JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $36 x^{2}+36 y^{2}-108 x+120 y+C=0$ છે.
$36$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36}=0$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{5}{3})$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{h^{2}+k^{2}-\frac{C}{36}} = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}}$ છે.
વર્તુળ યામ અક્ષોને છેદતું કે સ્પર્શતું ન હોવાથી,કેન્દ્રથી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
$|h| > r$ $\Rightarrow \frac{3}{2} > r$ $\Rightarrow \frac{9}{4} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{25}{9}$ $\Rightarrow C > 100$.
$|k| > r$ $\Rightarrow \frac{5}{3} > r$ $\Rightarrow \frac{25}{9} > \frac{9}{4}+\frac{25}{9}-\frac{C}{36}$ $\Rightarrow \frac{C}{36} > \frac{9}{4}$ $\Rightarrow C > 81$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $C > 100$ મળે છે.
હવે,$x-2 y=4$ અને $2 x-y=5$ નું છેદબિંદુ $(2, -1)$ છે.
બિંદુ $(2, -1)$ વર્તુળ $S$ ની અંદર આવેલું હોવાથી,$S(2, -1) < 0$.
$x^{2}+y^{2}-3 x+\frac{10}{3} y+\frac{C}{36} < 0 \Rightarrow 4+1-3(2)+\frac{10}{3}(-1)+\frac{C}{36} < 0$.
$5-6-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} < 0$ $\Rightarrow -1-\frac{10}{3}+\frac{C}{36} < 0$ $\Rightarrow \frac{C}{36} < \frac{13}{3}$ $\Rightarrow C < 156$.
આમ,$100 < C < 156$.

(A) આપેલ છે $\sin^{7} x + \cos^{7} x = 1$,જ્યાં $x \in [0, 4\pi]$.
$\sin^{2} x \leq 1$ અને $\cos^{2} x \leq 1$ હોવાથી,$\sin^{7} x \leq \sin^{2} x$ અને $\cos^{7} x \leq \cos^{2} x$ થાય.
તેથી,$\sin^{7} x + \cos^{7} x \leq \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$.
સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin^{7} x = \sin^{2} x$ અને $\cos^{7} x = \cos^{2} x$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $(\sin x = 0 \text{ અથવા } \sin x = 1)$ અને $(\cos x = 0 \text{ અથવા } \cos x = 1)$.
કિસ્સો $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$. $\cos^{7} x = 1$ ચકાસતા,$x = 0, 2\pi, 4\pi$ મળે.
કિસ્સો $2$: $\cos x = 0 \implies x = \pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2, 7\pi/2$. $\sin^{7} x = 1$ ચકાસતા,$x = \pi/2, 5\pi/2$ મળે.
આમ,કુલ ઉકેલો $x \in \{0, \pi/2, 2\pi, 5\pi/2, 4\pi\}$ છે.
તેથી,કુલ $5$ ઉકેલો મળે.

(C) ઉપવલય $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.
ઉપવલય $E_{2}$ માટે,નાભિઓ $(0, b)$ અને $(0, -b)$ છે,તેથી તે શિરોલંબ ઉપવલય છે જ્યાં $c = b$. શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ પર છે,તેથી અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $A = a$ છે. $E_{2}$ નું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{B^{2}} + \frac{y^{2}}{A^{2}} = 1$ છે,જ્યાં $A = a$. $c^{2} = A^{2} - B^{2}$ હોવાથી,$b^{2} = a^{2} - B^{2}$,એટલે કે $B^{2} = a^{2} - b^{2}$.
$E_{2}$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e^{2} = 1 - \frac{B^{2}}{A^{2}} = 1 - \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ છે.
બંને ઉપવલયોની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન હોવાથી,$e^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી,$e^{2} = 1 - e^{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે $2e^{2} = 1$,એટલે કે $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
પરંતુ શરત મુજબ,$E_{2}$ ની નાભિઓ $(0, b)$ અને $(0, -b)$ છે,તેથી $c_{2} = b$. $E_{2}$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0)$ છે,તેથી અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $a$ છે. મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $A_{2} = c_{2}/e = b/e$. સંબંધ $c_{2}^{2} = A_{2}^{2} - B_{2}^{2}$ પરથી $b^{2} = (b/e)^{2} - a^{2}$ મળે છે.
આમ $a^{2} = \frac{b^{2}}{e^{2}} - b^{2} = b^{2}(\frac{1-e^{2}}{e^{2}})$.
$1-e^{2} = b^{2}/a^{2}$ હોવાથી,$a^{2} = b^{2}(\frac{b^{2}/a^{2}}{e^{2}}) = \frac{b^{4}}{a^{2}e^{2}}$,તેથી $a^{4}e^{2} = b^{4}$,જેનો અર્થ છે $a^{2}e = b^{2}$.
$b^{2} = a^{2}e$ ને $e^{2} = 1 - b^{2}/a^{2}$ માં મૂકતા,આપણને $e^{2} = 1 - e$,અથવા $e^{2} + e - 1 = 0$ મળે છે.
$e > 0$ માટે ઉકેલતા,$e = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ અસમતા: $11^{n} > 10^{n} + 9^{n}$
$10^{n}$ વડે ભાગતા: $(1.1)^{n} > 1 + (0.9)^{n}$
$n=1$ માટે: $1.1 > 1 + 0.9 = 1.9$ (ખોટું)
$n=2$ માટે: $1.21 > 1 + 0.81 = 1.81$ (ખોટું)
$n=3$ માટે: $1.331 > 1 + 0.729 = 1.729$ (ખોટું)
$n=4$ માટે: $1.4641 > 1 + 0.6561 = 1.6561$ (ખોટું)
$n=5$ માટે: $1.61051 > 1 + 0.59049 = 1.59049$ (સાચું)
$n \ge 5$ માટે,વિધેય $f(n) = (1.1)^{n} - (0.9)^{n}$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$f(5) > 1$ હોવાથી,અસમતા તમામ $n \in \{5, 6, 7, \ldots, 100\}$ માટે સાચી છે.
આવા ઘટકોની સંખ્યા $100 - 5 + 1 = 96$ છે.

(D) $\left(2x^{r} + x^{-2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{10}C_{k} (2x^{r})^{10-k} (x^{-2})^{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $r(10-k) - 2k = 0$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{2k}{10-k}$.
અચળ પદ ${}^{10}C_{k} \cdot 2^{10-k} = 180$ છે.
$k$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો તપાસતા જ્યાં $0 \le k \le 10$:
જો $k = 8$ હોય,તો ${}^{10}C_{8} \cdot 2^{10-8} = {}^{10}C_{2} \cdot 2^{2} = 45 \cdot 4 = 180$.
$r$ ના સમીકરણમાં $k = 8$ મૂકતા:
$r = \frac{2(8)}{10-8} = \frac{16}{2} = 8$.

(A) કુલ આવૃત્તિ $N = a + b + 12 + 9 + 5 = a + b + 26$ છે.
મધ્યક $\frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{a(3) + b(9) + 12(15) + 9(21) + 5(27)}{a + b + 26} = \frac{3a + 9b + 504}{a + b + 26} = \frac{309}{22}$ છે.
ગુણાકાર કરતા: $22(3a + 9b + 504) = 309(a + b + 26)$.
$66a + 198b + 11088 = 309a + 309b + 8034$.
$243a + 111b = 3054$. $3$ વડે ભાગતા: $81a + 37b = 1018$ (સમીકરણ $1$).
મધ્યસ્થ $14$ હોવાથી,મધ્યસ્થ વર્ગ $12-18$ છે. અહીં $l = 12, f = 12, cf = a + b, h = 6$.
$\text{મધ્યસ્થ} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h = 12 + \left( \frac{\frac{a+b+26}{2} - (a+b)}{12} \right) \times 6 = 14$.
$12 + \frac{26 - a - b}{4} = 14 \Rightarrow \frac{26 - a - b}{4} = 2$.
$26 - a - b = 8 \Rightarrow a + b = 18$ (સમીકરણ $2$).
$b = 18 - a$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $81a + 37(18 - a) = 1018$.
$81a + 666 - 37a = 1018 \Rightarrow 44a = 352 \Rightarrow a = 8$.
તેથી $b = 18 - 8 = 10$.
આમ,$(a - b)^{2} = (8 - 10)^{2} = (-2)^{2} = 4$.

(D) આપણે અંકો $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર $10,000$ થી મોટી સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. આપણી પાસે $5$ અલગ-અલગ અંકો હોવાથી,$10,000$ થી મોટી કોઈપણ સંખ્યા $5$ અંકની સંખ્યા હોવી જોઈએ.
$5$ અંકની સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક (દસ હજારનું સ્થાન) $0$ હોઈ શકે નહીં. આમ,પ્રથમ અંક $\{2, 4, 6, 8\}$ માંથી પસંદ કરી શકાય છે,જે $4$ વિકલ્પો આપે છે.
બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $P(4, 4) = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,આવી કુલ સંખ્યાઓ $4 \times 24 = 96$ છે.

(A) $2040$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2040 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 17$ છે.
$n$ અને $2040$ નો $H.C.F. 1$ થાય તે માટે,$n$ એ $2, 3, 5,$ અથવા $17$ નો ગુણક હોવો જોઈએ નહીં.
ગણતરી કરતા,$1$ થી $100$ સુધીની સંખ્યાઓ જે $2040$ સાથે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેમનો સરવાળો $1251$ મળે છે.

(D) આપણને પદાવલિ $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow \sim p)$ આપેલ છે.
તાર્કિક સમતુલ્યતા $(A \Rightarrow B) \equiv (\sim A \vee B)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને ફરીથી લખીએ:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee \sim p)$
ક્રમનો નિયમ વાપરતા,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવીએ:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
વિભાજનનો નિયમ વાપરતા,આપણે $(\sim p \vee)$ ને સામાન્ય કાઢીએ:
$\sim p \vee (q \wedge \sim q)$
કારણ કે $(q \wedge \sim q)$ એ વિરોધાભાસ (હંમેશા અસત્ય) છે,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\sim p \vee F \equiv \sim p$
તેથી,આ પદાવલિ $\sim p$ ને સમતુલ્ય છે.

(B) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ આ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $S_{3n} = 3S_{2n}$.
સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = 3 \times \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]$
બંને બાજુ $\frac{3n}{2}$ વડે ભાગતા:
$2a + (3n-1)d = 2[2a + (2n-1)d]$
$2a + 3nd - d = 4a + 4nd - 2d$
$2a + nd - d = 0$
$2a + (n-1)d = 0$
હવે,આપણે $\frac{S_{4n}}{S_{2n}}$ શોધવાનું છે:
$\frac{S_{4n}}{S_{2n}} = \frac{\frac{4n}{2}[2a + (4n-1)d]}{\frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]} = 2 \times \frac{2a + (n-1)d + 3nd}{2a + (n-1)d + nd}$
કારણ કે $2a + (n-1)d = 0$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{S_{4n}}{S_{2n}} = 2 \times \frac{0 + 3nd}{0 + nd} = 2 \times 3 = 6$.

(B) ધારો કે $O$ એ ગોળાનું કેન્દ્ર છે અને $A$ એ નિરીક્ષકની આંખ છે. ત્રિજ્યા $r = 16 \ m$ છે. $A$ થી ગોળા પરના સ્પર્શકો $P$ અને $Q$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. ખૂણો $\angle PAQ = 60^{\circ}$ છે,તેથી $\angle OAP = 30^{\circ}$.
$\triangle OAP$ માં,$\sin(30^{\circ}) = \frac{OP}{OA} \implies \frac{1}{2} = \frac{16}{OA} \implies OA = 32 \ m$.
$A$ થી કેન્દ્ર $O$ નો ઉત્સેધકોણ $75^{\circ}$ છે. ધારો કે $H$ એ નિરીક્ષકની આંખના સમતલથી કેન્દ્ર $O$ ની ઊંચાઈ છે. તેથી $H = OA \sin(75^{\circ}) = 32 \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = 32 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \right) = 32 \left( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \right) = 8\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \ m$.
નિરીક્ષકની આંખના સ્તરથી સૌથી ઉપરના બિંદુ $T$ ની ઊંચાઈ $H + r = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + 16 = 8(\sqrt{6}+\sqrt{2}+2) \ m$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{a-rb} = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 - \frac{rb}{a})^{-1}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 + \frac{rb}{a} + \frac{r^2b^2}{a^2} + \dots)$.
$\frac{b}{a}$ ની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણતા:
$S = \frac{1}{a} [n + \frac{b}{a} \sum r + \frac{b^2}{a^2} \sum r^2]$.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{n}{a} + \frac{b}{2a^2} n^2 + \frac{b^2}{3a^3} n^3$.
$\alpha n + \beta n^2 + \gamma n^3$ સાથે સરખાવતા,$\gamma = \frac{b^2}{3a^3}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(\sin x + \sin 4x) + (\sin 2x + \sin 3x) = 0$
સરવાળાને ગુણાકારમાં ફેરવવાના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} + 2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$
$2 \sin \frac{5x}{2} (\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}) = 0$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{5x}{2} (2 \cos x \cos \frac{x}{2}) = 0$
$4 \sin \frac{5x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2} = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin \frac{5x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5x}{2} = n\pi \Rightarrow x = \frac{2n\pi}{5}$. $x \in [0, 2\pi]$ માટે,$x \in \{0, \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}, \frac{6\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}, 2\pi\}$.
કિસ્સો $2$: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
કિસ્સો $3$: $\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \pi$.
તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો $= (0 + \frac{2\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} + \frac{6\pi}{5} + \frac{8\pi}{5} + 2\pi) + (\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}) + \pi = 6\pi + 2\pi + \pi = 9\pi$.

