JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપણે $64^{32^{32}}$ ને $9$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $64 = 9 \times 7 + 1$,તેથી $64 \equiv 1 \pmod{9}$.
મોડ્યુલર અંકગણિતના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો $a \equiv b \pmod{m}$ હોય તો $a^n \equiv b^n \pmod{m}$.
તેથી,$64^{32^{32}} \equiv 1^{32^{32}} \pmod{9}$.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક ઘાત માટે $1$ ની ઘાત $1$ જ રહે છે,તેથી $1^{32^{32}} = 1$.
આમ,$64^{32^{32}} \equiv 1 \pmod{9}$.
શેષ $1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2^y = 2023$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{N}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,$x^2 - 2023 = 2^y$.
જો $y = 1$ હોય,તો $x^2 - 2023 = 2^1 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 2025$,તેથી $x = 45$.
અન્ય કિંમતો માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ મળતો નથી.
તેથી,એકમાત્ર ઉકેલ $(45, 1)$ છે.
સરવાળો $\sum_{(x, y) \in C} (x + y) = 45 + 1 = 46$ થાય.

(A) પ્રારંભિક રેખા $A(9,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
જ્યારે રેખાને $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં $15^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ છે.
બિંદુ $(9,0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - 9)$ છે.
આને $x + \frac{y}{\sqrt{3}-2} = 9$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_{20} = \frac{20}{2}[2a + 19d] = 790$,તેથી $2a + 19d = 79$ $(1)$.
આપેલ છે કે $S_{10} = \frac{10}{2}[2a + 9d] = 145$,તેથી $2a + 9d = 29$ $(2)$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,$10d = 50$ મળે,તેથી $d = 5$.
$d = 5$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા,$2a + 45 = 29$,તેથી $2a = -16$,એટલે કે $a = -8$.
હવે,$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[2a + 14d] - \frac{5}{2}[2a + 4d]$.
$a = -8$ અને $d = 5$ મૂકતા:
$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[-16 + 70] - \frac{5}{2}[-16 + 20]$
$= \frac{15}{2}(54) - \frac{5}{2}(4) = 405 - 10 = 395$.

(B) આપેલ સમીકરણ $z^2 + i\bar{z} = 0$ પરથી,$z^2 = -i\bar{z}$ મળે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z^2| = |-i\bar{z}|$.
$|-i| = 1$ અને $|\bar{z}| = |z|$ હોવાથી,આ $|z|^2 = |z|$ માં પરિણમે છે.
આથી $|z|^2 - |z| = 0$,એટલે કે $|z|(|z| - 1) = 0$.
$xy \neq 0$ હોવાથી,$z \neq 0$,તેથી $|z| \neq 0$. આમ,$|z| = 1$.
તેથી,$|z^2| = |z|^2 = 1^2 = 1$.

(A) ગણ $\{0, 1, 2, \ldots, 10\}$ માંથી $x$ અને $y$ ને પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવાની કુલ રીતો $11 \times 11 = 121$ છે.
આપણે $|x-y| > 5$ હોય તેવી જોડી $(x, y)$ શોધવી છે.
કિસ્સો $1$: $x - y > 5 \implies x - y \in \{6, 7, 8, 9, 10\}$.
જો $x=6, y=0$; જો $x=7, y=0, 1$; જો $x=8, y=0, 1, 2$; જો $x=9, y=0, 1, 2, 3$; જો $x=10, y=0, 1, 2, 3, 4$.
આવી જોડીઓની સંખ્યા $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ છે.
કિસ્સો $2$: $y - x > 5 \implies y - x \in \{6, 7, 8, 9, 10\}$.
સમાનતા મુજબ,આવી જોડીઓની સંખ્યા પણ $15$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 15 + 15 = 30$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{30}{121}$ છે.

(C) બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2$ એ શરત સંતોષવી જોઈએ: $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$.
પ્રથમ વર્તુળ $(x+1)^2 + (y+2)^2 = r^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
શરત $|r - 2| < 5 < r + 2$ લાગુ પાડતા:
$1$) $|r - 2| < 5$ $\Rightarrow -5 < r - 2 < 5$ $\Rightarrow -3 < r < 7$.
$2$) $5 < r + 2 \Rightarrow r > 3$.
આ અસમતાઓ જોડતા,આપણને $3 < r < 7$ મળે છે.

(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2b = \frac{1}{2} (2ae) = ae$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{e}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$.
$\frac{b}{a} = \frac{e}{2}$ મૂકતા,આપણને $(\frac{e}{2})^2 = 1 - e^2$ મળે છે.
$\frac{e^2}{4} = 1 - e^2$.
$e^2 + \frac{e^2}{4} = 1$.
$\frac{5e^2}{4} = 1$.
$e^2 = \frac{4}{5}$.
$e = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(D) કુલ આવૃત્તિ $N = 3 + 9 + 10 + 8 + 6 = 36$ છે.

વર્ગ	આવૃત્તિ	સંચયી આવૃત્તિ
$0-4$	$3$	$3$
$4-8$	$9$	$12$
$8-12$	$10$	$22$
$12-16$	$8$	$30$
$16-20$	$6$	$36$

$\frac{N}{2} = \frac{36}{2} = 18$ હોવાથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $8-12$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર $M = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \right) \times h$ છે,જ્યાં $l = 8$,$C = 12$,$f = 10$,અને $h = 4$.
$M = 8 + \left( \frac{18 - 12}{10} \right) \times 4 = 8 + \left( \frac{6}{10} \right) \times 4 = 8 + 2.4 = 10.4$.
તેથી,$20M = 20 \times 10.4 = 208$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin^3 x + (2 \sin x \cos x) \cos x + 4 \sin x - 4 = 0$
$2 \sin^3 x + 2 \sin x \cos^2 x + 4 \sin x - 4 = 0$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા:
$2 \sin^3 x + 2 \sin x (1 - \sin^2 x) + 4 \sin x - 4 = 0$
$2 \sin^3 x + 2 \sin x - 2 \sin^3 x + 4 \sin x - 4 = 0$
$6 \sin x = 4 \implies \sin x = \frac{2}{3}$
અંતરાલ $[0, \frac{n \pi}{2}]$ માં $\sin x = \frac{2}{3}$ ના $3$ ઉકેલો માટે $n = 5$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 5x + 2 = 0$ બને છે.
બીજ $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$ છે.
બંને બીજ ઋણ હોવાથી,તે $(-\infty, 0)$ માં આવે છે.

(A) ધારો કે $n(M)=20$,$n(P)=25$,$n(C)=16$,અને $n(M \cup P \cup C)=40$. ધારો કે $x$ એ ત્રણેય વિષયોમાં પાસ થયેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા:
$n(M \cup P \cup C) = n(M) + n(P) + n(C) - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + n(M \cap P \cap C)$
$40 = 20 + 25 + 16 - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + x$
$40 = 61 - [n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] + x$
$[n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C)] = 21 + x$
આપણને આપેલ છે કે $n(M \cap P) \leq 11$,$n(P \cap C) \leq 15$,અને $n(M \cap C) \leq 15$.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $n(M \cap P) + n(P \cap C) + n(M \cap C) \leq 11 + 15 + 15 = 41$.
સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતમાંથી મળેલ પદ મૂકતા:
$21 + x \leq 41 \Rightarrow x \leq 20$.
વળી,$x$ એ કોઈપણ બે ગણના છેદગણ કરતા નાનો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $x \leq 11$. વેન આકૃતિની તર્ક સાથે શરતો તપાસતા,બધી શરતો સંતોષતી મહત્તમ કિંમત $x = 10$ છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નું નાભિલંબ નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\tan 30^{\circ} = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
અહીં $a^2 = 9$ હોવાથી,$a = 3$ મળે. તેથી,$\frac{b^2}{9e} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b^2 = 3\sqrt{3}e$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{9} \Rightarrow b^2 = 9(e^2 - 1)$.
બંને સમીકરણો સરખાવતા: $9(e^2 - 1) = 3\sqrt{3}e \Rightarrow 3e^2 - \sqrt{3}e - 3 = 0$.
$e$ માટે ઉકેલતા: $e = \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}}$.
તેથી $b^2 = 3\sqrt{3} \left( \frac{1 + \sqrt{13}}{2\sqrt{3}} \right) = \frac{3}{2}(1 + \sqrt{13})$.
સરખામણી કરતા $l=3, m=2, n=13$ મળે.
તેથી,$l^2+m^2+n^2 = 3^2 + 2^2 + 13^2 = 9 + 4 + 169 = 182$.

(B) $(7^{1/2} + 11^{1/6})^{824}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{824}C_r (7)^{(824-r)/2} (11)^{r/6}$ છે.
પદ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$7$ અને $11$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$1$. $7$ નો ઘાતાંક $(824-r)/2 = 412 - r/2$ છે. આ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$2$. $11$ નો ઘાતાંક $r/6$ છે. આ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$r$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
આ બંનેને જોડતા,$r$ એ $\text{lcm}(2, 6) = 6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તેથી,$r$ ની કિંમતો $0, 6, 12, \dots, 822$ હોઈ શકે છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 6$ અને છેલ્લું પદ $l = 822$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$822 = 0 + (n-1)6$.
$n-1 = 822/6 = 137$.
$n = 138$.
તેથી,કુલ $138$ પૂર્ણાંક પદો છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-70x+\lambda=0$ ના બીજ $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta=70$ અને $\alpha\beta=\lambda$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{\lambda}{2} \notin \mathbb{N}$ અને $\frac{\lambda}{3} \notin \mathbb{N}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda$ એ $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$\lambda = \alpha(70-\alpha)$ હોવાથી,આપણે $\alpha$ ની એવી કિંમતો ચકાસીએ જેના માટે $\lambda$ એ $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
$\alpha=5$ માટે,$\lambda=325$ મળે છે,જે $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી. આ ન્યૂનતમ કિંમત છે.
$\alpha=5, \beta=65, \lambda=325$ લેતા,અભિવ્યક્તિની કિંમત:
$\frac{(2+8)(325+35)}{60} = \frac{10 \times 360}{60} = 60$.

(B) શ્રેણી $1, 4, 8, 13, 19, 26, \ldots$ નું $n$-મું પદ $a_n = \frac{n^2+3n-2}{2}$ છે.
તેથી,$\alpha = \sum_{n=1}^{10} \left(\frac{n^2+3n-2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{10} (n^2+3n-2)^2$.
તેથી $4\alpha = \sum_{n=1}^{10} (n^4 + 6n^3 + 5n^2 - 12n + 4)$.
આપેલ છે કે $\beta = \sum_{n=1}^{10} n^4$,તેથી $4\alpha - \beta = \sum_{n=1}^{10} (6n^3 + 5n^2 - 12n + 4)$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{10} n^3 = 3025$,$\sum_{n=1}^{10} n^2 = 385$,$\sum_{n=1}^{10} n = 55$.
$4\alpha - \beta = 6(3025) + 5(385) - 12(55) + 4(10) = 19455$.
આપેલ છે કે $4\alpha - \beta = 55k + 40$,તેથી $55k = 19415$.
$k = 353$.

(B) આપેલ છે કે $3 \sin (\alpha+\beta)=2 \sin (\alpha-\beta)$.
સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$3(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) = 2(\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$
$3 \sin \alpha \cos \beta + 3 \cos \alpha \sin \beta = 2 \sin \alpha \cos \beta - 2 \cos \alpha \sin \beta$
પદોને ગોઠવતા:
$3 \sin \alpha \cos \beta - 2 \sin \alpha \cos \beta = -2 \cos \alpha \sin \beta - 3 \cos \alpha \sin \beta$
$\sin \alpha \cos \beta = -5 \cos \alpha \sin \beta$
બંને બાજુ $\cos \alpha \cos \beta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -5 \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$
$\tan \alpha = -5 \tan \beta$
$\tan \alpha = k \tan \beta$ સાથે સરખાવતા,$k = -5$ મળે છે.

