JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $81^{\sin^2 x} + 81^{\cos^2 x} = 30$ है।
माना $u = 81^{\sin^2 x}$। चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,समीकरण $u + \frac{81}{u} = 30$ हो जाता है।
$u^2 - 30u + 81 = 0$ को हल करने पर,$(u - 27)(u - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$u = 27$ या $u = 3$।
स्थिति $1$: $81^{\sin^2 x} = 27 \implies 4 \sin^2 x = 3 \implies \sin^2 x = 3/4 \implies x = \pi/3$ या $2\pi/3$।
स्थिति $2$: $81^{\sin^2 x} = 3 \implies 4 \sin^2 x = 1 \implies \sin^2 x = 1/4 \implies x = \pi/6$ या $5\pi/6$।
विकल्पों की जाँच करने पर,$\pi/6$ सही उत्तर है।

(B) समुच्चय में अवयवों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $(|x|-3)|x+4|=6$ को हल करते हैं।
मान लीजिए $f(x) = |x|-3$ और $g(x) = \frac{6}{|x+4|}$ है।
हम $y = |x|-3$ और $y = \frac{6}{|x+4|}$ के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करते हैं।
$y = |x|-3$ का ग्राफ एक $V$-आकार का वक्र है जिसका शीर्ष $(0, -3)$ पर है और $x$-अंतःखंड $x = 3$ और $x = -3$ पर हैं।
$y = \frac{6}{|x+4|}$ का ग्राफ $x = -4$ पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) वाला वक्र है और यह हमेशा धनात्मक होता है।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,वक्र $y = |x|-3$,$y = \frac{6}{|x+4|}$ को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है: एक $(3, \infty)$ अंतराल में और दूसरा $(-\infty, -4)$ अंतराल में।
अतः,समुच्चय में अवयवों की संख्या $2$ है।

(B) दिया गया है $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$।
प्रथम समीकरण से: $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$
$\Rightarrow \log_{10}(\sin x \cos x) = -1$
$\Rightarrow \sin x \cos x = 10^{-1} = \frac{1}{10} \quad ....(1)$
दूसरे समीकरण से: $\log_{10}(\sin x + \cos x) = \frac{1}{2}(\log_{10} n - \log_{10} 10) = \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{n}{10}\right) = \log_{10} \sqrt{\frac{n}{10}}$
$\Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{\frac{n}{10}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin x + \cos x)^2 = \frac{n}{10}$
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{n}{10}$
$1 + 2 \left(\frac{1}{10}\right) = \frac{n}{10}$
$1 + \frac{1}{5} = \frac{n}{10}$
$\frac{6}{5} = \frac{n}{10}$
$n = \frac{6 \times 10}{5} = 12$.

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = 2x$ है। इसे $y^{2} = 4Ax$ से तुलना करने पर,$4A = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $A = 1/2$ है।
परवलय $y^{2} = 4Ax$ के लिए,किसी भी बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब $(a, 0)$ से होकर गुजरता है यदि $a > 2A$ हो।
$A$ का मान रखने पर:
$a > 2 \times (1/2)$
$a > 1$.
अतः,तीन अलग-अलग अभिलंबों के बिंदु $(a, 0)$ से गुजरने के लिए,$a$ का मान $1$ से अधिक होना चाहिए।

(D) 'Tautology' एक ऐसा कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है। हम $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ व्यंजक के लिए सत्यता सारणी का मूल्यांकन करते हैं:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$p \rightarrow q$	$(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

चूंकि अंतिम कॉलम में केवल $T$ (सत्य) है,इसलिए $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$ एक 'tautology' है।

(B) दी गई असमिका: $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \right) \leq 2$.
चूंकि आधार $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ है,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$\frac{|z|+11}{(|z|-1)^2} \geq \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$.
वज्र गुणन करने पर:
$2(|z|+11) \geq (|z|-1)^2$.
$2|z| + 22 \geq |z|^2 - 2|z| + 1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$|z|^2 - 4|z| - 21 \leq 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(|z|-7)(|z|+3) \leq 0$.
चूंकि $|z| \geq 0$,इसलिए $|z|+3 > 0$,अतः $|z|-7 \leq 0$,जिसका अर्थ है $|z| \leq 7$.
$|z| \neq 1$ दिया गया है,इसलिए $|z|$ का अधिकतम मान $7$ है।

(A) $(3^{1/4} + 5^{1/8})^{60}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{60}C_r (3^{1/4})^{60-r} (5^{1/8})^r = {}^{60}C_r (3)^{(60-r)/4} (5)^{r/8}$ द्वारा दिया जाता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए ताकि $0 \leq r \leq 60$ हो।
$r$ के संभावित मान $0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56$ हैं।
कुल $8$ परिमेय पद हैं।
विस्तार में पदों की कुल संख्या $60 + 1 = 61$ है।
इसलिए,अपरिमेय पदों की संख्या $n = 61 - 8 = 53$ है।
हमें $(n - 1) = 53 - 1 = 52$ के लिए विभाज्यता की जाँच करनी है।
चूँकि $52 = 26 \times 2$,इसलिए $(n - 1)$,$26$ से विभाज्य है।

(D) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
वृत्त $x^{2}+y^{2}=25$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $xh+yk=h^{2}+k^{2}$ है।
यह रेखा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ को स्पर्श करती है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है।
यहाँ $m=-\frac{h}{k}$ और $c=\frac{h^{2}+k^{2}}{k}$ रखने पर,हमें $(h^{2}+k^{2})^{2} = 9h^{2}-16k^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $(x^{2}+y^{2})^{2}-9x^{2}+16y^{2}=0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$.
चूंकि $\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$,इसलिए $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{1 - \sin ^{2} x} = 30$.
$(81)^{\sin ^{2} x} + \frac{81}{(81)^{\sin ^{2} x}} = 30$.
माना $t = (81)^{\sin ^{2} x}$. तब $t + \frac{81}{t} = 30$,जो $t^{2} - 30t + 81 = 0$ देता है।
$(t - 3)(t - 27) = 0$,इसलिए $t = 3$ या $t = 27$.
स्थिति $1$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{1} \implies 4 \sin ^{2} x = 1 \implies \sin ^{2} x = \frac{1}{4}$.
$[0, \pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -\frac{1}{2}$. चूंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$,इसलिए $\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ हल)।
स्थिति $2$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{3} \implies 4 \sin ^{2} x = 3 \implies \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$.
$[0, \pi]$ में,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. चूंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ ($2$ हल)।
कुल हलों की संख्या = $2 + 2 = 4$.

(A) गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ $4$ से शुरू होनी चाहिए और सार्व अनुपात $r = 2$ होना चाहिए,इसलिए पद $4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192$ हैं। अगला पद $16384$ एक पांच अंकों की संख्या है।
समांतर श्रेणी $(AP)$ $11$ से शुरू होनी चाहिए और सार्व अंतर $d = 5$ होना चाहिए (क्योंकि $16-11=5, 21-16=5, 26-21=5$),इसलिए पद $11, 16, 21, 26, 31, \dots, a_n = 11 + (n-1)5$ हैं।
हम $GP$ में ऐसे पदों की तलाश करते हैं जो $AP$ में भी हों। एक पद $x$,$AP$ में है यदि $x \equiv 1 \pmod{5}$ हो।
$GP$ के पदों की जाँच करने पर:
$16 \equiv 1 \pmod{5}$ (उभयनिष्ठ)
$256 \equiv 1 \pmod{5}$ (उभयनिष्ठ)
$4096 \equiv 1 \pmod{5}$ (उभयनिष्ठ)
उभयनिष्ठ पद $16, 256, 4096$ हैं। ऐसे $3$ पद हैं।

(C) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ के शीर्ष $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,और $D(0,1)$ हैं।
वृत्त $C_{1}$ का केंद्र $A(0,0)$ और त्रिज्या $1$ है,अतः इसका समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है।
मान लीजिए वृत्त $C_{2}$ का केंद्र $(r,r)$ और त्रिज्या $r$ है क्योंकि यह $AD$ $(x=0)$ और $AB$ $(y=0)$ को स्पर्श करता है।
चूंकि $C_{2}$,$C_{1}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर है: $\sqrt{r^2 + r^2} = 1 + r$.
$\sqrt{2}r = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \sqrt{2}+1$. लेकिन वृत्त वर्ग के अंदर है,इसलिए $r = \sqrt{2}-1$ होगा।
$C_{2}$ का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है जहाँ $r = \sqrt{2}-1$ है।
बिंदु $C(1,1)$ से गुजरने वाली $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y-1 = m(x-1)$ या $mx - y + (1-m) = 0$ है।
चूंकि यह रेखा $C_{2}$ को स्पर्श करती है,$(r,r)$ से रेखा की लंबवत दूरी $r$ होगी:
$\frac{|mr - r + 1 - m|}{\sqrt{m^2+1}} = r \Rightarrow |(m-1)(r-1) + 1| = r\sqrt{m^2+1}$.
$r = \sqrt{2}-1$ रखने पर,$r-1 = \sqrt{2}-2$.
$|(m-1)(\sqrt{2}-2) + 1| = (\sqrt{2}-1)\sqrt{m^2+1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करके $m$ के लिए हल करने पर $m = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा के $AB$ को $E$ पर मिलने के लिए,$m = -(2+\sqrt{3})$ या ज्यामिति के अनुसार उचित मान लेने पर,$y-1 = m(x-1)$ में $y=0$ रखने पर $x = 1 - \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
$m = -(2+\sqrt{3})$ के लिए,$x = 1 - \frac{1}{-(2+\sqrt{3})} = 3-\sqrt{3}$.
$EB = 1 - x = 1 - (3-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$ (यह रूप में नहीं है)। दूसरी स्पर्शरेखा लेने पर $EB = 2-\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 2, \beta = -1$. इसलिए $\alpha+\beta = 2-1 = 1$.

(D) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ae^{x}-b \cos x + ce^{-x}}{x \sin x} = 2.$
टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$
$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} + \dots$
अंश में मान रखने पर:
$(a - b + c) + (a - c)x + (\frac{a+b+c}{2})x^2 + \dots = 0$
अतः,$a - b + c = 0$ और $a - c = 0 \Rightarrow a = c$.
$b = 2a$ प्राप्त होता है,सीमा $\frac{a+b+c}{2} = 2$ है।
अतः,$a + b + c = 4$.

