JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
પ્રથમ વક્ર $\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$ માટે,$(x_1, y_1)$ આગળ ઢાળ $m_1 = -\frac{bx_1}{ay_1}$ મળે.
બીજા વક્ર $\frac{x^2}{c} + \frac{y^2}{d} = 1$ માટે,$(x_1, y_1)$ આગળ ઢાળ $m_2 = -\frac{dx_1}{cy_1}$ મળે.
વક્રો $90^{\circ}$ પર છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
આથી,$(-\frac{bx_1}{ay_1})(-\frac{dx_1}{cy_1}) = -1 \Rightarrow \frac{bd x_1^2}{ac y_1^2} = -1$.
બંને વક્રોના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $x_1^2(\frac{c-a}{ac}) + y_1^2(\frac{d-b}{bd}) = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $a-b = c-d$ મળે છે.

(D) આપેલ લક્ષ $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે.
ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{H_n}{n^{2}}\right)^{n}$,જ્યાં $H_n = 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ છે.
સૂત્ર $\lim _{n \rightarrow \infty}(1+f(n))^{g(n)} = e^{\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)g(n)}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$L = \exp \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{H_n}{n^2} \cdot n\right) = \exp \left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{H_n}{n}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $H_n \approx \ln(n) + \gamma$ (જ્યાં $\gamma$ એ યુલર-માશેરોની અચળાંક છે).
આમ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln(n) + \gamma}{n} = 0$.
તેથી,$L = e^0 = 1$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ છે.
સમાન બીજ માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $b^{2} - 4ac = 0$,જેનો અર્થ છે $b^{2} = 4ac$.
પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા,દરેક ચલ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ માંથી કિંમત લઈ શકે છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
આપણે એવી ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ શોધવાની છે કે જેના માટે $b^{2} = 4ac$ થાય:
$1$. જો $a=1, c=1$,તો $b^{2} = 4(1)(1) = 4 \Rightarrow b=2$. ત્રિપુટી: $(1, 2, 1)$.
$2$. જો $a=1, c=4$,તો $b^{2} = 4(1)(4) = 16 \Rightarrow b=4$. ત્રિપુટી: $(1, 4, 4)$.
$3$. જો $a=4, c=1$,તો $b^{2} = 4(4)(1) = 16 \Rightarrow b=4$. ત્રિપુટી: $(4, 4, 1)$.
$4$. જો $a=2, c=2$,તો $b^{2} = 4(2)(2) = 16 \Rightarrow b=4$. ત્રિપુટી: $(2, 4, 2)$.
$5$. જો $a=3, c=3$,તો $b^{2} = 4(3)(3) = 36 \Rightarrow b=6$. ત્રિપુટી: $(3, 6, 3)$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો = $5$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{5}{216}$ છે.

(D) $24$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2^{3} \times 3^{1}$ છે.
ધારો કે $x = 2^{\alpha_{1}} \times 3^{\beta_{1}}$,$y = 2^{\alpha_{2}} \times 3^{\beta_{2}}$,અને $z = 2^{\alpha_{3}} \times 3^{\beta_{3}}$,જ્યાં $\alpha_{i}, \beta_{i} \ge 0$.
$xyz = 2^{3} \times 3^{1}$ હોવાથી,$\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 3$ અને $\beta_{1} + \beta_{2} + \beta_{3} = 1$ મળે.
$\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 3$ માટે અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{5}{2} = 10$ છે.
$\beta_{1} + \beta_{2} + \beta_{3} = 1$ માટે અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{3}{2} = 3$ છે.
તેથી,કુલ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $10 \times 3 = 30$ છે.

(A) દ્વિઘાત અસમતા $ax^{2}+bx+c > 0$ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચી હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ અને $a > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 1 > 0$,તેથી આપણે ફક્ત $D < 0$ ની જરૂર છે.
$D = [-2(3k-1)]^{2} - 4(1)(8k^{2}-7) < 0$
$4(9k^{2}-6k+1) - 4(8k^{2}-7) < 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$9k^{2}-6k+1 - 8k^{2}+7 < 0$
$k^{2}-6k+8 < 0$
$(k-2)(k-4) < 0$
આનો અર્થ એ છે કે $k \in (2, 4)$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,અંતરાલ $(2, 4)$ માં એકમાત્ર પૂર્ણાંક કિંમત $k = 3$ છે.

(D) આપેલ વિધાન $A$ $\rightarrow (B$ $\rightarrow A)$ છે.
ગર્ભિત નિયમ $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A$ $\rightarrow (B$ $\rightarrow A) \equiv \sim A \vee (\sim B \vee A)$
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમ મુજબ:
$\equiv (\sim A \vee A) \vee \sim B$
$\equiv T \vee \sim B \equiv T$ (નિત્યસત્ય).
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$ એ $A \rightarrow (A \vee B) \equiv \sim A \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$.
આમ,મૂળ પદ અને વિકલ્પ $D$ બંને નિત્યસત્ય હોવાથી,તે સમકક્ષ છે.

(D) ધારો કે $a_{n}$ એ ચોરસ $A_{n}$ ની બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $A_{n}$ ની બાજુની લંબાઈ = $A_{n+1}$ નો વિકર્ણ,તેથી $a_{n} = \sqrt{2} a_{n+1}$,જેનો અર્થ છે કે $a_{n+1} = \frac{a_{n}}{\sqrt{2}}$.
આ બાજુની લંબાઈ માટે સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_{1} = 12$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
બાજુની લંબાઈ $a_{n} = a_{1} \times r^{n-1} = 12 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$ છે.
$A_{n}$ નું ક્ષેત્રફળ $(a_{n})^2 = 144 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{144}{2^{n-1}}$ છે.
આપણે ક્ષેત્રફળ $1$ થી ઓછું જોઈએ છે,તેથી $\frac{144}{2^{n-1}} < 1$.
આનો અર્થ છે કે $2^{n-1} > 144$.
કારણ કે $2^{7} = 128$ અને $2^{8} = 256$,તેથી $n-1 \geq 8$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$n \geq 9$. $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $9$ છે.

(A) આપણે $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને $3$ અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
$1$. $3$ વડે વિભાજ્યતા: અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ. શક્ય ત્રિપુટીઓ: $(1, 2, 3), (1, 3, 5), (2, 3, 4), (3, 4, 5)$. દરેકના $3! = 6$ પ્રકાર,કુલ $24$ સંખ્યાઓ.
$2$. $5$ વડે વિભાજ્યતા: છેલ્લો અંક $5$ હોવો જોઈએ. બાકીના $2$ સ્થાનો માટે $4 \times 3 = 12$ સંખ્યાઓ.
$3$. $3$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય: છેલ્લો અંક $5$ હોય અને સરવાળો $3$ નો ગુણક હોય. આવી સંખ્યાઓ $135, 315, 345, 435$ છે (કુલ $4$).
$4$. કુલ સંખ્યાઓ $= 24 + 12 - 4 = 32$.

(B) આપેલ રેખાઓ $(\sqrt{3})kx + ky = 4\sqrt{3}$ અને $\sqrt{3}x - y = 4\sqrt{3}k$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$k = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$k = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$.
$k$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}x + y} = \frac{\sqrt{3}x - y}{4\sqrt{3}}$
$(\sqrt{3}x - y)(\sqrt{3}x + y) = 48$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$ મળે છે.
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 48$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$48 = 16(e^2 - 1)$
$3 = e^2 - 1$
$e^2 = 4$
$e = 2$.

(C) ધારો કે ભૌમિતિક શ્રેણી $a, ar, ar^2, \dots$ છે,જ્યાં વધતી જતી શ્રેણી માટે $a > 0$ અને $r > 1$ છે.
આપેલ છે $T_2 + T_6 = \frac{25}{2} \Rightarrow ar(1 + r^4) = \frac{25}{2} \dots (1)$
આપેલ છે $T_3 \cdot T_5 = 25$ $\Rightarrow (ar^2)(ar^4) = 25$ $\Rightarrow a^2r^6 = 25$ $\Rightarrow ar^3 = 5$ ($a, r > 0$ હોવાથી)
$(1)$ પરથી,$ar + ar^5 = \frac{25}{2}$. $a = \frac{5}{r^3}$ મૂકતા:
$\frac{5}{r^3} \cdot r + \frac{5}{r^3} \cdot r^5 = \frac{25}{2} \Rightarrow \frac{5}{r^2} + 5r^2 = \frac{25}{2}$
$5$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{r^2} + r^2 = \frac{5}{2} \Rightarrow 2r^4 - 5r^2 + 2 = 0$
$(2r^2 - 1)(r^2 - 2) = 0 \Rightarrow r^2 = 2$ ($r > 1$ હોવાથી)
તેથી $a = \frac{5}{r^3} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
$4^{\text{th}}, 6^{\text{th}}, 8^{\text{th}}$ પદનો સરવાળો $ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ છે.
$= 5(1 + 2 + 4) = 5(7) = 35$.

(B) ધારો કે $PA = AQ = \lambda$.
$PQ \perp OB$ હોવાથી,વર્તુળમાં છેદતી જીવાઓના ગુણધર્મ મુજબ,$OA \cdot AB = PA \cdot AQ$ થાય.
આપેલ છે કે $OA = 1$ અને $OB = 13$,તેથી $AB = OB - OA = 13 - 1 = 12$.
કિંમતો મૂકતા,$1 \cdot 12 = \lambda \cdot \lambda$.
$\lambda^2 = 12 \Rightarrow \lambda = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.
$\Delta PQB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times PQ \times AB$.
$PQ = PA + AQ = \lambda + \lambda = 2\lambda = 4 \sqrt{3}$ હોવાથી,
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (4 \sqrt{3}) \times 12 = 2 \sqrt{3} \times 12 = 24 \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે સરવાળો $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{7}{3^{2}} + \frac{12}{3^{3}} + \frac{17}{3^{4}} + \frac{22}{3^{5}} + \ldots$ છે.
$\frac{1}{3}$ વડે ગુણતા: $\frac{S}{3} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{7}{3^{3}} + \frac{12}{3^{4}} + \frac{17}{3^{5}} + \ldots$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S - \frac{S}{3} = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{7}{3^{2}} - \frac{2}{3^{2}}) + (\frac{12}{3^{3}} - \frac{7}{3^{3}}) + \ldots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{5}{3^{2}} + \frac{5}{3^{3}} + \frac{5}{3^{4}} + \ldots$
$\frac{2S}{3} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{\frac{5}{3^{2}}}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{5}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{4}{3} + \frac{5}{6} = \frac{13}{6}$
$S = \frac{13}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{13}{4}$

(A) ધારો કે $L = \lim_{h \rightarrow 0} 2 \left\{ \frac{\sqrt{3} \sin (\frac{\pi}{6} + h) - \cos (\frac{\pi}{6} + h)}{\sqrt{3} h (\sqrt{3} \cos h - \sin h)} \right\}$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ અને $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
અંશ $= \sqrt{3} (\sin \frac{\pi}{6} \cos h + \cos \frac{\pi}{6} \sin h) - (\cos \frac{\pi}{6} \cos h - \sin \frac{\pi}{6} \sin h)$
$= \sqrt{3} (\frac{1}{2} \cos h + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin h) - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos h - \frac{1}{2} \sin h)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cos h + \frac{3}{2} \sin h - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos h + \frac{1}{2} \sin h = 2 \sin h$.
લિમિટમાં કિંમત મૂકતા:
$L = \lim_{h \rightarrow 0} 2 \left( \frac{2 \sin h}{\sqrt{3} h (\sqrt{3} \cos h - \sin h)} \right) = \frac{4}{\sqrt{3}} \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{\sin h}{h} \right) \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\sqrt{3} \cos h - \sin h} \right)$.
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ અને $\lim_{h \rightarrow 0} (\sqrt{3} \cos h - \sin h) = \sqrt{3}(1) - 0 = \sqrt{3}$ હોવાથી:
$L = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}$.

