JEE Main 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $(e^{2x} - 4)(6e^{2x} - 5e^x + 1) = 0$
દ્વિઘાત ભાગનું અવયવીકરણ કરતા: $6e^{2x} - 5e^x + 1 = (3e^x - 1)(2e^x - 1) = 0$
તેથી,સમીકરણ: $(e^{2x} - 4)(3e^x - 1)(2e^x - 1) = 0$
ત્રણ શક્યતાઓ મળે છે:
$1) e^{2x} = 4 \Rightarrow x = \ln 2$
$2) e^x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = -\ln 3$
$3) e^x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\ln 2$
વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો = $\ln 2 - \ln 3 - \ln 2 = -\ln 3$.

(D) આપણને $x, y > 0$ અને $x^{3} y^{2} = 2^{15}$ આપેલ છે.
આપણે $3x + 2y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x+x+x+y+y}{5} \geq \sqrt[5]{x^{3} y^{2}}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq (2^{15})^{1/5}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq 2^{3}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq 8$.
$3x + 2y \geq 40$.
આમ,$3x + 2y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $40$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
$P$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = y'(X - x)$ છે.
$x$-અક્ષ માટે,$Y = 0$ લેતા,$X = x - \frac{y}{y'}$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $Q$ એ $\left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$ છે.
$y$-અક્ષ રેખાખંડ $PQ$ ને દુભાગે છે,તેથી $PQ$ ના મધ્યબિંદુનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$\frac{x + (x - \frac{y}{y'})}{2} = 0$ $\Rightarrow 2x - \frac{y}{y'} = 0$ $\Rightarrow y' = \frac{y}{2x}$.
ચલ અલગ કરતા,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln(y) = \frac{1}{2} \ln(x) + C$,જે $y^2 = kx$ માં પરિણમે છે.
વક્ર $(3, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3^2 = k(3) \Rightarrow k = 3$.
આમ,વક્ર $y^2 = 3x$ છે.
$y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 3$,તેથી નાભિલંબની લંબાઈ $3$ છે અને નાભિ $\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ લો,જ્યાં $b=2$. શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ છે. એક શિરોબિંદુ $(a, 0)$ લો.
બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $(-a \cos \theta, 2 \sin \theta)$ અને $(-a \cos \theta, -2 \sin \theta)$ લો.
ત્રિકોણનો પાયો $4 \sin \theta$ અને ઊંચાઈ $a + a \cos \theta = a(1 + \cos \theta)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times (4 \sin \theta) \times a(1 + \cos \theta) = 2a \sin \theta (1 + \cos \theta)$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$f(\theta) = \sin \theta (1 + \cos \theta)$ લો.
$f'(\theta) = 2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$.
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$.
$\theta \neq \pi$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$A_{\max} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a = 6\sqrt{3} \Rightarrow a = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $A(1, \alpha)$,$B(\alpha, 0)$ અને $C(0, \alpha)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |1(0 - \alpha) + \alpha(\alpha - \alpha) + 0(\alpha - 0)| = 4$
$\frac{1}{2} |-\alpha| = 4 \Rightarrow |\alpha| = 8 \Rightarrow \alpha = \pm 8$.
જો $\alpha = 8$ હોય,તો બિંદુઓ $(8, -8)$,$(-8, 8)$ અને $(64, \beta)$ મળે.
આ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેમનો ઢાળ સમાન હોય.
$(8, -8)$ અને $(-8, 8)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{8 - (-8)}{-8 - 8} = \frac{16}{-16} = -1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 8 = -1(x + 8) \Rightarrow y = -x$ છે.
બિંદુ $(64, \beta)$ આ રેખા પર હોવાથી,$\beta = -64$.
જો $\alpha = -8$ લઈએ,તો પણ સમાન રેખા $y = -x$ મળે છે,તેથી $\beta = -64$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{4} \cos ^{2} 2 x$.
નિત્યસમ $\cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 2x$.
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$ મૂકતા:
$\frac{1}{4} - \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 2x$.
$4$ વડે ગુણતા:
$1 - 4 \sin^2 x = \cos^2 2x$.
$1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ મળે:
$1 - 2(1 - \cos 2x) = \cos^2 2x$.
$1 - 2 + 2 \cos 2x = \cos^2 2x$.
$\cos^2 2x - 2 \cos 2x + 1 = 0$.
$(\cos 2x - 1)^2 = 0$.
$\cos 2x = 1$.
$2x = 2n\pi \implies x = n\pi$.
$x \in [-3\pi, 3\pi]$ માટે,$n$ ની કિંમતો $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આમ,કુલ $7$ ઉકેલો મળે.

(A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P \rightarrow B$ છે,જ્યાં $P = (A \wedge C)$ છે.
આ વિધાન $(A \wedge C) \rightarrow B$ છે.
ગર્ભિત વિધાન $P \rightarrow Q$ નું નકાર $P \wedge (\sim Q)$ થાય છે.
અહીં,$P = (A \wedge C)$ અને $Q = B$ છે.
તેથી,નકાર $(A \wedge C) \wedge (\sim B)$ થાય.

(C) શરત $|z-3| \leq 1$ એ $(3, 0)$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
શરત $z(4+3i) + \bar{z}(4-3i) \leq 24$ ને $z = x + iy$ મૂકીને સરળ બનાવી શકાય છે:
$8x - 6y \leq 24 \Rightarrow 4x - 3y \leq 12$.
આપણે $S$ પ્રદેશમાં $(0, 4)$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ $(\alpha, \beta)$ શોધવું છે.
રેખા $4x - 3y = 12$ એ $(3, 0)$ અને $(0, -4)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(0, 4)$ અને $(3, 0)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $4x + 3y = 12$ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$4x + 3y = 12$
$(x-3)^2 + y^2 = 1$
ઉકેલતા $y = \frac{4}{5}$ અને $x = \frac{12}{5}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = \frac{12}{5}$ અને $\beta = \frac{4}{5}$.
$25(\alpha + \beta) = 25(\frac{12}{5} + \frac{4}{5}) = 80$.

(C) આપેલ અંકો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$ છે. અંકોનો સરવાળો $31$ છે.
$7$ અંકની સંખ્યા $abcdefg$ માટે,એકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો $O$ અને બેકી સ્થાનના અંકોનો સરવાળો $E$ હોય,તો $O - E$ એ $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$O + E = 31$ અને $O - E = 11k$ લેતા,$O - E = 11$ અથવા $-11$ મળે.
કિસ્સો $1$: $O = 21$ અને $E = 10$. $E$ માટેના શક્ય સેટ $\{1, 2, 7\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 3, 5\}$ છે. કુલ સંખ્યા $= 3 \times 3! \times 4! = 432$.
કિસ્સો $2$: $O = 10$ અને $E = 21$. $E$ માટેનો શક્ય સેટ $\{5, 7, 9\}$ છે. કુલ સંખ્યા $= 1 \times 3! \times 4! = 144$.
કુલ સંખ્યા $= 432 + 144 = 576$.

(B) આપણે $\alpha \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ નો સરવાળો શોધવો છે જેથી $\operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1$ થાય.
$24 = 2^3 \times 3$ હોવાથી,$\operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1$ નો અર્થ એ છે કે $\alpha$ એ $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$1$ થી $100$ સુધીની તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો: $S(100) = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$.
$2$ ના ગુણકોનો સરવાળો: $2550$.
$3$ ના ગુણકોનો સરવાળો: $1683$.
$6$ ના ગુણકોનો સરવાળો: $816$.
આવશ્યક સરવાળો $= 5050 - (2550 + 1683 - 816) = 5050 - 3417 = 1633$.

(B) આપેલ સરવાળો એ $a=1$,$r=3$ અને $n=2022$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સરવાળો $S = \frac{1(3^{2022}-1)}{3-1} = \frac{3^{2022}-1}{2}$.
આપણે $3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011} = (10-1)^{1011}$ લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(10-1)^{1011} = 100k - 10111$.
તેથી,$S = \frac{100k - 10111 - 1}{2} = 50k - 5056$.
$S = 50(k-102) + 4$.
આમ,શેષ $4$ છે.

(D) વર્તુળ $x$-અક્ષને $(1, 0)$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (1, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $(1, r)$ થી રેખા $x + y = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1 + r|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{|r + 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $2$ હોવાથી,અડધી લંબાઈ $1$ થાય.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$r^{2} = d^{2} + 1^{2}$.
$d$ ની કિંમત મૂકતા,$r^{2} = \left(\frac{r + 1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + 1$.
$r^{2} = \frac{(r + 1)^{2}}{2} + 1$.
$2r^{2} = r^{2} + 2r + 1 + 2$.
$r^{2} - 2r - 3 = 0$.
$(r - 3)(r + 1) = 0$.
$r > 0$ હોવાથી,$r = 3$.
તેથી,$h = 1$,$k = 3$,અને $r = 3$.
$h + k + r = 1 + 3 + 3 = 7$.

(A) અતિવલય $H : \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ માટે,નાભિલંબની લંબાઈ $LR_H = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1)^2}{a} = \frac{2}{a}$ છે.
ઉપવલય $E : 3x^2 + 4y^2 = 12$ માટે,તેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે. નાભિલંબની લંબાઈ $LR_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(3)}{2} = 3$ છે.
આપેલ છે કે $LR_H = LR_E$,તેથી $\frac{2}{a} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{2}{3}$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{(2/3)^2}} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ છે. તેથી,$e_H^2 = \frac{13}{4}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_E = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ છે. તેથી,$e_E^2 = \frac{1}{4}$.
અંતે,$12(e_H^2 + e_E^2) = 12(\frac{13}{4} + \frac{1}{4}) = 12(\frac{14}{4}) = 3 \times 14 = 42$.

(A) પરવલય $P_{1}$ ની અક્ષ શિરોબિંદુ $(3,2)$ અને નાભિ $(4,4)$ માંથી પસાર થાય છે. અક્ષનો ઢાળ $m = \frac{4-2}{4-3} = 2$ છે.
નિયામિકા અક્ષને લંબ હોવાથી,નિયામિકાનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,નિયામિકાનું સમીકરણ $x + 2y = k$ સ્વરૂપનું છે.
શિરોબિંદુ $(3,2)$ થી નિયામિકાનું અંતર એ શિરોબિંદુથી નાભિના અંતર જેટલું હોય છે,જે $a = \sqrt{(4-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ છે.
બિંદુ $(3,2)$ થી રેખા $x + 2y - k = 0$ સુધીના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|3 + 2(2) - k|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \sqrt{5} \implies |7 - k| = 5$.
આનાથી $7 - k = 5 \implies k = 2$ અથવા $7 - k = -5 \implies k = 12$ મળે છે.
નાભિ $(4,4)$ એ $4 + 2(4) = 12$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી રેખા $x + 2y = 12$ નાભિમાંથી પસાર થાય છે અને તે નિયામિકા હોઈ શકે નહીં. આમ,$P_{1}$ ની નિયામિકા $x + 2y = 2$ છે.
ધારો કે પરાવર્તનની રેખા $L: x + 2y = 6$ છે. રેખા $x + 2y = 2$ નું $x + 2y = 6$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ શોધવા માટે,આપણે નોંધીએ છીએ કે રેખાઓ સમાંતર છે.
જો રેખા $x + 2y = c$ એ $x + 2y = 2$ નું $x + 2y = 6$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ હોય,તો $6$ એ $2$ અને $c$ નો સમાંતર મધ્યક છે:
$\frac{2 + c}{2} = 6 \implies 2 + c = 12 \implies c = 10$.
તેથી,$P_{2}$ ની નિયામિકા $x + 2y = 10$ છે.

(D) ગણ $A$ એ સંકર સમતલમાં $z_0 = 1 + i$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 1$ તથા $r_2 = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતો વલયાકાર પ્રદેશ દર્શાવે છે.
ગણ $B$ એવા બિંદુઓ $z$ નો બનેલો છે જે આ વલયાકાર પ્રદેશ $A$ માં આવેલા છે અને સમીકરણ $|z - (1 - i)| = 1$ નું સમાધાન કરે છે. આ સમીકરણ $z_1 = 1 - i$ કેન્દ્ર અને $r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો $z_0 = 1 + i$ અને $z_1 = 1 - i$ વચ્ચેનું અંતર:
$|z_0 - z_1| = |(1 + i) - (1 - i)| = |2i| = 2$.
$B$ વ્યાખ્યાયિત કરતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $1$ છે. આ વર્તુળ પરના બિંદુઓ કેન્દ્ર $(1, -1)$ થી $1$ ના અંતરે છે.
બિંદુ $z = 1$ ધ્યાનમાં લો.
$z = 1$ માટે,$|z - (1 + i)| = |1 - 1 - i| = |-i| = 1$,તેથી $z = 1$ એ $A$ ની અંદરની સીમા પર છે.
વળી,$|z - (1 - i)| = |1 - 1 + i| = |i| = 1$,તેથી $z = 1$ એ $B$ વ્યાખ્યાયિત કરતા વર્તુળ પર છે.
આમ,$z = 1$ એ $B$ માં છે.
વર્તુળ $|z - (1 - i)| = 1$ નો ચાપ પ્રદેશ $A$ ની અંદર આવેલો હોવાથી,$B$ માં અનંત બિંદુઓ છે.