(D) રેખા $5x + 7y = 50$ છે. $A(\alpha, 0)$ માટે,$5\alpha = 50 \implies \alpha = 10$,તેથી $A = (10, 0)$. $B(0, \beta)$ માટે,$7\beta = 50 \implies \beta = \frac{50}{7}$,તેથી $B = (0, \frac{50}{7})$.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $7:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left( \frac{7(0) + 3(10)}{7+3}, \frac{7(\frac{50}{7}) + 3(0)}{7+3} \right) = (3, 5)$.
નિયામિકા $x = \frac{25}{3}$ છે. નાભિ $S$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી $S = (ae, 0)$. $S$ માંથી $x$-અક્ષ પરનો લંબ $x = ae$ છે. આ રેખા $P(3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $ae = 3$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e} = \frac{25}{3}$ છે.
$ae = 3$ અને $\frac{a}{e} = \frac{25}{3}$ નો ગુણાકાર કરતા: $a^2 = 25 \implies a = 5$.
તેથી $e = \frac{3}{5}$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 25(1 - \frac{9}{25}) = 16$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(16)}{5} = \frac{32}{5}$ છે.

(C) પ્રથમ $GP$ માટે: સામાન્ય ગુણોત્તર $r_1$ ધારો. આપેલ છે કે $t_1 = a$ અને $t_3 = b = a r_1^2$,તેથી $r_1^2 = \frac{b}{a}$.
$11$મું પદ $t_{11} = a r_1^{10} = a (r_1^2)^5 = a \left(\frac{b}{a}\right)^5$ છે.
બીજા $GP$ માટે: સામાન્ય ગુણોત્તર $r_2$ ધારો. આપેલ છે કે $T_1 = a$ અને $T_5 = b = a r_2^4$,તેથી $r_2^4 = \frac{b}{a}$,જેનો અર્થ છે $r_2 = \left(\frac{b}{a}\right)^{1/4}$.
$p$મું પદ $T_p = a r_2^{p-1} = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$ છે.
$t_{11} = T_p$ આપેલ હોવાથી,$a \left(\frac{b}{a}\right)^5 = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$5 = \frac{p-1}{4}$,તેથી $p-1 = 20$,એટલે કે $p = 21$.

(A) રેખાઓ $x+2y+7=0$ અને $2x-y+8=0$ થી સમાન અંતરે રહેલા બિંદુ $P(x, y)$ નો બિંદુપથ એ આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજક છે.
અંતરને સરખાવતા:
$\frac{|x+2y+7|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|2x-y+8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$
$|x+2y+7| = |2x-y+8|$
$(x+2y+7)^2 - (2x-y+8)^2 = 0$
$(x-3y+1)(3x+y+15) = 0$
$3x^2 - 3y^2 - 8xy + 18x - 44y + 15 = 0$
$x^2 - y^2 - \frac{8}{3}xy + 6x - \frac{44}{3}y + 5 = 0$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$h = -\frac{4}{3}, g = 3, f = -\frac{22}{3}, c = 5$
$g+c+h-f = 3 + 5 - \frac{4}{3} + \frac{22}{3} = 8 + 6 = 14$.

(C) અતિવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$.
અહીં,$a^2=9$ અને $b^2=4$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ માટે $b^2=a^2(e^2-1)$,તેથી $e^2=1+\frac{b^2}{a^2} = 1+\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$.
આમ,$e=\frac{\sqrt{13}}{3}$.
બે નાભિઓ $S_1$ અને $S_2$ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{13}}{3} = 2\sqrt{13}$ છે.
ધારો કે $P = (\alpha, \beta)$. $\Delta PS_1S_2$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times \beta = 2\sqrt{13}$.
$2ae = 2\sqrt{13}$ મૂકતા,$\frac{1}{2} \times (2\sqrt{13}) \times \beta = 2\sqrt{13}$,જે દર્શાવે છે કે $\beta=2$.
$P$ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{\beta^2}{4}=1$. $\beta=2$ મૂકતા,$\frac{\alpha^2}{9}-\frac{4}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{\alpha^2}{9}=2$ $\Rightarrow \alpha^2=18$.
ઉગમબિંદુથી $P$ ના અંતરનો વર્ગ $OP^2 = \alpha^2+\beta^2 = 18 + 2^2 = 18+4 = 22$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણો $z^{1985}+z^{100}+1=0$ અને $z^3+2z^2+2z+1=0$ છે.
પ્રથમ,$z^3+2z^2+2z+1=0$ ના અવયવ પાડો:
$(z^3+1) + (2z^2+2z) = 0$
$(z+1)(z^2-z+1) + 2z(z+1) = 0$
$(z+1)(z^2+z+1) = 0$
બીજ $z = -1$,$z = \omega$,અને $z = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
હવે,આ બીજને પ્રથમ સમીકરણ $f(z) = z^{1985}+z^{100}+1=0$ માં તપાસો:
$1$. $z = -1$ માટે:
$(-1)^{1985} + (-1)^{100} + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \neq 0$.
$2$. $z = \omega$ માટે:
$\omega^{1985} + \omega^{100} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$.
$3$. $z = \omega^2$ માટે:
$(\omega^2)^{1985} + (\omega^2)^{100} + 1 = \omega^{3970} + \omega^{200} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$.
આમ,સામાન્ય બીજ $z = \omega$ અને $z = \omega^2$ છે.
સામાન્ય બીજની સંખ્યા $2$ છે.

(C) ધારો કે ચાર ક્રમિક દ્વિપદી સહગુણકો $^nC_r, ^nC_{r+1}, ^nC_{r+2}, ^nC_{r+3}$ છે.
આપેલ છે:
$2-p = ^nC_r$
$p = ^nC_{r+1}$
$2-\alpha = ^nC_{r+2}$
$\alpha = ^nC_{r+3}$
પ્રથમ બેનો સરવાળો કરતા:
$(2-p) + p = ^nC_r + ^nC_{r+1} = ^{n+1}C_{r+1} = 2$
છેલ્લા બેનો સરવાળો કરતા:
$(2-\alpha) + \alpha = ^nC_{r+2} + ^nC_{r+3} = ^{n+1}C_{r+3} = 2$
અહીં $p=1$ અને $\alpha=1$ લેતા,$p^2-\alpha^2+6\alpha+2p = 1^2-1^2+6(1)+2(1) = 8$ મળે છે.

(C) ધારો કે $O(0, 0)$ એ $C_1$ નું કેન્દ્ર છે અને $A(\alpha, 0)$ એ $C_2$ નું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $P$ એ બે વર્તુળોનું છેદબિંદુ છે. ત્રિજ્યાઓ $OP = 5$ અને $AP = 4$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $OA = \alpha$ છે.
$\Delta OAP$ માં,બાજુઓ $5, 4$ અને $\alpha$ છે. $P$ આગળનો ખૂણો $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ છે,તેથી $\sin \theta = \frac{\sqrt{63}}{8}$.
$\Delta OAP$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે ગણી શકાય:
$1$) ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times OP \times AP \times \sin \theta = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{63}}{8} = \frac{5\sqrt{63}}{4}$.
$2$) ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \alpha \times \left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{\alpha \beta}{4}$.
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા: $\frac{\alpha \beta}{4} = \frac{5\sqrt{63}}{4} \Rightarrow \alpha \beta = 5\sqrt{63}$.
તેથી,$(\alpha \beta)^2 = 25 \times 63 = 1575$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{{ }^n C_k}{k+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{k+1}}{n+1}$.
તેથી,$\alpha = \sum_{k=0}^n \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+1}$.
તે જ રીતે,$\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+2}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+2} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+2}$.
આપેલ છે કે $5 \alpha = 6 \beta$,તેથી $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{5}{6}$.
પદ મૂકતા,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{{ }^{2n+1} C_{n+2}}{{ }^{2n+1} C_{n+1}} = \frac{2n+1 - (n+2) + 1}{n+2} = \frac{n}{n+2}$.
$\frac{n}{n+2} = \frac{5}{6}$ લેતા,$6n = 5n + 10$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 10$.

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 7, 11, \ldots$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[6 + (n-1)4] = 2n^2 + n$ થાય.
હવે,$\sum_{k=1}^{n} S_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$ ગણીએ.
પ્રમાણિત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} S_k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$ મળે.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $40 < \frac{6}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(4n+5)}{6} < 42$.
આથી $40 < 4n + 5 < 42$ મળે.
બધી બાજુ $5$ બાદ કરતા: $35 < 4n < 37$.
$4$ વડે ભાગતા: $8.75 < n < 9.25$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n = 9$ મળે.

(B) ધારો કે $n_A, n_B, n_C$ એ વિભાગ $A, B, C$ માંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા છે. આપણી પાસે $n_A + n_B + n_C = 15$ છે,જ્યાં $n_A \ge 4, n_B \ge 4, n_C \ge 4$ અને $n_A \le 8, n_B \le 6, n_C \le 6$ છે.
શક્ય સંયોજનો $(n_A, n_B, n_C)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(7, 4, 4): \binom{8}{7} \binom{6}{4} \binom{6}{4} = 1800$
$2$. $(6, 5, 4): \binom{8}{6} \binom{6}{5} \binom{6}{4} = 2520$
$3$. $(6, 4, 5): \binom{8}{6} \binom{6}{4} \binom{6}{5} = 2520$
$4$. $(5, 6, 4): \binom{8}{5} \binom{6}{6} \binom{6}{4} = 840$
$5$. $(5, 4, 6): \binom{8}{5} \binom{6}{4} \binom{6}{6} = 840$
$6$. $(5, 5, 5): \binom{8}{5} \binom{6}{5} \binom{6}{5} = 2016$
$7$. $(4, 6, 5): \binom{8}{4} \binom{6}{6} \binom{6}{5} = 420$
$8$. $(4, 5, 6): \binom{8}{4} \binom{6}{5} \binom{6}{6} = 420$
કુલ રીતો $= 1800 + 2520 + 2520 + 840 + 840 + 2016 + 420 + 420 = 11376$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x(x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $x = 0$ અથવા $x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2| = 0$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $f(x) = x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|$.
ચૂકી $x^2 \ge 0$,$3|x| \ge 0$,$5|x-1| \ge 0$,અને $6|x-2| \ge 0$,તેથી સરવાળો $f(x)$ હંમેશા અ-ઋણ છે.
ચોક્કસ રીતે,$f(x) = 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જો બધા પદો એકસાથે શૂન્ય હોય,જે અશક્ય છે કારણ કે $x^2=0 \implies x=0$,પરંતુ $x=0$ પર,$f(0) = 0^2 + 3(0) + 5|0-1| + 6|0-2| = 17 \neq 0$.
આમ,એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 0$ છે.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,મધ્યક $\overline{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{176}{22} = 8$
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - (\overline{x})^2$
$\sigma^2 = \frac{2048}{22} - (8)^2 = 93.09 - 64 = 29.09$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (a+b-2c)x^2 + (b+c-2a)x + (c+a-2b)$.
સહગુણકોનો સરવાળો: $f(1) = (a+b-2c) + (b+c-2a) + (c+a-2b) = 0$.
કારણ કે $f(1) = 0$,તેથી $x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજ $1$ અને $\alpha$ છે. બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$1 \cdot \alpha = \frac{c+a-2b}{a+b-2c}$.
આમ,$\alpha = \frac{c+a-2b}{a+b-2c}$.
કિસ્સો $(I)$: જો $-1 < \alpha < 0$ હોય,તો $-1 < \frac{c+a-2b}{a+b-2c} < 0$. $0 < c < b < a$ આપેલ હોવાથી આ અસમતા ઉકેલતા $b > \frac{a+c}{2}$ મળે છે. $a$ અને $c$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{ac}$ છે અને $\sqrt{ac} < \frac{a+c}{2}$ હોવાથી,$b$ એ સમગુણોત્તર મધ્યક હોઈ શકે નહીં.
કિસ્સો $(II)$: જો $0 < \alpha < 1$ હોય,તો $0 < \frac{c+a-2b}{a+b-2c} < 1$. આ ઉકેલતા $b < \frac{a+c}{2}$ મળે છે. $\sqrt{ac} < b < \frac{a+c}{2}$ શક્ય હોવાથી,$b$ એ $a$ અને $c$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક હોઈ શકે છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ માટે,$a^2=9$ અને $b^2=25$ છે. $b > a$ હોવાથી,નાભિઓ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$.
નાભિઓ $(0, \pm 4)$ છે.
અતિવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_H = \frac{15}{8} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{2}$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{y^2}{B^2} - \frac{x^2}{A^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
$Be_H = 4 \implies B = \frac{8}{3}$.
$A^2 = B^2(e_H^2 - 1) = \frac{64}{9} \times (\frac{5}{4}) = \frac{80}{9}$.
બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતર $e_H y \pm B = \frac{3}{2} \times \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}} \pm \frac{8}{3} = 7 \sqrt{\frac{2}{5}} \pm \frac{8}{3}$ છે.
નાનું નાભિ અંતર $7 \sqrt{\frac{2}{5}} - \frac{8}{3}$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $M(5, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5^2+(-2)^2-13} = 4$ છે.
વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર રેખાઓ $2x+3y=12$ અને $3x-2y=5$ નું છેદબિંદુ છે,જે $O(3, 2)$ મળે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(5-3)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{20}$ છે.
વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા $R$ માટે,$R^2 = d^2 + r^2 = 20 + 16 = 36$,તેથી $R = 6$.

