JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) પરવલય $y^{2} = 4Ax$ માટે બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1} = 2A(x + x_{1})$ છે.
અહીં,$4A = 8$,તેથી $A = 2$.
બિંદુ $(2, -4)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y(-4) = 4(x + 2)$ છે.
$-4y = 4x + 8 \Rightarrow x + y + 2 = 0$.
આ રેખા $x + y + 2 = 0$ એ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = a$ નો પણ સ્પર્શક છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x + y + 2 = 0$ નું લંબ અંતર એ ત્રિજ્યા $\sqrt{a}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
તેથી $d = \sqrt{a}$ હોવાથી,$\sqrt{a} = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.

(B) આપેલ છે $S = \frac{7}{5} + \frac{9}{5^{2}} + \frac{13}{5^{3}} + \frac{19}{5^{4}} + \ldots$ $(1)$
$\frac{1}{5}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{5} S = \frac{7}{5^{2}} + \frac{9}{5^{3}} + \frac{13}{5^{4}} + \ldots$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{4}{5} S = \frac{7}{5} + \frac{2}{5^{2}} + \frac{4}{5^{3}} + \frac{6}{5^{4}} + \ldots$
અહીં $T = \frac{2}{5^{2}} + \frac{4}{5^{3}} + \frac{6}{5^{4}} + \ldots$ લેતા,
$\frac{4}{5} T = \frac{2}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{2}{5^{4}} + \ldots = \frac{1}{10}$
તેથી $T = \frac{1}{8}$
$\frac{4}{5} S = \frac{7}{5} + \frac{1}{8} = \frac{61}{40}$
$S = \frac{61}{32}$
$160 \,S = 160 \times \frac{61}{32} = 305$

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0$ છે. કેન્દ્ર $B(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
$AB = \sqrt{(3-1)^{2} + (1-(-2))^{2}} = \sqrt{13}$.
કાટકોણ $\triangle ABP$ માં,$AP = \sqrt{AB^{2} - BP^{2}} = \sqrt{13-4} = 3$.
$AR = \frac{AP^{2}}{AB} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ અને $BR = \frac{BP^{2}}{AB} = \frac{4}{\sqrt{13}}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\text{Area } \triangle APQ}{\text{Area } \triangle BPQ} = \frac{AR}{BR} = \frac{9/\sqrt{13}}{4/\sqrt{13}} = \frac{9}{4}$.
તેથી,$8 \times \frac{9}{4} = 18$.

(B) ધારો કે લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \int_{2}^{\sec ^{2} x} f(t) dt}{x^{2}-\frac{\pi^{2}}{16}}$ છે.
આ સ્વરૂપ $\frac{0}{0}$ હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(\sec^2 x) \cdot \frac{d}{dx}(\sec^2 x)}{2x}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx}(\sec^2 x) = 2 \sec x \cdot \sec x \tan x = 2 \sec^2 x \tan x$.
આ કિંમત મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(\sec^2 x) \cdot 2 \sec^2 x \tan x}{2x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ લેતા,$\sec^2 x = 2$,$\tan x = 1$,અને $x = \frac{\pi}{4}$.
$L = \frac{\frac{\pi}{4} \cdot f(2) \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot \frac{\pi}{4}} = \frac{\pi \cdot f(2)}{\frac{\pi}{2}} = 2 f(2)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ (implication) $p \rightarrow q$ એ $\sim p \vee q$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
તેથી,ગર્ભિતાર્થનું નિષેધ (negation) નીચે મુજબ છે:
$\sim(p \rightarrow q) \equiv \sim(\sim p \vee q)$
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(\sim p \vee q) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$.
આમ,$p \wedge \sim q$ એ $\sim(p \rightarrow q)$ ને સમાન છે.

(B) $64$ ચોરસમાંથી $2$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{64}C_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${}^{64}C_{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 32 \times 63 = 2016$.
સામાન્ય બાજુ ધરાવતા ચોરસની જોડીઓની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આડી અને ઊભી નજીકની જોડીઓની ગણતરી કરીએ છીએ.
$8$ ચોરસની દરેક હરોળમાં,નજીકના ચોરસની $7$ જોડીઓ છે. $8$ હરોળ હોવાથી,કુલ $8 \times 7 = 56$ આડી જોડીઓ છે.
તે જ રીતે,$8$ ચોરસની દરેક સ્તંભમાં,નજીકના ચોરસની $7$ જોડીઓ છે. $8$ સ્તંભ હોવાથી,કુલ $8 \times 7 = 56$ ઊભી જોડીઓ છે.
સામાન્ય બાજુ ધરાવતી કુલ જોડીઓ $= 56 + 56 = 112$.
સંભાવના $= \frac{112}{2016} = \frac{112}{32 \times 63} = \frac{16}{32 \times 9} = \frac{1}{2 \times 9} = \frac{1}{18}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos x(4 \sin(\frac{\pi}{4}+x) \sin(\frac{\pi}{4}-x)-1)=1$
નિત્યસમ $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos x(4(\sin^2(\frac{\pi}{4}) - \sin^2 x) - 1) = 1$
$2 \cos x(4(\frac{1}{2} - \sin^2 x) - 1) = 1$
$2 \cos x(2 - 4\sin^2 x - 1) = 1$
$2 \cos x(1 - 4\sin^2 x) = 1$
$1 - 4\sin^2 x = 4\cos^2 x - 3$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$2 \cos x(4\cos^2 x - 3) = 1$
$8\cos^3 x - 6\cos x = 1$
$4\cos^3 x - 3\cos x = \frac{1}{2}$
ત્રિ-ગુણિત નિત્યસમ $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 3x = \frac{1}{2}$
$x \in [0, \pi]$ હોવાથી,$3x \in [0, 3\pi]$.
$3x$ માટેના ઉકેલો $\frac{\pi}{3}, 2\pi - \frac{\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}$ છે,એટલે કે $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
ઉકેલોની સંખ્યા $n = 3$.
સરવાળો $S = \frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} = \frac{13\pi}{9}$.

(B) શિરોબિંદુ $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ અને નિયામિકા $y = k - a = \frac{1}{2}$ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ છે.
અહીં $k - a = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{3}{4} - a = \frac{1}{2}$,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
સમીકરણ $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} \left(y - \frac{3}{4}\right)$,એટલે કે $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = y - \frac{3}{4}$ થાય.
$x = -\frac{1}{2}$ માટે,$\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right)^2 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow 1 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y = \frac{7}{4}$. આમ,$P = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right)$.
પરવલયના સમીકરણનું વિકલન કરતા: $2\left(x - \frac{1}{2}\right) = \frac{dy}{dx}$.
$x = -\frac{1}{2}$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) = -2$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{1}{2}$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{7}{4} = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2}\right) \Rightarrow y = \frac{x}{2} + 2$.
પરવલયના સમીકરણમાં $y = \frac{x}{2} + 2$ મૂકતા: $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{x}{2} + 2\right) - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$.
$x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 = 0$ $\Rightarrow (2x + 1)(x - 2) = 0$.
$x = -\frac{1}{2}$ એ $P$ છે,તેથી $Q$ માટે $x = 2$. તો $y = \frac{2}{2} + 2 = 3$,એટલે કે $Q = (2, 3)$.
$(PQ)^2 = \left(2 - (-\frac{1}{2})\right)^2 + \left(3 - \frac{7}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{16} = \frac{125}{16}$.

(A) ધારો કે $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
જો $\alpha$ બીજ હોય,તો $\alpha^{2}-2$ પણ બીજ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $\alpha = \beta$. તો $\alpha = \alpha^{2}-2$,તેથી $\alpha^{2}-\alpha-2=0$,જે $\alpha=2$ અથવા $\alpha=-1$ આપે છે.
જો $\alpha=2$,તો $x^{2}-4x+4=0$,તેથી $(a, b) = (-4, 4)$.
જો $\alpha=-1$,તો $x^{2}+2x+1=0$,તેથી $(a, b) = (2, 1)$.
કિસ્સો $2$: $\alpha \neq \beta$. બીજનો ગણ $S = \{\alpha, \beta\}$ એ $f(x) = x^{2}-2$ દ્વારા પોતાની જાત પર મેપ થવો જોઈએ.
પેટાકિસ્સો $2.1$: $f(\alpha)=\alpha$ અને $f(\beta)=\beta$. આનાથી $\alpha, \beta \in \{2, -1\}$ મળે છે. $\alpha \neq \beta$ હોવાથી,$\{\alpha, \beta\} = \{2, -1\}$. તેથી $a = -(\alpha+\beta) = -1$ અને $b = \alpha\beta = -2$. એટલે કે $(a, b) = (-1, -2)$.
પેટાકિસ્સો $2.2$: $f(\alpha)=\beta$ અને $f(\beta)=\alpha$. તો $\alpha^{2}-2=\beta$ અને $\beta^{2}-2=\alpha$. બાદબાકી કરતા $\alpha^{2}-\beta^{2} = \beta-\alpha$ મળે,તેથી $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+1)=0$. $\alpha \neq \beta$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -1$. વળી $\alpha^{2}+\beta^{2}-4 = \alpha+\beta = -1$,તેથી $(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = 3$,જે $1-2\alpha\beta=3$ આપે છે,તેથી $\alpha\beta=-1$. આમ $a = -(\alpha+\beta) = 1$ અને $b = \alpha\beta = -1$. એટલે કે $(a, b) = (1, -1)$.
પેટાકિસ્સો $2.3$: $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ (અથવા $\beta$). જો $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ હોય,તો $\alpha^{2}-2=\alpha$ અને $\beta^{2}-2=\alpha$. તેથી $\alpha \in \{2, -1\}$. જો $\alpha=2$,તો $\beta^{2}-2=2$ $\Rightarrow \beta^{2}=4$ $\Rightarrow \beta=-2$ (કારણ કે $\beta \neq \alpha$). તો $a = -(2-2)=0$ અને $b = 2(-2)=-4$. એટલે કે $(a, b) = (0, -4)$. જો $\alpha=-1$,તો $\beta^{2}-2=-1$ $\Rightarrow \beta^{2}=1$ $\Rightarrow \beta=1$ (કારણ કે $\beta \neq \alpha$). તો $a = -(-1+1)=0$ અને $b = -1(1)=-1$. એટલે કે $(a, b) = (0, -1)$.
આવી $6$ જોડીઓ છે: $(2, 1), (-4, 4), (-1, -2), (1, -1), (0, -4), (0, -1)$.

(A) $S_{n}$ ના સરવાળાનું સામાન્ય પદ $T_{r} = r(n-r)$ છે,જ્યાં $r = 1$ થી $n-1$.
$S_{n} = \sum_{r=1}^{n-1} (nr - r^{2}) = n \sum_{r=1}^{n-1} r - \sum_{r=1}^{n-1} r^{2}$.
$S_{n} = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.
હવે,સરવાળાની અંદરનું પદ ધ્યાનમાં લો: $\frac{2 S_{n}}{n!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{2 n(n-1)(n+1)}{6 n(n-1)(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!}$.
$= \frac{n+1}{3(n-2)!} - \frac{1}{(n-2)!} = \frac{n+1-3}{3(n-2)!} = \frac{n-2}{3(n-2)!} = \frac{1}{3(n-3)!}$.
$n=4$ થી $\infty$ સુધીનો સરવાળો: $\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{3(n-3)!} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{3} (e-1)$.

(C) $15$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા ${}^{15}C_{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ છે.
આપણે એવા ત્રિકોણોની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેમાં $i+j+k \neq 15$ હોય,જ્યાં $1 \leq i < j < k \leq 15$.
પ્રથમ,આપણે $i+j+k = 15$ હોય તેવી $(i, j, k)$ ની સંખ્યા ગણીએ,જ્યાં $1 \leq i < j < k$ છે.
- જો $i=1$: $j+k=14$. શક્ય $(j, k)$ જોડીઓ $(2, 12), (3, 11), (4, 10), (5, 9), (6, 8)$ છે. ($5$ કિસ્સાઓ)
- જો $i=2$: $j+k=13$. શક્ય $(j, k)$ જોડીઓ $(3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7)$ છે. ($4$ કિસ્સાઓ)
- જો $i=3$: $j+k=12$. શક્ય $(j, k)$ જોડીઓ $(4, 8), (5, 7)$ છે. ($2$ કિસ્સાઓ)
- જો $i=4$: $j+k=11$. શક્ય $(j, k)$ જોડી $(5, 6)$ છે. ($1$ કિસ્સો)
$i+j+k=15$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $5+4+2+1 = 12$ છે.
આમ,$i+j+k \neq 15$ હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $455 - 12 = 443$ છે.

(B) આપેલ છે $\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{4}{9}$.
$a_{n+1} = a_{n} + d$ હોવાથી,$\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$.
તેથી,$\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{21}} \right) = \frac{4}{9}$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{a_{21} - a_{1}}{a_{1} a_{21}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{20d}{a_{1} a_{21}} \right) = \frac{20}{a_{1} a_{21}} = \frac{4}{9} \implies a_{1} a_{21} = 45$.
$21$ પદોનો સરવાળો $S_{21} = \frac{21}{2} (a_{1} + a_{21}) = 189 \implies a_{1} + a_{21} = 18$.
$a_{1} + a_{21} = 18$ અને $a_{1} a_{21} = 45$ છે. સમીકરણ $x^{2} - 18x + 45 = 0$ ના બીજ $a_{1}, a_{21}$ છે.
$(x - 15)(x - 3) = 0 \implies \{a_{1}, a_{21}\} = \{3, 15\}$.
કિસ્સો $1$: $a_{1} = 3, a_{21} = 15 \implies 3 + 20d = 15 \implies d = 0.6$.
કિસ્સો $2$: $a_{1} = 15, a_{21} = 3 \implies 15 + 20d = 3 \implies d = -0.6$.
$a_{6} a_{16} = (a_{1} + 5d)(a_{1} + 15d)$.
કિસ્સો $1$ માટે: $(3 + 5(0.6))(3 + 15(0.6)) = (3 + 3)(3 + 9) = 6 \times 12 = 72$.
કિસ્સો $2$ માટે: $(15 + 5(-0.6))(15 + 15(-0.6)) = (15 - 3)(15 - 9) = 12 \times 6 = 72$.
આમ,$a_{6} a_{16} = 72$.

