JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કારણ કે $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,તેથી ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ સમાન હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$LHL$ ની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\tan((a+1)x) + b \tan x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\tan((a+1)x)}{x} + \frac{b \tan x}{x} \right) = (a+1) + b$.
હવે,$RHL$ ની ગણતરી કરીએ:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{ax + b^2x^2} - \sqrt{ax}}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{ax}(\sqrt{1 + \frac{b^2}{a}x} - 1)}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + \frac{b^2}{a}x} - 1}{b x}$.
$(1+u)^{1/2} \approx 1 + \frac{u}{2}$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 + \frac{b^2}{2a}x - 1}{b x} = \frac{b^2}{2ab} = \frac{b}{2a}$.
$LHL$ અને $RHL$ ને સરખાવતા:
$a + 1 + b = \frac{b}{2a}$.
વિકલ્પો મુજબ $\frac{b}{a} = 6$ લેતા,$b = 6a$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા: $a + 1 + 6a = \frac{6a}{2a} \Rightarrow 7a + 1 = 3 \Rightarrow 7a = 2 \Rightarrow a = 2/7$.
તેથી $b = 12/7$. આમ,$\frac{b}{a} = 6$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(x, b)$,$(24, b)$,$(24, -b)$,અને $(x, -b)$ છે.
શિરોબિંદુ $(x, b)$ એ પરવલય $y^2=2x$ પર આવેલું હોવાથી,આપણી પાસે $b^2=2x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{b^2}{2}$.
લંબચોરસની પહોળાઈ $(24 - x) = (24 - \frac{b^2}{2})$ છે અને ઊંચાઈ $2b$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A = 2b(24 - \frac{b^2}{2}) = 48b - b^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $b$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{db} = 48 - 3b^2$.
$\frac{dA}{db} = 0$ લેતા,આપણને $3b^2 = 48$ મળે છે,તેથી $b^2 = 16$,જે $b = 4$ આપે છે (કારણ કે $b > 0$).
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 48(4) - (4)^3 = 192 - 64 = 128$ છે.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3} = t$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A(t, 2t+1, 3t+2)$ છે.
બિંદુ $Q(1, 6, 4)$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $A$ હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{QA} = (t-1)\hat{i} + (2t-5)\hat{j} + (3t-2)\hat{k}$ એ રેખાની દિશાના સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને લંબ હોય.
તેથી,$\overrightarrow{QA} \cdot \vec{b} = 0 \implies 1(t-1) + 2(2t-5) + 3(3t-2) = 0$.
$t - 1 + 4t - 10 + 9t - 6 = 0 \implies 14t - 17 = 0 \implies t = \frac{17}{14}$.
લંબપાદ $A$ ના યામ $(\frac{17}{14}, 2(\frac{17}{14})+1, 3(\frac{17}{14})+2) = (\frac{17}{14}, \frac{48}{14}, \frac{79}{14})$ મળે.
$A$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $Q(1, 6, 4)$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી $\frac{\alpha+1}{2} = \frac{17}{14}$,$\frac{\beta+6}{2} = \frac{48}{14}$,અને $\frac{\gamma+4}{2} = \frac{79}{14}$.
$\alpha = \frac{17}{7} - 1 = \frac{10}{7}$,$\beta = \frac{48}{7} - 6 = \frac{6}{7}$,$\gamma = \frac{79}{7} - 4 = \frac{51}{7}$.
તેથી $2\alpha + \beta + \gamma = 2(\frac{10}{7}) + \frac{6}{7} + \frac{51}{7} = \frac{20+6+51}{7} = \frac{77}{7} = 11$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx + xy(x dy + y dx) = 0$ છે.
$xy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{y} - \frac{dx}{x} + (x dy + y dx) = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{dy}{y} - \int \frac{dx}{x} + \int d(xy) = \int 0$.
આથી $\ln|y| - \ln|x| + xy = C$ મળે,જે $\ln|\frac{y}{x}| + xy = C$ છે.
$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$\ln|\frac{2}{1}| + (1)(2) = C \implies C = \ln 2 + 2$.
સામાન્ય ઉકેલમાં $C$ ની કિંમત મૂકતા:
$\ln|\frac{y}{x}| + xy = \ln 2 + 2$.
પદોને ગોઠવતા: $\ln|\frac{y}{x}| - \ln 2 = 2 - xy$.
$\ln|\frac{y}{2x}| = -(xy - 2)$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $|\frac{y}{2x}| = e^{-(xy - 2)}$.
$|y| = 2|x| e^{-(xy - 2)}$.
$e^{xy-2}$ વડે ગુણતા: $|y| e^{xy-2} = 2|x|$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\alpha |x| = |y| e^{xy-\beta}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 2$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 2 + 2 = 4$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{1}{(x-1)^{4/5}(x+3)^{6/5}} dx$ છે.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{1}{\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{4/5} (x+3)^{4/5+6/5}} dx = \int \frac{1}{\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{4/5} (x+3)^2} dx$.
ધારો કે $t = \frac{x-1}{x+3}$. તો $dt = \frac{(x+3)(1) - (x-1)(1)}{(x+3)^2} dx = \frac{4}{(x+3)^2} dx$.
તેથી,$\frac{1}{(x+3)^2} dx = \frac{1}{4} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t^{4/5}} \cdot \frac{1}{4} dt = \frac{1}{4} \int t^{-4/5} dt = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/5}}{1/5} + C = \frac{5}{4} \left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{1/5} + C$.
આને $A\left(\frac{\alpha x-1}{\beta x+3}\right)^B + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{5}{4}$,$\alpha = 1$,$\beta = 1$,અને $B = \frac{1}{5}$ મળે છે.
અંતે,$\alpha + \beta + 20AB = 1 + 1 + 20 \times \frac{5}{4} \times \frac{1}{5} = 2 + 5 = 7$.

