JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) શિરોબિંદુ $(2, 0)$ છે અને નાભિ $(4, 0)$ છે.
પરવલયની ધરી $x$-અક્ષ હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $(y - 0)^2 = 4a(x - 2)$ થશે.
અહીં $a = 4 - 2 = 2$ છે,તેથી સમીકરણ $y^2 = 8(x - 2)$ મળે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $y^2 = 6^2 = 36$ અને $8(8 - 2) = 48$.
$36 \neq 48$ હોવાથી,બિંદુ $(8, 6)$ પરવલય પર નથી.

(A) અતિવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} = 1$.
અહીં,$a^2 = \cos^2 \theta$ અને $b^2 = \sin^2 \theta$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$.
આપેલ છે કે $e > 2$,તેથી $e^2 > 4$,એટલે કે $\sec^2 \theta > 4$,અથવા $\tan^2 \theta > 3$.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\tan \theta > \sqrt{3}$,એટલે કે $\theta \in (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2})$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \sin^2 \theta}{\cos \theta} = 2 \tan \theta \sin \theta$.
જ્યારે $\theta$ એ $\frac{\pi}{3}$ થી $\frac{\pi}{2}$ તરફ વધે છે,ત્યારે $L = 2 \tan \theta \sin \theta > 2(\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3$.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $(3, \infty)$ અંતરાલમાં છે.

(D) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $a, ar, ar^2$ છે જ્યાં $r \neq 1$ (કારણ કે સંખ્યાઓ ભિન્ન છે).
આપેલ છે કે $a + ar + ar^2 = x(ar)$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા:
$1 + r + r^2 = xr$
$x = \frac{1 + r + r^2}{r} = r + 1 + \frac{1}{r} = (r + \frac{1}{r}) + 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r > 0$ માટે,$r + \frac{1}{r} \geq 2$,તેથી $x \geq 2 + 1 = 3$.
$r < 0$ માટે,ધારો કે $r = -k$ જ્યાં $k > 0$. તો $r + \frac{1}{r} = -(k + \frac{1}{k}) \leq -2$.
તેથી $x \leq -2 + 1 = -1$.
આમ,$x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.
સંખ્યાઓ ભિન્ન હોવાથી,$r \neq 1$,તેથી $x \neq 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$x$ એ $(-1, 3)$ અંતરાલની કોઈપણ કિંમત ન હોઈ શકે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2$ એ $(-1, 3)$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી $x$ એ $2$ ન હોઈ શકે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a = 1$) ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
આને $m^2x - my + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x = 0$ નું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $m^2x - my + 1 = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $3$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|3m^2 + 1|}{\sqrt{m^4 + m^2}} = 3$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m^2 + 1)^2 = 9(m^4 + m^2)$
$9m^4 + 6m^2 + 1 = 9m^4 + 9m^2$
$3m^2 = 1 \Rightarrow m = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,સમીકરણ $\sqrt{3}y = x + 3$ મળે છે.

(B) આપણે $2^{403}$ ને $15$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી પડશે.
આપણે લખી શકીએ $2^{403} = 2^3 \times 2^{400} = 8 \times (2^4)^{100} = 8 \times (16)^{100}$.
$16 = 15 + 1$ હોવાથી,$2^{403} = 8(15 + 1)^{100}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(15 + 1)^{100} = 1 + 100(15) + \binom{100}{2} 15^2 + \dots + 15^{100}$.
તેથી,$2^{403} = 8 + 15 \times [8(100 + \binom{100}{2} 15 + \dots)]$.
આમ,$\frac{2^{403}}{15} = \frac{8}{15} + 8(100 + \binom{100}{2} 15 + \dots)$.
અપૂર્ણાંક ભાગ $\frac{8}{15}$ છે,જે $\frac{k}{15}$ તરીકે આપેલ છે.
તેથી,$k = 8$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $px + qy + r = 0$ અને શરત $3p + 2q + 4r = 0$ છે.
શરત પરથી,આપણે $r = -\frac{3p + 2q}{4}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$px + qy - \frac{3p + 2q}{4} = 0$
$4px + 4qy - 3p - 2q = 0$
$p$ અને $q$ ના પદોને ગોઠવતા:
$p(4x - 3) + q(4y - 2) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $p$ અને $q$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}$
$4y - 2 = 0 \implies y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આમ,બધી રેખાઓ નિશ્ચિત બિંદુ $\left( \frac{3}{4}, \frac{1}{2} \right)$ માંથી પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ આ બિંદુએ સંગામી છે.

(A) ધારો કે $u = y^4$. જેમ $y \to 0$,તેમ $u \to 0$. પદાવલિ $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \sqrt {1 + u} } - \sqrt 2 }}{u}$ બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{u}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\sqrt{1 + (1 + \frac{u}{2})} = \sqrt{2 + \frac{u}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{1 + \frac{u}{4}}$.
ફરીથી વિસ્તરણ કરતા: $\sqrt{2} (1 + \frac{u}{8}) = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}u}{8}$.
હવે,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}u}{8} - \sqrt{2}}}{u} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$.

(C) અમે $(\oplus, \Theta)$ માટે શક્ય સંયોજનો ચકાસીએ છીએ જ્યાં $\oplus, \Theta \in \{\wedge, \vee\}$.
કિસ્સો $1$: $(\oplus, \Theta) = (\wedge, \vee)$
$(p \wedge q) \wedge (\sim p \vee q) \equiv (p \wedge q \wedge \sim p) \vee (p \wedge q \wedge q)$
$\equiv (F \wedge q) \vee (p \wedge q) \equiv F \vee (p \wedge q) \equiv p \wedge q$.
આ આપેલી પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
કિસ્સો $2$: $(\oplus, \Theta) = (\wedge, \wedge)$
$(p \wedge q) \wedge (\sim p \wedge q) \equiv (p \wedge \sim p) \wedge q \equiv F \wedge q \equiv F$.
કિસ્સો $3$: $(\oplus, \Theta) = (\vee, \vee)$
$(p \vee q) \wedge (\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim p) \vee q \equiv F \vee q \equiv q$.
કિસ્સો $4$: $(\oplus, \Theta) = (\vee, \wedge)$
$(p \vee q) \wedge (\sim p \wedge q) \equiv (p \wedge \sim p \wedge q) \vee (q \wedge \sim p \wedge q) \equiv F \vee (q \wedge \sim p) \equiv q \wedge \sim p$.
આમ,સાચી ક્રમયુક્ત જોડ $(\wedge, \vee)$ છે.

(C) ધારો કે $5$ વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે.
આપેલ સરેરાશ $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i}{5} = 150 \implies \sum_{i=1}^5 x_i = 750$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\bar{x})^2 = 18$.
$\frac{\sum x_i^2}{5} - (150)^2 = 18 \implies \frac{\sum x_i^2}{5} = 22500 + 18 = 22518$.
$\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 112590$.
હવે,$156 \, cm$ ઊંચાઈ ધરાવતો નવો વિદ્યાર્થી $x_6 = 156$ જોડાય છે.
ઊંચાઈનો નવો સરવાળો $750 + 156 = 906$ છે.
નવી સરેરાશ $\bar{x}_{new} = \frac{906}{6} = 151$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum_{i=1}^6 x_i^2 = 112590 + (156)^2 = 112590 + 24336 = 136926$.
નવું વિચરણ $\frac{\sum_{i=1}^6 x_i^2}{6} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{136926}{6} - (151)^2$.
$= 22821 - 22801 = 20 \, cm^2$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = 3(\sin \theta - \cos \theta)^4 + 6(\sin \theta + \cos \theta)^2 + 4\sin^6 \theta$
$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - \sin 2\theta$ અને $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 3(1 - \sin 2\theta)^2 + 6(1 + \sin 2\theta) + 4\sin^6 \theta$
$E = 3(1 - 2\sin 2\theta + \sin^2 2\theta) + 6 + 6\sin 2\theta + 4\sin^6 \theta$
$E = 9 + 3\sin^2 2\theta + 4\sin^6 \theta$
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ મૂકતા:
$E = 9 + 12\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4\sin^6 \theta$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ હોવાથી:
$E = 9 + 12(1 - \cos^2 \theta)\cos^2 \theta + 4(1 - \cos^2 \theta)^3$
$E = 13 - 4\cos^6 \theta$

(A) આપેલ છે $S = \sum_{i=1}^{30} {a_i}$ અને $T = \sum_{i=1}^{15} {a_{2i-1}}$.
ધારો કે $A.P.$ ને ${a_i} = a + (i-1)d$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$S = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \dots + {a_{30}}$
$T = {a_1} + {a_3} + {a_5} + \dots + {a_{29}}$
તેથી $2T = 2{a_1} + 2{a_3} + 2{a_5} + \dots + 2{a_{29}}$.
$S - 2T = ({a_2} - {a_1}) + ({a_4} - {a_3}) + ({a_6} - {a_5}) + \dots + ({a_{30}} - {a_{29}})$.
કારણ કે ${a_{2k}} - {a_{2k-1}} = d$,તેથી $S - 2T = 15d$.
આપેલ છે $S - 2T = 75$,તેથી $15d = 75$,જેનો અર્થ છે $d = 5$.
આપેલ છે ${a_5} = 27$,તેથી $a + 4d = 27$.
$d = 5$ મૂકતા,$a + 4(5) = 27$ $\Rightarrow a + 20 = 27$ $\Rightarrow a = 7$.
આપણે ${a_{10}} = a + 9d$ શોધવાનું છે.
${a_{10}} = 7 + 9(5) = 7 + 45 = 52$.

(D) ધારો કે $z = \frac{3 + 2i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3 + 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$z = \frac{(3 - 4 \sin^2 \theta) + 8i \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$3 - 4 \sin^2 \theta = 0 \implies \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપેલ અંતરાલ $\theta \in \left( -\frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માટે:
જો $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તો $\theta = \frac{\pi}{3}$ અથવા $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
જો $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,તો $\theta = -\frac{\pi}{3}$.
તેથી $A = \left\{ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right\}$.
ઘટકોનો સરવાળો $-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(C) $5$ માંથી $2$ છોકરીઓ અને $7$ માંથી $3$ છોકરાઓને કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ છે.
જો બંને ચોક્કસ છોકરાઓ $A$ અને $B$ ટીમમાં હોય,તો આપણે બાકીના $5$ છોકરાઓમાંથી $1$ વધુ છોકરો અને $5$ છોકરીઓમાંથી $2$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે. આવી ટીમોની સંખ્યા $^5C_1 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ છે.
તેથી,એવી ટીમોની સંખ્યા જેમાં $A$ અને $B$ સાથે ન હોય તે $350 - 50 = 300$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2x + 2 = 0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,$(x+1)^2 + 1 = 0$,તેથી $(x+1)^2 = -1$.
આમ,$x+1 = \pm i$,જે $x = -1 \pm i$ આપે છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$x = \sqrt{2} e^{\pm i(3\pi/4)}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^{7} \sqrt{2} \times 2 \cos \left( \frac{45\pi}{4} \right)$.
$\cos \left( \frac{45\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,
$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^8 \sqrt{2} \times \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -256$.