(D) ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{3}{2a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{2}{3}$ અથવા $a^{2} = \frac{3}{2}b^{2}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $a^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{3}{2(\frac{3}{2}b^{2})} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow b^{2} = 2$.
તેથી $a^{2} = \frac{3}{2}(2) = 3$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ છે.
નાભિ $F(\alpha, 0)$ માટે $\alpha = ae = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$. તેથી $F = (1, 0)$.
કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^{2} + y^{2} = \frac{4}{3}$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણ પરથી,$y^{2} = 2(1 - \frac{x^{2}}{3})$.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2}$ ની કિંમત મૂકતા: $(x-1)^{2} + 2 - \frac{2x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow x^{2} - 6x + 5 = 0$.
ઉકેલતા $x=1$ મળે છે. $x=1$ માટે $y^{2} = \frac{4}{3}$,તેથી $y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$.
બિંદુઓ $P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ અને $Q(1, -\frac{2}{\sqrt{3}})$ છે.
$PQ^{2} = (\frac{4}{\sqrt{3}})^{2} = \frac{16}{3}$.

(B) આપેલ અતિવલય $16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=144$ છે.
જે $\frac{(x+1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અતિવલયનું કેન્દ્ર $(-1, 2)$ છે.
અહીં $a^{2}=9$ અને $b^{2}=16$,તેથી $e=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3}$.
નાભિઓ $(h \pm ae, k) = (-1 \pm 3 \times \frac{5}{3}, 2) = (-1 \pm 5, 2)$ એટલે કે $(4, 2)$ અને $(-6, 2)$ છે.
ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ અતિવલય પરનું બિંદુ છે.
ધારો કે $G(x, y)$ એ $P(\alpha, \beta)$,$(4, 2)$,અને $(-6, 2)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
તેથી $x=\frac{\alpha+4-6}{3} = \frac{\alpha-2}{3} \Rightarrow \alpha=3x+2$.
અને $y=\frac{\beta+2+2}{3} = \frac{\beta+4}{3} \Rightarrow \beta=3y-4$.
$P(\alpha, \beta)$ અતિવલય પર હોવાથી,$\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમત મૂકતા:
$16(3x+2+1)^{2}-9(3y-4-2)^{2}=144$
$16(3x+3)^{2}-9(3y-6)^{2}=144$
$144(x+1)^{2}-81(y-2)^{2}=144$
$9$ વડે ભાગતા:
$16(x+1)^{2}-9(y-2)^{2}=16$
$16x^{2}+32x+16-9y^{2}+36y-36=16$
$16x^{2}-9y^{2}+32x+36y-36=0$.

(C) પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(2,0)$ અને નાભિ $F(4,0)$ છે.
તેથી,અંતર $VF = a = 4 - 2 = 2$.
પરવલયનું સમીકરણ $(y - 0)^2 = 4a(x - 2)$ છે,જે $y^2 = 8(x - 2)$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પરવલય પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. તે $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી $c = 0$,તેથી $y = mx$.
$y = mx$ ને $y^2 = 8x - 16$ માં મૂકતા,આપણને $(mx)^2 = 8x - 16$,અથવા $m^2x^2 - 8x + 16 = 0$ મળે છે.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = (-8)^2 - 4(m^2)(16) = 0$.
$64 - 64m^2 = 0$ $\Rightarrow m^2 = 1$ $\Rightarrow m = \pm 1$.
સ્પર્શબિંદુઓ $S$ અને $R$ એ $x^2 - 8x + 16 = 0$ ($m=1$ માટે) અને $(-x)^2 - 8x + 16 = 0$ ($m=-1$ માટે) ઉકેલીને મળે છે.
બંને કિસ્સામાં $(x-4)^2 = 0$ મળે છે,તેથી $x = 4$.
$x = 4$ માટે,$y = \pm 4$. આમ,બિંદુઓ $R(4, 4)$ અને $S(4, -4)$ છે.
$\triangle SOR$ નો પાયો $RS$ છે,જેની લંબાઈ $4 - (-4) = 8$ છે.
$\triangle SOR$ ની પાયા $RS$ ને અનુરૂપ ઊંચાઈ એ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી રેખા $x = 4$ નું અંતર છે,જે $4$ છે.
$\triangle SOR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \text{ sq. units}$.

(B) કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$
તેથી,પદાવલિ $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ બને છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
'$x$' થી સ્વતંત્ર પદ માટે ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 4$
તેથી,સ્વતંત્ર પદ $T_5 = {}^{10}C_4 = 210$ થાય.

(C) $(1+x)^{20}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $\left(\frac{20}{2} + 1\right) = 11$ મું પદ છે.
તેનો સહગુણક $^{20}C_{10}$ છે.
$(1+x)^{19}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદો $\left(\frac{19+1}{2}\right) = 10$ મું અને $\left(\frac{19+1}{2} + 1\right) = 11$ મું પદ છે.
તેમના સહગુણકો $^{19}C_{9}$ અને $^{19}C_{10}$ છે.
આ સહગુણકોનો સરવાળો $^{19}C_{9} + ^{19}C_{10}$ છે.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{19}C_{9} + ^{19}C_{10} = ^{20}C_{10}$ મળે.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{^{20}C_{10}}{^{19}C_{9} + ^{19}C_{10}} = \frac{^{20}C_{10}}{^{20}C_{10}} = 1$ છે.

(D) ધારો કે $n_{10}, n_{11}, n_{12}$ એ અનુક્રમે ધોરણ $10, 11, 12$ માંથી પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. આપણી પાસે $n_{10} + n_{11} + n_{12} = 10$ છે,જ્યાં $n_{10} \ge 2, n_{11} \ge 2, n_{12} \ge 2$ અને $n_{10} + n_{11} \le 5$.
શક્ય કિસ્સાઓ $(n_{10}, n_{11}, n_{12})$:
$1$. $(2, 2, 6): \binom{5}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{8}{6} = 10 \times 15 \times 28 = 4200$
$2$. $(2, 3, 5): \binom{5}{2} \times \binom{6}{3} \times \binom{8}{5} = 10 \times 20 \times 56 = 11200$
$3$. $(3, 2, 5): \binom{5}{3} \times \binom{6}{2} \times \binom{8}{5} = 10 \times 15 \times 56 = 8400$
કુલ રીતો $= 4200 + 11200 + 8400 = 23800$.
આપેલ છે કે $100k = 23800$,તેથી $k = 238$.

(B) કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f = 584$ આપેલ છે,તેથી $\alpha + 110 + 54 + 30 + \beta = 584$,જેનું સાદું રૂપ $\alpha + \beta + 194 = 584$ એટલે કે $\alpha + \beta = 390$ થાય છે.
મધ્યસ્થ $45$ છે,જે વર્ગ અંતરાલ $40-50$ માં આવે છે. તેથી,અધઃસીમા $\ell = 40$,વર્ગ લંબાઈ $h = 10$,મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ $f = 30$,અને મધ્યસ્થ વર્ગના આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ $c = \alpha + 164$ છે.
મધ્યસ્થનું સૂત્ર $Median = \ell + \left[\frac{\frac{N}{2} - c}{f}\right] \times h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $45 = 40 + \left[\frac{292 - (\alpha + 164)}{30}\right] \times 10$.
$5 = \frac{128 - \alpha}{3}$.
$15 = 128 - \alpha$,જે પરથી $\alpha = 113$ મળે છે.
$\alpha + \beta = 390$ હોવાથી,$\beta = 390 - 113 = 277$ મળે છે.
તેથી,$|\alpha - \beta| = |113 - 277| = |-164| = 164$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+5 \sqrt{2} x+10=0$ છે. $\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $\alpha^{2} + 5 \sqrt{2} \alpha + 10 = 0 \implies \alpha^{2} = -5 \sqrt{2} \alpha - 10$ અને $\beta^{2} = -5 \sqrt{2} \beta - 10$.
વળી,$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$.
પદાવલિ $E = \frac{P_{17} P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{17} P_{19}}{P_{18} P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18}^{2}}$ ધ્યાનમાં લો.
અંશમાં $P_{17}$ અને છેદમાં $P_{18}$ સામાન્ય લેતા:
$E = \frac{P_{17}(P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19})}{P_{18}(P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18})}$.
$P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ મૂકતા:
$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = (\alpha^{20} - \beta^{20}) + 5 \sqrt{2} (\alpha^{19} - \beta^{19}) = \alpha^{19}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{19}(\beta + 5 \sqrt{2})$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$\alpha + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\alpha}$ અને $\beta + 5 \sqrt{2} = -\frac{10}{\beta}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P_{20} + 5 \sqrt{2} P_{19} = \alpha^{19}(-\frac{10}{\alpha}) - \beta^{19}(-\frac{10}{\beta}) = -10 \alpha^{18} + 10 \beta^{18} = -10 P_{18}$.
તે જ રીતે,$P_{19} + 5 \sqrt{2} P_{18} = \alpha^{18}(\alpha + 5 \sqrt{2}) - \beta^{18}(\beta + 5 \sqrt{2}) = -10 \alpha^{17} + 10 \beta^{17} = -10 P_{17}$.
આમ,$E = \frac{P_{17}(-10 P_{18})}{P_{18}(-10 P_{17})} = 1$.

(B) ધારો કે $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^{2}} + \frac{10}{3^{3}} + \ldots \infty$.
$3$ વડે ભાગતા,$\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{6}{3^{3}} + \ldots \infty$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}} + \frac{4}{3^{3}} + \ldots \infty$.
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^{2}}(1 + \frac{1}{3} + \ldots \infty) = \frac{4}{3} + \frac{4}{9} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 2$.
આમ,$S = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.
હવે,ઘાતાંક $\log_{0.25} \left( \frac{1/3}{1 - 1/3} \right) = \log_{1/4} \left( \frac{1/3}{2/3} \right) = \log_{1/4} \left( \frac{1}{2} \right) = \log_{(1/2)^{2}} (1/2) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$l = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
આથી,$l^{2} = 3$.

(C) આપેલ છે $n_{1} = 100$,$\bar{x}_{1} = 15$,$\sigma_{1} = 3$.
કુલ વસ્તુઓ $n = 250$,સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = 15.6$,સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^{2} = 13.44$.
$n = n_{1} + n_{2}$ હોવાથી,$n_{2} = 250 - 100 = 150$.
સંયુક્ત મધ્યકના સૂત્ર $\bar{x} = \frac{n_{1}\bar{x}_{1} + n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$15.6 = \frac{100(15) + 150(\bar{x}_{2})}{250}$ $\Rightarrow 3900 = 1500 + 150\bar{x}_{2}$ $\Rightarrow 150\bar{x}_{2} = 2400$ $\Rightarrow \bar{x}_{2} = 16$.
સંયુક્ત વિચરણના સૂત્ર $\sigma^{2} = \frac{n_{1}(\sigma_{1}^{2} + d_{1}^{2}) + n_{2}(\sigma_{2}^{2} + d_{2}^{2})}{n_{1} + n_{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $d_{1} = \bar{x}_{1} - \bar{x} = 15 - 15.6 = -0.6$ અને $d_{2} = \bar{x}_{2} - \bar{x} = 16 - 15.6 = 0.4$:
$13.44 = \frac{100(3^{2} + (-0.6)^{2}) + 150(\sigma_{2}^{2} + (0.4)^{2})}{250}$.
$13.44 \times 250 = 100(9 + 0.36) + 150(\sigma_{2}^{2} + 0.16)$.
$3360 = 936 + 150\sigma_{2}^{2} + 24$.
$3360 = 960 + 150\sigma_{2}^{2}$ $\Rightarrow 2400 = 150\sigma_{2}^{2}$ $\Rightarrow \sigma_{2}^{2} = 16$.
આમ,$\sigma_{2} = 4$.

(D) ધારો કે $p$ એ વિધાન "હવામાન સારું છે" છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન "મેદાન ભીનું નથી" છે.
ધારો કે $r$ એ વિધાન "મેચ રમાશે" છે.
આપેલ વિધાન $r \implies (p \wedge q)$ છે.
$r \implies (p \wedge q)$ નું નકાર $\sim(r \implies (p \wedge q)) \equiv r \wedge \sim(p \wedge q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.
આમ,નકાર "મેચ રમાશે અને (હવામાન સારું નથી અથવા મેદાન ભીનું છે)" છે.