(B) ધારો કે રેખા $L$ એ રેખા $L_1: \frac{x-2}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1} = \lambda$ ને બિંદુ $M(2+\lambda, -\lambda, 1+\lambda)$ પર અને રેખા $L_2: \frac{x+1}{1/2} = \frac{y-1}{1/2} = \frac{z+1}{1} = \mu$ ને બિંદુ $N(-1+\mu/2, 1+\mu/2, -1+\mu)$ પર છેદે છે.
રેખા $L$ એ $\langle 3, 1, 2 \rangle$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર હોવાથી,સદિશ $\vec{MN}$ એ $\langle 3, 1, 2 \rangle$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{MN} = \langle \mu/2 - \lambda - 3, \mu/2 + \lambda + 1, \mu - \lambda - 2 \rangle$.
$\vec{MN} \parallel \langle 3, 1, 2 \rangle$ હોવાથી,$\frac{\mu/2 - \lambda - 3}{3} = \frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1} = \frac{\mu - \lambda - 2}{2}$.
$\frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1} = \frac{\mu - \lambda - 2}{2}$ પરથી,$\mu + 2\lambda + 2 = \mu - \lambda - 2 \Rightarrow 3\lambda = -4 \Rightarrow \lambda = -4/3$.
$\frac{\mu/2 - \lambda - 3}{3} = \frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1}$ પરથી,$\mu/2 - \lambda - 3 = 3\mu/2 + 3\lambda + 3 \Rightarrow -\mu = 4\lambda + 6$. $\lambda = -4/3$ મૂકતા,$-\mu = 4(-4/3) + 6 = 2/3 \Rightarrow \mu = -2/3$.
બિંદુ $M = (2/3, 4/3, -1/3)$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-2/3}{3} = \frac{y-4/3}{1} = \frac{z+1/3}{2} = k$ છે.
$L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2/3 + 3k, 4/3 + k, -1/3 + 2k)$ છે.
$2/3 + 3k = -1/3 \Rightarrow 3k = -1 \Rightarrow k = -1/3$ લેતા.
$k = -1/3$ માટે,બિંદુ $(-1/3, 1, -1)$ મળે છે.

(A) $y^2=4x$ અને $x^2+y^2=5$ ના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે $y^2=4x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+4x-5=0$
$(x+5)(x-1)=0$
પરવલય માટે $x \ge 0$ હોવાથી,$x=1$ મળે,જે $y=\pm 2$ આપે છે.
નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ પરવલય અને વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે,જે $x$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \left[ \int_0^1 \sqrt{4x} \, dx + \int_1^{\sqrt{5}} \sqrt{5-x^2} \, dx \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \Big|_0^1 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \Big|_1^{\sqrt{5}} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} + \left( 0 + \frac{5}{2} \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{1}{2} \sqrt{4} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{4}{3} + \frac{5\pi}{4} - 1 - \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right]$
$= 2 \times \left[ \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right]$
$= \frac{2}{3} + 5 \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$
$\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{2}{3} + 5 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$ થાય.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2 y - 5) \frac{dy}{dx} = -3$.
ચલને અલગ કરતા: $(2 y - 5) dy = -3 dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (2 y - 5) dy = \int -3 dx$.
$y^2 - 5 y = -3 x + C$.
વક્ર બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 1$ મુકતા: $(1)^2 - 5(1) = -3(0) + C \Rightarrow C = -4$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y^2 - 5 y + 3 x + 4 = 0$ છે.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $y^2 - 5 y = -3 x - 4$.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $(y - \frac{5}{2})^2 = -3 x - 4 + \frac{25}{4} = -3 x + \frac{9}{4} = -3(x - \frac{3}{4})$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$ છે.
રેખા $2 x + 3 y = k$ માટે વિકલ્પો તપાસતા: $2(\frac{3}{4}) + 3(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{15}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
આમ,શિરોબિંદુ $2 x + 3 y = 9$ રેખા પર આવેલું છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $3x + 5y + \lambda z = 3$
$(2)$ $7x + 11y - 9z = 2$
$(3)$ $97x + 155y - 189z = \mu$
સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} 3 & 5 & \lambda \\ 7 & 11 & -9 \\ 97 & 155 & -189 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$3(-2079 + 1395) - 5(-1323 + 873) + \lambda(1085 - 1067) = 0$
$3(-684) - 5(-450) + 18\lambda = 0$
$-2052 + 2250 + 18\lambda = 0$
$198 + 18\lambda = 0 \implies \lambda = -11$.
હવે,$\lambda = -11$ મૂકતા:
$(1)$ $3x + 5y - 11z = 3$
$(2)$ $7x + 11y - 9z = 2$
$(3)$ $97x + 155y - 189z = \mu$
અનંત ઉકેલો માટે,ત્રીજું સમીકરણ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ધારો કે $(3) = a(1) + b(2)$:
$3a + 7b = 97$ અને $5a + 11b = 155$.
ઉકેલતા $a = 9$ અને $b = 10$ મળે છે.
તેથી,$\mu = 9(3) + 10(2) = 47$.
$\mu + 2\lambda = 47 + 2(-11) = 47 - 22 = 25$.

(C) આપણી પાસે $I = \int \frac{2-\tan x}{3+\tan x} dx = \int \frac{2 \cos x - \sin x}{3 \cos x + \sin x} dx$ છે.
ધારો કે $2 \cos x - \sin x = A(3 \cos x + \sin x) + B(-3 \sin x + \cos x)$.
$\cos x$ અને $\sin x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$3A + B = 2$ અને $A - 3B = -1$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $A = \frac{1}{2}$ અને $B = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{-3 \sin x + \cos x}{3 \cos x + \sin x} \right) dx$.
$I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln |3 \cos x + \sin x| + C$.
આને $\frac{1}{2}(\alpha x + \ln |\beta \sin x + \gamma \cos x|) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$,$\beta = 1$,અને $\gamma = 3$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \frac{\gamma}{\beta} = 1 + \frac{3}{1} = 4$.