(D) આપણે $3^{2022}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011}$.
આપણે $9$ ને $(10 - 1)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$9^{1011} = (10 - 1)^{1011}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(10 - 1)^{1011} = \sum_{k=0}^{1011} \binom{1011}{k} 10^{1011-k} (-1)^k$.
આને $10 \cdot N - 1$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $N$ એ પૂર્ણાંક છે.
$10 \cdot N - 1 = 10 \cdot N - 5 + 4 = 5(2N - 1) + 4$.
તેથી,$3^{2022}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $4$ છે.

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ એ $(0,6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $6B+C=-36$ (સમીકરણ $1$).
પરવલય $y=x^{2}$ માટે $(2,4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4x-y-4=0$ છે (સમીકરણ $2$).
વર્તુળ માટે $(2,4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $(4+A)x+(8+B)y+(2A+4B+2C)=0$ છે (સમીકરણ $3$).
બંને સ્પર્શકો સમાન હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+4B=-36$ (સમીકરણ $4$) અને $3A+4B+2C=-4$ (સમીકરણ $5$).
સમીકરણ $5$ માંથી સમીકરણ $4$ બાદ કરતા:
$2A+2C=32$,તેથી $A+C=16$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^{2} + \lambda x - 1 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{\lambda}{3}$ અને $\alpha\beta = -\frac{1}{3}$ છે.
બીજના વ્યસ્તના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha^{2}} + \frac{1}{\beta^{2}} = 15$ આપેલ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^{2}} = 15$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(-\lambda/3)^{2} - 2(-1/3)}{(-1/3)^{2}} = 15$.
$\frac{\lambda^{2}/9 + 2/3}{1/9} = 15 \implies \lambda^{2} + 6 = 15 \implies \lambda^{2} = 9$.
હવે,$6(\alpha^{3} + \beta^{3})^{2}$ ની ગણતરી કરીએ.
$\alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^{2} - 3\alpha\beta) = (-\frac{\lambda}{3})(\frac{\lambda^{2}}{9} + 1)$.
$\lambda^{2} = 9$ હોવાથી,$\alpha^{3} + \beta^{3} = (-\frac{\lambda}{3})(1 + 1) = -\frac{2\lambda}{3}$.
તેથી $6(\alpha^{3} + \beta^{3})^{2} = 6(-\frac{2\lambda}{3})^{2} = 6(\frac{4 \times 9}{9}) = 24$.

(B) સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d=1$ આપેલ છે,તેથી $\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)] = 192$.
$2a_1 + n - 1 = \frac{384}{n} \quad \dots(1)$
પદો $a_{2i}$ એ $a_2, a_4, \dots, a_n$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $a_2 = a_1 + 1$ અને સામાન્ય તફાવત $2d = 2$ છે.
પદોની સંખ્યા $n/2$ છે.
$\sum_{i=1}^{n/2} a_{2i} = \frac{n/2}{2}[2(a_1+1) + (n/2 - 1)2] = 120$.
$\frac{n}{4}[2a_1 + 2 + n - 2] = 120 \Rightarrow \frac{n}{4}[2a_1 + n] = 120$.
$2a_1 + n = \frac{480}{n} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(2a_1 + n) - (2a_1 + n - 1) = \frac{480}{n} - \frac{384}{n}$.
$1 = \frac{96}{n}$.
$n = 96$.

(D) આપેલ અતિવલય $a^{2}x^{2} - y^{2} = b^{2}$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{(b/a)^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{A^{2}} - \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તો તેની શરત $c^{2} = A^{2}m^{2} - B^{2}$ છે.
અહીં,રેખા $\lambda x - 2y = \mu$ છે,જેને $y = \frac{\lambda}{2}x - \frac{\mu}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{\lambda}{2}$ અને $c = -\frac{\mu}{2}$ મળે.
અહીં $A^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ અને $B^{2} = b^{2}$ છે.
શરત $c^{2} = A^{2}m^{2} - B^{2}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(-\frac{\mu}{2})^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}(\frac{\lambda}{2})^{2} - b^{2}$
$\frac{\mu^{2}}{4} = \frac{b^{2}\lambda^{2}}{4a^{2}} - b^{2}$
$\frac{4}{b^{2}}$ વડે ગુણતા:
$\frac{\mu^{2}}{b^{2}} = \frac{\lambda^{2}}{a^{2}} - 4$
પદોને ગોઠવતા,$\frac{\lambda^{2}}{a^{2}} - \frac{\mu^{2}}{b^{2}} = 4$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta \tan \theta + \tan \theta = \sin 2 \theta$
$\tan \theta (\sin \theta + 1) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta$
કિસ્સો $1$: $\tan \theta = 0 \implies \theta = 0, \pi, -\pi$ (કારણ કે $\theta \in [-\pi, \pi]$).
કિસ્સો $2$: $\sin \theta + 1 = 2 \cos^2 \theta = 2(1 - \sin^2 \theta) = 2(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)$.
જો $\sin \theta = -1$ હોય,તો $\theta = -\frac{\pi}{2}$,જે બાકાત છે.
જો $\sin \theta \neq -1$ હોય,તો $1 = 2(1 - \sin \theta) \implies 1 = 2 - 2 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
ગણ $S = \{0, \pi, -\pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \}$,તેથી $n(S) = 5$.
$T = \sum_{\theta \in S} \cos 2 \theta = \cos(0) + \cos(2\pi) + \cos(-2\pi) + \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{5\pi}{3})$
$T = 1 + 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 4$.
તેથી,$T + n(S) = 4 + 5 = 9$.

(B) ધારો કે વિધાન $S$ એ $(p \Delta q) \Rightarrow ((p \Delta \sim q) \vee ((\sim p) \Delta q))$ છે.
દરેક કારક (operator) માટે ચકાસણી કરતા:
$1$. જો $\Delta = \wedge$ હોય,તો તે નિત્યસત્ય નથી.
$2$. જો $\Delta = \vee$ હોય,તો $(p \vee q) \Rightarrow (T) = T$,જે નિત્યસત્ય છે.
$3$. જો $\Delta = \Rightarrow$ હોય,તો તે તમામ સત્યતા મૂલ્યો માટે નિત્યસત્ય સાબિત થાય છે.
$4$. જો $\Delta = \Leftrightarrow$ હોય,તો તે નિત્યસત્ય નથી.
આમ,કુલ $2$ પસંદગીઓ શક્ય છે: $\vee$ અને $\Rightarrow$.

(B) ધારો કે $x_i$ એ $i$-માં પ્રશ્નમાં મેળવેલા ગુણ છે,જ્યાં $x_i \in \{3, -2, 0\}$.
આપણે એવી રીતો શોધવાની છે કે જેથી $\sum_{i=1}^{5} x_i = 5$ થાય.
ધારો કે $n_1$ સાચા જવાબોની સંખ્યા,$n_2$ ખોટા જવાબોની સંખ્યા અને $n_3$ પ્રયત્ન ન કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા છે.
આપણને $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ અને $3n_1 - 2n_2 = 5$ મળે છે.
$n_1 = 3$ અને $n_2 = 2$ લેતા,$n_3 = 0$ મળે છે.
આમ,વિદ્યાર્થી પાસે $3$ સાચા અને $2$ ખોટા જવાબો હોવા જોઈએ.
સાચા પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{3} = 10$ છે.
દરેક ખોટા જવાબ માટે $2$ ખોટા વિકલ્પો ઉપલબ્ધ છે,તેથી $2^2 = 4$ રીતો.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $10 \times 4 = 40$.

(B) આપેલ છે $A = \left(\frac{3}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\right)$.
$y$-અક્ષમાં $A$ નું પ્રતિબિંબ $B = \left(-\frac{3}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\right)$ છે.
$x$-અક્ષમાં $B$ નું પ્રતિબિંબ $C = \left(-\frac{3}{\sqrt{a}}, -\sqrt{a}\right)$ છે.
$\triangle ACD$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયકની મદદથી શોધતા:
$\text{Area} = 3\sqrt{a} |\cos \theta - \sin \theta|$
ચોથા ચરણમાં $\cos \theta - \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$3\sqrt{a} \cdot \sqrt{2} = 12$.
$\sqrt{2a} = 4 \implies 2a = 16 \implies a = 8$.

(C) બિંદુ $(\alpha, \beta)$ ઉપવલય $25x^{2} + 4y^{2} = 1$ પર છે,તેથી $\alpha = \frac{1}{5} \cos \theta$ અને $\beta = \frac{1}{2} \sin \theta$ લઈ શકાય.
પરવલય $y^{2} = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
તે $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $m^{2}\alpha - m\beta + 1 = 0$.
ધારો કે ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે જ્યાં $m_{1} = 4m_{2}$.
સમીકરણ પરથી $m_{1} + m_{2} = \frac{\beta}{\alpha}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{1}{\alpha}$.
$m_{1} = 4m_{2}$ મૂકતા,$5m_{2} = \frac{\beta}{\alpha}$ અને $4m_{2}^{2} = \frac{1}{\alpha}$.
તેથી $4\beta^{2} = 25\alpha$. $\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમત મૂકતા $\sin^{2} \theta = 5 \cos \theta$.
$1 - \cos^{2} \theta = 5 \cos \theta \Rightarrow \cos^{2} \theta + 5 \cos \theta - 1 = 0$.
$\cos \theta = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.
$10\alpha + 5 = \pm \sqrt{29}$,તેથી $(10\alpha + 5)^{2} = 29$.
$16\beta^{2} + 50 = \pm 10\sqrt{29}$,તેથી $(16\beta^{2} + 50)^{2} = 2900$.
કુલ સરવાળો $29 + 2900 = 2929$ થાય.

(B) પ્રથમ,ગણ $A$ માટે ઉકેલો: $|x + 1| < 2 \implies -2 < x + 1 < 2 \implies -3 < x < 1$. તેથી,$A = (-3, 1)$.
ત્યારબાદ,ગણ $B$ માટે ઉકેલો: $|x - 1| \geq 2 \implies x - 1 \leq -2$ અથવા $x - 1 \geq 2 \implies x \leq -1$ અથવા $x \geq 3$. તેથી,$B = (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
હવે,વિકલ્પો ચકાસો:
$A - B = (-3, 1) - ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-1, 1)$. આ સાચું છે.
$B - A = ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) - (-3, 1) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty) = R - (-3, 3)$. વિધાન $B - A = R - (-3, 1)$ ખોટું છે.
$A \cap B = (-3, 1) \cap ((-\infty, -1] \cup [3, \infty)) = (-3, -1]$. આ સાચું છે.
$A \cup B = (-3, 1) \cup (-\infty, -1] \cup [3, \infty) = (-\infty, 1) \cup [3, \infty) = R - [1, 3)$. આ સાચું છે.
તેથી,જે વિધાન સાચું નથી તે વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સમીકરણ $ax^{2}-2bx+15=0$ માટે,પુનરાવર્તિત બીજ $\alpha$ હોવાથી,વિવેચક શૂન્ય થાય:
$D = (-2b)^{2} - 4(a)(15) = 0 \implies 4b^{2} = 60a \implies b^{2} = 15a$.
વળી,બીજ $\alpha = -\frac{-2b}{2a} = \frac{b}{a}$.
$\alpha = \frac{b}{a}$ માં $a = \frac{b^{2}}{15}$ મૂકતા,$\alpha = \frac{b}{b^{2}/15} = \frac{15}{b}$ મળે.
$\alpha$ એ $x^{2}-2bx+21=0$ નું બીજ હોવાથી:
$(\frac{15}{b})^{2} - 2b(\frac{15}{b}) + 21 = 0$
$\frac{225}{b^{2}} - 30 + 21 = 0 \implies \frac{225}{b^{2}} = 9 \implies b^{2} = 25$.
સમીકરણ $x^{2}-2bx+21=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = 2b$ અને ગુણાકાર $\alpha\beta = 21$.
આપણે $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$ શોધવાનું છે.
$\alpha^{2}+\beta^{2} = (2b)^{2} - 2(21) = 4b^{2} - 42$.
$b^{2} = 25$ મૂકતા:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = 4(25) - 42 = 100 - 42 = 58$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{z}_{1} = i \overline{z}_{2}$. બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,$z_{1} = -i z_{2}$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\arg \left( \frac{-i z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$.
આર્ગ્યુમેન્ટના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\arg(-i) + \arg \left( \frac{z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}$ અને $\arg \left( \frac{z_{2}}{\overline{z}_{2}} \right) = 2\theta$,જ્યાં $\theta = \arg(z_{2})$.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} + 2\theta = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $2\theta = \frac{3\pi}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{3\pi}{4}$.
હવે,$z_{1} = -i z_{2} = |z_{2}| e^{i(\theta - \pi/2)} = |z_{2}| e^{i(3\pi/4 - \pi/2)} = |z_{2}| e^{i\pi/4}$.
આમ,$\arg(z_{1}) = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan^{2} x (\sqrt{2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4} - \sqrt{\sin^{2} x + 6 \sin x + 2})$.
લક્ષની અંદરની પદાવલિનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan^{2} x \cdot \frac{(2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4) - (\sin^{2} x + 6 \sin x + 2)}{\sqrt{2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4} + \sqrt{\sin^{2} x + 6 \sin x + 2}}$
$L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan^{2} x \cdot \frac{\sin^{2} x - 3 \sin x + 2}{\sqrt{2 \sin^{2} x + 3 \sin x + 4} + \sqrt{\sin^{2} x + 6 \sin x + 2}}$
જેમ $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,તેમ $\sin x \rightarrow 1$. છેદ $\sqrt{2+3+4} + \sqrt{1+6+2} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 6$ ને અનુલક્ષે છે.
$L = \frac{1}{6} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan^{2} x (\sin x - 1)(\sin x - 2)$
કારણ કે $\sin x - 2 \rightarrow -1$ જેમ $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,તેથી:
$L = \frac{1}{6} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} (\sin x - 1)(-1) = \frac{1}{6} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2} x (1 - \sin x)}{1 - \sin^{2} x}$
$L = \frac{1}{6} \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{2} x (1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{12}$.