(C) दिया गया है $\left| \frac{z+i}{z-3i} \right| = 1$, इसलिए $|z+i| = |z-3i|$.
यह सम्मिश्र तल पर $-i$ और $3i$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है, जो रेखा $\operatorname{Im}(z) = 1$ है।
मान लीजिए $z = x + i$, जहाँ $x \in \mathbb{R}$.
दिया गया है $w = z \bar{z} - 2z + 2$, $z = x + i$ प्रतिस्थापित करने पर:
$w = (x+i)(x-i) - 2(x+i) + 2$
$w = (x^2 + 1) - 2x - 2i + 2$
$w = (x^2 - 2x + 3) - 2i$.
अतः, $\operatorname{Re}(w) = x^2 - 2x + 3$.
$\operatorname{Re}(w)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, $x = 1$ लेते हैं।
$x = 1$ पर, $\operatorname{Re}(w) = 1 - 2 + 3 = 2$.
तब $w = 2 - 2i = 2(1 - i) = 2\sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
$w^n$ के वास्तविक होने के लिए, $w^n$ का कोणांक $\pi$ का गुणज होना चाहिए।
$\operatorname{arg}(w^n) = n \times (-\pi/4) = -n\pi/4$.
इसके $k\pi$ होने के लिए, $n/4$ को एक पूर्णांक होना चाहिए।
अतः $n \in N$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(B) परिकेंद्र $O$,त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
हमें $PR$ का लंब समद्विभाजक $L_1: 2x - y + 2 = 0$ दिया गया है।
अब,हम $PQ$ का लंब समद्विभाजक ज्ञात करते हैं।
$PQ$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{-2+4}{2}, \frac{4-2}{2}) = (1, 1)$ है।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{-2-4}{4-(-2)} = \frac{-6}{6} = -1$ है।
$PQ$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{PQ}} = 1$ है।
$PQ$ के लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = x$ या $x - y = 0$ हो जाता है।
परिकेंद्र $O$,$2x - y + 2 = 0$ और $x - y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
पहले समीकरण में $y = x$ रखने पर: $2x - x + 2 = 0 \implies x = -2$।
चूंकि $y = x$,इसलिए $y = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,परिकेंद्र $(-2, -2)$ है।

(A) दिया गया है कि व्यंजक $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (q * (\sim p))$ एक पुनरुक्ति है।
हम जानते हैं कि $p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q$.
$(p \Rightarrow q)$ की तुलना $(q * (\sim p))$ से करने पर,हम देखते हैं कि संकारक $*$ वियोजन (disjunction) संकारक $\vee$ के अनुरूप है।
अतः,$p * (\sim q) \equiv p \vee (\sim q)$.
निहितार्थ (implication) के नियम $\sim a \vee b \equiv a \Rightarrow b$ का उपयोग करने पर,$p \vee (\sim q) \equiv \sim q \vee p \equiv q \Rightarrow p$.
इसलिए,$p * (\sim q) \equiv q \Rightarrow p$.

(B) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
मान लीजिए परिणाम $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
हमें योग $x + y \leq 8$ चाहिए।
संभावित जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
यदि $x=1$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5, 7\}$ ($5$ परिणाम)।
यदि $x=2$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5\}$ ($4$ परिणाम)।
यदि $x=3$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5\}$ ($4$ परिणाम)।
यदि $x=5$,तो $y \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ परिणाम)।
यदि $x=7$,तो $y \in \{1\}$ ($1$ परिणाम)।
यदि $x=11$,तो कोई भी $y$ शर्त को पूरा नहीं करता है।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 5 + 4 + 4 + 3 + 1 = 17$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{17}{36}$।

(A) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ होता है।
चौथे पद $(T_4)$ के लिए,$r=3$ रखने पर:
$T_4 = {}^{7}C_{3} (x)^{7-3} (x^{\log_{2} x})^{3} = 4480$.
चूँकि ${}^{7}C_{3} = 35$,इसलिए:
$35 \cdot x^{4} \cdot x^{3 \log_{2} x} = 4480$.
$35$ से भाग देने पर:
$x^{4 + 3 \log_{2} x} = 128 = 2^{7}$.
माना $t = \log_{2} x$,तो $x = 2^t$। समीकरण में रखने पर:
$(2^t)^{4 + 3t} = 2^{7} \Rightarrow t(4 + 3t) = 7$.
$3t^{2} + 4t - 7 = 0$.
$(3t + 7)(t - 1) = 0$.
अतः,$t = 1$ या $t = -7/3$.
यदि $t = 1$,तो $\log_{2} x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$.
चूँकि $x \in N$,इसलिए $x = 2$ है।

(C) मान लीजिए कि तीन खेल खेलने वाले छात्रों के तीन समुच्चय $A$,$B$,और $C$ हैं।
समस्या के अनुसार,कुछ छात्र दो खेल खेलते हैं,जिसका अर्थ है कि किन्हीं दो समुच्चयों का प्रतिच्छेदन रिक्त नहीं है (अर्थात,$A \cap B \neq \emptyset$,$B \cap C \neq \emptyset$,$A \cap C \neq \emptyset$).
हालाँकि,कोई भी छात्र तीनों खेल नहीं खेलता है,जिसका अर्थ है कि तीनों समुच्चयों का प्रतिच्छेदन रिक्त होना चाहिए (अर्थात,$A \cap B \cap C = \emptyset$).
आरेख $P$ में,केवल दो समुच्चय हैं,इसलिए यह तीन खेलों का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।
आरेख $Q$ में,तीन वृत्त इस तरह व्यवस्थित हैं कि एक केंद्रीय क्षेत्र है जहाँ तीनों ओवरलैप होते हैं,जिसका अर्थ है $A \cap B \cap C \neq \emptyset$.
आरेख $R$ में,तीन वृत्त इस तरह व्यवस्थित हैं कि तीनों द्वारा साझा किया गया कोई सामान्य क्षेत्र नहीं है,जिसका अर्थ है $A \cap B \cap C = \emptyset$,जबकि वृत्तों के जोड़े अभी भी ओवरलैप होते हैं।
इसलिए,केवल आरेख $R$ कथन को सही ठहराता है। विकल्प $C$ सही है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(z)$,$B(iz)$,और $C(z+iz)$ हैं।
यह त्रिभुज मूल बिंदु $O(0)$,बिंदु $P(z)$,और बिंदु $Q(iz)$ द्वारा बनता है।
चूंकि $iz$,$z$ को मूल बिंदु के चारों ओर $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ लंबवत हैं और उनका परिमाण $|z|$ समान है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |z| \times |iz| = \frac{1}{2}|z|^2$ होगा।

(A) माना वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $x - 2y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $h - 2k = 4$,जिसका अर्थ है $k = \frac{h - 4}{2}$।
अतः,केंद्र $O(h, \frac{h - 4}{2})$ है।
रेखा $2x - y + 1 = 0$ बिंदु $A(2, 5)$ पर स्पर्श रेखा है। त्रिज्या $OA$ स्पर्श रेखा के लंबवत है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 2$ है।
त्रिज्या $OA$ की ढाल $m_2 = \frac{\frac{h - 4}{2} - 5}{h - 2} = \frac{h - 14}{2(h - 2)}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $2 \times \frac{h - 14}{2(h - 2)} = -1$ है।
$\frac{h - 14}{h - 2} = -1 \implies h - 14 = -h + 2 \implies 2h = 16 \implies h = 8$।
तब $k = \frac{8 - 4}{2} = 2$।
केंद्र $(8, 2)$ है।
त्रिज्या $r$,$(8, 2)$ और $(2, 5)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$।

(C) टीम $A$ और टीम $B$ के लड़कों के बीच मैचों की संख्या:
$7 \times 4 = 28$
टीम $A$ और टीम $B$ की लड़कियों के बीच मैचों की संख्या:
$n \times 6 = 6n$
कुल मैचों की संख्या:
$28 + 6n = 52$
दोनों पक्षों से $28$ घटाने पर:
$6n = 52 - 28$
$6n = 24$
$6$ से भाग देने पर:
$n = 4$

(A) माना $y = 4+\frac{1}{5+\frac{1}{4+\frac{1}{5+\ldots}}}$.
यहाँ पद की पुनरावृत्ति होती है: $y = 4+\frac{1}{5+\frac{1}{y}}$.
समीकरण को सरल करने पर: $y - 4 = \frac{y}{5y+1}$.
गुणा करने पर: $(y-4)(5y+1) = y$.
$5y^2 - 20y - 4 = 0$.
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{20 \pm \sqrt{480}}{10}$.
चूंकि $y > 0$,इसलिए $y = \frac{20 + \sqrt{480}}{10} = 2 + \frac{2}{5}\sqrt{30}$.

(B) प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ के लिए:
केंद्र $C_{1} = (5, 5)$,त्रिज्या $r_{1} = 3$.
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-16x-10y+80=0$ के लिए:
केंद्र $C_{2} = (8, 5)$,त्रिज्या $r_{2} = 3$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 3$ है।
चूंकि $d = r_{1} = r_{2} = 3$,इसलिए प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है।
अतः,कथन $B$ गलत है क्योंकि केंद्र एक-दूसरे की परिधि पर स्थित हैं,अंदर नहीं।

(D) $x \in (0, 1)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = 0$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos ^{-1}(x-0) \cdot \sin ^{-1}(x-0)}{x(1-x^2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \left( \frac{\cos ^{-1} x}{1-x^2} \cdot \frac{\sin ^{-1} x}{x} \right)$
जैसे $x \rightarrow 0^{+}$,$\cos ^{-1} x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$1-x^2 \rightarrow 1$,और $\frac{\sin ^{-1} x}{x} \rightarrow 1$ होता है।
अतः,सीमा का मान $\frac{\pi}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$ है।

(D) पहले वृत्त $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ के लिए:
केंद्र $C_{1} = (5, 5)$,त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{5^{2}+5^{2}-41} = \sqrt{25+25-41} = \sqrt{9} = 3$.
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-24x-10y+160=0$ के लिए:
केंद्र $C_{2} = (12, 5)$,त्रिज्या $r_{2} = \sqrt{12^{2}+5^{2}-160} = \sqrt{144+25-160} = \sqrt{9} = 3$.
केंद्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(12-5)^{2}+(5-5)^{2}} = \sqrt{7^{2}+0^{2}} = 7$.
दो वृत्तों के बीच की न्यूनतम दूरी $d - (r_{1} + r_{2}) = 7 - (3 + 3) = 7 - 6 = 1$ है।

(C) हमें $(2021)^{3762}$ को $17$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
$2021 = 2023 - 2$ लिखा जा सकता है,जहाँ $2023 = 17 \times 119$ है।
अतः,$(2021)^{3762} = (2023 - 2)^{3762} \equiv (-2)^{3762} \pmod{17}$.
$(-2)^{3762} = 2^{3762} = (2^4)^{940} \times 2^2 = 16^{940} \times 4$.
चूँकि $16 \equiv -1 \pmod{17}$,इसलिए $16^{940} \equiv (-1)^{940} \equiv 1 \pmod{17}$.
अतः,$2^{3762} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{17}$.
शेषफल $4$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $3x + 4y = 9$ और $y = mx + 1$ हैं।
दूसरे समीकरण से $y$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$(3 + 4m)x = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ को पूर्णांक होने के लिए,$(3 + 4m)$ को $5$ का भाजक होना चाहिए। $5$ के भाजक $\{1, -1, 5, -5\}$ हैं।
स्थिति $1$: $3 + 4m = 1$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -0.5$ (पूर्णांक नहीं)
स्थिति $2$: $3 + 4m = -1$ $\Rightarrow 4m = -4$ $\Rightarrow m = -1$ (पूर्णांक है)
स्थिति $3$: $3 + 4m = 5$ $\Rightarrow 4m = 2$ $\Rightarrow m = 0.5$ (पूर्णांक नहीं)
स्थिति $4$: $3 + 4m = -5$ $\Rightarrow 4m = -8$ $\Rightarrow m = -2$ (पूर्णांक है)
$m$ के पूर्णांक मान $\{-1, -2\}$ हैं।
अतः,$m$ के पूर्णांक मानों की संख्या $2$ है।

(B) दिया गया है $(1+x+2x^2)^{20} = \sum_{k=0}^{40} a_k x^k$.
$f(x) = (1+x+2x^2)^{20}$ लें।
$f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{40} = (1+1+2)^{20} = 4^{20} = 2^{40}$.
$f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{40} = (1-1+2)^{20} = 2^{20}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $f(1) - f(-1) = 2(a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) = 2^{40} - 2^{20}$.
अतः,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{39} = \frac{2^{40} - 2^{20}}{2} = 2^{39} - 2^{19}$.
हमें $a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = (a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) - a_{39}$ चाहिए।
$a_{39}$ ज्ञात करने के लिए,$(1+x+2x^2)^{20}$ में $x^{39}$ का गुणांक देखें।
बहुपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$a_{39} = \frac{20!}{0! 1! 19!} (1)^0 (1)^1 (2)^{19} = 20 \times 2^{19}$.
इस प्रकार,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = 2^{39} - 2^{19} - 20 \times 2^{19} = 2^{39} - 21 \times 2^{19} = 2^{19}(2^{20} - 21)$.