(A) ધારો કે ત્રણ વર્તુળોની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $b, a, c$ છે,જ્યાં $a$ એ $b$ અને $c$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે મોટા વર્તુળોની વચ્ચે મૂકાયેલ સૌથી નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો વચ્ચેના સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{(r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2} = 2\sqrt{r_1r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે વર્તુળોના $x$-અક્ષ સાથેના સ્પર્શબિંદુઓ અનુક્રમે $A, B, C$ છે.
અંતર $AB = 2\sqrt{ab}$ ($b$ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો વચ્ચે).
અંતર $BC = 2\sqrt{ac}$ ($a$ અને $c$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો વચ્ચે).
અંતર $AC = 2\sqrt{bc}$ ($b$ અને $c$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો વચ્ચે).
સૌથી નાનું વર્તુળ અન્ય બેની વચ્ચે હોવાથી,આપણી પાસે $AC = AB + BC$ છે.
$2\sqrt{bc} = 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{ac}$.
બંને બાજુઓને $2\sqrt{abc}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{b}}$.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{(3 + (n-1) \times 3)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)}{2n + 1}$ છે.
$T_n$ નું સાદુંરૂપ આપતા:
$T_n = \frac{3n \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2n+1} = \frac{n^2(n+1)}{2} = \frac{n^3 + n^2}{2}$.
$15$ પદોનો સરવાળો $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} T_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} (n^3 + n^2)$ છે.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2$ અને $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{15} = \frac{1}{2} [(\frac{15 \times 16}{2})^2 + \frac{15 \times 16 \times 31}{6}]$.
$S_{15} = \frac{1}{2} [120^2 + 1240] = \frac{1}{2} [14400 + 1240] = \frac{15640}{2} = 7820$.

(B) આપણે $\lim_{x \to 0^+} \frac{x([x] + |x|) \sin [x]}{|x|}$ લક્ષની કિંમત મેળવવી છે.
જ્યારે $x \to 0^+$,ત્યારે $0 < x < 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $[x] = 0$.
વળી,$x > 0$ માટે,$|x| = x$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x(0 + x) \sin(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 \cdot 0}{x} = \lim_{x \to 0^+} 0 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$:
$(\sin 3x + \sin x) - \sin 2x = 0$
$2 \sin 2x \cos x - \sin 2x = 0$
$\sin 2x (2 \cos x - 1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin 2x = 0$ અથવા $\cos x = \frac{1}{2}$.
$\sin 2x = 0$ માટે,$2x = n\pi$,તેથી $x = \frac{n\pi}{2}$. $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ આપેલ હોવાથી,માત્ર $x = 0$ ઉકેલ મળે છે.
$\cos x = \frac{1}{2}$ માટે,$x = \frac{\pi}{3}$ ($0 \le x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી).
$x$ ના મૂલ્યો $0$ અને $\frac{\pi}{3}$ છે.
આમ,મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
આપેલ છે કે $z = 3 + 6iz_0^{81} - 3iz_0^{93}$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$z_0^{81} = (z_0^3)^{27} = 1^{27} = 1$ અને $z_0^{93} = (z_0^3)^{31} = 1^{31} = 1$ થાય.
આ કિંમતો $z$ માં મૂકતા:
$z = 3 + 6i(1) - 3i(1) = 3 + 3i$.
$\arg(z)$ શોધવા માટે,$x > 0$ માટે $\arg(x + iy) = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\arg(z) = \tan^{-1}(\frac{3}{3}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1-t^6)^3 (1-t)^{-3}$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1-t^6)^3$ નું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18})$ મળે છે.
આપણે $(1 - 3t^6 + 3t^{12} - t^{18}) (1-t)^{-3}$ ના ગુણાકારમાં $t^4$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
આપણને ફક્ત $t^4$ ના પદની જરૂર હોવાથી,આપણે પ્રથમ કૌંસમાંથી અચળ પદ $1$ લઈએ છીએ અને તેનો ગુણાકાર $(1-t)^{-3}$ ના વિસ્તરણમાં $t^4$ ના સહગુણક સાથે કરીએ છીએ.
$(1-t)^{-n}$ નું વિસ્તરણ $\sum_{r=0}^{\infty} {^{n+r-1}C_r} t^r$ છે.
$n=3$ માટે,$t^4$ નો સહગુણક $^{3+4-1}C_4 = ^{6}C_4 = ^{6}C_2$ છે.
$^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - mx + 4$. બીજ $\alpha, \beta$ વાસ્તવિક,ભિન્ન અને $[1, 5]$ માં આવેલા હોય તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$(1)$ વિવેચક $D > 0$:
$D = (-m)^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16 > 0$
$m^2 > 16 \Rightarrow m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$
$(2)$ $f(1) > 0$:
$f(1) = 1 - m + 4 = 5 - m > 0 \Rightarrow m < 5$
$(3)$ $f(5) > 0$:
$f(5) = 25 - 5m + 4 = 29 - 5m > 0 \Rightarrow m < \frac{29}{5} = 5.8$
$(4)$ શિરોબિંદુનું સ્થાન $1 < \frac{-b}{2a} < 5$:
$1 < \frac{m}{2} < 5 \Rightarrow 2 < m < 10$
બધી શરતોનો છેદ લેતા:
$m \in (4, \infty) \cap (-\infty, 5) \cap (-\infty, 5.8) \cap (2, 10) = (4, 5)$
આમ,$m \in (4, 5)$. વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(x,0)$,અને $B(0,y)$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x| |y| = 50$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $|xy| = 100$.
$x$ અને $y$ શૂન્યતર પૂર્ણાંકો હોવાથી,આપણે $|x| |y| = 100$ થાય તેવી $(x, y)$ જોડીઓની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે.
$100 = 2^2 \times 5^2$ ના ભાજકોની સંખ્યા $(2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9$ છે.
$100$ ના દરેક ભાજક $d$ માટે,આપણી પાસે $|x| = d$ અને $|y| = 100/d$ છે. $x$ અને $y$ ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે,તેથી દરેક જોડી $(|x|, |y|)$ માટે $4$ શક્ય ચિહ્ન સંયોજનો છે (જેમ કે $(+,+), (+,-), (-,+), (-,-)$).
આમ,ત્રિકોણોની કુલ સંખ્યા $4 \times 9 = 36$ છે.

(B) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $A.P.$ અચળ ન હોવાથી,$d \neq 0$.
આપેલ છે કે $a = A + 6d$,$b = A + 10d$,અને $c = A + 12d$.
$a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$b^2 = ac$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(A + 10d)^2 = (A + 6d)(A + 12d)$.
$A^2 + 20Ad + 100d^2 = A^2 + 18Ad + 72d^2$.
$2Ad = -28d^2$.
$d \neq 0$ હોવાથી,$2d$ વડે ભાગતા $A = -14d$,અથવા $\frac{A}{d} = -14$ મળે.
હવે,$\frac{a}{c} = \frac{A + 6d}{A + 12d} = \frac{\frac{A}{d} + 6}{\frac{A}{d} + 12}$.
$\frac{A}{d} = -14$ મૂકતા: $\frac{-14 + 6}{-14 + 12} = \frac{-8}{-2} = 4$.

(B) આપેલ છે: $\sum_{i=1}^n (x_i + 1)^2 = 9n$ $(1)$
$\sum_{i=1}^n (x_i - 1)^2 = 5n$ $(2)$
બંને સમીકરણોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sum (x_i^2 + 2x_i + 1) = 9n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 + 2\sum x_i + n = 9n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 + 2\sum x_i = 8n$ $(3)$
$\sum (x_i^2 - 2x_i + 1) = 5n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 - 2\sum x_i + n = 5n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 - 2\sum x_i = 4n$ $(4)$
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$2\sum x_i^2 = 12n \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{n} = 6$
$(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા:
$4\sum x_i = 4n \Rightarrow \frac{\sum x_i}{n} = 1$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2 = 6 - (1)^2 = 5$
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{5}$

(B) આપણે ${0, 1, 3, 7, 9}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $7,000$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
કિસ્સો $1$: $1, 2$ અથવા $3$ અંકની સંખ્યાઓ.
$1$ અંકની સંખ્યા માટે $4$ વિકલ્પો છે: ${1, 3, 7, 9}$.
$2$ અંકની સંખ્યા માટે પ્રથમ અંકના $4$ અને બીજા અંકના $5$ વિકલ્પો છે: $4 \times 5 = 20$.
$3$ અંકની સંખ્યા માટે પ્રથમ અંકના $4$ અને બાકીના બે અંકના $5$ વિકલ્પો છે: $4 \times 5 \times 5 = 100$.
કુલ $= 4 + 20 + 100 = 124$.
કિસ્સો $2$: $7,000$ થી નાની $4$ અંકની સંખ્યાઓ.
પ્રથમ અંક $1$ અથવા $3$ હોઈ શકે ($2$ વિકલ્પો).
બાકીના ત્રણ સ્થાન માટે $5$ અંકોમાંથી કોઈ પણ આવી શકે ($5 \times 5 \times 5 = 125$ વિકલ્પો).
કુલ $4$ અંકની સંખ્યાઓ $= 2 \times 125 = 250$.
કુલ સંખ્યા $= 124 + 250 = 374$.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 16x - 20y + 164 = r^2$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x - 8)^2 + (y - 10)^2 = r^2$. કેન્દ્ર $A(8, 10)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = r$ છે.
બીજું વર્તુળ $(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 36$ છે. કેન્દ્ર $B(4, 7)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = 6$ છે.
કેન્દ્રો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત $|R_1 - R_2| < AB < R_1 + R_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $|r - 6| < 5 < r + 6$.
$r + 6 > 5$ પરથી,$r > -1$ મળે. ત્રિજ્યા હોવાથી $r > 0$.
$|r - 6| < 5$ પરથી,$-5 < r - 6 < 5$,જેનો અર્થ છે $1 < r < 11$.
આમ,શરત $1 < r < 11$ છે.

