JEE Main 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $AB$ નો ઢાળ $M_{AB} = \frac{4}{-5}$ છે. $CP \perp AB$ હોવાથી $CP$ નો ઢાળ $M_{CP} = \frac{5}{4}$ થાય.
$CP$ નું સમીકરણ $y - 1 = \frac{5}{4}(x - 1)$ એટલે કે $5x - 4y - 1 = 0$ ... $(1)$.
$AP$ નો ઢાળ $M_{AP} = -1$ છે. $BC \perp AP$ હોવાથી $BC$ નો ઢાળ $1$ થાય.
$BC$ નું સમીકરણ $y - 3 = 1(x + 2)$ એટલે કે $x - y + 5 = 0$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,$\alpha = 21$ અને $\beta = 26$ મળે. તેથી $\alpha + \beta = 47$.
$\triangle PAB$ ના પરિકેન્દ્ર $(h, k)$ માટે લંબદ્વિભાજકો ઉકેલતા $h = -19/2$ અને $k = -23/2$ મળે.
તેથી $2(h + k) = -42$.
અંતિમ કિંમત $(\alpha + \beta) + 2(h + k) = 47 - 42 = 5$.

(C) કુલ આવૃત્તિ $N = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2c + 2c + 3c + 4c + 5c + 6c}{7} = \frac{22c}{7}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2$.
$\sum f_i x_i^2 = 2(c)^2 + 1(2c)^2 + 1(3c)^2 + 1(4c)^2 + 1(5c)^2 + 1(6c)^2 = c^2(2 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 92c^2$.
$\sigma^2 = \frac{92c^2}{7} - \left(\frac{22c}{7}\right)^2 = \frac{92c^2}{7} - \frac{484c^2}{49} = \frac{644c^2 - 484c^2}{49} = \frac{160c^2}{49}$.
આપેલ છે કે $\sigma^2 = 160$,તેથી $\frac{160c^2}{49} = 160$.
$c^2 = 49 \Rightarrow c = 7$ (કારણ કે $c \in N$).

(A) $(x^{2/3} + \frac{1}{2}x^{-2/5})^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (x^{2/3})^{9-r} (\frac{1}{2} x^{-2/5})^r$ છે.
$T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{1}{2})^r x^{6 - \frac{16r}{15}}$.
$x^{2/3}$ ના સહગુણક માટે,$6 - \frac{16r}{15} = \frac{2}{3}$ લેતા.
$r = 5$ મળે છે.
$x^{2/3}$ નો સહગુણક $= {}^9C_5 (\frac{1}{2})^5 = \frac{63}{16}$.
$x^{-2/5}$ ના સહગુણક માટે,$6 - \frac{16r}{15} = -\frac{2}{5}$ લેતા.
$r = 6$ મળે છે.
$x^{-2/5}$ નો સહગુણક $= {}^9C_6 (\frac{1}{2})^6 = \frac{21}{16}$.
સહગુણકોનો સરવાળો $= \frac{63}{16} + \frac{21}{16} = \frac{21}{4}$.

(D) અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે,જ્યાં $|r| < 1$.
આપેલ છે કે $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = 57$,તેથી $\frac{a}{1-r} = 57$ $(I)$.
આપેલ છે કે $\sum_{n=0}^{\infty} a^3 r^{3n} = 9747$,આ એક $G.P.$ છે જેનું પ્રથમ પદ $a^3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^3$ છે.
તેથી,$\frac{a^3}{1-r^3} = 9747$ $(II)$.
$(I)^3$ ને $(II)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^3}{(1-r)^3} \times \frac{1-r^3}{a^3} = \frac{57^3}{9747}$
$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$
$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$
$18r^2 - 39r + 18 = 0$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
$(2r-3)(3r-2) = 0$
$|r| < 1$ હોવાથી,$r = \frac{2}{3}$ લેતા.
$a = 57(1 - \frac{2}{3}) = 19$.
તેથી,$a + 18r = 19 + 18(\frac{2}{3}) = 31$.

(C) ધારો કે ત્રણ ફેંકના પરિણામો $x_1, x_2, x_3$ છે,જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
આપણે $x_1 < x_2 < x_3$ હોય તેની સંભાવના શોધી રહ્યા છીએ.
પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામો $6^3 = 216$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો છે,જે $^6C_3$ દ્વારા મળે છે.
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
એકવાર $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ થઈ જાય,પછી તેને વધતા ક્રમમાં $(x_1 < x_2 < x_3)$ ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{^6C_3}{6^3} = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ છે.

(B) સમીકરણ $x^2 - \sqrt{2}x - \sqrt{3} = 0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ નીચે મુજબ સંબંધ ધરાવે છે:
$P_{n+2} = \sqrt{2}P_{n+1} + \sqrt{3}P_n$
$n=10$ માટે,$P_{12} = \sqrt{2}P_{11} + \sqrt{3}P_{10}$
$n=9$ માટે,$P_{11} = \sqrt{2}P_{10} + \sqrt{3}P_9 \Rightarrow \sqrt{3}P_9 = P_{11} - \sqrt{2}P_{10}$
આપેલ પદાવલિમાં કિંમતો મુકતા:
$E = (11\sqrt{3} - 10\sqrt{2})P_{10} + (11\sqrt{2} + 10)P_{11} - 11(\sqrt{2}P_{11} + \sqrt{3}P_{10})$
$E = 10(P_{11} - \sqrt{2}P_{10}) = 10(\sqrt{3}P_9) = 10\sqrt{3}P_9$.

(A) ધારો કે પરવલય $P: y^2=8x$ પરનું બિંદુ $(x_1, y_1) = (2t^2, 4t)$ છે.
વર્તુળ $C: x^2+y^2=4$ ની જીવાનું સમીકરણ જે $(x_1, y_1)$ પર દુભાગે છે તે $T=S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ $xx_1+yy_1-4$ છે અને $S_1$ એ $x_1^2+y_1^2-4$ છે.
તેથી,$xx_1+yy_1 = x_1^2+y_1^2$.
આ જીવા $(\alpha, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણી પાસે $\alpha x_1 = x_1^2+y_1^2$ છે.
$x_1=2t^2$ અને $y_1=4t$ મૂકતા,આપણને $\alpha(2t^2) = (2t^2)^2 + (4t)^2 = 4t^4 + 16t^2$ મળે છે.
$2t^2$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ ધારીને),આપણને $\alpha = 2t^2 + 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$.
જીવા વર્તુળની અંદર અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ વર્તુળની અંદર હોવું જોઈએ,તેથી $x_1^2+y_1^2 < 4$.
$x_1^2+y_1^2 = \alpha x_1 = \alpha(2t^2)$ મૂકતા,આપણી પાસે $2\alpha t^2 < 4$,અથવા $\alpha t^2 < 2$ છે.
$t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$ મૂકતા,આપણને $\alpha \left(\frac{\alpha-8}{2}\right) < 2$ મળે છે,જે $\alpha^2 - 8\alpha - 4 < 0$ માં સરળ બને છે.
$\alpha^2 - 8\alpha - 4 = 0$ ના બીજ $\alpha = \frac{8 \pm \sqrt{64+16}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$ છે.
તેથી,$4-2\sqrt{5} < \alpha < 4+2\sqrt{5}$.
ઉપરાંત,$t^2 > 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{\alpha-8}{2} > 0$ છે,તેથી $\alpha > 8$.
આ બંનેને જોડતા,$\alpha \in (8, 4+2\sqrt{5})$.
તેથી,$p=8$ અને $q=4+2\sqrt{5}$.
તેથી $(2q-p)^2 = (2(4+2\sqrt{5})-8)^2 = (8+4\sqrt{5}-8)^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80$.

(D) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $N = 100a + 10b + c$ છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
આપણે $a + b + c = 14$ સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$a' = a - 1$ લેતા,$a' + b + c = 13$,જ્યાં $0 \leq a' \leq 8$,$0 \leq b \leq 9$,અને $0 \leq c \leq 9$.
કુલ ઉકેલો = $\binom{15}{2} = 105$.
મર્યાદા બહારના કિસ્સાઓ બાદ કરતા:
$a' \geq 9$ માટે: $\binom{6}{2} = 15$.
$b \geq 10$ માટે: $\binom{5}{2} = 10$.
$c \geq 10$ માટે: $\binom{5}{2} = 10$.
કુલ ઉકેલો = $105 - (15 + 10 + 10) = 70$.

