ધારો કે f:(0,2) rightarrow R એ f(x) = log_{2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ લક્ષ $E = 2 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right)$ છે.આ એક રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન $E =

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ લક્ષ $E = 2 \lim_{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}ight)$ છે.આ એક રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન $E = 2 \int_{0}^{1} f(x) dx$ તરીકે લખી શકાય.$f(x) = \log_{2}\left(1+	an\left(\frac{\pi x}{4}ight)ight) = \frac{\ln(1+	an(\pi x/4))}{\ln 2}$ મૂકતા,આપણને મળે:$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+	an\frac{\pi x}{4}ight) dx \quad \dots(i)$ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,$x$ ને $1-x$ વડે બદલતા:$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+	an\left(\frac{\pi}{4}(1-x)ight)ight) dx$$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+\frac{1-	an(\pi x/4)}{1+	an(\pi x/4)}ight) dx$$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(\frac{2}{1+	an(\pi x/4)}ight) dx$$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} (\ln 2 - \ln(1+	an(\pi x/4))) dx \quad \dots(ii)$$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln 2 dx = \frac{2}{\ln 2} \cdot \ln 2 = 2$તેથી,$E = 1$.

Similar Questions

જો $f(\alpha) = \int_{1}^{\alpha} \frac{\log_{10} t}{1+t} dt, \alpha > 0$ હોય,તો $f(e^{3}) + f(e^{-3})$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sin^{103} x \cdot \cos^{101} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $g(x) = \int_0^x \cos^4 t \,dt$ હોય, તો $g(x+\pi)$ ની કિંમત શું થાય?

$\int_{-2}^{2} (px^2 + qx + s) \, dx$ નું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધવા માટે કયા અચળાંકોના મૂલ્યો જાણવા જરૂરી છે?

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module