(A) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને $x$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ આપેલ હોવાથી,$a = 2$ મળે,તેથી $a^2 = 4$.
સમીકરણ $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ બને છે.
અતિવલય $(4, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{4^2}{4} - \frac{2^2}{b^2} = 1$
$4 - \frac{4}{b^2} = 1$
$3 = \frac{4}{b^2}$
$b^2 = \frac{4}{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$e = \sqrt{1 + \frac{4/3}{4}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$. ધારો કે બિંદુ $C$ ના યામ $(t^2, 2t)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $A(4, -4)$,$B(9, 6)$ અને $C(t^2, 2t)$ ધરાવતા $\Delta ACB$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
$= \frac{1}{2} |4(6 - 2t) + 9(2t - (-4)) + t^2(-4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |24 - 8t + 18t + 36 - 10t^2|$
$= \frac{1}{2} |-10t^2 + 10t + 60| = |-5t^2 + 5t + 30|$
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f(t) = -5t^2 + 5t + 30$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ લઈએ:
$f'(t) = -10t + 5 = 0 \implies t = \frac{1}{2}$.
$t = \frac{1}{2}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = |-5(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{2}) + 30| = |-\frac{5}{4} + \frac{10}{4} + \frac{120}{4}| = \frac{125}{4} = 31\frac{1}{4}$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે બાજુઓ $AB: 3x - 2y + 6 = 0$ અને $AC: 4x + 5y - 20 = 0$ છે. શિરોબિંદુ $A$ એ $AB$ અને $AC$ નું છેદબિંદુ છે. $3x - 2y = -6$ અને $4x + 5y = 20$ ઉકેલતા,આપણને $A = (2/23, 78/23)$ મળે છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H = (1, 1)$ છે.
$B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $H(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AC$ ને લંબ છે. $AC$ નો ઢાળ $-4/5$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $5/4$ છે. સમીકરણ $5x - 4y - 1 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ એ $AB$ અને વેધ $5x - 4y - 1 = 0$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$B = (-13, -17)$ મળે છે.
$C$ માંથી $AB$ પરનો વેધ $H(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે. $AB$ નો ઢાળ $3/2$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $-2/3$ છે. સમીકરણ $2x + 3y - 5 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $C$ એ $AC$ અને વેધ $2x + 3y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$C = (35/2, -5)$ મળે છે.
ત્રીજી બાજુ $BC$ એ $B(-13, -17)$ અને $C(35/2, -5)$ માંથી પસાર થાય છે. ગણતરી કરતા,ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ $26x - 122y - 1675 = 0$ મળે છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સંમેય હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 6$,$b = -11$,અને $c = \alpha$.
$D = (-11)^2 - 4(6)(\alpha) = 121 - 24\alpha$.
$\alpha$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$121 - 24\alpha \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $24\alpha \le 121$,તેથી $\alpha \le 5.04$. આમ,$\alpha \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
દરેક કિંમત તપાસતા:
જો $\alpha = 1$,$D = 97$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
જો $\alpha = 2$,$D = 73$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
જો $\alpha = 3$,$D = 49 = 7^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
જો $\alpha = 4$,$D = 25 = 5^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
જો $\alpha = 5$,$D = 1 = 1^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
$\alpha$ માટે શક્ય કિંમતો $3, 4, 5$ છે. તેથી,આવી $3$ કિંમતો મળે છે.

(B) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $1, 3, 8, x$ અને $y$ છે.
આપેલ મધ્યક $\mu = 5$ હોવાથી,$\frac{1 + 3 + 8 + x + y}{5} = 5$.
$12 + x + y = 25 \Rightarrow x + y = 13$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 9.20$,સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \mu^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9.2 = \frac{1^2 + 3^2 + 8^2 + x^2 + y^2}{5} - 5^2$.
$9.2 = \frac{1 + 9 + 64 + x^2 + y^2}{5} - 25$.
$34.2 = \frac{74 + x^2 + y^2}{5} \Rightarrow 171 = 74 + x^2 + y^2$.
$x^2 + y^2 = 97$ (સમીકરણ $2$).
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$,તેથી $13^2 = 97 + 2xy$.
$169 - 97 = 2xy$ $\Rightarrow 72 = 2xy$ $\Rightarrow xy = 36$.
$x + y = 13$ અને $xy = 36$ ઉકેલતા,દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 13t + 36 = 0$ મળે છે,જેના ઉકેલ $(t - 4)(t - 9) = 0$ છે.
આમ,બે અવલોકનો $4$ અને $9$ છે.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{4}{9}$ અથવા $\frac{9}{4}$ છે.

(C) $5, 5r, 5r^2$ ત્રિકોણની બાજુઓ હોવા માટે,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$1) 5 + 5r > 5r^2 \Rightarrow r^2 - r - 1 < 0$. $r^2 - r - 1 = 0$ ના બીજ $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે. $r > 0$ હોવાથી,$0 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$.
$2) 5 + 5r^2 > 5r \Rightarrow r^2 - r + 1 > 0$. આ તમામ $r \in \mathbb{R}$ માટે સાચું છે.
$3) 5r + 5r^2 > 5 \Rightarrow r^2 + r - 1 > 0$. $r^2 + r - 1 = 0$ ના બીજ $r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે. $r > 0$ હોવાથી,$r > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$.
આમ,$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} < r < \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ એટલે કે $0.618 < r < 1.618$.
વિકલ્પો તપાસતા,$\frac{7}{4} = 1.75$ એ આ મર્યાદાની બહાર છે.

(D) આપણે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: ${}^{n}{C_r} + {}^{n}{C_{r-1}} = {}^{n+1}{C_r}$.
છેદમાં આ ગુણધર્મ લાગુ પાડતા: ${}^{20}{C_i} + {}^{20}{C_{i-1}} = {}^{21}{C_i}$.
તેથી,સરવાળાની અંદરનું પદ $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{{}^{21}{C_i}}$ થાય.
સૂત્ર ${}^{n}{C_r} = \frac{n}{r} \cdot {}^{n-1}{C_{r-1}}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{21}{C_i} = \frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}$ મળે.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા: $\frac{{}^{20}{C_{i-1}}}{\frac{21}{i} \cdot {}^{20}{C_{i-1}}} = \frac{i}{21}$.
સરવાળો $\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( \frac{i}{21} \right)}^3 = \frac{1}{21^3} \sum\limits_{i = 1}^{20} i^3$ બને.
ઘનનો સરવાળો $\sum\limits_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$n=20$ માટે:
$\sum\limits_{i=1}^{20} i^3 = \left( \frac{20 \times 21}{2} \right)^2 = (10 \times 21)^2 = 100 \times 21^2$.
કિંમત મૂકતા: $S = \frac{100 \times 21^2}{21^3} = \frac{100}{21}$.
આપેલ $S = \frac{k}{21}$ હોવાથી,$k = 100$ મળે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$
$\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \cos^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$
ધારો કે $t = \cos^2 2\theta$. તો $t^2 - t + 1 = \frac{3}{4} \Rightarrow t^2 - t + \frac{1}{4} = 0$
$(t - \frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$
તેથી,$\cos^2 2\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\cos^2 2\theta - 1 = 0$
$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos 4\theta = 0$
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$4\theta \in (0, 2\pi)$.
$\cos 4\theta = 0 \Rightarrow 4\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}$
કિંમતોનો સરવાળો = $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$

(D) ધારો કે $f(x) = (c - 5)x^2 - 2cx + (c - 4)$.
એક બીજ $(0, 2)$ માં અને બીજું $(2, 3)$ માં હોય તે માટે,$x=2$ આગળ $f(x)$ નું ચિહ્ન બદલાવવું જોઈએ.
કિસ્સો $I$: જો $c - 5 > 0$ (એટલે કે $c > 5$),તો $f(2) < 0$.
$f(2) = (c - 5)(2)^2 - 2c(2) + (c - 4) = 4c - 20 - 4c + c - 4 = c - 24$.
તેથી,$c - 24 < 0 \Rightarrow c < 24$.
વળી,$f(0) > 0$ $\Rightarrow c - 4 > 0$ $\Rightarrow c > 4$.
અને $f(3) > 0$ $\Rightarrow (c - 5)(9) - 2c(3) + (c - 4) > 0$ $\Rightarrow 9c - 45 - 6c + c - 4 > 0$ $\Rightarrow 4c - 49 > 0$ $\Rightarrow c > 12.25$.
આ બધાને જોડતા,$12.25 < c < 24$. પૂર્ણાંકો ${13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}$ છે,જે કુલ $11$ મૂલ્યો છે.
કિસ્સો $II$: જો $c - 5 < 0$ (એટલે કે $c < 5$),તો $f(2) > 0$.
$c - 24 > 0 \Rightarrow c > 24$,જે $c < 5$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
આમ,આવા $11$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો છે.

(D) ધારો કે $M$,$P$,અને $C$ એ અનુક્રમે ગણિત,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણવિજ્ઞાન પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓના ગણ છે.
$n(M) = \lfloor \frac{140}{2} \rfloor = 70$
$n(P) = \lfloor \frac{140}{3} \rfloor = 46$
$n(C) = \lfloor \frac{140}{5} \rfloor = 28$
હવે,છેદગણ શોધો:
$n(M \cap P) = \lfloor \frac{140}{6} \rfloor = 23$
$n(M \cap C) = \lfloor \frac{140}{10} \rfloor = 14$
$n(P \cap C) = \lfloor \frac{140}{15} \rfloor = 9$
$n(M \cap P \cap C) = \lfloor \frac{140}{30} \rfloor = 4$
ગણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$n(M \cup P \cup C) = 70 + 46 + 28 - (23 + 14 + 9) + 4 = 102$
કોઈ પણ કોર્સ પસંદ ન કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $140 - 102 = 38$ છે.

(A) $(1 + x^{\log_2 x})^5$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^5C_r (x^{\log_2 x})^r$ છે.
ત્રીજા પદ માટે,$r = 2$,તેથી $T_3 = ^5C_2 (x^{\log_2 x})^2$.
આપેલ છે કે $T_3 = 2560$,તેથી $10 (x^{\log_2 x})^2 = 2560$.
$(x^{\log_2 x})^2 = 256$.
બંને બાજુ આધાર $2$ પર લઘુગણક લેતા:
$2 \log_2 (x^{\log_2 x}) = \log_2 (256)$.
$2 (\log_2 x)(\log_2 x) = 8$.
$(\log_2 x)^2 = 4$.
$\log_2 x = \pm 2$.
જો $\log_2 x = 2$,તો $x = 2^2 = 4$.
જો $\log_2 x = -2$,તો $x = 2^{-2} = 1/4$.
આમ,$x$ ની એક શક્ય કિંમત $1/4$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4b(x - c)$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = m(x - c) - 2bm - bm^3$ છે.
પરવલય $y^2 = 8ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 4am - 2am^3$ છે.
આ બંને પરવલયો $m \neq 0$ ઢાળવાળો સામાન્ય અભિલંબ ધરાવે તે માટે,સમીકરણો સમાન રેખા દર્શાવતા હોવા જોઈએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$m^2 = \frac{c}{2a - b} - 2$.
સામાન્ય અભિલંબના અસ્તિત્વ માટે,$m^2 > 0$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $\frac{c}{2a - b} > 2$.
વિકલ્પ $(B)$ $(a=1, b=1, c=3)$ ચકાસતા:
$m^2 = \frac{3}{2(1) - 1} - 2 = 1 > 0$.
આમ,$(1, 1, 3)$ એક માન્ય વિકલ્પ છે.

