JEE Main 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $P \equiv (x_1, mx_1)$ અને $Q \equiv (x_2, mx_2)$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$A_1 = \frac{1}{2} |3(0 - 1) + 2(1 - 4) + (-1)(4 - 0)| = \frac{13}{2}$.
$\Delta PQC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$A_2 = m|x_1 - x_2|$.
$A_1 = 3A_2$ હોવાથી,$|x_1 - x_2| = \frac{13}{6m}$.
રેખા $AC$ નું સમીકરણ $x + 3y = 2$ છે,તેથી $x_1 = \frac{2}{1 + 3m}$.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y = 4x - 8$ છે,તેથી $x_2 = \frac{8}{4 - m}$.
$|x_1 - x_2| = \frac{26m}{(3m + 1)(4 - m)} = \frac{13}{6m}$.
આથી $15m^2 - 11m - 4 = 0$,જેનો ઉકેલ $m = 1$ મળે છે.

(C) બે સમૂહોના સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^{2}$ માટેનું સૂત્ર:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1}\sigma_{1}^{2} + n_{2}\sigma_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{n_{1}n_{2}}{(n_{1} + n_{2})^{2}}(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})^{2}$
આપેલ કિંમતો:
$n_{1} = 10, n_{2} = n, \sigma_{1}^{2} = 2, \sigma_{2}^{2} = 1$
$\bar{x}_{1} = 2, \bar{x}_{2} = 3, \sigma^{2} = \frac{17}{9}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{17}{9} = \frac{10(2) + n(1)}{10 + n} + \frac{10n}{(10 + n)^{2}}(2 - 3)^{2}$
$\frac{17}{9} = \frac{20 + n}{10 + n} + \frac{10n}{(10 + n)^{2}}$
સાદુરૂપ આપતા:
$17(10 + n)^{2} = 9[(20 + n)(10 + n) + 10n]$
$8n^{2} - 20n - 100 = 0$
$2n^{2} - 5n - 25 = 0$
$(2n + 5)(n - 5) = 0$
$n$ ધન હોવાથી,$n = 5$.

(C) $\frac{1}{16}, a, b$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$a^2 = \frac{b}{16}$,એટલે કે $b = 16a^2$.
$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 6$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + 6$.
$b = 16a^2$ ને $A.P.$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2}{16a^2} = \frac{1}{a} + 6$
$\frac{1}{8a^2} = \frac{1}{a} + 6$
$8a^2$ વડે ગુણતા:
$1 = 8a + 48a^2$
$48a^2 + 8a - 1 = 0$
$(12a - 1)(4a + 1) = 0$
$a > 0$ હોવાથી,$a = \frac{1}{12}$.
તેથી $b = 16 \times (\frac{1}{12})^2 = 16 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{9}$.
અંતે,$72(a + b) = 72(\frac{1}{12} + \frac{1}{9}) = 72(\frac{3 + 4}{36}) = 72(\frac{7}{36}) = 2 \times 7 = 14$.

(D) $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = 30 \, cm^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 \cdot \sin A = 30$ $\Rightarrow 30 \sin A = 30$ $\Rightarrow \sin A = 1.$
આમ,$A = 90^{\circ},$ જેનો અર્થ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R$ એ કર્ણની અડધી હોય છે,તેથી $R = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, cm.$
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ $r = \frac{\Delta}{s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm.$
તેથી,$r = \frac{30}{15} = 2 \, cm.$
$2R + r = 2(6.5) + 2 = 13 + 2 = 15 \, cm$ નું મૂલ્ય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$.
આપેલ $A = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} \left[ (-\frac{1}{2})^{k} + (-\frac{3}{4})^{k} + (-\frac{7}{8})^{k} + (-\frac{15}{16})^{k} + (-\frac{31}{32})^{k} \right]$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$A = (1 - \frac{1}{2})^{n} + (1 - \frac{3}{4})^{n} + (1 - \frac{7}{8})^{n} + (1 - \frac{15}{16})^{n} + (1 - \frac{31}{32})^{n}$.
$A = (\frac{1}{2})^{n} + (\frac{1}{4})^{n} + (\frac{1}{8})^{n} + (\frac{1}{16})^{n} + (\frac{1}{32})^{n}$.
$A = \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{2^{3n}} + \frac{1}{2^{4n}} + \frac{1}{2^{5n}}$.
આ $5$ પદો માટે $a = \frac{1}{2^{n}}$ અને $r = \frac{1}{2^{n}}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$A = \frac{1}{2^{n}} \left( \frac{1 - (\frac{1}{2^{n}})^{5}}{1 - \frac{1}{2^{n}}} \right) = \frac{1 - \frac{1}{2^{5n}}}{2^{n}-1}$.
આમ,$(2^{n}-1)A = 1 - \frac{1}{2^{5n}}$.
આપેલ $63A = 1 - \frac{1}{2^{30}}$ સાથે સરખાવતા,$2^{n}-1 = 63$ અને $5n = 30$.
$2^{n} = 64 \Rightarrow n = 6$ અને $5n = 30 \Rightarrow n = 6$.
તેથી,$n = 6$.

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $\log_{a^{1/k_n}} x = k_n \log_a x$ છે,જ્યાં $k_n$ એ $2, 3, 6, 11, 18, 27, \ldots$ શ્રેણીને અનુસરે છે.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ છે,જે સમાંતર શ્રેણી છે.
આ શ્રેણીનું $n$-મું પદ $k_n = (n-1)^2 + 2$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n(x) = \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 2n \right) \log_a x$ છે.
$n=24$ માટે,$S_{24}(x) = 4372 \log_a x = 1093$,તેથી $\log_a x = \frac{1}{4}$.
$n=12$ માટે,$S_{12}(2x) = 530 \log_a (2x) = 265$,તેથી $\log_a (2x) = \frac{1}{2}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $\log_a (2x) - \log_a x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
$\log_a 2 = \frac{1}{4} \implies a = 2^4 = 16$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}$ છે.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{6}C_{6-r} = {}^{6}C_{r}$ થાય.
તેથી,સરવાળો $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{r} = \sum_{r=0}^{6} ({}^{6}C_{r})^2$ બને છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વેન્ડરમોન્ડની ઓળખ (Vandermonde's Identity) મુજબ,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$.
અહીં,$m=6, n=6$,અને $r=6$ છે.
તેથી,$\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r} = {}^{6+6}C_{6} = {}^{12}C_{6}$.
મૂલ્યની ગણતરી કરતા: ${}^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x-1 < [x] \leq x$ થાય.
$k=1, 2, \ldots, n$ માટે $[kr]$ પદોને લાગુ પાડતા:
$kr-1 < [kr] \leq kr$.
આ અસમતાઓનો $k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા:
$\sum_{k=1}^{n} (kr-1) < \sum_{k=1}^{n} [kr] \leq \sum_{k=1}^{n} kr$.
$r \frac{n(n+1)}{2} - n < \sum_{k=1}^{n} [kr] \leq r \frac{n(n+1)}{2}$.
આખી અસમતાને $n^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{r \frac{n(n+1)}{2} - n}{n^2} < \frac{\sum_{k=1}^{n} [kr]}{n^2} \leq \frac{r \frac{n(n+1)}{2}}{n^2}$.
$n \rightarrow \infty$ લેતા:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{r(n^2+n)}{2n^2} - \frac{n}{n^2} \right) = \frac{r}{2}$
અને
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r(n^2+n)}{2n^2} = \frac{r}{2}$.
સેન્ડવિચ પ્રમેય મુજબ,લક્ષ $\frac{r}{2}$ મળે છે.

(A) અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $x + 2 \tan x = \frac{\pi}{2}$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખીએ છીએ:
$2 \tan x = \frac{\pi}{2} - x$
$\tan x = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$
આપણે અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $y = \tan x$ અને $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$ ના આલેખના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$1$. અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2})$ માં,$\tan x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,જ્યારે રેખા $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$ એ $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ થી $0$ સુધી ઘટે છે. અહીં બરાબર $1$ છેદબિંદુ મળે છે.
$2$. અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માં,$\tan x$ એ $-\infty$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,જ્યારે રેખા $0$ થી $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ સુધી ઘટે છે. અહીં બરાબર $1$ છેદબિંદુ મળે છે.
$3$. અંતરાલ $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ માં,$\tan x$ એ $-\infty$ થી $0$ સુધી વધે છે,જ્યારે રેખા $-\frac{\pi}{2}$ થી $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.35$ સુધી ઘટે છે. અહીં બરાબર $1$ છેદબિંદુ મળે છે.
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(C) $S_{1} = \{ z \in C : |z - 1| \leq \sqrt{2} \}$ માટે, $z$ એ $(1, 0)$ કેન્દ્ર અને $\sqrt{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પરના અને અંદરના બિંદુઓ દર્શાવે છે.
$S_{2} = \{ z \in C : \operatorname{Re}((1 - i)z) \geq 1 \}$ માટે, ધારો કે $z = x + iy$.
તો $(1 - i)(x + iy) = x + iy - ix - i^2y = (x + y) + i(y - x)$.
તેથી, $\operatorname{Re}((1 - i)z) = x + y \geq 1$.
$S_{3} = \{ z \in C : \operatorname{Im}(z) \leq 1 \}$ માટે, આપણી પાસે $y \leq 1$ છે.
છેદગણ $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ એ સંકર સમતલમાં એક પ્રદેશ દર્શાવે છે જે વર્તુળ $(x - 1)^2 + y^2 = 2$, રેખા $x + y = 1$ અને રેખા $y = 1$ દ્વારા સીમિત છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, આ છેદગણ શૂન્યતર ક્ષેત્રફળ ધરાવતો પ્રદેશ બનાવે છે, જેનો અર્થ છે કે આ ગણ અનંત ઘટકો ધરાવે છે.

(NONE) બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ પરના આંતરિક બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $3, 5$ અને $6$ છે.
ત્રિકોણના $3$ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ને ગણતા,કુલ ઉપલબ્ધ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 3 + 5 + 6 + 3 = 17$ થાય.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આ $17$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{17}C_{3} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680$ છે.
જોકે,એક જ બાજુ પર આવેલા બિંદુઓ સમરેખ હોય છે અને તે ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
બાજુ $AB$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા $3 + 2 = 5$ છે (શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ સહિત).
બાજુ $BC$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા $5 + 2 = 7$ છે (શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ સહિત).
બાજુ $CA$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા $6 + 2 = 8$ છે (શિરોબિંદુઓ $C$ અને $A$ સહિત).
બાદ કરવાના ત્રિકોણોની સંખ્યા = $^{5}C_{3} + ^{7}C_{3} + ^{8}C_{3} = 10 + 35 + 56 = 101$.
ત્રિકોણની કુલ સંખ્યા = $680 - 101 = 579$.

(B) ધારો કે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$ છે. તેથી,$\tan \theta = \frac{12}{5}$.
$\tan \theta = \frac{12}{5}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{12}{13}$ અને $\cos \theta = \frac{5}{13}$ મળે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
ધારો કે $\alpha = \theta/2$. $\tan \alpha = \frac{r}{PA} = \frac{1}{PA}$.
$\tan \theta = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \frac{12}{5}$ પરથી $PA = 3/2$ મળે.
$\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} (PA)^2 \sin \theta = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left(\frac{12}{13}\right) = \frac{27}{26}$.
$\Delta CAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} r^2 \sin \theta = \frac{1}{2} (1)^2 \left(\frac{12}{13}\right) = \frac{6}{13}$.
ગુણોત્તર $= \frac{27/26}{6/13} = \frac{9}{4}$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4(x-5)$ છે.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળ પરવલય $y^{2} = 4a(x-h)$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_{1} = 2a(x+x_{1}) - 4ah$ છે.
અહીં,$a=1$,$h=5$,$x_{1}=6$,અને $y_{1}=2$ છે. આ કિંમતો મૂકતા:
$2y = 2(x+6) - 20$
$2y = 2x + 12 - 20$
$2y = 2x - 8$
$y = x - 4$,જેને $x - y - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{A^{2}} + \frac{y^{2}}{B^{2}} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2} = A^{2}m^{2} + B^{2}$ છે.
અહીં,$m = 1$,$c = -4$,$A^{2} = 2$,અને $B^{2} = b$ છે.
આ શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$(-4)^{2} = 2(1)^{2} + b$
$16 = 2 + b$
$b = 14$.