(B) $\left( tx^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (tx^{\frac{1}{5}})^{10-r} \left( \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^r$ છે.
$t$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$t$ નો ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(10-r) - r = 0 \Rightarrow r = 5$.
તેથી,$t$ થી સ્વતંત્ર પદ $T_6 = {}^{10}C_5 (x^{\frac{1}{5}})^5 ((1-x)^{\frac{1}{10}})^5 = {}^{10}C_5 x(1-x)^{1/2}$ છે.
ધારો કે $f(x) = {}^{10}C_5 x(1-x)^{1/2}$. મહત્તમ મૂલ્ય માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = {}^{10}C_5 \left[ (1-x)^{1/2} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \right] = {}^{10}C_5 \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = {}^{10}C_5 \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
મહત્તમ મૂલ્ય $f(\frac{2}{3}) = {}^{10}C_5 (\frac{2}{3}) \sqrt{1-\frac{2}{3}} = {}^{10}C_5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10!}{3\sqrt{3}(5!)^2}$.

(C) ધારો કે સાત અંકો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ છે જ્યાં $x_i \in \{1, 2, 3\}$ અને $\sum_{i=1}^{7} x_i = 10$.
કિસ્સો $I$: અંકો $1, 1, 1, 1, 1, 2, 3$ છે.
સરવાળો $= 1+1+1+1+1+2+3 = 10$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{5!1!1!} = 42$.
કિસ્સો $II$: અંકો $1, 1, 1, 1, 2, 2, 2$ છે.
સરવાળો $= 1+1+1+1+2+2+2 = 10$.
ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{7!}{4!3!} = 35$.
કુલ સંખ્યા $= 42 + 35 = 77$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: x-y=0$,$L_2: x+2y=3$ અને $L_3: 2x+y=6$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ને ઉકેલતા:
$x-y=0 \implies x=y$
$x+2x=3 \implies 3x=3 \implies x=1, y=1$. બિંદુ $A = (1, 1)$.
$L_1$ અને $L_3$ ને ઉકેલતા:
$x-y=0 \implies x=y$
$2x+x=6 \implies 3x=6 \implies x=2, y=2$. બિંદુ $B = (2, 2)$.
$L_2$ અને $L_3$ ને ઉકેલતા:
$x+2y=3 \implies x=3-2y$
$2(3-2y)+y=6 \implies 6-4y+y=6 \implies -3y=0 \implies y=0, x=3$. બિંદુ $C = (3, 0)$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
અહીં $BC = AC = \sqrt{5}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3 \sin x + 4 \cos x = k + 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $f(x) = a \sin x + b \cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે,તેથી વિસ્તાર $[-5, 5]$ થાય.
સમીકરણનો ઉકેલ મળે તે માટે $k + 1$ ની કિંમત આ વિસ્તારમાં હોવી જોઈએ:
$-5 \le k + 1 \le 5$
બધી બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$-6 \le k \le 4$
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
આવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $11$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log _{4}(x-1)=\log _{2}(x-3)$
$\log _{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log _{a}(b)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} \log _{2}(x-1)=\log _{2}(x-3)$
$\log _{2}(x-1)^{1/2}=\log _{2}(x-3)$
બંને બાજુના પદોને સરખાવતા:
$(x-1)^{1/2} = x-3$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x-1 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-2)(x-5) = 0$
$x = 2$ અથવા $x = 5$
મૂળ સમીકરણનો પ્રદેશ તપાસતા:
$\log _{2}(x-3)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x-3 > 0$,એટલે કે $x > 3$.
$\log _{4}(x-1)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x-1 > 0$,એટલે કે $x > 1$.
આથી,પ્રદેશ $x > 3$ છે.
$x=2$ એ પ્રદેશમાં નથી $(2 < 3)$,તેથી તે ઉકેલ શક્ય નથી.
માત્ર $x=5$ એ સાચો ઉકેલ છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,$(x-1)$ એ બહુપદીનો અવયવ છે.
ભાગાકાર કરતા,$(x-1)(x^{2}-x+1)=0$ મળે છે.
બીજ $x=1$ અને $x^{2}-x+1=0$ ના બીજ એટલે કે $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આ બીજ $-\omega^{2}$ અને $-\omega$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$162^{\text{th}}$ ઘાતનો સરવાળો $S = (1)^{162} + (-\omega^{2})^{162} + (-\omega)^{162}$ થાય.
$S = 1 + \omega^{324} + \omega^{162}$.
$\omega^{3} = 1$ હોવાથી,$\omega^{324} = 1$ અને $\omega^{162} = 1$ થાય.
તેથી,$S = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ છે.
ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.
ધારો કે $r = 30-k$. જ્યારે $k$ એ $0$ થી $29$ સુધી જાય,ત્યારે $r$ એ $30$ થી $1$ સુધી જાય છે.
$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.
નિત્યસમ $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.
$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.
આપેલ છે કે $S = n \cdot 2^m$ જ્યાં $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$,તેથી $n = 15$ અને $m = 30$.
તેથી,$n + m = 15 + 30 = 45$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \cos^2 x = (\sqrt{3}-1) \cos x + 1$
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x + \cos x - 1 = 0$
અવયવ પાડતા: $\sqrt{3} \cos x (\cos x - 1) + 1 (\cos x - 1) = 0$
$(\sqrt{3} \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$ (જે અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં છે)
કિસ્સો $2$: $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. કારણ કે $\cos x$ બીજા ચરણમાં ઋણ હોય છે અને $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ છે,તેથી આપેલ અંતરાલમાં આ કિસ્સા માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ છે,જે $x = 0$ છે.

(B) કોઈ વિધાન સ્વયંસત્ય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ છીએ.
વિધાન $(a)$ માટે: $(\sim q \wedge (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow \sim p$
(સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,તમામ કિંમતો $T$ મળે છે,તેથી $(a)$ સ્વયંસત્ય છે.)
વિધાન $(b)$ માટે: $((p \vee q) \wedge \sim p) \rightarrow q$
(સત્યતા કોષ્ટક મુજબ,તમામ કિંમતો $T$ મળે છે,તેથી $(b)$ પણ સ્વયંસત્ય છે.)
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સ્વયંસત્ય છે.

(D) ધારો કે પરવલય $y=x^{2}+4$ પરનું બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે. કારણ કે $P$ પરવલય પર આવેલું છે,તેથી $k = h^{2}+4$ થાય.
આપેલી સીધી રેખા $L: y = 4x - 1$ છે,જેને $4x - y - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $P(h, k)$ થી રેખા $4x - y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|4h - k - 1|}{\sqrt{4^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|4h - (h^{2} + 4) - 1|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|4h - h^{2} - 5|}{\sqrt{17}} = \frac{|-(h^{2} - 4h + 5)|}{\sqrt{17}} = \frac{h^{2} - 4h + 5}{\sqrt{17}}$.
રેખાની સૌથી નજીકનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને $d$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવીએ:
$\frac{dd}{dh} = \frac{1}{\sqrt{17}} (2h - 4)$.
$\frac{dd}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $2h - 4 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h = 2$.
$h = 2$ માટે,$y$-યામ $k = (2)^{2} + 4 = 4 + 4 = 8$ થાય.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(2, 8)$ છે.

(D) ધારો કે જેટ પ્લેનની ઊંચાઈ $h \, m$ છે। જમીન પરનું બિંદુ $A$ છે।
પ્રથમ સ્થિતિ પરથી, $\tan 60^{\circ} = \frac{h}{y}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{y}$ $\Rightarrow y = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots (1)$
$20 \, s$ પછી, પ્લેન $x$ જેટલું અંતર કાપે છે।
ઝડપ $= 432 \, km/h = 432 \times \frac{5}{18} \, m/s = 120 \, m/s$.
અંતર $x = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 120 \times 20 = 2400 \, m$.
બીજી સ્થિતિ પરથી, $\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + y}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2400 + y}$ $\Rightarrow 2400 + y = h\sqrt{3} \quad \dots (2)$
$(1)$ માંથી $y$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$2400 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$2400 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{2400 \times \sqrt{3}}{2} = 1200 \sqrt{3} \, m$.

(B) આપણે નિત્યસમ ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r+1} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
નોંધો કે ${}^{2}C_{2} = {}^{3}C_{3} = 1$.
શ્રેણી $S = {}^{n+1}C_{2} + 2 \sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2}$ છે.
હોકી-સ્ટિક નિત્યસમ $\sum_{i=r}^{n} {}^{i}C_{r} = {}^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum_{k=2}^{n} {}^{k}C_{2} = {}^{n+1}C_{3}$ મળે છે.
તેથી,$S = {}^{n+1}C_{2} + 2({}^{n+1}C_{3})$.
$S = \frac{(n+1)n}{2} + 2 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$ છે,જેને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 2$ તરીકે લખી શકાય. અહીં ઢાળ $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
દરેક વક્ર માટે બિંદુ $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ચકાસીએ.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x^{2} + 9y^{2} = 9$.
બિંદુ મૂકતા: $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + 9\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = \frac{36}{4} = 9$. બિંદુ વક્ર પર છે.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_{1}}{a^{2}} + \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ છે.
$x^{2} + 9y^{2} = 9$ માટે,$\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ મળે.
$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ આગળ સ્પર્શક: $\frac{x \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}{9} + y \cdot \frac{1}{2} = 1$.
$\frac{\sqrt{3}x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \implies \sqrt{3}x + 3y = 6 \implies x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$.
આ આપેલ રેખા સાથે બંધ બેસે છે.

(B) આપણે વિધાન $\sim p \wedge (p \vee q)$ નું નકારાત્મક શોધવા માંગીએ છીએ.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\sim (\sim p \wedge (p \vee q)) \equiv \sim (\sim p) \vee \sim (p \vee q)$.
ડબલ નેગેશન અને ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $p \vee (\sim p \wedge \sim q)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(p \vee \sim p) \wedge (p \vee \sim q)$.
કારણ કે $(p \vee \sim p) \equiv T$ (નિરર્થક વિધાન),તેથી $T \wedge (p \vee \sim q)$.
તેથી,પરિણામ $p \vee \sim q$ છે.

(D) ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(a, c), (2, b), (a, b)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{10}{3}, \frac{7}{3}\right)$ છે.
$x$-યામ સરખાવતા: $\frac{a+2+a}{3} = \frac{10}{3} \implies 2a + 2 = 10 \implies a = 4$.
$y$-યામ સરખાવતા: $\frac{c+b+b}{3} = \frac{7}{3} \implies c + 2b = 7$.
$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a + c$. $a=4$ મૂકતા,$2b = 4 + c \implies c = 2b - 4$.
$c$ ની કિંમત $c + 2b = 7$ માં મૂકતા: $(2b - 4) + 2b = 7 \implies 4b = 11 \implies b = \frac{11}{4}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^{2} + \frac{11}{4}x + 1 = 0$ મળે.
બીજ $\alpha, \beta$ માટે,$\alpha + \beta = -\frac{11}{16}$ અને $\alpha\beta = \frac{1}{4}$.
$\alpha^{2} + \beta^{2} - \alpha\beta = (\alpha + \beta)^{2} - 3\alpha\beta = \left(-\frac{11}{16}\right)^{2} - 3\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{121}{256} - \frac{3}{4} = -\frac{71}{256}$.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. $S$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{5} = 32$ છે.
બે ઉપગણો $A$ અને $B$ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી કુલ જોડીઓની સંખ્યા $32 \times 32 = 2^{10}$ છે.
દરેક ઘટક $x \in S$ માટે,$A$ અને $B$ માં તેની હાજરી માટે $4$ શક્યતાઓ છે.
છેદગણ $A \cap B$ માં બરાબર $2$ ઘટકો હોય તે માટે,$5$ માંથી $2$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{5}{2} = 10$ છે.
બાકીના $3$ ઘટકો માટે,દરેક ઘટક માટે $3$ શક્યતાઓ છે,તેથી કુલ $3^{3} = 27$ રીતો મળે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $10 \times 27 = 270$ છે.
સંભાવના $\frac{270}{2^{10}} = \frac{135}{2^{9}}$ થાય.

