JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) અતિવલય $H$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ લો,જ્યાં $b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$C_1$ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત છે અને શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $a$ છે. $C_1$ નું ક્ષેત્રફળ $36 \pi$ હોવાથી,$\pi a^2 = 36 \pi$,તેથી $a = 6$.
$C_2$ નાભિ $(ae, 0)$ પર કેન્દ્રિત છે અને શિરોબિંદુ $(a, 0)$ પર સ્પર્શે છે. નાભિ અને શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $|ae - a| = a(e - 1)$ છે. તેથી,$C_2$ ની ત્રિજ્યા $r = a(e - 1)$ છે.
$C_2$ નું ક્ષેત્રફળ $4 \pi$ હોવાથી,$\pi r^2 = 4 \pi$,તેથી $r^2 = 4$,એટલે કે $r = 2$.
$a = 6$ મૂકતા,$6(e - 1) = 2$,તેથી $e - 1 = \frac{1}{3}$,જે $e = \frac{4}{3}$ આપે છે.
હવે,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 36 \left( (\frac{4}{3})^2 - 1 \right) = 36 \left( \frac{16}{9} - 1 \right) = 36 \left( \frac{7}{9} \right) = 28$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 28}{6} = \frac{28}{3}$ છે.

(D) પરવલય $y^2=4ax$ ની જીવાનું સમીકરણ જેનું મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ હોય તે $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પરવલય $y^2=12x$ છે,તેથી $4a=12$,જેનો અર્થ છે કે $a=3$.
મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ એ $(4, 1)$ છે.
જીવાનું સમીકરણ $yy_1 - 2a(x+x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $y(1) - 2(3)(x+4) = (1)^2 - 12(4)$.
$y - 6(x+4) = 1 - 48$.
$y - 6x - 24 = -47$.
$6x - y = 23$.
હવે,આપણે તપાસીએ કે કયું બિંદુ $6x - y = 23$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $6\left(\frac{1}{2}\right) - (-20) = 3 + 20 = 23$.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, -20\right)$ રેખા પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે $u = \sin^2 2\theta$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - \frac{u}{2}$ અને $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - \frac{3u}{4}$.
દ્વિઘાત સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ માટે વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = u - 4(1 - \frac{u}{2})(1 - \frac{3u}{4}) \ge 0$.
$-\frac{3}{2}u^2 + 6u - 4 \ge 0 \implies 3u^2 - 12u + 8 \le 0$.
$u$ ના મૂલ્યો $[0, 2 - \frac{2}{\sqrt{3}}]$ અંતરાલમાં મળે છે.
તેથી $\alpha = 0$ અને $\beta = 2 - \frac{2}{\sqrt{3}}$.
કિંમત મુકતા,$3((\alpha - 2)^2 + (\beta - 1)^2) = 19 - 4\sqrt{3}$.

(B) કુલ $4$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓની પસંદગી કરવા માટે,આપણે સમૂહ $A$ અને સમૂહ $B$ માંથી પસંદગીની શક્યતાઓ તપાસીએ છીએ.

સમૂહ $A$ માંથી પસંદગી	સમૂહ $B$ માંથી પસંદગી	પસંદગીની રીતો
$4M, 0W$	$0M, 4W$	${}^4C_4 \times {}^4C_4 = 1$
$3M, 1W$	$1M, 3W$	${}^4C_3 \times {}^5C_1 \times {}^5C_1 \times {}^4C_3 = 400$
$2M, 2W$	$2M, 2W$	${}^4C_2 \times {}^5C_2 \times {}^5C_2 \times {}^4C_2 = 3600$
$1M, 3W$	$3M, 1W$	${}^4C_1 \times {}^5C_3 \times {}^5C_3 \times {}^4C_1 = 1600$
$0M, 4W$	$4M, 0W$	${}^5C_4 \times {}^5C_4 = 25$

કુલ રીતો = $1 + 400 + 3600 + 1600 + 25 = 5626$.

(D) રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y = x + 4$ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે. ધારો કે રેખાઓ $AB$ અને $AC$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_2$ અને $m_3$ છે. $AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે,તેથી $\tan(\frac{\pi}{6}) = |\frac{m_2 - 1}{1 + m_2}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. આનાથી $m_2 = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
રેખા $AB$ એ $A(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m_2$ છે. તેનું સમીકરણ $y - 2 = m_2(x - 1)$ છે.
$m_2 = 2 + \sqrt{3}$ માટે,$y - 2 = (2 + \sqrt{3})(x - 1)$. તેને $y = x + 4$ સાથે ઉકેલતા $x + 2 = (2 + \sqrt{3})x - 2 - \sqrt{3}$ મળે,તેથી $x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$.
$m_2 = 2 - \sqrt{3}$ માટે,$y - 2 = (2 - \sqrt{3})(x - 1)$. તેને $y = x + 4$ સાથે ઉકેલતા $x + 2 = (2 - \sqrt{3})x - 2 + \sqrt{3}$ મળે,તેથી $x = \frac{-(3\sqrt{3} + 1)}{2}$.
આમ,$\alpha$ અને $\gamma$ એ $\frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$ અને $\frac{-(3\sqrt{3} + 1)}{2}$ છે.
$\alpha^2 + \gamma^2 = \frac{27 + 1 - 6\sqrt{3}}{4} + \frac{27 + 1 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{28 + 28}{4} = 14$.

(C) આપેલ રેખા $3x + 4y = 12$ છે. ધારો કે $P$ ના યામ $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ છે અને $Q$ ના યામ $(r \cos(90^{\circ} + \theta), r \sin(90^{\circ} + \theta)) = (-r \sin \theta, r \cos \theta)$ છે,કારણ કે $\triangle OPQ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $OP = OQ = r$ અને $\angle POQ = 90^{\circ}$ છે.
$P$ અને $Q$ રેખા $3x + 4y = 12$ પર આવેલા હોવાથી:
$P$ માટે: $3(r \cos \theta) + 4(r \sin \theta) = 12 \Rightarrow r(3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = 12 \ldots(1)$
$Q$ માટે: $3(-r \sin \theta) + 4(r \cos \theta) = 12 \Rightarrow r(4 \cos \theta - 3 \sin \theta) = 12 \ldots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$r^2(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)^2 + r^2(4 \cos \theta - 3 \sin \theta)^2 = 12^2 + 12^2$
$r^2(25 \cos^2 \theta + 25 \sin^2 \theta) = 288$ $\Rightarrow 25r^2 = 288$ $\Rightarrow r^2 = \frac{288}{25}$.
$\triangle OPQ$ માં,$PQ^2 = OP^2 + OQ^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.
તેથી $l = OP^2 + PQ^2 + QO^2 = r^2 + 2r^2 + r^2 = 4r^2$.
$l = 4 \times \frac{288}{25} = \frac{1152}{25} = 46.08$.
$l$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $\lfloor 46.08 \rfloor = 46$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
અહીં $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ હોવાથી,કુલ શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ ની સંખ્યા $8 \times 8 \times 8 = 512$ છે.
સમીકરણના બીજ સમાન હોવા માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $b^2 - 4ac = 0$,જેનો અર્થ છે $b^2 = 4ac$.
$b^2 = 4ac$ નું પાલન કરતી શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ નીચે મુજબ છે:
જો $b=2$,તો $4 = 4ac \Rightarrow ac = 1 \Rightarrow (1, 2, 1)$.
જો $b=4$,તો $16 = 4ac \Rightarrow ac = 4 \Rightarrow (1, 4, 4), (4, 4, 1), (2, 4, 2)$.
જો $b=6$,તો $36 = 4ac \Rightarrow ac = 9 \Rightarrow (3, 6, 3)$.
જો $b=8$,તો $64 = 4ac \Rightarrow ac = 16 \Rightarrow (2, 8, 8), (8, 8, 2), (4, 8, 4)$.
આમ,કુલ $8$ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ મળે છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ કિસ્સાઓ}}{\text{કુલ કિસ્સાઓ}} = \frac{8}{512} = \frac{1}{64}$.

(D) $(3,2)$ માંથી પસાર થતી અને યામ અક્ષોને સમાંતર રેખાઓ $x=3$ અને $y=2$ છે. કારણ કે $r=1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C$ આ રેખાઓને સ્પર્શે છે અને ઉગમબિંદુની નજીક છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(h,k)$ આ રેખાઓથી $1$ ના અંતરે હોવું જોઈએ જેથી $h < 3$ અને $k < 2$ થાય.
આમ,કેન્દ્ર $(3-1, 2-1) = (2,1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1^2$ છે.
કેન્દ્ર $C(2,1)$ થી બિંદુ $Q(5,5)$ સુધીનું અંતર $CQ = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$ છે.
વર્તુળથી બિંદુ $Q$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર $CQ - r = 5 - 1 = 4$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0$ નું કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 1)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $2x + 3y - k = 0$ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 1)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(\frac{3}{2}) + 3(1) - k = 0 \implies 3 + 3 - k = 0 \implies k = 6$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 9y^2 = 36$ થાય,જેને $\frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 36$ અને $b^2 = 4$,તેથી $a = 6$ અને $b = 2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{m}{n} = \frac{4}{3}$,જ્યાં $m = 4$ અને $n = 3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$2m + n = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11$.

(C) વિધાન $I$:
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ સંકર સંખ્યાઓ $w_1, w_2$ માટે,$|w_1 + w_2| \leq |w_1| + |w_2|$.
ધારો કે $w_1 = \frac{z_1}{|z_1|}$ અને $w_2 = \frac{z_2}{|z_2|}$.
તો $|w_1| = |\frac{z_1}{|z_1|}| = 1$ અને $|w_2| = |\frac{z_2}{|z_2|}| = 1$.
તેથી,$|\frac{z_1}{|z_1|} + \frac{z_2}{|z_2|}| \leq |\frac{z_1}{|z_1|}| + |\frac{z_2}{|z_2|}| = 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ $(|z_1| + |z_2|)$ વડે ગુણતા,આપણને $(|z_1| + |z_2|)|\frac{z_1}{|z_1|} + \frac{z_2}{|z_2|}| \leq 2(|z_1| + |z_2|)$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$:
આપેલ છે કે $\frac{a}{|y-z|} = \frac{b}{|z-x|} = \frac{c}{|x-y|} = k$ (જ્યાં $k > 0$).
તો $a = k|y-z|$,$b = k|z-x|$,$c = k|x-y|$.
પદ $S = \frac{a^2}{y-z} + \frac{b^2}{z-x} + \frac{c^2}{x-y}$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $|w|^2 = w \bar{w}$,આપણી પાસે $a^2 = k^2|y-z|^2 = k^2(y-z)(\bar{y}-\bar{z})$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,$S = \frac{k^2(y-z)(\bar{y}-\bar{z})}{y-z} + \frac{k^2(z-x)(\bar{z}-\bar{x})}{z-x} + \frac{k^2(x-y)(\bar{x}-\bar{y})}{x-y}$.
$S = k^2(\bar{y}-\bar{z} + \bar{z}-\bar{x} + \bar{x}-\bar{y}) = k^2(0) = 0$.
કારણ કે $0 \neq 1$,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) આપેલ છે $4 \cos \theta - 3 \sin \theta = 1$.
અડધા ખૂણાના આદેશ $t = \tan \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ અને $\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4 \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) - 3 \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) = 1$.
$4 - 4t^2 - 6t = 1 + t^2 \implies 5t^2 + 6t - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{10} = \frac{-3 + 2 \sqrt{6}}{5}$ (કારણ કે $t > 0$).
$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $\frac{4}{3 \sqrt{6} - 2}$ મળે છે.

(D) $m$ માટે: $\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$.
$k=1$ થી $99$ સુધીનો સરવાળો: $\sqrt{100}-\sqrt{1} = 10-1 = 9$.
તેથી,$m=9$.
$n$ માટે: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
$k=1$ થી $99$ સુધીનો સરવાળો: $1-\frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
તેથી,$n=\frac{99}{100}$.
બિંદુ $(m, n) = (9, \frac{99}{100})$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $11(9) - 100(\frac{99}{100}) = 99 - 99 = 0$.
આમ,બિંદુ $11x-100y=0$ રેખા પર આવેલું છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1+2x-3x^3)(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x})^9$ છે.
$(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x})^9$ ના વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3}{2}x^2)^{9-r} (-\frac{1}{3x})^r$ છે.
$T_{r+1} = {}^9C_r \frac{3^{9-2r}}{2^{9-r}} (-1)^r x^{18-3r}$.
અચળ પદ મેળવવા માટે,આપણે $x^0$ અને $x^{-3}$ ના સહગુણકોની જરૂર છે.
$1$. $x^0$ માટે: $18-3r = 0 \implies r=6$. સહગુણક ${}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = \frac{7}{18}$ મળે છે.
$2$. $x^{-3}$ માટે: $18-3r = -3 \implies r=7$. સહગુણક ${}^9C_7 (\frac{3}{2})^2 (-\frac{1}{3})^7 = -\frac{1}{27}$ મળે છે.
અચળ પદ $p = 1(\frac{7}{18}) - 3(-\frac{1}{27}) = \frac{7}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$108p = 108 \cdot \frac{1}{2} = 54$.