(A) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan (\pi \cos ^{2} \theta)}{\sin (2 \pi \sin ^{2} \theta)}$ છે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan (\pi \cos^2 \theta) = \tan (\pi - \pi \sin^2 \theta)$ મળે.
$\tan (\pi - x) = -\tan x$ હોવાથી,$\tan (\pi - \pi \sin^2 \theta) = -\tan (\pi \sin^2 \theta)$ થાય.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા,$L = \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{-\tan (\pi \sin^2 \theta)}{\sin (2 \pi \sin^2 \theta)}$.
જ્યારે $\theta \rightarrow 0$,ત્યારે $\sin^2 \theta \rightarrow 0$. ધારો કે $u = \pi \sin^2 \theta$,તો $\theta \rightarrow 0$ માટે $u \rightarrow 0$.
પદાવલિ $\lim _{u \rightarrow 0} \frac{-\tan u}{\sin (2u)}$ બને છે.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{u}$ ${\rightarrow 0} -\left( \frac{\tan u}{u} \right) \left( \frac{2u}{\sin (2u)} \right) \times \frac{1}{2} = -1 \times 1 \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(C) બિંદુ $R(3,4)$ આગળ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=25$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x+4y=25$ છે.
સ્પર્શક અક્ષોને જ્યાં મળે છે તે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ શોધવા માટે:
$P$ (x-અક્ષ પર) માટે,$y=0$ લેતા: $3x=25 \implies x=\frac{25}{3}$. તેથી,$P = (\frac{25}{3}, 0)$.
$Q$ (y-અક્ષ પર) માટે,$x=0$ લેતા: $4y=25 \implies y=\frac{25}{4}$. તેથી,$Q = (0, \frac{25}{4})$.
ત્રિકોણ $OPQ$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$P(\frac{25}{3}, 0)$,અને $Q(0, \frac{25}{4})$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $OP = \frac{25}{3}$,$OQ = \frac{25}{4}$,અને $PQ = \sqrt{(\frac{25}{3})^{2} + (\frac{25}{4})^{2}} = \sqrt{\frac{625}{9} + \frac{625}{16}} = \frac{125}{12}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર $I(a, b)$ જ્યાં શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(x_1, 0)$,અને $(0, y_1)$ હોય,તે $I = (r_{in}, r_{in})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_{in} = \frac{x_1 + y_1 - \sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{2}$.
અહીં,$r_{in} = \frac{\frac{25}{3} + \frac{25}{4} - \frac{125}{12}}{2} = \frac{25}{12}$.
તેથી,અંતઃકેન્દ્ર $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું કેન્દ્ર $I(\frac{25}{12}, \frac{25}{12})$ પર છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ અંતર $OI = \sqrt{(\frac{25}{12}-0)^{2} + (\frac{25}{12}-0)^{2}} = \sqrt{2(\frac{25}{12})^{2}}$ છે.
તેથી,$r^{2} = 2 \times (\frac{25}{12})^{2} = 2 \times \frac{625}{144} = \frac{625}{72}$.

(A) આપણે વિકલ્પો ચકાસીએ છીએ કે કઈ પદાવલિ નિત્યસત્ય $(t)$ આપે છે:
વિકલ્પ $A$: $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$= \sim(p \wedge q) \vee (\sim p \vee q)$
$= (\sim p \vee \sim q) \vee (\sim p \vee q)$
$= \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$= \sim p \vee t$
$= t$ (આ નિત્યસત્ય છે).
વિકલ્પ $B$: $(p \wedge q) \wedge (p \vee q) = (p \wedge q)$ (નિત્યસત્ય નથી).
વિકલ્પ $C$: $(p \wedge q) \vee (p \rightarrow q) = (p \wedge q) \vee (\sim p \vee q) = \sim p \vee q$ (નિત્યસત્ય નથી).
વિકલ્પ $D$: $(p \wedge q) \wedge (p \rightarrow q) = (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee q) = p \wedge q$ (નિત્યસત્ય નથી).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $A, B, C$ ના યામ $(R\cos \alpha, R\sin \alpha), (R\cos \beta, R\sin \beta)$ અને $(R\cos \gamma, R\sin \gamma)$ છે.
પરિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોવાથી,$A, B, C$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર $R$ છે.
$\Delta ABC$ નું લંબકેન્દ્ર $H$ એ $(R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma), R(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma))$ છે.
લંબકેન્દ્ર $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ શૂન્ય થાય:
$R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) = 0 \implies \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.
નિત્યસમ $\cos^3 \theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma = 4(\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma) - 3(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)$.
જો $a+b+c=0$ હોય,તો $a^3+b^3+c^3 = 3abc$ થાય.
તેથી,$\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma = 3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = \frac{4(3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma) - 0}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = 12$.
તેથી,માંગેલ કિંમત $12^2 = 144$ છે.

(B) ધારો કે સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \ldots, x_{2n}$ અને $y_1, y_2, \ldots, y_n$ છે.
પ્રથમ $2n$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = 6$ છે,તેથી $\sum x_i = 12n$.
બાકીની $n$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{y} = 3$ છે,તેથી $\sum y_i = 3n$.
કુલ મધ્યક $\bar{X} = \frac{12n + 3n}{3n} = 5$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{3n} - (\bar{X})^2 = 4$.
$4 = \frac{\sum x_i^2 + \sum y_i^2}{3n} - 25 \implies \sum x_i^2 + \sum y_i^2 = 87n$.
નવા સમૂહમાં,સંખ્યાઓ $(x_i + 1)$ અને $(y_i - 1)$ છે.
નવો મધ્યક $\bar{X}' = \frac{\sum (x_i + 1) + \sum (y_i - 1)}{3n} = \frac{12n + 2n + 3n - n}{3n} = \frac{16n}{3n} = \frac{16}{3}$.
નવો વિચરણ $k = \frac{\sum (x_i + 1)^2 + \sum (y_i - 1)^2}{3n} - (\bar{X}')^2$.
$k = \frac{\sum x_i^2 + 2\sum x_i + 2n + \sum y_i^2 - 2\sum y_i + n}{3n} - (\frac{16}{3})^2$.
$k = \frac{87n + 2(12n) + 2n - 2(3n) + n}{3n} - \frac{256}{9} = \frac{108n}{3n} - \frac{256}{9} = 36 - \frac{256}{9} = \frac{324 - 256}{9} = \frac{68}{9}$.
આમ,$9k = 68$.

(C) સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} (\frac{a}{x^2})^r = {}^{n}C_{r} a^r x^{n-3r}$ છે.
ત્રીજા,ચોથા અને પાંચમા પદના સહગુણકો અનુક્રમે ${}^{n}C_{2} a^2$,${}^{n}C_{3} a^3$ અને ${}^{n}C_{4} a^4$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર ${}^{n}C_{2} a^2 : {}^{n}C_{3} a^3 : {}^{n}C_{4} a^4 = 12 : 8 : 3$ છે.
$\frac{{}^{n}C_{2} a^2}{{}^{n}C_{3} a^3} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ પરથી,$a(n-2) = 2$ મળે છે.
$\frac{{}^{n}C_{3} a^3}{{}^{n}C_{4} a^4} = \frac{8}{3}$ પરથી,$a(n-3) = \frac{3}{2}$ મળે છે.
આ ઉકેલતા,$n=6$ અને $a=\frac{1}{2}$ મળે છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે $n-3r = 0$,તેથી $6-3r = 0 \implies r=2$.
તેથી પદ ${}^{6}C_{2} a^2 = 15 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{15}{4} = 3.75$ છે.
નજીકનો પૂર્ણાંક $4$ છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $O$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોય છે.
બાજુનું સમીકરણ $x + y - 3 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x + y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર:
$r = \frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા બમણી હોય છે,એટલે કે $R = 2r$.
તેથી,$R = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
આમ,$R + r = \frac{6}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ અતિવલય $x^{2}-2y^{2}=4$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2}=4$ અને $b^{2}=2$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.
નાભિ $F$ એ $(ae, 0) = (2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}, 0) = (\sqrt{6}, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ માટે $P(4, \sqrt{6})$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_{1}}{4}-\frac{y y_{1}}{2}=1$ છે.
$(x_{1}, y_{1}) = (4, \sqrt{6})$ મૂકતા,આપણને $\frac{4x}{4}-\frac{\sqrt{6}y}{2}=1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x - \frac{\sqrt{6}}{2}y = 1$ અથવા $2x - y\sqrt{6} = 2$ થાય છે.
$Q$ શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકો: $2x=2 \Rightarrow x=1$. તેથી,$Q(1, 0)$.
$R$ શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x=\sqrt{6}$ (નાભિલંબ) મૂકો: $2(\sqrt{6}) - y\sqrt{6} = 2 \Rightarrow y\sqrt{6} = 2\sqrt{6}-2 \Rightarrow y = 2 - \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$.
શિરોબિંદુઓ $Q(1, 0)$,$F(\sqrt{6}, 0)$,અને $R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$ ધરાવતા $\Delta QFR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
પાયો $QF = |\sqrt{6}-1|$.
વેધ $FR = |2 - \frac{2}{\sqrt{6}}|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\sqrt{6}-1) \times 2(1 - \frac{1}{\sqrt{6}}) = (\sqrt{6}-1) \times \frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{6}-1)^{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6+1-2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}-2$.

(B) ચાલો બધા વિકલ્પો માટે પૂર્વગ $((P \Rightarrow Q) \wedge \sim Q)$ ને સરળ બનાવીએ:
$((P \Rightarrow Q) \wedge \sim Q) \equiv ((\sim P \vee Q) \wedge \sim Q)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $(\sim P \wedge \sim Q) \vee (Q \wedge \sim Q)$
કારણ કે $(Q \wedge \sim Q) \equiv F$,તેથી આપણને $(\sim P \wedge \sim Q) \vee F \equiv \sim P \wedge \sim Q$ મળે છે.
હવે,દરેક વિકલ્પ તપાસો:
$(A) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow Q \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee Q \equiv (P \vee Q) \vee Q \equiv P \vee Q$ (નિત્યસત્ય નથી)
$(B) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow \sim P \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee \sim P \equiv (P \vee Q) \vee \sim P \equiv (P \vee \sim P) \vee Q \equiv T \vee Q \equiv T$ (નિત્યસત્ય છે)
$(C) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow P \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee P \equiv (P \vee Q) \vee P \equiv P \vee Q$ (નિત્યસત્ય નથી)
$(D) (\sim P \wedge \sim Q) \Rightarrow (P \wedge Q) \equiv (P \vee Q) \vee (P \wedge Q) \equiv P \vee Q$ (નિત્યસત્ય નથી)
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d]$
$S_{4n} = \frac{4n}{2}[2a + (4n-1)d] = 2n[2a + (4n-1)d]$
આપેલ છે કે $S_{2} - S_{1} = 1000$,જ્યાં $S_{1} = S_{2n}$ અને $S_{2} = S_{4n}$:
$2n[2a + (4n-1)d] - n[2a + (2n-1)d] = 1000$
$n[4a + 2(4n-1)d - 2a - (2n-1)d] = 1000$
$n[2a + (8n - 2 - 2n + 1)d] = 1000$
$n[2a + (6n - 1)d] = 1000$
$2a + (6n - 1)d = \frac{1000}{n}$
હવે,પ્રથમ $6n$ પદોનો સરવાળો $S_{6n} = \frac{6n}{2}[2a + (6n-1)d]$
$S_{6n} = 3n \times \frac{1000}{n} = 3000$

(B) આપેલ છે $w = 1 - \sqrt{3} i$,તેથી માનાંક $|w| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ છે.
આપેલ છે $|zw| = 1$,તેથી $|z| |w| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = \frac{1}{|w|} = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે $\arg(z) - \arg(w) = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે ઉગમબિંદુ પર $z$ અને $w$ ને દર્શાવતા સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
બે બાજુઓ $a$ અને $b$ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} ab \sin(\theta)$ છે.
અહીં,બાજુઓ $|z|$ અને $|w|$ છે,અને ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |z| |w| \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે અવલોકનો $x_{i}$ છે જ્યાં $1 \leq i \leq 2n$.
મૂળ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{2n} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = 0$ છે.
મૂળ અવલોકનોનું વિચરણ $\sigma_{x}^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{2n} - (\bar{x})^{2} = \frac{n(a^{2}) + n(-a)^{2}}{2n} - 0 = \frac{2na^{2}}{2n} = a^{2}$ છે.
તેથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_{x} = \sqrt{a^{2}} = |a|$ છે.
જ્યારે દરેક અવલોકનમાં અચળાંક $b$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવો મધ્યક $\bar{y} = \bar{x} + b = 0 + b = 5$,તેથી $b = 5$.
અચળાંક ઉમેરવાથી પ્રમાણિત વિચલનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી $\sigma_{y} = \sigma_{x} = |a| = 20$.
તેથી,$a^{2} = 20^{2} = 400$ અને $b^{2} = 5^{2} = 25$.
અંતે,$a^{2} + b^{2} = 400 + 25 = 425$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_{1}: x^{2}+y^{2}=3^{2}$ છે જેનું કેન્દ્ર $A(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1}=3$ છે,અને $S_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1^{2}$ છે જેનું કેન્દ્ર $B(2,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2}=1$ છે.
ધારો કે ચલ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $P(x,y)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $S$ એ $S_{1}$ ને અંદરથી સ્પર્શતું હોવાથી,અંતર $PA = r_{1} - r = 3 - r$ થાય.
વર્તુળ $S$ એ $S_{2}$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,અંતર $PB = r_{2} + r = 1 + r$ થાય.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$PA + PB = (3 - r) + (1 + r) = 4$ મળે.
અહીં $PA + PB = 4$ અને અંતર $AB = 2$ હોવાથી,$P$ નો બિંદુપથ એ ઉપવલય છે જેના નાભિઓ $A(0,0)$ અને $B(2,0)$ છે અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 4$ છે,તેથી $a = 2$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(1,0)$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = AB = 2$ છે,તેથી $2(2)e = 2$,જે $e = \frac{1}{2}$ આપે છે.
તેથી $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 3$ મળે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$x=2$ માટે,$\frac{(2-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{y^{2}}{3} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y^{2} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow y = \pm \frac{3}{2}$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $\left(2, \pm \frac{3}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{27}+y^{2}=1$ માટે બિંદુ $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{3 \sqrt{3}}+\frac{y \sin \theta}{1}=1$ છે.
$x$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $OA = 3 \sqrt{3} \sec \theta$ અને $y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $OB = \operatorname{cosec} \theta$ છે.
ધારો કે અંતઃખંડોનો સરવાળો $f(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં $f(\theta)$ નું વિકલન કરીએ:
$f^{\prime}(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$.
$f^{\prime}(\theta) = 0$ લેતા:
$3 \sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^{2} \theta}$
$\tan^{3} \theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$.
અહીં $\theta < \frac{\pi}{6}$ માટે $f^{\prime}(\theta) < 0$ અને $\theta > \frac{\pi}{6}$ માટે $f^{\prime}(\theta) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(\theta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\theta = \frac{\pi}{6}$ આગળ મળે છે.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h = PD$ છે,જ્યાં $P$ એ થાંભલાની ટોચ છે અને $D$ એ જમીન પર થાંભલાનો આધાર છે.
બગીચાના દરેક ખૂણા $A, B, C$ થી થાંભલાની ટોચ $P$ નો ઉત્સેધકોણ સમાન $(\frac{\pi}{3})$ હોવાથી,$D$ થી દરેક શિરોબિંદુ $A, B, C$ સુધીનું અંતર સમાન હોવું જોઈએ.
આમ,$DA = DB = DC = R$,જ્યાં $R$ એ $\Delta ABC$ ની પરિત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $R = 2$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta PDA$ માં,આપણી પાસે છે:
$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{PD}{DA} = \frac{h}{R}$
$h = R \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(D) આપેલ છે $15 \sin^{4} \alpha + 10 \cos^{4} \alpha = 6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $6 = 6(\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha)^{2} = 6(\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha + 2 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$15 \sin^{4} \alpha + 10 \cos^{4} \alpha = 6 \sin^{4} \alpha + 6 \cos^{4} \alpha + 12 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha$.
$9 \sin^{4} \alpha + 4 \cos^{4} \alpha - 12 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha = 0$.
$(3 \sin^{2} \alpha - 2 \cos^{2} \alpha)^{2} = 0$.
આથી $3 \sin^{2} \alpha = 2 \cos^{2} \alpha$,એટલે કે $\tan^{2} \alpha = \frac{2}{3}$ અને $\cot^{2} \alpha = \frac{3}{2}$.
હવે,$27 \sec^{6} \alpha + 8 \operatorname{cosec}^{6} \alpha = 27(1 + \tan^{2} \alpha)^{3} + 8(1 + \cot^{2} \alpha)^{3}$.
$= 27(1 + \frac{2}{3})^{3} + 8(1 + \frac{3}{2})^{3}$.
$= 27(\frac{5}{3})^{3} + 8(\frac{5}{2})^{3}$.
$= 27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8}$.
$= 125 + 125 = 250$.