(D) આપેલ છે ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$,તેથી:
$\frac{n!}{(n-r)!} = \frac{n!}{(n-r-1)!}$
$n! \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{(n-r)(n-r-1)!} = \frac{1}{(n-r-1)!}$
$n-r = 1 \Rightarrow n = r+1$ $(1)$
આપેલ છે ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$,તેથી:
$\frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}$
$\frac{1}{r(r-1)!(n-r)!} = \frac{1}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{n-r+1}$
$n-r+1 = r \Rightarrow n+1 = 2r$ $(2)$
$(1)$ માંથી $n = r+1$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$(r+1)+1 = 2r$
$r+2 = 2r$
$r = 2$

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ છે,જ્યાં $a=2$ અને $b=1$ છે.
ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $P(2 \cos \theta, \sin \theta)$ છે.
$P$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{2} + y \sin \theta = 1$ છે,અથવા $x \cos \theta + 2y \sin \theta = 2$.
મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ પરના સ્પર્શકો $x = -2$ અને $x = 2$ છે.
$B$ માટે,$x = -2$ મૂકતા: $-2 \cos \theta + 2y \sin \theta = 2 \Rightarrow y = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \cot \frac{\theta}{2}$. તેથી,$B = (-2, \cot \frac{\theta}{2})$.
$C$ માટે,$x = 2$ મૂકતા: $2 \cos \theta + 2y \sin \theta = 2 \Rightarrow y = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \tan \frac{\theta}{2}$. તેથી,$C = (2, \tan \frac{\theta}{2})$.
$BC$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_B)(x - x_C) + (y - y_B)(y - y_C) = 0$ છે.
$(x + 2)(x - 2) + (y - \cot \frac{\theta}{2})(y - \tan \frac{\theta}{2}) = 0$
$x^{2} - 4 + y^{2} - y(\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2}) + \tan \frac{\theta}{2} \cot \frac{\theta}{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} - y(\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2}) - 3 = 0$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ ચકાસતા: $(\sqrt{3})^{2} + 0^{2} - 0 - 3 = 3 - 3 = 0$. આમ,વર્તુળ $(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-|x|-12=0$ છે.
$x^{2} = |x|^{2}$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $|x|^{2}-|x|-12=0$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. સમીકરણ $t^{2}-t-12=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $(t-4)(t+3)=0$.
આથી $t=4$ અથવા $t=-3$ મળે છે.
$t = |x| \geq 0$ હોવાથી,આપણે $t=-3$ ને સ્વીકારી શકતા નથી.
તેથી,$|x|=4$,જેનો અર્થ છે કે $x=4$ અથવા $x=-4$.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(D) $(2^{1/3} + 3^{1/4})^{12}$ ના વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ $T_{r+1} = ^{12}C_{r} (2^{1/3})^{12-r} (3^{1/4})^{r}$ છે,જ્યાં $0 \le r \le 12$.
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $3$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{12-r}{3}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $r$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ $(r \in \{0, 3, 6, 9, 12\})$.
વળી,$\frac{r}{4}$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ $(r \in \{0, 4, 8, 12\})$.
$r$ માટે સામાન્ય કિંમતો $r = 0$ અને $r = 12$ છે.
$r = 0$ માટે: $T_{1} = ^{12}C_{0} (2^{1/3})^{12} (3^{1/4})^{0} = 1 \times 2^{4} \times 1 = 16$.
$r = 12$ માટે: $T_{13} = ^{12}C_{12} (2^{1/3})^{0} (3^{1/4})^{12} = 1 \times 1 \times 3^{3} = 27$.
આ સંમેય પદોનો સરવાળો $16 + 27 = 43$ થાય છે.

(A) $(x \sin \alpha + a \frac{\cos \alpha}{x})^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x \sin \alpha)^{10-r} (a \frac{\cos \alpha}{x})^r$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $10-r-r = 0$,જેનો અર્થ છે $r = 5$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ $T_6 = {}^{10}C_5 (\sin \alpha)^5 (a \cos \alpha)^5 = {}^{10}C_5 a^5 (\sin \alpha \cos \alpha)^5$ છે.
નિત્યસમ $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_6 = {}^{10}C_5 \frac{a^5}{2^5} (\sin 2\alpha)^5$ મળે.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\sin 2\alpha = 1$ હોય,તેથી મહત્તમ મૂલ્ય ${}^{10}C_5 \frac{a^5}{32}$ છે.
આપેલ છે કે મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{10!}{(5!)^2} = {}^{10}C_5$ છે,તેથી ${}^{10}C_5 \frac{a^5}{32} = {}^{10}C_5$.
આમ,$\frac{a^5}{32} = 1$,જેનો અર્થ છે $a^5 = 32$,તેથી $a = 2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{12}$ લેતા,$\cot \frac{\pi}{24} = \csc \frac{\pi}{12} + \cot \frac{\pi}{12}$.
$\csc \frac{\pi}{12} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ અને $\cot \frac{\pi}{12} = 2+\sqrt{3}$.
તેથી,$\cot \frac{\pi}{24} = \sqrt{6}+\sqrt{2}+2+\sqrt{3}$.

(A) ધારો કે $P = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ જ્યાં $x = 10^{100}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$P = 1 + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{x(x-1)}{2!} \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!} \cdot \frac{1}{x^3} + \dots$
$P = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{x}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{x})(1 - \frac{2}{x}) + \dots$
અહીં $x = 10^{100}$ ખૂબ મોટી સંખ્યા હોવાથી,દરેક પદ $(1 - \frac{k}{x})$ એ $1$ કરતા થોડું નાનું છે.
તેથી,$P < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = e$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e \approx 2.718$.
વળી,$P > 1 + 1 = 2$.
તેથી,$2 < P < e < 3$.
આમ,$P$ કરતા મોટો સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $3$ છે.

(B) ધારો કે $S = \sum_{n=8}^{100} \left[ \frac{(-1)^{n} n}{2} \right]$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = \left[ \frac{8}{2} \right] + \left[ \frac{-9}{2} \right] + \left[ \frac{10}{2} \right] + \left[ \frac{-11}{2} \right] + \dots + \left[ \frac{-99}{2} \right] + \left[ \frac{100}{2} \right]$.
$[x]$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$S = 4 + [-4.5] + 5 + [-5.5] + 6 + [-6.5] + \dots + [-49.5] + 50$.
$S = 4 + (-5) + 5 + (-6) + 6 + (-7) + \dots + (-50) + 50$.
અહીં પદો જોડીમાં ઉડી જાય છે: $(-5+5) + (-6+6) + \dots + (-50+50) = 0$.
તેથી,$S = 4 + 0 = 4$.

(B) સમઘાત સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}-4xy-5y^{2}=0$ માટે,$a=1$,$2h=-4$ (તેથી $h=-2$),અને $b=-5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-5)} = \frac{xy}{-2}$
$\frac{x^{2}-y^{2}}{6} = \frac{xy}{-2}$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$x^{2}-y^{2} = -3xy$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^{2}+3xy-y^{2}=0$.

(B) આપેલ છે કે $a+b+c=1$,$ab+bc+ca=2$,અને $abc=3$.
પ્રથમ,નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરીને $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ શોધો:
$1^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2} + 2(2)$
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 1 - 4 = -3$.
ત્યારબાદ,નિત્યસમ $(ab+bc+ca)^{2} = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 2abc(a+b+c)$ નો ઉપયોગ કરીને $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ શોધો:
$2^{2} = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 2(3)(1)$
$4 = a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} + 6$
$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2} = 4 - 6 = -2$.
અંતે,નિત્યસમ $a^{4}+b^{4}+c^{4} = (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2} - 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ નો ઉપયોગ કરો:
$a^{4}+b^{4}+c^{4} = (-3)^{2} - 2(-2)$
$a^{4}+b^{4}+c^{4} = 9 + 4 = 13$.

(B) $(2+\frac{x}{3})^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (2)^{n-r} (\frac{x}{3})^{r} = {}^{n}C_{r} (2)^{n-r} (\frac{1}{3})^{r} x^{r}$ છે.
$x^{7}$ નો સહગુણક ${}^{n}C_{7} (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^{7}$ છે.
$x^{8}$ નો સહગુણક ${}^{n}C_{8} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{8}$ છે.
આ સહગુણકો સમાન હોવાથી:
${}^{n}C_{7} (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^{7} = {}^{n}C_{8} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{8}$.
બંને બાજુ ${}^{n}C_{7} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{7}$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{{}^{n}C_{8}}{{}^{n}C_{7}} \cdot \frac{1}{3}$.
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{n}C_{8}}{{}^{n}C_{7}} = \frac{n-8+1}{8} = \frac{n-7}{8}$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = \frac{n-7}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n-7}{24}$.
$n-7 = 48 \Rightarrow n = 55$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $\operatorname{Re}(z^{2})+2(\operatorname{Im}(z))^{2}+2 \operatorname{Re}(z)=0$.
$z=x+iy$ હોવાથી,$z^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$ થાય,તેથી $\operatorname{Re}(z^{2})=x^{2}-y^{2}$ અને $\operatorname{Im}(z)=y$ મળે.
સમીકરણ $(x^{2}-y^{2})+2y^{2}+2x=0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2}+y^{2}+2x=0$ થાય છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-1, 0)$ છે.
આપેલ પરવલય: $x^{2}-6x-y+13=0$.
તેને $(x-3)^{2}-9-y+13=0$ તરીકે લખતા,આપણને $(x-3)^{2}=y-4$ મળે છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(3, 4)$ છે.
રેખા $(-1, 0)$ અને $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{4-0}{3-(-1)} = \frac{4}{4} = 1$.
રેખાનું સમીકરણ $y-0=1(x+1)$ છે,જે $y=x+1$ થાય છે.
$y$-અંતઃખંડ એ $x=0$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત છે,જે $1$ છે.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ છે,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \ldots, n$.
સરવાળો $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ દ્વારા મળે છે.
$S = 2 \sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} + \sum_{r=0}^{n} {}^{n}C_{r}$.
નિત્યસમ $\sum r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ અને $\sum {}^{n}C_{r} = 2^{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2(n \cdot 2^{n-1}) + 2^{n} = n \cdot 2^{n} + 2^{n} = 2^{n}(n+1)$.
આપેલ છે કે $S = 2^{100} \cdot 101$,તેથી $2^{n}(n+1) = 2^{100} \cdot 101$,જેનો અર્થ છે કે $n = 100$.
હવે,$2\left[\frac{n-1}{2}\right] = 2\left[\frac{100-1}{2}\right] = 2\left[\frac{99}{2}\right] = 2[49.5] = 2 \cdot 49 = 98$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+(20)^{\frac{1}{4}} x+(5)^{\frac{1}{2}}=0$ છે.
આપણે તેને $x^{2}+\sqrt{5} = -(20)^{\frac{1}{4}} x$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x^{2}+\sqrt{5})^{2} = ((20)^{\frac{1}{4}} x)^{2}$ મળે.
$x^{4} + 2\sqrt{5}x^{2} + 5 = \sqrt{20}x^{2}$.
કારણ કે $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$,સમીકરણ $x^{4} + 2\sqrt{5}x^{2} + 5 = 2\sqrt{5}x^{2}$ બને છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $x^{4} + 5 = 0$,અથવા $x^{4} = -5$ મળે છે.
ફરીથી વર્ગ કરતા,$x^{8} = (-5)^{2} = 25$.
$\alpha$ અને $\beta$ એ મૂળ સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેઓ $x^{4} = -5$ નું પાલન કરે છે,અને તેથી $\alpha^{8} = 25$ અને $\beta^{8} = 25$.
તેથી,$\alpha^{8} + \beta^{8} = 25 + 25 = 50$.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,3)$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. ત્રિજ્યા $r = OC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ છે.
$OC$ નો ઢાળ $m_{OC} = \frac{3}{2}$ છે.
$CP \perp OC$ અને $CQ \perp OC$ હોવાથી,રેખા $PQ$ એ $OC$ ને લંબ છે. રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m = -\frac{2}{3}$ છે.
$C(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાના પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$P$ અને $Q$ ના યામ $(2 \pm r \cos \theta, 3 \pm r \sin \theta)$ મળે.
$r = \sqrt{13}$,$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$,અને $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{13}}$ લેતા:
$x = 2 \pm 3 = 5$ અથવા $-1$.
$y = 3 \mp 2 = 1$ અથવા $5$.
આમ,બિંદુઓ $(5, 1)$ અને $(-1, 5)$ છે.

(B) સંયુક્ત વિધાન $(P \vee Q) \wedge (\sim P) \Rightarrow Q$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવતા:

$P$	$Q$	$P \vee Q$	$\sim P$	$(P \vee Q) \wedge (\sim P)$	$(P \vee Q) \wedge (\sim P) \Rightarrow Q$
$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$

અંતિમ સ્તંભ દર્શાવે છે કે આ વિધાન એક નિત્યસત્ય (tautology) છે.
વિકલ્પ $B$ એ $\sim(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \wedge \sim Q$ છે. કારણ કે $\sim(P \Rightarrow Q) \equiv P \wedge \sim Q$,તેથી $\sim(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \wedge \sim Q$ પણ નિત્યસત્ય છે.
આમ,આપેલ વિધાન વિકલ્પ $B$ ને સમકક્ષ છે.

(D) ગણ $A$ એ વર્તુળ $S_1: x^2 + y^2 - x - y - \frac{1}{2} = 0$ દર્શાવે છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}} = 1$ છે.
ગણ $B$ એ વર્તુળ $S_2: x^2 + y^2 - 4y + \frac{7}{4} = 0$ દર્શાવે છે. તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4 - \frac{7}{4}} = \frac{3}{2}$ છે.
ગણ $C$ એ ડિસ્ક $S_3: (x-2)^2 + (y-1)^2 \leq r^2$ દર્શાવે છે. તેનું કેન્દ્ર $C_3 = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = |r|$ છે.
$A \subseteq C$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_3 + r_1 \leq R$ હોવું જોઈએ.
$C_1 C_3 = \sqrt{(2 - \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
તેથી,$R \geq \frac{\sqrt{10}}{2} + 1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$.
$B \subseteq C$ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_2 C_3 + r_2 \leq R$ હોવું જોઈએ.
$C_2 C_3 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.
તેથી,$R \geq \sqrt{5} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$.
$A \cup B \subseteq C$ હોવાથી,$R$ એ બંને શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ. તેથી,$R \geq \max(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2})$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$ છે.

