JEE Main 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है $t_r = n t_s$,इसलिए $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(D) चींटी का स्थिति सदिश $\vec{S} = 2t^2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ द्वारा दिया गया है।
वेग $\vec{v}$ स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{v} = \frac{d\vec{S}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 \hat{j} + 5 \hat{k}) = 4t \hat{j}$।
$t = 1 \ s$ पर,वेग $\vec{v} = 4(1) \hat{j} = 4 \hat{j} \ m/s$ होगा।
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = 4 \ m/s$ है।
इसकी दिशा धनात्मक $y$-अक्ष की ओर है (जो इकाई सदिश $\hat{j}$ द्वारा दर्शाया गया है)।

(B) कथन $(I)$ गलत है क्योंकि गैसों की श्यानता सामान्यतः द्रवों की तुलना में बहुत कम होती है। गैसों में श्यानता आणविक टक्करों द्वारा संवेग के स्थानांतरण के कारण उत्पन्न होती है,जबकि द्रवों में यह अणुओं के बीच ससंजक बलों (cohesive forces) के कारण उत्पन्न होती है।
कथन $(II)$ सही है क्योंकि अघुलनशील अशुद्धियों (जैसे धूल या कुछ तेल) की उपस्थिति सतह पर ससंजक बलों को कम कर देती है,जिससे द्रव का पृष्ठ तनाव कम हो जाता है।

(D) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि $M$ स्थिर है,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ होगा।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है और अंतिम त्रिज्या $R_2 = \frac{R}{2}$ है।
अतः,नए त्वरण $g_2$ और प्रारंभिक त्वरण $g_1$ का अनुपात होगा:
$\frac{g_2}{g_1} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{R^2}{(R/2)^2} = \frac{R^2}{R^2/4} = 4$.
इसलिए,$g_2 = 4g_1 = 4g$ होगा।

(B) रेल के बैंकिंग के लिए, बैंकिंग कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: गति $v = 12 \,m/s$, त्रिज्या $R = 400 \,m$, पटरियों के बीच की दूरी $d = 1.5 \,m$, और $g = 10 \,m/s^2$.
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{12^2}{400 \times 10} = \frac{144}{4000} = 0.036$.
बैंकिंग ट्रैक की ज्यामिति से, $\tan \theta = \frac{h}{d}$, जहाँ $h$ बाहरी पटरी की ऊंचाई है।
अतः, $h = d \times \tan \theta = 1.5 \,m \times 0.036 = 0.054 \,m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $h = 0.054 \times 100 \,cm = 5.4 \,cm$.

(B) स्फेरोमीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग गोलाकार सतह (अवतल या उत्तल) की वक्रता त्रिज्या या पतली प्लेट की मोटाई को सटीक रूप से मापने के लिए किया जाता है। यह स्क्रू गेज के सिद्धांत पर कार्य करता है। द्रवों का विशिष्ट घूर्णन (Specific rotation) पोलारिमीटर का उपयोग करके मापा जाता है,स्फेरोमीटर का नहीं। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ का उसके रैखिक संवेग $P$ और द्रव्यमान $m$ के साथ संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है, इसलिए $K_1 = K_2$ होगा।
अतः, $\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$।
संवेग के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, $\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$।
दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 4 \,g$ और $m_2 = 25 \,g$ का मान रखने पर, $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, उनके रैखिक संवेग का अनुपात $2: 5$ है।

(C) स्थिर आयतन पर होने वाली प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = 0$ होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,इसलिए $\Delta Q = \Delta U$।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = m \cdot c_v \cdot \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$m = 0.08 \text{ kg}$
$c_v = 0.17 \text{ kcal/kg}^{\circ} \text{C} = 0.17 \times 1000 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C} = 170 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C}$
$\Delta T = 5^{\circ} \text{C}$
$J = 4.18 \text{ J/cal}$
मान रखने पर:
$\Delta U = 0.08 \text{ kg} \times 170 \text{ cal/kg}^{\circ} \text{C} \times 5^{\circ} \text{C} \times 4.18 \text{ J/cal}$
$\Delta U = 0.08 \times 170 \times 5 \times 4.18 \text{ J}$
$\Delta U = 68 \times 4.18 \text{ J}$
$\Delta U = 284.24 \text{ J}$
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन लगभग $284 \text{ J}$ है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m_1 \times v_1 = 1000 \text{ kg} \times 6 \text{ m/s} = 6000 \text{ kg m/s}$.
अंतिम द्रव्यमान $m_f = 1000 \text{ kg} + 200 \text{ kg} = 1200 \text{ kg}$.
माना अंतिम वेग $v_f$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_f \times v_f = 1200 \text{ kg} \times v_f$.
चूंकि $P_i = P_f$,इसलिए $6000 = 1200 \times v_f$.
$v_f = \frac{6000}{1200} = 5 \text{ m/s}$.

(A) प्लांक नियतांक $(h)$ का विमीय सूत्र $[h] = ML^2 T^{-1}$ है।
कोणीय संवेग $(L)$ का विमीय सूत्र $[L] = ML^2 T^{-1}$ है।
चूँकि दोनों की विमाएँ समान हैं,इसलिए कथन $I$ सत्य है।
रैखिक संवेग $(P)$ का विमीय सूत्र $[P] = MLT^{-1}$ है।
बल आघूर्ण $(\tau)$ का विमीय सूत्र $[\tau] = ML^2 T^{-2}$ है।
चूँकि ये विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
अतः,कथन $I$ सत्य है लेकिन कथन $II$ असत्य है।

(B) एक परमाण्विक अणु के लिए स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 3$ होती है।
औसत गतिज ऊर्जा $K_{avg}$ का सूत्र है:
$K_{avg} = \frac{3}{2} K_{B} T$
दिया गया है:
$K_{avg} = 0.414 eV = 0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} J$
$K_{B} = 1.38 \times 10^{-23} J/K$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{0.414 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{1.3248 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}}$
$T = 0.32 \times 10^4 K = 3200 K$
अतः,तापमान $3200 K$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 5 \hat{i} \text{ m/s}$,त्वरण $\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ m/s}^2$,और विस्थापन $x = 84 \text{ m}$।
सबसे पहले,$x$-अक्ष के अनुदिश गति पर विचार करें: $u_x = 5 \text{ m/s}$,$a_x = 3 \text{ m/s}^2$,$x = 84 \text{ m}$।
समीकरण $v_x^2 - u_x^2 = 2 a_x x$ का उपयोग करते हुए:
$v_x^2 - 5^2 = 2(3)(84)$
$v_x^2 - 25 = 504$
$v_x^2 = 529 \implies v_x = 23 \text{ m/s}$।
अब,$v_x = u_x + a_x t$ का उपयोग करके समय $t$ ज्ञात करें:
$23 = 5 + 3t \implies 3t = 18 \implies t = 6 \text{ s}$।
अब,$y$-अक्ष के अनुदिश गति पर विचार करें: $u_y = 0$,$a_y = 2 \text{ m/s}^2$,$t = 6 \text{ s}$।
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 2(6) = 12 \text{ m/s}$।
चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा दी जाती है:
$v = \sqrt{23^2 + 12^2} = \sqrt{529 + 144} = \sqrt{673} \text{ m/s}$।
इसे $\sqrt{\alpha}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 673$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है और वर्ग की भुजा $a = 2 \ m$ है।
माना घूर्णन अक्ष एक शीर्ष (माना ऊपर का दायां कोना) से होकर गुजरती है और वर्ग के तल के लंबवत है।
इस अक्ष से चारों कणों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$1$. अक्ष पर स्थित कण: $r_1 = 0$
$2$. दो निकटवर्ती कण: $r_2 = r_3 = a = 2 \ m$
$3$. विकर्ण के विपरीत स्थित कण: $r_4 = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ m$
जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र $I = \sum m_i r_i^2 = m(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2)$ है।
$I = 1 \times (0^2 + 2^2 + 2^2 + (2\sqrt{2})^2)$
$I = 1 \times (0 + 4 + 4 + 8) = 16 \ kg \ m^2$.

(C) सरल आवर्त गति में माध्य स्थिति पर कण का वेग $V_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = 4 \ cm$ और $V_{max} = 10 \ cm/s$ दिया गया है,इसलिए $10 = 4\omega$,जिससे $\omega = 2.5 \ rad/s$ प्राप्त होता है।
माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर वेग $V$ का सूत्र $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $5 = 2.5 \sqrt{4^2 - x^2}$.
$2.5$ से भाग देने पर: $2 = \sqrt{16 - x^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = 16 - x^2$.
अतः,$x^2 = 12$,जिसका अर्थ है कि $x = \sqrt{12} \ cm$.
इसकी तुलना $\sqrt{\alpha} \ cm$ से करने पर,हमें $\alpha = 12$ प्राप्त होता है।

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समुद्र के तल पर दबाव हाइड्रोस्टेटिक दबाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = \rho g h$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta P = 1000 \ kg m^{-3} \times 10 \ m s^{-2} \times 4000 \ m = 4 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
भिन्नात्मक संपीड़न $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta P}{B}$ है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{4 \times 10^7}{2 \times 10^9} = 2 \times 10^{-2}$.
इसकी तुलना $\alpha \times 10^{-2}$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(B) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,समीकरण में जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. $(P + \frac{a}{V^2})$ पद में,$P$ की विमाएँ $\frac{a}{V^2}$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [\frac{a}{V^2}] \Rightarrow [a] = [P][V^2] = [P][L^6]$.
$2$. $(V - b)$ पद में,$V$ की विमाएँ $b$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[b] = [V] = [L^3] \Rightarrow [b^2] = [V^2] = [L^6]$.
$3$. अब,$\frac{a}{b^2}$ की विमाएँ ज्ञात कीजिए:
$[\frac{a}{b^2}] = \frac{[P][V^2]}{[V^2]} = [P]$.
अतः,$\frac{a}{b^2}$ की विमाएँ दाब $P$ की विमाओं के समान हैं।