(A) વેન્ડરમોન્ડની ઓળખનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}$.
આપેલ પદાવલિ પર આ લાગુ કરતા:
$\sum_{i=0}^{k}\binom{10}{i}\binom{15}{k-i} = \binom{10+15}{k} = \binom{25}{k}$.
તે જ રીતે,$\sum_{i=0}^{k+1}\binom{12}{i}\binom{13}{k+1-i} = \binom{12+13}{k+1} = \binom{25}{k+1}$.
કુલ સરવાળો $\binom{25}{k} + \binom{25}{k+1}$ છે.
પાસ્કલની ઓળખનો ઉપયોગ કરતા,$\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$,આપણને $\binom{25}{k} + \binom{25}{k+1} = \binom{26}{k+1}$ મળે છે.
જેમ કે $\binom{n}{r}$ એ તમામ અ-ઋણ પૂર્ણાંકો $n$ અને $r$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી પદાવલિ $\binom{26}{k+1}$ કોઈપણ અ-ઋણ પૂર્ણાંક $k$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,$k$ માટે કોઈ મહત્તમ કિંમત નથી.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(5, 0)$ થી અંતર એ $(-5, 0)$ થી અંતર કરતાં ત્રણ ગણું છે:
$\sqrt{(x-5)^{2} + y^{2}} = 3\sqrt{(x+5)^{2} + y^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-5)^{2} + y^{2} = 9((x+5)^{2} + y^{2})$
$x^{2} - 10x + 25 + y^{2} = 9(x^{2} + 10x + 25 + y^{2})$
$8x^{2} + 8y^{2} + 100x + 200 = 0$
$8$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + y^{2} + 12.5x + 25 = 0$
વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = 6.25$,$f = 0$,અને $c = 25$ મળે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{(6.25)^{2} - 25} = \sqrt{39.0625 - 25} = \sqrt{14.0625}$.
આમ,$r^{2} = 14.0625$.
તેથી,$4r^{2} = 4 \times 14.0625 = 56.25$.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$ છે. કેન્દ્ર $(2,3)$ અને ત્રિજ્યા $5$ છે.
બિંદુ $(5,7)$ આગળ ત્રિજ્યાનો ઢાળ $m_r = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{3}{4}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-7 = -\frac{3}{4}(x-5) \implies 3x+4y-43=0$ છે.
સ્પર્શકનો $x-$અંતઃખંડ $y=0$ લેતા $x = \frac{43}{3}$ મળે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \frac{4}{3}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-7 = \frac{4}{3}(x-5) \implies 4x-3y+1=0$ છે.
અભિલંબનો $x-$અંતઃખંડ $y=0$ લેતા $x = -\frac{1}{4}$ મળે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(-\frac{1}{4}, 0)$,$(\frac{43}{3}, 0)$ અને $(5, 7)$ છે.
પાયો $b = \frac{43}{3} - (-\frac{1}{4}) = \frac{175}{12}$ અને વેધ $h = 7$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \frac{175}{12} \times 7 = \frac{1225}{24}$ છે.
તેથી,$24A = 1225$.

(B) વિચરણ $\sigma^{2} = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $n = 10$ છે.
$\Sigma x_{i} = 9 + k$ અને $\Sigma x_{i}^{2} = 9 + k^{2}$.
$\frac{9 + k^{2}}{10} - \left(\frac{9 + k}{10}\right)^{2} < 10$.
$10(9 + k^{2}) - (9 + k)^{2} < 1000$.
$9k^{2} - 18k + 9 < 1000$.
$9(k - 1)^{2} < 1000$.
$(k - 1)^{2} < 111.11$.
$k - 1 < 10.54$.
$k < 11.54$.
$k$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$k$ ની મહત્તમ કિંમત $11$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ ચાર પદો $a, ar, ar^2, ar^3$ છે.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $S_4 = a\frac{r^4-1}{r-1} = \frac{65}{12} \quad (1)$.
તેમના વ્યસ્તોનો સરવાળો $\frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} + \frac{1}{ar^3} = \frac{1}{a} \frac{r^4-1}{r^3(r-1)} = \frac{65}{18} \quad (2)$.
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,$a^2 r^3 = \frac{65/12}{65/18} = \frac{3}{2}$ મળે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ત્રણ પદોનો ગુણાકાર $a^3 r^3 = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $ar = 1$,તેથી $a = \frac{1}{r}$.
$a = \frac{1}{r}$ ને $a^2 r^3 = \frac{3}{2}$ માં મૂકતા,$r = \frac{3}{2}$ મળે.
આમ,$a = \frac{2}{3}$.
ત્રીજું પદ $\alpha = ar^2 = \frac{2}{3} \times (\frac{3}{2})^2 = \frac{3}{2}$.
તેથી,$2\alpha = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(D) ધારો કે $n(C)$ એ જૂથ $C$ માં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે. દરેક જૂથમાં ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી હોવો જોઈએ,તેથી બાકીના $10 - n(C)$ વિદ્યાર્થીઓને જૂથ $A$ અને $B$ માં એવી રીતે વહેંચવા જોઈએ કે જેથી $A$ અને $B$ બંને ખાલી ન હોય.
જૂથ $C$ માં $n(C)$ વિદ્યાર્થીઓના નિશ્ચિત સેટ માટે,બાકીના $10 - n(C)$ વિદ્યાર્થીઓને જૂથ $A$ અને $B$ માં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $2^{10-n(C)} - 2$ છે.
કિસ્સો $1$: $n(C) = 1$.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_{1} \times (2^{9} - 2) = 10 \times 510 = 5100$.
કિસ્સો $2$: $n(C) = 2$.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_{2} \times (2^{8} - 2) = 45 \times 254 = 11430$.
કિસ્સો $3$: $n(C) = 3$.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{10}C_{3} \times (2^{7} - 2) = 120 \times 126 = 15120$.
કુલ શક્યતાઓની સંખ્યા $= 5100 + 11430 + 15120 = 31650$.

(B) આપેલ છે $k = \frac{(-1+i \sqrt{3})^{21}}{(1-i)^{24}}+\frac{(1+i \sqrt{3})^{21}}{(1+i)^{24}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1+i \sqrt{3} = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2e^{i \frac{2\pi}{3}}$ અને $1+i \sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i \frac{\pi}{3}}$.
તેમજ $1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}}$ અને $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{(2e^{i \frac{2\pi}{3}})^{21}}{(\sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}})^{24}} + \frac{(2e^{i \frac{\pi}{3}})^{21}}{(\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}})^{24}} = \frac{2^{21} e^{i 14\pi}}{2^{12} e^{-i 6\pi}} + \frac{2^{21} e^{i 7\pi}}{2^{12} e^{i 6\pi}}$
$k = 2^9 (e^{i 20\pi} + e^{i \pi}) = 512(1 - 1) = 0$.
તેથી,$n = [|k|] = 0$.
પદાવલિ $\sum_{j=0}^{5} (j+5)^2 - \sum_{j=0}^{5} (j+5) = \sum_{j=0}^{5} ((j+5)^2 - (j+5)) = \sum_{j=0}^{5} (j^2 + 10j + 25 - j - 5) = \sum_{j=0}^{5} (j^2 + 9j + 20)$.
$= \sum_{j=0}^{5} j^2 + 9 \sum_{j=0}^{5} j + \sum_{j=0}^{5} 20 = \frac{5(6)(11)}{6} + 9 \frac{5(6)}{2} + 20(6) = 55 + 135 + 120 = 310$.

(D) કિસ્સો-$I$: $x \leq 5$
$(x+1)^{2} - (x-5) = \frac{27}{4}$
$(x+1)^{2} - (x+1) - \frac{3}{4} = 0$
$y = x+1$ લેતા,$4y^{2} - 4y - 3 = 0$
$(2y-3)(2y+1) = 0 \implies y = \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ અને $x = -\frac{3}{2}$ (બંને $x \leq 5$ માટે માન્ય છે)
કિસ્સો-$II$: $x > 5$
$(x+1)^{2} + (x-5) = \frac{27}{4}$
$4x^{2} + 12x - 43 = 0$
આ સમીકરણના ઉકેલો $x > 5$ ની શરતનું પાલન કરતા નથી.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(B) વક્ર અને રેખા વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર હંમેશા વક્ર પરના તે બિંદુ $P(x_0, y_0)$ આગળ હોય છે જ્યાં સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.
રેખાનું સમીકરણ $x-y=1$ છે,જેને $y=x-1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m=1$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $x^2=2y$ છે,જેનો અર્થ છે $y=\frac{x^2}{2}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x_0, y_0)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2}) = x$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો લેતા,આપણને $x_0 = 1$ મળે છે.
$x_0=1$ ને વક્રના સમીકરણ $y_0 = \frac{x_0^2}{2}$ માં મૂકતા,આપણને $y_0 = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,વક્ર પરનું બિંદુ $P(1, \frac{1}{2})$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax+By+C=0$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,રેખા $x-y-1=0$ છે,તેથી $A=1, B=-1, C=-1$. બિંદુ $(1, \frac{1}{2})$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $= \left|\frac{1(1) + (-1)(\frac{1}{2}) - 1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \left|\frac{1 - \frac{1}{2} - 1}{\sqrt{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(B) કારણ કે $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી,બીજું બીજ $1+2i$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
બીજનો સરવાળો $= -\alpha = (1-2i) + (1+2i) = 2 \implies \alpha = -2$.
બીજનો ગુણાકાર $= \beta = (1-2i)(1+2i) = 1^{2} - (2i)^{2} = 1 + 4 = 5$.
તેથી,$\alpha - \beta = -2 - 5 = -7$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ માટે,$a^{2}=25$ અને $b^{2}=16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae_{1}, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
આપેલ છે કે ઉપવલય અને અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ છે,તેથી $e_{1} \times e_{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{3}{5} \times e_{2} = 1$ $\Rightarrow e_{2} = \frac{5}{3}$ છે.
ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
અતિવલય ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{3^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 9$ મળે.
અતિવલય માટે,$b^{2} = a^{2}(e_{2}^{2}-1) = 9((\frac{5}{3})^{2}-1) = 9(\frac{25}{9}-1) = 9(\frac{16}{9}) = 16$ મળે.
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos x + \cos y - \cos(x + y) = \frac{3}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = y$ અને $\cos x = \frac{1}{2}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{3}$ અને $y = \frac{\pi}{3}$.
હવે,$\sin x + \cos y = \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

(D) ઉગમબિંદુ આગળ જીવા $PQ$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે રેખા $x + y = 1$ નો ઉપયોગ કરીને વક્ર $x^{2} + 2y^{2} = 2$ ના સમીકરણને સમઘાત બનાવીશું.
રેખાનું સમીકરણ $x + y = 1$ છે,તેથી $1 = x + y$.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{2} + 2y^{2} = 2(1)^{2}$
$x^{2} + 2y^{2} = 2(x + y)^{2}$
$x^{2} + 2y^{2} = 2(x^{2} + 2xy + y^{2})$
$x^{2} + 2y^{2} = 2x^{2} + 4xy + 2y^{2}$
$x^{2} + 4xy = 0$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. ધારો કે આ રેખાઓ $y = m_{1}x$ અને $y = m_{2}x$ છે.
$x(x + 4y) = 0$ પરથી,આપણને $x = 0$ (ઢાળ $m_{1} = \infty$) અને $y = -\frac{1}{4}x$ (ઢાળ $m_{2} = -\frac{1}{4}$) મળે છે.
આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$
એક રેખા શિરોલંબ $(x=0)$ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ એ શિરોલંબ રેખા અને $-\frac{1}{4}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
રેખા $y = -\frac{1}{4}x$ નો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha = \tan^{-1}(-\frac{1}{4}) = -\tan^{-1}(\frac{1}{4})$ છે.
શિરોલંબ રેખા $(90^{\circ})$ અને આ રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2} - (-\tan^{-1}(\frac{1}{4})) = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1}(\frac{1}{4})$ છે.

