JEE Main 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $P = Fv = mav = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v$.
આ સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\frac{P}{m} dt = v dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{P}{m} dt = \int v dv \implies \frac{P}{m} t = \frac{v^2}{2}$.
આથી,$v^2 = \frac{2P}{m} t$,જે આપણને $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$ આપે છે.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $ds = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right)$.
તેથી,$s \propto t^{3/2}$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. બે નાના ટીપાંનું કદ $V_{initial} = 2 \times (\frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{8}{3}\pi R^3$ થાય.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R'$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi (R')^3 = \frac{8}{3}\pi R^3$,જે પરથી $R' = 2^{1/3}R$ મળે.
ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = T \times A$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T$ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_i = 2 \times (T \times 4\pi R^2) = 8\pi R^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_f = T \times 4\pi (R')^2 = 4\pi (2^{1/3}R)^2 T = 4\pi 2^{2/3} R^2 T$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_i}{E_f} = \frac{8\pi R^2 T}{4\pi 2^{2/3} R^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2^{1/3}:1$ છે.

(C) જ્યારે $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યાના બે સાબુના પરપોટા સમતાપી સ્થિતિમાં શૂન્યાવકાશમાં જોડાય છે,ત્યારે હવાના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે. તાપમાન અચળ હોવાથી,પરપોટાની અંદરની હવા માટે દબાણ અને કદનો ગુણાકાર $(PV)$ અચળ રહે છે.
સાબુના પરપોટા માટે,વધારાનું દબાણ $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે. અંદરનું નિરપેક્ષ દબાણ $P = P_{atm} + \frac{4T}{r}$ છે. શૂન્યાવકાશમાં,$P_{atm} = 0$ હોવાથી,$P = \frac{4T}{r}$ થાય.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
પ્રથમ પરપોટા માટે: $P_1 V_1 = (\frac{4T}{r_1})(\frac{4}{3}\pi r_1^3) = \frac{16}{3}\pi T r_1^2$.
બીજા પરપોટા માટે: $P_2 V_2 = (\frac{4T}{r_2})(\frac{4}{3}\pi r_2^3) = \frac{16}{3}\pi T r_2^2$.
$R$ ત્રિજ્યાના પરિણામી પરપોટા માટે: $P_R V_R = (\frac{4T}{R})(\frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
હવાનો કુલ જથ્થો સંરક્ષિત હોવાથી: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_R V_R$.
$\frac{16}{3}\pi T r_1^2 + \frac{16}{3}\pi T r_2^2 = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
$\frac{16}{3}\pi T$ વડે ભાગતા,આપણને $R^2 = r_1^2 + r_2^2$ મળે છે,એટલે કે $R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$.
સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,$C_v = \frac{f}{2}R$ અને $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ થાય છે.
તેથી,$\gamma = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = \frac{\frac{f+2}{2}}{\frac{f}{2}} = 1 + \frac{2}{f}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\gamma - 1 = \frac{2}{f}$.
$f$ માટે ઉકેલતા,આપણને $f = \frac{2}{\gamma - 1}$ મળે છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,જેનો અર્થ થાય છે $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$.
વાયુ મોનોએટોમિક હોવાથી,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે. તેથી,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
સિલિન્ડરમાં વાયુનું કદ $V = A \times L$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ વાયુના સ્તંભની લંબાઈ છે.
$V_1 = A L_1$ અને $V_2 = A L_2$ મૂકતા,આપણને $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A L_2}{A L_1} = \frac{L_2}{L_1}$ મળે છે.
આ કિંમતોને તાપમાનના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$.

(B) જ્યારે સમાન જાડાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતી બે પ્લેટોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$R_{eq} = R_1 + R_2$
ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2l}{K_{eq} A} = \frac{l}{K_1 A} + \frac{l}{K_2 A}$
બંને બાજુને $\frac{l}{A}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{K_2 + K_1}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y$ સ્થાનાંતરે ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$ છે.
ગતિ ઉર્જા અને કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{K}{E} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 a^2} = \frac{a^2 - y^2}{a^2} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
આપેલ છે કે $K = 3E/4$,તેથી:
$\frac{3E/4}{E} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
$\frac{3}{4} = 1 - \frac{y^2}{a^2}$.
$\frac{y^2}{a^2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $y = a/2$ મળે છે.

(B) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I\omega = Mr^2\omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળ ધરાવતી બે વસ્તુઓને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ એ રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા અને બે બિંદુવત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થાય છે: $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,$L_{initial} = L_{final}$ થાય.
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$
નવા કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા:
$\omega' = \frac{Mr^2\omega}{(M + 2m)r^2} = \frac{M\omega}{M + 2m}$.

(B) કણનો વેગ $v = At + Bt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,$ds = (At + Bt^2) dt$ થાય.
$t = 1 \ s$ અને $t = 2 \ s$ ની વચ્ચે કપાયેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું:
$s = \int_{1}^{2} (At + Bt^2) dt$
$s = \left[ \frac{At^2}{2} + \frac{Bt^3}{3} \right]_{1}^{2}$
$s = \left( \frac{A(2)^2}{2} + \frac{B(2)^3}{3} \right) - \left( \frac{A(1)^2}{2} + \frac{B(1)^3}{3} \right)$
$s = \left( 2A + \frac{8B}{3} \right) - \left( \frac{A}{2} + \frac{B}{3} \right)$
$s = (2A - \frac{A}{2}) + (\frac{8B}{3} - \frac{B}{3})$
$s = \frac{3}{2}A + \frac{7}{3}B$
અંતરાલ $[1, 2]$ માં વેગની દિશા બદલાતી ન હોવાથી,અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું જ થશે.

(B) ધારો કે એસ્કેલેટરનું અંતર $d$ છે.
સ્થિર એસ્કેલેટર પર પ્રીતિનો વેગ $v_1 = \frac{d}{t_1}$ છે.
ગતિશીલ એસ્કેલેટરનો વેગ $v_2 = \frac{d}{t_2}$ છે.
જ્યારે પ્રીતિ ગતિશીલ એસ્કેલેટર પર ચાલે છે,ત્યારે જમીનની સાપેક્ષમાં તેનો કુલ વેગ $v = v_1 + v_2$ થાય છે.
$v = \frac{d}{t_1} + \frac{d}{t_2} = d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$.
કુલ વેગ $v$ સાથે $d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{d}{v} = \frac{d}{d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 1/6$,તેથી $1/6 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 5/6$ અથવા $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ $...(i)$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^{\circ}C$ (જે $62 \ K$ ના ફેરફારને સમકક્ષ છે) ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 2 \times \eta_1 = 2 \times (1/6) = 1/3$ થાય છે.
નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/3 = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $\frac{T_2 - 62}{T_1} = 1 - 1/3 = 2/3$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = 2/3$.
$\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = 2/3$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = 1/6$.
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતરિત કરતા: $T(^{\circ}C) = 372 - 273 = 99^{\circ}C$.

(B) $SHM$ માં,મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ અંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $V^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$.
$x_1$ અને $x_2$ અંતર માટે,આપણી પાસે છે:
$V_1^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2) \dots (i)$
$V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_2^2) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2 - a^2 + x_2^2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2)$
$\omega^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
આ કિંમત $\omega^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
$T^2 = 4\pi^2 \left(\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}\right)$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(C) $SHM$ માં કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
$SHM$ માં કણની ગતિ ઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે $PE = KE$,તેથી:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$x^2 = A^2 - x^2$
$2x^2 = A^2$
$x^2 = \frac{A^2}{2}$
$x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$
આમ,કણનું સ્થાન $\frac{A}{\sqrt{2}}$ હશે.

(A) ધારો કે સદિશોના મૂલ્યો $|\vec A| = |\vec B| = A$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec A + \vec B| = n |\vec A - \vec B|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec A + \vec B|^2 = n^2 |\vec A - \vec B|^2$ મળે.
સદિશ નિત્યસમ $|\vec A \pm \vec B|^2 = A^2 + B^2 \pm 2AB \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta = n^2 (A^2 + A^2 - 2A^2 \cos \theta)$.
$2A^2 (1 + \cos \theta) = n^2 [2A^2 (1 - \cos \theta)]$.
બંને બાજુ $2A^2$ વડે ભાગતા:
$1 + \cos \theta = n^2 (1 - \cos \theta)$.
$1 + \cos \theta = n^2 - n^2 \cos \theta$.
$\cos \theta (1 + n^2) = n^2 - 1$.
$\cos \theta = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left[ \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \right]$.