(B) વક્રો $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ અને $x^{2}+y^{2}=3$ નું પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ $P(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ છે.
ઉપવલય માટે સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{1} = -\frac{x}{9y} = -\frac{3/2}{9(\sqrt{3}/2)} = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$.
વર્તુળ માટે સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{2} = -\frac{x}{y} = -\frac{3/2}{\sqrt{3}/2} = -\sqrt{3}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = |\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{-1/(3\sqrt{3}) + \sqrt{3}}{1 + 1/3}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે $f(x) = x^{6} + 2x^{4} + x^{3} + 2x + 3$.
પ્રથમ,$f(1) = 1^{6} + 2(1)^{4} + 1^{3} + 2(1) + 3 = 9$ ગણો.
લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{n} f(1) - f(x)}{x - 1} = 44$ છે.
એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{n x^{n-1} f(1) - f'(x)}{1} = 44$.
$f'(x) = 6x^{5} + 8x^{3} + 3x^{2} + 2$ છે.
$x = 1$ માટે,$f'(1) = 19$.
તેથી,$9n - 19 = 44$.
$9n = 63$.
$n = 7$.

(C) આપેલ શરત $|z-(2+2 i)| \leq 1$ છે. આ સંકર સમતલમાં $2+2 i$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપણે $|3 i z+6|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવું છે.
$|3 i z+6| = 3 |z - (-2 i)|$.
આ પદ $z$ નું $0-2 i$ બિંદુથી અંતર $3$ ગણું દર્શાવે છે.
આ અંતરને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે વર્તુળ પરનું એવું બિંદુ $z$ શોધવું પડે જે $0-2 i$ થી સૌથી દૂર હોય.
આકૃતિ મુજબ,મહત્તમ અંતર $3+2 i$ બિંદુ પર મળે છે.
તેથી $a+i b = 3+2 i$.
આમ,$a=3$ અને $b=2$.
$a+b = 3+2 = 5$.

(D) આપેલ રેખાઓના છેદબિંદુઓ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે. ધારો કે આ બિંદુઓ $D(1, 2)$,$E(7, 5)$ અને $F(2, 3)$ છે.
મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $(\Delta DEF)$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |1(5 - 3) + 7(3 - 2) + 2(2 - 5)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |1(2) + 7(1) + 2(-3)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |2 + 7 - 6| = \frac{1}{2} |3| = 1.5$
મૂળ ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ મધ્યબિંદુઓને જોડતા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું હોય છે:
$\text{Area}(ABC) = 4 \times \Delta DEF = 4 \times 1.5 = 6$.

(B) $FARMER$ શબ્દના અક્ષરો $A, E, F, M, R, R$ છે. કુલ અક્ષરો = $6$. બે $R$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ $RR$ ને એક એકમ તરીકે ગણીને ગણવામાં આવે છે. $FARMER$ ની કુલ ગોઠવણીઓ $\frac{6!}{2!} = 360$ છે. $RR$ સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ $5! = 120$ છે. તેથી,કુલ માન્ય ગોઠવણીઓ = $360 - 120 = 240$.
શબ્દકોશના ક્રમમાં $FARMER$ નો ક્રમ શોધવા માટે:
$1$. $A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} - 4! = 60 - 24 = 36$.
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $\frac{5!}{2!} - 4! = 60 - 24 = 36$.
$3$. $FA...$ થી શરૂ થતા શબ્દો:
- $FAE...$: $3! = 6$.
- $FAM...$: $3! = 6$.
- $FAR...$: $E, M, R$ ને ગોઠવતા $3! = 6$.
- $FARE...$: $2! = 2$.
- $FARM...$: $2! = 2$.
- $FARMER$: $1$.
સરવાળો: $36 + 36 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 77$.

(C) $(x+y)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $x=1$ અને $y=1$ મૂકીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,$(1+1)^{n} = 2^{n} = 4096$.
કારણ કે $2^{12} = 4096$,તેથી $n = 12$.
$(x+y)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક એ મધ્યમ પદનો સહગુણક છે,જે જ્યારે $n$ બેકી હોય ત્યારે $^{n}C_{n/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 12$ માટે,સૌથી મોટો સહગુણક $^{12}C_{6}$ છે.
$^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.

(D) અચળ ઝડપે લાગતો સમય ન્યૂનતમ કરવા માટે,કુલ અંતર $PR + RQ$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $Q'(0, -2)$ એ $x$-અક્ષ પર $Q(0, 2)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
અંતર $RQ = RQ'$. તેથી,$PR + RQ = PR + RQ'$.
આ સરવાળો ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે $P, R,$ અને $Q'$ સમરેખ હોય.
બિંદુ $P(-3, 4)$ અને $Q'(0, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-2) = \frac{4 - (-2)}{-3 - 0}(x - 0)$
$y + 2 = -2x \implies 2x + y + 2 = 0$.
બિંદુ $R$ એ આ રેખાનું $x$-અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ છે:
$2x + 0 + 2 = 0 \implies x = -1$.
તેથી,$R = (-1, 0)$.
હવે,અંતરના વર્ગની ગણતરી કરો:
$PR^{2} = (-1 - (-3))^{2} + (0 - 4)^{2} = (2)^{2} + (-4)^{2} = 4 + 16 = 20$.
$RQ^{2} = (0 - (-1))^{2} + (2 - 0)^{2} = (1)^{2} + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$.
અંતે,$50(PR^{2} + RQ^{2})$ ની ગણતરી કરો:
$50(20 + 5) = 50(25) = 1250$.

(A) આપેલ છે કે $\cos B = \frac{3}{5}$,તેથી $\sin B = \frac{4}{5}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = 2R$,જ્યાં $R=5$ છે.
$b = 2(5)\left(\frac{4}{5}\right) = 8$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\frac{3}{5} = \frac{a^2 + 25 - 64}{10a}$ $\Rightarrow 6a = a^2 - 39$ $\Rightarrow a^2 - 6a - 39 = 0$.
$a = 3 + 4\sqrt{3}$ (ધન કિંમત લેતા).
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}(3 + 4\sqrt{3})(5)\left(\frac{4}{5}\right) = 6 + 8\sqrt{3}$.

(D) $EXAMINATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $A, A, E, I, I, M, M, N, N, O, T$.
આ $11$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $n(S) = \frac{11!}{2! 2! 2!}$ છે,જ્યાં $2!$ એ $A, I, M,$ અને $N$ ના પુનરાવર્તનને દર્શાવે છે.
ચોથા સ્થાને $M$ હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે એક $M$ ને ચોથા સ્થાને નિશ્ચિત કરીએ છીએ અને બાકીના $10$ અક્ષરો $(A, A, E, I, I, M, N, N, O, T)$ ને ગોઠવીએ છીએ.
આવી ગોઠવણીની સંખ્યા $n(A) = \frac{10!}{2! 2! 2!}$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\frac{10!}{2! 2! 2!}}{\frac{11!}{2! 2! 2!}} = \frac{10!}{11!} = \frac{1}{11}$ છે.

(A) ધારો કે $6$ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ છે. આપેલ છે કે $x_1=2, x_2=4, x_3=5, x_4=7$. ધારો કે $x_5=a$ અને $x_6=b$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+4+5+7+a+b}{6} = 6.5$.
$18+a+b = 39$ $\Rightarrow a+b = 21$ $\Rightarrow b = 21-a$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 10.25$.
$\frac{2^2+4^2+5^2+7^2+a^2+b^2}{6} - (6.5)^2 = 10.25$.
$\frac{4+16+25+49+a^2+b^2}{6} = 10.25 + 42.25 = 52.5$.
$94 + a^2 + b^2 = 315 \Rightarrow a^2 + b^2 = 221$.
$b = 21-a$ મૂકતા: $a^2 + (21-a)^2 = 221$.
$a^2 + 441 - 42a + a^2 = 221$.
$2a^2 - 42a + 220 = 0 \Rightarrow a^2 - 21a + 110 = 0$.
$(a-10)(a-11) = 0$.
તેથી,બાકીના બે અવલોકનો $10$ અને $11$ છે.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+2(a+4)x-5a+64 > 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચું હોય તે માટે તેનો વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [2(a+4)]^{2} - 4(1)(-5a+64) < 0$
$4(a^{2}+8a+16) + 20a - 256 < 0$
$4a^{2} + 32a + 64 + 20a - 256 < 0$
$4a^{2} + 52a - 192 < 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $a^{2} + 13a - 48 < 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(a+16)(a-3) < 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a \in (-16, 3)$.
$a$ એ $[-5, 30]$ ની વચ્ચેનો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $a$ ની શક્ય કિંમતો $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
સાનુકૂળ કિંમતોની સંખ્યા $8$ છે.
$[-5, 30]$ ની વચ્ચેના કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $30 - (-5) + 1 = 36$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2} + 3^{1/4}x + 3^{1/2} = 0$ છે.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^{2} + 3^{1/2} = -3^{1/4}\alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha^{2} + 3^{1/2})^{2} = 3^{1/2}\alpha^{2}$.
$\alpha^{4} + 3^{1/2}\alpha^{2} + 3 = 0$.
$(\alpha^{2} - 3^{1/2})$ વડે ગુણતા: $\alpha^{6} - (3^{1/2})^{3} = 0$.
$\alpha^{6} = 3 \sqrt{3}$.
તેથી $\alpha^{12} = (3 \sqrt{3})^{2} = 27 = 3^{3}$.
$\alpha^{96} = (\alpha^{12})^{8} = (3^{3})^{8} = 3^{24}$.
તે જ રીતે,$\beta^{12} = 27$ અને $\beta^{96} = 3^{24}$.
અભિવ્યક્તિ $\alpha^{96}(\alpha^{12}-1) + \beta^{96}(\beta^{12}-1) = 3^{24}(26) + 3^{24}(26) = 52 \times 3^{24}$.

(C) આપેલ છે કે $|z \omega| = 1$ અને $\arg(z) - \arg(\omega) = \frac{3 \pi}{2}$.
ધારો કે $z = r e^{i \theta_1}$ અને $\omega = \frac{1}{r} e^{i \theta_2}$.
તેથી $\bar{z} = r e^{-i \theta_1}$.
આમ,$\bar{z} \omega = r e^{-i \theta_1} \cdot \frac{1}{r} e^{i \theta_2} = e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
કારણ કે $\theta_1 - \theta_2 = \frac{3 \pi}{2}$,તેથી $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{3 \pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.
તેથી,$\bar{z} \omega = e^{i \pi/2} = i$.
હવે,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - 2 \bar{z} \omega}{1 + 3 \bar{z} \omega} = \frac{1 - 2i}{1 + 3i}$.
કોણાંક શોધવા માટે,છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા વડે ગુણતા:
$\frac{1 - 2i}{1 + 3i} \times \frac{1 - 3i}{1 - 3i} = \frac{1 - 3i - 2i + 6i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{1 - 5i - 6}{10} = \frac{-5 - 5i}{10} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
આ સંકર સંખ્યા ત્રીજા ચરણમાં આવેલી છે.
તેનો કોણાંક $\tan^{-1}\left(\frac{-1/2}{-1/2}\right) - \pi = \tan^{-1}(1) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3 \pi}{4}$ થાય.

(C) આપેલ પદાવલિ: $y = (1-x)(1-x)^{100}(x^{2}+x+1)^{100}$
$(1-x)(1+x+x^{2}) = (1-x^{3})$ હોવાથી,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = (1-x)((1-x)(1+x+x^{2}))^{100} = (1-x)(1-x^{3})^{100}$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$y = (1-x^{3})^{100} - x(1-x^{3})^{100}$
આપણે $x^{256}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
$(1-x^{3})^{100}$ માં,સામાન્ય પદ $^{100}C_{r}(-1)^{r}(x^{3})^{r} = ^{100}C_{r}(-1)^{r}x^{3r}$ છે.
$x^{256}$ માટે,$3r = 256$ શક્ય નથી.
$-x(1-x^{3})^{100}$ માં,આપણે $(1-x^{3})^{100}$ માં $x^{255}$ નો સહગુણક શોધવો પડે.
$3r = 255$ લેતા,$r = 85$ મળે છે.
પદ $-1 \times (^{100}C_{85}(-1)^{85}x^{255}) = -1 \times (^{100}C_{85} \times -1)x^{255} = ^{100}C_{85}x^{255}$ થાય.
$^{100}C_{85} = ^{100}C_{15}$ હોવાથી,સહગુણક $^{100}C_{15}$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=2x$ છે,તેથી $4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$ છે.
$P(2,2)$ આગળનો સ્પર્શક $yy_{1}=2a(x+x_{1})$ દ્વારા મળે છે.
$P(2,2)$ અને $a=\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $2y=1(x+2) \Rightarrow x-2y+2=0$ મળે છે.
$Q$ શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકો: $x-2(0)+2=0 \Rightarrow x=-2$. આમ,$Q=(-2,0)$ છે.
$P(2,2)$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $m=\frac{1}{2}$ છે. $P$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $m'=-\frac{1}{m}=-2$ છે.
$P(2,2)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y-2=-2(x-2) \Rightarrow y=-2x+6$ છે.
$R$ શોધવા માટે,$y=-2x+6$ ને $y^{2}=2x$ માં મૂકો:
$(-2x+6)^{2}=2x$ $\Rightarrow 4x^{2}-24x+36=2x$ $\Rightarrow 4x^{2}-26x+36=0$ $\Rightarrow 2x^{2}-13x+18=0$.
$(2x-9)(x-2)=0$. $x=2$ એ બિંદુ $P$ હોવાથી,$R$ નો $x$-યામ $x=\frac{9}{2}$ છે.
તેથી $y=-2(\frac{9}{2})+6=-9+6=-3$. આમ,$R=(\frac{9}{2}, -3)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $P(2,2)$,$Q(-2,0)$,અને $R(\frac{9}{2}, -3)$ ધરાવતા $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$
$= \frac{1}{2} |2(0 - (-3)) + (-2)(-3 - 2) + \frac{9}{2}(2 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |2(3) + (-2)(-5) + \frac{9}{2}(2)|$
$= \frac{1}{2} |6 + 10 + 9| = \frac{1}{2} |25| = \frac{25}{2} \ sq. \ units$.