(D) આપેલ છે કે $P(x) = f(x^3) + xg(x^3)$.
કારણ કે $P(x)$ એ $x^2 + x + 1$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી તે $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ આગળ શૂન્ય થવું જોઈએ. ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તો $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે. તેથી,$P(\omega) = 0$ અને $P(\omega^2) = 0$.
$P(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$ (સમીકરણ $1$)
$P(\omega^2) = f((\omega^2)^3) + \omega^2 g((\omega^2)^3) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$(f(1) + \omega g(1)) - (f(1) + \omega^2 g(1)) = 0$
$(\omega - \omega^2) g(1) = 0$
કારણ કે $\omega \neq \omega^2$,તેથી $g(1) = 0$ હોવું જોઈએ.
$g(1) = 0$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$f(1) + \omega(0) = 0 \Rightarrow f(1) = 0$.
આપણે $P(1)$ શોધવાનું છે:
$P(1) = f(1^3) + 1 \cdot g(1^3) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0$.

(C) સરવાળાની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય:
$r^3 + 6r^2 + 2r + 5 = (r+1)(r+2)(r+3) - 9(r+1) + 8$.
તેથી,સરવાળો આ મુજબ થશે:
$\sum_{r=1}^{10} [(r+3)! - 9(r+1)! + 8r!]$.
આને વિસ્તૃત કરતા:
$= (13! + 12! - 2! - 3!) - 8(11! - 1!)$.
$= (156 + 12 - 8) \times 11!$.
$= 160 \times 11!$.
તેથી,$\alpha = 160$.

(C) કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
પ્રથમ પદ: $\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
બીજું પદ: $\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$
બાદબાકી કરતા: $(x^{1/3}+1) - (1 + x^{-1/2}) = x^{1/3} - x^{-1/2}$
પદાવલિ $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ બને છે.
વ્યાપક પદ $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાતાંક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$ $\Rightarrow 20 - 5r = 0$ $\Rightarrow r = 4$.
તેથી પદ ${}^{10}C_4 = 210$ થાય.

(A) આપેલ સરવાળો $\sum_{k=0}^{10}(4+3k){ }^{10} C _{ k } = \alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}.$
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{k=0}^{10} 4 \cdot {}^{10}C_k + 3 \sum_{k=0}^{10} k \cdot {}^{10}C_k.$
$= 4 \cdot 2^{10} + 3 \cdot (10 \cdot 2^{9}).$
$= 4 \cdot 2^{10} + 30 \cdot 2^{9} = 4 \cdot 2^{10} + 15 \cdot 2^{10} = 19 \cdot 2^{10}.$
$\alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 0$ અને $\beta = 19$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 0 + 19 = 19.$

(D) વિધાન $[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$ નિત્યસત્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેને તાર્કિક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવીએ:
$[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$
$= [A \wedge (\sim A \vee B)] \rightarrow B$
$= [(A \wedge \sim A) \vee (A \wedge B)] \rightarrow B$
$= [F \vee (A \wedge B)] \rightarrow B$
$= (A \wedge B) \rightarrow B$
$= \sim (A \wedge B) \vee B$
$= (\sim A \vee \sim B) \vee B$
$= \sim A \vee (\sim B \vee B)$
$= \sim A \vee T$
$= T$
અંતિમ પરિણામ $T$ (નિત્યસત્ય) હોવાથી,વિધાન $[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$ એ નિત્યસત્ય છે.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ અંતઃખંડો છે.
અંતઃખંડોના વ્યસ્તોનો સમાંતર મધ્યક $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
આથી $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ મળે.
રેખા $(x, y)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.
જો આપણે $(2, 2)$ બિંદુ ચકાસીએ,તો $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$.
આમ,રેખા હંમેશા $(2, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
પથ્થર $B$ એ $(2, 2)$ પર હોવાથી,માત્ર પથ્થર $B$ માણસના માર્ગ પર છે.

(B) ધારો કે $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r} \sum_{k=1, k \text{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.
પ્રથમ,સરવાળો $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ ની ગણતરી કરો.
$r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$.
$j = r-1$ લેતા,$A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j 1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$.
કારણ કે $n \ge 1$ માટે $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$,તેથી $A = -15(0) = 0$.
આગળ,$B = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{11}$ ની ગણતરી કરો.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k \text{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.
$n=14$ માટે,$\sum_{k \text{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} \ldots { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$.
તેથી,$B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$.
તેથી,કુલ સરવાળો $A B = 0 2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ થાય.

(A) ધારો કે $I$ ભારતીયોની સંખ્યા છે અને $F$ વિદેશીઓની સંખ્યા છે. આપણને આપેલ છે કે $I \ge 2$ અને $F = 2I$.
અહીં $6$ ભારતીયો અને $8$ વિદેશીઓ ઉપલબ્ધ છે,તેથી $I \le 6$ અને $F \le 8$ હોવું જોઈએ.
$F = 2I$ મૂકતા,આપણને $2I \le 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I \le 4$.
આમ,$I$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4$ છે.

$I$ (ભારતીયો)	$F$ (વિદેશીઓ)	રીતોની સંખ્યા
$2$	$4$	${}^{6}C_{2} \times {}^{8}C_{4} = 15 \times 70 = 1050$
$3$	$6$	${}^{6}C_{3} \times {}^{8}C_{6} = 20 \times 28 = 560$
$4$	$8$	${}^{6}C_{4} \times {}^{8}C_{8} = 15 \times 1 = 15$

કુલ રીતોની સંખ્યા $= 1050 + 560 + 15 = 1625$.

(D) આપેલ છે કે $p + q = 2$ અને $p^{4} + q^{4} = 272$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p^{2} + q^{2} = (p + q)^{2} - 2pq = 2^{2} - 2pq = 4 - 2pq$.
વળી,$p^{4} + q^{4} = (p^{2} + q^{2})^{2} - 2p^{2}q^{2} = 272$.
$p^{2} + q^{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(4 - 2pq)^{2} - 2(pq)^{2} = 272$.
$16 - 16pq + 4(pq)^{2} - 2(pq)^{2} = 272$.
$2(pq)^{2} - 16pq - 256 = 0$.
$(pq)^{2} - 8pq - 128 = 0$.
ધારો કે $t = pq$. તો $t^{2} - 8t - 128 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-128)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 512}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{8 \pm 24}{2}$.
$t = 16$ અથવા $t = -8$.
$p$ અને $q$ ધન હોવાથી,$pq$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $pq = 16$.
$p$ અને $q$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (p+q)x + pq = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - 2x + 16 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે ટૂંકા થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને ઊંચા થાંભલાની ઊંચાઈ $3h$ છે. થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર $150 \ m$ છે. નિરીક્ષક મધ્યબિંદુ પર છે,તેથી નિરીક્ષકથી દરેક થાંભલાનું અંતર $75 \ m$ છે.
ધારો કે ટૂંકા થાંભલાનો ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે. ખૂણાઓ કોટિકોણ હોવાથી,ઊંચા થાંભલાનો ઉત્સેધકોણ $90^\circ - \theta$ છે.
ટૂંકા થાંભલા માટે: $\tan \theta = \frac{h}{75}$.
ઊંચા થાંભલા માટે: $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{3h}{75} \Rightarrow \cot \theta = \frac{3h}{75} = \frac{h}{25}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{h}{75}\right) \cdot \left(\frac{h}{25}\right)$.
$1 = \frac{h^2}{1875} \Rightarrow h^2 = 1875$.
$h = \sqrt{1875} = \sqrt{625 \times 3} = 25 \sqrt{3} \ m$.

(D) ધારો કે $S = \cos^{2} x + \cos^{4} x + \cos^{6} x + \dots \infty$. આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \cos^{2} x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos^{2} x$ છે.
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$0 < \cos^{2} x < 1$,તેથી $S = \frac{\cos^{2} x}{1 - \cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x} = \cot^{2} x$.
આપેલ પદ $e^{S \log_{e} 2} = 2^{S} = 2^{\cot^{2} x}$ છે.
સમીકરણ $t^{2} - 9t + 8 = 0$ પરથી,$(t - 8)(t - 1) = 0$,તેથી $t = 8$ અથવા $t = 1$.
આમ,$2^{\cot^{2} x} = 8 = 2^{3}$ અથવા $2^{\cot^{2} x} = 1 = 2^{0}$.
જો $\cot^{2} x = 3$,તો $\cot x = \sqrt{3}$ (પ્રથમ ચરણમાં).
જો $\cot^{2} x = 0$,તો $\cot x = 0$,જે $x = \frac{\pi}{2}$ સૂચવે છે,પરંતુ $x < \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$\cot x = \sqrt{3}$.
હવે,$\frac{2 \sin x}{\sin x + \sqrt{3} \cos x} = \frac{2}{1 + \sqrt{3} \cot x}$ માં કિંમત મૂકતા,$\frac{2}{1 + \sqrt{3}(\sqrt{3})} = \frac{2}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે પરવલય $y^{2}=4ax$ ની નાભિ $S(a, 0)$ છે અને પરવલય પરનું ગતિશીલ બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ છે.
રેખાખંડ $SP$ ના મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ માટે:
$h = \frac{at^{2}+a}{2}$ અને $k = \frac{2at+0}{2} = at$.
$k = at$ પરથી,$t = \frac{k}{a}$ મળે.
આ કિંમત $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = \frac{a(\frac{k}{a})^{2}+a}{2} = \frac{\frac{k^{2}}{a}+a}{2} = \frac{k^{2}+a^{2}}{2a}$.
$2ah = k^{2}+a^{2} \Rightarrow k^{2} = 2ah - a^{2} = 2a(h - \frac{a}{2})$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^{2} = 2a(x - \frac{a}{2})$ મળે.
આ $Y^{2} = 4AX$ સ્વરૂપનું પરવલય છે,જ્યાં $Y=y$,$X=x-\frac{a}{2}$,અને $4A = 2a \Rightarrow A = \frac{a}{2}$.
$Y^{2} = 4AX$ ની નિયામિકા $X = -A$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \Rightarrow x = 0$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$x + iy + \alpha|x + iy - 1| + 2i = 0$
$x + \alpha\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + i(y + 2) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
$x + \alpha\sqrt{(x-1)^2 + (-2)^2} = 0 \implies \alpha = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - 2x + 5}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\alpha^2 = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 5}$
ધારો કે $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 5}$. વિસ્તાર શોધવા માટે,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[0, \frac{5}{4}]$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 \in [0, \frac{5}{4}]$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \in [-\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$.
અહીં,$p = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ અને $q = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
તેથી $4(p^2 + q^2) = 4(\frac{5}{4} + \frac{5}{4}) = 10$.