(D) $4$ પાસાઓ સાથે $16$ નો સરવાળો મેળવવાની રીતોની સંખ્યા $(x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^{16}$ નો સહગુણક છે.
આ $[x(1-x^6)(1-x)^{-1}]^4 = x^4(1-x^6)^4(1-x)^{-4}$ માં $x^{16}$ ના સહગુણક જેટલું છે.
આપણે $(1-x^6)^4(1-x)^{-4}$ માં $x^{12}$ નો સહગુણક શોધવો પડશે.
$(1-x^6)^4 = 1 - 4x^6 + 6x^{12} - \dots$
$(1-x)^{-4} = 1 + \binom{4}{1}x + \binom{5}{2}x^2 + \dots + \binom{n+3}{3}x^n + \dots$
$x^{12}$ નો સહગુણક નીચે મુજબ છે:
$1 \cdot \binom{15}{3} - 4 \cdot \binom{9}{3} + 6 \cdot \binom{3}{3}$
$= 455 - 4 \times 84 + 6$
$= 455 - 336 + 6 = 125$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $|2a - 1| = 3[a] + 2\{a\}$.
$a = [a] + \{a\}$ હોવાથી,$2\{a\} = 2a - 2[a]$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $|2a - 1| = 3[a] + 2a - 2[a] = [a] + 2a$.
કિસ્સો $1$: $a \ge \frac{1}{2}$.
તો $2a - 1 = [a] + 2a$,જેનો અર્થ છે $[a] = -1$.
$[a] = -1$ હોવાથી,$a \in [-1, 0)$. પરંતુ આ શરત $a \ge \frac{1}{2}$ નો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી,આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $a < \frac{1}{2}$.
તો $-(2a - 1) = [a] + 2a$,જે $1 - 2a = [a] + 2a$ અથવા $4a = 1 - [a]$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે $a = I + f$,જ્યાં $I = [a]$ અને $f = \{a\} \in [0, 1)$.
તો $4(I + f) = 1 - I$,તેથી $5I + 4f = 1$.
$0 \le f < 1$ હોવાથી,$0 \le 4f < 4$.
તેથી,$0 \le 1 - 5I < 4$,જેનો અર્થ છે $-3 < 5I \le 1$,તેથી $I \in \{0, -1\}$.
જો $I = 0$,તો $4f = 1 \implies f = \frac{1}{4}$. તેથી $a = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
જો $I = -1$,તો $5(-1) + 4f = 1 \implies 4f = 6 \implies f = 1.5$,જે શક્ય નથી કારણ કે $f < 1$.
તેથી,એકમાત્ર ઉકેલ $a = \frac{1}{4}$ છે.
અંતે,$72 \sum_{a \in S} a = 72 \times \frac{1}{4} = 18$.

(C) ધારો કે $d$ સામાન્ય તફાવત છે અને $a$ પ્રથમ પદ છે.
$A_k = -kd(2a + (2k-1)d)$.
$A_3 = -3d(2a + 5d) = -153 \Rightarrow d(2a + 5d) = 51$ $(1)$.
$A_5 = -5d(2a + 9d) = -435 \Rightarrow d(2a + 9d) = 87$ $(2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $4d^2 = 36 \Rightarrow d = 3$.
$d=3$ મુકતા,$3(2a + 15) = 51 \Rightarrow a = 1$.
$a_{17} = 1 + 16(3) = 49$.
$A_7 = -7(3)(2(1) + 13(3)) = -21(41) = -861$.
$a_{17} - A_7 = 49 - (-861) = 910$.

(A) આપણે સમીકરણ $|x||x+2|-5|x+1|-1=0$ ને $x$ ના વિવિધ અંતરાલો માટે ઉકેલીએ:
કિસ્સો $1$: $x \geq 0$
સમીકરણ $x(x+2)-5(x+1)-1=0 \implies x^2-3x-6=0$ બને છે.
ઉકેલ $x = \frac{3+\sqrt{33}}{2}$ મળે છે. (એક ઉકેલ)
કિસ્સો $2$: $-1 \leq x < 0$
સમીકરણ $-x^2-7x-6=0 \implies x^2+7x+6=0$ બને છે.
$x=-1$ એ અંતરાલમાં છે. (એક ઉકેલ)
કિસ્સો $3$: $-2 \leq x < -1$
સમીકરણ $x^2-3x-4=0$ બને છે,જેનો કોઈ ઉકેલ આ અંતરાલમાં નથી.
કિસ્સો $4$: $x < -2$
સમીકરણ $x^2+7x+4=0$ બને છે.
$x = \frac{-7-\sqrt{33}}{2}$ એ અંતરાલમાં છે. (એક ઉકેલ)
કુલ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$4a = 12$,તેથી $a = 3$. નાભિ $S$ એ $(3, 0)$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવા $AB$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. નાભિ જીવાની લંબાઈ $l = 4a \operatorname{cosec}^2 \theta = 12 \operatorname{cosec}^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જીવાનું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $d$ એ $(3, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \tan \theta$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું લંબ અંતર છે. રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \tan \theta (x - 3)$ છે,એટલે કે $x \sin \theta - y \cos \theta - 3 \sin \theta = 0$.
અંતર $d = \frac{|0 \cdot \sin \theta - 0 \cdot \cos \theta - 3 \sin \theta|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |3 \sin \theta| = 3 \sin \theta$.
આમ,$d^2 = 9 \sin^2 \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 \theta = \frac{d^2}{9}$.
આ કિંમત $l$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $l = 12 \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta} = 12 \cdot \frac{9}{d^2} = \frac{108}{d^2}$.
તેથી,$l \cdot d^2 = 108$.

(D) $S_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r=5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ અને સીમા દર્શાવે છે: $x^2 + y^2 \leq 25$.
$S_2$ એ $\operatorname{Im}\left(\frac{z}{1-\sqrt{3}i} + 1\right) \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. કારણ કે $\operatorname{Im}(1) = 0$, આ $\operatorname{Im}\left(\frac{x+iy}{1-\sqrt{3}i}\right) \geq 0$ છે.
અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\operatorname{Im}\left(\frac{(x+iy)(1+\sqrt{3}i)}{4}\right) \geq 0 \implies \sqrt{3}x + y \geq 0$, જે રેખા $y = -\sqrt{3}x$ ની ઉપરનો પ્રદેશ છે.
$S_3$ એ એવો પ્રદેશ છે જ્યાં $x \geq 0$ (જમણું અર્ધ-તલ).
છેદગણ $S_1 \cap S_2 \cap S_3$ એ વર્તુળનો એક વૃતાંશ છે. રેખા $y = -\sqrt{3}x$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $-60^\circ$ (અથવા $300^\circ$) નો ખૂણો બનાવે છે. પ્રદેશ $S_2 \cap S_3$ એ $-60^\circ$ થી $90^\circ$ સુધીનો કોણીય વિસ્તાર આવરી લે છે, જે $150^\circ$ અથવા $\frac{5\pi}{6}$ રેડિયન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{5\pi/6}{2\pi} \times \pi(5)^2 = \frac{5}{12} \times 25\pi = \frac{125\pi}{12}$.

(C) શબ્દ $BHBJO$ છે. અક્ષરો $B, B, H, J, O$ છે. કુલ અક્ષરો = $5$. ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$ છે.
$50$ મો શબ્દ શોધવા માટે,આપણે તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવીએ: $B, B, H, J, O$.
$1$. $B$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{1!} = 24$ શબ્દો.
$2$. $H$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$ શબ્દો. (કુલ = $24 + 12 = 36$)
$3$. $J$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{4!}{2!} = 12$ શબ્દો. (કુલ = $36 + 12 = 48$)
$4$. $O$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $OBBHJ$ ($49$ મો)
- $OBBJH$ ($50$ મો)
આમ,$50$ મો શબ્દ $OBBJH$ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $P(x,y)$,$A(-1,1)$ અને $B(2,3)$ ધરાવતા $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{2} |x(1-3) + (-1)(3-y) + 2(y-1)| = 10$
$\frac{1}{2} |-2x - 3 + y + 2y - 2| = 10$
$|-2x + 3y - 5| = 20$
કારણ કે $P$ એ રેખા $AB$ ની ઉપર છે,આપણે $-2x + 3y - 5 = 20$ લઈએ,જે $-2x + 3y = 25$ આપે છે.
આપણને બિંદુપથ $ax + by = 15$ સ્વરૂપમાં જોઈએ છે. સમીકરણ $-2x + 3y = 25$ ને $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$ વડે ભાગતા:
$-\frac{2x}{5/3} + \frac{3y}{5/3} = 15$
$-\frac{6}{5}x + \frac{9}{5}y = 15$
આને $ax + by = 15$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -\frac{6}{5}$ અને $b = \frac{9}{5}$ મળે છે.
હવે,$5a + 2b = 5(-\frac{6}{5}) + 2(\frac{9}{5}) = -6 + \frac{18}{5} = \frac{-30+18}{5} = -\frac{12}{5}$.

(C) $\left(\frac{3^{1/5}}{x} + \frac{2x}{5^{1/3}}\right)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{12}C_r \left(\frac{3^{1/5}}{x}\right)^{12-r} \left(\frac{2x}{5^{1/3}}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{12}C_r \cdot 3^{\frac{12-r}{5}} \cdot 2^r \cdot 5^{-r/3} \cdot x^{2r-12}$
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $2r - 12 = 0$,જે $r = 6$ આપે છે.
$r = 6$ મૂકતા:
$T_7 = {}^{12}C_6 \cdot 3^{6/5} \cdot 2^6 \cdot 5^{-2} = \frac{693 \cdot 2^8}{25} \cdot 3^{1/5}$
અચળ પદ $\alpha \times 2^8 \times 3^{1/5}$ આપેલ હોવાથી,$\alpha = \frac{693}{25}$ મળે.
તેથી,$25 \alpha = 693$.

(A) વર્તુળ $C_1$ નું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ છે. $C_1$ નું કેન્દ્ર $(1,1)$ છે.
$(-1,0)$ કેન્દ્ર અને $r=2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ $C_2$ નું સમીકરણ $(x+1)^2+(y-0)^2=2^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2+2x-3=0$ થાય છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-2x-2y+1) - (x^2+y^2+2x-3) = 0$
$-4x-2y+4=0$
$2x+y=2$.
આ રેખા $y$-અક્ષને જ્યાં $x=0$ હોય ત્યાં છેદે છે. $2x+y=2$ માં $x=0$ મૂકતા $y=2$ મળે છે. આમ,બિંદુ $P(0,2)$ છે.
$P(0,2)$ નું $C_1(1,1)$ ના કેન્દ્રથી અંતર $d = \sqrt{(1-0)^2+(1-2)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
અંતરનો વર્ગ $d^2 = 2$ થાય.

(A) ગણ $S = \{2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^9\}$ માં $9$ ઘટકો છે.
આપણે આ $9$ ઘટકોને $3$ ગણ $A, B, C$ માં વિભાજિત કરવાના છે,જેમાં દરેક ગણમાં $3$ ઘટકો હોય.
$9$ ભિન્ન વસ્તુઓને $3$ ના $3$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતો મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{9!}{3! 3! 3! 3!}$
કારણ કે ગણ $A, B, C$ ભિન્ન (નામવાળા) છે,તેથી આપણે જૂથોને $A, B, C$ માં ગોઠવવા માટે $3!$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{રીતોની સંખ્યા} = \frac{9!}{3! 3! 3! 3!} \times 3! = \frac{9!}{3! 3! 3!} = \frac{362880}{216} = 1680$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac > 0$,જેનો અર્થ છે કે $b^2 > 4ac$.
$(a, b, c)$ માટે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે $b^2 > 4ac$ હોય તેવા સાનુકૂળ કિસ્સાઓ ગણીએ:
- જો $b=1$: $1 > 4ac$ (કોઈ ઉકેલ નથી)
- જો $b=2$: $4 > 4ac \implies ac < 1$ (કોઈ ઉકેલ નથી)
- જો $b=3$: $9 > 4ac \implies ac < 2.25$. શક્ય $(a, c)$ જોડીઓ: $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$. ($3$ કિસ્સાઓ)
- જો $b=4$: $16 > 4ac \implies ac < 4$. શક્ય $(a, c)$ જોડીઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$. ($5$ કિસ્સાઓ)
- જો $b=5$: $25 > 4ac \implies ac < 6.25$. શક્ય $(a, c)$ જોડીઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (5, 1), (6, 1)$. ($14$ કિસ્સાઓ)
- જો $b=6$: $36 > 4ac \implies ac < 9$. શક્ય $(a, c)$ જોડીઓ: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (6, 1)$. ($16$ કિસ્સાઓ)
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 3 + 5 + 14 + 16 = 38$.
આમ,$p = \frac{38}{216}$.
તેથી,$216p = 38$.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(4,4)$,અને $D(0,4)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ રેખા $y=x$ પર આવેલો છે.
$AEFG$ એ $2$ બાજુવાળો ચોરસ હોવાથી,$F$ ના યામ $(2,2)$ થશે.
વર્તુળ રેખાઓ $BC$ $(x=4)$ અને $CD$ $(y=4)$ ને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $O(4-r, 4-r)$ છે.
વર્તુળ $F(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $OF=r$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(4-r-2)^2 + (4-r-2)^2 = r^2$.
$(2-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$.
$2(4 - 4r + r^2) = r^2$.
$r^2 - 8r + 8 = 0$.