(B) कोणीय गति $\omega$ को सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ परिक्रमण काल है।
इसका अर्थ है कि $\omega \propto \frac{1}{T}$।
पृथ्वी के चारों ओर घूमने वाले चंद्रमा का परिक्रमण काल $T_{\text{moon}} \approx 27.3 \text{ दिन}$ है।
सूर्य के चारों ओर घूमने वाली पृथ्वी का परिक्रमण काल $T_{\text{earth}} \approx 365.25 \text{ दिन}$ है।
चूंकि $T_{\text{moon}} < T_{\text{earth}}$,इसलिए $\omega_{\text{moon}} > \omega_{\text{earth}}$ होता है।
अतः,अभिकथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सही हैं,और कारण $(R)$ सही व्याख्या करता है कि चंद्रमा की कोणीय गति अधिक क्यों है।

(B) घर्षण के नियम बताते हैं कि घर्षण बल सामान्यतः दिए गए अभिलंब बल के लिए संपर्क के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है।
कथन $(I)$ गलत है क्योंकि स्थैतिक घर्षण का सीमांत बल संपर्क के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है और संपर्क में मौजूद पदार्थों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
कथन $(II)$ सही है क्योंकि गतिज घर्षण का बल संपर्क के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है और संपर्क में मौजूद पदार्थों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
अतः,कथन $I$ गलत है और कथन $II$ सही है।

(B) निम्नतम स्थिति में,वेग $v$ है। त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्री है,जो $a_{low} = \frac{v^2}{\ell}$ द्वारा दिया जाता है।
चरम स्थिति में,वेग शून्य है। त्वरण पूरी तरह से स्पर्शरेखीय है,जो $a_{ext} = g \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
निम्नतम बिंदु और चरम बिंदु के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} mv^2 = mg \ell(1 - \cos \theta) \Rightarrow \frac{v^2}{\ell} = 2g(1 - \cos \theta)$.
यह दिया गया है कि त्वरण के परिमाण समान हैं:
$a_{low} = a_{ext} \Rightarrow \frac{v^2}{\ell} = g \sin \theta$.
$\frac{v^2}{\ell}$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$2g(1 - \cos \theta) = g \sin \theta \Rightarrow 2(1 - \cos \theta) = \sin \theta$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ और $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$2(2 \sin^2(\theta/2)) = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$.
$2 \sin(\theta/2)$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\theta \neq 0$):
$2 \sin(\theta/2) = \cos(\theta/2) \Rightarrow \tan(\theta/2) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।

(C) एक आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $K.E. = \frac{f}{2} nRT$।
ऑक्सीजन $(O_2)$ जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए,कमरे के तापमान पर स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ होती है।
दिया गया है:
मोल की संख्या $(n)$ = $1 \ mol$
तापमान $(T)$ = $27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ = $8.31 \ J/mol \cdot K$
सूत्र में मान रखने पर:
$K.E. = \frac{5}{2} \times 1 \times 8.31 \times 300$
$K.E. = 5 \times 8.31 \times 150$
$K.E. = 6232.5 \ J$

(D) $1$. अभिकथन $(A)$: धनात्मक शून्य त्रुटि का अर्थ है कि जब जबड़े बंद होते हैं,तो वर्नियर स्केल का शून्य मुख्य स्केल के शून्य के दाईं ओर होता है। सही माप प्राप्त करने के लिए,हम प्रेक्षित पाठ्यांक से शून्य त्रुटि को घटाते हैं। इसलिए,प्रेक्षित पाठ्यांक वास्तव में वास्तविक पाठ्यांक से अधिक होता है। अतः,अभिकथन $(A)$ गलत है।
$2$. कारण $(R)$: वर्नियर कैलीपर्स में शून्य त्रुटि वास्तव में विनिर्माण दोष या गलत तरीके से उपयोग करने के कारण होने वाली टूट-फूट के कारण होती है। यह कथन सही है।
$3$. निष्कर्ष: चूंकि $(A)$ गलत है और $(R)$ सही है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $P \propto T^3$,इसलिए $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2}$.
अतः,अनुपात $\frac{C_p}{C_v} = \gamma = \frac{3}{2}$ है।

(C) अभिकथन $(A)$ प्रत्यास्थता को उस गुण के रूप में सही ढंग से परिभाषित करता है जिसके द्वारा कोई वस्तु विरूपक बल को हटाने के बाद अपना मूल आकार और आकृति पुनः प्राप्त कर लेती है।
कारण $(R)$ सही ढंग से बताता है कि प्रत्यानयन बल,जो वस्तु को उसकी मूल स्थिति में वापस लाता है,ठोस पदार्थ के भीतर अंतर-आणविक और अंतर-परमाणु बलों के कारण उत्पन्न होता है।
चूंकि प्रत्यानयन बल वह भौतिक तंत्र है जो प्रत्यास्थता के गुण को सक्षम बनाता है,इसलिए कारण $(R)$,अभिकथन $(A)$ की सही व्याख्या है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना छड़ की लंबाई $L$ है। छड़ का भार $W = mg = 12 \times g = 120 \,N$ ($g = 10 \,m/s^2$ लेते हुए) है, जो द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है, जो जमीन पर स्थित सिरे $(O)$ से $L/2$ की दूरी पर है।
घूर्णी संतुलन के लिए, बिंदु $O$ के परितः कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए:
$\sum \tau_O = 0$
$(W \cos 60^{\circ}) \times (L/2) - N_2 \times L = 0$
यहाँ, $N_2$ आदमी के कंधे द्वारा छड़ पर लगाया गया अभिलंब बल है, जो छड़ के लंबवत है।
मान रखने पर:
$120 \times (1/2) \times (L/2) = N_2 \times L$
$30 \times L = N_2 \times L$
$N_2 = 30 \,N$
चूंकि $W = mg = 120 \,N$, आदमी द्वारा अनुभव किया गया भार द्रव्यमान के रूप में $m_{eff} = N_2 / g = 30 / 10 = 3 \,kg$ होगा।

(C) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और स्थिर मंदन $a$ है। गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$4 \ cm = 4 \times 10^{-2} \ m$ की दूरी तय करने के बाद,वेग $v_1 = u - \frac{1}{3}u = \frac{2}{3}u$ हो जाता है।
समीकरण में मान रखने पर: $(\frac{2}{3}u)^2 - u^2 = 2(-a)(4 \times 10^{-2})$
$\frac{4}{9}u^2 - u^2 = -8a \times 10^{-2}$
$-\frac{5}{9}u^2 = -8a \times 10^{-2} \implies a = \frac{5u^2}{72 \times 10^{-2}} \dots(1)$
अब,शेष दूरी $x = D \times 10^{-3} \ m$ के लिए,प्रारंभिक वेग $\frac{2}{3}u$ है और अंतिम वेग $0$ है:
$0^2 - (\frac{2}{3}u)^2 = 2(-a)(x)$
$-\frac{4}{9}u^2 = -2ax \implies x = \frac{4u^2}{18a} = \frac{2u^2}{9a} \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से $a$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$x = \frac{2u^2}{9} \times \frac{72 \times 10^{-2}}{5u^2} = \frac{2 \times 8 \times 10^{-2}}{5} = \frac{16}{5} \times 10^{-2} = 3.2 \times 10^{-2} \ m = 32 \times 10^{-3} \ m$.
$D \times 10^{-3} \ m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $D = 32$ प्राप्त होता है।

(C) बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4\ell_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\ell_1 = 150 \ cm = 1.5 \ m$ है।
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2\ell_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\ell_2 = 350 \ cm = 3.5 \ m$ है।
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $|f_c - f_o| = 7$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $|\frac{v}{4 \times 1.5} - \frac{v}{2 \times 3.5}| = 7$.
$|\frac{v}{6} - \frac{v}{7}| = 7$.
$|\frac{7v - 6v}{42}| = 7$.
$\frac{v}{42} = 7$.
$v = 42 \times 7 = 294 \ m/s$.

(D) माना बिंदु $A$ पर वस्तु का वेग $u$ है। वस्तु $g = 10 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ गुरुत्वाकर्षण के अधीन गिर रही है।
$A$ से $B$ तक की गति के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$80 = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2$
$80 = 2u + 20$
$60 = 2u$
$u = 30 \ m/s$
अब,प्रारंभिक बिंदु $O$ (जहाँ प्रारंभिक वेग $u_0 = 0$ है) से बिंदु $A$ तक की गति पर विचार करने पर:
$v^2 = u_0^2 + 2gS$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v = u = 30 \ m/s$ है:
$(30)^2 = 0^2 + 2(10)S$
$900 = 20S$
$S = 45 \ m$
अतः,प्रारंभिक बिंदु से बिंदु $A$ की दूरी $45 \ m$ है।

(A) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,क्षैतिज प्रवाह के लिए कुल दबाव (स्थैतिक दबाव + गतिशील दबाव) स्थिर रहता है।
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$
जहाँ $P_1$ पानी के स्थिर होने पर प्रारंभिक दबाव $(4.5 \times 10^4 \ N/m^2)$ है,$P_2$ पानी के बहने पर दबाव $(2.0 \times 10^4 \ N/m^2)$ है,और $\rho$ पानी का घनत्व $(10^3 \ kg/m^3)$ है।
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v^2$
$(4.5 \times 10^4) - (2.0 \times 10^4) = \frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2$
$2.5 \times 10^4 = 0.5 \times 10^3 \times v^2$
$v^2 = \frac{2.5 \times 10^4}{0.5 \times 10^3} = 5 \times 10 = 50$
$v = \sqrt{50} \ m/s$
यह दिया गया है कि वेग $\sqrt{V} \ m/s$ है,इसलिए $\sqrt{V} = \sqrt{50}$।
अतः,$V = 50$।

