0

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi-x)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{1-a^2}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{dx}{1-2a \cos x + a^2}$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi-x) = -\cos x$.તેથી,$I = \int_0^\pi \frac{dx}{1+2a \cos x + a^2}$.$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^\pi \left( \frac{1}{1-2a \cos x + a^2} + \frac{1}{1+2a \cos x + a^2} ight) dx$$2I = \int_0^\pi \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x} dx$$I = (1+a^2) \int_0^\pi \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$વિધેય $\pi/2$ ની આસપાસ સંમિત હોવાથી,$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{(1+a^2)^2 - 4a^2 \cos^2 x}$.અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 \sec^2 x - 4a^2}$$\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 (1+	an^2 x) - 4a^2}$$I = 2(1+a^2) \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{(1+a^2)^2 	an^2 x + (1-a^2)^2}$ધારો કે $u = 	an x$,તો $du = \sec^2 x dx$. જ્યારે $x 	o 0, u 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \pi/2, u 	o \infty$.$I = 2(1+a^2) \int_0^{\infty} \frac{du}{(1+a^2)^2 u^2 + (1-a^2)^2}$$I = \frac{2(1+a^2)}{(1+a^2)^2} \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2 + (\frac{1-a^2}{1+a^2})^2} = \frac{2}{1+a^2} \cdot \frac{1+a^2}{1-a^2} [\arctan(\frac{u(1+a^2)}{1-a^2})]_0^{\infty}$$I = \frac{2}{1-a^2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{1-a^2}$.

$0 < a < 1$ માટે,સંકલન $\int_0^\pi \frac{d x}{1-2 a \cos x+a^2}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x=$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sum_{n=0}^4 \left(\frac{n \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$

$\int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \,dt + \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \,dt$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_0^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x=$

$\int_{ - 1}^1 {\log \left( \frac{2 - x}{2 + x} \right)\,dx} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module