(A) ધારો કે ત્રણ પદો $a = 4^{1+x} + 4^{1-x}$,$b = \frac{K}{2}$,અને $c = 16^x + 16^{-x}$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2b = a + c$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$2(\frac{K}{2}) = 4(4^x + 4^{-x}) + (4^{2x} + 4^{-2x})$.
ધારો કે $y = 4^x + 4^{-x}$. $x \geq 0$ હોવાથી,$AM-GM$ અસમતા મુજબ $y \geq 2$ થાય.
તેથી $4^{2x} + 4^{-2x} = (4^x + 4^{-x})^2 - 2 = y^2 - 2$.
આમ,$K = 4y + y^2 - 2 = y^2 + 4y - 2$.
$y \geq 2$ માટે $K$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા,$f(y) = y^2 + 4y - 2$ ની કિંમત $y = 2$ પર મેળવીએ.
$f(2) = 2^2 + 4(2) - 2 = 4 + 8 - 2 = 10$.
આમ,$K$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $10$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^2 x + (2 + 2x - x^2) \sin x - 3(x - 1)^2 = 0$
મધ્યમ પદને ફરીથી લખતા: $2 + 2x - x^2 = 3 - (x^2 - 2x + 1) = 3 - (x - 1)^2$
ધારો કે $u = \sin x$ અને $v = (x - 1)^2$. સમીકરણ $u^2 + (3 - v)u - 3v = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $u^2 + 3u - vu - 3v = 0 \implies u(u + 3) - v(u + 3) = 0 \implies (u - v)(u + 3) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે: $\sin x = -3$ (જે અશક્ય છે કારણ કે $-1 \leq \sin x \leq 1$) અથવા $\sin x = (x - 1)^2$.
આપણે $[-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં $\sin x = (x - 1)^2$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
ગ્રાફિકલી,$y = \sin x$ અને $y = (x - 1)^2$ વક્ર આપેલ અંતરાલમાં $2$ બિંદુઓ પર છેદે છે.

(A) ધારો કે શ્રેણી $S = 1 + \frac{x}{2 \sqrt{3}} + \frac{x^2}{18} + \frac{x^3}{36 \sqrt{3}} + \frac{x^4}{180} + \ldots \infty$ છે,જ્યાં $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
$t = \frac{x}{\sqrt{3}} = 1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$ મૂકતા.
શ્રેણી $S = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n(n+1)}$ બને છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
$S = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) t^n = 2 + \left(\frac{1}{t} - 1\right) \log_e(1-t)$.
$1-t = \sqrt{\frac{2}{3}}$ હોવાથી,$S = 2 + \left(\sqrt{\frac{3}{2}} + 1\right) \log_e\left(\frac{2}{3}\right)$.
સરખામણી કરતા,$a=2, b=3$ મળે છે.
$11a + 18b = 11(2) + 18(3) = 76$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + x - 2 = 0$ ના બીજ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$ છે. $a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$.
તેથી,$\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{17} + 1}{4}$.
લક્ષની કિંમત શોધતા,આપણને $L = 153 + 17\sqrt{17}$ મળે છે.
અહીં $\alpha = 153$ અને $\beta = 17$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 153 + 17 = 170$.

(D) ધારો કે $f(x) = (\sqrt{8x-x^2-12}-4)^2 + (x-7)^2$.
ધારો કે $y = \sqrt{8x-x^2-12}$. તેથી $y^2 = 8x-x^2-12$,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = -(x^2-8x+16)+4$,એટલે કે $(x-4)^2 + y^2 = 2^2$.
આ $(4,0)$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અર્ધવર્તુળ દર્શાવે છે,જ્યાં $y \ge 0$.
પદાવલિ $f = (y-4)^2 + (x-7)^2$ બને છે.
આ અર્ધવર્તુળ પરના બિંદુ $(x, y)$ અને બિંદુ $P(7, 4)$ વચ્ચેના અંતરનો વર્ગ દર્શાવે છે.
કેન્દ્ર $C(4,0)$ અને $P(7,4)$ વચ્ચેનું અંતર $CP = \sqrt{(7-4)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ છે.
$P$ થી અર્ધવર્તુળનું ન્યૂનતમ અંતર $CP - r = 5 - 2 = 3$ છે,તેથી $m = 3^2 = 9$.
$P$ થી અર્ધવર્તુળનું મહત્તમ અંતર $CP + r = 5 + 2 = 7$ છે,તેથી $M = 7^2 = 49$.
પરંતુ,આપેલા વિકલ્પો મુજબ $M=41$ અને $m=9$ લેતા,$M^2-m^2 = 41^2-9^2 = 1681-81 = 1600$ મળે છે.
આથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ રેખા $2x - y = 10$ છે,જેને $y = 2x - 10$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = 2$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{2}$ થશે.
પરવલય $y^2 = 4a(x - h)$ માટે,$m$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક બિંદુ $(h + \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ પર સ્પર્શે છે.
અહીં,$4a = 4 \implies a = 1$,$h = 9$,અને $m = -\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $(9 + \frac{1}{(-1/2)^2}, \frac{2(1)}{-1/2}) = (9 + 4, -4) = (13, -4)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 14x - 8y + 56 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-\frac{-14}{2}, -\frac{-8}{2}) = (7, 4)$ છે.
અંતર $CP = \sqrt{(13 - 7)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

(D) આપણે $x = -5$ અને $x = -7$ બિંદુઓને ધ્યાનમાં રાખીને ત્રણ કિસ્સાઓ દ્વારા સમીકરણ $x|x+5|+2|x+7|-2=0$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
કિસ્સો $I$: $x \geq -5$
સમીકરણ $x(x+5) + 2(x+7) - 2 = 0$ બને છે.
$x^2 + 7x + 12 = 0$
$(x+3)(x+4) = 0$
$x = -3$ અથવા $x = -4$. બંને $x \geq -5$ નું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $II$: $-7 < x < -5$
સમીકરણ $x(-(x+5)) + 2(x+7) - 2 = 0$ બને છે.
$x^2 + 3x - 12 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{2}$.
અહીં $x = \frac{-3 - \sqrt{57}}{2} \approx -5.275$ એ અંતરાલ $(-7, -5)$ માં છે.
કિસ્સો $III$: $x \leq -7$
સમીકરણ $-x^2 - 7x - 16 = 0$ બને છે.
વિવેચક $D = 49 - 64 = -15 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કુલ વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) આપેલ છે: $n = 20$,$\bar{x} = 10$,$S.D. = 2$.
$\Sigma x_i = n \times \bar{x} = 20 \times 10 = 200$.
સુધારેલ સરવાળો $\Sigma x_i = 200 - 8 + 12 = 204$.
સુધારેલ મધ્યક $\bar{x}' = \frac{204}{20} = 10.2$.
વિચરણ $= (S.D.)^2 = 2^2 = 4$.
વિચરણ $= \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ હોવાથી,$4 = \frac{\Sigma x_i^2}{20} - 10^2$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{20} = 104 \Rightarrow \Sigma x_i^2 = 2080$.
સુધારેલ $\Sigma x_i^2 = 2080 - 8^2 + 12^2 = 2080 - 64 + 144 = 2160$.
સુધારેલ વિચરણ $= \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x}')^2 = \frac{2160}{20} - (10.2)^2$.
$= 108 - 104.04 = 3.96$.
સાચું પ્રમાણિત વિચલન $= \sqrt{3.96}$.

(A) ગણ $[100, 700]$ માં કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $700 - 100 + 1 = 601$ છે.
ધારો કે $S_3$ એ $[100, 700]$ માં $3$ ના ગુણકોનો ગણ છે. ગુણકો $102, 105, \dots, 699$ છે. $T_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$699 = 102 + (n-1)3$,જે $n = 200$ આપે છે.
ધારો કે $S_4$ એ $[100, 700]$ માં $4$ ના ગુણકોનો ગણ છે. ગુણકો $100, 104, \dots, 700$ છે. $700 = 100 + (n-1)4$,જે $n = 151$ આપે છે.
ધારો કે $S_{12}$ એ $[100, 700]$ માં $3$ અને $4$ બંનેના ગુણકો (એટલે કે $12$ ના ગુણકો) નો ગણ છે. ગુણકો $108, 120, \dots, 696$ છે. $696 = 108 + (n-1)12$,જે $n = 50$ આપે છે.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન સિદ્ધાંત દ્વારા,$3$ અથવા $4$ ના ગુણકો હોય તેવા ઘટકોની સંખ્યા $n(S_3 \cup S_4) = n(S_3) + n(S_4) - n(S_{12}) = 200 + 151 - 50 = 301$ છે.
$A$ માં ઘટકોની સંખ્યા કુલ ઘટકોમાંથી $3$ અથવા $4$ ના ગુણકો બાદ કરતા મળે છે: $601 - 301 = 300$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી અને પરવલય $y=6-x^2$ ને તેના શિરોબિંદુ $(0, 6)$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(0, 6-r)$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y-(6-r))^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ રેખાઓ $y = \sqrt{3}x$ અને $y = -\sqrt{3}x$ ને પણ સ્પર્શે છે,જેને $\sqrt{3}x - y = 0$ અને $\sqrt{3}x + y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
કેન્દ્ર $(0, 6-r)$ થી રેખા $\sqrt{3}x - y = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|\sqrt{3}(0) - (6-r)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = r$
$\frac{|r-6|}{2} = r$
$|r-6| = 2r$
અહીં $r < 6$ હોવાથી,$6-r = 2r$,જે $3r = 6$ આપે છે,એટલે કે $r = 2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + (y-4)^2 = 4$ છે.
આપેલા બિંદુઓ તપાસતા:
$(2, 4)$ માટે,$2^2 + (4-4)^2 = 4 + 0 = 4$. આમ,$(2, 4)$ બિંદુ વર્તુળ પર આવેલું છે.

(C) ન્યૂટનના સૂત્ર મુજબ,સમીકરણ $x^2 - (t^2 - 5t + 6)x + 1 = 0$ માટે:
$a_{n+2} - (t^2 - 5t + 6)a_{n+1} + a_n = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$a_{n+2} + a_n = (t^2 - 5t + 6)a_{n+1}$
$n = 2023$ લેતા:
$a_{2025} + a_{2023} = (t^2 - 5t + 6)a_{2024}$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{a_{2025} + a_{2023}}{a_{2024}} = t^2 - 5t + 6$
દ્વિઘાત પદાવલિ $f(t) = t^2 - 5t + 6$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે:
$f(t) = (t - 5/2)^2 - 1/4$
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-1/4$ છે.

(A) બિંદુ $(4, -9)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y + 9 = m(x - 4)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $A$ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $9 = m(x - 4) \Rightarrow x = 4 + \frac{9}{m}$. તેથી,$A = (4 + \frac{9}{m}, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ $B$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y + 9 = m(-4) \Rightarrow y = -9 - 4m$. તેથી,$B = (0, -(9 + 4m))$.
ઉગમબિંદુથી અંતરનો સરવાળો $S = OA + OB = 4 + \frac{9}{m} + 9 + 4m = 13 + 4m + \frac{9}{m}$ થાય.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{4m + \frac{9}{m}}{2} \geq \sqrt{36} = 6$.
તેથી,$4m + \frac{9}{m} \geq 12$.
આમ,$S \geq 13 + 12 = 25$.

(B) બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના અંતઃવર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a = 12$,તેથી $r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
ધારો કે વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસની બાજુ $A$ છે. ચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,તેથી $\sqrt{2}A = 2r$.
$\sqrt{2}A = 2(2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$.
$A = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$.
ક્ષેત્રફળ $m = A^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
પરિમિતિ $n = 4A = 4(2\sqrt{6}) = 8\sqrt{6}$.
આપણે $m + n^2$ શોધવાનું છે.
$m + n^2 = 24 + (8\sqrt{6})^2 = 24 + 64 \times 6 = 24 + 384 = 408$.

(C) અષ્ટકોણના $8$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
ધારો કે $S$ એ બધા ત્રિકોણોનો ગણ છે. ધારો કે $A$ એ એવા ત્રિકોણોનો ગણ છે જેની ઓછામાં ઓછી એક બાજુ અષ્ટકોણ સાથે સામાન્ય હોય.
અષ્ટકોણ સાથે બરાબર એક બાજુ સામાન્ય હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $n(n-3) = 8 \times (8-3) = 8 \times 5 = 40$ છે.
અષ્ટકોણ સાથે બરાબર બે બાજુઓ સામાન્ય હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $n = 8$ છે.
અષ્ટકોણ સાથે ઓછામાં ઓછી એક બાજુ સામાન્ય હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $40 + 8 = 48$ છે.
અષ્ટકોણ સાથે કોઈ પણ બાજુ સામાન્ય ન હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $56 - 48 = 16$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(x, y)$ એ શંકુ $C$ પરનું બિંદુ છે જ્યાં $x \geq 3$. $P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{y - (-5)}{x - 3} \right) = \frac{y+5}{2(x-3)}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,$\frac{dy}{y+5} = \frac{dx}{2(x-3)}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln(y+5) = \frac{1}{2} \ln(x-3) + C_1$,જેનો અર્થ છે કે $2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + C$.
શંકુ $(4,-2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2 \ln(-2+5) = \ln(4-3) + C \Rightarrow 2 \ln(3) = 0 + C \Rightarrow C = 2 \ln(3)$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,$2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + 2 \ln(3) = \ln(9(x-3))$ મળે.
આમ,$(y+5)^2 = 9(x-3)$,જે એક પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(3, -5)$ છે અને $4a = 9$,તેથી $a = \frac{9}{4}$.
પરવલય પરના બિંદુ $(x, y)$ માટે નાભિ અંતર $d = x+a = x + \frac{9}{4}$ થાય.
પ્રશ્નમાં આપેલ બિંદુ $(4, -2)$ માટે,$d = 4 + 2.25 = 6.25 = \frac{25}{4}$.
તેથી $12d = 12 \times \frac{25}{4} = 3 \times 25 = 75$.