(C) प्रथम वृत्त $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ के लिए:
केंद्र $A = (5, 5)$,त्रिज्या $R_{1} = \sqrt{5^{2}+5^{2}-41} = \sqrt{9} = 3$.
द्वितीय वृत्त $x^{2}+y^{2}-22x-10y+137=0$ के लिए:
केंद्र $B = (11, 5)$,त्रिज्या $R_{2} = \sqrt{11^{2}+5^{2}-137} = \sqrt{9} = 3$.
केंद्रों के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(11-5)^{2}+(5-5)^{2}} = 6$.
चूंकि $AB = R_{1} + R_{2} = 3 + 3 = 6$,वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
अतः,वृत्तों का केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है।

(A) माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। रेखा $(1, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y - 3 = m(x - 1)$ है।
दी गई रेखा $y = 3\sqrt{2}x - 1$ है,जिसकी ढाल $m_1 = 3\sqrt{2}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\sqrt{2} = \left| \frac{m - 3\sqrt{2}}{1 + 3\sqrt{2}m} \right|$.
स्थिति $1$: $m = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$.
स्थिति $2$: $m = \frac{2\sqrt{2}}{7}$.
$m = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$ का उपयोग करने पर,रेखा का समीकरण $4\sqrt{2}x + 5y - (15 + 4\sqrt{2}) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के अंतर्गत सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
दिया गया है $\vec{a}_{Old} = (3p, 1)$ और $\vec{a}_{New} = (p+1, \sqrt{10})$।
परिमाणों के वर्गों की तुलना करने पर:
$|\vec{a}_{Old}|^2 = |\vec{a}_{New}|^2$
$(3p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + (\sqrt{10})^2$
$9p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 10$
$8p^2 - 2p - 10 = 0$
$4p^2 - p - 5 = 0$
$(4p - 5)(p + 1) = 0$
अतः,$p = \frac{5}{4}$ या $p = -1$।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,सही मान $-1$ है।

(B) दिया गया समीकरण $a|z|^2 + \overline{\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}} + d = 0$ है।
चूँकि $\overline{\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}} = \alpha\bar{z} + \bar{\alpha}z$,समीकरण $az\bar{z} + \bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} + d = 0$ बन जाता है।
$a$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए),हमें $z\bar{z} + \frac{\bar{\alpha}}{a}z + \frac{\alpha}{a}\bar{z} + \frac{d}{a} = 0$ प्राप्त होता है।
यह वृत्त का मानक रूप $z\bar{z} + \bar{\beta}z + \beta\bar{z} + c = 0$ है,जहाँ $\beta = \frac{\alpha}{a}$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{|\beta|^2 - c} = \sqrt{\left|\frac{\alpha}{a}\right|^2 - \frac{d}{a}} = \sqrt{\frac{|\alpha|^2 - ad}{a^2}}$ है।
वृत्त के लिए त्रिज्या वास्तविक और धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $|\alpha|^2 - ad > 0$ और $a \neq 0$।

(B) वृत्तों के केंद्र इस प्रकार हैं:
वृत्त $M: (0, 0)$
वृत्त $N: (1, 0)$
वृत्त $O: (1, 1)$
वृत्त $P: (0, 1)$
भुजाओं की लंबाई:
$MN = 1, NO = 1, OP = 1, PM = 1$
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं और आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं,इसलिए यह आकृति एक वर्ग है।

(B) माना योग $S = \sum_{k=0}^{99} (100-k)(100+k)$ है।
$S = \sum_{k=0}^{99} (100^2 - k^2) = \sum_{k=0}^{99} 100^2 - \sum_{k=0}^{99} k^2$.
यहाँ $100$ पद हैं ($k=0$ से $99$ तक):
$S = 100(100^2) - \frac{99(99+1)(2 \times 99 + 1)}{6} = 100^3 - \frac{99 \times 100 \times 199}{6}$.
$S = 1000000 - 33 \times 50 \times 199 = 1000000 - 328350 = 671650$.
दिया गया है $100^{\alpha} - 199\beta = 671650$.
यदि $\alpha = 3$ लें,तो $100^3 - 199\beta = 671650 \implies 1000000 - 671650 = 199\beta$.
$328350 = 199\beta \implies \beta = \frac{328350}{199} = 1650$.
अतः,बिंदु $(3, 1650)$ प्राप्त होता है।
$(3, 1650)$ और $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{1650 - 0}{3 - 0} = 550$ है।

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(2n+1)^2 - 1}$ है,जहाँ $n = 1, 2, \ldots, 100$ है।
हर का सरलीकरण: $(2n+1)^2 - 1 = (2n)(2n+2) = 4n(n+1)$।
अतः,$T_n = \frac{1}{4n(n+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$।
योग $S = \sum_{n=1}^{100} T_n = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{100} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{101} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{100}{101} \right) = \frac{25}{101}$।

(A) दिए गए अंक $1, 2, 2, 3$ हैं। कुल भिन्न $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर प्रत्येक अंक कितनी बार आता है,यह ज्ञात करते हैं:
- अंक $1$: $\frac{3!}{2!} = 3$ बार।
- अंक $2$: $\frac{3!}{1!} = 6$ बार।
- अंक $3$: $\frac{3!}{2!} = 3$ बार।
किसी भी स्थान पर अंकों का योग $= (1 \times 3) + (2 \times 6) + (3 \times 3) = 3 + 12 + 9 = 24$ है।
चूंकि $4$ स्थान हैं,इसलिए कुल योग $= 24 \times (1000 + 100 + 10 + 1) = 24 \times 1111 = 26664$ है।

(A) माना $x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\ldots \infty}}}}$
अतः,$x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{x}}=3+\frac{x}{4x+1}$
$\Rightarrow x-3=\frac{x}{4x+1}$
$\Rightarrow (x-3)(4x+1)=x$
$\Rightarrow 4x^2+x-12x-3=x$
$\Rightarrow 4x^2-12x-3=0$
द्विघात सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x=\frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2-4(4)(-3)}}{2(4)}$
$x=\frac{12 \pm \sqrt{144+48}}{8}=\frac{12 \pm \sqrt{192}}{8}$
$x=\frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{3} = 1.5 \pm \sqrt{3}$
चूंकि $x > 0$,इसलिए $x=1.5+\sqrt{3}$ होगा।

(B) $1$ से $1000$ तक की संख्याओं में अंक $3$ कितनी बार आता है,यह ज्ञात करने के लिए हम सभी संख्याओं को $3$-अंकीय संख्याओं के रूप में मानते हैं ($1$ से $999$ को $001$ से $999$ के रूप में और $1000$ को अलग से).
किसी भी स्थान (इकाई,दहाई या सैकड़ा) के लिए,यदि हम अंक $3$ को निश्चित करते हैं,तो अन्य दो स्थानों को $10$ अंकों $(0-9)$ में से किसी से भी भरा जा सकता है.
इकाई के स्थान पर $3$ आने की संख्या: $10 \times 10 = 100$.
दहाई के स्थान पर $3$ आने की संख्या: $10 \times 10 = 100$.
सैकड़े के स्थान पर $3$ आने की संख्या: $10 \times 10 = 100$.
कुल संख्या = $100 + 100 + 100 = 300$.
संख्या $1000$ में अंक $3$ नहीं है,इसलिए कुल गणना $300$ ही रहती है.

(C) माना कि प्रत्येक चतुर्थांश में बाहरी संख्याएँ $(a, b)$ हैं और आंतरिक संख्या $k$ है। पैटर्न $k = (a - b)^{n!}$ है,जहाँ $n$ चतुर्थांश से संबंधित एक सूचकांक है।
प्रथम चतुर्थांश के लिए: $(2 - 1)^{1!} = 1^{1} = 1$.
द्वितीय चतुर्थांश के लिए: $(12 - 8)^{4!} = 4^{24}$.
तृतीय चतुर्थांश के लिए: $(7 - 4)^{3!} = 3^{6}$.
चतुर्थ चतुर्थांश के लिए: $(5 - 3)^{2!} = 2^{2} = 4$.
अतः,लुप्त मान $4$ है।

(B) मूल बिंदु $(0)$,$z_{1}$ और $z_{2}$ के समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त है:
$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = z_{1}z_{2}$
दोनों पक्षों में $2z_{1}z_{2}$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(z_{1} + z_{2})^{2} = 3z_{1}z_{2}$
दिए गए द्विघात समीकरण $z^{2} + az + 12 = 0$ से,मूलों का योग $z_{1} + z_{2} = -a$ और मूलों का गुणनफल $z_{1}z_{2} = 12$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(-a)^{2} = 3(12)$
$a^{2} = 36$
$|a| = 6$

(B) माना $25$ शिक्षकों की आयु का योग $\sum x_i$ है।
दिया गया है,$\frac{\sum x_i}{25} = 40$,अतः $\sum x_i = 1000$ है।
माना नए नियुक्त शिक्षक की आयु $N$ है।
$60$ वर्ष के शिक्षक की सेवानिवृत्ति और नए शिक्षक की नियुक्ति के बाद,आयु का नया योग $\sum x_i - 60 + N$ है।
अब $25$ शिक्षकों की औसत आयु $39$ वर्ष है।
$\frac{1000 - 60 + N}{25} = 39$
$940 + N = 39 \times 25$
$940 + N = 975$
$N = 975 - 940 = 35$ है।
अतः,नए नियुक्त शिक्षक की आयु $35$ वर्ष है।

(D) वक्र $x^{2}y^{2}=1$ है,जिसका अर्थ है $xy=1$ या $xy=-1$। माना शीर्ष $A(t_1, 1/t_1)$,$B(t_2, -1/t_2)$,$C(-t_1, -1/t_1)$,और $D(-t_2, 1/t_2)$ हैं।
चूंकि $ABCD$ एक वर्ग है,$AB$ का मध्य बिंदु वक्र $xy=1$ या $xy=-1$ पर स्थित होना चाहिए। $AB$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{t_1+t_2}{2}, \frac{1/t_1 - 1/t_2}{2})$ है।
$M$ के $xy=1$ पर होने के लिए,$(\frac{t_1+t_2}{2})(\frac{t_2-t_1}{2t_1t_2}) = 1$,जो $t_2^2 - t_1^2 = 4t_1t_2$ में सरल हो जाता है।
साथ ही,$AB$ की ढाल $-1$ होनी चाहिए। $AB$ की ढाल $\frac{-1/t_2 - 1/t_1}{t_2 - t_1} = -1$ है,जिसका अर्थ है $t_1+t_2 = t_1t_2(t_2-t_1)$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $t_1t_2 = 1$ और $t_2^2 - t_1^2 = 4$ प्राप्त होता है। अतः $t_2^2 + t_1^2 = \sqrt{4^2 + 4(1)^2} = 2\sqrt{5}$।
भुजा की लंबाई का वर्ग $AB^2 = (t_2-t_1)^2 + (-1/t_2 - 1/t_1)^2 = 4\sqrt{5}$ है।
$ABCD$ का क्षेत्रफल $= AB^2 = 4\sqrt{5}$।
अतः,क्षेत्रफल का वर्ग $(4\sqrt{5})^2 = 80$ है।

(A) दिया गया समीकरण $|\cot x| = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ है।
स्थिति $1$: यदि $\cot x \ge 0$ है,तो $|\cot x| = \cot x$। समीकरण $\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ बन जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sin x} = 0$। इसका कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\cot x < 0$ है,तो $|\cot x| = -\cot x$। समीकरण $-\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ बन जाता है,जो $2\cot x + \frac{1}{\sin x} = 0$ में सरल हो जाता है।
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2\cos x + 1}{\sin x} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $2\cos x + 1 = 0$,इसलिए $\cos x = -\frac{1}{2}$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x = -\frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{2\pi}{3}$ और $x = \frac{4\pi}{3}$ पर होता है।
शर्त $\cot x < 0$ की जाँच करने पर: $x = \frac{2\pi}{3}$ के लिए,$\cot(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ (मान्य)।
$x = \frac{4\pi}{3}$ के लिए,$\cot(\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ (अमान्य,क्योंकि यह $\cot x < 0$ का विरोधाभास करता है)।
अतः,केवल $1$ हल है।

(B) $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ अंकों का उपयोग करके बिना दोहराव के बनाई गई $6$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $6 \times 6! = 4320$ है।
संख्या $3$ से विभाज्य होने के लिए उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य होना चाहिए। सभी अंकों का योग $21$ है। $6$ अंक चुनने के लिए एक अंक को बाहर करना होगा जो $0, 3,$ या $6$ हो सकता है।
स्थिति $I$: $0$ को बाहर करने पर,अंक ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ मिलते हैं। कुल तरीके $= 6! = 720$.
स्थिति $II$: $3$ को बाहर करने पर,अंक ${0, 1, 2, 4, 5, 6}$ मिलते हैं। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $5 \times 5! = 600$ तरीके।
स्थिति $III$: $6$ को बाहर करने पर,अंक ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ मिलते हैं। पहला अंक $0$ नहीं हो सकता,इसलिए $5 \times 5! = 600$ तरीके।
अनुकूल परिणाम $n(A) = 720 + 600 + 600 = 1920$.
प्रायिकता $P(A) = \frac{1920}{4320} = \frac{4}{9}$.

