JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n}C_{k} = {}^{n}C_{n-k}$.
તેથી,આપેલ સરવાળાને $\sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{k} = \sum_{k=0}^{20} {}^{20}C_{k} \cdot {}^{20}C_{20-k}$ તરીકે લખી શકાય.
Vandermonde ના નિત્યસમ મુજબ,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
અહીં,$m = 20$,$n = 20$,અને $r = 20$.
તેથી,સરવાળો ${}^{20+20}C_{20} = {}^{40}C_{20}$ થાય.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 8x$ છે,તેથી $4a = 8 \Rightarrow a = 2$. નિયામિકા $x = -2$ છે.
$1$. $P(2, -4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$T = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$y(-4) = 4(x + 2)$ $\Rightarrow -4y = 4x + 8$ $\Rightarrow x + y + 2 = 0$.
નિયામિકા $x = -2$ સાથે છેદબિંદુ: $-2 + y + 2 = 0 \Rightarrow y = 0$. તેથી,$A(-2, 0)$.
$2$. $P(2, -4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = -1$ છે. અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -1 / m_{T} = 1$ છે.
સમીકરણ: $y - (-4) = 1(x - 2)$ $\Rightarrow y + 4 = x - 2$ $\Rightarrow x - y - 6 = 0$.
નિયામિકા $x = -2$ સાથે છેદબિંદુ: $-2 - y - 6 = 0 \Rightarrow y = -8$. તેથી,$B(-2, -8)$.
$3$. $AQBP$ ચોરસ હોવાથી,વિકર્ણો $AB$ અને $PQ$ એકબીજાને મધ્યબિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ = $((-2 + -2) / 2, (0 + -8) / 2) = (-2, -4)$.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ = $((a + 2) / 2, (b - 4) / 2) = (-2, -4)$.
યામ સરખાવતા:
$(a + 2) / 2 = -2$ $\Rightarrow a + 2 = -4$ $\Rightarrow a = -6$.
$(b - 4) / 2 = -4$ $\Rightarrow b - 4 = -8$ $\Rightarrow b = -4$.
$4$. $2a + b$ ની ગણતરી:
$2(-6) + (-4) = -12 - 4 = -16$.

(B) આપેલ છે $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે $A+B+C = \pi$,તેથી $A = \pi - (B+C)$ અને $\sin A = \sin (B+C)$.
તે જ રીતે,$B = \pi - (A+C)$ અને $\sin B = \sin (A+C)$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{\sin (B+C)}{\sin (A+C)} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.
ગુણાકાર કરતા:
$\sin (B+C) \sin (C-B) = \sin (A+C) \sin (A-C)$.
નિત્યસમ $\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^{2} x - \sin^{2} y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{2} C - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \sin^{2} C$.
પદોને ગોઠવતા:
$2 \sin^{2} C = \sin^{2} A + \sin^{2} B$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.
તેથી,$2c^{2} = a^{2} + b^{2}$.
આ દર્શાવે છે કે $a^{2}, c^{2}, b^{2}$ એ $A.P.$ માં છે (અથવા $b^{2}, c^{2}, a^{2}$ એ $A.P.$ માં છે).

(C) ધારો કે $f(x) = x^{2}+bx+c$. $\alpha, \beta$ એ બીજ હોવાથી,$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$.
જ્યારે $x \rightarrow \beta$,ત્યારે $f(x) \rightarrow 0$.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ $e^{u} = 1 + u + \frac{u^{2}}{2!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 2f(x)$:
$\lim _{x \rightarrow \beta} \frac{e^{2f(x)}-1-2f(x)}{(x-\beta)^{2}} = \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{(1 + 2f(x) + \frac{(2f(x))^{2}}{2} + \dots) - 1 - 2f(x)}{(x-\beta)^{2}}$
$= \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{2(f(x))^{2}}{(x-\beta)^{2}}$
$= \lim _{x \rightarrow \beta} \frac{2((x-\alpha)(x-\beta))^{2}}{(x-\beta)^{2}}$
$= \lim _{x \rightarrow \beta} 2(x-\alpha)^{2} = 2(\beta-\alpha)^{2}$
કારણ કે $(\beta-\alpha)^{2} = (\beta+\alpha)^{2} - 4\alpha\beta = (-b)^{2} - 4c = b^{2}-4c$,
તેથી લક્ષ $2(b^{2}-4c)$ છે.

(B) ધારો કે વિરુદ્ધ સપાટીઓની જોડી $(a, b)$ છે જ્યાં $a+b=7$ છે. $a$ મેળવવાની સંભાવના $P(a) = \frac{1}{6}-x$ છે અને $P(b) = \frac{1}{6}+x$ છે. વિરુદ્ધ સપાટીઓની અન્ય બે જોડીઓ માટે,દરેક સપાટીની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
બે પાસાનો સરવાળો $7$ થાય જો પરિણામો $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)$ હોય.
સરવાળો $7$ હોવાની સંભાવના $= 2[P(1)P(6) + P(2)P(5) + P(3)P(4)]$.
ધારો કે $(1,6)$ એ સપાટીઓ છે જેની સંભાવનાઓ $\frac{1}{6}-x$ અને $\frac{1}{6}+x$ છે,તો $P(2)=P(5)=\frac{1}{6}$ અને $P(3)=P(4)=\frac{1}{6}$ થશે.
સરવાળાની સંભાવના $= 2[(\frac{1}{6}-x)(\frac{1}{6}+x) + (\frac{1}{6})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{6})(\frac{1}{6})] = \frac{13}{96}$.
$2[(\frac{1}{36}-x^2) + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}] = \frac{13}{96}$.
$2[\frac{3}{36}-x^2] = \frac{13}{96} \Rightarrow \frac{1}{6}-2x^2 = \frac{13}{96}$.
$2x^2 = \frac{1}{6}-\frac{13}{96} = \frac{16-13}{96} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32}$.
$x^2 = \frac{1}{64} \Rightarrow x = \frac{1}{8}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+9 y^{2}-4 x+3=0$
પદોને ગોઠવતા: $(x^{2}-4 x)+(9 y^{2})+3=0$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^{2}-4 x+4)+9 y^{2}+3-4=0$
$(x-2)^{2}+(3 y)^{2}=1$
આ ઉપવલયનું સમીકરણ છે: $\frac{(x-2)^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}=1$
ઉપવલય $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,$x$ નો વિસ્તાર $[h-a, h+a]$ અને $y$ નો વિસ્તાર $[k-b, k+b]$ છે.
અહીં,$h=2, a=1, k=0, b=1/3$.
તેથી,$x \in [2-1, 2+1] = [1, 3]$ અને $y \in [0-1/3, 0+1/3] = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.
આમ,$x$ અને $y$ અનુક્રમે $[1, 3]$ અને $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ માં આવેલા છે.

(B) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+px+(1-p)y+5=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{2p^{2} - 2p - 19}}{2}$ છે.
$r \in (0, 5]$ હોવાથી,$0 < 2p^{2} - 2p - 19 \leq 100$ મળે.
આ અસમતા ઉકેલતા,$p$ ની કિંમતો માટે $q = p^{2}$ ની પૂર્ણાંક કિંમતો $8$ થી $68$ સુધી મળે છે.
કુલ પૂર્ણાંક કિંમતોની સંખ્યા $68 - 8 + 1 = 61$ થાય.

(A) દરેક ગણ માટે ઉકેલ મેળવો:
$A = (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
$B = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$
$C = (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$
છેદગણ $A \cap B \cap C = (-\infty, -2) \cup [6, \infty)$
પૂરક ગણ $(A \cap B \cap C)^c = [-2, 6)$
પૂર્ણાંકો સાથેનો છેદગણ $\mathbb{Z} \cap [-2, 6) = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
ઘટકોની સંખ્યા $8$ છે.
તેથી,ઉપગણોની સંખ્યા $= 2^8 = 256$.

(B) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ છે.
આપેલ છે કે વિચરણ $14$ છે,તેથી:
$\frac{n^2 - 1}{12} = 14$
$n^2 - 1 = 14 \times 12$
$n^2 - 1 = 168$
$n^2 = 169$
$n = \sqrt{169} = 13$.
$13$ એ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$n$ ની કિંમત $13$ છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{(2a)^{2}}=1$ ના બિંદુ $(b \cos \theta, 2a \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{b} + \frac{y \sin \theta}{2a} = 1$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $A = (\frac{b}{\cos \theta}, 0)$ અને $y$-અંતઃખંડ $B = (0, \frac{2a}{\sin \theta})$ છે.
ત્રિકોણ $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |x_{\text{intercept}}| \times |y_{\text{intercept}}| = \frac{1}{2} \times \frac{b}{\cos \theta} \times \frac{2a}{\sin \theta} = \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2ab}{\sin 2\theta}$ છે.
$\sin 2\theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ હોવાથી ($\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે),ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $2ab$ થાય.
આપેલ છે કે ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $kab$ છે,તેથી $kab = 2ab$,જેનો અર્થ છે કે $k = 2$.

(D) છ-અંકની પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યા $abc cba$ સ્વરૂપમાં હોય છે. છ-અંકની સંખ્યા હોવાથી,$a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ છે.
સંખ્યા $55$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તે $5$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$5$ વડે વિભાજ્યતા માટે છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોવો જોઈએ. છ-અંકની સંખ્યા હોવાથી,પ્રથમ અંક $a$ શૂન્ય ન હોઈ શકે. તેથી,$a = 5$.
સંખ્યા $5bc c b5$ સ્વરૂપમાં છે.
$11$ વડે વિભાજ્યતા માટે,અંકોનો એકાંતરે સરવાળો $11$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ:
$(5 + c + b) - (b + c + 5) = 0$.
$0$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$b$ અને $c$ ની કોઈપણ પસંદગી સંખ્યાને $11$ વડે વિભાજ્ય બનાવશે.
$b$ માટે $10$ શક્ય કિંમતો ($0$ થી $9$) અને $c$ માટે $10$ શક્ય કિંમતો ($0$ થી $9$) છે.
આવી પેલિન્ડ્રોમ સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 \times 10 = 100$.

(B) પરવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (directrix) હોય છે.
પરવલય $y^{2} = 4a(x-h)$ માટે,નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h - a$ છે.
અહીં,$4a = 16$,તેથી $a = 4$.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (3, 0)$ છે.
તેથી નિયામિકા $x = 3 - 4$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x = -1$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $x + 1 = 0$ છે.

(A) ધારો કે $a = 3x^2 + 4x + 3$ અને $b = 3x^2 + 4x + 2$. અહીં $b = a - 1$ છે.
આપેલ સમીકરણ $a^2 - (k + 1)ab + kb^2 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા:
$(a - b)(a - kb) = 0$
બે કિસ્સાઓ મળે:
$1) \; a = b \Rightarrow 3 = 2$ (અશક્ય).
$2) \; a = kb \Rightarrow 3x^2 + 4x + 3 = k(3x^2 + 4x + 2)$.
સમીકરણને ગોઠવતા:
$3(k - 1)x^2 + 4(k - 1)x + (2k - 3) = 0$.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$:
$D = 16(k - 1)^2 - 12(k - 1)(2k - 3) \geq 0$
$4(k - 1)(-2k + 5) \geq 0$
$(k - 1)(2k - 5) \leq 0$.
ઉકેલતા,$1 \leq k \leq \frac{5}{2}$ મળે. $k = 1$ માટે સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી,તેથી $k \neq 1$.
આમ,$k \in (1, \frac{5}{2}]$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge q) \Rightarrow ((r \wedge q) \wedge p)$
ગર્ભિત નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim(p \wedge q) \vee ((r \wedge q) \wedge p)$
સાહચર્ય અને ક્રમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sim(p \wedge q) \vee ((r \wedge p) \wedge (p \wedge q))$
વિભાજનના નિયમ $X \vee (Y \wedge Z) \equiv (X \vee Y) \wedge (X \vee Z)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)) \wedge (\sim(p \wedge q) \vee (p \wedge q))$
કારણ કે $\sim A \vee A \equiv t$ (પુનરુક્તિ):
$(\sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)) \wedge t$
$\equiv \sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)$
ફરીથી ગર્ભિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$(p \wedge q) \Rightarrow (r \wedge p)$

(C) ધારો કે $\angle ACB = \theta$ અને $\angle BCD = \alpha$. આકૃતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{1}{2}$.
$\triangle BCD$ માં,$\tan(\theta + \alpha) = \frac{BD}{CD} = \frac{x}{a+b}$.
આકૃતિ મુજબ,$\tan(\theta + \alpha) = \frac{x}{a}$ મળે છે.
$\tan(\theta + \alpha) = \frac{\tan \theta + \tan \alpha}{1 - \tan \theta \tan \alpha} = \frac{x}{a}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\tan \theta = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{1/2 + x/(a+b)}{1 - (1/2)(x/(a+b))} = \frac{x}{a}$
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 - 2ax + b(a+b) = 0$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે $y = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{1}{n+1}) x^{n+1}$.
$y = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
$y = (x^2 + x^3 + x^4 + \dots) - (\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \dots)$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા $\frac{x^2}{1-x}$ અને વિસ્તરણ $-\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{x^2}{1-x} - (-\ln(1-x) - x) = \frac{x^2}{1-x} + \ln(1-x) + x$.
$y = \frac{x^2 + x(1-x)}{1-x} + \ln(1-x) = \frac{x}{1-x} + \ln(1-x)$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y = \frac{1/2}{1-1/2} + \ln(1-1/2) = 1 + \ln(1/2) = 1 - \ln 2$.
તેથી $e^{1+y} = e^{1 + 1 - \ln 2} = e^{2 - \ln 2} = e^2 \cdot e^{-\ln 2} = e^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{e^2}{2}$.