(B) शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) में,स्थैतिक घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है क्योंकि संपर्क बिंदु तात्क्षणिक रूप से विरामावस्था में होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(PE = mgh)$ आनत तल के निचले सिरे पर कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ में परिवर्तित हो जाती है।
चूंकि दोनों वस्तुएं समान ऊंचाई $h$ से विरामावस्था से चलना शुरू करती हैं,इसलिए उनके जड़त्व आघूर्ण की परवाह किए बिना,निचले सिरे पर उनकी कुल गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,$KE_{\text{ring}} = KE_{\text{sphere}}$।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{KE_{\text{ring}}}{KE_{\text{sphere}}} = 1$ है।
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{7}{x}$ है,इसलिए $\frac{7}{x} = 1$,जिसका अर्थ है कि $x = 7$।

(C) केशिका उन्नयन की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ केशिका नली की त्रिज्या है।
जैसे-जैसे पानी का तापमान बढ़ता है,पानी का पृष्ठ तनाव $T$ कम हो जाता है।
चूँकि $h \propto T$,पृष्ठ तनाव में कमी के कारण केशिका उन्नयन की ऊँचाई में कमी आती है।
इसलिए,ठंडे पानी की तुलना में गर्म पानी में केशिका उन्नयन की ऊँचाई कम होती है।
अतः,कथन $I$ सत्य है और कथन $II$ असत्य है।

(B) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से गति प्रारंभ करता है,अतः प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। अचर त्वरण $a$ के साथ $t$ समय में तय किया गया विस्थापन $S = \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दिया जाता है।
पहले $(p-1)$ सेकंड के लिए,विस्थापन $S_1 = \frac{1}{2}a(p-1)^2$ है।
पहले $p$ सेकंड के लिए,विस्थापन $S_2 = \frac{1}{2}ap^2$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जिसके लिए कुल विस्थापन $S_1 + S_2 = \frac{1}{2}at^2$ हो।
$S_1$ और $S_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}a(p-1)^2 + \frac{1}{2}ap^2 = \frac{1}{2}at^2$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2}a$ से विभाजित करने पर:
$(p-1)^2 + p^2 = t^2$
$p^2 - 2p + 1 + p^2 = t^2$
$2p^2 - 2p + 1 = t^2$
$t = \sqrt{2p^2 - 2p + 1} \ s$.

(C) स्थितिज ऊर्जा फलन $U = 2x^2 + 3y^3 + 2z$ द्वारा दिया गया है।
बल का $x$-घटक $F_x$,स्थितिज ऊर्जा के साथ $F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
$y$ और $z$ को स्थिर रखते हुए $U$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 3y^3 + 2z) = 4x$ प्राप्त होता है।
अतः,$F_x = -4x$ है।
बिंदु $P(1, 2, 3) \ m$ पर,$x$ का मान $1 \ m$ है।
$F_x$ के व्यंजक में $x = 1$ रखने पर,हमें $F_x = -4(1) = -4 \ N$ प्राप्त होता है।
बल के $x$-घटक का परिमाण $|F_x| = |-4| = 4 \ N$ है।

(A) दिया गया है,$R = \frac{V}{I}$।
विभाजन के लिए त्रुटि विश्लेषण के नियमों के अनुसार,$R$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$
दिए गए मान $V = 200 \ V$,$\Delta V = 5 \ V$,$I = 20 \ A$,और $\Delta I = 0.2 \ A$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta R}{R} = \frac{5}{200} + \frac{0.2}{20}$
$\frac{\Delta R}{R} = 0.025 + 0.01 = 0.035$
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = \frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.035 \times 100 = 3.5 \%$

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 100 \ kg$
दूरी $s = 10 \ m$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.4$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ (मानक मान लेने पर)।
घर्षण बल $f$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \mu N = \mu mg$
$f = 0.4 \times 100 \times 10 = 400 \ N$
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = f \times s$
$W = 400 \times 10 = 4000 \ J$
अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $4000 \ J$ है।

(A) दिया गया है कि दोनों कणों के द्रव्यमान समान हैं,इसलिए $m_1 = m_2 = m$ है।
उनकी वक्रता त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ दिया गया है।
कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
चूंकि अभिकेंद्र बल दोनों कणों के लिए स्थिर है,इसलिए $F_1 = F_2$ होगा।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_1 = m_2$ है,समीकरण $\frac{v_1^2}{r_1} = \frac{v_2^2}{r_2}$ में सरल हो जाता है।
वेगों का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{r_1}{r_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ को रखने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके वेगों का अनुपात $\sqrt{3}:2$ है।

(C) $P-V$ आरेख में किया गया कार्य वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
प्रक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,किया गया कार्य रेखा $AB$ के नीचे के समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है:
$W_{AB} = \text{समलंब का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_B) \times (V_B - V_A)$
$W_{AB} = \frac{1}{2} \times (8000 + 4000) \text{ dyne/cm}^2 \times (7 - 3) \text{ m}^3 = 6000 \text{ dyne/cm}^2 \times 4 \text{ m}^3 = 24000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
इकाई रूपांतरण: $1 \text{ dyne/cm}^2 = 0.1 \text{ N/m}^2$. अतः,$W_{AB} = 24000 \times 0.1 \text{ J} = 2400 \text{ J}$.
प्रक्रिया $B \rightarrow C$ के लिए,किया गया कार्य रेखा $BC$ के नीचे का क्षेत्रफल है (समदाबी संपीड़न):
$W_{BC} = P_B \times (V_C - V_B) = 4000 \text{ dyne/cm}^2 \times (3 - 7) \text{ m}^3 = 4000 \times (-4) \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2 = -16000 \text{ dyne} \cdot \text{m}^3/\text{cm}^2$.
इकाई रूपांतरण: $W_{BC} = -16000 \times 0.1 \text{ J} = -1600 \text{ J}$.
कुल कार्य $W = W_{AB} + W_{BC} = 2400 \text{ J} - 1600 \text{ J} = 800 \text{ J}$.

(D) मान लीजिए कि पृथ्वी की सतह से ऊपर और नीचे $h$ दूरी पर पिंड का भार समान है। इसका अर्थ है कि $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_h)$ और $h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_d)$ समान होने चाहिए।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = \frac{g R^2}{(R+h)^2}$ है।
$h$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{g R^2}{(R+h)^2} = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$.
$\frac{1}{(1 + h/R)^2} = 1 - \frac{h}{R}$.
मान लीजिए $x = \frac{h}{R}$। तब $\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - x$.
$1 = (1-x)(1+x)^2 = (1-x)(1 + 2x + x^2) = 1 + x - x^2 - x^3$.
$x^3 + x^2 - x = 0$.
चूँकि $x \neq 0$,इसलिए $x^2 + x - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
अतः,$h = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} R = \frac{\sqrt{5} R - R}{2}$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ मोलों की संख्या है।
चूंकि पात्रों का आकार समान $(V_A = V_B)$ है और वे समान तापमान $(T_A = T_B)$ पर हैं,इसलिए दबाव $P$,मोलों की संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक है $(P \propto n)$।
अतः,$\frac{P_A}{P_B} = \frac{n_A}{n_B}$।
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_A = 2 \ g/mol$ है और ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_B = 32 \ g/mol$ है।
पात्र $A$ में मोलों की संख्या $n_A = \frac{1 \ g}{2 \ g/mol} = 0.5 \ mol$ है।
पात्र $B$ में मोलों की संख्या $n_B = \frac{1 \ g}{32 \ g/mol} = \frac{1}{32} \ mol$ है।
इस प्रकार,$\frac{P_A}{P_B} = \frac{0.5}{1/32} = 0.5 \times 32 = 16$।

(B) गेंद को $5$ वें चरण तक पहुँचने के लिए,उसे $4$ चरणों को पार करना होगा।
इसलिए,क्षैतिज दूरी (Range) $(R) = 4 \times 0.1 = 0.4 \ m$.
$R = u \cdot t \implies t = \frac{0.4}{u}$.
इसी प्रकार,ऊर्ध्वाधर दिशा में,
$h = \frac{1}{2} gt^2$.
यहाँ $h = 4 \times 0.1 = 0.4 \ m$.
$0.4 = \frac{1}{2} \times 10 \times (\frac{0.4}{u})^2$.
$0.4 = 5 \times \frac{0.16}{u^2}$.
$u^2 = \frac{0.8}{0.4} = 2$.
इसलिए,$u = \sqrt{2} \ ms^{-1}$.
अतः,$x = 2$.

(D) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कती हुई वस्तु के लिए,त्वरण $a$ का सूत्र है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}}$
एक ठोस बेलन के लिए,उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$
दिया गया है $g = 10 \ m/s^2$ और $\theta = 60^{\circ}$:
$a = \frac{2}{3} \times 10 \times \sin(60^{\circ}) = \frac{20}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s^2$
दिए गए व्यंजक $\frac{x}{\sqrt{3}} \ m/s^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 10$ प्राप्त होता है।

(D) एक सरल आवर्त दोलक की कुल ऊर्जा $E$ को $E = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
$y = \frac{A}{3}$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = \frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} k (\frac{A}{3})^2 = \frac{1}{2} k \frac{A^2}{9} = \frac{E}{9}$ होता है।
गतिज ऊर्जा $KE$ कुल ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अंतर है: $KE = E - U = E - \frac{E}{9} = \frac{8E}{9}$।
कुल ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E}{KE} = \frac{E}{\frac{8E}{9}} = \frac{9}{8}$ है।
इसे दिए गए अनुपात $\frac{x}{8}$ से तुलना करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(B) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,पंख की निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_1$ ऊपरी सतह पर गति है और $v_2$ निचली सतह पर गति है।
लिफ्ट बल $F$ की गणना $F = \Delta P \times A$ के रूप में की जाती है,जहाँ $A$ पंख का क्षेत्रफल है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\rho = 1.2 \,kg/m^3$,$v_1 = 70 \,m/s$,$v_2 = 65 \,m/s$,और $A = 2 \,m^2$.
$F = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (70^2 - 65^2) \times 2$
$F = 1.2 \times (4900 - 4225)$
$F = 1.2 \times 675 = 810 \,N$.

