज समबाहु है।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए,लंबकेंद्र $H$ केंद्रक $G$ के साथ संपाती होता है।
$G = \left(\frac{2+1+2}{3}, \frac{2+2+1}{3}, \frac{1+2+2}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$.
समबाहु त्रिभुज में,केंद्रक से किसी भी भुजा पर लंब की लंबाई,केंद्रक से उस भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी होती है।
भुजा $AB$ के लिए,मध्य बिंदु $D$ है $\left(\frac{2+1}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2, \frac{3}{2}\right)$.
$l_1 = \text{दूरी } GD = \sqrt{\left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}-2\right)^2 + \left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right)^2}$
$l_1 = \sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \sqrt{\frac{1}{6}}$.
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,$l_1 = l_2 = l_3 = \sqrt{\frac{1}{6}}$.
अतः,$l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(B) क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले वक्रों $y = 2x$ और $y = 6x - x^2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं।
$2x = 6x - x^2$ रखने पर,हमें $x^2 - 4x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x(x - 4) = 0$। अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$0 \leq x \leq 4$ के लिए,$2x \leq 6x - x^2$ है,इसलिए $\min \{2x, 6x - x^2\} = 2x$।
$x > 4$ के लिए,$6x - x^2 < 2x$ है,इसलिए $\min \{2x, 6x - x^2\} = 6x - x^2$।
वक्र $y = 6x - x^2$ $x$-अक्ष को $x = 0$ और $x = 6$ पर काटता है।
अतः,क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^4 2x \, dx + \int_4^6 (6x - x^2) \, dx$
प्रथम समाकलन की गणना करने पर:
$\int_0^4 2x \, dx = [x^2]_0^4 = 16 - 0 = 16$
द्वितीय समाकलन की गणना करने पर:
$\int_4^6 (6x - x^2) \, dx = [3x^2 - \frac{x^3}{3}]_4^6 = (3(36) - \frac{216}{3}) - (3(16) - \frac{64}{3}) = (108 - 72) - (48 - \frac{64}{3}) = 36 - \frac{144 - 64}{3} = 36 - \frac{80}{3} = \frac{108 - 80}{3} = \frac{28}{3}$
इसलिए,$A = 16 + \frac{28}{3} = \frac{48 + 28}{3} = \frac{76}{3}$।
अंत में,$12A = 12 \times \frac{76}{3} = 4 \times 76 = 304$।

(C) समीकरण $|A-xI|=0$ आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण है।
दिए गए मूल $\lambda_1 = -1$ और $\lambda_2 = 3$ हैं।
मूलों का योग (आव्यूह $A$ का ट्रेस) $\operatorname{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 = -1 + 3 = 2$ है।
मूलों का गुणनफल (आव्यूह $A$ का सारणिक) $|A| = \lambda_1 \lambda_2 = (-1)(3) = -3$ है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने स्वयं के अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है: $A^2 - \operatorname{tr}(A)A + |A|I = 0$.
मान रखने पर: $A^2 - 2A - 3I = 0$,जिसका अर्थ है $A^2 = 2A + 3I$.
दोनों पक्षों का ट्रेस लेने पर: $\operatorname{tr}(A^2) = \operatorname{tr}(2A + 3I) = 2\operatorname{tr}(A) + 3\operatorname{tr}(I)$.
चूंकि $\operatorname{tr}(A) = 2$ और $\operatorname{tr}(I) = 1 + 1 = 2$,इसलिए:
$\operatorname{tr}(A^2) = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y-2}{x-y}$.
माना $x = X+h$ और $y = Y+k$. इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+(h+k-2)}{X-Y+(h-k)}$ प्राप्त होता है।
समीकरण को समघातीय बनाने के लिए,$h+k-2=0$ और $h-k=0$ रखने पर,$h=1$ और $k=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$. अंश और हर को $X$ से विभाजित करने पर,$\frac{dY}{dX} = \frac{1+(Y/X)}{1-(Y/X)}$ प्राप्त होता है।
माना $Y/X = v$,तब $Y = vX$ और $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} \Rightarrow X\frac{dv}{dX} = \frac{1+v}{1-v} - v = \frac{1+v^2}{1-v}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{1-v}{1+v^2} dv = \frac{dX}{X}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+v^2} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$.
$\tan^{-1}(v) - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|X| + C$.
$v = \frac{y-1}{x-1}$ और $X = x-1$ रखने पर: $\tan^{-1}\left(\frac{y-1}{x-1}\right) - \frac{1}{2} \ln\left(1 + \left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right) = \ln|x-1| + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(2,1)$ से गुजरता है,$\tan^{-1}(0) - \frac{1}{2} \ln(1+0) = \ln|1| + C \Rightarrow C = 0$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$5\beta + \alpha = 5(2) + 1 = 11$.