(B) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-x+1}-a x\right)=b$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે $a=1$ હોવું જરૂરી છે.
સમીકરણનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x+1-a^{2}x^{2}}{\sqrt{x^{2}-x+1}+ax} = b$
$x^{2}$ નો સહગુણક $0$ લેતા,$1-a^{2}=0 \Rightarrow a=1$.
હવે,$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+x} = b$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{-1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$
આમ,$b = -\frac{1}{2}$.
ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = \left(1, -\frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta - \sin \theta \cos \theta = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta = 1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$.
તેથી,$1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta - \sin \theta \cos \theta = 0$.
$2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \frac{\sin^{2} 2\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{2} = 0$.
$2 - \sin^{2} 2\theta - \sin 2\theta = 0 \Rightarrow \sin^{2} 2\theta + \sin 2\theta - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(\sin 2\theta + 2)(\sin 2\theta - 1) = 0$.
$\sin 2\theta = 1$ મળે,કારણ કે $\sin 2\theta = -2$ શક્ય નથી.
$\theta \in [0, 4\pi]$ માટે,$2\theta \in [0, 8\pi]$.
તેથી,$2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$.
સરવાળો $S = 7\pi$.
તેથી,$\frac{8S}{\pi} = 56$.

(C) આપેલ છે $|z-3|=\operatorname{Re}(z)$. ધારો કે $z=x+iy$.
$(x-3)^{2}+y^{2}=x^{2}$
$x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}$
$y^{2}=6x-9=6(x-\frac{3}{2})$.
આ $(\frac{3}{2}, 0)$ શિરોબિંદુ ધરાવતું પરવલય છે.
ધારો કે $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ અને $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$.
કારણ કે $\arg(z_{1}-z_{2})=\frac{\pi}{4}$, $z_{1}$ અને $z_{2}$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{4})=1$ છે.
તેથી, $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=1 \Rightarrow y_{1}-y_{2}=x_{1}-x_{2} \Rightarrow x_{1}-y_{1}=x_{2}-y_{2}$.
પરવલયના સમીકરણ પરથી, $x_{1}=\frac{y_{1}^{2}}{6}+\frac{3}{2}$ અને $x_{2}=\frac{y_{2}^{2}}{6}+\frac{3}{2}$.
આ કિંમતોને $x_{1}-x_{2}=y_{1}-y_{2}$ માં મૂકતા:
$(\frac{y_{1}^{2}}{6}+\frac{3}{2})-(\frac{y_{2}^{2}}{6}+\frac{3}{2})=y_{1}-y_{2}$
$\frac{1}{6}(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=y_{1}-y_{2}$.
કારણ કે $z_{1} \neq z_{2}$, $y_{1} \neq y_{2}$, તેથી આપણે $(y_{1}-y_{2})$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{6}(y_{1}+y_{2})=1 \Rightarrow y_{1}+y_{2}=6$.
$z_{1}+z_{2}$ નો કાલ્પનિક ભાગ $y_{1}+y_{2}=6$ છે.

(C) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 9\}$. ઘટકોને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ મુજબ વર્ગીકૃત કરીએ:
$P = \{3, 6, 9\}$ (શેષ $0$,સંખ્યા $3$)
$Q = \{2, 5\}$ (શેષ $2$,સંખ્યા $2$)
$R = \{1, 4\}$ (શેષ $1$,સંખ્યા $2$)
કુલ ઉપગણો $2^7 = 128$ છે.
ગણતરી કરતા,$3$ વડે ભાગી શકાય તેવા સરવાળા વાળા ઉપગણોની સંખ્યા $44$ છે (ખાલી ગણ સહિત).
ખાલી ગણ બાદ કરતા,$44 - 1 = 43$.
કુલ ઉપગણો $127$ છે.
$3$ વડે ન ભાગી શકાય તેવા સરવાળા વાળા ઉપગણો $= 127 - 43 = 84$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $80$ છે.

(D) અતિવલયનું સમીકરણ $2x^2 - y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 2$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} + \frac{b^2y}{y_1} = a^2 + b^2$ છે.
બિંદુ $A(\sec \theta, 2 \tan \theta)$ માટે,અભિલંબ $\frac{1 \cdot x}{\sec \theta} + \frac{2 \cdot y}{2 \tan \theta} = 1 + 2 = 3$ છે,જે $x \cos \theta + y \cot \theta = 3$ માં પરિણમે છે.
બિંદુ $B(\sec \phi, 2 \tan \phi)$ માટે,અભિલંબ $x \cos \phi + y \cot \phi = 3$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $\cos \phi = \sin \theta$ અને $\cot \phi = \tan \theta$.
આમ સમીકરણો છે:
$1) x \cos \theta + y \cot \theta = 3$
$2) x \sin \theta + y \tan \theta = 3$
$x$ નો લોપ કરીને $y = \beta$ માટે ઉકેલતા:
$y(\cos \theta - \sin \theta) = 3(\sin \theta - \cos \theta)$
$y = -3$
તેથી,$\beta = -3$. આમ $(2\beta)^2 = (2 \times -3)^2 = (-6)^2 = 36$.

(A) સામાન્ય સ્પર્શક $4x + 3y = 10$ છે. તેનો ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા સ્પર્શબિંદુ $(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = \frac{3}{4}$ થાય.
ધારો કે આ રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$.
આથી $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ મળે.
કેન્દ્રો $C_{1}$ અને $C_{2}$ એ $(1, 2)$ થી આ રેખા પર $5 \text{ units}$ ના અંતરે આવેલા છે.
રેખાના પ્રાચલ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રોના યામ $(x, y) = (1 \pm 5 \cos \theta, 2 \pm 5 \sin \theta)$ મળે.
$(x, y) = (1 \pm 5(\frac{4}{5}), 2 \pm 5(\frac{3}{5})) = (1 \pm 4, 2 \pm 3)$.
આમ,કેન્દ્રો $(1 + 4, 2 + 3) = (5, 5)$ અને $(1 - 4, 2 - 3) = (-3, -1)$ છે.
તેથી,$(\alpha, \beta) = (5, 5)$ અને $(\gamma, \delta) = (-3, -1)$.
માટે,$|(\alpha + \beta)(\gamma + \delta)| = |(5 + 5)(-3 - 1)| = |(10)(-4)| = |-40| = 40$.

(C) આપણે $3 \times 7^{22} + 2 \times 10^{22} - 44$ ને $18$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$3(1+6)^{22} + 2(1+9)^{22} - 44 \equiv 3(1 + 22 \times 6) + 2(1 + 22 \times 9) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 3(1 + 132) + 2(1 + 198) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 3(7) + 2(1) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 21 + 2 - 44 \pmod{18}$
$\equiv 23 - 44 \pmod{18}$
$\equiv -21 \pmod{18}$
$\equiv 15 \pmod{18}$.
આમ,શેષ $15$ છે.

(B) ધારો કે $n_1 = 20$ (છોકરાઓ) અને $n_2 = 30$ (છોકરીઓ). કુલ ઉમેદવારો $N = 50$.
આપેલ છે: $\bar{x}_b = 12$,$\sigma_b^2 = 2$,$\sigma_g^2 = 2$,અને સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = 15$.
પ્રથમ,છોકરીઓના સરેરાશ ગુણ $(\mu = \bar{x}_g)$ શોધો:
$N \bar{x} = n_1 \bar{x}_b + n_2 \bar{x}_g$
$50 \times 15 = 20 \times 12 + 30 \times \bar{x}_g$
$750 = 240 + 30 \bar{x}_g$
$30 \bar{x}_g = 510 \Rightarrow \bar{x}_g = 17 = \mu$.
હવે,સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2$ ની ગણતરી કરો:
$\sigma^2 = \frac{n_1 \sigma_b^2 + n_2 \sigma_g^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} (\bar{x}_b - \bar{x}_g)^2$
$\sigma^2 = \frac{20 \times 2 + 30 \times 2}{50} + \frac{20 \times 30}{50^2} (12 - 17)^2$
$\sigma^2 = \frac{100}{50} + \frac{600}{2500} (-5)^2$
$\sigma^2 = 2 + \frac{6}{25} \times 25 = 2 + 6 = 8$.
અંતે,$\mu + \sigma^2 = 17 + 8 = 25$.

(C) આપણે સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને પદાવલિ $(p \wedge \sim q) \Rightarrow (p \vee q)$ ચકાસીએ:

$p, q$	$p \wedge \sim q$	$p \vee q$	$(p \wedge \sim q) \Rightarrow (p \vee q)$
$T, T$	$F$	$T$	$T$
$T, F$	$T$	$T$	$T$
$F, T$	$F$	$T$	$T$
$F, F$	$F$	$F$	$T$

છેલ્લી કોલમમાં તમામ કિંમતો $T$ હોવાથી,જ્યારે $* = \wedge$ અને $\square = \vee$ હોય ત્યારે આ પદાવલિ નિત્યસત્ય છે.

(B) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$ છે.
$n=1, 2, \ldots, 10$ માટે,સરવાળો $S_{10}$:
$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_{10} = \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) + \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{10^2} - \frac{1}{11^2} \right)$.
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$S_{10} = 1 - \frac{1}{11^2} = 1 - \frac{1}{121} = \frac{120}{121}$.

(B) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
શ્રેણી વધતી જતી હોવાથી,$r > 1$.
જો વચ્ચેની સંખ્યાને બમણી કરવામાં આવે,તો શ્રેણી $\frac{a}{r}, 2a, ar$ બને છે,જે $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(2a) = \frac{a}{r} + ar$ $\Rightarrow 4 = \frac{1}{r} + r$ $\Rightarrow r^{2} - 4r + 1 = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
$G.P.$ વધતી જતી હોવાથી,$r = 2 + \sqrt{3}$.
$G.P.$ નું ચોથું પદ $ar^{2} = 3r^{2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
$A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d = 2a - \frac{a}{r} = 2(3) - \frac{3}{2+\sqrt{3}} = 6 - 3(2-\sqrt{3}) = 6 - 6 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
હવે,$r^{2} - d = (2+\sqrt{3})^{2} - 3\sqrt{3} = (4 + 3 + 4\sqrt{3}) - 3\sqrt{3} = 7 + \sqrt{3}$.

(A) પ્રથમ રેખા $x \operatorname{cosec} \alpha - y \sec \alpha = k \cot 2 \alpha$ છે,જેને $\frac{x}{\sin \alpha} - \frac{y}{\cos \alpha} = \frac{k \cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin \alpha \cos \alpha$ વડે ગુણતા,આપણને $x \cos \alpha - y \sin \alpha = \frac{k}{2} \cos 2 \alpha$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x \cos \alpha - y \sin \alpha - \frac{k}{2} \cos 2 \alpha = 0$ નું લંબ અંતર $p = \left| \frac{k}{2} \cos 2 \alpha \right|$ છે.
તેથી,$2p = |k \cos 2 \alpha|$,જેનો અર્થ છે $4p^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \alpha$ $(i)$.
બીજી રેખા $x \sin \alpha + y \cos \alpha = k \sin 2 \alpha$ છે. ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $q = |k \sin 2 \alpha|$ છે.
તેથી,$q^{2} = k^{2} \sin^{2} 2 \alpha$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$4p^{2} + q^{2} = k^{2} (\cos^{2} 2 \alpha + \sin^{2} 2 \alpha) = k^{2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
તેથી,$\operatorname{cosec} 18^{\circ} = \frac{1}{\sin 18^{\circ}} = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\operatorname{cosec} 18^{\circ} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \sqrt{5}+1$ મળે.
ધારો કે $x = \sqrt{5}+1$.
તેથી $x-1 = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-1)^{2} = 5$.
$x^{2}-2x+1 = 5$.
$x^{2}-2x-4 = 0$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $V$ છે અને નાભિ $F$ છે.
શિરોબિંદુ $V$ ના યામ $(R, 0)$ છે અને નાભિ $F$ ના યામ $(S, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = VF = S - R$ છે.
પરવલયના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $4a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $= 4(S - R)$ છે.

