ગણ $\{0, 1, 2, 3\}$ માંથી ઘટકો ધરાવતા $3 \times 3$ શ્રેણિકો $A$ ની કુલ સંખ્યા શોધો,જેથી $AA^{T}$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $9$ થાય.

ધારો કે $|M|$ એ ચોરસ શ્રેણિક $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ એ $g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$. ધારો કે $p(x)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે જેના બીજ વિધેય $g(\theta)$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો છે,અને $p(2)=2-\sqrt{2}$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે,જ્યાં $a, b, c$ વાસ્તવિક છે. જો $s_n = \alpha^n + \beta^n$ અને $\left|\begin{array}{ccc}3 & 1+s_1 & 1+s_2 \\ 1+s_1 & 1+s_2 & 1+s_3 \\ 1+s_2 & 1+s_3 & 1+s_4\end{array}\right| = k \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$ હોય,તો $k =$

ધારો કે $\left| \begin{array}{ccc} (a-x)^2 & (a-y)^2 & (a-z)^2 \\ (b-x)^2 & (b-y)^2 & (b-z)^2 \\ (c-x)^2 & (c-y)^2 & (c-z)^2 \end{array} \right| = \frac{-351}{8}$. જો $x, y, z$ એ સમીકરણ $8t^3 - 62t^2 + 43t - 7 = 0$ ના બીજ હોય અને $a, b, c$ ભિન્ન સંખ્યાઓ હોય,તો $|(a-b)(b-c)(c-a)|$ ની કિંમત શોધો.

$P(1)=2, P(2)=4, P(3)=6, P(4)=8$ સંતોષતા ત્રિઘાત બહુપદી $P(x)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ એ વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) હોય અને $b, c, f$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{b}{c} = $