(B) પરવલય $y^2=4ax$ માટે,$4a=6$,તેથી $a=\frac{3}{2}$. ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C$ અનુક્રમે $(at_1^2, 2at_1), (at_2^2, 2at_2), (at_3^2, 2at_3)$ છે.
રેખા $L$ એ $C$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y=2at_3$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y(t_1+t_2)=2x+2at_1t_2$ છે.
બિંદુ $D$ એ $AB$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે,તેથી $2at_3(t_1+t_2)=2x_D+2at_1t_2$,જે $x_D=a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2)$ આપે છે.
$AM = |2at_1 - 2at_3| = |2a(t_1-t_3)|$.
$BN = |2at_2 - 2at_3| = |2a(t_2-t_3)|$.
$CD = |x_D - at_3^2| = |a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2-t_3^2)| = a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|$.
આમ,$\frac{AM \cdot BN}{CD} = \frac{|2a(t_1-t_3)| \cdot |2a(t_2-t_3)|}{a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|} = 4a$.
અહીં $a=\frac{3}{2}$ હોવાથી,$4a = 4 \times \frac{3}{2} = 6$.
તેથી,$\left(\frac{AM \cdot BN}{CD}\right)^2 = 6^2 = 36$.

(D) બીજું પદ $\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{(2k)(2k-1)} = \sum_{k=1}^{1012} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}\right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{\alpha+k} - \sum_{k=1}^{1012} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k}\right) = \frac{1}{2024}$.
તેથી,$\sum_{k=1}^{1012} \frac{1}{\alpha+k} = \alpha = 1011$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha \beta \gamma = 45$ અને સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$
જેને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$1) \alpha x + y + 2z = 0$
$2) x + \beta y + 3z = 0$
$3) 2x + 2y + \gamma z = 0$
કારણ કે $xyz \neq 0$,આ સંહતિનો ઉકેલ શૂન્યતર (non-trivial) છે,જેનો અર્થ છે કે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 2 \\ 1 & \beta & 3 \\ 2 & 2 & \gamma \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(\beta \gamma - 6) - 1(\gamma - 6) + 2(2 - 2\beta) = 0$
$\alpha \beta \gamma - 6\alpha - \gamma + 6 + 4 - 4\beta = 0$
$\alpha \beta \gamma = 45$ મૂકતા:
$45 - 6\alpha - \gamma + 10 - 4\beta = 0$
$55 - (6\alpha + 4\beta + \gamma) = 0$
તેથી,$6\alpha + 4\beta + \gamma = 55$.

(C) ધારો કે $I_k = \int_0^1 (1-x^7)^k dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I_k = [x(1-x^7)^k]_0^1 - \int_0^1 x \cdot k(1-x^7)^{k-1} \cdot (-7x^6) dx$.
$I_k = 0 + 7k \int_0^1 x^7(1-x^7)^{k-1} dx$.
કારણ કે $x^7 = 1 - (1-x^7)$,તેથી $I_k = 7k \int_0^1 (1-(1-x^7))(1-x^7)^{k-1} dx$.
$I_k = 7k [I_{k-1} - I_k]$.
$I_k(1+7k) = 7k I_{k-1} \Rightarrow \frac{I_{k-1}}{I_k} = \frac{7k+1}{7k}$.
$k$ ને $k+1$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{I_k}{I_{k+1}} = \frac{7(k+1)+1}{7(k+1)} = \frac{7k+8}{7k+7}$ મળે છે.
આમ,$r_k = \frac{7k+8}{7k+7}$.
તેથી $r_k - 1 = \frac{7k+8 - (7k+7)}{7k+7} = \frac{1}{7(k+1)}$.
તેથી,$\frac{1}{7(r_k-1)} = k+1$.
અંતે,$\sum_{k=1}^{10} (k+1) = 2+3+4+...+11 = \frac{10}{2}(2+11) = 5 \times 13 = 65$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cot ^{-1} 3+\cot ^{-1} 4+\cot ^{-1} 5+\cot ^{-1} n=\frac{\pi}{4}$.
$x > 0$ માટે $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} (1/x)$ નો ઉપયોગ કરીને $\tan ^{-1}$ માં ફેરવતા:
$\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4}$.
પ્રથમ,$\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{4} = \tan ^{-1} \left(\frac{1/3+1/4}{1-(1/3)(1/4)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{7/12}{11/12}\right) = \tan ^{-1} \frac{7}{11}$ મેળવીએ.
હવે,$\tan ^{-1} \frac{1}{5}$ ઉમેરતા: $\tan ^{-1} \frac{7}{11}+\tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left(\frac{7/11+1/5}{1-(7/11)(1/5)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{46/55}{48/55}\right) = \tan ^{-1} \frac{46}{48} = \tan ^{-1} \frac{23}{24}$.
તેથી,$\tan ^{-1} \frac{23}{24} + \tan ^{-1} \frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}$.
$\tan ^{-1} \frac{1}{n} = \tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1} \frac{23}{24} = \tan ^{-1} \left(\frac{1-23/24}{1+(1)(23/24)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{1/24}{47/24}\right) = \tan ^{-1} \frac{1}{47}$.
આમ,$n = 47$.

(A) રેખા બિંદુઓ $A(2, -5, 11)$ અને $B(-6, 7, -5)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(-6-2, 7-(-5), -5-11) = (-8, 12, -16)$ છે.
$-4$ વડે ભાગતા,સરળ દિશા ગુણોત્તર $(2, -3, 4)$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{2} = \frac{y+5}{-3} = \frac{z-11}{4} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(2\lambda+2, -3\lambda-5, 4\lambda+11)$ છે.
સદિશ $\vec{RQ} = (2\lambda+2-1, -3\lambda-5-7, 4\lambda+11-6) = (2\lambda+1, -3\lambda-12, 4\lambda+5)$ છે.
કારણ કે $RQ$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{RQ}$ અને દિશા સદિશ $(2, -3, 4)$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય:
$2(2\lambda+1) - 3(-3\lambda-12) + 4(4\lambda+5) = 0$
$4\lambda + 2 + 9\lambda + 36 + 16\lambda + 20 = 0$
$29\lambda + 58 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$Q$ ના યામમાં $\lambda = -2$ મૂકતા:
$Q = (2(-2)+2, -3(-2)-5, 4(-2)+11) = (-2, 1, 3)$.
$P(10, -2, -1)$ અને $Q(-2, 1, 3)$ વચ્ચેનું અંતર $PQ$:
$PQ = \sqrt{(-2-10)^2 + (1-(-2))^2 + (3-(-1))^2}$
$PQ = \sqrt{(-12)^2 + (3)^2 + (4)^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
અહીં $\vec{a} = (2, -3, 4)$,$\vec{b} = (3, 4, -5)$,$|\vec{a}|^2 = 29$,$|\vec{b}|^2 = 50$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = -26$,અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 13$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$-26 \vec{a} - 29 \vec{b} + 13 \vec{a} - 29 \vec{c} + 13 \vec{b} - (-26) \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
$-13 \vec{a} - 16 \vec{b} - 3 \vec{c} = \vec{a} \times (\hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k})$.
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$-13 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 16 |\vec{b}|^2 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = [\vec{a}, \hat{i} + 8 \hat{j} + 13 \hat{k}, \vec{b}]$.
$-13 (-26) - 16 (50) - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 8 & 13 \\ 3 & 4 & -5 \end{vmatrix}$.
$338 - 800 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = -396$.
$-462 - 3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = -396 \Rightarrow -3 (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 66 \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} = -22$.
તેથી,$24 - (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 24 - (-22) = 46$.