(B) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{T}{A} \cdot \frac{l}{\Delta l}$ છે,જ્યાં $\Delta l$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
તણાવ $T_1$ માટે,લંબાઈ $l_1$ છે,તેથી $\Delta l_1 = l_1 - l$. આમ,$Y = \frac{T_1}{A} \cdot \frac{l}{l_1 - l}$.
તણાવ $T_2$ માટે,લંબાઈ $l_2$ છે,તેથી $\Delta l_2 = l_2 - l$. આમ,$Y = \frac{T_2}{A} \cdot \frac{l}{l_2 - l}$.
પદાર્થ સમાન હોવાથી,$Y$ અચળ રહેશે. બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{T_1}{A} \cdot \frac{l}{l_1 - l} = \frac{T_2}{A} \cdot \frac{l}{l_2 - l}$
$\frac{T_1}{l_1 - l} = \frac{T_2}{l_2 - l}$
$T_1(l_2 - l) = T_2(l_1 - l)$
$T_1 l_2 - T_1 l = T_2 l_1 - T_2 l$
$T_2 l - T_1 l = T_2 l_1 - T_1 l_2$
$l(T_2 - T_1) = T_2 l_1 - T_1 l_2$
$l = \frac{T_2 l_1 - T_1 l_2}{T_2 - T_1}$

(D) આપેલ છે કે $1 \text{ મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ (MSD)} = a \ cm$.
ધારો કે $1 \text{ વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ (VSD)} = a' \ cm$.
પ્રશ્ન મુજબ,વર્નિયર સ્કેલનો $n^{\text{th}}$ વિભાગ મુખ્ય સ્કેલના $(n-1)^{\text{th}}$ વિભાગ સાથે બંધ બેસે છે:
$n \times a' = (n-1) \times a$
$a' = \frac{(n-1)a}{n} \ cm$.
લઘુત્તમ માપ ($L$.$C$.) એ એક મુખ્ય સ્કેલ વિભાગ અને એક વર્નિયર સ્કેલ વિભાગ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$L.C. = 1 \text{ MSD} - 1 \text{ VSD} = (a - a') \ cm$.
$a'$ ની કિંમત મૂકતા:
$L.C. = a - \frac{(n-1)a}{n} = \frac{na - na + a}{n} = \frac{a}{n} \ cm$.
લઘુત્તમ માપને $mm$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $10$ વડે ગુણીશું (કારણ કે $1 \ cm = 10 \ mm$):
$L.C. = \left(\frac{a}{n}\right) \times 10 \ mm = \frac{10a}{n} \ mm$.

(B) $1$. લગાડેલા બળ $F$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરો: $F_{x} = F \cos \theta$ અને $F_{y} = F \sin \theta$.
$2$. બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળો લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ),લગાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin \theta$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે. શિરોલંબ દિશામાં કોઈ ગતિ ન હોવાથી,કુલ શિરોલંબ બળ શૂન્ય છે: $N + F \sin \theta = mg$,જે આપણને $N = mg - F \sin \theta$ આપે છે.
$3$. ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_{k}$ એ $f_{k} = \mu_{K} N = \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$ દ્વારા મળે છે.
$4$. બ્લોક પર લાગતું કુલ સમક્ષિતિજ બળ એ લગાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક અને ઘર્ષણ બળનો તફાવત છે: $F_{net} = F \cos \theta - f_{k} = F \cos \theta - \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$.
$5$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F_{net} = ma$,આપણને $ma = F \cos \theta - \mu_{K}(mg - F \sin \theta)$ મળે છે.
$6$. દળ $m$ વડે ભાગતા,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} \cos \theta - \mu_{K}(g - \frac{F}{m} \sin \theta)$ મળે છે.

(A) ઊંડાઈએ કુલ દબાણ $P = P_{0} + \rho gd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_{0}$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
આપેલ છે કે $P_{1} = 3 \times 10^{5} \; Pa$ અને $P_{0} = 1 \times 10^{5} \; Pa$.
તેથી,$\rho gd = P_{1} - P_{0} = 3 \times 10^{5} - 1 \times 10^{5} = 2 \times 10^{5} \; Pa$.
જો ઊંડાઈ બમણી કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું દબાણ $P_{2} = P_{0} + \rho g(2d) = P_{0} + 2(\rho gd)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{2} = 1 \times 10^{5} + 2(2 \times 10^{5}) = 1 \times 10^{5} + 4 \times 10^{5} = 5 \times 10^{5} \; Pa$.
દબાણમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{P_{2} - P_{1}}{P_{1}} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
ટકાવારી વધારો $= \frac{5 \times 10^{5} - 3 \times 10^{5}}{3 \times 10^{5}} \times 100 = \frac{2 \times 10^{5}}{3 \times 10^{5}} \times 100 = \frac{200}{3} \%$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ધૂમકેતુનું કોણીય વેગમાન તેની ભ્રમણકક્ષાના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે.
ધારો કે $r_1$ અને $v_1$ એ નજીકના બિંદુ (પેરીહેલિયન) પરનું અંતર અને ઝડપ છે,અને $r_2$ અને $v_2$ એ દૂરના બિંદુ (એફેલિયન) પરનું અંતર અને ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$r_1 = 8.0 \times 10^{10} \ m$
$v_1 = 6 \times 10^{4} \ m/s$
$r_2 = 1.6 \times 10^{12} \ m$
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$v_2 = \frac{v_1 r_1}{r_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_2 = \frac{(6 \times 10^{4}) \times (8.0 \times 10^{10})}{1.6 \times 10^{12}}$
$v_2 = \frac{48 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{12}}$
$v_2 = 30 \times 10^{2} \ m/s = 3 \times 10^{3} \ m/s$
આમ,દૂરના બિંદુએ ઝડપ $3 \times 10^{3} \ m/s$ છે.

(C) આદર્શ વાયુઓના મિશ્રણનું કુલ દબાણ $P$ એ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{total} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_{total} = n_1 + n_2 + n_3$ છે.
પ્રથમ,દરેક વાયુ માટે મોલની સંખ્યાની ગણતરી કરો:
$n_{O_2} = \frac{16 \, g}{32 \, g/mol} = 0.5 \, mol$
$n_{N_2} = \frac{28 \, g}{28 \, g/mol} = 1.0 \, mol$
$n_{CO_2} = \frac{44 \, g}{44 \, g/mol} = 1.0 \, mol$
કુલ મોલ $n_{total} = 0.5 + 1.0 + 1.0 = 2.5 \, mol = \frac{5}{2} \, mol$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$PV = (2.5) RT$
$P = \frac{5}{2} \frac{RT}{V}$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સમાં,ઉષ્મા અને કાર્યને પથ વિધેયો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં,$\Delta U$ (આંતરિક ઉર્જા) એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,કરવામાં આવેલ કાર્ય $(\Delta W)$ એ સિસ્ટમની અવસ્થા બદલવા માટે લેવામાં આવેલા ચોક્કસ પ્રક્રિયા અથવા માર્ગ (પથ) પર આધાર રાખે છે.
જેથી $\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે અને $\Delta W$ એ પથ વિધેય છે,તેથી વિનિમય પામેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)$ પણ લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ઉષ્મા અને કાર્ય બંને પથ વિધેયો છે.

(C) બિંદુવત દળની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી લંબ અંતર છે.
ધારો કે અક્ષ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને વિકર્ણ $DB$ ને સમાંતર છે.
આ અક્ષથી ચાર દળોના લંબ અંતર નીચે મુજબ છે:
$1$. $A$ પરના દળ માટે: $r_A = 0$ (કારણ કે અક્ષ $A$ માંથી પસાર થાય છે).
$2$. $B$ પરના દળ માટે: $r_B = l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2}$.
$3$. $D$ પરના દળ માટે: $r_D = l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2}$.
$4$. $C$ પરના દળ માટે: $r_C = l \sin(45^\circ) + l \sin(45^\circ) = l / \sqrt{2} + l / \sqrt{2} = 2l / \sqrt{2} = l \sqrt{2}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(r_A^2 + r_B^2 + r_D^2 + r_C^2)$ છે.
$I = m [0^2 + (l / \sqrt{2})^2 + (l / \sqrt{2})^2 + (l \sqrt{2})^2]$
$I = m [0 + l^2/2 + l^2/2 + 2l^2]$
$I = m [l^2 + 2l^2] = 3 m l^2$.

(D) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય ત્યારે સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લોલકના ગોળા પર નીચેની તરફ આભાસી બળ (pseudo force) લાગે છે.
અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા મળે છે.
$g_{eff} = \frac{3g}{2}$ મૂકતા,આપણને $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{3g/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$ મળે છે.
આને મૂળ આવર્તકાળ $T$ સાથે સરખાવતા,$T' = \sqrt{\frac{2}{3}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}) = \sqrt{\frac{2}{3}} T$ થાય છે.

(A) આપેલ વેગ-સ્થળાંતર આલેખ પરથી,$0 \leq x \leq 200 \ m$ માટે,આલેખ $(0, 10)$ અને $(200, 50)$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
રેખાનું સમીકરણ $v = mx + C$ છે.
ઢાળ $m = \frac{50 - 10}{200 - 0} = \frac{40}{200} = \frac{1}{5} \ m^{-1}s^{-1}$.
આંતરછેદ $C = 10 \ m/s$.
તેથી,$v = \frac{1}{5}x + 10$.
પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx} = (\frac{1}{5}x + 10) \frac{d}{dx}(\frac{1}{5}x + 10) = (\frac{1}{5}x + 10)(\frac{1}{5}) = \frac{x}{25} + 2$.
$x = 0$ પર,$a = 2 \ m/s^2$.
$x = 200$ પર,$a = \frac{200}{25} + 2 = 8 + 2 = 10 \ m/s^2$.
$x > 200 \ m$ માટે,$v = 50 \ m/s$ (અચળ).
જેમ કે $v$ અચળ છે,$a = \frac{dv}{dt} = 0$.
આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ એ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોનું સૌથી નજીકનું પ્રતિનિધિત્વ છે.