(C) दिया गया है $f(x)=\int_0^x g(t) \ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$.
चूंकि $g(t)$ एक विषम फलन है और $\ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right)$ भी एक विषम फलन है,इसलिए उनका गुणनफल एक सम फलन है।
हालाँकि,एक सम फलन का $0$ से $x$ तक का समाकलन एक विषम फलन देता है। अतः,$f(-x) = -f(x)$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक विषम फलन है।
मान लीजिए $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(x) + \frac{x^2 \cos x}{1+e^x}\right) d x$.
गुणधर्म $\int_a^b h(x) dx = \int_a^b h(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(-x) + \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-x}}\right) d x$.
चूंकि $f(x)$ विषम है,$f(-x) = -f(x)$. साथ ही,$\frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} = \frac{x^2 \cos x \cdot e^x}{e^x+1}$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(x) - f(x) + \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} + \frac{x^2 e^x \cos x}{1+e^x}\right) d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$.
चूंकि $x^2 \cos x$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$,इसलिए $I = \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $I = [x^2 \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} 2x \sin x d x = \frac{\pi^2}{4} - 2([-x \cos x]_0^{\pi / 2} + \int_0^{\pi / 2} \cos x d x) = \frac{\pi^2}{4} - 2(0 + [\sin x]_0^{\pi / 2}) = \frac{\pi^2}{4} - 2$.
$\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2 - \alpha$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना पहली रेखा $\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z-7}{16} = \lambda$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+2, -2\lambda, 16\lambda+7)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z+2}{1} = k$ है। तो इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4k-3, 3k-2, k-2)$ है।
चूंकि वे $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$2\lambda+2 = 4k-3 \Rightarrow 2\lambda - 4k = -5$
$-2\lambda = 3k-2 \Rightarrow 2\lambda + 3k = 2$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $-k = -7 \Rightarrow k=1$। $k=1$ को $2\lambda+3(1)=2$ में रखने पर,हमें $2\lambda = -1 \Rightarrow \lambda = -1/2$ प्राप्त होता है।
$z$-निर्देशांक की जाँच करने पर: $16(-1/2)+7 = -8+7 = -1$ और $k-2 = 1-2 = -1$। चूंकि वे समान हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(4(1)-3, 3(1)-2, 1-2) = (1, 1, -1)$ है।
अब,हम रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{1}$ से $P(1, 1, -1)$ की दूरी $l$ ज्ञात करते हैं।
माना $A = (-1, 1, 1)$ रेखा पर एक बिंदु है और $\vec{v} = 2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}$ दिशा सदिश है।
सदिश $\vec{AP} = (1 - (-1))\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{k}$ है।
दूरी $l$ का सूत्र $l = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ है।
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(2 - (-4)) + \hat{k}(6 - 0) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{36+36+36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ है।
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2+3^2+1^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$ है।
$l = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{14}} \Rightarrow l^2 = \frac{36 \times 3}{14} = \frac{108}{14}$ है।
अतः,$14l^2 = 108$।