(C) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ અને સંબંધ $R$ જે $4x \leq 5y$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
પ્રથમ,આપણે $4x \leq 5y$ થાય તેવા ઘટકો $(x, y)$ શોધીએ:
$x=1$ માટે: $4 \leq 5y \implies y \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ($5$ ઘટકો)
$x=2$ માટે: $8 \leq 5y \implies y \in \{2, 3, 4, 5\}$ ($4$ ઘટકો)
$x=3$ માટે: $12 \leq 5y \implies y \in \{3, 4, 5\}$ ($3$ ઘટકો)
$x=4$ માટે: $16 \leq 5y \implies y \in \{4, 5\}$ ($2$ ઘટકો)
$x=5$ માટે: $20 \leq 5y \implies y \in \{4, 5\}$ ($2$ ઘટકો)
કુલ ઘટકો $m = 5 + 4 + 3 + 2 + 2 = 16$.
$R$ ને સંમિત બનાવવા માટે,દરેક $(x, y) \in R$ જ્યાં $x \neq y$ હોય,તેના માટે $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ.
$R$ માં એવા ઘટકો જ્યાં $x \neq y$ હોય તે છે: $(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 4)$.
આવી $11$ જોડીઓ છે.
આપણે તપાસીએ કે કઈ જોડીઓ $(y, x)$ પહેલેથી $R$ માં નથી:
$(2, 1) \notin R$,$(3, 1) \notin R$,$(4, 1) \notin R$,$(5, 1) \notin R$,$(3, 2) \notin R$,$(4, 2) \notin R$,$(5, 2) \notin R$,$(4, 3) \notin R$,$(5, 3) \notin R$.
નોંધો કે $(5, 4) \in R$ અને $(4, 5) \in R$,તેથી આ જોડી પહેલેથી જ સંમિત છે.
ઉમેરવા પડતા ઘટકો $\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3)\}$ છે.
આમ,$n = 9$.
તેથી,$m + n = 16 + 9 = 25$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{(2+\alpha)x - \beta y + 2}{\beta x - 2\alpha y - (\beta\gamma - 4\alpha)}$ છે.
વર્તુળ દર્શાવવા માટે,સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
વિકલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(\beta x - 2\alpha y - (\beta\gamma - 4\alpha)) dy = ((2+\alpha)x - \beta y + 2) dx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $((2+\alpha)x - \beta y + 2) dx - (\beta x - 2\alpha y - (\beta\gamma - 4\alpha)) dy = 0$.
વર્તુળ દર્શાવતા ચોક્કસ વિકલ સમીકરણ માટે,$xy$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $\beta = 0$.
$\beta = 0$ મૂકતા: $((2+\alpha)x + 2) dx - (-2\alpha y + 4\alpha) dy = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int ((2+\alpha)x + 2) dx = \int (-2\alpha y + 4\alpha) dy$.
$\frac{(2+\alpha)x^2}{2} + 2x = -\alpha y^2 + 4\alpha y + C$.
તે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $C = 0$.
ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{2+\alpha}{2} x^2 + \alpha y^2 + 2x - 4\alpha y = 0$.
વર્તુળ માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ: $\frac{2+\alpha}{2} = \alpha \Rightarrow 2+\alpha = 2\alpha \Rightarrow \alpha = 2$.
$\alpha = 2$ મૂકતા: $\frac{4}{2} x^2 + 2y^2 + 2x - 8y = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2x - 8y = 0$.
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 + x - 4y = 0$.
કેન્દ્ર $(-\frac{1}{2}, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (2)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = (\frac{1}{x})^{2x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = 2x \ln(\frac{1}{x}) = -2x \ln(x)$ મળે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2(1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -2(\ln(x) + 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$\ln(x) = -1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{e}$.
$x < \frac{1}{e}$ માટે $f'(x) > 0$ અને $x > \frac{1}{e}$ માટે $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \frac{1}{e}$ આગળ મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
આમ,તમામ $x > 0$ માટે $f(x) \leq f(\frac{1}{e})$.
$f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{1/e})^{2(1/e)} = e^{2/e}$.
કોઈપણ $x$ માટે,$(\frac{1}{x})^{2x} \leq e^{2/e}$.
$x = \frac{1}{\pi}$ લેતા,$(\frac{1}{1/\pi})^{2(1/\pi)} \leq e^{2/e}$.
$\pi^{2/\pi} \leq e^{2/e}$.
બંને બાજુ $\frac{\pi e}{2}$ ઘાત લેતા,$(\pi^{2/\pi})^{\pi e/2} \leq (e^{2/e})^{\pi e/2}$.
$\pi^e \leq e^\pi$.
$\pi \neq e$ હોવાથી,$e^\pi > \pi^e$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = 6\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 6^2 + 1^2 + (-1)^2 = 36 + 1 + 1 = 38$.
આપેલ છે કે $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 8$ મળે.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 6|\vec{c}|$ અને $|\vec{a}|^2 = 38$ મૂકતા,$|\vec{c}|^2 + 38 - 2(6|\vec{c}|) = 8$ મળે.
$|\vec{c}|^2 - 12|\vec{c}| + 30 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $|\vec{c}|$ શોધતા: $|\vec{c}| = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2} = 6 \pm \sqrt{6}$.
કારણ કે $|\vec{c}| \geq 6$,આપણે $|\vec{c}| = 6 + \sqrt{6}$ લઈશું.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(60^{\circ})$ છે.
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = (3\sqrt{3}) (6 + \sqrt{6}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2}(6 + \sqrt{6})$.

(D) આપેલ છે કે $g(x) = h(e^x) \cdot e^{h(x)}$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$g^{\prime}(x) = h(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{h(x)}) + e^{h(x)} \cdot \frac{d}{dx}(h(e^x))$
$g^{\prime}(x) = h(e^x) \cdot e^{h(x)} \cdot h^{\prime}(x) + e^{h(x)} \cdot h^{\prime}(e^x) \cdot e^x$
હવે,$x = 0$ મુકતા:
$g^{\prime}(0) = h(e^0) \cdot e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(0) + e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(e^0) \cdot e^0$
$g^{\prime}(0) = h(1) \cdot e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(0) + e^{h(0)} \cdot h^{\prime}(1) \cdot 1$
આપેલ છે કે $h(0)=0$,$h(1)=1$,અને $h^{\prime}(0)=h^{\prime}(1)=2$:
$g^{\prime}(0) = (1) \cdot e^0 \cdot (2) + e^0 \cdot (2) \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 1 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 1$
$g^{\prime}(0) = 2 + 2 = 4$.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-1}{-1} = t$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $S(t, t+3, 1-t)$ છે.
સદિશ $\vec{QS} = (t-3, t+6, -t)$. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, -1)$ છે.
કારણ કે $\vec{QS} \perp \vec{v}$,તેથી $(t-3)(1) + (t+6)(1) + (-t)(-1) = 0$,જે $3t+3=0 \implies t=-1$ આપે છે.
આમ,લંબપાદ $S(-1, 2, 2)$ છે.
$S$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{\alpha+3}{2} = -1, \frac{\beta-3}{2} = 2, \frac{\gamma+1}{2} = 2$,તેથી $P(-5, 7, 3)$ મળે.
સદિશ $\vec{RQ} = (1, -8, 2)$ અને $\vec{RP} = (-7, 2, 4)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{RQ} \times \vec{RP}|$.
$\vec{RQ} \times \vec{RP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -8 & 2 \\ -7 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -36\hat{i} - 18\hat{j} - 54\hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $\lambda = \frac{1}{2} \sqrt{(-36)^2 + (-18)^2 + (-54)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4536} = 9\sqrt{14}$.
$\lambda^2 = 14K$ હોવાથી,$81 \times 14 = 14K$,તેથી $K = 81$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે,$\sin 5x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$-\sin 5x$ પણ $[-1, 1]$ અંતરાલમાં આવે છે.
બધા પદોમાં $7$ ઉમેરતા,આપણને $7 - \sin 5x \in [7 - 1, 7 + 1]$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $7 - \sin 5x \in [6, 8]$ થાય છે.
વ્યસ્ત લેતા,$f(x) = \frac{1}{7 - \sin 5x}$ નો વિસ્તાર $\left[\frac{1}{8}, \frac{1}{6}\right]$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{v} = \vec{a} \times (\hat{i} + \hat{j})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$\vec{w} = \vec{v} \times \hat{i} = (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i} = \hat{i} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i} = 0 - (-\hat{k}) + \hat{j} = \hat{j} + \hat{k}$.
પછી,$\vec{b} = \vec{w} \times \hat{i} = (\hat{j} + \hat{k}) \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{i} + \hat{k} \times \hat{i} = -\hat{k} + \hat{j} = \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $p = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{j} - \hat{k}) = 0 + 1 + 1 = 2$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$p = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
પ્રક્ષેપનો વર્ગ $p^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ થાય.