(B) આપણે $\lim_{x \to 1^+} \frac{(1 - |x| + \sin |1 - x|) \sin (\frac{\pi}{2} [1 - x])}{|1 - x|^2}$ લક્ષની કિંમત મેળવવી છે.
જ્યારે $x \to 1^+$,ત્યારે $x > 1$,તેથી $|x| = x$ અને $|1 - x| = x - 1$ થાય.
વળી,$x$ એ $1$ થી સહેજ મોટો હોવાથી,$1 - x$ એ $0$ થી સહેજ નાનો થાય,તેથી $[1 - x] = -1$ થાય.
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા:
$\lim_{x \to 1^+} \frac{(1 - x + \sin(x - 1)) \sin(-\frac{\pi}{2})}{(x - 1)^2}$
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ હોવાથી,પદ આ મુજબ થશે:
$\lim_{x \to 1^+} \frac{-(1 - x + \sin(x - 1))}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1) - \sin(x - 1)}{(x - 1)^2}$
ધારો કે $h = x - 1$. જ્યારે $x \to 1^+$,ત્યારે $h \to 0^+$. લક્ષ આ મુજબ થશે:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{h - \sin(h)}{h^2}$
$\sin(h)$ નું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $\sin(h) = h - \frac{h^3}{6} + \dots$ વાપરતા:
$\lim_{h \to 0^+} \frac{h - (h - \frac{h^3}{6} + \dots)}{h^2} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h^3}{6}}{h^2} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{6} = 0$.

(D) આપેલ છે કે $3|z_1| = 4|z_2|$,તેથી $\left|\frac{3z_1}{2z_2}\right| = \frac{3|z_1|}{2|z_2|} = \frac{4|z_2|}{2|z_2|} = 2$.
ધારો કે $w = \frac{3z_1}{2z_2}$. તો $|w| = 2$,તેથી આપણે $w = 2(\cos \theta + i \sin \theta)$ લખી શકીએ.
તેથી $z = w + \frac{1}{w} = 2(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{2(\cos \theta + i \sin \theta)}$.
$z = 2(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{2}(\cos \theta - i \sin \theta)$.
$z = (2 + \frac{1}{2}) \cos \theta + i(2 - \frac{1}{2}) \sin \theta = \frac{5}{2} \cos \theta + i \frac{3}{2} \sin \theta$.
અહીં $\text{Im}(z) = \frac{3}{2} \sin \theta$ હોવાથી,તે દરેક $\theta$ માટે શૂન્ય હોવું જરૂરી નથી. આમ,$\text{Im}(z) \neq 0$ એ સામાન્ય રીતે સાચું વિધાન છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(\alpha, \beta)$ છે. $P$ એ રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ પર હોવાથી,$2\alpha - 3\beta + 4 = 0$ થાય.
ધારો કે $(h, k)$ એ $\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{\alpha + 1 + 3}{3}$ $\Rightarrow 3h = \alpha + 4$ $\Rightarrow \alpha = 3h - 4$
$k = \frac{\beta + 4 - 2}{3}$ $\Rightarrow 3k = \beta + 2$ $\Rightarrow \beta = 3k - 2$
આ કિંમતોને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(3h - 4) - 3(3k - 2) + 4 = 0$
$6h - 8 - 9k + 6 + 4 = 0$
$6h - 9k + 2 = 0$
મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ નો બિંદુપથ $6x - 9y + 2 = 0$ છે.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા: $9y = 6x + 2$ $\Rightarrow y = \frac{6}{9}x + \frac{2}{9}$ $\Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{9}$.
આ રેખાનો ઢાળ $\frac{2}{3}$ છે.

(B) એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $BD$ એ બાજુ $AC$ પરની મધ્યગા છે.
મધ્યગાની લંબાઈ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(AB^2 + BC^2) - AC^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(7^2 + 5^2) - 6^2}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(49 + 25) - 36}$
$BD = \frac{1}{2} \sqrt{2(74) - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{148 - 36} = \frac{1}{2} \sqrt{112}$
$BD = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{7} = 2 \sqrt{7} \ m$.
ધારો કે $h$ એ $D$ પરના લેમ્પ-પોસ્ટની ઊંચાઈ છે. લેમ્પ-પોસ્ટ $B$ આગળ $30^o$ નો ખૂણો આંતરે છે,તેથી લેમ્પ-પોસ્ટ અને રેખાખંડ $BD$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan 30^o = \frac{h}{BD}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2 \sqrt{7}}$
$h = \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{21}}{3} \ m$.

(A) આપેલ અતિવલય $4x^2 - 5y^2 = 20$ છે,જેને $\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેને $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
આપેલ રેખા $x - y = 2$ છે,જેને $y = x - 2$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
$m$ ઢાળવાળા અતિવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ છે.
$m = 1$,$a^2 = 5$,અને $b^2 = 4$ મૂકતા,$y = 1(x) \pm \sqrt{5(1)^2 - 4} = x \pm \sqrt{5 - 4} = x \pm 1$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શકો $y = x + 1$ અથવા $y = x - 1$ છે,જેને $x - y + 1 = 0$ અથવા $x - y - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x - y + 1 = 0$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) આપેલ રેખા $3x + 4y = 24$ છે.
$x-$અંતઃખંડ $(A)$ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $3x = 24 \implies x = 8$. તેથી,$A = (8, 0)$.
$y-$અંતઃખંડ $(B)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $4y = 24 \implies y = 6$. તેથી,$B = (0, 6)$.
ત્રિકોણ $OAB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(8, 0)$ અને $B(0, 6)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $OA = 8$,$OB = 6$,અને $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I(x, y) = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} \right)$.
અહીં,$x_1=0, y_1=0$ (સામેની બાજુ $a=10$),$x_2=8, y_2=0$ (સામેની બાજુ $b=6$),$x_3=0, y_3=6$ (સામેની બાજુ $c=8$).
$I = \left( \frac{10(0) + 6(8) + 8(0)}{10 + 6 + 8}, \frac{10(0) + 6(0) + 8(6)}{10 + 6 + 8} \right) = \left( \frac{48}{24}, \frac{48}{24} \right) = (2, 2)$.

(D) $7n + 2$ સ્વરૂપની બે અંકની સંખ્યાઓ $16, 23, \dots, 93$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 16$,$l = 93$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે. પદોની સંખ્યા $n_1 = 12$ છે. સરવાળો $S_1 = \frac{12}{2}(16 + 93) = 654$.
$7n + 5$ સ્વરૂપની બે અંકની સંખ્યાઓ $12, 19, \dots, 96$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 12$,$l = 96$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે. પદોની સંખ્યા $n_2 = 13$ છે. સરવાળો $S_2 = \frac{13}{2}(12 + 96) = 702$.
કુલ સરવાળો $S_1 + S_2 = 654 + 702 = 1356$ થાય.

(A) આપેલ વિધાન $P(n) = n^2 - n + 41$ છે.
$n = 3$ માટે:
$P(3) = 3^2 - 3 + 41 = 9 - 3 + 41 = 47$.
$47$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$P(3)$ સાચું છે.
$n = 5$ માટે:
$P(5) = 5^2 - 5 + 41 = 25 - 5 + 41 = 61$.
$61$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$P(5)$ સાચું છે.
તેથી,$P(3)$ અને $P(5)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (3 - \lambda)x + (2 - \lambda) = 0$ છે.
ધારો કે બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી $\alpha + \beta = - (3 - \lambda) = \lambda - 3$ અને $\alpha \beta = 2 - \lambda$.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta$ છે.
કિંમતો મુકતા,$S = (\lambda - 3)^2 - 2(2 - \lambda)$ મળે.
$S = \lambda^2 - 6 \lambda + 9 - 4 + 2 \lambda$.
$S = \lambda^2 - 4 \lambda + 5$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $S = (\lambda - 2)^2 + 1$.
$S$ ની કિંમત ન્યૂનતમ ત્યારે થાય જ્યારે $\lambda - 2 = 0$,એટલે કે $\lambda = 2$.

(A) ધારો કે $P = \cos \frac{\pi}{2^2} \cdot \cos \frac{\pi}{2^3} \cdot \dots \cdot \cos \frac{\pi}{2^{10}}$.
નિત્યસમ $\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\theta = \frac{\pi}{2^{10}}$ અને $n = 9$ લેતા.
તેથી $P = \frac{\sin(2^9 \cdot \frac{\pi}{2^{10}})}{2^9 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})}$.
આપેલ પદાવલિ $P \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}} = \frac{1}{512 \sin(\frac{\pi}{2^{10}})} \cdot \sin \frac{\pi}{2^{10}} = \frac{1}{512}$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^2 \left( x^{1/2} + \lambda x^{-2} \right)^{10}$ છે.
$\left( x^{1/2} + \lambda x^{-2} \right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/2})^{10-r} (\lambda x^{-2})^r$ છે.
$T_{r+1} = {}^{10}C_r \lambda^r x^{(10-5r)/2}$.
બહારના $x^2$ સાથે ગુણતા,કુલ પદાવલિનું સામાન્ય પદ ${}^{10}C_r \lambda^r x^{(10-5r)/2 + 2}$ મળે.
$x^2$ નો સહગુણક શોધવા માટે,ઘાતને $2$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{10-5r}{2} + 2 = 2$ $\Rightarrow 10-5r = 0$ $\Rightarrow r = 2$.
$r=2$ મૂકતા:
${}^{10}C_2 \lambda^2 = 720$.
${}^{10}C_2 = 45$ હોવાથી,$45 \lambda^2 = 720$.
$\lambda^2 = 16$.
$\lambda$ ધન હોવાથી,$\lambda = 4$.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: x + y = 3$ અને $L_2: x - y = -3$ છે. આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું એક શિરોબિંદુ $A$ આપે છે. $x + y = 3$ અને $x - y = -3$ નો ઉકેલ મેળવતા $2x = 0 \Rightarrow x = 0$ મળે છે,અને $x = 0$ ને $x + y = 3$ માં મૂકતા $y = 3$ મળે છે. તેથી,$A = (0, 3)$.
વિકર્ણો $(2, 4)$ બિંદુએ છેદે છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. જો $A(0, 3)$ શિરોબિંદુ હોય,તો સામેનું શિરોબિંદુ $C(x_c, y_c)$ માટે $\frac{0 + x_c}{2} = 2$ અને $\frac{3 + y_c}{2} = 4$ થાય,જે $x_c = 4$ અને $y_c = 5$ આપે છે. આમ,$C = (4, 5)$.
બાજુઓ આપેલી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $D$ એ $C(4, 5)$ માંથી પસાર થતી અને $L_1$ તથા $L_2$ ને સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે. $C$ માંથી પસાર થતી અને $x + y = 3$ ને સમાંતર રેખા $x + y = 9$ છે. $C$ માંથી પસાર થતી અને $x - y = -3$ ને સમાંતર રેખા $x - y = -1$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ એ $x + y = 3$ અને $x - y = -1$ નું છેદબિંદુ છે. સરવાળો કરતા $2x = 2 \Rightarrow x = 1$ અને $y = 2$ મળે છે. તેથી $B = (1, 2)$.
શિરોબિંદુ $D$ એ $x + y = 9$ અને $x - y = -3$ નું છેદબિંદુ છે. સરવાળો કરતા $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ અને $y = 6$ મળે છે. તેથી $D = (3, 6)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(3, 6)$ એ એક શિરોબિંદુ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - y^2) \, dx + 2xy \, dy = 0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ હોવાથી,$y = ux$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $u + x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 x^2 - x^2}{2x(ux)} = \frac{u^2 - 1}{2u}$.
$x \frac{du}{dx} = \frac{u^2 - 1}{2u} - u = \frac{u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{-(1 + u^2)}{2u}$.
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{2u}{1 + u^2} \, du = - \int \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(1 + u^2) = -\ln|x| + \ln|C|$.
$\ln(1 + u^2) = \ln\left(\frac{C}{x}\right) \Rightarrow 1 + u^2 = \frac{C}{x}$.
$u = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{C}{x} \Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$.
વક્ર બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 1^2 = C(1) \Rightarrow C = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 2x$ છે,જેને $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \limits_{0}^{\pi} |\cos x|^3 dx$.
અંતરાલ $[0, \pi]$ માં વિધેય $f(x) = |\cos x|^3$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ ની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$I = 2 \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx = \frac{(n-1)!!}{n!!}$ જ્યાં $n$ એકી સંખ્યા છે:
$I = 2 \times \left( \frac{3-1}{3} \right) = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
આમ,તેનું મૂલ્ય $\frac{4}{3}$ છે.

