જો $f(x)=\sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2 x}}{1+2^{2 x}}\right)\right)$ હોય અને $x =1$ આગળ તેનું $x$ ની સાપેક્ષ પ્રથમ વિકલિત $-\frac{ b }{ a } \log _{ e } 2$ હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,તો $\left| a ^{2}- b ^{2}\right|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.........

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ $f''(x)$ બાકીના દરેક જગ્યાએ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | વ્યાખ્યાયિત નથી | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ નો સંભવિત આલેખ કયો છે?

ધારો કે $f$ એક વિકલનીય વિધેય છે અને $x = 3$ આગળ $y = f(x)$ ના આલેખના અભિલંબનું સમીકરણ $3y = x + 18$ છે. જો $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {3 + {{\left( {4{{\tan }^{ - 1}}x - \pi } \right)}^2}} \right) - f\left( {3 + {{\left( {f\left( 3 \right) - x - 6} \right)}^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x - 1} \right)}}$ હોય,તો:

વિધેય $f(x) = \max\{6x, 2+3x^2\} + |x-1| |\cos(x^2 - 1/4)|, x \in (-\pi, \pi)$ જે બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી,તેવા બિંદુઓની સંખ્યા ———— છે.

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ બે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે જે $f(x)=\begin{cases} -|x+3| & , x < 0 \\ e^{x} & , x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x)=\begin{cases} x^{2}+k_{1} x & , x < 0 \\ 4 x+k_{2} & , x \geq 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $k_{1}$ અને $k_{2}$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. જો $(g \circ f)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $(g \circ f)(-4)+(g \circ f)(4)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f:[0,3] \rightarrow R$ એ $f(x)=\min \{x-[x], 1+[x]-x\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. ધારો કે $P$ એ $x \in[0,3]$ ના તમામ બિંદુઓનો ગણ છે જ્યાં $f$ અસતત છે,અને $Q$ એ $x \in(0,3)$ ના તમામ બિંદુઓનો ગણ છે જ્યાં $f$ વિકલનીય નથી. તો $P$ અને $Q$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યાનો સરવાળો $......$ છે.