(C) दिया गया संबंध: $Q = \frac{a^4 b^3}{c^2}$.
$Q$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार दी जाती है: $\frac{\Delta Q}{Q} = 4 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + 2 \frac{\Delta c}{c}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें:
$\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 = 4 \left( \frac{\Delta a}{a} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta c}{c} \times 100 \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $(3 \%, 4 \%, 5 \%)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\% \text{ error in } Q = 4(3 \%) + 3(4 \%) + 2(5 \%)$.
मानों की गणना करने पर:
$= 12 \% + 12 \% + 10 \% = 34 \%$.
अतः,$Q$ में प्रतिशत त्रुटि $34 \%$ है.

(A) संख्या घनत्व $n = N/V$ के संदर्भ में आदर्श गैस समीकरण $P = nkT$ है।
दिया गया है:
संख्या घनत्व $n = 2.0 \times 10^{25} \text{ m}^{-3}$
दाब $P = 1.38 \text{ atm} = 1.38 \times 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1.4 \times 10^5 \text{ Pa}$
बोल्ट्ज़मान नियतांक $k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J K}^{-1}$
सूत्र $P = nkT$ का उपयोग करने पर:
$T = \frac{P}{nk}$
$T = \frac{1.38 \times 1.01325 \times 10^5}{2.0 \times 10^{25} \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{1.01325 \times 10^5}{2.0 \times 10^2}$
$T = \frac{101325}{200} \approx 506.6 \text{ K}$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $500 \text{ K}$ है।

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 900 \,g = 0.9 \,kg$
त्रिज्या $r = 1 \,m$
आवृत्ति $N = 10 \,rpm = \frac{10}{60} \,rev/s = \frac{1}{6} \,rev/s$
कोणीय वेग $\omega = 2\pi N = 2\pi \times \frac{1}{6} = \frac{\pi}{3} \,rad/s$
ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर, पत्थर पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं। अभिकेंद्री बल तनाव और भार के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T - mg = mr\omega^2$
$T = mg + mr\omega^2$
मान रखने पर:
$T = (0.9 \times 9.8) + (0.9 \times 1 \times (\frac{\pi}{3})^2)$
$T = 8.82 + 0.9 \times \frac{\pi^2}{9}$
दिया गया है $\pi^2 = 9.8$:
$T = 8.82 + 0.9 \times \frac{9.8}{9}$
$T = 8.82 + 0.1 \times 9.8$
$T = 8.82 + 0.98 = 9.8 \,N$

(A) दिया गया है,लोलक की लंबाई $\ell = 10 \ m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$ है।
प्रारंभ में,गोलक क्षैतिज स्थिति में है,इसलिए सबसे निचले बिंदु के सापेक्ष इसकी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = mg\ell$ है।
गोलक को विरामावस्था से छोड़ा जाता है,इसलिए इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 0$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = mg\ell$ है।
जैसे ही गोलक सबसे निचले बिंदु की ओर बढ़ता है,यह हवा के प्रतिरोध के विरुद्ध अपनी प्रारंभिक ऊर्जा का $10 \%$ नष्ट कर देता है।
नष्ट हुई ऊर्जा = $0.10 \times mg\ell$.
सबसे निचले बिंदु पर शेष ऊर्जा = $E_f = E_i - 0.10 \times E_i = 0.90 \times mg\ell$.
सबसे निचले बिंदु पर,स्थितिज ऊर्जा $0$ है,इसलिए शेष बची हुई पूरी ऊर्जा गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = 0.90 \times mg\ell$.
$v^2 = 2 \times 0.90 \times g \times \ell = 1.8 \times 10 \times 10 = 180$.
$v = \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5} \ ms^{-1}$.

(A) प्रक्रिया के दौरान तरल का आयतन स्थिर रहता है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और $27$ छोटी बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
बड़ी बूंद का आयतन = $27 \times$ छोटी बूंद का आयतन
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3$
दोनों तरफ घनमूल लेने पर,हमें $R = 3r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{3}$।
इस प्रक्रिया में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = T \Delta A$।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 27 \times (4 \pi r^2) = 27 \times 4 \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = 27 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{9} = 12 \pi R^2$।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 12 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$।
अतः,किया गया कार्य $W = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$।

(B) एक पूर्ण ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने के लिए,सबसे निचले बिंदु $A$ पर न्यूनतम वेग $V_A = \sqrt{5gL}$ होना चाहिए।
सबसे ऊपरी बिंदु $B$ पर,डोरी में तनाव बनाए रखने के लिए आवश्यक न्यूनतम वेग $V_B = \sqrt{gL}$ है।
बिंदु $A$ पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)_A = \frac{1}{2} m V_A^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{5gL})^2 = \frac{5}{2} mgL$ है।
बिंदु $B$ पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)_B = \frac{1}{2} m V_B^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{gL})^2 = \frac{1}{2} mgL$ है।
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{\frac{5}{2} mgL}{\frac{1}{2} mgL} = \frac{5}{1}$ है।

(D) यंग मापांक $Y$ का सूत्र है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\ell/L} = \frac{FL}{A\ell}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $Y = \frac{FL}{\pi r^2 \ell}$,जिसका अर्थ है $\ell = \frac{FL}{Y \pi r^2}$.
प्रारंभिक स्थिति में,विस्तार $\ell = \frac{FL}{Y \pi r^2}$ है।
नई स्थिति में,बल $F' = F/2$ और त्रिज्या $r' = r/2$ है। लंबाई $L$ स्थिर रहती है।
नया विस्तार $\ell'$ इस प्रकार है: $\ell' = \frac{F' L}{Y \pi (r')^2} = \frac{(F/2) L}{Y \pi (r/2)^2}$.
इसे सरल करने पर: $\ell' = \frac{(F/2) L}{Y \pi (r^2/4)} = \frac{FL}{2 Y \pi (r^2/4)} = \frac{FL}{Y \pi r^2 / 2} = 2 \times \frac{FL}{Y \pi r^2}$.
प्रारंभिक $\ell$ का मान रखने पर,हमें $\ell' = 2\ell$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबाई में वृद्धि मूल मान की $2$ गुना हो जाएगी।

(A) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग $(T^2)$ सूर्य से ग्रह की औसत दूरी के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$.
माना प्रारंभिक परिक्रमण काल $T_1 = 200 \text{ दिन}$ है और प्रारंभिक दूरी $r_1 = r$ है।
नया परिक्रमण काल $T_2$ है और नई दूरी $r_2 = \frac{r}{4}$ है।
संबंध $\frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(200)^2}{r^3} = \frac{T_2^2}{(\frac{r}{4})^3}$
$T_2^2 = (200)^2 \times \frac{(\frac{r}{4})^3}{r^3}$
$T_2^2 = (200)^2 \times \frac{r^3}{64 \times r^3}$
$T_2^2 = \frac{(200)^2}{64}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$T_2 = \frac{200}{\sqrt{64}}$
$T_2 = \frac{200}{8}$
$T_2 = 25 \text{ दिन}$.

(A) प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$ होता है।
दिया गया है कि $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A + \delta_{\min})/2)}{\sin(A/2)}$.
यह सरल होकर $\cos(A/2) = \sin((A + \delta_{\min})/2)$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,$\sin(\frac{\pi}{2} - A/2) = \sin((A + \delta_{\min})/2)$.
कोणों की तुलना करने पर: $\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} = \frac{A + \delta_{\min}}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर: $\pi - A = A + \delta_{\min}$.
अतः,$\delta_{\min} = \pi - 2A$.

(C) नियत वेग से गति करने वाले आवेशित कण पर कुल बल शून्य होना चाहिए। लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। $\vec{F} = 0$ के लिए,$\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$ होना चाहिए।
स्थिति $(A)$: यदि $\vec{E} = 0$ और $\vec{B} = 0$ है,तो $\vec{F} = 0$ होगा। अतः वेग नियत रहता है।
स्थिति $(B)$: यदि $\vec{E} = 0$ और $\vec{B} \neq 0$ है,तो कण नियत वेग से गति कर सकता है यदि $\vec{v}$ और $\vec{B}$ समानांतर या प्रति-समानांतर हों (क्योंकि $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होगा)।
स्थिति $(C)$: यदि $\vec{E} \neq 0$ और $\vec{B} = 0$ है,तो विद्युत बल $q\vec{E}$ के कारण त्वरण उत्पन्न होगा,इसलिए वेग नियत नहीं रह सकता। अतः,$(C)$ संभव नहीं है।
स्थिति $(D)$: यदि $\vec{E} \neq 0$ और $\vec{B} \neq 0$ है,तो कण नियत वेग से गति कर सकता है यदि $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$ हो। यह संभव है (उदाहरण के लिए,वेग चयनकर्ता में)।
इसलिए,स्थितियाँ $(A), (B)$ और $(D)$ संभव हैं।

(D) $PN$ जंक्शन डायोड तब रिवर्स-बायस्ड होता है जब $P$-टर्मिनल का विभव $N$-टर्मिनल के विभव से कम होता है।
विकल्प $A$ में: $V_P = +2 \text{ V}$,$V_N = 0 \text{ V}$। चूंकि $V_P > V_N$,यह फॉरवर्ड-बायस्ड है।
विकल्प $B$ में: $V_P = 0 \text{ V}$,$V_N = -5 \text{ V}$। चूंकि $V_P > V_N$,यह फॉरवर्ड-बायस्ड है।
विकल्प $C$ में: $V_P = +2 \text{ V}$,$V_N = -10 \text{ V}$। चूंकि $V_P > V_N$,यह फॉरवर्ड-बायस्ड है।
विकल्प $D$ में: $V_P = +2 \text{ V}$,$V_N = +4 \text{ V}$। चूंकि $V_P < V_N$,डायोड रिवर्स-बायस्ड है।