(C) दिया गया है कि $f(x) = \begin{cases} 2+2x, & -1 \leq x < 0 \\ 1-\frac{x}{3}, & 0 \leq x \leq 3 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} -x, & -3 \leq x \leq 0 \\ x, & 0 < x \leq 1 \end{cases}$ है।
हमें $f(g(x))$ का परिसर ज्ञात करना है।
स्थिति $1$: $-3 \leq x \leq 0$,तब $g(x) = -x$। चूँकि $-3 \leq x \leq 0$,इसलिए $0 \leq g(x) \leq 3$ प्राप्त होता है।
$0 \leq g(x) \leq 3$ के लिए,$f(g(x)) = 1 - \frac{g(x)}{3} = 1 - \frac{-x}{3} = 1 + \frac{x}{3}$।
जैसे-जैसे $x$,$-3$ से $0$ तक बदलता है,$f(g(x))$,$1 + \frac{-3}{3} = 0$ से $1 + \frac{0}{3} = 1$ तक बदलता है।
अतः,इस भाग के लिए परिसर $[0, 1]$ है।
स्थिति $2$: $0 < x \leq 1$,तब $g(x) = x$। चूँकि $0 < x \leq 1$,इसलिए $0 < g(x) \leq 1$ प्राप्त होता है।
$0 < g(x) \leq 3$ के लिए,$f(g(x)) = 1 - \frac{g(x)}{3} = 1 - \frac{x}{3}$।
जैसे-जैसे $x$,$0$ से $1$ तक बदलता है,$f(g(x))$,$1 - \frac{0}{3} = 1$ से $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ तक बदलता है।
अतः,इस भाग के लिए परिसर $[\frac{2}{3}, 1)$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$f(g(x))$ का परिसर $[0, 1]$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $p$ एक प्रयास में $2$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $p = \frac{1}{6}$।
मान लीजिए $q$ $2$ न प्राप्त करने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = \frac{5}{6}$।
यह घटना कि $2$ सम संख्या वाले प्रयासों में आता है,इसका अर्थ है कि यह $2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, \dots$ प्रयास में आता है।
प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{11}$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+5\vec{b}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है,अतः एक अदिश $\lambda$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{a}+5\vec{b} = \lambda\vec{c} \implies \vec{a} = \lambda\vec{c} - 5\vec{b}$.
दिया गया है कि $\vec{b}+6\vec{c}$,$\vec{a}$ के साथ संरेख है,अतः एक अदिश $\mu$ का अस्तित्व है जिससे $\vec{b}+6\vec{c} = \mu\vec{a}$.
$\vec{a}$ का मान दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{b}+6\vec{c} = \mu(\lambda\vec{c} - 5\vec{b})$
$\vec{b}+6\vec{c} = \mu\lambda\vec{c} - 5\mu\vec{b}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1+5\mu)\vec{b} + (6-\mu\lambda)\vec{c} = \vec{0}$.
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1+5\mu = 0 \implies \mu = -\frac{1}{5}$.
$6-\mu\lambda = 0 \implies 6 - (-\frac{1}{5})\lambda = 0 \implies 6 + \frac{\lambda}{5} = 0 \implies \lambda = -30$.
अब,$\lambda$ का मान $\vec{a}$ के समीकरण में रखने पर:
$\vec{a} = -30\vec{c} - 5\vec{b} \implies \vec{a} + 5\vec{b} + 30\vec{c} = \vec{0}$.
इसकी तुलना $\vec{a} + \alpha\vec{b} + \beta\vec{c} = \vec{0}$ से करने पर,हमें $\alpha = 5$ और $\beta = 30$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 5 + 30 = 35$.

(D) दिया गया समाकलन $y(x) = \int \frac{\frac{1}{\sin x} + \sin x}{\frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{\sin^3 x}{\cos x}} \, dx$ है।
समाकल्य को सरल करने पर:
$y(x) = \int \frac{\frac{1+\sin^2 x}{\sin x}}{\frac{1+\sin^4 x}{\sin x \cos x}} \, dx = \int \frac{(1+\sin^2 x) \cos x}{1+\sin^4 x} \, dx$.
माना $\sin x = t$,तब $\cos x \, dx = dt$.
$y(t) = \int \frac{1+t^2}{1+t^4} \, dt = \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 + \frac{1}{t^2}} \, dt = \int \frac{1 + \frac{1}{t^2}}{(t - \frac{1}{t})^2 + 2} \, dt$.
माना $u = t - \frac{1}{t}$,तब $du = (1 + \frac{1}{t^2}) \, dt$.
$y(u) = \int \frac{du}{u^2 + 2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right) + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{2}}\right) + C$.
जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$t \rightarrow 1$,इसलिए $u \rightarrow 0$.
दिया है $\lim_{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^-} y(x) = 0$,अतः $\frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(0) + C = 0 \implies C = 0$.
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$t = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$u = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \frac{1-2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{-1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ है।
$(1 + \cos^2 x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} \right) y = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x}$ और $Q(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx}$ है।
माना $u = 1 + \cos^2 x$,तो $du = -2 \cos x \sin x dx = -\sin 2x dx$ होगा।
अतः,$I.F. = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln(u)} = 1 + \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(1 + \cos^2 x) = \int \left( \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \right) (1 + \cos^2 x) dx = \int \sin x dx = -\cos x + C$।
चूँकि $f(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ रखने पर,$y(1 + \cos^2 0) = -\cos 0 + C \implies 0(2) = -1 + C \implies C = 1$।
इस प्रकार,$y(1 + \cos^2 x) = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,$y(1 + \cos^2 \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos \frac{\pi}{2} \implies y(1 + 0) = 1 - 0 \implies y = 1$।