(C) આપણે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2}\left(\pi \cos ^{4} x\right)}{x^{4}}$ ની કિંમત મેળવવાની છે.
જેમ $x \rightarrow 0$ થાય,તેમ $\cos x \rightarrow 1$ થાય,તેથી $\pi \cos^4 x \rightarrow \pi$.
ધારો કે $u = \pi \cos^4 x$. તો $\sin^2(u) = \sin^2(\pi - u) = \sin^2(\pi(1 - \cos^4 x))$.
$x \rightarrow 0$ માટે,$1 - \cos^4 x = \sin^2 x (1 + \cos^2 x)$.
તેથી,$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2(\pi \sin^2 x (1 + \cos^2 x))}{x^4}$.
$\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \pi^2 \cdot \lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^4 \cdot (1 + \cos^2 x)^2 = \pi^2 \cdot 1^4 \cdot (1 + 1)^2 = 4 \pi^2$.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $H = 10\ell$ છે. થાંભલો $3\ell$ અને $7\ell$ લંબાઈના બે ભાગમાં વહેંચાયેલ છે.
ધારો કે જમીન પરનું બિંદુ $P$ છે,જે થાંભલાના પાયાથી $18 \ m$ દૂર છે.
ધારો કે નીચેનો ભાગ $P$ પર $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી $\tan \alpha = \frac{3\ell}{18} = \frac{\ell}{6}$.
ધારો કે કુલ ઊંચાઈ $P$ પર $2\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી $\tan 2\alpha = \frac{10\ell}{18} = \frac{5\ell}{9}$.
સૂત્ર $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5\ell}{9} = \frac{2(\ell/6)}{1 - (\ell/6)^2} = \frac{\ell/3}{1 - \ell^2/36} = \frac{12\ell}{36 - \ell^2}$.
$\ell \neq 0$ હોવાથી,આપણે $\ell$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{5}{9} = \frac{12}{36 - \ell^2}$ $\Rightarrow 5(36 - \ell^2) = 108$ $\Rightarrow 180 - 5\ell^2 = 108$ $\Rightarrow 5\ell^2 = 72$ $\Rightarrow \ell^2 = \frac{72}{5}$.
આમ,$\ell = \sqrt{\frac{72}{5}} = \frac{6\sqrt{10}}{5}$.
થાંભલાની કુલ ઊંચાઈ $10\ell = 10 \times \frac{6\sqrt{10}}{5} = 12\sqrt{10} \ m$ છે.

(B) આપેલ રેખા $12 x \cos \theta + 5 y \sin \theta = 60$ છે.
$60$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{12 x \cos \theta}{60} + \frac{5 y \sin \theta}{60} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{12} = 1$ થાય છે.
આને ઉપવલયના સ્પર્શકના સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$ અને $b = 12$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,એટલે કે $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{144} = 1$.
$3600$ વડે ગુણતા,આપણને $144 x^{2} + 25 y^{2} = 3600$ મળે છે.

(C) ધારો કે $z=x+iy$.
$\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac{\pi}{4}$ એ વર્તુળનો એક ચાપ દર્શાવે છે.
ધારો કે $z-2 = r_1 e^{i\theta_1}$ અને $z+2 = r_2 e^{i\theta_2}$. તેથી $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{4}$.
આ એવા બિંદુઓ $z$ નો બિંદુપથ છે કે જેથી $(-2, 0)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $z$ આગળ બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ થાય.
સમીકરણ $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x+2}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે.
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y^2}{x^2-4}} = 1$ મળે છે.
$\frac{4y}{x^2+y^2-4} = 1 \implies x^2+y^2-4y-4=0$.
આ કેન્દ્ર $O(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{0^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ વાળું વર્તુળ છે.
આપણે $|z - (9\sqrt{2} + 2i)|^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવું છે. ધારો કે $P = 9\sqrt{2} + 2i$,જે બિંદુ $(9\sqrt{2}, 2)$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{(9\sqrt{2}-0)^2 + (2-2)^2} = 9\sqrt{2}$.
વર્તુળથી $P$ નું ન્યૂનતમ અંતર $OP - R = 9\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ છે.
$|z-P|^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $(7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $n = 1, 2, \ldots, 10$ માટે $T_n = (3n+4)(2n+6)$ છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $T_n = 6n^2 + 18n + 8n + 24 = 6n^2 + 26n + 24$.
પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (6n^2 + 26n + 24)$ છે.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{10} = 6 \sum_{n=1}^{10} n^2 + 26 \sum_{n=1}^{10} n + \sum_{n=1}^{10} 24$.
$S_{10} = 6 \left( \frac{10(11)(21)}{6} \right) + 26 \left( \frac{10(11)}{2} \right) + 24(10)$.
$S_{10} = 2310 + 1430 + 240 = 3980$.
મધ્યક $\frac{S_{10}}{10} = \frac{3980}{10} = 398$ છે.

(C) રેખા $3x + 4y - \alpha = 0$ બે વર્તુળોની વચ્ચે ત્યારે જ હોય જો કેન્દ્રો $(1, 1)$ અને $(9, 1)$ રેખાની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય.
કેન્દ્રોને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $f(1, 1) = 7 - \alpha$ અને $f(9, 1) = 31 - \alpha$.
વિરુદ્ધ બાજુઓ માટે,$(7 - \alpha)(31 - \alpha) < 0$,જે $\alpha \in (7, 31)$ આપે છે.
વળી,રેખા કોઈ પણ વર્તુળને છેદતી નથી,તેથી કેન્દ્રથી રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
વર્તુળ $1$ માટે: $\frac{|7 - \alpha|}{5} \geq 1 \Rightarrow \alpha \leq 2$ અથવા $\alpha \geq 12$.
વર્તુળ $2$ માટે: $\frac{|31 - \alpha|}{5} \geq 2 \Rightarrow \alpha \leq 21$ અથવા $\alpha \geq 41$.
શરતોને જોડતા: $\alpha \in [12, 21]$.
$\alpha$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21$ છે.
સરવાળો $= 165$.

(A) $VOWELS$ શબ્દમાં $6$ અલગ અક્ષરો છે: $V, O, W, E, L, S$.
તેમાં $2$ સ્વર $(O, E)$ અને $4$ વ્યંજન $(V, W, L, S)$ છે.
તમામ $6$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $6! = 720$ છે.
બધા વ્યંજનો સાથે આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે $4$ વ્યંજનોને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. આ એકમ અને $2$ સ્વરો મળીને કુલ $1 + 2 = 3$ વસ્તુઓ થાય,જેને $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4$ વ્યંજનોને અંદરોઅંદર $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,બધા વ્યંજનો સાથે હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ છે.
બધા વ્યંજનો ક્યારેય સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = (કુલ ગોઠવણી) - (બધા વ્યંજનો સાથે હોય તેવી ગોઠવણી).
$= 720 - 144 = 576$.

(C) $\left(\frac{x}{4}-\frac{12}{x^{2}}\right)^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} \left(\frac{x}{4}\right)^{12-r} \left(-\frac{12}{x^{2}}\right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} \left(\frac{1}{4}\right)^{12-r} (-1)^{r} (12)^{r} x^{12-3r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$12-3r = 0 \Rightarrow r = 4$
$r=4$ મુકતા:
$T_{5} = {}^{12}C_{4} \left(\frac{1}{4}\right)^{8} (-1)^{4} (12)^{4} = 495 \times \frac{3^{4}}{4^{4}}$
આપેલ પદ $\left(\frac{3^{6}}{4^{4}}\right) k$ સાથે સરખાવતા:
$495 \times \frac{3^{4}}{4^{4}} = \frac{3^{6}}{4^{4}} \times k$
$k = \frac{495}{3^{2}} = 55$

(A) ગર્ભિત વિધાન $A \Rightarrow B$ નો નિષેધ $A \wedge \sim B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\sim((p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)) = (p \vee r) \wedge \sim(q \vee r)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(q \vee r) = (\sim q \wedge \sim r)$.
તેથી,પદ $(p \vee r) \wedge (\sim q \wedge \sim r)$ બને છે.
વિભાજનના નિયમ દ્વારા,આ $((p \vee r) \wedge \sim r) \wedge \sim q$ છે.
કારણ કે $(p \vee r) \wedge \sim r = (p \wedge \sim r) \vee (r \wedge \sim r) = (p \wedge \sim r) \vee F = p \wedge \sim r$.
આમ,અંતિમ પદ $(p \wedge \sim r) \wedge \sim q$ છે,જે $p \wedge \sim q \wedge \sim r$ છે.

(D) પ્રથમ,$\alpha = \lim_{x \rightarrow \pi/4} \frac{\tan^{3} x - \tan x}{\cos(x + \pi/4)}$ ની ગણતરી કરો. આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow \pi/4} \frac{3 \tan^{2} x \sec^{2} x - \sec^{2} x}{-\sin(x + \pi/4)} = \frac{3(1)^{2}(2) - 2}{-\sin(\pi/2)} = \frac{6 - 2}{-1} = -4$.
ત્યારબાદ,$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} (\cos x)^{\cot x}$ ની ગણતરી કરો. આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે.
$\beta = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \cot x (\cos x - 1)} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{\tan x}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin x}{\sec^{2} x}} = e^{0} = 1$.
$\alpha = -4$ અને $\beta = 1$ એ $ax^{2} + bx - 4 = 0$ ના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a \Rightarrow -4 + 1 = -3 = -b/a \Rightarrow b = 3a$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -4/a \Rightarrow (-4)(1) = -4/a \Rightarrow a = 1$.
$a = 1$ ને $b = 3a$ માં મૂકતા,આપણને $b = 3$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ એ $(1, 3)$ છે.

(C) ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ છે.
સ્થિર બિંદુ $Q(-3, -5)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી:
$h = \frac{2 \cos \theta - 3}{2} \implies \cos \theta = \frac{2h + 3}{2}$
$k = \frac{3 \sin \theta - 5}{2} \implies \sin \theta = \frac{2k + 5}{3}$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$\left(\frac{2h + 3}{2}\right)^2 + \left(\frac{2k + 5}{3}\right)^2 = 1$
સાદુરૂપ આપતા:
$36h^2 + 16k^2 + 108h + 80k + 145 = 0$
આમ,બિંદુપથ $36x^2 + 16y^2 + 108x + 80y + 145 = 0$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને $C_2: x^2 + y^2 = ab$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
$C_1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 \implies y'_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$.
$C_2$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2x + 2yy' = 0 \implies y'_2 = -\frac{x_1}{y_1}$.
છેદબિંદુ માટે સમીકરણો ઉકેલતા: $x_1^2 = \frac{a^2 b}{a+b}$ અને $y_1^2 = \frac{a b^2}{a+b}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{y'_1 - y'_2}{1 + y'_1 y'_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} + \frac{x_1}{y_1}}{1 + \frac{b^2 x_1^2}{a^2 y_1^2}} \right| = \left| \frac{x_1 y_1 (a^2 - b^2)}{a^2 y_1^2 + b^2 x_1^2} \right|$.
$x_1^2$ અને $y_1^2$ ની કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \right|$.
$a > b$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \right)$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+2 \log _{4}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{4} a = \frac{1}{2} \log _{2} a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+\log _{2}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{2}\left(2^{x+1}\right)-\log _{2}\left(3+2^{x}\right)^{2}+\log _{2}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{2}\left(\frac{2^{x+1} \cdot (10-2^{-x})}{(3+2^{x})^{2}}\right)=0$
$\frac{2 \cdot 2^{x} \cdot (10-2^{-x})}{(3+2^{x})^{2}}=1$
$\frac{2(10 \cdot 2^{x}-1)}{(3+2^{x})^{2}}=1$
$20 \cdot 2^{x}-2 = 9 + 2^{2x} + 6 \cdot 2^{x}$
$(2^{x})^{2} - 14(2^{x}) + 11 = 0$
ધારો કે $2^{x} = t$. તેથી $t^{2} - 14t + 11 = 0$. બીજ $t_{1} = 2^{x_{1}}$ અને $t_{2} = 2^{x_{2}}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર $t_{1} \cdot t_{2} = 11$ છે.
$2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}} = 11 \Rightarrow 2^{x_{1}+x_{2}} = 11$
$x_{1}+x_{2} = \log _{2}(11)$