(D) ધારો કે $t = |\sin x|$. જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $t \rightarrow 0^+$.
પદાવલિ $\lim _{t \rightarrow 0^+} \frac{e^{2t}-2t-1}{t^2} \times \frac{\sin^2 x}{x^2}$ બને છે.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1$,આપણે $\lim _{t \rightarrow 0^+} \frac{e^{2t}-2t-1}{t^2}$ ની કિંમત શોધીએ.
ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા $e^{2t} = 1 + 2t + \frac{(2t)^2}{2!} + \frac{(2t)^3}{3!} + \dots = 1 + 2t + 2t^2 + \frac{4t^3}{3} + \dots$.
$\lim _{t \rightarrow 0^+} \frac{(1 + 2t + 2t^2 + \dots) - 2t - 1}{t^2} = \lim _{t \rightarrow 0^+} \frac{2t^2 + \dots}{t^2} = 2$.
તેથી,લક્ષ $2 \times 1 = 2$ છે.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1, 1)$ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}, \frac{\beta+\delta}{2}\right)$ છે.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = 1 \implies \alpha + \gamma = 2$
$\frac{\beta+\delta}{2} = 1 \implies \beta + \delta = 2$
આપણે $2(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાની કિંમતો મૂકતા:
$2(\alpha + \gamma + \beta + \delta) = 2(2 + 2) = 2(4) = 8$.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = \frac{r}{1-3r^2+r^4}$ છે.
છેદને $(r^2-r-1)(r^2+r-1)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$T_r = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{r^2-r-1} - \frac{1}{r^2+r-1} \right]$.
$10$ પદોનો સરવાળો $\sum_{r=1}^{10} T_r = \frac{1}{2} [f(1) - f(11)] = \frac{1}{2} [-1 - \frac{1}{109}] = -\frac{55}{109}$.

(B) આપેલ અસમતા $\frac{ax^2+2(a+1)x+9a+4}{x^2-8x+32} < 0$ દરેક $x \in R$ માટે છે.
છેદ $x^2-8x+32 = (x-4)^2 + 16 > 0$ હોવાથી,અંશ $f(x) = ax^2+2(a+1)x+9a+4 < 0$ દરેક $x \in R$ માટે હોવો જોઈએ.
$f(x) < 0$ દરેક $x \in R$ માટે હોય તે માટે $a < 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવો જરૂરી છે.
પરંતુ,પ્રશ્નમાં $a$ ના ધન પૂર્ણાંક મૂલ્યો માંગ્યા છે.
$a$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $a$ આ શરતનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,$S$ ખાલી ગણ છે અને તેમાં ઘટકોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) $'DISTRIBUTION'$ શબ્દમાં $12$ અક્ષરો છે: $D, I, S, T, R, I, B, U, T, I, O, N$.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ: $I: 3, T: 2, D: 1, S: 1, R: 1, B: 1, U: 1, O: 1, N: 1$.
કુલ $9$ ભિન્ન અક્ષરો છે: ${D, I, S, T, R, B, U, O, N}$.
આપણે $4$ લંબાઈના શબ્દો બનાવવાના છે.
કિસ્સો $1$: બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{9}C_{4} \times 4! = 126 \times 24 = 3024$.
કિસ્સો $2$: $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ ભિન્ન હોય.
પેટા-કિસ્સો $2a$: $I$ પુનરાવર્તિત થાય ($2$ $I$) અને બાકીના $8$ માંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{8}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 28 \times 12 = 336$.
પેટા-કિસ્સો $2b$: $T$ પુનરાવર્તિત થાય ($2$ $T$) અને બાકીના $8$ માંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{8}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 28 \times 12 = 336$.
કિસ્સો $3$: $2$ સમાન અક્ષરોની જોડી.
માત્ર $I$ અને $T$ જોડી બનાવી શકે છે.
રીતોની સંખ્યા $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
કિસ્સો $4$: $3$ અક્ષરો સમાન અને $1$ ભિન્ન હોય.
માત્ર $I$ ને $3$ વાર પસંદ કરી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{8}C_{1} \times \frac{4!}{3!} = 8 \times 4 = 32$.
શબ્દોની કુલ સંખ્યા $= 3024 + 336 + 336 + 6 + 32 = 3734$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = (1+x)(1-x^2)(1+\frac{1}{x})^{15} = (1+x)(1-x)(1+x)(1+\frac{1}{x})^{15}$
$= \frac{(1-x^2)(1+x)^{16}}{x^{15}} = \frac{(1+x)^{16} - x^2(1+x)^{16}}{x^{15}}$
$= (1+x)^{16}x^{-15} - (1+x)^{16}x^{-13}$
$E$ માં $x^3$ નો સહગુણક:
$= (1+x)^{16}$ માં $x^{18}$ નો સહગુણક $- (1+x)^{16}$ માં $x^{16}$ નો સહગુણક
$= 0 - \binom{16}{16} = -1$
$E$ માં $x^{-13}$ નો સહગુણક:
$= (1+x)^{16}$ માં $x^2$ નો સહગુણક $- (1+x)^{16}$ માં $x^0$ નો સહગુણક
$= \binom{16}{2} - \binom{16}{0} = 120 - 1 = 119$
સહગુણકોનો સરવાળો $= 119 + (-1) = 118$.

(B) પ્રથમ,$\alpha$ શોધો: $|1-i|^x = 2^x$ $\Rightarrow (\sqrt{1^2+(-1)^2})^x = 2^x$ $\Rightarrow (\sqrt{2})^x = 2^x$ $\Rightarrow 2^{x/2} = 2^x$. આનો અર્થ એ છે કે $x/2 = x$,તેથી $x=0$. આમ,$\alpha = 1$.
આગળ,$z$ ને સરળ બનાવો: $(1+i)^2 = 1+2i-1 = 2i$,તેથી $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$.
કૌંસની અંદર: $\frac{1-\sqrt{\pi}i}{\sqrt{\pi}+i} + \frac{\sqrt{\pi}-i}{1+\sqrt{\pi}i} = -1-i$.
આમ,$z = \frac{\pi}{4}(-4)(-1-i) = \pi(1+i) = \pi + \pi i$.
$|z| = \pi\sqrt{2}$ અને $\arg(z) = \frac{\pi}{4}$.
$\beta = \frac{|z|}{\arg(z)} = 4\sqrt{2}$.
જો $\beta = 4$ લેવામાં આવે,તો $(1,4)$ થી રેખા $4x-3y-7=0$ નું અંતર $\frac{|4(1)-3(4)-7|}{5} = \frac{15}{5} = 3$ થાય.

(C) ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ આપેલ છે,તેથી $ae = 5$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
$ae = 5$ પરથી,$a = \frac{5}{e}$ મળે.
નાભિલંબના સૂત્રમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{2b^2}{5/e} = 5\sqrt{2} \Rightarrow b^2 = \frac{25\sqrt{2}e}{2}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1-e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{25\sqrt{2}e}{2} = \frac{25}{e^2}(1-e^2)$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{\sqrt{2}e}{2} = \frac{1-e^2}{e^2}$ $\Rightarrow \sqrt{2}e^3 = 2 - 2e^2$ $\Rightarrow \sqrt{2}e^3 + 2e^2 - 2 = 0$.
$e^2$ માટે ઉકેલતા,$a^2 = 50$ અને $b^2 = 25$ મળે છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ એ $e_1^2 = 1 + \frac{a^2b^2}{b^2} = 1 + a^2$ નું પાલન કરે છે.
$a^2 = 50$ હોવાથી,$e_1^2 = 1 + 50 = 51$.

(D) ધારો કે ત્રણ બાળકોને આપવામાં આવતા સફરજનની સંખ્યા $x_1, x_2, x_3$ છે.
આપણને $x_1 + x_2 + x_3 = 21$ આપેલ છે,જ્યાં $x_i \ge 2$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 2$,તેથી $y_i \ge 0$.
$x_i = y_i + 2$ મૂકતા,$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + (y_3 + 2) = 21$.
$y_1 + y_2 + y_3 + 6 = 21$,જેનું સાદું રૂપ $y_1 + y_2 + y_3 = 15$ થાય છે.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n = 15$ અને $r = 3$.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2}$.
$\binom{17}{2} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકેન્દ્ર $A$ એ લંબકેન્દ્ર $C$ અને પરિકેન્દ્ર $B$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આપેલ $C(-6, -8)$ અને $B(3, 4)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $A(a, b)$ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$a = \frac{2(3) + 1(-6)}{2+1} = 0$
$b = \frac{2(4) + 1(-8)}{2+1} = 0$
તેથી,$A(0, 0)$.
હવે,બિંદુ $P(2a+3, 7b+5)$ એ $P(3, 5)$ બને છે.
આપણે $P(3, 5)$ નું રેખા $2x+3y-4=0$ થી રેખા $x-2y-1=0$ ને સમાંતર અંતર શોધવાનું છે.
રેખા $x-2y-1=0$ નો ઢાળ $m = \frac{1}{2}$ છે. તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$P(3, 5)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{1}{2}$ ઢાળવાળી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(3+\frac{2r}{\sqrt{5}}, 5+\frac{r}{\sqrt{5}})$ છે.
આને રેખા $2x+3y-4=0$ માં મૂકતા:
$2(3+\frac{2r}{\sqrt{5}}) + 3(5+\frac{r}{\sqrt{5}}) - 4 = 0$
$17 + \frac{7r}{\sqrt{5}} = 0$
$r = -\frac{17 \sqrt{5}}{7}$
અંતર હંમેશા ધન હોવાથી,જરૂરી અંતર $|r| = \frac{17 \sqrt{5}}{7}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $z_1 + z_2 = 5$ અને $z_1^3 + z_2^3 = 20 + 15i$.
નિત્યસમ $z_1^3 + z_2^3 = (z_1 + z_2)^3 - 3z_1z_2(z_1 + z_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$20 + 15i = (5)^3 - 3z_1z_2(5)$
$20 + 15i = 125 - 15z_1z_2$
$15z_1z_2 = 105 - 15i$
$z_1z_2 = 7 - i$
હવે,$z_1^2 + z_2^2 = (z_1 + z_2)^2 - 2z_1z_2 = 25 - 2(7 - i) = 11 + 2i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(z_1^2 + z_2^2)^2 = (11 + 2i)^2 = 117 + 44i$.
$z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2)^2 - 2(z_1z_2)^2 = 117 + 44i - 2(7 - i)^2 = 117 + 44i - 2(48 - 14i) = 21 + 72i$.
માનાંક $|z_1^4 + z_2^4| = \sqrt{21^2 + 72^2} = \sqrt{441 + 5184} = \sqrt{5625} = 75$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-16x-4y=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(8, 2)$ છે.
ધારો કે $(8, 2)$ માંથી પસાર થતી ચલ રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખાનું સમીકરણ $(y-2) = m(x-8)$ છે.
રેખા ધન અક્ષોને છેદતી હોવાથી,તેનો ઢાળ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $m = -k$ લો જ્યાં $k > 0$.
$x$-અંતઃખંડ $OA$ મેળવવા માટે $y=0$ મૂકતા: $-2 = m(x-8) \Rightarrow x-8 = -2/m \Rightarrow OA = 8 - 2/m$.
$m < 0$ હોવાથી,$m = -k$ $(k > 0)$ લેતા,$OA = 8 + 2/k$.
$y$-અંતઃખંડ $OB$ મેળવવા માટે $x=0$ મૂકતા: $(y-2) = m(-8) \Rightarrow y = 2 - 8m = 2 + 8k$.
આપણે $f(k) = OA + OB = 8 + 2/k + 2 + 8k = 10 + 2/k + 8k$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું છે.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2/k + 8k}{2} \geq \sqrt{(2/k)(8k)} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$2/k + 8k \geq 8$.
$OA+OB$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $10 + 8 = 18$ થાય.