(D) પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OC}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OC}| = |2 \overrightarrow{a} \times 3 \overrightarrow{b}| = 15$.
$6 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = 15 \implies |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \dots (1)$.
વિકર્ણો $\overrightarrow{OB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ ધરાવતા ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{b} - 2 \overrightarrow{a}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(6 \overrightarrow{a} + 5 \overrightarrow{b}) \times (3 \overrightarrow{b} - 2 \overrightarrow{a})|$.
$= \frac{1}{2} |18 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - 12 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) + 15 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) - 10 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})|$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |18 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 10 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = \frac{1}{2} |28 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = 14 |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી કિંમત મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= 14 \times \frac{5}{2} = 35$ ચોરસ એકમ.

(D) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{x-1}{2x+3}\right)$ ના પ્રદેશ માટે,$\sin^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1$. છેદની શરત: $2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$.
$2$. અસમતાની શરત: $\left|\frac{x-1}{2x+3}\right| \leq 1$.
$2x+3 \neq 0$ હોવાથી,$|x-1| \leq |2x+3|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-1)^2 \leq (2x+3)^2$.
$x^2 - 2x + 1 \leq 4x^2 + 12x + 9$.
$3x^2 + 14x + 8 \geq 0$.
અવયવ પાડતા: $(3x + 2)(x + 4) \geq 0$.
આ અસમતા $x \in (-\infty, -4] \cup [-\frac{2}{3}, \infty)$ માટે સાચી છે.
$3$. $x \neq -\frac{3}{2}$ ની શરત સાથે જોડતા:
પ્રદેશ $(-\infty, -4] \cup [-\frac{2}{3}, \infty) \setminus \{-\frac{3}{2}\}$ છે.
જોકે,પ્રશ્ન મુજબ પ્રદેશ $R - (\alpha, \beta)$ છે,જેનો અર્થ છે કે બાકાત રાખેલ વિસ્તાર એક વિવૃત અંતરાલ છે. પૂરક ગણ જોતા,બાકાત રાખેલ કિંમતો $(-4, -\frac{2}{3})$ છે.
આમ,$\alpha = -4$ અને $\beta = -\frac{2}{3}$.
$4$. $12\alpha\beta$ ની ગણતરી:
$12 \times (-4) \times (-\frac{2}{3}) = 12 \times \frac{8}{3} = 4 \times 8 = 32$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=ax^3+bx^2+cx+41$.
પ્રથમ વિકલન: $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
આપેલ છે કે $f'(1)=2$,તેથી $3a+2b+c=2$ ... $(1)$.
દ્વિતીય વિકલન: $f''(x)=6ax+2b$.
આપેલ છે કે $f''(1)=4$,તેથી $6a+2b=4$,જેનું સાદું રૂપ $3a+b=2$ થાય છે ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(3a+2b+c) - (3a+b) = 2 - 2$
$b+c=0$ ... $(3)$.
આપેલ છે કે $f(1)=40$:
$a(1)^3+b(1)^2+c(1)+41=40$
$a+b+c+41=40$
$a+(b+c)=-1$.
$(3)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b+c=0$,તેથી $a+0=-1$,જે આપણને $a=-1$ આપે છે.
$a=-1$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$3(-1)+b=2$
$-3+b=2 \Rightarrow b=5$.
$(3)$ નો ઉપયોગ કરતા,$5+c=0 \Rightarrow c=-5$.
અંતે,$a^2+b^2+c^2 = (-1)^2 + (5)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 + 25 = 51$.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ સ્વરૂપમાં છે.
સમીકરણો પરથી,રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(3, -7, 1)$ અને $B(5, 9, -2)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{p} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{q} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{AB} = (5-3)\hat{i} + (9-(-7))\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 16\hat{j} - 3\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ શોધો:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -11 & 5 \\ 3 & -6 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-11 + 30) - \hat{j}(4 - 15) + \hat{k}(-24 + 33) = 19\hat{i} + 11\hat{j} + 9\hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર ($S$.d.) એ $\vec{n}$ પર $\vec{AB}$ નો પ્રક્ષેપ છે:
$S.d. = \left| \frac{\vec{AB} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right| = \left| \frac{(2\hat{i} + 16\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (19\hat{i} + 11\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{19^2 + 11^2 + 9^2}} \right|$
$S.d. = \left| \frac{38 + 176 - 27}{\sqrt{361 + 121 + 81}} \right| = \frac{187}{\sqrt{563}}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^2+y^2) dx = 5xy dy$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{5xy}$
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. $y = Vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = V + x \frac{dV}{dx}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $V + x \frac{dV}{dx} = \frac{x^2 + V^2x^2}{5x(Vx)} = \frac{1+V^2}{5V}$
$\Rightarrow x \frac{dV}{dx} = \frac{1+V^2}{5V} - V = \frac{1+V^2-5V^2}{5V} = \frac{1-4V^2}{5V}$
ચલનું અલગીકરણ કરતા: $\int \frac{5V}{1-4V^2} dV = \int \frac{dx}{x}$
ધારો કે $1-4V^2 = t$,તેથી $-8V dV = dt$,એટલે કે $V dV = -\frac{1}{8} dt$.
$\Rightarrow 5 \int \frac{-1/8}{t} dt = \int \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow -\frac{5}{8} \ln|t| = \ln|x| + C_1$
$\Rightarrow -5 \ln|1-4V^2| = 8 \ln|x| + C_2$
$\Rightarrow \ln|1-4V^2|^{-5} = \ln|x^8| + C_2$
$\Rightarrow |1-4V^2|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |1-4(\frac{y}{x})^2|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |\frac{x^2-4y^2}{x^2}|^{-5} = K x^8$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^{-5} \cdot (x^2)^5 = K x^8$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^{-5} = K x^{-2}$
$\Rightarrow |x^2-4y^2|^5 = C x^2$
આપેલ છે કે $y(1)=0$: $|1^2 - 4(0)^2|^5 = C(1)^2 \Rightarrow C = 1$.
આમ,ઉકેલ $|x^2-4y^2|^5 = x^2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\overrightarrow{c} = (\alpha - 5)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j} + (2 - 4)\hat{k} = (\alpha - 5)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેથી,$x = \alpha - 5$,$y = 1$,અને $z = -2$.
સદિશો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}| = 5\sqrt{6}$ પણ થાય.
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 4 & 2 \\ \alpha-5 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 2) - \hat{j}(-2\alpha - 2(\alpha - 5)) + \hat{k}(\alpha - 4(\alpha - 5))$
$= -10\hat{i} - \hat{j}(-2\alpha - 2\alpha + 10) + \hat{k}(\alpha - 4\alpha + 20) = -10\hat{i} - (10 - 4\alpha)\hat{j} + (20 - 3\alpha)\hat{k}$.
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}|^2 = (-10)^2 + (4\alpha - 10)^2 + (20 - 3\alpha)^2 = (10\sqrt{6} \times 2)^2 = 400 \times 6 = 2400$.
$100 + 16\alpha^2 - 80\alpha + 100 + 400 - 120\alpha + 9\alpha^2 = 600$.
$25\alpha^2 - 200\alpha + 600 = 600 \Rightarrow 25\alpha^2 - 200\alpha = 0$.
$25\alpha(\alpha - 8) = 0$. કારણ કે $\alpha > 0$,તેથી $\alpha = 8$.
હવે $x = 8 - 5 = 3, y = 1, z = -2$.
$|\overrightarrow{c}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$.

