ધારો કે x=x(t) અને y=y(t) એ વિકલ સમીકરણો frac | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણો $\frac{dx}{dt} = -ax$ અને $\frac{dy}{dt} = -by$ છે.$\frac{dx}{dt} = -ax$ ને ચલ અલગ કરીને ઉકેલતા,$\int \frac{dx}{x} = -\int a dt$

Vedclass · Accepted Answer

$\log_{\frac{4}{3}} 2$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણો $\frac{dx}{dt} = -ax$ અને $\frac{dy}{dt} = -by$ છે.$\frac{dx}{dt} = -ax$ ને ચલ અલગ કરીને ઉકેલતા,$\int \frac{dx}{x} = -\int a dt$ મળે,જે $\ln|x| = -at + C_1$ આપે છે.$x(0)=2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\ln 2 = C_1$ મળે,તેથી $x(t) = 2e^{-at}$.તે જ રીતે,$y(0)=1$ સાથે $\frac{dy}{dt} = -by$ ને ઉકેલતા,$y(t) = e^{-bt}$ મળે છે.આપેલ છે કે $3y(1) = 2x(1)$,તેથી:$3e^{-b} = 2(2e^{-a}) \implies 3e^{-b} = 4e^{-a} \implies e^{a-b} = \frac{4}{3}$.આપણે $t$ શોધવાનું છે જેથી $x(t) = y(t)$ થાય:$2e^{-at} = e^{-bt} \implies 2 = e^{(a-b)t}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\ln 2 = (a-b)t$.કારણ કે $e^{a-b} = \frac{4}{3}$,તેથી $a-b = \ln(\frac{4}{3})$.આમ,$\ln 2 = t \ln(\frac{4}{3}) \implies t = \frac{\ln 2}{\ln(\frac{4}{3})} = \log_{\frac{4}{3}} 2$.

Similar Questions

$x dx + y dy = x^2 y dy - x y^2 dx$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(y \sin x + y) \frac{dy}{dx} - \cos^2 x = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$(x+y)^{2} \frac{d y}{d x}=a^{2}, a \neq 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો ($C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module