JEE Main 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ શ્રેણી $3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots$ ના $40$ પદો છે.
આપણે પદોને જોડીમાં ગોઠવી શકીએ: $(3+4) + (8+9) + (13+14) + (18+19) + \ldots$
આમાં આવી $20$ જોડીઓ છે.
દરેક જોડીના પ્રથમ પદો સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $3, 8, 13, 18, \ldots$ જ્યાં $a=3$ અને $d=5$.
આ શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = 5n-2$ છે.
દરેક જોડીના બીજા પદો સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $4, 9, 14, 19, \ldots$ જ્યાં $a=4$ અને $d=5$.
આ શ્રેણીનું $n$-મું પદ $b_n = 5n-1$ છે.
$20$ જોડીઓનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{20} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{20} (10n-3) = 2040$ થાય.
આપેલ છે કે સરવાળો $(102)m$ છે,તેથી $102m = 2040$.
$m = 20$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$.
નિત્યસમ $^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$.
બંને બાજુ $^{35}C_{r}$ વડે ભાગતા:
$6 = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \Rightarrow k^{2} - 3 = \frac{r+1}{6}$.
તેથી,$k^{2} = \frac{r+19}{6}$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k^{2}$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ અને $0 \le r \le 35$.
$r=5$ માટે,$k^{2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
$r=35$ માટે,$k^{2} = 9 \Rightarrow k = \pm 3$.
આમ,કુલ $4$ ક્રમિત જોડીઓ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a_{1} + a_{2} = 4$ અને $a_{3} + a_{4} = 16$.
$G$.$P$. હોવાથી,$a_{2} = a_{1}r$ અને $a_{3} = a_{1}r^{2}$,$a_{4} = a_{1}r^{3}$.
$a_{1}(1 + r) = 4$ --- $(1)$
$a_{1}r^{2}(1 + r) = 16$ --- $(2)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા,$r^{2} = 4$,તેથી $r = 2$ અથવા $r = -2$.
જો $r = 2$ હોય,તો $a_{1}(1 + 2) = 4 \Rightarrow a_{1} = 4/3 > 0$,જે $a_{1} < 0$ ની શરતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,$r = -2$. $(1)$ માં કિંમત મૂકતા,$a_{1}(1 - 2) = 4$ $\Rightarrow -a_{1} = 4$ $\Rightarrow a_{1} = -4$.
પ્રથમ $9$ પદોનો સરવાળો $S_{9} = a_{1} \frac{r^{9} - 1}{r - 1} = (-4) \frac{(-2)^{9} - 1}{-2 - 1} = (-4) \frac{-512 - 1}{-3} = (-4) \frac{-513}{-3} = (-4) \times 171 = -684$.
આપેલ છે કે $S_{9} = 4 \lambda$,તેથી $4 \lambda = -684 \Rightarrow \lambda = -171$.

(A) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિધનાત્મક વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ છે.
આપેલ વિધાન: "જો $A \subseteq B$ અને $B \subseteq D,$ તો $A \subseteq C$."
ધારો કે $p$ એ $(A \subseteq B) \land (B \subseteq D)$ છે અને $q$ એ $(A \subseteq C)$ છે.
નિષેધ $\sim q$ એ $A \not\subseteq C$ છે.
નિષેધ $\sim p$ એ $\sim((A \subseteq B) \land (B \subseteq D))$ છે,જે ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ $(A \not\subseteq B) \lor (B \not\subseteq D)$ થાય છે.
તેથી,પ્રતિધનાત્મક વિધાન છે: "જો $A \not\subseteq C,$ તો $A \not\subseteq B$ અથવા $B \not\subseteq D$."

(B) રેખાનું સમીકરણ $3x + 4y = 12\sqrt{2}$ છે,જેને $y = -\frac{3}{4}x + 3\sqrt{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = -\frac{3}{4}$ અને $c = 3\sqrt{2}$ મળે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે સ્પર્શકની શરત $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ છે.
અહીં $b^{2} = 9$ છે. કિંમતો મૂકતા: $(3\sqrt{2})^{2} = a^{2}(-\frac{3}{4})^{2} + 9$.
$18 = a^{2}(\frac{9}{16}) + 9$.
$9 = a^{2}(\frac{9}{16}) \Rightarrow a^{2} = 16$,તેથી $a = 4$.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ છે. $a^{2} > b^{2}$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7}$ થાય.

(B) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (1+x)^{10}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1+x}$,અને $n = 11$ પદો છે.
સરવાળો $S = a \frac{1-r^{n}}{1-r} = (1+x)^{10} \frac{1-(\frac{x}{1+x})^{11}}{1-\frac{x}{1+x}} = (1+x)^{11}-x^{11}$.
આપણે $(1+x)^{11}-x^{11}$ માં $x^{7}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(1+x)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $^{11}C_{r} x^{r}$ છે.
$r = 7$ માટે,સહગુણક $^{11}C_{7} = \frac{11!}{7!4!} = 330$ થાય.

(D) સમીકરણ $x^{2}-x-1=0$ માટે,વિએટાના સૂત્રો મુજબ $\alpha+\beta=1$ અને $\alpha\beta=-1$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha^{2}-\alpha-1=0$ અને $\beta^{2}-\beta-1=0$ થાય.
આને $\alpha^{k-2}$ અને $\beta^{k-2}$ વડે ગુણતા,આપણને $p_{k}=p_{k-1}+p_{k-2}$ સંબંધ મળે છે.
કિંમતો ગણતા:
$p_{1}=1$
$p_{2}=3$
$p_{3}=4$
$p_{4}=7$
$p_{5}=11$
વિકલ્પો તપાસતા:
$A: 1+3+4+7+11 = 26$ (સત્ય)
$B: p_{5}=11$ (સત્ય)
$C: p_{5}-p_{4} = 11-7 = 4 = p_{3}$ (સત્ય)
$D: p_{2} \cdot p_{3} = 3 \cdot 4 = 12 \neq p_{5}$ (અસત્ય)
તેથી,વિકલ્પ $D$ અસત્ય છે.

(C) ધારો કે રેખા $x=2y$ પરનું બિંદુ $P(2\alpha, \alpha)$ છે.
ધારો કે $P$ માંથી $x-y=0$ રેખા પર દોરેલો લંબ તેને $Q(\beta, \beta)$ માં મળે છે.
$PQ$ નો ઢાળ $\frac{\alpha-\beta}{2\alpha-\beta}$ છે.
$PQ$ એ $x-y=0$ (ઢાળ $1$) ને લંબ હોવાથી,$PQ$ નો ઢાળ $-1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{\alpha-\beta}{2\alpha-\beta} = -1 \implies \alpha-\beta = -2\alpha+\beta \implies 3\alpha = 2\beta \implies \beta = \frac{3\alpha}{2}$.
ધારો કે $(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$h = \frac{2\alpha+\beta}{2} = \frac{2\alpha + \frac{3\alpha}{2}}{2} = \frac{7\alpha}{4}$.
$k = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\alpha + \frac{3\alpha}{2}}{2} = \frac{5\alpha}{4}$.
હવે,$\frac{h}{k} = \frac{7\alpha/4}{5\alpha/4} = \frac{7}{5}$.
$5h = 7k \implies 5x-7y=0$.

(C) ધારો કે $z = \frac{3 + i \sin \theta}{4 - i \cos \theta}$. $z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(4 + i \cos \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(3 + i \sin \theta)(4 + i \cos \theta)}{16 + \cos^2 \theta} = \frac{12 - \sin \theta \cos \theta + i(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)}{16 + \cos^2 \theta}$.
કાલ્પનિક ભાગ $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$ હોવાથી,$\tan \theta = -\frac{3}{4}$.
$\sin \theta + i \cos \theta$ નો કોણાંક શોધતા,તે $\pi - \tan^{-1}(\frac{4}{3})$ મળે છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-8x-4y+16=0$ છે.
$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-4, f=-2, c=16$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (4, 2)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{16+4-16} = \sqrt{4} = 2$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{S_{1}} = \sqrt{0^{2}+0^{2}-8(0)-4(0)+16} = \sqrt{16} = 4$ છે.
સ્પર્શક જીવા $AB$ ની લંબાઈનું સૂત્ર $AB = \frac{2LR}{\sqrt{L^{2}+R^{2}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$AB = \frac{2 \times 4 \times 2}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}} = \frac{16}{\sqrt{16+4}} = \frac{16}{\sqrt{20}} = \frac{16}{2\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
તેથી,$(AB)^{2} = \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)^{2} = \frac{64}{5}$ થાય.

(C) $8$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $10$ છે:
$\frac{3+7+9+12+13+20+x+y}{8} = 10$
$64+x+y = 80$
$x+y = 16$ (સમીકરણ $1$)
વિચરણ $25$ છે:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = 25$
$\frac{3^2+7^2+9^2+12^2+13^2+20^2+x^2+y^2}{8} - 10^2 = 25$
$\frac{9+49+81+144+169+400+x^2+y^2}{8} = 125$
$852+x^2+y^2 = 1000$
$x^2+y^2 = 148$ (સમીકરણ $2$)
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ નો ઉપયોગ કરતા:
$16^2 = 148 + 2xy$
$256 = 148 + 2xy$
$2xy = 108$
$xy = 54$

(A) ગણ $X$ માં $50$ ઘટકો છે.
$A = \{2, 4, 6, \dots, 50\}$,તેથી $n(A) = \lfloor 50/2 \rfloor = 25$.
$B = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\}$,તેથી $n(B) = \lfloor 50/7 \rfloor = 7$.
$A \cap B$ એ $\text{lcm}(2, 7) = 14$ ના ગુણકો ધરાવે છે,જે $\{14, 28, 42\}$ છે. તેથી,$n(A \cap B) = 3$.
$A$ અને $B$ બંનેને સમાવતો $X$ નો સૌથી નાનો ઉપગણ $A \cup B$ છે.
સૂત્ર $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$n(A \cup B) = 25 + 7 - 3 = 29$.

(B) આપેલ છે $\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=1.$
$z=x+iy$ મૂકતા:
$\frac{z-1}{2z+i} = \frac{(x-1)+iy}{2x+i(2y+1)} = \frac{((x-1)+iy)(2x-i(2y+1))}{(2x)^2+(2y+1)^2}$
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{2x(x-1)+y(2y+1)}{(2x)^2+(2y+1)^2} = 1$ છે.
$2x^2-2x+2y^2+y = 4x^2+4y^2+4y+1.$
$2x^2+2y^2+2x+3y+1 = 0.$
$x^2+y^2+x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} = 0.$
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$ છે.
વ્યાસ $2r = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ થાય.

(C) $A.P.$ માં પાંચ સંખ્યાઓ $(a-2d, a-d, a, a+d, a+2d)$ ધારો.
સરવાળો $25$ આપેલ છે,તેથી $5a = 25$,એટલે કે $a = 5$.
ગુણાકાર $5(25-4d^2)(25-d^2) = 2520$ છે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $(25-4d^2)(25-d^2) = 504$ મળે.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $4d^4 - 125d^2 + 121 = 0$ મળે,જેના અવયવો $(4d^2 - 121)(d^2 - 1) = 0$ થાય.
તેથી $d^2 = 1$ અથવા $d^2 = \frac{121}{4}$ મળે.
$d^2 = \frac{121}{4}$ લેતા,$d = \pm \frac{11}{2}$ મળે.
શ્રેણી $-6, -0.5, 5, 10.5, 16$ બને છે.
આથી સૌથી મોટી સંખ્યા $16$ છે.