(D) લંબબળ $N$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$N = F_c = m \omega^2 R$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $N = m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 R = m \frac{4\pi^2}{T^2} R$.
આપેલ કિંમતો: $m = 200\, g = 0.2\, kg$,$R = 20\, cm = 0.2\, m$,અને $T = 40\, s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = 0.2 \times \frac{4 \times (3.14159)^2}{(40)^2} \times 0.2$
$N = 0.2 \times \frac{4 \times 9.8696}{1600} \times 0.2$
$N = 0.04 \times \frac{39.4784}{1600}$
$N = 0.04 \times 0.024674 = 9.8696 \times 10^{-4}\, N$.
નજીકના વિકલ્પને આધારે,$N \approx 9.859 \times 10^{-4}\, N$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 20\, kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.2\, m$,બળ $F = 20\, N$,પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 0$,અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 50\, rad/s$.
બળ $F$ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F \cdot R$ છે.
તકતીના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$:
$\alpha = \frac{F \cdot R}{\frac{1}{2} mR^2} = \frac{2F}{mR} = \frac{2 \times 20}{20 \times 0.2} = \frac{2}{0.2} = 10\, rad/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\Delta\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(50)^2 = 0^2 + 2(10)\Delta\theta$
$2500 = 20\Delta\theta$
$\Delta\theta = 125\, rad$.
એક પરિભ્રમણ એટલે $2\pi \approx 6.28\, rad$ હોવાથી,પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$:
$n = \frac{\Delta\theta}{2\pi} = \frac{125}{6.28} \approx 19.90$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$n = 20$.

(D) અવરોધનું સૂત્ર $R = \frac{V}{I}$ છે.
ભાગાકાર માટે,સાપેક્ષ ત્રુટિ એ વ્યક્તિગત રાશિઓની સાપેક્ષ ત્રુટિઓનો સરવાળો છે: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,$100$ વડે ગુણો: $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \left( \frac{\Delta V}{V} \times 100 \right) + \left( \frac{\Delta I}{I} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $V = 50 \; V$,$\Delta V = 2 \; V$ અને $I = 20 \; A$,$\Delta I = 0.2 \; A$.
$R$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ = $\left( \frac{2}{50} \times 100 \right) + \left( \frac{0.2}{20} \times 100 \right)$.
$R$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ = $4\% + 1\% = 5\%$.
આમ,$x = 5$.

(A) ધારો કે બળ $\overrightarrow{P}$ બિંદુ $A$ પર નીચેની તરફ શિરોલંબ દિશામાં લગાડવામાં આવે છે. આપણે આ બળને સળિયા $AB$ અને $AC$ ની દિશામાં વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.
ધારો કે $\overrightarrow{F_{AB}}$ અને $\overrightarrow{F_{AC}}$ એ બળ $\overrightarrow{P}$ ના અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ની દિશામાં ઘટકો છે.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{P} = \overrightarrow{F_{AB}} + \overrightarrow{F_{AC}}$.
આકૃતિ પરથી,શિરોલંબ બળ $\overrightarrow{P}$ અને સળિયા $AC$ વચ્ચેનો ખૂણો $35^{\circ}$ છે.
સળિયા $AC$ ની દિશામાં બળ $\overrightarrow{P}$ નો ઘટક $P \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ સદિશ અને સળિયા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$AC$ ની દિશામાં ઘટકનું મૂલ્ય $x = 100 \cos(35^{\circ}) \; N$ છે.
આપેલ છે કે $\cos(35^{\circ}) = 0.819$.
$x = 100 \times 0.819 = 81.9 \; N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $x = 82$ મળે છે.

(B) $X$-અક્ષ પર તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_1 v_1 = 10 \times 10 \sqrt{3} = 100 \sqrt{3} \, kg \cdot m/s$ છે.
$20 \, kg$ દળનો બીજો દડો દરેક $10 \, kg$ ના બે સમાન ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનો વેગ $Y$-અક્ષ પર $v_y = 10 \, m/s$ છે અને બીજા ટુકડાનો વેગ $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $v_x = 20 \, m/s$ છે.
$X$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$P_{ix} = P_{fx}$
$100 \sqrt{3} = (10 \times v_x \cos \theta) + (10 \times 0)$
$100 \sqrt{3} = 10 \times 20 \cos \theta$
$100 \sqrt{3} = 200 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{100 \sqrt{3}}{200} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$.

(D) બિંદુ $P$ ના યામ $(5, 5 \sqrt{3})$ cm છે. બિંદુ $O$ ના યામ $(0, 0)$ અને બિંદુ $Q$ ના યામ $(10, 0)$ છે.
આપેલ બળ $\overrightarrow{F} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$.
$O$ ની સાપેક્ષે $P$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}_1 = 5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}$ છે.
$O$ ની આસપાસ ટોર્ક $\vec{\tau}_O = \overrightarrow{r}_1 \times \overrightarrow{F} = (5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}) \times (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) = (-15 \hat{k} - 20 \sqrt{3} \hat{k}) = (-15 - 20 \sqrt{3}) \hat{k}$.
$Q$ ની સાપેક્ષે $P$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}_2 = (5-10) \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j} = -5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}$ છે.
$Q$ ની આસપાસ ટોર્ક $\vec{\tau}_Q = \overrightarrow{r}_2 \times \overrightarrow{F} = (-5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}) \times (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) = (15 \hat{k} + 20 \sqrt{3} \hat{k}) = (15 + 20 \sqrt{3}) \hat{k}$.
આમ,મૂલ્યો $(-15 - 20 \sqrt{3})$ અને $(15 + 20 \sqrt{3})$ છે.

(A) ધારો કે $a$ અને $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ અનુક્રમે $P_1$ અને $P_2$ છે.
સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
બંને પરપોટા માટે,$P_1 = \frac{4T}{a}$ અને $P_2 = \frac{4T}{b}$ થાય.
જ્યારે તેઓ જોડાય છે,ત્યારે તેઓ $r$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતી સામાન્ય સપાટી બનાવે છે.
આ સામાન્ય સપાટી પર દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2$ થાય (કારણ કે $a < b$,તેથી $P_1 > P_2$).
આમ,$\frac{4T}{r} = \frac{4T}{a} - \frac{4T}{b}$.
$4T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{r} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ મળે.
$\frac{1}{r} = \frac{b-a}{ab}$.
તેથી,$r = \frac{ab}{b-a}$.

(A) બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,કુલ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f$ એ સ્થાનાંતરિત,ભ્રમણીય અને કંપન મુક્તિના અંશોના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો $= 3$.
અરેખીય બહુપરમાણ્વીય અણુ માટે ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો $= 3$.
દરેક કંપન મોડ $2$ મુક્તિના અંશો ધરાવે છે (એક ગતિ ઊર્જા માટે અને એક સ્થિતિ ઊર્જા માટે).
$24$ કંપન મોડ્સ આપેલ હોવાથી,કંપન મુક્તિના અંશો $= 24 \times 2 = 48$.
કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3 + 3 + 48 = 54$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f$ નું મૂલ્ય મૂકતા: $\gamma = 1 + \frac{2}{54} = 1 + \frac{1}{27} = \frac{28}{27} \approx 1.037$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\gamma = 1.03$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,ધન શૂન્ય ત્રુટિ $= 0.2\, mm = 0.02\, cm$.
મુખ્ય સ્કેલનું અવલોકન $(MSR) = 8.5\, cm$.
વર્નિયર સ્કેલનું અવલોકન $(VSR) = \text{વર્નિયર સંપાત} \times \text{લઘુત્તમ માપશક્તિ} = 6 \times 0.01\, cm = 0.06\, cm$.
અવલોકિત માપ $= MSR + VSR = 8.5\, cm + 0.06\, cm = 8.56\, cm$.
સાચું માપ $= \text{અવલોકિત માપ} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ} = 8.56\, cm - 0.02\, cm = 8.54\, cm$.

(A) સપાટ ટ્રેક પર વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s}$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_{s} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_{c} = \frac{mv^{2}}{R}$ છે.
આમ,$\mu_{s} N = \frac{mv^{2}}{R}$,જે આપણને $N = \frac{mv^{2}}{\mu_{s} R}$ આપે છે.
કાર પર લાગતું લંબબળ $N$ એ તેના વજન $mg$ અને નીચેની તરફ લાગતા નેગેટિવ લિફ્ટ બળ $F_{L}$ (એરોડાયનેમિક ડાઉનફોર્સ) નો સરવાળો છે.
તેથી,$N = mg + F_{L}$.
$N$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $\frac{mv^{2}}{\mu_{s} R} = mg + F_{L}$ મળે છે.
$F_{L}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $F_{L} = \frac{mv^{2}}{\mu_{s} R} - mg = m \left(\frac{v^{2}}{\mu_{s} R} - g\right)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $t _{1}$ એ પ્રવેગનો સમય છે અને $t _{2}$ એ પ્રતિપ્રવેગનો સમય છે. પ્રાપ્ત થયેલ મહત્તમ વેગ $v _{0}$ છે.
ગતિના સમીકરણો પરથી:
$v _{0} = \alpha t _{1} \Rightarrow t _{1} = \frac{v _{0}}{\alpha}$
$0 = v _{0} - \beta t _{2} \Rightarrow t _{2} = \frac{v _{0}}{\beta}$
કુલ સમય $t = t _{1} + t _{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$t = \frac{v _{0}}{\alpha} + \frac{v _{0}}{\beta} = v _{0} \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right)$
આમ,મહત્તમ વેગ $v _{0} = \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta}$ મળે છે.
કાપેલું કુલ અંતર એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $t$ પાયો અને $v _{0}$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે:
અંતર $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times t \times v _{0}$
$v _{0}$ ની કિંમત મૂકતા:
અંતર $= \frac{1}{2} \times t \times \left( \frac{\alpha \beta t}{\alpha + \beta} \right) = \frac{\alpha \beta t ^{2}}{2(\alpha + \beta)}$