(A) $2$-અંકની કુલ સંખ્યાઓ $90$ છે ($10$ થી $99$ સુધી).
આપણે ચકાસવું છે કે ક્યારે $(2^{n}-2)$ એ $3$ નો ગુણક છે.
$3$ ના મોડ્યુલોમાં પદાવલિને ધ્યાનમાં લો:
$2 \equiv -1 \pmod{3}$
તેથી,$2^{n}-2 \equiv (-1)^{n}-2 \pmod{3}$.
જો $n$ બેકી હોય,તો $(-1)^{n}-2 = 1-2 = -1 \equiv 2 \pmod{3}$.
જો $n$ એકી હોય,તો $(-1)^{n}-2 = -1-2 = -3 \equiv 0 \pmod{3}$.
આમ,$(2^{n}-2)$ એ $3$ નો ગુણક ત્યારે જ હોય જો $n$ એકી સંખ્યા હોય.
$2$-અંકની સંખ્યાઓના ગણ ${10, 11, 12, \dots, 99}$ માં,એકી સંખ્યાઓ ${11, 13, 15, \dots, 99}$ છે.
આ શ્રેણીમાં એકી પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $\frac{99-11}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ ડેટા: $6, 10, 7, 13, a, 12, b, 12$. અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 8$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{6+10+7+13+a+12+b+12}{8} = 9$.
$60 + a + b = 72 \implies a + b = 12$ $(1)$.
વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = \frac{37}{4}$.
$\sum x_{i}^{2} = a^{2} + b^{2} + 642$.
$\frac{a^{2} + b^{2} + 642}{8} - 81 = \frac{37}{4}$.
$\frac{a^{2} + b^{2} + 642}{8} = \frac{361}{4}$.
$a^{2} + b^{2} + 642 = 722 \implies a^{2} + b^{2} = 80$ $(2)$.
$(a-b)^{2} = (a+b)^{2} - 4ab$.
$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \implies 144 = 80 + 2ab \implies 2ab = 64$.
તેથી,$(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab = 80 - 64 = 16$.

(C) $(2, 1)$ બિંદુનું $y$-અક્ષની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબ $(-2, 1)$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ $(-2, 1)$ અને $(5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
પરાવર્તિત કિરણનો ઢાળ $m = \frac{3 - 1}{5 - (-2)} = \frac{2}{7}$ છે.
પરાવર્તિત કિરણનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{2}{7}(x - 5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - 7y + 11 = 0$ થાય છે.
ધારો કે બીજી નિયામિકાનું સમીકરણ $2x - 7y + \lambda = 0$ છે.
ઉપવલયની બે નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ છે.
નિયામિકાથી નાભિનું અંતર $\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1 - e^2)}{e} = \frac{8}{\sqrt{53}}$ છે.
$e = \frac{1}{3}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{a(1 - 1/9)}{1/3} = \frac{8a}{3} = \frac{8}{\sqrt{53}}$,તેથી $a = \frac{3}{\sqrt{53}}$.
બે નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = 2 \times \frac{3}{\sqrt{53}} \times 3 = \frac{18}{\sqrt{53}}$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $2x - 7y + 11 = 0$ અને $2x - 7y + \lambda = 0$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|\lambda - 11|}{\sqrt{53}}$ છે.
અંતરને સરખાવતા: $\frac{|\lambda - 11|}{\sqrt{53}} = \frac{18}{\sqrt{53}}$,તેથી $|\lambda - 11| = 18$.
આથી $\lambda - 11 = 18$ અથવા $\lambda - 11 = -18$,એટલે કે $\lambda = 29$ અથવા $\lambda = -7$.
સમીકરણો $2x - 7y + 29 = 0$ અથવા $2x - 7y - 7 = 0$ છે.

(C) આપેલ છે $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$ $\Rightarrow 1 + \sin(2\theta) = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin(2\theta) = -\frac{3}{4}$.
તેથી $\cos^2(2\theta) = 1 - \sin^2(2\theta) = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
આપણે $16(\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin(2\theta) + \sin(6\theta) = 2\sin(4\theta)\cos(2\theta)$.
તેથી પદાવલિ $16(2\sin(4\theta)\cos(2\theta) + \cos(4\theta))$ થશે.
$\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta)$ અને $\cos(4\theta) = 2\cos^2(2\theta) - 1$ હોવાથી:
$16(4\sin(2\theta)\cos^2(2\theta) + 2\cos^2(2\theta) - 1)$.
કિંમતો મૂકતા: $16(4(-\frac{3}{4})(\frac{7}{16}) + 2(\frac{7}{16}) - 1) = 16(-\frac{21}{16} + \frac{14}{16} - 1) = 16(-\frac{7}{16} - 1) = -7 - 16 = -23$.

(A) આપેલ છે કે $S_{1} = \{z \in C : |z-(3+2i)|^{2}=8\}$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $|(x-3)+i(y-2)|^{2}=8$,જે સૂચવે છે કે $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=8$. આ $(3, 2)$ કેન્દ્ર અને $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$S_{2} = \{z \in C : x \geq 5\}$.
$S_{3} = \{z \in C : |z-\bar{z}| \geq 8\}$. કારણ કે $z-\bar{z} = 2iy$,તેથી $|2iy| = 2|y| \geq 8$,જે સૂચવે છે કે $|y| \geq 4$,એટલે કે $y \geq 4$ અથવા $y \leq -4$.
આપણે $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ નો છેદગણ શોધવાનો છે.
$S_{1} \cap S_{2}$ માટે,આપણે વર્તુળના સમીકરણમાં $x=5$ મૂકીએ: $(5-3)^{2} + (y-2)^{2} = 8$ $\Rightarrow 4 + (y-2)^{2} = 8$ $\Rightarrow (y-2)^{2} = 4$ $\Rightarrow y-2 = \pm 2$. આમ $y=4$ અથવા $y=0$.
$S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ માટે,આપણે $S_{3}$ ની શરત $y \geq 4$ અથવા $y \leq -4$ ચકાસીએ.
$x=5$ આગળ,વર્તુળ પરના બિંદુઓ $(5, 4)$ અને $(5, 0)$ છે.
માત્ર $(5, 4)$ બિંદુ જ $y \geq 4$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,છેદગણમાં માત્ર એક જ બિંદુ $z = 5+4i$ છે.
તેથી ઘટકોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2} f(2)-4 f(x)}{x-2}$.
$f(2)=4$ હોવાથી,પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{4x^{2}-4 f(x)}{x-2}$ બને છે,જે $x \rightarrow 2$ માટે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને એલ'હોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\frac{d}{dx}(x^{2} f(2)-4 f(x))}{\frac{d}{dx}(x-2)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2x f(2)-4 f^{\prime}(x)}{1}$
$f(2)=4$ અને $f^{\prime}(2)=1$ મૂકતા:
$L = 2(2)(4) - 4(1)$
$L = 16 - 4 = 12$.

(A) $(x^{2}+\frac{1}{bx})^{11}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(x^{2})^{11-r}(\frac{1}{bx})^{r} = {}^{11}C_{r} \cdot b^{-r} \cdot x^{22-3r}$ છે.
$22-3r = 7$ લેતા,$3r = 15$,તેથી $r = 5$ મળે.
$x^{7}$ નો સહગુણક ${}^{11}C_{5} \cdot b^{-5}$ છે.
$(x-\frac{1}{bx^{2}})^{11}$ ના વિસ્તરણ માટે,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(x)^{11-r}(-\frac{1}{bx^{2}})^{r} = {}^{11}C_{r} \cdot (-1)^{r} \cdot b^{-r} \cdot x^{11-3r}$ છે.
$11-3r = -7$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$ મળે.
$x^{-7}$ નો સહગુણક ${}^{11}C_{6} \cdot (-1)^{6} \cdot b^{-6} = {}^{11}C_{6} \cdot b^{-6}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા: ${}^{11}C_{5} \cdot b^{-5} = {}^{11}C_{6} \cdot b^{-6}$.
${}^{11}C_{5} = {}^{11}C_{6}$ હોવાથી,$\frac{1}{b^{5}} = \frac{1}{b^{6}}$ મળે.
આમ,$b = 1$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}$ છે. કેન્દ્ર $C(1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
બિંદુ $P(-1, 1)$ માંથી સ્પર્શકો $A(1, 1)$ અને $B(-1, 3)$ પર સ્પર્શે છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $\sqrt{(1 - (-1))^{2} + (1 - 3)^{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $AD = AB = 2\sqrt{2}$.
સમાન લંબાઈની જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે. $\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\log _{3} 2, \log _{3}(2^{x}-5), \log _{3}(2^{x}-\frac{7}{2})$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
ત્રણ પદો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $2b = a + c$ થાય.
તેથી,$2 \log _{3}(2^{x}-5) = \log _{3} 2 + \log _{3}(2^{x}-\frac{7}{2})$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log _{3}(2^{x}-5)^{2} = \log _{3}[2(2^{x}-\frac{7}{2})]$.
$(2^{x}-5)^{2} = 2(2^{x}-\frac{7}{2})$.
ધારો કે $2^{x} = t$. તો $(t-5)^{2} = 2t - 7$.
$t^{2} - 10t + 25 = 2t - 7$.
$t^{2} - 12t + 32 = 0$.
$(t-4)(t-8) = 0$.
તેથી,$t = 4$ અથવા $t = 8$.
જો $2^{x} = 4$,તો $x = 2$. પરંતુ $\log _{3}(2^{x}-5)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $2^{x}-5 > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $4-5 = -1$,જે શક્ય નથી.
જો $2^{x} = 8$,તો $x = 3$. અહીં $8-5 = 3 > 0$ અને $8-3.5 = 4.5 > 0$,જે માન્ય છે.
આમ,$x = 3$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$. વિધેય $f(x) = \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$I = 2 \int_{0}^{1} \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) dx$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$ અને $dv = dx$ લો.
તેથી $du = \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}} \cdot \left(\frac{-1}{2\sqrt{1-x}} + \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\right) dx = \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})} dx = \frac{(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x})^2}{2\sqrt{1-x^2}(1-x-1-x)} dx = \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{-4x\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{2x\sqrt{1-x^2}} dx$.
$I = 2 \left[ x \log_{e}(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}) \Big|_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{\sqrt{1-x^2}-1}{2x\sqrt{1-x^2}} dx \right]$.
$I = 2 \left[ (1 \cdot \log_{e}(\sqrt{2}) - 0) - \frac{1}{2} \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) dx \right]$.
$I = 2 \left[ \frac{1}{2} \log_{e} 2 - \frac{1}{2} (x - \sin^{-1} x) \Big|_0^1 \right]$.
$I = \log_{e} 2 - (1 - \frac{\pi}{2}) = \log_{e} 2 + \frac{\pi}{2} - 1$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \tan \left(\frac{y}{x}\right) d y = \left(y \tan \left(\frac{y}{x}\right)-x\right) d x$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\tan \left(\frac{y}{x}\right)(x d y - y d x) = -x d x$ મળે છે.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,$\tan \left(\frac{y}{x}\right) d\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{1}{x} d x$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln \left| \sec \left(\frac{y}{x}\right) \right| = -\ln |x| + C$ મળે,જે $\ln \left| x \sec \left(\frac{y}{x}\right) \right| = C$ તરીકે લખી શકાય.
$y(1/2) = \pi/6$ આપેલ હોવાથી,$\ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi/6}{1/2} \right) \right| = \ln \left| \frac{1}{2} \sec \left( \frac{\pi}{3} \right) \right| = \ln \left| \frac{1}{2} \cdot 2 \right| = \ln(1) = 0$. તેથી,$C=0$.
આમ,$\sec \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \left(\frac{y}{x}\right) = x$,અથવા $y = x \cos^{-1}(x)$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{1/\sqrt{2}} x \cos^{-1}(x) d x$ છે.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$A = \left[ \frac{x^2}{2} \cos^{-1}(x) \right]_{0}^{1/\sqrt{2}} - \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) d x$.
$A = \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 \right) + \frac{1}{2} \int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} d x$.
$x = \sin \theta$ લેતા,$d x = \cos \theta d \theta$,તેથી $\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} d \theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \frac{1-\cos 2\theta}{2} d \theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{2\pi}{16} - \frac{1}{8} = \frac{\pi-1}{8}$.