(C) રેખા $y=mx+4$ એ પરવલય $y^{2}=4x$ નો સ્પર્શક છે. $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $c=4$,સ્પર્શકની શરત $c=\frac{a}{m}$ મુજબ $4=\frac{1}{m}$,તેથી $m=\frac{1}{4}$ મળે છે.
રેખા $y=\frac{1}{4}x+4$ એ પરવલય $x^{2}=2by$ નો પણ સ્પર્શક છે. રેખાના સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા,$x^{2}=2b(\frac{1}{4}x+4)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^{2}-\frac{b}{2}x-8b=0$ થાય છે.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ શૂન્ય થવો જોઈએ.
$D = (-\frac{b}{2})^{2} - 4(1)(-8b) = 0$.
$\frac{b^{2}}{4} + 32b = 0$.
$b^{2} + 128b = 0$.
$b(b+128) = 0$.
$b \neq 0$ હોવાથી,$b=-128$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$,તેથી $ae = 3$ $(1)$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = 12$,તેથી $a = 6e$ $(2)$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$6e^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $e^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $a = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = (3\sqrt{2})^2(1 - \frac{1}{2}) = 18 \times \frac{1}{2} = 9$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ છે.

(A) $6$-અંકી સંખ્યા બનાવવા માટે જેમાં પાંચેય અંકો $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ નો ઉપયોગ થાય,એક અંક બે વાર અને બાકીના ચાર અંકો એક-એક વાર આવવા જોઈએ.
પગલું $1$: $5$ અંકોમાંથી પુનરાવર્તિત થતો અંક પસંદ કરવાની રીત $^5C_1 = 5$ છે.
પગલું $2$: આ $6$ અંકોની ગોઠવણી $\frac{6!}{2!}$ રીતે થઈ શકે.
પગલું $3$: કુલ સંખ્યાઓ $^5C_1 \times \frac{6!}{2!} = 5 \times 360 = 1800$ થાય.
નોંધ: $\frac{5}{2}(6!) = 1800$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(k+1) \tan^{2} x - (\sqrt{2} \lambda) \tan x + (k-1) = 0$ છે.
ધારો કે $t = \tan x$. તેથી $(k+1) t^{2} - (\sqrt{2} \lambda) t + (k-1) = 0$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\tan \alpha \tan \beta = \frac{k-1}{k+1}$.
સૂત્ર $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}}{1 - \frac{k-1}{k+1}} = \frac{\sqrt{2} \lambda}{2} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે $\tan^{2}(\alpha+\beta) = 50$,તેથી $\left(\frac{\lambda}{\sqrt{2}}\right)^{2} = 50$.
$\frac{\lambda^{2}}{2} = 50 \implies \lambda^{2} = 100 \implies \lambda = \pm 10$.
આમ,$\lambda$ ની એક શક્ય કિંમત $10$ છે.

(C) આપેલ તાર્કિક વિધાન $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow \sim p)$ છે.
ગર્ભિત નિયમ $a \Rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee \sim p)$
ક્રમના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
વિભાજનના નિયમ $x \vee (y \wedge z) \equiv (x \vee y) \wedge (x \vee z)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sim p \vee (q \wedge \sim q)$
કારણ કે $q \wedge \sim q$ એ વિરોધાભાસ $(C)$ છે:
$\sim p \vee C \equiv \sim p$
તેથી,આ વિધાન $\sim p$ ને સમકક્ષ છે.

(C) આપેલ સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = 1 + 49 + 49^2 + \ldots + 49^{125}$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{49^{126}-1}{49-1} = \frac{49^{126}-1}{48}$.
આપણે $49^{126}-1$ ને $(49^{63})^2 - 1^2 = (49^{63}-1)(49^{63}+1)$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,$S = \frac{(49^{63}-1)(49^{63}+1)}{48}$.
$49^k+1$ એ $S$ નો અવયવ બને તે માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $49^{63}+1$ એ $S$ નો અવયવ છે કારણ કે $48$ એ $(49^{63}-1)$ ને ભાગે છે (કારણ કે $49 \equiv 1 \pmod{48}$,તેથી $49^{63} \equiv 1^{63} \equiv 1 \pmod{48}$,જે સૂચવે છે કે $49^{63}-1$ એ $48$ નો ગુણક છે).
તેથી,સૌથી મોટો ધન પૂર્ણાંક $k = 63$ છે.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{3^{x}+3^{3-x}-12}{3^{-x / 2}-3^{1-x}}$.
$t = 3^{x/2}$ આદેશ લેતા,જ્યારે $x \rightarrow 2$,ત્યારે $t \rightarrow 3^{2/2} = 3$.
તેથી $3^x = t^2$ અને $3^{3-x} = \frac{27}{t^2}$.
તેમજ $3^{-x/2} = \frac{1}{t}$ અને $3^{1-x} = \frac{3}{t^2}$.
પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$L = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{t^2 + \frac{27}{t^2} - 12}{\frac{1}{t} - \frac{3}{t^2}} = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{\frac{t^4 - 12t^2 + 27}{t^2}}{\frac{t - 3}{t^2}} = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{t^4 - 12t^2 + 27}{t - 3}$.
અંશના અવયવ પાડતા: $t^4 - 12t^2 + 27 = (t^2 - 9)(t^2 - 3) = (t - 3)(t + 3)(t^2 - 3)$.
$L = \lim _{t \rightarrow 3} \frac{(t - 3)(t + 3)(t^2 - 3)}{t - 3} = \lim _{t \rightarrow 3} (t + 3)(t^2 - 3)$.
$t = 3$ મૂકતા: $L = (3 + 3)(3^2 - 3) = 6 \times (9 - 3) = 6 \times 6 = 36$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ $\frac{n^{2}-1}{12}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{n^{2}-1}{12} = 10$,તેથી $n^{2}-1 = 120$,એટલે કે $n^{2} = 121$,જેનો અર્થ છે $n = 11$.
પ્રથમ $m$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(2, 4, 6, ..., 2m)$ નું વિચરણ એ પ્રથમ $m$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વિચરણ કરતા $4$ ગણું હોય છે.
તેથી,વિચરણ $\frac{m^{2}-1}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{m^{2}-1}{3} = 16$,તેથી $m^{2}-1 = 48$,એટલે કે $m^{2} = 49$,જેનો અર્થ છે $m = 7$.
તેથી,$m + n = 7 + 11 = 18$.

(A) ધારો કે $P(x) = (1+x+x^{2}+\ldots+x^{2n})(1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots+x^{2n}) = \sum_{k=0}^{4n} a_k x^k$.
યુગ્મ ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$P(1)$ ની ગણતરી કરો:
$P(1) = (1+1+1^{2}+\ldots+1^{2n})(1-1+1^{2}-1^{3}+\ldots+1^{2n}) = (2n+1)(1) = 2n+1$.
ત્યારબાદ,$P(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$P(-1) = (1-1+1-1+\ldots+1)(1-(-1)+(-1)^{2}-(-1)^{3}+\ldots+(-1)^{2n}) = (1)(2n+1) = 2n+1$.
યુગ્મ ઘાતાંકોના સહગુણકોનો સરવાળો $= \frac{(2n+1) + (2n+1)}{2} = 2n+1$.
આપેલ છે કે $2n+1 = 61$,તેથી $2n = 60$,એટલે કે $n = 30$.

(B) જો ત્રિકોણ $ABC$ ની અંદરનું બિંદુ $P$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા ત્રણ ત્રિકોણો $APC, APB$ અને $BPC$ માં વિભાજિત કરે,તો $P$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર (centroid) હોવું જોઈએ.
મધ્યકેન્દ્ર $P(x, y)$ ના યામ શિરોબિંદુઓ $A(1, 0), B(6, 2)$ અને $C(\frac{3}{2}, 6)$ ના યામની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{1 + 6 + 1.5}{3} = \frac{8.5}{3} = \frac{17}{6}$
$y = \frac{0 + 2 + 6}{3} = \frac{8}{3}$
તેથી,$P = (\frac{17}{6}, \frac{8}{3})$.
આપણે $PQ$ નું અંતર શોધવાનું છે જ્યાં $Q = (-\frac{7}{6}, -\frac{1}{3})$:
$PQ = \sqrt{(\frac{17}{6} - (-\frac{7}{6}))^2 + (\frac{8}{3} - (-\frac{1}{3}))^2}$
$PQ = \sqrt{(\frac{24}{6})^2 + (\frac{9}{3})^2}$
$PQ = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(B) આપેલ વક્ર $x^{2}+2xy-3y^{2}=0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ: $2(2) + 2(2) + 2(2)\frac{dy}{dx} - 6(2)\frac{dy}{dx} = 0$.
$4 + 4 + 4\frac{dy}{dx} - 12\frac{dy}{dx} = 0 \implies 8 - 8\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = 1$ છે.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -1$ છે.
બિંદુ $(2,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 2) = -1(x - 2) \implies y - 2 = -x + 2 \implies x + y - 4 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $x + y - 4 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=1$ છે. બિંદુ $P\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન દ્વારા મળે છે: $2x+2yy'=0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$.
$P$ આગળ,ઢાળ $m_{L1} = -\frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = -1$.
રેખા $y=mx+c$ એ $L_{1}$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{L1}} = -\frac{1}{-1} = 1$.
તેથી,રેખા $y=x+c$ અથવા $x-y+c=0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^{2}+y^{2}=1$ નો સ્પર્શક છે,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી રેખા $x-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|3-0+c|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = 1 \Rightarrow |3+c| = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3+c)^{2} = 2$ $\Rightarrow 9+6c+c^{2} = 2$ $\Rightarrow c^{2}+6c+7=0$.

(A) જો કોઈ વિધાનનું સત્યતા મૂલ્ય તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે હંમેશા $T$ હોય,તો તે વિધાન સ્વયંસત્ય છે.
વિકલ્પ $A$ તપાસીએ: $\sim(p \vee \sim q) \rightarrow (p \vee q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$.
તેથી,પદાવલિ $(\sim p \wedge q) \rightarrow (p \vee q)$ બને છે.
આ $\sim(\sim p \wedge q) \vee (p \vee q) \equiv (p \vee \sim q) \vee (p \vee q) \equiv p \vee (\sim q \vee q) \equiv p \vee T \equiv T$ ને સમાન છે.
પરિણામ હંમેશા $T$ હોવાથી,આ વિધાન સ્વયંસત્ય છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $T_{10} = a + 9d = \frac{1}{20} \quad \dots (i)$
આપેલ છે કે $T_{20} = a + 19d = \frac{1}{10} \quad \dots (ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 19d) - (a + 9d) = \frac{1}{10} - \frac{1}{20}$
$10d = \frac{1}{20} \implies d = \frac{1}{200}$
$d$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 9(\frac{1}{200}) = \frac{1}{20} \implies a = \frac{10}{200} - \frac{9}{200} = \frac{1}{200}$
હવે,પ્રથમ $200$ પદોનો સરવાળો $S_{200}$:
$S_{200} = \frac{200}{2}[2(\frac{1}{200}) + 199(\frac{1}{200})] = 100[\frac{201}{200}] = \frac{201}{2} = 100 \frac{1}{2}$

(C) ધારો કે $f(x) = (x+\sqrt{x^{2}-1})^{6}+(x-\sqrt{x^{2}-1})^{6}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n + (a-b)^n = 2[^{n}C_{0}a^n + ^{n}C_{2}a^{n-2}b^2 + ^{n}C_{4}a^{n-4}b^4 + ^{n}C_{6}a^{n-6}b^6]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2[^{6}C_{0}x^{6} + ^{6}C_{2}x^{4}(x^{2}-1) + ^{6}C_{4}x^{2}(x^{2}-1)^{2} + ^{6}C_{6}(x^{2}-1)^{3}]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 2[1 \cdot x^{6} + 15(x^{6}-x^{4}) + 15x^{2}(x^{4}-2x^{2}+1) + 1(x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1)]$.
$f(x) = 2[x^{6} + 15x^{6}-15x^{4} + 15x^{6}-30x^{4}+15x^{2} + x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1]$.
$f(x) = 2[32x^{6} - 48x^{4} + 18x^{2} - 1]$.
$f(x) = 64x^{6} - 96x^{4} + 36x^{2} - 2$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\alpha = -96$ અને $\beta = 36$.
તેથી,$\alpha - \beta = -96 - 36 = -132$.