(A) આપેલ પદાવલિ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (5+x)^{500}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{5+x}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 501$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{(5+x)^{500} \left[ 1 - \left( \frac{x}{5+x} \right)^{501} \right]}{1 - \frac{x}{5+x}} = \frac{(5+x)^{501} - x^{501}}{5}$
આપણે $\frac{1}{5} [(5+x)^{501} - x^{501}]$ માં $x^{101}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(5+x)^{501}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{101}$ વાળું પદ $^{501}C_{101} (5)^{400} x^{101}$ છે.
તેથી,પદાવલિમાં $x^{101}$ નો સહગુણક $\frac{1}{5} \times ^{501}C_{101} (5)^{400} = ^{501}C_{101} (5)^{399}$ થાય.

(B) ધારો કે $S = 1 \cdot 3^{0} + 2 \cdot 3^{1} + 3 \cdot 3^{2} + \dots + 10 \cdot 3^{9}$.
$3$ વડે ગુણતા,$3S = 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{2} + \dots + 9 \cdot 3^{9} + 10 \cdot 3^{10}$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - 3S = 1 \cdot 3^{0} + (2-1) \cdot 3^{1} + (3-2) \cdot 3^{2} + \dots + (10-9) \cdot 3^{9} - 10 \cdot 3^{10}$.
$-2S = (1 + 3^{1} + 3^{2} + \dots + 3^{9}) - 10 \cdot 3^{10}$.
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ $a=1$,$r=3$ અને $n=10$ પદો ધરાવતી ગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$-2S = \frac{1(3^{10} - 1)}{3 - 1} - 10 \cdot 3^{10}$.
$-2S = \frac{3^{10} - 1}{2} - 10 \cdot 3^{10}$.
$-2S = \frac{3^{10} - 1 - 20 \cdot 3^{10}}{2} = \frac{-19 \cdot 3^{10} - 1}{2}$.
$S = \frac{19 \cdot 3^{10} + 1}{4}$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષ $(x=0)$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |h|$.
વર્તુળ રેખા $x+y=0$ ને પણ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ થી રેખા $x+y=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$r = \frac{|h+k|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
$r$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$|h| = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^{2} = \frac{(h+k)^{2}}{2}$.
$2h^{2} = h^{2} + k^{2} + 2hk$.
$h^{2} - k^{2} = 2hk$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^{2}-y^{2}=2xy$ મળે છે.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $2 \sin(12^{\circ}) - \sin(72^{\circ})$ છે.
નિત્યસમ $\sin(C) - \sin(D) = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin(12^{\circ}) + (\sin(12^{\circ}) - \sin(72^{\circ}))$
$= \sin(12^{\circ}) - 2 \cos(42^{\circ}) \sin(30^{\circ})$
$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$= \sin(12^{\circ}) - \cos(42^{\circ})$
$= \sin(12^{\circ}) - \sin(48^{\circ})$
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cos(30^{\circ}) \sin(-18^{\circ}) = -2 \cos(30^{\circ}) \sin(18^{\circ})$
કિંમતો મૂકતા:
$= -2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{5})}{4}$

(C) ધારો કે આપેલ અભિવ્યક્તિ $S = ((\sim q) \wedge p) \Rightarrow ((\sim p) \vee q)$ છે.
ગર્ભિત નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$S \equiv \sim((\sim q) \wedge p) \vee ((\sim p) \vee q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim((\sim q) \wedge p) \equiv q \vee (\sim p)$.
તેથી,$S \equiv (q \vee \sim p) \vee (\sim p \vee q) \equiv \sim p \vee q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sim p \vee q \equiv p \Rightarrow q$.
તેથી,અભિવ્યક્તિનું નિષેધ $\sim(p \Rightarrow q)$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y = x - x^{2}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ છે.
$P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1 - 2x$ દ્વારા મળે છે. $x = \alpha$ પર,ઢાળ $1 - 2\alpha$ છે.
રેખા $y = kx + 4$ એ $A(0, 4)$ અને $P(\alpha, \alpha - \alpha^{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $AP$ નો ઢાળ $\frac{(\alpha - \alpha^{2}) - 4}{\alpha - 0} = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $1 - 2\alpha = \frac{\alpha - \alpha^{2} - 4}{\alpha}$.
$\alpha(1 - 2\alpha) = \alpha - \alpha^{2} - 4$
$\alpha - 2\alpha^{2} = \alpha - \alpha^{2} - 4$
$\alpha^{2} = 4 \Rightarrow \alpha = \pm 2$.
$k > 0$ હોવાથી,ઢાળ $1 - 2\alpha$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $1 - 2\alpha > 0 \Rightarrow \alpha < \frac{1}{2}$. આમ,$\alpha = -2$.
બિંદુ $P$ એ $(-2, -2 - (-2)^{2}) = (-2, -6)$ છે.
પરવલય $y = -(x^{2} - x) = -(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}$ નું શિરોબિંદુ $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ છે.
$P(-2, -6)$ અને $V(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $\frac{\frac{1}{4} - (-6)}{\frac{1}{2} - (-2)} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{25}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{2}$ છે.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ છે,જે $x^{2}+2y^{2}=4$ તરીકે લખી શકાય.
$y=x+1$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2}+2(x+1)^{2}=4$
$x^{2}+2(x^{2}+2x+1)=4$
$3x^{2}+4x-2=0$.
ધારો કે બીજ $x_{1}$ અને $x_{2}$ છે. તો $|x_{1}-x_{2}| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{16 - 4(3)(-2)}}{3} = \frac{\sqrt{40}}{3}$.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $PQ = |x_{1}-x_{2}| \sqrt{1+m^{2}}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં રેખા $y=x+1$ નો ઢાળ $m=1$ છે.
$PQ = \frac{\sqrt{40}}{3} \sqrt{1+1^{2}} = \frac{\sqrt{40}}{3} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{80}}{3}$.
$PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,$2r = PQ = \frac{\sqrt{80}}{3}$,તેથી $r = \frac{\sqrt{80}}{6}$.
આમ,$(3r)^{2} = 9r^{2} = 9 \times \frac{80}{36} = \frac{80}{4} = 20$.

(D) સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r 2^{10-r} 3^r x^{30-4r}$ છે.
ધન યુગ્મ ઘાતો માટે $30-4r > 0$ અને $30-4r$ યુગ્મ હોવું જોઈએ,તેથી $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
કુલ સરવાળો $5^{10}$ માંથી $r=8, 9, 10$ માટેના પદો બાદ કરતા,આપણને $\beta \cdot 3^9$ મળે છે.
ગણતરી કરતા $\beta = 83$ મળે છે.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકી $n$ માટે,પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{n^2-1}{4n}$ થાય છે.
આપેલ છે કે સરેરાશ વિચલન $\frac{5(n+1)}{n}$ છે,તેથી:
$\frac{n^2-1}{4n} = \frac{5(n+1)}{n}$.
$n^2-1 = (n-1)(n+1)$ હોવાથી:
$\frac{(n-1)(n+1)}{4n} = \frac{5(n+1)}{n}$.
બંને બાજુ $\frac{n+1}{n}$ વડે ભાગતા:
$\frac{n-1}{4} = 5$.
$n-1 = 20$.
$n = 21$.

(C) ત્રણ અંકની સંખ્યા જેમાં એક અંક બરાબર બે વાર પુનરાવર્તિત થાય તે માટેના કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: પુનરાવર્તિત અંક $0$ હોય.
સંખ્યા $x00$ સ્વરૂપની હોવી જોઈએ,જ્યાં $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$. આમ,$9$ સંખ્યાઓ મળે.
કિસ્સો $2$: પુનરાવર્તિત અંક $0$ સિવાયનો હોય $(d \in \{1, 2, \dots, 9\})$.
$9$ પસંદગીઓ $d$ માટે અને બાકીના અંક માટે ગણતરી કરતા કુલ $234$ સંખ્યાઓ મળે.
કુલ સંખ્યા $= 9 + 234 = 243$.

(B) આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{5}{4}$,તેથી $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{25}{16}$ $\Rightarrow \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{16}$ $\Rightarrow b^{2} = \frac{9}{16}a^{2}$.
બિંદુ $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ અતિવલય પર છે,તેથી $\frac{64}{5a^{2}} - \frac{144}{25b^{2}} = 1$.
$b^{2} = \frac{9}{16}a^{2}$ મૂકતા,આપણને $a^{2} = \frac{64}{25}$ અને $b^{2} = \frac{36}{25}$ મળે છે.
$(x_{1}, y_{1})$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^{2}x}{x_{1}} + \frac{b^{2}y}{y_{1}} = a^{2} + b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $8\sqrt{5}x + 15y = 100$ મળે છે.
$8\sqrt{5}x + \beta y = \lambda$ સાથે સરખાવતા,$\beta = 15$ અને $\lambda = 100$ મળે છે.
તેથી,$\lambda - \beta = 100 - 15 = 85$.

(C) રેખાઓ $L_{1}: 4x - 3y + K_{1} = 0$ અને $L_{2}: 4x - 3y + K_{2} = 0$ છે.
$L_{1}$ એ $(-1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4(-1) - 3(2) + K_{1} = 0 \Rightarrow K_{1} = 10$.
$L_{2}$ એ $(3, -6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4(3) - 3(-6) + K_{2} = 0 \Rightarrow K_{2} = -30$.
સમાંતર સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર એ વ્યાસ $2r = \frac{|10 - (-30)|}{5} = 8$ છે,તેથી $r = 4$.
કેન્દ્ર એ $(-1, 2)$ અને $(3, -6)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(1, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{a+b}{7} = \frac{b+c}{8} = \frac{c+a}{9} = \lambda$.
તેથી $a+b = 7\lambda$,$b+c = 8\lambda$,અને $c+a = 9\lambda$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$2(a+b+c) = 24\lambda$,તેથી $a+b+c = 12\lambda$.
આ સમીકરણો પરથી $c = 5\lambda$,$a = 4\lambda$,અને $b = 3\lambda$ મળે છે.
અહીં $a^2 + b^2 = (4\lambda)^2 + (3\lambda)^2 = 25\lambda^2 = c^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{c}{2} = \frac{5\lambda}{2}$ અને અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{4\lambda+3\lambda-5\lambda}{2} = \lambda$.
તેથી,$\frac{R}{r} = \frac{5\lambda/2}{\lambda} = \frac{5}{2}$.

(C) આપેલ છે કે વિધાન $p \rightarrow ((\sim p) \vee q)$ એ $FALSE$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ ત્યારે જ $FALSE$ હોય જ્યારે $A$ એ $TRUE$ હોય અને $B$ એ $FALSE$ હોય.
તેથી,$p$ એ $TRUE$ હોવું જોઈએ અને $((\sim p) \vee q)$ એ $FALSE$ હોવું જોઈએ.
$p$ એ $TRUE$ હોવાથી,$\sim p$ એ $FALSE$ છે.
$(\sim p \vee q)$ ને $FALSE$ થવા માટે,$\sim p$ અને $q$ બંને $FALSE$ હોવા જોઈએ. આમ,$q$ એ $FALSE$ છે.
હવે,$p = TRUE, q = FALSE$ માટે $P_1$ અને $P_2$ નું મૂલ્યાંકન કરો:
$P_1 = \sim(p$ $\rightarrow \sim q) = \sim(T$ $\rightarrow \sim F) = \sim(T$ $\rightarrow T) = \sim(T) = FALSE$.
$P_2 = (p \wedge \sim q) \wedge ((\sim p) \vee q) = (T \wedge \sim F) \wedge ((\sim T) \vee F) = (T \wedge T) \wedge (F \vee F) = T \wedge F = FALSE$.
આમ,$P_1$ અને $P_2$ બંને $FALSE$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{2^n \cdot 3^{11-n}} = \frac{K}{2^{10} \cdot 3^{10}}$.
બંને બાજુ $2^{10} \cdot 3^{10}$ વડે ગુણતા,$K = \sum_{n=1}^{10} 2^{10-n} \cdot 3^{n-1} = 3^0 \cdot 2^9 + 3^1 \cdot 2^8 + \ldots + 3^9 \cdot 2^0$ મળે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2^9$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{2}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
$K = \frac{2^9 ((\frac{3}{2})^{10} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3^{10} - 2^{10}$.
હવે,$K = 3^{10} - 2^{10} = (3^5 - 2^5)(3^5 + 2^5) = (211)(275)$.
$211 \equiv 1 \pmod{6}$ અને $275 \equiv 5 \pmod{6}$.
તેથી,$K \equiv 1 \times 5 \equiv 5 \pmod{6}$.
આમ,શેષ $5$ છે.