(A) दिया गया परवलय $y^{2}=4x$ है।
रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $(x, y)$ का दर्पण प्रतिबिंब $(y, x)$ होता है।
समीकरण $y^{2}=4x$ में $x$ को $y$ और $y$ को $x$ से बदलने पर,हमें बिंदु पथ $C$ के रूप में $x^{2}=4y$ प्राप्त होता है।
$x^{2}=4y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x = 4 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$।
बिंदु $P(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,1)} = \frac{2}{2} = 1$ है।
$P(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = 1(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $y - 1 = x - 2$ या $x - y = 1$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+ax+2ay+c=0$ है।
$x$-अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^{2}-c} = 2\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-c} = 2\sqrt{2}$ है।
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{4}-c = 2 \quad \dots(1)$
$y$-अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^{2}-c} = 2\sqrt{a^{2}-c} = 2\sqrt{5}$ है।
$\Rightarrow a^{2}-c = 5 \quad \dots(2)$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$(a^{2}-c) - (\frac{a^{2}}{4}-c) = 5-2$ $\Rightarrow \frac{3a^{2}}{4} = 3$ $\Rightarrow a^{2} = 4$.
चूंकि $a < 0$,इसलिए $a = -2$ है।
$a = -2$ को $(2)$ में रखने पर: $(-2)^{2}-c = 5$ $\Rightarrow 4-c = 5$ $\Rightarrow c = -1$.
वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x-4y-1 = 0$ है,जो $(x-1)^{2}+(y-2)^{2} = 6$ है।
केंद्र $(1, 2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{6}$ है।
स्पर्श रेखा $x+2y=0$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = 2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-2) = 2(x-1) \pm \sqrt{6}\sqrt{1+2^{2}}$ है।
$y-2 = 2x-2 \pm \sqrt{30} \Rightarrow 2x-y \pm \sqrt{30} = 0$.
मूल बिंदु $(0,0)$ से स्पर्श रेखा $2x-y \pm \sqrt{30} = 0$ की दूरी $d = \frac{|\pm \sqrt{30}|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}} = \sqrt{6}$ है।

(A) दी गई असमिका: $\exp \left(\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \ln 2\right) \geq \log _{\sqrt{2}}|5 \sqrt{7}+9 i |$
सबसे पहले,दाईं ओर को सरल करने पर: $|5 \sqrt{7}+9 i| = \sqrt{(5 \sqrt{7})^2 + 9^2} = \sqrt{175 + 81} = \sqrt{256} = 16$.
अतः,$\log _{\sqrt{2}}(16) = \log _{2^{1/2}}(2^4) = 8 \log _{2}(2) = 8$.
अब,असमिका इस प्रकार है: $2^{\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1}} \geq 8$.
चूँकि $8 = 2^3$,इसलिए: $\frac{(|z|+3)(|z|-1)}{|z|+1} \geq 3$.
मान लीजिए $x = |z|$,जहाँ $x \geq 0$ है। तो $\frac{(x+3)(x-1)}{x+1} \geq 3$.
$(x^2 + 2x - 3) \geq 3(x+1)$.
$x^2 + 2x - 3 \geq 3x + 3$.
$x^2 - x - 6 \geq 0$.
$(x-3)(x+2) \geq 0$.
चूँकि $x = |z| \geq 0$,$x+2$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $x-3 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $|z| \geq 3$.
अतः,$|z|$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(D) मान लीजिए भुजाओं $AB, BC, CD, DA$ पर बिंदुओं की संख्या क्रमशः $n_1=5, n_2=6, n_3=7, n_4=9$ है।
$\alpha$ अलग-अलग भुजाओं से $3$ बिंदु चुनकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हम $4$ में से $3$ भुजाएँ चुनते हैं और फिर प्रत्येक चुनी हुई भुजा से $1$ बिंदु चुनते हैं।
$\alpha = (n_1 n_2 n_3) + (n_1 n_2 n_4) + (n_1 n_3 n_4) + (n_2 n_3 n_4)$
$\alpha = (5 \cdot 6 \cdot 7) + (5 \cdot 6 \cdot 9) + (5 \cdot 7 \cdot 9) + (6 \cdot 7 \cdot 9)$
$\alpha = 210 + 270 + 315 + 378 = 1173$
$\beta$ अलग-अलग भुजाओं से $4$ बिंदु चुनकर बनने वाले चतुर्भुजों की संख्या है।
चतुर्भुज बनाने के लिए,हम $4$ भुजाओं में से प्रत्येक से $1$ बिंदु चुनते हैं।
$\beta = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4$
$\beta = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 = 1890$
अतः,$(\beta-\alpha) = 1890 - 1173 = 717$.

(A) दिया गया वक्र $y^{2}=3x^{2}$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=4b$ है।
वृत्त के समीकरण में $y^{2}=3x^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^{2}+3x^{2}=4b \implies 4x^{2}=4b \implies x^{2}=b$.
अतः $y^{2}=3b$.
अब,$x^{2}=b$ और $y^{2}=3b$ को दीर्घवृत्त के समीकरण $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ में रखने पर:
$\frac{b}{16}+\frac{3b}{b^{2}}=1$
$\frac{b}{16}+\frac{3}{b}=1$
$16b$ से गुणा करने पर: $b^{2}+48=16b$
$b^{2}-16b+48=0$
$(b-12)(b-4)=0$
चूंकि $b > 4$,इसलिए $b=12$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक सदिश $\vec{v} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ है। इसका परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ है।
धनात्मक $x$-अक्ष के साथ प्रारंभिक सदिश का कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$ है।
इस सदिश को $45^{\circ}$ वामावर्त दिशा में घुमाने पर नया कोण $\theta' = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$ प्राप्त होता है।
नया सदिश $\vec{v}' = |\vec{v}|(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j}) = 2(\cos 75^{\circ} \hat{i} + \sin 75^{\circ} \hat{j})$ है।
अतः,$\alpha = 2 \cos 75^{\circ}$ और $\beta = 2 \sin 75^{\circ}$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $(\alpha, \beta), (0, \beta)$ और $(0,0)$ हैं। यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $\alpha$ और ऊँचाई $\beta$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \alpha \beta = \frac{1}{2} (2 \cos 75^{\circ}) (2 \sin 75^{\circ}) = 2 \sin 75^{\circ} \cos 75^{\circ} = \sin(2 \times 75^{\circ}) = \sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) चूंकि $C(0, -a, -1)$ समतल $lx + my + nz = 0$ पर स्थित है,इसलिए $l(0) + m(-a) + n(-1) = 0,$ जिसका अर्थ है $-ma - n = 0,$ या $\frac{m}{n} = -\frac{1}{a} \quad \dots(1)$
सदिश $\vec{CA} = (a - 0, -2a - (-a), 3 - (-1)) = (a, -a, 4)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (l, m, n)$ के समांतर है।
अतः,$\frac{a}{l} = \frac{-a}{m} = \frac{4}{n}.$ $\frac{-a}{m} = \frac{4}{n}$ से,हमें $\frac{m}{n} = -\frac{a}{4} \quad \dots(2)$ प्राप्त होता है।
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$-\frac{1}{a} = -\frac{a}{4} \Rightarrow a^2 = 4.$ चूंकि $a > 0,$ इसलिए $a = 2$ है।
$a = 2$ को $(1)$ में रखने पर,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $m = -t$ और $n = 2t.$ तब $\frac{2}{l} = \frac{-2}{-t} \Rightarrow l = t.$
समतल का समीकरण $t(x - y + 2z) = 0,$ या $x - y + 2z = 0$ है।
बिंदु $D,$ बिंदु $B(0, 4, 5)$ से समतल $x - y + 2z = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है। रेखा $BD$ का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-4}{-1} = \frac{z-5}{2} = k$ है।
अतः,$D = (k, 4-k, 5+2k).$ चूंकि $D$ समतल पर स्थित है,$k - (4-k) + 2(5+2k) = 0 \Rightarrow k - 4 + k + 10 + 4k = 0 \Rightarrow 6k + 6 = 0 \Rightarrow k = -1.$
इस प्रकार,$D = (-1, 4-(-1), 5+2(-1)) = (-1, 5, 3).$
$C = (0, -2, -1)$ और $D = (-1, 5, 3)$ के साथ,$CD$ की लंबाई $= \sqrt{(-1-0)^2 + (5-(-2))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 49 + 16} = \sqrt{66}.$

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2}$ की गणना करें:
$A^{2} = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A^{4} = (A^{2})^{2}$ की गणना करें:
$A^{4} = \left( 2 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \right)^{2} = 8 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
फिर,$A^{8} = (A^{4})^{2}$ की गणना करें:
$A^{8} = \left( 8 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right)^{2} = 128 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
समीकरण निकाय $128 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 64 \end{bmatrix}$ है।
इसका अर्थ है $128(x - y) = 8 \Rightarrow x - y = \frac{1}{16}$ और $128(-x + y) = 64 \Rightarrow -x + y = \frac{1}{2}$,अर्थात $x - y = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $\frac{1}{16} \neq -\frac{1}{2}$,इसलिए इस निकाय का कोई हल नहीं है।

(B) दिए गए बिंदु $P(3, -1, 2)$ और $Q(1, 2, -4)$ हैं।
रेखाओं $PR$ और $QS$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = -2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
$P, T, Q$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{4\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{20}} = \frac{2\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{5}}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $T$ के लिए,रेखा $PT: \vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \lambda(4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ और रेखा $QT: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \mu(-2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $3+4\lambda = 1-2\mu \Rightarrow 2\lambda + \mu = -1$ और $-1-\lambda = 2+\mu \Rightarrow \lambda + \mu = -3$.
हल करने पर: $\lambda = 2, \mu = -5$.
बिंदु $T = (11, -3, 6)$.
सदिश $\vec{OA} = \vec{OT} \pm |\vec{TA}|\hat{n} = (11\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) \pm (2\hat{j} + \hat{k})$.
स्थिति $1$: $\vec{OA} = 11\hat{i} - \hat{j} + 7\hat{k} \Rightarrow |\vec{OA}| = \sqrt{171}$.
स्थिति $2$: $\vec{OA} = 11\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k} \Rightarrow |\vec{OA}| = \sqrt{171}$.