(A) લક્ષ $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \sin(10t) dt}{x}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપમાં છે.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ.
અંશ માટે $Leibniz$ સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} t \sin(10t) dt = x \sin(10x)$.
છેદ $x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $1$ થાય છે.
આમ,લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \sin(10x)}{1}$ બને છે.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $x \sin(10x) \rightarrow 0 \times \sin(0) = 0 \times 0 = 0$.

(A) આપેલ છે $n = 20$,$\text{મધ્યક} = 10$,અને $\text{વિચરણ} = 4$.
$\frac{\sum x_i}{20} = 10 \implies \sum x_i = 200$.
$\frac{\sum x_i^2}{20} - (10)^2 = 4 \implies \frac{\sum x_i^2}{20} = 104 \implies \sum x_i^2 = 2080$.
સાચો અવલોકનોનો સરવાળો $= 200 - 9 + 11 = 202$.
સાચો મધ્યક $= \frac{202}{20} = 10.1$.
સાચો વર્ગોનો સરવાળો $= 2080 - 9^2 + 11^2 = 2080 - 81 + 121 = 2120$.
સાચું વિચરણ $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = \frac{2120}{20} - (10.1)^2$.
$= 106 - 102.01 = 3.99$.

(C) અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અહીં $a = 6$ હોવાથી,સમીકરણ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ થાય.
બિંદુ $P(10, 16)$ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{100}{36} - \frac{256}{b^2} = 1$.
$\frac{25}{9} - 1 = \frac{256}{b^2} \implies \frac{16}{9} = \frac{256}{b^2} \implies b^2 = 144$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{144} = 1$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} + \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{36x}{10} + \frac{144y}{16} = 36 + 144 = 180$.
$3.6x + 9y = 180 \implies 2x + 5y = 100$.

(D) ધારો કે $P(A)$ અને $P(B)$ એ ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ની સંભાવનાઓ છે.
બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{2}{5}$ છે.
$A$ અથવા $B$ બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}$ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(P(A) + P(B) - P(A \cap B)) - (P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}$.
$P(A \cap B) = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10} = 0.10$.

(D) ધારો કે $3^{x} = t$,જ્યાં $t > 0$.
સમીકરણ $t(t-1) + 2 = |t-1| + |t-2|$ બને છે.
$t^{2} - t + 2 = |t-1| + |t-2|$.
કિસ્સો-$I$: $0 < t < 1$.
$t^{2} - t + 2 = (1 - t) + (2 - t) = 3 - 2t$.
$t^{2} + t - 1 = 0$.
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$,જે $0 < t < 1$ નું પાલન કરે છે.
કિસ્સો-$II$: $1 \leq t < 2$.
$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (2 - t) = 1$.
$t^{2} - t + 1 = 0$.
વિવેચક $D = (-1)^{2} - 4(1)(1) = -3 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો-$III$: $t \geq 2$.
$t^{2} - t + 2 = (t - 1) + (t - 2) = 2t - 3$.
$t^{2} - 3t + 5 = 0$.
વિવેચક $D = (-3)^{2} - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$t$ ની માત્ર એક જ માન્ય કિંમત $t = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ છે.
$3^{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ હોવાથી,$x$ ની માત્ર એક જ વાસ્તવિક કિંમત મળે,જે $x = \log_{3}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ છે.
તેથી,$S$ એ એક ઘટક ધરાવતો ગણ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,જે $\omega^{3} = 1$ અને $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ નું પાલન કરે છે.
$a = (1 + \omega) (1 + \omega^{2} + \omega^{4} + \dots + \omega^{200})$ માટે.
$\omega^{3} = 1$ હોવાથી,શ્રેણી $1, \omega^{2}, \omega^{4}, \dots$ દર ત્રણ પદે $1, \omega^{2}, \omega$ તરીકે પુનરાવર્તિત થાય છે. ત્રણ ક્રમિક પદોનો સરવાળો $1 + \omega^{2} + \omega = 0$ થાય છે.
સરવાળામાં કુલ $101$ પદો છે. પ્રથમ $99$ પદોનો સરવાળો $0$ થાય છે. બાકીના બે પદો $100$મું અને $101$મું પદ છે: $1 + \omega^{2}$.
આમ,$a = (1 + \omega)(1 + \omega^{2}) = 1 + \omega^{2} + \omega + \omega^{3} = 0 + 1 = 1$.
$b = \sum_{k=0}^{100} \alpha^{3k} = \sum_{k=0}^{100} (\omega^{3})^{k} = \sum_{k=0}^{100} (1)^{k} = 101$.
બીજ $a = 1$ અને $b = 101$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - 1)(x - 101) = 0$ એટલે કે $x^{2} - 102x + 101 = 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{1+\cos 2 \alpha}}=\frac{1}{7}$. કારણ કે $1+\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha$,તેથી $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \tan \alpha = \frac{1}{7}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$. કારણ કે $1-\cos 2 \beta = 2 \sin^2 \beta$,તેથી $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
$\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ હોવાથી,$\tan \beta = \frac{1}{3}$ મળે.
સૂત્ર $\tan 2 \beta = \frac{2 \tan \beta}{1-\tan^2 \beta} = \frac{3}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અંતે,$\tan (\alpha+2 \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2 \beta}{1 - \tan \alpha \tan 2 \beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = 1$.

(B) પરવલય $y^2=x$ છે. ધારો કે $P$ એ $(t^2, t)$ છે જ્યાં $t>0$.
રેખા $y=mx$ એ $P(t^2, t)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $t=m(t^2)$,જે $m=1/t$ આપે છે.
$P(t^2, t)$ આગળ $y^2=x$ નો સ્પર્શક $ty = \frac{1}{2}(x+t^2)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $Q$ શોધવા માટે $y=0$ મૂકતા,$0 = \frac{1}{2}(x+t^2)$,તેથી $x = -t^2$. આમ,$Q$ એ $(-t^2, 0)$ છે.
$\Delta OPQ$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(t^2, t)$,અને $Q(-t^2, 0)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_O(y_P-y_Q) + x_P(y_Q-y_O) + x_Q(y_O-y_P)| = 4$.
$\frac{1}{2} |0(t-0) + t^2(0-0) + (-t^2)(0-t)| = 4$.
$\frac{1}{2} |t^3| = 4 \implies t^3 = 8 \implies t = 2$.
$m = 1/t$ હોવાથી,$m = 1/2 = 0.5$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$,$\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$,અને $\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$.
આપેલ સરવાળો $\frac{1}{4} \sum_{n=1}^{7} (2n^3 + 3n^2 + n)$ છે.
$k=7$ માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{n=1}^{7} n = \frac{7 \times 8}{2} = 28$.
$\sum_{n=1}^{7} n^2 = \frac{7 \times 8 \times 15}{6} = 140$.
$\sum_{n=1}^{7} n^3 = (28)^2 = 784$.
આ કિંમતો મૂકતા:
સરવાળો $= \frac{1}{4} [2(784) + 3(140) + 28] = \frac{1}{4} [1568 + 420 + 28] = \frac{2016}{4} = 504$.

(D) $'EXAMINATION'$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, A, I, I, N, N, E, X, M, T, O$.
અલગ અક્ષરો $A, I, N, E, X, M, T, O$ ($8$ અલગ અક્ષરો) છે.
પુનરાવર્તિત અક્ષરો $A, I, N$ છે (દરેક $2$ વાર).
આપણે $4$ અક્ષરના શબ્દો બનાવવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. બે સમાન એક પ્રકારના અને બે સમાન બીજા પ્રકારના:
પસંદગી: $^3C_2 = 3$ રીતો.
ગોઠવણી: $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 18$ રીતો.
$2$. બે સમાન અને બે અલગ:
પસંદગી: $^3C_1 \times ^7C_2 = 63$ રીતો.
ગોઠવણી: $63 \times \frac{4!}{2!} = 756$ રીતો.
$3$. ચારેય અલગ:
પસંદગી: $^8C_4 = 70$ રીતો.
ગોઠવણી: $70 \times 4! = 1680$ રીતો.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $18 + 756 + 1680 = 2454$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^{2}+y^{2}=1$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{(1/\sqrt{2})^{2}} + \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta, \sin\theta)$ છે.
બિંદુ $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos\theta} - \frac{by}{\sin\theta} = a^{2}-b^{2}$ છે,જ્યાં $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $b=1$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{\sqrt{2}\cos\theta} - \frac{y}{\sin\theta} = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
આને $\frac{x}{(-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta)} + \frac{y}{(\frac{1}{2}\sin\theta)} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલા અંતઃખંડો $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ અને $(0, \beta)$ સાથે સરખાવતા,$-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = -\frac{1}{3\sqrt{2}} \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{3}$.
$\sin^{2}\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ હોવાથી,$\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ મળે.
તેથી,$\beta = \frac{1}{2}\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $(2^{1+x}+2^{1-x})$,$f(x)$,અને $(3^x+3^{-x})$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,$2f(x) = (2^{1+x}+2^{1-x}) + (3^x+3^{-x})$.
$f(x) = \frac{2(2^x+2^{-x}) + (3^x+3^{-x})}{2} = (2^x+2^{-x}) + \frac{1}{2}(3^x+3^{-x})$.
$A.M. \geq G.M.$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $a^x + a^{-x} \geq 2$ જ્યાં $a > 0$.
તેથી,$2^x+2^{-x} \geq 2$ અને $3^x+3^{-x} \geq 2$.
આમ,$f(x) \geq 2 + \frac{1}{2}(2) = 2 + 1 = 3$.
$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(D) $^{n}C_{r}$ ની મહત્તમ કિંમત $^{n}C_{n/2}$ થાય જો $n$ બેકી હોય,અને $^{n}C_{(n-1)/2}$ અથવા $^{n}C_{(n+1)/2}$ થાય જો $n$ એકી હોય.
$a = ^{19}C_{p}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $^{19}C_{9} = ^{19}C_{10} = a$ છે.
$b = ^{20}C_{q}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $^{20}C_{10} = b$ છે.
$c = ^{21}C_{r}$ માટે,મહત્તમ કિંમત $^{21}C_{10} = ^{21}C_{11} = c$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b = ^{20}C_{10} = \frac{20}{10} \times ^{19}C_{9} = 2a$.
તેથી $c = ^{21}C_{10} = \frac{21}{11} \times ^{20}C_{10} = \frac{21}{11}b = \frac{21}{11}(2a) = \frac{42a}{11}$.
આમ,$a : b : c = a : 2a : \frac{42a}{11} = 1 : 2 : \frac{42}{11} = 11 : 22 : 42$.
આથી $\frac{a}{11} = \frac{b}{22} = \frac{c}{42}$ મળે છે.