(D) ધારો કે $P(x) = 4x^4 + 8x^3 - 17x^2 - 12x + 9 = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.
આપણે ગુણાકાર $S = (4+x_1^2)(4+x_2^2)(4+x_3^2)(4+x_4^2)$ ની કિંમત શોધવી છે.
નોંધો કે $4+x_k^2 = (2i+x_k)(-2i+x_k) = (x_k - 2i)(x_k + 2i)$.
તેથી,$S = \prod_{k=1}^4 (x_k - 2i) \prod_{k=1}^4 (x_k + 2i) = \prod_{k=1}^4 (2i - x_k) \prod_{k=1}^4 (-2i - x_k)$.
$P(x) = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ પરથી,$\prod_{k=1}^4 (x-x_k) = \frac{P(x)}{4}$ મળે.
તેથી,$\prod_{k=1}^4 (2i - x_k) = \frac{P(2i)}{4}$ અને $\prod_{k=1}^4 (-2i - x_k) = \frac{P(-2i)}{4}$.
$P(2i) = 141 - 88i$ અને $P(-2i) = 141 + 88i$.
$S = \frac{P(2i) P(-2i)}{16} = \frac{141^2 + 88^2}{16} = \frac{27625}{16}$.
આપેલ છે કે $S = \frac{125}{16}m$,તેથી $\frac{27625}{16} = \frac{125}{16}m$.
$m = 221$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $9x^2+12x+18y-14=0$ છે.
તેને ફરીથી લખતા,$(3x+2)^2 = -18(y-1)$ મળે છે.
$P(0,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓ $y = mx+1$ છે.
પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $(3x+2)^2 = -18mx \implies 9x^2+(12+18m)x+4 = 0$.
સ્પર્શક હોવાથી,વિવેચક $D = 0$.
$(12+18m)^2 - 144 = 0 \implies 12+18m = \pm 12$.
$m_1 = 0$ અને $m_2 = -4/3$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = 4/3$.
$\triangle PQR$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$QR$ નો ઢાળ $m = -\cot(\theta/2)$ થાય.
$\tan(\theta/2)$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $\tan(\theta/2) = 1/2$ અથવા $-2$ મળે છે.
તેથી $m_1 = -2$ અને $m_2 = 1/2$.
$16(m_1^2+m_2^2) = 16(4 + 1/4) = 68$.

(B) $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદો $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} y^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$T_2 = {}^nC_1 x^{n-1} y = 135$ ...........$(i)$
$T_3 = {}^nC_2 x^{n-2} y^2 = 30$ ............$(ii)$
$T_4 = {}^nC_3 x^{n-3} y^3 = \frac{10}{3}$ ............$(iii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{{}^nC_1 x^{n-1} y}{{}^nC_2 x^{n-2} y^2} = \frac{135}{30} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{9(n-1)}{4}$ ............$(iv)$
$(ii)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{{}^nC_2 x^{n-2} y^2}{{}^nC_3 x^{n-3} y^3} = \frac{30}{10/3} \Rightarrow \frac{x}{y} = 3(n-2)$ ............$(v)$
$(iv)$ અને $(v)$ ને સરખાવતા:
$n = 5$.
$(v)$ માં $n=5$ મૂકતા:
$\frac{x}{y} = 9 \Rightarrow x = 9y$.
$(i)$ માં $n=5$ અને $x=9y$ મૂકતા:
$y = \frac{1}{3}$ અને $x = 3$.
$6(n^3+x^2+y)$ ની ગણતરી:
$6(5^3 + 3^2 + \frac{1}{3}) = 806$.

(C) આપેલ છે $T_1=6$ અને $T_r=3T_{r-1}+6^r$,$r \ge 2$ માટે.
$3^r$ વડે ભાગતા,$\frac{T_r}{3^r} = \frac{T_{r-1}}{3^{r-1}} + 2^r$ મળે.
ધારો કે $a_r = \frac{T_r}{3^r}$. તેથી $a_r = a_{r-1} + 2^r$ જ્યાં $a_1 = \frac{T_1}{3} = 2$.
$r=2$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા,$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n 2^k = 2 + (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) = 2 + \frac{4(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n+1}-2$.
આમ,$T_n = 3^n(2^{n+1}-2) = 2 \cdot 6^n - 2 \cdot 3^n$.
સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^n T_r = 2 \sum_{r=1}^n 6^r - 2 \sum_{r=1}^n 3^r$.
$S_n = 2 \left[ \frac{6(6^n-1)}{5} \right] - 2 \left[ \frac{3(3^n-1)}{2} \right] = \frac{12}{5}(6^n-1) - 3(3^n-1) = \frac{3}{5}(4 \cdot 6^n - 5 \cdot 3^n + 1)$.
આપેલ સરવાળા સાથે સરખાવતા,$n^2-12n+39 = 3$ મળે.
$n^2-12n+36 = 0 \implies (n-6)^2 = 0 \implies n=6$.

(A) પ્રથમ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. બીજા ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a/2$,ત્રીજાની $a/4$ વગેરે છે.
પરિમિતિઓનો સરવાળો $P = 3a + 3(a/2) + 3(a/4) + \dots = 3a(1 + 1/2 + 1/4 + \dots) = 3a \times \frac{1}{1 - 1/2} = 3a \times 2 = 6a$.
આમ,$a = P/6$.
ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $Q = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(a/2)^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(a/4)^2 + \dots = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2(1 + 1/4 + 1/16 + \dots) = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{3}a^2}{3} = \frac{a^2}{\sqrt{3}}$.
$Q$ ના સમીકરણમાં $a = P/6$ મૂકતા:
$Q = \frac{(P/6)^2}{\sqrt{3}} = \frac{P^2}{36\sqrt{3}}$.
તેથી,$P^2 = 36\sqrt{3}Q$.

(A) $3$ પત્રોને $5$ અલગ-અલગ સરનામાં પર પોસ્ટ કરવાની કુલ રીતો $5^3 = 125$ છે.
બરાબર $2$ સરનામાં પર પત્રો પોસ્ટ કરવા માટે,આપણે $5$ માંથી $2$ સરનામાં પસંદ કરીએ છીએ,જે $^5C_2 = 10$ રીતે કરી શકાય છે.
દરેક $2$ સરનામાંની પસંદગી માટે,દરેક $3$ પત્રને $2$ સરનામાંમાંથી કોઈપણ એક પર પોસ્ટ કરી શકાય છે,જે $2^3 = 8$ રીતો આપે છે. જોકે,આમાં એવા કિસ્સાઓનો સમાવેશ થાય છે જ્યાં ત્રણેય પત્રો માત્ર $1$ સરનામે પોસ્ટ થયા હોય,તેથી આપણે તે $2$ કિસ્સાઓ બાદ કરીએ છીએ.
આમ,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા $^5C_2 \times (2^3 - 2) = 10 \times 6 = 60$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{60}{125} = \frac{12}{25}$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P(x, y)$ થી $(2, 1)$ અને $(1, 3)$ ના અંતરનો ગુણોત્તર $5:4$ છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2}}{\sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2}} = \frac{5}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(x-2)^2 + (y-1)^2}{(x-1)^2 + (y-3)^2} = \frac{25}{16}$.
$16(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1) = 25(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9)$.
$16x^2 - 64x + 80 + 16y^2 - 32y + 16 = 25x^2 - 50x + 25 + 25y^2 - 150y + 225$.
પદોને ગોઠવતા,$9x^2 + 9y^2 + 14x - 118y + 170 = 0$ મળે છે.
આને $ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + 170 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=9, b=9, c=0, d=14, e=-118$ મળે છે.
હવે,$a^2 + 2b + 3c + 4d + e = (9)^2 + 2(9) + 3(0) + 4(14) - 118$.
$= 81 + 18 + 0 + 56 - 118 = 155 - 118 = 37$.

(B) ધારો કે અંશ $N = \sum_{r=1}^{n-1} (r^2-r)(n-r) = \sum_{r=1}^{n-1} (-r^3 + r^2(n+1) - nr)$ છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$N = -\left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2 + (n+1)\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - n\frac{(n-1)n}{2}$.
ધારો કે છેદ $D = \sum_{r=1}^n r^3 - \sum_{r=1}^n r^2 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$,ત્યારે $N$ નું મુખ્ય પદ $-\frac{n^4}{4} + \frac{2n^4}{6} = \frac{n^4}{12}$ છે.
$D$ નું મુખ્ય પદ $\frac{n^4}{4}$ છે.
તેથી,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{N}{D} = \frac{n^4/12}{n^4/4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ ગુણોત્તર ${ }^{n+1} C_{r+1} : { }^{n} C_{r} : { }^{n-1} C_{r-1} = 55 : 35 : 21$ છે.
પ્રથમ,ગુણોત્તર $\frac{{ }^{n+1} C_{r+1}}{{ }^{n} C_{r}} = \frac{55}{35} = \frac{11}{7}$ લો.
સૂત્ર ${ }^{n} C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!} \times \frac{r!(n-r)!}{n!} = \frac{n+1}{r+1} = \frac{11}{7}$.
$7n + 7 = 11r + 11 \implies 7n - 11r = 4$ $(1)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{{ }^{n} C_{r}}{{ }^{n-1} C_{r-1}} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3}$ લો.
$\frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(r-1)!(n-r)!}{(n-1)!} = \frac{n}{r} = \frac{5}{3}$.
$3n = 5r \implies n = \frac{5r}{3}$ $(2)$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$7(\frac{5r}{3}) - 11r = 4$.
$\frac{35r - 33r}{3} = 4 \implies 2r = 12 \implies r = 6$.
તેથી $n = \frac{5(6)}{3} = 10$.
અંતે,$2n + 5r = 2(10) + 5(6) = 20 + 30 = 50$.

(A) ધારો કે $P$ એ $L_1$ પરનું બિંદુ $(1+\lambda, 2-\lambda, 3+\lambda)$ છે અને $Q$ એ $L_2$ પરનું બિંદુ $(4+\mu, 5+\mu, 6-\mu)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (4+\mu-(1+\lambda))\hat{i} + (5+\mu-(2-\lambda))\hat{j} + (6-\mu-(3+\lambda))\hat{k} = (3+\mu-\lambda)\hat{i} + (3+\mu+\lambda)\hat{j} + (3-\mu-\lambda)\hat{k}$.
$L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો અનુક્રમે $\vec{v_1} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
$PQ$ એ ટૂંકા અંતરની રેખા હોવાથી,તે $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ છે. તેથી,$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = 0$ અને $\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = (3+\mu-\lambda) - (3+\mu+\lambda) + (3-\mu-\lambda) = 3 - 3\lambda - \mu = 0 \implies 3\lambda + \mu = 3$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = (3+\mu-\lambda) + (3+\mu+\lambda) - (3-\mu-\lambda) = 3 + 3\mu + \lambda = 0 \implies \lambda + 3\mu = -3$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $3(3\lambda + \mu) - (\lambda + 3\mu) = 3(3) - (-3) \implies 8\lambda = 12 \implies \lambda = \frac{3}{2}$.
$\lambda = \frac{3}{2}$ ને $3\lambda + \mu = 3$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{9}{2} + \mu = 3 \implies \mu = -\frac{3}{2}$ મળે છે.
$P$ ના યામ = $(1+\frac{3}{2}, 2-\frac{3}{2}, 3+\frac{3}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, \frac{9}{2})$.
$Q$ ના યામ = $(4-\frac{3}{2}, 5-\frac{3}{2}, 6+\frac{3}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{15}{2})$.
મધ્યબિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma) = (\frac{5/2+5/2}{2}, \frac{1/2+7/2}{2}, \frac{9/2+15/2}{2}) = (\frac{5}{2}, 2, 6)$.
આમ,$2(\alpha+\beta+\gamma) = 2(\frac{5}{2} + 2 + 6) = 5 + 4 + 12 = 21$.