(B) $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \sin(0) - e^0 = 0 - 1 = -1$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + [-x]) = a + (-1) = a - 1$.
આ બંનેને સરખાવતા,$a - 1 = -1 \implies a = 0$.
$f$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ હોવું જોઈએ.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (a + [-x]) = a + (-1) = a - 1$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2(1) - b = 2 - b$.
આ બંનેને સરખાવતા,$a - 1 = 2 - b \implies 0 - 1 = 2 - b \implies b = 3$.
તેથી,$a + b = 0 + 3 = 3$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{x} \sqrt{1-y^{2}} dx + \frac{y}{x} dy = 0$ છે.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -x e^{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{y}{\sqrt{1-y^{2}}} dy = -\int x e^{x} dx$.
ડાબી બાજુ માટે,$u = 1-y^{2}$ લેતા,$-\sqrt{1-y^{2}}$ મળે.
જમણી બાજુ માટે,ખંડશઃ સંકલન કરતા,$-(x e^{x} - e^{x}) + C = -e^{x}(x-1) + C$.
તેથી,$-\sqrt{1-y^{2}} = -e^{x}(x-1) + C$,એટલે કે $\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1) + C$.
$y(1) = -1$ મૂકતા,$0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$\sqrt{1-y^{2}} = e^{x}(x-1)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1-y^{2} = e^{2x}(x-1)^{2}$.
$x=3$ માટે,$1-y^{2} = e^{6}(2)^{2} = 4e^{6}$.
તેથી,$y^{2} = 1 - 4e^{6}$.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{|[x]|-2}{|[x]|-3}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$\frac{|[x]|-2}{|[x]|-3} \geq 0$ અને $|[x]|-3 \neq 0$.
ધારો કે $Y = [x]$. આપણે $\frac{|Y|-2}{|Y|-3} \geq 0$ ઉકેલીએ.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $|Y| = 2$ અને $|Y| = 3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $Y \in \{-3, -2, 2, 3\}$.
$|Y|$ માટે અંતરાલો તપાસતા:
$1$. જો $|Y| < 2$ હોય,તો $\frac{-}{-} > 0$ (સાચું). આ $-2 < Y < 2$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $[x] \in \{-1, 0, 1\}$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [-1, 2)$.
$2$. જો $2 \leq |Y| < 3$ હોય,તો $\frac{+}{-} < 0$ (ખોટું).
$3$. જો $|Y| > 3$ હોય,તો $\frac{+}{+} > 0$ (સાચું). આ $Y > 3$ અથવા $Y < -3$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $[x] \geq 4$ અથવા $[x] \leq -4$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [4, \infty)$ અથવા $x \in (-\infty, -3)$.
આ બધાને જોડતા,પ્રદેશ $(-\infty, -3) \cup [-1, 2) \cup [4, \infty)$ મળે છે.
$(-\infty, a) \cup [b, c) \cup [4, \infty)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3$,$b = -1$,અને $c = 2$ મળે છે.
તેથી,$a+b+c = -3 + (-1) + 2 = -2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{x^{2}+x}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{4}$ છે.
સમીકરણ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના પ્રદેશની શરતો સંતોષાવી જોઈએ.
$1$. $\tan ^{-1} \sqrt{x^{2}+x}$ માટે,$x^{2}+x \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$2$. $\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}$ માટે,$0 \leq \sqrt{x^{2}+x+1} \leq 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $0 \leq x^{2}+x+1 \leq 1$.
કારણ કે $x^{2}+x+1 = (x+\frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$,તેથી $x^{2}+x+1$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3}{4}$ છે.
આમ,શરત $x^{2}+x+1 \leq 1$ નો અર્થ છે કે $x^{2}+x \leq 0$.
$x^{2}+x \geq 0$ અને $x^{2}+x \leq 0$ ને જોડતા,આપણને $x^{2}+x = 0$ મળે છે.
આથી $x(x+1) = 0$,એટલે કે $x=0$ અથવા $x=-1$.
જો $x=0$ હોય,તો સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{4}$ થાય છે.
જો $x=-1$ હોય,તો સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{4}$ થાય છે.
કોઈપણ કિંમત સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી,તેથી વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે $n = [a]$,જ્યાં $n$ એ અઋણ પૂર્ણાંક છે. તો $a = n + \{a\}$,જ્યાં $0 \le \{a\} < 1$.
સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકાય:
$\int_{0}^{a} e^{x-[x]} dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} e^{x-k} dx + \int_{n}^{a} e^{x-n} dx = 10e - 9$
સરવાળાની ગણતરી કરતા:
$\sum_{k=0}^{n-1} [e^{x-k}]_{k}^{k+1} = \sum_{k=0}^{n-1} (e^1 - e^0) = \sum_{k=0}^{n-1} (e - 1) = n(e - 1)$
બાકીના ભાગની ગણતરી કરતા:
$\int_{n}^{a} e^{x-n} dx = [e^{x-n}]_{n}^{a} = e^{a-n} - e^0 = e^{\{a\}} - 1$
આ બંનેને જોડતા:
$n(e - 1) + e^{\{a\}} - 1 = 10e - 9$
$ne - n + e^{\{a\}} - 1 = 10e - 10$
પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 10$ અને $e^{\{a\}} = 2$ મળે છે,તેથી $\{a\} = \log_{e} 2$.
આમ,$a = n + \{a\} = 10 + \log_{e} 2$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + 6x - 15$.
$f'(x) = 2ax + 6$.
કારણ કે $f(x)$ એ $(-\infty, \frac{3}{4})$ માં વધતું અને $(\frac{3}{4}, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે,તેથી ક્રાંતિક બિંદુ $x = \frac{3}{4}$ છે.
$x = \frac{3}{4}$ આગળ,$f'(x) = 0$,તેથી $2a(\frac{3}{4}) + 6 = 0 \Rightarrow \frac{3a}{2} = -6 \Rightarrow a = -4$.
હવે,$g(x) = ax^2 - 6x + 15$ ધ્યાનમાં લો. $a = -4$ મૂકતા,આપણને $g(x) = -4x^2 - 6x + 15$ મળે છે.
$g'(x) = -8x - 6$.
$g'(x) = 0$ લેતા,આપણને $-8x = 6 \Rightarrow x = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$ મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $g''(x) = -8$.
કારણ કે $g''(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $g(x)$ ને $x = -\frac{3}{4}$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.

(B) શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & -x & 2x+1 \\ -x & 1 & -x \\ 2x+1 & -x & 1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(1 - x^2) + x(-x + x(2x+1)) + (2x+1)(x^2 - (2x+1))$
$|A| = 4x^3 - 4x^2 - 4x = f(x)$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = 12x^2 - 8x - 4 = 4(3x+1)(x-1) = 0$
તેથી,$x = 1$ અને $x = -\frac{1}{3}$.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(1) = -4$ (ન્યૂનતમ કિંમત)
$f(-\frac{1}{3}) = \frac{20}{27}$ (મહત્તમ કિંમત)
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો:
$-4 + \frac{20}{27} = -\frac{88}{27}$

(D) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix}$.
કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને $A = P + Q$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $P = \frac{A + A^T}{2}$ સંમિત છે અને $Q = \frac{A - A^T}{2}$ વિસંમિત છે.
$P = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & a \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & \frac{3+a}{2} \\ \frac{3+a}{2} & 0 \end{bmatrix}$.
$Q = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ a & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & a \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 & \frac{3-a}{2} \\ \frac{a-3}{2} & 0 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $\operatorname{det}(Q) = 9$,તેથી $0 - \left( \frac{3-a}{2} \right) \left( \frac{a-3}{2} \right) = 9$.
$\Rightarrow \frac{(a-3)^2}{4} = 9 \Rightarrow (a-3)^2 = 36 \Rightarrow a-3 = \pm 6$.
આમ,$a = 9$ અથવા $a = -3$.
હવે,$\operatorname{det}(P) = 0 - \left( \frac{3+a}{2} \right)^2 = -\frac{(a+3)^2}{4}$.
$a = 9$ માટે,$\operatorname{det}(P) = -\frac{(9+3)^2}{4} = -\frac{144}{4} = -36$.
$a = -3$ માટે,$\operatorname{det}(P) = -\frac{(-3+3)^2}{4} = 0$.
$\operatorname{det}(P)$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $-36 + 0 = -36$ છે.
સરવાળાનું માન $|-36| = 36$ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $E: x^{2}+4 y^{2}=5$ છે. બિંદુ $P(1,1)$ આગળ સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $x(1)+4y(1)=5$ એટલે કે $x+4y=5$ અથવા $y = \frac{5-x}{4}$ છે.
સ્પર્શક $T$,ઉપવલય $E$ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=\sqrt{5}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{\sqrt{5}} \left( \frac{5-x}{4} - \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{2} \right) dx$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$
$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} \sqrt{5-x^{2}} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$
$x=\sqrt{5}$ માટે: $\frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{8} - 0 - \frac{5}{4} \sin^{-1}(1) = \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8}$
$x=1$ માટે: $\frac{5}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \sqrt{4} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{10-1-4}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
$\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ મળે.
$A = \left( \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8} \right) - \left( \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right) \right)$
$A = \frac{10\sqrt{5}-10}{8} - \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$
આને $\alpha \sqrt{5} + \beta + \gamma \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{5}{4}$,$\beta = -\frac{5}{4}$,$\gamma = -\frac{5}{4}$ મળે.
$|\alpha + \beta + \gamma| = |\frac{5}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4}| = |-\frac{5}{4}| = 1.25$.

(D) ધારો કે સદિશોનું માન $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$ છે. તેઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ થાય.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. તો $|\vec{v}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 3k^2$.
તેથી,$|\vec{v}| = \sqrt{3}k$.
$\vec{a}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{a}| |\vec{v}|} = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}{k \cdot \sqrt{3}k} = \frac{|\vec{a}|^2 + 0 + 0}{\sqrt{3}k^2} = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપણે $36 \cos^2 2\theta$ શોધવાનું છે. નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 2\theta = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 1 = 2(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$ મળે.
તેથી,$36 \cos^2 2\theta = 36(-\frac{1}{3})^2 = 36(\frac{1}{9}) = 4$.

(A) સમતલ $P$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_P$ એ સમતલમાં રહેલા બે સદિશોના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે. ધારો કે $A=(1,0,1), B=(1,-2,1), C=(0,1,-2)$.
$\vec{AB} = (0, -2, 0)$
$\vec{AC} = (-1, 1, -3)$
$\vec{n}_P = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 6\hat{i} - 2\hat{k} = 2(3\hat{i} - \hat{k})$.
$\vec{a}$ એ સમતલ $P$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{n}_P$ ને લંબ છે. વળી,$\vec{a}$ એ $\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{a} = k(\vec{n}_P \times \vec{v}) = k \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = k(2\hat{i} - 10\hat{j} + 6\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) = 2$,તેથી $k(2 - 10 + 12) = 2 \Rightarrow 4k = 2 \Rightarrow k = 1/2$.
આમ,$\vec{a} = \hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
અહીં $\alpha = 1, \beta = -5, \gamma = 3$.
તેથી $(\alpha - \beta + \gamma)^2 = (1 - (-5) + 3)^2 = 9^2 = 81$.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c, d$ એ સામાન્ય તફાવત $\lambda$ સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b = a + \lambda$,$c = a + 2\lambda$,અને $d = a + 3\lambda$ થાય.
આ કિંમતો નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$a - c = -2\lambda$,$b - d = -2\lambda$,$d - b = 2\lambda$,$c - b = \lambda$,$d - c = \lambda$.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & x+b & x+a \\ x-1 & x+c & x+b \\ x+2\lambda & x+d & x+c \end{array}\right| = 2$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & \lambda & x+a \\ x-1 & \lambda & x+b \\ x+2\lambda & \lambda & x+c \end{array}\right| = 2$.
$C_2$ માંથી $\lambda$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \lambda \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & 1 & x+a \\ x-1 & 1 & x+b \\ x+2\lambda & 1 & x+c \end{array}\right| = 2$.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \lambda \left|\begin{array}{lll} x-2\lambda & 1 & x+a \\ 2\lambda-1 & 0 & \lambda \\ 4\lambda & 0 & 2\lambda \end{array}\right| = 2$.
$C_2$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = \lambda \cdot (-1) \cdot ((2\lambda-1)(2\lambda) - (4\lambda)(\lambda)) = 2$.
$\Delta = -\lambda \cdot (4\lambda^2 - 2\lambda - 4\lambda^2) = 2$.
$\Delta = -\lambda \cdot (-2\lambda) = 2\lambda^2 = 2$.
તેથી,$\lambda^2 = 1$.

(D) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -4 \hat{i} - \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8 \hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ થાય.
હવે,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-4 - \alpha) \hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $9 = \frac{|((-4 - \alpha) \hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k})|}{12}$ છે.
$108 = |-32 - 8\alpha - 28| = |-60 - 8\alpha|$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$60 + 8\alpha = 108 \implies 8\alpha = 48 \implies \alpha = 6$.

(B) આપેલ છે કે $A = I + C$,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $C = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$I$ અને $C$ ક્રમનો વિનિમય કરે છે,તેથી દ્વિપદી વિસ્તરણ $(I+C)^n = I + nC + \frac{n(n-1)}{2}C^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $C^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $C^3 = O$ છે.
તેથી,$A^n = (I+C)^n = I + nC + \frac{n(n-1)}{2}C^2$.
$b_{13}$ એ $B = 7A^{20} - 20A^7 + 2I$ ના પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ઘટક છે.
$I$ નો $(1,3)$ ઘટક $0$ છે,$C$ નો $(1,3)$ ઘટક $0$ છે,અને $C^2$ નો $(1,3)$ ઘટક $1$ છે.
તેથી,$A^n$ નો $(1,3)$ ઘટક $\frac{n(n-1)}{2}$ થાય.
$b_{13} = 7 \times \left( \frac{20 \times 19}{2} \right) - 20 \times \left( \frac{7 \times 6}{2} \right) + 2(0)$.
$b_{13} = 7 \times 190 - 20 \times 21 = 1330 - 420 = 910$.

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને સંમિત સ્વરૂપમાં ફરીથી લખો:
રેખા $1$: $x = ay - 1 = z - 2$ બિંદુ $P_1(-1, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v_1} = a\hat{i} + \hat{j} + a\hat{k}$ છે.
રેખા $2$: $x = 3y - 2 = bz - 2$ બિંદુ $P_2(-2, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v_2} = 3\hat{i} + \hat{j} + \frac{3}{b}\hat{k}$ છે.
રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને બે દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(\vec{P_2P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = 0$.
$\vec{P_2P_1} = (-1 - (-2))\hat{i} + (0 - 0)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$.
નિશ્ચાયક છે:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ a & 1 & a \\ 3 & 1 & 3/b \end{array}\right| = 0$
$1(\frac{3}{b} - a) - 0 + 1(a - 3) = 0$
$\frac{3}{b} - a + a - 3 = 0 \Rightarrow \frac{3}{b} = 3 \Rightarrow b = 1$.
આમ,$b = 1, a \in R - \{0\}$.