(D) લક્ષ $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે.
સૂત્ર $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [f(x)-1]g(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
જરૂરી લક્ષ $= e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{3x^2+2}{7x^2+2} - 1\right) \cdot \frac{1}{x^2}}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{3x^2+2 - (7x^2+2)}{7x^2+2}\right) \cdot \frac{1}{x^2}}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{-4x^2}{7x^2+2}\right) \cdot \frac{1}{x^2}}$
$= e^{\lim_{x \to 0} \left(\frac{-4}{7x^2+2}\right)}$
$= e^{\frac{-4}{0+2}} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

(C) રેખા $AB$ નું સમીકરણ જે $(1, -1)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે તે $3x + y - 2 = 0$ છે.
પાયા $AB$ ની લંબાઈ $\sqrt{10}$ છે.
$\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 5$.
$\frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times h = 5 \Rightarrow h = \sqrt{10}$.
બિંદુ $P$ નું રેખા $AB$ થી લંબ અંતર $\frac{|4\lambda - 2|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ છે.
$|4\lambda - 2| = 10 \Rightarrow 4\lambda - 2 = 10$ અથવા $4\lambda - 2 = -10$.
તેથી,$\lambda = 3$ અથવા $\lambda = -2$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^{2}+bx+45=0$ ના બીજ $z$ અને $\bar{z}$ છે.
બીજ સંકર હોવાથી,વિવેચક $D < 0$,તેથી $b^{2}-4(45) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $b^{2} < 180$.
બીજ $z = \frac{-b \pm i\sqrt{180-b^{2}}}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $|z+1| = 2\sqrt{10}$,તેથી $|z+1|^{2} = 40$.
ધારો કે $z = x+iy$,તો $x = -b/2$ અને $y = \pm \frac{\sqrt{180-b^{2}}}{2}$.
તેથી,$(x+1)^{2} + y^{2} = 40$.
કિંમતો મૂકતા,$(1 - b/2)^{2} + \frac{180-b^{2}}{4} = 40$.
$1 - b + \frac{b^{2}}{4} + 45 - \frac{b^{2}}{4} = 40$.
$46 - b = 40$,જે $b = 6$ આપે છે.
હવે,$b=6$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$b^{2}-b = 36-6 = 30$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) નિત્યસત્ય (tautology) એ એક એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે હંમેશા સાચું હોય છે.
$1$. $P \wedge (P \vee Q) \equiv P$ માટે,જે નિત્યસત્ય નથી.
$2$. $P \vee (P \wedge Q) \equiv P$ માટે,જે નિત્યસત્ય નથી.
$3$. $Q$ $\rightarrow (P \wedge (P$ $\rightarrow Q)) \equiv \sim Q \vee P$ માટે,જે નિત્યસત્ય નથી.
$4$. $(P \wedge (P$ $\rightarrow Q))$ $\rightarrow Q \equiv (P \wedge Q)$ $\rightarrow Q \equiv \sim P \vee t \equiv t$ માટે.
પરિણામ $t$ (સત્ય) હોવાથી,વિકલ્પ $D$ એ નિત્યસત્ય છે.

(B) ધારો કે પરવલય $x^{2}=4y$ પરનું બિંદુ $Q(2t, t^{2})$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ એ $A(0, -1)$ અને $Q(2t, t^{2})$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$h = \frac{1(2t) + 2(0)}{1+2} = \frac{2t}{3} \Rightarrow t = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1(t^{2}) + 2(-1)}{1+2} = \frac{t^{2}-2}{3} \Rightarrow 3k = t^{2}-2$
$t = \frac{3h}{2}$ ને $3k = t^{2}-2$ માં મૂકતા:
$3k = \left(\frac{3h}{2}\right)^{2} - 2$
$3k = \frac{9h^{2}}{4} - 2$
$12k = 9h^{2} - 8$
$9h^{2} - 12k = 8$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^{2}-12y=8$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} + (a-10)x + (\frac{33}{2} - 2a) = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (a-10)^{2} - 4(2)(\frac{33}{2} - 2a) \geq 0$.
$D = a^{2} - 4a - 32 \geq 0$.
$(a-8)(a+4) \geq 0$.
આ અસમતા $a \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$ માટે સાચી છે.
આપણે $a$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત શોધવાની હોવાથી,આપણે $[8, \infty)$ અંતરાલ ધ્યાનમાં લઈશું.
તેથી,ન્યૂનતમ ધન કિંમત $8$ છે.

(C) સરવાળો $\sum_{k=1}^{20} \frac{k(k+1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$1+2+\ldots+k = \frac{k(k+1)}{2}$.
આપણે $\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{20} (k^2 + k)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$n=20$ માટે સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(21)(41)}{6} = 2870$.
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(21)}{2} = 210$.
તેથી,કુલ સરવાળો $\frac{1}{2} (2870 + 210) = \frac{1}{2} (3080) = 1540$ થાય.

(D) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 5 + 4 + 3 = 12$.
$12$ લખોટીઓમાંથી $4$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{12}C_{4} = 495$.
આપણે એવી રીતો શોધવી છે કે જેમાં વધુમાં વધુ $3$ લાલ લખોટી હોય.
આનો અર્થ એ છે કે: (કુલ રીતો) - (બધી $4$ લખોટીઓ લાલ હોય તેવી રીતો).
$5$ લાલ લખોટીઓમાંથી $4$ લાલ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{5}C_{4} = 5$.
તેથી,વધુમાં વધુ $3$ લાલ લખોટીઓ હોય તેવી પસંદગીની રીતો $= 495 - 5 = 490$.

(D) ધારો કે લોખંડના દડાની ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ છે અને બરફના પડની જાડાઈ $h$ છે.
બરફ સહિત ગોળાની કુલ ત્રિજ્યા $R = 10 + h$ છે.
બરફના પડનું ઘનફળ $V$ એ બરફ સાથેના ગોળાના ઘનફળ અને લોખંડના દડાના ઘનફળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$V = \frac{4}{3}\pi (10 + h)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$
સમય $t$ ની સાપેક્ષે બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3(10 + h)^2 \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi (10 + h)^2 \frac{dh}{dt}$
આપેલ છે કે બરફ $50 \, cm^3/min$ ના દરે ઓગળે છે,તેથી $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$.
સમીકરણમાં $h = 5 \, cm$ અને $\frac{dV}{dt} = -50$ મૂકતા:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (225) \frac{dh}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
આમ,બરફની જાડાઈ ઘટવાનો દર $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ છે.

(B) ધારો કે $x = \sin \theta$ અને $y = \sin \alpha$.
આપેલ સમીકરણ $y \sqrt{1-x^{2}} = k - x \sqrt{1-y^{2}}$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\sin \alpha \cos \theta = k - \sin \theta \cos \alpha$
$\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta = k$
$\sin(\alpha + \theta) = k$
$\alpha + \theta = \sin^{-1} k$
પાછી કિંમત મૂકતા,$\sin^{-1} y + \sin^{-1} x = \sin^{-1} k$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = 0$
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y = -\frac{1}{4}$.
$\sqrt{1-x^{2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{1-y^{2}} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}/2} + \frac{1}{\sqrt{15}/4} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{15}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(D) આ પ્રદેશ પરવલય $y = 4x^2$ અને રેખા $y = 8x + 12$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$4x^2 = 8x + 12$ લો.
$4x^2 - 8x - 12 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.
$(x - 3)(x + 1) = 0$,તેથી $x = -1$ અને $x = 3$.
છેદબિંદુઓ $A(-1, 4)$ અને $B(3, 36)$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x = -1$ થી $x = 3$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેનો વક્ર બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{3} (8x + 12 - 4x^2) dx$
$= [4x^2 + 12x - \frac{4x^3}{3}]_{-1}^{3}$
$= (4(9) + 12(3) - \frac{4(27)}{3}) - (4(1) + 12(-1) - \frac{4(-1)}{3})$
$= (36 + 36 - 36) - (4 - 12 + \frac{4}{3})$
$= 36 - (-8 + \frac{4}{3}) = 36 - (-\frac{20}{3}) = 36 + \frac{20}{3} = \frac{108 + 20}{3} = \frac{128}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ અને $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = 0$.
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$1+1+1+2\lambda = 0 \Rightarrow 3+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
$\vec{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c}) \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{b}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{b} = (-\vec{c}) \times \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$.
આમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તેથી,$\vec{d} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{a} \times \vec{b})$.
ક્રમયુક્ત જોડ $\left(-\frac{3}{2}, 3 \vec{a} \times \vec{b}\right)$ છે.