(D) ધારો કે ત્રાંસી ઊંચાઈ $l = 3 \, m$,ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 = r^2 + h^2$,તેથી $r^2 = l^2 - h^2 = 9 - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ છે.
$r^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $V(h) = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (9h - h^3)$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (9 - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,$9 - 3h^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $h^2 = 3$,તેથી $h = \sqrt{3}$.
હવે,મહત્તમ ઘનફળની ગણતરી કરતા:
$V = \frac{1}{3} \pi (9 - 3) \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi (6) \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\pi \, m^3$.

(D) ધારો કે $I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin(x^2-1) - 2 \sin(x^2-1) \cos(x^2-1)}{2 \sin(x^2-1) + 2 \sin(x^2-1) \cos(x^2-1)}} dx$
$I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin(x^2-1) [1 - \cos(x^2-1)]}{2 \sin(x^2-1) [1 + \cos(x^2-1)]}} dx$
$I = \int x \sqrt{\frac{2 \sin^2(\frac{x^2-1}{2})}{2 \cos^2(\frac{x^2-1}{2})}} dx$
$I = \int x \tan(\frac{x^2-1}{2}) dx$
ધારો કે $t = \frac{x^2-1}{2}$,તો $dt = x dx$
$I = \int \tan(t) dt = \ln|\sec(t)| + c$
$I = \ln|\sec(\frac{x^2-1}{2})| + c$

(A) આપેલા વિધેયો ${f_1}(x) = \frac{1}{x}$,${f_2}(x) = 1 - x$,અને ${f_3}(x) = \frac{1}{1 - x}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $(f_2 \circ J \circ f_1)(x) = f_3(x)$ છે,જેને ${f_2}(J(f_1(x))) = f_3(x)$ તરીકે લખી શકાય.
${f_2}$ અને ${f_3}$ ના પદો મૂકતા:
$1 - J(f_1(x)) = \frac{1}{1 - x}$.
$J(f_1(x))$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$J(f_1(x)) = 1 - \frac{1}{1 - x} = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{-x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$.
અહીં ${f_1}(x) = \frac{1}{x}$ હોવાથી,ધારો કે $t = \frac{1}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{t}$.
$J(f_1(x))$ ના પદમાં $x = \frac{1}{t}$ મૂકતા:
$J(t) = \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{t} - 1} = \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1 - t}{t}} = \frac{1}{1 - t}$.
આમ,$J(x) = \frac{1}{1 - x}$,જે ${f_3}(x)$ ની બરાબર છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
સમીકરણ $\vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} = 0$ પરથી,આપણને $\vec{a} \times \vec{c} = -\vec{b}$ મળે છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{i}(-z) - \hat{j}(z) + \hat{k}(y + x) = -z\hat{i} - z\hat{j} + (x + y)\hat{k}$.
આને $-\vec{b} = -(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$-z = -1 \Rightarrow z = 1$.
$-z = -1 \Rightarrow z = 1$ (સુસંગત).
$x + y = -1$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$,તેથી $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = x - y = 4$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$x + y = -1$
$x - y = 4$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}$.
આમ,$\vec{c} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{5}{2}\hat{j} + 1\hat{k}$.
$|\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + (1)^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 1 = \frac{34}{4} + 1 = \frac{17}{2} + 1 = \frac{19}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos^{-1}\left(\frac{2}{3x}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{3}{4x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1}(A) + \cos^{-1}(B) = \cos^{-1}\left(AB - \sqrt{1-A^2}\sqrt{1-B^2}\right)$.
તેથી,$\cos^{-1}\left(\frac{2}{3x} \cdot \frac{3}{4x} - \sqrt{1-\frac{4}{9x^2}}\sqrt{1-\frac{9}{16x^2}}\right) = \frac{\pi}{2}$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા,$\frac{6}{12x^2} - \sqrt{\frac{9x^2-4}{9x^2}}\sqrt{\frac{16x^2-9}{16x^2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
$\frac{1}{2x^2} = \frac{\sqrt{9x^2-4}\sqrt{16x^2-9}}{12x^2}$.
$12x^2$ વડે ગુણતા,આપણને $6 = \sqrt{9x^2-4}\sqrt{16x^2-9}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$36 = (9x^2-4)(16x^2-9) = 144x^4 - 81x^2 - 64x^2 + 36$.
$144x^4 - 145x^2 = 0$.
$x^2(144x^2 - 145) = 0$.
કારણ કે $x > \frac{3}{4}$,તેથી $x^2 \neq 0$,તેથી $144x^2 = 145$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\sqrt{145}}{12}$.

(D) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + (a^2 - 1)z = a + 1$
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & a^2 - 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(3(a^2 - 1) - 6) - 1(2(a^2 - 1) - 4) + 1(6 - 6)$
$D = 3a^2 - 3 - 6 - 2a^2 + 2 + 4$
$D = a^2 - 3$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $a^2 - 3 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|a| \neq \sqrt{3}$.
જો $|a| = \sqrt{3}$ હોય,તો $a^2 = 3$. સમીકરણો આ મુજબ બને:
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + 2z = a + 1$
બીજા અને ત્રીજા સમીકરણની સરખામણી કરતા,આપણને $5 = a + 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = 4$. પરંતુ,આપણે ધાર્યું છે કે $|a| = \sqrt{3}$,તેથી $a^2 = 3$. કારણ કે $4^2 \neq 3$,તેથી જ્યારે $|a| = \sqrt{3}$ હોય ત્યારે સંહતિ અસંગત છે કારણ કે બીજા અને ત્રીજા સમીકરણની ડાબી બાજુ સમાન છે,પરંતુ અચળાંકો અલગ છે ($5 \neq a + 1$ જ્યારે $a^2 = 3$).
આમ,$|a| = \sqrt{3}$ માટે સંહતિ અસંગત છે.

(C) ધારો કે માંગેલ રેખા $L$ એ બિંદુ $P(-4, 1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 4}{a} = \frac{y - 1}{b} = \frac{z - 3}{c}$ છે.
રેખા $L$ એ સમતલ $x + 2y - z - 5 = 0$ ને સમાંતર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ $(1, 2, -1)$ એ રેખા $L$ ને લંબ છે. તેથી,$a + 2b - c = 0$.
રેખા $L$ એ આપેલી રેખા $L_1: \frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{-1}$ ને છેદે છે. આ શરતો ઉકેલતા આપણને દિકગુણોત્તર $(3, -1, 1)$ મળે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 4}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ છે.

(B) સમતલો $P_1: x + y + z - 1 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + z - 4 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + z - 4) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + \lambda)z - (1 + 4\lambda) = 0$.
સમતલ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{1}{3}$ મૂકતા:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 - \frac{1}{3})z - (1 + 4(-\frac{1}{3})) = 0$
$\frac{1}{3}x + 0y + \frac{2}{3}z + \frac{1}{3} = 0$
$x + 2z + 1 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(-3, 1, 1)$ માટે: $(-3) + 2(1) + 1 = 0$. તેથી,સમતલ $(-3, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણોને સરખાવો: $10 - x^2 = 2 + x^2$.
$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
$x = 2$ માટે,$y = 2 + (2)^2 = 6$. તેથી,છેદબિંદુ $(2, 6)$ છે.
$(2, 6)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો:
$y = 10 - x^2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = -2x$. $x = 2$ આગળ,$m_1 = -2(2) = -4$.
$y = 2 + x^2$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x = 2$ આગળ,$m_2 = 2(2) = 4$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
$|\tan \theta | = |\frac{-4 - 4}{1 + (-4)(4)}| = |\frac{-8}{1 - 16}| = |\frac{-8}{-15}| = \frac{8}{15}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$A^{-50} = \begin{bmatrix} \cos(-50\theta) & -\sin(-50\theta) \\ \sin(-50\theta) & \cos(-50\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(50\theta) & \sin(50\theta) \\ -\sin(50\theta) & \cos(50\theta) \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{12}$,તેથી $50\theta = 50 \times \frac{\pi}{12} = \frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$.
કારણ કે $\cos(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,
તેથી $A^{-50} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{6}) & \sin(\frac{\pi}{6}) \\ -\sin(\frac{\pi}{6}) & \cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 - 1$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ આગળ સ્પર્શક શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $\frac{dy}{dx} = 2x$.
$x = 2$ આગળ,ઢાળ $m = 2(2) = 4$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 3 = 4(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 4x - 5$ અથવા $x = \frac{y + 5}{4}$ થાય છે.
પરવલયને $x = \sqrt{y + 1}$ તરીકે લખી શકાય ($x > 0$ માટે).
સ્પર્શક $y$-અક્ષને $x = 0$ આગળ છેદે છે,જ્યાં $y = -5$ છે.
પરવલય,સ્પર્શક અને $y$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $y = -1$ થી $y = 3$ સુધીના સંકલન દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{3} (x_{\text{tangent}} - x_{\text{parabola}}) dy = \int_{-1}^{3} \left( \frac{y + 5}{4} - \sqrt{y + 1} \right) dy$.
$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{5y}{4} \right]_{-1}^{3} - \left[ \frac{2}{3}(y + 1)^{3/2} \right]_{-1}^{3}$.
$= \left( (\frac{9}{8} + \frac{15}{4}) - (\frac{1}{8} - \frac{5}{4}) \right) - \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 \right)$.
$= (\frac{39}{8} - (-\frac{9}{8})) - \frac{2}{3}(8) = \frac{48}{8} - \frac{16}{3} = 6 - \frac{16}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) $f(x)$ સતત હોવા માટે,તે $x=1, x=3,$ અને $x=5$ જેવા સંક્રમણ બિંદુઓ પર સતત હોવું જોઈએ.
$x=1$ પર:
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = a + b(1) = a + b$
સાતત્ય માટે,$a + b = 5$ $(i)$
$x=3$ પર:
$LHL = \lim_{x \to 3^-} f(x) = a + 3b$
$RHL = \lim_{x \to 3^+} f(x) = b + 5(3) = b + 15$
સાતત્ય માટે,$a + 3b = b + 15 \implies a + 2b = 15$ $(ii)$
$x=5$ પર:
$LHL = \lim_{x \to 5^-} f(x) = b + 5(5) = b + 25$
$RHL = \lim_{x \to 5^+} f(x) = 30$
સાતત્ય માટે,$b + 25 = 30 \implies b = 5$
$b=5$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$a + 2(5) = 15 \implies a + 10 = 15 \implies a = 5$
હવે આ કિંમતોને $(i)$ માં તપાસો:
$a + b = 5 + 5 = 10 \neq 5$
આમ,$a=5$ અને $b=5$ એ $x=1$ પરની શરતનું પાલન કરતા નથી,તેથી $a$ અને $b$ ની એવી કોઈ કિંમતો નથી જેના માટે વિધેય દરેક જગ્યાએ સતત હોય.