(D) ગણ $A$ માં તમામ $3$-અંકી સંખ્યાઓ છે,એટલે કે $A = \{100, 101, \dots, 999\}$.
$B = \{9k + 2 : k \in N\} \cap A = \{101, 110, \dots, 992\}$. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 101$,$d = 9$,અને $l_n = 992$ છે. પદોની સંખ્યા $n_B = 100$ છે.
સરવાળો $S(B) = \frac{100}{2}(101 + 992) = 50 \times 1093 = 54650$.
તે જ રીતે,$C = \{9k + l : k \in N\} \cap A$. $3$-અંકી સંખ્યાઓ માટે,$k$ ની કિંમત $11$ થી $110$ સુધીની છે.
સરવાળો $S(C) = \sum_{k=11}^{110} (9k + l) = 9 \times \frac{100}{2}(11 + 110) + 100l = 54450 + 100l$.
આપેલ છે કે $S(B \cup C) = S(B) + S(C) - S(B \cap C) = 109600$.
જો $l \neq 2$ હોય,તો $B \cap C = \phi$,તેથી $S(B \cup C) = 54650 + 54450 + 100l = 109100 + 100l = 109600$.
$100l = 500 \Rightarrow l = 5$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$ અને $f=-3$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, 3)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}-6} = \sqrt{1+9-6} = \sqrt{4} = 2$ છે.
આ વર્તુળનો એક વ્યાસ એ બીજા વર્તુળ $'C'$ (જેનું કેન્દ્ર $(2, 1)$ છે) ની જીવા હોવાથી,વર્તુળ $'C'$ ની ત્રિજ્યા (ધારો કે $r$) એ કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર અને પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
કેન્દ્રો $(1, 3)$ અને $(2, 1)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^{2}+(1-3)^{2}} = \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ છે.
બનેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ એ વર્તુળ $'C'$ ની ત્રિજ્યા $r$ છે,અને અન્ય બે બાજુઓ અંતર $d$ અને પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આમ,$r^{2} = d^{2} + R^{2} = (\sqrt{5})^{2} + (2)^{2} = 5 + 4 = 9$.
તેથી,$r = 3$.

(D) આપેલ છે કે $x = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$ $\Rightarrow \sin^2 \theta = \frac{1}{x}$.
તે જ રીતે,$y = \sum_{n=0}^{\infty} (\sin^2 \phi)^n = \frac{1}{1 - \sin^2 \phi} = \frac{1}{\cos^2 \phi}$ $\Rightarrow \cos^2 \phi = \frac{1}{y}$.
અને $z = \sum_{n=0}^{\infty} (\cos^2 \theta \sin^2 \phi)^n = \frac{1}{1 - \cos^2 \theta \sin^2 \phi}$ $\Rightarrow 1 - \cos^2 \theta \sin^2 \phi = \frac{1}{z}$.
કારણ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$ અને $\sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y-1}{y}$,તેથી:
$1 - \left(\frac{x-1}{x}\right) \left(\frac{y-1}{y}\right) = \frac{1}{z}$.
$1 - \frac{xy - x - y + 1}{xy} = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow \frac{xy - xy + x + y - 1}{xy} = \frac{1}{z}$ $\Rightarrow \frac{x + y - 1}{xy} = \frac{1}{z}$.
$z(x + y - 1) = xy$ $\Rightarrow z(x + y) - z = xy$ $\Rightarrow xy + z = z(x + y)$.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને હોડીની ઝડપ $v \text{ m/s}$ છે.
ધારો કે $C$ એ ટાવરનો પાયો છે.
$\triangle ADC$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{AC} \implies AC = h \cot 30^{\circ} = h\sqrt{3}$.
$\triangle BDC$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{BC} \implies BC = h \cot 45^{\circ} = h$.
અંતર $AB = AC - BC = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
હોડી $AB$ અંતર $20 \text{ સેકન્ડ}$ માં કાપે છે,તેથી ઝડપ $v = \frac{AB}{20} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{20}$.
$B$ થી $C$ સુધી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{BC}{v} = \frac{h}{\frac{h(\sqrt{3}-1)}{20}} = \frac{20}{\sqrt{3}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $t = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{20(\sqrt{3}+1)}{2} = 10(\sqrt{3}+1) \text{ સેકન્ડ}$.

(C) આપેલ પરવલય $y^{2}=6x$ છે,તેથી $4a=6$,જેનો અર્થ છે કે $a=\frac{3}{2}$.
રેખા $2x+y=1$ નો ઢાળ $m_{L}=-2$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times (-2) = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m=\frac{1}{2}$.
પરવલય $y^{2}=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
$a=\frac{3}{2}$ અને $m=\frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $y=\frac{1}{2}x+\frac{3/2}{1/2} = \frac{1}{2}x+3$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y=x+6$ અથવા $x-2y+6=0$ મળે છે.
હવે,આપેલા બિંદુઓ તપાસો:
$(-6,0)$ માટે: $-6-2(0)+6=0$ (તેના પર છે).
$(4,5)$ માટે: $4-2(5)+6=4-10+6=0$ (તેના પર છે).
$(5,4)$ માટે: $5-2(4)+6=5-8+6=3 \neq 0$ (તેના પર નથી).
$(0,3)$ માટે: $0-2(3)+6=0$ (તેના પર છે).
આમ,બિંદુ $(5,4)$ સ્પર્શક પર નથી.

(D) આપેલ અસમતા: $\sin 2\theta + \tan 2\theta > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta + \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta \left(1 + \frac{1}{\cos 2\theta}\right) > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta \left(\frac{\cos 2\theta + 1}{\cos 2\theta}\right) > 0$
$\Rightarrow \tan 2\theta (2 \cos^2 \theta) > 0$
કારણ કે $2 \cos^2 \theta \ge 0$,પદ $> 0$ થવા માટે $\tan 2\theta > 0$ અને $\cos 2\theta \neq 0$ હોવું જોઈએ.
$\tan 2\theta > 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $2\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2}) \cup (2\pi, \frac{5\pi}{2}) \cup (3\pi, \frac{7\pi}{2})$.
$2$ વડે ભાગતા,$\theta \in (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વર્તુળના અભિલંબ તેના કેન્દ્રમાં છેદે છે. ધારો કે $z = x + iy$.
$(i)$ $(2-i)z = (2+i)\bar{z} \Rightarrow y = \frac{x}{2}$.
(ii) $(2+i)z + (i-2)\bar{z} - 4i = 0 \Rightarrow x + 2y = 2$.
$(i)$ અને (ii) ઉકેલતા: $x = 1, y = \frac{1}{2}$.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, \frac{1}{2})$ છે.
(iii) સ્પર્શક રેખા $iz + \bar{z} + 1 + i = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, \frac{1}{2})$ થી રેખા $x - y + 1 = 0$ નું લંબ અંતર છે:
$r = \frac{|1 - \frac{1}{2} + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3/2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(3,5)$ નું રેખા $x-y+1=0$ માં પ્રતિબિંબ $P'(x,y)$ છે.
રેખા $ax+by+c=0$ માં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)$
કિંમતો $x_1=3, y_1=5, a=1, b=-1, c=1$ મૂકતા:
$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-1} = -2 \left( \frac{3-5+1}{1^2+(-1)^2} \right)$
$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-1} = -2 \left( \frac{-1}{2} \right) = 1$
તેથી,$x-3=1 \implies x=4$ અને $y-5=-1 \implies y=4$.
પ્રતિબિંબ બિંદુ $(4,4)$ છે.
હવે,ચકાસો કે કયો વિકલ્પ બિંદુ $(4,4)$ દ્વારા સંતોષાય છે:
વિકલ્પ $D$ માટે: $(4-2)^2 + (4-4)^2 = 2^2 + 0^2 = 4$.
આમ,બિંદુ $(4,4)$ એ વર્તુળ $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 4$ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x$ અને $Q(x) = \sin x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$I.F. = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \sec x = \int \sin x \cdot \sec x dx + C$
$y \sec x = \int \tan x dx + C$
$y \sec x = \ln|\sec x| + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot \sec(0) = \ln|\sec(0)| + C$
$0 = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y \sec x = \ln|\sec x|$ છે,જે $y = \cos x \ln|\sec x|$ તરીકે લખી શકાય.
$y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ શોધવા માટે:
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|$
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\sqrt{2})$
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(2^{1/2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log_{e} 2$.

(D) આપેલ ગણ $A = \{2, 3, 4, 5, \ldots, 30\}$ છે.
સામ્ય સંબંધ $(a, b) \simeq (c, d)$ જો અને માત્ર જો $ad = bc$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે એવી ક્રમયુક્ત જોડો $(c, d)$ ની સંખ્યા શોધવાની છે કે જે $(c, d) \simeq (4, 3)$ નું પાલન કરે.
વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $c \times 3 = d \times 4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{c}{d} = \frac{4}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $c = 4k$ અને $d = 3k$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે,જ્યાં $c, d \in A$.
કારણ કે $c, d \in \{2, 3, \ldots, 30\}$,આપણે $k$ માટે શક્ય કિંમતો તપાસીએ:
$k=1$ માટે: $(c, d) = (4, 3)$
$k=2$ માટે: $(c, d) = (8, 6)$
$k=3$ માટે: $(c, d) = (12, 9)$
$k=4$ માટે: $(c, d) = (16, 12)$
$k=5$ માટે: $(c, d) = (20, 15)$
$k=6$ માટે: $(c, d) = (24, 18)$
$k=7$ માટે: $(c, d) = (28, 21)$
$k=8$ માટે: $(c, d) = (32, 24)$,જે શક્ય નથી કારણ કે $32 \notin A$.
આમ,શક્ય ક્રમયુક્ત જોડો $(4, 3), (8, 6), (12, 9), (16, 12), (20, 15), (24, 18), (28, 21)$ છે.
આવી કુલ ક્રમયુક્ત જોડોની સંખ્યા $7$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} \frac{3 x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4 x}{5}=\sin ^{-1} x$
સૂત્ર $\sin ^{-1} A + \sin ^{-1} B = \sin ^{-1} (A \sqrt{1-B^2} + B \sqrt{1-A^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{-1}\left(\frac{3 x}{5} \sqrt{1-\frac{16 x^{2}}{25}}+\frac{4 x}{5} \sqrt{1-\frac{9 x^{2}}{25}}\right)=\sin ^{-1} x$
દલીલોને સરખાવતા:
$\frac{3 x}{5} \sqrt{1-\frac{16 x^{2}}{25}}+\frac{4 x}{5} \sqrt{1-\frac{9 x^{2}}{25}}=x$
કિસ્સો $1$: $x=0$ એ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $x \neq 0$,$x$ વડે ભાગતા:
$\frac{3}{5} \sqrt{\frac{25-16 x^{2}}{25}} + \frac{4}{5} \sqrt{\frac{25-9 x^{2}}{25}} = 1$
$3 \sqrt{25-16 x^{2}} + 4 \sqrt{25-9 x^{2}} = 25$
$4 \sqrt{25-9 x^{2}} = 25 - 3 \sqrt{25-16 x^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$16(25-9 x^{2}) = 625 + 9(25-16 x^{2}) - 150 \sqrt{25-16 x^{2}}$
$400 - 144 x^{2} = 625 + 225 - 144 x^{2} - 150 \sqrt{25-16 x^{2}}$
$150 \sqrt{25-16 x^{2}} = 450$
$\sqrt{25-16 x^{2}} = 3$
$25 - 16 x^{2} = 9 \Rightarrow 16 x^{2} = 16 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
મૂળ સમીકરણમાં $x=1, -1, 0$ તપાસતા,બધા જ ઉકેલ સંતોષે છે.
આમ,$x$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $3$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = 3 \log_{e} \left| \frac{x-1}{x+1} \right| - \frac{2}{x-1}$.
આને $f(x) = 3 \log_{e} |x-1| - 3 \log_{e} |x+1| - \frac{2}{x-1}$ તરીકે લખી શકાય.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = 3 \left( \frac{1}{x-1} \right) - 3 \left( \frac{1}{x+1} \right) + \frac{2}{(x-1)^2}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$f'(x) = 3 \left( \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} \right) + \frac{2}{(x-1)^2} = 3 \left( \frac{2}{x^2-1} \right) + \frac{2}{(x-1)^2}$.
$f'(x) = \frac{6}{(x-1)(x+1)} + \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{6(x-1) + 2(x+1)}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{6x - 6 + 2x + 2}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{8x - 4}{(x-1)^2(x+1)} = \frac{4(2x-1)}{(x-1)^2(x+1)}$.
વિધેય $f(x)$ વધતું હોય તે માટે,$f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
તમામ $x \neq 1$ માટે $(x-1)^2 > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $\frac{2x-1}{x+1}$ પર આધાર રાખે છે.
$\frac{2x-1}{x+1} \geq 0$ માટે ચિહ્ન યોજનાનો ઉપયોગ કરતા:
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = -1$ છે.
અંતરાલો તપાસતા: $(-\infty, -1)$,$(-1, \frac{1}{2}]$,અને $[\frac{1}{2}, \infty)$.
$x \in (-\infty, -1) \cup [\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x+1) = xf(x)$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln f(x+1) = \ln(x f(x))$.
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\ln f(x+1) = \ln x + \ln f(x)$.
કારણ કે $g(x) = \ln f(x)$,આ સમીકરણ $g(x+1) = \ln x + g(x)$ અથવા $g(x+1) - g(x) = \ln x$ બને છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા,$g''(x+1) - g''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\ln x) = -\frac{1}{x^2}$ મળે.
હવે,આ સંબંધમાં $x = 1, 2, 3, 4$ મૂકતા:
$x=1$ માટે: $g''(2) - g''(1) = -\frac{1}{1^2}$
$x=2$ માટે: $g''(3) - g''(2) = -\frac{1}{2^2}$
$x=3$ માટે: $g''(4) - g''(3) = -\frac{1}{3^2}$
$x=4$ માટે: $g''(5) - g''(4) = -\frac{1}{4^2}$
આ ચાર સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે:
$g''(5) - g''(1) = -\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}\right) = -\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right)$.
સરવાળો ગણતા: $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{144 + 36 + 16 + 9}{144} = \frac{205}{144}$.
આમ,$|g''(5) - g''(1)| = \frac{205}{144}$.