(D) પરવલયની અક્ષ નિયામિકા $2x+y=6$ ને લંબ છે અને શિરોબિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે.
નિયામિકાનો ઢાળ $-2$ છે,તેથી અક્ષનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે.
અક્ષનું સમીકરણ: $y-3 = \frac{1}{2}(x-2) \Rightarrow x-2y+4=0$.
અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ $Z$ છે. $2x+y=6$ અને $x-2y=-4$ ઉકેલતા,$Z = (1.6, 2.8)$ મળે.
ધારો કે નાભિ $S(\alpha, \beta)$ છે. શિરોબિંદુ $V(2,3)$ એ $SZ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{\alpha+1.6}{2} = 2 \Rightarrow \alpha = 2.4$ અને $\frac{\beta+2.8}{2} = 3 \Rightarrow \beta = 3.2$.
તેથી,નાભિ $(2.4, 3.2)$ છે.
ઉપવલય $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ એ $(2.4, 3.2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{(2.4)^2}{a^2} + \frac{(3.2)^2}{b^2} = 1$.
આપેલ છે કે $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{a^2}{2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $a^2=2b^2$ મૂકતા: $\frac{5.76}{2b^2} + \frac{10.24}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{2.88+10.24}{b^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 13.12 = \frac{328}{25}$.
તેથી $a^2 = 2 \times \frac{328}{25} = \frac{656}{25}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $L = \frac{2b^2}{a}$ છે. લંબાઈનો વર્ગ $L^2 = \frac{4b^4}{a^2} = \frac{4b^4}{2b^2} = 2b^2 = 2 \times \frac{328}{25} = \frac{656}{25}$.

(D) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$2^{\text{nd}}$,$8^{\text{th}}$ અને $44^{\text{th}}$ પદો અનુક્રમે $1+d$,$1+7d$ અને $1+43d$ છે.
આ પદો $G.P.$ માં હોવાથી,$(1+7d)^2 = (1+d)(1+43d)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $1 + 49d^2 + 14d = 1 + 44d + 43d^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $6d^2 - 30d = 0$,જે $6d(d - 5) = 0$ આપે છે.
$A.P.$ અચળ ન હોવાથી,$d \neq 0$,તેથી $d = 5$.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2}[2(1) + (20-1)5]$.
$S_{20} = 10[2 + 95] = 10 \times 97 = 970$.

(B) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ એ એક ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આપણને લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ આપેલ છે.
કારણ કે $f$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને $x > 0$ માટે $x < 5x < 7x$ થાય,તેથી $f(x) < f(5x) < f(7x)$ મળે.
અસમતાને $f(x) > 0$ વડે ભાગતા,આપણને $1 < \frac{f(5x)}{f(x)} < \frac{f(7x)}{f(x)}$ મળે.
$x \rightarrow \infty$ લેતા,આપણને $\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7x)}{f(x)}$ મળે.
આપેલ લક્ષની કિંમત મૂકતા,$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq 1$ મળે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} = 1$ થાય.
તેથી,$\lim _{x \rightarrow \infty} \left[\frac{f(5x)}{f(x)} - 1\right] = 1 - 1 = 0$ થાય.

(C) આપેલ અવલોકનો: $a, b, 68, 44, 48, 60$.
મધ્યક $\overline{x} = 55$,વિચરણ $\sigma^2 = 194$.
અવલોકનોનો સરવાળો: $a + b + 68 + 44 + 48 + 60 = 6 \times 55 = 330$.
$a + b + 220 = 330 \Rightarrow a + b = 110$ (સમીકરણ $1$).
વિચરણનું સૂત્ર: $\frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2 = 194$.
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + (68 - 55)^2 + (44 - 55)^2 + (48 - 55)^2 + (60 - 55)^2 = 194 \times 6$.
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + 13^2 + (-11)^2 + (-7)^2 + 5^2 = 1164$.
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + 169 + 121 + 49 + 25 = 1164$.
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 = 1164 - 364 = 800$.
$a^2 - 110a + 3025 + b^2 - 110b + 3025 = 800$.
$a^2 + b^2 - 110(a + b) + 6050 = 800$.
$a + b = 110$ મૂકતા: $a^2 + b^2 - 110(110) + 6050 = 800$.
$a^2 + b^2 - 12100 + 6050 = 800 \Rightarrow a^2 + b^2 = 6850$ (સમીકરણ $2$).
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ પરથી,$110^2 = 6850 + 2ab$.
$12100 - 6850 = 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 5250$ $\Rightarrow ab = 2625$.
$a + b = 110$ અને $ab = 2625$ હોવાથી,$a$ અને $b$ એ $t^2 - 110t + 2625 = 0$ ના બીજ છે.
$(t - 75)(t - 35) = 0$.
$a > b$ હોવાથી,$a = 75$ અને $b = 35$.
તેથી,$a + 3b = 75 + 3(35) = 75 + 105 = 180$.

(D) ધારો કે $e^{\sin x} = t$. કારણ કે $\sin x \in [-1, 1]$,તેથી $t$ ની કિંમત $[e^{-1}, e^1]$ એટલે કે $[0.368, 2.718]$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $t - \frac{2}{t} = 2$.
$t$ વડે ગુણતા: $t^2 - 2t - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ મળે.
આપણે $e^{\sin x} = 1 + \sqrt{3}$ માટે ઉકેલ શોધવાનો છે.
$1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ અને $e \approx 2.718$ હોવાથી,$1 + \sqrt{3} > e$ થાય.
$e^{\sin x}$ ની મહત્તમ કિંમત $e^1 = e$ હોવાથી,$e^{\sin x} = 1 + \sqrt{3}$ માટે $x$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ શક્ય નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ અસમતા: ${ }^6 C_{m} + 2({ }^6 C_{m+1}) + { }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$.
નિત્યસમ ${ }^n C_r + { }^n C_{r+1} = { }^{n+1} C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$({ }^6 C_{m} + { }^6 C_{m+1}) + ({ }^6 C_{m+1} + { }^6 C_{m+2}) > { }^8 C_3$
${ }^7 C_{m+1} + { }^7 C_{m+2} > { }^8 C_3$
${ }^8 C_{m+2} > { }^8 C_3$.
અહીં ${ }^8 C_3 = 56$,તેથી ${ }^8 C_{m+2} > 56$.
$m=2$ લેતા,${ }^8 C_4 = 70 > 56$. તેથી,$m=2$.
હવે,ગુણોત્તર: ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$.
$\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} = \frac{1}{n} = \frac{1}{8} \implies n=8$.
છેલ્લે,${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m = { }^8 P_3 + { }^9 C_2$ ની ગણતરી કરતા:
${ }^8 P_3 = 8 \times 7 \times 6 = 336$.
${ }^9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$.
સરવાળો $= 336 + 36 = 372$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+(b^2+c^2)=0$ છે.
આને $(ax-b)^2+(bx-c)^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી $ax-b=0$ અને $bx-c=0$,જેનો અર્થ છે $x = b/a = c/b$.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ $a+b > c$,$b+c > a$ અને $c+a > b$.
$b = ax$ અને $c = ax^2$ મૂકતા:
$x^2 - x - 1 < 0$ અને $x^2 + x - 1 > 0$.
આથી $\frac{\sqrt{5}-1}{2} < x < \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
અહીં $\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ અને $\beta = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
તેથી $\alpha^2 + \beta^2 = 3$.
પરિણામે $12(\alpha^2+\beta^2) = 12(3) = 36$.

(B) ધારો કે $P$ એ રેખા $x = y + 2 = z = t$ પરનું બિંદુ છે. તેથી $P = (t, t - 2, t)$.
ધારો કે $Q$ એ રેખા $x + 2 = 2y = 2z = 2s$ પરનું બિંદુ છે. તેથી $Q = (2s - 2, s, s)$.
રેખા $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(2, 1, 2)$ આપેલા છે.
તેથી,સદિશ $\vec{PQ}$ ના દિશા ગુણોત્તર $(2s - 2 - t, s - (t - 2), s - t) = (2s - t - 2, s - t + 2, s - t)$ થશે.
રેખા $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(2, 1, 2)$ હોવાથી:
$\frac{2s - t - 2}{2} = \frac{s - t + 2}{1} = \frac{s - t}{2} = k$ (ધારો).
$\frac{s - t + 2}{1} = \frac{s - t}{2}$ પરથી,$2s - 2t + 4 = s - t$,એટલે કે $s - t = -4$.
$s - t = -4$ ને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{2s - t - 2}{2} = \frac{-4 + 2}{1} = -2$,તેથી $2s - t - 2 = -4$,એટલે કે $2s - t = -2$.
$s - t = -4$ અને $2s - t = -2$ ને ઉકેલતા,$s = 2$ અને $t = 6$ મળે છે.
તેથી,$P = (6, 4, 6)$ અને $Q = (2, 2, 2)$.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{2} = \lambda$ છે.
$PQ$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $F = (2\lambda + 2, \lambda + 2, 2\lambda + 2)$ છે.
ધારો કે $A = (1, 2, 12)$. સદિશ $\vec{AF} = (2\lambda + 1, \lambda, 2\lambda - 10)$.
$AF \perp PQ$ હોવાથી,$\vec{AF} \cdot (2, 1, 2) = 0$.
$2(2\lambda + 1) + 1(\lambda) + 2(2\lambda - 10) = 0$.
$4\lambda + 2 + \lambda + 4\lambda - 20 = 0 \Rightarrow 9\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 2$.
તેથી $F = (6, 4, 6)$.
લંબાઈ $l = AF = \sqrt{(6 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (6 - 12)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 4 + 36} = \sqrt{65}$.
તેથી,$l^2 = 65$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $|P^{-1}AP - 2I| = |P^{-1}AP - 2P^{-1}IP| = |P^{-1}(A - 2I)P|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|ABC| = |A||B||C|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|P^{-1}||A - 2I||P| = |P^{-1}||P||A - 2I| = |I||A - 2I| = |A - 2I|$ મળે છે.
હવે,$A - 2I = \begin{bmatrix} 2-2 & 1 & 2 \\ 6 & 2-2 & 11 \\ 3 & 3 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 6 & 0 & 11 \\ 3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A - 2I| = 0(0 - 33) - 1(0 - 33) + 2(18 - 0) = 0 + 33 + 36 = 69$ ની ગણતરી કરતા.
$69$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3$ અને $23$ છે.
તેથી,અવિભાજ્ય અવયવોનો સરવાળો $3 + 23 = 26$ થાય છે.

(D) શિરોબિંદુઓ $P(3, 2, 3)$,$Q(4, 6, 2)$ અને $R(7, 3, 2)$ છે.
$\angle QPR$ શોધવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{PR}$ ના દિશા ગુણોત્તરની જરૂર છે.
$\vec{PQ} = (4-3, 6-2, 2-3) = (1, 4, -1)$.
$\vec{PR} = (7-3, 3-2, 2-3) = (4, 1, -1)$.
ધારો કે $\theta = \angle QPR$. બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (1)(4) + (4)(1) + (-1)(-1) = 4 + 4 + 1 = 9$.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$.
$|\vec{PR}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{9}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{18}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x + 3x^{\frac{2}{3}}$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 2 + 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = 2 + 2x^{-\frac{1}{3}} = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2 \left( \frac{x^{\frac{1}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} \right)$.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $f'(x) = 0$ હોય અથવા $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત હોય.
$f'(x) = 0 \implies x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0 \implies x = -1$.
$x = 0$ આગળ $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
હવે,આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની તપાસો:
$x < -1$ માટે,$f'(x) > 0$.
$-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x = -1$ આગળ $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $x = -1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
$x = 0$ આગળ $f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
આમ,વિધેયને સ્થાનિક મહત્તમનું બરાબર એક બિંદુ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમનું બરાબર એક બિંદુ છે.