(D) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (0, 1)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અહીં $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ અને અંતરાલ $[0, 1]$ આપેલ છે,તેથી $a = 0$ અને $b = 1$.
$f(0) = 0^{3} - 4(0)^{2} + 8(0) + 11 = 11$.
$f(1) = 1^{3} - 4(1)^{2} + 8(1) + 11 = 16$.
છેદક રેખાનો ઢાળ $\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{16 - 11}{1} = 5$.
વિકલન $f'(x) = 3x^{2} - 8x + 8$ મળે.
$f'(c) = 5$ લેતા,$3c^{2} - 8c + 8 = 5$,એટલે કે $3c^{2} - 8c + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$c = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$.
$c \in (0, 1)$ હોવાથી,$c = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$ એ યોગ્ય કિંમત છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \cot^{2} \theta - \frac{5}{\sin \theta} + 4 = 0$.
$\cot^{2} \theta = \frac{1 - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}$ મૂકતા:
$2 \left( \frac{1 - \sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta} \right) - \frac{5}{\sin \theta} + 4 = 0$.
$\sin^{2} \theta$ વડે ગુણતા:
$2(1 - \sin^{2} \theta) - 5 \sin \theta + 4 \sin^{2} \theta = 0$.
$2 \sin^{2} \theta - 5 \sin \theta + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta - 2) = 0$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ (કારણ કે $\sin \theta = 2$ શક્ય નથી).
અંતરાલ $(0, 2\pi) - \{\pi\}$ માં,$\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ મળે છે.
અહીં,$\theta_{1} = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta_{2} = \frac{5\pi}{6}$.
હવે સંકલન કરતા:
$I = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} \frac{1 + \cos 6\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{\sin 6\theta}{6} \right]_{\pi/6}^{5\pi/6}$.
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $b_{ij} = 3^{(i+j-2)} a_{ji}$.
આપણે શ્રેણિક $B$ ને આ રીતે લખી શકીએ:
$B = \begin{bmatrix} a_{11} & 3a_{21} & 9a_{31} \\ 3a_{12} & 9a_{22} & 27a_{32} \\ 9a_{13} & 27a_{23} & 81a_{33} \end{bmatrix}$
હાર અને સ્તંભમાંથી સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢતા:
$|B| = (3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & 3a_{22} & 9a_{32} \\ a_{13} & 3a_{23} & 9a_{33} \end{vmatrix}$
$|B| = 3^3 \cdot (3^0 \cdot 3^1 \cdot 3^2) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$
$|B| = 3^3 \cdot 3^3 \cdot |A^T| = 3^6 |A| = 729 |A|$.
આપેલ છે કે $|B| = 81$,તેથી $729 |A| = 81$.
$|A| = \frac{81}{729} = \frac{1}{9}$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int_{-1}^{2} e^{-\alpha |x|} dx$ છે.
$|x| = -x$ જ્યારે $x < 0$ અને $|x| = x$ જ્યારે $x \ge 0$ હોવાથી,આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ:
$I = \int_{-1}^{0} e^{\alpha x} dx + \int_{0}^{2} e^{-\alpha x} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$I = \left[ \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{e^{-\alpha x}}{-\alpha} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{e^{-\alpha}}{\alpha} \right) + \left( \frac{1}{\alpha} - \frac{e^{-2\alpha}}{\alpha} \right) = \frac{2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}}{\alpha}$.
હવે,આ કિંમતને $4\alpha I = 5$ માં મૂકતા:
$4\alpha \left( \frac{2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}}{\alpha} \right) = 5$.
$4(2 - e^{-\alpha} - e^{-2\alpha}) = 5 \Rightarrow 8 - 4e^{-\alpha} - 4e^{-2\alpha} = 5$.
$4e^{-2\alpha} + 4e^{-\alpha} - 3 = 0$.
ધારો કે $t = e^{-\alpha}$. તેથી $4t^2 + 4t - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-3)}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8}$.
$t = e^{-\alpha} > 0$ હોવાથી,$t = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ લેતા.
$e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{\alpha} = 2 \Rightarrow \alpha = \log_{e} 2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^{2}-x) \frac{dy}{dx}=1$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = y^{2}-x$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{dy} + x = y^{2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y)=1$ અને $Q(y)=y^{2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^{y}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{y} = \int y^{2} e^{y} dy + C$.
$\int y^{2} e^{y} dy$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int y^{2} e^{y} dy = y^{2} e^{y} - \int 2y e^{y} dy = y^{2} e^{y} - 2(y e^{y} - e^{y}) = (y^{2}-2y+2)e^{y}$.
તેથી,$x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} + C$.
શરત $y(0)=1$ આપેલ છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$0 \cdot e^{1} = (1^{2}-2(1)+2)e^{1} + C \Rightarrow 0 = (1)e + C \Rightarrow C = -e$.
વક્રનું સમીકરણ $x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} - e$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y=0$ લેતા:
$x e^{0} = (0^{2}-2(0)+2)e^{0} - e \Rightarrow x(1) = 2(1) - e \Rightarrow x = 2-e$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2+\frac{f(x)}{x^{3}}\right)=4$,તેથી $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=2$. $f(x)$ એ $5$ ઘાતવાળી બહુપદી હોવાથી,ધારો કે $f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g$. લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $2$ હોય તે માટે $g=e=d=0$ અને $c=2$ હોવું જોઈએ. તેથી,$f(x) = ax^5 + bx^4 + 2x^3$.
$f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 6x^2$.
$x=\pm 1$ એ ક્રાંતિક બિંદુઓ હોવાથી,$f'(1) = 5a + 4b + 6 = 0$ અને $f'(-1) = 5a - 4b + 6 = 0$.
બંનેનો સરવાળો કરતા $10a + 12 = 0 \Rightarrow a = -6/5$ મળે. બાદબાકી કરતા $8b = 0 \Rightarrow b = 0$ મળે.
આમ,$f(x) = 2x^3 - \frac{6}{5}x^5$.
$f'(x) = 6x^2 - 6x^4 = 6x^2(1-x^2) = 6x^2(1-x)(1+x)$.
$x < -1$ માટે,$f'(x) < 0$. $-1 < x < 0$ માટે,$f'(x) > 0$. $0 < x < 1$ માટે,$f'(x) > 0$. $x > 1$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x = -1$ આગળ,$f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી તે સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = 1$ આગળ,$f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી તે સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
વિકલ્પ $B$ જણાવે છે કે $x=1$ એ ન્યૂનતમ બિંદુ છે અને $x=-1$ એ મહત્તમ બિંદુ છે,જે ખોટું છે.

(C) ધારો કે $X$ એ બંધ મશીનોની સંખ્યા છે. $X$ એ $n = 5$ અને $p = \frac{1}{4}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
$r$ મશીનો બંધ હોવાની સંભાવના $P(X = r) = ^{5}C_{r} (\frac{1}{4})^{r} (\frac{3}{4})^{5-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે વધુમાં વધુ $2$ મશીનો બંધ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ છે.
$P(X=0) = ^{5}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{5} = (\frac{3}{4})^{5}$.
$P(X=1) = ^{5}C_{1} (\frac{1}{4})^{1} (\frac{3}{4})^{4} = 5 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{4} = \frac{15}{16} (\frac{3}{4})^{3}$.
$P(X=2) = ^{5}C_{2} (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{3} = 10 \times \frac{1}{16} \times (\frac{3}{4})^{3} = \frac{10}{16} (\frac{3}{4})^{3}$.
સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = (\frac{9}{16} + \frac{15}{16} + \frac{10}{16}) (\frac{3}{4})^{3} = \frac{34}{16} (\frac{3}{4})^{3} = \frac{17}{8} (\frac{3}{4})^{3}$.
આને $(\frac{3}{4})^{3} k$ સાથે સરખાવતા,$k = \frac{17}{8}$ મળે છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને બે કરતાં વધુ ઉકેલો હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેને અનંત ઉકેલો છે. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય અને સુસંગતતાની શરતનું પાલન થાય.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & \lambda \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A| = 0$ લેતા:
$|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 9) + 1(2 - 6) = 0$
$2\lambda - 6 - \lambda + 9 - 4 = 0$
$\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
હવે,અનંત ઉકેલો માટે,અચળ પદના સ્તંભને બદલીને મળતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ $(D_z = 0)$:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 10 \\ 3 & 2 & \mu \end{vmatrix} = 0$
$1(2\mu - 20) - 1(\mu - 30) + 6(2 - 6) = 0$
$2\mu - 20 - \mu + 30 - 24 = 0$
$\mu - 14 = 0 \Rightarrow \mu = 14$.
અંતે,$\mu - \lambda^{2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\mu - \lambda^{2} = 14 - (1)^{2} = 14 - 1 = 13$.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$k = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_{e}\left(\frac{1+3x}{1-2x}\right)$
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{e}\left(\frac{a}{b}\right) = \log_{e}(a) - \log_{e}(b)$:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log_{e}(1+3x) - \log_{e}(1-2x)}{x}$
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\log_{e}(1+3x)}{x} - \frac{\log_{e}(1-2x)}{x} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\log_{e}(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 \cdot \frac{\log_{e}(1+3x)}{3x} - (-2) \cdot \frac{\log_{e}(1-2x)}{-2x} \right)$
$k = 3(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5$.

(B) ધારો કે $A = (1, 0, 3)$,$B = (\alpha, 7, 1)$,અને $P = \left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)$.
$P$ એ $A$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ હોવાથી,સદિશ $\vec{AP}$ એ સદિશ $\vec{BP}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\vec{AP}$ ના દિકગુણોત્તર શોધો:
$\vec{AP} = \left(\frac{5}{3} - 1, \frac{7}{3} - 0, \frac{17}{3} - 3\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}\right)$.
ત્યારબાદ,$\vec{BP}$ ના દિકગુણોત્તર શોધો:
$\vec{BP} = \left(\frac{5}{3} - \alpha, \frac{7}{3} - 7, \frac{17}{3} - 1\right) = \left(\frac{5}{3} - \alpha, -\frac{14}{3}, \frac{14}{3}\right)$.
$\vec{AP} \perp \vec{BP}$ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$
$\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + \left(\frac{7}{3}\right)\left(-\frac{14}{3}\right) + \left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{14}{3}\right) = 0$
$\frac{2}{3} \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) - \frac{98}{9} + \frac{112}{9} = 0$
$\frac{2}{3} \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + \frac{14}{9} = 0$
$9$ વડે ગુણતા:
$6 \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + 14 = 0$
$10 - 6\alpha + 14 = 0$
$24 = 6\alpha$
$\alpha = 4$.

(B) આપેલ છે કે $g(x) = x^{2} + x - 1$ અને $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 4x^{2} - 10x + 5$.
ધારો કે $f(x) = y$. તો $g(y) = y^{2} + y - 1 = 4x^{2} - 10x + 5$.
$y^{2} + y - 6 = 4x^{2} - 10x$.
$y$ માટે ઉકેલવા માટે,આપણે $y^{2} + y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$(y + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} - 6 = 4x^{2} - 10x$.
$(y + \frac{1}{2})^{2} = 4x^{2} - 10x + \frac{25}{4} = (2x - \frac{5}{2})^{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$y + \frac{1}{2} = \pm(2x - \frac{5}{2})$.
કિસ્સો $1$: $f(x) = 2x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2x - 3$.
કિસ્સો $2$: $f(x) = -2x + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -2x + 2$.
$f(x) = 2x - 3$ માટે,$f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4}) - 3 = \frac{5}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$.
$f(x) = -2x + 2$ માટે,$f(\frac{5}{4}) = -2(\frac{5}{4}) + 2 = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2}$.
આમ,$f(\frac{5}{4}) = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે $y(\alpha)=\sqrt{2\left(\frac{\tan \alpha+\cot \alpha}{\sec^2 \alpha}\right)+\csc^2 \alpha}$.
$1+\tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ હોવાથી,$y(\alpha)=\sqrt{2\left(\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}}\right)+\csc^2 \alpha}$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $2\left(\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\right) \cdot \cos^2 \alpha + \csc^2 \alpha = 2\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \csc^2 \alpha = 2\cot \alpha + \csc^2 \alpha$.
નોંધો કે $2\cot \alpha + \csc^2 \alpha = 2\cot \alpha + 1 + \cot^2 \alpha = (1+\cot \alpha)^2$.
તેથી,$y(\alpha) = \sqrt{(1+\cot \alpha)^2} = |1+\cot \alpha|$.
$\alpha \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$ માટે,$\cot \alpha < -1$,તેથી $1+\cot \alpha < 0$.
તેથી,$y(\alpha) = -(1+\cot \alpha) = -1 - \cot \alpha$.
$\alpha$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{dy}{d\alpha} = -(-\csc^2 \alpha) = \csc^2 \alpha$.
$\alpha = \frac{5\pi}{6}$ આગળ,$\csc \alpha = \csc \frac{5\pi}{6} = 2$.
તેથી,$\frac{dy}{d\alpha} = (2)^2 = 4$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^{2}$ છે. ધારો કે $\alpha = \omega$. તો $\alpha^{2} = \omega^{2}$ અને $\alpha^{4} = \omega^{4} = \omega$ થાય.
શ્રેણિક $A$ એ $A = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix}$ બને છે.
$A^{2} = A \cdot A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ મળે છે.
હવે,$A^{4} = A^{2} \cdot A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_{3}$ થાય.
તેથી,$A^{4} = I_{3}$ હોવાથી,$A^{31} = A^{28} \cdot A^{3} = (A^{4})^{7} \cdot A^{3} = I_{3}^{7} \cdot A^{3} = A^{3}$ થાય.