(C) આપેલ છે કે $P(x) = x^2 + bx + c$.
$P(x)$ નું $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{1} (x^2 + bx + c) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{b}{2} + c = 1$.
$6$ વડે ગુણતા,$2 + 3b + 6c = 6$,તેથી $3b + 6c = 4$ ... $(1)$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$P(2) = 5$:
$2^2 + b(2) + c = 5 \Rightarrow 4 + 2b + c = 5 \Rightarrow 2b + c = 1$ ... $(2)$.
$(2)$ પરથી,$c = 1 - 2b$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$3b + 6(1 - 2b) = 4 \Rightarrow 3b + 6 - 12b = 4 \Rightarrow -9b = -2 \Rightarrow b = \frac{2}{9}$.
તેથી $c = 1 - 2(\frac{2}{9}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
આમ,$b + c = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$.
તેથી,$9(b + c) = 9(\frac{7}{9}) = 7$.

(B) કારણ કે $(3,5,7)$ એ $L_{1}$ પર આવેલું છે,તેથી $\frac{3-a}{l}=\frac{5-2}{3}=\frac{7-b}{4}=1$ મળે.
આના પરથી,$3-a=l \Rightarrow a+l=3$ અને $7-b=4 \Rightarrow b=3$ મળે.
$(3,5,7)$ થી $(4,3,8)$ સુધીનો સદિશ $\vec{v}_{1} = (4-3, 3-5, 8-7) = (1, -2, 1)$ છે.
$L_{1}$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}_{2} = (l, 3, 4)$ છે.
રેખાખંડ $L_{1}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = 0 \Rightarrow l - 6 + 4 = 0 \Rightarrow l = 2$ મળે.
તેથી,$a = 3 - 2 = 1$.
રેખાઓ $L_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $L_{2}: \frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ છે.
ધારો કે $A = (1,2,3)$ અને $B = (2,4,5)$,તેથી $\vec{AB} = (1,2,2)$ મળે.
દિશા સદિશો $\vec{p} = (2,3,4)$ અને $\vec{q} = (3,4,5)$ છે.
$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ મળે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{\vec{AB} \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(1,2,2) \cdot (-1,2,-1)}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$ થાય.

(B) વક્ર $C_{1}$ માટે: $\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - x^{2}}{2xy}$.
$y = vx$ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ મળે.
$v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} - 1}{2v} \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = \frac{-(v^{2} + 1)}{2v}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{2v}{v^{2} + 1} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln(v^{2} + 1) = -\ln x + C$.
$\ln(\frac{x^{2} + y^{2}}{x}) = C$. $(1, 1)$ માંથી પસાર થતા,$C = \ln 2$.
તેથી,$x^{2} + y^{2} - 2x = 0$ (કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ વાળું વર્તુળ).
વક્ર $C_{2}$ માટે: $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^{2} - y^{2}}$.
તે જ રીતે ઉકેલતા $x^{2} + y^{2} - 2y = 0$ (કેન્દ્ર $(0, 1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ વાળું વર્તુળ) મળે.
આ બે વર્તુળો દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $2 \int_{0}^{1} (\sqrt{1 - (x-1)^{2}} - x) dx = \frac{\pi}{2} - 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{r}$,તેથી $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} + \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{r} \times (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\overrightarrow{r}$ એ $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$ ને સમાંતર છે.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (2\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેથી,$\overrightarrow{r} = \lambda(3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
$\overrightarrow{r}$ ની કિંમત $\overrightarrow{r} \cdot (\alpha\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3$ માં મૂકતા:
$\lambda(3\alpha - 2 + 2) = 3 \Rightarrow 3\lambda\alpha = 3 \Rightarrow \lambda\alpha = 1$.
$\overrightarrow{r}$ ની કિંમત $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j} - \alpha\hat{k}) = -1$ માં મૂકતા:
$\lambda(6 - 5 - 2\alpha) = -1 \Rightarrow \lambda(1 - 2\alpha) = -1 \Rightarrow \lambda - 2\lambda\alpha = -1$.
$\lambda\alpha = 1$ હોવાથી,$\lambda - 2(1) = -1 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી $\alpha = 1/\lambda = 1$.
આમ,$\overrightarrow{r} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{r}|^{2} = 3^{2} + (-1)^{2} + 2^{2} = 9 + 1 + 4 = 14$.
અંતે,$\alpha + |\overrightarrow{r}|^{2} = 1 + 14 = 15$.

(D) આપેલી રેખા $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{-m} = \frac{z+3}{1}$ છે. આ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -m, 1)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(1, -2, 3)$ છે. બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-m} = \frac{z-3}{1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(1+3r, -2-mr, 3+r)$ છે.
બિંદુ $Q$ સમતલ $x + 2y - 3z + 10 = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$(1+3r) + 2(-2-mr) - 3(3+r) + 10 = 0$
$1 + 3r - 4 - 2mr - 9 - 3r + 10 = 0$
$-2mr - 2 = 0 \Rightarrow -2mr = 2 \Rightarrow mr = -1 \Rightarrow r = -\frac{1}{m}$.
અંતર $PQ = \sqrt{\frac{7}{2}}$ આપેલું છે.
$PQ^2 = (3r)^2 + (-mr)^2 + (r)^2 = r^2(9 + m^2 + 1) = r^2(10 + m^2)$.
$r^2 = \frac{1}{m^2}$ મૂકતા:
$\frac{7}{2} = \frac{1}{m^2}(10 + m^2)$
$\frac{7}{2}m^2 = 10 + m^2$
$\frac{5}{2}m^2 = 10 \Rightarrow m^2 = 4 \Rightarrow |m| = 2$.

(B) આપેલ છે $A = XB$,તેથી $\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે $\sqrt{3} a_1 = b_1 - b_2$ અને $\sqrt{3} a_2 = b_1 + k b_2$.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$3(a_1^2 + a_2^2) = (b_1 - b_2)^2 + (b_1 + k b_2)^2$
$3(a_1^2 + a_2^2) = (b_1^2 + b_2^2 - 2b_1b_2) + (b_1^2 + k^2b_2^2 + 2kb_1b_2)$
$3(a_1^2 + a_2^2) = 2b_1^2 + (1 + k^2)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1)$.
આપણને આપેલ છે $a_1^2 + a_2^2 = \frac{2}{3}(b_1^2 + b_2^2)$,તેથી $3(a_1^2 + a_2^2) = 2b_1^2 + 2b_2^2$.
$3(a_1^2 + a_2^2)$ માટેની બંને અભિવ્યક્તિઓની સરખામણી કરતા:
$2b_1^2 + (1 + k^2)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 2b_1^2 + 2b_2^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(k^2 + 1)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 2b_2^2$ મળે.
$(k^2 - 1)b_2^2 + 2b_1b_2(k - 1) = 0$.
$(k - 1)[(k + 1)b_2^2 + 2b_1b_2] = 0$.
શરત $(k^2 + 1)b_2^2 \neq -2b_1b_2$ મુજબ,કૌંસમાં રહેલી પદાવલિ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $k = 1$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) \tan^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.
બંને સંકલનમાં અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા.
$I = \int \frac{(1-1/x^2) dx}{((x+1/x)^2+1) \tan^{-1}(x+1/x)} + \frac{1}{2} \int \frac{(1+1/x^2) - (1-1/x^2) dx}{(x^2+1/x^2+3)}$.
ધારો કે $t = \tan^{-1}(x+1/x)$,તો $dt = \frac{1}{1+(x+1/x)^2} (1-1/x^2) dx$.
$I = \int \frac{dt}{t} + \frac{1}{2} \int \frac{1+1/x^2}{(x-1/x)^2+5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1-1/x^2}{(x+1/x)^2+1} dx$.
$I = \log_e |t| + \frac{1}{2} \int \frac{dy}{y^2+5} - \frac{1}{2} \int \frac{dz}{z^2+1}$,જ્યાં $y=x-1/x$ અને $z=x+1/x$.
$I = \log_e |\tan^{-1}(x+1/x)| + \frac{1}{2\sqrt{5}} \tan^{-1}(\frac{x-1/x}{\sqrt{5}}) - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1/x) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$\alpha=1, \beta=\frac{1}{2\sqrt{5}}, \gamma=\frac{1}{\sqrt{5}}, \delta=-\frac{1}{2}$.
તેથી $10(\alpha+\beta\gamma+\delta) = 10(1 + \frac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2}) = 10(1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{2}) = 10(\frac{10+1-5}{10}) = 6$.

(B) સંયુક્ત વિધેય $(g \circ f)(x)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$g(f(x)) = \begin{cases} f(x)+1, & f(x) < 0 \\ (f(x)-1)^2+b, & f(x) \geq 0 \end{cases}$
$f(x)$ ની વ્યાખ્યા મૂકતા:
$x < 0$ માટે,$f(x) = x+a$. તેથી,$g(f(x)) = \begin{cases} x+a+1, & x+a < 0 \\ (x+a-1)^2+b, & x+a \geq 0 \end{cases}$
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = |x-1|$. તેથી,$g(f(x)) = \begin{cases} |x-1|+1, & |x-1| < 0 \\ (|x-1|-1)^2+b, & |x-1| \geq 0 \end{cases}$
કારણ કે તમામ $x$ માટે $|x-1| \geq 0$ છે,તેથી $|x-1| < 0$ શક્ય નથી. વિધેય આ રીતે સરળ બને છે:
$(g \circ f)(x) = \begin{cases} x+a+1, & x < -a \\ (x+a-1)^2+b, & -a \leq x < 0 \\ (|x-1|-1)^2+b, & x \geq 0 \end{cases}$
$x = -a$ આગળ સાતત્ય માટે: $\lim_{x \to -a^-} (x+a+1) = \lim_{x \to -a^+} ((x+a-1)^2+b) \implies 1 = (-1)^2 + b \implies b = 0$.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય માટે: $\lim_{x \to 0^-} ((x+a-1)^2+b) = \lim_{x \to 0^+} ((|x-1|-1)^2+b) \implies (a-1)^2 + b = (|0-1|-1)^2 + b \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$.
આમ,$a+b = 1+0 = 1$.

(B) સદિશ $\overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ બંનેને લંબ હોવાથી,તે તેમના સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ ને સમાંતર હશે. તેથી,આપણે $\overrightarrow{c}=\lambda(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
પ્રથમ,$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - (-2)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(2 - 1) = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}.$
આપેલ છે કે $\overrightarrow{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8,$ તેથી $\overrightarrow{c}=\lambda(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$ મૂકતા:
$\lambda(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})\cdot(\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k})=8$
$\lambda(3(1) + (-2)(1) + (1)(3)) = 8$
$\lambda(3 - 2 + 3) = 8 \Rightarrow 4\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 2.$
હવે,$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})$ ની કિંમત શોધીએ:
$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = \lambda(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = \lambda|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|^2.$
$|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14.$
તેથી,$\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) = 2 \times 14 = 28.$