(D) સદિશો $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{b}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $S$ નું ક્ષેત્રફળ $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle OAB$ અને $\triangle OBC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે ગણી શકાય છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times (12 \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |0 + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = 2 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
$\triangle OBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overrightarrow{OC} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{b} \times (12 \overrightarrow{a} + 4 \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + 4(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |12(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + 0| = 6 |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}| = 6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
ચતુષ્કોણ $OABC$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| + 6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 8 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
ચતુષ્કોણ $OABC$ ના ક્ષેત્રફળ અને $S$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{8 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|} = 8$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos ^3 x \sin (x-\theta)}} d x$.
$\sin(x-\theta) = \sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta$ વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x \cos^{\frac{3}{2}} x \sqrt{\sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta}} dx + \int \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x \cos^{\frac{3}{2}} x \sqrt{\sin x \cos \theta - \cos x \sin \theta}} dx$.
અંશ અને છેદને અનુક્રમે $\cos^3 x$ અને $\sin^3 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x \cos \theta - \sin \theta}} dx + \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x}{\sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta}} dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$t^2 = \tan x \cos \theta - \sin \theta$ લેતા,$2t dt = \cos \theta \sec^2 x dx \implies \sec^2 x dx = \frac{2t dt}{\cos \theta}$.
બીજા સંકલન માટે,$z^2 = \cos \theta - \cot x \sin \theta$ લેતા,$2z dz = \operatorname{cosec}^2 x \sin \theta dx \implies \operatorname{cosec}^2 x dx = \frac{2z dz}{\sin \theta}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int \frac{2t dt}{t \cos \theta} + \int \frac{2z dz}{z \sin \theta} = \frac{2t}{\cos \theta} + \frac{2z}{\sin \theta} + C$.
$I = 2 \sec \theta \sqrt{\tan x \cos \theta - \sin \theta} + 2 \operatorname{cosec} \theta \sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta} + C$.
$A \sqrt{\cos \theta \tan x - \sin \theta} + B \sqrt{\cos \theta - \cot x \sin \theta} + C$ સાથે સરખાવતા,$A = 2 \sec \theta$ અને $B = 2 \operatorname{cosec} \theta$ મળે છે.
તેથી,$AB = (2 \sec \theta)(2 \operatorname{cosec} \theta) = 4 \frac{1}{\cos \theta \sin \theta} = 8 \frac{1}{2 \sin \theta \cos \theta} = 8 \operatorname{cosec}(2 \theta)$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$.
$x \cos \left(\frac{y}{x}\right)$ વડે ભાગતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos \left(\frac{y}{x}\right)}$.
ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v + x \frac{d v}{d x} = v + \frac{1}{\cos v}$.
$x \frac{d v}{d x} = \sec v$.
ચલને અલગ કરતા:
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\sin v = \log |x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + C$.
$y(1) = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\sin \left(\frac{\pi/3}{1}\right) = \log |1| + C$.
$\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = 0 + C \implies C = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ઉકેલ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log |x| + \frac{\alpha}{2}$ સાથે સરખાવતા,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = \sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(D) ધારો કે $\sin^{-1} x = \theta$. તેથી $x = \sin \theta$.
આપેલ છે કે $\cos(2\theta) = \frac{1}{9}$.
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - 2x^2 = \frac{1}{9}$.
$2x^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies x^2 = \frac{4}{9} \implies x = \frac{2}{3}$ (કારણ કે $m, n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોવાથી $x$ ધન લેવો પડે).
આમ,$m = 2$ અને $n = 3$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 3x - 2 + 3 = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $2x^2 - 3x + 1 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(2x - 1)(x - 1) = 0$.
બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$\alpha > \beta$ હોવાથી,$\alpha = 1$ અને $\beta = \frac{1}{2}$ મળે.
બિંદુ $(1, \frac{1}{2})$ ને વિકલ્પોમાં તપાસતા:
$5x + 8y = 9$ માટે: $5(1) + 8(\frac{1}{2}) = 5 + 4 = 9$.
તેથી,બિંદુ રેખા $5x + 8y = 9$ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x^2-6x-16}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{(x^2-6x-16)(1) - x(2x-6)}{(x^2-6x-16)^2}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $x^2 - 6x - 16 - 2x^2 + 6x = -x^2 - 16 = -(x^2 + 16)$.
આમ,$f'(x) = \frac{-(x^2+16)}{(x^2-6x-16)^2}$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^2+16 > 0$ અને બધા $x \neq -2, 8$ માટે $(x^2-6x-16)^2 > 0$ હોવાથી,પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $f'(x) < 0$ થાય છે.
તેથી,વિધેય $f(x)$ તેના સંપૂર્ણ પ્રદેશ $(-\infty, -2) \cup (-2, 8) \cup (8, \infty)$ માં સતત ઘટે છે.

(D) આપેલ છે $y = \log_8 \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$.
પ્રથમ વિકલન $y' = \frac{-4x}{1-x^4}$ મળે છે.
બીજું વિકલન $y'' = \frac{-4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$ મળે છે.
હવે,$y' - y'' = \frac{-4x}{1-x^4} + \frac{4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$.
$x = \frac{1}{2}$ મુકતા,આપણને $y' - y'' = \frac{736}{225}$ મળે છે.
તેથી,$225(y' - y'') = 225 \times \frac{736}{225} = 736$.

(A) $R$ સામ્ય સંબંધ હોવા માટે,તે સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવો જોઈએ.
$1$. સ્વવાચકતા: ગણ $\{1, 2, 3, 4\}$ હોવાથી,$R$ માં $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\}$ હોવા જરૂરી છે.
$2$. સંમિતતા: આપેલ છે કે $\{(1, 2), (1, 3)\} \subset R$,તેથી સંમિતતા મુજબ,$R$ માં $\{(2, 1), (3, 1)\}$ પણ હોવા જોઈએ.
$3$. પરંપરિતતા: કારણ કે $(2, 1) \in R$ અને $(1, 3) \in R$,પરંપરિતતા મુજબ,$(2, 3) \in R$ થાય. સંમિતતા મુજબ,$(3, 2) \in R$ પણ $R$ માં હોવું જોઈએ.
આ બધાને ભેગા કરતા,ગણ $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)\}$ મળે છે.
ઘટકોની ગણતરી કરતા,$R$ માં કુલ $10$ ઘટકો છે.

(B) આપેલ એકમ સદિશ $\hat{u}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\overrightarrow{p}_1=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$,$\overrightarrow{p}_2=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$,અને $\overrightarrow{p}_3=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$ છે.
$\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_1 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_1| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ હોવાથી,$\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{z}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow x+z=0$ $(i)$.
$\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_2 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_2| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{y}{\sqrt{2}} + \frac{z}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow y+z = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $(ii)$.
$\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_3 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_3| \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \Rightarrow x+y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $(iii)$.
$(i), (ii), (iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2(x+y+z) = 0 \Rightarrow x+y+z = 0$ મળે.
આમાંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. આમાંથી $(iii)$ બાદ કરતા,$z = \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમાંથી $(i)$ બાદ કરતા,$y = 0$ મળે.
આમ $\hat{u} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + 0 \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ થાય.
તેથી $\hat{u}-\overrightarrow{v} = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (0 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j} + (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{k} = -\frac{2}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} = -\sqrt{2} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$.
$|\hat{u}-\overrightarrow{v}|^2 = (-\sqrt{2})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) કારણ કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$,જે સૂચવે છે કે $a - 2b + c = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $ax + by + c = 0$ હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $P(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(15 - 2\alpha) - 1(6 - \alpha) + 1(4 - 5) = 0$.
$15 - 2\alpha - 6 + \alpha - 1 = 0 \Rightarrow 8 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 8$.
હવે,અનંત ઉકેલો માટે,$D_1 = 0$ જ્યાં $D_1 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ \beta & 5 & 8 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
$6(15 - 16) - 1(3\beta - 32) + 1(2\beta - 20) = 0$.
$-6 - 3\beta + 32 + 2\beta - 20 = 0 \Rightarrow -\beta + 6 = 0 \Rightarrow \beta = 6$.
આમ,$Q = (8, 6)$.
અંતર $PQ = \sqrt{(8 - 1)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{7^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}$.
તેથી,$(PQ)^2 = 113$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \sin 2x = \cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.
તેથી,$\sqrt{1 - \sin 2x} = |\cos x - \sin x|$.
અંતરાલ $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$ માં,$\cos x \ge \sin x$,તેથી $|\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x$.
અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ માં,$\sin x \ge \cos x$,તેથી $|\cos x - \sin x| = \sin x - \cos x$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (\sin x - \cos x) \, dx$
$I = [\sin x + \cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$
$I = ((\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})) + ((- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (- \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}))$
$I = (\sqrt{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\sqrt{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{2} - 1 - \sqrt{3}$.
$\alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -1, \beta = 2, \gamma = -1$ મળે છે.
તેથી $3\alpha + 4\beta - \gamma = 3(-1) + 4(2) - (-1) = -3 + 8 + 1 = 6$.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વક્રો $y = x^2+2$ અને $y = 2x+2$ ના છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.
$x^2+2 = 2x+2$ લેતા,આપણને $x^2 - 2x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x(x-2) = 0$. આમ,વક્રો $x=0$ અને $x=2$ પર છેદે છે.
$0 \leq x \leq 2$ માટે,$x^2+2 \leq 2x+2$ છે,તેથી $\min \{x^2+2, 2x+2\} = x^2+2$.
$2 \leq x \leq 3$ માટે,$2x+2 \leq x^2+2$ છે,તેથી $\min \{x^2+2, 2x+2\} = 2x+2$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_0^2 (x^2+2) dx + \int_2^3 (2x+2) dx$
સંકલન ગણતા:
$\int_0^2 (x^2+2) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^2 = (\frac{8}{3} + 4) - 0 = \frac{20}{3}$
$\int_2^3 (2x+2) dx = [x^2 + 2x]_2^3 = (9+6) - (4+4) = 15 - 8 = 7$
આમ,$A = \frac{20}{3} + 7 = \frac{20+21}{3} = \frac{41}{3}$.
અંતે,$12A = 12 \times \frac{41}{3} = 4 \times 41 = 164$.

(B) ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}=\lambda$ અને $L_2: \frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}=\mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(4\lambda+5, \lambda+4, 3\lambda+5)$ અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $N(12\mu-8, 5\mu-2, 9\mu-11)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{MN} = (12\mu-4\lambda-13, 5\mu-\lambda-6, 9\mu-3\lambda-16)$.
દિશા સદિશો $\vec{b}_1 = (4, 1, 3)$ અને $\vec{b}_2 = (12, 5, 9)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર સદિશ $\overrightarrow{MN}$ એ $\vec{b}_1$ અને $\vec{b}_2$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 1 & 3 \\ 12 & 5 & 9 \end{vmatrix} = -6\hat{i} + 0\hat{j} + 8\hat{k}$.
$\overrightarrow{MN}$ એ $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ ને સમાંતર હોવાથી,$\frac{12\mu-4\lambda-13}{-6} = \frac{5\mu-\lambda-6}{0} = \frac{9\mu-3\lambda-16}{8}$ મળે.
વચ્ચેના પદ પરથી,$5\mu-\lambda-6=0 \implies \lambda = 5\mu-6$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $8(12\mu-4(5\mu-6)-13) = -6(9\mu-3(5\mu-6)-16) \implies 8(-8\mu+11) = -6(-6\mu+2) \implies -64\mu+88 = 36\mu-12 \implies 100\mu = 100 \implies \mu=1$.
તેથી $\lambda = 5(1)-6 = -1$.
આમ,$M = (1, 3, 2)$ અને $N = (4, 3, -2)$.
અંતે,$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = (1)(4) + (3)(3) + (2)(-2) = 4 + 9 - 4 = 9$.