(A) આપેલ બુલિયન પદાવલિને તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવતા:
આપેલ પદાવલિ: $(p \wedge \sim q) \Rightarrow (q \vee \sim p)$
ગર્ભિતાર્થ (implication) ના નિયમ $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv \sim (p \wedge \sim q) \vee (q \vee \sim p)$
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\equiv (\sim p \vee q) \vee (q \vee \sim p)$
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમ મુજબ:
$\equiv (\sim p \vee \sim p) \vee (q \vee q)$
$\equiv \sim p \vee q$
કારણ કે $\sim p \vee q \equiv p \Rightarrow q$,તેથી આ પદાવલિ $p \Rightarrow q$ ને સમકક્ષ છે.

(B) $(4^{1/4} + 5^{1/6})^{120}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (4^{1/4})^{120-r} (5^{1/6})^r$
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (2^{1/2})^{120-r} (5^{r/6})$
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (2^{60 - r/2}) (5^{r/6})$
પદ સંમેય હોવા માટે,$2$ અને $5$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$r/2$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ (તેથી $r$ એ $2$ નો ગુણક છે) અને $r/6$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ (તેથી $r$ એ $6$ નો ગુણક છે).
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(2, 6) = 6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \leq r \leq 120$ આપેલ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 6, 12, \dots, 120$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં $a = 0$,$d = 6$,અને $l = 120$.
પદોની સંખ્યા $n = 21$ મળે છે.

(C) કુલ ખેલાડીઓ = $15$ ($6$ બોલરો,$7$ બેટ્સમેન,$2$ વિકેટકીપર).
આપણે $11$ ખેલાડીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછા $4$ બોલરો,$5$ બેટ્સમેન અને $1$ વિકેટકીપર હોય.
(બોલરો,બેટ્સમેન,વિકેટકીપર) માટે શક્ય કિસ્સાઓ:
$1$. $(4, 5, 2): {}^{6}C_{4} \times {}^{7}C_{5} \times {}^{2}C_{2} = 15 \times 21 \times 1 = 315$
$2$. $(4, 6, 1): {}^{6}C_{4} \times {}^{7}C_{6} \times {}^{2}C_{1} = 15 \times 7 \times 2 = 210$
$3$. $(5, 5, 1): {}^{6}C_{5} \times {}^{7}C_{5} \times {}^{2}C_{1} = 6 \times 21 \times 2 = 252$
કુલ સરવાળો: $315 + 210 + 252 = 777$.
આમ,પસંદગીની કુલ રીતો $777$ છે.

(C) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0}(2-\cos x \sqrt{\cos 2 x})^{\frac{x+2}{x^{2}}}$.
આ $1^{\infty}$ સ્વરૂપ છે.
સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} (f(x)-1)g(x)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0} (2-\cos x \sqrt{\cos 2 x}-1) \left(\frac{x+2}{x^{2}}\right)}$
$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0} (1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}) \left(\frac{x+2}{x^{2}}\right)}$
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\frac{x+2}{x^2} \approx \frac{2}{x^2}$.
તેથી,$L = e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}}{x^2} \times 2}$.
ધારો કે $f(x) = 1-\cos x \sqrt{\cos 2 x}$. ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ અને $\sqrt{\cos 2 x} = (1 - 2x^2)^{1/2} \approx 1 - x^2$.
$f(x) \approx 1 - (1 - \frac{x^2}{2})(1 - x^2) = 1 - (1 - x^2 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{2}) \approx \frac{3x^2}{2}$.
આમ,$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$L = e^{\frac{3}{2} \times 2} = e^3$.
$e^a$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$ મળે છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=-64x$ છે. $y^{2}=-4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=16$ મળે. નાભિ $(-16, 0)$ છે.
$y=mx+c$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,તે $(-16, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = m(-16) + c$,જે $c=16m$ આપે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ વર્તુળ $(x+10)^{2}+y^{2}=4$ ને સ્પર્શે છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-10, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
કેન્દ્ર $(-10, 0)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r=2$ જેટલું છે.
$\frac{|m(-10)-0+c|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}} = 2$
$|c-10m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$.
$c=16m$ મૂકતા,$|16m-10m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$,તેથી $|6m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$.
$m>0$ હોવાથી,$3m = \sqrt{m^{2}+1}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9m^{2} = m^{2}+1$,તેથી $8m^{2}=1$,જે $m=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ આપે છે.
ત્યારબાદ $c = 16m = 16 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$.
અંતે,$4\sqrt{2}(m+c) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{8}{\sqrt{2}}) = 4\sqrt{2}(\frac{1+16}{2\sqrt{2}}) = 2(17) = 34$.

(D) આપેલ વિસ્તરણ $(1-y)^{m}(1+y)^{n} = (1 - my + \frac{m(m-1)}{2}y^2 - \ldots)(1 + ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 + \ldots)$ છે.
$y$ નો સહગુણક $a_1 = n - m = 10$ છે $\ldots(1)$.
$y^2$ નો સહગુણક $a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - mn + \frac{m(m-1)}{2} = 10$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,$n^2 - n - 2mn + m^2 - m = 20$ મળે.
ગોઠવતા,$(n-m)^2 - (n+m) = 20$ મળે.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $n-m = 10$ મૂકતા,$10^2 - (n+m) = 20$ મળે.
$100 - (n+m) = 20$.
$n+m = 100 - 20 = 80$.

(C) આપેલ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} + 2x + 4y - 4 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C$ $(-1, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = 3$ છે.
બિંદુ $P(-4, 1)$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર $CP = 3 \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $O$ (જે વર્તુળ $C$ પર છે) અને બિંદુ $P$ વચ્ચેનું અંતર છે.
ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા $r_{2} = CP - R = 3 \sqrt{2} - 3$ અને મહત્તમ ત્રિજ્યા $r_{1} = CP + R = 3 \sqrt{2} + 3$ છે.
$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{3 \sqrt{2} + 3}{3 \sqrt{2} - 3} = 3 + 2 \sqrt{2}$.
તેથી $a = 3$ અને $b = 2$ મળે છે.
માટે $a + b = 3 + 2 = 5$.

(D) આપેલ $6$ અવલોકનો માટે મધ્યક $\bar{x} = 10$ છે:
$\frac{7+10+11+15+a+b}{6} = 10$
$43+a+b = 60 \Rightarrow a+b = 17 \quad (i)$
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{20}{3}$ છે:
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
$\frac{20}{3} = \frac{7^2+10^2+11^2+15^2+a^2+b^2}{6} - 10^2$
$\frac{20}{3} + 100 = \frac{495+a^2+b^2}{6}$
$640 = 495 + a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 145 \quad (ii)$
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$17^2 = 145 + 2ab$ $\Rightarrow 289 = 145 + 2ab$ $\Rightarrow ab = 72$
હવે,$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 289 - 288 = 1$
$|a-b| = 1$

(A) આપેલ શ્રેણી $\log _{9^{1/2}} x + \log _{9^{1/3}} x + \log _{9^{1/4}} x + \dots$ છે.
$\log_{a^b} x = \frac{1}{b} \log_a x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,પદો નીચે મુજબ થાય છે:
$2 \log_9 x + 3 \log_9 x + 4 \log_9 x + \dots$
આ $21$ પદોની સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2 \log_9 x$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \log_9 x$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ છે.
$n = 21$ માટે,$S_{21} = \frac{21}{2} [2(2 \log_9 x) + (21-1) \log_9 x] = 504$.
$S_{21} = \frac{21}{2} [4 \log_9 x + 20 \log_9 x] = \frac{21}{2} [24 \log_9 x] = 252 \log_9 x$.
આપેલ છે કે $252 \log_9 x = 504$,તેથી $\log_9 x = 2$.
આમ,$x = 9^2 = 81$.

(B) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે જ્યાં $c$ કર્ણ છે. તેથી,$c^2 = a^2 + b^2$.
આપેલ છે કે બાજુઓના વ્યસ્તથી બનતો ત્રિકોણ પણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,તેથી $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ માં સૌથી મોટી બાજુ કર્ણ હશે. $c$ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,$\frac{1}{c}$ સૌથી નાની છે,તેથી $\frac{1}{a}$ સૌથી મોટી છે.
તેથી,$(\frac{1}{a})^2 = (\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{c})^2$.
$a = c \sin \theta$ અને $b = c \cos \theta$ મૂકતા:
$\frac{1}{c^2 \sin^2 \theta} = \frac{1}{c^2 \cos^2 \theta} + \frac{1}{c^2}$
$\frac{1}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} + 1$
$1 = \tan^2 \theta + \sin^2 \theta$
$1 = \frac{\sin^2 \theta}{1 - \sin^2 \theta} + \sin^2 \theta$
ધારો કે $x = \sin^2 \theta$. તો $x^2 - 3x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sin \theta = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(C) ધારો કે $P = (x, y)$ એ $y = 4x^2 + 1$ પરનું બિંદુ છે. રેખા $PQ$ એ $y = x$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-1$ છે. રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $X + Y = x + y$ છે.
$Q(c, c)$ એ $PQ$ અને $y = x$ પર હોવાથી,$c = \frac{x + y}{2}$.
$Q = (\frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2})$.
$R(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$h = \frac{3x + y}{4}$ અને $k = \frac{x + 3y}{4}$.
$x = \frac{3h - k}{2}$ અને $y = \frac{3k - h}{2}$ મળે છે.
$y = 4x^2 + 1$ માં કિંમત મૂકતા: $\frac{3k - h}{2} = 4(\frac{3h - k}{2})^2 + 1$.
$3k - h = 2(3h - k)^2 + 2$.
$2(3h - k)^2 + (h - 3k) + 2 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $2(3x - y)^2 + (x - 3y) + 2 = 0$ છે.

(A) તર્કશાસ્ત્રમાં,શરતી વિધાન $P \rightarrow Q$ ત્યારે જ ખોટું હોય છે જ્યારે $P$ સાચું હોય અને $Q$ ખોટું હોય. અન્યથા,તે સાચું હોય છે.
વિધાન $(A)$: $P: 3+3=7$ (ખોટું),$Q: 4+3=8$ (ખોટું). $P$ ખોટું હોવાથી,$P \rightarrow Q$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$: $P: 5+3=8$ (સાચું),$Q: \text{પૃથ્વી સપાટ છે}$ (ખોટું). $P$ સાચું અને $Q$ ખોટું હોવાથી,$P \rightarrow Q$ ખોટું છે.
વિધાન $(C)$: $P: (A) \text{ સાચું છે અને } (B) \text{ સાચું છે}$ (ખોટું,કારણ કે $(B)$ ખોટું છે),$Q: 5+6=17$ (ખોટું). $P$ ખોટું હોવાથી,$P \rightarrow Q$ સાચું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે,$(B)$ ખોટું છે,અને $(C)$ સાચું છે.

(A) આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટનનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $A_k = \lim_{a \to -k} \frac{a+k}{a(a+1)\ldots(a+20)}$.
$A_k = \frac{1}{(-k)(-k+1)\ldots(-1)(1)(2)\ldots(20-k)} = \frac{1}{(-1)^k k! (20-k)!}$.
આમ,$A_k = \frac{(-1)^k}{k!(20-k)!}$.
આપણે $\frac{A_{14}+A_{15}}{A_{13}}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$A_{14} = \frac{(-1)^{14}}{14!6!} = \frac{1}{14!6!}$.
$A_{15} = \frac{(-1)^{15}}{15!5!} = -\frac{1}{15!5!}$.
$A_{13} = \frac{(-1)^{13}}{13!7!} = -\frac{1}{13!7!}$.
$\frac{A_{14}}{A_{13}} = \frac{1}{14!6!} \times (-13!7!) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$.
$\frac{A_{15}}{A_{13}} = -\frac{1}{15!5!} \times (-13!7!) = \frac{7 \times 6}{15 \times 14} = \frac{42}{210} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$100\left(\frac{A_{14}}{A_{13}} + \frac{A_{15}}{A_{13}}\right)^2 = 100\left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)^2 = 100\left(-\frac{3}{10}\right)^2 = 100 \times \frac{9}{100} = 9$.

(B) કોઈ બિંદુથી વક્ર સુધીનું લઘુત્તમ અંતર તે બિંદુએ વક્રના અભિલંબ (normal) ની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે પરવલય $y^{2}=6x$ પરનું બિંદુ $P\left(\frac{3}{2}t^{2}, 3t\right)$ છે,જ્યાં $4a=6 \Rightarrow a=\frac{3}{2}$.
બિંદુ $P(t)$ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $tx + y = 2at + at^{3}$ છે.
$a=\frac{3}{2}$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $tx + y = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$ મળે છે.
આ અભિલંબ બિંદુ $\left(3, \frac{3}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$t(3) + \frac{3}{2} = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$
$3t + \frac{3}{2} = 3t + \frac{3}{2}t^{3}$
$\frac{3}{2} = \frac{3}{2}t^{3}$
$t^{3} = 1 \Rightarrow t = 1$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $\left(\frac{3}{2}(1)^{2}, 3(1)\right) = \left(\frac{3}{2}, 3\right)$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{3}{2}$ અને $\beta = 3$.
$2(\alpha+\beta) = 2\left(\frac{3}{2} + 3\right) = 2\left(\frac{9}{2}\right) = 9$.