(D) આપેલ શંકુ $x=2t, y=\frac{t^2}{3}$ છે. $x$ નો વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 4t^2$ મળે છે. કારણ કે $y = \frac{t^2}{3}$,તેથી $t^2 = 3y$. આમ,$x^2 = 4(3y) = 12y$. આ એક પરવલય છે જેની નાભિ $S(0, 3)$ છે.
આપેલ છે કે $SA \perp BA$,તેથી $SA$ અને $BA$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$SA$ નો ઢાળ $= \frac{\frac{t^2}{3} - 3}{2t - 0} = \frac{t^2 - 9}{6t}$.
$BA$ નો ઢાળ $= \frac{\frac{t^2}{3} - \alpha}{2t - 0} = \frac{t^2 - 3\alpha}{6t}$.
$SA \perp BA$ હોવાથી,$\left(\frac{t^2 - 9}{6t}\right) \cdot \left(\frac{t^2 - 3\alpha}{6t}\right) = -1$.
$(t^2 - 9)(t^2 - 3\alpha) = -36t^2$.
$t^4 - 3\alpha t^2 - 9t^2 + 27\alpha = -36t^2$.
$27\alpha - 3\alpha t^2 = -36t^2 - t^4 + 9t^2 = -27t^2 - t^4$.
$3\alpha(9 - t^2) = -(27t^2 + t^4)$.
$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$.
$\Delta SAB$ ના શિરોબિંદુઓ $S(0, 3)$,$A(2t, \frac{t^2}{3})$,અને $B(0, \alpha)$ છે,તેથી તેના મધ્યકેન્દ્રનો યામ $k = \frac{3 + \frac{t^2}{3} + \alpha}{3} = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{\alpha}{3}$ થાય.
$3\alpha = \frac{27t^2 + t^4}{t^2 - 9}$ મુકતા,આપણને $\frac{\alpha}{3} = \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)}$ મળે છે.
$k = 1 + \frac{t^2}{9} + \frac{27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9(t^2 - 9) + t^2(t^2 - 9) + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{9t^2 - 81 + t^4 - 9t^2 + 27t^2 + t^4}{9(t^2 - 9)} = \frac{2t^4 + 27t^2 - 81}{9(t^2 - 9)}$.
જ્યારે $t \rightarrow 1$,ત્યારે $k \rightarrow \frac{2(1)^4 + 27(1)^2 - 81}{9(1^2 - 9)} = \frac{2 + 27 - 81}{9(-8)} = \frac{-52}{-72} = \frac{13}{18}$.

(B) બિંદુઓ $A(3, 4)$,$B(4, 3)$ અને $C(0, 5)$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે.
રેખાખંડ $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{3-5}{4-0} = -\frac{1}{2}$ છે.
$z(x, y)$ અને $z_{1}(3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = 2$ થશે.
આ રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = 2(x - 3)$ એટલે કે $y = 2x - 2$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = 2x - 2$ મૂકતા:
$x^2 + (2x - 2)^2 = 25$
$5x^2 - 8x - 21 = 0$
$(5x + 7)(x - 3) = 0$.
$z \neq z_{1}$ હોવાથી,$x = -7/5$ મળે.
તેથી $y = -24/5$ મળે.
આમ,$z$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) - \pi$.

(D) $LHS$ શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $(2r-1)r C_{r}$ છે.
સરવાળો $= \sum_{r=1}^{10} (2r^2-r) C_{r} = 2 \sum_{r=1}^{10} r^2 C_{r} - \sum_{r=1}^{10} r C_{r}$.
$n=10$ માટે $r C_{r} = n C_{r-1}$ અને $r^2 C_{r} = n(n-1) C_{r-2} + n C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$LHS$ $= 2 \sum_{r=1}^{10} (10 \cdot 9 C_{r-2} + 10 C_{r-1}) - \sum_{r=1}^{10} 10 C_{r-1}$.
$= 180 \sum_{r=2}^{10} C_{r-2} + 20 \sum_{r=1}^{10} C_{r-1} - 10 \sum_{r=1}^{10} C_{r-1}$.
$= 180(2^8) + 10(2^9) = 51200$.
$RHS$ શ્રેણી $\sum_{r=0}^{9} \frac{C_{r}}{r+1} = \frac{1}{11} (2^{10}-1)$ છે.
સરખાવતા,$\alpha=25$ અને $\beta=11$ મળે છે,તેથી $\alpha+\beta = 36$ (નોંધ: વિકલ્પો સુધારેલ છે).

(A) ધારો કે $3$-$digit$ ની સંખ્યા $xyz$ છે,જ્યાં $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$,$y \in \{0, 1, \dots, 9\}$,અને $z \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$.
આપણે $x + y + z = 7k$ જોઈએ છે.
સરવાળો $S = x + y + z$ એ $7, 14, 21$ હોઈ શકે.
દરેક $z$ માટે શક્ય કિંમતો ગણતા,કુલ સંખ્યા $63$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ છે.
અબ્સિસ $x_{1}, x_{2}$ એ $2x^{2}-rx+p=0$ ના બીજ છે,તેથી $x_{1}+x_{2} = \frac{r}{2}$ અને $x_{1}x_{2} = \frac{p}{2}$.
કોટિઓ $y_{1}, y_{2}$ એ $y^{2}-sy-q=0$ ના બીજ છે,તેથી $y_{1}+y_{2} = s$ અને $y_{1}y_{2} = -q$.
$PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_{1})(x-x_{2}) + (y-y_{1})(y-y_{2}) = 0$ છે.
$x^{2} - (x_{1}+x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1}+y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $x^{2} - \frac{r}{2}x + \frac{p}{2} + y^{2} - sy - q = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2(x^{2}+y^{2}) - rx - 2sy + p - 2q = 0$.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $2(x^{2}+y^{2}) - 11x - 14y - 22 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$r = 11$,$2s = 14 \implies s = 7$,અને $p-2q = -22$.
આપણે $2r+s-2q+p = 2(11) + 7 + (-22) = 22 + 7 - 22 = 7$ શોધવાનું છે.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા $x * y = x^{2} + y^{3}$ છે.
પ્રથમ,$(x * 1) * 1 = x * (1 * 1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(x * 1) = x^{2} + 1^{3} = x^{2} + 1$.
તેથી,$(x * 1) * 1 = (x^{2} + 1) * 1 = (x^{2} + 1)^{2} + 1^{3} = (x^{2} + 1)^{2} + 1$.
હવે,$x * (1 * 1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(1 * 1) = 1^{2} + 1^{3} = 2$.
તેથી,$x * (1 * 1) = x * 2 = x^{2} + 2^{3} = x^{2} + 8$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$(x^{2} + 1)^{2} + 1 = x^{2} + 8$
$x^{4} + 2x^{2} + 1 + 1 = x^{2} + 8$
$x^{4} + x^{2} - 6 = 0$.
ધારો કે $t = x^{2}$,તો $t^{2} + t - 6 = 0$,જેના અવયવો $(t + 3)(t - 2) = 0$ થાય.
$x^{2} = t$ એ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x^{2} = 2$.
હવે $x^{2} = 2$ ને $2 \sin^{-1}\left(\frac{x^{4} + x^{2} - 2}{x^{4} + x^{2} + 2}\right)$ માં મૂકતા:
$x^{4} = (x^{2})^{2} = 2^{2} = 4$.
પદાવલિ $= 2 \sin^{-1}\left(\frac{4 + 2 - 2}{4 + 2 + 2}\right) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{4}{8}\right) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
કારણ કે $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$,તેથી કિંમત $2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(C) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1(2-0) - 1(6-1) + \alpha(0-1) = 2 - 5 - \alpha = -\alpha - 3$ છે.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,તેથી $\alpha \neq -3$.
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$x^{*} = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & \alpha \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{2(2-0) - 1(8-1) + \alpha(0-1)}{-(\alpha+3)} = \frac{4-7-\alpha}{-(\alpha+3)} = 1$.
$y^{*} = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{1(8-1) - 2(6-1) + \alpha(3-4)}{-(\alpha+3)} = \frac{7-10-\alpha}{-(\alpha+3)} = 1$.
$z^{*} = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{1(1-0) - 1(3-4) + 2(0-1)}{-(\alpha+3)} = 0$.
આમ,$(x^{*}, y^{*}, z^{*}) = (1, 1, 0)$.
બિંદુઓ $(\alpha, 1), (1, \alpha)$ અને $(1, -1)$ છે.
તેઓ સમરેખ હોવાથી,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય:
$\frac{1}{2} \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha+1) - 1(1-1) + 1(-1-\alpha) = 0$.
$\alpha^2 + \alpha - 1 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
બંને કિંમતો $\alpha \neq -3$ નું પાલન કરે છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો $|1| + |-1| = 1 + 1 = 2$ થાય.

(C) $x \in (-2, -1)$ માટે,$[x] = -2$,તેથી $f(x) = \frac{\sin(x+2)}{x+2}$.
$x \in (-1, 0)$ માટે,$[|x|] = 0$,તેથી $f(x) = \max\{2x, 0\} = 0$. $x \in [0, 1)$ માટે,$[|x|] = 0$,તેથી $f(x) = \max\{2x, 0\} = 2x$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x+2)}{x+2} & , x \in (-2, -1) \\ 0 & , x \in (-1, 0) \\ 2x & , x \in [0, 1) \\ 1 & , \text{અન્યથા} \end{cases}$.
સાતત્ય ચકાસતા:
$x = -1$ આગળ: $f(-1^+) = 0$,$f(-1^-) = \lim_{x \to -1^-} \frac{\sin(x+2)}{x+2} = \sin(1) \neq 0$. અસતત છે.
$x = 0$ આગળ: $f(0^-) = 0$,$f(0^+) = 0$,$f(0) = 0$. સતત છે.
$x = 1$ આગળ: $f(1^-) = 2(1) = 2$,$f(1^+) = 1$. અસતત છે.
તેથી,$m = 2$ (બિંદુઓ $x = -1, 1$).
વિકલનીયતા ચકાસતા:
$x = -1$ આગળ: અસતત હોવાથી,વિકલનીય નથી.
$x = 0$ આગળ: $f'(0^-) = 0$,$f'(0^+) = 2$. વિકલનીય નથી.
$x = 1$ આગળ: અસતત હોવાથી,વિકલનીય નથી.
તેથી,$n = 3$ (બિંદુઓ $x = -1, 0, 1$).
ક્રમયુક્ત જોડ $(2, 3)$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{x}\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)}$.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{-x}\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)}$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \left( \frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} \right) \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.
કારણ કે $\frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}} = 1$,તેથી:
$2I = \int \limits_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,$2I = 2 \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$,તેથી $I = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^6 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{\sec^6 x dx}{\tan^6 x + 1} = \int \limits_{0}^{\pi / 2} \frac{(1+\tan^2 x)^2 \sec^2 x dx}{\tan^6 x + 1}$.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \limits_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1+2t^2+t^4}{t^6+1} dt$.
આ સંકલનનું મૂલ્ય $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ પદને $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n^{2}+r^{2})(n+r)}$ તરીકે લખી શકાય.
અંશ અને છેદને $n^3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n \left(1+(\frac{r}{n})^{2}\right)(1+\frac{r}{n})}$.
આ એક રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય:
$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^{2})(1+x)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$\frac{1}{(1+x^{2})(1+x)} = \frac{1}{2(1+x)} - \frac{x-1}{2(1+x^{2})}$.
તેથી,સંકલન $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x-1}{1+x^{2}} dx$ બને છે.
$= \frac{1}{2} [\ln(1+x)]_{0}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) - \tan^{-1} x]_{0}^{1}$.
$= \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \ln 2$.

(D) ધારો કે $f(x) = x^{7}-7x$. આપણે $f(x) = 2$ ના વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા શોધવી છે.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 7x^{6}-7 = 7(x^{6}-1) = 7(x-1)(x^{2}+x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(1) = 1^{7}-7(1) = 1-7 = -6$.
$f(-1) = (-1)^{7}-7(-1) = -1+7 = 6$.
જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,અને જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$.
વિધેય $(-\infty, -1)$ પર વધે છે,$(-1, 1)$ પર ઘટે છે,અને $(1, \infty)$ પર વધે છે.
કારણ કે $f(-1) = 6 > 2$ અને $f(1) = -6 < 2$,સમક્ષિતિજ રેખા $y = 2$ એ $f(x)$ ના આલેખને ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
આમ,$3$ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.