(C) પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$Area = \int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{a}{x^2}\right) dx$
$= \left[ \ln|x| + \frac{a}{x} \right]_1^2$
$= (\ln 2 + \frac{a}{2}) - (\ln 1 + \frac{a}{1})$
$= \ln 2 + \frac{a}{2} - a = \ln 2 - \frac{a}{2}$
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $(\ln 2) - \frac{1}{7}$ છે,તેથી સરખાવતા:
$\ln 2 - \frac{a}{2} = \ln 2 - \frac{1}{7}$
$-\frac{a}{2} = -\frac{1}{7}$
$a = \frac{2}{7}$
હવે,$7a - 3$ ની કિંમત શોધીએ:
$7(\frac{2}{7}) - 3 = 2 - 3 = -1$

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ છે.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા,$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \tan^2 x + b^2}$ મળે.
ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x dx$.
સંકલન $I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$ થાય.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a}{b} \tan^{-1}(\frac{u}{b/a}) + C = \frac{1}{ab} \tan^{-1}(\frac{a}{b} \tan x) + C$ મળે.
આને આપેલ પદ $\frac{1}{12} \tan^{-1}(3 \tan x) + C$ સાથે સરખાવતા,$ab = 12$ અને $\frac{a}{b} = 3$ મળે.
$\frac{a}{b} = 3$ પરથી,$a = 3b$ મળે. $ab = 12$ માં કિંમત મૂકતા,$(3b)b = 12 \implies 3b^2 = 12 \implies b^2 = 4 \implies b = 2$ ($a, b > 0$ ધારતા).
તેથી $a = 3(2) = 6$.
હવે $6 \sin x + 2 \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $A \sin x + B \cos x$ ના સૂત્ર $\sqrt{A^2 + B^2}$ મુજબ $\sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$ થાય.

(C) આપેલ છે $|A|=3$ અને કક્ષા $n=3$.
આપણે ગુણધર્મ $|\operatorname{adj}(B)| = |B|^{n-1} = |B|^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $X = (2A)^{-1}$. તો $|X| = |(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{2^3 |A|} = \frac{1}{8 \times 3} = \frac{1}{24}$.
પગલું $1$: $|\operatorname{adj}(3X)| = |3X|^2 = (3^3 |X|)^2 = (27 \times \frac{1}{24})^2 = (\frac{9}{8})^2 = \frac{81}{64}$.
પગલું $2$: $|\operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X))| = | -3 \operatorname{adj}(3X) |^2 = ((-3)^3 |\operatorname{adj}(3X)|)^2 = (-27 \times \frac{81}{64})^2 = (\frac{2187}{64})^2$.
પગલું $3$: $|\operatorname{adj}(-4 \operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X)))| = | -4 \operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X)) |^2 = ((-4)^3 |\operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X))|)^2 = (-64 \times (\frac{2187}{64})^2)^2 = (-\frac{2187^2}{64})^2 = \frac{2187^4}{64^2} = \frac{3^{28}}{2^{12}} = 2^{-12} \cdot 3^{28}$.
$2^m 3^n$ સાથે સરખાવતા,$m = -12$ અને $n = 28$ મળે છે.
આમ,$m+2n = -12 + 2(28) = 44$.

(A) વિધેય $f(x) = [\frac{x}{2} + 3] - [\sqrt{x}]$ ત્યાં અસતત છે જ્યાં $[\frac{x}{2} + 3]$ અથવા $[\sqrt{x}]$ અસતત હોય.
$1$. $[\frac{x}{2} + 3]$ પદ ત્યારે અસતત હોય જ્યારે $\frac{x}{2} + 3$ પૂર્ણાંક હોય.
$x \in [0, 8]$ માટે,$\frac{x}{2} + 3$ ની કિંમતો $[3, 7]$ માં હોય.
તેથી,$\frac{x}{2} + 3 \in \{3, 4, 5, 6, 7\}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $\frac{x}{2} \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \implies x \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
$2$. $[\sqrt{x}]$ પદ ત્યારે અસતત હોય જ્યારે $\sqrt{x}$ પૂર્ણાંક હોય.
$x \in [0, 8]$ માટે,$\sqrt{x} \in [0, \sqrt{8}] \approx [0, 2.82]$.
તેથી,$\sqrt{x} \in \{0, 1, 2\}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x \in \{0, 1, 4\}$.
$3$. $[0, 8]$ માં અસતત બિંદુઓનો ગણ $S$ એ આ બિંદુઓનો યોગગણ છે:
$S = \{0, 1, 2, 4, 6, 8\}$.
પરંતુ,આપણે તપાસવું પડશે કે શું કોઈ બિંદુએ કૂદકા (jumps) રદ થાય છે.
$x=0$ પર: $f(0) = [3] - [0] = 3$. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 3$. સતત છે.
$x=4$ પર: $f(4) = [2+3] - [2] = 3$.
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = [4.99] - [1.99] = 4 - 1 = 3$.
$\lim_{x \to 4^+} f(x) = [5.00...] - [2.00...] = 5 - 2 = 3$. સતત છે.
આમ,અસતત બિંદુઓ $S = \{1, 2, 6, 8\}$ છે.
$S$ ના ઘટકોનો સરવાળો $1 + 2 + 6 + 8 = 17$ થાય છે.

(D) આપણે સંકલન $I = \int_0^3 [x^2] dx + \int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\int_0^3 [x^2] dx$ માટે:
$[x^2] = 0$ જ્યારે $x \in [0, 1)$,$1$ જ્યારે $x \in [1, \sqrt{2})$,$2$ જ્યારે $x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$,$3$ જ્યારે $x \in [\sqrt{3}, 2)$,$4$ જ્યારે $x \in [2, \sqrt{5})$,$5$ જ્યારે $x \in [\sqrt{5}, \sqrt{6})$,$6$ જ્યારે $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{7})$,$7$ જ્યારે $x \in [\sqrt{7}, \sqrt{8})$,$8$ જ્યારે $x \in [\sqrt{8}, 3)$.
આનું મૂલ્ય $24 - 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{7}$ મળે છે.
$\int_0^3 [\frac{x^2}{2}] dx$ માટે:
$[\frac{x^2}{2}] = 0$ જ્યારે $x \in [0, \sqrt{2})$,$1$ જ્યારે $x \in [\sqrt{2}, 2)$,$2$ જ્યારે $x \in [2, \sqrt{6})$,$3$ જ્યારે $x \in [\sqrt{6}, \sqrt{8})$,$4$ જ્યારે $x \in [\sqrt{8}, 3)$.
આનું મૂલ્ય $10 - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$ મળે છે.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $I = 34 - 6\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{5} - 2\sqrt{6} - \sqrt{7}$.
સરખામણી કરતા $a = 31, b = -6, c = -2$ લેતા,$a + b + c = 31 - 6 - 2 = 23$ મળે છે.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે જેના પરિમાણો $N=12$ (કુલ વસ્તુઓ),$K=3$ (ખામીયુક્ત વસ્તુઓ),અને $n=5$ (નમૂનાનું કદ) છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma^2 = 5 \cdot \frac{3}{12} \cdot \frac{12-3}{12} \cdot \frac{12-5}{12-1}$.
$\sigma^2 = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{12} \cdot \frac{7}{11} = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{11} = \frac{105}{176}$.
આપેલ છે કે $\sigma^2 = \frac{m}{n} = \frac{105}{176}$,જ્યાં $\operatorname{gcd}(105, 176) = 1$.
તેથી,$m = 105$ અને $n = 176$.
$n-m = 176 - 105 = 71$.

(C) રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{p}$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{q}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{a}_1 = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{p} = 3 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -2 \hat{i} - 5 \hat{j} + 4 \hat{k}$,અને $\vec{q} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{||\vec{p} \times \vec{q}||}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6 \hat{i} - 15 \hat{j} + 3 \hat{k}$ મેળવો.
તેનું માન $||\vec{p} \times \vec{q}|| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = 3\sqrt{30}$ છે.
હવે,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-2-\lambda) \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = 6\lambda + 126$ મળે છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{44}{\sqrt{30}}$,તેથી $\frac{|6\lambda + 126|}{3\sqrt{30}} = \frac{44}{\sqrt{30}}$ થાય.
$|6\lambda + 126| = 132$ મળે.
આથી $6\lambda + 126 = 132$ અથવા $6\lambda + 126 = -132$ થાય.
કિસ્સો $1$: $\lambda = 1$.
કિસ્સો $2$: $\lambda = -43$.
તેથી,$|\lambda|$ ની મહત્તમ કિંમત $43$ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ અને નિશ્ચાયકો $D_1, D_2, D_3$ બધા શૂન્ય હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $D_3 = 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_3 = \begin{vmatrix} 2 & 7 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 1 & \mu & -1 \end{vmatrix} = 2(-2 - 4\mu) - 7(-3 - 4) + 3(3\mu - 2) = 0$
$-4 - 8\mu + 49 + 9\mu - 6 = 0$
$\mu + 39 = 0 \Rightarrow \mu = -39$
ત્યારબાદ,$\mu = -39$ સાથે $D = 0$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 7 & \lambda \\ 3 & 2 & 5 \\ 1 & -39 & 32 \end{vmatrix} = 2(64 + 195) - 7(96 - 5) + \lambda(-117 - 2) = 0$
$2(259) - 7(91) - 119\lambda = 0$
$518 - 637 - 119\lambda = 0$
$-119 - 119\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$
અંતે,આપણે $(\lambda - \mu)$ શોધીએ:
$\lambda - \mu = -1 - (-39) = -1 + 39 = 38$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(e^y+1) \cos x \, dx + e^y \sin x \, dy = 0$ છે.
આને $d((e^y+1) \sin x) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $(e^y+1) \sin x = C$ મળે છે.
ઉકેલ બિંદુ $(\frac{\pi}{2}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$(e^0+1) \sin(\frac{\pi}{2}) = C \Rightarrow (1+1)(1) = C \Rightarrow C = 2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $(e^y+1) \sin x = 2$ છે.
હવે,આપણે $e^{y(\frac{\pi}{6})}$ ની કિંમત શોધવાની છે. સમીકરણમાં $x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$(e^y+1) \sin(\frac{\pi}{6}) = 2$.
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $(e^y+1) \cdot \frac{1}{2} = 2$.
$e^y+1 = 4$.
$e^y = 3$.
તેથી,$e^{y(\frac{\pi}{6})}$ ની કિંમત $3$ છે.