(C) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x \sin ^{2} x}=10$.
$\sin x \approx x$ હોવાથી,પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x^{3}}=10$ બને છે.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા:
$e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\dots$
$\log _{e}(1+x) = x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots$
$e^{-x} = 1-x+\frac{x^{2}}{2}-\dots$
કિંમતો મુકતા:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\alpha x(1+x+\frac{x^{2}}{2}) - \beta(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}) + \gamma x^{2}(1-x)}{x^{3}} = 10$
$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{x(\alpha-\beta) + x^{2}(\alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma) + x^{3}(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma)}{x^{3}} = 10$
લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે $x$ અને $x^{2}$ ના સહગુણકો $0$ હોવા જોઈએ:
$1) \alpha-\beta = 0 \Rightarrow \alpha = \beta$
$2) \alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -\frac{3\alpha}{2}$
$3) \frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma = 10$
$\alpha, \beta, \gamma$ ની કિંમતો મુકતા:
$\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{3}-(-\frac{3\alpha}{2}) = 10$ $\Rightarrow \frac{10\alpha}{6} = 10$ $\Rightarrow \alpha = 6$.
તેથી,$\alpha = 6, \beta = 6, \gamma = -9$.
$\alpha+\beta+\gamma = 6+6-9 = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _{(x+1)}(2 x^{2}+7 x+5)+\log _{(2 x+5)}(x+1)^{2}-4=0$.
અવયવ પાડતા: $2x^2+7x+5 = (2x+5)(x+1)$.
લોગના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\log _{(x+1)}(2x+5)(x+1) + 2\log _{(2x+5)}(x+1) - 4 = 0$.
$\log _{(x+1)}(2x+5) + 1 + 2\log _{(2x+5)}(x+1) - 4 = 0$.
ધારો કે $t = \log _{(x+1)}(2x+5)$. તો $\log _{(2x+5)}(x+1) = \frac{1}{t}$.
સમીકરણ $t + 1 + \frac{2}{t} - 4 = 0$ બને છે,જે $t + \frac{2}{t} - 3 = 0$ માં પરિણમે છે.
$t$ વડે ગુણતા: $t^2 - 3t + 2 = 0$,તેથી $(t-1)(t-2) = 0$.
કિસ્સો $1$: $t=1$ $\Rightarrow \log _{(x+1)}(2x+5) = 1$ $\Rightarrow 2x+5 = x+1$ $\Rightarrow x = -4$. $x > 0$ હોવાથી,આ ઉકેલ અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $t=2$ $\Rightarrow \log _{(x+1)}(2x+5) = 2$ $\Rightarrow 2x+5 = (x+1)^2$ $\Rightarrow 2x+5 = x^2+2x+1$ $\Rightarrow x^2 = 4$.
$x > 0$ હોવાથી,$x = 2$.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ મળે છે.

(B) ધારો કે $P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.
આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_{n}$ છે.
$8^{n+2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2a_{n+1}}{8^{n+2}} + \frac{a_{n}}{8^{n+2}}$.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2}{8} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} + \frac{1}{64} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.
ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}} = P$. તો $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} = P - \frac{a_{1}}{8} = P - \frac{1}{8}$.
અને $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = P - \frac{a_{1}}{8} - \frac{a_{2}}{64} = P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64} = \frac{1}{4}(P - \frac{1}{8}) + \frac{1}{64}P$.
$64$ વડે ગુણતા:
$64P - 8 - 1 = 16(P - \frac{1}{8}) + P$.
$64P - 9 = 16P - 2 + P$.
$64P - 9 = 17P - 2$.
$47P = 7$.

(C) પ્રથમ,$\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB^2 = (1 - (-2))^2 + (9 - 3)^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \Rightarrow AB = \sqrt{45}$
$BC^2 = (3 - 1)^2 + (8 - 9)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \Rightarrow BC = \sqrt{5}$
$AC^2 = (3 - (-2))^2 + (8 - 3)^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \Rightarrow AC = \sqrt{50}$
અહીં $AB^2 + BC^2 = 45 + 5 = 50 = AC^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
પરિકેન્દ્ર $= \left(\frac{-2 + 3}{2}, \frac{3 + 8}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{9 + 8}{2}\right) = \left(2, \frac{17}{2}\right)$.
રેખા $L$ એ $\left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$ અને $\left(2, \frac{17}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{\frac{17}{2} - \frac{11}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - \frac{11}{2} = 2(x - \frac{1}{2})$ $\Rightarrow y = 2x - 1 + \frac{11}{2}$ $\Rightarrow y = 2x + \frac{9}{2}$ છે.
આ રેખા $y$-અક્ષને $\left(0, \frac{\alpha}{2}\right)$ પર છેદે છે,તેથી $\frac{\alpha}{2} = \frac{9}{2}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $\alpha = 9$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $[e^{x}]^{2} + [e^{x} + 1] - 3 = 0$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x + n] = [x] + n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $[e^{x} + 1] = [e^{x}] + 1$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $[e^{x}]^{2} + [e^{x}] + 1 - 3 = 0$.
ધારો કે $t = [e^{x}]$. તો સમીકરણ $t^{2} + t - 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t + 2)(t - 1) = 0$,જે $t = -2$ અથવા $t = 1$ આપે છે.
કારણ કે $e^{x} > 0$,$[e^{x}]$ એ $-2$ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,$[e^{x}] = 1$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \leq e^{x} < 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(1) \leq x < \ln(2)$.
કારણ કે $\ln(1) = 0$,આપણને $0 \leq x < \ln(2)$ મળે છે.
તેથી,$x \in [0, \ln 2)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $z^{2}+3 \bar{z}=0$.
ધારો કે $z=x+iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^{2}+3(x-iy)=0$.
$x^{2}-y^{2}+2ixy+3x-3iy=0$.
$(x^{2}-y^{2}+3x) + i(2xy-3y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1) \ 2xy-3y=0 \Rightarrow y(2x-3)=0$.
આથી $y=0$ અથવા $x=\frac{3}{2}$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $y=0$,તો $x^{2}+3x=0 \Rightarrow x(x+3)=0$,તેથી $x=0$ અથવા $x=-3$. ઉકેલો: $(0,0)$ અને $(-3,0)$.
કિસ્સો $2$: જો $x=\frac{3}{2}$,તો $(\frac{3}{2})^{2}-y^{2}+3(\frac{3}{2})=0$ $\Rightarrow \frac{9}{4}-y^{2}+\frac{9}{2}=0$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{27}{4}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$. ઉકેલો: $(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ અને $(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $n=4$.
આપણે $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}} = \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{4})^{k}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=\frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $= \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = -2x + k$ છે. તે અતિવલય $x^2 - y^2 = 3$ $(a^2 = 3, b^2 = 3)$ નો સ્પર્શક હોવાથી,સ્પર્શકની શરત $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ મુજબ:
$k = \sqrt{3(-2)^2 - 3} = \sqrt{3(4) - 3} = \sqrt{9} = 3$ (કારણ કે $k > 0$).
તેથી,રેખા $y = -2x + 3$ છે.
આ રેખા પરવલય $y^2 = \alpha x$ નો સ્પર્શક બને તે માટે,તે $c = \frac{\alpha}{4m}$ ની શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
અહીં,$m = -2$ અને $c = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 = \frac{\alpha}{4(-2)} = \frac{\alpha}{-8}$.
તેથી,$\alpha = 3 \times (-8) = -24$.

(D) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_{10} = 530$,તેથી $\frac{10}{2} \{2a + 9d\} = 530 \Rightarrow 2a + 9d = 106 \quad \dots(1)$.
આપેલ છે કે $S_{5} = 140$,તેથી $\frac{5}{2} \{2a + 4d\} = 140 \Rightarrow 2a + 4d = 56 \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતાં,$5d = 50$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $d = 10$.
$d = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,$2a + 4(10) = 56$ $\Rightarrow 2a = 16$ $\Rightarrow a = 8$.
હવે,$S_{20} - S_{6} = \frac{20}{2} \{2a + 19d\} - \frac{6}{2} \{2a + 5d\}$.
$= 10(2(8) + 19(10)) - 3(2(8) + 5(10))$.
$= 10(16 + 190) - 3(16 + 50)$.
$= 10(206) - 3(66) = 2060 - 198 = 1862$.

(A) દરેક પદાવલિને $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને ચકાસીએ:
$A) (\sim p$ $\Rightarrow q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (p \vee q) \vee (q \vee p) \equiv p \vee q$. આ નિત્યસત્ય નથી કારણ કે તે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે.
$B) (q$ $\Rightarrow p) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim q \vee p) \vee (q \vee p) \equiv (\sim q \vee q) \vee p \equiv T \vee p \equiv T$. આ નિત્યસત્ય છે.
$C) (p$ $\Rightarrow q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim p \vee q) \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. આ નિત્યસત્ય છે.
$D) (p$ $\Rightarrow \sim q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee (\sim q \vee q) \equiv T \vee T \equiv T$. આ નિત્યસત્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ માં આપેલી પદાવલિ નિત્યસત્ય નથી.

(A) $I = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{(1+x)(1+3x)(3+x)} \, dx$
ધારો કે $x = t^2$,તેથી $dx = 2t \, dt$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=1, t=1$.
$I = \int_{0}^{1} \frac{t(2t)}{(t^2+1)(1+3t^2)(3+t^2)} \, dt = \int_{0}^{1} \frac{2t^2}{(t^2+1)(3t^2+1)(t^2+3)} \, dt$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{2t^2}{(t^2+1)(3t^2+1)(t^2+3)} = \frac{A}{t^2+1} + \frac{B}{3t^2+1} + \frac{C}{t^2+3}$
સહગુણકો શોધતા,આપણને $A = \frac{1}{2}, B = -\frac{3}{8}, C = -\frac{1}{8}$ મળે છે.
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+1} - \frac{3}{8} \int_{0}^{1} \frac{dt}{3t^2+1} - \frac{1}{8} \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+3}$
$I = \frac{1}{2} [\tan^{-1}(t)]_{0}^{1} - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} [\tan^{-1}(\sqrt{3}t)]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} [\tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}})]_{0}^{1}$
$I = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4}) - \frac{\sqrt{3}}{8} (\frac{\pi}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{24} (\frac{\pi}{6})$
ગણતરી કરતા,અંતિમ જવાબ $I = \frac{\pi}{8}(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$ મળે છે.

(A) કારણ કે $R(3,5,\gamma)$ એ સમતલ $2x-y+z+3=0$ પર આવેલું છે,તેથી:
$2(3) - 5 + \gamma + 3 = 0$
$6 - 5 + \gamma + 3 = 0$
$4 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -4$.
આમ,$R$ એ $(3,5,-4)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, 1)$ છે. રેખા $QS$ એ $Q(1,3,4)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{n}$ ને સમાંતર છે.
રેખા $QS$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $F(2\lambda+1, -\lambda+3, \lambda+4)$ છે.
$F$ એ $Q$ માંથી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ હોવાથી,તે સમતલ પર આવેલું છે:
$2(2\lambda+1) - (-\lambda+3) + (\lambda+4) + 3 = 0$
$4\lambda + 2 + \lambda - 3 + \lambda + 4 + 3 = 0$
$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $F$ માં મૂકતા,આપણને $F(-1, 4, 3)$ મળે છે.
$F$ એ $QS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,ધારો કે $S = (x_s, y_s, z_s)$:
$\frac{x_s+1}{2} = -1 \Rightarrow x_s = -3$
$\frac{y_s+3}{2} = 4 \Rightarrow y_s = 5$
$\frac{z_s+4}{2} = 3 \Rightarrow z_s = 2$.
તેથી,$S = (-3, 5, 2)$.
રેખાખંડ $SR$ ની લંબાઈનો વર્ગ:
$SR^2 = (3 - (-3))^2 + (5 - 5)^2 + (-4 - 2)^2$
$SR^2 = (6)^2 + (0)^2 + (-6)^2 = 36 + 0 + 36 = 72$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\sum P(X) = K + 2K + 2K + 3K + K = 9K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{9}$.
આપણે $p = P(1 < X < 4 \mid X < 3)$ શોધવાની જરૂર છે.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
અહીં,$A = \{2, 3\}$ અને $B = \{1, 2\}$.
$A \cap B = \{2\}$.
તેથી,$p = \frac{P(X=2)}{P(X=1) + P(X=2)} = \frac{2K}{K + 2K} = \frac{2K}{3K} = \frac{2}{3}$.
આપેલ છે કે $5p = \lambda K$,કિંમતો મૂકતા:
$5 \times \left(\frac{2}{3}\right) = \lambda \times \left(\frac{1}{9}\right)$.
$\frac{10}{3} = \frac{\lambda}{9}$.
$\lambda = \frac{10 \times 9}{3} = 30$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{2 e^{x}+3 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} d x$.
અંશને $2 e^{x}+3 e^{-x} = A(4 e^{x}+7 e^{-x}) + B(4 e^{x}-7 e^{-x})$ સ્વરૂપે લખતા.
$e^{x}$ અને $e^{-x}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$4A + 4B = 2 \Rightarrow A+B = \frac{1}{2}$
$7A - 7B = 3 \Rightarrow A-B = \frac{3}{7}$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2A = \frac{1}{2} + \frac{3}{7} = \frac{7+6}{14} = \frac{13}{14} \Rightarrow A = \frac{13}{28}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2B = \frac{1}{2} - \frac{3}{7} = \frac{7-6}{14} = \frac{1}{14} \Rightarrow B = \frac{1}{28}$.
આમ,$I = \int \left( \frac{13}{28} + \frac{1}{28} \frac{4 e^{x}-7 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} \right) d x$.
$I = \frac{13}{28} x + \frac{1}{28} \log_{e} |4 e^{x}+7 e^{-x}| + C$.
આપેલ સ્વરૂપ $\frac{1}{14}(u x + v \log_{e}(4 e^{x}+7 e^{-x})) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણે $I$ ને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$I = \frac{1}{14} (\frac{13}{2} x + \frac{1}{2} \log_{e}(4 e^{x}+7 e^{-x})) + C$.
સરખામણી કરતા,$u = \frac{13}{2}$ અને $v = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$u+v = \frac{13}{2} + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

(C) ધારો કે $e^{x} = t$. કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{x} > 0$ છે,તેથી $t > 0$ હોવું જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0$ બને છે.
વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $t > 0$ માટે વિધેય $f(t)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
વિકલન મેળવો: $f'(t) = 4t^{3} + 6t^{2} - 1$.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(t) = 12t^{2} + 12t$. $t > 0$ માટે,$f''(t) > 0$,જેનો અર્થ છે કે $t > 0$ માટે $f'(t)$ સતત વધતું વિધેય છે.
$f'(0) = -1$ અને $f'(1) = 4 + 6 - 1 = 9$. કારણ કે $f'(t)$ સતત છે અને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઋણથી ધન તરફ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી એક અનન્ય ઉકેલ $\alpha \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f'(\alpha) = 0$ થાય.
આમ,$f(t)$ એ $(0, \alpha)$ પર ઘટે છે અને $(\alpha, \infty)$ પર વધે છે.
મુખ્ય બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત તપાસો:
$f(0) = -6$
$f(1) = 1 + 2 - 1 - 6 = -4$
$f(2) = 16 + 16 - 2 - 6 = 24$
કારણ કે $f(1) = -4 < 0$ અને $f(2) = 24 > 0$,તેથી 'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,અંતરાલ $(1, 2)$ માં $t$ માટે બરાબર એક ઉકેલ છે.
કારણ કે $t = e^{x} > 0$ છે,અને વિધેય $f(t)$ એ $t > 1$ માટે સતત વધતું વિધેય છે,તેથી $x$ માટે બરાબર એક વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે.