(B) सबसे पहले,हम संयुक्त फलन $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ज्ञात करते हैं।
दिया गया है कि $g(x) < 0$ जब $x < 0$ (क्योंकि $x < 0$ के लिए $x^3 < 0$),और $g(x) \geq 0$ जब $x \geq 0$ (क्योंकि $x \in [0, 1)$ के लिए $x^3 \geq 0$ और $x \geq 1$ के लिए $3x-2 \geq 1$)।
अतः,$(f \circ g)(x) = \begin{cases} x^3+2, & x < 0 \\ x^6, & 0 \leq x < 1 \\ (3x-2)^2, & x \geq 1 \end{cases}$।
अब,संक्रमण बिंदुओं $x=0$ और $x=1$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x=0$ पर: $\lim_{x \to 0^-} (x^3+2) = 2$ और $\lim_{x \to 0^+} (x^6) = 0$। चूँकि $2 \neq 0$,फलन $x=0$ पर असंतत है,इसलिए $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} (x^6) = 1$ और $\lim_{x \to 1^+} (3x-2)^2 = 1$। फलन $x=1$ पर संतत है।
$x=1$ पर अवकलज की जाँच करते हैं: $LHD = \frac{d}{dx}(x^6)|_{x=1} = 6(1)^5 = 6$। $RHD = \frac{d}{dx}(3x-2)^2|_{x=1} = 2(3x-2) \cdot 3|_{x=1} = 6(3-2) = 6$।
चूँकि $LHD = RHD$,फलन $x=1$ पर अवकलनीय है।
अतः,एकमात्र बिंदु जहाँ $(f \circ g)(x)$ अवकलनीय नहीं है,वह $x=0$ है। ऐसे बिंदुओं की संख्या $1$ है।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3}$ है।
चूंकि समतल $lx + my + nz = 0$ इस रेखा को समाहित करता है,यह बिंदु $(1, -4, -2)$ से गुजरता है और इसका अभिलंब सदिश $(l, m, n)$,रेखा के दिशा सदिश $(-1, 2, 3)$ के लंबवत है।
अतः,$l(1) + m(-4) + n(-2) = 0 \implies l - 4m - 2n = 0$ (समीकरण $1$)।
और $-l + 2m + 3n = 0$ (समीकरण $2$)।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$-2m + n = 0 \implies n = 2m$ प्राप्त होता है।
$n = 2m$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$-l + 2m + 3(2m) = 0 \implies l = 8m$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,समतल का समीकरण $8x + y + 2z = 0$ है।
$AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $C$ के निर्देशांक $\left(\frac{2k-3}{k+1}, \frac{4k-6}{k+1}, \frac{-3k+1}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि $C$ समतल पर स्थित है,$8\left(\frac{2k-3}{k+1}\right) + \left(\frac{4k-6}{k+1}\right) + 2\left(\frac{-3k+1}{k+1}\right) = 0$।
$16k - 24 + 4k - 6 - 6k + 2 = 0$।
$14k - 28 = 0 \implies k = 2$।

(B) दिया गया है $f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+2(a-7) \cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)$.
चूंकि $\cot \left(\frac{x}{2}\right) \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} \cdot \sin^2(x/2) = \sin(x/2)\cos(x/2) = \frac{1}{2} \sin x$,फलन सरल होकर निम्न हो जाता है:
$f(x)=(4 a-3)\left(x+\log _{e} 5\right)+(a-7) \sin x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$f'(x)=(4 a-3)(1)+(a-7) \cos x = 0$.
यह इंगित करता है कि $\cos x = \frac{3-4 a}{a-7}$.
चूंकि $-1 \leq \cos x \leq 1$ और $x \neq 2n\pi$ (जिसका अर्थ है $\cos x \neq 1$),हमारे पास है:
$-1 \leq \frac{3-4 a}{a-7} < 1$.
स्थिति $1$: $\frac{3-4 a}{a-7} \geq -1 \Rightarrow \frac{3-4 a + a - 7}{a-7} \geq 0 \Rightarrow \frac{-3 a - 4}{a-7} \geq 0 \Rightarrow \frac{3 a + 4}{a-7} \leq 0$.
इससे $a \in [-\frac{4}{3}, 7)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $\frac{3-4 a}{a-7} < 1 \Rightarrow \frac{3-4 a - a + 7}{a-7} < 0 \Rightarrow \frac{-5 a + 10}{a-7} < 0 \Rightarrow \frac{5(a-2)}{a-7} > 0$.
इससे $a \in (-\infty, 2) \cup (7, \infty)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$ और स्थिति $2$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $a \in [-\frac{4}{3}, 2)$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,सीमा $a=2$ की जाँच करने पर,$\cos x = \frac{3-8}{2-7} = \frac{-5}{-5} = 1$,जिसे बाहर रखा गया है क्योंकि $x \neq 2n\pi$ है। अतः,परिसर $[-\frac{4}{3}, 2)$ है।

(C) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का है,और $E_2$ वह घटना है कि खोया हुआ पत्ता हुकुम का नहीं है।
$P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(E_2) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि शेष $51$ पत्तों में से निकाले गए दो पत्ते हुकुम के हैं।
यदि $E_1$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $12$ हुकुम के पत्ते बचते हैं। अतः,$P(A|E_1) = \frac{^{12}C_2}{^{51}C_2} = \frac{132}{2550}$.
यदि $E_2$ घटित होता है,तो $51$ पत्तों में $13$ हुकुम के पत्ते बचते हैं। अतः,$P(A|E_2) = \frac{^{13}C_2}{^{51}C_2} = \frac{156}{2550}$.
हमें $P(E_2|A)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
$P(E_2|A) = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}}{\frac{1}{4} \times \frac{132}{2550} + \frac{3}{4} \times \frac{156}{2550}} = \frac{468}{132 + 468} = \frac{468}{600} = \frac{39}{50}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \tan x$ और $Q = \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx = \int \sec x \tan x dx = \sec x + C$.
चूँकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,$x = \frac{\pi}{3}$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$.
अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,जिसे सरल करने पर $y = \frac{\sec x - 2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
माना $t = \cos x$ है। चूँकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $y = t - 2t^2$ है। अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = 1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4}$.
चूँकि $t = \frac{1}{4}$ अंतराल $[-1, 1]$ के भीतर है,अधिकतम मान $y = \frac{1}{4} - 2(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ है।

(C) हमारे पास $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2 \cdot 2^{2r} + 3 \cdot 3^{2r}}\right)$ है।
अंश और हर को $3^{2r}$ से विभाजित करने पर:
$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{(2/3)^r}{2 \cdot (2/3)^{2r} + 3}\right)$.
इस पद को $\frac{(2/3)^r - (2/3)^{r+1}}{1 + (2/3)^r \cdot (2/3)^{r+1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \left( \tan^{-1}((2/3)^r) - \tan^{-1}((2/3)^{r+1}) \right)$.
$S_{k} = \tan^{-1}(2/3) - \tan^{-1}((2/3)^{k+1})$.
जब $k \rightarrow \infty$,तब $(2/3)^{k+1} \rightarrow 0$.
इसलिए,$S_{\infty} = \tan^{-1}(2/3) = \cot^{-1}(3/2)$.

(B) दिया गया सीमा $E = 2 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right)$ है।
यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन $E = 2 \int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$f(x) = \log_{2}\left(1+\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right)\right) = \frac{\ln(1+\tan(\pi x/4))}{\ln 2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+\tan\frac{\pi x}{4}\right) dx \quad \dots(i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $1-x$ से बदलने पर:
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4}(1-x)\right)\right) dx$
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(1+\frac{1-\tan(\pi x/4)}{1+\tan(\pi x/4)}\right) dx$
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln\left(\frac{2}{1+\tan(\pi x/4)}\right) dx$
$E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} (\ln 2 - \ln(1+\tan(\pi x/4))) dx \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2E = \frac{2}{\ln 2} \int_{0}^{1} \ln 2 dx = \frac{2}{\ln 2} \cdot \ln 2 = 2$
अतः,$E = 1$।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ है।
$AA^{T}$ के विकर्ण अवयव $A$ की प्रत्येक पंक्ति के अवयवों के वर्गों का योग हैं।
अतः,सभी विकर्ण अवयवों का योग $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}+i^{2} = 9$ है,जहाँ $a, b, c, d, e, f, g, h, i \in \{0, 1, 2, 3\}$ है।
हमें उन अवयवों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके वर्गों का योग $9$ हो।
$1$. नौ $1$s: $\frac{9!}{9!} = 1$
$2$. एक $3$ $(3^2=9)$: $\frac{9!}{1!8!} = 9$
$3$. एक $2$ $(2^2=4)$ और पाँच $1$s $(1^2=1)$: $\frac{9!}{1!5!3!} = 504$
$4$. दो $2$s $(2^2=4)$ और एक $1$ $(1^2=1)$: $\frac{9!}{2!1!6!} = 252$
कुल संख्या $= 1 + 9 + 504 + 252 = 766$.

(C) मान लीजिए $M = (P^{-1}AP - I)^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\det(P^{-1}AP - I) = \det(P^{-1}(A - I)P) = \det(P^{-1}) \det(A - I) \det(P) = \det(A - I)$ होता है।
इसलिए,$\det(M) = (\det(A - I))^{2}$ होगा।
अब,$A - I$ की गणना करते हैं:
$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega-1 & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$।
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ का उपयोग करते हुए,$-\omega - 1 = \omega^{2}$ प्राप्त होता है।
$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & \omega^{2} & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$।
सारणिक की गणना करने पर:
$\det(A - I) = 1(\omega^{2}(-\omega) - (1)(-\omega)) - 7((-1)(-\omega) - 0) + \omega^{2}((-1)(-\omega) - 0)$
$= 1(-\omega^{3} + \omega) - 7\omega + \omega^{3} = -1 + \omega - 7\omega + 1 = -6\omega$।
अतः,$\det(M) = (-6\omega)^{2} = 36\omega^{2}$।
दिया गया है कि $\det(M) = \alpha \omega^{2}$,इसलिए $\alpha = 36$।

