ધારો કે f(x)=int_0^x g(t) log _eleft(frac{1-t | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\int_0^x g(t) \ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$.કારણ કે $g(t)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને $\ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right)$ પણ અય

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\int_0^x g(t) \ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right) d t$.કારણ કે $g(t)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને $\ln \left(\frac{1-t}{1+t}\right)$ પણ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર યુગ્મ વિધેય થાય.જોકે,યુગ્મ વિધેયનું $0$ થી $x$ સુધીનું સંકલન અયુગ્મ વિધેય આપે છે. આમ,$f(-x) = -f(x)$,એટલે કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(x) + \frac{x^2 \cos x}{1+e^x}\right) d x$.ગુણધર્મ $\int_a^b h(x) dx = \int_a^b h(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(-x) + \frac{(-x)^2 \cos(-x)}{1+e^{-x}}\right) d x$.$f(x)$ અયુગ્મ હોવાથી,$f(-x) = -f(x)$. વળી,$\frac{x^2 \cos x}{1+e^{-x}} = \frac{x^2 \cos x \cdot e^x}{e^x+1}$.$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left(f(x) - f(x) + \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} + \frac{x^2 e^x \cos x}{1+e^x}\right) d x = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$.$x^2 \cos x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I = 2 \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$,તેથી $I = \int_0^{\pi / 2} x^2 \cos x d x$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $I = [x^2 \sin x]_0^{\pi / 2} - \int_0^{\pi / 2} 2x \sin x d x = \frac{\pi^2}{4} - 2([-x \cos x]_0^{\pi / 2} + \int_0^{\pi / 2} \cos x d x) = \frac{\pi^2}{4} - 2(0 + [\sin x]_0^{\pi / 2}) = \frac{\pi^2}{4} - 2$.$\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2 - \alpha$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.

Similar Questions

જો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $f(x) = \int\limits_0^\pi {\frac{t \sin t \, dt}{\sqrt{1 + \tan^2 x \sin^2 t}}}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

જો $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ અને $\int_2^4 (3 - f(x)) dx = 7$ હોય,તો $\int_{-1}^2 f(x) dx = $

$\int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt + \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\int_0^1 {{e^{{x^2}}}(x - \alpha )\,dx = 0,} $ હોય,તો

$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) dx = 0$ માટે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module