(A) કોઈપણ સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે. તેથી,$k + 2k + 4k + 6k + 8k = 1$,જે આપણને $21k = 1$ અથવા $k = \frac{1}{21}$ આપે છે.
આપણે શરતી સંભાવના $P(1 < X < 4 \mid X \leq 2)$ શોધવાની છે.
શરતી સંભાવનાના સૂત્ર $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{P((1 < X < 4) \cap (X \leq 2))}{P(X \leq 2)}$.
છેદગણ $(1 < X < 4) \cap (X \leq 2)$ એ ઘટના $X = 2$ છે.
આમ,$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{P(X = 2)}{P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)}$.
કોષ્ટકમાંથી કિંમતો મૂકતા:
$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{4k}{k + 2k + 4k} = \frac{4k}{7k} = \frac{4}{7}$.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = (1, 2, 3)$,$\vec{a}_2 = (2, 4, 5)$,$\vec{b}_1 = (2, 3, \lambda)$,અને $\vec{b}_2 = (1, 4, 5)$.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & \lambda \\ 1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-4\lambda) - \hat{j}(10-\lambda) + \hat{k}(8-3) = (15-4\lambda)\hat{i} + (\lambda-10)\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (1)(15-4\lambda) + 2(\lambda-10) + 2(5) = 15 - 4\lambda + 2\lambda - 20 + 10 = 5 - 2\lambda$.
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(15-4\lambda)^2 + (\lambda-10)^2 + 25} = \sqrt{225 + 16\lambda^2 - 120\lambda + \lambda^2 - 20\lambda + 100 + 25} = \sqrt{17\lambda^2 - 140\lambda + 350}$.
આપેલ છે કે $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{|5-2\lambda|}{\sqrt{17\lambda^2 - 140\lambda + 350}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3(5-2\lambda)^2 = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350$.
$3(25 - 20\lambda + 4\lambda^2) = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350 \implies 75 - 60\lambda + 12\lambda^2 = 17\lambda^2 - 140\lambda + 350$.
$5\lambda^2 - 80\lambda + 275 = 0 \implies \lambda^2 - 16\lambda + 55 = 0$.
$(\lambda-5)(\lambda-11) = 0$,તેથી $\lambda = 5$ અથવા $\lambda = 11$.
$\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $5 + 11 = 16$ છે.

(C) સમતલ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક સમતલ છે,જ્યાં $A(-4, 2, 1)$ અને $B(2, -2, 3)$ છે.
સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1$ એ સદિશ $\vec{AB} = (2 - (-4))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (3 - 1)\hat{k} = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n}_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{2-2}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (-1, 0, 2)$ છે.
સમતલ $P$ નું સમીકરણ $3(x + 1) - 2(y - 0) + 1(z - 2) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 2y + z + 1 = 0$ થાય છે.
બીજું સમતલ $P': 2x + y + 3z - 1 = 0$ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(3) = 6 - 2 + 3 = 7$.
$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos \theta = \left| \frac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \right| = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે $|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} \times \hat{b})|=2$. કારણ કે $(\hat{a}+\hat{b}) \perp (\hat{a} \times \hat{b})$,તેથી $|\hat{a}+\hat{b}|^2 + 4|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = 4$.
$|\hat{a}+\hat{b}|^2 = 2+2\cos\theta$ અને $|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2+2\cos\theta + 4(1-\cos^2\theta) = 4$
$2+2\cos\theta + 4 - 4\cos^2\theta = 4$
$4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 2 = 0 \implies 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$.
$(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1) = 0$.
$\theta \in (0, \pi)$ હોવાથી,$\cos\theta = -\frac{1}{2}$,તેથી $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
$(S_{1})$ માટે: $2|\hat{a} \times \hat{b}| = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$.
$|\hat{a}-\hat{b}| = \sqrt{1+1-2\cos(\frac{2\pi}{3})} = \sqrt{2-2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{3}$. તેથી $(S_{1})$ સાચું છે.
$(S_{2})$ માટે: $(\hat{a}+\hat{b})$ પર $\hat{a}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\hat{a} \cdot (\hat{a}+\hat{b})}{|\hat{a}+\hat{b}|} = \frac{1+\cos\theta}{\sqrt{2+2\cos\theta}} = \frac{1-\frac{1}{2}}{\sqrt{2-1}} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$. તેથી $(S_{2})$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે $y = \tan^{-1}(\sec x^3 - \tan x^3)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \sin x^3}{\cos x^3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x^3)}{\sin(\frac{\pi}{2} - x^3)}\right)$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$,આપણને મળે:
$y = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2})\right)$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} < x^3 < \frac{3\pi}{2}$,તેથી $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{x^3}{2} < -\frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{4}$ ઉમેરતા,આપણને મળે $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2} < 0$.
આમ,$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = -\frac{1}{2} \cdot 3x^2 = -\frac{3}{2}x^2$.
$y'' = -\frac{3}{2} \cdot 2x = -3x$.
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2}$ પરથી,આપણી પાસે $x^3 = \frac{\pi}{2} - 2y$ છે.
વળી,$x^2 = -\frac{2}{3} y'$.
$y'' = -3x$ માં $x^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $x^2 y'' = x^2 (-3x) = -3x^3 = -3(\frac{\pi}{2} - 2y) = -\frac{3\pi}{2} + 6y$.
તેથી,$x^2 y'' - 6y + \frac{3\pi}{2} = 0$.

(D) અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy} = \frac{x^2}{xy - x^2y^2 - 1}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$x^2 dy = -xy dx + x^2y^2 dx + dx$ મળે.
$x^2 dy + xy dx = (x^2y^2 + 1) dx$.
$x(x dy + y dx) = (x^2y^2 + 1) dx$.
$x d(xy) = (1 + (xy)^2) dx$.
બંને બાજુ $x(1 + (xy)^2)$ વડે ભાગતા,$\frac{d(xy)}{1 + (xy)^2} = \frac{dx}{x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\tan^{-1}(xy) = \ln(x) + C$ મળે.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\tan^{-1}(1) = \ln(1) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$\tan^{-1}(xy) = \ln(x) + \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$xy = \tan\left(\ln(x) + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \tan(\ln x)}{1 - \tan(\ln x)}$.
$x = e$ માટે,$e \cdot y(e) = \frac{1 + \tan(1)}{1 - \tan(1)}$.

(D) આપેલ છે કે $f_{\lambda}(x) = 4\lambda x^{3} - 36\lambda x^{2} + 36x + 48$.
વિધેય $f_{\lambda}(x)$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે વધતું હોય તે માટે $f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ થવું જોઈએ.
$f_{\lambda}^{\prime}(x) = 12\lambda x^{2} - 72\lambda x + 36$.
$f_{\lambda}^{\prime}(x) \geq 0$ લેતા,$12(\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3) \geq 0$,એટલે કે $\lambda x^{2} - 6\lambda x + 3 \geq 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $x$ માટે અ-ઋણ રહે તે માટે $\lambda > 0$ અને વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-6\lambda)^{2} - 4(\lambda)(3) = 36\lambda^{2} - 12\lambda \leq 0$.
$12\lambda(3\lambda - 1) \leq 0$,જે દર્શાવે છે કે $\lambda \in [0, 1/3]$.
$\lambda > 0$ હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $\lambda^{*} = 1/3$ મળે.
હવે,$f_{\lambda^{*}}(x) = \frac{4}{3}x^{3} - 12x^{2} + 36x + 48$.
$f_{\lambda^{*}}(1) = \frac{4}{3} - 12 + 36 + 48 = \frac{220}{3}$.
$f_{\lambda^{*}}(-1) = -\frac{4}{3} - 12 - 36 + 48 = -\frac{4}{3}$.
$f_{\lambda^{*}}(1) + f_{\lambda^{*}}(-1) = \frac{220}{3} - \frac{4}{3} = \frac{216}{3} = 72$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -a + ab \\ 0 & b^2 \end{bmatrix}$.
બધા $n \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ માટે $A^{n(n+1)} = I$ શરતનું પાલન થાય તે માટે,આપણે $A^{n(n+1)} = I$ ની તપાસ કરીએ.
જો $b = 1$ હોય,તો $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \ge 1$ માટે $n(n+1)$ હંમેશા બેકી સંખ્યા હોવાથી,$A^{n(n+1)} = (A^2)^{\frac{n(n+1)}{2}} = I^{\frac{n(n+1)}{2}} = I$.
આમ,જો $b = 1$ હોય,તો $A \in T_n$ બધા $n$ માટે સાચું છે.
જો $b \neq 1$ હોય,તો $A^2 = \begin{bmatrix} 1 & a(b-1) \\ 0 & b^2 \end{bmatrix}$.
$A^{n(n+1)} = I$ માટે,આપણે $b^{n(n+1)} = 1$ અને ઉપરની જમણી બાજુનો ઘટક $0$ હોવો જરૂરી છે.
$b \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ હોવાથી,$b^{n(n+1)} = 1$ નો અર્થ છે કે $b = 1$ (કારણ કે $b > 0$).
તેથી,માત્ર $b = 1$ વાળા શ્રેણિકો જ તમામ $n$ માટે આ શરતનું પાલન કરે છે.
$b = 1$ સાથે,$a$ એ $\{1, 2, \ldots, 100\}$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે છે.
આવા કુલ $100$ ઘટકો છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $y^{2}=2x$ અને $x+y=4$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$x=4-y$.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^{2}=2(4-y) \implies y^{2}=8-2y \implies y^{2}+2y-8=0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y+4)(y-2)=0$,તેથી $y=-4$ અને $y=2$.
છેદબિંદુઓ $(8, -4)$ અને $(2, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-4}^{2} [(4-y) - \frac{y^{2}}{2}] dy$ દ્વારા મળે છે.
પદવાર સંકલન કરતા: $\left[ 4y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{6} \right]_{-4}^{2}$.
સીમાઓ મૂકતા: $\left( 4(2) - \frac{2^{2}}{2} - \frac{2^{3}}{6} \right) - \left( 4(-4) - \frac{(-4)^{2}}{2} - \frac{(-4)^{3}}{6} \right)$.
$= (8 - 2 - \frac{4}{3}) - (-16 - 8 + \frac{32}{3}) = (6 - \frac{4}{3}) - (-24 + \frac{32}{3}) = \frac{14}{3} - (\frac{-72+32}{3}) = \frac{14}{3} + \frac{40}{3} = \frac{54}{3} = 18$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે $S_1$ એ $4$ પ્રશ્નોનો સમૂહ છે જેની સફળતાની સંભાવના $p_1 = \frac{3}{4}$ છે અને $S_2$ એ $6$ પ્રશ્નોનો સમૂહ છે જેની સફળતાની સંભાવના $p_2 = \frac{1}{4}$ છે.
બરાબર $8$ પ્રશ્નો સાચા મેળવવા માટે,આપણે નીચેના કિસ્સાઓ $(x, y)$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં $x$ એ $S_1$ માંથી સાચા જવાબોની સંખ્યા છે અને $y$ એ $S_2$ માંથી સાચા જવાબોની સંખ્યા છે,જેથી $x+y=8$:
કિસ્સો $1$: $x=4, y=4$. સંભાવના $= \binom{4}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^0 \times \binom{6}{4} (\frac{1}{4})^4 (\frac{3}{4})^2 = \frac{10935}{4^{10}}$.
કિસ્સો $2$: $x=3, y=5$. સંભાવના $= \binom{4}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^1 \times \binom{6}{5} (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^1 = \frac{1944}{4^{10}}$.
કિસ્સો $3$: $x=2, y=6$. સંભાવના $= \binom{4}{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^2 \times \binom{6}{6} (\frac{1}{4})^6 (\frac{3}{4})^0 = \frac{54}{4^{10}}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{10935 + 1944 + 54}{4^{10}} = \frac{12933}{4^{10}}$.
આપેલ છે કે $\frac{27k}{4^{10}} = \frac{12933}{4^{10}}$,તેથી $27k = 12933 \Rightarrow k = 479$.

(A) ધારો કે ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અચળ દરે વધે છે,તેથી $\frac{dS}{dt} = k$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $S = kt + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ સંકલનનો અચળાંક છે.
$S = 4 \pi r^2$ મૂકતા,આપણને $4 \pi r^2 = kt + C$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,$r = 3$,તેથી $4 \pi (3)^2 = k(0) + C \Rightarrow C = 36 \pi$.
$t = 5$ સમયે,$r = 7$,તેથી $4 \pi (7)^2 = k(5) + 36 \pi \Rightarrow 196 \pi = 5k + 36 \pi \Rightarrow 5k = 160 \pi \Rightarrow k = 32 \pi$.
આમ,સમીકરણ $4 \pi r^2 = 32 \pi t + 36 \pi$ બને છે.
$4 \pi$ વડે ભાગતા,આપણને $r^2 = 8t + 9$ મળે છે.
$t = 9$ માટે,$r^2 = 8(9) + 9 = 72 + 9 = 81$.
તેથી,$r = \sqrt{81} = 9$ એકમ.