(A) ચતુષ્ફલકીય પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac \geq 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $b^2 \geq 4ac$.
આપણે $b \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે કિંમતો ચકાસીએ:
$1$. જો $b = 1$,તો $b^2 = 1$. $1 \geq 4ac$ માટે $a, c \in \{1, 2, 3, 4\}$ માં કોઈ ઉકેલ નથી.
$2$. જો $b = 2$,તો $b^2 = 4$. $4 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 1$. માત્ર એક ઉકેલ $(a, c) = (1, 1)$ મળે છે. ($1$ કિસ્સો)
$3$. જો $b = 3$,તો $b^2 = 9$. $9 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 2.25$. શક્ય જોડીઓ $(a, c)$ એ $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$ છે. ($3$ કિસ્સા)
$4$. જો $b = 4$,તો $b^2 = 16$. $16 \geq 4ac \Rightarrow ac \leq 4$. શક્ય જોડીઓ $(a, c)$ એ $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)$ છે. ($8$ કિસ્સા)
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $1 + 3 + 8 = 12$.
સંભાવના $P = \frac{12}{64} = \frac{3}{16}$ છે.
આમ,$m = 3$ અને $n = 16$. $\operatorname{gcd}(3, 16) = 1$ હોવાથી,$m + n = 3 + 16 = 19$.

(C) પ્રથમ,અસમતા $\frac{x^2+x+2}{x^2+5x+6} < 0$ ઉકેલો.
અંશ $x^2+x+2$ માટે વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(2) = -7 < 0$ હોવાથી,તે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે.
તેથી,અસમતા $\frac{1}{(x+2)(x+3)} < 0$ માં પરિણમે છે,જેનો અર્થ છે કે $(x+2)(x+3) < 0$.
આથી $x \in (-3, -2)$ મળે છે.
હવે,વિધેય $f(x) = 1 + x\lambda^2 - x^3$ લો.
વિકલન કરતા: $f'(x) = \lambda^2 - 3x^2$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લેતા: $3x^2 = \lambda^2 \Rightarrow x = \pm \frac{\lambda}{\sqrt{3}}$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટી મુજબ: $f''(x) = -6x$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ માટે $f''(x) > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $-6x > 0 \Rightarrow x < 0$.
આમ,સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ $x = -\frac{\lambda}{\sqrt{3}}$ છે.
આ બિંદુ $x \in (-3, -2)$ માં હોવાથી:
$-3 < -\frac{\lambda}{\sqrt{3}} < -2$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાશે:
$2 < \frac{\lambda}{\sqrt{3}} < 3$
$2\sqrt{3} < \lambda < 3\sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha = 2\sqrt{3}$ અને $\beta = 3\sqrt{3}$.
પરિણામે $\alpha^2 + \beta^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 12 + 27 = 39$.

(D) આપેલ લક્ષને રીમાન સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{n}{\sqrt{n^4+r^4}} - \frac{2 n r^2}{(n^2+r^2) \sqrt{n^4+r^4}} \right)$
સરવાળાની અંદર અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા:
$S = \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} - \frac{2x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}} \right) dx$
$S = \int_0^1 \frac{1-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}} dx$
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$S = \int_0^1 \frac{\frac{1}{x^2}-1}{(x+\frac{1}{x})\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}} dx$
ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$,તો $dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$. જ્યારે $x \to 0^+, t \to \infty$ અને જ્યારે $x \to 1, t \to 2$:
$S = -\int_{\infty}^2 \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}} = \int_2^{\infty} \frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}}$
ધારો કે $t^2 - 2 = u^2$,તો $t dt = u du$:
$S = \int_0^{\infty} \frac{u du}{(u^2+2)u} = \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2+2}$
$S = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) \right]_0^{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$
આપેલ છે કે $S = \frac{\pi}{k}$,તેથી $k = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$k^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$. (નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ $k^2 = 32$ સાચો જવાબ છે.)