(D) કોણીય વેગમાનની વ્યાખ્યા $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
બિંદુ $A$ (વર્તુળાકાર પથનું કેન્દ્ર) માટે: સ્થાન સદિશ $\vec{r}_A$ વર્તુળના સમતલમાં છે અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વર્તુળને સ્પર્શક છે. સદિશ ગુણાકાર $\vec{r}_A \times \vec{v}$ હંમેશા ધન $z$-દિશામાં (વર્તુળના સમતલને લંબ) હોય છે. ઝડપ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ અચળ હોવાથી,મૂલ્ય $L_A = mvr$ અચળ રહે છે. આમ,$L_A$ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ છે.
બિંદુ $B$ (ભ્રમણાક્ષ પર $A$ ની ઉપરનું બિંદુ) માટે: $B$ થી $M$ સુધીનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_B$ જેમ $M$ ફરે છે તેમ તેની દિશા બદલે છે. તેથી,કોણીય વેગમાન $\vec{L}_B = \vec{r}_B \times \vec{p}$ નું મૂલ્ય અચળ રહેશે,પરંતુ તેની દિશા $z$-અક્ષની આસપાસ સતત બદલાતી રહેશે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1 = 800\, K$ (સ્ત્રોતનું તાપમાન) અને $T_2 = 400\, K$ (સિંકનું તાપમાન) છે.
$\eta = 1 - \frac{400}{800} = 1 - 0.5 = 0.5$.
વધુમાં,કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય આઉટપુટ છે અને $Q_1$ એ આપેલી ઉષ્મા છે.
અહીં $W = 1200\, J$ આપેલ છે,તેથી $0.5 = \frac{1200}{Q_1}$.
આથી,$Q_1 = \frac{1200}{0.5} = 2400\, J$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.5\, kg$,પ્રારંભિક ઝડપ $u = 20\, ms^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} mu^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (20)^2 = 100\, J$.
વિચલન પછી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$ એ $K_i$ ના $5\%$ છે.
$K_f = \frac{5}{100} \times 100 = 5\, J$.
ધારો કે અંતિમ ઝડપ $v$ છે. તો $K_f = \frac{1}{2} mv^2$.
$5 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2$.
$5 = 0.25 \times v^2$.
$v^2 = \frac{5}{0.25} = 20$.
$v = \sqrt{20} \approx 4.47\, ms^{-1}$.

(B) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે. ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો ન હોવાથી,તંત્રની કુલ આંતરિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{F}{2} n R T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે. અણુઓની સંખ્યા $N$ માટે,$U = \frac{F}{2} N k_{B} T$ લખી શકાય.
મિશ્રણ માટે,મિશ્રણ પહેલાની કુલ ઉર્જા એ મિશ્રણ પછીની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$U_{1} + U_{2} = U_{mix}$
$\frac{F_{1}}{2} n_{1} k_{B} T_{1} + \frac{F_{2}}{2} n_{2} k_{B} T_{2} = \frac{F_{1}}{2} n_{1} k_{B} T + \frac{F_{2}}{2} n_{2} k_{B} T$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\frac{1}{2} k_{B}$ ને દૂર કરતા:
$F_{1} n_{1} T_{1} + F_{2} n_{2} T_{2} = T (F_{1} n_{1} + F_{2} n_{2})$
$T$ માટે ઉકેલતા:
$T = \frac{F_{1} n_{1} T_{1} + F_{2} n_{2} T_{2}}{F_{1} n_{1} + F_{2} n_{2}}$

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_1 = 900 \, rpm = \frac{900}{60} \, rev/s = 15 \, rev/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ,$\omega_2 = 2460 \, rpm = \frac{2460}{60} \, rev/s = 41 \, rev/s$.
સમયગાળો,$t = 26 \, s$.
કોણીય પ્રવેગ સમાન હોવાથી,સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\omega_{avg} = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}$ થશે.
$\omega_{avg} = \frac{15 + 41}{2} = \frac{56}{2} = 28 \, rev/s$.
કુલ પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N$ એ સરેરાશ કોણીય ઝડપ અને સમયના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$N = \omega_{avg} \times t = 28 \, rev/s \times 26 \, s = 728 \, \text{પરિભ્રમણો}$.

(A) નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $R'$ છે જેથી નવો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_e' = 10V_e$ થાય.
આમ,$10V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R'}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $10 = \sqrt{\frac{R}{R'}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$100 = \frac{R}{R'}$.
તેથી,$R' = \frac{R}{100}$.
અહીં $R = 6400 \ km$ આપેલ છે,તેથી $R' = \frac{6400}{100} = 64 \ km$.

(B) આકૃતિ $1$ માટે,એક સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ નીચે મુજબ છે:
$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$
આકૃતિ $2$ માટે,બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે સ્પ્રિંગ માટે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k} \Rightarrow k_{eq} = \frac{k}{2}$
શ્રેણી જોડાણ માટે દોલનનો આવર્તકાળ:
$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2M}{k}}$
હવે,ગુણોત્તર $\frac{T_b}{T_a}$ શોધો:
$\frac{T_b}{T_a} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{2M}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}} = \sqrt{\frac{2M/k}{M/k}} = \sqrt{2}$
આપેલ છે કે $\frac{T_b}{T_a} = \sqrt{x}$,તેથી $\sqrt{x} = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(C) $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વસ્તુ માટે $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વખતે તેનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
$S$ લંબાઈના ઢળતા સમતલના તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{2S}{g \sin \theta} \left(1 + \frac{k^2}{R^2}\right)}$ છે.
સમય $t$ ન્યૂનતમ હોય તે માટે,ગુણોત્તર $\frac{k^2}{R^2}$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
આપેલ વસ્તુઓ માટે $\frac{k^2}{R^2}$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$(1)$ રીંગ: $k^2 = R^2 \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 1$
$(2)$ તકતી: $k^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
$(3)$ નક્કર નળાકાર: $k^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
$(4)$ નક્કર ગોળો: $k^2 = \frac{2R^2}{5} \Rightarrow \frac{k^2}{R^2} = 0.4$
નક્કર ગોળા માટે $\frac{k^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું હોવાથી,તેનો પ્રવેગ સૌથી વધુ હશે અને તે ઢળતા સમતલના તળિયે સૌથી પહેલા પહોંચશે.

(C) બ્લોક્સ એકસાથે ગતિ કરે તે માટે,સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી નાના બ્લોક $m$ પરનું ઘર્ષણ બળ તેના પ્રવેગ માટે પૂરતું હોય.
મહત્તમ ઉપલબ્ધ ઘર્ષણ બળ $f_{\max} = \mu N = \mu mg$ છે.
બ્લોક $m$ લપસ્યા વિના જે મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max}$ મેળવી શકે તે $a_{\max} = \frac{f_{\max}}{m} = \mu g$ છે.
અહીં $\mu = \frac{3}{7}$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી:
$a_{\max} = \frac{3}{7} \times 9.8 = 3 \times 1.4 = 4.2\, m/s^2$.
હવે,$(M + m)$ દળની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ માટે,બળ $F$ લાગુ કરવામાં આવે છે:
$F = (M + m) a_{\max}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = (4.5 + 0.5) \times 4.2 = 5 \times 4.2 = 21\, N$.
આમ,મહત્તમ આડું બળ $21\, N$ છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{4 \pi^2 \ell}{T^2}$ છે.
સાપેક્ષ ત્રુટિ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે $\ell = 10 \ cm$ અને $\Delta \ell = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
$200$ દોલનો માટે,કુલ સમય $t = 100 \ s$ અને રિઝોલ્યુશન $\Delta t = 1 \ s$ છે. આવર્તકાળ $T = \frac{t}{200} = \frac{100}{200} = 0.5 \ s$.
આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta t}{200} = \frac{1}{200} \ s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{10} + 2 \left( \frac{1/200}{0.5} \right) = 0.01 + 2 \left( \frac{1}{100} \right) = 0.01 + 0.02 = 0.03$.
ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.03 \times 100 = 3 \%$ છે.

(A) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ (Law of Equipartition of Energy) મુજબ,$T$ તાપમાને ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા તંત્ર માટે,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ (degree of freedom) સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ હોય છે.
તેથી,આદર્શ વાયુ માટે એક સ્વતંત્રતાના અંશ દીઠ સરેરાશ ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ થાય છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા $C$ થી $D$ સુધી થાય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલા કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = \frac{P_D V_D - P_C V_C}{1 - \gamma}$
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી:
બિંદુ $C$ પર: $P_C = 100 \, N/m^2$,$V_C = 4 \, m^3$
બિંદુ $D$ પર: $P_D = 200 \, N/m^2$,$V_D = 3 \, m^3$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(200 \times 3) - (100 \times 4)}{1 - 1.4}$
$W = \frac{600 - 400}{-0.4}$
$W = \frac{200}{-0.4}$
$W = -500 \, J$

(B) અચળ પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરતા કણ માટે:
$1$. પ્રવેગ-સમયનો આલેખ એક આડી રેખા હોય છે,કારણ કે $a$ અચળ છે.
$2$. વેગ-સમયનો સંબંધ $v(t) = u + at$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે શૂન્ય ન હોય તેવા ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$3$. સ્થાન-સમયનો સંબંધ $x(t) = x_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે એક પરવલય (parabola) દર્શાવે છે.
આ લાક્ષણિકતાઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખોનો બીજો સેટ (જે $981-$b614 ઈમેજ દ્વારા દર્શાવેલ છે) યોગ્ય રીતે અચળ પ્રવેગ,રેખીય રીતે વધતો વેગ અને પરવલયાકાર સ્થાન-સમયનો આલેખ દર્શાવે છે.