(C) શરતી વિધાન $p \rightarrow q$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
અહીં,વિધાન $p$ એ "તમે કામ કરશો" છે અને $q$ એ "તમે પૈસા કમાશો" છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $\sim q \rightarrow \sim p$ એ "જો તમે પૈસા નહીં કમાશો,તો તમે કામ નહીં કરો" થાય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = a^{a^{x}} + a^{1-a^{x}}$ છે.
બીજા પદને $a^{1-a^{x}} = \frac{a}{a^{a^{x}}}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$f(x) = a^{a^{x}} + \frac{a}{a^{a^{x}}}$.
અહીં $a > 0$ હોવાથી,$a^{a^{x}}$ અને $\frac{a}{a^{a^{x}}}$ બંને ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ ની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $u$ અને $v$ માટે,$u + v \geq 2\sqrt{uv}$.
ધારો કે $u = a^{a^{x}}$ અને $v = \frac{a}{a^{a^{x}}}$.
તેથી $f(x) = u + v \geq 2\sqrt{u \cdot v} = 2\sqrt{a^{a^{x}} \cdot \frac{a}{a^{a^{x}}}} = 2\sqrt{a}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2\sqrt{a}$ છે.

(A) $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^{2}-6x-2=0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha^{2}-6\alpha-2=0$ અને $\beta^{2}-6\beta-2=0$ મળે.
પ્રથમ સમીકરણને $\alpha^{8}$ વડે ગુણતા,$\alpha^{10}-6\alpha^{9}-2\alpha^{8}=0$ મળે.
તે જ રીતે,બીજા સમીકરણને $\beta^{8}$ વડે ગુણતા,$\beta^{10}-6\beta^{9}-2\beta^{8}=0$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$(\alpha^{10}-\beta^{10})-6(\alpha^{9}-\beta^{9})-2(\alpha^{8}-\beta^{8})=0$ મળે.
$a_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}$ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આ $a_{10}-6a_{9}-2a_{8}=0$ માં પરિણમે છે.
પદોને ગોઠવતા,$a_{10}-2a_{8}=6a_{9}$ મળે.
તેથી,$\frac{a_{10}-2a_{8}}{3a_{9}} = \frac{6a_{9}}{3a_{9}} = 2$.

(A) આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $3^{n} + 7^{n} \equiv 0 \pmod{10}$.
$7 \equiv -3 \pmod{10}$ હોવાથી,$7^{n} \equiv (-3)^{n} \pmod{10}$ મળે.
આમ,$3^{n} + 7^{n} \equiv 3^{n} + (-1)^{n} 3^{n} \pmod{10}$.
જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $3^{n} + 3^{n} = 2 \cdot 3^{n}$,જે $10$ વડે વિભાજ્ય નથી.
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $3^{n} - 3^{n} = 0$,જે $10$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$n$ એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
બે અંકની સંખ્યાઓ $10$ થી $99$ સુધીની છે.
કુલ $90$ સંખ્યાઓ છે,જેમાંથી અડધી એકી સંખ્યાઓ છે,એટલે કે $45$.

(A) આપેલ છે કે જ્યારે $x$ ને $4$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $3$ મળે છે,તેથી આપણે $x = 4k + 3$ લખી શકીએ.
આપણે $(2020 + x)^{2022}$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$x = 4k + 3$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(2020 + x)^{2022} = (2020 + 4k + 3)^{2022} = (2023 + 4k)^{2022}$.
$2023 = 8 \times 252 + 7$ હોવાથી,$2023 \equiv 7 \equiv -1 \pmod{8}$ થાય.
તેથી,$(2023 + 4k)^{2022} \equiv (-1 + 4k)^{2022} \pmod{8}$.
જો $k$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $k = 2m$ લેતા,$(-1 + 8m)^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$.
જો $k$ એકી સંખ્યા હોય,તો $k = 2m + 1$ લેતા,$(-1 + 4(2m + 1))^{2022} = (3 + 8m)^{2022} \equiv 3^{2022} \pmod{8}$.
$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$ હોવાથી,$3^{2022} = (3^2)^{1011} \equiv 1^{1011} \equiv 1 \pmod{8}$.
બંને કિસ્સામાં,શેષ $1$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^{2}=4x$ પરના સ્પર્શબિંદુને $A(t^{2}, 2t)$ ધારો.
પરવલયના બિંદુ $A(t^{2}, 2t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + t^{2}$ છે,જેને $x - ty + t^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^{2} + y^{2} = 9$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=3$ છે,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
$\left| \frac{3 - t(0) + t^{2}}{\sqrt{1^{2} + (-t)^{2}}} \right| = 3$
$\left| 3 + t^{2} \right| = 3\sqrt{1 + t^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 + t^{2})^{2} = 9(1 + t^{2})$
$9 + t^{4} + 6t^{2} = 9 + 9t^{2}$
$t^{4} - 3t^{2} = 0$
$t^{2}(t^{2} - 3) = 0$
બિંદુઓ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t^{2} = 3$,જે $t = \sqrt{3}$ આપે છે.
આમ,પરવલય પરનું સ્પર્શબિંદુ $A(t^{2}, 2t) = (3, 2\sqrt{3})$ છે. તેથી,$a=3$ અને $b=2\sqrt{3}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ છે.
વર્તુળ પરનું સ્પર્શબિંદુ $B(c, d)$ એ કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી સ્પર્શક $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ પરના લંબપાદ છે.
લંબપાદ $(c, d)$ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$\frac{c-3}{1} = \frac{d-0}{-\sqrt{3}} = -\frac{1(3) - \sqrt{3}(0) + 3}{1^{2} + (-\sqrt{3})^{2}} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$
$c - 3 = -\frac{3}{2} \Rightarrow c = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
$d = -\sqrt{3} \times (-\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
આપણે $2(a+c) = 2(3 + \frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{2}) = 9$ શોધવાનું છે.

(C) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax-(e^{4x}-1)}{ax(e^{4x}-1)} = b$ છે.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $x=0$ આગળ તેનું સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવું જોઈએ.
વિસ્તરણ $e^{4x} = 1 + 4x + \frac{(4x)^2}{2!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ax - (1 + 4x + 8x^2 + \dots - 1)}{ax(4x + 8x^2 + \dots)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(a-4)x - 8x^2}{4ax^2 + 8ax^3}$.
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,અંશમાં $x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $a-4 = 0$,જે $a = 4$ આપે છે.
હવે,$a=4$ ને લક્ષમાં મૂકતા:
$b = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x^2}{4(4)x^2 + 8(4)x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8x^2}{16x^2 + 32x^3} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-8}{16 + 32x} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$.
આમ,$a = 4$ અને $b = -\frac{1}{2}$.
છેલ્લે,$a - 2b = 4 - 2(-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$.

(D) આપેલ છે કે $y+z=5$ અને $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{y+z}{yz} = \frac{5}{6}$.
$y+z=5$ મૂકતા,આપણને $\frac{5}{yz} = \frac{5}{6}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $yz = 6$.
આપણી પાસે $y+z=5$ અને $yz=6$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 5t + 6 = 0$ ના બીજ $t=2$ અને $t=3$ છે.
$y > z$ હોવાથી,$y=3$ અને $z=2$ મળે.
સંખ્યા $n = 2^{x} \cdot 3^{3} \cdot 5^{2}$ છે.
$n$ નો એકી ભાજક $3^{a} \cdot 5^{b}$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ,જ્યાં $0 \le a \le 3$ અને $0 \le b \le 2$.
$a$ માટેની પસંદગીની સંખ્યા $(3+1) = 4$ છે.
$b$ માટેની પસંદગીની સંખ્યા $(2+1) = 3$ છે.
એકી ભાજકોની કુલ સંખ્યા $= 4 \times 3 = 12$.

(C) ધારો કે $x = n$,જ્યાં $n \in Z$.
પ્રથમ,$x = n$ પર વિધેયનું મૂલ્ય ધ્યાનમાં લો:
$f(n) = [n-1] \cos \left(\frac{2n-1}{2}\right) \pi = (n-1) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-1) \cdot 0 = 0$.
હવે,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ ગણો:
$LHL = \lim_{x \rightarrow n^-} [x-1] \cos \left(\frac{2x-1}{2}\right) \pi$.
જેમ $x \rightarrow n^-$,$[x-1] = n-2$.
$LHL = (n-2) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-2) \cdot 0 = 0$.
હવે,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ ગણો:
$RHL = \lim_{x \rightarrow n^+} [x-1] \cos \left(\frac{2x-1}{2}\right) \pi$.
જેમ $x \rightarrow n^+$,$[x-1] = n-1$.
$RHL = (n-1) \cos \left(n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (n-1) \cdot 0 = 0$.
કારણ કે તમામ $n \in Z$ માટે $LHL = RHL = f(n) = 0$ છે,તેથી વિધેય $x$ ના તમામ પૂર્ણાંક મૂલ્યો પર સતત છે.
$x$ ના બિન-પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે,વિધેય એ અચળ (સ્થાનિક રીતે) અને સતત ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ગુણાકાર છે,તેથી તે સતત છે.
તેથી,$f(x)$ દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે સતત છે.

(D) ધારો કે રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2} = t$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x = t+3$,$y = 2t+4$,અને $z = 2t+5$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સમતલ $x+y+z=17$ સાથેના છેદબિંદુ માટે,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(t+3) + (2t+4) + (2t+5) = 17$.
$5t + 12 = 17
\Rightarrow 5t = 5
\Rightarrow t = 1$.
$t=1$ ને પેરામેટ્રિક સમીકરણોમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $(1+3, 2(1)+4, 2(1)+5) = (4, 6, 7)$ મળે છે.
બિંદુઓ $(1, 1, 9)$ અને $(4, 6, 7)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-1)^2 + (7-9)^2}
= \sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}
= \sqrt{9 + 25 + 4}
= \sqrt{38}$.

(A) વક્ર $y=x^{3}$ માટે $P(t, t^{3})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ છે.
$x=t$ આગળ ઢાળ $3t^{2}$ થાય.
$P(t, t^{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$ છે.
$y=x^{3}$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y=x^{3}$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3} - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$.
$(x - t)(x^{2} + xt + t^{2}) = 3t^{2}(x - t)$.
$Q$ બિંદુ માટે $x \neq t$ હોવાથી,$x^{2} + xt + t^{2} = 3t^{2}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + xt - 2t^{2} = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા $(x - t)(x + 2t) = 0$ મળે,તેથી $x = -2t$.
$Q$ ના યામ $(-2t, -8t^{3})$ છે.
$PQ$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુનો યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા:
$y = \frac{1 \times (-8t^{3}) + 2 \times (t^{3})}{1 + 2} = \frac{-8t^{3} + 2t^{3}}{3} = \frac{-6t^{3}}{3} = -2t^{3}$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{4x^3 - 3x^2}{6} - 2 \sin x + (2x - 1) \cos x$.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{12x^2 - 6x}{6} - 2 \cos x + [2 \cos x + (2x - 1)(-\sin x)]$
$f'(x) = (2x^2 - x) - 2 \cos x + 2 \cos x - (2x - 1) \sin x$
$f'(x) = x(2x - 1) - (2x - 1) \sin x$
$f'(x) = (2x - 1)(x - \sin x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે,$x > \sin x$,તેથી $(x - \sin x) > 0$.
$x < 0$ માટે,$x < \sin x$,તેથી $(x - \sin x) < 0$.
હવે,$f'(x) = (2x - 1)(x - \sin x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$1$. જો $x \in [\frac{1}{2}, \infty)$,તો $(2x - 1) \geq 0$ અને $(x - \sin x) > 0$,તેથી $f'(x) \geq 0$. આમ,$f(x)$ વધતું વિધેય છે.
$2$. જો $x \in [0, \frac{1}{2}]$,તો $(2x - 1) \leq 0$ અને $(x - \sin x) \geq 0$,તેથી $f'(x) \leq 0$. આમ,$f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
$3$. જો $x \in (-\infty, 0]$,તો $(2x - 1) < 0$ અને $(x - \sin x) \leq 0$,તેથી $f'(x) \geq 0$. આમ,$f(x)$ વધતું વિધેય છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$f(x)$ એ $[\frac{1}{2}, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 2x - 1$ અને $g(x) = \frac{x - 1/2}{x - 1} = \frac{2x - 1}{2(x - 1)}$.
સંયોજિત વિધેય $f(g(x))$ ની ગણતરી કરતા:
$f(g(x)) = 2(g(x)) - 1 = 2 \left( \frac{2x - 1}{2(x - 1)} \right) - 1$
$= \frac{2x - 1}{x - 1} - 1 = \frac{2x - 1 - (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$.
એક-એક વિધેય માટે:
ધારો કે $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$.
$1 + \frac{1}{x_1 - 1} = 1 + \frac{1}{x_2 - 1} \implies x_1 - 1 = x_2 - 1 \implies x_1 = x_2$.
આમ,$f(g(x))$ એ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે:
$f(g(x)) = 1 + \frac{1}{x - 1}$ નો વિસ્તાર $R - \{1\}$ છે.
અહીં સહપ્રદેશ $R$ છે,તેથી વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ જેટલો નથી.
તેથી,$f(g(x))$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી.
નિષ્કર્ષ: $f(g(x))$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(D) ધારો કે પાસાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
એકી સંખ્યા $2$ વખત મળે તેની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા મળે છે: $P(X=2) = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{n-2} = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{n}$.
બેકી સંખ્યા $3$ વખત મળે તેની સંભાવના એ એકી સંખ્યા $(n-3)$ વખત મળે તેની સંભાવના જેટલી છે: $P(Y=3) = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{n}$.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(Y=3)$,તેથી ${}^{n}C_{2} = {}^{n}C_{3}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 + 3 = n$,એટલે કે $n = 5$.
આપણે એકી સંખ્યા એકી વખત મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=1) + P(X=3) + P(X=5)$ છે.
$P(X=1) + P(X=3) + P(X=5) = {}^{5}C_{1} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{3} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{2^{5}} (5 + 10 + 1) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