(D) ધારો કે $z = (1 - \cos \theta + 2i \sin \theta)^{-1} = \frac{1}{(1 - \cos \theta) + 2i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $((1 - \cos \theta) - 2i \sin \theta)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1 - \cos \theta) - 2i \sin \theta}{(1 - \cos \theta)^2 + 4 \sin^2 \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\text{Re}(z) = \frac{1 - \cos \theta}{(1 - \cos \theta)^2 + 4 \sin^2 \theta} = \frac{1}{5}$.
$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{Re}(z) = \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{4 \sin^4 \frac{\theta}{2} + 16 \sin^2 \frac{\theta}{2} \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2(\sin^2 \frac{\theta}{2} + 4 \cos^2 \frac{\theta}{2})} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$2(\sin^2 \frac{\theta}{2} + 4 \cos^2 \frac{\theta}{2}) = 5 \implies 2(1 + 3 \cos^2 \frac{\theta}{2}) = 5 \implies \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$.
$\theta \in (0, \pi)$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ મળે.
અંતે,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \overrightarrow{BC}$,$\vec{b} = \overrightarrow{AC}$,અને $\vec{c} = \overrightarrow{BA}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 5$,અને $|\vec{c}| = 7$.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,શિરોબિંદુ $B$ પાસે કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{BA}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - 2 |\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}| \cos(\angle ABC)$
$5^2 = 7^2 + 3^2 - 2(7)(3) \cos(\angle ABC)$
$25 = 49 + 9 - 42 \cos(\angle ABC)$
$25 = 58 - 42 \cos(\angle ABC)$
$42 \cos(\angle ABC) = 58 - 25 = 33$
$\cos(\angle ABC) = \frac{33}{42} = \frac{11}{14}$.
સદિશ $\overrightarrow{BA}$ નો સદિશ $\overrightarrow{BC}$ પરનો પ્રક્ષેપ $|\overrightarrow{BA}| \cos(\angle ABC)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રક્ષેપ $= 7 \times \frac{11}{14} = \frac{11}{2}$.

(D) ધારો કે $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ અને $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$.
આપણે $\tan(2\alpha + \beta)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$\beta$ ને $\tan^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો: $\sin \beta = \frac{5}{13}$ હોવાથી,$\tan \beta = \frac{5}{\sqrt{13^2 - 5^2}} = \frac{5}{12}$. તેથી,$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.
હવે,$2\alpha = 2\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{1 - (\frac{3}{5})^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6/5}{1 - 9/25}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6/5}{16/25}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{16}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)$.
હવે આપણે $\tan(2\alpha + \beta) = \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\right)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{15}{8} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{8} \cdot \frac{5}{12}}\right)\right) = \frac{\frac{45+10}{24}}{1 - \frac{75}{96}} = \frac{55/24}{21/96} = \frac{55}{24} \cdot \frac{96}{21} = \frac{55 \cdot 4}{21} = \frac{220}{21}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{5x + 3}{6x - \alpha}$.
$(f \circ f)(x) = x$ માટે,વિધેય $f$ એ તેનું પોતાનું વ્યસ્ત વિધેય હોવું જોઈએ,એટલે કે $f(x) = f^{-1}(x)$.
ધારો કે $y = f(x) = \frac{5x + 3}{6x - \alpha}$.
તેથી $y(6x - \alpha) = 5x + 3$.
$6xy - \alpha y = 5x + 3$.
$6xy - 5x = \alpha y + 3$.
$x(6y - 5) = \alpha y + 3$.
$x = \frac{\alpha y + 3}{6y - 5}$.
આમ,$f^{-1}(x) = \frac{\alpha x + 3}{6x - 5}$.
કારણ કે $f(x) = f^{-1}(x)$,તેથી $\frac{5x + 3}{6x - \alpha} = \frac{\alpha x + 3}{6x - 5}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 5$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[x] - \sin x] \, dx$.
નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = 0$:
$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[-x] - \sin(-x)] \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} [[-x] + \sin x] \, dx$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} ([[x] - \sin x] + [[-x] + \sin x]) \, dx$.
ગુણધર્મ $[y] + [-y] = -1$ (જ્યારે $y$ પૂર્ણાંક ન હોય) નો ઉપયોગ કરતા,સંકલનનું મૂલ્ય $-2$ મળે છે.
$2I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (-2) \, dx = -2 [x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = -2(\pi) = -2\pi$.
તેથી,$I = -\pi$.

(B) સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = y(-1 \cdot \frac{1}{x} - 0) - \sin x(0 \cdot \frac{1}{x} - 2) + 1(0 \cdot 0 - 2(-1))$
$|A| = -\frac{y}{x} + 2 \sin x + 2$
આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} - |A| = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} + 2 \sin x + 2$,જે $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = 2 \sin x + 2$ માં ફેરવાય છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = 2 \sin x + 2$ છે.
ઇન્ટિગ્રેટિંગ ફેક્ટર $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ છે.
$yx = \int x(2 \sin x + 2) dx = 2 \int x \sin x dx + \int 2x dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x$,તેથી:
$yx = 2(-x \cos x + \sin x) + x^2 + C = x^2 - 2x \cos x + 2 \sin x + C$.
$y(\pi) = \pi + 2$ આપેલ છે,$x = \pi$ મૂકતા:
$(\pi + 2)\pi = \pi^2 - 2\pi \cos(\pi) + 2 \sin(\pi) + C$
$\pi^2 + 2\pi = \pi^2 + 2\pi + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$yx = x^2 - 2x \cos x + 2 \sin x$.
$x = \frac{\pi}{2}$ માટે:
$y(\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = (\frac{\pi}{2})^2 - 2(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) + 2 \sin(\frac{\pi}{2})$
$y(\frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4} + 2$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-\frac{3}{2} f^{\prime \prime}(2) x+f^{\prime \prime}(1) \quad \dots(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-\frac{3}{2} f^{\prime \prime}(2) \quad \dots(ii)$
$f^{\prime \prime}(x)=6 x-6 \quad \dots(iii)$
$(iii)$ પરથી,$f^{\prime \prime}(2)=6(2)-6=6$ અને $f^{\prime \prime}(1)=6(1)-6=0$.
$f^{\prime \prime}(2)=6$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x-\frac{3}{2}(6) = 3 x^{2}-6 x-9$.
સ્થાનિક બિંદુઓ માટે $f^{\prime}(x)=0$ લેતા:
$3(x^{2}-2 x-3)=0 \Rightarrow 3(x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3, -1$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$f^{\prime \prime}(-1)=6(-1)-6=-12 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ $x=-1$ પર).
$f^{\prime \prime}(3)=6(3)-6=12 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ $x=3$ પર).
$f^{\prime \prime}(2)=6$ અને $f^{\prime \prime}(1)=0$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(3)=3^{3}-3(3^{2})-9(3) = 27-27-27 = -27$ છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = 0$.
$D = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -3 \\ 6 & 5 & k \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$3(2k - (-15)) - (-1)(k - (-18)) + 4(5 - 12) = 0$
$3(2k + 15) + 1(k + 18) + 4(-7) = 0$
$6k + 45 + k + 18 - 28 = 0$
$7k + 35 = 0$
$7k = -35$
$k = -5$
$k = -5$ માટે સુસંગતતા તપાસતા:
$3x - y + 4z = 3$ $(i)$
$x + 2y - 3z = -2$ $(ii)$
$6x + 5y - 5z = -3$ $(iii)$
$(i) \times 2 - (ii)$ લેતા: $6x - 2y + 8z - (x + 2y - 3z) = 6 - (-2) \Rightarrow 5x - 4y + 11z = 8$. આ દર્શાવે છે કે $k = -5$ માટે સંહતિ સુસંગત છે અને અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$. નોંધો કે $f(-x) = \log_e \left(-x + \sqrt{x^2 + 1}\right) = \log_e \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\right) = -f(x)$. આમ,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
$g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right) \cos(f(x)) - \sin \left(\frac{\pi}{4} t\right) \sin(f(x)) \right] \, dx$.
$f(x)$ અયુગ્મ હોવાથી,$\cos(f(x))$ એ યુગ્મ વિધેય છે અને $\sin(f(x))$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
તેથી,$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin \left(\frac{\pi}{4} t\right) \sin(f(x)) \, dx = 0$.
તેથી,$g(t) = \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right) \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(f(x)) \, dx$.
ધારો કે $C = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(f(x)) \, dx$. તો $g(t) = C \cos \left(\frac{\pi}{4} t\right)$.
$g(1) = C \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{C}{\sqrt{2}}$ અને $g(0) = C \cos(0) = C$.
આમ,$g(1) = \frac{g(0)}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{2} g(1) = g(0)$.

(A) રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{1} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k+3, k+1, k+2)$ છે.
ધારો કે $P_0 = (2,3,-1)$. બિંદુ $P_0$ થી રેખા $L$ પરના લંબપાદ $M$ માટે સદિશ $\vec{P_0M} = (2k+3-2, k+1-3, k+2+1) = (2k+1, k-2, k+3)$ છે.
$\vec{P_0M}$ એ રેખા $L$ ના દિશા સદિશ $\vec{v} = (2,1,1)$ ને લંબ હોવાથી,$2(2k+1) + 1(k-2) + 1(k+3) = 0$ મળે.
$4k+2 + k-2 + k+3 = 0 \implies 6k+3 = 0 \implies k = -1/2$.
તેથી,$M = (2(-1/2)+3, -1/2+1, -1/2+2) = (2, 1/2, 3/2)$.
$M$ એ $P_0Q$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $Q = (x,y,z)$ હોય,તો $\frac{x+2}{2} = 2, \frac{y+3}{2} = 1/2, \frac{z-1}{2} = 3/2$.
$x+2 = 4 \implies x=2$; $y+3 = 1 \implies y=-2$; $z-1 = 3 \implies z=4$. તેથી $Q = (2, -2, 4)$.
સમતલ $P$ એ રેખા $L$ ને લંબ છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2,1,1)$ છે.
$Q(2, -2, 4)$ માંથી પસાર થતા સમતલ $P$ નું સમીકરણ $2(x-2) + 1(y+2) + 1(z-4) = 0$ છે.
$2x - 4 + y + 2 + z - 4 = 0 \implies 2x + y + z - 6 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા: $(1,2,2)$ માટે,$2(1) + 2 + 2 - 6 = 2+2+2-6 = 0$. તેથી,$(1,2,2)$ સમતલ પર છે.

(B) આપેલ પદાવલિ એ રીમાન સરવાળાના સ્વરૂપમાં છે: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f\left(\frac{5r}{n}\right)$.
આને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે દર્શાવી શકાય: $I = \int_{0}^{1} f(5x) \,dx$.
$f(x) = x+1$ મૂકતા,આપણને $f(5x) = 5x+1$ મળે છે.
તેથી,$I = \int_{0}^{1} (5x+1) \,dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $I = \left[ \frac{5x^2}{2} + x \right]_{0}^{1}$.
$I = \left( \frac{5(1)^2}{2} + 1 \right) - (0) = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y$.
ધારો કે $\cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)=\theta$,જ્યાં $\theta \in[0, \pi]$.
તેથી $\cos \theta = e^{-x}$. નિત્યસમ $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + e^{-x} = \frac{e^x + 1}{e^x}$.
આમ,$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}}$.
આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^{2x} - 1} dy$.
કારણ કે $\sqrt{e^{2x} - 1} = \sqrt{(e^x - 1)(e^x + 1)}$,આપણને મળે $\sqrt{\frac{e^x + 1}{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} \sqrt{e^x + 1} dy$.
$\sqrt{e^x + 1}$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{\sqrt{2e^x}} dx = \sqrt{e^x - 1} dy$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dx}{\sqrt{2} \sqrt{e^x(e^x - 1)}} = dy$ થાય.
ધારો કે $e^x = t$,તો $e^x dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{t}$.
તેથી,$\int \frac{dt}{\sqrt{2} t \sqrt{t(t-1)}} = \int dy$.
ધારો કે $t = \frac{1}{z}$,તો $dt = -\frac{1}{z^2} dz$.
કિંમત મૂકતા: $\int \frac{-dz/z^2}{\sqrt{2} (1/z) \sqrt{1/z^2 - 1/z}} = \int dy \Rightarrow -\int \frac{dz}{\sqrt{2} \sqrt{1-z}} = y + C$.
સંકલન કરતા: $\sqrt{2} \sqrt{1-z} = y + C \Rightarrow \sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + C$.
$x=0, y=-1$ માટે: $\sqrt{2} \sqrt{1 - 1} = -1 + C \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-x}} = y + 1$.
$x$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ $(\alpha, 0)$ માટે,$y=0$ મૂકતા: $\sqrt{2} \sqrt{1 - e^{-\alpha}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2(1 - e^{-\alpha}) = 1 \Rightarrow 1 - e^{-\alpha} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$e^{\alpha} = 2$.