(C) આપેલ છે $f^2(x) = \lim_{r \rightarrow x} \left( \frac{2r^2(f^2(r) - f(x)f(r))}{r^2 - x^2} - r^3 e^{\frac{f(r)}{r}} \right)$.
લક્ષ લેતા,$f^2(x) = x f(x) f'(x) - x^3 e^{\frac{f(x)}{x}}$ મળે.
ધારો કે $y = f(x)$,તો $y^2 = xy \frac{dy}{dx} - x^3 e^{\frac{y}{x}}$.
$xy$ વડે ભાગતા,$\frac{y}{x} = \frac{dy}{dx} - \frac{x^2}{y} e^{\frac{y}{x}}$ મળે.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
$v = v + x \frac{dv}{dx} - \frac{1}{v} e^v \implies x \frac{dv}{dx} = \frac{e^v}{v}$.
ચલ અલગ કરતા: $v e^{-v} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v e^{-v} dv = \int \frac{dx}{x} \implies -e^{-v}(v+1) = \ln|x| + C$.
$f(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1, y=1 \implies v=1$. તેથી,$-e^{-1}(2) = 0 + C \implies C = -2/e$.
આમ,$-e^{-y/x}(\frac{y}{x} + 1) = \ln|x| - \frac{2}{e}$.
$f(a) = 0$ માટે,$y=0, x=a$,તેથી $v=0$.
$-e^0(0 + 1) = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies -1 = \ln|a| - \frac{2}{e} \implies \ln|a| = \frac{2}{e} - 1$. ઉકેલતા $a = 2/e$ મળે,તેથી $ea = 2$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $45 x+5 y+3=0$ છે,જેને $5 y = -45 x - 3$ અથવા $y = -9 x - \frac{3}{5}$ તરીકે લખી શકાય. તેથી ઢાળ $-9$ છે.
આપેલ છે કે ઢાળ $27 r_1+\frac{9 r_2}{2} = -9$ છે.
ધારો કે $f(x) = \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt$. આપણે $\lim_{x \rightarrow 3} f(x)$ શોધવું છે.
આ લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\frac{d}{dx} \int_3^x \frac{8 t^2}{\frac{3 r_2 x}{2}-r_2 x^2-r_1 x^3-3 x} dt}{\frac{d}{dx} (\text{છેદ})}$.
Leibniz ના નિયમ મુજબ,$x=3$ આગળ લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{8 x^2}{\frac{3 r_2}{2} - 2 r_2 x - 3 r_1 x^2 - 3}$ થાય છે.
$x=3$ મૂકતા: $\frac{8(9)}{\frac{3 r_2}{2} - 6 r_2 - 27 r_1 - 3} = \frac{72}{-\frac{9 r_2}{2} - 27 r_1 - 3}$.
$27 r_1 + \frac{9 r_2}{2} = -9$ હોવાથી,છેદ $-(-9) - 3 = 9 - 3 = 6$ થાય છે.
તેથી,લક્ષની કિંમત $\frac{72}{6} = 12$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=1$,$|\vec{b}|=4$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$.
આપણને $\vec{c}=2(\vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$ આપેલ છે.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$\vec{b} \cdot \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}) = 2(\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})) - 3(\vec{b} \cdot \vec{b})$.
કારણ કે $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ (કારણ કે ક્રોસ પ્રોડક્ટ બંને સદિશોને લંબ હોય છે),તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 - 3|\vec{b}|^2 = -3(4^2) = -3(16) = -48$.
હવે,$|\vec{c}|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\vec{c}|^2 = |2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$.
કારણ કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $|\vec{c}|^2 = 4|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 9|\vec{b}|^2$.
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$.
તેથી,$|\vec{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$.
તેથી,$|\vec{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
છેલ્લે,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(x, y)$,અને $(-x, y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(y - y) + x(y - 0) + (-x)(0 - y)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |xy + xy| = |xy|$
વક્ર $y = -2x^2 + 54$ આપેલ છે,તેથી ક્ષેત્રફળના પદમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$A(x) = |x(-2x^2 + 54)| = |-2x^3 + 54x|$
$y > 0$ હોવાથી,$-2x^2 + 54 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 < 27$,તેથી $x \in (-\sqrt{27}, \sqrt{27})$.
$x > 0$ માટે,$A(x) = -2x^3 + 54x$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = -6x^2 + 54$
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા:
$-6x^2 + 54 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ ($x > 0$ હોવાથી).
હવે,$x = 3$ પર મહત્તમ ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતા:
$A(3) = |3(-2(3)^2 + 54)| = |3(-18 + 54)| = |3(36)| = 108$.
આમ,ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $108$ છે.

(D) આ સરવાળાને રીમાન સંકલન તરીકે દર્શાવતા: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{(1+(k/n)^2)(1+3(k/n)^2)}$.
ધારો કે $x = k/n$,તો પદ $\int_0^1 \frac{dx}{(1+x^2)(1+3x^2)}$ બને છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{(1+x^2)(1+3x^2)} = \frac{3/2}{1+3x^2} - \frac{1/2}{1+x^2}$.
સંકલન કરતા: $\int_0^1 \left( \frac{3/2}{1+3x^2} - \frac{1/2}{1+x^2} \right) dx = \frac{3}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1+(\sqrt{3}x)^2} - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$.
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}x) \right]_0^1 - \frac{1}{2} [\tan^{-1}x]_0^1$.
$= \frac{\sqrt{3}}{2} (\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi(2\sqrt{3}-3)}{24}$.
આ કિંમત $\frac{\pi}{8(2\sqrt{3}+3)}$ ને સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1}{2}[g(x) + g(2-x)]$.
વિકલન કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(x) - g^{\prime}(2-x)]$.
આપણને $g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ આપેલ છે.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ $f^{\prime}$ ની કિંમત: $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}[g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) - g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)] = 0$.
$x = \frac{3}{2}$ આગળ $f^{\prime}$ ની કિંમત: $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}[g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) - g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)] = 0$.
જેથી $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ અને $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = 0$ હોવાથી,અંતરાલ $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ પર રોલના પ્રમેય મુજબ,એવો કોઈ $c \in \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime \prime}(c) = 0$ થાય.
વધુમાં,$f^{\prime}(1) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(1) - g^{\prime}(1)] = 0$ નોંધો.
આમ,$f^{\prime}(x)$ એ $x = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}$ આગળ શૂન્ય છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$f^{\prime \prime}(x)$ એ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ માં ઓછામાં ઓછી એક વાર અને $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ માં ઓછામાં ઓછી એક વાર શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$(0, 2)$ માં ઓછામાં ઓછા ત્રણ મૂલ્યો માટે $f^{\prime}(x) = 0$ થાય છે,જે વિકલ્પ $A$ ને સંતોષે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $y^2=4(x-2)$ અને $y=2x-8$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$2x = y+8$,તેથી $x = \frac{y+8}{2} = \frac{y}{2} + 4$.
પરવલયના સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $y^2 = 4(\frac{y}{2} + 4 - 2) = 4(\frac{y}{2} + 2) = 2y + 8$.
$y^2 - 2y - 8 = 0 \implies (y-4)(y+2) = 0$.
આમ,છેદબિંદુઓ $y=4$ અને $y=-2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy$ દ્વારા મળે છે.
$x_{line} = \frac{y+8}{2}$ અને $x_{parabola} = \frac{y^2}{4} + 2$.
$A = \int_{-2}^{4} (\frac{y+8}{2} - (\frac{y^2}{4} + 2)) dy = \int_{-2}^{4} (\frac{y}{2} + 2 - \frac{y^2}{4}) dy$.
$A = [\frac{y^2}{4} + 2y - \frac{y^3}{12}]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12}) - (\frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12}) = (4 + 8 - \frac{16}{3}) - (1 - 4 + \frac{2}{3}) = (12 - \frac{16}{3}) - (-3 + \frac{2}{3}) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sec x \, dy = -\{2(1-x) \tan x + x(2-x)\} \, dx$ છે.
$\sec x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\{2(1-x) \sin x + x(2-x) \cos x\}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = 2(x-1) \sin x + (x^2-2x) \cos x$ થાય છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y(x) = \int 2(x-1) \sin x \, dx + \int (x^2-2x) \cos x \, dx$.
બીજા પદ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (x^2-2x) \cos x \, dx = (x^2-2x) \sin x - \int (2x-2) \sin x \, dx$.
આ કિંમત મૂકતા: $y(x) = \int 2(x-1) \sin x \, dx + (x^2-2x) \sin x - \int 2(x-1) \sin x \, dx + C$.
તેથી,$y(x) = (x^2-2x) \sin x + C$.
$y(0)=2$ આપેલ હોવાથી,$2 = (0^2-2(0)) \sin(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C=2$.
આમ,$y(x) = (x^2-2x) \sin x + 2$.
$x=2$ માટે,$y(2) = (2^2-2(2)) \sin(2) + 2 = (4-4) \sin(2) + 2 = 2$.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x+3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(5k-3, 2k+1, 3k-4)$ છે.
બિંદુ $A(1, 2, 3)$ અને $P$ ને જોડતી રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તર $(5k-3-1, 2k+1-2, 3k-4-3) = (5k-4, 2k-1, 3k-7)$ છે.
આપેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(5, 2, 3)$ છે.
$AP$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5k-4) + 2(2k-1) + 3(3k-7) = 0$
$25k - 20 + 4k - 2 + 9k - 21 = 0$
$38k - 43 = 0 \implies k = \frac{43}{38}$.
લંબપાદ $P$ ના યામ $(\alpha, \beta, \gamma) = (5k-3, 2k+1, 3k-4)$ છે.
તેથી $\alpha + \beta + \gamma = (5k-3) + (2k+1) + (3k-4) = 10k - 6$.
$k = \frac{43}{38}$ મૂકતા:
$\alpha + \beta + \gamma = 10\left(\frac{43}{38}\right) - 6 = \frac{430 - 228}{38} = \frac{202}{38} = \frac{101}{19}$.
તેથી,$19(\alpha + \beta + \gamma) = 19 \times \frac{101}{19} = 101$.

(C) વિધેય $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right) + (\log_e(3-x))^{-1}$ માટે,આપણે બંને ભાગો માટે પ્રદેશની શરતો સંતોષવી પડશે.
$1$. $\cos^{-1}\left(\frac{2-|x|}{4}\right)$ માટે,દલીલ $[-1, 1]$ માં હોવી જોઈએ:
$-1 \leq \frac{2-|x|}{4} \leq 1$
$-4 \leq 2-|x| \leq 4$
$-6 \leq -|x| \leq 2$
કારણ કે $|x| \geq 0$,તેથી $-|x| \leq 2$ હંમેશા સાચું છે. આમ,$|x| \leq 6$,જેનો અર્થ છે $x \in [-6, 6]$.
$2$. $(\log_e(3-x))^{-1}$ માટે,આપણે $\log_e(3-x) \neq 0$ અને $3-x > 0$ ની જરૂર છે:
$3-x > 0 \Rightarrow x < 3$.
$\log_e(3-x) \neq 0 \Rightarrow 3-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.
આ શરતોને જોડતા:
$x \in [-6, 6] \cap (-\infty, 3) \setminus \{2\} = [-6, 3) \setminus \{2\}$.
આને $[-\alpha, \beta) \setminus \{\gamma\}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 6$,$\beta = 3$,અને $\gamma = 2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 6 + 3 + 2 = 11$.

(A) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=4\mu$
$x+2y+2\lambda z=10\mu$
$x+3y+4\lambda^2 z=\mu^2+15$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2\lambda \\ 1 & 3 & 4\lambda^2 \end{vmatrix} = (2\lambda - 1)^2$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,એટલે કે $\lambda \neq \frac{1}{2}$.
જ્યારે $\lambda = \frac{1}{2}$,ત્યારે $\Delta = 0$. ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક પરથી:
$y = 6\mu$ અને $2y = \mu^2 - 4\mu + 15$ મળે છે.
તેથી $12\mu = \mu^2 - 4\mu + 15 \implies \mu^2 - 16\mu + 15 = 0 \implies (\mu-1)(\mu-15) = 0$.
આમ,જો $\lambda = \frac{1}{2}$ અને $\mu \in \{1, 15\}$ હોય તો સંહતિ સુસંગત છે. જો $\mu \neq 1, 15$ હોય તો સંહતિ અસંગત છે. વિકલ્પ $A$ ખોટું વિધાન છે કારણ કે અનન્ય ઉકેલ માટે $\mu$ પર કોઈ શરત નથી.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $f(x) = \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 + 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \\ 2 \cos^4 x & 3 + 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \end{vmatrix}$ છે.
હરોળ પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 & 0 & -3 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix}$.
બીજી હરોળને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = -3 \begin{vmatrix} 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 & -3 \end{vmatrix} + 0 - (-3) \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$.
$f(x) = -3(-6 \sin^4 x - 3(3 + \sin^2 2x)) + 3(6 \cos^4 x)$.
$f(x) = 18 \sin^4 x + 27 + 9 \sin^2 2x + 18 \cos^4 x$.
કારણ કે $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$,તેથી $f(x) = 18(\sin^4 x + \cos^4 x) + 9(4 \sin^2 x \cos^2 x) + 27$.
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 18(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x) + 36 \sin^2 x \cos^2 x + 27$.
$f(x) = 18 - 36 \sin^2 x \cos^2 x + 36 \sin^2 x \cos^2 x + 27 = 45$.
$f(x) = 45$ એ અચળ હોવાથી,$f'(x) = 0$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{5} f'(0) = 0$.