(C) સૌ પ્રથમ,$x^{2} + y^{2} = 36$ અને $y^{2} = 9x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^{2} = 9x$ મૂકતા: $x^{2} + 9x - 36 = 0$.
$(x + 12)(x - 3) = 0$,તેથી $x = 3$ (કારણ કે પરવલય માટે $x \geq 0$ છે).
$x = 3$ પર,$y^{2} = 27$,તેથી $y = \pm 3 \sqrt{3}$.
વર્તુળની અંદર અને પરવલયની બહારનું ક્ષેત્રફળ એ વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ માઈનસ વર્તુળ અને પરવલય બંનેની અંદરનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંનેની અંદરનું ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{3} \sqrt{9x} \, dx + 2 \int_{3}^{6} \sqrt{36 - x^{2}} \, dx$ છે.
$= 6 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{3} + 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{36 - x^{2}} + 18 \sin^{-1} \left( \frac{x}{6} \right) \right]_{3}^{6}$.
$= 12 \sqrt{3} + 2 [9 \pi - \frac{9 \sqrt{3}}{2} - 3 \pi] = 12 \pi + 3 \sqrt{3}$.
વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ = $36 \pi$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $36 \pi - (12 \pi + 3 \sqrt{3}) = 24 \pi - 3 \sqrt{3}$.

(A) લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt}{x^{3}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમ અને લેબનિઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
અંશનું વિકલન: $\frac{d}{dx} \int_{0}^{x^{2}} \sin \sqrt{t} dt = (\sin \sqrt{x^{2}}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = (\sin x) \cdot (2x)$.
છેદનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$.
હવે,લક્ષ આ મુજબ થશે:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \sin x}{3x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x}{3x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$L = \frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $\int_{-a}^{a} (|x| + |x-2|) dx = 22$ જ્યાં $a > 2$.
આપણે સંકલનને $x=0$ અને $x=2$ બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_{-a}^{0} (-x - (x-2)) dx + \int_{0}^{2} (x - (x-2)) dx + \int_{2}^{a} (x + x-2) dx = 22$
$\int_{-a}^{0} (-2x + 2) dx + \int_{0}^{2} 2 dx + \int_{2}^{a} (2x - 2) dx = 22$
$[-x^2 + 2x]_{-a}^{0} + [2x]_{0}^{2} + [x^2 - 2x]_{2}^{a} = 22$
$(0 - (-a^2 - 2a)) + (4 - 0) + ((a^2 - 2a) - (4 - 4)) = 22$
$a^2 + 2a + 4 + a^2 - 2a = 22$
$2a^2 + 4 = 22 \Rightarrow 2a^2 = 18 \Rightarrow a^2 = 9$. $a > 2$ હોવાથી,$a = 3$.
હવે,$\int_{3}^{-3} (x + [x]) dx = -\int_{-3}^{3} (x + [x]) dx$ ની ગણતરી કરીએ.
$\int_{-3}^{3} x dx + \int_{-3}^{3} [x] dx = 0 + ([-3] + [-2] + [-1] + [0] + [1] + [2])$
$= -3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 2 = -3$.
તેથી,$-\int_{-3}^{3} (x + [x]) dx = -(-3) = 3$.

(D) ધારો કે $M = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$. $M^{T}M$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો એ $M^{T}M$ નો ટ્રેસ છે,જે $M$ ના તમામ ઘટકોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો થાય છે.
આમ,$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} + f^{2} + g^{2} + h^{2} + i^{2} = 7$.
ઘટકો $\{0, 1, 2\}$ માંથી હોવાથી,આપણે વર્ગોના શક્ય સંયોજનો વિચારીએ જેનો સરવાળો $7$ થાય:
કિસ્સો-$I$: સાત $1$ અને બે $0$.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{9}{7} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$.
કિસ્સો-$II$: એક $2$ $(2^{2} = 4)$,ત્રણ $1$ $(1^{2} = 1)$,અને પાંચ $0$ $(0^{2} = 0)$.
સરવાળો = $4 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 7$.
રીતોની સંખ્યા = $\frac{9!}{1! 3! 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 504$.
શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા = $36 + 504 = 540$.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1-\sin x}$.
ધારો કે $t = \sin x$. કારણ કે $x \in (0, \frac{\pi}{2})$,તેથી $t \in (0, 1)$.
તેથી $f(t) = \frac{4}{t} + \frac{1}{1-t}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(t) = -\frac{4}{t^2} + \frac{1}{(1-t)^2}$.
$f'(t) = 0$ લેતા,આપણને $\frac{1}{(1-t)^2} = \frac{4}{t^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(1-t)^2 = \frac{t^2}{4}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$1-t = \frac{t}{2}$ (કારણ કે $t \in (0, 1)$),તેથી $1 = \frac{3t}{2}$,જે $t = \frac{2}{3}$ આપે છે.
કારણ કે $t = \frac{2}{3}$ એ $(0, 1)$ માં છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $f(\frac{2}{3}) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 6 + 3 = 9$ છે.
આમ,$\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત જેના માટે સમીકરણને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ મળે તે $9$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(r+1)-r}{1+r(r+1)}\right) = \tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)$.
આમ,સરવાળો એ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$\sum_{r=1}^{n} \left[\tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)\right] = (\tan ^{-1}(2) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(2)) + \dots + (\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(n))$.
આનું સાદું રૂપ $\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1}(1) = \tan ^{-1}(n+1) - \frac{\pi}{4}$ થાય છે.
હવે,$n \rightarrow \infty$ લેતા:
$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \tan \left(\tan ^{-1}(n+1) - \frac{\pi}{4}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

(A) સદિશ $\overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $\overrightarrow{c} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}$ લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0$,તેથી $\overrightarrow{b} \cdot (x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}) = 0$,જે સૂચવે છે કે $x(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + y|\overrightarrow{b}|^{2} = 0$.
અહીં $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = -1$ અને $|\overrightarrow{b}|^{2} = 2^{2} + 0^{2} + 1^{2} = 5$ છે.
તેથી,$-x + 5y = 0 \Rightarrow x = 5y$.
આમ,$\overrightarrow{c} = y(5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = y(5(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{k})) = y(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 7$,તેથી $y((-1)(-3) + (1)(5) + (1)(6)) = 7 \Rightarrow y(3 + 5 + 6) = 7 \Rightarrow 14y = 7 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\overrightarrow{c} = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{k}) + (-\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}) = (2 - 1 - \frac{3}{2})\hat{i} + (1 + \frac{5}{2})\hat{j} + (1 + 1 + 3)\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{7}{2}\hat{j} + 5\hat{k}$.
અંતે,$2|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|^{2} = 2((\frac{-1}{2})^{2} + (\frac{7}{2})^{2} + 5^{2}) = 2(\frac{1}{4} + \frac{49}{4} + 25) = 2(\frac{50}{4} + 25) = 2(12.5 + 25) = 2(37.5) = 75$.

(B) ધારો કે $P(B_{1}) = p_{1}$,$P(B_{2}) = p_{2}$,અને $P(B_{3}) = p_{3}$.
આપેલ છે કે $p_{1}(1 - p_{2})(1 - p_{3}) = \alpha$ $...(i)$
$p_{2}(1 - p_{1})(1 - p_{3}) = \beta$ $...(ii)$
$p_{3}(1 - p_{1})(1 - p_{2}) = \gamma$ $...(iii)$
અને $(1 - p_{1})(1 - p_{2})(1 - p_{3}) = p$ $...(iv)$
આના પરથી,આપણને $\frac{p_{1}}{1 - p_{1}} = \frac{\alpha}{p}$,$\frac{p_{2}}{1 - p_{2}} = \frac{\beta}{p}$,અને $\frac{p_{3}}{1 - p_{3}} = \frac{\gamma}{p}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણો: $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta \Rightarrow \frac{1}{p} = \frac{1}{\beta} - \frac{2}{\alpha} \Rightarrow \frac{1}{\beta} = \frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}$.
તેમજ,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{1}{2\gamma} - \frac{3}{2\beta} = \frac{1}{p} \Rightarrow \frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{p} + \frac{3}{2\beta}$.
બીજા સમીકરણમાં $\frac{1}{\beta} = \frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{p} + \frac{3}{2}(\frac{1}{p} + \frac{2}{\alpha}) = \frac{1}{p} + \frac{3}{2p} + \frac{3}{\alpha} = \frac{5}{2p} + \frac{3}{\alpha}$.
$\frac{\alpha}{p} = \frac{p_{1}}{1 - p_{1}}$ અને $\frac{\gamma}{p} = \frac{p_{3}}{1 - p_{3}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - p_{3}}{p_{3}} = \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{1 - p_{1}}{p_{1}}$ મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા $\frac{p_{1}}{p_{3}} = 6$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $PQ = kI_3$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|P||Q| = |kI_3| = k^3|I_3| = k^3$.
આપેલ છે $|Q| = \frac{k^2}{2}$,તેથી $|P| \cdot \frac{k^2}{2} = k^3$. $k \neq 0$ હોવાથી,$|P| = 2k$.
$|P|$ ની ગણતરી કરતા: $|P| = 3(0 - (-5\alpha)) - (-1)(0 - 3\alpha) + (-2)(-10 - 0) = 3(5\alpha) + (-3\alpha) + 20 = 12\alpha + 20$.
તેથી,$12\alpha + 20 = 2k$,અથવા $k = 6\alpha + 10$.
$PQ = kI_3$ હોવાથી,$Q = kP^{-1} = k \cdot \frac{\text{adj}(P)}{|P|} = k \cdot \frac{\text{adj}(P)}{2k} = \frac{1}{2} \text{adj}(P)$.
ઘટક $q_{23}$ એ $\frac{1}{2} \text{adj}(P)$ નો $(2,3)$ મો ઘટક છે.
$\text{adj}(P)$ નો $(2,3)$ મો ઘટક એ સહઅવયવ $C_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & \alpha \end{vmatrix} = -(3\alpha - (-4)) = -(3\alpha + 4)$ છે.
તેથી,$q_{23} = \frac{-(3\alpha + 4)}{2} = -\frac{k}{8}$.
આ સૂચવે છે કે $4(3\alpha + 4) = k$.
$k = 6\alpha + 10$ મૂકતા: $12\alpha + 16 = 6\alpha + 10 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$.
તેથી $k = 6(-1) + 10 = 4$.
અંતે,$\alpha^2 + k^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$.