(C) ધારો કે $f(t) = t^3 - 6t^2 + 9t - 3$.
તેથી $f'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $t=1$ અને $t=3$ છે.
$f(0) = -3$,$f(1) = 1 - 6 + 9 - 3 = 1$,અને $f(3) = 27 - 54 + 27 - 3 = -3$.
$0 \leq x \leq 1$ માટે,$f(t)$ વધતું વિધેય છે,તેથી $\max_{0 \leq t \leq x} f(t) = f(x)$.
$1 < x \leq 3$ માટે,$[0, x]$ પર $f(t)$ ની મહત્તમ કિંમત $f(1) = 1$ છે.
આમ,$g(x) = \begin{cases} x^3 - 6x^2 + 9x - 3 & , 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & , 1 < x \leq 3 \\ 4 - x & , 3 < x \leq 4 \end{cases}$.
હવે વિકલનીયતા તપાસીએ:
$x=1$ આગળ: $g'(1^-) = f'(1) = 0$ અને $g'(1^+) = 0$. તેથી $g(x)$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય છે.
$x=3$ આગળ: $g(3^-) = 1$ અને $g(3^+) = 4-3 = 1$. $g(x)$ એ $x=3$ આગળ સતત છે.
$g'(3^-) = 0$ અને $g'(3^+) = -1$. કારણ કે $g'(3^-) \neq g'(3^+)$,તેથી $g(x)$ એ $x=3$ આગળ વિકલનીય નથી.
આમ,અંતરાલ $(0,4)$ માં માત્ર $1$ બિંદુ એવું છે જ્યાં $g(x)$ વિકલનીય નથી.

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલી શરતોના આધારે શ્રેણિક $A$ ની રચના કરીએ:
$i=1, j=2$ માટે: $i < j \implies a_{12} = (-1)^{2-1} = -1$
$i=1, j=3$ માટે: $i < j \implies a_{13} = (-1)^{3-1} = 1$
$i=2, j=1$ માટે: $i > j \implies a_{21} = (-1)^{2+1} = -1$
$i=2, j=3$ માટે: $i < j \implies a_{23} = (-1)^{3-2} = -1$
$i=3, j=1$ માટે: $i > j \implies a_{31} = (-1)^{3+1} = 1$
$i=3, j=2$ માટે: $i > j \implies a_{32} = (-1)^{3+2} = -1$
વિકર્ણ ઘટકો $a_{ii} = 2$ છે.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 2(4-1) - (-1)(-2+1) + 1(1-2) = 2(3) - 1 - 1 = 6 - 2 = 4$.
આપણે $\det(3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1}))$ શોધવાનું છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $n \times n$ શ્રેણિક માટે $|kM| = k^n |M|$ અને $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$.
અહીં $n=3$ છે,તેથી $|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 3^3 |\operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 |2 A^{-1}|^{3-1} = 27 |2 A^{-1}|^2$.
કારણ કે $|2 A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|A|} = \frac{8}{4} = 2$.
તેથી,$|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 \cdot (2)^2 = 27 \cdot 4 = 108$.

(A) આપેલ છે $\vec{v}_{1} = \sqrt{3} p \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + (p + 1) \hat{j}$.
પરિભ્રમણ સદિશનું માન જાળવી રાખે છે,તેથી $|\vec{v}_{1}| = |\vec{v}_{2}|$.
$(\sqrt{3}p)^2 + 1^2 = 2^2 + (p + 1)^2$
$3p^2 + 1 = 4 + p^2 + 2p + 1$
$2p^2 - 2p - 4 = 0 \Rightarrow p^2 - p - 2 = 0$.
$p$ માટે ઉકેલતા,$(p - 2)(p + 1) = 0$. $p > 0$ હોવાથી,$p = 2$.
આમ,$\vec{v}_{1} = 2\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{v}_{2} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}$.
$|\vec{v}_{1}| = \sqrt{13}$ અને $|\vec{v}_{2}| = \sqrt{13}$.
$\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = |\vec{v}_{1}| |\vec{v}_{2}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$(2\sqrt{3})(2) + (1)(3) = 13 \cos \theta$.
$4\sqrt{3} + 3 = 13 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = \frac{4\sqrt{3} + 3}{13}$.
$\sin \theta = \frac{6\sqrt{3} - 2}{13}$ મળે છે.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{6\sqrt{3} - 2}{4\sqrt{3} + 3}$.
$\frac{\alpha \sqrt{3} - 2}{4\sqrt{3} + 3}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 6$ મળે છે.

(A) $x > 0$ માટે,$f'(x) = -4x^2 + 4x + 3$.
$f'(x) > 0$ લેતા,આપણને $-4x^2 + 4x + 3 > 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $4x^2 - 4x - 3 < 0$.
અવયવ પાડતા $(2x - 3)(2x + 1) < 0$ મળે,તેથી $x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$.
$x > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ માં વધતું વિધેય છે.
$x \leq 0$ માટે,$f'(x) = 3e^x + 3xe^x = 3e^x(1 + x)$.
$f'(x) > 0$ લેતા,કારણ કે તમામ $x$ માટે $3e^x > 0$ છે,તેથી $1 + x > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x > -1$.
આમ,$x \leq 0$ માટે,$f(x)$ એ $(-1, 0]$ માં વધતું વિધેય છે.
બંને અંતરાલોને જોડતા,$f(x)$ એ $(-1, 0] \cup (0, \frac{3}{2}) = \left(-1, \frac{3}{2}\right)$ માં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેમાં દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો $1$ છે.
ધારો કે $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $AX = \begin{bmatrix} a_{11} + a_{12} + a_{13} \\ a_{21} + a_{22} + a_{23} \\ a_{31} + a_{32} + a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = X$.
આમ,$AX = X$.
બંને બાજુ $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^2X = A(AX) = AX = X$ મળે છે.
ફરીથી $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^3X = A(A^2X) = AX = X$ મળે છે.
ધારો કે $A^3 = [b_{ij}]$. તો $A^3X = \begin{bmatrix} b_{11} + b_{12} + b_{13} \\ b_{21} + b_{22} + b_{23} \\ b_{31} + b_{32} + b_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
$A^3$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $(b_{11} + b_{12} + b_{13}) + (b_{21} + b_{22} + b_{23}) + (b_{31} + b_{32} + b_{33}) = 1 + 1 + 1 = 3$ થાય છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{100 \pi} \frac{\sin ^{2} x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}} d x$.
વિધેય $f(x) = \frac{\sin^2 x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}}$ એ $\pi$ આવર્તકાળ ધરાવે છે,તેથી $I = 100 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{e^{x/\pi}} dx$.
$I = 100 \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right) dx = 50 \left[ \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} dx - \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \cos 2x dx \right]$.
ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} dx = [-\pi e^{-x/\pi}]_0^{\pi} = \pi(1-e^{-1})$.
ધારો કે $I_2 = \int_{0}^{\pi} e^{-x/\pi} \cos 2x dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I_2 = [-\pi e^{-x/\pi} \cos 2x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \pi e^{-x/\pi} (2 \sin 2x) dx = \pi(1-e^{-1}) - 2\pi \int_0^{\pi} e^{-x/\pi} \sin 2x dx$.
બીજા ભાગનું ફરીથી સંકલન કરતા,$\int_0^{\pi} e^{-x/\pi} \sin 2x dx = [-\pi e^{-x/\pi} \sin 2x]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \pi e^{-x/\pi} (2 \cos 2x) dx = 2\pi I_2$.
આમ,$I_2 = \pi(1-e^{-1}) - 2\pi(2\pi I_2) = \pi(1-e^{-1}) - 4\pi^2 I_2$.
$I_2(1+4\pi^2) = \pi(1-e^{-1}) \implies I_2 = \frac{\pi(1-e^{-1})}{1+4\pi^2}$.
કિંમત મૂકતા,$I = 50 [\pi(1-e^{-1}) - \frac{\pi(1-e^{-1})}{1+4\pi^2}] = 50 \pi(1-e^{-1}) [\frac{4\pi^2}{1+4\pi^2}] = \frac{200(1-e^{-1})\pi^3}{1+4\pi^2}$.
$\frac{\alpha \pi^3}{1+4\pi^2}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 200(1-e^{-1})$ મળે છે.

(D) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ છે. નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc$ છે.
પાસાની $6$ બાજુઓમાંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $6^4 = 1296$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે તમામ ઘટકો $a, b, c, d$ અલગ હોય. ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી $4$ અલગ સંખ્યાઓ પસંદ કરીને શ્રેણિકમાં ગોઠવવાની રીતો $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ છે.
શ્રેણિક અસામાન્ય (nonsingular) હોય તે માટે $|A| \neq 0$,એટલે કે $ad \neq bc$ હોવું જોઈએ.
આપણે $ad = bc$ હોય તેવા કિસ્સાઓ ગણીએ જ્યાં $a, b, c, d$ અલગ હોય:
$1$. $6 \times 1 = 2 \times 3$: ગણ ${1, 2, 3, 6}$ છે. $ad=bc$ થાય તેવી ગોઠવણીઓ $(6, 2, 3, 1), (6, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 6), (1, 3, 2, 6), (2, 6, 1, 3), (3, 6, 1, 2), (2, 1, 6, 3), (3, 1, 6, 2)$ છે. કુલ $8$ કિસ્સાઓ.
$2$. $6 \times 2 = 3 \times 4$: ગણ ${2, 3, 4, 6}$ છે. $ad=bc$ થાય તેવી ગોઠવણીઓ $(6, 3, 4, 2), (6, 4, 3, 2), (2, 3, 4, 6), (2, 4, 3, 6), (3, 6, 2, 4), (4, 6, 2, 3), (3, 2, 6, 4), (4, 2, 6, 3)$ છે. કુલ $8$ કિસ્સાઓ.
$ad = bc$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $8 + 8 = 16$ છે.
સાનુકૂળ કિસ્સાઓ = (અલગ ઘટકો સાથેની કુલ રીતો) - ($ad = bc$ હોય તેવા કિસ્સાઓ) = $360 - 16 = 344$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{344}{1296} = \frac{43}{162}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ અને $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ હોવાથી,$\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે.
$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે.
આમ,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{c}| \implies 2|\vec{b}| = |\vec{c}|$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{a}| \implies |\vec{b}||\vec{c}| = 2$.
$|\vec{c}| = 2|\vec{b}|$ મૂકતા,આપણને $|\vec{b}|(2|\vec{b}|) = 2 \implies |\vec{b}|^2 = 1 \implies |\vec{b}| = 1$ મળે છે.
તેથી $|\vec{c}| = 2(1) = 2$.
$(A)$ $\vec{a}$ નો $(\vec{b} \times \vec{c})$ પરનો પ્રક્ષેપ $= \frac{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = |\vec{a}| = 2$. (સત્ય)
$(B)$ $|3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}|^2 = (3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) \cdot (3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) = 9|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 = 9(4) + 1 + 4(4) = 36 + 1 + 16 = 53 \neq 51$. (અસત્ય)
$(C)$ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{c} \vec{a} \vec{b}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})) = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2|\vec{a}|^2 = 2(4) = 8$. (સત્ય)
$(D)$ $\vec{a} \times ((\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{b} - \vec{c})) = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{0} - \vec{a} - \vec{a} - \vec{0}) = \vec{a} \times (-2\vec{a}) = -2(\vec{a} \times \vec{a}) = \vec{0}$. (સત્ય)

(B) સમતલોના સમીકરણો $P_{1}: x-y+2 z=2$ અને $P_{2}: 2 x+y-z=2$ છે.
ધારો કે સમતલો $P_{1}$ અને $P_{2}$ ની છેદરેખા $xy$-સમતલને બિંદુ $Q$ માં છેદે છે.
બંને સમીકરણોમાં $z=0$ મૂકતા,આપણને $x-y=2$ અને $2x+y=2$ મળે છે. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$3x=4 \Rightarrow x=\frac{4}{3}$,અને $y=x-2 = \frac{4}{3}-2 = -\frac{2}{3}$.
તેથી,$Q = (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, 0)$.
છેદરેખાનો દિશા સદિશ $\vec{a}$ એ લંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = \hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{a} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-2) - \hat{j}(-1-4) + \hat{k}(1+2) = -\hat{i} + 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-4/3}{-1} = \frac{y+2/3}{5} = \frac{z}{3} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $F$ એ $(-\lambda + 4/3, 5\lambda - 2/3, 3\lambda)$ સ્વરૂપનું છે.
ધારો કે $A = (1, 2, 0)$. સદિશ $\vec{AF} = (-\lambda + 4/3 - 1, 5\lambda - 2/3 - 2, 3\lambda - 0) = (-\lambda + 1/3, 5\lambda - 8/3, 3\lambda)$.
કારણ કે $AF \perp L$,તેથી $\vec{AF} \cdot \vec{a} = 0$.
$(-\lambda + 1/3)(-1) + (5\lambda - 8/3)(5) + (3\lambda)(3) = 0$.
$\lambda - 1/3 + 25\lambda - 40/3 + 9\lambda = 0$.
$35\lambda - 41/3 = 0 \Rightarrow 35\lambda = 41/3 \Rightarrow \lambda = 41/105$.
લંબપાદ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ ના યામ એ $F$ છે.
$\alpha + \beta + \gamma = (-\lambda + 4/3) + (5\lambda - 2/3) + 3\lambda = 7\lambda + 2/3$.
$35(\alpha + \beta + \gamma) = 35(7\lambda + 2/3) = 245\lambda + 70/3$.
$\lambda = 41/105$ મૂકતા: $245(41/105) + 70/3 = (49 \times 41)/21 + 70/3 = (7 \times 41)/3 + 70/3 = 287/3 + 70/3 = 357/3 = 119$.