(B) दिया गया वक्र $y(x)=\int_{0}^{x}(2t^{2}-15t+10)dt$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$x=a$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $y'(a) = 2a^{2}-15a+10$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{y'(a)} = -\frac{1}{2a^{2}-15a+10}$ है।
दी गई रेखा $x+3y=-5$ है,जिसे $y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $-\frac{1}{3}$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होगी:
$-\frac{1}{2a^{2}-15a+10} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 2a^{2}-15a+10 = 3$.
$2a^{2}-15a+7 = 0 \Rightarrow (2a-1)(a-7) = 0$.
चूंकि $a>1$,इसलिए $a=7$ होगा।
अब,$b = y(7) = \int_{0}^{7}(2t^{2}-15t+10)dt = [\frac{2}{3}t^{3} - \frac{15}{2}t^{2} + 10t]_{0}^{7}$ की गणना करें।
$b = \frac{2}{3}(343) - \frac{15}{2}(49) + 10(7) = \frac{686}{3} - \frac{735}{2} + 70 = \frac{1372 - 2205 + 420}{6} = -\frac{413}{6}$.
अतः,$6b = -413$.
$|a+6b| = |7 - 413| = |-406| = 406$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2(x + 1)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y(x) = \int 2(x + 1) dx = (x + 1)^2 + C = x^2 + 2x + 1 + C$.
मान लीजिए $K = 1 + C$,तो $y(x) = (x + 1)^2 + C$.
यह वक्र ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $(-1, C)$ है। वक्र को $x-$अक्ष के साथ क्षेत्रफल परिबद्ध करने के लिए,इसे $x-$अक्ष के नीचे होना चाहिए,इसलिए $C < 0$। मान लीजिए $C = -k^2$ जहाँ $k > 0$ है।
$y(x) = 0$ के मूल $(x + 1)^2 = -C$ हैं,इसलिए $x = -1 \pm \sqrt{-C}$।
वक्र और $x-$अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल:
$A = \int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} (0 - ((x + 1)^2 + C)) dx = -\int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} ((x + 1)^2 + C) dx$.
$u = x + 1$ लेने पर,$du = dx$। सीमाएँ $-\sqrt{-C}$ से $\sqrt{-C}$ में बदल जाएंगी।
$A = -\int_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} (u^2 + C) du = -[\frac{u^3}{3} + Cu]_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} = -[(\frac{(-C)^{3/2}}{3} + C\sqrt{-C}) - (\frac{-(-C)^{3/2}}{3} - C\sqrt{-C})]$.
$A = -[\frac{2}{3}(-C)^{3/2} + 2C\sqrt{-C}] = -[\frac{2}{3}(-C)\sqrt{-C} - 2(-C)\sqrt{-C}] = -[-\frac{4}{3}(-C)^{3/2}] = \frac{4}{3}(-C)^{3/2}$.
दिया गया है कि $A = \frac{4\sqrt{8}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$।
अतः,$\frac{4}{3}(-C)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \Rightarrow (-C)^{3/2} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$.
इस प्रकार,$-C = 2$,जिसका अर्थ है $C = -2$।
फलन $y(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$ है।
इसलिए,$y(1) = (1)^2 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$।

(B) दिया गया है $f(x)+f(x+1)=2$।
दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,$\int_{0}^{1} f(x) d x + \int_{0}^{1} f(x+1) d x = \int_{0}^{1} 2 d x$।
दूसरे समाकलन में $t=x+1$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$\int_{0}^{1} f(x) d x + \int_{1}^{2} f(t) d t = 2$,जिसका अर्थ है $\int_{0}^{2} f(x) d x = 2$।
चूंकि $f(x)+f(x+1)=2$,इसलिए $f(x+2) = 2-f(x+1) = 2-(2-f(x)) = f(x)$,अतः $f(x)$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T=2$ है।
$I_{1} = \int_{0}^{8} f(x) d x = \frac{8}{2} \int_{0}^{2} f(x) d x = 4 \times 2 = 8$।
$I_{2} = \int_{-1}^{3} f(x) d x$। चूंकि $f(x)$ का आवर्तकाल $2$ है,$\int_{a}^{a+T} f(x) d x$ का मान $a$ से स्वतंत्र होता है।
अतः,$I_{2} = \int_{0}^{4} f(x) d x = \frac{4}{2} \int_{0}^{2} f(x) d x = 2 \times 2 = 4$।
इसलिए,$I_{1}+2 I_{2} = 8 + 2(4) = 8 + 8 = 16$।

(B) दिया गया फलन $y = 5^{\log x}$ है।
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ का परस्पर विनिमय करते हैं:
$x = 5^{\log y}$.
लघुगणक के गुणधर्म $a^{\log b} = b^{\log a}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x = y^{\log 5}$.
अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = y^{\log 5}$ है।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}$,इसलिए $\overrightarrow{r} \times (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r}$,$(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$ के समांतर है।
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2-7)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (4 - (-6))\hat{k} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$ की गणना करें।
अतः,$\overrightarrow{r} = \lambda(-5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k})$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$,$\overrightarrow{r}$ का मान रखने पर:
$\lambda(-5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$ है।
$\lambda(-5 - 8 + 10) = -3 \Rightarrow -3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = 1$ है।
इस प्रकार,$\overrightarrow{r} = -5\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$ है।
अंत में,$\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = (-5)(2) + (-4)(-3) + (10)(1) = -10 + 12 + 10 = 12$ है।

(D) दिए गए समीकरण निकाय हैं:
$kx + y + z = 1$
$x + ky + z = k$
$x + y + kz = k^2$
सबसे पहले,हम गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ ज्ञात करते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$
$= k(k^2 - 1) - 1(k - 1) + 1(1 - k)$
$= (k - 1)^2(k + 2)$
निकाय का कोई हल न होने के लिए,$\Delta = 0$ होना चाहिए और क्रेमर के सारणिकों $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ में से कम से कम एक शून्य नहीं होना चाहिए।
यदि $k = 1$ है,तो समीकरण $x + y + z = 1$ बन जाते हैं,जो अनंत हल देते हैं।
यदि $k = -2$ है,तो $\Delta = 0$ होता है। अब $\Delta_1$ की जाँच करते हैं:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 9 \neq 0$.
अतः,$k = -2$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{100} \cot^{-1}(2n^2)$ है।
सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,$\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{2}{4n^2})$ प्राप्त होता है।
इसे $\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ सूत्र का उपयोग करने पर,योग $\sum_{n=1}^{100} (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$ हो जाता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1} 201 - \tan^{-1} 199)$.
पदों के कटने के बाद,हमारे पास $\tan^{-1} 201 - \tan^{-1} 1$ शेष बचता है।
पुनः सूत्र का उपयोग करने पर,$\tan^{-1}(\frac{201-1}{1+201 \times 1}) = \tan^{-1}(\frac{200}{202}) = \tan^{-1}(\frac{100}{101})$.
अतः $\cot^{-1}(\alpha) = \tan^{-1}(\frac{101}{100})$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{101}{100} = 1.01$।

(D) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले और $y$-अक्ष (जिसका दिशा सदिश $\hat{j}$ है) को समाहित करने वाले तथा बिंदु $P(1, 2, 3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण अभिलंब सदिश $\vec{n}$ का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
समतल सदिश $\vec{v} = \hat{j} = (0, 1, 0)$ और सदिश $\vec{OP} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = (1, 2, 3)$ को समाहित करता है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$ क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{OP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - \hat{k}$.
$(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = (3, 0, -1)$ वाले समतल का समीकरण है:
$3(x - 0) + 0(y - 0) - 1(z - 0) = 0$
$3x - z = 0$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2}$ की गणना करें:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin^{2} \alpha & 0 \\ 0 & \sin^{2} \alpha \end{bmatrix} = \sin^{2} \alpha I$.
अब,इसे सारणिक समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = \det\left(\sin^{2} \alpha I - \frac{1}{2} I\right) = \det\left(\left(\sin^{2} \alpha - \frac{1}{2}\right) I\right) = 0$.
चूंकि $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है,इसलिए $\det(kI) = k^{2} \det(I) = k^{2}$ होता है।
अतः,$\left(\sin^{2} \alpha - \frac{1}{2}\right)^{2} = 0$.
इसका अर्थ है $\sin^{2} \alpha = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$\alpha$ का एक संभावित मान $\frac{\pi}{4}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1}(x+1)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
गुणधर्म $\cot ^{-1}(u) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{u}\right)$ (जब $u > 0$) का उपयोग करते हुए,यदि $x > 1$ है तो $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \tan ^{-1}(x-1)$ होता है।
यदि $x > 1$ है,तो $\tan ^{-1}(x+1) + \tan ^{-1}(x-1) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
$\tan(A+B)$ सूत्र के अनुसार: $\frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)} = \frac{8}{31} \Rightarrow \frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$.
$4x^2 + 31x - 8 = 0$ को हल करने पर,$x = \frac{1}{4}$ या $x = -8$ प्राप्त होता है। चूँकि दोनों मान $x \leq 1$ हैं,यह धारणा गलत है।
यदि $x < 1$ है,तो $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \pi + \tan ^{-1}(x-1)$ होता है।
अतः $\tan ^{-1}(x+1) + \pi + \tan ^{-1}(x-1) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{2-x^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right) - \pi$.
दोनों तरफ $\tan$ लेने पर: $\frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$,जिसका सरलीकरण $4x^2 + 31x - 8 = 0$ है।
जाँच करने पर,केवल $x = -8$ ही संभव है। अतः $x$ के संभावित मानों का योग $-8$ है।

(A) माना $I = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$.
यहाँ,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $a+b = \frac{\pi}{2}$.
$g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x}{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x} dx$ ... $(i)$
गुणधर्म का उपयोग करने पर,$g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\alpha} x}{\cos^{\alpha} x + \sin^{\alpha} x} dx$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x}{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$g(\alpha) = \frac{\pi}{12}$,जो एक अचर फलन है।
एक अचर फलन न तो निरंतर वर्धमान होता है और न ही निरंतर ह्रासमान।
इसलिए,कथन $A$,$B$,और $C$ तीनों गलत हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = xy - 1 + x - y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = x(y + 1) - 1(y + 1) = (x - 1)(y + 1)$.
यह एक चर पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{y + 1} = (x - 1) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 1} = \int (x - 1) dx$.
$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x + C$.
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर: $\ln|0 + 1| = \frac{0^2}{2} - 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln|y + 1| = \frac{x^2}{2} - x$,जिसका अर्थ है $y + 1 = e^{\frac{x^2}{2} - x}$.
इसलिए,$y(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x} - 1$.
$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $y(1) = e^{\frac{1^2}{2} - 1} - 1 = e^{\frac{1}{2} - 1} - 1 = e^{-\frac{1}{2}} - 1$.

(A) उद्देश्य फलन $z = 6xy + y^2$ है। प्रतिबंध $3x + 4y \leq 100$,$4x + 3y \leq 75$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
प्रतिबंधों के अनुसार,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 0)$,$(18.75, 0)$ और $(0, 25)$ हैं।
शीर्षों पर $z$ का मान:
$(0, 0)$ पर,$z = 6(0)(0) + 0^2 = 0$.
$(18.75, 0)$ पर,$z = 6(18.75)(0) + 0^2 = 0$.
$(0, 25)$ पर,$z = 6(0)(25) + 25^2 = 625$.
चूंकि $z$ एक रैखिक फलन नहीं है,हम सीमा $4x + 3y = 75$ की जाँच करते हैं,जिसका अर्थ है $x = \frac{75-3y}{4}$.
इसे $z$ में प्रतिस्थापित करने पर: $z = 6y(\frac{75-3y}{4}) + y^2 = \frac{3y(75-3y)}{2} + y^2 = \frac{225y - 9y^2 + 2y^2}{2} = \frac{225y - 7y^2}{2}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$y$ के सापेक्ष अवकलन करके $0$ के बराबर रखने पर: $\frac{dz}{dy} = \frac{225 - 14y}{2} = 0 \implies y = \frac{225}{14} \approx 16.07$.
तब $x = \frac{75 - 3(225/14)}{4} = \frac{375}{56} \approx 6.7$.
इन मानों को $z$ में रखने पर: $z = \frac{354375}{392} \approx 904.0178$.
अतः,अधिकतम मान लगभग $904$ है.

(A) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
सूत्र $\cos A - \cos B = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin(\frac{\sin x + x}{2}) \sin(\frac{\sin x - x}{2})}{x^4} = \frac{1}{k}$
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(\frac{\sin x + x}{2}) \sin(\frac{x - \sin x}{2})}{x^4} = \frac{1}{k}$
जब $\theta \to 0$ हो तब $\sin \theta \approx \theta$ और टेलर श्रेणी $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{\sin x + x}{2x} \right) \left( \frac{x - \sin x}{2x^3} \right) = \frac{1}{k}$
$\lim_{x \to 0} 2 \left( \frac{x + x}{2x} \right) \left( \frac{x - (x - \frac{x^3}{6})}{2x^3} \right) = \frac{1}{k}$
$2 \times (1) \times \frac{x^3/6}{2x^3} = \frac{1}{k}$
$2 \times 1 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{k}$
$\frac{1}{6} = \frac{1}{k} \Rightarrow k = 6$.