(B) मान लीजिए $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
लंबाईयाँ $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ और $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = 6$ हैं।
कोण समद्विभाजक $OC$,$AB$ को $|\vec{a}| : |\vec{b}| = 3 : 6 = 1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$C$ का स्थिति सदिश $\vec{c} = \frac{1(\vec{b}) + 2(\vec{a})}{1+2} = \frac{(2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}) + 2(2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})}{3} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}}{3} = 2 \hat{i} + \frac{8}{3} \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
$OC$ की लंबाई $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{136}}{3} = \frac{2 \sqrt{34}}{3}$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = 4\sqrt{2}x^3 - 3\sqrt{2}x - 1$,अंतराल $[\frac{1}{2}, 1]$ पर।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 12\sqrt{2}x^2 - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}(4x^2 - 1)$.
$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ के लिए,$4x^2 \geq 1$,इसलिए $f'(x) \geq 0$. अतः,$f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अंत बिंदुओं का मूल्यांकन करें: $f(\frac{1}{2}) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{8}) - 3\sqrt{2}(\frac{1}{2}) - 1 = -\sqrt{2} - 1 < 0$.
$f(1) = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$.
चूंकि $f(\frac{1}{2}) < 0$ और $f(1) > 0$,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$[\frac{1}{2}, 1]$ में ठीक एक मूल है। इसलिए,$(I)$ सही है।
$(II)$ के लिए,$f(x) = 0$ रखें: $\sqrt{2}(4x^3 - 3x) = 1 \Rightarrow 4x^3 - 3x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
माना $x = \cos \theta$. तब $\cos(3\theta) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
$3\theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$.
अतः,$x = \cos \frac{\pi}{12}$ एक मूल है। इसलिए,$(II)$ सही है।
अतः,$(I)$ और $(II)$ दोनों सही हैं।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & \beta & \alpha \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = 1(\alpha^2 - \beta^2) - 0 + 0 = \alpha^2 - \beta^2$ है।
गुणधर्म $|kA| = k^n|A|$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n=3$ है,$|2A| = 2^3|A| = 8|A|$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $|2A|^3 = 2^{21}$,इसलिए $(8|A|)^3 = 2^{21}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$8|A| = (2^{21})^{1/3} = 2^7 = 128$।
अतः,$|A| = \frac{128}{8} = 16$।
अब,$\alpha^2 - \beta^2 = 16$,जिसे $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) = 16$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ है,$16$ के गुणनखंडों के आधार पर $(\alpha-\beta, \alpha+\beta)$ के संभावित जोड़े $(2, 8), (4, 4)$ आदि हैं।
यदि $(\alpha-\beta, \alpha+\beta) = (2, 8)$ है,तो जोड़ने पर $2\alpha = 10 \Rightarrow \alpha = 5$ प्राप्त होता है।
यदि $(\alpha-\beta, \alpha+\beta) = (4, 4)$ है,तो जोड़ने पर $2\alpha = 8 \Rightarrow \alpha = 4$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\alpha$ का मान $5$ है।