(D) આપેલ છે કે $\frac{z-i}{z-1}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ થાય.
ધારો કે $z = x+iy$. તેથી $\frac{z-i}{z-1} = \frac{x+i(y-1)}{(x-1)+iy}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(x-1)-iy$ વડે ગુણતા:
$\frac{x(x-1)+y(y-1) + i((y-1)(x-1)-xy)}{(x-1)^2+y^2}$.
શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$x(x-1)+y(y-1) = 0 \Rightarrow x^2-x+y^2-y = 0$.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આપણે $|z-(3+3i)|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે,જે બિંદુ $P(3,3)$ થી વર્તુળ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર છે.
$P(3,3)$ થી કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ સુધીનું અંતર $PC = \sqrt{(3-\frac{1}{2})^2 + (3-\frac{1}{2})^2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર $PC - r = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(C) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}(2a_{1} + (n-1)d)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_{10}}{S_{p}} = \frac{100}{p^{2}}$,તેથી $\frac{\frac{10}{2}(2a_{1} + 9d)}{\frac{p}{2}(2a_{1} + (p-1)d)} = \frac{100}{p^{2}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$\frac{2a_{1} + 9d}{2a_{1} + (p-1)d} = \frac{10}{p}$.
ગુણાકાર કરતા $p(2a_{1} + 9d) = 10(2a_{1} + (p-1)d)$ મળે.
$2a_{1}p + 9dp = 20a_{1} + 10dp - 10d$.
$2a_{1}(p - 10) = d(p - 10)$.
$p \neq 10$ હોવાથી,$2a_{1} = d$ અથવા $\frac{a_{1}}{d} = \frac{1}{2}$.
હવે $\frac{a_{11}}{a_{10}} = \frac{a_{1} + 10d}{a_{1} + 9d}$ શોધતા.
$d = 2a_{1}$ મૂકતા,$\frac{a_{1} + 10(2a_{1})}{a_{1} + 9(2a_{1})} = \frac{21a_{1}}{19a_{1}} = \frac{21}{19}$.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(5, 6), (3, 2)$ અને $(\alpha, \beta)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |5(2 - \beta) + 3(\beta - 6) + \alpha(6 - 2)| = 12$
$|4\alpha - 2\beta - 8| = 24$
$|2\alpha - \beta - 4| = 12$
આથી બિંદુ $A$ ના બિંદુપથ માટે બે રેખાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $2\alpha - \beta - 16 = 0$
કિસ્સો $2$: $2\alpha - \beta + 8 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું અંતર $\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
રેખા $1$ માટે: $d_1 = \frac{16}{\sqrt{5}}$
રેખા $2$ માટે: $d_2 = \frac{8}{\sqrt{5}}$
ન્યૂનતમ અંતર $\frac{8}{\sqrt{5}}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $32^{\tan^{2} x} + 32^{\sec^{2} x} = 81$
નિત્યસમ $\sec^{2} x = 1 + \tan^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$32^{\tan^{2} x} + 32^{1 + \tan^{2} x} = 81$
ધારો કે $y = 32^{\tan^{2} x}$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$y + 32y = 81$
$33y = 81$
$y = \frac{81}{33} = \frac{27}{11}$
તેથી,$32^{\tan^{2} x} = \frac{27}{11}$.
બંને બાજુ $\log_{32}$ લેતા:
$\tan^{2} x = \log_{32} \left(\frac{27}{11}\right)$.
અંતરાલ $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે,$0 \leq \tan^{2} x \leq 1$ થાય.
અહીં $1 < \frac{27}{11} < 32$ હોવાથી,$0 < \log_{32} \left(\frac{27}{11}\right) < 1$ મળે.
આમ,અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં $x$ ની એક જ કિંમત મળે છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) ધારો કે $7$ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, 6, 8$ છે.
મધ્યક $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i + 6 + 8}{7} = 8$ છે.
$\sum_{i=1}^{5} x_i + 14 = 56 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} x_i = 42$.
વિચરણ $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 6^2 + 8^2}{7} - (8)^2 = 16$ છે.
$\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 36 + 64}{7} = 16 + 64 = 80$.
$\sum_{i=1}^{5} x_i^2 + 100 = 560 \Rightarrow \sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 460$.
હવે,બાકીના $5$ અવલોકનોનું વિચરણ $\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i^2}{5} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{5} x_i}{5}\right)^2$ છે.
$= \frac{460}{5} - \left(\frac{42}{5}\right)^2 = 92 - \frac{1764}{25} = \frac{2300 - 1764}{25} = \frac{536}{25}$.

(A) $(a+2b+4ab)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ મલ્ટિનોમિયલ પ્રમેય દ્વારા આ મુજબ મળે છે: $\frac{10!}{\alpha! \beta! \gamma!} a^{\alpha} (2b)^{\beta} (4ab)^{\gamma} = \frac{10!}{\alpha! \beta! \gamma!} a^{\alpha+\gamma} b^{\beta+\gamma} 2^{\beta} 4^{\gamma}$.
અહીં $a$ અને $b$ ના ઘાતાંક અનુક્રમે $7$ અને $8$ આપેલા છે,તેથી:
$\alpha + \beta + \gamma = 10$ $(1)$
$\alpha + \gamma = 7$ $(2)$
$\beta + \gamma = 8$ $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,$\alpha + \beta + 2\gamma = 15$ મળે. તેમાંથી $(1)$ બાદ કરતા,$\gamma = 5$ મળે.
$\gamma = 5$ ને $(2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા,$\alpha = 2$ અને $\beta = 3$ મળે.
સહગુણક $\frac{10!}{2! 3! 5!} \cdot 2^{\beta} \cdot 4^{\gamma} = \frac{10!}{2! 3! 5!} \cdot 2^{3} \cdot (2^2)^{5} = 2520 \cdot 2^{13} = 315 \cdot 2^{16}$ થાય.
આમ,$K = 315$.

(C) ધારો કે $S$ એ તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. કુલ $4$-અંકી સંખ્યાઓ $9000$ છે.
ધારો કે $A$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. સૌથી નાની સંખ્યા $1002$ અને સૌથી મોટી $9999$ છે. સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$9999 = 1002 + (n-1)3$,જે $n = 3000$ આપે છે.
ધારો કે $B$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. સૌથી નાની સંખ્યા $1001$ અને સૌથી મોટી $9996$ છે. $9996 = 1001 + (n-1)7$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = 1286$ મળે છે.
ધારો કે $A \cap B$ એ $3$ અને $7$ બંને વડે વિભાજ્ય (એટલે કે $21$ વડે વિભાજ્ય) $4$-અંકી સંખ્યાઓનો ગણ છે. સૌથી નાની સંખ્યા $1008$ અને સૌથી મોટી $9996$ છે. $9996 = 1008 + (n-1)21$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = 429$ મળે છે.
$3$ અથવા $7$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 3000 + 1286 - 429 = 3857$ છે.
$3$ કે $7$ ના ગુણક ન હોય તેવી $4$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $9000 - 3857 = 5143$ છે.

(B) સમતલ $x+2y+3z+1=0$ અને $x-y-z-6=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલ $P$ નું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$P: (x+2y+3z+1) + \lambda(x-y-z-6) = 0$
$P: (1+\lambda)x + (2-\lambda)y + (3-\lambda)z + (1-6\lambda) = 0$
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1 = (1+\lambda)\hat{i} + (2-\lambda)\hat{j} + (3-\lambda)\hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $-2x+y+z+8=0$ છે,જેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના અભિલંબ સદિશો પણ પરસ્પર લંબ હોય,તેથી $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$.
$-2(1+\lambda) + 1(2-\lambda) + 1(3-\lambda) = 0$
$-2 - 2\lambda + 2 - \lambda + 3 - \lambda = 0$
$3 - 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{4}$.
$\lambda = \frac{3}{4}$ ને $P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1+\frac{3}{4})x + (2-\frac{3}{4})y + (3-\frac{3}{4})z + (1-6(\frac{3}{4})) = 0$
$\frac{7}{4}x + \frac{5}{4}y + \frac{9}{4}z - \frac{14}{4} = 0$
$7x + 5y + 9z - 14 = 0$.
હવે,તપાસો કે કયું બિંદુ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
બિંદુ $(0,1,1)$ માટે: $7(0) + 5(1) + 9(1) - 14 = 5 + 9 - 14 = 0$.
આમ,બિંદુ $(0,1,1)$ એ સમતલ $P$ પર આવેલું છે.

(B) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે $A$ એક ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે કારણ કે $AA^{T} = I$.
$AA^{T} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
આપેલ છે કે $Q = A^{T}BA$,તેથી $Q^{n} = A^{T}B^{n}A$.
આમ,$Q^{2021} = A^{T}B^{2021}A$.
હવે,$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{bmatrix}$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ.
$B^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2i & 1 \end{bmatrix}$.
ઇન્ડક્શન દ્વારા,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ ni & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $B^{2021} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2021i & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$AQ^{2021}A^{T} = A(A^{T}B^{2021}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2021}(AA^{T}) = I B^{2021} I = B^{2021}$.
તેથી,$AQ^{2021}A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2021i & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -k & 1 \end{bmatrix}$ થાય.
આમ,$(AQ^{2021}A^{T})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2021i & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ છે.
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{1}{1+4(\frac{r}{n})^2}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{kn-1} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{k} f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{1+4x^2}$ અને ઉપરની સીમા $k = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n-1}{n} = 2$ છે.
તેથી,$L = \int_{0}^{2} \frac{1}{1+(2x)^2} dx$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{1+a^2x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(ax) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}(2x) \right]_{0}^{2}$.
$L = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2 \times 2) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(2 \times 0)$.
$L = \frac{1}{2} \tan^{-1}(4) - 0 = \frac{1}{2} \tan^{-1}(4)$.

(B) આપેલ રેખા $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ છે. ધારો કે $P(1,3,4)$ એ $L_1$ પરનું બિંદુ છે. $P$ માંથી સમતલ $x-2y-z-3=0$ પરના લંબનો લંબપાદ $Q$ છે. રેખા $PQ$ એ $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-4}{-1} = t$ છે. તેથી $Q = (t+1, -2t+3, -t+4)$. $Q$ સમતલ પર હોવાથી,$(t+1) - 2(-2t+3) - (-t+4) = 3 \Rightarrow t+1+4t-6+t-4=3 \Rightarrow 6t=12 \Rightarrow t=2$. આમ,$Q = (3,-1,2)$.
$L_1$ અને સમતલનું છેદબિંદુ $R$ એ $2k+1 - 2(k+3) - (2k+4) = 3 \Rightarrow 2k+1-2k-6-2k-4=3 \Rightarrow -2k=12 \Rightarrow k=-6$ દ્વારા મળે છે. તેથી $R = (-11,-3,-8)$.
રેખા $L$ એ $Q(3,-1,2)$ અને $R(-11,-3,-8)$ માંથી પસાર થાય છે. $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = Q-R = (14, 2, 10)$ છે,જે $(7, 1, 5)$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $A(0,0,6)$ થી રેખા $L$ (જે $B(3,-1,2)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા $\vec{v} = (7,1,5)$ છે) નું અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (3-0, -1-0, 2-6) = (3, -1, -4)$.
$\vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & -4 \\ 7 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-5+4) - \hat{j}(15+28) + \hat{k}(3+7) = (-1, -43, 10)$.
$d^2 = \frac{(-1)^2 + (-43)^2 + 10^2}{7^2 + 1^2 + 5^2} = \frac{1 + 1849 + 100}{49 + 1 + 25} = \frac{1950}{75} = 26$.