(A) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$(3x-2y+4z-7) + \lambda(x+5y-2z+9) = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(3+\lambda)x + (5\lambda-2)y + (4-2\lambda)z + (9\lambda-7) = 0$ મળે છે.
આ સમતલ બિંદુ $(1,4,-3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$(3+\lambda)(1) + (5\lambda-2)(4) + (4-2\lambda)(-3) + 9\lambda-7 = 0$.
$3 + \lambda + 20\lambda - 8 - 12 + 6\lambda + 9\lambda - 7 = 0$.
$36\lambda - 24 = 0 \Rightarrow 36\lambda = 24 \Rightarrow \lambda = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3 + \frac{2}{3})x + (5(\frac{2}{3}) - 2)y + (4 - 2(\frac{2}{3}))z + (9(\frac{2}{3}) - 7) = 0$.
$(\frac{11}{3})x + (\frac{4}{3})y + (\frac{8}{3})z - 1 = 0$.
$\alpha x + \beta y + \gamma z + 3 = 0$ સ્વરૂપ મેળવવા માટે $-3$ વડે ગુણતા:
$-11x - 4y - 8z + 3 = 0$.
આને $\alpha x + \beta y + \gamma z + 3 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -11$,$\beta = -4$,અને $\gamma = -8$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = -11 - 4 - 8 = -23$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\int_{0}^{x} \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}} \,d t=\int_{0}^{x} f(t) \,d t$ છે,જ્યાં $0 \leq x \leq 1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}=f(x)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=f^{2}(x)$
$\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} = 1 - f^{2}(x)$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{1 - f^{2}(x)}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{1-f^{2}(x)}}=1$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\sin^{-1}(f(x)) = x + C$
$f(0)=0$ હોવાથી,$\sin^{-1}(0) = 0 + C$,એટલે કે $C=0$.
તેથી,$f(x) = \sin(x)$.
હવે,લક્ષની કિંમત મેળવીએ:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} \sin(t) \,dt = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{[-\cos(t)]_{0}^{x}}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}}$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જવાબ $\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $|2 \vec{a}+3 \vec{b}|=|3 \vec{a}+\vec{b}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|2 \vec{a}+3 \vec{b}|^{2}=|3 \vec{a}+\vec{b}|^{2}$ મળે.
$(2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+3 \vec{b}) = (3 \vec{a}+\vec{b}) \cdot (3 \vec{a}+\vec{b})$.
$4|\vec{a}|^{2} + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^{2} = 9|\vec{a}|^{2} + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^{2}$.
પદોને ગોઠવતા,$8|\vec{b}|^{2} - 5|\vec{a}|^{2} + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ મળે.
કારણ કે $\frac{1}{8} \vec{a}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\frac{1}{8} \vec{a}| = 1 \Rightarrow |\vec{a}| = 8$.
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60^{\circ} = 8 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{2} = 4|\vec{b}|$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $8|\vec{b}|^{2} + 6(4|\vec{b}|) - 5(8)^{2} = 0$.
$8|\vec{b}|^{2} + 24|\vec{b}| - 320 = 0$.
$8$ વડે ભાગતા,$|\vec{b}|^{2} + 3|\vec{b}| - 40 = 0$ મળે.
$(|\vec{b}| + 8)(|\vec{b}| - 5) = 0$.
સદિશનું માન $|\vec{b}|$ હંમેશા ધન હોવાથી,$|\vec{b}| = 5$.

(C) આપેલ છે $f(x)=|x^{2}-2 x-3| \cdot e^{|9 x^{2}-12 x+4|}$.
આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યોની અંદરના પદોના અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$x^{2}-2 x-3 = (x-3)(x+1)$
$9 x^{2}-12 x+4 = (3 x-2)^{2}$
તેથી,$f(x)=|(x-3)(x+1)| \cdot e^{(3 x-2)^{2}}$.
નોંધો કે $e^{(3 x-2)^{2}}$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે એક સુરેખ અને વિકલનીય વિધેય છે.
$f(x)$ ની અવિકલનીયતા સંપૂર્ણપણે $|(x-3)(x+1)|$ પદ પર આધાર રાખે છે.
$|g(x)|$ સ્વરૂપનું વિધેય $g(x)$ ના શૂન્યો પર અવિકલનીય હોય છે જ્યાં ચિહ્ન બદલાય છે.
અહીં,$g(x) = (x-3)(x+1)$ એ $x=3$ અને $x=-1$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે.
$x=3$ અને $x=-1$ આગળ,વિધેય $|(x-3)(x+1)|$ ને તીક્ષ્ણ ખૂણા (cusps) હોય છે.
તેથી,$f(x)$ એ બરાબર બે બિંદુઓ $x=3$ અને $x=-1$ આગળ વિકલનીય નથી.

(B) દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $0 < |x| - |y| \leq 1$ માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $|x| > |y|$ થાય. આ સંમિત નથી કારણ કે $(y, x) \notin R$. આ પરંપરિત પણ નથી કારણ કે $(3, 2) \in R$ અને $(2, 1) \in R$ છે,પરંતુ $(3, 1) \notin R$ કારણ કે $|3| - |1| = 2 > 1$. આ વિધાન સાચું છે.
$B$: $0 < |x - y| \leq 1$ માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $|x - y| = |y - x|$ થાય,તેથી તે સંમિત છે. જોકે,તે પરંપરિત નથી. ઉદાહરણ તરીકે,$(1, 1.6) \in R$ અને $(1.6, 2.2) \in R$ છે,પરંતુ $|1 - 2.2| = 1.2 > 1$ હોવાથી $(1, 2.2) \notin R$. આમ,તે પરંપરિત નથી. આ વિધાન ખોટું છે.
$C$: $|x| - |y| \leq 1$ માટે,તે સ્વવાચક છે કારણ કે $|x| - |x| = 0 \leq 1$. તે સંમિત નથી કારણ કે $|2| - |0| = 2 \not\leq 1$. આ વિધાન સાચું છે.
$D$: $|x - y| \leq 1$ માટે,તે સ્વવાચક છે કારણ કે $|x - x| = 0 \leq 1$. તે સંમિત છે કારણ કે $|x - y| = |y - x|$. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x-1)^{3/4}(x+2)^{5/4}}$.
સંકલનને આ રીતે લખતા: $I = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{5/4} \cdot (x-1)^{3/4} \cdot (x-1)^{5/4}} = \int \frac{dx}{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{5/4} \cdot (x-1)^2}$.
ધારો કે $t = \frac{x+2}{x-1}$. તો $dt = \frac{(x-1)(1) - (x+2)(1)}{(x-1)^2} dx = \frac{-3}{(x-1)^2} dx$,તેથી $\frac{dx}{(x-1)^2} = -\frac{1}{3} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \frac{-1/3}{t^{5/4}} dt = -\frac{1}{3} \int t^{-5/4} dt$.
સંકલન કરતા: $I = -\frac{1}{3} \left( \frac{t^{-1/4}}{-1/4} \right) + C = \frac{4}{3} t^{-1/4} + C$.
$t = \frac{x+2}{x-1}$ પાછા મૂકતા: $I = \frac{4}{3} \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^{-1/4} + C = \frac{4}{3} \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^{1/4} + C$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 2(-a - 1) - 1(a - 1) + 1(1 + 1) = 1 - 3a$.
$D = 0$ લેતા,$1 - 3a = 0$ મળે,તેથી $a = \frac{1}{3}$.
હવે,જો $a = \frac{1}{3}$ હોય,તો સમીકરણોની સંહતિ તપાસતા,કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટેની શરત $b \neq \frac{7}{3}$ મળે છે.

(A) $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = k$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીએ:
$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos(2x) - 1}{\sqrt{x^{2}+1}-1}$.
$\cos(2x) - 1 = -2\sin^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x}{\sqrt{x^{2}+1}-1} \times \frac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+1} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{-2\sin^{2} x (\sqrt{x^{2}+1}+1)}{x^{2}} = -2(1)^{2}(1+1) = -4$.
તેથી,$k = -4$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ શોધીએ:
$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+\frac{x}{a}}{1-\frac{x}{b}}\right) = \lim_{x \to 0^{-}} \left[ \frac{\ln(1+\frac{x}{a})}{x} - \frac{\ln(1-\frac{x}{b})}{x} \right]$.
$\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{a} - (-\frac{1}{b}) = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
$LHL = k$ હોવાથી,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = -4$.
અંતે,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{4}{k} = -4 + \frac{4}{-4} = -4 - 1 = -5$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x} \cdot 2^{y} - 2^{x}}{2^{y}}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = 2^{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{2^{y}}{2^{y}-1} dy = \int 2^{x} dx$.
ધારો કે $u = 2^{y}-1$,તો $du = 2^{y} \ln(2) dy$,તેથી $\int \frac{du}{u \ln(2)} = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.
આનું સાદું રૂપ: $\frac{1}{\ln(2)} \ln(2^{y}-1) = \frac{2^{x}}{\ln(2)} + C$.
$\ln(2)$ વડે ગુણતા: $\ln(2^{y}-1) = 2^{x} + C'$.
$y(0) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln(2^{1}-1) = 2^{0} + C' \Rightarrow \ln(1) = 1 + C' \Rightarrow 0 = 1 + C' \Rightarrow C' = -1$.
તેથી,$\ln(2^{y}-1) = 2^{x} - 1$.
$x=1$ માટે: $\ln(2^{y}-1) = 2^{1} - 1 = 1$.
$2^{y}-1 = e^{1} \Rightarrow 2^{y} = e+1$.
બંને બાજુ $\log_{2}$ લેતા: $y = \log_{2}(e+1)$.