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^{-x} \sin x$.
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ હોવાથી,કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = f(x)$ થાય.
આપણે $I = \int_{0}^{1} (F'(x) + f(x)) e^{x} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$F'(x) = f(x)$ મૂકતા,$I = \int_{0}^{1} (f(x) + f(x)) e^{x} dx = \int_{0}^{1} 2f(x) e^{x} dx$ મળે.
$f(x) = e^{-x} \sin x$ મૂકતા,$I = 2 \int_{0}^{1} e^{-x} \sin x \cdot e^{x} dx = 2 \int_{0}^{1} \sin x dx$ મળે.
સંકલન કરતા,$I = 2 [-\cos x]_{0}^{1} = 2(1 - \cos 1)$ મળે.
$\cos x$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,$\cos 1 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} + \dots$ થાય.
તેથી,$I = 2(1 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} + \dots)) = 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{24} + \frac{1}{720} - \dots) = 1 - \frac{1}{12} + \frac{1}{360} - \dots$ મળે.
$I = \frac{11}{12} + \frac{1}{360} - \dots = \frac{330}{360} + \frac{1}{360} - \dots = \frac{331}{360} - \dots$ થાય.
આ શ્રેણી એકાંતરે અને ઘટતી હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $[\frac{330}{360}, \frac{331}{360}]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x -[ x ]}} dx = \int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{\{ x \}}} dx$.
વિધેય $f(x) = \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{\{ x \}}}$ એ $1$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય હોવાથી,$I = 10 \int_{0}^{1} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx$ થાય.
આપણે સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરીએ: $I = 10 \left( \int_{0}^{1/2} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx \right)$.
$0 \le x < 1/2$ માટે,$\sin(2 \pi x) \in [0, 1)$,તેથી $[\sin 2 \pi x] = 0$.
$1/2 \le x < 1$ માટે,$\sin(2 \pi x) \in [-1, 0)$,તેથી $[\sin 2 \pi x] = -1$.
આમ,$I = 10 \left( 0 + \int_{1/2}^{1} \frac{-1}{ e ^{ x }} dx \right) = -10 \int_{1/2}^{1} e ^{-x} dx$.
$I = -10 \left[ -e ^{-x} \right]_{1/2}^{1} = 10 (e ^{-1} - e ^{-1/2}) = 10 e ^{-1} - 10 e ^{-1/2} + 0$.
આને $\alpha e ^{-1} + \beta e ^{-1/2} + \gamma$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 10, \beta = -10, \gamma = 0$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 10 - 10 + 0 = 0$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ છે.
તેને $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - (\tan x)y = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\tan x$ અને $Q(x) = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln|\cos x|} = \cos x$ ($x \in [0, \pi/2)$ માટે).
ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y \cos x = \int \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)} \cdot \cos x dx + C = \int \frac{dx}{3 \sin x+\cos x+3} + C$.
$t = \tan(x/2)$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$y \cos x = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{3(2t/(1+t^2)) + (1-t^2)/(1+t^2) + 3} + C = \int \frac{2 dt}{6t + 1 - t^2 + 3 + 3t^2} + C = \int \frac{2 dt}{2t^2 + 6t + 4} + C = \int \frac{dt}{t^2 + 3t + 2} + C$.
$y \cos x = \int \frac{dt}{(t+1)(t+2)} + C = \int (\frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2}) dt + C = \ln|\frac{t+1}{t+2}| + C$.
$y \cos x = \ln|\frac{\tan(x/2)+1}{\tan(x/2)+2}| + C$.
$y(0)=0$ આપેલ છે,તેથી $0 = \ln(1/2) + C \Rightarrow C = \ln 2$.
$y \cos x = \ln(\frac{1+\tan(x/2)}{2+\tan(x/2)}) + \ln 2 = \ln(\frac{2(1+\tan(x/2))}{2+\tan(x/2)})$.
$x = \pi/3$ માટે,$\tan(x/2) = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$.
$y(1/2) = \ln(\frac{2(1+1/\sqrt{3})}{2+1/\sqrt{3}}) = \ln(\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{3}+1})$.
વિકલ્પો તપાસતા,સાચો જવાબ $2 \ln(\frac{2\sqrt{3}+10}{11})$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$.
$\sin^{-1}(u)$ ના પ્રદેશ માટે,આપણે $-1 \leq u \leq 1$ ની જરૂર છે. કારણ કે $u$ એ પૂર્ણાંક છે (મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયને કારણે),$u \in \{-1, 0, 1\}$.
કિસ્સો $1$: ધારો કે $x^2 + \frac{1}{3} = k_1$ અને $x^2 - \frac{2}{3} = k_2$,જ્યાં $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$.
$x \in [-1, 1]$ આપેલ છે,તેથી $x^2 \in [0, 1]$.
તેથી $x^2 + \frac{1}{3} \in [1/3, 4/3]$,તેથી $[x^2 + 1/3] \in \{0, 1\}$.
અને $x^2 - 2/3 \in [-2/3, 1/3]$,તેથી $[x^2 - 2/3] \in \{-1, 0\}$.
કિસ્સો $I$: $[x^2 + 1/3] = 0$ અને $[x^2 - 2/3] = -1$.
આનો અર્થ એ છે કે $0 \leq x^2 + 1/3 < 1 \Rightarrow -1/3 \leq x^2 < 2/3$ અને $-1 \leq x^2 - 2/3 < 0 \Rightarrow -1/3 \leq x^2 < 2/3$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\sin^{-1}(0) + \cos^{-1}(-1) = x^2 \Rightarrow 0 + \pi = x^2 \Rightarrow x^2 = \pi$.
$\pi \approx 3.14$ હોવાથી,તે $[0, 2/3)$ માં નથી. તેથી કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $II$: $[x^2 + 1/3] = 1$ અને $[x^2 - 2/3] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 \leq x^2 + 1/3 < 2 \Rightarrow 2/3 \leq x^2 < 5/3$ અને $0 \leq x^2 - 2/3 < 1 \Rightarrow 2/3 \leq x^2 < 5/3$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\sin^{-1}(1) + \cos^{-1}(0) = x^2 \Rightarrow \pi/2 + \pi/2 = x^2 \Rightarrow x^2 = \pi$.
$\pi \approx 3.14$ હોવાથી,તે $[2/3, 1]$ માં નથી (કારણ કે $x \in [-1, 1]$ નો અર્થ $x^2 \leq 1$ થાય છે). તેથી કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) ક્રમ $'1001'$ શરૂઆતના સ્થાનના આધારે બે રીતે બની શકે છે:
કિસ્સો $1$: ક્રમ એકી સ્થાનથી શરૂ થાય છે.
એકી સ્થાન $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
બેકી સ્થાન $(0)$: $P(0) = \frac{1}{2}$
એકી સ્થાન $(0)$: $P(0) = \frac{1}{3}$
બેકી સ્થાન $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
સંભાવના $= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
કિસ્સો $2$: ક્રમ બેકી સ્થાનથી શરૂ થાય છે.
બેકી સ્થાન $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
એકી સ્થાન $(0)$: $P(0) = \frac{1}{3}$
બેકી સ્થાન $(0)$: $P(0) = \frac{1}{2}$
એકી સ્થાન $(1)$: $P(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
સંભાવના $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2(x^{2}+x^{5/4}) \frac{dy}{dx} - y(x+x^{1/4}) = 2x^{9/4}$ છે.
$2(x^{2}+x^{5/4}) = 2x(x+x^{1/4})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x} = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{2x}$ અને $Q(x) = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{2x} dx} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1} \cdot x^{-1/2} dx = \int \frac{x^{3/4}}{x^{3/4}+1} dx$.
ધારો કે $x^{1/4} = t$,તો $x = t^{4}$ અને $dx = 4t^{3} dt$.
$y x^{-1/2} = \int \frac{t^{3}}{t^{3}+1} \cdot 4t^{3} dt = 4 \int \frac{t^{6}}{t^{3}+1} dt = 4 \int (t^{3} - 1 + \frac{1}{t^{3}+1}) dt$.
આનું સંકલન કરતા $y x^{-1/2} = \frac{4}{3} x^{3/4} - \frac{4}{3} \ln(x^{3/4}+1) + C$ મળે છે.
બિંદુ $(1, 1-\frac{4}{3} \ln 2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$C = -\frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી $y = \frac{4}{3} x^{5/4} - \frac{4}{3} \sqrt{x} \ln(x^{3/4}+1) - \frac{\sqrt{x}}{3}$.
$y(16) = \frac{4}{3}(32) - \frac{4}{3}(4) \ln 9 - \frac{4}{3} = \frac{124}{3} - \frac{32}{3} \ln 3 = 4(\frac{31}{3} - \frac{8}{3} \ln 3)$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 3 & 4\sqrt{2} & x \\ 4 & 5\sqrt{2} & y \\ 5 & k & z \end{vmatrix} = 0$
$x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$y = x + d$ અને $z = x + 2d$ થાય.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_1 + R_3 - 2R_2$ લાગુ પાડતા:
$R_1 + R_3 = (3+5, 4\sqrt{2}+k, x+z) = (8, 4\sqrt{2}+k, 2x+2d)$
$2R_2 = (8, 10\sqrt{2}, 2y) = (8, 10\sqrt{2}, 2x+2d)$
આ બંનેની બાદબાકી કરતા,બીજી હાર $(0, k - 6\sqrt{2}, 0)$ બને છે.
બીજી હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-(k - 6\sqrt{2}) \begin{vmatrix} 3 & x \\ 5 & z \end{vmatrix} = 0$
$-(k - 6\sqrt{2})(3z - 5x) = 0$
કિસ્સો $1$: $3z - 5x = 0$
$3(x + 2d) - 5x = 0 \Rightarrow 3x + 6d - 5x = 0 \Rightarrow 6d = 2x \Rightarrow x = 3d$.
આ શક્ય નથી કારણ કે શરત $x \neq 3d$ આપેલ છે.
કિસ્સો $2$: $k - 6\sqrt{2} = 0 \Rightarrow k = 6\sqrt{2}$.
તેથી,$k^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{OP} \perp \overline{OQ}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(x\hat{i} + y\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3x\hat{k}) = 0$
$-x + 2y - 3x = 0 \Rightarrow 2y = 4x \Rightarrow y = 2x \dots (i)$
આપેલ છે કે $|\overline{PQ}| = \sqrt{20}$,તેથી $|\overline{PQ}|^2 = 20$:
$\overline{PQ} = \overline{OQ} - \overline{OP} = (-1-x)\hat{i} + (2-y)\hat{j} + (3x+1)\hat{k}$
$|\overline{PQ}|^2 = (-1-x)^2 + (2-y)^2 + (3x+1)^2 = 20$
$y=2x$ મૂકતા:
$(x+1)^2 + (2-2x)^2 + (3x+1)^2 = 20$
$x^2 + 2x + 1 + 4 - 8x + 4x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = 20$
$14x^2 + 6 = 20 \Rightarrow 14x^2 = 14 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ (કારણ કે $x > 0$)
તેથી $y = 2(1) = 2$.
$\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} x & y & -1 \\ -1 & 2 & 3x \\ 3 & z & -7 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & z & -7 \end{vmatrix} = 0$
$1(-14 - 3z) - 2(7 - 9) - 1(-z - 6) = 0$
$-14 - 3z + 4 + z + 6 = 0 \Rightarrow -2z - 4 = 0 \Rightarrow z = -2$
તેથી,$x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.

(B) વિધેય આ રીતે વ્યાખ્યાયિત છે: $f(x) = \begin{cases} -x(2 - \sin(\frac{1}{x})), & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ x(2 - \sin(\frac{1}{x})), & x > 0 \end{cases}$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = (2 - \sin(\frac{1}{x})) + x(-\cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})) = 2 - \sin(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$.
જેમ $x \to 0^+$,પદ $\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ અત્યંત મોટી ધન અને ઋણ કિંમતો વચ્ચે દોલન કરે છે. આમ,$f'(x)$ એ $0$ ના કોઈપણ પડોશમાં અનંત વાર ચિહ્ન બદલે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ $(0, \infty)$ પર મોનોટોનિક નથી.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = -(2 - \sin(\frac{1}{x})) - x(-\cos(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2})) = -2 + \sin(\frac{1}{x}) - \frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$.
તે જ રીતે,જેમ $x \to 0^-$,પદ $-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$ દોલન કરે છે,જેના કારણે $f'(x)$ અનંત વાર ચિહ્ન બદલે છે. તેથી,$f(x)$ એ $(-\infty, 0)$ પર મોનોટોનિક નથી.
તેથી,$f$ એ $(-\infty, 0)$ અને $(0, \infty)$ પર મોનોટોનિક નથી.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1} = \lambda$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $M = (2\lambda-1, \lambda+3, -\lambda-2)$ છે.
આપેલ બિંદુ $P = (2,3,1)$ છે. સદિશ $\vec{PM} = (2\lambda-3, \lambda, -\lambda-3)$ છે.
કારણ કે $\vec{PM}$ એ $L_1$ ના દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (2, 1, -1)$ ને લંબ છે:
$2(2\lambda-3) + 1(\lambda) - 1(-\lambda-3) = 0$
$4\lambda - 6 + \lambda + \lambda + 3 = 0 \Rightarrow 6\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
તેથી,$M = (0, \frac{7}{2}, -\frac{5}{2})$.
ધારો કે $P'(x', y', z')$ એ $P$ નું $L_1$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ છે. $M$ એ $PP'$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x'+2}{2} = 0 \Rightarrow x' = -2$
$\frac{y'+3}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y' = 4$
$\frac{z'+1}{2} = -\frac{5}{2} \Rightarrow z' = -6$
તેથી,$P' = (-2, 4, -6)$.
સમતલ રેખા $L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{1}$ ને સમાવે છે.
સમતલ $P'(-2, 4, -6)$ અને $L_2$ પરના બિંદુ $A(2, 1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $L_2$ ના દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (3, -2, 1)$ ને સમાંતર છે.
સદિશ $\vec{P'A} = (2 - (-2), 1 - 4, -1 - (-6)) = (4, -3, 5)$.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{P'A} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -3 & 5 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 7\hat{i} + 11\hat{j} + 1\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $7(x-2) + 11(y-1) + 1(z+1) = 0 \Rightarrow 7x + 11y + z = 24$ છે.
$\alpha=7, \beta=11, \gamma=1$ મળતા,$\alpha+\beta+\gamma = 19$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $1$,$\log_{10}(4^{x}-2)$,અને $\log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી:
$2 \log_{10}(4^{x}-2) = 1 + \log_{10}(4^{x}+\frac{18}{5})$
$(4^{x}-2)^{2} = 10(4^{x}+\frac{18}{5})$
$(4^{x})^{2} - 4(4^{x}) + 4 = 10(4^{x}) + 36$
$(4^{x})^{2} - 14(4^{x}) - 32 = 0$
$y = 4^{x}$ લેતા,$y^{2} - 14y - 32 = 0$
$(y-16)(y+2) = 0$
$4^{x} > 0$ હોવાથી,$4^{x} = 16$,એટલે કે $x = 2$.
હવે,$x=2$ ને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right| = 3(0-2) - 1(0-4) + 4(1-0) = -6 + 4 + 4 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$f(-1) = a - b + c = 2$ --- $(1)$
$f^{\prime}(x) = 2ax + b \Rightarrow f^{\prime}(-1) = -2a + b = 1$ --- $(2)$
$f^{\prime\prime}(x) = 2a$.
$f^{\prime\prime}(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ હોવાથી,$2a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{1}{4}$.
સમીકરણ $(2)$ માં $a = \frac{1}{4}$ મૂકતા: $-2(\frac{1}{4}) + b = 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} + b = 1 \Rightarrow b = \frac{3}{2}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $a$ અને $b$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + c = 2 \Rightarrow \frac{1-6}{4} + c = 2 \Rightarrow c = 2 + \frac{5}{4} = \frac{13}{4}$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}$.
$[-1, 1]$ પર $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંતિમ બિંદુઓ અને નિર્ણાયક બિંદુઓ તપાસીએ.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. $f^{\prime}(x) = 0$ લેતા $x = -3$ મળે,જે $[-1, 1]$ ની બહાર છે.
$x \in [-1, 1]$ માટે $f^{\prime}(x) > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $x = 1$ આગળ મળે છે.
$f(1) = \frac{1}{4}(1)^2 + \frac{3}{2}(1) + \frac{13}{4} = \frac{1}{4} + \frac{6}{4} + \frac{13}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$f(x) \leq \alpha$ હોવાથી,$\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} \min \{(x+6), x^{2}\}, & -3 \leq x \leq 0 \\ \max \{\sqrt{x}, x^{2}\}, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$
$-3 \leq x \leq 0$ માટે,આપણે $x+6$ અને $x^2$ ની સરખામણી કરીએ છીએ. તેઓ $x^2 = x+6 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0$ પર છેદે છે. $x \in [-3, 0]$ હોવાથી,છેદબિંદુ $x = -2$ છે.
$x \in [-3, -2]$ માટે,$x^2 \geq x+6$,તેથી $\min \{(x+6), x^2\} = x+6$.
$x \in [-2, 0]$ માટે,$x^2 \leq x+6$,તેથી $\min \{(x+6), x^2\} = x^2$.
$0 \leq x \leq 1$ માટે,આપણે $\sqrt{x}$ અને $x^2$ ની સરખામણી કરીએ છીએ. તેઓ $\sqrt{x} = x^2 \implies x = x^4 \implies x(x^3-1) = 0$ પર છેદે છે,તેથી $x=0, 1$.
$x \in [0, 1]$ માટે,$\sqrt{x} \geq x^2$,તેથી $\max \{\sqrt{x}, x^2\} = \sqrt{x}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \int_{-3}^{-2} (x+6) dx + \int_{-2}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-3}^{-2} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} + \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1}$
$A = \left( (2 - 12) - (4.5 - 18) \right) + \left( 0 - (-8/3) \right) + \left( 2/3 - 0 \right)$
$A = (-10 + 13.5) + 8/3 + 2/3 = 3.5 + 10/3 = 7/2 + 10/3 = (21+20)/6 = 41/6$.
તેથી,$6A = 6 \times (41/6) = 41$.