(B) ધારો કે ચોરસ માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $x$ છે અને વર્તુળ માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $y$ છે. તેથી $x + y = 36$,એટલે કે $y = 36 - x$.
ચોરસની બાજુ $s = \frac{x}{4}$ છે,તેથી ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$ થાય.
વર્તુળનો પરિઘ $y = 2\pi r$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{y}{2\pi} = \frac{36-x}{2\pi}$ થાય. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{36-x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(36-x)^2}{4\pi}$ થાય.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(36-x)^2}{4\pi}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(36-x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{36-x}{2\pi}$.
$A'(x) = 0$ લેતા,આપણને મળે $\frac{x}{8} = \frac{36-x}{2\pi} \Rightarrow \pi x = 4(36-x) \Rightarrow \pi x = 144 - 4x \Rightarrow x(\pi + 4) = 144 \Rightarrow x = \frac{144}{\pi + 4}$.
વર્તુળનો પરિઘ $k = y = 36 - x = 36 - \frac{144}{\pi + 4} = \frac{36\pi + 144 - 144}{\pi + 4} = \frac{36\pi}{\pi + 4}$ થાય.
આપણે $\left(\frac{4}{\pi} + 1\right) k = \left(\frac{4+\pi}{\pi}\right) \left(\frac{36\pi}{\pi + 4}\right) = 36$ શોધવાનું છે.

(C) આ પ્રદેશ પરવલય $y = \frac{3}{4}x^{2}$ અને રેખા $y = \frac{3}{2}x + 6$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુઓ $A$ અને $B$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{3}{4}x^{2} = \frac{3}{2}x + 6$
$4$ વડે ગુણતા:
$3x^{2} = 6x + 24$
$3x^{2} - 6x - 24 = 0$
$x^{2} - 2x - 8 = 0$
$(x - 4)(x + 2) = 0$
તેથી,$x = -2$ અને $x = 4$.
ક્ષેત્રફળ એ ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને મેળવેલા સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{-2}^{4} \left( (\frac{3}{2}x + 6) - \frac{3}{4}x^{2} \right) dx$
$= \left[ \frac{3x^{2}}{4} + 6x - \frac{x^{3}}{4} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{3(16)}{4} + 6(4) - \frac{64}{4} \right) - \left( \frac{3(4)}{4} + 6(-2) - \frac{-8}{4} \right)$
$= (12 + 24 - 16) - (3 - 12 + 2)$
$= 20 - (-7) = 27$.

(D) આપેલ છે કે $\log _{e}(x+y)=4 x y$. $x=0$ આગળ,$\log _{e}(y)=0$,જેનો અર્થ છે કે $y=1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{x+y} \left(1+\frac{d y}{d x}\right) = 4y + 4x \frac{d y}{d x}$.
$x=0$ અને $y=1$ મુકતા:
$\frac{1}{1} \left(1+\frac{d y}{d x}\right) = 4(1) + 4(0) \frac{d y}{d x} \Rightarrow 1+\frac{d y}{d x} = 4 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3$.
હવે,$1+\frac{d y}{d x} = (x+y)(4y + 4x \frac{d y}{d x})$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (1+\frac{d y}{d x})(4y + 4x \frac{d y}{d x}) + (x+y)(4 \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 4x \frac{d^{2} y}{d x^{2}})$.
$x=0, y=1, \frac{d y}{d x}=3$ મુકતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (1+3)(4(1) + 0) + (0+1)(4(3) + 4(3) + 0)$.
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4)(4) + (1)(24) = 16 + 24 = 40$.

(B) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(0)$ અને ડાબી બાજુનું લક્ષ શોધો:
$f(0) = a \sin \frac{\pi}{2}(0-1) = a \sin(-\frac{\pi}{2}) = -a$.
હવે,જમણી બાજુનું લક્ષ શોધો:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x - \sin 2x}{bx^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x(1 - \cos 2x)}{bx^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x \cdot 2 \sin^2 x}{bx^3}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\tan \theta \approx \theta$ અને $\sin \theta \approx \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(2x) \cdot 2(x^2)}{bx^3} = \frac{4x^3}{bx^3} = \frac{4}{b}$.
લક્ષને સરખાવતા:
$-a = \frac{4}{b} \implies -ab = 4$.
અંતે,$10 - ab$ ની કિંમત શોધો:
$10 - ab = 10 + 4 = 14$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x - [x]$ અને $g(x) = 1 - (x - [x])$. ધારો કે ${x} = x - [x]$. તો $f(x) = {x}$ અને $g(x) = 1 - {x}$.
$h(x) = \min \{ {x}, 1 - {x} \}$.
દરેક અંતરાલ $[n, n+1)$ માટે,${x} = x - n$. તેથી $h(x) = \min \{ x-n, 1-x+n \}$.
$f(x)$ અને $g(x)$ ના આલેખ ત્યારે છેદે છે જ્યારે ${x} = 1 - {x}$,જેનો અર્થ છે કે $2{x} = 1$,અથવા ${x} = 0.5$.
દરેક અંતરાલ $[n, n+1)$ માં,વિધેય $h(x)$ એ $0$ થી $0.5$ સુધી વધે છે અને પછી $0.5$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
$h(x)$ દરેક જગ્યાએ સતત છે અને આલેખ $x = n$ (જ્યાં ${x}=0$) અને $x = n + 0.5$ (જ્યાં ${x}=0.5$) પર અણીદાર ખૂણાઓ દર્શાવે છે,તેથી આપણે $(-2, 2)$ માં વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની ગણતરી કરીએ.
આ બિંદુઓ $x = -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5$ છે. આવા કુલ $7$ બિંદુઓ છે.
$7 > 4$ હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A$ ની ઘાતની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{2025} - A^{2020} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે $A^6 - A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{2025} - A^{2020} = A^6 - A$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \left(\frac{2}{x}\right)^{x^{2}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln f(x) = x^{2} (\ln 2 - \ln x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x(\ln 2 - \ln x) + x^{2} \left(-\frac{1}{x}\right) = 2x \ln 2 - 2x \ln x - x = x(2 \ln 2 - 2 \ln x - 1)$.
$f'(x) = f(x) \cdot x \cdot (2 \ln 2 - 2 \ln x - 1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા. $f(x) > 0$ અને $x > 0$ હોવાથી:
$2 \ln 2 - 2 \ln x - 1 = 0$
$2 \ln \left(\frac{2}{x}\right) = 1$
$\ln \left(\frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{x} = e^{1/2} = \sqrt{e}$
$x = \frac{2}{\sqrt{e}}$.
$x = \frac{2}{\sqrt{e}}$ આગળ વિધેય સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $f\left(\frac{2}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{2}{2/\sqrt{e}}\right)^{(2/\sqrt{e})^{2}} = (\sqrt{e})^{4/e} = (e^{1/2})^{4/e} = e^{2/e}$ થાય.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{5} \frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} \,dx$. $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{k}^{k+1} \frac{x+k}{e^{x-k}} \,dx$.
ધારો કે $t = x-k$,તો $dx = dt$. જ્યારે $x=k, t=0$ અને જ્યારે $x=k+1, t=1$. સંકલન આ મુજબ બને છે:
$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} \frac{t+k+k}{e^{t}} \,dt = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} (t+2k) e^{-t} \,dt$.
$I = \int_{0}^{1} (t+0)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+2)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+6)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+8)e^{-t} dt$.
$I = \int_{0}^{1} (5t + 20)e^{-t} dt = 5 \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int (t+4)e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - \int -e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - e^{-t} = -(t+5)e^{-t}$.
$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્ય લેતા: $5[-(1+5)e^{-1} - (-(0+5)e^{0})] = 5[-6e^{-1} + 5] = -30e^{-1} + 25$.
$\alpha e^{-1} + \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -30$ અને $\beta = 25$ મળે છે.
શરત તપાસતા: $5(-30) + 6(25) = -150 + 150 = 0$. જે સાચું છે.
આમ,$(\alpha + \beta)^{2} = (-30 + 25)^{2} = (-5)^{2} = 25$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.
$2 x^{2} dx$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{e^{y}}{2 x^{2}} - \frac{1}{x} = 0$.
પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} = -\frac{e^{y}}{2 x^{2}} \Rightarrow e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}}$.
ધારો કે $z = e^{-y}$,તો $\frac{dz}{dx} = -e^{-y} \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + \frac{z}{x} = \frac{1}{2 x^{2}}$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log_{e} x} = x$ છે.
ઉકેલ: $z \cdot x = \int x \cdot \frac{1}{2 x^{2}} dx + C = \int \frac{1}{2x} dx + C = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.
$z = e^{-y}$ હોવાથી,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.
$y(e) = 1$ આપેલ છે,તેથી $x = e$ અને $y = 1$ મૂકતા: $e \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \log_{e} e + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
આમ,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{e} (ex)$.
$y(1)$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા: $1 \cdot e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \log_{e} (e \cdot 1) = \frac{1}{2} \log_{e} e = \frac{1}{2}$.
$e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{y(1)} = 2 \Rightarrow y(1) = \log_{e} 2$.

(D) $\operatorname{cosec}^{-1}(y)$ નો પ્રદેશ $y \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે.
વિધેય $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+x}{x}\right)$ માટે,$\frac{1+x}{x} \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $\frac{1+x}{x} \geq 1$
$\frac{1}{x} + 1 \geq 1 \implies \frac{1}{x} \geq 0 \implies x > 0$.
કિસ્સો $2$: $\frac{1+x}{x} \leq -1$
$\frac{1}{x} + 1 \leq -1 \implies \frac{1}{x} \leq -2$.
કારણ કે $\frac{1}{x} \leq -2$,$x$ ઋણ હોવો જોઈએ. $x$ (જે ઋણ છે) વડે ગુણતા અસમતા ઉલટાય છે:
$1 \geq -2x \implies x \geq -\frac{1}{2}$.
આમ,$x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,પ્રદેશ $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$ મળે છે,જેને $[-\frac{1}{2}, \infty) - \{0\}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = \frac{5}{6}$ સાથે ભૌમિતિક વિતરણને અનુસરે છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{P(X \geq 5 \cap X > 2)}{P(X > 2)}$.
ઘટના $X \geq 5$ એ $X > 2$ નો ઉપગણ હોવાથી,$P(X \geq 5 \cap X > 2) = P(X \geq 5)$ થાય.
આમ,$P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{P(X \geq 5)}{P(X > 2)}$.
ભૌમિતિક વિતરણ માટે,$P(X > k) = q^k = (\frac{5}{6})^k$ થાય.
તેથી,$P(X \geq 5) = P(X > 4) = (\frac{5}{6})^4$ થાય.
અને $P(X > 2) = (\frac{5}{6})^2$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{(5/6)^4}{(5/6)^2} = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ મળે છે.

(B) જો નિશ્ચાયક $D \neq 0$ હોય તો સિસ્ટમને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2) = \lambda - 5$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0 \Rightarrow \lambda \neq 5$.
પાસાના $6$ પરિણામોમાંથી,$\lambda \neq 5$ માટે $5$ શક્યતાઓ છે. તેથી,$p = \frac{5}{6}$.
કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,$D = 0 \Rightarrow \lambda = 5$. આપણે $D_1, D_2, D_3$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ.
$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ \mu & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 6 - 2\mu$.
કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,$D=0$ અને $D_1, D_2, D_3$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યતર હોવું જોઈએ. જો $\lambda=5$,તો $D_1 = 6-2\mu \neq 0 \Rightarrow \mu \neq 3$.
$\mu$ ના $6$ પરિણામોમાંથી,$\mu \neq 3$ માટે $5$ શક્યતાઓ છે. તેથી,$q = P(\lambda=5) \times P(\mu \neq 3) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$.

(D) ધારો કે ભોંયતળિયાના શિરોબિંદુઓ $A(0,0,0)$,$B(10,0,0)$,$C(10,10,0)$,અને $D(0,10,0)$ છે. ધારો કે હોલની ઊંચાઈ $h$ છે. તો છતના શિરોબિંદુઓ $E(0,0,h)$,$F(10,0,h)$,$G(10,10,h)$,અને $H(0,10,h)$ થશે.
સદિશ $\overrightarrow{AG} = (10-0)\hat{i} + (10-0)\hat{j} + (h-0)\hat{k} = 10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}$.
સદિશ $\overrightarrow{BH} = (0-10)\hat{i} + (10-0)\hat{j} + (h-0)\hat{k} = -10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}$.
$\overrightarrow{AG}$ અને $\overrightarrow{BH}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BH}}{|\overrightarrow{AG}| |\overrightarrow{BH}|}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{5}$,તેથી:
$\frac{1}{5} = \frac{(10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k}) \cdot (-10\hat{i} + 10\hat{j} + h\hat{k})}{\sqrt{10^2 + 10^2 + h^2} \sqrt{(-10)^2 + 10^2 + h^2}}$
$\frac{1}{5} = \frac{-100 + 100 + h^2}{200 + h^2} = \frac{h^2}{200 + h^2}$.
$200 + h^2 = 5h^2 \Rightarrow 4h^2 = 200 \Rightarrow h^2 = 50 \Rightarrow h = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ મીટર.