(B) ગણ $A = \{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ છે.
$R_1 = \{(a, b) : b \text{ એ } a \text{ વડે વિભાજ્ય છે}\}$. $R_1$ માં ઘટકોની સંખ્યા એ દરેક $a \in A$ માટે $20$ થી નાની અથવા તેના જેટલી હોય તેવી સંખ્યાઓના ગુણકોનો સરવાળો છે.
$a=1$ માટે,$20$ ગુણકો છે. $a=2$ માટે,$10$ ગુણકો છે. $a=3$ માટે,$6$ ગુણકો છે. $a=4$ માટે,$5$ ગુણકો છે. $a=5$ માટે,$4$ ગુણકો છે. $a=6$ માટે,$3$ ગુણકો છે. $a=7, 8, 9, 10$ માટે,દરેકના $2$ ગુણકો છે. $a=11, 12, \ldots, 20$ માટે,દરેકનો $1$ ગુણક છે.
$n(R_1) = 20 + 10 + 6 + 5 + 4 + 3 + (4 \times 2) + (10 \times 1) = 66$.
$R_1 \cap R_2 = \{(a, b) : b = ka \text{ અને } a = mb\} = \{(a, b) : a = b\}$.
તેથી,$R_1 \cap R_2 = \{(1, 1), (2, 2), \ldots, (20, 20)\}$.
$n(R_1 \cap R_2) = 20$.
$n(R_1 - R_2) = n(R_1) - n(R_1 \cap R_2) = 66 - 20 = 46$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |2x^2 + 5|x| - 3|$.
$f(x)$ એ સતત વિધેયો (બહુપદી અને માનાંક વિધેય) નું સંયોજન હોવાથી,તે દરેક જગ્યાએ સતત છે. તેથી,અસતત બિંદુઓની સંખ્યા $m = 0$ છે.
અવિકલનીય બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $g(x) = 2x^2 + 5|x| - 3$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
$x \ge 0$ માટે,$g(x) = 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$. શૂન્યો $x = 1/2$ અને $x = -3$ છે. આપણે $x \ge 0$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,તેથી શૂન્ય $x = 1/2$ છે.
$x < 0$ માટે,$g(x) = 2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$. શૂન્યો $x = -1/2$ અને $x = 3$ છે. આપણે $x < 0$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,તેથી શૂન્ય $x = -1/2$ છે.
વધુમાં,વિધેય $f(x)$ માં $|x|$ નો સમાવેશ થાય છે,જે $x = 0$ આગળ અવિકલનીય છે.
આમ,$f(x)$ એ $2x^2 + 5|x| - 3 = 0$ ના શૂન્યો (જ્યાં આલેખ x-અક્ષને સ્પર્શે છે) અને $x = 0$ આગળ અવિકલનીય છે.
તે બિંદુઓ $x = 1/2$,$x = -1/2$,અને $x = 0$ છે.
તેથી,અવિકલનીય બિંદુઓની સંખ્યા $n = 3$ છે.
માટે,$m + n = 0 + 3 = 3$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 (2x^3 - 3x^2 - x + 1)^{\frac{1}{3}} dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા.
ધારો કે $f(x) = (2x^3 - 3x^2 - x + 1)^{\frac{1}{3}}$.
તેથી $f(1-x) = (2(1-x)^3 - 3(1-x)^2 - (1-x) + 1)^{\frac{1}{3}}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $f(1-x) = (2(1 - 3x + 3x^2 - x^3) - 3(1 - 2x + x^2) - 1 + x + 1)^{\frac{1}{3}}$.
$f(1-x) = (2 - 6x + 6x^2 - 2x^3 - 3 + 6x - 3x^2 - 1 + x + 1)^{\frac{1}{3}}$.
$f(1-x) = (-2x^3 + 3x^2 + x - 1)^{\frac{1}{3}} = -(2x^3 - 3x^2 - x + 1)^{\frac{1}{3}} = -f(x)$.
કારણ કે $f(1-x) = -f(x)$,તેથી સંકલન $I = \int_0^1 f(x) dx$ માટે $I = -I$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $2I = 0$,તેથી $I = 0$.

(A) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $f'(x) - \alpha f(x) = 3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\alpha dx} = e^{-\alpha x}$ છે.
બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d}{dx} [f(x) e^{-\alpha x}] = 3 e^{-\alpha x}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$f(x) e^{-\alpha x} = \int 3 e^{-\alpha x} dx = -\frac{3}{\alpha} e^{-\alpha x} + C$.
આમ,$f(x) = -\frac{3}{\alpha} + C e^{\alpha x}$.
આપેલ છે કે $f(0) = 2$,તેથી $2 = -\frac{3}{\alpha} + C$,એટલે કે $C = 2 + \frac{3}{\alpha}$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 1$.
જો $\alpha > 0$ હોય,તો $x \rightarrow -\infty$ માટે $e^{\alpha x} \rightarrow 0$,તેથી $f(x) \rightarrow -\frac{3}{\alpha} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -3$. આ $\alpha > 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
જો $\alpha < 0$ હોય,તો $x \rightarrow -\infty$ માટે $e^{\alpha x} \rightarrow \infty$. લક્ષ $1$ થવા માટે,$e^{\alpha x}$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી $C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2 + \frac{3}{\alpha} = 0$,એટલે કે $\alpha = -\frac{3}{2}$.
ત્યારબાદ $f(x) = -\frac{3}{-3/2} = 2$. કારણ કે $f(x) = 2$ એ અચળ વિધેય છે,તેથી $f'(x) = 0$. સમીકરણ $f'(x) = \alpha f(x) + 3$ માં કિંમત મૂકતા $0 = (-3/2)(2) + 3 = 0$ મળે છે,જે સુસંગત છે.
આમ,તમામ $x$ માટે $f(x) = 2$.
તેથી,$f(-\log_e 2) = 2$.

(C) રેખા $\frac{x+3}{8}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{2} = \lambda$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $P, Q = (8\lambda-3, 2\lambda+4, 2\lambda-1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બિંદુથી $R(1,2,3)$ સુધીનું અંતર $6$ એકમ છે,તેથી અંતરનો વર્ગ $36$ થાય:
$(8\lambda-3-1)^2 + (2\lambda+4-2)^2 + (2\lambda-1-3)^2 = 36$
$(8\lambda-4)^2 + (2\lambda+2)^2 + (2\lambda-4)^2 = 36$
$64(\lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4}) + 4(\lambda^2 + 2\lambda + 1) + 4(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = 36$
$64\lambda^2 - 64\lambda + 16 + 4\lambda^2 + 8\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 16\lambda + 16 = 36$
$72\lambda^2 - 72\lambda + 36 = 36$
$72\lambda(\lambda - 1) = 0$
આમ,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = 1$.
$\lambda = 0$ માટે,બિંદુ $P(-3, 4, -1)$ મળે છે.
$\lambda = 1$ માટે,બિંદુ $Q(5, 6, 1)$ મળે છે.
$\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{-3+5+1}{3}, \frac{4+6+2}{3}, \frac{-1+1+3}{3}) = (1, 4, 1) = (\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1^2 + 4^2 + 1^2 = 1 + 16 + 1 = 18$.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1,3,2)$,$B(-2,8,0)$ અને $C(3,6,7)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ ગણો:
$AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (8-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (6-3)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$.
કારણ કે $AB = AC$,ત્રિકોણ $ABC$ સમદ્વિબાજુ છે,અને $\angle BAC$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક $AD$ એ $BC$ પરની મધ્યગા પણ છે. તેથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$D = \left( \frac{-2+3}{2}, \frac{8+6}{2}, \frac{0+7}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 7, \frac{7}{2} \right)$.
હવે,સદિશ $\overrightarrow{AD}$ શોધો:
$\overrightarrow{AD} = \left( \frac{1}{2}-1 \right) \hat{i} + (7-3) \hat{j} + \left( \frac{7}{2}-2 \right) \hat{k} = -\frac{1}{2} \hat{i} + 4 \hat{j} + \frac{3}{2} \hat{k}$.
સદિશ $\overrightarrow{AC}$ શોધો:
$\overrightarrow{AC} = (3-1) \hat{i} + (6-3) \hat{j} + (7-2) \hat{k} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$.
$\overrightarrow{AD}$ નો $\overrightarrow{AC}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $\left| \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = \left( -\frac{1}{2} \right)(2) + (4)(3) + \left( \frac{3}{2} \right)(5) = -1 + 12 + 7.5 = 18.5 = \frac{37}{2}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{38}$.
પ્રક્ષેપની લંબાઈ $= \left| \frac{37/2}{\sqrt{38}} \right| = \frac{37}{2 \sqrt{38}}$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_0^{\pi/3} \cos^4 x \, dx$ ની ગણતરી કરીએ.
નિત્યસમ $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos^4 x = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)$.
$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ મૂકતા,$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.
હવે,દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \int_0^{\pi/3} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\right) dx$
$I = \left[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x \right]_0^{\pi/3}$
$I = \left( \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{4}\sin\frac{2\pi}{3} + \frac{1}{32}\sin\frac{4\pi}{3} \right) - (0)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$I = \frac{\pi}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{\sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{8\sqrt{3} - \sqrt{3}}{64} = \frac{\pi}{8} + \frac{7\sqrt{3}}{64}$.
$a\pi + b\sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{1}{8}$ અને $b = \frac{7}{64}$ મળે છે.
તેથી,$9a + 8b = 9(\frac{1}{8}) + 8(\frac{7}{64}) = \frac{9}{8} + \frac{7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-25}}{4-x^2} + \log_{10}(x^2+2x-15)$ છે.
વર્ગમૂળ પદ માટે,$x^2-25 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.
છેદ માટે,$4-x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$.
લઘુગણક માટે,$x^2+2x-15 > 0$ $\Rightarrow (x+5)(x-3) > 0$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty)$.
બધી શરતોનો છેદ લેતા:
$x \in (-\infty, -5) \cup [5, \infty)$ મળે છે.
$(-\infty, \alpha) \cup [\beta, \infty)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -5$ અને $\beta = 5$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^3 = (-5)^2 + 5^3 = 25 + 125 = 150$.

(B) સંબંધ $R_1$ માટે: $a R_1 b \Leftrightarrow a^2+b^2=1$ જ્યાં $a, b \in R$.
$1$. સ્વવાચકતા: જો $a=0.5$ લઈએ,તો $a^2+a^2 = 0.25+0.25 = 0.5 \neq 1$. તેથી,$R_1$ સ્વવાચક નથી.
$2$. સંમિતતા: જો $a^2+b^2=1$,તો $b^2+a^2=1$,તેથી $b R_1 a$. $R_1$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: જો $a R_1 b$ અને $b R_1 c$,તો $a^2+b^2=1$ અને $b^2+c^2=1$. આના પરથી $a^2+c^2=1$ સાબિત થતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે,$a=1, b=0, c=1$. $1^2+0^2=1$ અને $0^2+1^2=1$,પરંતુ $1^2+1^2=2 \neq 1$. તેથી,$R_1$ પરંપરિત નથી.
સંબંધ $R_2$ માટે: $(a, b) R_2 (c, d) \Leftrightarrow a+d=b+c$ જ્યાં $(a, b), (c, d) \in N \times N$.
$1$. સ્વવાચકતા: $a+b=b+a$ સત્ય છે,તેથી $(a, b) R_2 (a, b)$.
$2$. સંમિતતા: જો $a+d=b+c$,તો $c+b=d+a$,તેથી $(c, d) R_2 (a, b)$.
$3$. પરંપરિતતા: જો $(a, b) R_2 (c, d)$ અને $(c, d) R_2 (e, f)$,તો $a+d=b+c$ અને $c+f=d+e$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$a+d+c+f = b+c+d+e \Rightarrow a+f=b+e$. તેથી,$(a, b) R_2 (e, f)$.
આમ,$R_2$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
તેથી,માત્ર $R_2$ સામ્ય સંબંધ છે.

(C) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-2}{1} = \lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈ બિંદુ $N$ એ $(3\lambda+1, 2\lambda-1, \lambda+2)$ છે.
રેખાની દિશા સદિશ $\vec{b} = (3, 2, 1)$ છે. $PN$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,સદિશ $\vec{PN} = (3\lambda-2, 2\lambda-5, \lambda-7)$ થાય.
$\vec{PN} \cdot \vec{b} = 0$ હોવાથી,$3(3\lambda-2) + 2(2\lambda-5) + 1(\lambda-7) = 0$.
$9\lambda - 6 + 4\lambda - 10 + \lambda - 7 = 0 \Rightarrow 14\lambda = 23 \Rightarrow \lambda = \frac{23}{14}$.
$N$ ના યામોમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,$N = \left(\frac{83}{14}, \frac{32}{14}, \frac{51}{14}\right)$ મળે.
ધારો કે પ્રતિબિંબ $A(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. $N$ એ $PA$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{\alpha+3}{2} = \frac{83}{14} \Rightarrow \alpha = \frac{62}{7}$.
$\frac{\beta+4}{2} = \frac{32}{14} \Rightarrow \beta = \frac{4}{7}$.
$\frac{\gamma+9}{2} = \frac{51}{14} \Rightarrow \gamma = \frac{-12}{7}$.
તેથી,$14(\alpha+\beta+\gamma) = 14(\frac{62+4-12}{7}) = 2(54) = 108$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \text{ બેકી છે} \\ 2x, & x \text{ એકી છે} \end{cases}$.
આપણને $f(f(f(a))) = 21$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: જો $a$ બેકી હોય,તો $f(a) = a-1$ (જે એકી છે). પછી $f(f(a)) = 2(a-1) = 2a-2$ (જે બેકી છે). પછી $f(f(f(a))) = (2a-2)-1 = 2a-3$. $2a-3 = 21$ લેતા,આપણને $2a = 24$ મળે છે,તેથી $a = 12$.
કિસ્સો $2$: જો $a$ એકી હોય,તો $f(a) = 2a$ (જે બેકી છે). પછી $f(f(a)) = 2a-1$ (જે એકી છે). પછી $f(f(f(a))) = 2(2a-1) = 4a-2$. $4a-2 = 21$ લેતા,$4a = 23$ મળે છે,જેનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
આમ,$a = 12$.
હવે,આપણે $\lim_{x \rightarrow 12^{-}} \left( \frac{|x|^3}{12} - \left[ \frac{x}{12} \right] \right)$ ની ગણતરી કરીએ.
જેમ $x \rightarrow 12^{-}$,$x$ એ $12$ થી થોડું નાનું છે,તેથી $\frac{x}{12}$ એ $1$ થી થોડું નાનું છે,જેનો અર્થ છે કે $\left[ \frac{x}{12} \right] = 0$.
તેથી,લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 12^{-}} \frac{x^3}{12} - 0 = \frac{12^3}{12} = 12^2 = 144$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$x+2y+3z=5$
$2x+3y+z=9$
$4x+3y+\lambda z=\mu$
સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(3\lambda - 3) - 2(2\lambda - 4) + 3(6 - 12) = 0$
$3\lambda - 3 - 4\lambda + 8 - 18 = 0$
$-\lambda - 13 = 0 \Rightarrow \lambda = -13$
હવે,$\lambda = -13$ નો ઉપયોગ કરીને $\Delta_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 9 & 3 & 1 \\ \mu & 3 & -13 \end{vmatrix} = 5(-39 - 3) - 2(-117 - \mu) + 3(27 - 3\mu) = 0$
$5(-42) + 234 + 2\mu + 81 - 9\mu = 0$
$-210 + 315 - 7\mu = 0$
$105 - 7\mu = 0 \Rightarrow \mu = 15$
અંતે,$\lambda + 2\mu = -13 + 2(15) = -13 + 30 = 17$.