(B) $f$ એ $x=\frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x)$ થવું જોઈએ.
$1$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} (\frac{8}{7})^{\frac{\tan 8x}{\tan 7x}}$.
જ્યારે $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $\tan 8x \rightarrow \tan 4\pi = 0$ અને $\tan 7x \rightarrow \tan \frac{7\pi}{2} = \infty$. તેથી,ઘાતાંક $\frac{\tan 8x}{\tan 7x} \rightarrow 0$. આમ,$LHL$ $= (\frac{8}{7})^0 = 1$.
$2$. $x=\frac{\pi}{2}$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય: $f(\frac{\pi}{2}) = a-8$.
$3$. જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} (1+|\cot x|)^{\frac{b}{a}|\tan x|}$.
ધારો કે $t = |\cot x|$. જ્યારે $x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+$,ત્યારે $t \rightarrow 0$ અને $|\tan x| = \frac{1}{t}$.
લક્ષ $\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{\frac{b}{a} \cdot \frac{1}{t}} = e^{\lim_{t \rightarrow 0} \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{t} \cdot t} = e^{\frac{b}{a}}$ બને છે.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $1 = a-8 = e^{\frac{b}{a}}$.
$1 = a-8$ પરથી,$a=9$ મળે છે.
$1 = e^{\frac{b}{a}}$ પરથી,$\frac{b}{a} = 0$,તેથી $b=0$ મળે છે.
આમ,$a^2+b^2 = 9^2 + 0^2 = 81$.

(C) અહીં $A$ એ $3$ ક્રમનો શ્રેણિક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det} M)^{n-1} = (\operatorname{det} M)^2$.
પ્રથમ,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A)))$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $k = \operatorname{det} A$. તો $\operatorname{adj}(kA) = k^2 \operatorname{adj}(A)$.
તેથી,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(k^2 \operatorname{adj} A))) = (\operatorname{det}(2k^2 \operatorname{adj} A))^2 = (2^3 k^6 \operatorname{det}(\operatorname{adj} A))^2 = (2^3 k^6 k^2)^2 = 2^6 k^{16}$.
આપેલ છે કે $2^6 k^{16} = 2^{-10} 3^{-13}$.
હવે,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = (\operatorname{det}(2A))^2 = (2^3 \operatorname{det} A)^2 = 2^6 k^2$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ $m=-4$ અને $n=-1$ લેતા,$|3m+2n| = |3(-4) + 2(-1)| = |-12-2| = 14$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(m+n) = f(m) + f(n)$ છે.
આ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,જે દર્શાવે છે કે $f(x) = cx$.
$f(1) = 1$ હોવાથી,$c = 1$ મળે,તેથી $f(x) = x$.
હવે,$\sum_{k=1}^{2022} f(\lambda+k) \leq (2022)^2$ માં કિંમત મૂકતા:
$\sum_{k=1}^{2022} (\lambda+k) \leq (2022)^2$.
$2022\lambda + \frac{2022 \times 2023}{2} \leq (2022)^2$.
$2022$ વડે ભાગતા: $\lambda + 1011.5 \leq 2022$.
$\lambda \leq 1010.5$.
તેથી,સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $\lambda = 1010$ છે.

(B) સંબંધ $R$ એ $A \times B$ પર એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત છે કે $(a_1, b_1) R (a_2, b_2)$ જો $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ હોય,જ્યાં $a_1, a_2 \in A$ અને $b_1, b_2 \in B$.
શરત $a_1 + a_2 = b_1 + b_2$ ને $a_1 - b_1 = b_2 - a_2$ તરીકે લખી શકાય છે.
ધારો કે $S = \{a - b : a \in A, b \in B\}$.
તફાવત $a - b$ ની શક્ય કિંમતો:
$2-4 = -2, 2-5 = -3, 2-6 = -4, 2-8 = -6$
$3-4 = -1, 3-5 = -2, 3-6 = -3, 3-8 = -5$
$6-4 = 2, 6-5 = 1, 6-6 = 0, 6-8 = -2$
$7-4 = 3, 7-5 = 2, 7-6 = 1, 7-8 = -1$
દરેક તફાવત $k = a - b$ ની આવૃત્તિ:
$k = -6: 1$ (જોડ $(2,8)$)
$k = -5: 1$ (જોડ $(3,8)$)
$k = -4: 1$ (જોડ $(2,6)$)
$k = -3: 2$ (જોડ $(2,5), (3,6)$)
$k = -2: 3$ (જોડ $(2,4), (3,5), (6,8)$)
$k = -1: 2$ (જોડ $(3,4), (7,8)$)
$k = 0: 1$ (જોડ $(6,6)$)
$k = 1: 2$ (જોડ $(6,5), (7,6)$)
$k = 2: 2$ (જોડ $(6,4), (7,5)$)
$k = 3: 1$ (જોડ $(7,4)$)
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા આ આવૃત્તિઓના વર્ગોનો સરવાળો છે: $1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2 = 30$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $25$ છે.