(C) આપેલ સમતલોના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલોના સમૂહનું સમીકરણ $(x + y + 4z - 16) + \lambda(-x + y + z - 6) = 0$ છે.
સમતલ $P$ એ $(1, 2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1, y = 2, z = 3$ મૂકતા:
$(1 + 2 + 4(3) - 16) + \lambda(-1 + 2 + 3 - 6) = 0$
$(1 + 2 + 12 - 16) + \lambda(-2) = 0$
$-1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ને સમૂહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + y + 4z - 16) - \frac{1}{2}(-x + y + z - 6) = 0$
$2(x + y + 4z - 16) - (-x + y + z - 6) = 0$
$2x + 2y + 8z - 32 + x - y - z + 6 = 0$
$3x + y + 7z - 26 = 0$.
હવે,ચકાસીએ કે કયું બિંદુ $3x + y + 7z = 26$ નું સમાધાન કરતું નથી:
$(3, 3, 2)$ માટે: $3(3) + 3 + 7(2) = 9 + 3 + 14 = 26$ ($P$ પર છે).
$(6, -6, 2)$ માટે: $3(6) - 6 + 7(2) = 18 - 6 + 14 = 26$ ($P$ પર છે).
$(4, 2, 2)$ માટે: $3(4) + 2 + 7(2) = 12 + 2 + 14 = 28 \neq 26$ ($P$ પર નથી).
$(-8, 8, 6)$ માટે: $3(-8) + 8 + 7(6) = -24 + 8 + 42 = 26$ ($P$ પર છે).

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{\sin x}} \, dx$.
ગુણધર્મ $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{\sin x}} + \frac{1+\sin^{2}(-x)}{1+\pi^{\sin(-x)}} \right) \, dx$
કારણ કે $\sin^{2}(-x) = \sin^{2} x$ અને $\sin(-x) = -\sin x$:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{\sin x}} + \frac{1+\sin^{2} x}{1+\pi^{-\sin x}} \right) \, dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sin^{2} x) \left( \frac{1}{1+\pi^{\sin x}} + \frac{\pi^{\sin x}}{\pi^{\sin x}+1} \right) \, dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sin^{2} x) \left( \frac{1+\pi^{\sin x}}{1+\pi^{\sin x}} \right) \, dx$
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\sin^{2} x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \frac{1-\cos 2x}{2}) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x) \, dx$
$I = [\frac{3}{2}x - \frac{1}{4}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3\pi}{4} - 0 = \frac{3\pi}{4}$.

(C) પ્રથમ,$f^{\prime}(x)=0$ લઈને $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો.
$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 x-12=6(x-2)(x+1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=-1$ અને $x=2$ છે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime\prime}(x)=12 x-6$.
$f^{\prime\prime}(-1)=-18 < 0$,તેથી $a=-1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$f^{\prime\prime}(2)=18 > 0$,તેથી $b=2$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx = \int_{-1}^{2} |2 x^{3}-3 x^{2}-12 x| dx$ દ્વારા મળે છે.
વિધેય $f(x)=x(2 x^{2}-3 x-12)$ એ અંતરાલ $[-1, 2]$ માં $x=0$ આગળ $x$-અક્ષને છેદે છે.
તેથી,$A = \int_{-1}^{0} (2 x^{3}-3 x^{2}-12 x) dx + \int_{0}^{2} -(2 x^{3}-3 x^{2}-12 x) dx$.
$A = \left[ \frac{x^{4}}{2} - x^{3} - 6 x^{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ 6 x^{2} + x^{3} - \frac{x^{4}}{2} \right]_{0}^{2}$.
$A = (0 - (\frac{1}{2} + 1 - 6)) + ((24 + 8 - 8) - 0) = -(\frac{1-10}{2}) + 24 = \frac{9}{2} + 24 = \frac{57}{2}$.
તેથી,$4 A = 4 \times \frac{57}{2} = 114$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
સદિશોનો સરવાળો $\vec{b} = \vec{v_1} + \vec{v_2} = (2 - \lambda)\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2 - \lambda) + (2)(6) + (1)(-2) = 2 - \lambda + 12 - 2 = 12 - \lambda$.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{(2 - \lambda)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 - 4\lambda + \lambda^2 + 36 + 4} = \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 44}$.
પ્રક્ષેપને $1$ સાથે સરખાવતા: $\frac{12 - \lambda}{\sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 44}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(12 - \lambda)^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 44$.
$144 - 24\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 4\lambda + 44$.
$144 - 44 = 24\lambda - 4\lambda$.
$100 = 20\lambda$.
$\lambda = 5$.

(B) બે રેખાઓ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x+1 & y-1 & z-3 \\ 6 & 7 & 8 \\ 3 & 5 & 7 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+1)(49-40) - (y-1)(42-24) + (z-3)(30-21) = 0$
$9(x+1) - 18(y-1) + 9(z-3) = 0$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $x+1 - 2(y-1) + z-3 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y + z = 0$ થાય છે.
બિંદુ $P(7, -2, 13)$ થી સમતલ $x - 2y + z = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $PQ$ માટેનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
$PQ = \frac{|1(7) - 2(-2) + 1(13)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|7 + 4 + 13|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{24}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{6}$.
તેથી,$(PQ)^2 = (4\sqrt{6})^2 = 16 \times 6 = 96$.

(B) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $|A| = \Delta$.
ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$,આપણને મળે $\operatorname{adj}(2A) = 2^{2} \operatorname{adj}(A) = 4 \operatorname{adj}(A)$.
આગળ,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)) = \operatorname{adj}(4 \operatorname{adj}(A)) = 4^{3-1} \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A)) = 16 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))$.
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A)) = |A|^{n-2} A = |A| A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $16 |A| A$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\det(2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)))) = \det(2 \operatorname{adj}(2(16 |A| A))) = \det(2 \operatorname{adj}(32 |A| A))$ છે.
$\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{adj}(32 |A| A) = (32 |A|)^{2} \operatorname{adj}(A)$.
તેથી,$\det(2 \cdot (32 |A|)^{2} \operatorname{adj}(A)) = \det(2^{1} \cdot 2^{10} |A|^{2} \operatorname{adj}(A)) = \det(2^{11} |A|^{2} \operatorname{adj}(A))$.
$\det(kM) = k^{n} \det(M)$ હોવાથી,$(2^{11} |A|^{2})^{3} \det(\operatorname{adj}(A)) = 2^{33} |A|^{6} |A|^{2} = 2^{33} |A|^{8}$.
આપેલ છે કે $2^{33} |A|^{8} = 2^{41}$,તેથી $|A|^{8} = 2^{8}$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 2$.
આમ,$\det(A^{2}) = |A|^{2} = (\pm 2)^{2} = 4$.

(B) આપેલ છે કે $a = (\sin ^{-1} x)^{2}-(\cos ^{-1} x)^{2}$.
નિત્યસમ $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = (\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x)(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી:
$a = \frac{\pi}{2}(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x)$.
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ મૂકતા:
$a = \frac{\pi}{2}(\frac{\pi}{2} - 2 \cos ^{-1} x)$.
$\frac{2a}{\pi} = \frac{\pi}{2} - 2 \cos ^{-1} x$.
$2 \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \frac{2a}{\pi}$.
બંને બાજુ કોસાઇન (cosine) લેતા:
$\cos(2 \cos ^{-1} x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2a}{\pi})$.
નિત્યસમ $\cos(2 \theta) = 2 \cos^2 \theta - 1$ અને $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 x^2 - 1 = \sin(\frac{2a}{\pi})$.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $A(A^{3} + 3I) = 2I$ છે,જેનો અર્થ છે કે $A^{4} + 3A = 2I$,અથવા $A^{4} = 2I - 3A$.
$A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\begin{vmatrix} -\lambda & 2 \\ K & -1 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda(\lambda + 1) - 2K = 0 \Rightarrow \lambda^{2} + \lambda - 2K = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^{2} + A - 2KI = 0$,તેથી $A^{2} = 2KI - A$.
હવે,$A^{4} = (A^{2})^{2} = (2KI - A)^{2} = 4K^{2}I - 4KA + A^{2}$.
$A^{4}$ ના પદમાં $A^{2} = 2KI - A$ મૂકતા:
$A^{4} = 4K^{2}I - 4KA + (2KI - A) = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$.
$A^{4}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2I - 3A = (4K^{2} + 2K)I - (4K + 1)A$.
પદોને ગોઠવતા:
$(4K + 1 - 3)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$.
$(4K - 2)A = (4K^{2} + 2K - 2)I$.
$2(2K - 1)A = 2(2K^{2} + K - 1)I$.
$2(2K - 1)A = 2(2K - 1)(K + 1)I$.
જો $2K - 1 \neq 0$ હોય,તો $A = (K + 1)I$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ K & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K+1 & 0 \\ 0 & K+1 \end{bmatrix}$.
આનાથી $K+1 = 0$ અને $2 = 0$ મળે છે,જે અશક્ય છે.
તેથી,$2K - 1 = 0$ હોવું જોઈએ,જે $K = \frac{1}{2}$ આપે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $A(1,-2,3)$ માંથી પસાર થતી અને $2,3,-6$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-6} = \lambda$
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1+2\lambda, -2+3\lambda, 3-6\lambda)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ $x-y+z=5$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(1+2\lambda) - (-2+3\lambda) + (3-6\lambda) = 5$
$1 + 2\lambda + 2 - 3\lambda + 3 - 6\lambda = 5$
$6 - 7\lambda = 5$
$-7\lambda = -1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{7}$
છેદબિંદુ $P$ છે:
$P = (1+2(\frac{1}{7}), -2+3(\frac{1}{7}), 3-6(\frac{1}{7})) = (\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$
અંતર $AP$ એ $(1,-2,3)$ અને $(\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AP = \sqrt{(\frac{9}{7}-1)^2 + (-\frac{11}{7}-(-2))^2 + (\frac{15}{7}-3)^2}$
$AP = \sqrt{(\frac{2}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2 + (-\frac{6}{7})^2}$
$AP = \sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2x(y + 2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x(2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -2x$ અને $Q(x) = 4x \sin x - 10x - 2 \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2x dx} = e^{-x^{2}}$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x^{2}} \frac{dy}{dx} - 2x e^{-x^{2}} y = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 10x - 2 \cos x)$ મળે છે.
આ $\frac{d}{dx}(y \cdot e^{-x^{2}}) = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 2 \cos x) - 10x e^{-x^{2}}$ માં પરિણમે છે.
નોંધો કે $\frac{d}{dx}(e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x)) = e^{-x^{2}}(-2 \cos x) + (5 - 2 \sin x)(-2x e^{-x^{2}}) = -2 \cos x e^{-x^{2}} - 10x e^{-x^{2}} + 4x \sin x e^{-x^{2}}$ થાય છે.
તેથી,$y \cdot e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x) + C$ મળે છે.
$e^{-x^{2}}$ વડે ભાગતા,$y = 5 - 2 \sin x + C e^{x^{2}}$ મળે છે.
$y(0) = 7$ આપેલ હોવાથી,$7 = 5 - 2 \sin(0) + C e^{0} \Rightarrow 7 = 5 + C \Rightarrow C = 2$ મળે છે.
તેથી,$y(x) = 5 - 2 \sin x + 2 e^{x^{2}}$ છે.
$x = \pi$ પર,$y(\pi) = 5 - 2 \sin(\pi) + 2 e^{\pi^{2}} = 5 - 0 + 2 e^{\pi^{2}} = 2 e^{\pi^{2}} + 5$ થાય છે.