(C) ધારો કે $I$ એ મિસાઇલ આંતરવાની ઘટના છે અને $H$ એ મિસાઇલ લક્ષ્યને ભેદવાની ઘટના છે.
આપેલ છે: $P(I) = \frac{1}{3}$,તેથી $P(\text{આંતરવામાં ન આવે}) = P(I^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
મિસાઇલ આંતરવામાં ન આવે ત્યારે લક્ષ્યને ભેદવાની સંભાવના $P(H | I^c) = \frac{3}{4}$ છે.
એક મિસાઇલ લક્ષ્યને ભેદે તેની સંભાવના $P(H) = P(I^c) \times P(H | I^c) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ છે.
ત્રણ મિસાઇલ સ્વતંત્ર રીતે છોડવામાં આવતી હોવાથી,ત્રણેય મિસાઇલ લક્ષ્યને ભેદે તેની સંભાવના $(P(H))^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ થાય.

(D) આપેલ છે $f(n+1) = f(n) + f(1)$. આ એક સુરેખ પુનરાવર્તિત સંબંધ છે.
$n=1$ માટે,$f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1)$.
$n=2$ માટે,$f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1)$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$f(n) = n f(1)$.
કારણ કે $f: N \rightarrow N$,$f(1)$ એ ધન પૂર્ણાંક $k \in N$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$f(n) = kn$. કારણ કે $k \geq 1$,$f(n_1) = f(n_2) \Rightarrow kn_1 = kn_2 \Rightarrow n_1 = n_2$,તેથી $f$ એક-એક છે. વિધાન $C$ સત્ય છે.
જો $fog$ એક-એક હોય,તો $f(g(x_1)) = f(g(x_2)) \Rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ કારણ કે $f$ એક-એક છે. $fog$ એક-એક હોવાથી,$x_1 = x_2$. તેથી $g$ એક-એક છે. વિધાન $A$ સત્ય છે.
જો $f$ વ્યાપ્ત હોય,તો કોઈપણ $y \in N$ માટે,એવો $n \in N$ મળે કે જેથી $f(n) = y$,એટલે કે $kn = y$. આ ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો $k=1$,તેથી $f(n) = n$. વિધાન $B$ સત્ય છે.
જો $g$ વ્યાપ્ત હોય,તો $fog$ એક-એક હોય તે જરૂરી નથી. જો $g$ એક-એક ન હોય,તો $fog$ એક-એક ન હોઈ શકે. તેથી,વિધાન $D$ સત્ય $\text{નથી}$.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-2} = r$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2r+1, 3r-1, -2r+1)$ છે.
$L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{QP} = (2r+1)\hat{i} + (3r-2)\hat{j} + (-2r-1)\hat{k}$ છે.
જરૂરી રેખા $L_1$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{QP} \cdot \vec{v_1} = 0$.
$2(2r+1) + 3(3r-2) - 2(-2r-1) = 0$.
$4r + 2 + 9r - 6 + 4r + 2 = 0$.
$17r - 2 = 0 \Rightarrow r = \frac{2}{17}$.
$r = \frac{2}{17}$ માટે $\vec{QP}$ ના ઘટકો $\frac{21}{17}\hat{i} - \frac{28}{17}\hat{j} - \frac{21}{17}\hat{k}$ છે.
$\frac{7}{17}$ વડે ભાગતા,દિશા ગુણોત્તર $(3, -4, -3)$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(0,1,2)$ માંથી પસાર થતી અને $(3, -4, -3)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y-1}{-4} = \frac{z-2}{-3}$ છે,જે $\frac{x}{-3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{3}$ ને સમાન છે.

(NONE) આપેલ સમીકરણો $l+m-n=0$ અને $l^{2}+m^{2}-n^{2}=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n = l+m$.
આને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $l^{2}+m^{2}=(l+m)^{2} = l^{2}+m^{2}+2lm$.
આનું સાદું રૂપ $2lm = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$,તો $n=m$. $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ હોવાથી,$0^{2}+m^{2}+m^{2}=1$,તેથી $2m^{2}=1$,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકકોસાઇન $(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$,તો $n=l$. $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ હોવાથી,$l^{2}+0^{2}+l^{2}=1$,તેથી $2l^{2}=1$,$l = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,દિકકોસાઇન $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
ધારો કે દિકકોસાઇન $\vec{u} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{v} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન $\cos \alpha = |\vec{u} \cdot \vec{v}| = |0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}| = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha$ શોધવાનું છે.
$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = (\frac{3}{4})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{16} + \frac{1}{4} = \frac{9+4}{16} = \frac{13}{16}$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{\sin \theta \cdot \sin 2 \theta \left(\sin ^{6} \theta+\sin ^{4} \theta+\sin ^{2} \theta\right) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta+3 \sin ^{2} \theta+6}}{1-\cos 2 \theta} d \theta$.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ અને $1 - \cos 2 \theta = 2 \sin ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin \theta \cdot (2 \sin \theta \cos \theta) \cdot \sin ^{2} \theta (\sin ^{4} \theta + \sin ^{2} \theta + 1) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta + 3 \sin ^{2} \theta + 6}}{2 \sin ^{2} \theta} d \theta$.
$I = \int \sin ^{2} \theta \cos \theta (\sin ^{4} \theta + \sin ^{2} \theta + 1) \sqrt{2 \sin ^{4} \theta + 3 \sin ^{2} \theta + 6} d \theta$.
ધારો કે $t = \sin \theta$,તેથી $dt = \cos \theta d \theta$.
$I = \int t^{2} (t^{4} + t^{2} + 1) \sqrt{2 t^{4} + 3 t^{2} + 6} dt = \int (t^{6} + t^{4} + t^{2}) \sqrt{2 t^{4} + 3 t^{2} + 6} dt$.
આ $\int (t^{5} + t^{3} + t) \sqrt{2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2}} dt$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે $u^{2} = 2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2}$,તેથી $2u du = (12 t^{5} + 12 t^{3} + 12 t) dt = 12(t^{5} + t^{3} + t) dt$.
તેથી,$(t^{5} + t^{3} + t) dt = \frac{u du}{6}$.
$I = \int u \cdot \frac{u du}{6} = \frac{1}{6} \int u^{2} du = \frac{u^{3}}{18} + c = \frac{(2 t^{6} + 3 t^{4} + 6 t^{2})^{3/2}}{18} + c$.
$t^{2} = 1 - \cos^{2} \theta$ મૂકતા,આપણને $11 - 18 \cos^{2} \theta + 9 \cos^{4} \theta - 2 \cos^{6} \theta$ મળે છે. આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $I = \int_{-1}^{1} x^{2} e^{[x^{3}]} dx$.
આપણે સંકલનને $x = 0$ આગળ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{-1}^{0} x^{2} e^{[x^{3}]} dx + \int_{0}^{1} x^{2} e^{[x^{3}]} dx$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$x^{3} \in [-1, 0)$,તેથી $[x^{3}] = -1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$x^{3} \in [0, 1)$,તેથી $[x^{3}] = 0$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_{-1}^{0} x^{2} e^{-1} dx + \int_{0}^{1} x^{2} e^{0} dx$
$I = \frac{1}{e} \int_{-1}^{0} x^{2} dx + \int_{0}^{1} x^{2} dx$
$I = \frac{1}{e} \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{1}$
$I = \frac{1}{e} \left( 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) \right) + \left( \frac{1}{3} - 0 \right)$
$I = \frac{1}{3e} + \frac{1}{3} = \frac{1+e}{3e}$.

(D) આપેલ છે કે વક્ર ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $y(0) = 0$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}-4x+y+8}{x-2}$ છે.
અંશને $(x-2)^{2} + y + 4$ તરીકે લખતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^{2} + y + 4}{x-2} = (x-2) + \frac{y}{x-2} + \frac{4}{x-2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x-2} = (x-2) + \frac{4}{x-2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{-\int \frac{1}{x-2} dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{x-2}$ છે.
બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x-2} \right) = \frac{1}{x-2} \left( (x-2) + \frac{4}{x-2} \right) = 1 + \frac{4}{(x-2)^{2}}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} + C$.
શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{0}{-2} = 0 - \frac{4}{-2} + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$.
આમ,$\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} - 2$.
$(x-2)$ વડે ગુણતા,$y = x(x-2) - 4 - 2(x-2) = x^{2} - 2x - 4 - 2x + 4 = x^{2} - 4x$.
વિકલ્પો તપાસતા: $x = 5$ માટે,$y = 5^{2} - 4(5) = 25 - 20 = 5$. તેથી,વક્ર $(5, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) રોલના પ્રમેય મુજબ $[1, 2]$ પર $f(1) = f(2)$ હોવું જોઈએ.
$f(1) = 1 - a + b - 4 = -a + b - 3$
$f(2) = 8 - 4a + 2b - 4 = -4a + 2b + 4$
બંનેને સરખાવતા: $-a + b - 3 = -4a + 2b + 4 \Rightarrow 3a - b = 7$ $.......(1)$
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 2ax + b$.
$f^{\prime}\left(\frac{4}{3}\right) = 0$ હોવાથી,$3\left(\frac{4}{3}\right)^{2} - 2a\left(\frac{4}{3}\right) + b = 0$.
$3\left(\frac{16}{9}\right) - \frac{8a}{3} + b = 0 \Rightarrow \frac{16}{3} - \frac{8a}{3} + b = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,$16 - 8a + 3b = 0 \Rightarrow 8a - 3b = 16$ $.......(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$b = 3a - 7$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$8a - 3(3a - 7) = 16 \Rightarrow 8a - 9a + 21 = 16 \Rightarrow -a = -5 \Rightarrow a = 5$.
તેથી $b = 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8$.
આમ,$(a, b) = (5, 8)$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3} + dx^{2} + ex + f$.
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = 1$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક કિંમત છે,તેથી $d = e = f = 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + cx^{3}$.
તેથી $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}} = \lim_{x \rightarrow 0} (x^{3} + ax^{2} + bx + c) = c = 1$.
તેથી,$f(x) = x^{6} + ax^{5} + bx^{4} + x^{3}$.
વિકલન કરતા $f'(x) = 6x^{5} + 5ax^{4} + 4bx^{3} + 3x^{2}$.
$f(x)$ ને $x = 1$ અને $x = -1$ આગળ અંતિમબિંદુઓ હોવાથી,$f'(1) = 0$ અને $f'(-1) = 0$.
$f'(1) = 6 + 5a + 4b + 3 = 0 \Rightarrow 5a + 4b = -9$.
$f'(-1) = -6 + 5a - 4b + 3 = 0 \Rightarrow 5a - 4b = 3$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $10a = -6 \Rightarrow a = -\frac{3}{5}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8b = -12 \Rightarrow b = -\frac{3}{2}$.
આમ,$f(x) = x^{6} - \frac{3}{5}x^{5} - \frac{3}{2}x^{4} + x^{3}$.
$5 \cdot f(2) = 5 \left( 2^{6} - \frac{3}{5} \cdot 2^{5} - \frac{3}{2} \cdot 2^{4} + 2^{3} \right)$ ની ગણતરી કરતા.
$5 \cdot f(2) = 5 \left( 64 - \frac{3}{5} \cdot 32 - \frac{3}{2} \cdot 16 + 8 \right) = 320 - 96 - 120 + 40 = 144$.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = |2x+1| - 3|x+2| + |x^2+x-2|$
દ્વિઘાત પદના અવયવ પાડતા: $|x^2+x-2| = |(x+2)(x-1)| = |x+2||x-1|$
વિધેયમાં કિંમત મૂકતા: $f(x) = |2x+1| - 3|x+2| + |x+2||x-1|$
$f(x) = |2x+1| + |x+2|(|x-1| - 3)$
જે બિંદુઓ આગળ માનાંકની અંદરની કિંમત શૂન્ય થાય છે તે $x = -1/2$,$x = -2$,અને $x = 1$ છે.
ધારો કે $g(x) = |x-1| - 3$. વિધેય $f(x)$ તે બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી જ્યાં માનાંકની અંદરની કિંમત શૂન્ય થાય,જો ત્યાં વિધેયને સ્મૂધ ટર્નિંગ પોઈન્ટ ન હોય.
$1$. $x = -1/2$ આગળ,$|2x+1|$ વિકલનીય નથી,અને અન્ય પદો વિકલનીય છે. તેથી,$x = -1/2$ એ અ-વિકલનીય બિંદુ છે.
$2$. $x = 1$ આગળ,$|x-1|$ વિકલનીય નથી,અને $|x+2| = 3 \neq 0$. તેથી,$x = 1$ એ અ-વિકલનીય બિંદુ છે.
$3$. $x = -2$ આગળ,આપણે વર્તણૂક તપાસીએ: $f(x) = |2x+1| + |x+2|(|x-1|-3)$. $x = -2$ ની નજીક,$|x-1| = -(x-1) = 1-x$. તેથી $f(x) \approx |2x+1| + |x+2|(1-x-3) = |2x+1| + |x+2|(-x-2) = |2x+1| - |x+2|(x+2) = |2x+1| - (x+2)^2$. કારણ કે $(x+2)^2$ એ $x = -2$ આગળ વિકલનીય છે,તેથી $|x+2|$ ની અ-વિકલનીયતા $(x+2)$ અવયવ દ્વારા દૂર થાય છે.
તેથી,અ-વિકલનીય બિંદુઓ $x = -1/2$ અને $x = 1$ છે.
અ-વિકલનીય બિંદુઓની સંખ્યા $2$ છે.