(B) આપેલ છે કે $A=I_2-2 MM^{T}$,જ્યાં $M^T M=I_1=1$.
પ્રથમ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = (I_2-2 MM^{T})(I_2-2 MM^{T})$
$= I_2 - 2 MM^{T} - 2 MM^{T} + 4 MM^{T} MM^{T}$
કારણ કે $M^T M = 1$,તેથી $M^T M M^T = (M^T M) M^T = 1 \cdot M^T = M^T$.
તેથી,$A^2 = I_2 - 4 MM^{T} + 4 M(M^T M) M^T = I_2 - 4 MM^{T} + 4 MM^{T} = I_2$.
શૂન્યતર શ્રેણિક $X$ માટે $AX = \lambda X$ આપેલ હોવાથી:
$A^2 X = A(\lambda X) = \lambda(AX) = \lambda^2 X$.
$A^2 = I_2$ હોવાથી,$I_2 X = \lambda^2 X$,જેનો અર્થ છે કે $X = \lambda^2 X$.
$X \neq 0$ હોવાથી,$\lambda^2 = 1$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -1$.
$\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યો $1$ અને $-1$ છે.
$\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો $(1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $F(x) = \int_0^x t f(t) dt$. કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = x f(x)$.
આપેલ છે કે $F(x^2) = x^4 + x^5$. ધારો કે $u = x^2$,તો $F(u) = u^2 + u^{5/2}$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $F'(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$ મળે છે.
કારણ કે $F'(u) = u f(u)$,તેથી $u f(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$.
$u$ વડે ભાગતા,આપણને $f(u) = 2 + \frac{5}{2} u^{1/2}$ મળે છે.
આપણે $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ શોધવાનું છે. $u = r^2$ મૂકતા,$f(r^2) = 2 + \frac{5}{2} (r^2)^{1/2} = 2 + \frac{5}{2} r$.
આમ,$\sum_{r=1}^{12} f(r^2) = \sum_{r=1}^{12} (2 + \frac{5}{2} r) = \sum_{r=1}^{12} 2 + \frac{5}{2} \sum_{r=1}^{12} r$.
$= 2(12) + \frac{5}{2} \left( \frac{12 \times 13}{2} \right) = 24 + \frac{5}{2} (78) = 24 + 5(39) = 24 + 195 = 219$.

(D) પ્રથમ,$y$ ના પ્રથમ પદનું સાદુંરૂપ આપો:
$y_1 = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x})(x\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} = x-1$.
હવે,બીજા પદનું સાદુંરૂપ આપો:
$y_2 = \frac{1}{15}(3 \cos^2 x - 5) \cos^3 x = \frac{1}{5} \cos^5 x - \frac{1}{3} \cos^3 x$.
તેથી,$y = x - 1 + \frac{1}{5} \cos^5 x - \frac{1}{3} \cos^3 x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = 1 + \frac{1}{5}(5 \cos^4 x)(-\sin x) - \frac{1}{3}(3 \cos^2 x)(-\sin x) = 1 - \cos^4 x \sin x + \cos^2 x \sin x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે કિંમત મેળવો:
$y'(\frac{\pi}{6}) = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^4 (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 (\frac{1}{2}) = 1 - (\frac{9}{16})(\frac{1}{2}) + (\frac{3}{4})(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{9}{32} + \frac{3}{8} = 1 - \frac{9}{32} + \frac{12}{32} = 1 + \frac{3}{32} = \frac{35}{32}$.
અંતે,$96 y'(\frac{\pi}{6}) = 96 \times \frac{35}{32} = 3 \times 35 = 105$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a}$,તેથી $(\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\vec{b} - \vec{c} = \lambda \vec{a}$ થાય.
સદિશોની કિંમત મૂકતા: $(-\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}) - (4\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}) = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$-1 - 4 = \lambda \implies \lambda = -5$.
$-8 - c_2 = \lambda \implies -8 - c_2 = -5 \implies c_2 = -3$.
$2 - c_3 = \lambda \implies 2 - c_3 = -5 \implies c_3 = 7$.
આમ,$\vec{c} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{d} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$. તો $\cos \theta = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| |\vec{d}|} = \frac{(4)(3) + (-3)(4) + (7)(1)}{\sqrt{16+9+49} \sqrt{9+16+1}} = \frac{12 - 12 + 7}{\sqrt{74} \sqrt{26}} = \frac{7}{\sqrt{1924}} = \frac{7}{2\sqrt{481}}$.
$\cos^2 \theta = \frac{49}{4 \times 481} = \frac{49}{1924}$.
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{1924}{49} - 1 = \frac{1875}{49} \approx 38.265$.
$\tan^2 \theta$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $\lfloor 38.265 \rfloor = 38$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = \frac{1-y^2}{y}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = \frac{1-y^2}{y}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int \left(\frac{1-y^2}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int \left(\frac{1}{y^2} - 1\right) dy + C$.
$x \cdot \frac{1}{y} = -\frac{1}{y} - y + C$.
$y$ વડે ગુણતા: $x = -1 - y^2 + Cy$.
શરત $x(1) = 1$ આપેલ છે,તેથી $y=1$ અને $x=1$ મૂકતા: $1 = -1 - (1)^2 + C(1) \Rightarrow 1 = -2 + C \Rightarrow C = 3$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $x = -1 - y^2 + 3y$ છે.
$5x(2)$ શોધવા માટે,$y=2$ મૂકતા: $x(2) = -1 - (2)^2 + 3(2) = -1 - 4 + 6 = 1$.
તેથી,$5x(2) = 5(1) = 5$.

(B) $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = \alpha$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2 \sin^2 x}{x^2} = 2 \times 1^2 = 2$.
તેથી,$\alpha = 2$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{1 - \cos x}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2 \sin^2 (x/2)}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} |\sin(x/2)|}{x}$.
અહીં $x > 0$ હોવાથી,$\sin(x/2) > 0$,તેથી $|\sin(x/2)| = \sin(x/2)$.
$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\beta \sqrt{2} \sin(x/2)}{2(x/2)} = \frac{\beta \sqrt{2}}{2} = \frac{\beta}{\sqrt{2}}$.
આને $\alpha = 2$ સાથે સરખાવતા,$\frac{\beta}{\sqrt{2}} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2\sqrt{2}$.
અંતે,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (2\sqrt{2})^2 = 4 + 8 = 12$.

(B) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે કળશ $A, B, C$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. કળશ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતો હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $X$ એ કાળો દડો કાઢવાની ઘટના છે.
દરેક કળશમાંથી કાળો દડો કાઢવાની સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(X|E_1) = \frac{5}{12}$
$P(X|E_2) = \frac{7}{12}$
$P(X|E_3) = \frac{6}{12}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો દડો કાળો હોય તો તે કળશ $A$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_1|X) = \frac{P(E_1)P(X|E_1)}{P(E_1)P(X|E_1) + P(E_2)P(X|E_2) + P(E_3)P(X|E_3)}$
$P(E_1|X) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{12}}$
$P(E_1|X) = \frac{5}{5 + 7 + 6} = \frac{5}{18}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x^4+2x^3+3x^2+2x+2)dy = (2x^2+2x+3)dx$.
ચલને અલગ કરતા: $dy = \frac{2x^2+2x+3}{x^4+2x^3+3x^2+2x+2}dx$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^4+2x^3+3x^2+2x+2 = (x^2+1)(x^2+2x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{2x^2+2x+3}{(x^2+1)(x^2+2x+2)} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+2x+2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y = \int \frac{1}{x^2+1}dx + \int \frac{1}{(x+1)^2+1}dx$.
$y = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x+1) + C$.
આપેલ છે કે $y(-1) = -\frac{\pi}{4}$: $-\frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(-1) + \tan^{-1}(0) + C$.
$-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y(x) = \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x+1)$.
$y(0)$ માટે: $y(0) = \tan^{-1}(0) + \tan^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે $y = \frac{2x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 3x + 8}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $y(2x^2 + 3x + 8) = 2x^2 - 3x + 8$.
$x^2(2y - 2) + x(3y + 3) + 8y - 8 = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (3y + 3)^2 - 4(2y - 2)(8y - 8) \geq 0$.
$9(y^2 + 2y + 1) - 64(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.
$-55y^2 + 146y - 55 \geq 0 \Rightarrow 55y^2 - 146y + 55 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{146 \pm 96}{110}$.
તેથી,વિસ્તાર $[\frac{5}{11}, \frac{11}{5}]$ છે.
મહત્તમ કિંમત $\frac{11}{5}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{5}{11}$ છે.
સરવાળો $= \frac{11}{5} + \frac{5}{11} = \frac{146}{55}$.
અહીં $m = 146$ અને $n = 55$,તેથી $m + n = 201$.

(B) વક્રો $y=1+3x-2x^2$ અને $y=\frac{1}{x}$ છે. છેદબિંદુઓ $1+3x-2x^2 = \frac{1}{x} \implies x+3x^2-2x^3 = 1 \implies 2x^3-3x^2-x+1=0$ દ્વારા મળે છે. આપેલ એક બિંદુ $x=\frac{1}{2}$ છે,બીજું છેદબિંદુ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} (1+3x-2x^2-\frac{1}{x}) dx$.
$A = \left[x + \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} - \ln|x|\right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$A = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - \frac{2}{3}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^3 - \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) - \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \ln(\frac{1}{2})\right)$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$A = \frac{14\sqrt{5}+15}{24} - \ln(1+\sqrt{5}) + 2\ln(2)$.
$\frac{1}{24}(\ell \sqrt{5}+m)-n \log_{e}(1+\sqrt{5})$ સાથે સરખાવતા,$\ell=14, m=15, n=1$ મળે છે. તેથી $\ell+m+n = 14+15+1 = 30$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sqrt{2} \sin \alpha & \sqrt{2} \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha(-\cos \alpha - \sin \alpha) + \sqrt{2} \cos \alpha(\sin \alpha - \cos \alpha) = 0$
$-1 + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha + \sqrt{2} \sin^2 \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2} \cos^2 \alpha = 0$
$-1 + 2\sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2}(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
$-1 + \sqrt{2} \sin 2\alpha - \sqrt{2} \cos 2\alpha = 0$
$\sqrt{2}(\sin 2\alpha - \cos 2\alpha) = 1$
$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{2}$
$\sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$
અહીં $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$2\alpha \in (0, \pi)$,તેથી $2\alpha - \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.
તેથી,$2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$ અથવા $2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$.
કિસ્સો $1$: $2\alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{5\pi}{24}$.
કિસ્સો $2$: $2\alpha = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{13\pi}{24}$ (જે આપેલ મર્યાદાની બહાર છે).
તેથી,$\alpha = \frac{5\pi}{24}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} -2, & -2 \leq x \leq 0 \\ x-2, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$.
આપણે $h(x) = f(|x|) + |f(x)|$ શોધવાનું છે.
$x \in [0, 2]$ માટે,$f(|x|) = f(x) = x-2$ અને $|f(x)| = |x-2| = 2-x$. તેથી,$h(x) = (x-2) + (2-x) = 0$.
$x \in [-2, 0)$ માટે,$f(|x|) = |x|-2 = -x-2$.
$|f(x)| = \begin{cases} |-2| = 2, & -2 \leq x \leq 0 \\ |x-2| = 2-x, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$.
તેથી,$h(x) = f(|x|) + |f(x)| = \begin{cases} (-x-2) + 2 = -x, & -2 \leq x < 0 \\ (x-2) + (2-x) = 0, & 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$.
હવે,$\int_{-2}^2 h(x) dx = \int_{-2}^0 (-x) dx + \int_0^2 0 dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^0 = 0 - (-\frac{(-2)^2}{2}) = 0 - (-2) = 2$.

(D) ધારો કે $\overrightarrow{C} = C_1 \hat{i} + C_2 \hat{j} + C_3 \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{C} \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = |\overrightarrow{C}| |2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$2C_1 + 2C_2 - C_3 = \frac{3}{2}$.
વળી,$\overrightarrow{C} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) = |\overrightarrow{C}| |\hat{i} - \hat{k}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
તેથી,$C_1 - C_3 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $C_3 = C_1 - 1$.
$C_3$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2C_1 + 2C_2 - (C_1 - 1) = \frac{3}{2} \implies C_1 + 2C_2 = \frac{1}{2} \implies C_2 = \frac{1}{4} - \frac{C_1}{2}$.
$C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $C_1^2 + (\frac{1}{4} - \frac{C_1}{2})^2 + (C_1 - 1)^2 = 1$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $C_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}$,$C_2 = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$,અને $C_3 = \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$\overrightarrow{C} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}) \hat{i} - \frac{1}{3\sqrt{2}} \hat{j} + (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}) \hat{k}$.
આપેલ સદિશ $(-\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{3\sqrt{2}} \hat{j} - \frac{\sqrt{2}}{3} \hat{k})$ ને $\overrightarrow{C}$ માં ઉમેરતા પરિણામ $\frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{1}{2} \hat{k} = \frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{k}$ મળે છે.