(D) સમતલો $P_1: x-y-z-1=0$ અને $P_2: 2x+y-3z+4=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x-y-z-1) + \lambda(2x+y-3z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (-1+\lambda)y + (-1-3\lambda)z + (-1+4\lambda) = 0$.
આ સમતલનું ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી અંતર $\sqrt{\frac{2}{21}}$ આપેલું છે.
અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|d_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ છે,તેથી:
$\frac{|4\lambda-1|}{\sqrt{(1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 + (-1-3\lambda)^2}} = \sqrt{\frac{2}{21}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{(4\lambda-1)^2}{(1+4\lambda+4\lambda^2) + (1-2\lambda+\lambda^2) + (1+6\lambda+9\lambda^2)} = \frac{2}{21}$.
$\frac{(4\lambda-1)^2}{14\lambda^2+8\lambda+3} = \frac{2}{21}$.
$21(16\lambda^2-8\lambda+1) = 2(14\lambda^2+8\lambda+3)$.
$336\lambda^2 - 168\lambda + 21 = 28\lambda^2 + 16\lambda + 6$.
$308\lambda^2 - 184\lambda + 15 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $308\lambda^2 - 154\lambda - 30\lambda + 15 = 0$.
$154\lambda(2\lambda-1) - 15(2\lambda-1) = 0$.
$(154\lambda-15)(2\lambda-1) = 0$.
આમ,$\lambda = \frac{1}{2}$ અથવા $\lambda = \frac{15}{154}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ માટે,સમીકરણ $(x-y-z-1) + \frac{1}{2}(2x+y-3z+4) = 0$ થાય.
$2x-2y-2z-2 + 2x+y-3z+4 = 0$.
$4x-y-5z+2 = 0$.

(A) આપેલ છે કે $U_{n}=\prod_{r=1}^{n}\left(1+\frac{r^{2}}{n^{2}}\right)^{r}$.
ધારો કે $L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(U_{n}\right)^{-4 / n^{2}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log L=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{-4}{n^{2}} \sum_{r=1}^{n} r \log \left(1+\frac{r^{2}}{n^{2}}\right)$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\log L=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n}-4 \left(\frac{r}{n}\right) \log \left(1+\left(\frac{r}{n}\right)^{2}\right) \cdot \frac{1}{n}$.
આ રીમેન સરવાળો છે,જે નિશ્ચિત સંકલનમાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\log L = -4 \int_{0}^{1} x \log (1+x^{2}) \, dx$.
ધારો કે $t = 1+x^{2}$,તો $dt = 2x \, dx$.
જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=1, t=2$.
$\log L = -2 \int_{1}^{2} \log (t) \, dt = -2 [t \log t - t]_{1}^{2}$.
$\log L = -2 [(2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)] = -2 [2 \log 2 - 2 + 1] = -2 [2 \log 2 - 1]$.
$\log L = -4 \log 2 + 2 = \log (2^{-4}) + \log (e^{2}) = \log \left(\frac{e^{2}}{16}\right)$.
તેથી,$L = \frac{e^{2}}{16}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f(x)+x f'(x)=x^2$ છે,જેને $y+x \frac{dy}{dx}=x^2$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$),આપણને $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\frac{1}{x}$ અને $Q=x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y \cdot x = \int x \cdot x dx + C = \int x^2 dx + C = \frac{x^3}{3} + C$.
વક્ર બિંદુ $(-2, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=-2$ અને $y=2$ મૂકતા:
$2(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + C \Rightarrow -4 = -\frac{8}{3} + C$.
$C = -4 + \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $xy = \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3}$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3xy = x^3 - 4$ મળે છે,એટલે કે $x^3 - 3x f(x) - 4 = 0$.

(C) ધારો કે $I = \int_{6}^{16} \frac{\log _{e} x^{2}}{\log _{e} x^{2} + \log _{e}(x-22)^{2}} dx \dots(1)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a+b = 6+16 = 22$:
$I = \int_{6}^{16} \frac{\log _{e}(22-x)^{2}}{\log _{e}(22-x)^{2} + \log _{e}(22-(22-x))^{2}} dx$
$I = \int_{6}^{16} \frac{\log _{e}(22-x)^{2}}{\log _{e}(22-x)^{2} + \log _{e} x^{2}} dx \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{6}^{16} \frac{\log _{e} x^{2} + \log _{e}(22-x)^{2}}{\log _{e} x^{2} + \log _{e}(22-x)^{2}} dx$
$2I = \int_{6}^{16} 1 dx = [x]_{6}^{16} = 16 - 6 = 10$
$I = \frac{10}{2} = 5$

(D) ધારો કે તારને $x$ અને $20-x$ લંબાઈના બે ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે.
ચોરસની બાજુ $s_1 = \frac{x}{4}$ છે,તેથી ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણની બાજુ $s_2 = \frac{20-x}{6}$ છે,તેથી નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{20-x}{6}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \frac{(20-x)^2}{36} = \frac{\sqrt{3}}{24} (20-x)^2$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{\sqrt{3}}{24} (20-x)^2$ છે.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ ની બરાબર લઈએ:
$A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{\sqrt{3}}{24} \times 2(20-x)(-1) = \frac{x}{8} - \frac{\sqrt{3}}{12}(20-x) = 0$.
$24$ વડે ગુણતા $3x - 2\sqrt{3}(20-x) = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 40\sqrt{3} + 2\sqrt{3}x = 0$ થાય છે.
આમ,$x(3 + 2\sqrt{3}) = 40\sqrt{3}$,તેથી $x = \frac{40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}}$.
ષટ્કોણની બાજુ $s_2 = \frac{20-x}{6} = \frac{1}{6} \left( 20 - \frac{40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}} \right)$ છે.
$s_2 = \frac{1}{6} \left( \frac{60 + 40\sqrt{3} - 40\sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{60}{3 + 2\sqrt{3}} \right) = \frac{10}{3 + 2\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $(1)(1) + (5)(3) + (\alpha)(\beta) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + 15 + \alpha\beta = 0$,એટલે કે $\alpha\beta = -16$.
આગળ,$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & \beta \\ -1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 - 2\beta) - \hat{j}(-3 + \beta) + \hat{k}(2 + 3) = (-9 - 2\beta)\hat{i} + (3 - \beta)\hat{j} + 5\hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{b} \times \vec{c}| = 5\sqrt{3}$,તેથી $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = 75$.
$(-9 - 2\beta)^2 + (3 - \beta)^2 + 5^2 = 75$
$(81 + 36\beta + 4\beta^2) + (9 - 6\beta + \beta^2) + 25 = 75$
$5\beta^2 + 30\beta + 115 = 75$
$5\beta^2 + 30\beta + 40 = 0 \Rightarrow \beta^2 + 6\beta + 8 = 0$.
$\beta$ માટે ઉકેલતા,$(\beta + 4)(\beta + 2) = 0$,તેથી $\beta = -4$ અથવા $\beta = -2$.
જો $\beta = -4$,તો $\alpha = 4$. જો $\beta = -2$,તો $\alpha = 8$.
હવે,$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 5^2 + \alpha^2 = 26 + \alpha^2$.
$\alpha = 4$ માટે,$|\vec{a}|^2 = 26 + 16 = 42$.
$\alpha = 8$ માટે,$|\vec{a}|^2 = 26 + 64 = 90$.
સૌથી મોટી કિંમત $90$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 3x^{4} + 4x^{3} - 12x^{2} + 4$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત શોધીએ:
$f'(x) = 12x^{3} + 12x^{2} - 24x = 12x(x^{2} + x - 2) = 12x(x + 2)(x - 1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = -2, 0, 1$ છે.
હવે,આ ક્રાંતિક બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-2) = 3(-2)^{4} + 4(-2)^{3} - 12(-2)^{2} + 4 = 3(16) + 4(-8) - 12(4) + 4 = 48 - 32 - 48 + 4 = -28$.
$f(0) = 3(0)^{4} + 4(0)^{3} - 12(0)^{2} + 4 = 4$.
$f(1) = 3(1)^{4} + 4(1)^{3} - 12(1)^{2} + 4 = 3 + 4 - 12 + 4 = -1$.
જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ અને જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$.
ચિહ્નમાં ફેરફારનું વિશ્લેષણ:
$1$. $(-\infty, -2)$ માં,$f(x)$ એ $\infty$ થી $-28$ સુધી ઘટે છે. $f(-2) = -28 < 0$ હોવાથી,$(-\infty, -2)$ માં એક ઉકેલ છે.
$2$. $(-2, 0)$ માં,$f(x)$ એ $-28$ થી $4$ સુધી વધે છે. $f(-2) < 0$ અને $f(0) > 0$ હોવાથી,$(-2, 0)$ માં એક ઉકેલ છે.
$3$. $(0, 1)$ માં,$f(x)$ એ $4$ થી $-1$ સુધી ઘટે છે. $f(0) > 0$ અને $f(1) < 0$ હોવાથી,$(0, 1)$ માં એક ઉકેલ છે.
$4$. $(1, \infty)$ માં,$f(x)$ એ $-1$ થી $\infty$ સુધી વધે છે. $f(1) < 0$ અને $f(x) \to \infty$ હોવાથી,$(1, \infty)$ માં એક ઉકેલ છે.
આમ,કુલ $4$ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x^2+x+1)^2} = \int \frac{dx}{((x+1/2)^2 + 3/4)^2}$.
$t = x + 1/2$ લેતા,$dt = dx$. તેથી $I = \int \frac{dt}{(t^2 + 3/4)^2}$.
$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ લેતા,$dt = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta$.
$I = \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta}{(\frac{3}{4} \tan^2 \theta + 3/4)^2} = \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta}{\frac{9}{16} \sec^4 \theta} = \frac{8\sqrt{3}}{9} \int \cos^2 \theta d\theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{4\sqrt{3}}{9} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{4\sqrt{3}}{9} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + C$.
$\tan \theta = \frac{2t}{\sqrt{3}} = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$.
વળી,$\frac{\sin 2\theta}{2} = \frac{\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{\frac{2x+1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{(2x+1)^2}{3}} = \frac{\sqrt{3}(2x+1)}{4(x^2+x+1)}$.
આમ,$I = \frac{4\sqrt{3}}{9} \tan^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) + \frac{1}{3} \frac{2x+1}{x^2+x+1} + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = \frac{4\sqrt{3}}{9}$ અને $b = \frac{1}{3}$.
તેથી $9(\sqrt{3}a + b) = 9(\sqrt{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{9} + \frac{1}{3}) = 9(\frac{4}{3} + \frac{1}{3}) = 15$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$(i) \ 2x + y - z = 3$
$(ii) \ x - y - z = \alpha$
$(iii) \ 3x + 3y + \beta z = 3$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
ધારો કે સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & 3 & \beta \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = 0$ લેતા:
$2(-\beta + 3) - 1(\beta + 3) - 1(3 + 3) = 0$
$-2\beta + 6 - \beta - 3 - 6 = 0$
$-3\beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = -1$.
$\beta = -1$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2x + y - z = 3$
$x - y - z = \alpha$
$3x + 3y - z = 3$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા $x + 2y = 3 - \alpha$ મળે છે.
સમીકરણ $(iii)$ પરથી,$3(x + y) - z = 3$. $(i) + (ii)$ નો ઉપયોગ કરતા,$3x = 3 + \alpha$,તેથી $x = 1 + \alpha/3$.
સુસંગતતા માટે,સમીકરણો એક જ સમતલ અથવા રેખા દર્શાવતા હોવા જોઈએ. ઉકેલતા $\alpha = 3$ મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta - \alpha \beta = 3 + (-1) - (3)(-1) = 3 - 1 + 3 = 5$.

(A) આપેલ છે કે $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$. ધારો કે $u = y^{1/4}$,તો $u + \frac{1}{u} = 2x$,જેનો અર્થ થાય છે $u^2 - 2xu + 1 = 0$. $u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ મળે છે.
તેથી,$y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,એટલે કે $y = (x \pm \sqrt{x^2 - 1})^4$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(1 \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(\frac{\sqrt{x^2 - 1} \pm x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)$.
કારણ કે $y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,આપણને $\frac{dy}{dx} = 4(y^{3/4}) \left(\frac{\pm(x \pm \sqrt{x^2 - 1})}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \frac{4y}{\sqrt{x^2 - 1}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x^2 - 1) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 16y^2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$(x^2 - 1) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 32y \frac{dy}{dx}$.
$2 \frac{dy}{dx}$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $\frac{dy}{dx} \neq 0$),આપણને $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 16y = 0$ મળે છે.
આને $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ અને $\beta = -16$ મળે છે.
તેથી,$|\alpha - \beta| = |1 - (-16)| = |1 + 16| = 17$.