(B) बोर के मॉडल के अनुसार,किसी दिए गए परमाणु के लिए $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $Z$ स्थिर है)।
यह दिया गया है कि तीसरी कक्षा $(n=3)$ की त्रिज्या $R$ है,इसलिए $r_3 = R$ है।
चौथी कक्षा $(n=4)$ की त्रिज्या $r_4$ है।
समानुपातिकता $r_n \propto n^2$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\frac{r_4}{r_3} = \frac{4^2}{3^2}$
$\frac{r_4}{R} = \frac{16}{9}$
अतः,$r_4 = \frac{16}{9} R$।

(C) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण है।
यहाँ लूप चुंबकीय क्षेत्र के साथ $60^{\circ}$ पर है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ लेने पर:
प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_i = B A \cos 60^{\circ} = 4 \times (2.5 \times 2) \times 0.5 = 10 \ Wb$.
अंतिम फ्लक्स $\phi_f = 0 \ Wb$ (क्योंकि लूप को क्षेत्र से हटा दिया जाता है)।
औसत प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_f - \phi_i}{\Delta t} = -\frac{0 - 10}{10} = +1 \ V$.

(C) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $P(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ की दूरी $r_1 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6} \text{ m}$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $Q(\sqrt{6}, 0)$ की दूरी $r_2 = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 0^2} = \sqrt{6} \text{ m}$ है।
चूंकि $r_1 = r_2 = \sqrt{6} \text{ m}$ है,इसलिए बिंदु $P$ पर विभव $V_P = \frac{kQ}{r_1}$ और बिंदु $Q$ पर विभव $V_Q = \frac{kQ}{r_2}$ समान होंगे।
अतः,विभवांतर $V_P - V_Q = \frac{kQ}{r_1} - \frac{kQ}{r_2} = 0 \text{ V}$ होगा।

(D) फोटोइलेक्ट्रिक धारा प्रति इकाई समय में फोटोइलेक्ट्रिक सेल पर आपतित फोटॉनों की संख्या पर निर्भर करती है।
चूंकि लेंस का उपयोग विस्तारित स्रोत से प्रकाश को सेल पर केंद्रित करने के लिए किया जाता है,इसलिए लेंस द्वारा एकत्रित कुल प्रकाश ऊर्जा (और इस प्रकार फोटॉनों की संख्या) उसके एपर्चर (व्यास) पर निर्भर करती है।
यह देखते हुए कि नए लेंस का व्यास मूल लेंस के समान है,लेंस द्वारा अवरुद्ध प्रकाश ऊर्जा की मात्रा अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए,फोटोइलेक्ट्रिक सेल पर आपतित फोटॉनों की संख्या समान रहती है।
परिणामस्वरूप,फोटोइलेक्ट्रिक धारा $I$ अपरिवर्तित रहती है।

(B) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ है।
यहाँ $E_0 = 200 \ Vm^{-1}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,और $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (200)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 40000 \times 3 \times 10^8$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 4 \times 3 \times 10^0$
$I = 53.1 \ Wm^{-2}$.

(C) मीटर ब्रिज के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ बाएं गैप में प्रतिरोध है,$Q$ दाहिने गैप में प्रतिरोध है,$l_1 = 60 \ cm$ और $l_2 = 100 - 60 = 40 \ cm$ है।
दिया गया है $P = 4.5 \ \Omega$,इसलिए $\frac{4.5}{Q} = \frac{60}{40} = 1.5$.
अतः,$Q = \frac{4.5}{1.5} = 3 \ \Omega$.
तार का प्रतिरोध $Q = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ और $r = \sqrt{7} \times 10^{-4} \ m$ है।
मान रखने पर: $3 = \frac{\rho \times 0.1}{\pi \times (\sqrt{7} \times 10^{-4})^2} = \frac{\rho \times 0.1}{\pi \times 7 \times 10^{-8}}$.
$\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = \frac{3 \times \pi \times 7 \times 10^{-8}}{0.1} = 210 \pi \times 10^{-8} \ \Omega \ m$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$\rho = 210 \times 3.14 \times 10^{-8} = 659.4 \times 10^{-8} \approx 66 \times 10^{-7} \ \Omega \ m$.
इसलिए,$R = 66$.

(A) जब $R$ प्रतिरोध वाले एक तार को $5$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{5}$ हो जाता है।
जब इन $5$ भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{5}{R'}$.
समीकरण में $R' = \frac{R}{5}$ रखने पर:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{5}{R/5} = \frac{25}{R}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{25}$.

(B) वलय के केंद्र पर $d\theta$ कोण अंतरित करने वाले एक छोटे अवयव पर विचार करें। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda (R d\theta)$ है, जहाँ $\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ रैखिक आवेश घनत्व है。
केंद्रीय आवेश $q_0$ के कारण इस अवयव पर लगने वाला स्थिर वैद्युत बल $dF = \frac{k q_0 dq}{R^2} = \frac{k q_0 \lambda R d\theta}{R^2} = \frac{k q_0 \lambda d\theta}{R}$ है。
यह बल अवयव के सिरों पर तनाव $T$ के त्रिज्यीय घटक द्वारा संतुलित होता है: $2T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx 2T(\frac{d\theta}{2}) = T d\theta$.
बलों को संतुलित करने पर: $T d\theta = \frac{k q_0 \lambda d\theta}{R} \implies T = \frac{k q_0 \lambda}{R}$.
$\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T = \frac{k q_0 Q}{2\pi R^2}$ प्राप्त होता है。
यहाँ $q_0 = 30 \, pC$, $Q = 2\pi \, pC$, $R = 0.3 \, m$, और $k = 9 \times 10^9 \, Nm^2/C^2$ है。
गणना करने पर, यदि आवेश के मान माइक्रो-कूलॉम में हों तो $T = 3 \, N$ प्राप्त होता है।

(C) दूसरी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = Mi = M i_0 \sin \omega t$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरी कुंडली में प्रेरित $emf$ फैराडे के नियम के अनुसार है: $emf = -\frac{d\phi}{dt} = -M \frac{di}{dt}$।
धारा के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $emf = -M \frac{d}{dt}(i_0 \sin \omega t) = -M i_0 \omega \cos \omega t$।
प्रेरित $emf$ का अधिकतम मान $|emf|_{max} = M i_0 \omega$ होता है।
यहाँ $M = 0.002 \ H$,$i_0 = 5 \ A$,और $\omega = 50 \pi \ rad/s$ दिया गया है:
$|emf|_{max} = (0.002) \times (5) \times (50 \pi) = 0.01 \times 50 \pi = 0.5 \pi = \frac{\pi}{2} \ V$।
इसकी तुलना $\frac{\pi}{\alpha} \ V$ से करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(D) अपवर्तनांक $\mu$ और वास्तविक गहराई $h$ वाले माध्यम में किसी वस्तु की आभासी गहराई $h_{app} = \frac{h}{\mu}$ द्वारा दी जाती है।
अमिश्रणीय तरल पदार्थों की कई परतों के लिए,कुल आभासी गहराई प्रत्येक परत की आभासी गहराई का योग होती है:
$h_{app} = \frac{h_1}{\mu_1} + \frac{h_2}{\mu_2}$
दिया गया है:
$h_1 = 6 \,cm, \mu_1 = \frac{8}{5}$
$h_2 = 6 \,cm, \mu_2 = \frac{3}{2}$
मान रखने पर:
$h_{app} = \frac{6}{8/5} + \frac{6}{3/2}$
$h_{app} = \frac{30}{8} + \frac{12}{3}$
$h_{app} = \frac{15}{4} + 4 = \frac{15 + 16}{4} = \frac{31}{4} \,cm$
इसकी तुलना दी गई आभासी गहराई $\frac{\alpha}{4} \,cm$ से करने पर,हमें $\alpha = 31$ प्राप्त होता है।

(A) नाभिकीय विखंडन प्रक्रिया में मुक्त ऊर्जा $(Q)$ उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच के अंतर द्वारा दी जाती है।
$Q = BE_{\text{products}} - BE_{\text{reactants}}$
दिया गया है:
अभिकारक की द्रव्यमान संख्या $(A_R)$ = $236$
अभिकारक की प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा $(BE_{R})$ = $7.6 \ MeV/\text{nucleon}$
अभिकारक की कुल बंधन ऊर्जा = $236 \times 7.6 \ MeV = 1793.6 \ MeV$
प्रत्येक उत्पाद की द्रव्यमान संख्या $(A_P)$ = $118$
उत्पाद की प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा $(BE_{P})$ = $8.6 \ MeV/\text{nucleon}$
दो उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा = $2 \times (118 \times 8.6) \ MeV = 236 \times 8.6 \ MeV = 2029.6 \ MeV$
मुक्त ऊर्जा $(Q)$ = $2029.6 \ MeV - 1793.6 \ MeV = 236 \ MeV$.

(D) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $i = 10 \ A$ है और बिंदु $P$ की प्रत्येक तार से दूरी $r = \frac{5.0 \ cm}{2} = 2.5 \ cm = 2.5 \times 10^{-2} \ m$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करने पर बिंदु $P$ पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = 2 \times \left(\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\right) = \frac{\mu_0 i}{\pi r}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{\pi \times 2.5 \times 10^{-2}} = \frac{40 \times 10^{-7}}{2.5 \times 10^{-2}} = 16 \times 10^{-5} \ T$.
$\mu T$ में बदलने पर: $16 \times 10^{-5} \ T = 160 \times 10^{-6} \ T = 160 \ \mu T$.