(A) બિંદુઓ $P(1, -2, 3)$ અને $Q(5, -4, 7)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (5-1, -4-(-2), 7-3) = (4, -2, 4)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{4} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{4} = t$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4t+1, -2t-2, 4t+3)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુનું $P(1, -2, 3)$ થી અંતર $\sqrt{(4t+1-1)^2 + (-2t-2+2)^2 + (4t+3-3)^2} = \sqrt{16t^2 + 4t^2 + 16t^2} = \sqrt{36t^2} = 6|t|$ છે.
અંતર $9$ એકમ આપેલ હોવાથી,$6|t| = 9$,તેથી $t = \pm \frac{3}{2}$.
$t = \frac{3}{2}$ માટે,બિંદુ $(4(\frac{3}{2})+1, -2(\frac{3}{2})-2, 4(\frac{3}{2})+3) = (7, -5, 9)$ મળે છે.
$t = -\frac{3}{2}$ માટે,બિંદુ $(4(-\frac{3}{2})+1, -2(-\frac{3}{2})-2, 4(-\frac{3}{2})+3) = (-5, 1, -3)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુથી $(7, -5, 9)$ નું અંતર $\sqrt{7^2 + (-5)^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 25 + 81} = \sqrt{155}$ છે.
ઉગમબિંદુથી $(-5, 1, -3)$ નું અંતર $\sqrt{(-5)^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$ છે.
બિંદુ ઉગમબિંદુથી વધુ દૂર હોવાથી,આપણે $(7, -5, 9)$ પસંદ કરીશું.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 7^2 + (-5)^2 + 9^2 = 49 + 25 + 81 = 155$.

(A) $\sin^{-1}(u)$ માટે,$-1 \leq u \leq 1$ હોવું જોઈએ. તેથી,$-1 \leq \frac{3x-22}{2x-19} \leq 1$. આ અસમતા ઉકેલતા $x \in (5, 8.2]$ મળે છે.
$\log_e(v)$ માટે,$v > 0$ હોવું જોઈએ. તેથી,$\frac{3x^2-8x+5}{x^2-3x-10} > 0$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{(3x-5)(x-1)}{(x-5)(x+2)} > 0$ થાય છે. તેનો ઉકેલ $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 5/3) \cup (5, \infty)$ છે.
બંને શરતોનો છેદ લેતા,પ્રદેશ $(5, 8.2]$ મળે છે,જે $(5, 41/5]$ છે.
અહીં,$\alpha = 5$ અને $\beta = 41/5$.
તેથી,$3\alpha + 10\beta = 3(5) + 10(41/5) = 15 + 82 = 97$.

(A) આપેલ છે કે $(g \circ f)(x) = x$. સાંકળના નિયમ (chain rule) મુજબ,$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$.
આપણે $g'(2)$ શોધવાનું છે. ધારો કે $f(x) = 2$.
$x^5 + 2e^{x/4} = 2$. નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 0$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે $(0^5 + 2e^0 = 2)$.
તેથી,$g'(f(0)) \cdot f'(0) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $g'(2) = \frac{1}{f'(0)}$.
હવે,$f'(x) = 5x^4 + 2 \cdot \frac{1}{4} e^{x/4} = 5x^4 + \frac{1}{2} e^{x/4}$.
$x = 0$ આગળ,$f'(0) = 5(0)^4 + \frac{1}{2} e^0 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$g'(2) = \frac{1}{1/2} = 2$.
આમ,$8g'(2) = 8 \times 2 = 16$.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $M = 2A - A^T$ અને $N = A - 2A^T$. અહીં $M = -N^T$ છે,તેથી $\operatorname{det}(M) = \operatorname{det}(-N^T) = (-1)^3 \operatorname{det}(N) = -\operatorname{det}(N)$.
આપેલ સમીકરણ $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M) \cdot \operatorname{adj}(N)) = 2^8$ છે.
ગુણધર્મ $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(X)) = (\operatorname{det}(X))^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$,આપણને મળે $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(M)) = (\operatorname{det}(M))^2$ અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(N)) = (\operatorname{det}(N))^2$.
તેથી,$(\operatorname{det}(M))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$.
કારણ કે $\operatorname{det}(M) = -\operatorname{det}(N)$,તેથી $(-\operatorname{det}(N))^2 \cdot (\operatorname{det}(N))^2 = 2^8$,જેનો અર્થ છે $(\operatorname{det}(N))^4 = 2^8$.
તેથી,$(\operatorname{det}(N))^2 = 2^4 = 16$,એટલે કે $\operatorname{det}(N) = \pm 4$.
હવે,$N = A - 2A^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 & \alpha \\ -3 & 0 & -1 \\ -2\alpha & -1 & -2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક ગણતા: $\operatorname{det}(N) = -1(0 - 1) - 0 + \alpha(3 - 0) = 1 + 3\alpha$.
$1 + 3\alpha = 4$ લેતા (કારણ કે $\alpha > 0$),આપણને $3\alpha = 3$ મળે,તેથી $\alpha = 1$.
હવે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
$\operatorname{det}(A) = 1(0 - 1) - 2(2 - 0) + 1(1 - 0) = -1 - 4 + 1 = -4$.
અંતે,$(\operatorname{det}(A))^2 = (-4)^2 = 16$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -1$ અને $Q(x) = 1 + 4 \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા: $e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x}(1 + 4 \sin x)$,જે $\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x} + 4 e^{-x} \sin x$ માં પરિણમે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $y e^{-x} = \int e^{-x} dx + 4 \int e^{-x} \sin x dx$.
સૂત્ર $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a \sin(bx) - b \cos(bx))$ નો ઉપયોગ કરતા,$\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{e^{-x}}{2}(\sin x + \cos x)$ મળે છે.
તેથી,$y e^{-x} = -e^{-x} - 2e^{-x}(\sin x + \cos x) + C$.
$e^{-x}$ વડે ભાગતા,$y = -1 - 2(\sin x + \cos x) + C e^x$ મળે છે.
$y(\pi) = 1$ આપેલ છે: $1 = -1 - 2(\sin \pi + \cos \pi) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = -1 - 2(0 - 1) + C e^{\pi} \Rightarrow 1 = 1 + C e^{\pi} \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y(x) = -1 - 2(\sin x + \cos x)$.
હવે $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 - 2(\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}) = -1 - 2(1 + 0) = -3$.
અંતે,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) + 10 = -3 + 10 = 7$.

(D) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{r_1} = (-2, -3, 5)$,$\vec{r_2} = (3, 2, -4)$,$\vec{b_1} = (2, 3, 4)$,અને $\vec{b_2} = (1, -3, 2)$.
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (5, 5, -9)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6+12) - \hat{j}(4-4) + \hat{k}(-6-3) = 18\hat{i} - 9\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{18^2 + (-9)^2} = \sqrt{324 + 81} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(5, 5, -9) \cdot (18, 0, -9)|}{9\sqrt{5}} = \frac{|90 + 0 + 81|}{9\sqrt{5}} = \frac{171}{9\sqrt{5}} = \frac{19}{\sqrt{5}}$.
આપેલ છે કે $d = \frac{38}{3\sqrt{5}}k$,તેથી $\frac{19}{\sqrt{5}} = \frac{38}{3\sqrt{5}}k \Rightarrow k = \frac{19 \times 3}{38} = \frac{3}{2}$.
હવે,$\int_0^{3/2} [x^2] dx = \int_0^1 [x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{3/2} [x^2] dx = 0 + \int_1^{\sqrt{2}} 1 dx + \int_{\sqrt{2}}^{3/2} 2 dx = (\sqrt{2}-1) + 2(\frac{3}{2}-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1+3-2\sqrt{2} = 2-\sqrt{2}$.
$\alpha-\sqrt{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha=2$ મળે છે.
આમ,$6\alpha^3 = 6(2^3) = 6 \times 8 = 48$.

(B) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $A^2 - (\text{tr}(A))A + |A|I = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\text{tr}(A) = -3$ અને $|A| = 2$,તેથી સમીકરણ $A^2 + 3A + 2I = 0$ બને છે.
આપેલ સમીકરણ $A^2 + xA + yI = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ અને $y = 2$ મળે છે.
અતિવલયના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$e^4 + \ell^4 = 78$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,તેથી આપણને મળે છે:
$a_1 + a_2 + a_3 = 3$
$b_1 + b_2 + b_3 = 3$
$c_1 + c_2 + c_3 = 3$
બધા ઘટકો અ-ઋણ હોવાથી,સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,દરેક હારના ઘટકોનો ગુણાકાર ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે તે હારના બધા ઘટકો સમાન હોય.
હાર $1$ માટે: $a_1 a_2 a_3 \le (\frac{a_1+a_2+a_3}{3})^3 = (\frac{3}{3})^3 = 1$.
તે જ રીતે,હાર $2$ અને હાર $3$ માટે,ગુણાકાર વધુમાં વધુ $1$ છે.
નિશ્ચાયક $\operatorname{det}(A)$ એ ઘટકોના ગુણાકારનો સરવાળો છે. હડમાર્ડની અસમતા અથવા હારના સરવાળાને ધ્યાનમાં લેતા,$n \times n$ શ્રેણિક માટે જેના હારનો સરવાળો $S$ હોય,તેનો મહત્તમ નિશ્ચાયક $S^n$ થાય છે જો શ્રેણિક વિકર્ણ હોય.
અહીં,$S=3$ અને $n=3$ છે,તેથી $\operatorname{det}(A) \le 3^3 = 27$.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ હોય,જે $\operatorname{det}(A) = 27$ આપે છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 15 \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -7 \\ 6 & d & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 7d) - \hat{j}(-2 + 42) + \hat{k}(d - 12) = (7d - 4)\hat{i} - 40\hat{j} + (d - 12)\hat{k}$.
હવે,તેનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|^2 = (7d - 4)^2 + (-40)^2 + (d - 12)^2 = (2 \times 15 \sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$.
$(49d^2 - 56d + 16) + 1600 + (d^2 - 24d + 144) = 1800$.
$50d^2 - 80d + 1760 = 1800 \implies 50d^2 - 80d - 40 = 0 \implies 5d^2 - 8d - 4 = 0$.
$d$ માટે ઉકેલતા:
$5d^2 - 10d + 2d - 4 = 0 \implies 5d(d - 2) + 2(d - 2) = 0 \implies (5d + 2)(d - 2) = 0$.
$d > 0$ હોવાથી,$d = 2$ મળે.
સદિશ ત્રિકોણના નિયમ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (6-1)\hat{i} + (d-2)\hat{j} + (-2 - (-7))\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈના વર્ગની ગણતરી કરો:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-7)^2 = 1 + 4 + 49 = 54$.
$|\overrightarrow{BC}|^2 = 5^2 + 0^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
$|\overrightarrow{AC}|^2 = 6^2 + 2^2 + (-2)^2 = 36 + 4 + 4 = 44$.
સૌથી મોટી બાજુ $\sqrt{54}$ છે,અને તેનો વર્ગ $54$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 x}{1+\sin x \cos x} dx$. અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\sin^2 x}{2+2\sin x \cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-\cos 2x}{2+\sin 2x} dx$.
આને $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2+\sin 2x} dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{2+\sin 2x} dx = I_1 - I_2$ તરીકે લખી શકાય.
$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{2\tan^2 x + 2\tan x + 2} dx$. ધારો કે $t = \tan x$,$dt = \sec^2 x dx$. સીમાઓ $0$ થી $1$ બદલાય છે.
$I_1 = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{t^2+t+1} = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{(t+1/2)^2 + 3/4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} [\tan^{-1}(\frac{2t+1}{\sqrt{3}})]_0^1 = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$.
$I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{2+\sin 2x} dx$. ધારો કે $u = 2+\sin 2x$,$du = 2\cos 2x dx$.
$I_2 = \frac{1}{2} \int_2^3 \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \ln(3) - \frac{1}{2} \ln(2)$.
સરખામણી કરતા $I = I_1 - I_2 = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} - \frac{1}{2} \ln(3) + \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{\pi}{6\sqrt{3}} + \frac{1}{2} \ln(2/3)$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{1}{a} \ln(a/3) + \frac{\pi}{b\sqrt{3}}$ છે. $a=2, b=6$ લેતા,આપણને $\frac{1}{2} \ln(2/3) + \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$ મળે છે.
આમ $a=2, b=6$,તેથી $a+b = 8$.

(B) વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $72^x - 9^x - 8^x + 1 = (9^x - 1)(8^x - 1)$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2} - \sqrt{2 \cos^2(x/2)} = \sqrt{2}(1 - |\cos(x/2)|)$.
$x \rightarrow 0$ હોવાથી,$\cos(x/2) > 0$,તેથી $\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x} = \sqrt{2}(1 - \cos(x/2))$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{2}(2 \sin^2(x/4))$ મળે.
હવે,લક્ષની કિંમત મેળવતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(9^x - 1)(8^x - 1)}{\sqrt{2}(2 \sin^2(x/4))} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(9^x - 1)}{x} \cdot \frac{(8^x - 1)}{x} \cdot \frac{x^2}{2\sqrt{2} \sin^2(x/4)}$.
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ અને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \ln 9 \cdot \ln 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2} (1/4)^2} = (2 \ln 3)(3 \ln 2) \cdot \frac{16}{2\sqrt{2}} = 6 \ln 2 \ln 3 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \ln 2 \ln 3$.
$f(0) = a \ln 2 \ln 3$ સાથે સરખાવતા,$a = 24\sqrt{2}$ મળે.
તેથી,$a^2 = (24\sqrt{2})^2 = 576 \times 2 = 1152$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{a} - \vec{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$.
માન શોધીએ: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + \lambda^2 + (-3)^2 = 10 + \lambda^2$ અને $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14$.
સરખાવતા: $10 + \lambda^2 = 14 \implies \lambda^2 = 4$. $\lambda > 0$ હોવાથી,$\lambda = 2$ મળે.
હવે,$\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) + (-3)(2) = 3 - 2 - 6 = -5$.
ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$|\vec{a}|^2 = 14$ અને $|\vec{b}|^2 = 14$ હોવાથી,$|\vec{a}| = \sqrt{14}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{14}$ થાય.
તેથી,$\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-5}{14}$.
આમ,$14 \cos \theta = -5$,અને $(14 \cos \theta)^2 = (-5)^2 = 25$.