(D) આપેલ છે કે $a_{r} = e^{i \frac{2 \pi r}{9}}$.
નોંધો કે $a_{r} = (a_{1})^{r}$ થાય.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{1}^{2} & a_{1}^{3} \\ a_{1}^{4} & a_{1}^{5} & a_{1}^{6} \\ a_{1}^{7} & a_{1}^{8} & a_{1}^{9}\end{array}\right|$ છે.
$C_{1}$ માંથી $a_{1}$,$C_{2}$ માંથી $a_{1}^{2}$ અને $C_{3}$ માંથી $a_{1}^{3}$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = a_{1} \cdot a_{1}^{2} \cdot a_{1}^{3} \left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ a_{1}^{3} & a_{1}^{3} & a_{1}^{3} \\ a_{1}^{6} & a_{1}^{6} & a_{1}^{6}\end{array}\right|$.
અહીં ત્રણેય સ્તંભો સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1/2}^{1} ([2x] + |x|) \, dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx + \int_{-1/2}^{1} |x| \, dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx$:
અંતરાલ $[-1/2, 0)$ માં,$2x \in [-1, 0)$,તેથી $[2x] = -1$.
અંતરાલ $[0, 1/2)$ માં,$2x \in [0, 1)$,તેથી $[2x] = 0$.
અંતરાલ $[1/2, 1)$ માં,$2x \in [1, 2)$,તેથી $[2x] = 1$.
આમ,$\int_{-1/2}^{1} [2x] \, dx = \int_{-1/2}^{0} (-1) \, dx + \int_{0}^{1/2} (0) \, dx + \int_{1/2}^{1} (1) \, dx = -[x]_{-1/2}^{0} + 0 + [x]_{1/2}^{1} = -(0 - (-1/2)) + (1 - 1/2) = -1/2 + 1/2 = 0$.
બીજા ભાગ માટે,$\int_{-1/2}^{1} |x| \, dx$:
કારણ કે $x < 0$ માટે $|x| = -x$ અને $x \geq 0$ માટે $|x| = x$:
$\int_{-1/2}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx = \left[-\frac{x^2}{2}\right]_{-1/2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = (0 - (-(-1/2)^2/2)) + (1/2 - 0) = -1/8 + 1/2 = 3/8$.
તેથી,$I = 0 + 3/8 = 3/8$.
માંગેલ મૂલ્ય $8 \cdot I = 8 \cdot (3/8) = 3$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{6}=\lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (2\lambda+1, 3\lambda+2, 6\lambda-1)$ દ્વારા મળે છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x-y+z=6$ પર હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda+1) - (3\lambda+2) + (6\lambda-1) = 6$.
$4\lambda + 2 - 3\lambda - 2 + 6\lambda - 1 = 6$.
$7\lambda - 1 = 6 \Rightarrow 7\lambda = 7 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ $P = (2(1)+1, 3(1)+2, 6(1)-1) = (3, 5, 5)$ મળે છે.
આપણે બિંદુ $P(3, 5, 5)$ થી બિંદુ $Q(-1, -1, 2)$ સુધીના અંતરનો વર્ગ શોધવો છે.
$d^2 = (3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2 + (5 - 2)^2$.
$d^2 = (4)^2 + (6)^2 + (3)^2 = 16 + 36 + 9 = 61$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{2} + ax + 1$ છે.
તેનું વિકલન $f'(x) = 2x + a$ થાય.
વિધેય $f(x)$ એ $[1, 2]$ પર વધતું હોય તે માટે,દરેક $x \in [1, 2]$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$2x + a \geq 0 \implies a \geq -2x$,દરેક $x \in [1, 2]$ માટે.
અંતરાલ $[1, 2]$ પર $-2x$ ની મહત્તમ કિંમત $x=1$ આગળ મળે,જે $-2(1) = -2$ છે. તેથી $R = -2$.
વિધેય $f(x)$ એ $[1, 2]$ પર ઘટતું હોય તે માટે,દરેક $x \in [1, 2]$ માટે $f'(x) \leq 0$ હોવું જોઈએ.
$2x + a \leq 0 \implies a \leq -2x$,દરેક $x \in [1, 2]$ માટે.
આ શરત દરેક $x$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,તેથી $a \leq \min(-2x)$ હોવું જોઈએ. અંતરાલ $[1, 2]$ પર $-2x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x=2$ આગળ મળે,જે $-2(2) = -4$ છે. તેથી $S = -4$.
હવે,$|R - S| = |-2 - (-4)| = |-2 + 4| = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} [x \phi(x)] = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\phi(x) + x \phi'(x) = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$.
$\phi'(x)$ વાળા પદોને એકસાથે ગોઠવતા:
$(x + 2) \phi'(x) = 3x^{2} - \phi(x)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\phi'(x) + \frac{1}{x+2} \phi(x) = \frac{3x^{2}}{x+2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{1}{x+2} dx} = e^{\ln(x+2)} = x+2$.
$I.F.$ વડે ગુણતા:
$(x+2) \phi'(x) + \phi(x) = 3x^{2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$(x+2) \phi(x) = \int 3x^{2} dx = x^{3} + C$.
આપેલ છે કે $\phi(0) = 4$:
$(0+2) \phi(0) = 0^{3} + C \Rightarrow 2(4) = C \Rightarrow C = 8$.
તેથી,$(x+2) \phi(x) = x^{3} + 8$.
$\phi(x) = \frac{x^{3} + 8}{x+2} = \frac{(x+2)(x^{2} - 2x + 4)}{x+2} = x^{2} - 2x + 4$.
$x = 2$ માટે:
$\phi(2) = 2^{2} - 2(2) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4$.

(D) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ એકમ કાર્યરત હોવાની ઘટના છે,તેથી $P(A) = 0.9$ અને $P(A^c) = 0.1$.
ધારો કે $B$ એ બીજો એકમ કાર્યરત હોવાની ઘટના છે,તેથી $P(B) = 0.8$ અને $P(B^c) = 0.2$.
સાધન ત્યારે જ કાર્ય કરે છે જો બંને એકમો કાર્યરત હોય. સાધન કાર્યરત હોય તેની સંભાવના $P(A \cap B) = 0.9 \times 0.8 = 0.72$ છે.
સાધન કાર્ય કરવામાં નિષ્ફળ જાય તેની સંભાવના $P(F) = 1 - 0.72 = 0.28$ છે.
નિષ્ફળતા ત્રણ પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓમાં થાય છે:
$1$. પ્રથમ એકમ નિષ્ફળ જાય,બીજો એકમ કાર્યરત રહે: $P(A^c \cap B) = 0.1 \times 0.8 = 0.08$.
$2$. પ્રથમ એકમ કાર્યરત રહે,બીજો એકમ નિષ્ફળ જાય: $P(A \cap B^c) = 0.9 \times 0.2 = 0.18$.
$3$. બંને એકમો નિષ્ફળ જાય: $P(A^c \cap B^c) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$.
નોંધો કે $0.08 + 0.18 + 0.02 = 0.28$,જે $P(F)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આપણને આપેલ છે કે સાધન નિષ્ફળ ગયું છે. આપણે શરતી સંભાવના $p$ શોધવાની છે કે માત્ર પ્રથમ એકમ નિષ્ફળ ગયો હોય (એટલે કે $A^c \cap B$ બન્યું હોય) જ્યારે સાધન નિષ્ફળ ગયું હોય $(F)$.
$p = P(A^c \cap B | F) = \frac{P(A^c \cap B)}{P(F)} = \frac{0.08}{0.28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$.
તેથી,$98p = 98 \times \frac{2}{7} = 14 \times 2 = 28$.

(B) સમીકરણોની સંહતિ સમપરિમાણીય છે,જે $AX = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સહગુણક શ્રેણિક છે.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(1 - \cos^2 \alpha) - \cos \gamma(\cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta) + \cos \beta(\cos \gamma \cos \alpha - \cos \beta)$
$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \cos^2 \beta$
$|A| = 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
આપેલ છે કે $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$,તેથી $\gamma = 2\pi - (\alpha + \beta)$,એટલે કે $\cos \gamma = \cos(\alpha + \beta)$.
આ પ્રકારના સંમિત શ્રેણિકના નિશ્ચાયક માટેનું સૂત્ર વાપરતા,જ્યારે $\alpha + \beta + \gamma = 2n\pi$ હોય ત્યારે $|A| = 0$ થાય છે.
જેથી $|A| = 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમાન માન ધરાવતા પરસ્પર લંબ સદિશો છે,ધારો કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{a} \times \{(\vec{r}-\vec{b}) \times \vec{a}\} = (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{r}-\vec{b}) - (\vec{a} \cdot (\vec{r}-\vec{b}))\vec{a} = k^2(\vec{r}-\vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{r})\vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{b} \times \{(\vec{r}-\vec{c}) \times \vec{b}\} = k^2(\vec{r}-\vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{r})\vec{b}$ અને $\vec{c} \times \{(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{c}\} = k^2(\vec{r}-\vec{a}) - (\vec{c} \cdot \vec{r})\vec{c}$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,આપણને $k^2(3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})) - ((\vec{a} \cdot \vec{r})\vec{a} + (\vec{b} \cdot \vec{r})\vec{b} + (\vec{c} \cdot \vec{r})\vec{c}) = \vec{0}$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ જ્યાં $x = \frac{\vec{r} \cdot \vec{a}}{k^2}$,$y = \frac{\vec{r} \cdot \vec{b}}{k^2}$,$z = \frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{k^2}$,તેથી પદાવલિ $k^2(3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})) - k^2(x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}) = \vec{0}$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $3\vec{r} - (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) - \vec{r} = \vec{0}$ થાય છે,જે $2\vec{r} = \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ આપે છે.
તેથી,$\vec{r} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$.

(C) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,બંને ભાગો વ્યાખ્યાયિત હોવા જોઈએ.
$1$. $\cos^{-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ માટે,આપણે $-1 \leq \frac{x-1}{x+1} \leq 1$ ની જરૂર છે.
$\frac{x-1}{x+1} \leq 1$ ઉકેલતા $\Rightarrow x > -1$ મળે છે.
$\frac{x-1}{x+1} \geq -1$ ઉકેલતા $\Rightarrow x \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ મળે છે.
આ બંનેનું છેદગણ લેતા,$x \in [0, \infty)$ મળે છે.
$2$. $\sin^{-1}\left(\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2}\right)$ માટે,આપણે $-1 \leq \frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \leq 1$ ની જરૂર છે.
$\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \leq 1$ ઉકેલતા $\Rightarrow x \in [-2, 1/2]$ મળે છે.
$\frac{3x^2+x-1}{(x-1)^2} \geq -1$ ઉકેલતા $\Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup [1/4, \infty)$ મળે છે.
આ બંનેનું છેદગણ લેતા,$x \in [-2, 0] \cup [1/4, 1/2]$ મળે છે.
બંને શરતોનું છેદગણ લેતા,$x \in [0, \infty) \cap ([-2, 0] \cup [1/4, 1/2]) = \{0\} \cup [1/4, 1/2]$ મળે છે.

(A) $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ પરના કુલ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $6! = 720$ છે.
શરત $g(3) = 2g(1)$ માટે શક્ય જોડ $(g(1), g(3))$ એ $(1, 2), (2, 4),$ અને $(3, 6)$ છે. આમ,$3$ શક્યતાઓ છે.
દરેક જોડ માટે,બાકીના $4$ ઘટકોને બાકીના $4$ ઘટકો પર વ્યાપ્ત રીતે ગોઠવવાના પ્રકાર $4! = 24$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $3 \times 4! = 72$ છે.
માગેલ સંભાવના $\frac{3 \times 4!}{6!} = \frac{72}{720} = \frac{1}{10}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(m+n) = f(m) + f(n)$ છે,જ્યાં $m, n \in N$ છે.
આ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પરનું કોશી (Cauchy) વિધેય સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(n) = cn$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
આપેલ છે કે $f(6) = 18$,તેથી $f(n) = cn$ માં $n=6$ મૂકતા:
$c \cdot 6 = 18 \Rightarrow c = 3$.
આમ,વિધેય $f(n) = 3n$ છે.
હવે,$f(2)$ અને $f(3)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(2) = 3 \cdot 2 = 6$.
$f(3) = 3 \cdot 3 = 9$.
અંતે,ગુણાકાર $f(2) \cdot f(3) = 6 \cdot 9 = 54$ થાય.

(D) આપેલ સમતલો $P_{1}: 2x + 3y + 2z = 0$ અને $P_{2}: x - 2y + z = 0$ છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n}_{2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
છેદરેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 7\hat{i} - 7\hat{k}$ મળે.
દિશા ગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
સમતલો ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી રેખા $L$ પણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે. રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{-1} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (\lambda, 0, -\lambda)$ છે.
ધારો કે $P = (-1, 2, -2)$. સદિશ $\vec{PQ} = (\lambda + 1, -2, -\lambda + 2)$ છે.
$\vec{PQ}$ એ રેખા $L$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\lambda + 1)(1) + (-2)(0) + (-\lambda + 2)(-1) = 0$
$\lambda + 1 + \lambda - 2 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
તેથી,$Q = (\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{1}{2} + 1)^2 + (0 - 2)^2 + (-\frac{1}{2} + 2)^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{2^x(y + 2^y)}{2^x(1 + 2^y \ln 2)}$.
અંશ અને છેદમાંથી $2^x$ દૂર કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y + 2^y}{1 + 2^y \ln 2}$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1 + 2^y \ln 2}{y + 2^y} dy = \int dx$.
ધારો કે $u = y + 2^y$,તો $du = (1 + 2^y \ln 2) dy$. તેથી,$\int \frac{1}{u} du = x + C$.
$\ln|y + 2^y| = x + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મુકતા: $\ln|0 + 2^0| = 0 + C \Rightarrow \ln(1) = C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$x = \ln(y + 2^y)$.
$y = 1$ માટે,$x = \ln(1 + 2^1) = \ln(3)$.
કારણ કે $e \approx 2.718$ અને $e^2 \approx 7.389$,અને $e < 3 < e^2$,તેથી $1 < \ln(3) < 2$.
આમ,$x \in (1, 2)$.

(B) ધારો કે $v = \frac{y^2}{x^2}$,તેથી $y^2 = v x^2$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2vx^2 + x^2 \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $y \frac{dy}{dx} = vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $vx^2 + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx} = x \left[ v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \right] = xv + x \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
$x > 0$ હોવાથી,$x$ વડે ભાગતા: $vx + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
આ સમીકરણને ઉકેલતા: $\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)} \implies \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(\phi(v)) = 2 \ln(x) + C = \ln(x^2) + C$.
તેથી,$\phi(v) = k x^2$,જ્યાં $k = e^C$.
$v = y^2/x^2$ હોવાથી,$\phi(y^2/x^2) = k x^2$.
$y(1) = -1$ આપેલ છે,તેથી $x=1$ પર,$v = (-1)^2/1^2 = 1$. આમ $\phi(1) = k(1)^2 = k$.
આપણે $\phi(y^2/4)$ શોધવાનું છે. જો $x=2$ લઈએ,તો $v = y^2/4$.
તેથી,$\phi(y^2/4) = k(2)^2 = 4k = 4 \phi(1)$.

(B) આપેલ છે કે $f(0)=0, f(1)=1$,અને $f(2)=2$.
વિધેય $h(x) = f(x) - x$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
તેથી $h(0) = f(0) - 0 = 0$,$h(1) = f(1) - 1 = 0$,અને $h(2) = f(2) - 2 = 0$.
$h(x)$ એ $[0,1]$ અને $[1,2]$ પર સતત છે અને $(0,1)$ અને $(1,2)$ પર વિકલનીય છે,તેથી રોલના પ્રમેય મુજબ,કોઈક $c_1 \in (0,1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $h^{\prime}(c_1) = 0$ અને કોઈક $c_2 \in (1,2)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $h^{\prime}(c_2) = 0$.
હવે,$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - 1$.
$h^{\prime}(c_1) = 0$ અને $h^{\prime}(c_2) = 0$ હોવાથી,અને $h^{\prime}(x)$ એ $[c_1, c_2]$ પર સતત અને $(c_1, c_2)$ પર વિકલનીય હોવાથી,$h^{\prime}(x)$ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (c_1, c_2) \subset (0,2)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $h^{\prime \prime}(c) = 0$.
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x)$ હોવાથી,કોઈક $c \in (0,2)$ માટે $f^{\prime \prime}(c) = 0$ થાય.