(B) વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1}$ અને $\overrightarrow{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\overrightarrow{d_1} = \overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-3-2)\hat{i} + (4-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = -5\hat{i} + \hat{j} - 7\hat{k}$.
બીજો વિકર્ણ $\overrightarrow{d_2} = \overrightarrow{BD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD}$ શોધો:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 1 & -7 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-14)) - \hat{j}(-15 - (-7)) + \hat{k}(-10 - 1) = 17\hat{i} + 8\hat{j} - 11\hat{k}$.
તેનું માન $|17\hat{i} + 8\hat{j} - 11\hat{k}| = \sqrt{17^2 + 8^2 + (-11)^2} = \sqrt{289 + 64 + 121} = \sqrt{474}$ છે.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{474}$ થાય.

(B) આપણને લક્ષ $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{e^{x^2}-1}$ આપેલ છે.
આ પદને આપણે $\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \cdot \frac{x^2}{e^{x^2}-1}$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2} = 1$,તેથી $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{e^{x^2}-1} = 1$ થાય.
હવે,પ્રથમ ભાગ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x}$ (જે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે) માટે એલ-હોસ્પિટલનો નિયમ વાપરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) dt}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1} = f(0)$.
$f(0) = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,આપણને $\alpha = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
અંતે,$8 \alpha^2 = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8 \times \frac{1}{4} = 2$ થાય.

(B) પ્રથમ રેખાઓની જોડી માટે:
$L_1: \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12} \implies \vec{a}_1 = (-1, 0, 0), \vec{b}_1 = (1, 1/2, -1/12)$
$L_2: \frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6} \implies \vec{a}_2 = (0, -2, 1), \vec{b}_2 = (1, 1, 1/6)$
લઘુત્તમ અંતર $d_1 = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} = 2$.
બીજી રેખાઓની જોડી માટે:
$L_3: \frac{x-1}{2} = \frac{y+8}{-7} = \frac{z-4}{5}, \vec{a}_3 = (1, -8, 4), \vec{b}_3 = (2, -7, 5)$
$L_4: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-6}{-3}, \vec{a}_4 = (1, 2, 6), \vec{b}_4 = (2, 1, -3)$
લઘુત્તમ અંતર $d_2 = \frac{|(\vec{a}_4 - \vec{a}_3) \cdot (\vec{b}_3 \times \vec{b}_4)|}{|\vec{b}_3 \times \vec{b}_4|} = \frac{12}{\sqrt{3}}$.
અંતિમ કિંમતની ગણતરી:
$\frac{32 \sqrt{3} d_1}{d_2} = \frac{32 \sqrt{3} \times 2}{12/\sqrt{3}} = \frac{64 \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{12} = \frac{64 \times 3}{12} = \frac{192}{12} = 16$.

(D) ગણ $A$ માં $7$ ઘટકો છે,તેથી ઘાતગણ $P(A)$ માં $2^7 = 128$ ઘટકો છે.
દરેક ઘટક $a \in A$ માટે,આપણે એવો ઉપગણ $f(a) \subseteq A$ પસંદ કરવો પડે કે જેથી $a \in f(a)$ થાય.
$A$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા જેમાં ચોક્કસ ઘટક $a$ હોય તે $2^{7-1} = 2^6 = 64$ છે.
$A$ માં $7$ ઘટકો હોવાથી,દરેક ઘટક $a$ માટે $f(a)$ પસંદ કરવાના $2^6$ વિકલ્પો છે,તેથી આવા કુલ વિધેયોની સંખ્યા $(2^6)^7 = 2^{42}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે વિધેયોની સંખ્યા $m^n$ છે જ્યાં $m$ ન્યૂનતમ છે.
$2^{42} = 2^{42}$ હોવાથી,ન્યૂનતમ આધાર $m = 2$ અને $n = 42$ મળે.
તેથી,$m + n = 2 + 42 = 44$.

(A) ધારો કે $f(x) = \sqrt{\frac{10x}{x+1}} = \sqrt{10 - \frac{10}{x+1}}$.
જેમ $x$ એ $0$ થી $9$ સુધી વધે છે,તેમ $f(x)$ એ $0$ થી $3$ સુધી વધે છે.
$[f(x)]$ નું મૂલ્ય ત્યારે બદલાય છે જ્યારે $f(x) = k$ હોય,જ્યાં $k \in \{1, 2, 3\}$.
$f(x) = 1$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$.
$f(x) = 2$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
$f(x) = 3$ માટે: $\frac{10x}{x+1} = 9 \Rightarrow x = 9$.
આમ,સંકલન $I = 9 \int_0^9 [f(x)] dx$ નીચે મુજબ થશે:
$I = 9 \left( \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^9 2 dx \right)$.
$I = 9 \left( 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) \right)$.
$I = 9 \left( \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) \right) = 9 \left( \frac{5}{9} + \frac{50}{3} \right) = 5 + 150 = 155$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ છે.
$(1-x^2) dx$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}}{1-x^2}$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{x}{1-x^2}$ અને $Q(x) = \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{x}{1-x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + C = \sqrt{3} \int (x^3+2) dx + C$.
$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x) + C$.
$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \sqrt{3}(0) + C$,તેથી $C=0$.
આમ,$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x)$.
$x = 1/2$ માટે,$y \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3} (\frac{(1/2)^4}{4} + 2(1/2)) = \sqrt{3} (\frac{1}{64} + 1) = \sqrt{3} (\frac{65}{64})$.
$y \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \frac{65}{64}$.
$y = \frac{65}{32}$.
અહીં $m=65$ અને $n=32$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેથી $m+n = 65+32 = 97$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & , x \geq 2 \\ ax^2 + 2b & , -2 < x < 2 \\ -\frac{1}{x} & , x \leq -2 \end{cases}$.
$f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય હોવા માટે,તે $x = 2$ અને $x = -2$ આગળ સતત અને વિકલનીય હોવું જોઈએ.
$x = 2$ આગળ સાતત્ય માટે,$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$.
$\frac{1}{2} = a(2)^2 + 2b \Rightarrow 4a + 2b = \frac{1}{2} \Rightarrow 8a + 4b = 1$.
$x = 2$ આગળ વિકલનીયતા માટે,$f'(2^+) = f'(2^-)$.
$x > 2$ માટે $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ અને $-2 < x < 2$ માટે $f'(x) = 2ax$.
$-\frac{1}{2^2} = 2a(2) \Rightarrow -\frac{1}{4} = 4a \Rightarrow a = -\frac{1}{16}$.
$a = -\frac{1}{16}$ ને $8a + 4b = 1$ માં મૂકતા:
$8(-\frac{1}{16}) + 4b = 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} + 4b = 1 \Rightarrow 4b = \frac{3}{2} \Rightarrow b = \frac{3}{8}$.
હવે,$48(a+b)$ ની ગણતરી કરતા:
$48(-\frac{1}{16} + \frac{3}{8}) = 48(\frac{-1+6}{16}) = 48(\frac{5}{16}) = 3 \times 5 = 15$.

(D) સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$ છે.
સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે તે માટે $\det(A) \neq 0$ હોવું જોઈએ.
$\det(A) = 1(2\lambda - 3\lambda^2) - 1(\lambda - \lambda^2) + 1(3 - 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1 = -(2\lambda+1)(\lambda-1)$.
આમ,$\det(A) = 0$ જ્યારે $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -1/2$ હોય.
જો $\lambda \neq 1$ અને $\lambda \neq -1/2$ હોય,તો કોઈપણ $\mu$ માટે સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
જો $\lambda = 1$ હોય,તો સમીકરણો $x+y+z=5$,$x+2y+z=9$,અને $x+3y+z=\mu$ બને છે. પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા $y=4$ મળે છે. બીજાને ત્રીજામાંથી બાદ કરતા $y=\mu-9$ મળે છે. તેથી,$4 = \mu-9 \Rightarrow \mu=13$. જો $\mu=13$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે. જો $\mu \neq 13$ હોય,તો કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
વિકલ્પ $D$ કહે છે કે જો $\lambda \neq 1$ અને $\mu \neq 13$ હોય તો અનન્ય ઉકેલ મળે છે. આ ખોટું છે કારણ કે જો $\lambda = -1/2$ હોય,તો $\mu$ ની કોઈપણ કિંમત માટે અનન્ય ઉકેલ મળતો નથી.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 1 + \alpha^2 + \beta^2$.
આપેલ છે કે $|\vec{b}|^2 = 6$,તેથી $|\vec{b}| = \sqrt{6}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ છે.
અદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 3\sqrt{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $|\vec{a}| \cdot \sqrt{6} \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = 3\sqrt{2}$.
$|\vec{a}| \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \implies |\vec{a}| \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{2} \implies |\vec{a}| = \sqrt{6}$.
આમ,$|\vec{a}|^2 = 6$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \alpha^2 + \beta^2 = 6$,તેથી $\alpha^2 + \beta^2 = 5$.
હવે,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ ની ગણતરી કરીએ.
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (6)(6) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 36 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.
અંતે,$(\alpha^2 + \beta^2) |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (5)(18) = 90$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=(x+3)^2(x-2)^3$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}[(x+3)^2(x-2)^3]$
$f^{\prime}(x) = 2(x+3)(x-2)^3 + 3(x-2)^2(x+3)^2$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 [2(x-2) + 3(x+3)]$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 [2x - 4 + 3x + 9]$
$f^{\prime}(x) = (x+3)(x-2)^2 (5x + 5)$
$f^{\prime}(x) = 5(x+3)(x-2)^2 (x+1)$
$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -3, -1, 2$ મળે છે.
હવે,આપણે અંતરાલ $[-4, 4]$ ના ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-4) = (-4+3)^2(-4-2)^3 = (-1)^2(-6)^3 = 1 \times (-216) = -216$
$f(-3) = (-3+3)^2(-3-2)^3 = 0$
$f(-1) = (-1+3)^2(-1-2)^3 = (2)^2(-3)^3 = 4 \times (-27) = -108$
$f(2) = (2+3)^2(2-2)^3 = 0$
$f(4) = (4+3)^2(4-2)^3 = (7)^2(2)^3 = 49 \times 8 = 392$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $M = 392$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $m = -216$ મળે છે.
તેથી,$M - m = 392 - (-216) = 392 + 216 = 608$.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{b}|=1$ અને $|\vec{b} \times \vec{a}|=2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{a}$ બંનેને લંબ સદિશ છે.
તેથી,$(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$.
આપણે $|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ગુણધર્મ $|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = |\vec{b} \times \vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2((\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b})$.
કારણ કે $(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$,તેથી પદ આ મુજબ સરળ બને છે:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = |\vec{b} \times \vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{b}|^2 = (2)^2 + (1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(B) આપેલ છે $y=f(x)$,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ છે.
$x=1$ આગળ,$f'(1) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x=3$ આગળ,$f'(3) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સંકલન $I = \int_1^3 ((f'(t))^2 + 1) f''(t) dt$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $z = f'(t)$,તો $dz = f''(t) dt$.
જ્યારે $t=1$,$z = f'(1) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
જ્યારે $t=3$,$z = f'(3) = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{1/\sqrt{3}}^1 (z^2 + 1) dz = \left[ \frac{z^3}{3} + z \right]_{1/\sqrt{3}}^1$
$I = (\frac{1}{3} + 1) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}})$
$I = \frac{4}{3} - (\frac{1}{9\sqrt{3}} + \frac{3}{3\sqrt{3}}) = \frac{4}{3} - \frac{10}{9\sqrt{3}} = \frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}$.
હવે,$27I = 27(\frac{4}{3} - \frac{10\sqrt{3}}{27}) = 36 - 10\sqrt{3}$.
$\alpha + \beta\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 36$ અને $\beta = -10$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 36 - 10 = 26$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $A$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $B$ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
ધારો કે $E$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલીઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ છે.
થેલી $A$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|E_1) = \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}$ છે.
થેલી $B$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(E|E_2) = \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો કાઢવામાં આવેલ દડો સફેદ હોય તો તે થેલી $A$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|E) = \frac{P(E_1) \cdot P(E|E_1)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{10}}{\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{5}}$
$P(E_1|E) = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{3}{20} + \frac{3}{10}} = \frac{\frac{3}{20}}{\frac{3+6}{20}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$.
$f(0)=-1 \Rightarrow a+b=-1 \quad (1)$
$f^{\prime}(x)=2 a e^{2 x}+b e^x+c$.
$f^{\prime}(\ln 2)=2 a(4)+b(2)+c=8 a+2 b+c=21 \quad (2)$
આપેલ છે કે $\int_0^{\ln 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$.
$\int_0^{\ln 4}(a e^{2 x}+b e^x) d x=\left[\frac{a e^{2 x}}{2}+b e^x\right]_0^{\ln 4}=\frac{39}{2}$.
$\left(\frac{a(16)}{2}+b(4)\right)-\left(\frac{a}{2}+b\right)=\frac{39}{2}$.
$8 a+4 b-\frac{a}{2}-b=\frac{39}{2} \Rightarrow \frac{15 a}{2}+3 b=\frac{39}{2} \Rightarrow 15 a+6 b=39 \Rightarrow 5 a+2 b=13 \quad (3)$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$b=-1-a$. તેને $(3)$ માં મૂકતા:
$5 a+2(-1-a)=13 \Rightarrow 3 a-2=13 \Rightarrow 3 a=15 \Rightarrow a=5$.
તેથી $b=-1-5=-6$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$8(5)+2(-6)+c=21 \Rightarrow 40-12+c=21 \Rightarrow 28+c=21 \Rightarrow c=-7$.
આમ,$a+b+c=5-6-7=-8$.
તેથી,$|a+b+c|=|-8|=8$.