(A) બિંદુઓ $(1, 2, 3)$ અને $(2, 3, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z-3}{5-3} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $B = (1+\lambda, 2+\lambda, 3+2\lambda)$ છે.
જે રેખાની દિશામાં અંતર માપવાનું છે તે રેખા $\frac{x-11/3}{2/3} = \frac{y-11/3}{1/3} = \frac{z-19/3}{2/3}$ છે.
આ રેખા બિંદુ $A\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}, \frac{19}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશાના ગુણોત્તર $\langle 2, 1, 2 \rangle$ છે.
બિંદુ $B$ આ રેખા પર હોવાથી,સદિશ $\vec{AB}$ એ $\langle 2, 1, 2 \rangle$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{AB} = \left(\lambda-\frac{8}{3}, \lambda-\frac{5}{3}, 2\lambda-\frac{10}{3}\right) = \frac{1}{3} \langle 3\lambda-8, 3\lambda-5, 6\lambda-10 \rangle$.
$\vec{AB}$ એ $\langle 2, 1, 2 \rangle$ ને સમાંતર હોવાથી,$\frac{3\lambda-8}{2} = \frac{3\lambda-5}{1} = \frac{6\lambda-10}{2}$.
$\frac{3\lambda-8}{2} = 3\lambda-5$ પરથી,$3\lambda-8 = 6\lambda-10 \Rightarrow 3\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ મુકતા,$\vec{AB} = \frac{1}{3} \langle -6, -3, -6 \rangle = \langle -2, -1, -2 \rangle$.
અંતર $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\int_0^x \sqrt{1-\left(y^{\prime}(t)\right)^2} dt = \int_0^x y(t) dt$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{1-\left(y^{\prime}(x)\right)^2} = y(x)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1-y^2$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{1-y^2}$.
$y(0)=0$ અને $y \geq 0$ હોવાથી,આપણે ધન મૂળ પસંદ કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\sin^{-1}(y) = x + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(0)=0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C=0$ મળે છે,તેથી $\sin^{-1}(y) = x$,જેનો અર્થ છે $y = \sin(x)$.
હવે,વિકલિતો મેળવીએ:
$y^{\prime} = \cos(x)$ અને $y^{\prime \prime} = -\sin(x)$.
આ કિંમતોને $y^{\prime \prime} + y + 1$ માં મૂકતા:
$-\sin(x) + \sin(x) + 1 = 1$.
આમ,$x=2$ આગળ,કિંમત $1$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલય $x^2+3y^2=18$ છે,જેને $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{6}=1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉપવલય અને રેખા $y=x$ ના છેદબિંદુ માટે,$y=x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+3x^2=18 \Rightarrow 4x^2=18 \Rightarrow x^2=\frac{9}{2} \Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt{2}}$.
પ્રદેશ $x$-અક્ષ,રેખા $y=x$ અને ઉપવલય દ્વારા ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ સુધીના ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અને $x=\frac{3}{\sqrt{2}}$ થી $x=3\sqrt{2}$ સુધીના ઉપવલયની નીચેના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{4}$.
ઉપવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ = $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{\frac{18-x^2}{3}} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}} \sqrt{18-x^2} dx$.
સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{x}{2}\sqrt{18-x^2} + 9\sin^{-1}(\frac{x}{3\sqrt{2}})]_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^{3\sqrt{2}}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}} [\frac{9\pi}{2} - (\frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{27}{2}} + 9\cdot\frac{\pi}{4})] = \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{9}{4} + \frac{3\sqrt{3}\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $g(x) = \sin 3x + \cos 3x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
તેથી,છેદ $2 + \sin 3x + \cos 3x$ નો વિસ્તાર $[2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}]$ થાય.
આમ,$f(x) = \frac{1}{2 + \sin 3x + \cos 3x}$ નો વિસ્તાર $[a, b] = \left[\frac{1}{2 + \sqrt{2}}, \frac{1}{2 - \sqrt{2}}\right]$ છે.
અંતિમ બિંદુઓનું સંમેયીકરણ કરતા: $a = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ અને $b = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$.
$\alpha = \frac{a + b}{2}$ અને $\beta = \sqrt{ab}$ હોવાથી,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{a + b}{2\sqrt{ab}}$.
$a + b = 2$ અને $ab = \frac{1}{2}$.
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{2\sqrt{1/2}} = \sqrt{2}$.

(B) વિધાન $-I$ માટે:
આપેલ છે $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$.
$\vec{a} \times \vec{r} = \vec{a} \times \vec{b} \implies \vec{a} \times (\vec{r}-\vec{b}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{r}-\vec{b} = k\vec{a}$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
તેથી,$\vec{r} = \vec{b} + k\vec{a}$.
આપેલ છે $\vec{a} \cdot \vec{r} = 0$,તેથી $\vec{a} \cdot (\vec{b} + k\vec{a}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + k|\vec{a}|^2 = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) + (-3)(-1) = 2+2+3 = 7$.
$|\vec{a}|^2 = 1^2+2^2+(-3)^2 = 1+4+9 = 14$.
$7 + 14k = 0 \implies k = -\frac{1}{2}$.
$\vec{r} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a} = (2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - \frac{1}{2}(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}) = \frac{3}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k}$.
માન $|\vec{r}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
કારણ કે $\frac{\sqrt{10}}{2} \neq \sqrt{10}$,વિધાન $-I$ ખોટું છે.
વિધાન $-II$ માટે:
$\triangle ABC$ માં,$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = -1 - 4\cos A \cos B \cos C$.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે અસમતા $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \geq -\frac{3}{2}$ એ પ્રમાણિત પરિણામ છે. તેથી,વિધાન $-II$ સાચું છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \int_{x^3}^{(\pi / 2)^3} (\sin (2 t^{1 / 3}) + \cos (t^{1 / 3})) dt$. લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
Leibniz ના નિયમ મુજબ,$f'(x) = -(\sin(2x) + \cos(x)) \cdot 3x^2$.
લક્ષ $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-3x^2(\sin(2x) + \cos(x))}{2(x - \frac{\pi}{2})}$ બને છે.
$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ માટે,$h = x - \frac{\pi}{2}$ લેતા,$x = h + \frac{\pi}{2}$.
$= \lim _{h}$ ${\rightarrow 0} \frac{-3(h + \frac{\pi}{2})^2(\sin(2h + \pi) + \cos(h + \frac{\pi}{2}))}{2h} = \frac{9\pi^2}{8}$.

(D) આપેલ છે કે $BCB^{-1}=A$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(BCB^{-1})(BCB^{-1}) = A^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $BC^2B^{-1} = A^2$ થાય છે.
આપેલ શરત $AB^{-1}=A^{-1}$ પરથી,$A^2 = B$ મળે છે.
$BCB^{-1}=A$ હોવાથી,$A^2 = (BCB^{-1})(BCB^{-1}) = BC^2B^{-1}$ થાય.
આમ,$B = BC^2B^{-1}$,જે સૂચવે છે કે $C^2 = B$.
$C^2 = B$ હોવાથી,$B$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|B-\lambda I| = 0$ થાય.
$|\begin{bmatrix} 1-\lambda & 3 \\ 1 & 5-\lambda \end{bmatrix}| = (1-\lambda)(5-\lambda) - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 5 - 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 2 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$C^4 - 6C^2 + 2I = O$.
આને $C^4 + \alpha C^2 + \beta I = O$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -6$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
તેથી,$2\beta - \alpha = 2(2) - (-6) = 4 + 6 = 10$.