(A) અવરોધ $R$ એ $R = \frac{\rho \ell}{A} = \frac{V}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અવરોધકતા $\rho = \frac{AV}{I\ell} = \frac{\pi d^2 V}{4I\ell}$,જ્યાં $A = \frac{\pi d^2}{4}$.
અવરોધકતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ મૂલ્યો: $V = 5.0\, V, \Delta V = 0.1\, V, \ell = 10.0\, cm, \Delta \ell = 0.1\, cm, d = 5.00\, mm, \Delta d = 0.01\, mm, I = 2.00\, A, \Delta I = 0.01\, A$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 2\left(\frac{0.01}{5.00}\right) + \frac{0.1}{5.0} + \frac{0.01}{2.00} + \frac{0.1}{10.0}$
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.004 + 0.02 + 0.005 + 0.01 = 0.039$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.039 \times 100 = 3.9\%$ છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
ધારો કે પ્રથમ ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T_1 = T$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
ધારો કે બીજા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T_2$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = 9R$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\left(\frac{T_2}{T}\right)^2 = \left(\frac{9R}{R}\right)^3$
$\left(\frac{T_2}{T}\right)^2 = (9)^3 = 729$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_2}{T} = \sqrt{729} = 27$
તેથી,$T_2 = 27T$.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $S = R_1 + R_2$ થાય.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ થાય.
આપેલ શરત $S = nP$ મુજબ,કિંમતો મૂકતા:
$R_1 + R_2 = n \left( \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(R_1 + R_2)^2 = n R_1 R_2$ મળે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(R_1 + R_2)^2 = (R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2 = n R_1 R_2$.
$R_1 R_2$ વડે ભાગતા,$n = 4 + \frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ મળે.
અહીં પદ $\frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ હંમેશા $0$ અથવા તેનાથી મોટું હોય છે,તેથી $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $R_1 = R_2$ હોય,જે $n = 4$ આપે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = hf - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટો-કેથોડ માટે: $hf_1 = W_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$ ... $(i)$
બીજા ફોટો-કેથોડ માટે: $hf_2 = W_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$h(f_1 - f_2) = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
વેગના તફાવત માટે પદોને ગોઠવતા:
$v_1^2 - v_2^2 = \frac{2h}{m}(f_1 - f_2)$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = V_0$
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 4.8 \quad ...(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,જ્યાં તરંગલંબાઈ $2\lambda$ છે:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 1.6 \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{4.8}{1.6} = 3$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0}$
$\frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$
$\frac{2}{\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર પ્રવાહ એ કલેક્ટર પ્રવાહ અને બેઝ પ્રવાહનો સરવાળો છે:
$I_{E} = I_{C} + I_{B}$
બંને બાજુને $I_{C}$ વડે ભાગતા:
$\frac{I_{E}}{I_{C}} = 1 + \frac{I_{B}}{I_{C}}$
કારણ કે $\alpha = \frac{I_{C}}{I_{E}}$,તેથી $\frac{1}{\alpha} = \frac{I_{E}}{I_{C}}$ થાય.
કારણ કે $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$,તેથી $\frac{1}{\beta} = \frac{I_{B}}{I_{C}}$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{\alpha} = 1 + \frac{1}{\beta}$
$\frac{1}{\beta}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha} - 1 = \frac{1 - \alpha}{\alpha}$
તેથી,$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ $i$ એ પરાવર્તન કોણ $r$ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
આપેલ છે કે પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ પરસ્પર લંબ છે,તેથી પરાવર્તન કોણ $r$,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો $(90^{\circ})$ અને વક્રીભવન કોણ $r'$ નો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
આમ,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,જે સૂચવે છે કે $r' = 90^{\circ} - r$. કારણ કે $i = r$,તેથી $r' = 90^{\circ} - i$.
આંતરપૃષ્ઠ પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા,પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin r'}{\sin i}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રાંતિકોણ $C$ એ વક્રીભવનાંક સાથે $\sin C = \frac{1}{\mu}$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$\sin C = \frac{\sin i}{\sin r'} = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$.
આમ,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}(\tan i)$ થશે.

(C) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલનનો ખૂણો $\delta_m = A$ છે,તેથી આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2\cos(\frac{A}{2})$.
$A$ ને કર્તા બનાવતા:
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\mu}{2} \Rightarrow \frac{A}{2} = \cos^{-1}(\frac{\mu}{2}) \Rightarrow A = 2\cos^{-1}(\frac{\mu}{2})$.

(C) આપેલ છે: લેન્સનો વ્યાસ $D = 6 \, cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 3 \, cm$. જાડાઈ $y = 3 \, mm = 0.3 \, cm$. લેન્સમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = 2 \times 10^8 \, m/s$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$1$. વક્રીભવનાંક $\mu$ ની ગણતરી:
$\mu = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^8} = 1.5$.
$2$. વક્ર સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ની ગણતરી:
લેન્સની ભૂમિતિ પરથી,$R^2 = r^2 + (R - y)^2$.
$R^2 = r^2 + R^2 - 2Ry + y^2$.
$2Ry = r^2 + y^2$.
અહીં $y$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$y^2$ ને અવગણી શકાય.
$R = \frac{r^2}{2y} = \frac{3^2}{2 \times 0.3} = \frac{9}{0.6} = 15 \, cm$.
$3$. લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ની ગણતરી:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R = 15 \, cm$ અને $R_2 = \infty$.
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \times \frac{1}{15} = \frac{1}{30}$.
તેથી,$f = 30 \, cm$.

(A) પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $(\delta)$ અને આપાતકોણ $(i)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\delta = (i + e) - A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ નિર્ગમન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ વધે છે,તેમ વિચલન કોણ $(\delta)$ શરૂઆતમાં ઘટે છે.
તે એક ચોક્કસ આપાતકોણ પર લઘુત્તમ વિચલન કોણ $(\delta_m)$ તરીકે ઓળખાતા લઘુત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
આ બિંદુ પછી,જેમ જેમ આપાતકોણ $(i)$ વધવાનું ચાલુ રાખે છે,તેમ વિચલન કોણ $(\delta)$ ફરીથી વધવાનું શરૂ કરે છે.
તેથી,$\delta$ અને $i$ વચ્ચેનો આલેખ એક પરવલય જેવો વક્ર છે જે લઘુત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$,જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $(i)$: $\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $3V_0$ છે:
$3eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ ......... $(1)$
કિસ્સો $(ii)$: $2\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ છે:
$eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \phi_0$ ......... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3eV_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$ ......... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા:
$\frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$
$2\phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi_0}$ હોવાથી,$\phi_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_0 = \frac{hc}{hc / 4\lambda} = 4\lambda$.

(D) $E$ ઉર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{e} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
$E$ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન માટે,સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda_{p}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{p} = \frac{hc}{E}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \times \frac{E^{1}}{\sqrt{E}} \times \frac{1}{\sqrt{2m}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{C}(\frac{E}{2m})^{1/2}$.

(C) ધારો કે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2mK}$,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
સતત $X$-રે માટે કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે,જે આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $E = \frac{hc}{\lambda_0} = K$.
$K$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$\lambda_0$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\epsilon_{0} A}{d}$ છે.
જ્યારે $t = \frac{3}{4}d$ જાડાઈનો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્રને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર $C_{1}$ અને $C_{2}$ તરીકે ગણી શકાય.
$C_{1}$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ છે: $C_{1} = \frac{K \epsilon_{0} A}{3d/4} = \frac{4 K \epsilon_{0} A}{3d}$.
$C_{2}$ એ હવાના ગાળાનું કેપેસિટન્સ છે: $C_{2} = \frac{\epsilon_{0} A}{d - 3d/4} = \frac{\epsilon_{0} A}{d/4} = \frac{4 \epsilon_{0} A}{d}$.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'$ એ $\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{C'} = \frac{3d}{4 K \epsilon_{0} A} + \frac{d}{4 \epsilon_{0} A}$.
$\frac{1}{C'} = \frac{d}{4 \epsilon_{0} A} \left( \frac{3}{K} + 1 \right) = \frac{d}{4 \epsilon_{0} A} \left( \frac{3+K}{K} \right)$.
તેથી,$C' = \frac{4 K \epsilon_{0} A}{d(3+K)} = \frac{4K}{3+K} C_{0}$.