(B) दिया गया है $f(x) = \sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2x}}{1+2^{2x}}\right)\right)$.
मान लीजिए $2^x = t$. तब $f(x) = \sin(\cos^{-1}(\frac{1-t^2}{1+t^2}))$.
हम जानते हैं कि $t \ge 0$ के लिए $\cos^{-1}(\frac{1-t^2}{1+t^2}) = 2\tan^{-1}(t)$ होता है।
अतः,$f(x) = \sin(2\tan^{-1}(2^x))$.
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \tan^{-1}(2^x)$,हमें $\tan\theta = 2^x$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$f(x) = \frac{2(2^x)}{1+(2^x)^2} = \frac{2 \cdot 2^x}{1+2^{2x}}$.
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{(1+2^{2x}) \cdot \frac{d}{dx}(2 \cdot 2^x) - (2 \cdot 2^x) \cdot \frac{d}{dx}(1+2^{2x})}{(1+2^{2x})^2}$.
$f'(x) = \frac{(1+2^{2x})(2 \cdot 2^x \ln 2) - (2 \cdot 2^x)(2^{2x} \ln 2 \cdot 2)}{(1+2^{2x})^2}$.
$x=1$ पर,$2^x = 2$ और $2^{2x} = 4$.
$f'(1) = \frac{(1+4)(2 \cdot 2 \ln 2) - (2 \cdot 2)(4 \ln 2 \cdot 2)}{(1+4)^2} = \frac{5(4 \ln 2) - 4(8 \ln 2)}{25} = \frac{20 \ln 2 - 32 \ln 2}{25} = -\frac{12}{25} \ln 2$.
$-\frac{b}{a} \ln 2$ से तुलना करने पर,$b=12$ और $a=25$ प्राप्त होता है।
अतः,$|a^2 - b^2| = |25^2 - 12^2| = |625 - 144| = 481$.

(B) मान लीजिए $P(E_{1}) = P_{1}$,$P(E_{2}) = P_{2}$,और $P(E_{3}) = P_{3}$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,केवल $E_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha = P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3})$ है।
केवल $E_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta = (1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})$ है।
केवल $E_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma = (1 - P_{1})(1 - P_{2})P_{3}$ है।
कोई भी घटना न घटने की प्रायिकता $p = (1 - P_{1})(1 - P_{2})(1 - P_{3})$ है।
दिया गया है $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$,मान रखने पर:
$\left(P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3}) - 2(1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})\right)p = P_{1}(1 - P_{2})(1 - P_{3}) \cdot (1 - P_{1})P_{2}(1 - P_{3})$.
दोनों पक्षों को $(1 - P_{1})(1 - P_{2})(1 - P_{3})^2$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{P_{1}}{1 - P_{1}} - \frac{2P_{2}}{1 - P_{2}} = \frac{P_{1}P_{2}}{(1 - P_{1})(1 - P_{2})}$.
इसे सरल करने पर $P_{1} = 2P_{2}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ से,हमें $P_{2} = 3P_{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P_{1} = 2(3P_{3}) = 6P_{3}$ है।
इस प्रकार,$\frac{P_{1}}{P_{3}} = 6$।

(C) दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \Rightarrow (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (-\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}) = 1$.
यह सरल होकर $-\alpha \beta - \alpha \beta - 3 = 1 \Rightarrow -2 \alpha \beta = 4 \Rightarrow \alpha \beta = -2$ $(1)$ हो जाता है।
दिया गया है $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3 \Rightarrow (-\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}) = -3$.
यह सरल होकर $-\beta + 2 \alpha + 1 = -3 \Rightarrow 2 \alpha - \beta = -4$ $(2)$ हो जाता है।
$(1)$ से,$\beta = -2/\alpha$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \alpha - (-2/\alpha) = -4 \Rightarrow 2 \alpha^2 + 2 = -4 \alpha \Rightarrow \alpha^2 + 2 \alpha + 1 = 0 \Rightarrow (\alpha + 1)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
अतः $\beta = -2/(-1) = 2$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $\frac{1}{3}[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} \alpha & \beta & 3 \\ -\beta & -\alpha & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_3$ करने पर: $\frac{1}{3} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} [2(4 - 1)] = \frac{1}{3} \times 6 = 2$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = (2)(-1) - (3)(0) = -2$ है।
सबसे पहले,हम $\det(A^4) = |A|^4 = (-2)^4 = 16$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,$\operatorname{adj}(2A)$ पर विचार करें। चूंकि $2A = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$,इसका सारणिक $|2A| = 2^2 |A| = 4(-2) = -8$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\operatorname{adj}(2A) = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
ध्यान दें कि $\operatorname{adj}(2A) = -2 \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ है।
वैकल्पिक रूप से,गुणधर्म $\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए,$n=2$ के लिए,$\operatorname{adj}(2A) = 2 \operatorname{adj}(A) = 2 \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
$A$ के आइगेन मान $\lambda_1 = 2$ और $\lambda_2 = -1$ हैं। $A^{10}$ के आइगेन मान $2^{10}$ और $(-1)^{10} = 1$ हैं।
$\operatorname{adj}(2A)$ के आइगेन मान $2 \times (-1) = -2$ और $2 \times 2 = 4$ हैं। अतः,$(\operatorname{adj}(2A))^{10}$ के आइगेन मान $(-2)^{10} = 2^{10}$ और $4^{10} = 2^{20}$ हैं।
चूंकि $A^{10}$ और $(\operatorname{adj}(2A))^{10}$ दोनों में $2^{10}$ आइगेन मान समान है,आव्यूह $A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10}$ का कम से कम एक आइगेन मान $2^{10} - 2^{10} = 0$ है।
इसलिए,$\det(A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10}) = 0$ है।
अंत में,अभीष्ट मान $16 + 0 = 16$ है।

(C) माना $I = \int_{0}^{\sqrt{\pi / 2}} ([x^2] + [-\cos x]) dx$ है।
चूंकि $0 \le x \le \sqrt{\pi / 2} \approx 1.25$,इसलिए $0 \le x^2 \le \pi / 2 \approx 1.57$ है।
अतः,$0 \le x < 1$ के लिए $[x^2] = 0$ और $1 \le x \le \sqrt{\pi / 2}$ के लिए $[x^2] = 1$ है।
$0 \le x \le \sqrt{\pi / 2}$ के लिए,$0 \le \cos x \le 1$ है।
विशेष रूप से,$x \in (0, \sqrt{\pi / 2}]$ के लिए,$0 \le \cos x < 1$ है,इसलिए $-\cos x \in [-1, 0)$ है।
अतः,$x \in (0, \sqrt{\pi / 2}]$ के लिए $[-\cos x] = -1$ और $x = 0$ पर $[-\cos x] = 0$ है।
$I = \int_{0}^{1} (0 - 1) dx + \int_{1}^{\sqrt{\pi / 2}} (1 - 1) dx = \int_{0}^{1} (-1) dx + 0 = -1$।

(C) दो समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$(2x - 7y + 4z - 3) + \lambda(3x - 5y + 4z + 11) = 0$.
पदों को समूहित करने पर,हमें $(2 + 3\lambda)x - (7 + 5\lambda)y + (4 + 4\lambda)z + (-3 + 11\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $(-2, 1, 3)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 + 3\lambda)(-2) - (7 + 5\lambda)(1) + (4 + 4\lambda)(3) - 3 + 11\lambda = 0$.
$-4 - 6\lambda - 7 - 5\lambda + 12 + 12\lambda - 3 + 11\lambda = 0$.
$\lambda$ वाले पदों और स्थिरांकों को संयोजित करने पर: $(12)\lambda - 2 = 0$,जिससे $\lambda = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{1}{6}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(2 + 3(\frac{1}{6}))x - (7 + 5(\frac{1}{6}))y + (4 + 4(\frac{1}{6}))z + (-3 + 11(\frac{1}{6})) = 0$.
$(\frac{15}{6})x - (\frac{47}{6})y + (\frac{28}{6})z - (\frac{7}{6}) = 0$.
$6$ से गुणा करने पर,हमें $15x - 47y + 28z - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $ax + by + cz - 7 = 0$ से करने पर,$a = 15, b = -47, c = 28$ प्राप्त होता है।
अब,$2a + b + c - 7 = 2(15) + (-47) + 28 - 7 = 30 - 47 + 28 - 7 = 4$.

(C) दिया गया परवलय का समीकरण: $y^{2} = 4ax + 4a^{2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ का मान मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{2} = 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)x + 4\left(\frac{y}{2} \frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} + 4 \cdot \frac{y^{2}}{4} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
$y^{2} = 2xy \frac{dy}{dx} + y^{2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
$y$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $y \neq 0$):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x\end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर:
चूंकि $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$,पहली पंक्ति के प्रत्येक स्तंभ का योग $1 + \sin^{2} x + \cos^{2} x + 4 \sin 2x = 2 + 4 \sin 2x$ हो जाता है।
$(2 + 4 \sin 2x)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(2 + 4 \sin 2x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right| = 0$.
$C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ लागू करने पर:
$(2 + 4 \sin 2x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \cos ^{2} x & 1 & 0 \\ 4 \sin 2 x & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$.
यह $(2 + 4 \sin 2x)(1) = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\sin 2x = -\frac{1}{2}$.
$0 < x < \pi$ के लिए,$0 < 2x < 2\pi$ है।
अंतराल $(0, 2\pi)$ में $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ के लिए $2x$ के मान $2x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ और $2x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ हैं।
अतः,$x = \frac{7\pi}{12}$ और $x = \frac{11\pi}{12}$।

(B) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \beta & \gamma & \alpha \\ \gamma & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\alpha(\gamma\beta - \alpha^{2}) - \beta(\beta^{2} - \alpha\gamma) + \gamma(\beta\alpha - \gamma^{2}) = 0$
$\alpha\beta\gamma - \alpha^{3} - \beta^{3} + \alpha\beta\gamma + \alpha\beta\gamma - \gamma^{3} = 0$
$3\alpha\beta\gamma - (\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3}) = 0$
सर्वसमिका $\alpha^{3} + \beta^{3} + \gamma^{3} - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha))$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-(\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)) = 0$
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\alpha + \beta + \gamma = -a$ और $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$ है। साथ ही,$\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2} = (\alpha + \beta + \gamma)^{2} - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = a^{2} - 2b$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-(-a)(a^{2} - 2b - b) = 0$
$a(a^{2} - 3b) = 0$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $a^{2} - 3b = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^{2} = 3b$ है।
अतः,$\frac{a^{2}}{b} = 3$।

(A) माना $I = \int \frac{(2 x-1) \cos \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}}{\sqrt{4 x^{2}-4 x+6}} d x$.
ध्यान दें कि $4x^2 - 4x + 6 = (2x-1)^2 + 5$.
अतः,$I = \int \frac{(2 x-1) \cos \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}}{\sqrt{(2 x-1)^{2}+5}} d x$.
माना $u = \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}$.
तब $u^2 = (2x-1)^2 + 5$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $2u \frac{du}{dx} = 2(2x-1) \cdot 2 = 4(2x-1)$.
इस प्रकार,$(2x-1) dx = \frac{u}{2} du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\cos u}{u} \cdot \frac{u}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos u du$.
$I = \frac{1}{2} \sin u + c$.
$u = \sqrt{(2 x-1)^{2}+5}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2} \sin \sqrt{(2 x-1)^{2}+5} + c$.