(B) ધારો કે $I = \pi^{2} \int_{0}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-[x])^{[x]} dx$.
કારણ કે $x \in [0, 1)$ માટે $[x] = 0$ અને $x \in [1, 2)$ માટે $[x] = 1$ છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$I = \pi^{2} \left[ \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} (x-0)^0 dx + \int_{1}^{2} \sin \frac{\pi x}{2} (x-1)^1 dx \right]$
$I = \pi^{2} \left[ \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} dx + \int_{1}^{2} (x-1) \sin \frac{\pi x}{2} dx \right]$
પ્રથમ ભાગ માટે: $\int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{2} dx = [-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}]_0^1 = 0 - (-\frac{2}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$.
બીજા ભાગ માટે,ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int (x-1) \sin \frac{\pi x}{2} dx = (x-1)(-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}) - \int 1 \cdot (-\frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2}) dx = -\frac{2(x-1)}{\pi} \cos \frac{\pi x}{2} + \frac{4}{\pi^2} \sin \frac{\pi x}{2}$.
$1$ થી $2$ ની મર્યાદામાં કિંમત મૂકતા: $[-\frac{2(2-1)}{\pi} \cos \pi + \frac{4}{\pi^2} \sin \pi] - [-\frac{2(1-1)}{\pi} \cos \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi^2} \sin \frac{\pi}{2}] = [\frac{2}{\pi} + 0] - [0 + \frac{4}{\pi^2}] = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા: $I = \pi^2 [\frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}] = \pi^2 [\frac{4}{\pi} - \frac{4}{\pi^2}] = 4\pi - 4 = 4(\pi-1)$.

(B) રેખા સમતલ પર આવેલી હોવાથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
બિંદુ $(2, 2, -2)$ રેખા પર છે,તેથી તે સમતલ $x+3y-2z+\beta=0$ પર પણ હશે.
બિંદુ મૂકતા: $2 + 3(2) - 2(-2) + \beta = 0$.
$2 + 6 + 4 + \beta = 0 \Rightarrow 12 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = -12$.
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (\alpha, -5, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 3, -2)$ ને લંબ હોય.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ થાય.
$\alpha(1) + (-5)(3) + (2)(-2) = 0$.
$\alpha - 15 - 4 = 0 \Rightarrow \alpha - 19 = 0 \Rightarrow \alpha = 19$.
તેથી,$\alpha + \beta = 19 + (-12) = 7$.

(D) અંશ અને છેદને $\cos^3 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\tan x \sec^2 x}{1+\tan^3 x} dx$
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \frac{t}{(t+1)(t^2-t+1)} dt$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t}{(t+1)(t^2-t+1)} = \frac{A}{t+1} + \frac{Bt+C}{t^2-t+1}$
$t = A(t^2-t+1) + (Bt+C)(t+1)$
$t = -1$ લેતા: $-1 = A(1+1+1) \Rightarrow A = -\frac{1}{3}$
$t^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{3}$
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $A+C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{3}$
તેથી,$I = -\frac{1}{3} \int \frac{dt}{t+1} + \int \frac{\frac{1}{3}t + \frac{1}{3}}{t^2-t+1} dt$
$I = -\frac{1}{3} \ln|t+1| + \frac{1}{6} \int \frac{2t-1+3}{t^2-t+1} dt$
$I = -\frac{1}{3} \ln|t+1| + \frac{1}{6} \ln|t^2-t+1| + \frac{1}{2} \int \frac{dt}{(t-1/2)^2 + 3/4}$
$I = -\frac{1}{3} \ln|1+\tan x| + \frac{1}{6} \ln|1-\tan x+\tan^2 x| + \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2\tan x-1}{\sqrt{3}}\right) + C$
આમ,$\alpha = -\frac{1}{3}, \beta = \frac{1}{6}, \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$18(\alpha+\beta+\gamma^2) = 18(-\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}) = 18(\frac{1}{6}) = 3$.

(A) આપેલ શરત $(I-A)^3 = I-A^3$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $I^3 - 3I^2A + 3IA^2 - A^3 = I - A^3$.
$I^2 = I$ અને $IA = AI = A$ હોવાથી,આ સમીકરણ $I - 3A + 3A^2 - A^3 = I - A^3$ માં પરિણમે છે.
બંને બાજુથી $I$ બાદ કરતા અને $A^3$ ઉમેરતા,આપણને $3A^2 - 3A = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A^2 = A$.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix}$. તો $A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & ab+bd \\ 0 & d^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = A$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a^2 = a \Rightarrow a \in \{0, 1\}$.
$d^2 = d \Rightarrow d \in \{0, 1\}$.
$ab + bd = b \Rightarrow b(a + d - 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: જો $b = 0$ હોય,તો $a \in \{0, 1\}$ અને $d \in \{0, 1\}$. આનાથી $2 \times 2 = 4$ શ્રેણિકો મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $b \neq 0$ હોય,તો $a + d - 1 = 0$,એટલે કે $a + d = 1$.
શક્ય જોડીઓ $(a, d)$ એ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ છે.
દરેક જોડી માટે,$b \in \{-1, 1\}$ હોઈ શકે છે (કારણ કે $b \neq 0$).
આનાથી $2 \times 2 = 4$ શ્રેણિકો મળે છે.
કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા = $4 + 4 = 8$.

(D) રેખાઓ $x=0, y=0, x=\frac{3}{2}$ અને વક્ર $y=1+4x-x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{0}^{3/2} (1+4x-x^2) \, dx$
$A = [x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3/2}$
$A = (\frac{3}{2} + 2(\frac{9}{4}) - \frac{27}{24}) - 0$
$A = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} - \frac{9}{8} = 6 - \frac{9}{8} = \frac{48-9}{8} = \frac{39}{8}$
કારણ કે રેખા $y=mx$ આ ક્ષેત્રફળને દુભાગે છે,તેથી રેખાઓ $x=0, x=\frac{3}{2}$ અને $y=mx$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોવું જોઈએ.
શિરોબિંદુઓ $(0,0), (3/2, 0)$ અને $(3/2, 3m/2)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$A_{triangle} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3m}{2} = \frac{9m}{8}$
બંને ક્ષેત્રફળોને સરખાવતા:
$\frac{9m}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{39}{8}$
$9m = \frac{39}{2}$
$m = \frac{39}{18} = \frac{13}{6}$
તેથી,$12m = 12 \times \frac{13}{6} = 2 \times 13 = 26$.

(C) ધારો કે $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. તેથી $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ અને $f''(x) = 6ax + 2b$.
$f'(x)$ એ $x = -1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ ધરાવે છે,તેથી $f''(-1) = 0$,જે આપણને $6a(-1) + 2b = 0$ આપે છે,એટલે કે $b = 3a$.
આમ,$f'(x) = 3ax^2 + 6ax + c = 3a(x^2 + 2x) + c = 3a(x+1)^2 + (c - 3a)$.
$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ ધરાવે છે,તેથી $f'(1) = 0$,એટલે કે $3a(1+1)^2 + (c - 3a) = 0$,જે $12a + c - 3a = 0$ આપે છે,એટલે કે $c = -9a$.
હવે,$f'(x) = 3ax^2 + 6ax - 9a = 3a(x^2 + 2x - 3) = 3a(x+3)(x-1)$.
$f'(x)$ નું સંકલન કરતા,$f(x) = a(x^3 + 3x^2 - 9x) + k$ મળે.
$f(1) = -10$ નો ઉપયોગ કરતા: $a(1 + 3 - 9) + k = -10 \Rightarrow -5a + k = -10$.
$f(-1) = 6$ નો ઉપયોગ કરતા: $a(-1 + 3 + 9) + k = 6 \Rightarrow 11a + k = 6$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(11a + k) - (-5a + k) = 6 - (-10) \Rightarrow 16a = 16 \Rightarrow a = 1$.
તેથી $k = 6 - 11(1) = -5$.
આમ,$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 5$.
અંતે,$f(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 9(3) - 5 = 27 + 27 - 27 - 5 = 22$.

(C) આપણે પદાવલિ $\cos ^{-1}(\cos (-5))+\sin ^{-1}(\sin (6))-\tan ^{-1}(\tan (12))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$1$. $\cos ^{-1}(\cos (-5))$ માટે: $\cos(-x) = \cos(x)$ હોવાથી,આ $\cos ^{-1}(\cos (5))$ થાય. $5 \in [\pi, 2\pi]$ હોવાથી,આપણે $\cos ^{-1}(\cos x) = 2\pi - x$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$\cos ^{-1}(\cos (5)) = 2\pi - 5$.
$2$. $\sin ^{-1}(\sin (6))$ માટે: $6 \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ હોવાથી,આપણે $\sin ^{-1}(\sin x) = x - 2\pi$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$\sin ^{-1}(\sin (6)) = 6 - 2\pi$.
$3$. $\tan ^{-1}(\tan (12))$ માટે: $12 \in (3\pi + \frac{\pi}{2}, 4\pi + \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,આપણે $\tan ^{-1}(\tan x) = x - 4\pi$ નો ઉપયોગ કરીશું. તેથી,$\tan ^{-1}(\tan (12)) = 12 - 4\pi$.
આ કિંમતોને જોડતા: $(2\pi - 5) + (6 - 2\pi) - (12 - 4\pi) = 2\pi - 5 + 6 - 2\pi - 12 + 4\pi = 4\pi - 11$.

(C) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -a & 5 \\ 2 & -2 & -a \end{vmatrix}$ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -1(a^2 + 10) - 1(-3a - 10) + 2(-6 + 2a)$
$= -a^2 - 10 + 3a + 10 - 12 + 4a = -a^2 + 7a - 12 = -(a-3)(a-4)$.
સિસ્ટમ અસંગત હોય અથવા અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,આપણે $\Delta = 0$ હોવું જોઈએ,જે $a = 3$ અથવા $a = 4$ આપે છે.
હવે,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -a & 5 \\ 7 & -2 & -a \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
$\Delta_1 = 0(a^2 + 10) - 1(-a - 35) + 2(-2 + 7a) = a + 35 - 4 + 14a = 15a + 31$.
$a = 3$ માટે,$\Delta_1 = 15(3) + 31 = 76 \neq 0$.
$a = 4$ માટે,$\Delta_1 = 15(4) + 31 = 91 \neq 0$.
કારણ કે $a=3$ અને $a=4$ બંને માટે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 \neq 0$ છે,તેથી સિસ્ટમ આ કિંમતો માટે અસંગત છે. આમ,$S_1 = \{3, 4\}$ અને $n(S_1) = 2$.
અનંત ઉકેલો માટે,આપણે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ ની જરૂર છે. કારણ કે $a=3$ અને $a=4$ માટે $\Delta_1 \neq 0$ છે,તેથી એવી કોઈ $a$ ની કિંમત નથી જેના માટે સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય. આમ,$S_2 = \emptyset$ અને $n(S_2) = 0$.

(B) સમતલોના સમીકરણો $P_{1}: x-2y-2z+1=0$ અને $P_{2}: 2x-3y-6z+1=0$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\left|\frac{x-2y-2z+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}\right| = \left|\frac{2x-3y-6z+1}{\sqrt{2^2+(-3)^2+(-6)^2}}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x-2y-2z+1}{3} = \pm \frac{2x-3y-6z+1}{7}$ થાય છે.
લઘુકોણ દ્વિભાજક નક્કી કરવા માટે,આપણે $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = (1)(2) + (-2)(-3) + (-2)(-6) = 2 + 6 + 12 = 20$ ની નિશાની તપાસીએ છીએ.
કારણ કે $20 > 0$,ઋણ ચિહ્ન લઘુકોણ દ્વિભાજક આપે છે.
તેથી,$\frac{x-2y-2z+1}{3} = -\frac{2x-3y-6z+1}{7}$.
$7(x-2y-2z+1) = -3(2x-3y-6z+1)$.
$7x-14y-14z+7 = -6x+9y+18z-3$.
$13x-23y-32z+10 = 0$.
બિંદુ $\left(-2, 0, -\frac{1}{2}\right)$ ને તપાસતા: $13(-2) - 23(0) - 32(-\frac{1}{2}) + 10 = -26 - 0 + 16 + 10 = 0$.
તેથી,બિંદુ $\left(-2, 0, -\frac{1}{2}\right)$ સમતલ $P$ પર આવેલું છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy + (y - \frac{1}{x}) dx = 0$ છે.
$x^{2} dx$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{3}}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x^{2}}$ અને $Q(x) = \frac{1}{x^{3}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^{2}} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^{3}} e^{-\frac{1}{x}} dx + C$.
ધારો કે $t = -\frac{1}{x}$,તો $dt = \frac{1}{x^{2}} dx$ અને $\frac{1}{x} = -t$.
$y e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^{t} dt + C = -(t e^{t} - e^{t}) + C = e^{t}(1 - t) + C$.
$t = -\frac{1}{x}$ મૂકતા,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$.
$y(1) = 1$ આપેલ છે,તેથી $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.
આમ,$y e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) - e^{-1}$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$y e^{-2} = e^{-2}(1 + 2) - e^{-1} = 3e^{-2} - e^{-1}$.
$e^{-2}$ વડે ભાગતા,$y = 3 - e^{-1} \cdot e^{2} = 3 - e$.