(A) $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ ના છેદબિંદુઓ $\sin x = \cos x$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = 1$.
આમ,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$
બે ક્રમિક છેદબિંદુઓ $\frac{\pi}{4}$ અને $\frac{5\pi}{4}$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} |\sin x - \cos x| \, dx$
અંતરાલ $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ માં,$\sin x \geq \cos x$ છે.
$A = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x) \, dx$
$A = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{5\pi/4}$
$A = \left( -\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) \right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right)$
$A = \left( -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) \right) - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$A = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
હવે,$A^{4} = (2\sqrt{2})^{4} = 2^{4} \times (\sqrt{2})^{4} = 16 \times 4 = 64$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{bmatrix}$. $A$ સંમિત શ્રેણિક હોવાથી,$A^T = A$ થાય.
આપેલ છે કે $A^2 = I$,તેથી $AA^T = I$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $A$ એ લંબકોણીય (orthogonal) શ્રેણિક છે.
શ્રેણિક $A$ માટે,$AA^T = I$ ની શરત મુજબ:
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$ અને $xy + yz + zx = 0$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$.
કિંમતો મૂકતા,$(x + y + z)^2 = 1 + 2(0) = 1$.
$x + y + z > 0$ હોવાથી,$x + y + z = 1$ મળે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx))$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x^3 + y^3 + z^3 - 3(2) = (1)(1 - 0)$.
$x^3 + y^3 + z^3 - 6 = 1$.
$x^3 + y^3 + z^3 = 7$.

(B) ધારો કે $t = \tan(\frac{\theta}{2})$. તેથી $A = \begin{bmatrix} 0 & -t \\ t & 0 \end{bmatrix}$.
$I_{2} + A = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$ અને $I_{2} - A = \begin{bmatrix} 1 & t \\ -t & 1 \end{bmatrix}$.
$(I_{2} - A)^{-1} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix}$.
$(I_{2} + A)(I_{2} - A)^{-1} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1 + t^{2}} \begin{bmatrix} 1 - t^{2} & -2t \\ 2t & 1 - t^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} & -\frac{2t}{1 + t^{2}} \\ \frac{2t}{1 + t^{2}} & \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = \cos \theta$ અને $b = \frac{2t}{1 + t^{2}} = \sin \theta$ મળે છે.
આમ,$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$.
તેથી,$13(a^{2} + b^{2}) = 13(1) = 13$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{a} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ ને સમાંતર છે,તેથી કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{a}$ થાય.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$,તેથી $\overrightarrow{r}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} + \lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (-1)(-1) + (-1)(0) = 1 + 1 = 2$.
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (2)(-1) + (-1)(0) = 1 - 2 = -1$.
આમ,$2 + \lambda(-1) = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
હવે,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + 2|\overrightarrow{a}|^2$.
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (-1)(2) + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0$.
$|\overrightarrow{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.
તેથી,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0 + 2(6) = 12$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$1) kx + y + 2z = 1$
$2) 3x - y - 2z = 2$
$3) -2x - 2y - 4z = 3$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
ધારો કે સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} k & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -4 \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = 0$ લેતા:
$|A| = k(4 - 4) - 1(-12 - 4) + 2(-6 - 2) = 0 - 1(-16) + 2(-8) = 16 - 16 = 0$.
નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોવાથી,આપણે વિસ્તૃત શ્રેણિક $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા ચકાસીએ છીએ.
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x - y - 2z) + (-2x - 2y - 4z) = 2 + 3$
$x - 3y - 6z = 5 \Rightarrow x = 3y + 6z + 5$.
અનંત ઉકેલો માટે,સંહતિ સુસંગત હોવી જોઈએ. પ્રથમ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા અને સુસંગતતાની શરત ચકાસતા,આપણને $k = 21$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ છે.
સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} = 0 - |\vec{a}|^2 \vec{b} = -|\vec{a}|^2 \vec{b}$.
ત્યારબાદ,$\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))) = \vec{a} \times (\vec{a} \times (-|\vec{a}|^2 \vec{b}))$.
$= -|\vec{a}|^2 (\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$= -|\vec{a}|^2 (-|\vec{a}|^2 \vec{b}) = |\vec{a}|^4 \vec{b}$.

(A) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત ઉછાળતા $r$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r} = {}^{n}C_{r} (\frac{1}{2})^{n}$.
આપેલ છે કે $P(X=7) = P(X=9)$,તેથી:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^{n} = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^{n}$
${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \implies x+y=n$ (જ્યારે $x \neq y$) નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = 7 + 9 = 16$ મળે છે.
હવે,આપણે $2$ છાપ મળવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=2)$ છે:
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16}$
$P(X=2) = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} \times \frac{1}{2^{16}}$
$P(X=2) = 8 \times 15 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{15}{2^{3} \times 2^{13}} = \frac{15}{2^{13}}$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$,જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
તેથી $A^{2} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^{2} + b^{2} & ab + bc \\ ab + bc & b^{2} + c^{2} \end{bmatrix}$.
$A^{2}$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\text{tr}(A^{2}) = a^{2} + b^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + 2b^{2} + c^{2}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $a^{2} + 2b^{2} + c^{2} = 1$,જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
કારણ કે $a^{2}, b^{2}, c^{2} \ge 0$,સરવાળો $1$ થવા માટે,આપણે $b^{2} = 0$ લેવું પડે,જેનો અર્થ છે કે $b = 0$.
ત્યારબાદ સમીકરણ $a^{2} + c^{2} = 1$ માં પરિણમે છે.
$a, c \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$(a, c)$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક ઉકેલો નીચે મુજબ છે:
$1$. જો $a = 0$,તો $c^{2} = 1 \Rightarrow c = \pm 1$. આ બે શ્રેણિકો આપે છે: $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$2$. જો $c = 0$,તો $a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$. આ બે શ્રેણિકો આપે છે: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,આવા શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $2 + 2 = 4$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = e^{x-[x]} = e^{\{x\}},$ જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
વિધેય $f(x) = e^{\{x\}}$ એ $1$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય હોવાથી,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $\int_{n-1}^{n} e^{\{x\}} dx = \int_{0}^{1} e^{\{x\}} dx$ થાય.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં,અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\} = x$ થાય.
તેથી,$\int_{0}^{1} e^{\{x\}} dx = \int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$ મળે.
હવે,સરવાળો $\sum_{n=1}^{100} \int_{n-1}^{n} e^{\{x\}} dx = \sum_{n=1}^{100} (e-1) = 100(e-1)$ થાય.

(A) ધારો કે $t$ સમયે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા $B(t)$ છે. વૃદ્ધિનો દર $\frac{dB}{dt} = \lambda B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $B(t) = B_0 e^{\lambda t}$ મળે છે,જ્યાં $B_0 = 1000$.
આપેલ છે કે $t = 2$ સમયે,$B(2) = 1000 + 1000$ ના $20\% = 1200$.
તેથી,$1200 = 1000 e^{2\lambda} \Rightarrow e^{2\lambda} = \frac{6}{5} \Rightarrow 2\lambda = \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right) \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)$.
આપણને આપેલ છે કે $B(T) = 2000$ જ્યાં $T = \frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}$.
$B(T) = B_0 e^{\lambda T}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2000 = 1000 e^{\lambda T} \Rightarrow 2 = e^{\lambda T} \Rightarrow \log_{e} 2 = \lambda T$.
$\lambda$ અને $T$ ની કિંમત મૂકતા: $\log_{e} 2 = \left(\frac{1}{2} \log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)\right) \times \left(\frac{k}{\log_{e}\left(\frac{6}{5}\right)}\right) = \frac{k}{2}$.
આમ,$k = 2 \log_{e} 2$.
અંતે,$\left(\frac{k}{\log_{e} 2}\right)^{2} = \left(\frac{2 \log_{e} 2}{\log_{e} 2}\right)^{2} = 2^{2} = 4$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 5, 35)$,$B(7, 5, 5)$,$C(1, \lambda, 7)$,અને $D(2 \lambda, 1, 2)$ છે.
સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = 6\hat{i} - 30\hat{k}$
$\vec{AC} = (\lambda-5)\hat{j} - 28\hat{k}$
$\vec{AD} = (2\lambda-1)\hat{i} - 4\hat{j} - 33\hat{k}$
બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = 0$ થાય.
$\begin{vmatrix} 6 & 0 & -30 \\ 0 & \lambda-5 & -28 \\ 2\lambda-1 & -4 & -33 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$6[(\lambda-5)(-33) - (-28)(-4)] - 30[0 - (\lambda-5)(2\lambda-1)] = 0$
$6[-33\lambda + 165 - 112] + 30[2\lambda^2 - 11\lambda + 5] = 0$
$6$ વડે ભાગતા:
$-33\lambda + 53 + 5(2\lambda^2 - 11\lambda + 5) = 0$
$10\lambda^2 - 88\lambda + 78 = 0$
$5\lambda^2 - 44\lambda + 39 = 0$
બીજનો સરવાળો $\lambda_1 + \lambda_2 = -\frac{b}{a} = \frac{44}{5}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\frac{\sin ^{-1} x}{a} = \frac{\cos ^{-1} x}{b} = \frac{\tan ^{-1} y}{c} = k$ (જ્યાં $k$ અચળ છે).
તેથી $\sin ^{-1} x = ak$,$\cos ^{-1} x = bk$,અને $\tan ^{-1} y = ck$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
કિંમતો મૂકતા,$ak + bk = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $k(a + b) = \frac{\pi}{2}$,અથવા $a + b = \frac{\pi}{2k}$.
હવે,આપણે $\cos \left(\frac{\pi c}{a + b}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a + b = \frac{\pi}{2k}$ મૂકતા,આપણને મળે $\cos \left(\frac{\pi c}{\frac{\pi}{2k}}\right) = \cos (2ck)$.
કારણ કે $\tan ^{-1} y = ck$,તેથી $\cos (2ck) = \cos (2 \tan ^{-1} y)$.
સૂત્ર $\cos (2\theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \tan ^{-1} y$,આપણને મળે $\cos (2 \tan ^{-1} y) = \frac{1 - y^2}{1 + y^2}$.

(D) આપેલ શરત $|f(x) - f(y)| \leq |(x - y)^2|$ છે.
બંને બાજુ $|x - y|$ વડે ભાગતા ($x \neq y$ માટે),આપણને $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq |x - y|$ મળે છે.
$x \to y$ લેતા,આપણને $\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \leq \lim_{x \to y} |x - y|$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $|f'(y)| \leq 0$.
કારણ કે નિરપેક્ષ કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $|f'(y)| = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તમામ $y \in R$ માટે $f'(y) = 0$.
જે વિધેયનું વિકલન દરેક જગ્યાએ શૂન્ય હોય તે અચળ વિધેય છે,તેથી $f(x) = C$.
$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,આપણને $C = 1$ મળે છે.
આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = 1$.
કારણ કે $1 > 0$,તેથી સાચું વિધાન $f(x) > 0, \forall x \in R$ છે.