(C) કુલ પરિણામો $= 2^5 = 32$ છે.
$k=5$ માટે: ${HHHHH}$,તેથી $P(X=5) = \frac{1}{32}$.
$k=4$ માટે: ${HHHHT, THHHH}$,તેથી $P(X=4) = \frac{2}{32}$.
$k=3$ માટે: ${HHHTH, HHHTT, THHHT, TTHHH, HTHHH}$,તેથી $P(X=3) = \frac{5}{32}$.
$X=-1$ માટે: બાકીના પરિણામો $32 - (1 + 2 + 5) = 24$,તેથી $P(X=-1) = \frac{24}{32}$.
અપેક્ષિત કિંમત $E[X] = \sum x P(x) = (5 \times \frac{1}{32}) + (4 \times \frac{2}{32}) + (3 \times \frac{5}{32}) + (-1 \times \frac{24}{32})$
$E[X] = \frac{5 + 8 + 15 - 24}{32} = \frac{28 - 24}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=2$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^{2} = \pi(\sqrt{2})^{2} = 2\pi$ થાય.
પરવલય $y^{2}=x$ અને રેખા $y=x$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y^{2}=x$ અને $y=x$ ને સરખાવતા $x^{2}=x$ મળે,એટલે કે $x(x-1)=0$,તેથી $x=0$ અને $x=1$ મળે. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
પરવલય અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$
$A = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
માગેલ ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાંથી સામાન્ય ક્ષેત્રફળ $A$ બાદ કરવાથી મળે:
$\text{માગેલ ક્ષેત્રફળ} = 2\pi - \frac{1}{6} = \frac{12\pi - 1}{6} = \frac{1}{6}(12\pi - 1)$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{k}+y^{k}=a^{k}$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$k x^{k-1} + k y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
$k$ વડે ભાગતા ($k > 0$ હોવાથી):
$x^{k-1} + y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{k-1}}{y^{k-1}} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{k-1}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}$.
$\frac{dy}{dx}$ માટેના બંને પદોની સરખામણી કરતા:
$-\left(\frac{x}{y}\right)^{k-1} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$k - 1 = -\frac{1}{3}$.
$k$ માટે ઉકેલતા:
$k = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$.
આને $e^{y} \frac{dy}{dx} - e^{y} = e^{x}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $e^{y} = t$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$e^{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dt}{dx} - t = e^{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(t e^{-x}) = e^{x} \cdot e^{-x} = 1$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$t e^{-x} = x + c$ મળે.
$t = e^{y}$ મૂકતા,$e^{y} e^{-x} = x + c$,એટલે કે $e^{y-x} = x + c$ મળે.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા: $e^{0-0} = 0 + c \Rightarrow 1 = c$.
તેથી,ઉકેલ $e^{y-x} = x + 1$ છે.
$y(1)$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા: $e^{y-1} = 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$y - 1 = \log_{e} 2$.
આમ,$y(1) = 1 + \log_{e} 2$.

(D) કારણ કે $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશોના સરવાળાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,એકમ સદિશો શોધો:
$\hat{b} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\hat{c} = \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{18}} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{3 \sqrt{2}}$
આમ,$\overrightarrow{a} = \lambda (\hat{b} + \hat{c}) = \lambda \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{3 \sqrt{2}} \right) = \frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} [3(\hat{i} + \hat{j}) + (\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k})] = \frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k})$.
આને $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણી પાસે $y$-ઘટક $2$ છે. તેથી,$\frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} \times 2 = 2$,જે આપે છે $\frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} = 1$.
તેથી,$\overrightarrow{a} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$\overrightarrow{a} \cdot \hat{k} = 4$. તેથી,$\overrightarrow{a} \cdot \hat{k} - 4 = 0$.

(D) ધારો કે $I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx \quad \dots(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(a+b-x)+f(a+b-x+1)) dx$
આપેલ છે કે $f(a+b+1-x) = f(x)$,તેથી $f(a+b-x) = f(x+1)$.
આમ,$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(x+1)+f(x)) dx \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b)(f(x)+f(x+1)) dx = \int_{a}^{b} (f(x)+f(x+1)) dx$
$f(a+b+1-x) = f(x)$ હોવાથી,$t = a+b+1-x$ લેતા,$dt = -dx$. જ્યારે $x=a, t=b+1$; જ્યારે $x=b, t=a+1$.
$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(a+b+1-t) dt = \int_{a+1}^{b+1} f(t) dt$.
આમ,$2I = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(x+1) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx$. આનું સાદું રૂપ $I = \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a-1}^{b-1} f(x) dx$ થાય છે.

(B) અંતરાલ $[-7, -1]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ નો ઉપયોગ કરતા,કોઈ $c_1 \in (-7, -1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\frac{f(-1) - f(-7)}{-1 - (-7)} = f'(c_1)$ થાય.
આપેલ છે કે $f'(x) \leq 2$,તેથી $\frac{f(-1) - (-3)}{6} \leq 2$,જે સૂચવે છે કે $f(-1) + 3 \leq 12$,એટલે કે $f(-1) \leq 9$.
અંતરાલ $[-7, 0]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ નો ઉપયોગ કરતા,કોઈ $c_2 \in (-7, 0)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\frac{f(0) - f(-7)}{0 - (-7)} = f'(c_2)$ થાય.
આપેલ છે કે $f'(x) \leq 2$,તેથી $\frac{f(0) - (-3)}{7} \leq 2$,જે સૂચવે છે કે $f(0) + 3 \leq 14$,એટલે કે $f(0) \leq 11$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને $f(-1) + f(0) \leq 9 + 11 = 20$ મળે છે.
કારણ કે $f(-1)$ અને $f(0)$ ની કિંમત ગમે તેટલી નાની હોઈ શકે છે,તેથી અંતરાલ $(-\infty, 20]$ છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} 2 & 2a & a \\ 2 & 3b & b \\ 2 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$2 \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$2 \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 0 & 3b-2a & b-a \\ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3bc - 3ab - 2ac + 2a^2) - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$
$-bc - ab + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) વિધેય $f(x) = |2 - |x - 3||$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
પ્રથમ,આપણે તે બિંદુઓ શોધીએ છીએ જ્યાં $f(x)$ વિકલનીય નથી. વિધેય $g(x) = |x - 3|$ એ $x = 3$ આગળ વિકલનીય નથી. વિધેય $h(x) = 2 - |x - 3|$ એ $x = 3$ આગળ વિકલનીય નથી. વિધેય $f(x) = |h(x)|$ ત્યાં વિકલનીય નથી જ્યાં $h(x) = 0$ હોય અથવા જ્યાં $h(x)$ વિકલનીય ન હોય.
$h(x) = 0$ લેતા,આપણને $2 - |x - 3| = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $|x - 3| = 2$,તેથી $x - 3 = 2$ અથવા $x - 3 = -2$. આમ,$x = 5$ અથવા $x = 1$.
તેથી,$S$ એ બિંદુઓનો ગણ છે જ્યાં $f(x)$ વિકલનીય નથી,એટલે કે $S = \{1, 3, 5\}$.
હવે,દરેક $x \in S$ માટે આપણે $f(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$x = 1$ માટે: $f(1) = |2 - |1 - 3|| = |2 - 2| = 0$. તેથી $f(f(1)) = f(0) = |2 - |0 - 3|| = |2 - 3| = 1$.
$x = 3$ માટે: $f(3) = |2 - |3 - 3|| = |2 - 0| = 2$. તેથી $f(f(3)) = f(2) = |2 - |2 - 3|| = |2 - 1| = 1$.
$x = 5$ માટે: $f(5) = |2 - |5 - 3|| = |2 - 2| = 0$. તેથી $f(f(5)) = f(0) = |2 - |0 - 3|| = |2 - 3| = 1$.
અંતે,$\sum_{x \in S} f(f(x)) = f(f(1)) + f(f(3)) + f(f(5)) = 1 + 1 + 1 = 3$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{a}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{c} - \vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{c} - \vec{a} = k\vec{b}$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
આમ,$\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$,તેથી $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 + k(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
માન અને અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + k(4) = 0 \Rightarrow 4k = -6 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + k\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + k|\vec{b}|^2$.
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 + (-\frac{3}{2})(3) = 4 - \frac{9}{2} = \frac{8-9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(D) પરવલય $y = x^{2}$ અને રેખા $y = 3 - 2x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,જેના માટે $x^{2} = 3 - 2x$ લઈએ.
$x^{2} + 2x - 3 = 0$
$(x + 3)(x - 1) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $x = -3$ અને $x = 1$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ એ $x = -3$ થી $x = 1$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન કરવાથી મળે છે:
$A = \int_{-3}^{1} ((3 - 2x) - x^{2}) dx$
$A = [3x - x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{-3}^{1}$
$A = (3(1) - (1)^{2} - \frac{(1)^{3}}{3}) - (3(-3) - (-3)^{2} - \frac{(-3)^{3}}{3})$
$A = (3 - 1 - \frac{1}{3}) - (-9 - 9 + 9)$
$A = (2 - \frac{1}{3}) - (-9)$
$A = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^{3}-9x^{2}+12x+4}}$.
$I$ ની રેન્જ શોધવા માટે,આપણે અંતરાલ $[1, 2]$ પર $g(x) = 2x^{3}-9x^{2}+12x+4$ નું વર્તન તપાસીએ.
$g'(x) = 6x^{2}-18x+12 = 6(x-1)(x-2)$.
અહીં $x \in [1, 2]$ માટે $g'(x) \leq 0$ હોવાથી,$g(x)$ એ $[1, 2]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,$g(2) \leq g(x) \leq g(1)$.
$g(1) = 2-9+12+4 = 9$.
$g(2) = 16-36+24+4 = 8$.
આમ,$x \in [1, 2]$ માટે $8 \leq g(x) \leq 9$ થાય.
વર્ગમૂળ અને વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{\sqrt{g(x)}} \leq \frac{1}{\sqrt{8}}$.
$1$ થી $2$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_{1}^{2} \frac{1}{3} dx < I < \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{8}} dx$.
$\frac{1}{3}(2-1) < I < \frac{1}{\sqrt{8}}(2-1)$.
$\frac{1}{3} < I < \frac{1}{\sqrt{8}}$.
અસમતાનો વર્ગ કરતા: $\frac{1}{9} < I^{2} < \frac{1}{8}$.

(D) અંતરાલ $[c, 1]$ પર વિધેય $f$ માટે લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ પાડતા,જ્યાં $c \in (0, 1)$,ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $a \in (c, 1)$ એવું મળે કે જેથી $\frac{f(1) - f(c)}{1 - c} = f'(a)$ થાય.
વિકલ્પો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ $S$ માંના તમામ વિધેયો માટે સાચા હોવા જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $f(x) = k$ (અચળ વિધેય) હોય,તો $f'(x) = 0$ થાય. આ કિસ્સામાં,$|f(c) - f(1)| = 0$ અને $(1 - c)|f'(c)| = 0$ થાય,તેથી અસમતા $|f(c) - f(1)| < (1 - c)|f'(c)|$ એ $0 < 0$ બને છે,જે અસત્ય છે.
વિકલ્પ $(D)$ એ અંતરાલ $[c, 1]$ પર $LMVT$ નો સીધો ઉપયોગ છે,જે સમીકરણનું પાલન કરતા $a \in (c, 1)$ નું અસ્તિત્વ સુનિશ્ચિત કરે છે.