(D) આપેલ છે કે $\ln y = 3 \sin^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} y' = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} \implies y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ,$y = e^{3 \sin^{-1}(1/2)} = e^{3(\pi/6)} = e^{\pi/2}$.
તેથી,$y' = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{1-(1/2)^2}} = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{3} e^{\pi/2}$.
હવે,$y' \sqrt{1-x^2} = 3y$ નું વિકલન કરતા:
$y'' \sqrt{1-x^2} + y' \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \right) = 3y'$.
બંને બાજુ $\sqrt{1-x^2}$ વડે ગુણતા:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3y' \sqrt{1-x^2}$.
$y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$ મુકતા:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3 \left( \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}} \right) \sqrt{1-x^2} = 9y$.
$x = \frac{1}{2}$ આગળ,$y = e^{\pi/2}$,તેથી કિંમત $9 e^{\pi/2}$ થાય.

(D) ધારો કે $I = \int_{1/4}^{3/4} \cos \left(2 \cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) dx$.
નિત્યસમ $\cot^{-1} \theta = \tan^{-1} (1/\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ મળે.
તેથી,સંકલ્ય $\cos \left(2 \tan^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)$ બને છે.
સૂત્ર $\cos(2 \tan^{-1} \theta) = \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$.
તેથી $\theta^2 = \frac{1+x}{1-x}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1 - \frac{1+x}{1-x}}{1 + \frac{1+x}{1-x}} = \frac{\frac{1-x-1-x}{1-x}}{\frac{1-x+1+x}{1-x}} = \frac{-2x}{2} = -x$.
હવે,સંકલનનું મૂલ્ય મેળવીએ: $I = \int_{1/4}^{3/4} (-x) dx = -\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1/4}^{3/4}$.
$I = -\frac{1}{2} \left( \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 \right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{9}{16} - \frac{1}{16} \right) = -\frac{1}{2} \left( \frac{8}{16} \right) = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^2 1 \cdot \log _e(x+\sqrt{x^2+1}) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u dv = uv - \int v du$,જ્યાં $u = \log _e(x+\sqrt{x^2+1})$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) dx = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$ અને $v = x$.
$I = [x \log _e(x+\sqrt{x^2+1})]_{-1}^2 - \int_{-1}^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$.
$I = [x \log _e(x+\sqrt{x^2+1}) - \sqrt{x^2+1}]_{-1}^2$.
$I = (2 \log _e(2+\sqrt{5}) - \sqrt{5}) - (-1 \log _e(-1+\sqrt{2}) - \sqrt{2})$.
$I = 2 \log _e(2+\sqrt{5}) + \log _e(\sqrt{2}-1) - \sqrt{5} + \sqrt{2}$.
કારણ કે $\log _e(\sqrt{2}-1) = \log _e(\frac{1}{\sqrt{2}+1}) = -\log _e(\sqrt{2}+1)$,તેથી:
$I = \log _e(2+\sqrt{5})^2 - \log _e(\sqrt{2}+1) - \sqrt{5} + \sqrt{2}$.
$I = \sqrt{2} - \sqrt{5} + \log _e\left(\frac{9+4\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1}\right)$.