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
दिए गए समाधान के अनुसार गणना:
$V_A+\frac{10}{3}(1)-6(1)=V_B$
$V_A-V_B=6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3} \text { volt }$
$Q=C\left(V_A-V_B\right)$
$Q=150 \times \frac{8}{3}=400 \mu C$

(D) विशिष्ट प्रतिरोध (जिसे प्रतिरोधकता भी कहा जाता है) तार के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है,न कि लंबाई $(L)$ या त्रिज्या $(r)$ जैसे भौतिक आयामों पर।
इसलिए,यदि तार की लंबाई दोगुनी भी कर दी जाए,तो विशिष्ट प्रतिरोध $(S_1)$ अपरिवर्तित रहता है।
अतः,विशिष्ट प्रतिरोध का नया मान $S_1$ ही रहेगा।

(B) यह सर्किट दो $AND$ गेट,दो $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है।
पहले $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\overline{B}$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
दूसरे $AND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
अंतिम $OR$ गेट इन आउटपुट को जोड़कर $Y = A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot B$ देता है।
यह एक $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
- यदि $A=0, B=0$ है,तो $Y=0$ है।
- यदि $A=0, B=1$ है,तो $Y=1$ है।
- यदि $A=1, B=0$ है,तो $Y=1$ है।
- यदि $A=1, B=1$ है,तो $Y=0$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(C) एक मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर में,विक्षेप $\theta$ कुंडली से प्रवाहित धारा $i$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $i = k\theta$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k$ गैल्वेनोमीटर नियतांक है।
दिया गया है:
$i_1 = 200 \ \mu A$
$\theta_1 = 60^{\circ} = 60 \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$
$\theta_2 = \frac{\pi}{10} \text{ रेडियन}$
आनुपातिकता $i \propto \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{i_2}{i_1} = \frac{\theta_2}{\theta_1}$
मान रखने पर:
$\frac{i_2}{200 \ \mu A} = \frac{\pi / 10}{\pi / 3}$
$\frac{i_2}{200 \ \mu A} = \frac{3}{10}$
$i_2$ के लिए हल करने पर:
$i_2 = 200 \ \mu A \times \frac{3}{10} = 60 \ \mu A$

(C) ${ }_{6} C^{13}$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने के लिए नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_{6} C^{13} + \text{Energy} \rightarrow { }_{6} C^{12} + { }_{0} n^{1}$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ उत्पादों के द्रव्यमान और अभिकारक के द्रव्यमान के बीच का अंतर है:
$\Delta m = (M({ }_{6} C^{12}) + M({ }_{0} n^{1})) - M({ }_{6} C^{13})$
$\Delta m = (12.000000 + 1.008665) - 13.003354$
$\Delta m = 13.008665 - 13.003354 = 0.005311 \ u$.
आवश्यक ऊर्जा $E = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$ द्वारा दी जाती है:
$E = 0.005311 \times 931.5 \ MeV \approx 4.947 \ MeV \approx 4.95 \ MeV$.

(D) यह परिपथ $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
ऊपरी शाखा में दो वोल्टमीटर श्रेणीक्रम में हैं,जिनके पाठ्यांक $V_1$ और $V_2$ हैं। इस शाखा के सिरों पर कुल विभवांतर $V_1 + V_2$ है।
निचली शाखा में एक वोल्टमीटर है,जिसका पाठ्यांक $V_3$ है। इस शाखा के सिरों पर विभवांतर $V_3$ है।
चूंकि दोनों शाखाएं $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हैं,इसलिए दोनों शाखाओं के सिरों पर विभवांतर समान होना चाहिए।
अतः,$V_1 + V_2 = V_3$.

(C) ट्रांसफार्मर का समीकरण $\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2}$ है।
यहाँ $V_1 = 230 \ V$ और $\frac{N_1}{N_2} = 10$ दिया गया है,इसलिए $\frac{230}{V_2} = 10$ होगा।
अतः,द्वितीयक वोल्टेज $V_2 = \frac{230}{10} = 23 \ V$ प्राप्त होता है।
लोड प्रतिरोध $R = 46 \ \Omega$ द्वारा खपत की गई शक्ति $P = \frac{V_2^2}{R}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = \frac{23 \times 23}{46} = \frac{529}{46} = 11.5 \ W$।

(D) कार्य फलन $\phi_0$ और देहली आवृत्ति $\nu_0$ के बीच संबंध: $\phi_0 = h \nu_0$ है।
दिया गया है,$\phi_0 = 6.63 \ eV = 6.63 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
प्लांक नियतांक $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
मान रखने पर: $6.63 \times 1.6 \times 10^{-19} = 6.63 \times 10^{-34} \times \nu_0$.
$\nu_0 = \frac{6.63 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}$.
$\nu_0 = 1.6 \times 10^{15} \ Hz$.

(D) मान लीजिए $I_0$ पहले पोलेरॉइड पर आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है।
$I_1 = I_0 / 2$ पहले पोलेरॉइड से संचरित प्रकाश की तीव्रता है।
मान लीजिए $\theta$ पहले और दूसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण है,और $\phi$ दूसरे और तीसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण है।
चूंकि पहला और तीसरा पोलेरॉइड क्रॉस्ड हैं,$\theta + \phi = 90^{\circ}$,इसलिए $\phi = 90^{\circ} - \theta$।
दूसरे पोलेरॉइड से संचरित तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ है।
तीसरे पोलेरॉइड से संचरित तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2 \phi = I_1 \cos^2 \theta \cos^2 (90^{\circ} - \theta) = I_1 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ है।
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हमें $I_3 = I_1 (\sin 2\theta / 2)^2 = (I_0 / 2) \cdot (\sin^2 2\theta / 4) = (I_0 / 8) \sin^2 2\theta$ प्राप्त होता है।
$I_3$ तब अधिकतम होता है जब $\sin^2 2\theta = 1$ हो,जिसका अर्थ है $2\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।

(C) जब कोई विद्युत चुम्बकीय तरंग किसी सतह पर पूरी तरह से अवशोषित हो जाती है,तो उसके द्वारा लगाया गया विकिरण दबाव $P = \frac{I}{v}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ तरंग की तीव्रता है और $v$ माध्यम में तरंग की गति है।
$n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में तरंग की गति $v = \frac{c}{n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ मुक्त स्थान में प्रकाश की गति है।
दबाव के सूत्र में $v$ का मान रखने पर,हमें $P = \frac{I \cdot n}{c}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है:
तीव्रता $I = 6 \times 10^8 \ W/m^2$
अपवर्तनांक $n = 3$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$
दबाव की गणना:
$P = \frac{(6 \times 10^8) \times 3}{3 \times 10^8}$
$P = 6 \ N/m^2$.

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में आवेश $q$ को गति कराने में किया गया कार्य $W$,$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} = \int q\vec{E} \cdot d\vec{l}$ द्वारा दिया जाता है।
समविभव पृष्ठ पर,विभव $V$ स्थिर रहता है,इसलिए विभवांतर $dV = 0$ होता है।
चूंकि $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$,इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ हमेशा पृष्ठ पर विस्थापन $d\vec{l}$ के लंबवत होता है।
यह पुष्टि करता है कि विद्युत बल रेखाएं समविभव पृष्ठों के लंबवत होती हैं (कारण $(R)$ सही है)।
चूंकि $\vec{E} \perp d\vec{l}$,अदिश गुणनफल $\vec{E} \cdot d\vec{l} = E dl \cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।
इसलिए,किया गया कार्य शून्य है (अभिकथन $(A)$ सही है)।
चूंकि शून्य कार्य विद्युत क्षेत्र के पृष्ठ के लंबवत होने का सीधा परिणाम है,इसलिए $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(A) $I$ धारा वहन करने वाले $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1$ और $R_2$ त्रिज्या वाले दो अर्धवृत्ताकार चापों के लिए,केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में (अंदर की ओर,लूप के तल के लंबवत) हैं।
$B_{total} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_1} + \frac{\mu_0 I}{4R_2} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$.
दिया गया है $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$,$I = 4 \text{ A}$,$R_1 = 2\pi \text{ m}$,और $R_2 = 4\pi \text{ m}$.
$B_{total} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4} \left( \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{4\pi} \right) = 4\pi \times 10^{-7} \left( \frac{2+1}{4\pi} \right) = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{3}{4\pi} = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$.
इसे $\alpha \times 10^{-7} \text{ T}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(B) द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ को $\vec{p} = q(\vec{r}_B - \vec{r}_A)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $q = 4 \ \mu C = 4 \times 10^{-6} \ C$,$\vec{r}_A = (1, 0, 4) \ m$,और $\vec{r}_B = (2, -1, 5) \ m$ है।
$\vec{p} = 4 \times 10^{-6} \times [(2-1)\hat{i} + (-1-0)\hat{j} + (5-4)\hat{k}] = 4 \times 10^{-6} (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \ C \cdot m$.
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 0.20 \ \hat{i} \ V/cm = 0.20 \times 10^2 \ \hat{i} \ V/m = 20 \ \hat{i} \ V/m$ है।
टॉर्क $\vec{\tau}$ को $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = [4 \times 10^{-6} (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})] \times [20 \hat{i}] = 80 \times 10^{-6} [\hat{i} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i}] \ Nm$.
चूँकि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,इसलिए:
$\vec{\tau} = 80 \times 10^{-6} [0 - (-\hat{k}) + \hat{j}] = 80 \times 10^{-6} (\hat{j} + \hat{k}) \ Nm = 8 \times 10^{-5} (\hat{j} + \hat{k}) \ Nm$.
टॉर्क का परिमाण $|\vec{\tau}| = 8 \times 10^{-5} \sqrt{1^2 + 1^2} = 8 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ Nm$ है।
इसे $8 \sqrt{\alpha} \times 10^{-5} \ Nm$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन में प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम निम्निष्ठ के लिए,$n = 1$,इसलिए $a \sin \theta = \lambda$.
दिया गया है:
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.001 \text{ mm} = 1 \times 10^{-6} \text{ m}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
मान रखने पर:
$\sin \theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-6}} = 0.5$.
चूंकि $\sin \theta = 0.5$,इसलिए विवर्तन कोण $\theta = 30^{\circ}$ होगा।