(D) વિધેય $x \in (1, 3)$ માટે $f(x) = \frac{x[x]}{1+x^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ ના આધારે પ્રદેશને વિભાજિત કરીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: $x \in (1, 2)$,ત્યારે $[x] = 1$. તેથી,$f(x) = \frac{x}{1+x^2}$.
$x \in (1, 2)$ માટે,$f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} < 0$. આમ,$f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
જ્યારે $x \to 1^+$,$f(x) \to \frac{1}{2}$. જ્યારે $x \to 2^-$,$f(x) \to \frac{2}{5}$. તેથી,$f(x) \in (\frac{2}{5}, \frac{1}{2})$.
કિસ્સો $2$: $x \in [2, 3)$,ત્યારે $[x] = 2$. તેથી,$f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$f'(x) = \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2} < 0$. આમ,$f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$x = 2$ પર,$f(2) = \frac{4}{5}$. જ્યારે $x \to 3^-$,$f(x) \to \frac{3}{5}$. તેથી,$f(x) \in (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,વિસ્તાર $(\frac{2}{5}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}]$ મળે છે.

(D) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 2 \\ 2\lambda & 3 & 5 \\ 4 & \lambda & 6 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = \lambda(18 - 5\lambda) - 2(12\lambda - 20) + 2(2\lambda^2 - 12)$
$D = 18\lambda - 5\lambda^2 - 24\lambda + 40 + 4\lambda^2 - 24$
$D = -\lambda^2 - 6\lambda + 16 = -(\lambda + 8)(\lambda - 2) = (\lambda + 8)(2 - \lambda)$
જ્યારે $\lambda = 2$ હોય,ત્યારે $D = 0$ થાય છે. સમીકરણોમાં $\lambda = 2$ મૂકતા:
$2x + 2y + 2z = 5$
$4x + 3y + 5z = 8$
$4x + 2y + 6z = 10$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણના $2$ ગણા બાદ કરતા: $(4x + 3y + 5z) - 2(2x + 2y + 2z) = 8 - 10 \implies -y + z = -2 \implies y - z = 2$.
ત્રીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણના $2$ ગણા બાદ કરતા: $(4x + 2y + 6z) - 2(2x + 2y + 2z) = 10 - 10 \implies -2y + 2z = 0 \implies y - z = 0$.
અહીં $y - z = 2$ અને $y - z = 0$ એ વિરોધાભાસી પરિણામો છે,તેથી $\lambda = 2$ માટે કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2 \times 4) - (2 \times 9) = 8 - 18 = -10$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$10 A^{-1} = 10 \times \left( \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix} \right) = -1 \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$A - 6I = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$.
આમ,$10 A^{-1} = A - 6I$ થાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(1, 2, 3)$ છે અને તેનું પ્રતિબિંબ $P'\left(-\frac{7}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{1}{3}\right)$ છે.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M$ સમતલ પર આવેલું છે:
$M = \left(\frac{1 - \frac{7}{3}}{2}, \frac{2 - \frac{4}{3}}{2}, \frac{3 - \frac{1}{3}}{2}\right) = \left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{PP'}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \vec{PP'} = \left(-\frac{7}{3} - 1, -\frac{4}{3} - 2, -\frac{1}{3} - 3\right) = \left(-\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}\right)$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ લઈ શકીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - (-\frac{2}{3})) + 1(y - \frac{1}{3}) + 1(z - \frac{4}{3}) = 0$ છે.
$x + \frac{2}{3} + y - \frac{1}{3} + z - \frac{4}{3} = 0 \implies x + y + z - 1 = 0 \implies x + y + z = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(1, -1, 1)$ માટે,$1 + (-1) + 1 = 1$. તેથી,બિંદુ $(1, -1, 1)$ સમતલ પર આવેલું છે.

(A) આપેલ વક્રોના કુળનું સમીકરણ: $x^{2} = 4b(y+b)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x = 4b y^{\prime}$
$b = \frac{2x}{4y^{\prime}} = \frac{x}{2y^{\prime}}$.
$b$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) \left( y + \frac{x}{2y^{\prime}} \right)$.
પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$x^{2} = \frac{2x}{y^{\prime}} \left( \frac{2yy^{\prime} + x}{2y^{\prime}} \right)$.
$x^{2} = \frac{2x(2yy^{\prime} + x)}{2(y^{\prime})^{2}}$.
$x^{2} = \frac{x(2yy^{\prime} + x)}{(y^{\prime})^{2}}$.
$x$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારતા):
$x(y^{\prime})^{2} = 2yy^{\prime} + x$.

(B) ધારો કે $f(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી છે,તેથી $f^{\prime \prime}(x)$ એ સુરેખ વિધેય છે. $f^{\prime}(x)$ ને $x=1$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુ હોવાથી $f^{\prime \prime}(1)=0$ થાય. તેથી,$f^{\prime \prime}(x) = \lambda(x-1)$.
$f^{\prime \prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x + C$ મળે.
$f(x)$ ને $x=-1$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુ હોવાથી $f^{\prime}(-1) = 0$ થાય. $x=-1$ મૂકતા $\frac{\lambda}{2} + \lambda + C = 0$ મળે,તેથી $C = -\frac{3\lambda}{2}$.
આમ,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x - \frac{3\lambda}{2}$.
$f^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,$f(x) = \frac{\lambda x^3}{6} - \frac{\lambda x^2}{2} - \frac{3\lambda x}{2} + d$ મળે.
$f(1) = -6$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} - \frac{3\lambda}{2} + d = -6 \Rightarrow -\frac{11\lambda}{6} + d = -6 \Rightarrow -11\lambda + 6d = -36 \dots (i)$.
$f(-1) = 10$ નો ઉપયોગ કરતા: $-\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} + \frac{3\lambda}{2} + d = 10 \Rightarrow \frac{5\lambda}{6} + d = 10 \Rightarrow 5\lambda + 6d = 60 \dots (ii)$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $16\lambda = 96 \Rightarrow \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $5(6) + 6d = 60 \Rightarrow 30 + 6d = 60 \Rightarrow d = 5$.
તેથી,$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.
$f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$.
$f^{\prime}(x) = 0$ લેતા ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=3$ અને $x=-1$ મળે.
$f^{\prime \prime}(x) = 6x - 6$. $x=3$ આગળ,$f^{\prime \prime}(3) = 18 - 6 = 12 > 0$,તેથી $f(x)$ ને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.

(A) સમાંતરફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક $|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}]| = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = -2 + 5 - \lambda = 3 - \lambda$.
ઘનફળ $1$ હોવાથી,$|3 - \lambda| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3 - \lambda = 1$ અથવા $3 - \lambda = -1$.
આમ,$\lambda = 2$ અથવા $\lambda = 4$.
કિસ્સો $1$: જો $\lambda = 2$,તો $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ અને $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{w}|} = \frac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.
કિસ્સો $2$: જો $\lambda = 4$,તો $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (4)(1) = 2 + 1 + 4 = 7$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ અને $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{12}} = \frac{7}{3 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{7}{6\sqrt{3}}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{7}{6\sqrt{3}}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે $\tan^{-1} x = \theta$. તો $\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ અને $\sin(\cot^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
$f(x) = (\frac{x+1}{\sqrt{1+x^2}})^2 - 1 = \frac{x^2+1+2x}{1+x^2} - 1 = \frac{2x}{1+x^2}$.
આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}))$.
$|x| > 1$ માટે,$\sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) = \pi - 2\tan^{-1} x$ જો $x > 1$ અને $-\pi - 2\tan^{-1} x$ જો $x < -1$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\pi - 2\tan^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ જ્યારે $x > 1$.
અને $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(-\pi - 2\tan^{-1} x) = -\frac{1}{1+x^2}$ જ્યારે $x < -1$.
સંકલન કરતા,$y = -\tan^{-1} x + C_1$ જ્યારે $x > 1$ અને $y = -\tan^{-1} x + C_2$ જ્યારે $x < -1$.
આપેલ છે $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6} \Rightarrow -\frac{\pi}{3} + C_1 = \frac{\pi}{6} \Rightarrow C_1 = \frac{\pi}{2}$.
જો આપણે ધારીએ કે $C_2 = C_1 = \frac{\pi}{2}$,તો $y(-\sqrt{3}) = -\tan^{-1}(-\sqrt{3}) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{1-x^{2}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-y^{2}} = 0$.
ચલને અલગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.
આનાથી મળે છે: $\sin^{-1} y = -\sin^{-1} x + C$,અથવા $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = C$.
આપેલ છે કે $y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = C$.
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = C \implies C = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,સમીકરણ $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ છે.
નિત્યસમ $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^{-1} y = \cos^{-1} x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \sin(\cos^{-1} x) = \sqrt{1-x^2}$.
હવે,$y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ શોધવા માટે,$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$y = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) વક્રો $C_{1}: y^{2}=ax$ અને $C_{2}: x^{2}=ay$ છે. તેમને ઉકેલતા,આપણને $x^{4}/a^{2} = ax \Rightarrow x(x^{3}-a^{3})=0$ મળે છે. આમ,છેદબિંદુઓ $O(0,0)$ અને $P(a,a)$ છે.
જીવા $OP$ નું સમીકરણ $y=x$ છે. રેખા $x=b$ એ $OP$ ને $Q(b,b)$ માં અને $x$-અક્ષને $R(b,0)$ માં છેદે છે.
$\Delta OQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times b \times b = \frac{b^{2}}{2}.$ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$b^{2}=1 \Rightarrow b=1$ મળે છે.
વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{a} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = [\frac{2}{3}\sqrt{a}x^{3/2} - x^{3}/(3a)]_{0}^{a} = \frac{2}{3}a^{2} - \frac{1}{3}a^{2} = \frac{a^{2}}{3}$ છે.
રેખા $x=b$ આ ક્ષેત્રફળને દુભાગે છે,તેથી $\int_{0}^{b} (\sqrt{ax} - x^{2}/a) dx = \frac{1}{2} \times \frac{a^{2}}{3} = \frac{a^{2}}{6}$ થાય.
$b=1$ મૂકતા: $\frac{2}{3}\sqrt{a} - \frac{1}{3a} = \frac{a^{2}}{6}.$
$6a$ વડે ગુણતા: $4a^{3/2} - 2 = a^{3} \Rightarrow a^{3} + 2 = 4a^{3/2}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(a^{3}+2)^{2} = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} + 4a^{3} + 4 = 16a^{3} \Rightarrow a^{6} - 12a^{3} + 4 = 0.$

(B) રોલના પ્રમેય માટે,$f(3) = f(4)$ હોવું જોઈએ.
$\log_{e}\left(\frac{3^{2}+\alpha}{7(3)}\right) = \log_{e}\left(\frac{4^{2}+\alpha}{7(4)}\right)$
$\frac{9+\alpha}{21} = \frac{16+\alpha}{28} \Rightarrow 4(9+\alpha) = 3(16+\alpha) \Rightarrow 36+4\alpha = 48+3\alpha \Rightarrow \alpha = 12$.
હવે,$f(x) = \log_{e}(x^{2}+12) - \log_{e}(7) - \log_{e}(x)$.
$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+12} - \frac{1}{x} = \frac{x^{2}-12}{x(x^{2}+12)}$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$f'(c) = 0 \Rightarrow c^{2}-12 = 0 \Rightarrow c = 2\sqrt{3}$.
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2}-12}{x^{3}+12x} \right)$.
$c^{2}=12$ મૂકતા,$f''(c) = \frac{2}{c^{2}+12} = \frac{2}{12+12} = \frac{1}{12}$.