(C) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ हैं। $PQ$ का मध्य बिंदु $M$ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}) = (2, 1, 2)$ द्वारा दिया गया है।
$\triangle PQR$ का केंद्रक $G$ $(\frac{x_1+x_2-1}{3}, \frac{y_1+y_2+4}{3}, \frac{z_1+z_2+2}{3})$ है।
$M$ से मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $G = (\frac{4-1}{3}, \frac{2+4}{3}, \frac{4+2}{3}) = (1, 2, 2)$ प्राप्त होता है।
रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\frac{x-2}{0} = \frac{y}{2} = \frac{z+3}{-1} = k_1$. तब $x = 2, y = 2k_1, z = -k_1-3$.
मान लीजिए $\frac{x-1}{1} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z+1}{1} = k_2$. तब $x = k_2+1, y = -3k_2-3, z = k_2-1$.
$x$ की तुलना करने पर: $2 = k_2+1 \implies k_2 = 1$.
तब $y = -3(1)-3 = -6$ और $z = 1-1 = 0$.
पहली रेखा में जाँच करने पर: $y = 2k_1 = -6 \implies k_1 = -3$. तब $z = -(-3)-3 = 0$. बिंदु $A$ $(2, -6, 0)$ है।
दूरी $AG = \sqrt{(2-1)^2 + (-6-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 64 + 4} = \sqrt{69}$.

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ के लिए,$ab - ba = 0$ होता है,जो $5$ से विभाज्य है। अतः,$(a, b) R (a, b)$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$ है। तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $ad - bc = 5k$ है। यह दर्शाता है कि $bc - ad = 5(-k)$,जो भी $5$ से विभाज्य है। अतः,$(c, d) R (a, b)$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: $(3, 1) R (10, 5)$ पर विचार करें क्योंकि $3(5) - 1(10) = 5$,जो $5$ से विभाज्य है। साथ ही,$(10, 5) R (1, 1)$ क्योंकि $10(1) - 5(1) = 5$,जो $5$ से विभाज्य है। हालाँकि,$(3, 1)$ और $(1, 1)$ के लिए,$3(1) - 1(1) = 2$ होता है,जो $5$ से विभाज्य नहीं है। अतः,$(3, 1)$,$(1, 1)$ से संबंधित नहीं है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।

(A) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( \frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x} + \frac{1+\sin^2 x}{1+e^{\sin x^{323}}} \right) dx$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} (f(x) + f(-x)) dx$ का उपयोग करते हुए,
प्रथम पद के लिए,$\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x} + \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+\pi^{-x}} = x^2 \cos x$.
दूसरे पद के लिए,चूँकि $\sin x^{323}$ एक विषम फलन है,$g(x) + g(-x) = 1+\sin^2 x$.
अतः,$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (x^2 \cos x + 1 + \sin^2 x) dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} (x^2 \cos x + 1 + \sin^2 x) dx$.
$I = \int_{0}^{\pi/2} x^2 \cos x dx + \int_{0}^{\pi/2} 1 dx + \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx$.
गणना करने पर,$I = \frac{\pi^2}{4} - 2 + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{4} + \frac{3\pi}{4} - 2 = \frac{\pi}{4}(\pi+3) - 2$.
तुलना करने पर,$a=3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{(2^x + 2^{-x}) \tan x \sqrt{\tan^{-1}(x^2 - x + 1)}}{(7x^2 + 3x + 1)^3}$.
सबसे पहले,$f(0)$ का मान निकालें:
$f(0) = \frac{(2^0 + 2^0) \tan(0) \sqrt{\tan^{-1}(0-0+1)}}{(0+0+1)^3} = 0$.
अवकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{2^h + 2^{-h}}{(7h^2 + 3h + 1)^3} \cdot \frac{\tan h}{h} \cdot \sqrt{\tan^{-1}(h^2 - h + 1)} \right]$.
सीमा लेने पर:
$f'(0) = 2 \times 1 \times \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{\pi}$.

(D) दिया गया है कि $A$ एक वर्ग आव्यूह है जिसके लिए $AA^T = I$ है। चूँकि $A$ एक वर्ग आव्यूह है,$AA^T = I$ का अर्थ है कि $A^TA = I$ भी होगा।
अब,व्यंजक $\frac{1}{2} A[(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2]$ पर विचार करें।
कोष्ठक के अंदर के वर्गों का विस्तार करने पर:
$(A+A^T)^2 = A^2 + AA^T + A^TA + (A^T)^2 = A^2 + I + I + (A^T)^2 = A^2 + (A^T)^2 + 2I$.
$(A-A^T)^2 = A^2 - AA^T - A^TA + (A^T)^2 = A^2 - I - I + (A^T)^2 = A^2 + (A^T)^2 - 2I$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2 = (A^2 + (A^T)^2 + 2I) + (A^2 + (A^T)^2 - 2I) = 2A^2 + 2(A^T)^2$.
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} A[2A^2 + 2(A^T)^2] = A[A^2 + (A^T)^2] = A^3 + A(A^T)^2$.
चूँकि $A(A^T) = I$,इसलिए $A(A^T)^2 = (AA^T)A^T = I A^T = A^T$.
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $A^3 + A^T$ है।