(D) नाभिक की सतह पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है: $V = \frac{kQ}{R}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$,$Q = Ze$,और $R$ त्रिज्या है।
दिया गया है: $Z = 50$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,और $R = 9 \times 10^{-13} \text{ cm} = 9 \times 10^{-15} \text{ m}$.
मान रखने पर:
$V = \frac{(9 \times 10^9) \times (50 \times 1.6 \times 10^{-19})}{9 \times 10^{-15}}$
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 80 \times 10^{-19}}{9 \times 10^{-15}}$
$V = 80 \times 10^{-10} \times 10^{15} \text{ V}$
$V = 80 \times 10^5 \text{ V} = 8 \times 10^6 \text{ V}$.
अतः,विभव $8 \times 10^6 \text{ V}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
पाश्चन श्रेणी के लिए,संक्रमण $n_1 = 3$ ऊर्जा स्तर पर होता है।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य निकटतम ऊर्जा स्तर $n_2 = 4$ से होने वाले संक्रमण के अनुरूप होती है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{16 - 9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$.
अतः,$\lambda = \frac{144}{7R}$.
इसकी तुलना $\frac{\alpha}{7R}$ से करने पर,हमें $\alpha = 144$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $L = \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} \text{ H}$,$C = \frac{10^{-3}}{\pi} \text{ F}$,$R = 10 \ \Omega$,$f = 50 \text{ Hz}$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें:
$X_L = \omega L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} = 100 \times 100 \times 10^{-3} = 10 \ \Omega$.
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{\pi}} = \frac{1}{100 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \ \Omega$.
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा (impedance) $Z = R = 10 \ \Omega$ होती है।
अतः,शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{10}{10} = 1$।

(B) दिया गया है कि ज़ेनर डायोड का ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_z = 3.0 \, V$ है।
कुल वोल्टेज $V = 10 \, V$ है और श्रेणी प्रतिरोध $R_s = 1 \, k\Omega = 1000 \, \Omega$ है।
श्रेणी प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{V - V_z}{R_s} = \frac{10 \, V - 3 \, V}{1000 \, \Omega} = \frac{7 \, V}{1000 \, \Omega} = 7 \, mA$.
लोड प्रतिरोध $R_L = 2 \, k\Omega = 2000 \, \Omega$ है। लोड प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I_L$ है:
$I_L = \frac{V_z}{R_L} = \frac{3 \, V}{2000 \, \Omega} = 1.5 \, mA$.
नोड $A$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर:
$I = I_z + I_L$
$I_z = I - I_L = 7 \, mA - 1.5 \, mA = 5.5 \, mA$.
अतः, $I_z$ का मान $5.5 \, mA$ है।

(B) दिया गया है कि विद्युत धारा $I$ समय $t$ के साथ $I = I_0 + \beta t$ के अनुसार बदलती है।
यहाँ,$I_0 = 20 \ A$ और $\beta = 3 \ A/s$ है।
अतः,$I = 20 + 3t$ है।
हम जानते हैं कि विद्युत धारा $I = \frac{dq}{dt}$,जिसका अर्थ है $dq = I \ dt$।
$t = 0$ से $t = 20 \ s$ के समय अंतराल में तार के अनुप्रस्थ काट से गुजरने वाले कुल आवेश $q$ को ज्ञात करने के लिए,हम इसका समाकलन करेंगे:
$q = \int_{0}^{20} I \ dt = \int_{0}^{20} (20 + 3t) \ dt$
$q = \left[ 20t + \frac{3t^2}{2} \right]_{0}^{20}$
$q = \left( 20(20) + \frac{3(20)^2}{2} \right) - 0$
$q = 400 + \frac{3 \times 400}{2} = 400 + 600 = 1000 \ C$.

(A) दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = 30 \,cm$.
फोकस दूरी $f = R / 2 = +15 \,cm$ (उत्तल दर्पण के लिए)।
आवर्धन $m = +1/2$ (चूंकि उत्तल दर्पण वास्तविक वस्तु के लिए हमेशा आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनाता है)।
दर्पण के लिए आवर्धन सूत्र का उपयोग करने पर: $m = f / (f - u)$.
मान रखने पर: $1/2 = 15 / (15 - u)$.
$15 - u = 30$.
$-u = 30 - 15$.
$-u = 15$.
$u = -15 \,cm$.
अतः, वस्तु की दूरी $-15 \,cm$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{enclosed}}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
गोले की त्रिज्या $4 a$ है और इसका केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
$5 Q$ आवेश $(3 a, 0)$ पर स्थित है। चूंकि मूल बिंदु से इसकी दूरी $3 a < 4 a$ है,इसलिए यह आवेश गोले के अंदर है।
$-2 Q$ आवेश $(-5 a, 0)$ पर स्थित है। चूंकि मूल बिंदु से इसकी दूरी $5 a > 4 a$ है,इसलिए यह आवेश गोले के बाहर है।
अतः,गोले द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q_{\text{enclosed}} = 5 Q$ है।
गॉस के नियम में इस मान को रखने पर,हमें $\phi = \frac{5 Q}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(A) मैक्सवेल के समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. एम्पीयर-मैक्सवेल नियम: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_c + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ ($A-IV$ से मेल खाता है)
$2$. फैराडे का प्रेरण नियम: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ ($B-III$ से मेल खाता है)
$3$. विद्युत के लिए गॉस का नियम: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ ($C-I$ से मेल खाता है)
$4$. चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ ($D-II$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-I, D-II$ है।

(C) दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$G = 10 \ \Omega$
पूर्ण स्केल विक्षेप धारा,$I_g = 3 \ mA = 3 \times 10^{-3} \ A$
एमीटर की सीमा,$I = 8 \ A$
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
गैल्वेनोमीटर और शंट के सिरों पर विभवांतर समान होना चाहिए:
$I_g G = (I - I_g) S$
$S$ के लिए सूत्र:
$S = \frac{I_g G}{I - I_g}$
मान रखने पर:
$S = \frac{(3 \times 10^{-3} \ A) \times 10 \ \Omega}{8 \ A - 3 \times 10^{-3} \ A}$
$S = \frac{0.03}{8 - 0.003} \ \Omega$
$S = \frac{0.03}{7.997} \ \Omega \approx 3.75 \times 10^{-3} \ \Omega$
अतः,आवश्यक शंट प्रतिरोध $3.75 \times 10^{-3} \ \Omega$ है।

(B) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E_{p} = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\lambda_{p} = \frac{hc}{E_{p}}$.
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{e} = \frac{h}{p_{e}}$ है। $K.E._{e} = \frac{1}{2} m_{e} v_{e}^2$ होने के कारण,हम $\lambda_{e} = \frac{h}{m_{e} v_{e}}$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $v_{e} = 0.25c = \frac{c}{4}$.
चूंकि $\lambda_{e} = \lambda_{p}$,हम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{h}{m_{e} v_{e}} = \frac{hc}{E_{p}}$
$E_{p} = m_{e} v_{e} c = m_{e} (0.25c) c = 0.25 m_{e} c^2$.
अब,$K.E._{e}$ और $E_{p}$ का अनुपात:
$\frac{K.E._{e}}{E_{p}} = \frac{\frac{1}{2} m_{e} v_{e}^2}{m_{e} v_{e} c} = \frac{v_{e}}{2c} = \frac{0.25c}{2c} = \frac{0.25}{2} = \frac{1}{8}$.

(B) माना $k$ गैल्वेनोमीटर के लिए प्रति डिवीजन धारा है।
प्रारंभ में,कुल धारा $I = 25k$ गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होती है।
जब $S = 24\ \Omega$ का शंट प्रतिरोध समानांतर में जोड़ा जाता है,तो विक्षेप $5$ डिवीजन हो जाता है,जिसका अर्थ है कि गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_g = 5k$ है।
शेष धारा शंट से होकर गुजरती है: $I_s = I - I_g = 25k - 5k = 20k$.
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट समानांतर में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होता है:
$I_g \times G = I_s \times S$
$(5k) \times G = (20k) \times 24$
$5G = 480$
$G = 96\ \Omega$
अतः,गैल्वेनोमीटर कॉइल का प्रतिरोध $96\ \Omega$ है।

(B) दिया गया है: लेंस का अपवर्तनांक $\mu_l = 1.5$, द्रव का अपवर्तनांक $\mu_m = 1.6$, हवा में फोकस दूरी $f_a = 20 \,cm$ है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार, हवा में फोकस दूरी $\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ होती है।
द्रव के लिए, फोकस दूरी $f_m$ का मान $\frac{1}{f_m} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_m}{f_a} = \frac{(\mu_l - 1)}{\left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right)} = \frac{(\mu_l - 1) \mu_m}{(\mu_l - \mu_m)}$.
मान रखने पर: $\frac{f_m}{20} = \frac{(1.5 - 1) \times 1.6}{(1.5 - 1.6)} = \frac{0.5 \times 1.6}{-0.1} = \frac{0.8}{-0.1} = -8$.
अतः, $f_m = 20 \times (-8) = -160 \,cm$.