(D) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$(i) x + 2y + 3z = 1$
$(ii) 3x + 4y + 5z = \mu$
$(iii) 4x + 4y + 4z = \delta$
અસંગતતા તપાસવા માટે,આપણે ચલ દૂર કરીએ.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતાં: $(3x-x) + (4y-2y) + (5z-3z) = \mu - 1 \Rightarrow 2x + 2y + 2z = \mu - 1$.
આને $2$ વડે ગુણતા: $4x + 4y + 4z = 2(\mu - 1)$.
સમીકરણ $(iii)$ સાથે સરખાવતા,$4x + 4y + 4z = \delta$.
જો $\delta \neq 2(\mu - 1)$ હોય,તો સંહતિ અસંગત છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A) (1, 0): \delta = 0, 2(\mu - 1) = 0$. અહીં $\delta = 2(\mu - 1)$,તેથી તે સુસંગત છે.
$(B) (4, 6): \delta = 6, 2(\mu - 1) = 6$. અહીં $\delta = 2(\mu - 1)$,તેથી તે સુસંગત છે.
$(C) (3, 4): \delta = 4, 2(\mu - 1) = 4$. અહીં $\delta = 2(\mu - 1)$,તેથી તે સુસંગત છે.
$(D) (4, 3): \delta = 3, 2(\mu - 1) = 6$. અહીં $\delta \neq 2(\mu - 1)$,તેથી સંહતિ અસંગત છે.

(C) કારણ કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$ છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $P(A / B) = P(A) = \frac{1}{3}$,તેથી $P(A / B) = \frac{2}{3}$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $P(A / (A \cup B)) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \frac{1/3}{1/3 + 1/6 - 1/18} = \frac{1/3}{6/18 + 3/18 - 1/18} = \frac{1/3}{8/18} = \frac{1}{3} \times \frac{18}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$,તેથી $P(A / (A \cup B)) = \frac{1}{4}$ અસત્ય છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A$ અને $B^{\prime}$ પણ સ્વતંત્ર છે. તેથી,$P(A / B^{\prime}) = P(A) = \frac{1}{3}$ થાય. આ સત્ય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ પણ સ્વતંત્ર છે. તેથી,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ થાય,તેથી $P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{1}{3}$ અસત્ય છે.

(C) ધારો કે $y = f(x) = \frac{8^{2x} - 8^{-2x}}{8^{2x} + 8^{-2x}}$.
અંશ અને છેદને $8^{2x}$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{8^{4x} - 1}{8^{4x} + 1}$.
હવે,$y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત મેળવતા:
$y(8^{4x} + 1) = 8^{4x} - 1$
$y \cdot 8^{4x} + y = 8^{4x} - 1$
$1 + y = 8^{4x}(1 - y)$
$8^{4x} = \frac{1 + y}{1 - y}$.
બંને બાજુ $\log_{8}$ લેતા:
$4x = \log_{8} \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$.
બેઝ બદલવાના નિયમ $\log_{8} A = \frac{\ln A}{\ln 8} = (\log_{8} e) \ln A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4x = (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$.
$x = \frac{1}{4} (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + y}{1 - y}\right)$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x) = \frac{1}{4} (\log_{8} e) \ln \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x \, dx}{\sin ^{3} x \left(1+\sin ^{6} x\right)^{2 / 3}}$.
$u = \sin x$ લેતા,$du = \cos x \, dx$ મળે.
$I = \int \frac{du}{u^3 (1+u^6)^{2/3}}$.
કૌંસમાંથી $u^6$ સામાન્ય લેતા: $I = \int \frac{du}{u^3 (u^6(\frac{1}{u^6}+1))^{2/3}} = \int \frac{du}{u^3 \cdot u^4 (\frac{1}{u^6}+1)^{2/3}} = \int \frac{du}{u^7 (u^{-6}+1)^{2/3}}$.
$t = u^{-6}+1$ લેતા,$dt = -6u^{-7} \, du$,તેથી $u^{-7} \, du = -\frac{1}{6} \, dt$.
$I = -\frac{1}{6} \int t^{-2/3} \, dt = -\frac{1}{6} \cdot \frac{t^{1/3}}{1/3} + c = -\frac{1}{2} t^{1/3} + c$.
$t = u^{-6}+1 = \frac{1+u^6}{u^6}$ પાછું મૂકતા,$I = -\frac{1}{2} \left(\frac{1+u^6}{u^6}\right)^{1/3} + c = -\frac{1}{2} \frac{(1+\sin^6 x)^{1/3}}{\sin^2 x} + c$.
$f(x)(1+\sin^6 x)^{1/\lambda} + c$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = 3$ અને $f(x) = -\frac{1}{2 \sin^2 x}$ મળે.
તેથી $\lambda f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2 \sin^2(\pi/3)}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2 \cdot (3/4)}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -2$.

(B) રેખાઓ $\vec{r_1} = (3, 8, 3) + \lambda(3, -1, 1)$ અને $\vec{r_2} = (-3, -7, 6) + \mu(-3, 2, 4)$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.
ધારો કે $\vec{a_1} = (3, 8, 3)$,$\vec{a_2} = (-3, -7, 6)$,$\vec{b_1} = (3, -1, 1)$,અને $\vec{b_2} = (-3, 2, 4)$.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-6, -15, 3)$.
ત્યારબાદ,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 36 + 225 + 9 = 270$ છે.
તેથી,$d = \frac{270}{\sqrt{270}} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.

(A) આપેલ છે $f(x) = x \cos^{-1}(-\sin |x|)$. કારણ કે $\cos^{-1}(-u) = \pi - \cos^{-1}(u)$,તેથી $f(x) = x(\pi - \cos^{-1}(\sin |x|))$.
$\cos^{-1}(\sin |x|) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - |x|)) = \frac{\pi}{2} - |x|$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $|x| \in [0, \frac{\pi}{2}]$,આપણને મળે છે:
$f(x) = x(\pi - (\frac{\pi}{2} - |x|)) = x(\frac{\pi}{2} + |x|)$.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = x(\frac{\pi}{2} + x) = \frac{\pi}{2}x + x^2$. તેથી $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{2} + 2x$.
$x < 0$ માટે,$f(x) = x(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{\pi}{2}x - x^2$. તેથી $f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{2} - 2x$.
$x=0$ આગળ વિકલનીયતા તપાસતા: $LHD = \lim_{x \to 0^-} (\frac{\pi}{2} - 2x) = \frac{\pi}{2}$ અને $RHD = \lim_{x \to 0^+} (\frac{\pi}{2} + 2x) = \frac{\pi}{2}$. $LHD = RHD$ હોવાથી,$f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને $f^{\prime}(0) = \frac{\pi}{2}$.
હવે,$x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ માટે,$f^{\prime\prime}(x) = -2 < 0$,તેથી $f^{\prime}$ ઘટતું વિધેય છે.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$f^{\prime\prime}(x) = 2 > 0$,તેથી $f^{\prime}$ વધતું વિધેય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જ્યાં $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ છે.
$AA^{T}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\operatorname{trace}(AA^{T})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{trace}(AA^{T}) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{trace}(AA^{T}) = 3$,તેથી $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 3$.
કારણ કે $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,$a_{ij}^{2}$ માત્ર $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે.
નવ ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો $3$ થવા માટે,બરાબર ત્રણ ઘટકો $a_{ij}$ એ $\pm 1$ હોવા જોઈએ અને બાકીના છ ઘટકો $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $9$ માંથી $3$ સ્થાન પસંદ કરીએ છીએ જે $\binom{9}{3}$ રીતે કરી શકાય.
ત્યારબાદ,આ $3$ પસંદ કરેલા સ્થાન માટે,દરેક ઘટક $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે છે,જે $2^{3}$ શક્યતાઓ આપે છે.
તેથી,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $\binom{9}{3} \times 2^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} \times 8 = 84 \times 8 = 672$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(\alpha, \beta)$ છે. બિંદુ $P$ વક્ર પર હોવાથી,$\beta^{2}-3\alpha^{2}+\beta+10=0 \dots(i)$.
વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2yy' - 6x + y' = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y'(2y+1) = 6x$,તેથી $y' = \frac{6x}{2y+1}$.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{6\alpha}{2\beta+1} \dots(ii)$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{m} = -\frac{2\beta+1}{6\alpha}$ છે.
અભિલંબ $(0, \frac{3}{2})$ અને $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $\frac{\beta - 3/2}{\alpha - 0} = \frac{2\beta-3}{2\alpha}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2\beta-3}{2\alpha} = -\frac{2\beta+1}{6\alpha}$.
જો $\alpha \neq 0$ હોય,તો $3(2\beta-3) = -(2\beta+1) \Rightarrow 6\beta - 9 = -2\beta - 1 \Rightarrow 8\beta = 8 \Rightarrow \beta = 1$.
$\beta = 1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $1^{2} - 3\alpha^{2} + 1 + 10 = 0 \Rightarrow 3\alpha^{2} = 12 \Rightarrow \alpha^{2} = 4$.
$(ii)$ પરથી,$|m| = |\frac{6\alpha}{2(1)+1}| = |\frac{6\alpha}{3}| = |2\alpha|$.
$\alpha^{2} = 4$ હોવાથી,$|\alpha| = 2$,તેથી $|m| = 2 \times 2 = 4$.

(B) આપેલ છે કે $A = \lim_{x \to 0} x[\frac{4}{x}]$.
ગુણધર્મ $[y] = y - \{y\}$ નો ઉપયોગ કરતા,$A = \lim_{x \to 0} x(\frac{4}{x} - \{\frac{4}{x}\}) = \lim_{x \to 0} (4 - x\{\frac{4}{x}\})$.
$0 \leq \{\frac{4}{x}\} < 1$ હોવાથી,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \to 0} x\{\frac{4}{x}\} = 0$.
તેથી,$A = 4$.
વિધેય $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ ત્યાં અસતત છે જ્યાં $[x^2]$ અસતત હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $x^2$ પૂર્ણાંક હોય,સિવાય કે જ્યાં $\sin(\pi x) = 0$ હોય.
$x^2 = k$ $(k \in \mathbb{Z})$ માટે,$f(x)$ અસતત છે સિવાય કે $\sin(\pi \sqrt{k}) = 0$.
$A=4$ માટે વિકલ્પો તપાસતા: $\sqrt{A+1} = \sqrt{5}$. $x^2 = 5$ એ પૂર્ણાંક છે અને $\sin(\pi \sqrt{5}) \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $x = \sqrt{5}$ આગળ અસતત છે.