(D) $m$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = 2^x - x^2 = 0$ के मूलों की संख्या देखते हैं,जो $2^x = x^2$ के बराबर है।
ग्राफ से,हम देख सकते हैं कि वक्र $y = 2^x$ और $y = x^2$ तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: एक ऋणात्मक क्षेत्र में (मान लीजिए $\alpha$),एक $x = 2$ पर,और एक $x = 4$ पर। अतः,$m = 3$ है।
$n$ ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 2^x \ln 2 - 2x = 0$ के मूलों की संख्या देखते हैं,जो $2^x \ln 2 = 2x$ के बराबर है।
$y = 2^x \ln 2$ और $y = 2x$ के ग्राफ से,हम देख सकते हैं कि ये दो वक्र दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। अतः,$n = 2$ है।
इसलिए,$m + n = 3 + 2 = 5$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2)(1+\ln x) dx + x dy = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1+\ln x}{x} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{1}{x} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$।
इसका सरलीकरण $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \tan^{-1} y = C$ है।
चूंकि वक्र $(1,1)$ से गुजरता है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर: $\ln(1) + \frac{(\ln 1)^2}{2} + \tan^{-1}(1) = C$,जिससे $0 + 0 + \frac{\pi}{4} = C$ प्राप्त होता है,अतः $C = \frac{\pi}{4}$।
वक्र का समीकरण $\ln x + \frac{(\ln x)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$ है।
$x=e$ के लिए,$\ln(e) + \frac{(\ln e)^2}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $1 + \frac{1}{2} + \tan^{-1} y = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$\tan^{-1} y = \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}$,इसलिए $y = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan(3/2)}{1 + \tan(\pi/4)\tan(3/2)} = \frac{1 - \tan(3/2)}{1 + \tan(3/2)}$।
इसकी तुलना $y(e) = \frac{\alpha - \tan(3/2)}{\beta + \tan(3/2)}$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\alpha + 2\beta = 1 + 2(1) = 3$।

(D) वृत्त $x^2+y^2=13^2$ है और रेखा $y=5x-13$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+(5x-13)^2=169 \implies x^2+25x^2-130x+169=169 \implies 26x^2-130x=0 \implies 26x(x-5)=0$. अतः,$x=0$ (जिससे $y=-13$) और $x=5$ (जिससे $y=12$) प्राप्त होते हैं।
रेखा $y=5x-13$ के नीचे और वृत्त के अंदर का क्षेत्रफल,वृत्त के चाप और रेखाखंड द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है। $x$ के सापेक्ष $0$ से $5$ तक समाकलन करने पर:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{5} (\sqrt{169-x^2} - (5x-13)) dx$
$= \int_{0}^{5} \sqrt{13^2-x^2} dx - \int_{0}^{5} (5x-13) dx$
$= [\frac{x}{2}\sqrt{169-x^2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{13})]_0^5 - [\frac{5x^2}{2}-13x]_0^5$
$= (\frac{5}{2}\sqrt{144} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})) - (\frac{125}{2}-65)$
$= 30 + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13}) + \frac{5}{2} = \frac{65}{2} + \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{5}{13})$.
$\sin^{-1}(\frac{5}{13}) = \cos^{-1}(\frac{12}{13}) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})$ का उपयोग करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{65}{2} + \frac{169}{2}(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\frac{12}{13})) = \frac{169\pi}{4} - \frac{169}{2}\sin^{-1}(\frac{12}{13}) + \frac{65}{2}$.
दिए गए रूप $\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ से तुलना करने पर,$\alpha=169, \beta=2$ प्राप्त होता है। चूँकि $\gcd(169, 2)=1$,इसलिए $\alpha+\beta = 169+2 = 171$।