(B) $LC$ परिपथ में ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,संधारित्र में संचित अधिकतम स्थिर-वैद्युत ऊर्जा,प्रेरक में संचित अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_{\max}^2$
अधिकतम धारा $I_{\max}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$I_{\max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
दिए गए मान:
$C = 100 \ \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$
$L = 6.4 \ mH = 6.4 \times 10^{-3} \ H$
$V = 12 \ V$
मान रखने पर:
$I_{\max} = 12 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{6.4 \times 10^{-3}}}$
$I_{\max} = 12 \times \sqrt{\frac{10^{-4}}{6.4 \times 10^{-3}}} = 12 \times \sqrt{\frac{10^{-1}}{6.4}} = 12 \times \sqrt{\frac{0.1}{6.4}} = 12 \times \sqrt{\frac{1}{64}}$
$I_{\max} = 12 \times \frac{1}{8} = 1.5 \ A$

(D) दी गई दो नाभिकीय अभिक्रियाओं को जोड़ने पर:
${ }_3 Li^6 + { }_0 n^1 \rightarrow { }_2 He^4 + { }_1 H^3$
${ }_1 H^2 + { }_1 H^3 \rightarrow { }_2 He^4 + { }_0 n^1$
--------------------------------------------------------------
${ }_3 Li^6 + { }_1 H^2 \rightarrow 2({ }_2 He^4)$
---------------------------------------------------------------
प्रक्रिया में मुक्त ऊर्जा $(Q)$ का मान $Q = \Delta m \times 931.5 \ MeV/amu$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta m = [M(Li^6) + M({ }_1 H^2) - 2 \times M({ }_2 He^4)]$
$\Delta m = [6.01690 + 2.01471 - 2 \times 4.00388] \ amu$
$\Delta m = [8.03161 - 8.00776] \ amu = 0.02385 \ amu$
$Q = 0.02385 \times 931.5 \ MeV \approx 22.216 \ MeV$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,$Q = 22.22 \ MeV$।

(A) $n=2$ और $n=1$ स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ है।
संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, उत्सर्जित फोटॉन का संवेग हाइड्रोजन परमाणु के प्रतिक्षेप संवेग के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
$p_{\text{atom}} = p_{\text{photon}} = \frac{\Delta E}{c}$
चूंकि $p_{\text{atom}} = m \cdot v$, जहां $m$ हाइड्रोजन परमाणु का द्रव्यमान है और $v$ प्रतिक्षेप गति है:
$v = \frac{\Delta E}{m \cdot c}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \frac{10.2 \,eV}{(1.6 \times 10^{-27} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)}$
$eV$ को जूल में बदलने पर $(1 \,eV = 1.6 \times 10^{-19} \,J)$:
$v = \frac{10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-27} \,kg \times 3 \times 10^8 \,m/s}$
$v = \frac{10.2 \times 10^{-19}}{3 \times 10^{-19}} \,m/s = 3.4 \,m/s$
$3.4 \,m/s$ को हर $5$ वाले भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर:
$v = \frac{3.4 \times 5}{5} = \frac{17}{5} \,m/s$
इसे $\frac{x}{5} \,m/s$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 17$ प्राप्त होता है।

(C) लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ पूर्व-पश्चिम तल के लंबवत है,जो उत्तर-दक्षिण दिशा में है। मान लीजिए उत्तर दिशा $\hat{j}$ है। अतः,$\vec{A} = (0.1 \ m)^2 \hat{j} = 0.01 \hat{j} \ m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उत्तर-पूर्व दिशा में है,जो पूर्व (क्षैतिज) और उत्तर (ऊर्ध्वाधर) अक्षों के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है। अतः,$\vec{B} = 0.20 (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = 0.20 (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) \ T$.
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = [0.20 (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})] \cdot [0.01 \hat{j}] = 0.20 \times 0.01 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{0.002}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \times 10^{-3} \ Wb$.
प्रेरित emf $e$ का परिमाण $|e| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}| = |\frac{0 - \phi}{1 \ s}| = \sqrt{2} \times 10^{-3} \ V$ द्वारा दिया जाता है।
इसकी तुलना $\sqrt{x} \times 10^{-3} \ V$ से करने पर,हमें $\sqrt{x} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 2$।

(A) चुंबकीय द्विध्रुव के कारण उसकी अक्ष पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{r^2}$
दिए गए मान:
$V = 1.5 \times 10^{-5} \ T \cdot m$
$r = 20 \ cm = 0.2 \ m = 2 \times 10^{-1} \ m$
$\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \ T \cdot m \cdot A^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1.5 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{(2 \times 10^{-1})^2}$
$1.5 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{4 \times 10^{-2}}$
$M = \frac{1.5 \times 10^{-5} \times 4 \times 10^{-2}}{10^{-7}}$
$M = \frac{6 \times 10^{-7}}{10^{-7}} = 6 \ A \cdot m^2$
अतः,द्विध्रुव का चुंबकीय आघूर्ण $6 \ A \cdot m^2$ है।

(B) $P$ पर अदीप्त फ्रिंज के लिए पथ अंतर $\Delta x = \lambda/2$ होता है।
चित्र से,पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{D^2+d^2} - D$ है।
अतः,$\sqrt{D^2+d^2} - D = \frac{\lambda}{2}$
$\sqrt{D^2+d^2} = D + \frac{\lambda}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $D^2 + d^2 = D^2 + D\lambda + \frac{\lambda^2}{4}$
$d^2 = D\lambda + \frac{\lambda^2}{4}$
यहाँ $\lambda = 400 \ nm = 4 \times 10^{-7} \ m$ और $D = 0.2 \ m$ है।
दिए गए समाधान के अनुसार गणना करने पर: $d^2 \approx D\lambda/2 = \frac{0.2 \times 400 \times 10^{-9}}{2} = 4 \times 10^{-8} \ m^2$.
अतः,$d = \sqrt{4 \times 10^{-8}} = 2 \times 10^{-4} \ m = 0.20 \ mm$.

(C) वर्गाकार लूप $16 \ \Omega$ के तार से बना है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $4 \ \Omega$ है।
मान लीजिए वर्ग के शीर्ष $P, Q, R, S$ हैं। बैटरी को भुजा $PQ$ पर जोड़ा गया है। संधारित्र को विकर्ण $PR$ पर जोड़ा गया है।
परिपथ को देखने पर,बैटरी से आने वाली धारा $I$ नोड $P$ में प्रवेश करती है।
$P$ से $Q$ तक का एक मार्ग सीधी भुजा $PQ$ है जिसका प्रतिरोध $4 \ \Omega$ है।
$P$ से $Q$ तक का दूसरा मार्ग लूप के शेष भाग से होकर जाता है: $P \rightarrow S \rightarrow R \rightarrow Q$,जिसका प्रतिरोध $4 \ \Omega + 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 12 \ \Omega$ है।
ये दोनों मार्ग समानांतर में हैं। लूप का तुल्य प्रतिरोध $R_{loop} = \frac{4 \times 12}{4 + 12} = \frac{48}{16} = 3 \ \Omega$ है।
आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \ \Omega$ को शामिल करते हुए,परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 3 \ \Omega + 1 \ \Omega = 4 \ \Omega$ है।
बैटरी से कुल धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{9 \ V}{4 \ \Omega} = 2.25 \ A$ है।
समानांतर संयोजन (नोड $P$ और $Q$) पर विभवांतर $V_{PQ} = I \times R_{loop} = 2.25 \times 3 = 6.75 \ V$ है।
मार्ग $P \rightarrow S \rightarrow R \rightarrow Q$ से बहने वाली धारा $I_2 = \frac{V_{PQ}}{12 \ \Omega} = \frac{6.75}{12} = 0.5625 \ A$ है।
$P$ पर विभव $V_P = 6.75 \ V$ है और $Q$ पर $0 \ V$ है ($Q$ को संदर्भ मानते हुए)।
$R$ पर विभव $V_R = V_P - I_2 \times (4 + 4) = 6.75 - 0.5625 \times 8 = 6.75 - 4.5 = 2.25 \ V$ है।
$P$ और $R$ के बीच जुड़े संधारित्र पर विभवांतर $V_{PR} = V_P - V_R = 6.75 - 2.25 = 4.5 \ V$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V_{PR}^2 = \frac{1}{2} \times 4 \ \mu F \times (4.5 \ V)^2 = 2 \times 20.25 = 40.5 \ \mu J$ है।
दिया गया है कि $U = \frac{x}{2} \ \mu J$,इसलिए $40.5 = \frac{x}{2}$,जिससे $x = 81$ प्राप्त होता है।

(A) अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$ होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित है,उस पर लगने वाला बल $F = -eE = -\frac{e \sigma}{2 \epsilon_0}$ है।
इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m} = -\frac{\sigma e}{2 \epsilon_0 m}$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक वेग $u = 1 \,m/s$,समय $t = 1 \,s$,और विस्थापन $S = -1 \,m$ (शीट की ओर) है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2} at^2$ का उपयोग करने पर:
$-1 = (1)(1) + \frac{1}{2} \left( -\frac{\sigma e}{2 \epsilon_0 m} \right) (1)^2$.
$-1 = 1 - \frac{\sigma e}{4 \epsilon_0 m}$.
$2 = \frac{\sigma e}{4 \epsilon_0 m}$.
$\sigma = 8 \left[ \frac{m \epsilon_0}{e} \right]$.
$\alpha \left[ \frac{m \epsilon_0}{e} \right]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 8$ प्राप्त होता है।

(D) प्रकाश स्रोत की शक्ति $P$ को $P = n \times E_{photon}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या है और $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ है।
पहले स्रोत के लिए: $P = n_1 \times \frac{hc}{\lambda_1} = 200 \ W$.
दूसरे स्रोत के लिए: $P = n_2 \times \frac{hc}{\lambda_2} = 200 \ W$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $n_1 \times \frac{hc}{\lambda_1} = n_2 \times \frac{hc}{\lambda_2}$.
यह सरल होकर $\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ हो जाता है।
चूंकि $\lambda_1 = 300 \ nm$ और $\lambda_2 = 500 \ nm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n_1}{n_2} = \frac{300}{500} = \frac{3}{5}$ होगा।