(D) આપણને $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx$ આપેલ છે. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1 - x^k)^n$ અને $dv = dx$ લેતા,$du = n(1 - x^k)^{n-1} (-k x^{k-1}) dx$ અને $v = x$ મળે.
$I_n = [x(1 - x^k)^n]_0^1 - \int_0^1 x \cdot n(1 - x^k)^{n-1} (-k x^{k-1}) dx$
$I_n = 0 + nk \int_0^1 x^k (1 - x^k)^{n-1} dx$
$I_n = nk \int_0^1 (x^k - 1 + 1)(1 - x^k)^{n-1} dx$
$I_n = nk \int_0^1 [-(1 - x^k)^n + (1 - x^k)^{n-1}] dx$
$I_n = -nk I_n + nk I_{n-1}$
$I_n(1 + nk) = nk I_{n-1} \Rightarrow \frac{I_n}{I_{n-1}} = \frac{nk}{nk + 1}$
આપેલ છે કે $147 I_{20} = 148 I_{21}$,તેથી $\frac{I_{21}}{I_{20}} = \frac{147}{148}$.
$n = 21$ માટે પુનરાવર્તિત સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{I_{21}}{I_{20}} = \frac{21k}{21k + 1}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{21k}{21k + 1} = \frac{147}{148}$.
$21k \cdot 148 = 147(21k + 1)$
$3108k = 3087k + 147$
$21k = 147 \Rightarrow k = 7$.

(A) ધારો કે $P(x, y, z)$ પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં છે,$OP = \gamma = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
$P$ નો $xy$-સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ $Q(x, y, 0)$ છે.
ધારો કે $OQ = r = \sqrt{x^2+y^2}$.
$OQ$ અને ધન $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$.
$OP$ અને ધન $z$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ હોવાથી,$z = OP \cos \phi = \gamma \cos \phi$.
તેમજ,$r = OP \sin \phi = \gamma \sin \phi$.
આમ,$x = \gamma \sin \phi \cos \theta$,$y = \gamma \sin \phi \sin \theta$,અને $z = \gamma \cos \phi$.
$P(x, y, z)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $\sqrt{y^2+z^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{(\gamma \sin \phi \sin \theta)^2 + (\gamma \cos \phi)^2} = \gamma \sqrt{\sin^2 \phi \sin^2 \theta + \cos^2 \phi}$.
$\cos^2 \phi = 1 - \sin^2 \phi$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\gamma \sqrt{\sin^2 \phi \sin^2 \theta + 1 - \sin^2 \phi} = \gamma \sqrt{1 - \sin^2 \phi (1 - \sin^2 \theta)} = \gamma \sqrt{1 - \sin^2 \phi \cos^2 \theta}$.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = (x-2)^{2/3}(2x+1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[(x-2)^{2/3}] \cdot (2x+1) + (x-2)^{2/3} \cdot \frac{d}{dx}[2x+1]$
$f'(x) = \frac{2}{3}(x-2)^{-1/3}(2x+1) + 2(x-2)^{2/3}$
$2(x-2)^{-1/3}$ સામાન્ય લેતા:
$f'(x) = 2(x-2)^{-1/3} [\frac{1}{3}(2x+1) + (x-2)]$
$f'(x) = \frac{2}{3(x-2)^{1/3}} [2x + 1 + 3x - 6]$
$f'(x) = \frac{2(5x-5)}{3(x-2)^{1/3}} = \frac{10(x-1)}{3(x-2)^{1/3}}$
ક્રાંતિક બિંદુઓ ત્યારે મળે છે જ્યારે $f'(x) = 0$ હોય અથવા $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત હોય.
$f'(x) = 0 \implies x-1 = 0 \implies x = 1$.
$f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે જ્યારે છેદ શૂન્ય હોય,એટલે કે $x-2 = 0 \implies x = 2$.
આમ,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ છે.
કુલ $2$ ક્રાંતિક બિંદુઓ છે.

(B) આપેલ છે કે $y=f(x)$ વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=a$ સુધી $\int_0^a f(x) dx = e^{-a}+4a^2+a-1$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,બંને બાજુ $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $f(a) = \frac{d}{da}(e^{-a}+4a^2+a-1) = -e^{-a}+8a+1$ મળે.
આમ,$f(x) = -e^{-x}+8x+1$.
વ્યાપક ઉકેલ $y = c_1 f(x) + c_2$ આપેલ છે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = c_1 f'(x) = c_1(e^{-x}+8)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = c_1 f''(x) = c_1(e^{-x})$.
દ્વિતીય વિકલિત પરથી,$c_1 = e^x \frac{d^2y}{dx^2}$ મળે.
$c_1$ ની કિંમત પ્રથમ વિકલિતના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = (e^x \frac{d^2y}{dx^2})(e^{-x}+8) = \frac{d^2y}{dx^2}(1+8e^x)$.
ગોઠવતા $(8e^x+1) \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.

(B) આપેલ છે $f(x)=4 \cos ^3 x+3 \sqrt{3} \cos ^2 x-10$,જ્યાં $x \in(0, 2 \pi)$.
પ્રથમ,વિકલન $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x) = 4(3 \cos ^2 x)(-\sin x) + 3 \sqrt{3}(2 \cos x)(-\sin x)$
$f^{\prime}(x) = -12 \cos ^2 x \sin x - 6 \sqrt{3} \cos x \sin x$
$f^{\prime}(x) = -6 \sin x \cos x (2 \cos x + \sqrt{3})$
$f^{\prime}(x) = -3 \sin(2x) (2 \cos x + \sqrt{3})$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$-3 \sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \Rightarrow x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$
$2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$
$(0, 2\pi)$ માં ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \pi, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ છે.
$f^{\prime}(x)$ ની નિશાની તપાસતા:
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$.
$x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$.
$x \in (\frac{5\pi}{6}, \pi)$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$.
$x \in (\pi, \frac{7\pi}{6})$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$.
$x \in (\frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$.
$x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$.
સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ ત્યાં મળે છે જ્યાં $f^{\prime}(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે. આ $x = \frac{5\pi}{6}$ અને $x = \frac{3\pi}{2}$ પર થાય છે.
આમ,સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $A^3 - 4A^2 + A + 21I = 0$ છે.
લાક્ષણિક બહુપદી $P(\lambda) = \lambda^3 - 4\lambda^2 + \lambda + 21 = 0$ છે.
આયગન કિંમતોનો સરવાળો (શ્રેણિક $A$ નો ટ્રેસ) એ $\lambda^2$ ના સહગુણક સાથે ચિહ્ન બદલીને મળે છે,તેથી $\text{tr}(A) = 2 + 3 + b = 4$,જે આપણને $b = -1$ આપે છે.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક એ લાક્ષણિક બહુપદીના અચળ પદ સાથે ચિહ્ન બદલીને મળે છે ($3 \times 3$ શ્રેણિક માટે),તેથી $|A| = -21$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $|A| = 2(3b - 5) - a(b - 0) + 0 = 6b - 10 - ab = -21$.
$b = -1$ મૂકતા: $6(-1) - 10 - a(-1) = -21 \Rightarrow -6 - 10 + a = -21 \Rightarrow -16 + a = -21 \Rightarrow a = -5$.
અંતે,$2a + 3b = 2(-5) + 3(-1) = -10 - 3 = -13$.