$(A)$ પ્રિઝમ માટે, વિચલન કોણ $\delta$ એ $\delta = i + e - A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે, $e$ એ નિર્ગમનકોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
ન્યૂનતમ વિચલન કોણ વખતે:
$1$. આપાતકોણ એ નિર્ગમનકોણ જેટલો હોય છે, એટલે કે $i = e$. આનો અર્થ એ છે કે આપાત કિરણ અને નિર્ગમન કિરણ પ્રિઝમની સાપેક્ષ સંમિત છે, જે વિધાન $(A)$ અને $(C)$ ને સાચા બનાવે છે.
$2$. પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ તેના પાયાને સમાંતર બને છે, જેનો અર્થ $r_1 = r_2$ થાય છે. આ વિધાન $(B)$ ને સાચું બનાવે છે.
આમ, વિધાન $(A)$, $(B)$ અને $(C)$ ત્રણેય ન્યૂનતમ વિચલન માટેની સાચી શરતો છે, તેથી સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{E} = c(\overrightarrow{B} \times \hat{n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ તરંગના પ્રસરણની દિશા છે.
અહીં,તરંગ $y$-દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\hat{n} = \hat{y}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = 8.0 \times 10^{-8} \hat{z}\, T$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 10^{8}\, m/s) \times (8.0 \times 10^{-8} \hat{z} \times \hat{y})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{z} \times \hat{y} = -\hat{x}$,તેથી:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 8.0) \times (-\hat{x}) = -24 \hat{x}\, V/m$.

(C) ચુંબકની લંબાઈ $2l = 14 \, cm$,તેથી $l = 7 \, cm = 0.07 \, m$ છે.
કેન્દ્રથી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $d = 18 \, cm = 0.18 \, m$ છે.
દરેક ધ્રુવથી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $r = \sqrt{d^2 + l^2} = \sqrt{18^2 + 7^2} = \sqrt{324 + 49} = \sqrt{373} \, cm$ છે.
એક ધ્રુવને કારણે તટસ્થ બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ પર,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ એ બંને ધ્રુવોના પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $B_H = 2 B_0 \sin \theta$,જ્યાં $\sin \theta = \frac{l}{r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_H = 2 \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2} \right) \left( \frac{l}{r} \right) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2ml}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$,જ્યાં $M = m(2l)$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
$0.4 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{M}{(r \times 10^{-2})^3} = 10^{-7} \times \frac{M}{(373 \times 10^{-4})^{3/2}}$.
$M = \frac{0.4 \times 10^{-4} \times (373 \times 10^{-4})^{3/2}}{10^{-7}} = 0.4 \times 10^3 \times (373)^{3/2} \times 10^{-6} = 0.4 \times 10^{-3} \times 7203.82 \approx 2.88 \, J \, T^{-1}$.

(A) તારનો પ્રારંભિક અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી લંબાઈ $l' = 2l$ અને નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{2}$ છે.
નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{2l}{A/2} = \frac{4 \rho l}{A} = 4R$.
ઓમના નિયમ મુજબ નવો પ્રવાહ $I'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I' = \frac{V}{R'} = \frac{V}{4R} = \frac{V}{4(\rho l / A)} = \frac{1}{4} \frac{VA}{\rho l}$.

(D) એન્ટેના અસરકારક રહે તે માટે,તેની લંબાઈ $L$ એ તેના દ્વારા પ્રસારિત થતા સિગ્નલની તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો એક અંશ હોવી જોઈએ.
સામાન્ય રીતે,એન્ટેનાની લઘુત્તમ લંબાઈ $L = \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં એન્ટેનાની લંબાઈ $L = 25\, m$ આપેલી છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $25 = \frac{\lambda}{4}$.
$\lambda$ માટે ગણતરી કરતા: $\lambda = 25 \times 4 = 100\, m$.
આમ,સિગ્નલની તરંગલંબાઈ $100\, m$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $(EMW)$ માં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{e} = \frac{1}{4} \epsilon_{0} E_{0}^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{m} = \frac{1}{4} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_{0} = c B_{0}$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$,તેથી $E_{0}^{2} = c^{2} B_{0}^{2} = \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0} \epsilon_{0}}$.
આ કિંમત $U_{e}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $U_{e} = \frac{1}{4} \epsilon_{0} \left( \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0} \epsilon_{0}} \right) = \frac{1}{4} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}} = U_{m}$.
આમ,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોને કારણે સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા સમાન હોય છે.

(D) આકૃતિમાં દર્શાવેલ સર્કિટ એક શ્રેણી $RC$ સર્કિટ છે જ્યાં આઉટપુટ વોલ્ટેજ કેપેસિટર $C$ ની આજુબાજુ માપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇનપુટ સ્ક્વેર વેવ હાઇ હોય છે ($t_1$ થી $t_2$ સુધી),ત્યારે કેપેસિટર અવરોધ $R$ દ્વારા ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એક્સપોનેન્શિયલ ચાર્જિંગ કર્વને અનુસરે છે: $V_C(t) = V_0(1 - e^{-t/RC})$.
જ્યારે ઇનપુટ સ્ક્વેર વેવ લો હોય છે ($t_2$ થી $t_3$ સુધી),ત્યારે કેપેસિટર અવરોધ $R$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ એક્સપોનેન્શિયલ ડિસ્ચાર્જિંગ કર્વને અનુસરે છે: $V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$.
આ બંને પ્રક્રિયાઓને જોડતા,કેપેસિટર પરનું આઉટપુટ વેવફોર્મ એક્સપોનેન્શિયલ વધારો અને ત્યારબાદ એક્સપોનેન્શિયલ ઘટાડો દર્શાવશે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ પેટર્ન સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{max} = h\nu - \phi_0$,જ્યાં $K_{max} = eV_s$ છે.
આમ,$eV_s = h\nu - \phi_0$,જે દર્શાવે છે કે $V_s = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi_0}{e}$.
અહીં,$V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જેহেতু $V_s$ એ $\nu$ નું સુરેખ વિધેય છે,તેથી સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે.

(C) $L$ લંબાઈનો વાહક સળિયો જ્યારે કાગળની અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે સળિયામાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = BvL$ ઉત્પન્ન થાય છે.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ગતિ કરતા સળિયામાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા નીચેથી ઉપરની તરફ હોય છે.
આ ગતિશીલ સળિયો એક બેટરી તરીકે કાર્ય કરે છે જેનો ધન છેડો ઉપર અને ઋણ છેડો નીચે હોય છે.
$R_{1}$ ધરાવતા ડાબા લૂપ માટે,પ્રવાહ $I_{1}$ સળિયાના ઉપરના ભાગમાંથી નીકળી,$R_{1}$ માંથી પસાર થઈને સળિયાના નીચેના ભાગમાં પાછો ફરે છે,જે સમઘડી દિશા દર્શાવે છે.
$R_{2}$ ધરાવતા જમણા લૂપ માટે,પ્રવાહ $I_{2}$ સળિયાના ઉપરના ભાગમાંથી નીકળી,$R_{2}$ માંથી પસાર થઈને સળિયાના નીચેના ભાગમાં પાછો ફરે છે,જે વિષમઘડી દિશા દર્શાવે છે.
તેથી,$I_{1}$ સમઘડી દિશામાં છે અને $I_{2}$ વિષમઘડી દિશામાં છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ત્રણ $3\, k\Omega$ ના અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \implies R_p = 1\, k\Omega$.
હવે,પરિપથમાં $5\, k\Omega$ નો અવરોધ,સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = 1\, k\Omega$ અને બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $r = 1\, k\Omega$ શ્રેણીમાં છે.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 5\, k\Omega + 1\, k\Omega + 1\, k\Omega = 7\, k\Omega$.
ઓમના નિયમ મુજબ પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{21\, V}{7\, k\Omega} = 3\, mA$.
$5\, k\Omega$ નો અવરોધ પરિપથના બાકીના ભાગ સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમાંથી પણ સમાન પ્રવાહ $I = 3\, mA$ વહેશે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જ વિડ્થનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં,$\beta = 6 \ mm = 6 \times 10^{-3} \ m$,$d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,અને $D = 10 \ m$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{\beta d}{D} = \frac{(6 \times 10^{-3} \ m) \times (1 \times 10^{-3} \ m)}{10 \ m}$.
$\lambda = \frac{6 \times 10^{-6}}{10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
આને નેનોમીટર $(nm)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $10^9$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^9 \ nm = 600 \ nm$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $600$ છે.

(D) બામર શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે $(n_1 = 2, n_2 = 3)$:
$\frac{1}{\lambda_{1}} = R \left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{3^{2}}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R \left(\frac{5}{36}\right) \implies \lambda_{1} = \frac{36}{5R}$.
બામર શ્રેણીની ત્રીજી રેખા માટે $(n_1 = 2, n_2 = 5)$:
$\frac{1}{\lambda_{3}} = R \left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{5^{2}}\right) = R \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{25}\right) = R \left(\frac{21}{100}\right) \implies \lambda_{3} = \frac{100}{21R}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{3}}$ ની ગણતરી:
$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{3}} = \left(\frac{36}{5R}\right) \times \left(\frac{21R}{100}\right) = \frac{36 \times 21}{500} = \frac{756}{500} = 1.512$.
$x \times 10^{-1}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$1.512 = 15.12 \times 10^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x \approx 15$.