(D) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે અને એક્કાની સંખ્યા $4$ છે.
પત્તાં બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં એક્કો મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે અને એક્કો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$.
$P(X = 1) = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$P(X = 2) = \binom{2}{2} \times p^2 \times q^0 = 1 \times \left(\frac{1}{13}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{169}$.
તેથી,$P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x)f(y)$ છે,જ્યાં $x, y \in [0, 1].$
$y = 0$ લેતા,આપણને $f(0) = f(x)f(0)$ મળે છે.
$f(0) \ne 0$ હોવાથી,$f(0)$ વડે ભાગતા $f(x) = 1$ મળે છે,તમામ $x \in [0, 1]$ માટે.
હવે,વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = f(x) = 1$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા,$y = x + c$ મળે છે.
શરત $y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = 0 + c,$ તેથી $c = 1.$
આમ,વિધેય $y(x) = x + 1$ છે.
આપણે $y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$y\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}.$
$y\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}.$
તેથી,$y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right) = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = \frac{12}{4} = 3.$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(\sin \theta)$ નો મુખ્ય મૂલ્ય વિસ્તાર $[-\pi/2, \pi/2]$ છે.
અહીં $3\pi \approx 9.42$ અને $10$ એ $(2\pi, 3\pi)$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી આપણે ગુણધર્મ $\sin^{-1}(\sin \theta) = 3\pi - \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આમ,$x = \sin^{-1}(\sin 10) = 3\pi - 10$.
$y = \cos^{-1}(\cos 10)$ માટે,મુખ્ય મૂલ્ય વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
અહીં $3\pi < 10 < 4\pi$ હોવાથી,આપણે $\cos^{-1}(\cos \theta) = 4\pi - \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$y = 4\pi - 10$.
આમ,$y - x = (4\pi - 10) - (3\pi - 10) = \pi$.

(C) આપેલ પ્રદેશ $y = x|x| + 1$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા $-1 \le x \le 1$ માટે ઘેરાયેલ છે.
આપણે $y$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ:
$y = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{જો } -1 \le x < 0 \\ x^2 + 1, & \text{જો } 0 \le x \le 1 \end{cases}$
ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 1) dx + \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx$
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_{-1}^{0} (-x^2 + 1) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3}$
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} = (\frac{1}{3} + 1) - 0 = \frac{4}{3}$
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x - 4y + 7z = g$ $(1)$
$0x + 3y - 5z = h$ $(2)$
$-2x + 5y - 9z = k$ $(3)$
સંહતિ સુસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,અથવા સમીકરણોનું એવું સુરેખ સંયોજન અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ જે સુસંગત પરિણામ આપે.
ધારો કે સમીકરણો $L_1, L_2, L_3$ છે. આપણે $c_1 L_1 + c_2 L_2 + c_3 L_3 = 0$ માટે ચકાસણી કરીએ.
$c_1(x - 4y + 7z) + c_2(3y - 5z) + c_3(-2x + 5y - 9z) = c_1 g + c_2 h + c_3 k$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x: c_1 - 2c_3 = 0 \implies c_1 = 2c_3$
$y: -4c_1 + 3c_2 + 5c_3 = 0$
$c_1 = 2c_3$ મૂકતા: $-4(2c_3) + 3c_2 + 5c_3 = 0 \implies -8c_3 + 3c_2 + 5c_3 = 0 \implies 3c_2 = 3c_3 \implies c_2 = c_3$
$z: 7c_1 - 5c_2 - 9c_3 = 0$
$c_1 = 2c_3$ અને $c_2 = c_3$ મૂકતા: $7(2c_3) - 5(c_3) - 9c_3 = 14c_3 - 14c_3 = 0$. આ કોઈપણ $c_3$ માટે સાચું છે.
ધારો કે $c_3 = 1$,તો $c_1 = 2$ અને $c_2 = 1$.
આમ,સુરેખ સંયોજન $2L_1 + L_2 + L_3 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2g + h + k = 0$.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બીજા સમતલમાં રહેલી બે રેખાઓ $L_2$ અને $L_3$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_3} = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બીજા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k}$ છે.
આપણને જોઈતા સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v_1}$ અને $\vec{n_2}$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k}$ મળે.
અભિલંબ સદિશ $\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ લેતા,ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ એટલે કે $x - 2y + z = 0$ થાય.

(C) વ્યસ્ત કરી શકાય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ.
$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -(\cos t + \sin t) & \cos t - \sin t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix} = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -\cos t - \sin t & \cos t - \sin t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix}$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$|A| = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 0 & -2 \cos t - \sin t & \cos t - 2 \sin t \\ 0 & 2 \sin t - \cos t & -2 \cos t - \sin t \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = e^{-t} [(-2 \cos t - \sin t)^2 - (\cos t - 2 \sin t)(2 \sin t - \cos t)]$.
$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t - (2 \sin t \cos t - \cos^2 t - 4 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t)]$.
$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t + \cos^2 t + 4 \sin^2 t - 4 \sin t \cos t] = e^{-t} [5 \cos^2 t + 5 \sin^2 t] = 5e^{-t}$.
કારણ કે $5e^{-t} \neq 0$ બધા $t \in \mathbb{R}$ માટે,તેથી શ્રેણિક $A$ બધા $t \in \mathbb{R}$ માટે વ્યસ્ત કરી શકાય છે.

(D) આપેલ શરત $|f(x) - f(y)| \le 2|x - y|^{\frac{3}{2}}$ છે.
બંને બાજુ $|x - y|$ વડે ભાગતા (જ્યાં $x \neq y$):
$\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$.
બંને બાજુ $x \to y$ લક્ષ લેતા:
$\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le \lim_{x \to y} 2|x - y|^{\frac{1}{2}}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $|f'(y)| \le 0$.
માનાંક ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $|f'(y)| = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે તમામ $y \in R$ માટે $f'(y) = 0$.
જો વિકલન શૂન્ય હોય,તો વિધેય $f(x)$ અચળ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = 1$,તેથી અચળ વિધેય $f(x) = 1$ મળે.
હવે,સંકલન ગણતા:
$\int_{0}^{1} f^2(x) dx = \int_{0}^{1} (1)^2 dx = \int_{0}^{1} 1 dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $x = 3 \tan t$ અને $y = 3 \sec t.$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 3 \sec^2 t$
$\frac{dy}{dt} = 3 \sec t \tan t$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3 \sec t \tan t}{3 \sec^2 t} = \frac{\tan t}{\sec t} = \sin t$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sin t) = \cos t \cdot \frac{dt}{dx}$
કારણ કે $\frac{dx}{dt} = 3 \sec^2 t,$ તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{3 \sec^2 t}.$
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \cos t \cdot \frac{1}{3 \sec^2 t} = \frac{\cos^3 t}{3}$
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
તેથી,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1/\sqrt{2})^3}{3} = \frac{1}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}.$

(B) ધારો કે $E_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ નીકળવાની ઘટના છે. ત્યારબાદ પાત્રમાં એક લીલો દડો ઉમેરવામાં આવે છે. સંભાવના $P(E_1) = \frac{5}{7}$. એક લાલ દડો કાઢ્યા પછી,પાત્રમાં $4$ લાલ અને $2$ લીલા દડા વધે છે. એક લીલો દડો ઉમેરતા,પાત્રમાં $4$ લાલ અને $3$ લીલા દડા થાય છે. તેથી,$E_1$ આપેલ હોય ત્યારે બીજા પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{4}{7}$ છે.
ધારો કે $E_2$ એ પ્રથમ દડો લીલો નીકળવાની ઘટના છે. ત્યારબાદ પાત્રમાં એક લાલ દડો ઉમેરવામાં આવે છે. સંભાવના $P(E_2) = \frac{2}{7}$. એક લીલો દડો કાઢ્યા પછી,પાત્રમાં $5$ લાલ અને $1$ લીલો દડો વધે છે. એક લાલ દડો ઉમેરતા,પાત્રમાં $6$ લાલ અને $1$ લીલો દડો થાય છે. તેથી,$E_2$ આપેલ હોય ત્યારે બીજા પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(E|E_2) = \frac{6}{7}$ છે.
કુલ સંભાવનાના નિયમ મુજબ,બીજો દડો લાલ હોવાની સંભાવના:
$P(E) = P(E_1) \times P(E|E_1) + P(E_2) \times P(E|E_2)$
$P(E) = \left(\frac{5}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{6}{7}\right)$
$P(E) = \frac{20}{49} + \frac{12}{49} = \frac{32}{49}$.

(B) પ્રથમ રેખા $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.
આને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a, 1, c)$ છે.
બીજી રેખા $x = a'z + b'$ અને $y = c'z + d'$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.
આને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - b'}{a'} = \frac{y - d'}{c'} = \frac{z}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a', c', 1)$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(a)(a') + (1)(c') + (c)(1) = 0$.
તેથી,$aa' + c' + c = 0$.

(D) $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right)\vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આ પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{a}$ છે,તેથી $\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 1 + 2 = 4$.
હવે,$\vec{b} \cdot \vec{a} = (b_{1}\hat{i} + b_{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = b_{1} + b_{2} + 2$.
બંનેને સરખાવતા,$b_{1} + b_{2} + 2 = 4$,તેથી $b_{1} + b_{2} = 2$ .....$(1)$.
આપેલ છે કે $(\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{c}$,તેથી $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{a} + \vec{b} = (1 + b_{1})\hat{i} + (1 + b_{2})\hat{j} + 2\sqrt{2}\hat{k}$.
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (1 + b_{1})(5) + (1 + b_{2})(1) + (2\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 0$.
$5 + 5b_{1} + 1 + b_{2} + 4 = 0 \Rightarrow 5b_{1} + b_{2} = -10$ .....$(2)$.
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $4b_{1} = -12 \Rightarrow b_{1} = -3$.
$b_{1} = -3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $-3 + b_{2} = 2 \Rightarrow b_{2} = 5$.
આમ,$\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 25 + 2} = \sqrt{36} = 6$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$,જ્યાં $x \in A$ અને $A = R \setminus \{1, 2, 3, \dots\}$.
એક-એક (injective) ચકાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$\frac{2x_1}{x_1 - 1} = \frac{2x_2}{x_2 - 1}$
$x_1(x_2 - 1) = x_2(x_1 - 1)$
$x_1x_2 - x_1 = x_2x_1 - x_2$
$-x_1 = -x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એ એક-એક (injective) છે.
વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસવા માટે: ધારો કે $y = \frac{2x}{x - 1}$.
$y(x - 1) = 2x$
$yx - y = 2x$
$x(y - 2) = y$
$x = \frac{y}{y - 2}$.
જો $y = 4$ લઈએ,તો $x = \frac{4}{4 - 2} = 2$. પરંતુ $2 \notin A$ હોવાથી,એવો કોઈ $x \in A$ મળતો નથી કે જેથી $f(x) = 4$ થાય.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત નથી.