(A) આપેલ સમીકરણો $n = 2(l + m)$ અને $mn + nl + lm = 0$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $n = 2(l + m)$ મૂકતા:
$m(2l + 2m) + 2l(l + m) + lm = 0$
$2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$
$2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$
$m^2$ વડે ભાગતા,આપણને $2t^2 + 5t + 2 = 0$ મળે છે,જ્યાં $t = \frac{l}{m}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2t + 1)(t + 2) = 0$,તેથી $t = -\frac{1}{2}$ અથવા $t = -2$.
કિસ્સો $1$: જો $\frac{l}{m} = -2$,તો $l = -2m$. $n = 2(l + m)$ માં મૂકતા,$n = 2(-2m + m) = -2m$ મળે છે.
દિશા ગુણોત્તર $(-2m, m, -2m)$ છે,જે $(-2, 1, -2)$ તરીકે સરળ બને છે.
કિસ્સો $2$: જો $\frac{l}{m} = -\frac{1}{2}$,તો $m = -2l$. $n = 2(l + m)$ માં મૂકતા,$n = 2(l - 2l) = -2l$ મળે છે.
દિશા ગુણોત્તર $(l, -2l, -2l)$ છે,જે $(1, -2, -2)$ તરીકે સરળ બને છે.
ધારો કે દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (-2, 1, -2)$ અને $\vec{b} = (1, -2, -2)$ છે.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = \frac{|(-2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-2)|}{\sqrt{4+1+4} \sqrt{1+4+4}} = \frac{|-2 - 2 + 4|}{3 \times 3} = 0$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $\det(A) = \begin{vmatrix} [x+1] & [x+2] & [x+3] \\ [x] & [x+3] & [x+3] \\ [x] & [x+2] & [x+4] \end{vmatrix} = 192$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x+n] = [x] + n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{vmatrix} [x]+1 & [x]+2 & [x]+3 \\ [x] & [x]+3 & [x]+3 \\ [x] & [x]+2 & [x]+4 \end{vmatrix} = 192$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \rightarrow R_1 - R_3$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ લાગુ કરતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ [x] & [x]+2 & [x]+4 \end{vmatrix} = 192$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1([x]+4 - ([x]+2)) - 0 + (-1)(0 - ([x])) = 192$.
$1(2) + [x] = 192 \Rightarrow [x] = 190$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો $[x] = 62$ હોય,તો $x$ નો અંતરાલ $[62, 63)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$(x + \frac{\pi}{4}) \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ થાય.
તેથી,$g(x) \in [1, \sqrt{2}]$ મળે.
વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(g(x))$ વધતું વિધેય હોવાથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[\tan^{-1}(1), \tan^{-1}(\sqrt{2})] = [\frac{\pi}{4}, \tan^{-1}(\sqrt{2})]$ થશે.
તેથી,$m = \frac{\pi}{4}$ અને $M = \tan^{-1}(\sqrt{2})$ મળે.
આપણે $\tan(M - m) = \tan(\tan^{-1}(\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4})$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(M - m) = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 + \sqrt{2}(1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે વ્યક્તિ $A$ ને મળતી છાપની સંખ્યા $X$ છે અને વ્યક્તિ $B$ ને મળતી છાપની સંખ્યા $Y$ છે. બંને $X$ અને $Y$ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=3, p=1/2)$ ને અનુસરે છે.
$3$ સિક્કા ઉછાળતા $k$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=k) = \binom{3}{k} (1/2)^3 = \binom{3}{k} / 8$ છે.
આપણે $P(X=Y) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=2) + P(X=3, Y=3)$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(X=k, Y=k) = P(X=k) \times P(Y=k) = [P(X=k)]^2$.
$P(X=0) = 1/8 \implies P(X=0, Y=0) = 1/64$.
$P(X=1) = 3/8 \implies P(X=1, Y=1) = 9/64$.
$P(X=2) = 3/8 \implies P(X=2, Y=2) = 9/64$.
$P(X=3) = 1/8 \implies P(X=3, Y=3) = 1/64$.
કુલ સંભાવના $= 1/64 + 9/64 + 9/64 + 1/64 = 20/64 = 5/16$.

(D) નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ એ બિંદુ $(2, -3)$ થી રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ નું અંતર છે.
$4a = \frac{|3(2) + 4(-3) - 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|6 - 12 - 5|}{5} = \frac{|-11|}{5} = \frac{11}{5}$.
અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $(x - h)^{2} = 4a(y - k)$ છે,જ્યાં $4a = \frac{11}{5}$.
$(x - h)^{2} = \frac{11}{5}(y - k)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(x - h) = \frac{11}{5} \frac{dy}{dx}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 = \frac{11}{5} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.
$10 = 11 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$,એટલે કે $11 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 10$.

(A) આપેલા સમતલોના સમીકરણો છે:
$P_1: x+y+z-1=0$
$P_2: 2x+3y-z+4=0$
આ બે સમતલોની છેદરેખામાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
આ સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1-\lambda)\hat{k}$ એ $x$-અક્ષની દિશા $\hat{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,અભિલંબ સદિશ અને $x$-અક્ષની દિશાનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(0) + (1-\lambda)(0) = 0$
$1+2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$
$\lambda = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1+2(-\frac{1}{2}))x + (1+3(-\frac{1}{2}))y + (1-(-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2})-1) = 0$
$0x + (1-\frac{3}{2})y + (1+\frac{1}{2})z + (-2-1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા:
$y - 3z + 6 = 0$
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $\vec{r} \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}) + 6 = 0$ છે,એટલે કે $\vec{r} \cdot (\hat{j} - 3\hat{k}) + 6 = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $y dx = (10y^3 - 2x) dy$.
$y dy$ વડે ભાગતા,આપણને $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y}x = 10y^2$.
અહીં,સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ છે:
$I.F. = e^{\int \frac{2}{y} dy} = e^{2 \ln|y|} = y^2$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int (10y^2) \cdot (I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x y^2 = \int 10y^4 dy + C$.
$x y^2 = 2y^5 + C$.
વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$0 \cdot (1)^2 = 2(1)^5 + C \Rightarrow C = -2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $x y^2 = 2y^5 - 2$ છે.
વક્ર $(2, \beta)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=2$ અને $y=\beta$ મૂકતા:
$2 \beta^2 = 2 \beta^5 - 2$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\beta^2 = \beta^5 - 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\beta^5 - \beta^2 - 1 = 0$ થાય છે.
તેથી,$\beta$ એ $y^5 - y^2 - 1 = 0$ સમીકરણનું બીજ છે.

(D) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 1$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(a, 0)$,$B(b, 2b+1)$,અને $C(0, b)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |a(2b+1 - b) + b(b - 0) + 0(0 - (2b+1))| = 1$
$\frac{1}{2} |a(b+1) + b^2| = 1$
$|a(b+1) + b^2| = 2$
આથી $a(b+1) + b^2 = 2$ અથવા $a(b+1) + b^2 = -2$.
કિસ્સો $1$: $a(b+1) = 2 - b^2 \Rightarrow a_1 = \frac{2 - b^2}{b+1}$.
કિસ્સો $2$: $a(b+1) = -2 - b^2 \Rightarrow a_2 = \frac{-2 - b^2}{b+1}$.
$a$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $a_1 + a_2 = \frac{2 - b^2 - 2 - b^2}{b+1} = \frac{-2b^2}{b+1}$ થાય.

(A) સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત છે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય ન હોય (અનન્ય ઉકેલ) અથવા જો $D=0$ હોય અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગતતાની શરતનું પાલન કરે.
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 9 & 4 & 28+[\lambda] \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(2(28+[\lambda]) - 20) - 1(3(28+[\lambda]) - 45) + 1(12 - 18)$
$D = (56 + 2[\lambda] - 20) - (84 + 3[\lambda] - 45) - 6$
$D = (36 + 2[\lambda]) - (39 + 3[\lambda]) - 6$
$D = -[\lambda] - 9$
જો $D \neq 0$,એટલે કે $[\lambda] \neq -9$,તો સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
જો $D = 0$,એટલે કે $[\lambda] = -9$,તો આપણે ક્રેમરના નિયમ અથવા હાર ઘટાડાની રીતનો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ.
$[\lambda] = -9$ માટે,ત્રીજું સમીકરણ $9x + 4y + 19z = -9$ બને છે.
આમ,તમામ $\lambda \in R$ માટે સંહતિનો ઉકેલ મળે છે.

(C) બનેલા બોક્સના પરિમાણો $(a-2x)$,$(b-2x)$,અને $x$ છે.
બોક્સનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V(x) = (a-2x)(b-2x)x = (ab - 2ax - 2bx + 4x^2)x = 4x^3 - 2(a+b)x^2 + abx$.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dx} = 12x^2 - 4(a+b)x + ab$.
$\frac{dV}{dx} = 0$ લેતા:
$12x^2 - 4(a+b)x + ab = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{4(a+b) \pm \sqrt{16(a+b)^2 - 48ab}}{24} = \frac{4(a+b) \pm \sqrt{16(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab)}}{24} = \frac{4(a+b) \pm 4\sqrt{a^2 - ab + b^2}}{24} = \frac{(a+b) \pm \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$.
ધારો કે $\alpha = \frac{(a+b) + \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$ અને $\beta = \frac{(a+b) - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2V}{dx^2} = 24x - 4(a+b)$.
$x = \beta$ માટે,$\frac{d^2V}{dx^2} = 24\left(\frac{a+b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}\right) - 4(a+b) = 4(a+b) - 4\sqrt{a^2 - ab + b^2} - 4(a+b) = -4\sqrt{a^2 - ab + b^2} < 0$.
કારણ કે $x = \beta$ પર દ્વિતીય વિકલિત ઋણ છે,તેથી ઘનફળ $x = \beta = \frac{a+b - \sqrt{a^2 - ab + b^2}}{6}$ પર મહત્તમ છે.

(B) પ્રથમ,$A \cap B$ ગણ શોધો:
$A = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + y^{2} \leq 4\}$
$B = \{(x, y) \in Z \times Z : x^{2} + y^{2} \leq 4\}$
બંને અસમતાઓનું પાલન કરતા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ એ $(1, 0), (1, 1), (1, -1), (2, 0), (0, 0)$ છે.
તેથી,$n(A \cap B) = 5$.
ત્યારબાદ,$A \cap C$ ગણ શોધો:
$A = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + y^{2} \leq 4\}$
$C = \{(x, y) \in Z \times Z : (x-2)^{2} + (y-2)^{2} \leq 4\}$
બંને અસમતાઓનું પાલન કરતા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ એ $(2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 1), (3, 1)$ છે.
તેથી,$n(A \cap C) = 5$.
$A \cap B$ થી $A \cap C$ સુધીના સંબંધોની કુલ સંખ્યા $2^{n(A \cap B) \times n(A \cap C)} = 2^{5 \times 5} = 2^{25}$ દ્વારા મળે છે.
આને $2^{p}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 25$ મળે છે.

(A) આપેલ પરવલય: $(y-2)^{2} = x-1 \Rightarrow x = (y-2)^{2} + 1$.
યામ $y=3$ માટે,$x = (3-2)^{2} + 1 = 2$. તેથી,બિંદુ $(2, 3)$ છે.
$(y-2)^{2} = x-1$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2(y-2) = \frac{dx}{dy}$ મળે છે.
$y=3$ આગળ,$\frac{dx}{dy} = 2(3-2) = 2$.
$(2, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - 2 = 2(y - 3) \Rightarrow x = 2y - 4$ છે.
આ પ્રદેશ પરવલય $x = (y-2)^{2} + 1$,સ્પર્શક $x = 2y - 4$ અને $x$-અક્ષ $(y=0)$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
$y=0$ થી $y=3$ સુધી $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} [((y-2)^{2} + 1) - (2y - 4)] dy$
$= \int_{0}^{3} (y^{2} - 4y + 4 + 1 - 2y + 4) dy = \int_{0}^{3} (y^{2} - 6y + 9) dy$
$= \int_{0}^{3} (y-3)^{2} dy = \left[ \frac{(y-3)^{3}}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - (\frac{-27}{3}) = 9 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(A) આપેલ છે કે $y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}\right)$.
$1 \pm \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}\right)^2$ હોવાથી,$\sqrt{1+\sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}|$ અને $\sqrt{1-\sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|$ મળે.
$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ માટે,$\frac{x}{2} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ થાય. આ અંતરાલમાં,$\cos \frac{x}{2} > 0$,$\sin \frac{x}{2} > 0$,અને $\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{1+\sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ અને $\sqrt{1-\sin x} = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ થાય.
આ કિંમતો $y(x)$ માં મૂકતા:
$y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{2\sin \frac{x}{2}}{2\cos \frac{x}{2}}\right) = \cot^{-1}(\tan \frac{x}{2})$.
$\cot^{-1}(\tan \theta) = \frac{\pi}{2} - \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$y(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$.