(A) $1$. શ્રેણી અવરોધ $R_{S}$ પરનો વોલ્ટેજ $V_{R_{S}} = V_{in} - V_{Z} = 22 \text{ V} - 15 \text{ V} = 7 \text{ V}$ છે.
$2$. શ્રેણી અવરોધ $R_{S}$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_{R_{S}}}{R_{S}} = \frac{7 \text{ V}}{35 \Omega} = 0.2 \text{ A} = \frac{1}{5} \text{ A}$ છે.
$3$. લોડ અવરોધ $R_{L} = 90 \Omega$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{L} = \frac{V_{Z}}{R_{L}} = \frac{15 \text{ V}}{90 \Omega} = \frac{1}{6} \text{ A}$ છે.
$4$. ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{Z} = I - I_{L} = \frac{1}{5} \text{ A} - \frac{1}{6} \text{ A} = \frac{6 - 5}{30} \text{ A} = \frac{1}{30} \text{ A}$ છે.
$5$. ઝેનર ડાયોડમાં વપરાતો પાવર $P = V_{Z} \times I_{Z} = 15 \text{ V} \times \frac{1}{30} \text{ A} = 0.5 \text{ W}$ છે.
$6$. આને $x \times 10^{-1} \text{ W}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા, આપણને $0.5 \text{ W} = 5 \times 10^{-1} \text{ W}$ મળે છે.
$7$. તેથી, $x$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(B) રેઝોનન્સ પર,$LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ સંપૂર્ણપણે અવરોધક હોય છે,એટલે કે $Z = R = 8\, \Omega$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 250\, V$ છે. રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{250}{\sqrt{2}}\, V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ પર વપરાતો પાવર $P = \frac{(V_{rms})^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{(250 / \sqrt{2})^2}{8} = \frac{62500 / 2}{8} = \frac{31250}{8} = 3906.25\, W$.
$kW$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $P = 3.90625\, kW$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ ઇનપુટ $A = 0$ અને $B = 1$ છે.
$1$. ઇનપુટ $A=0$ એ $NOR$ ગેટ અને $NOT$ ગેટમાં જાય છે. આ $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B=1$ એ $NOT$ ગેટમાં જાય છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0$ મળે છે. આ $0$ ને $NAND$ ગેટમાં અને બીજા એક $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેનું આઉટપુટ $1$ મળે છે.
$3$. $NOR$ ગેટને $A=0$ અને બીજા $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ મળે છે. તેથી,$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{0+1} = \overline{1} = 0$ થાય છે.
$4$. $NAND$ ગેટને પ્રથમ $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ અને $B$ સાથે જોડાયેલ $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $(0)$ મળે છે. તેથી,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ થાય છે.
$5$. અંતે,$AND$ ગેટને $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $(0)$ અને $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ મળે છે. તેથી,આઉટપુટ $Y = 0 \cdot 1 = 0$ થાય છે.
આમ,$x = 0$ છે.

(B) બોહરના હાઇડ્રોજન પરમાણુના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $(v_n)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_n = \frac{2 \pi k Z e^2}{n h}$
જ્યાં:
$k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે,
$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે (હાઇડ્રોજન માટે,$Z=1$),
$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,
$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક (કક્ષાનો ક્રમાંક) છે.
અહીં $2, \pi, k, Z, e^2,$ અને $h$ અચળાંકો હોવાથી,વેગ એ કક્ષાના ક્રમાંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$v_n \propto \frac{1}{n}$.

(B) આપેલ પ્રવાહ $I = I_{1} \sin \omega t + I_{2} \cos \omega t$ છે.
આને $I = I_{0} \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $I_{0}$ એ મહત્તમ પ્રવાહ (પીક કરંટ) છે.
કંપનવિસ્તાર $I_{0} = \sqrt{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
હોટ વાયર એમીટર પ્રવાહનું રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ મૂલ્ય માપે છે.
$RMS$ મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$I_{0}$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $I_{rms} = \sqrt{\frac{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}}{2}}$ મળે છે.

(A) સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B$ નું સૂત્ર $B = \mu n I$ છે,જ્યાં $\mu = \mu_0 \mu_r$ છે.
આપેલ છે:
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 1000 \, m^{-1} = 10^3 \, m^{-1}$.
સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 500$.
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \, A$.
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, H/m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 500 \times 1000 \times 5$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 500 \times 10^3 \times 5$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^6$
$B = 10 \pi \times 10^{-1} = \pi \, T$.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $\pi \, T$ છે.

(B) $1$. પ્રથમ બે ગેટ $NOT$ ગેટ છે (કારણ કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ ને $NOR$ ગેટના બંને ટર્મિનલ સાથે જોડવામાં આવ્યા છે). તેથી,આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
$2$. આ આઉટપુટને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. આ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{\bar{A} + \bar{B}}$ છે.
$3$. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
$4$. આ પરિણામ $(A \cdot B)$ ને અંતિમ $NOT$ ગેટમાં (શોર્ટ કરેલા ઇનપુટવાળા $NOR$ ગેટ) આપવામાં આવે છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ મળે છે.
$5$. અભિવ્યક્તિ $\overline{A \cdot B}$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n = 1$ છે.
આમ,હાઇડ્રોજનની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_H = -13.6 \times \frac{1^2}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$ થાય.
સિંગલી આયોનાઇઝ્ડ કાર્બન પરમાણુ $(C^+)$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 6$ છે.
આપણે એવું ઉર્જા સ્તર $n$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી ઉર્જા $E_C$ એ હાઇડ્રોજનની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા જેટલી થાય:
$-13.6 \frac{6^2}{n^2} = -13.6$.
બંને બાજુ $-13.6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{36}{n^2} = 1$ મળે છે.
તેથી,$n^2 = 36$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.

(B) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 10\, A$,ક્ષેત્રફળ $A = 5\, mm^{2} = 5 \times 10^{-6}\, m^{2}$,ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d} = 2 \times 10^{-3}\, m/s$,અને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતપ્રવાહ અને ડ્રિફ્ટ વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $i = neAv_{d}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$n = \frac{i}{eAv_{d}}$.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{10}{1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}$.
$n = \frac{10}{16 \times 10^{-28}} = 0.625 \times 10^{28} = 625 \times 10^{25}\, m^{-3}$.

(A) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા એન્ટેના માટે ક્ષિતિજ સુધીનું અંતર $d$ એ સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
એન્ટેના દ્વારા આવરી લેવામાં આવતો સેવા વિસ્તાર $A$ એ $d$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $A = \pi d^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $A = \pi (\sqrt{2Rh})^{2} = 2\pi Rh$ મળે છે.
અહીં $R = 6400\, km$ અને $h = 30\, m = 0.03\, km$ આપેલ છે.
$A = 3.14 \times 2 \times 6400 \times 0.03$.
$A = 3.14 \times 384 = 1205.76\, km^{2}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $A \simeq 1206\, km^{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે દરેક પાસપાસેની પ્લેટોની જોડીનું કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ છે,જ્યાં $A = l \times b = 2 \times \frac{3}{2} = 3 \, cm^{2}$ છે.
આકૃતિ પરથી,પ્લેટો $B$ અને $D$ એકબીજા સાથે જોડાયેલી છે.
કેપેસિટર પ્લેટો $A$ અને $B$,$B$ અને $C$,તથા $C$ અને $D$ વચ્ચે બને છે.
$B$ અને $D$ જોડાયેલા હોવાથી,તે સમાન સ્થિતિમાન પર છે.
પરિપથમાં $A$ અને $B$ વચ્ચે એક કેપેસિટર $(C_{1})$ અને $B$ અને $C$ વચ્ચે બે કેપેસિટર સમાંતરમાં છે ($B$ અને $C$ વચ્ચે એક,અને $C$ અને $D$ વચ્ચે એક).
આમ,$C_{eq} = C_{AB} \text{ શ્રેણીમાં } (C_{BC} \parallel C_{CD}) \text{ સાથે}$.
$C_{eq} = \frac{C_{0} \times (C_{0} + C_{0})}{C_{0} + (C_{0} + C_{0})} = \frac{C_{0} \times 2C_{0}}{3C_{0}} = \frac{2}{3} C_{0}$.
$C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = \frac{3 \varepsilon_{0}}{d}$ મૂકતા,આપણને $C_{eq} = \frac{2}{3} \times \frac{3 \varepsilon_{0}}{d} = \frac{2 \varepsilon_{0}}{d}$ મળે છે.
આને $\frac{x \varepsilon_{0}}{d}$ સાથે સરખાવતા,$x = 2$ મળે છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $U_i = \frac{1}{2} \times 14 \, pF \times (12 \, V)^2 = \frac{1}{2} \times 14 \times 144 = 1008 \, pJ$.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$k = 7$ ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = kC = 7 \times 14 \, pF = 98 \, pF$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(kC)} = \frac{U_i}{k}$ છે.
$U_f = \frac{1008 \, pJ}{7} = 144 \, pJ$.
વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો સ્લેબની યાંત્રિક ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા $= U_i - U_f = 1008 \, pJ - 144 \, pJ = 864 \, pJ$.

(D) બિન-પરાવર્તક સપાટી (સંપૂર્ણ શોષણ) અને લંબ આપાત માટે,પ્રકાશ દ્વારા લાગતું બળ $F = \frac{P}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ પાવર છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
પાવર $P = I \times A$ હોવાથી,જ્યાં $I$ એ તીવ્રતા (ઉર્જા ફ્લક્સ) છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,તેથી બળનું સમીકરણ $F = \frac{I A}{c}$ બને છે.
તીવ્રતા $I$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$I = \frac{F c}{A}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $F = 2.5 \times 10^{-6} \ N$,$A = 30 \ cm^{2}$,અને $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{2.5 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{8}}{30} = \frac{7.5 \times 10^{2}}{30} = \frac{750}{30} = 25 \ W/cm^{2}$.
આમ,ઉર્જા ફ્લક્સ $25 \ W/cm^{2}$ છે.