(D) આપેલ છે કે $AB = B$,જેને $AB - B = O$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
આ સૂચવે છે કે $(A - I)B = O$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$B \neq O$ હોવાથી,શ્રેણિક $(A - I)$ અસામાન્ય (singular) હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $|A - I| = 0$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A - I| = \begin{vmatrix} a - 1 & b \\ c & d - 1 \end{vmatrix} = (a - 1)(d - 1) - bc = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $ad - a - d + 1 - bc = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણી પાસે $ad - bc = a + d - 1$ છે.
આપેલ છે કે $a + d = 2021$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$ad - bc = 2021 - 1 = 2020$.

(C) સદિશ $\overrightarrow{x}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\overrightarrow{x} = \lambda\overrightarrow{a} + \mu\overrightarrow{b} = \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2\lambda + \mu)\hat{i} + (2\mu - \lambda)\hat{j} + (\lambda - \mu)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{x} \perp (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$,તેથી $\overrightarrow{x} \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 0$.
$3(2\lambda + \mu) + 2(2\mu - \lambda) - 1(\lambda - \mu) = 0 \implies 6\lambda + 3\mu + 4\mu - 2\lambda - \lambda + \mu = 0 \implies 3\lambda + 8\mu = 0 \implies \lambda = -\frac{8}{3}\mu$.
$\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{x}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} = \frac{17\sqrt{6}}{2}$ છે.
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} = (2\lambda + \mu)(2) + (2\mu - \lambda)(-1) + (\lambda - \mu)(1) = 4\lambda + 2\mu - 2\mu + \lambda + \lambda - \mu = 6\lambda - \mu$.
તેથી,$\frac{6\lambda - \mu}{\sqrt{6}} = \frac{17\sqrt{6}}{2} \implies 6\lambda - \mu = 51$.
$\lambda = -\frac{8}{3}\mu$ ને $6\lambda - \mu = 51$ માં મૂકતા: $6(-\frac{8}{3}\mu) - \mu = 51 \implies -16\mu - \mu = 51 \implies -17\mu = 51 \implies \mu = -3$.
તેથી $\lambda = -\frac{8}{3}(-3) = 8$.
આમ,$\overrightarrow{x} = 8(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - 3(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (16-3)\hat{i} + (-8-6)\hat{j} + (8+3)\hat{k} = 13\hat{i} - 14\hat{j} + 11\hat{k}$.
$|\overrightarrow{x}|^{2} = 13^2 + (-14)^2 + 11^2 = 169 + 196 + 121 = 486$.

(B) આપેલ છે કે $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (\log |x|)^{n}$ અને $dv = x^{19} dx$ લો. તેથી $du = n(\log |x|)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = \frac{x^{20}}{20}$ મળે.
$I_{n} = \left[ \frac{x^{20}}{20} (\log |x|)^{n} \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{20}}{20} \cdot n(\log |x|)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$.
$I_{n} = \frac{e^{20}}{20} - \frac{n}{20} I_{n-1}$.
બંને બાજુ $20$ વડે ગુણતા,$20 I_{n} = e^{20} - n I_{n-1}$ મળે.
$n=10$ માટે,$20 I_{10} = e^{20} - 10 I_{9}$.
$n=9$ માટે,$20 I_{9} = e^{20} - 9 I_{8}$,જેનો અર્થ છે કે $e^{20} = 20 I_{9} + 9 I_{8}$.
$e^{20}$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મુકતા: $20 I_{10} = (20 I_{9} + 9 I_{8}) - 10 I_{9} = 10 I_{9} + 9 I_{8}$.
$20 I_{10} = \alpha I_{9} + \beta I_{8}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 10$ અને $\beta = 9$ મળે.
તેથી,$\alpha - \beta = 10 - 9 = 1$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y, z)$ છે. સમતલો $x + y + z = 0$,$lx - nz = 0$ અને $x - 2y + z = 0$ થી અંતર $d_1 = \frac{|x + y + z|}{\sqrt{3}}$,$d_2 = \frac{|lx - nz|}{\sqrt{l^2 + n^2}}$ અને $d_3 = \frac{|x - 2y + z|}{\sqrt{6}}$ છે.
આપેલ છે કે $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 9$,તેથી:
$\frac{(x + y + z)^2}{3} + \frac{(lx - nz)^2}{l^2 + n^2} + \frac{(x - 2y + z)^2}{6} = 9$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} + \frac{l^2x^2 - 2lnxz + n^2z^2}{l^2 + n^2} + \frac{x^2 + 4y^2 + z^2 - 4xy - 4yz + 2zx}{6} = 9$.
$x^2, y^2, z^2, xy, yz, zx$ ના સહગુણકોને ગોઠવતા:
$x^2(\frac{1}{3} + \frac{l^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + y^2(\frac{1}{3} + \frac{4}{6}) + z^2(\frac{1}{3} + \frac{n^2}{l^2 + n^2} + \frac{1}{6}) + xy(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + yz(\frac{2}{3} - \frac{4}{6}) + zx(\frac{2}{3} - \frac{2ln}{l^2 + n^2} + \frac{2}{6}) = 9$.
સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2(\frac{1}{2} + \frac{l^2}{l^2 + n^2}) + y^2(1) + z^2(\frac{1}{2} + \frac{n^2}{l^2 + n^2}) + zx(1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2}) = 9$.
આને $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ સાથે સરખાવતા,$xy, yz, zx$ ના સહગુણકો $0$ હોવા જોઈએ અને $x^2, y^2, z^2$ ના સહગુણકો $1$ હોવા જોઈએ.
$zx$ નો સહગુણક $0$ હોવા માટે,$1 - \frac{2ln}{l^2 + n^2} = 0 \implies l^2 + n^2 = 2ln \implies (l - n)^2 = 0 \implies l = n$.
આમ,$l - n = 0$.

(A) ધારો કે $Y = y+1$. તેથી $\frac{dY}{dx} = \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dY}{dx} = Y^{2}e^{x^{2}/2} - xY$.
આ એક બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. $Y^{2}$ વડે ભાગતા: $Y^{-2}\frac{dY}{dx} + xY^{-1} = e^{x^{2}/2}$.
ધારો કે $v = Y^{-1} = \frac{1}{y+1}$. તેથી $\frac{dv}{dx} = -Y^{-2}\frac{dY}{dx}$,જેથી $-\frac{dv}{dx} + xv = e^{x^{2}/2}$,અથવા $\frac{dv}{dx} - xv = -e^{x^{2}/2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -x dx} = e^{-x^{2}/2}$ છે.
$I.F.$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(v e^{-x^{2}/2}) = -1$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $v e^{-x^{2}/2} = -x + C$,તેથી $v = (-x+C)e^{x^{2}/2}$.
કારણ કે $v = \frac{1}{y+1}$,આપણને મળે $y+1 = \frac{1}{(-x+C)e^{x^{2}/2}}$.
$y(2)=0$ આપેલ છે,તેથી $1 = \frac{1}{(-2+C)e^{2}}$,જેનો અર્થ છે $-2+C = e^{-2}$,એટલે કે $C = 2+e^{-2}$.
આમ,$y+1 = \frac{1}{(-x+2+e^{-2})e^{x^{2}/2}}$.
$x=1$ માટે,$y+1 = \frac{1}{(-1+2+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{1}{(1+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$.
મૂળ સમીકરણ પરથી,$y'(1) = (y(1)+1)((y(1)+1)e^{1/2}-1)$.
$y(1)+1 = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$ મૂકતા: $y'(1) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \cdot e^{1/2} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{2}}{e^{2}+1} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{-1}{e^{2}+1} \right) = \frac{-e^{3/2}}{(e^{2}+1)^{2}}$.

(B) ધારો કે $\vec{c} = \overline{AB}, \vec{b} = \overline{AC},$ અને $\vec{a} = \overline{BC}.$ આપેલ છે કે $|\vec{a}|=8, |\vec{b}|=7, |\vec{c}|=10.$
$\triangle ABC$ માં શિરોબિંદુ $A$ પાસે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta$ એ $\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2|\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$
$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10) \cos \theta$
$64 = 49 + 100 - 140 \cos \theta$
$140 \cos \theta = 149 - 64 = 85$
$\cos \theta = \frac{85}{140} = \frac{17}{28}.$
સદિશ $\overline{AB}$ (જે $\vec{c}$ છે) નો $\overline{AC}$ (જે $\vec{b}$ છે) પરનો પ્રક્ષેપ $|\vec{c}| \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
પ્રક્ષેપ $= 10 \times \frac{17}{28} = \frac{170}{28} = \frac{85}{14}.$