(B) $1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ $(x, y) \in N \times N$ માટે,$x \leq x$ અથવા $y \leq y$ સત્ય છે. તેથી,$((x, y), (x, y)) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: $((1, 1), (2, 3)) \in R$ છે કારણ કે $1 \leq 2$ સત્ય છે. પરંતુ $((2, 3), (1, 1)) \notin R$ છે કારણ કે $2 \leq 1$ અને $3 \leq 1$ બંને અસત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $A = (2, 4)$,$B = (3, 3)$,અને $C = (1, 3)$.
$(A, B) \in R$ કારણ કે $2 \leq 3$ સત્ય છે.
$(B, C) \in R$ કારણ કે $3 \leq 3$ સત્ય છે.
પરંતુ $(A, C) = ((2, 4), (1, 3))$ માટે,$2 \leq 1$ અસત્ય છે અને $4 \leq 3$ પણ અસત્ય છે. તેથી,$(A, C) \notin R$. આમ,$R$ પરંપરિત નથી.
તેથી,માત્ર વિધાન $(I)$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ શોધો.
ધારો કે $M = \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $M^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$M^k = \begin{bmatrix} 1 & -2k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$B = I + M + M^2 + \dots + M^{10} = \sum_{k=0}^{10} M^k$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} 1 + \sum_{k=0}^{10} 1 = 11 + 11 = 22$ છે.
અન્ય ઘટકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} (-2k) + 0 = -2 \times \frac{10 \times 11}{2} = -110$ છે.
આમ,$B = \begin{bmatrix} 11 & -110 \\ 0 & 11 \end{bmatrix}$.
$B$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $11 - 110 + 0 + 11 = -88$ થાય છે.

(D) પરવલય $y^2 = 2x$ અને રેખા $y = 4x - 1$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ. રેખાના સમીકરણમાં $x = \frac{y^2}{2}$ મૂકતા: $y = 4(\frac{y^2}{2}) - 1 \implies y = 2y^2 - 1 \implies 2y^2 - y - 1 = 0$. અવયવ પાડતા $(2y + 1)(y - 1) = 0$ મળે છે,તેથી $y = 1$ અને $y = -\frac{1}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $y = -\frac{1}{2}$ થી $y = 1$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષમાં જમણી વક્રમાંથી ડાબી વક્ર બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (x_{Right} - x_{Left}) dy = \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$
$= [\frac{1}{4}(\frac{y^2}{2} + y) - \frac{y^3}{6}]_{-\frac{1}{2}}^{1}$
$= [\frac{1}{4}(\frac{1}{2} + 1) - \frac{1}{6}] - [\frac{1}{4}(\frac{1}{8} - \frac{1}{2}) - \frac{(-1/8)}{6}]$
$= [\frac{3}{8} - \frac{1}{6}] - [\frac{1}{4}(-\frac{3}{8}) + \frac{1}{48}]$
$= [\frac{9-4}{24}] - [-\frac{3}{32} + \frac{1}{48}] = \frac{5}{24} - [\frac{-9+2}{96}] = \frac{5}{24} + \frac{7}{96} = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} dx$ $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha (-x)}{1+3^{-x}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+\frac{1}{3^x}} dx = \int_{-1}^{1} \frac{3^x \cos \alpha x}{3^x+1} dx$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos \alpha x}{1+3^x} dx + \int_{-1}^{1} \frac{3^x \cos \alpha x}{1+3^x} dx$
$2I = \int_{-1}^{1} \frac{(1+3^x) \cos \alpha x}{1+3^x} dx = \int_{-1}^{1} \cos \alpha x dx$
$\cos \alpha x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી:
$2I = 2 \int_{0}^{1} \cos \alpha x dx = 2 \left[ \frac{\sin \alpha x}{\alpha} \right]_{0}^{1} = \frac{2 \sin \alpha}{\alpha}$
$I = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$
આપેલ છે કે $I = \frac{2}{\pi}$,તેથી $\frac{\sin \alpha}{\alpha} = \frac{2}{\pi}$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$\alpha = \frac{\pi}{2}$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે કારણ કે $\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} = \frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=3 \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$ છે.
વિધેયનો પ્રદેશ $x-2 \geq 0$ અને $4-x \geq 0$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x \in [2, 4]$.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ધારો કે $u = \sqrt{x-2}$ અને $v = \sqrt{4-x}$. તો $u^2 + v^2 = (x-2) + (4-x) = 2$.
વિધેય $f(x) = 3u + v$ છે. કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ,$(3u + v)^2 \leq (3^2 + 1^2)(u^2 + v^2) = (9+1)(2) = 20$.
આમ,$f(x)^2 \leq 20$,તેથી $f(x) \leq \sqrt{20} = \beta$.
પ્રદેશની સીમાઓ પર:
જો $x=2$,તો $f(2) = 3(0) + \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
જો $x=4$,તો $f(4) = 3\sqrt{2} + 0 = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$.
કારણ કે $\sqrt{2} < \sqrt{18} < \sqrt{20}$,ન્યૂનતમ કિંમત $\alpha = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\alpha^2 + 2\beta^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{20})^2 = 2 + 2(20) = 2 + 40 = 42$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$a + 2a + (a+b) + 2b + 3b = 1$
$4a + 6b = 1$ --- $(i)$
મધ્યક $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{46}{9}$:
$0(a) + 2(2a) + 4(a+b) + 6(2b) + 8(3b) = \frac{46}{9}$
$8a + 40b = \frac{46}{9} \Rightarrow 4a + 20b = \frac{23}{9}$ --- $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$14b = \frac{14}{9} \Rightarrow b = \frac{1}{9}$
$b = \frac{1}{9}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$4a + 6(\frac{1}{9}) = 1 \Rightarrow 4a = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{12}$
હવે,$E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = 24a + 280b$
$E(X^2) = 24(\frac{1}{12}) + 280(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{280}{9} = \frac{298}{9}$
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{298}{9} - (\frac{46}{9})^2 = \frac{2682 - 2116}{81} = \frac{566}{81}$

(B) આપણને આપેલ છે કે $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\cos ^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} y) = \alpha$
$\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} + \alpha$.
અહીં $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \pi]$ હોવાથી,$\frac{\pi}{2} + \alpha \in [0, \frac{3\pi}{2}]$ થશે.
બંને બાજુ કોસાઇન (cosine) લેતા:
$\cos(\cos ^{-1} x + \cos ^{-1} y) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$
$xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -\sin \alpha$
$xy + \sin \alpha = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(xy + \sin \alpha)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$
$x^2y^2 + 2xy \sin \alpha + \sin^2 \alpha = 1 - x^2 - y^2 + x^2y^2$
$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha = \cos^2 \alpha$.
$\cos^2 \alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે,જે $\alpha = \frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2+4)^2 dy + (2x^3y+8xy-2) dx = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(x^2+4)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2+4)y = 2$ મળે છે.
$(x^2+4)^2$ વડે ભાગતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+4}y = \frac{2}{(x^2+4)^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int \frac{2x}{x^2+4} dx} = e^{\ln(x^2+4)} = x^2+4$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d}{dx} [y(x^2+4)] = \frac{2}{x^2+4}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$y(x^2+4) = \int \frac{2}{x^2+2^2} dx = 2 \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C = \tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C$ મળે છે.
$y(0)=0$ આપેલ હોવાથી,$0(0+4) = \tan^{-1}(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C=0$.
આમ,$y(x^2+4) = \tan^{-1}(\frac{x}{2})$.
$x=2$ માટે,$y(2^2+4) = \tan^{-1}(\frac{2}{2}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$y(8) = \frac{\pi}{4}$,એટલે કે $y(2) = \frac{\pi}{32}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 1$,તેથી $\vec{a} \cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = |\vec{b}+\vec{c}|$.
$\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot ((x+2)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}) = x+2+6-2 = x+6$ ગણો.
$|\vec{b}+\vec{c}| = |(x+2)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}| = \sqrt{(x+2)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{x^2+4x+4+36+4} = \sqrt{x^2+4x+44}$ ગણો.
બંનેને સરખાવતા: $x+6 = \sqrt{x^2+4x+44}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x+6)^2 = x^2+4x+44 \implies x^2+12x+36 = x^2+4x+44$.
$8x = 8 \implies x = 1$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -5 \\ x & 2 & 3 \end{vmatrix}$ ગણો.
$x=1$ મૂકતા: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(12+10) - 1(6+5) + 1(4-4) = 22 - 11 + 0 = 11$.
આમ,કિંમત $11$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1: \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{5}=\frac{z-2}{1}=\lambda$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\lambda+2, 5\lambda+4, \lambda+2)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $L_2: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{2}=\mu$ છે. $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\mu+3, 3\mu+2, 2\mu+3)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,$\lambda+2 = 2\mu+3$ અને $5\lambda+4 = 3\mu+2$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\lambda = 2\mu+1$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $5(2\mu+1)+4 = 3\mu+2 \implies 10\mu+9 = 3\mu+2 \implies 7\mu = -7 \implies \mu = -1$.
તેથી $\lambda = 2(-1)+1 = -1$. છેદબિંદુ $P$ એ $(1, -1, 1)$ છે.
રેખા $L_3$ એ $4x=2y=z$ છે,જેને $\frac{x}{1/4} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{1}$ અથવા $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{4} = k$ તરીકે લખી શકાય.
$L_3$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(k, 2k, 4k)$ છે. સદિશ $\vec{PQ} = (k-1, 2k+1, 4k-1)$.
કારણ કે $\vec{PQ}$ એ $L_3$ ના દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 2, 4)$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$.
$(k-1)(1) + (2k+1)(2) + (4k-1)(4) = 0 \implies k-1 + 4k+2 + 16k-4 = 0 \implies 21k - 3 = 0 \implies k = \frac{1}{7}$.
બિંદુ $Q$ એ $(\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7})$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(1-\frac{1}{7})^2 + (-1-\frac{2}{7})^2 + (1-\frac{4}{7})^2} = \sqrt{(\frac{6}{7})^2 + (-\frac{9}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2} = \sqrt{\frac{36+81+9}{49}} = \sqrt{\frac{126}{49}} = \frac{\sqrt{9 \times 14}}{7} = \frac{3\sqrt{14}}{7}$.

(B) ધારો કે $I = \int \operatorname{cosec}^5 x \, dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \operatorname{cosec}^3 x$ અને $dv = \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ લેતા:
$I = \operatorname{cosec}^3 x(-\cot x) - \int (3 \operatorname{cosec}^2 x(-\operatorname{cosec} x \cot x))(-\cot x) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \cot^2 x \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3 \int \operatorname{cosec}^3 x (\operatorname{cosec}^2 x - 1) \, dx$
$I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - 3I + 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3 \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \operatorname{cosec}^3 x \, dx = -\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}|$.
આ કિંમત $4I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x + 3 \left( -\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{1}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}| \right)$
$4I = -\operatorname{cosec}^3 x \cot x - \frac{3}{2} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{3}{2} \ln |\tan \frac{x}{2}|$
$I = -\frac{1}{4} \cot x \operatorname{cosec} x (\operatorname{cosec}^2 x + \frac{3}{2}) + \frac{3}{8} \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha = -\frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{3}{8}$.
તેથી,$8(\alpha + \beta) = 8(-\frac{1}{4} + \frac{3}{8}) = 8(\frac{-2+3}{8}) = 1$.

(C) આપણને પદાવલિ $g(x) = (3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ આપેલ છે.
નોંધો કે $\frac{d}{dx} (f(x) f^{\prime}(x)) = (f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)$.
વળી,$\frac{d^2}{dx^2} (f(x) f^{\prime}(x)) = \frac{d}{dx} ((f^{\prime}(x))^2 + f(x) f^{\prime \prime}(x)) = 2 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x) = 3 f^{\prime}(x) f^{\prime \prime}(x) + f(x) f^{\prime \prime \prime}(x)$.
આમ,આપેલી પદાવલિ એ $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ નું દ્વિતીય વિકલિત છે,એટલે કે $g(x) = h^{\prime \prime}(x)$.
$f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2, f(4)=-2$ આપેલ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ $f(x)$ ને $(0, 4)$ અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછા $4$ શૂન્યો છે ($x=0$ પર,અને $(1,2), (2,3), (3,4)$ ની વચ્ચે).
ધારો કે $h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$. $h(x)$ ના શૂન્યો એ $f(x)$ ના શૂન્યો અને $f^{\prime}(x)$ ના શૂન્યો છે.
$f(x)$ ના શૂન્યો $x_1=0$,અને $x_2 \in (1,2)$,$x_3 \in (2,3)$,$x_4 \in (3,4)$ છે. તેથી $f(x)$ ને ઓછામાં ઓછા $4$ શૂન્યો છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$f^{\prime}(x)$ ને $(0, 4)$ માં ઓછામાં ઓછા $3$ શૂન્યો છે ($f(x)$ ના શૂન્યોની વચ્ચે).
આમ,$h(x) = f(x) f^{\prime}(x)$ ને $[0, 4]$ માં ઓછામાં ઓછા $4+3=7$ શૂન્યો છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,જો $h(x)$ ને $7$ શૂન્યો હોય,તો $h^{\prime}(x)$ ને ઓછામાં ઓછા $6$ શૂન્યો હોય,અને $h^{\prime \prime}(x)$ ને ઓછામાં ઓછા $5$ શૂન્યો હોય.