(B) રેખાઓ નીચે મુજબ છે:
$L_1: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$
$L_2: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
ધારો કે $\overrightarrow{a_1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\overrightarrow{a_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
ધારો કે $\overrightarrow{p} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
તેથી $\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (2-2)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}$ છે:
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-12) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(3+6) = -15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k}$.
તેનું માન $|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}| = \sqrt{(-15)^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 49 + 81} = \sqrt{355}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q})}{|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = \left| \frac{(0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{355}} \right| = \left| \frac{0 + 14 + 18}{\sqrt{355}} \right| = \frac{32}{\sqrt{355}}$.
$\frac{m}{\sqrt{n}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 32$ અને $n = 355$ મળે છે.
કારણ કે $\operatorname{gcd}(32, 355) = 1$,તેથી $m+n = 32 + 355 = 387$.

(B) આપેલ છે $I(x)=\int \frac{6}{\sin ^2 x(1-\cot x)^2} d x$.
આપણે સંકલનને $I(x)=\int \frac{6 \operatorname{cosec}^2 x}{(1-\cot x)^2} d x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $t = 1-\cot x$. તો $dt = \operatorname{cosec}^2 x d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I(x) = \int \frac{6}{t^2} dt = -\frac{6}{t} + C = -\frac{6}{1-\cot x} + C$ મળે છે.
આમ,$I(x) = \frac{6}{\cot x - 1} + C$.
$x = \frac{\pi}{12}$ માટે,$\cot(\frac{\pi}{12}) = 2+\sqrt{3}$.
$I(\frac{\pi}{12}) = \frac{6}{2+\sqrt{3}-1} + C = \frac{6}{1+\sqrt{3}} + C = 3(\sqrt{3}-1) + C$.
જો $C=3$ લઈએ,તો $I(\frac{\pi}{12}) = 3\sqrt{3}-3+3 = 3\sqrt{3}$.

(B) પ્રથમ,$2310$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધો:
$2310 = 231 \times 10 = 3 \times 7 \times 11 \times 2 \times 5$.
તેથી,ગણ $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ છે.
હવે,દરેક $x \in A$ માટે $f(x)$ ની કિંમતો ગણો:
$f(2) = [\log_2(2^2 + [2^3/5])] = [\log_2(4 + [1.6])] = [\log_2(5)] = 2$.
$f(3) = [\log_2(3^2 + [3^3/5])] = [\log_2(9 + [5.4])] = [\log_2(14)] = 3$.
$f(5) = [\log_2(5^2 + [5^3/5])] = [\log_2(25 + 25)] = [\log_2(50)] = 5$.
$f(7) = [\log_2(7^2 + [7^3/5])] = [\log_2(49 + [68.6])] = [\log_2(117)] = 6$.
$f(11) = [\log_2(11^2 + [11^3/5])] = [\log_2(121 + [266.2])] = [\log_2(387)] = 8$.
$f$ નો વિસ્તાર $B = \{2, 3, 5, 6, 8\}$ છે.
ગણ $A$ માં $5$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ માં $5$ ઘટકો છે,તેથી $A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $5! = 120$ થશે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \cos x - x + 1$.
વિકલન કરતા: $f'(x) = -\sin x - 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \le \sin x \le 1$,તેથી $f'(x) = -(\sin x + 1) \le 0$ તમામ $x \in R$ માટે.
આમ,$f(x)$ એ $R$ પર ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.
$(S1)$ માટે: $[0, \pi]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર કિંમત મેળવતા: $f(0) = \cos(0) - 0 + 1 = 2$ અને $f(\pi) = \cos(\pi) - \pi + 1 = -1 - \pi + 1 = -\pi$.
$f(0) = 2 > 0$ અને $f(\pi) = -\pi < 0$ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(0, \pi)$ માં બરાબર એક ઉકેલ મળે છે કારણ કે $f$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ માટે: તમામ $x$ માટે $f'(x) \le 0$ હોવાથી,$f(x)$ સમગ્ર અંતરાલ $[0, \pi]$ માં ઘટતું વિધેય છે. તેથી,$[\frac{\pi}{2}, \pi]$ માં વધતું વિધેય છે તેવું વિધાન ખોટું છે. તેથી,$(S2)$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: માત્ર $(S1)$ સાચું છે.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ગુરુકોણ બનાવે જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ હોય.
આપેલ છે $\vec{a} = \alpha t \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = t \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \alpha t \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\alpha t)(t) + (6)(-2) + (-3)(-2 \alpha t) = \alpha t^2 - 12 + 6 \alpha t$.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $\alpha t^2 + 6 \alpha t - 12 < 0$ બધા $t \in R$ માટે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $f(t) = At^2 + Bt + C$ બધા $t$ માટે ઋણ હોય તે માટે $A < 0$ અને વિવેચક $D = B^2 - 4AC < 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $A = \alpha$,$B = 6 \alpha$,અને $C = -12$.
શરત $1$: $\alpha < 0$.
શરત $2$: $D = (6 \alpha)^2 - 4(\alpha)(-12) = 36 \alpha^2 + 48 \alpha < 0$.
$12 \alpha (3 \alpha + 4) < 0$,જેનો અર્થ છે $-\frac{4}{3} < \alpha < 0$.
જો $\alpha = 0$ હોય,તો પદાવલિ $-12 < 0$ થાય,જે બધા $t \in R$ માટે સાચું છે.
આ બંનેને જોડતા,$\alpha$ નો સમૂહ $(-\frac{4}{3}, 0]$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) e^{\tan x} dx + \cos^2 x(1+e^{2 \tan x}) dy = 0$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{e^{\tan x}}{\cos^2 x(1+e^{2 \tan x})} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.
$\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ હોવાથી:
$\frac{\sec^2 x e^{\tan x}}{1+(e^{\tan x})^2} dx + \frac{dy}{1+y^2} = 0$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{\sec^2 x e^{\tan x}}{1+(e^{\tan x})^2} dx + \int \frac{dy}{1+y^2} = C$.
ધારો કે $u = e^{\tan x}$,તો $du = e^{\tan x} \sec^2 x dx$. તેથી:
$\tan^{-1}(e^{\tan x}) + \tan^{-1}(y) = C$.
$y(0) = 1$ આપેલ છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મુકતા:
$\tan^{-1}(e^{\tan 0}) + \tan^{-1}(1) = C \implies \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$\tan^{-1}(e^{\tan x}) + \tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1}(A) + \cot^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\tan^{-1}(y) = \cot^{-1}(e^{\tan x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{e^{\tan x}})$.
આમ,$y = \frac{1}{e^{\tan x}}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$y(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{e^{\tan(\pi/4)}} = \frac{1}{e^1} = \frac{1}{e}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધો: $|A - \lambda I| = 0$.
$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda) + 1 = \lambda^2 - 3\lambda + 3 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^2 - 3A + 3I = 0$,તેથી $A^2 = 3A - 3I$.
આપણે જોઈએ છીએ કે $A^6 = -27I = -3^3 I$.
તેથી $A^{12} = (A^6)^2 = (-3^3 I)^2 = 3^6 I$.
$A^{13} = A^{12} \cdot A = 3^6 A = 3^6 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3^6 & -3^6 \\ 3^6 & 3^6 \end{bmatrix}$.
$A^{13}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2 \cdot 3^6 + 3^6 = 3 \cdot 3^6 = 3^7$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો $3^n$ છે,તેથી $3^n = 3^7$,જેનો અર્થ છે કે $n = 7$.

(C) કુલ દડા = $5 + 4 = 9$. આપણે $3$ દડા કાઢીએ છીએ. $3$ દડા કાઢવાની કુલ રીતો $^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
ધારો કે $X$ એ વાદળી દડાની સંખ્યા છે. મધ્યક $\bar{X} = E[X] = n \times p$,જ્યાં $n=3$ અને $p$ એ વાદળી દડો કાઢવાની સંભાવના છે,$p = \frac{5}{9}$.
તેથી,$\bar{X} = 3 \times \frac{5}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.
ધારો કે $Y$ એ પીળા દડાની સંખ્યા છે. મધ્યક $\bar{Y} = E[Y] = n \times p'$,જ્યાં $n=3$ અને $p'$ એ પીળો દડો કાઢવાની સંભાવના છે,$p' = \frac{4}{9}$.
તેથી,$\bar{Y} = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
આપણે $7 \bar{X} + 4 \bar{Y}$ શોધવાનું છે:
$7 \bar{X} + 4 \bar{Y} = 7 \left(\frac{5}{3}\right) + 4 \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{35}{3} + \frac{16}{3} = \frac{51}{3} = 17$.