(A) ધારો કે વક્રનો ઢાળ $m(x) = \frac{dy}{dx}$ છે.
$m(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{3} + 18 x^{2} - 19 x \right) = 2x^{3} - 15x^{2} + 36x - 19$.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $m(x)$ નું વિકલન શૂન્ય લઈને તેના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ છીએ:
$m'(x) = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x^{2} - 30x + 36 = 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2} - 5x + 6 = 0$ મળે છે,જેના અવયવો $(x-2)(x-3) = 0$ થાય છે.
આમ,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = 3$ છે.
મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે,આપણે $m(x)$ પર દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$m''(x) = \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = 12x - 30$.
$x = 2$ માટે,$m''(2) = 12(2) - 30 = 24 - 30 = -6 < 0$. દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$m(x)$ ને $x = 2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
$x = 3$ માટે,$m''(3) = 12(3) - 30 = 36 - 30 = 6 > 0$. દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$m(x)$ ને $x = 3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ઢાળ $x = 2$ આગળ મળે છે.
મૂળ સમીકરણ $y = \frac{1}{2} x^{4} - 5 x^{3} + 18 x^{2} - 19 x$ માં $x = 2$ મૂકતા:
$y = \frac{1}{2}(16) - 5(8) + 18(4) - 19(2) = 8 - 40 + 72 - 38 = 2$.
બિંદુ $(2, 2)$ છે.

(B) સમતલ $P_{1}$ નું સમીકરણ $3x + 15y + 21z = 9$ છે. $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 5y + 7z = 3$ મળે છે.
સમતલ $P_{2}$ નું સમીકરણ $x - 3y - z = 5$ છે.
સમતલ $P_{3}$ નું સમીકરણ $2x + 10y + 14z = 5$ છે. $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x + 5y + 7z = \frac{5}{2}$ મળે છે.
બે સમતલો $a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}$ સમાંતર હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$.
$P_{1}$ અને $P_{3}$ ની સરખામણી કરતા,અભિલંબ સદિશો $(1, 5, 7)$ અને $(1, 5, 7)$ છે,જે સમાન છે. અચળ પદો $3$ અને $\frac{5}{2}$ અલગ હોવાથી,સમતલો સમાંતર અને ભિન્ન છે.
તેથી,$P_{1}$ અને $P_{3}$ સમાંતર છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) & a+3 & 1 \\ (a+3)(a+4) & a+4 & 1\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3} - R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3) - (a+1)(a+2) & (a+3) - (a+2) & 1 - 1 \\ (a+3)(a+4) - (a+1)(a+2) & (a+4) - (a+2) & 1 - 1\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ (a+2)(a+3-a-1) & 1 & 0 \\ (a^2+7a+12) - (a^2+3a+2) & 2 & 0\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}(a+1)(a+2) & a+2 & 1 \\ 2(a+2) & 1 & 0 \\ 4a+10 & 2 & 0\end{array}\right|$
ત્રીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \times [2(a+2) \times 2 - 1 \times (4a+10)]$
$\Delta = 4(a+2) - (4a+10)$
$\Delta = 4a + 8 - 4a - 10$
$\Delta = -2$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+3^{x}} dx$ --- $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2}(-x)}{1+3^{-x}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x}{1+\frac{1}{3^{x}}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{3^{x} \cos ^{2} x}{3^{x}+1} dx$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x + 3^{x} \cos ^{2} x}{1+3^{x}} dx$
$2I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x(1+3^{x})}{1+3^{x}} dx = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos ^{2} x dx$
$\cos^{2} x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી:
$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi / 2}$
$I = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0)] = \frac{\pi}{4}$

(D) સંબંધ $R$ એવા તમામ બિંદુઓ $(P, Q)$ ના ગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે કે જેથી ઉગમબિંદુથી $P$ નું અંતર એ ઉગમબિંદુથી $Q$ ના અંતર જેટલું હોય.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ નો સામ્ય વર્ગ એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ નો ગણ છે કે જેથી ઉગમબિંદુથી $(x, y)$ નું અંતર એ ઉગમબિંદુથી $(x_0, y_0)$ ના અંતર જેટલું હોય.
બિંદુ $(1, -1)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$(1, -1)$ નો સામ્ય વર્ગ એવા તમામ બિંદુઓ $(x, y)$ ધરાવે છે કે જેથી $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2$ મળે છે.
આમ,સામ્ય વર્ગ એ $S = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 = 2\}$ ગણ છે.

(D) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y^{2}=a\left(x+\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = ax + \frac{a^{3/2}}{2} \quad ...(1)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2yy' = a$
$a = 2yy'$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$y^{2} = (2yy')x + \frac{(2yy')^{3/2}}{2}$
પદોને ગોઠવતા:
$y^{2} - 2xyy' = \frac{(2yy')^{3/2}}{2}$
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y^{2} - 2xyy')^{2} = \frac{(2yy')^{3}}{4}$
$(y^{2} - 2xyy')^{2} = 2y^{3}(y')^{3}$
અહીં સૌથી વધુ વિકલિત $y'$ છે,તેથી કક્ષા (order) $1$ છે.
સૌથી વધુ વિકલિતની મહત્તમ ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત (degree) $3$ છે.
ઘાત અને કક્ષા વચ્ચેનો તફાવત $3 - 1 = 2$ થાય છે.

(D) ધારો કે $e^{\sin y} = t$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ મળે છે.
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dt}{dx} + t \cos x = \cos x$ બને છે.
આ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \cos x$ અને $Q(x) = \cos x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ છે.
ઉકેલ $t \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx$ છે.
ધારો કે $u = \sin x$,તો $du = \cos x \, dx$.
તેથી,$t \cdot e^{\sin x} = \int e^u \, du = e^u + c = e^{\sin x} + c$.
$t = e^{\sin y}$ મૂકતા,આપણને $e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + c$ મળે છે.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$e^{\sin 0} \cdot e^{\sin 0} = e^{\sin 0} + c$,જેનો અર્થ છે કે $1 \cdot 1 = 1 + c$,તેથી $c = 0$.
આમ,$e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x}$,જેનું સાદું રૂપ $e^{\sin y} = 1$ થાય છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\sin y = 0$,જેનો અર્થ છે કે દરેક $x$ માટે $y = 0$.
તેથી,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$,$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$,અને $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
આમ,$1 + y\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} y\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$.

(C) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખાખંડ $\vec{AB}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{AB} = (-1 - (-2))\hat{i} + (-16 - (-21))\hat{j} + (33 - 29)\hat{k} = 1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $Q(4, -2, 2)$ અને $P(\lambda, 2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,સદિશ $\vec{PQ}$ સમતલમાં આવેલો છે.
$\vec{PQ} = (4 - \lambda)\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} = (4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$.
કારણ કે સમતલ રેખા $AB$ ને લંબ છે,તેથી અભિલંબ સદિશ $\vec{AB}$ એ સમતલના કોઈપણ સદિશને લંબ હોય,જેમાં $\vec{PQ}$ નો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,$\vec{AB} \cdot \vec{PQ} = 0$.
$(1\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot ((4 - \lambda)\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}) = 0$.
$1(4 - \lambda) + 5(-4) + 4(1) = 0$.
$4 - \lambda - 20 + 4 = 0$.
$-\lambda - 12 = 0 \Rightarrow \lambda = -12$.
હવે,પદાવલિ $\left(\frac{\lambda}{11}\right)^{2} - \frac{4\lambda}{11} - 4$ ની ગણતરી કરો.
$\lambda = -12$ મૂકતા: $\left(\frac{-12}{11}\right)^{2} - \frac{4(-12)}{11} - 4 = \frac{144}{121} + \frac{48}{11} - 4 = \frac{144 + 528 - 484}{121} = \frac{188}{121}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = ||x - 1| - 2|$ અને $y = 2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $||x - 1| - 2| = 2$ લઈએ છીએ.
આનો અર્થ એ છે કે $|x - 1| - 2 = 2$ અથવા $|x - 1| - 2 = -2$.
કિસ્સો $1$: $|x - 1| = 4 \implies x - 1 = 4$ અથવા $x - 1 = -4$,તેથી $x = 5$ અથવા $x = -3$.
કિસ્સો $2$: $|x - 1| = 0 \implies x = 1$.
આલેખ જોતા,પ્રદેશ $x = -3$ અને $x = 5$ ની વચ્ચે ઘેરાયેલો છે,જેમાં ઉપરની સીમા $y = 2$ અને નીચેની સીમા $y = ||x - 1| - 2|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{-3}^{5} (2 - ||x - 1| - 2|) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
$x = 1$ ની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,આપણે $2 \times \int_{1}^{5} (2 - ||x - 1| - 2|) \, dx$ ની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.
$1 \le x \le 5$ માટે,$|x - 1| = x - 1$,તેથી $y = |x - 1 - 2| = |x - 3|$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{1}^{5} (2 - |x - 3|) \, dx = 2 \left[ \int_{1}^{3} (2 - (3 - x)) \, dx + \int_{3}^{5} (2 - (x - 3)) \, dx \right]$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{1}^{3} (x - 1) \, dx + \int_{3}^{5} (5 - x) \, dx \right] = 2 \left[ \left( \frac{x^2}{2} - x \right)_{1}^{3} + \left( 5x - \frac{x^2}{2} \right)_{3}^{5} \right]$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ (4.5 - 3) - (0.5 - 1) + (25 - 12.5) - (15 - 4.5) \right] = 2 [2 + 2] = 8$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} |\sin 2x| dx$.
$2x = t$ લેતા,$2 dx = dt$ અથવા $dx = \frac{1}{2} dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = \pi$,ત્યારે $t = 2\pi$ થાય.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} |\sin t| dt$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $|\sin(2\pi - t)| = |\sin t|$ છે.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\pi} \sin t dt = \int_{0}^{\pi} \sin t dt$.
સંકલન કરતા: $[-\cos t]_{0}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$.

(C) બે સમતલો $P_1: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} = d_1$ અને $P_2: \overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} = d_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_1} - d_1) + \lambda(\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{n_2} - d_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા સમતલો $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1 = 0$ અને $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) + 2 = 0$ છે.
જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1 + \lambda(\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) + 2) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(1 + \lambda) + \hat{j}(1 - 2\lambda) + \hat{k}(1)] = 1 - 2\lambda$ મળે છે.
સમતલ બિંદુ $(1, 0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + 2\hat{k}$ છે.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $(\hat{i} + 2\hat{k}) \cdot [\hat{i}(1 + \lambda) + \hat{j}(1 - 2\lambda) + \hat{k}(1)] = 1 - 2\lambda$.
$(1 + \lambda) + 2(1) = 1 - 2\lambda$.
$3 + \lambda = 1 - 2\lambda$.
$3\lambda = -2 \implies \lambda = -\frac{2}{3}$.
$\lambda = -\frac{2}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(1 - \frac{2}{3}) + \hat{j}(1 + \frac{4}{3}) + \hat{k}(1)] = 1 - 2(-\frac{2}{3})$.
$\overrightarrow{r} \cdot [\hat{i}(\frac{1}{3}) + \hat{j}(\frac{7}{3}) + \hat{k}] = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}) = 7$ મળે છે.

(D) $f(x)$ ક્યાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે દરેક અંતરાલ માટે $f'(x)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1$. $x < -5$ માટે,$f(x) = -55x$,તેથી $f'(x) = -55$. $f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $(-\infty, -5)$ પર ઘટે છે.
$2$. $-5 < x < 4$ માટે,$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 120x$,તેથી $f'(x) = 6x^2 - 6x - 120 = 6(x^2 - x - 20) = 6(x - 5)(x + 4)$.
$f'(x) > 0$ માટે,આપણે $(x - 5)(x + 4) > 0$ ની જરૂર છે,જે $x < -4$ અથવા $x > 5$ હોય ત્યારે થાય છે. અંતરાલ $(-5, 4)$ માં,આ $x \in (-5, -4)$ માટે સંતોષાય છે.
$3$. $x > 4$ માટે,$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x - 336$,તેથી $f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 6(x^2 - x - 6) = 6(x - 3)(x + 2)$.
$x > 4$ માટે,$(x - 3)$ અને $(x + 2)$ બંને ધન છે,તેથી તમામ $x > 4$ માટે $f'(x) > 0$ છે.
આ બધાને જોડતા,$f(x)$ એ $(-5, -4) \cup (4, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.