(D) વિકર્ણો $\vec{d}_1$ અને $\vec{d}_2$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિકર્ણો $\vec{d}_1 = \vec{a}+\vec{b} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{d}_2 = \vec{b}+\vec{c} = -\hat{i} + \beta\hat{j}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & \alpha & 2 \\ -1 & \beta & 0 \end{vmatrix} = -2\beta\hat{i} - 2\hat{j} + (\alpha+\beta)\hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \sqrt{4\beta^2 + 4 + (\alpha+\beta)^2} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4\beta^2 + 4 + \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta = 21$.
$\alpha\beta = -6$ આપેલ હોવાથી: $\alpha^2 + 5\beta^2 + 2(-6) + 4 = 21 \implies \alpha^2 + 5\beta^2 = 29$.
પૂર્ણાંક ઉકેલો માટે: જો $\beta=2, \alpha=-3$ તો $9 + 20 = 29$ અને જો $\beta=-2, \alpha=3$ તો $9 + 20 = 29$.
તેથી $(\alpha_1, \beta_1) = (-3, 2)$ અને $(\alpha_2, \beta_2) = (3, -2)$ લેતા.
$\alpha_1^2 + \beta_1^2 - \alpha_2\beta_2 = 9 + 4 - (3)(-2) = 9 + 4 + 6 = 19$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = (p^2 - 6p + 8)(\sin^2 2x - \cos^2 2x) + 2(2 - p)x + 7$.
$\cos 4x = \cos^2 2x - \sin^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = -(p^2 - 6p + 8)\cos 4x + 2(2 - p)x + 7$ મળે.
$f(x)$ ને કોઈ ક્રાંતિક બિંદુ ન હોય તે માટે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \neq 0$ હોવું જોઈએ.
$f'(x) = 4(p^2 - 6p + 8)\sin 4x + 2(2 - p)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$4(p - 4)(p - 2)\sin 4x = 2(p - 2)$ મળે.
જો $p = 2$ હોય,તો તમામ $x$ માટે $f'(x) = 0$ થાય,તેથી $p \neq 2$.
$p \neq 2$ માટે,$\sin 4x = \frac{2(p - 2)}{4(p - 4)(p - 2)} = \frac{1}{2(p - 4)}$.
કોઈ ક્રાંતિક બિંદુ ન હોય તે માટે,સમીકરણ $\sin 4x = \frac{1}{2(p - 4)}$ નો કોઈ ઉકેલ ન હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\left| \frac{1}{2(p - 4)} \right| > 1$ હોય.
$|2(p - 4)| < 1 \implies -1 < 2p - 8 < 1 \implies 7 < 2p < 9 \implies p \in (3.5, 4.5)$.
આમ,$a = 3.5 = \frac{7}{2}$ અને $b = 4.5 = \frac{9}{2}$.
$16ab = 16 \times \frac{7}{2} \times \frac{9}{2} = 4 \times 7 \times 9 = 252$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 3y = \alpha$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(y e^{-3x}) = \alpha e^{-3x}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y e^{-3x} = \int \alpha e^{-3x} dx = \frac{\alpha e^{-3x}}{-3} + C$.
આમ,$y = -\frac{\alpha}{3} + C e^{3x}$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 7$,જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $e^{3x} \rightarrow 0$. તેથી,$7 = -\frac{\alpha}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -21$.
$\alpha = -21$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$y = 7 + C e^{3x}$ મળે.
$f(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = 7 + C$,તેથી $C = -6$.
આમ,$f(x) = 7 - 6 e^{3x}$.
હવે,$f(-\log_e 3) = 7 - 6 e^{3(-\log_e 3)} = 7 - 6 e^{\log_e(3^{-3})} = 7 - 6(3^{-3}) = 7 - 6(\frac{1}{27}) = 7 - \frac{6}{27} = 7 - \frac{2}{9} = \frac{63-2}{9} = \frac{61}{9}$.
તેથી,$9 f(-\log_e 3) = 9 \times \frac{61}{9} = 61$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x + 3y = 23$ છે જ્યાં $x, y \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ).
આપણે $(x, y)$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધીએ:
જો $x = 1$,$2(1) + 3y = 23 \implies 3y = 21 \implies y = 7$. તેથી,$(1, 7) \in A$.
જો $x = 4$,$2(4) + 3y = 23 \implies 3y = 15 \implies y = 5$. તેથી,$(4, 5) \in A$.
જો $x = 7$,$2(7) + 3y = 23 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. તેથી,$(7, 3) \in A$.
જો $x = 10$,$2(10) + 3y = 23 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. તેથી,$(10, 1) \in A$.
આમ,$A = \{(1, 7), (4, 5), (7, 3), (10, 1)\}$. $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
ગણ $B$ એ $A$ ના ઘટકોના $x$-યામોનો બનેલો છે,તેથી $B = \{1, 4, 7, 10\}$. $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 4$ છે.
$4$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી બીજા $4$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા એ ઘટકોના ક્રમચય જેટલી હોય છે,જે $4!$ દ્વારા મળે છે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{4} = \lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(3\lambda+1, 2\lambda, 4\lambda+2)$ છે.
$AM$ એ રેખા $L$ ને લંબ હોવાથી,દિશા સદિશ $\vec{AM} = (3\lambda-5, 2\lambda-1, 4\lambda-3)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{b} = (3, 2, 4)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{AM} \cdot \vec{b} = 0 \implies 3(3\lambda-5) + 2(2\lambda-1) + 4(4\lambda-3) = 0$.
$9\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 16\lambda - 12 = 0 \implies 29\lambda - 29 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ મૂકતા,આપણને $M(4, 2, 6)$ મળે છે.
ધારો કે $I(x, y, z)$ એ બિંદુ $A(6, 1, 5)$ નું રેખામાં પ્રતિબિંબ છે. $M$ એ $AI$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x+6}{2} = 4, \frac{y+1}{2} = 2, \frac{z+5}{2} = 6$.
$x+6 = 8 \implies x = 2$; $y+1 = 4 \implies y = 3$; $z+5 = 12 \implies z = 7$.
તેથી,પ્રતિબિંબ બિંદુ $I(2, 3, 7)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $I(2, 3, 7)$ ના અંતરનો વર્ગ $2^2 + 3^2 + 7^2 = 4 + 9 + 49 = 62$ થાય.

(A) આપણને સમીકરણ $2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$ આપેલું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$.
આ કિંમતને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\pi - 2 \cos ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\pi + \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5} - \pi$
$\cos ^{-1} x = -\frac{3 \pi}{5}$
$\cos ^{-1} x$ ના મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી, $-\frac{3 \pi}{5}$ આ વિસ્તારની બહાર છે.
તેથી, $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
આમ, વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) સમીકરણ સંહતિ $AX = B$ નીચે મુજબ છે:
$2x - 5y = 20$
$3x + my = m$
નિશ્ચાયક $|A| = 2m - (-15) = 2m + 15$ મળે છે.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$|A| \neq 0$,તેથી $m \neq -15/2$.
$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{\begin{vmatrix} 20 & -5 \\ m & m \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{25m}{2m + 15}$
$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 20 \\ 3 & m \end{vmatrix}}{|A|} = \frac{2m - 60}{2m + 15}$
$x < 0$ માટે: $\frac{25m}{2m + 15} < 0 \implies m \in (-\frac{15}{2}, 0)$.
$y < 0$ માટે: $\frac{2m - 60}{2m + 15} < 0 \implies m \in (-\frac{15}{2}, 30)$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ $m \in (-\frac{15}{2}, 0)$ છે,તેથી $a = -15/2$ અને $b = 0$.
હવે,$8 \int_{-15/2}^0 (2m + 15) dm$ ની ગણતરી કરતા:
$8 [m^2 + 15m]_{-15/2}^0 = 8 [0 - ((\frac{-15}{2})^2 + 15(\frac{-15}{2}))]$
$= 8 [0 - (\frac{225}{4} - \frac{225}{2})] = 8 [\frac{225}{4}] = 450$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{c} = (2 \bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}$.
$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|}$.
પ્રથમ,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2 \bar{a} \times \bar{b} - 3 \bar{b}) = 2 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) - 3 |\bar{b}|^2$ ગણો.
કારણ કે $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$ (કારણ કે ક્રોસ પ્રોડક્ટ બંને સદિશોને લંબ હોય છે),તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0 - 3(4)^2 = -48$.
આગળ,$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2 - 12 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9(16) - 0$ ગણો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$.
તેથી,$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 144 = 48 + 144 = 192$,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.
હવે,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.