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો શૂન્યતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} 4 & \lambda & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \mu & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(3) - (1)(2)) - \lambda((2)(3) - (1)(\mu)) + 2((2)(2) - (-1)(\mu)) = 0$
$4(-5) - 6\lambda + \lambda\mu + 8 + 2\mu = 0$
$\lambda\mu - 6\lambda + 2\mu - 12 = 0$
$\lambda(\mu - 6) + 2(\mu - 6) = 0$
$(\lambda + 2)(\mu - 6) = 0$
આ સમીકરણ કોઈપણ $\lambda \in R$ માટે સાચું ઠરે તે માટે $\mu - 6 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\mu = 6$.
આમ,કોઈપણ $\lambda \in R$ માટે $\mu = 6$ એ શરત છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{x-2}{x-3}$. ધારો કે $y = \frac{x-2}{x-3}$.
$y(x-3) = x-2 \implies yx - 3y = x - 2 \implies x(y-1) = 3y-2 \implies x = \frac{3y-2}{y-1}$.
તેથી,$f^{-1}(x) = \frac{3x-2}{x-1}$.
આપેલ છે $g(x) = 2x-3$. ધારો કે $y = 2x-3$.
$y+3 = 2x \implies x = \frac{y+3}{2}$.
તેથી,$g^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$.
આપણને આપેલ છે $f^{-1}(x) + g^{-1}(x) = \frac{13}{2}$.
$\frac{3x-2}{x-1} + \frac{x+3}{2} = \frac{13}{2}$.
$2(x-1)$ વડે ગુણતા: $2(3x-2) + (x+3)(x-1) = 13(x-1)$.
$6x - 4 + x^2 + 2x - 3 = 13x - 13$.
$x^2 + 8x - 7 = 13x - 13$.
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
$(x-2)(x-3) = 0$.
બીજ $x = 2$ અને $x = 3$ છે. $x$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે તમામ $t \in [0, 1]$ માટે $\frac{1}{3} \leq f(t) \leq 1$ અને તમામ $t \in (1, 3]$ માટે $0 \leq f(t) \leq \frac{1}{2}$ છે.
આપણે $g(3) = \int_{0}^{3} f(t) dt$ નો વિસ્તાર શોધવો છે.
આપણે સંકલનને $g(3) = \int_{0}^{1} f(t) dt + \int_{1}^{3} f(t) dt$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ ભાગ માટે,$\int_{0}^{1} \frac{1}{3} dt \leq \int_{0}^{1} f(t) dt \leq \int_{0}^{1} 1 dt$,જે $\frac{1}{3} \leq \int_{0}^{1} f(t) dt \leq 1$ આપે છે.
બીજા ભાગ માટે,$\int_{1}^{3} 0 dt \leq \int_{1}^{3} f(t) dt \leq \int_{1}^{3} \frac{1}{2} dt$,જે $0 \leq \int_{1}^{3} f(t) dt \leq \frac{1}{2} \times (3 - 1) = 1$ આપે છે.
આ બે અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{1}{3} + 0 \leq g(3) \leq 1 + 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{3} \leq g(3) \leq 2$ થાય છે.
આમ,અંતરાલ $[\frac{1}{3}, 2]$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ અને $\vec{a} \perp \vec{b}$.
વળી,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{b}$,તેથી $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 90^{\circ} = |\vec{a}||\vec{b}|$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $|\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{a}|$.
કારણ કે $\vec{a}$ શૂન્યેતર સદિશ છે,$|\vec{a}| \neq 0$,તેથી $|\vec{b}| = 1$. પરિણામે,$|\vec{a}| = 1$.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}$ અને $\vec{b} = \hat{j}$. તો $\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{v}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} \cdot \vec{a} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$.
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{a}| = 1$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) $n=5$ પ્રયત્નો સાથેના દ્વિપદી વિતરણમાં,$k$ સફળતાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{5}C_{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p+q=1$ છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = {}^{5}C_{1} \cdot p \cdot q^{4} = 5pq^{4} = 0.4096$.
આપેલ છે કે $P(X=2) = {}^{5}C_{2} \cdot p^{2} \cdot q^{3} = 10p^{2}q^{3} = 0.2048$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{10p^{2}q^{3}}{5pq^{4}} = \frac{0.2048}{0.4096} \Rightarrow \frac{2p}{q} = 0.5 \Rightarrow q = 4p$.
$p+q=1$ હોવાથી,$p+4p=1 \Rightarrow 5p=1 \Rightarrow p = \frac{1}{5} = 0.2$ અને $q = \frac{4}{5} = 0.8$ મળે.
હવે,બરાબર $3$ સફળતાની સંભાવના $P(X=3) = {}^{5}C_{3} \cdot p^{3} \cdot q^{2}$ છે.
$P(X=3) = 10 \cdot (\frac{1}{5})^{3} \cdot (\frac{4}{5})^{2} = 10 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(C) સંબંધ $R$ એ $A R B \iff B = P A P^{-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P$ એક અસામાન્ય શ્રેણિક છે.
$1$. સ્વવાચકતા: કોઈપણ શ્રેણિક $A$ માટે,આપણે $P = I$ (એકમ શ્રેણિક) લઈ શકીએ. તેથી $I A I^{-1} = I A I = A$. આમ,$A R A$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: ધારો કે $A R B$. તો કોઈ અસામાન્ય શ્રેણિક $P$ માટે $B = P A P^{-1}$ થાય. આપણે $A = P^{-1} B P$ લખી શકીએ. ધારો કે $Q = P^{-1}$. $P$ અસામાન્ય હોવાથી,$Q$ પણ અસામાન્ય છે. તેથી $A = Q B Q^{-1}$. આમ,$B R A$ સત્ય છે. તેથી,$R$ સંમિત છે.
$3$. પરંપરિતતા: ધારો કે $A R B$ અને $B R C$. તો કોઈ અસામાન્ય શ્રેણિકો $P$ અને $Q$ માટે $B = P A P^{-1}$ અને $C = Q B Q^{-1}$ થાય. બીજા સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા,$C = Q (P A P^{-1}) Q^{-1} = (Q P) A (P^{-1} Q^{-1}) = (Q P) A (Q P)^{-1}$. બે અસામાન્ય શ્રેણિકોનો ગુણાકાર $Q P$ પણ અસામાન્ય હોવાથી,$A R C$ સત્ય છે. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.

(C) આપેલ વક્ર $4y^{2} = x^{2}(4-x)(x-2)$ છે.
$y$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,$(4-x)(x-2) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \in [2, 4]$.
આપણે લખી શકીએ $|y| = \frac{|x|}{2} \sqrt{(4-x)(x-2)}$.
$x \in [2, 4]$ હોવાથી,$x$ ધન છે,તેથી $y = \pm \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{2}^{4} 2 \cdot \frac{x}{2} \sqrt{-x^{2} + 6x - 8} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{-(x^{2} - 6x + 9 - 1)} \, dx = \int_{2}^{4} x \sqrt{1 - (x-3)^{2}} \, dx$.
ધારો કે $x-3 = t$,તો $dx = dt$. જ્યારે $x=2, t=-1$; જ્યારે $x=4, t=1$.
$A = \int_{-1}^{1} (t+3) \sqrt{1-t^{2}} \, dt = \int_{-1}^{1} t \sqrt{1-t^{2}} \, dt + \int_{-1}^{1} 3 \sqrt{1-t^{2}} \, dt$.
પ્રથમ સંકલન $0$ છે કારણ કે વિધેય અયુગ્મ છે.
બીજું સંકલન $3 \times (\text{ત્રિજ્યા } 1 \text{ વાળા અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ}) = 3 \times \frac{\pi(1)^{2}}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(0) = b$ છે.
ડાબી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(a+1)x + \sin 2x}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left( \frac{\sin(a+1)x}{2x} + \frac{\sin 2x}{2x} \right) = \frac{a+1}{2} + 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x+bx^3} - \sqrt{x}}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx^2} - 1)}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1+bx^2} - 1}{bx^2} = \frac{1}{2}$.
લક્ષને સરખાવતા:
$b = \frac{1}{2}$ અને $\frac{a+1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{a+1}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow a+1 = -1 \Rightarrow a = -2$.
આમ,$a+b = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

(D) આપેલ છે $P = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$5I - 8P$ ની ગણતરી કરીએ:
$5I - 8P = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 16 & -8 \\ 40 & -24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & 8 \\ -40 & 29 \end{bmatrix}$.
હવે,$P$ ના ઘાતની ગણતરી કરીએ:
$P^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix}$.
$P^3 = P^2 \cdot P = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -5 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix}$.
$P^6 = (P^3)^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 10 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -11 & 8 \\ -40 & 29 \end{bmatrix}$.
$P^n$ અને $5I - 8P$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $P^6 = 5I - 8P$ મળે છે.
તેથી,$n = 6$.

(B) ધારો કે $P'(x) = k(x - 1)(x + 1) = k(x^2 - 1)$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
$P'(x)$ નું સંકલન કરતા,આપણને $P(x) = k(\frac{x^3}{3} - x) + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $P(-3) = 0$,તેથી $k(\frac{-27}{3} - (-3)) + C = 0$,જેનું સાદું રૂપ $k(-9 + 3) + C = 0$ થાય છે,એટલે કે $-6k + C = 0$,અથવા $C = 6k$.
આપેલ છે કે $\int_{-1}^{1} P(x) dx = 18$,આપણે $\int_{-1}^{1} (k(\frac{x^3}{3} - x) + C) dx = 18$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
કારણ કે $k(\frac{x^3}{3} - x)$ એ એકી વિધેય છે,તેનું $[-1, 1]$ પર સંકલન $0$ થાય છે. તેથી,$\int_{-1}^{1} C dx = 18$,જે $2C = 18$ આપે છે,તેથી $C = 9$.
$C = 6k$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $9 = 6k$ મળે છે,તેથી $k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
આમ,$P(x) = \frac{3}{2}(\frac{x^3}{3} - x) + 9 = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x + 9$.
$P(x)$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $P(1) = \frac{1}{2}(1)^3 - \frac{3}{2}(1) + 9 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 9 = -1 + 9 = 8$ છે.

(B) સમતલનું સમીકરણ $2x - y + z = b$ છે.
ધારો કે $P = (1, 3, a)$ અને $Q = (-3, 5, 2)$. રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ સમતલ પર આવેલું છે.
$R = \left( \frac{1 - 3}{2}, \frac{3 + 5}{2}, \frac{a + 2}{2} \right) = (-1, 4, \frac{a + 2}{2})$.
કારણ કે $R$ એ સમતલ $2x - y + z = b$ પર છે,તેથી:
$2(-1) - 4 + \frac{a + 2}{2} = b$
$-6 + \frac{a + 2}{2} = b \Rightarrow a + 2 = 2b + 12 \Rightarrow a = 2b + 10 \quad \dots(i)$
વળી,સદિશ $\vec{PQ} = (-3 - 1, 5 - 3, 2 - a) = (-4, 2, 2 - a)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -1, 1)$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\frac{-4}{2} = \frac{2}{-1} = \frac{2 - a}{1}$.
$-2 = -2 = 2 - a \Rightarrow a = 4$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a = 4$ મૂકતા:
$4 = 2b + 10 \Rightarrow 2b = -6 \Rightarrow b = -3$.
આમ,$|a + b| = |4 + (-3)| = |1| = 1$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ છે.
$x=0$ આગળ વિકલિતની વ્યાખ્યા મુજબ,$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ થાય.
$f(x+y)=f(x)f(y)$ માં $x=0, y=0$ મૂકતા $f(0)=f(0)^2$ મળે. $f(x) \neq 0$ હોવાથી,$f(0)=1$ થાય.
વિકલિતની વ્યાખ્યામાં $f(0)=1$ મૂકતા,$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$ મળે.
આપેલ છે કે $f'(0)=3$,તેથી $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 3$ થાય.

(C) સમતલનું સમીકરણ જે બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી રેખા અને દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ ધરાવતી રેખાને સમાવે છે અને દિશા ગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2)$ ધરાવતી રેખાને સમાંતર છે,તે નિશ્ચાયક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
આપેલ કિંમતો $(x_1, y_1, z_1) = (1, -6, -5)$,$(a_1, b_1, c_1) = (3, 4, 2)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (4, -3, 7)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-1 & y+6 & z+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
બિંદુ $(1, -1, \alpha)$ સમતલ $P$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $x=1, y=-1, z=\alpha$ ને નિશ્ચાયકમાં મૂકીએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-1 & -1+6 & \alpha+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 5 & \alpha+5 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$0(28 - (-6)) - 5(21 - 8) + (\alpha+5)(-9 - 16) = 0$
$-5(13) + (\alpha+5)(-25) = 0$
$-65 - 25\alpha - 125 = 0$
$-25\alpha - 190 = 0$
$25\alpha = -190$
$5\alpha = -38$
તેથી,$|5\alpha| = |-38| = 38$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \geq 1$ માટે): $\frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.
આનું સાદું રૂપ: $d(\frac{y}{x}) = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} = \int \frac{dx}{x}$.
$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.
શરત $y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,$y = x \sin(\ln x)$.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{e^{\pi}} x \sin(\ln x) dx$.
ધારો કે $x = e^t$,તો $dx = e^t dt$. જ્યારે $x=1, t=0$; જ્યારે $x=e^{\pi}, t=\pi$.
$A = \int_{0}^{\pi} e^t \sin(t) e^t dt = \int_{0}^{\pi} e^{2t} \sin(t) dt$.
સૂત્ર $\int e^{at} \sin(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \sin(bt) - b \cos(bt)) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A = [\frac{e^{2t}}{5} (2 \sin t - \cos t)]_{0}^{\pi} = \frac{e^{2\pi}}{5} (2(0) - (-1)) - \frac{1}{5} (2(0) - 1) = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5}$.
$\alpha e^{2\pi} + \beta$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{5}$ અને $\beta = \frac{1}{5}$ મળે.
તેથી,$10(\alpha + \beta) = 10(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) = 10(\frac{2}{5}) = 4$.

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 2\hat{i} - 5\hat{j} - \hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -1\end{array}\right|$ થશે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - 10) - \hat{j}(-3 - (-4)) + \hat{k}(-15 - 2) = -11\hat{i} - \hat{j} - 17\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = 11\hat{i} + \hat{j} + 17\hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ.
બિંદુ $(1, 2, -3)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\langle 11, 1, 17 \rangle$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$11(x - 1) + 1(y - 2) + 17(z + 3) = 0$
$11x - 11 + y - 2 + 17z + 51 = 0$
$11x + y + 17z + 38 = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dP}{dt} = 0.5P - 450 = 0.5(P - 900)$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dP}{P - 900} = 0.5 dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dP}{P - 900} = \int 0.5 dt$.
આથી મળે: $\ln|P - 900| = 0.5t + C$.
શરૂઆતની શરત $P(0) = 850$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln|850 - 900| = 0.5(0) + C \Rightarrow C = \ln(50)$.
તેથી,સમીકરણ બને છે: $\ln|P(t) - 900| = 0.5t + \ln(50)$.
જ્યારે $P(t) = 0$ હોય ત્યારે $t$ શોધવા માટે: $\ln|0 - 900| = 0.5t + \ln(50)$.
$\ln(900) - \ln(50) = 0.5t$.
$\ln\left(\frac{900}{50}\right) = 0.5t$.
$\ln(18) = 0.5t$.
$t = 2 \ln(18)$.

(D) સમીકરણોની સંહતિ અસંગત હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & -k \\ 2 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3(4 + 4) + 2(-2 + 2) - k(4 + 4) = 24 - 8k$ શોધો.
$\Delta = 0$ લેતા,$24 - 8k = 0$ મળે,તેથી $k = 3$.
હવે,$k = 3$ માટે $\Delta_z$ તપાસો:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 10 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & 2 & 5m \end{vmatrix} = 3(-20m - 12) + 2(10m - 6) + 10(4 + 4) = -60m - 36 + 20m - 12 + 80 = -40m + 32$.
અસંગતતા માટે,$\Delta_z \neq 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $-40m + 32 \neq 0 \Rightarrow 40m \neq 32 \Rightarrow m \neq \frac{32}{40} \Rightarrow m \neq \frac{4}{5}$.
આમ,સંહતિ અસંગત છે જો $k = 3$ અને $m \neq \frac{4}{5}$ હોય.