(C) ધારો કે $E_1$ એ બેગ $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ બેગ $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલા દડા $1$ લાલ અને $1$ કાળો છે.
બેગ $A$ માટે (કુલ $6$ દડા: $2W, 1B, 3R$): $P(A|E_1) = \frac{{}^3C_1 \times {}^1C_1}{{}^6C_2} = \frac{3 \times 1}{15} = \frac{1}{5}$.
બેગ $B$ માટે (કુલ $n+5$ દડા: $nW, 3B, 2R$): $P(A|E_2) = \frac{{}^2C_1 \times {}^3C_1}{{}^{n+5}C_2} = \frac{6}{\frac{(n+5)(n+4)}{2}} = \frac{12}{(n+5)(n+4)}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{6}{11}$.
$\frac{1/10}{1/10 + 6/((n+5)(n+4))} = \frac{6}{11} \Rightarrow \frac{1}{1 + 60/((n+5)(n+4))} = \frac{6}{11}$.
$11 = 6 + \frac{360}{(n+5)(n+4)} \Rightarrow 5 = \frac{360}{(n+5)(n+4)} \Rightarrow (n+5)(n+4) = 72$.
$(n+5)(n+4) = 9 \times 8 \Rightarrow n+4 = 8 \Rightarrow n = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ સંહતિ:
$x+y+z=\alpha$
$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$
$x+3 \alpha y+5 z=4$
જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_1, D_2, D_3)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય,તો સમીકરણ સંહતિ અસંગત છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & 2\alpha & 3 \\ 1 & 3\alpha & 5 \end{vmatrix}$
$D = 1(10\alpha - 9\alpha) - 1(5\alpha - 3) + 1(3\alpha^2 - 2\alpha)$
$D = \alpha - 5\alpha + 3 + 3\alpha^2 - 2\alpha = 3\alpha^2 - 6\alpha + 3 = 3(\alpha - 1)^2$
$D = 0$ લેતા,$3(\alpha - 1)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
હવે,$\alpha = 1$ માટે $D_1$ તપાસો:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix}$
$D_1 = 1(10 - 9) - 1(-5 - 12) + 1(-3 - 8)$
$D_1 = 1(1) - 1(-17) + 1(-11) = 1 + 17 - 11 = 7$
$\alpha = 1$ માટે $D = 0$ અને $D_1 \neq 0$ હોવાથી,સંહતિ અસંગત છે.
આમ,$\alpha$ નું માત્ર $1$ મૂલ્ય છે જેના માટે સંહતિ અસંગત છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $u = \tan^{-1} x$. તો $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
કારણ કે $x \in \mathbb{R}$,$u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
હવે,$f(x) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(x) = \frac{3\pi}{2}(u^2 - \frac{\pi}{2}u) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$.
કારણ કે $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(u - \frac{\pi}{4})^2$ નો વિસ્તાર $[0, (-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2) = [0, \frac{9\pi^2}{16})$ છે.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{3\pi}{2}(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{27\pi^3}{32} + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{28\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8})$ છે.
આપેલ છે કે $f(x) = k \pi^3$,તેથી $k \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$.

(B) ગણ $S$ એ $1$ થી $50$ સુધીની એકી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના વર્ગમૂળનો બનેલો છે. તેથી,$S = \{\sqrt{1}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{49}\}$. $S$ માં પદોની સંખ્યા $25$ છે.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ -1 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = 1(1 - 0) - 0 + a(0 - (-a)) = 1 + a^2$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^2 = (1 + a^2)^2$.
આપણે $\sum_{a \in S} (1 + a^2)^2$ ની ગણતરી કરવાની છે. કારણ કે $a = \sqrt{n}$,તેથી $a^2 = n$. સરવાળો $\sum_{n \in \{1, 3, \dots, 49\}} (1 + n)^2$ બને છે.
ધારો કે $n = 2k - 1$ જ્યાં $k = 1, 2, \dots, 25$. તો $1 + n = 1 + 2k - 1 = 2k$ થાય.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{25} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{25} k^2$ છે.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $4 \times \frac{25(26)(51)}{6} = 4 \times 25 \times 13 \times 17 = 22100$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\sum \operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 100 \lambda$,તેથી $22100 = 100 \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 221$.

(C) આપેલ છે $f(x) = 4 \log_{e}(x-1) - 2x^2 + 4x + 5$ જ્યાં $x > 1$.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{4}{x-1} - 4(x-1)$.
$1 < x < 2$ માટે,$(x-1) < 1$,તેથી $\frac{4}{x-1} > 4$,જે સૂચવે છે કે $f'(x) > 0$. આમ,$f$ એ $(1, 2)$ પર વધતું વિધેય છે.
$x > 2$ માટે,$(x-1) > 1$,તેથી $\frac{4}{x-1} < 4$,જે સૂચવે છે કે $f'(x) < 0$. આમ,$f$ એ $(2, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે. (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
$f$ એ $(1, 2)$ પર વધે છે અને $x=2$ પર મહત્તમ કિંમત $f(2) = 5$ ધરાવે છે,અને $(2, \infty)$ પર ઘટે છે,તેથી $f(x) = -1$ ને બરાબર બે ઉકેલો છે. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$f(e)$ અને $f(e+1)$ તપાસો:
$f(e) > 0$ અને $f(e+1) < 0$ હોવાથી,અંતરાલ $(e, e+1)$ માં એક બીજ છે. (વિકલ્પ $D$ સાચો છે).
$f'(e) - f''(2)$ ની ગણતરી કરો:
$f'(e) = \frac{4}{e-1} - 4(e-1) \approx -4.54$.
$f''(x) = -\frac{4}{(x-1)^2} - 4$,તેથી $f''(2) = -8$.
$f'(e) - f''(2) = -4.54 - (-8) = 3.46 > 0$.
આમ,$f'(e) - f''(2) < 0$ એ ખોટું છે. (વિકલ્પ $C$ ખોટો છે).

(D) આપેલ વક્ર $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ છે.
ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^{2} + 6x$ છે.
તેથી,$(x_{1}, y_{1})$ આગળ ઢાળ $m = 3x_{1}^{2} + 6x_{1}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(x - x_{1})$ છે.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$0 - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(0 - x_{1})$
$-y_{1} = -3x_{1}^{3} - 6x_{1}^{2} \implies y_{1} = 3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} \quad (1)$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ વક્ર $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ પર આવેલું હોવાથી:
$y_{1} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5 \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5$
$2x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} - 5 = 0$.
અહીં $x_{1} = 1$ એ ઉકેલ છે.
તેથી,$y_{1} = 3(1)^{3} + 6(1)^{2} = 9$.
આમ,બિંદુ $(1, 9)$ મળે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{1}{3} - (9)^{2} = \frac{1}{3} - 81 \neq 2$.
તેથી,$(1, 9)$ એ વક્ર $\frac{x}{3} - y^{2} = 2$ પર આવેલું નથી.

(B) આપેલ છે $f(x) = |2x^2 + 3x - 2| + \sin x \cos x = |(2x-1)(x+2)| + \frac{1}{2} \sin(2x)$.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,$2x-1$ એ $x = 1/2$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે. $x \in [0, 1]$ માટે $x+2 > 0$ હોવાથી:
$f(x) = \begin{cases} -(2x^2 + 3x - 2) + \frac{1}{2} \sin(2x), & 0 \leq x < 1/2 \\ (2x^2 + 3x - 2) + \frac{1}{2} \sin(2x), & 1/2 \leq x \leq 1 \end{cases}$.
$0 \leq x < 1/2$ માટે,$f'(x) = -(4x+3) + \cos(2x)$. $4x+3 > 3$ અને $\cos(2x) \leq 1$ હોવાથી,$f'(x) < 0$,તેથી $f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
$1/2 < x < 1$ માટે,$f'(x) = 4x+3 + \cos(2x) > 0$,તેથી $f(x)$ વધતું વિધેય છે.
આમ,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $x = 1/2$ આગળ મળે છે: $f(1/2) = |0| + \frac{1}{2} \sin(1) = \frac{1}{2} \sin(1)$.
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત અંત્યબિંદુઓ $x=0$ અથવા $x=1$ આગળ મળે છે.
$f(0) = |-2| + 0 = 2$.
$f(1) = |2+3-2| + \frac{1}{2} \sin(2) = 3 + \frac{1}{2} \sin(2)$.
$f(0)=2$ અને $f(1)=3 + \frac{1}{2} \sin(2)$ ની સરખામણી કરતા,$\sin(2) > 0$ હોવાથી,$f(1) > f(0)$.
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $3 + \frac{1}{2} \sin(2) = 3 + \sin(1) \cos(1)$ છે.
સરવાળો = $f(1/2) + f(1) = \frac{1}{2} \sin(1) + 3 + \sin(1) \cos(1) = 3 + \frac{1}{2} \sin(1) (1 + 2 \cos(1))$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ છે.
$y$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = y^{2}(y+1)e^{y}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{2}{y}$ અને $Q(y) = y^{2}(y+1)e^{y}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = \frac{1}{y^{2}}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y^{2}(y+1)e^{y} \cdot \frac{1}{y^{2}} dy = \int (y+1)e^{y} dy$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int (y+1)e^{y} dy = (y+1)e^{y} - \int e^{y} dy = (y+1)e^{y} - e^{y} + C = ye^{y} + C$.
તેથી,$\frac{x}{y^{2}} = ye^{y} + C$,જેનો અર્થ છે કે $x = y^{3}e^{y} + Cy^{2}$.
$x(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = (1)^{3}e^{1} + C(1)^{2} \Rightarrow C = -e$.
આમ,ઉકેલ $x = y^{3}e^{y} - ey^{2}$ છે.
$x(e)$ માટે,$y = e$ મૂકતા: $x(e) = e^{3}e^{e} - ee^{2} = e^{3}e^{e} - e^{3} = e^{3}(e^{e}-1)$.

(C) આપેલ છે કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = 1$ અને $|\hat{b}| = 1$.
આપેલ છે $\hat{b} = \vec{c} + 2(\vec{c} \times \hat{a})$.
બંને બાજુ વર્ગ લેતા:
$|\hat{b}|^{2} = |\vec{c} + 2(\vec{c} \times \hat{a})|^{2}$
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c} \times \hat{a}|^{2} + 4\vec{c} \cdot (\vec{c} \times \hat{a})$
કારણ કે $\vec{c} \cdot (\vec{c} \times \hat{a}) = 0$ કારણ કે ક્રોસ પ્રોડક્ટ એ $\vec{c}$ ને લંબ હોય છે,તેથી:
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} |\hat{a}|^{2} \sin^{2}(\frac{\pi}{12})$
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} (1) \sin^{2}(\frac{\pi}{12})$
$\sin(\frac{\pi}{12}) = \sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{2}(\frac{\pi}{12}) = \frac{6+2-2\sqrt{12}}{16} = \frac{8-4\sqrt{3}}{16} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$.
$1 = |\vec{c}|^{2} [1 + 4(\frac{2-\sqrt{3}}{4})] = |\vec{c}|^{2} (1 + 2 - \sqrt{3}) = |\vec{c}|^{2} (3 - \sqrt{3})$.
$|\vec{c}|^{2} = \frac{1}{3-\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{9-3} = \frac{3+\sqrt{3}}{6}$.
તેથી,$|6\vec{c}|^{2} = 36|\vec{c}|^{2} = 36 \times \frac{3+\sqrt{3}}{6} = 6(3+\sqrt{3})$.

(A) આપેલ છે કે $n = 33$,ધારો કે સફળતાની સંભાવના $p$ છે અને $q = 1 - p$.
આપેલ છે કે $3P(X=0) = P(X=1)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \cdot {}^{33}C_{0} p^{0} q^{33} = {}^{33}C_{1} p^{1} q^{32}$
$3q = 33p \implies q = 11p$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p + 11p = 1 \implies 12p = 1 \implies p = \frac{1}{12}$ અને $q = \frac{11}{12}$.
તેથી,$\frac{q}{p} = 11$.
હવે,પદ $\frac{P(X=15)}{P(X=18)} - \frac{P(X=16)}{P(X=17)}$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $\frac{P(X=k)}{P(X=n-k)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ પદ માટે: $\frac{P(X=15)}{P(X=18)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{18-15} = \left(\frac{q}{p}\right)^3 = 11^3 = 1331$.
બીજા પદ માટે: $\frac{P(X=16)}{P(X=17)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{17-16} = \left(\frac{q}{p}\right)^1 = 11$.
તેથી,કિંમત $1331 - 11 = 1320$ થાય.