(A) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$.
$1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ હોવાથી,$(1-\cos 2x)^2 = 4\sin^4 x$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4\sin^4 x} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $\sin x \approx x$ લેતા,$\frac{x^3}{4\sin^4 x} \approx \frac{x^3}{4x^4} = \frac{1}{4x}$.
હવે,$\ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right) = \ln(1+2xe^{-2x}) - 2\ln(1-xe^{-x})$.
નાના $u$ માટે $\ln(1+u) \approx u$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2xe^{-2x} - 2(-xe^{-x}) = 2xe^{-2x} + 2xe^{-x}$ મળે.
જેમ $x \rightarrow 0$ થાય,તેમ $e^{-2x} \rightarrow 1$ અને $e^{-x} \rightarrow 1$,તેથી પદ $2x + 2x = 4x$ બને છે.
આમ,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4x} \cdot (4x) = 1$.

(B) સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $\vec{a} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$ લખી શકીએ.
સદિશો મૂકતા: $\vec{a} = \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (2\lambda + \mu) \hat{i} + (\lambda - \mu) \hat{j} + (\lambda + \mu) \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,જ્યાં $\vec{d} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$:
$3(2\lambda + \mu) + 2(\lambda - \mu) + 6(\lambda + \mu) = 0$
$6\lambda + 3\mu + 2\lambda - 2\mu + 6\lambda + 6\mu = 0$
$14\lambda + 7\mu = 0 \implies \mu = -2\lambda$.
$\mu$ ની કિંમત $\vec{a}$ માં મૂકતા: $\vec{a} = (2\lambda - 2\lambda) \hat{i} + (\lambda - (-2\lambda)) \hat{j} + (\lambda - 2\lambda) \hat{k} = 0 \hat{i} + 3\lambda \hat{j} - \lambda \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{10}$,તેથી $\sqrt{0^2 + (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{10} \implies \sqrt{10\lambda^2} = \sqrt{10} \implies |\lambda| = 1$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોવાથી,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
પદાવલિ $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{a} \vec{b} + \vec{c} \vec{d}]$ બને છે.
$\vec{b} + \vec{c} = 3 \hat{i} + 0 \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{a} = 3\lambda \hat{j} - \lambda \hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[\vec{a} \vec{b} + \vec{c} \vec{d}] = \begin{vmatrix} 0 & 3\lambda & -\lambda \\ 3 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 0(0 - 4) - 3\lambda(18 - 6) - \lambda(6 - 0) = -3\lambda(12) - 6\lambda = -42\lambda$.
$\lambda = 1$ માટે,કિંમત $-42$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\operatorname{cosec}^{2} x \, dy + 2 \, dx = (1+y \cos 2x) \operatorname{cosec}^{2} x \, dx$.
$\operatorname{cosec}^{2} x \, dx$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + 2 \sin^{2} x = 1 + y \cos 2x$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = 1 - 2 \sin^{2} x$.
કારણ કે $1 - 2 \sin^{2} x = \cos 2x$,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{dy}{dx} - y \cos 2x = \cos 2x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\cos 2x$ અને $Q(x) = \cos 2x$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\cos 2x \, dx} = e^{-\frac{\sin 2x}{2}}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) \, dx + C$ છે.
$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = \int \cos 2x \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} \, dx + C$.
ધારો કે $u = -\frac{\sin 2x}{2}$,તો $du = -\cos 2x \, dx$.
તેથી,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -\int e^u \, du + C = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + C$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{4}) = 0$,તેથી $0 = -e^{-\frac{\sin(\pi/2)}{2}} + C = -e^{-1/2} + C$,એટલે કે $C = e^{-1/2}$.
આમ,$y \cdot e^{-\frac{\sin 2x}{2}} = -e^{-\frac{\sin 2x}{2}} + e^{-1/2}$.
$x = 0$ માટે,$y \cdot e^0 = -e^0 + e^{-1/2}$,જે $y(0) = -1 + e^{-1/2}$ આપે છે.
તેથી,$(y(0) + 1)^{2} = (-1 + e^{-1/2} + 1)^{2} = (e^{-1/2})^{2} = e^{-1}$.

(D) સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_1, D_2, D_3)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 1(5\lambda - 10) - 1(3\lambda - 5) + 1(6 - 5) = 2\lambda - 4$.
$D = 0$ લેતા,આપણને $\lambda = 2$ મળે છે.
હવે,$\lambda = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x + y + z = 6$ (સમી. $1$)
$3x + 5y + 5z = 26$ (સમી. $2$)
$x + 2y + 2z = \mu$ (સમી. $3$)
સમી. $2$ માંથી $3 \times$ સમી. $1$ બાદ કરતા: $2y + 2z = 8 \implies y + z = 4$.
સમી. $3$ માંથી સમી. $1$ બાદ કરતા: $y + z = \mu - 6$.
કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$4 \neq \mu - 6$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\mu \neq 10$.
આમ,ઉકેલ ન હોવાની શરત $\lambda = 2$ અને $\mu \neq 10$ છે.

(B) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $\cos^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[0, 1]$ માં હોવો જોઈએ: $0 \leq \sqrt{x^2-x+1} \leq 1$.
વર્ગ કરતા $0 \leq x^2-x+1 \leq 1$ મળે.
$x^2-x+1 \leq 1 \Rightarrow x^2-x \leq 0 \Rightarrow x(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \in [0, 1]$.
$2$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ અને વર્ગમૂળનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ: $\sin^{-1}(\frac{2x-1}{2}) > 0$.
$\sin^{-1}$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,આપણે $\frac{2x-1}{2} \leq 1$ પણ લેવું પડે.
તેથી,$0 < \frac{2x-1}{2} \leq 1$.
$0 < 2x-1 \leq 2$.
$1 < 2x \leq 3$.
$\frac{1}{2} < x \leq \frac{3}{2}$.
$x \in [0, 1]$ અને $x \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ નો છેદ લેતા,આપણને $x \in (\frac{1}{2}, 1]$ મળે છે.
આમ,$\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = 1$.
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

(C) આપેલ રેખાઓ છે:
$L_{1}: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{3}$. બિંદુ $P_{1} = (1, 2, 1)$,દિશા સદિશ $\vec{v}_{1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
$L_{2}: \frac{x-2}{1} = \frac{y-\lambda}{2} = \frac{z-3}{4}$. બિંદુ $P_{2} = (2, \lambda, 3)$,દિશા સદિશ $\vec{v}_{2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{a} = P_{2} - P_{1} = (2-1)\hat{i} + (\lambda-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} + (\lambda-2)\hat{j} + 2\hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{a} \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2})|}{|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) - \hat{j}(8-3) + \hat{k}(4-1) = -2\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
માન $|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$.
હવે,$\vec{a} \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}) = (1)(-2) + (\lambda-2)(-5) + (2)(3) = -2 - 5\lambda + 10 + 6 = 14 - 5\lambda$.
આપેલ છે $d = \frac{1}{\sqrt{38}}$,તેથી $\frac{|14 - 5\lambda|}{\sqrt{38}} = \frac{1}{\sqrt{38}}$.
$|14 - 5\lambda| = 1$.
કિસ્સો $1$: $14 - 5\lambda = 1 \Rightarrow 5\lambda = 13 \Rightarrow \lambda = 2.6$.
કિસ્સો $2$: $14 - 5\lambda = -1 \Rightarrow 5\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = 3$.
આપણે $\lambda$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય જોઈએ છે,તેથી જવાબ $3$ છે.

(B) ધારો કે $Y = y+1$ અને $X = x+2$. તેથી $dY = dy$ અને $dX = dx$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(X e^{Y/X} + Y) dX = X dY$.
ગોઠવતા: $X dY - Y dX = X e^{Y/X} dX$.
$X^2$ વડે ભાગતા: $\frac{X dY - Y dX}{X^2} = \frac{e^{Y/X}}{X} dX$.
આ $d(\frac{Y}{X}) = e^{Y/X} \frac{dX}{X}$ માં પરિણમે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-Y/X} d(Y/X) = \int \frac{dX}{X} \Rightarrow -e^{-Y/X} = \ln|X| + C$.
$y(1)=1$ નો ઉપયોગ કરતા,$Y=2$ અને $X=3$ મળે: $-e^{-2/3} = \ln|3| + C$,તેથી $C = -e^{-2/3} - \ln 3$.
આમ,$-e^{-(y+1)/(x+2)} = \ln|x+2| - e^{-2/3} - \ln 3$.
$e^{-(y+1)/(x+2)} = e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2|$.
ઉકેલના અસ્તિત્વ માટે,$e^{-2/3} + \ln 3 - \ln|x+2| > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\ln|x+2| < e^{-2/3} + \ln 3$.
ધારો કે $k = e^{-2/3} + \ln 3$. તો $|x+2| < e^k$,જેનો અર્થ છે કે $-e^k - 2 < x < e^k - 2$.
આમ,$\alpha = -e^k - 2$ અને $\beta = e^k - 2$.
તેથી $\alpha + \beta = -4$,એટલે કે $|\alpha + \beta| = 4$.

(C) આપેલ શરત $f(1) + f(2) = 3 - f(3)$ ને $f(1) + f(2) + f(3) = 3$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $f$ એ $A$ થી $A$ પરનું એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે,તેથી $f(1), f(2), f(3)$ એ ગણ $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ના ભિન્ન ઘટકો હોવા જોઈએ.
$3$ નો સરવાળો આપતા માત્ર ત્રણ ભિન્ન અઋણ પૂર્ણાંકો $0, 1$ અને $2$ છે.
તેથી,$\{f(1), f(2), f(3)\}$ નો ગણ $\{0, 1, 2\}$ હોવો જોઈએ.
આ $3$ કિંમતોને $f(1), f(2)$ અને $f(3)$ ને આપવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
પ્રદેશના બાકીના $5$ ઘટકો $\{0, 4, 5, 6, 7\}$ ને સહપ્રદેશના બાકીના $5$ ઘટકો $\{3, 4, 5, 6, 7\}$ સાથે જોડવા પડે.
આ જોડાણ કરવાની રીતોની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
તેથી,કુલ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $3! \times 5! = 6 \times 120 = 720$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = 3(1 - \frac{|x|}{2})$ જ્યારે $|x| \leq 2$ અને અન્યથા $0$.
$f(x+2) = 3(1 - \frac{|x+2|}{2})$ જ્યારે $|x+2| \leq 2$ (એટલે કે $-4 \leq x \leq 0$) અને અન્યથા $0$.
$f(x-2) = 3(1 - \frac{|x-2|}{2})$ જ્યારે $|x-2| \leq 2$ (એટલે કે $0 \leq x \leq 4$) અને અન્યથા $0$.
આમ,$g(x) = f(x+2) - f(x-2)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$g(x) = \begin{cases} 3(1 - \frac{|x+2|}{2}) & -4 \leq x < 0 \\ -3(1 - \frac{|x-2|}{2}) & 0 \leq x \leq 4 \\ 0 & \text{અન્યથા} \end{cases}$
$g(x)$ નું સાદું રૂપ:
$g(x) = \begin{cases} \frac{3x}{2} + 6 & -4 \leq x \leq -2 \\ -\frac{3x}{2} & -2 < x < 2 \\ \frac{3x}{2} - 6 & 2 \leq x \leq 4 \\ 0 & \text{અન્યથા} \end{cases}$
સાતત્ય તપાસતા: વિધેય $g(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે કારણ કે $x = -4, -2, 2, 4$ પરની લક્ષની કિંમતો વિધેયની કિંમતો સાથે મેળ ખાય છે (બધી સીમાઓ પર $0$ છે).
તેથી,$n = 0$.
વિકલનીયતા તપાસતા: વિધેય $g(x)$ એવા બિંદુઓ પર વિકલનીય નથી જ્યાં ઢાળ અચાનક બદલાય છે: $x = -4, -2, 2, 4$.
તેથી,$m = 4$.
આમ,$n + m = 0 + 4 = 4$.

(B) ધારો કે શ્રેણિક $B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ છે કે $AB = BA$,તેથી:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & a & c \\ e & d & f \\ h & g & i \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$d = b, e = a, f = c, g = h$
આમ,શ્રેણિક $B$ નીચે મુજબનું સ્વરૂપ ધારણ કરે છે:
$B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & a & c \\ g & g & i \end{bmatrix}$
દરેક ઘટક $a, b, c, g, i$ ને ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી પસંદ કરી શકાય છે,તેથી $5$ સ્વતંત્ર ચલ માટે દરેકના $5$ વિકલ્પો છે.
શ્રેણિક $B$ ની કુલ સંખ્યા $= 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125$.

(B) વક્રો $x^2 = 1 - 2y$,$x = \frac{4-y^2}{4}$ અને $x = \frac{y^2-4}{4}$ છે.
ઉપરના અર્ધ-તલ $(y \ge 0)$ માટે,પ્રદેશ જમણી બાજુએ $x = \frac{4-y^2}{4}$,ડાબી બાજુએ $x = \frac{y^2-4}{4}$ અને નીચેની બાજુએ $y = \frac{1-x^2}{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{2} \left( \frac{4-y^2}{4} \right) dy - 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1-x^2}{2} \right) dx$ છે.
$= 2 \left[ y - \frac{y^3}{12} \right]_{0}^{2} - 2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{1}$
$= 2 \left( 2 - \frac{8}{12} \right) - 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)$
$= 2 \left( \frac{4}{3} \right) - 2 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \, sq. \, units$.