(A) આપેલ છે $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + ax + b$. $f(2) = 0$ હોવાથી,$8 - 24 + 2a + b = 0 \Rightarrow 2a + b = 16$.
$f(4) = 0$ હોવાથી,$64 - 96 + 4a + b = 0 \Rightarrow 4a + b = 32$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a = 8, b = 0$ મળે. તેથી $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 8x$.
$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 8$. $f^{\prime}(x) = 0$ ના બીજ $x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{48}}{6} = 2 \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
$(S_1)$ માટે: $f^{\prime}(2) = -4$ અને $f^{\prime}(4) = 8$. $f^{\prime}(x)$ સતત હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,એવું $x_{1} \in (2, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f^{\prime}(x_{1}) = -1$ થાય (કારણ કે $-1 \in (-4, 8)$). ઉપરાંત,$f^{\prime}(x)$ નું એક બીજ $x_{2} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 3.15 \in (2, 4)$ છે. $f^{\prime}(3) = 27 - 36 + 8 = -1$ હોવાથી,$x_{1} = 3 < x_{2} \approx 3.15$ મળે. તેથી $(S_1)$ સાચું છે.
$(S_2)$ માટે: $f$ એ $(2, x_{4})$ પર ઘટતું અને $(x_{4}, 4)$ પર વધતું વિધેય છે જ્યાં $x_{4} = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}}$. $f(x_{4}) = (2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{3} - 6(2 + \frac{2}{\sqrt{3}})^{2} + 8(2 + \frac{2}{\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3\sqrt{3}}$.
$2f^{\prime}(x_{3}) = \sqrt{3}f(x_{4}) = \sqrt{3}(-\frac{16}{3\sqrt{3}}) = -\frac{16}{3} \approx -5.33$. તેથી $f^{\prime}(x_{3}) = -\frac{8}{3} \approx -2.67$. $f^{\prime}(x)$ એ $(2, 4)$ પર $[-4, 8]$ ની તમામ કિંમતો ધારણ કરતું હોવાથી,આવું $x_{3}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી $(S_2)$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે $J_{n, m}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{n}}{x^{m}-1} d x$.
$i \leq j$ માટે,$a_{i j}=J_{6+i, 3}-J_{i+3,3} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{6+i}-x^{i+3}}{x^{3}-1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{i+3}(x^{3}-1)}{x^{3}-1} d x = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{i+3} d x$.
સંકલન કરતા: $a_{i j} = \left[ \frac{x^{i+4}}{i+4} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{(1/2)^{i+4}}{i+4}$.
તેથી,$a_{11} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$,$a_{12} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$,$a_{13} = \frac{(1/2)^{5}}{5} = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}}$.
$a_{22} = \frac{(1/2)^{6}}{6} = \frac{1}{6 \cdot 2^{6}}$,$a_{23} = \frac{(1/2)^{6}}{6} = \frac{1}{6 \cdot 2^{6}}$.
$a_{33} = \frac{(1/2)^{7}}{7} = \frac{1}{7 \cdot 2^{7}}$.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} & \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} & \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} \\ 0 & \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} & \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{7 \cdot 2^{7}} \end{bmatrix}$.
$|A| = \frac{1}{5 \cdot 2^{5}} \cdot \frac{1}{6 \cdot 2^{6}} \cdot \frac{1}{7 \cdot 2^{7}} = \frac{1}{210 \cdot 2^{18}}$.
આપણે $|\operatorname{adj} A^{-1}| = |A^{-1}|^{3-1} = |A^{-1}|^{2} = \frac{1}{|A|^{2}} = (210 \cdot 2^{18})^{2} = (2 \cdot 105)^{2} \cdot 2^{36} = 4 \cdot (105)^{2} \cdot 2^{36} = (105)^{2} \cdot 2^{38}$.

(A) ક્ષેત્રફળ $A$ એ સંકલન $A = \int_{0}^{\pi/2} |(\sin x + \cos x) - |\cos x - \sin x|| dx$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે $0 \le x \le \pi/4$ હોય ત્યારે $|\cos x - \sin x| = \cos x - \sin x$ અને જ્યારે $\pi/4 \le x \le \pi/2$ હોય ત્યારે $\sin x - \cos x$ થાય છે,તેથી આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ:
$A = \int_{0}^{\pi/4} ((\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)) dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} ((\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x)) dx$.
પદાવલિઓને સરળ બનાવતા:
$A = \int_{0}^{\pi/4} 2 \sin x dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \cos x dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = 2[-\cos x]_{0}^{\pi/4} + 2[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$A = 2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) + 2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$A = 4(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 4 - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.

(C) આપેલ રેખા બે સમતલોના છેદથી બનેલી છે: $3y - 2z - 1 = 0$ અને $3x - z + 4 = 0$.
રેખાની દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ સમતલોના અભિલંબ $\vec{n_1} = (0, 3, -2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 0, -1)$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે.
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-3, -6, -9)$.
દિશા ગુણોત્તરને $(1, 2, 3)$ તરીકે લઈ શકાય.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,$z = 1$ લેતા,$y = 1$ અને $x = -1$ મળે છે. તેથી બિંદુ $P = (-1, 1, 1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ $Q = (\lambda - 1, 2\lambda + 1, 3\lambda + 1)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (\lambda - 3, 2\lambda + 2, 3\lambda - 5)$ એ રેખાની દિશા $(1, 2, 3)$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(\lambda - 3) + 2(2\lambda + 2) + 3(3\lambda - 5) = 0 \Rightarrow 14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
બિંદુ $Q = (0, 3, 4)$ મળે છે.
બિંદુ $(2, -1, 6)$ થી $(0, 3, 4)$ નું અંતર $\sqrt{(0-2)^2 + (3 - (-1))^2 + (4-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.

(D) ધારો કે લઘુગણકનો તર્ક $g(x) = 3 + \cos(\frac{3\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રો $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ અને $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$g(x) = 3 + [\cos(\frac{3\pi}{4} + x) - \cos(\frac{3\pi}{4} - x)] + [\cos(\frac{\pi}{4} + x) + \cos(\frac{\pi}{4} - x)]$
$g(x) = 3 - 2\sin(\frac{3\pi}{4})\sin(x) + 2\cos(\frac{\pi}{4})\cos(x)$
કારણ કે $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે:
$g(x) = 3 - 2(\frac{1}{\sqrt{2}})\sin(x) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}})\cos(x) = 3 + \sqrt{2}(\cos x - \sin x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\sqrt{2} \leq \cos x - \sin x \leq \sqrt{2}$.
તેથી,$3 + \sqrt{2}(-\sqrt{2}) \leq g(x) \leq 3 + \sqrt{2}(\sqrt{2})$,
જેનું સાદું રૂપ $3 - 2 \leq g(x) \leq 3 + 2$,એટલે કે $1 \leq g(x) \leq 5$ થાય છે.
$f(x) = \log_{\sqrt{5}}(g(x))$ હોવાથી,વિસ્તાર $[\log_{\sqrt{5}}(1), \log_{\sqrt{5}}(5)]$ છે.
$\log_{\sqrt{5}}(1) = 0$ અને $\log_{\sqrt{5}}(5) = 2$ હોવાથી,વિસ્તાર $[0, 2]$ છે.

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $f(x)=x+\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \cos y f(y) dy$.
અહીં $\sin x$ એ $y$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $f(x)=x+\sin x \int_{0}^{\pi / 2} \cos y f(y) dy$.
ધારો કે $K = \int_{0}^{\pi / 2} \cos y f(y) dy$. તેથી $f(x) = x + K \sin x$.
$f(y) = y + K \sin y$ ને $K$ ના પદમાં મૂકતા:
$K = \int_{0}^{\pi / 2} \cos y (y + K \sin y) dy = \int_{0}^{\pi / 2} y \cos y dy + K \int_{0}^{\pi / 2} \sin y \cos y dy$.
પ્રથમ સંકલન માટે ખંડશઃ સંકલન $(IBP)$ વાપરતા: $\int y \cos y dy = y \sin y + \cos y$.
$0$ થી $\pi/2$ ની સીમાઓ મૂકતા: $[y \sin y + \cos y]_{0}^{\pi/2} = (\frac{\pi}{2} - 1)$.
બીજા સંકલન માટે: $\int_{0}^{\pi / 2} \sin y \cos y dy = [\frac{\sin^2 y}{2}]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$K = (\frac{\pi}{2} - 1) + K(\frac{1}{2})$.
$K - \frac{K}{2} = \frac{\pi}{2} - 1 \Rightarrow \frac{K}{2} = \frac{\pi-2}{2} \Rightarrow K = \pi - 2$.
તેથી $f(x) = x + (\pi - 2) \sin x$.

(A) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી $\frac{1}{5} + a + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + b = 1 \implies a + b = \frac{4}{15} \dots (1)$
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2.3 = \frac{23}{10}$.
$-2(\frac{1}{5}) - 1(a) + 3(\frac{1}{3}) + 4(\frac{1}{5}) + 6(b) = \frac{23}{10}$
$-\frac{2}{5} - a + 1 + \frac{4}{5} + 6b = \frac{23}{10} \implies -a + 6b = \frac{9}{10} \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$b = \frac{1}{6}$ અને $a = \frac{1}{10}$ મળે છે.
વિચરણ $\sigma^{2} = E(X^{2}) - (E(X))^{2}$.
$E(X^{2}) = 4(\frac{1}{5}) + 1(\frac{1}{10}) + 9(\frac{1}{3}) + 16(\frac{1}{5}) + 36(\frac{1}{6}) = \frac{131}{10} = 13.1$.
$\sigma^{2} = 13.1 - (2.3)^{2} = 13.1 - 5.29 = 7.81$.
તેથી,$100 \sigma^{2} = 781$.

(A) આપેલ છે કે $f(k) = -\frac{2}{k}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $k f(k) + 2 = 0$ જ્યાં $k = 2, 3, 4, 5$.
ધારો કે $g(x) = x f(x) + 2$. કારણ કે $f(x)$ એ $3$ ઘાતની બહુપદી છે,તેથી $g(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી થશે.
$g(k) = 0$ હોવાથી $k = 2, 3, 4, 5$ માટે,આપણે $g(x) = \lambda(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ અચળાંક છે.
$\lambda$ શોધવા માટે,$x=0$ મૂકતા: $g(0) = 0 \cdot f(0) + 2 = 2$.
તેથી,$2 = \lambda(0-2)(0-3)(0-4)(0-5) = \lambda(120)$,જે આપણને $\lambda = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$ આપે છે.
હવે,$10 f(10) + 2 = g(10) = \frac{1}{60}(10-2)(10-3)(10-4)(10-5) = \frac{1}{60}(8)(7)(6)(5) = \frac{1680}{60} = 28$.
આમ,$10 f(10) = 28 - 2 = 26$.
છેલ્લે,$52 - 10 f(10) = 52 - 26 = 26$.

(D) આપેલ છે $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે,$\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
કારણ કે $\vec{v} \perp \vec{c}$,$\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$. ઉપરાંત,$\vec{v}$ એ સમતલના લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{v}$ એ $\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ ને સમાંતર છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{v} = \lambda [(\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}]$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{c} \cdot \vec{b} = (3)(1) + (2)(2) + (-1)(-1) = 3+4+1 = 8$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (3)(2) + (2)(-1) + (-1)(2) = 6-2-2 = 2$.
તેથી,$\vec{v} = \lambda [8(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) - 2(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})] = \lambda [16 \hat{i}-8 \hat{j}+16 \hat{k} - 2 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k}] = \lambda [14 \hat{i}-12 \hat{j}+18 \hat{k}]$.
$\vec{a}$ પર $\vec{v}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = 19$ છે.
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\vec{v} \cdot \vec{a} = \lambda [14(2) - 12(-1) + 18(2)] = \lambda [28+12+36] = 76\lambda$.
તેથી,$\frac{76\lambda}{3} = 19 \Rightarrow 76\lambda = 57 \Rightarrow \lambda = \frac{57}{76} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\vec{v} = \frac{3}{4} [14 \hat{i}-12 \hat{j}+18 \hat{k}] = \frac{3}{2} [7 \hat{i}-6 \hat{j}+9 \hat{k}]$.
$|2\vec{v}|^2 = 4|\vec{v}|^2 = 4 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times (14^2 + (-12)^2 + 18^2) = 4 \times \frac{9}{16} \times (196 + 144 + 324) = \frac{9}{4} \times 664 = 9 \times 166 = 1494$.

(A) વિધેય $f(x)=[x]|x^{2}-1|+\sin \left(\frac{\pi}{[x]+3}\right)-[x+1]$ તરીકે $x \in (-2, 2)$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે પૂર્ણાંક કિંમતો $x \in \{-1, 0, 1\}$ પર $[x]$ અને $[x+1]$ ના વર્તનને ચકાસીને અસતતતાના બિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$x \in (-2, -1)$ માટે,$[x] = -2$ અને $[x+1] = -1$. તેથી,$f(x) = -2|x^2-1| + \sin(\pi/1) - (-1) = -2|x^2-1| + 1$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$ અને $[x+1] = 0$. તેથી,$f(x) = -1|x^2-1| + \sin(\pi/2) - 0 = -|x^2-1| + 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$ અને $[x+1] = 1$. તેથી,$f(x) = 0|x^2-1| + \sin(\pi/3) - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$ અને $[x+1] = 2$. તેથી,$f(x) = 1|x^2-1| + \sin(\pi/4) - 2 = |x^2-1| + \frac{1}{\sqrt{2}} - 2$.
વિધેય એ બિંદુઓ આગળ અસતત છે જ્યાં ફ્લોર વિધેયોની કિંમતો બદલાય છે,જે $x = -1, 0, 1$ છે. આ બિંદુઓ પર લક્ષ ચકાસતા અસતતતા સાબિત થાય છે. તેથી,અસતતતાના $3$ બિંદુઓ છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}| = 3$.
આપેલ છે કે $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{a}) = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|$,ધારો કે $|\vec{c}| = c$. તો $c^2 + 9 - 2c = 8$.
$c^2 - 2c + 1 = 0 \Rightarrow (c - 1)^2 = 0 \Rightarrow c = 1$. આમ,$|\vec{c}| = 1$.
હવે,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(\theta)$,જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{6}$.
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = (3)(1) \sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.