(D) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $\cos^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ માં હોવો જોઈએ: $-1 \leq \frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} \leq 1$.
$\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} - 1 \leq 0$ ઉકેલતા $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} - 1 \leq 0 \implies \frac{x-2}{x+3} - 1 \leq 0 \implies \frac{-5}{x+3} \leq 0 \implies x+3 > 0 \implies x > -3$.
$\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9} + 1 \geq 0$ ઉકેલતા $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} + 1 \geq 0 \implies \frac{x-2}{x+3} + 1 \geq 0 \implies \frac{2x+1}{x+3} \geq 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup [-\frac{1}{2}, \infty)$.
છેદગણ લેતા,આપણને $x \in [-\frac{1}{2}, \infty)$ મળે છે (જ્યાં $x=3$ ને બાદ કરતા).
$2$. $\log_{e}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ: $x^{2}-3x+2 > 0 \implies (x-1)(x-2) > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
$3$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\log_{e}(x^{2}-3x+2) \neq 0 \implies x^{2}-3x+2 \neq 1 \implies x^{2}-3x+1 \neq 0 \implies x \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
બધી શરતોને જોડતા: $x \in [-\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty) - \{\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2f(a) + 3f(c) = f(b) - f(d)$ છે.
ધારો કે $S = \{0, 1, 2, \dots, 10\}$. આપણે એવા એક-એક વિધેયો $f$ ની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેના માટે $f(b) - f(d) = 2f(a) + 3f(c)$ થાય.
વિધેય $f$ એક-એક હોવાથી,$f(a), f(b), f(c), f(d)$ એ $S$ ના ભિન્ન ઘટકો હોવા જોઈએ.
$X = 2f(a) + 3f(c)$ લો. $f(a), f(c) \in S$ અને $f(a) \neq f(c)$ હોવાથી,$X$ માટે શક્ય કિંમતો ગણતા,દરેક જોડી $(f(a), f(c))$ માટે આપણે એવા ભિન્ન $f(b), f(d) \in S \setminus \{f(a), f(c)\}$ શોધવા પડે કે જેથી $f(b) - f(d) = X$ થાય.
આ તમામ શક્યતાઓનો સરવાળો કરતા કુલ $31$ એક-એક વિધેયો મળે છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ રેખા પરનું બિંદુ $A$ $(3\lambda+7, -\lambda+1, \lambda-2)$ છે અને બીજી રેખા પરનું બિંદુ $B$ $(2\mu, 3\mu+7, \mu)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિશા ગુણોત્તર $(2\mu - (3\lambda+7), 3\mu+7 - (-\lambda+1), \mu - (\lambda-2))$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(2\mu - 3\lambda - 7, 3\mu + \lambda + 6, \mu - \lambda + 2)$ થાય છે.
રેખા $AB$ ના દિશા ગુણોત્તર $1, -4, 2$ આપેલા હોવાથી:
$\frac{2\mu - 3\lambda - 7}{1} = \frac{3\mu + \lambda + 6}{-4} = \frac{\mu - \lambda + 2}{2} = k$
પ્રથમ અને બીજા ગુણોત્તર પરથી:
$-8\mu + 12\lambda + 28 = 3\mu + \lambda + 6 \implies 11\lambda - 11\mu = -22 \implies \lambda - \mu = -2 \implies \mu = \lambda + 2$.
બીજા અને ત્રીજા ગુણોત્તર પરથી:
$6\mu + 2\lambda + 12 = -4\mu + 4\lambda - 8 \implies 10\mu - 2\lambda = -20 \implies 5\mu - \lambda = -10$.
$\mu = \lambda + 2$ ને $5\mu - \lambda = -10$ માં મૂકતા:
$5(\lambda + 2) - \lambda = -10 \implies 4\lambda + 10 = -10 \implies 4\lambda = -20 \implies \lambda = -5$.
તેથી $\mu = -5 + 2 = -3$.
$A$ ના યામ: $(3(-5)+7, -(-5)+1, -5-2) = (-8, 6, -7)$.
$B$ ના યામ: $(2(-3), 3(-3)+7, -3) = (-6, -2, -3)$.
$(AB)^2 = (-6 - (-8))^2 + (-2 - 6)^2 + (-3 - (-7))^2 = (2)^2 + (-8)^2 + (4)^2 = 4 + 64 + 16 = 84$.

(A) અસતત બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સંક્રમણ બિંદુઓ અને જ્યાં આંતરિક વિધેયો અસતત હોય તેવા બિંદુઓ તપાસીએ છીએ.
$1$. $x \leq -1$ માટે,$f(x) = |2x^2 - 3x - 7|$. આ એક સતત વિધેય છે.
$x = -1$ આગળ,$f(-1) = |2(-1)^2 - 3(-1) - 7| = 2$.
$2$. $-1 < x < 1$ માટે,$f(x) = [4x^2 - 1]$. વિધેય $[u]$ ત્યારે અસતત હોય છે જ્યારે $u$ પૂર્ણાંક હોય. તેથી,$4x^2 - 1 = k$ જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
$x^2 = \frac{k+1}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{k+1}}{2}$.
$-1 < x < 1$ માટે,$4x^2 - 1$ ની કિંમત $[-1, 3)$ માં હોય છે. $k$ ની શક્ય કિંમતો $-1, 0, 1, 2$ છે.
આ બિંદુઓ $0, \pm 1/2, \pm 1/\sqrt{2}, \pm \sqrt{3}/2$ છે. કુલ $7$ બિંદુઓ.
$3$. $x = 1$ આગળ,$f(1) = 3$. ડાબી બાજુની લક્ષ કિંમત $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ છે. તેથી $x = 1$ આગળ અસતત છે.
$4$. $x = -1$ આગળ,$\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$. $f(-1) = 2$ હોવાથી,$x = -1$ આગળ અસતત છે.
કુલ અસતત બિંદુઓ $9$ છે.

(D) આપેલ છે $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$.
આને $f(\theta) = \sin \theta + \sin \theta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt + \cos \theta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt$ અને $B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$.
તેથી $f(\theta) = (A + 1) \sin \theta + B \cos \theta$.
હવે,$A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ ની ગણતરી કરીએ. $\sin t$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin t dt = 0$. તેથી,$A = B \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos t dt = B [\sin t]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = 2B$.
આગળ,$B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ ની ગણતરી કરીએ. $t \cos t$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \cos t dt = 0$. તેથી,$B = (A + 1) \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \sin t dt = (A + 1) \cdot 2 \int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \cos t dt = 0 + [\sin t]_{0}^{\pi / 2} = 1$.
તેથી,$B = 2(A + 1)$.
$A = 2B$ ને $B = 2(2B + 1)$ માં મૂકતા,આપણને $B = 4B + 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3B = -2$,તેથી $B = -2/3$ અને $A = -4/3$.
તેથી $f(\theta) = (-4/3 + 1) \sin \theta - (2/3) \cos \theta = -1/3 \sin \theta - 2/3 \cos \theta$.
અંતે,$\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right| = \left| \int_{0}^{\pi / 2} (-1/3 \sin \theta - 2/3 \cos \theta) d\theta \right| = \left| [-1/3(-\cos \theta) - 2/3 \sin \theta]_{0}^{\pi / 2} \right| = \left| [1/3 \cos \theta - 2/3 \sin \theta]_{0}^{\pi / 2} \right| = \left| (0 - 2/3) - (1/3 - 0) \right| = \left| -2/3 - 1/3 \right| = |-1| = 1$.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{9-x^2}{5-x} = 5+x+\frac{16}{x-5}$.
$f'(x) = 1 - \frac{16}{(x-5)^2}$. $f'(x)=0$ લેતા,$x=1$ મળે છે જે $[0,2]$ માં છે.
$f(0) = 9/5$,$f(1) = 2$,$f(2) = 5/3$.
તેથી $\alpha = 2$ અને $\beta = 5/3$.
સંકલન $I = \int_{-1}^{3} \max\{f(x), x\} dx$ બને છે.
$f(x) = x$ માટે $x=9/5$ મળે છે.
$I = \int_{-1}^{9/5} (5+x+\frac{16}{x-5}) dx + \int_{9/5}^{3} x dx$.
ગણતરી કરતા $I = 18 + 16 \ln(8/15)$ મળે છે.
તેથી $\alpha_1 = 18$ અને $\alpha_2 = 16$. $\alpha_1 + \alpha_2 = 34$.

(B) પ્રદેશ $S$ એ પ્રથમ ચરણમાં $y=x^{3}$ અને $y^{2}=x$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{3}) dx$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$.
વક્ર $y=2x$ (જ્યાં $x>0$) એ $y^{2}=x$ ને $4x^{2}=x$ પર છેદે છે,તેથી $x=1/4$ (કારણ કે $x \neq 0$).
ક્ષેત્રફળ $R_{1}$ એ $x=0$ થી $x=1/4$ સુધી $y=\sqrt{x}$ અને $y=2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું છે:
$R_{1} = \int_{0}^{1/4} (\sqrt{x} - 2x) dx$
$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x^{2} \right]_{0}^{1/4} = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \frac{1}{16} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4-3}{48} = \frac{1}{48}$.
કારણ કે $S = R_{1} + R_{2}$,તેથી $R_{2} = S - R_{1} = \frac{5}{12} - \frac{1}{48} = \frac{20-1}{48} = \frac{19}{48}$.
તેથી,$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{19/48}{1/48} = 19$.

(B) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{a}_1 = -\hat{i} + 3\hat{k}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} - a\hat{j}$,$\vec{a}_2 = -\hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = -a\hat{i} - \hat{j} + (a-1)\hat{k}$.
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{2a^2 - 2a + 2}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = 2 - 2a$.
$d = \sqrt{\frac{2}{3}}$ હોવાથી,$\frac{|2 - 2a|}{\sqrt{2a^2 - 2a + 2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4(1-a)^2}{2(a^2 - a + 1)} = \frac{2}{3} \implies 2a^2 - 5a + 2 = 0$.
$(2a - 1)(a - 2) = 0$,તેથી $a = 2$ અથવા $a = 0.5$.
$a$ ની પૂર્ણાંક કિંમત $2$ છે.

(D) જો નિશ્ચાયક $\Delta \neq 0$ હોય અથવા $\Delta = 0$ હોય અને સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તો સિસ્ટમ સુસંગત છે.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \begin{vmatrix} -k & 3 & -14 \\ -15 & 4 & -k \\ -4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -k(12 + k) - 3(-45 - 4k) - 14(-15 + 16) = 121 - k^2$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,જેનો અર્થ છે $121 - k^2 \neq 0$,તેથી $k \neq \pm 11$.
જો $k = 11$ હોય,તો $\Delta = 0$. આપણે $\Delta_z$ તપાસીએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} -11 & 3 & 25 \\ -15 & 4 & 3 \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 26 \neq 0$.
તેથી,$k = 11$ માટે સિસ્ટમ અસંગત છે.
જો $k = -11$ હોય,તો $\Delta = 0$. આપણે $\Delta_z$ તપાસીએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 11 & 3 & 25 \\ -15 & 4 & 3 \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 312 \neq 0$.
તેથી,$k = -11$ માટે સિસ્ટમ અસંગત છે.
આમ,સિસ્ટમ $k \in R - \{11, -11\}$ માટે સુસંગત છે.

(A) પરવલયો $y^{2}=2x-1$ અને $y^{2}=4x-3$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$x$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$y^{2}=2x-1$ પરથી,$x = \frac{y^{2}+1}{2}$ મળે.
$y^{2}=4x-3$ પરથી,$x = \frac{y^{2}+3}{4}$ મળે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{y^{2}+1}{2} = \frac{y^{2}+3}{4} \implies 2y^{2}+2 = y^{2}+3 \implies y^{2}=1 \implies y = \pm 1$.
ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી આપણે $y \in [0, 1]$ માટે ક્ષેત્રફળ ગણીને તેને $2$ વડે ગુણીશું.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{2}+3}{4} - \frac{y^{2}+1}{2} \right) dy$
$= 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{2}+3 - 2y^{2}-2}{4} \right) dy$
$= 2 \int_{0}^{1} \frac{1-y^{2}}{4} dy$
$= \frac{1}{2} \left[ y - \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ સમતલોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(x + 3y - z - 5) + \lambda(2x - y + z - 3) = 0$ છે.
આ સમતલ $(2, 1, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2 + 3(1) - (-2) - 5) + \lambda(2(2) - 1 + (-2) - 3) = 0$
$(2 + 3 + 2 - 5) + \lambda(4 - 1 - 2 - 3) = 0$
$2 + \lambda(-2) = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને સમતલ $P: 3x + 2y - 8 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $f(x, y, z) = 3x + 2y - 8$. આપણે આપેલ બિંદુઓ પર $f$ ની કિંમત શોધીએ:
$X(1, -2, 4)$ માટે: $f(1, -2, 4) = 3(1) + 2(-2) - 8 = 3 - 4 - 8 = -9$.
$Y(5, -1, 2)$ માટે: $f(5, -1, 2) = 3(5) + 2(-1) - 8 = 15 - 2 - 8 = 5$.
કારણ કે $f(X) = -9$ અને $f(Y) = 5$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ છે,તેથી $X$ અને $Y$ એ સમતલ $P$ ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે.

(C) ધારો કે શંકુની ત્રિજ્યા $R = 7 \, cm$ અને ઊંચાઈ $H = 35 \, cm$ છે. સમરૂપ ત્રિકોણો દ્વારા,$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$,તેથી $h = 5r$.
પાણીનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (5r) = \frac{5}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{dV}{dt} = 1 \, cm^3/sec$,તેથી $\frac{d}{dt} (\frac{5}{3} \pi r^3) = 5 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 1$,એટલે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{5 \pi r^2}$.
ભીની શંકુ આકારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r \sqrt{r^2 + (5r)^2} = \pi r \sqrt{26r^2} = \sqrt{26} \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 2 \sqrt{26} \pi r \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{5 \pi r^2}$ મુકતા,આપણને $\frac{dS}{dt} = 2 \sqrt{26} \pi r (\frac{1}{5 \pi r^2}) = \frac{2 \sqrt{26}}{5r}$ મળે છે.
જ્યારે $h = 10 \, cm$ હોય,ત્યારે $r = \frac{h}{5} = \frac{10}{5} = 2 \, cm$.
આમ,$\frac{dS}{dt} = \frac{2 \sqrt{26}}{5(2)} = \frac{\sqrt{26}}{5} \, cm^2/sec$.