(D) આપેલ છે $\vec{a}=9 \hat{i}-13 \hat{j}+25 \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+7 \hat{j}-13 \hat{k}$,અને $\vec{c}=17 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
$\vec{r} \times \vec{a}=(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{a}$ પરથી,$(\vec{r}-(\vec{b}+\vec{c})) \times \vec{a} = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{r}-(\vec{b}+\vec{c}) = \lambda \vec{a}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે,તેથી $\vec{r} = \lambda \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
આપેલ છે $\vec{r} \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 0$,$\vec{r}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\lambda \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 0$.
$\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (9)(3) + (-13)(7) + (25)(-13) = 27 - 91 - 325 = -389$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (9)(17) + (-13)(-2) + (25)(1) = 153 + 26 + 25 = 204$.
$|\vec{b}|^2 = 3^2 + 7^2 + (-13)^2 = 9 + 49 + 169 = 227$.
$|\vec{c}|^2 = 17^2 + (-2)^2 + 1^2 = 289 + 4 + 1 = 294$.
$\lambda (-389 - 204) + 227 - 294 = 0 \Rightarrow -593 \lambda - 67 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{67}{593}$.
તેથી,$\vec{r} = -\frac{67}{593} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
$593 \vec{r} + 67 \vec{a} = 593(\vec{b} + \vec{c})$.
$\frac{|593 \vec{r} + 67 \vec{a}|^2}{(593)^2} = |\vec{b} + \vec{c}|^2$.
$\vec{b} + \vec{c} = (3+17)\hat{i} + (7-2)\hat{j} + (-13+1)\hat{k} = 20\hat{i} + 5\hat{j} - 12\hat{k}$.
$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = 20^2 + 5^2 + (-12)^2 = 400 + 25 + 144 = 569$.

(A) પ્રદેશ $y = \min \{\sin x, \cos x\}$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા $x = -\pi$ થી $x = \pi$ સુધી ઘેરાયેલ છે. ક્ષેત્રફળ $A$ એ જ્યાં $y < 0$ હોય તે ભાગનું સંકલન છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{-\pi}^{-3\pi/4} -\sin x \, dx + \int_{-3\pi/4}^{-\pi/2} -\cos x \, dx + \int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx$
દરેક ભાગની ગણતરી:
$1$. $\int_{-\pi}^{-3\pi/4} -\sin x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$. $\int_{-3\pi/4}^{-\pi/2} -\cos x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$3$. $\int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$4$. $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 4(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $16$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$.
તેથી $\vec{b} + \vec{c} = (2+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (-5+\lambda)\hat{k} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + (\lambda-5)\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{b} + \vec{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે,તેથી $\vec{r} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{|\vec{b} + \vec{c}|}$.
આપેલ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{a} = 3$,તેથી $\frac{(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{b} + \vec{c}|} = 3$.
$(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + (\lambda-5)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 5(1) + 2(2) + 3(\lambda-5) = 5 + 4 + 3\lambda - 15 = 3\lambda - 6$.
$|\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (\lambda-5)^2} = \sqrt{25 + 4 + \lambda^2 - 10\lambda + 25} = \sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3\lambda - 6}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}} = 3$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{\lambda - 2}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\lambda - 2)^2 = \lambda^2 - 10\lambda + 54$.
$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = \lambda^2 - 10\lambda + 54$.
$6\lambda = 50$.
$3\lambda = 25$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{lll}\alpha & b & c \\ a & \beta & c \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}\alpha-a & b-\beta & 0 \\ 0 & \beta-b & c-\gamma \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(\alpha-a)[(\beta-b)\gamma - b(c-\gamma)] - (b-\beta)[0 - a(c-\gamma)] + 0 = 0$
$(\alpha-a)(\beta-b)\gamma - b(\alpha-a)(c-\gamma) + a(b-\beta)(c-\gamma) = 0$
આખા સમીકરણને $(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)$ વડે ભાગતા:
$\frac{(\alpha-a)(\beta-b)\gamma}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} - \frac{b(\alpha-a)(c-\gamma)}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} + \frac{a(b-\beta)(c-\gamma)}{(\alpha-a)(\beta-b)(\gamma-c)} = 0$
$\frac{\gamma}{\gamma-c} + \frac{b}{\beta-b} + \frac{a}{\alpha-a} = 0$

(B) સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 7 & 9 & \mu \\ 5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરીએ.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા: $1(18-\mu) - 4(14-5\mu) - 1(7-45) = 0$.
$18 - \mu - 56 + 20\mu + 38 = 0$.
$19\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.
હવે,$\Delta_x = 0$ માટે:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} \lambda & 4 & -1 \\ -3 & 9 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા: $\lambda(18-0) - 4(-6-0) - 1(-3+9) = 0$.
$18\lambda + 24 - 6 = 0$.
$18\lambda = -18 \Rightarrow \lambda = -1$.
અંતે,$(2\mu + 3\lambda) = 2(0) + 3(-1) = -3$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના દિશા સદિશો $\vec{b}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k} = 2\vec{b}_1$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a}_1 = \lambda\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{a}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-\lambda)\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $|12\hat{i} - 4\lambda\hat{j} + (3\lambda-6)\hat{k}| = 13$.
વર્ગ કરતા: $144 + 16\lambda^2 + (3\lambda-6)^2 = 169$.
$144 + 16\lambda^2 + 9\lambda^2 - 36\lambda + 36 = 169 \implies 25\lambda^2 - 36\lambda + 11 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(25\lambda - 11)(\lambda - 1) = 0$.
તેથી $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = \frac{11}{25}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$.
બંને બાજુ $\cos y$ વડે ભાગતા (અથવા $\sec y$ વડે ગુણતા):
$\sec^2 y \frac{dy}{dx} + 2x \tan y = x^3$.
ધારો કે $t = \tan y$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \sec^2 y \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણ સુરેખ વિકલ સમીકરણ બને છે: $\frac{dt}{dx} + 2xt = x^3$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$.
$IF$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(t e^{x^2}) = x^3 e^{x^2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $t e^{x^2} = \int x^3 e^{x^2} dx + C$.
ધારો કે $u = x^2$,તેથી $du = 2x dx$,તેથી $\int x^3 e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int u e^u du = \frac{1}{2} (u e^u - e^u) + C = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$.
આમ,$\tan y \cdot e^{x^2} = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$.
આપેલ છે કે $y(1) = 0$,તેથી $\tan(0) \cdot e^1 = \frac{1}{2} e^1 (1 - 1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$.
તેથી,$\tan y = \frac{1}{2} (x^2 - 1)$.
$x = \sqrt{3}$ માટે,$\tan y = \frac{1}{2} ((\sqrt{3})^2 - 1) = \frac{1}{2} (3 - 1) = 1$.
કારણ કે $\tan y = 1$,તેથી $y = \frac{\pi}{4}$.

(B) સૌ પ્રથમ,વર્તુળ $x^2+y^2=8$ અને પરવલય $y^2=2x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2=2x$ મૂકતા: $x^2+2x-8=0$.
$(x+4)(x-2)=0$,તેથી $x=2$ (કારણ કે પ્રથમ ચરણમાં $x \ge 0$ છે).
$x=2$ માટે,$y^2=4$,તેથી $y=2$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=2$ સુધી વર્તુળની નીચેનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ $x=0$ થી $x=2$ સુધી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_0^2 \sqrt{8-x^2} dx - \int_0^2 \sqrt{2x} dx$
$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right) \right]_0^2 - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$
$= \left( \frac{2}{2}\sqrt{8-4} + 4\sin^{-1}\left(\frac{2}{2\sqrt{2}}\right) \right) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2^{3/2})$
$= (1 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2\sqrt{2})$
$= 2 + \pi - \frac{8}{3} = \pi - \frac{2}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{c} \times (-2 \vec{a}+3 \vec{b})$.
આને $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c} + (-2 \vec{a}+3 \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ તરીકે લખી શકાય.
$(\vec{a}+\vec{b}-2 \vec{a}+3 \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$.
$(4 \vec{b}-\vec{a}) \times \vec{c} = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{c}$ એ $(4 \vec{b}-\vec{a})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{c} = \lambda(4 \vec{b}-\vec{a})$.
$4 \vec{b}-\vec{a} = 4(11 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
તેથી,$\vec{c} = \lambda(40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k})$.
આપેલ છે કે $(2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot \vec{c} = 1670$.
$2 \vec{a}+3 \vec{b} = 2(4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 3(11 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 41 \hat{i}-5 \hat{j}+5 \hat{k}$.
$(41 \hat{i}-5 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot \lambda(40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}) = 1670$.
$\lambda(1640 + 15 + 15) = 1670$.
$1670 \lambda = 1670 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$\vec{c} = 40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
$|\vec{c}|^2 = 40^2 + (-3)^2 + 3^2 = 1600 + 9 + 9 = 1618$.