(C) ધારો કે $H$ એ છાપ મળવાની ઘટના છે અને $T$ એ કાંટો મળવાની ઘટના છે. $P(H) = \frac{1}{2}$ અને $P(T) = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો છાપ મળે,તો બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે. સરવાળો $7$ અથવા $8$ હોઈ શકે. $7$ માટેની જોડીઓ $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ ($6$ પરિણામો) અને $8$ માટેની જોડીઓ $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ પરિણામો) છે. કુલ પરિણામો = $36$.
$P(7 \text{ અથવા } 8 | H) = \frac{6+5}{36} = \frac{11}{36}$.
કિસ્સો $2$: જો કાંટો મળે,તો $9$ કાર્ડમાંથી એક કાર્ડ પસંદ કરવામાં આવે છે. સાનુકૂળ સંખ્યાઓ $7$ અને $8$ છે.
$P(7 \text{ અથવા } 8 | T) = \frac{2}{9}$.
કુલ સંભાવના $P(7 \text{ અથવા } 8) = P(H) \times P(7 \text{ અથવા } 8 | H) + P(T) \times P(7 \text{ અથવા } 8 | T)$
$= \frac{1}{2} \times \frac{11}{36} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{9} = \frac{11}{72} + \frac{1}{9} = \frac{11+8}{72} = \frac{19}{72}$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ વક્ર $y = \sqrt{x}$ પરનું બિંદુ છે. તેથી $P$ ને $(t^2, t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $t > 0$.
$P(t^2, t)$ અને $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$ વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ $D^2$ નીચે મુજબ છે:
$f(t) = (t^2 - \frac{3}{2})^2 + (t - 0)^2 = t^4 - 3t^2 + \frac{9}{4} + t^2 = t^4 - 2t^2 + \frac{9}{4}$.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $f(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$f'(t) = 4t^3 - 4t = 4t(t^2 - 1) = 0$.
$t > 0$ હોવાથી,$t^2 = 1$,એટલે કે $t = 1$.
$t = 1$ માટે,બિંદુ $P$ એ $(1^2, 1) = (1, 1)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર એ $(1, 1)$ અને $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = \sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(B) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{n_1} = (3, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (1, 2, 3)$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 + 1) = -7\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
$-7$ વડે ભાગતા,આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, -1)$ લઈ શકીએ છીએ.
બિંદુ $(4, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $(1, 1, -1)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $1(x - 4) + 1(y + 1) - 1(z - 2) = 0$ છે.
$x - 4 + y + 1 - z + 2 = 0 \Rightarrow x + y - z = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, 1, 1)$ માટે,$1 + 1 - 1 = 1$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (3 \sec^2 x) y = \sec^2 x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 3 \sec^2 x$ અને $Q(x) = \sec^2 x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3 \sec^2 x dx} = e^{3 \tan x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot e^{3 \tan x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3 \tan x} dx + C$.
ધારો કે $u = 3 \tan x$,તો $du = 3 \sec^2 x dx$,તેથી $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.
$y \cdot e^{3 \tan x} = \int e^u \cdot \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3} e^{3 \tan x} + C$.
$e^{3 \tan x}$ વડે ભાગતા,$y = \frac{1}{3} + C e^{-3 \tan x}$ મળે.
આપેલ છે કે $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{4}{3} = \frac{1}{3} + C e^{-3 \tan(\pi/4)} = \frac{1}{3} + C e^{-3}$.
$1 = C e^{-3} \Rightarrow C = e^3$.
આમ,$y(x) = \frac{1}{3} + e^3 \cdot e^{-3 \tan x} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 \tan x}$.
$x = -\frac{\pi}{4}$ માટે,$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 \tan(-\pi/4)} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3(-1)} = \frac{1}{3} + e^6$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \alpha \end{vmatrix} = 1(2\alpha - 9) - 1(\alpha - 3) + 1(3 - 2) = \alpha - 5$.
$D = 0$ લેતા,$\alpha = 5$ મળે છે.
હવે,$D_3 = 0$ માટે:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 3 & \beta \end{vmatrix} = 1(2\beta - 27) - 1(\beta - 9) + 5(3 - 2) = \beta - 13$.
$D_3 = 0$ લેતા,$\beta = 13$ મળે છે.
તેથી,$\beta - \alpha = 13 - 5 = 8$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $A = \begin{vmatrix} -2 & 4+d & \sin \theta - 2 \\ 1 & \sin \theta + 2 & d \\ 5 & 2\sin \theta - d & -\sin \theta + 2 + 2d \end{vmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\det(A) = (d+2)^2 - \sin^2 \theta$ મળે છે.
$\det(A)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta \in [0, 1]$ છે.
તેથી,$\min(\det(A)) = (d+2)^2 - 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\min(\det(A)) = 8$,તેથી $(d+2)^2 - 1 = 8 \implies (d+2)^2 = 9$ મળે.
આથી $d+2 = 3$ અથવા $d+2 = -3$ થાય.
તેથી $d = 1$ અથવા $d = -5$ મળે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^4 - 2x^2$. સંકલન $I = \int_a^b f(x) dx$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે તે પ્રદેશ પર સંકલન કરવું પડશે જ્યાં $f(x)$ ઋણ હોય.
$f(x) = x^2(x^2 - 2) = x^2(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$.
વિધેય $f(x)$ એ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ અંતરાલમાં ઋણ છે.
ઋણ વિધેયનું તેના સંપૂર્ણ ઋણ પ્રદેશ પરનું સંકલન ન્યૂનતમ શક્ય મૂલ્ય આપે છે,તેથી આપણે $a = -\sqrt{2}$ અને $b = \sqrt{2}$ લઈએ છીએ.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ એ $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} \max \{|x|, x^2\}, & |x| \le 2 \\ 8 - 2|x|, & 2 < |x| \le 4 \end{cases}$.
$|x| \le 2$ માટે,$f(x) = \begin{cases} x^2, & |x| \le 1 \\ |x|, & 1 < |x| \le 2 \end{cases}$.
આને જોડતા,$f(x) = \begin{cases} 8+2x, & -4 < x \le -2 \\ -x, & -2 < x \le -1 \\ x^2, & -1 < x \le 1 \\ x, & 1 < x \le 2 \\ 8-2x, & 2 < x < 4 \end{cases}$.
નિર્ણાયક બિંદુઓ પર વિકલનીયતા તપાસતા:
$x = -2$ પર: $f(-2) = 4$. ડાબું વિકલન $-2$ છે,જમણું વિકલન $-1$ છે. વિકલનીય નથી.
$x = -1$ પર: $f(-1) = 1$. ડાબું વિકલન $-1$ છે,જમણું વિકલન $-2$ છે. વિકલનીય નથી.
$x = 0$ પર: $f(0) = 0$. ડાબું વિકલન $0$ છે,જમણું વિકલન $0$ છે. વિકલનીય છે.
$x = 1$ પર: $f(1) = 1$. ડાબું વિકલન $2$ છે,જમણું વિકલન $1$ છે. વિકલનીય નથી.
$x = 2$ પર: $f(2) = 2$. ડાબું વિકલન $1$ છે,જમણું વિકલન $-2$ છે. વિકલનીય નથી.
આમ,$S = \{-2, -1, 1, 2\}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + x^2 f'(1) + x f''(2) + f'''(3)$.
ધારો કે $f'(1) = a$,$f''(2) = b$,અને $f'''(3) = c$.
તેથી $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
હવે,વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$
$f''(x) = 6x + 2a$
$f'''(x) = 6$
$a, b, c$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$c = f'''(3) = 6$.
$b = f''(2) = 6(2) + 2a = 12 + 2a \Rightarrow 2a - b = -12$.
$a = f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b \Rightarrow a + b = -3$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2a - b) + (a + b) = -12 - 3 \Rightarrow 3a = -15 \Rightarrow a = -5$.
$a = -5$ ને $a + b = -3$ માં મૂકતા: $-5 + b = -3 \Rightarrow b = 2$.
આમ,$f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 6$.
$f(2)$ ની ગણતરી કરતા: $f(2) = (2)^3 - 5(2)^2 + 2(2) + 6 = 8 - 20 + 4 + 6 = -2$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{b} = 2\vec{a}$,તેથી $4\hat{i} + (3 - \lambda_{2})\hat{j} + 6\hat{k} = 2(2\hat{i} + \lambda_{1}\hat{j} + 3\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\lambda_{1}\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\hat{j}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $3 - \lambda_{2} = 2\lambda_{1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{2} = 3 - 2\lambda_{1}$ ... $(i)$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{c}$,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
$(2\hat{i} + \lambda_{1}\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j} + (\lambda_{3} - 1)\hat{k}) = 0$.
$2(3) + \lambda_{1}(6) + 3(\lambda_{3} - 1) = 0$.
$6 + 6\lambda_{1} + 3\lambda_{3} - 3 = 0$.
$3\lambda_{3} = -3 - 6\lambda_{1} \Rightarrow \lambda_{3} = -1 - 2\lambda_{1}$ ... $(ii)$.
આમ,ત્રિપુટી $(\lambda_{1}, 3 - 2\lambda_{1}, -1 - 2\lambda_{1})$ છે.
જો $\lambda_{1} = -\frac{1}{2}$ લઈએ,તો $\lambda_{2} = 3 - 2(-\frac{1}{2}) = 4$ અને $\lambda_{3} = -1 - 2(-\frac{1}{2}) = 0$ મળે છે.
તેથી,શક્ય કિંમત $(-\frac{1}{2}, 4, 0)$ છે.