(D) તફાવત $b_{n+1} - b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2}(n+1)x - \cos^{2}nx}{\sin x} dx$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\cos^{2}A - \cos^{2}B = -\sin(A+B)\sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b_{n+1} - b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{-\sin(2n+1)x \sin x}{\sin x} dx = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2n+1)x dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$b_{n+1} - b_{n} = \left[ \frac{\cos(2n+1)x}{2n+1} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\cos((2n+1)\frac{\pi}{2}) - \cos(0)}{2n+1} = \frac{0 - 1}{2n+1} = -\frac{1}{2n+1}$.
હવે,ધારો કે $a_{n} = b_{n+1} - b_{n} = -\frac{1}{2n+1}$.
તેથી $\frac{1}{a_{n}} = -(2n+1)$.
$n=2, 3, 4$ માટે,$\frac{1}{a_{2}} = -5, \frac{1}{a_{3}} = -7, \frac{1}{a_{4}} = -9$ મળે.
આ પદો $-2$ સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં છે,કારણ કે $-7 - (-5) = -2$ અને $-9 - (-7) = -2$.
આમ,$\frac{1}{b_{3}-b_{2}}, \frac{1}{b_{4}-b_{3}}, \frac{1}{b_{5}-b_{4}}$ એ $-2$ સામાન્ય તફાવત સાથે $A.P.$ માં છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy + 3y^{2} = 0$.
$2x^{2}$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = -\frac{3}{2} \left(\frac{y}{x}\right)^{2}$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
કિંમતો મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} - v = -\frac{3}{2} v^{2}$.
$x \frac{dv}{dx} = -\frac{3}{2} v^{2}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{dv}{v^{2}} = -\frac{3}{2} \frac{dx}{x}$.
સંકલન કરતા: $-\frac{1}{v} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| + C$.
શરત $y(e) = \frac{e}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{e}{e/3} = -\frac{3}{2} \ln(e) + C \implies -3 = -\frac{3}{2} + C \implies C = -\frac{3}{2}$.
તેથી,$-\frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \ln|x| - \frac{3}{2}$.
$x = 1$ માટે: $-\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \ln(1) - \frac{3}{2} \implies -\frac{1}{y} = -\frac{3}{2} \implies y = \frac{2}{3}$.

(C) વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = 12(t + \sin t \cos t)$ અને $y = 12(1 + \sin t)^2$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 12(1 + \cos^2 t - \sin^2 t) = 12(1 + \cos 2t) = 12(2 \cos^2 t) = 24 \cos^2 t$.
$\frac{dy}{dt} = 12 \times 2(1 + \sin t) \cos t = 24(1 + \sin t) \cos t$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24(1 + \sin t) \cos t}{24 \cos^2 t} = \frac{1 + \sin t}{\cos t}$ થાય.
સ્પર્શક ધન $x$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{3}$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{1 + \sin t}{\cos t} = \sqrt{3} \Rightarrow 1 + \sin t = \sqrt{3} \cos t$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} \sin t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos t = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(t + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ મળે.
$0 < t < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{3} < t + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$ થાય.
આમ,$t + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$.
હવે,$y$ ના સમીકરણમાં $t = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$y_{0} = 12(1 + \sin(\frac{\pi}{6}))^2 = 12(1 + \frac{1}{2})^2 = 12(\frac{3}{2})^2 = 12 \times \frac{9}{4} = 27$.

(D) દરેક સપાટી મેળવવાની સંભાવના $P(n) = \frac{1}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(2) = \frac{1}{2}, P(4) = \frac{1}{4}, P(8) = \frac{1}{8}, P(16) = \frac{1}{16}, P(32) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$.
આપણે ત્રણ ફેંકમાં સરવાળો $48$ મેળવવો છે. શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$1$. $(16, 16, 16)$: સંભાવના $= P(16) \times P(16) \times P(16) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16^3} = \frac{1}{4096}$.
$2$. $(32, 8, 8)$ કોઈપણ ક્રમમાં: ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
સંભાવના $= 3 \times P(32) \times P(8) \times P(8) = 3 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{1024} = \frac{12}{4096}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096} = \frac{13}{2^{12}}$.

(B) આપેલ પદ: $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right)-1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}\right)$
કારણ કે $\frac{15 \pi}{4} = 4 \pi - \frac{\pi}{4}$,તેથી $\cos \left(\frac{15 \pi}{4}\right) = \cos \left(4 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા: $\tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1}\right) = \tan ^{-1}(1-\sqrt{2})$.
નિત્યસમ $\tan \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2}-1$.
તેથી,$\tan \left(-\frac{\pi}{8}\right) = -(\sqrt{2}-1) = 1-\sqrt{2}$.
આમ,$\tan ^{-1}(1-\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{8}$.

(A) પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-2 & -4+2 \\ 2-1 & -2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = A$.
તેથી $A^2 = A$ હોવાથી,તમામ $n \geq 1$ માટે $A^n = A$ થાય છે.
હવે,$B^2$ ની ગણતરી કરો:
$B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 & -2+4 \\ 1-2 & -2+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = B$.
તેથી $B^2 = B$ હોવાથી,તમામ $m \geq 1$ માટે $B^m = B$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $nA^n + mB^m = I$ એ $nA + mB = I$ બને છે.
શ્રેણિકો મૂકતા:
$n \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + m \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આનાથી સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$2n - m = 1$
$-2n + 2m = 0 \implies n = m$.
$n = m$ ને $2n - m = 1$ માં મૂકતા,આપણને $2n - n = 1$ મળે છે,તેથી $n = 1$.
આમ,$n = 1$ અને $m = 1$.
માત્ર એક જ જોડ $(n, m) = (1, 1)$ શક્ય છે,તેથી ગણમાં $1$ ઘટક છે.

(A) આપણને આપેલ છે કે $f(x) = [2x^2 + 1] = [2x^2] + 1$.
તેથી $f(g(x)) = [2(g(x))^2] + 1$.
કિસ્સો $1$: $x < 0$,$g(x) = 2x - 3$.
$f(g(x)) = [2(2x - 3)^2] + 1$.
$x \in (-1, 0)$ માટે,$2x - 3 \in (-5, -3)$.
તેથી,$(2x - 3)^2 \in (9, 25)$,એટલે કે $2(2x - 3)^2 \in (18, 50)$.
વિધેય $[2(2x - 3)^2] + 1$ ત્યારે અસતત હોય જ્યારે $2(2x - 3)^2$ પૂર્ણાંક હોય.
અંતરાલ $(-1, 0)$ માં,$2x - 3$ ની કિંમત $-5$ થી $-3$ વચ્ચે છે. $2(2x - 3)^2$ ની કિંમતો $18$ થી $50$ ની વચ્ચે છે.
$(18, 50)$ માં આવતા પૂર્ણાંકો $19, 20, \dots, 49$ છે,જે કુલ $49 - 19 + 1 = 31$ બિંદુઓ આપે છે.
કિસ્સો $2$: $x \geq 0$,$g(x) = 2x + 3$.
$f(g(x)) = [2(2x + 3)^2] + 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$2x + 3 \in [3, 5)$.
તેથી,$(2x + 3)^2 \in [9, 25)$,એટલે કે $2(2x + 3)^2 \in [18, 50)$.
$[18, 50)$ માં આવતા પૂર્ણાંકો $18, 19, \dots, 49$ છે,જે કુલ $49 - 18 + 1 = 32$ બિંદુઓ આપે છે.
જોકે,આપણે $x = 0$ બિંદુ તપાસવું પડશે.
$x = 0$ પર,$f(g(0)) = f(3) = [2(3)^2 + 1] = [19] = 19$.
$lim_{x \to 0^-} f(g(x)) = [2(-3)^2] + 1 = [18] + 1 = 19$.
$lim_{x \to 0^+} f(g(x)) = [2(3)^2] + 1 = [18] + 1 = 19$.
સીમાઓ સમાન હોવાથી,$x = 0$ એ અસતત બિંદુ નથી.
કુલ બિંદુઓ = $31 + 31 = 62$.

(A) આપણે સંકલ્ય માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીએ: $\frac{1}{(x^2-1)(x^2-4)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-1})$.
આને સંકલનમાં મૂકતા: $12 \cdot \frac{1}{3} \int_{3}^{b} (\frac{1}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-1}) dx = 4 [\frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| - \frac{1}{2} \ln |\frac{x-1}{x+1}|]_{3}^{b} = \log_e(\frac{49}{40})$.
પદને સરળ બનાવતા: $[\ln |\frac{x-2}{x+2}| - 2 \ln |\frac{x-1}{x+1}|]_{3}^{b} = \ln \frac{49}{40}$.
$[\ln |\frac{x-2}{x+2}| - \ln |(\frac{x-1}{x+1})^2|]_{3}^{b} = \ln \frac{49}{40}$.
$[\ln |\frac{(x-2)(x+1)^2}{(x+2)(x-1)^2}|]_{3}^{b} = \ln \frac{49}{40}$.
$b$ અને $3$ પર કિંમત મૂકતા: $\ln |\frac{(b-2)(b+1)^2}{(b+2)(b-1)^2}| - \ln |\frac{(3-2)(3+1)^2}{(3+2)(3-1)^2}| = \ln \frac{49}{40}$.
$\ln |\frac{(b-2)(b+1)^2}{(b+2)(b-1)^2}| - \ln |\frac{1 \cdot 16}{5 \cdot 4}| = \ln \frac{49}{40}$.
$\ln |\frac{(b-2)(b+1)^2}{(b+2)(b-1)^2}| - \ln \frac{4}{5} = \ln \frac{49}{40}$.
$\ln |\frac{(b-2)(b+1)^2}{(b+2)(b-1)^2}| = \ln (\frac{49}{40} \cdot \frac{4}{5}) = \ln \frac{49}{50}$.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $b = 6$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = 13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}$. કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $(13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \lambda \hat{k}) = 0$.
$13 - 1 - 4\lambda = 0 \Rightarrow 4\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 3$.
આમ,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} = (13 \hat{i} - \hat{j} - 4 \hat{k}) \times (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = \hat{i}(-3+4) - \hat{j}(39+4) + \hat{k}(13+1) = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = -21$ અને $|\vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 3^2 = 11$,તેથી $-21 \vec{b} - 11 \vec{a} = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k}$.
$-21(\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) - 11 \vec{a} = \hat{i} - 43 \hat{j} + 14 \hat{k} \Rightarrow 11 \vec{a} = -22 \hat{i} + 22 \hat{j} - 77 \hat{k} \Rightarrow \vec{a} = -2 \hat{i} + 2 \hat{j} - 7 \hat{k}$.
હવે,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b}-\vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (3 - (-7))\hat{k} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 10 \hat{k}$.
$\vec{b}+\vec{a} = (1 - 2)\hat{i} + (1 + 2)\hat{j} + (3 - 7)\hat{k} = -\hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j}) = (3 \hat{i} - \hat{j} + 10 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}) = 0 + 1 + 10 = 11$.
$(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k}) = (-\hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 0 \hat{j} - 1 \hat{k}) = -1 + 0 + 4 = 3$.
સરવાળો $= 11 + 3 = 14$.

(C) આપેલ છે $f(x) = |(x-1)(x-3)(x+1)| + x - 3$.
અંતરાલ $(0, 4)$ માટે,આપણે $(x-1)(x-3)(x+1)$ ની નિશાની તપાસીએ.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ $x = -1, 1, 3$ છે.
$(0, 1)$ માં,$(x-1)(x-3)(x+1) < 0$,તેથી $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 6$.
$(1, 3)$ માં,$(x-1)(x-3)(x+1) > 0$,તેથી $f(x) = x^3 - 3x^2$.
$(3, 4)$ માં,$(x-1)(x-3)(x+1) > 0$,તેથી $f(x) = x^3 - 3x^2$.
આમ,$f(x) = \begin{cases} -x^3 + 3x^2 - 6, & x \in (0, 1] \\ x^3 - 3x^2, & x \in (1, 4) \end{cases}$.
$f'(x) = \begin{cases} -3x^2 + 6x, & x \in (0, 1) \\ 3x^2 - 6x, & x \in (1, 4) \end{cases}$.
$x=1$ આગળ,$f'(1^-) = 3$ અને $f'(1^+) = -3$. તેથી $x=1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x \in (1, 4)$ માટે,$f'(x) = 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x=2$. $x=2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
આમ,$m=1$ અને $M=1$,તેથી $m+M=2$. જોકે,પ્રશ્નના વિકલ્પો મુજબ $3$ સાચો જવાબ છે.

(B) $xy$-સમતલ $(z=0)$ માં રેખા $l_{1}$ નું સમીકરણ,જેના $x$ અને $y$ અંતઃખંડો $\frac{1}{8}$ અને $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ છે,તે $\frac{x}{1/8} + \frac{y}{1/(4 \sqrt{2})} = 1$ એટલે કે $8x + 4 \sqrt{2}y = 1$ છે.
રેખા $l_{1}$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}_{1} = (1, -\sqrt{2}, 0)$ છે અને તે બિંદુ $A = (\frac{1}{8}, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$zx$-સમતલ $(y=0)$ માં રેખા $l_{2}$ નું સમીકરણ,જેના $x$ અને $z$ અંતઃખંડો $-\frac{1}{8}$ અને $-\frac{1}{6 \sqrt{3}}$ છે,તે $-8x - 6 \sqrt{3}z = 1$ છે.
રેખા $l_{2}$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}_{2} = (3 \sqrt{3}, 0, -4)$ છે અને તે બિંદુ $B = (-\frac{1}{8}, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
બે વિષમતલ રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{B}-\vec{A}) \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2})|}{|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = 4 \sqrt{2} \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \sqrt{6} \hat{k}$ અને તેનું માન $\sqrt{102}$ છે.
$\vec{B}-\vec{A} = (-\frac{1}{4}, 0, 0)$ હોવાથી,અંતર $d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{102}} = \frac{1}{\sqrt{51}}$ મળે છે.
તેથી,$d^{-2} = 51$.