(A) આપેલ છે $f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1$.
વિકલન કરતા: $f'(x)=6x^2-18ax+12a^2$.
સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ માટે $f'(x)=0$ લેતા,$6(x^2-3ax+2a^2)=0$,જેનું અવયવીકરણ $6(x-a)(x-2a)=0$ થાય છે.
બીજ $x=a$ અને $x=2a$ છે.
$x=\alpha$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ અને $x=\alpha^2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ હોવાથી,બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $\alpha=a$ અને $\alpha^2=2a$. તેથી $a^2=2a \Rightarrow a(a-2)=0$. $a>0$ હોવાથી,$a=2$.
જો $a=2$ હોય,તો બીજ $\alpha=2$ અને $\alpha^2=4$ મળે. સમીકરણ $(x-2)(x-4)=x^2-6x+8=0$ થાય.
કિસ્સો $2$: $\alpha=2a$ અને $\alpha^2=a$. તેથી $(2a)^2=a \Rightarrow 4a^2-a=0 \Rightarrow a(4a-1)=0$. $a>0$ હોવાથી,$a=1/4$.
જો $a=1/4$ હોય,તો બીજ $\alpha=1/2$ અને $\alpha^2=1/4$ મળે. સમીકરણ $(x-1/2)(x-1/4)=x^2-(3/4)x+1/8=0$ એટલે કે $8x^2-6x+1=0$ થાય.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x)=12x-18a$ ચકાસતા:
$a=2$ માટે,$f''(2)=-12 < 0$ (મહત્તમ) અને $f''(4)=12 > 0$ (ન્યૂનતમ). આ શરત સંતોષાય છે.
$a=1/4$ માટે,$f''(1/2)=1.5 > 0$ (ન્યૂનતમ) અને $f''(1/4)=-1.5 < 0$ (મહત્તમ). આ પ્રશ્ન સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,સાચું સમીકરણ $x^2-6x+8=0$ છે.

(A) ધારો કે $E_1, E_2, E_3$ એ અનુક્રમે થેલીઓ $X, Y, Z$ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$.
ધારો કે $A$ એ એક-રૂપિયાનો સિક્કો કાઢવાની ઘટના છે.
દરેક થેલીમાંથી એક-રૂપિયાનો સિક્કો કાઢવાની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(A|E_1) = \frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}$
$P(A|E_2) = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$
$P(A|E_3) = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9}$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સિક્કો થેલી $Y$ માંથી આવ્યો હોય તેની સંભાવના:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}}{\frac{1}{3} \times \frac{5}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{9}}$
$P(E_2|A) = \frac{4}{5+4+3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

(A) આપેલ સંકલન $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$ છે.
ધારો કે $e^{x}-1=t^2$,તેથી $e^x dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{2t dt}{t^2+1}$.
જ્યારે $x = \log_e 4$,ત્યારે $t = \sqrt{e^{\log_e 4}-1} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$.
જ્યારે $x = \alpha$,ત્યારે $t = \sqrt{e^\alpha-1}$.
સંકલન $\int_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}} \frac{2t dt}{t(t^2+1)} = 2 \int_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{t^2+1} = 2 [\tan^{-1} t]_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}}$ બને છે.
આ $2(\tan^{-1} \sqrt{3} - \tan^{-1} \sqrt{e^\alpha-1}) = 2(\frac{\pi}{3} - \tan^{-1} \sqrt{e^\alpha-1}) = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\pi}{3} - \tan^{-1} \sqrt{e^\alpha-1} = \frac{\pi}{12}$ મળે છે,તેથી $\tan^{-1} \sqrt{e^\alpha-1} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$\sqrt{e^\alpha-1} = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^\alpha-1 = 1$,તેથી $e^\alpha = 2$.
પછી $e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$.
$2$ અને $\frac{1}{2}$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x-2)(x-\frac{1}{2}) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$ અથવા $2x^2 - 5x + 2 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} -a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
પ્રથમ,આપણે $f(|x|)$ શોધીએ:
$x \in [-a, 0]$ માટે,$|x| \in [0, a]$,તેથી $f(|x|) = |x| + a = -x + a$.
$x \in (0, a]$ માટે,$|x| \in (0, a]$,તેથી $f(|x|) = |x| + a = x + a$.
આમ,$f(|x|) = \begin{cases} -x+a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
આગળ,આપણે $|f(x)|$ શોધીએ:
$x \in [-a, 0]$ માટે,$f(x) = -a$,તેથી $|f(x)| = |-a| = a$.
$x \in (0, a]$ માટે,$f(x) = x+a$,તેથી $|f(x)| = |x+a| = x+a$.
આમ,$|f(x)| = \begin{cases} a & -a \leq x \leq 0 \\ x+a & 0 < x \leq a \end{cases}$.
હવે,$g(x) = \frac{f(|x|) - |f(x)|}{2}$:
$x \in [-a, 0]$ માટે,$g(x) = \frac{(-x+a) - a}{2} = \frac{-x}{2}$.
$x \in (0, a]$ માટે,$g(x) = \frac{(x+a) - (x+a)}{2} = 0$.
તેથી,$g(x) = \begin{cases} -x/2 & -a \leq x \leq 0 \\ 0 & 0 < x \leq a \end{cases}$.
$g(x)$ નું વિશ્લેષણ:
$1$. એક-એક: $x \in (0, a]$ માટે,$g(x) = 0$. કારણ કે $g(0.1) = 0$ અને $g(0.2) = 0$,તેથી તે એક-એક નથી.
$2$. વ્યાપ્ત: $g(x)$ નો વિસ્તાર $[0, a/2]$ છે. સહપ્રદેશ $[-a, a]$ હોવાથી,વિસ્તાર સહપ્રદેશ જેટલો નથી,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,$g(x)$ એ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(C) $A \times B$ પરના સંબંધ $R$ માટે,$(a, b) R (c, d)$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $3ad - 7bc$ બેકી સંખ્યા હોય.
$1$. સ્વવાચકતા: તપાસો કે $(a, b) R (a, b)$ શક્ય છે કે નહીં.
$3ab - 7ba = 3ab - 7ab = -4ab$. કારણ કે $-4ab$ એ કોઈપણ $a \in A, b \in B$ માટે હંમેશા બેકી સંખ્યા છે,તેથી સંબંધ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: જો $(a, b) R (c, d)$ સત્ય હોય,તો $3ad - 7bc$ બેકી સંખ્યા છે.
આપણે તપાસવું છે કે શું $(c, d) R (a, b)$ સત્ય છે,એટલે કે $3cb - 7da$ બેકી સંખ્યા છે.
નોંધો કે $3cb - 7da = -(3ad - 7bc)$. જો $3ad - 7bc$ બેકી હોય,તો $-(3ad - 7bc)$ પણ બેકી જ હોય. તેથી,સંબંધ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: તપાસો કે શું $(a, b) R (c, d)$ અને $(c, d) R (e, f)$ પરથી $(a, b) R (e, f)$ મળે છે.
ધારો કે $(a, b) = (3, 4)$,$(c, d) = (6, 4)$,અને $(e, f) = (3, 1)$.
$(3, 4) R (6, 4)$ માટે: $3(3)(4) - 7(4)(6) = 36 - 168 = -132$ (બેકી).
$(6, 4) R (3, 1)$ માટે: $3(6)(1) - 7(4)(3) = 18 - 84 = -66$ (બેકી).
$(3, 4) R (3, 1)$ માટે: $3(3)(1) - 7(4)(3) = 9 - 84 = -75$ (એકી).
કારણ કે $(3, 4) R (6, 4)$ અને $(6, 4) R (3, 1)$ સત્ય છે,પરંતુ $(3, 4) R (3, 1)$ અસત્ય છે,તેથી સંબંધ પરંપરિત નથી.
તેથી,સંબંધ સ્વવાચક અને સંમિત છે પણ પરંપરિત નથી.