(A) આપેલ છે કે $L_1$ એ $L_2$ ને લંબ છે. દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + p\hat{k}$ છે.
$L_1 \perp L_2$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(1)(3) + (-1)(1) + (2)(p) = 0$.
$3 - 1 + 2p = 0 \implies 2p = -2 \implies p = -1$.
રેખા $L_3$ એ $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ છે,તેથી તેનો દિશા સદિશ $\vec{v_3}$ એ $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 2) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$.
આમ,$L_3$ નું સમીકરણ $\overrightarrow{r} = \delta(-\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k})$ છે.
$L_3$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-\delta, 7\delta, 4\delta)$ સ્વરૂપનું હોય.
$\delta = 1$ માટે,બિંદુ $(-1, 7, 4)$ મળે છે.

(D) $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય હોવા માટે,તે $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ.
તેથી,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 1^2 + 3(1) + a = b(1) + 2 \implies 4 + a = b + 2 \implies a = b - 2$.
વળી,$x = 1$ આગળ વિકલિત અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ.
$x < 1$ માટે $f'(x) = 2x + 3$ અને $x > 1$ માટે $f'(x) = b$.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા માટે,$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2(1) + 3 = b \implies b = 5$.
$a = b - 2$ માં $b = 5$ મૂકતા,આપણને $a = 3$ મળે છે.
હવે,સંકલન ગણીએ:
$\int_{-2}^2 f(x) dx = \int_{-2}^1 (x^2 + 3x + 3) dx + \int_1^2 (5x + 2) dx$.
$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 3x \right]_{-2}^1 + \left[ \frac{5x^2}{2} + 2x \right]_1^2$.
$= \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 3 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 6 - 6 \right) + \left( (10 + 4) - (\frac{5}{2} + 2) \right)$.
$= (\frac{2 + 9 + 18}{6}) - (-\frac{8}{3}) + (14 - \frac{9}{2}) = \frac{29}{6} + \frac{16}{6} + \frac{19}{2} = \frac{45}{6} + \frac{57}{6} = \frac{102}{6} = 17$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ છે.
$x=y=1$ લેતા,આપણને $f(1) = \frac{f(1)}{f(1)} = 1$ મળે છે.
હવે,આપેલ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$f^{\prime}\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}$.
સમીકરણમાં $y=x$ મૂકતા:
$f^{\prime}(1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
$f^{\prime}(1) = 2024$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$2024 \cdot \frac{1}{x} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x f^{\prime}(x) = 2024 f(x)$,
જેનો અર્થ છે કે $x f^{\prime}(x) - 2024 f(x) = 0$.

(B) વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણે નીચેની શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ:
$1$) $\frac{2x+3}{4x^2+x-3} > 0$
$2$) $-1 \leq \frac{2x-1}{x+2} \leq 1$
પગલું $1$: $\frac{2x+3}{(4x-3)(x+1)} > 0$ ઉકેલો.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -3/2, -1, 3/4$ છે. વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,ઉકેલ $x \in (-3/2, -1) \cup (3/4, \infty)$ મળે છે.
પગલું $2$: $-1 \leq \frac{2x-1}{x+2} \leq 1$ ઉકેલો.
ભાગ $A$: $\frac{2x-1}{x+2} + 1 \geq 0 \implies \frac{3x+1}{x+2} \geq 0$. ઉકેલ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1/3, \infty)$.
ભાગ $B$: $\frac{2x-1}{x+2} - 1 \leq 0 \implies \frac{x-3}{x+2} \leq 0$. ઉકેલ: $x \in (-2, 3]$.
ભાગ $A$ અને ભાગ $B$ નો છેદગણ: $x \in [-1/3, 3]$.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ નો છેદગણ શોધો.
$((-3/2, -1) \cup (3/4, \infty)) \cap [-1/3, 3] = (3/4, 3]$.
આમ,$\alpha = 3/4$ અને $\beta = 3$.
પગલું $4$: $5\beta - 4\alpha$ ની ગણતરી કરો.
$5(3) - 4(3/4) = 15 - 3 = 12$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}$.
પ્રથમ,$f(f(x)) = \frac{f(x)}{(1+f(x)^4)^{1/4}} = \frac{\frac{x}{(1+x^4)^{1/4}}}{(1+\frac{x^4}{1+x^4})^{1/4}} = \frac{x}{(1+2x^4)^{1/4}}$ મેળવીએ.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$g(x) = f(f(f(f(x)))) = \frac{x}{(1+4x^4)^{1/4}}$.
આપણે $I = 18 \int_0^{\sqrt{2\sqrt{5}}} \frac{x^4}{(1+4x^4)^{1/4}} dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
ધારો કે $1+4x^4 = t^4$,તેથી $16x^3 dx = 4t^3 dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^3 dx = \frac{1}{4} t^3 dt$.
જ્યારે $x=0$,ત્યારે $t=1$. જ્યારે $x=\sqrt{2\sqrt{5}}$,ત્યારે $x^4 = 4(5) = 20$,તેથી $t^4 = 1+4(20) = 81$,એટલે કે $t=3$.
$I = 18 \int_1^3 \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{4} t^3 dt = \frac{18}{4} \int_1^3 t^2 dt = \frac{9}{2} [\frac{t^3}{3}]_1^3 = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} (27-1) = \frac{3}{2} (26) = 39$.

(C) આપેલ છે કે $x \sin \theta = y \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = \lambda \neq 0$.
કારણ કે $\sin \theta + \sin \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \sin \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = 0$,તેથી $x = \frac{\lambda}{\sin \theta}$,$y = \frac{\lambda}{\sin(\theta + 2\pi/3)}$,$z = \frac{\lambda}{\sin(\theta + 4\pi/3)}$.
$\text{Trace}(R) = x + y + z = \lambda \left( \frac{1}{\sin \theta} + \frac{1}{\sin(\theta + 2\pi/3)} + \frac{1}{\sin(\theta + 4\pi/3)} \right) = \frac{3\lambda}{\sin(3\theta)} \neq 0$.
આમ,વિધાન $(I)$ ખોટું છે.
વિધાન $(II)$ માટે,$\text{adj}(\text{adj}(R)) = |R| R = (xyz) R = \begin{bmatrix} x^2yz & 0 & 0 \\ 0 & xy^2z & 0 \\ 0 & 0 & xyz^2 \end{bmatrix}$.
$\text{Trace}(\text{adj}(\text{adj}(R))) = xyz(x+y+z)$. કારણ કે $x, y, z \neq 0$ અને $x+y+z \neq 0$,તેથી ટ્રેસ શૂન્ય નથી.
શરતી વિધાન "જો $P$,તો $Q$" સાચું હોય છે જો $P$ ખોટું હોય. અહીં પૂર્વધારણા "trace$(\text{adj}(\text{adj}(R))) = 0$" ખોટી હોવાથી,વિધાન $(II)$ ખાલી રીતે (vacuously) સાચું છે.

(A) બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ છે.
$X=0$ માટે,$Y=y-x Y^{\prime}(x)$.
$Y=0$ માટે,$X=x-\frac{y}{Y^{\prime}(x)}$.
સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \left| x - \frac{y}{Y^{\prime}(x)} \right| \left| y - x Y^{\prime}(x) \right|$ છે.
વક્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી અને ક્ષેત્રફળ $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ આપેલ હોવાથી:
$A = \frac{1}{2} \left( \frac{x Y^{\prime}(x) - y}{Y^{\prime}(x)} \right) (y - x Y^{\prime}(x)) = \frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)} + 1$.
$2 Y^{\prime}(x)$ વડે ગુણતા:
$-(y - x Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.
$-y^2 + 2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.
$2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = 2 Y^{\prime}(x)$.
$Y^{\prime}(x) \neq 0$ હોવાથી,$Y^{\prime}(x)$ વડે ભાગતા:
$2xy - x^2 Y^{\prime}(x) = 2$.
$Y^{\prime}(x) = \frac{2xy - 2}{x^2} = \frac{2y}{x} - \frac{2}{x^2}$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x} y = -\frac{2}{x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.
ઉકેલ $y \cdot \frac{1}{x^2} = \int \left( -\frac{2}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} \right) dx = \int -2 x^{-4} dx = \frac{2}{3} x^{-3} + C$.
$y = \frac{2}{3x} + C x^2$.
$Y(1)=1$ આપેલ છે,તેથી $1 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.
આમ,$Y(x) = \frac{2}{3x} + \frac{x^2}{3}$.
$Y(2) = \frac{2}{3(2)} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$.
$12 Y(2) = 12 \times \frac{5}{3} = 20$.

(B) ધારો કે $L_1$ પરનું બિંદુ $M$ એ $(3\lambda+1, 2\lambda+2, -2\lambda-1)$ છે.
તેથી $\alpha+\beta+\gamma = (3\lambda+1) + (2\lambda+2) + (-2\lambda-1) = 3\lambda+2$.
ધારો કે $L_2$ પરનું બિંદુ $N$ એ $(-3\mu-2, -2\mu+2, 4\mu+1)$ છે.
તેથી $a+b+c = (-3\mu-2) + (-2\mu+2) + (4\mu+1) = -\mu+1$.
આ રેખા બિંદુ $P(-1, 2, 3)$,$M$ અને $N$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,સદિશો $\vec{PM}$ અને $\vec{PN}$ સમરેખ છે.
$\vec{PM} = (3\lambda+2, 2\lambda, -2\lambda-4)$ અને $\vec{PN} = (-3\mu-1, -2\mu, 4\mu-2)$.
તેઓ સમરેખ હોવાથી,$\frac{3\lambda+2}{-3\mu-1} = \frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{-2\lambda-4}{4\mu-2}$.
$\frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{3\lambda+2}{-3\mu-1}$ પરથી,આપણને મળે $\lambda(-3\mu-1) = -\mu(3\lambda+2) \Rightarrow -3\lambda\mu - \lambda = -3\lambda\mu - 2\mu \Rightarrow \lambda = 2\mu$.
$\frac{2\lambda}{-2\mu} = \frac{-2\lambda-4}{4\mu-2}$ પરથી,આપણને મળે $\frac{\lambda}{-\mu} = \frac{-\lambda-2}{2\mu-1} \Rightarrow 2\lambda\mu - \lambda = \lambda\mu + 2\mu \Rightarrow \lambda\mu = \lambda + 2\mu$.
$\lambda = 2\mu$ મૂકતા,આપણને મળે $(2\mu)\mu = 2\mu + 2\mu \Rightarrow 2\mu^2 = 4\mu \Rightarrow \mu = 2$ (કારણ કે $\mu \neq 0$).
તેથી $\lambda = 4$.
આમ,$\alpha+\beta+\gamma = 3(4)+2 = 14$ અને $a+b+c = -(2)+1 = -1$.
તેથી,$\frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2}{(a+b+c)^2} = \frac{14^2}{(-1)^2} = 196$.