(D) $x = 0$ के निकट $\sin^{-1} x$ और $\tan^{-1} x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$\sin^{-1} x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
$\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
इन मानों को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x + \frac{x^3}{6}) - (x - \frac{x^3}{3})}{3x^3}$
$L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{3}}{3x^3} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{1+2}{6}}{3} = \frac{3/6}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
चूंकि $L = 1/6$ दिया गया है,$6L + 1$ का मान होगा:
$6(1/6) + 1 = 1 + 1 = 2$

(B) फलन $f(x) = \frac{\operatorname{cosec}^{-1} x}{\sqrt{x - [x]}}$ को परिभाषित होने के लिए,दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $\operatorname{cosec}^{-1} x$ का डोमेन $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।
$2$. हर $\sqrt{x - [x]}$ गैर-शून्य और वास्तविक होना चाहिए। चूँकि $x - [x] = \{x\}$ ($x$ का भिन्नात्मक भाग),हमें $\{x\} > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है कि $x$ पूर्णांक नहीं हो सकता है।
इन शर्तों को मिलाने पर,$x$ को $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ में होना चाहिए और $x \notin \mathbb{Z}$ होना चाहिए।
यह $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ में सभी गैर-पूर्णांकों के बराबर है,जो अंतराल $(-1, 1)$ को छोड़कर सभी गैर-पूर्णांकों के समान है।

(C) $f(x) = \sqrt{x}$ के लिए,प्रांत $[0, \infty)$ है।
$g(x) = \sqrt{1-x}$ के लिए,प्रांत $(-\infty, 1]$ है।
$f+g, f-g,$ और $g-f$ का प्रांत $f$ और $g$ के प्रांतों का सर्वनिष्ठ है,जो $[0, 1]$ है।
$f/g$ के लिए,हमें $g(x) \neq 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $1-x \neq 0 \implies x \neq 1$। प्रांत $[0, 1)$ है।
$g/f$ के लिए,हमें $f(x) \neq 0$ की आवश्यकता है,इसलिए $x \neq 0$। प्रांत $(0, 1]$ है।
इन सभी फलनों के लिए उभयनिष्ठ प्रांत $[0, 1], [0, 1),$ और $(0, 1]$ का सर्वनिष्ठ है,जो $(0, 1)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|} & ; |x| \geq 1 \\ ax^2 + b & ; |x| < 1 \end{cases}$.
$x \geq 1$ के लिए,$f(x) = \frac{1}{x}$. $x \leq -1$ के लिए,$f(x) = -\frac{1}{x}$.
चूंकि $f(x)$ प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies a(1)^2 + b = \frac{1}{1} \implies a + b = 1 \quad \dots(1)$.
साथ ही,$f(x)$ को $x = 1$ पर अवकलनीय होना चाहिए.
$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x^2} & ; x > 1 \\ 2ax & ; -1 < x < 1 \end{cases}$.
$x = 1$ पर अवकलजों की तुलना करने पर:
$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x) \implies 2a(1) = -\frac{1}{(1)^2} \implies 2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}$.
समीकरण $(1)$ में $a = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$-\frac{1}{2} + b = 1 \implies b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
अतः,$a = -\frac{1}{2}$ और $b = \frac{3}{2}$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$A + 2B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \quad \dots(1)$
$2A - B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4A - 2B = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 \\ 4 & -2 & 12 \\ 0 & 2 & 4 \end{bmatrix} \quad \dots(3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$5A = \begin{bmatrix} 1+4 & 2-2 & 0+10 \\ 6+4 & -3-2 & 3+12 \\ -5+0 & 3+2 & 1+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 10 & -5 & 15 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
अब,$(2)$ से,$B = 2A - \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$:
$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 2 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 2 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
$\operatorname{Tr}(A) = 1 + (-1) + 1 = 1$
$\operatorname{Tr}(B) = 0 + (-1) + 0 = -1$
$\operatorname{Tr}(A) - \operatorname{Tr}(B) = 1 - (-1) = 2$

(C) रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $M$ है: $M = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{-3+3}{2}, \frac{1-5}{2}\right) = (3, 0, -2)$।
चूंकि समतल रेखाखंड $PQ$ को समकोण पर समद्विभाजित करता है,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{PQ} = (2-4, 3-(-3), -5-1) = (-2, 6, -6)$ के समानांतर है।
$-2$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -3, 3)$ ले सकते हैं।
बिंदु $M(3, 0, -2)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -3, 3)$ वाले समतल का समीकरण है:
$1(x-3) - 3(y-0) + 3(z+2) = 0$
$x - 3y + 3z - 3 + 6 = 0$
$x - 3y + 3z + 3 = 0$
$ax+by+cz+d=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=-3, c=3, d=3$ प्राप्त होता है।
$(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ का मान $1^{2} + (-3)^{2} + 3^{2} + 3^{2} = 1 + 9 + 9 + 9 = 28$ है।
अतः,न्यूनतम मान $28$ है।

(D) दिया गया है कि $f(x^{2}) + g(4-x) = 4x^{3}$ और $g(4-x) = -g(x)$.
पहले समीकरण में $g(4-x) = -g(x)$ रखने पर,हमें $f(x^{2}) - g(x) = 4x^{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $f(x^{2}) = 4x^{3} + g(x)$.
हमें $I = \int_{-4}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $f(x^{2}) = 4x^{3} + g(x)$,इसलिए $\int_{-4}^{4} f(x^{2}) dx = \int_{-4}^{4} (4x^{3} + g(x)) dx$.
$= \int_{-4}^{4} 4x^{3} dx + \int_{-4}^{4} g(x) dx$.
चूंकि $4x^{3}$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-4}^{4} 4x^{3} dx = 0$.
$g(4-x) = -g(x)$ दिया गया है,जिससे $g(x)$ का समाकलन शून्य हो जाता है।
अतः,समाकलन का मान $0$ है।

(A) $x - 2y + 2z - 3 = 0$ के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $x - 2y + 2z + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
बिंदु $(1, 2, 3)$ से समतल $x - 2y + 2z + \lambda = 0$ की दूरी $\frac{|1 - 2(2) + 2(3) + \lambda|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$ द्वारा दी जाती है।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{|1 - 4 + 6 + \lambda|}{\sqrt{9}} = 1 \Rightarrow \frac{|\lambda + 3|}{3} = 1$.
इससे $|\lambda + 3| = 3$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda + 3 = 3$ या $\lambda + 3 = -3$.
इस प्रकार,$\lambda = 0$ या $\lambda = -6$.
दो संभावित समतल $x - 2y + 2z = 0$ और $x - 2y + 2z - 6 = 0$ हैं।
स्थिति $1$: $a=1, b=-2, c=2, d=0$. तब $(b - d) = -2 - 0 = -2$ और $(c - a) = 2 - 1 = 1$. अतः,$-2 = K(1) \Rightarrow K = -2$.
स्थिति $2$: $a=1, b=-2, c=2, d=-6$. तब $(b - d) = -2 - (-6) = 4$ और $(c - a) = 2 - 1 = 1$. अतः,$4 = K(1) \Rightarrow K = 4$.
$K$ का धनात्मक मान $4$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$.
समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + x^{-7} + 2)^{2}} dx$.
माना $t = x^{-5} + x^{-7} + 2$.
तब $dt = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,जिसका अर्थ है $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = dt$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \int -\frac{dt}{t^{2}} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^{7}}{1 + x^{2} + 2x^{7}} + C$.
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{x^{7}}{x^{2} + 1 + 2x^{7}}$.
$x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = \frac{1^{7}}{1^{2} + 1 + 2(1)^{7}} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $f(1) = \frac{1}{K}$,इसलिए $K = 4$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} \sin^{2} x & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 1+\sin^{2} x & \cos^{2} x & \cos 2x \\ \sin^{2} x & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_{1} \rightarrow C_{1} + C_{2}$ लागू करने पर:
$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 1+\cos^{2} x & \cos 2x \\ 2 & \cos^{2} x & \cos 2x \\ 1 & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2}$ लागू करने पर:
$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & \cos^{2} x & \cos 2x \\ 1 & \cos^{2} x & \sin 2x \end{array}\right|$.
$R_{1}$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$f(x) = -1 \times (2 \sin 2x - \cos 2x) = \cos 2x - 2 \sin 2x$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ होता है।
यहाँ $a = 1$ और $b = -2$ है।
अतः,$f(x)_{\max} = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

(C) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = f(0) = \alpha$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं ओर की सीमा $(RHL)$ $x \rightarrow 0^{+}$ के लिए:
$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2) \sin^{-1}(1-x)}{x(1-x)(1+x)} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x} \cdot \frac{\sin^{-1}(1-x)}{1-x^2} = \frac{\pi}{2} \cdot \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos^{-1}(1-x^2)}{x}$.
मान लीजिए $1-x^2 = \cos \theta$,तो जैसे $x \rightarrow 0^{+}$,$\theta \rightarrow 0^{+}$.
$\operatorname{Lim}_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{1-\cos \theta}} = \operatorname{Lim}_{\theta \rightarrow 0^{+}} \frac{\theta}{\sqrt{2} \sin(\theta/2)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \sqrt{2}$.
अतः,$RHL = \frac{\pi}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
अब,बाईं ओर की सीमा $(LHL)$ $x \rightarrow 0^{-}$ के लिए:
$x \in (-1, 0)$ के लिए,$\{x\} = x+1$.
$\operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(1-(x+1))}{(x+1)-(x+1)^3} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \sin^{-1}(-x)}{(x+1)(1-(x+1)^2)} = \operatorname{Lim}_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\cos^{-1}(1-(x+1)^2) \cdot (-x)}{(x+1)(-x)(2+x)} = \frac{\cos^{-1}(0)}{1 \cdot 2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4}$.
चूँकि $RHL = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$ और $LHL = \frac{\pi}{4}$,सीमाएँ समान नहीं हैं।
इसलिए,$\alpha$ के किसी भी मान के लिए फलन $x=0$ पर सतत नहीं है।

(B) $(42, 0, 0)$,$(0, 42, 0)$ और $(0, 0, 42)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{42} + \frac{y}{42} + \frac{z}{42} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $x + y + z = 42$ प्राप्त होता है।
हम इसे $(x-11) + (y-19) + (z-12) = 42 - 11 - 19 - 12 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $a = x-11$,$b = y-19$,और $c = z-12$ है। अतः $a + b + c = 0$ है।
दिया गया व्यंजक $3 + \frac{a}{b^2 c^2} + \frac{b}{a^2 c^2} + \frac{c}{a^2 b^2} - \frac{42}{14abc}$ है।
चूंकि $a+b+c=0$ है,इसलिए $x+y+z=42$ है। अंतिम पद में यह मान रखने पर,$\frac{42}{14abc} = \frac{3}{abc}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3}{a^2 b^2 c^2} - \frac{3}{abc} = 3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 b^2 c^2}$ बन जाता है।
चूंकि $a+b+c=0$ है,इसलिए सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ सत्य है।
अतः,व्यंजक का सरल रूप $3 + \frac{3abc - 3abc}{a^2 b^2 c^2} = 3 + 0 = 3$ है।

(C) समाकल $I = \int_{0}^{10} [x] e^{[x]-x+1} dx$ द्वारा दिया गया है।
चूँकि $x \in [n, n+1)$ के लिए $[x] = n$ होता है,हम समाकल को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \sum_{n=0}^{9} \int_{n}^{n+1} n \cdot e^{n-x+1} dx$.
प्रत्येक पद के लिए समाकल का मूल्यांकन करने पर:
$I = \sum_{n=0}^{9} n \left[ -e^{n-x+1} \right]_{n}^{n+1} = \sum_{n=0}^{9} n \left( -e^{0} + e^{1} \right) = (e-1) \sum_{n=0}^{9} n$.
योग सूत्र $\sum_{n=0}^{9} n = \frac{9 \times 10}{2} = 45$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 45(e-1)$.