(B) તેલના ટીપાને સ્થિર રાખવા માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $qE = Mg$.
અહીં,$q = ne$,જ્યાં $n$ એ વધારાના ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આપેલ છે: $\rho = 3 \, g \, cm^{-3} = 3000 \, kg \, m^{-3}$,$r = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$,$E = 3.55 \times 10^{5} \, V \, m^{-1}$,$g = 9.81 \, m \, s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $n \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.55 \times 10^{5}) = 3000 \times \frac{4}{3} \times \pi \times (2 \times 10^{-3})^3 \times 9.81$.
$n \times 5.68 \times 10^{-14} = 4000 \times 3.14159 \times 8 \times 10^{-9} \times 9.81$.
$n \times 5.68 \times 10^{-14} = 9.833 \times 10^{-4}$.
$n = \frac{9.833 \times 10^{-4}}{5.68 \times 10^{-14}} \approx 1.73 \times 10^{10}$.

(A) વાતાવરણના સ્તરો ઊંચાઈના આધારે નીચે મુજબ છે:
$1$. ક્ષોભાવરણ: $0$ થી $12\, km$. તેથી,$(a) \rightarrow (iv)$.
$2$. સમતાપાવરણ: $12$ થી $50\, km$. તેથી,$(b) \rightarrow (iii)$.
$3$. મધ્યાવરણ: $50$ થી $85\, km$. તેથી,$(c) \rightarrow (ii)$.
$4$. ઉષ્માવરણ: $85\, km$ થી ઉપર. તેથી,$(d) \rightarrow (i)$.
આમ,સાચી જોડ $(a)-(iv), (b)-(iii), (c)-(ii), (d)-(i)$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ભ્રમણ કરતા કણનું દળ છે.
$E \propto m$ હોવાથી,આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $(IP)$ એ કણના દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સામાન્ય હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$IP_e = 13.6 \ eV$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $m_{\mu} = 207 m_e$ દળ ધરાવતા મ્યુઓન દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવું આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $IP_{\mu}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$IP_{\mu} = IP_e \times \frac{m_{\mu}}{m_e}$
$IP_{\mu} = 13.6 \ eV \times 207$
$IP_{\mu} = 2815.2 \ eV$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે $E = B \cdot c$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 \, m/s)$.
આપેલ છે કે $B = 2.0 \times 10^{-8} \, T$,તેથી $E = (2.0 \times 10^{-8} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 6.0 \, V/m$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તરંગ $x$-દિશામાં $(\hat{i})$ ગતિ કરે છે,અને $\overrightarrow{B}$ એ $z$-દિશામાં $(\hat{k})$ છે.
કારણ કે $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{k}$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ $y$-દિશામાં $(\hat{j})$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\overrightarrow{E} = 6.0 \hat{j} \, V/m$.

(D) લાંબા સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
સોલેનોઇડ સમાન હોવાથી,બધા માટે $n$ સમાન છે.
તેથી,$B \propto i$.
ધારો કે સર્કિટમાં પ્રવેશતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે. આ પ્રવાહ $I$ સોલેનોઇડ $A$ માંથી વહે છે.
જંકશન પર,પ્રવાહ $I$ ત્રણ સમાન સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે જેમાં સોલેનોઇડ $B, C$ અને $D$ છે.
સોલેનોઇડ સમાન હોવાથી,તેમનો અવરોધ સમાન છે અને પ્રવાહ $I$ ત્રણેય શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,સોલેનોઇડ $C$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $i_C = \frac{I}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = 3\, T$ છે,તેથી $B_A \propto I$,એટલે કે $3\, T \propto I$.
$C$ ના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_C \propto i_C = \frac{I}{3}$ છે.
તેથી,$B_C = \frac{B_A}{3} = \frac{3\, T}{3} = 1\, T$.

(C) જ્યારે કોઈ રેડિયોએક્ટિવ નમૂનો બે સ્વતંત્ર ક્ષય પ્રક્રિયાઓમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{eq} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ છે.
તેથી,$\frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{T_{1/2}^{(1)}} + \frac{\ln 2}{T_{1/2}^{(2)}}$.
બંને બાજુ $\ln 2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{T_{1/2}} = \frac{1}{T_{1/2}^{(1)}} + \frac{1}{T_{1/2}^{(2)}}$.
આ સમીકરણને $T_{1/2}$ માટે ઉકેલતા:
$T_{1/2} = \frac{T_{1/2}^{(1)} T_{1/2}^{(2)}}{T_{1/2}^{(1)} + T_{1/2}^{(2)}}$.

(B) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માટેનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5890 \, \text{Å} = 5890 \times 10^{-10} \, m$, $D = 0.5 \, m$, અને $d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\beta = \frac{5890 \times 10^{-10} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}} = 5890 \times 10^{-7} \, m = 589 \times 10^{-6} \, m$.
$n$-મી અને $m$-મી પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર $(n-m) \beta$ થાય.
પ્રથમ અને ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકા માટે, અંતર $(3-1) \beta = 2 \beta$ થશે.
અંતર $= 2 \times 589 \times 10^{-6} \, m = 1178 \times 10^{-6} \, m$.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે.
અહીં કણ $(p)$ અને ઇલેક્ટ્રોન $(e)$ ની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = 2:1$ આપેલ છે.
વળી,કણનો વેગ $v_p = 4v_e$ છે.
સૂત્ર $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \frac{m_e v_e}{m_p v_p}$ નો ઉપયોગ કરતા,કિંમતો મૂકતા:
$2 = \frac{m_e v_e}{m_p (4v_e)}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 = \frac{m_e}{4m_p}$
$m_p$ માટે ઉકેલતા:
$m_p = \frac{m_e}{4 \times 2} = \frac{m_e}{8}$.
તેથી,કણનું દળ ઇલેક્ટ્રોનના દળ કરતાં $\frac{1}{8}$ ગણું છે.

(A) $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ આવૃત્તિ $\omega_0 = 1 / \sqrt{LC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે ફક્ત $L$ અને $C$ પર આધારિત હોવાથી,જ્યારે અવરોધ $R$ બદલાય છે ત્યારે તે અચળ રહે છે.
$LCR$ સર્કિટની બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega = R / L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega$ એ અવરોધ $R$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(\Delta \omega \propto R)$,અવરોધ $R$ વધારવાથી બેન્ડવિડ્થ વધશે.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ $Q = \omega_0 L / R = 1 / R \sqrt{L/C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q \propto 1/R$ હોવાથી,અવરોધ $R$ વધારવાથી ક્વોલિટી ફેક્ટર ઘટશે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે રેઝોનન્સ સર્કિટની બેન્ડવિડ્થ વધશે.

(A) $AC$ પરિપથમાં તત્કાલીન પ્રવાહ $i = i_{0} \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i_{0}$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રવાહ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર છે,$i = i_{0}$.
પ્રવાહનું $rms$ મૂલ્ય $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $i = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ થાય.
$\cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ લેતા,આપણને $\omega t = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
$\omega = 2\pi f$ મૂકતા,$2\pi f t = \frac{\pi}{4}$ મળે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{1}{8f}$.
અહીં $f = 50\, Hz$ આપેલ છે,તેથી $t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400}\, s$.
$t = 0.0025\, s = 2.5\, ms$.

(B) દૂરની વસ્તુઓ સ્પષ્ટ રીતે ન જોઈ શકવી એ $Myopia$ (લઘુદ્રષ્ટિની ખામી) નું લક્ષણ છે.
જો કે,એકસમાન જાળી (mesh) વિકૃત અથવા અસમાન દેખાય છે તે $Astigmatism$ (દ્રષ્ટિ વૈષમ્ય) નું મુખ્ય લક્ષણ છે.
$Astigmatism$ કોર્નિયા અથવા લેન્સના અનિયમિત વળાંકને કારણે થાય છે,જેના કારણે પ્રકાશ રેટિના પર એક બિંદુને બદલે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત થાય છે.
પ્રશ્નમાં દૂરની વસ્તુઓ સ્પષ્ટ ન દેખાવી અને છબીનું વિકૃત દેખાવું બંનેનું વર્ણન હોવાથી,નિદાન $Myopia$ સાથે $Astigmatism$ છે.

(A) જ્યારે લવચીક વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વાયરના દરેક સૂક્ષ્મ ખંડ $(d\ell)$ પર $dF = i(d\ell \times B)$ મુજબ ચુંબકીય બળ લાગે છે.
આ બળ વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંનેને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં લાગતા ચુંબકીય બળની સંમિતિને કારણે,વાયર પર સમાન તણાવ ઉત્પન્ન થાય છે જે તેને વર્તુળાકાર આકારમાં ફેલાવવા માટે મજબૂર કરે છે,જેથી લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય અને તેનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ રહે.

(B) $t = 0$ સમયે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $q = 30\, \mu C$ અને $C = 3\, \mu F$,તેથી $V = \frac{30\, \mu C}{3\, \mu F} = 10\, V$.
જ્યારે કી બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $R = 5\, M\Omega = 5 \times 10^6\, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
$t = 0$ સમયે સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રારંભિક પ્રવાહ $i_0 = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$i_0 = \frac{10\, V}{5 \times 10^6\, \Omega} = 2 \times 10^{-6}\, A$.
કારણ કે $1\, \mu A = 10^{-6}\, A$,તેથી પ્રવાહ $i_0 = 2\, \mu A$ થાય.
આમ,$'x'$ નું મૂલ્ય $2$ છે.