(A) રેખા પરના બિંદુ $A$ ના યામ $(1 - 3\mu, \mu - 1, 2 + 5\mu)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (1 - 3\mu))\hat{i} + (2 - (\mu - 1))\hat{j} + (6 - (2 + 5\mu))\hat{k}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{AB} = (2 + 3\mu)\hat{i} + (3 - \mu)\hat{j} + (4 - 5\mu)\hat{k}$.
સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર હોય તો અને તો જ $\overrightarrow{AB}$ અને સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -4, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$(2 + 3\mu)(1) + (3 - \mu)(-4) + (4 - 5\mu)(3) = 0$.
$2 + 3\mu - 12 + 4\mu + 12 - 15\mu = 0$.
$(3 + 4 - 15)\mu + (2 - 12 + 12) = 0$.
$-8\mu + 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(\sin^n \theta - \sin \theta)^{\frac{1}{n}} \cos \theta}{\sin^{n+1} \theta} d\theta$.
$\sin \theta = t$ લેતા,$\cos \theta d\theta = dt$ મળે.
સંકલન $I = \int \frac{(t^n - t)^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt$ બને છે.
અંશમાંથી $t^n$ સામાન્ય લેતા: $I = \int \frac{(t^n(1 - t^{1-n}))^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt = \int \frac{t(1 - t^{1-n})^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt = \int \frac{(1 - t^{1-n})^{\frac{1}{n}}}{t^n} dt$.
ધારો કે $z = 1 - t^{1-n}$. તો $dz = -(1-n)t^{-n} dt = (n-1)t^{-n} dt$.
આથી,$t^{-n} dt = \frac{dz}{n-1}$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $I = \frac{1}{n-1} \int z^{\frac{1}{n}} dz$.
$z$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $I = \frac{1}{n-1} \cdot \frac{z^{\frac{1}{n} + 1}}{\frac{1}{n} + 1} + C = \frac{1}{n-1} \cdot \frac{z^{\frac{n+1}{n}}}{\frac{n+1}{n}} + C = \frac{n}{(n-1)(n+1)} z^{\frac{n+1}{n}} + C$.
$I = \frac{n}{n^2 - 1} (1 - t^{1-n})^{\frac{n+1}{n}} + C$.
$t = \sin \theta$ પાછું મૂકતા: $I = \frac{n}{n^2 - 1} (1 - \frac{1}{\sin^{n-1} \theta})^{\frac{n+1}{n}} + C$.

(B) આપેલ વક્રો $y = kx^2$ અને $x = ky^2$ છે,જ્યાં $k > 0$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = kx^2$ ને $x = ky^2$ માં મૂકતા:
$x = k(kx^2)^2 = k^3 x^4$
$x(k^3 x^3 - 1) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x^3 = \frac{1}{k^3}$,જે $x = 0$ અથવા $x = \frac{1}{k}$ આપે છે.
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(\frac{1}{k}, \frac{1}{k})$ છે.
વક્રો વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{1/k} (\sqrt{\frac{x}{k}} - kx^2) dx = 1$
$A = \left[ \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{kx^3}{3} \right]_{0}^{1/k} = 1$
$A = \left( \frac{2}{3\sqrt{k}} \cdot (\frac{1}{k})^{3/2} - \frac{k}{3} \cdot (\frac{1}{k})^3 \right) = 1$
$A = \frac{2}{3k^2} - \frac{1}{3k^2} = \frac{1}{3k^2} = 1$
$3k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{3}$
$k > 0$ હોવાથી,$k = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \min\{-|x|, -\sqrt{1 - x^2}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
અવિકલનીય બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વક્રો $y = -|x|$ અને $y = -\sqrt{1 - x^2}$ ના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$-|x| = -\sqrt{1 - x^2}$ લેતા,આપણને $|x| = \sqrt{1 - x^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 1 - x^2$,જેનો અર્થ છે કે $2x^2 = 1$,તેથી $x^2 = \frac{1}{2}$,જે $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ આપે છે.
$x = 0$ આગળ,વિધેય $f(x) = \min\{0, -1\} = -1$,જે $-|x|$ વિધેય માટે એક તીક્ષ્ણ ખૂણો છે અને બંને વક્રોનું છેદબિંદુ પણ છે.
આલેખ તપાસતા,વિધેય $f(x)$ એ $x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,$x = 0$,અને $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,$3$ બિંદુઓ છે જ્યાં વિધેય વિકલનીય નથી. તેથી,$K$ માં બરાબર ત્રણ ઘટકો છે.

(B) આપેલ વક્ર $y = xe^{x^2}$ છે.
પ્રથમ,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન $\frac{dy}{dx}$ મેળવીએ:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot e^{x^2} \cdot (2x) + e^{x^2} \cdot 1 = e^{x^2}(2x^2 + 1)$.
બિંદુ $(1, e)$ આગળ ઢાળ $m$:
$m = e^{1^2}(2(1)^2 + 1) = e(2 + 1) = 3e$.
બિંદુ $(1, e)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - e = 3e(x - 1)$
$y - e = 3ex - 3e$
$y = 3ex - 2e$.
હવે,ચકાસીએ કે કયું બિંદુ સમીકરણ $y = 3ex - 2e$ નું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $B$ $(\frac{4}{3}, 2e)$ માટે:
$y = 3e(\frac{4}{3}) - 2e = 4e - 2e = 2e$.
આમ,બિંદુ $(\frac{4}{3}, 2e)$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી સ્પર્શક આ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અશૂન્ય ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -1 & 4 & 7 \\ \sin 3\theta & \cos 2\theta & 2 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -1 & 4 & 7 \\ \sin 3\theta & \cos 2\theta & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(8 - 7\cos 2\theta) - 3(-2 - 7\sin 3\theta) + 7(-\cos 2\theta - 4\sin 3\theta) = 0$
$8 - 7\cos 2\theta + 6 + 21\sin 3\theta - 7\cos 2\theta - 28\sin 3\theta = 0$
$14 - 14\cos 2\theta - 7\sin 3\theta = 0$
$2 - 2\cos 2\theta - \sin 3\theta = 0$
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ અને $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 - 2(1 - 2\sin^2 \theta) - (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) = 0$
$4\sin^3 \theta + 4\sin^2 \theta - 3\sin \theta = 0$
$\sin \theta (2\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 3) = 0$
$\theta \in (0, \pi)$ હોવાથી,$\sin \theta > 0$. તેથી,$\sin \theta = 1/2$ એ એકમાત્ર શક્ય ઉકેલ છે.
$\sin \theta = 1/2 \implies \theta = \pi/6, 5\pi/6$.
આમ,કુલ $2$ મૂલ્યો મળે છે.

(A) આપેલા સદિશો $\vec{\alpha} = (\lambda - 2)\vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{\beta} = (4\lambda - 2)\vec{a} + 3\vec{b}$ છે.
જ્યાં $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ હોવાથી,$\vec{\alpha}$ અને $\vec{\beta}$ સમરેખ ત્યારે જ થાય જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોય.
આથી,$\frac{\lambda - 2}{4\lambda - 2} = \frac{1}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$3(\lambda - 2) = 1(4\lambda - 2)$.
$3\lambda - 6 = 4\lambda - 2$.
પદોને ગોઠવતા,$3\lambda - 4\lambda = -2 + 6$.
$-\lambda = 4$.
તેથી,$\lambda = -4$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int\limits_0^x {f\left( t \right)} dt = {x^2} + \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t \right)dt}$.
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \int\limits_0^x {f\left( t \right)} dt = \frac{d}{dx} ({x^2}) + \frac{d}{dx} \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t \right)dt}$.
$f(x) = 2x - x^2 f(x)$.
$f(x)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$f(x) + x^2 f(x) = 2x$.
$f(x)(1 + x^2) = 2x$.
$f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{(1 + x^2)(2) - (2x)(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}$.
$x = 1/2$ મૂકતા:
$f'(1/2) = \frac{2(1 - (1/2)^2)}{(1 + (1/2)^2)^2} = \frac{2(1 - 1/4)}{(1 + 1/4)^2} = \frac{2(3/4)}{(5/4)^2} = \frac{3/2}{25/16} = \frac{3}{2} \times \frac{16}{25} = \frac{24}{25}$.

(C) ધારો કે $n$ એ સ્વતંત્ર શોટ્સની સંખ્યા છે.
એક શોટમાં લક્ષ્યને ભેદવાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ છે.
એક શોટમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
બધા $n$ શોટ્સમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q^n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર લક્ષ્યને ભેદવાની સંભાવના $1 - P(\text{બધા ચૂકી જવાની}) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંભાવના $\frac{5}{6}$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ:
$1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n > \frac{5}{6}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n < 1 - \frac{5}{6}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n < \frac{1}{6}$
હવે,આપણે $n$ માટે કિંમતો તપાસીએ:
$n = 3$ માટે: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0.296 > 0.166$
$n = 4$ માટે: $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} \approx 0.197 > 0.166$
$n = 5$ માટે: $\left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243} \approx 0.131 < 0.166$
આમ,જરૂરી ન્યૂનતમ શોટ્સની સંખ્યા $n = 5$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int x^5 e^{-4x^3} dx$.
$t = -4x^3$ આદેશ લેતા,$dt = -12x^2 dx$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 dx = -\frac{1}{12} dt$.
વળી,$x^3 = -\frac{t}{4}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int x^3 \cdot e^{-4x^3} \cdot x^2 dx = \int (-\frac{t}{4}) e^t (-\frac{1}{12} dt) = \frac{1}{48} \int t e^t dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + C_1$.
તેથી,$I = \frac{1}{48} (t e^t - e^t) + C = \frac{1}{48} e^t (t - 1) + C$.
$t = -4x^3$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{48} e^{-4x^3} (-4x^3 - 1) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{1}{48} e^{-4x^3} f(x) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = -4x^3 - 1$ મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & b & 1 \\ b & b^2+1 & b \\ 1 & b & 2 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\det(A) = 2((b^2+1)(2) - b^2) - b(b(2) - b) + 1(b^2 - (b^2+1))$
$\det(A) = 2(2b^2 + 2 - b^2) - b(2b - b) + 1(b^2 - b^2 - 1)$
$\det(A) = 2(b^2 + 2) - b(b) - 1$
$\det(A) = 2b^2 + 4 - b^2 - 1 = b^2 + 3$.
હવે,$b > 0$ માટે $\frac{\det(A)}{b}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધીએ:
$\frac{\det(A)}{b} = \frac{b^2 + 3}{b} = b + \frac{3}{b}$.
$b > 0$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{b + \frac{3}{b}}{2} \ge \sqrt{b \cdot \frac{3}{b}}$
$b + \frac{3}{b} \ge 2\sqrt{3}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2\sqrt{3}$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, -3, 4)$ અને $B(3, 7, 6)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( \frac{-3+3}{2}, \frac{-3+7}{2}, \frac{4+6}{2} \right) = (0, 2, 5)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\overrightarrow{AB} = (3 - (-3))\hat{i} + (7 - (-3))\hat{j} + (6 - 4)\hat{k} = 6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{M} \cdot \vec{n}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} \cdot (6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k}) = (0\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (6\hat{i} + 10\hat{j} + 2\hat{k})$.
$6x + 10y + 2z = 0(6) + 2(10) + 5(2) = 20 + 10 = 30$.
$2$ વડે ભાગતા,સમતલનું સમીકરણ $3x + 5y + z = 15$ મળે છે.
હવે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$(4, 1, -2)$ માટે: $3(4) + 5(1) + (-2) = 12 + 5 - 2 = 15$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,સમતલ $(4, 1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.